| Теоретическая и математическая физика |
|
|
|
|
|
Может ли энергия частиц быть отрицательной при отсутствии внешних полей? А. А. Грибab, Ю. В. Павловcd a Российский государственный педагогический университет им. А. И. Герцена, Санкт-Петербург, Россия b Лаборатория теоретической физики им. А. А. Фридмана, Санкт-Петербург, Россия c Институт проблем машиноведения Российской академии наук, Санкт-Петербург, Россия d Институт математики и механики им. Н. И. Лобачевского Казанского (Приволжского) федерального университета, Казань, Россия
Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2023, Volume 216, Issue 3, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0040577923090088 
Реферативные базы данных:
   1. ВведениеЗнак энергии частиц важен с точки зрения описания свойств движения частицы и возможных физических явлений в рассматриваемой системе отсчета. Если предполагается, что энергия частицы на бесконечном удалении от силовых воздействий равна нулю, то состояния с отрицательной энергией в силовом поле соответствуют ограниченным траекториям [1]. Положительные энергии соответствуют неограниченному движению. В релятивистском случае наличие состояний с отрицательной энергией приводит к возможности извлечения энергии из вращающейся черной дыры (эффект Пенроуза [2]). Аналогичный эффект имеет место в случае заряженных черных дыр [3]. В квантовой теории поля наличие состояний с отрицательной энергией приводит к эффектам рождения частиц во внешнем поле [4]. В неинерциальной системе отсчета наличие состояний с отрицательной энергией вызывает новые физические эффекты, например эффект Унру [5]. В статье авторов [6] было показано, что в равномерно вращающейся системе координат плоского пространства, как и в метрике черной дыры Керра, существует поверхность (предел статичности), за которой ни одно тело не может находиться в состоянии покоя, и, как в эргосфере черной дыры [7], возможны состояния частиц с отрицательной энергией. Для вращающегося наблюдателя это может приводить к явлениям, которые аналогичны эффекту Пенроуза [8]. До настоящего времени нет экспериментальных наблюдений эффектов Пенроуза и Унру, как и широко известного эффекта Хокинга [9] излучения черных дыр. Однако большинство физиков не сомневается в их существовании. В настоящей работе мы рассматриваем вопрос о том, возможно ли появление отрицательных значений энергии в инерциальных системах отсчета, и разбираем ряд примеров, когда отрицательные энергии появляются в неинерциальных системах в нерелятивистском и релятивистском случаях. 2. Энергия частицы в инерциальной системе отсчетаВ инерциальной системе отсчета функция Лагранжа нерелятивистской частицы массы $m$ имеет вид [1] где $\mathbf v$ – скорость частицы, $U$ – ее потенциальная энергия во внешнем силовом поле. Энергия частицы
$$
\begin{equation}
E=\mathbf v \,\frac{\partial L}{\partial \mathbf v}-L=\frac{mv^2}{2}+U
\end{equation}
\tag{2}
$$
представляет собой сумму кинетической и потенциальной энергии и в отсутствии силового поля, очевидно, не может быть отрицательной величиной при положительном значении массы. Если внешнее поле соответствует притяжению, то потенциальная энергия будет отрицательной, при этом полная энергия частицы может быть также отрицательной и неограниченной снизу, если потенциальная энергия $U$ неограничена снизу. Так, например, во внешнем поле притягивающего тела массы $M$
$$
\begin{equation}
E=\frac{mv^2}{2}-G\frac{mM}{r}<-mc^2 \quad\Longrightarrow\quad r<\frac{GM}{c^2}=\frac{r_{\mathrm g}}{2},
\end{equation}
\tag{3}
$$
где $G$ – гравитационная постоянная, $c$ – скорость света, $r_{\mathrm g}$ – гравитационный радиус. Если потенциальная энергия соответствует притяжению двух точечных элементарных зарядов, то
$$
\begin{equation}
E=\frac{mv^2}{2}-\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{e^2}{r}<-mc^2\quad\Longrightarrow\quad r<\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0mc^2},
\end{equation}
\tag{4}
$$
где $\varepsilon_0$ – электрическая постоянная, $e$ – элементарный электрический заряд. В этих примерах видно, что отрицательные энергии, сравнимые по абсолютной величине с энергией покоя частицы $mc^2$, появляются на расстояниях, при которых нерелятивистским приближением пользоваться нельзя, а необходимо учитывать эффекты общей теории относительности и квантовой теории. Действие для свободной релятивистской частицы имеет вид [10] где интеграл берется вдоль мировой линии между двумя заданными событиями (мировыми точками) $a$ и $b$ – начальной и конечной точками, где частица находится в определенные моменты времени $t_1$, $t_2$. При таком выборе действия функция Лагранжа для свободной релятивистской частицы имеет вид а значение энергии
$$
\begin{equation}
E=\mathbf v \,\frac{\partial L}{\partial\mathbf v}-L=\frac{m c^2}{\sqrt{1-v^2/c^2}}\kern1pt
\end{equation}
\tag{7}
$$
будет положительным при положительной массе $m$. Импульсом по определению называется вектор
$$
\begin{equation}
\mathbf p=\frac{\partial L}{\partial \mathbf v}=\frac{m \mathbf v}{\sqrt{1-v^2/c^2}}\kern1pt.
\end{equation}
\tag{8}
$$
Энергия (7) и импульс (8) представляют собой компоненты 4-вектора энергии-импульса $(p^i)=(E/c,\mathbf p)$, $i=0,1,2,3$. Отметим, что при любых собственных преобразованиях Лоренца знак энергии частицы, движущейся медленнее скорости света, сохраняется. В теоретической физике рассматриваются также гипотетические частицы, движущиеся со скоростью больше скорости света (см. сборник [11] и ссылки в нем). Их называют тахионами [12]. Связь тахионов с нестабильностью физических систем обсуждалась в статье [13]. Как известно, групповая скорость волн для полей с отрицательным квадратом массового члена превышает скорость света. Поля с такими свойствами используются в современной стандартной модели элементарных частиц с механизмом Хиггса нарушения симметрии [14]. Соответствующее поле Хиггса при восстановлении симметрии при высоких энергиях может проявлять специфические свойства, связанные с отрицательным значением квадрата массового члена. Как было показано в работе авторов [15], фазовые переходы с восстановлением симметрии сильных (кварк-глюонных) взаимодействий или электро-слабых взаимодействий возможны при соударениях частиц в окрестностях астрофизических черных дыр, при этом эффекты, связанные с отрицательным квадратом массы соответствующего поля, могут быть доступны для наблюдений. Вектор энергии-импульса тахионов имеет вид
$$
\begin{equation}
(p^i)=\biggl(\frac{E}{c},\mathbf p\biggr)=\frac{m}{\sqrt{u^2/c^2-1}}(c,\mathbf u),
\end{equation}
\tag{9}
$$
где $m$ – константа (мнимая часть массы тахиона), $\mathbf u$ – скорость тахиона ($u>c$). Компоненты энергии-импульса тахиона удовлетворяют соотношению Как впервые было замечено в [16], при переходе в другую инерциальную систему отсчета, движущуюся с некоторой скоростью $V$, меньшей скорости света, меняется порядок временно́й последовательности событий вдоль траектории тахиона. Так, если тахион в исходной системе отсчета $K$ находился в точке $x_a$ в момент времени $t_a$, а в момент времени $t_b>t_a$ находился в точке $x_b$, то в движущейся в том же направлении, что и тахион, системе отсчета $K'$ получаем
$$
\begin{equation}
\Delta t'=t_b' -t_a'=\frac{t_b-\frac{V}{c^2}x_b}{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}}-\frac{t_a-\frac{V}{c^2}x_a}{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}}= \frac{1-\frac{uV}{c^2}}{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}}\Delta t,
\end{equation}
\tag{11}
$$
где $u$ – скорость тахиона в системе отсчета $K$. Если $V>c^2/u$, то $\Delta t'<0$ и $t_b'<t_a'$ в противоположность порядку событий в исходной неподвижной системе отсчета $K$. При преобразовании в движущуюся систему отсчета $K'$ получим
$$
\begin{equation}
E'=\frac{E-Vp}{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}},\qquad p'=\frac{p-\frac{V}{c^2} E}{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}},\qquad u'=\frac{u-V}{1-\frac{u V}{c^2}}.
\end{equation}
\tag{12}
$$
С учетом этих соотношений вектор энергии-импульса тахиона в системе отсчета $K'$ может быть записан в виде
$$
\begin{equation}
(p^{\prime\,i} )=\begin{cases} \dfrac{m}{\sqrt{u^{\prime\,2}/c^2-1}}(c,\mathbf{u}'), & V<\dfrac{c^2}{u},\\ \pm m(0,\mathbf c), & V\to\dfrac{c^2}{u}\mp 0,\\ \dfrac{-m}{\sqrt{u^{\prime\,2}/c^2-1}}(c,\mathbf{u}') , & V>\dfrac{c^2}{u}.\vphantom{\bigg|^{\Big|}} \end{cases}
\end{equation}
\tag{13}
$$
Нулевая компонента вектора энергии-импульса преобразуется при преобразованиях Лоренца так же, как промежуток времени между событиями. Поэтому знак энергии тахионов при переходе к инерциальной системе отсчета, движущейся со скоростью $V>c^2/u$, меняется вместе с изменением направления временно́й последовательности событий [17]. Такое совпадение привело к идее [17] использовать для исключения противоречий с нарушением причинности принцип реинтерпретации (по аналогии с идеями Штюкельберга [18] и Фейнмана [19] рассматривать позитрон как электрон, движущийся с отрицательной энергией назад во времени): любой объект с отрицательной энергией, движущийся назад во времени, должен быть реинтерпретирован как свой антиобъект, движущийся в противоположном направлении в пространстве, наделенный положительной энергией и движущийся вперед во времени [20]. Обсуждение взаимосвязи принципа реинтерпретации с соблюдением требования причинности имеется в [11], [21] и указанной там литературе. Особая ситуация, связанная с допущением существования тахионов, возникает при наблюдении их в системе отсчета, движущейся в том же направлении, что и тахион, со скоростью $V=c^2/u$. Тогда согласно соотношениям (12), (13) тахион должен иметь нулевую энергию, ненулевой импульс и распространяться с бесконечной скоростью. Итак, в инерциальной системе отсчета отрицательные энергии обычных свободных частиц при положительной массе или тахионов при учете принципа реинтерпретации невозможны. Отрицательные энергии могут иметь место для частиц при отрицательных значениях их массы. Такие частицы рассматривались в теоретической физике еще в XIX веке (см. книгу [22] и ссылки в ней) и активно рассматриваются до сих пор [23]–[27]. Однако, если считать справедливым принцип наименьшего действия, следует рассматривать только положительную массу частицы. При отрицательной массе интеграл действия для свободной частицы не мог бы иметь минимального значения [1]. 3. Энергия в неинерциальной системе отсчета в нерелятивистской механикеПокажем далее, что в неинерциальной системе отсчета энергия частицы может принимать отрицательные значения при отсутствии внешнего поля. Функция Лагранжа частицы в произвольной неинерциальной системе отсчета согласно [1] (см. формулу (39,6)) имеет вид
$$
\begin{equation}
L=\frac{mv^2}{2}+m\mathbf v[\mathbf\Omega\mathbf r]+\frac{m}{2}[\mathbf\Omega\mathbf r]^2-m\mathbf W\mathbf r-U,
\end{equation}
\tag{14}
$$
где $\mathbf r$ – радиус-вектор частицы, $\mathbf W$ – ускорение поступательного движения неинерциальной системы отсчета относительно произвольной инерциальной системы отсчета, $\mathbf\Omega$ – угловая скорость вращения неинерциальной системы отсчета, а $[\mathbf\Omega\mathbf r]$ обозначает векторное произведение соответствующих векторов. Простые вычисления (см. [1], § 39) дают
$$
\begin{equation}
\frac{\partial L}{\partial \mathbf v}=m\mathbf v+m[\mathbf\Omega\mathbf r].
\end{equation}
\tag{15}
$$
Поэтому энергия точечной нерелятивистской частицы в неинерциальной системе отсчета равна
$$
\begin{equation}
E=\mathbf v\,\frac{\partial L}{\partial \mathbf v}-L=\frac{mv^2}{2}+U-\frac{m}{2}[\mathbf\Omega\mathbf r]^2+m\mathbf W\mathbf r.
\end{equation}
\tag{16}
$$
Очевидно, при отличных от нуля $\mathbf\Omega$ или $\mathbf W$ всегда найдутся значения координаты $r$, при которых энергия свободной нерелятивистской частицы будет отрицательной. Приведем некоторые оценки. В случае отсутствия внешнего поля и неинерциальной системы отсчета, движущейся с постоянным ускорением, получаем
$$
\begin{equation}
E=\frac{mv^2}{2}+m\mathbf W\mathbf r<-mc^2\quad\Longrightarrow\quad |r|>\frac{c^2}{W}.
\end{equation}
\tag{17}
$$
Таким образом, отрицательные энергии, превышающие по абсолютной величине значение $mc^2$, могут наблюдаться только на больших расстояниях от начала координат в направлениях, составляющих тупой угол с ускорением системы отсчета: $\mathbf W\mathbf r<0$. Если бы наблюдатель из начала координат двигался с ускорением $W$ до достижения таких расстояний, то его скорость согласно нерелятивистским расчетам должна была бы равняться $\sqrt{2}c$. В случае равномерно вращающейся системы отсчета скорость частицы относительно инерциальной системы, начало которой совпадает с центом вращающейся системы, равна Энергия (16) во вращающейся системе отсчета может быть выражена через скорость $\mathbf v_0$ как (см. формулу (39,13) в [1])
$$
\begin{equation}
E=\frac{mv_0^2}{2}+U-m[\mathbf r\mathbf v_0]\mathbf\Omega=E_0-\mathbf M\mathbf\Omega,
\end{equation}
\tag{19}
$$
где $E_0$ – энергия в инерциальной системе отсчета, $\mathbf M$ – момент импульса частицы (одинаковый в инерциальной и вращающейся системах отсчета). В данном случае и отрицательные энергии, превышающие по абсолютной величине значение $mc^2$, могут наблюдаться только на таких расстояниях от начала координат, где линейная скорость вращения координатных осей превышает скорость света. Заметим, что движение координатных осей как воображаемых линий системы координат со скоростью, превышающей скорость света, не противоречит наличию предельной скорости передачи сигнала. Относительные скорости любых физических объектов в такой системе координат будут равны скоростям в инерциальной системе и не превысят скорости света. Релятивистское рассмотрение вращающейся системы координат представлено в следующем разделе. Таким образом, в неинерциальной системе отсчета всегда имеется область значений координат, где в нерелятивистском случае возможны отрицательные значения энергии свободной частицы. Отрицательные значения, сравнимые по абсолютной величине с $mc^2$, достигаются в областях, в которых характерные скорости движения частиц или координатных осей имеют порядок скорости света. Далее рассмотрим случаи появления отрицательных энергий в неинерциальных системах координат в релятивистском случае. 4. Энергия точечной частицы в неинерциальной системе отсчета в релятивистском случаеПусть $x^i$ – координаты, связанные с некоторой произвольно выбранной системой отсчета, $g_{ik}$ – метрический тензор в этих координатах. В отсутствии внешних полей частица движется по геодезическим линиям в пространстве-времени, интервал которого равен $ds^2=g_{ik}\,dx^i\,dx^k$. Уравнения этих геодезических получаются [28] из лагранжиана
$$
\begin{equation}
L=\frac{g_{ik}}{2}\,\frac{dx^i}{d\lambda}\frac{dx^k}{d\lambda},
\end{equation}
\tag{21}
$$
где $\lambda$ – аффинный параметр на геодезической. Для времениподобных геодезических $\lambda=\tau/m$, где $\tau$ – собственное время движущейся частицы с массой $m$. Обобщенные импульсы по определению равны
$$
\begin{equation}
p_i=\frac{\partial L}{\partial\dot x^i}=g_{ik}\frac{dx^k}{d\lambda},\qquad \dot x^i=\frac{dx^i}{d\lambda}.
\end{equation}
\tag{22}
$$
Энергия массивной частицы есть Если имеется инвариантность по отношению к сдвигу по времени, т. е. компоненты метрики $g_{ik}$ не зависят от времени, то энергия (23) сохраняется в силу уравнений Эйлера. В этом случае вектор $(\zeta^i)=(1,0,0,0)$ будет времениподобным вектором Киллинга, а сохраняющаяся энергия (23) может быть записана в виде
$$
\begin{equation}
E=m c^2\frac{dx^k}{ds}\,g_{ik}\zeta^i=mc^2(u,\zeta)=c(p,\zeta).
\end{equation}
\tag{24}
$$
Отметим, что выражение (24) инвариантно по отношению к выбору системы координат, но очевидным образом зависит от конкретного выбора вектора Киллинга $\zeta$. Если имеются два неколлинеарных времениподобных вектора Киллинга, то любая их линейная комбинация также будет вектором Киллинга, а соответствующие таким векторам Киллинга значения энергии (24) будут разными. Если в разных системах координат выбирается вектор Киллинга $(\zeta^i)=(1,0,0,0)$, то значения энергии $E$ также будут, вообще говоря, разными, поскольку при переходе к другой системе координат меняются не только значения скоростей $u^i$, но и метрический тензор. Для вращающейся системы отсчета этот вопрос был проанализирован в работах авторов [6], [8]. Если вектор $(\zeta^i)$ времениподобный, то энергия частицы (24) всегда положительна (см. задачу 10.15 в [25]). Значение энергии частицы может стать отрицательным, если вектор $(\zeta^i)=(1,0,0,0)$ станет в некоторой области пространственноподобным. Рассмотрим для примера равномерно вращающуюся систему отсчета. Переходя от цилиндрических координат $r'$, $\varphi'$, $z'$ пространства Минковского к вращающимся координатам $r$, $\varphi$, $z$ по формулам получим для интервала выражение
$$
\begin{equation}
ds^2=(c^2-\Omega^2 r^2)\,dt^2+2\Omega r^2\,d\varphi\,dt-dr^2-r^2\,d\varphi^2-dz^2.
\end{equation}
\tag{26}
$$
На поверхности $r=c/\Omega$ компонента метрики $g_{00}$ обращается в нуль, однако метрика при этом невырожденна, $\det(g_{ik})=-r^2$. Требование неотрицательности интервала мировой линии частицы приводит к тому, что за пределами поверхности $r=c/\Omega$ никакое физическое тело не может находиться в покое в данной системе координат. С течением времени любое тело должно смещаться в сторону увеличения $\varphi$, т. е. в сторону, противоположную направлению вращения системы координат. Возникновение предела статичности аналогично случаю вращающейся черной дыры. Здесь также соответствующую вращающимся координатам трехмерную координатную “жесткую сетку нельзя осуществить материальными телами (“сварить” из прутьев)” [29], § 4.2. Такая сетка вне предела статичности двигалась бы по отношению к любому наблюдателю со скоростью больше скорости света. Отметим, что до появления точного решения уравнений Эйнштейна, описывающего метрику вращающейся черной дыры, – решения Керра [30] – из невозможности реализации системы координат неподвижными твердыми телами некоторые авторы делали заключение о невозможности использования такой системы координат (см. обсуждение и ссылки в [8]). Однако широкое использование решения Керра, имеющего предел статичности (вне горизонта событий черной дыры), показывает, что невозможность построения жесткой координатной сетки является лишь допустимой особенностью системы координат. Отметим также, что реализация вращающейся системы отсчета посредством (абсолютно) жестких тел принципиально невозможна при учете релятивистских эффектов не только за пределом статичности, но даже вблизи начала координат в силу несостоятельности понятия абсолютно жесткого тела при вращении, что было показано в работе [31]. Энергия (24) в равномерно вращающейся системе координат равна [8] где $E'$ и $L'_z$ – энергия и проекция момента импульса на ось вращения $(OZ')$ в инерциальной системе с координатами $r'$, $\varphi'$, $z'$. Отметим, что данное выражение совпадает формально с нерелятивистским выражением (19) при выборе $\mathbf\Omega=(0, 0,-\Omega)$, но в (27) энергия $E'$ и проекция момента импульса $L'_z$ определяются релятивистскими формулами.Для киллингова вектора трансляций по координате $x^0=ct$ во вращающейся системе отсчета имеем Таким образом, снаружи предела статичности вектор $\zeta$ становится пространственноподобным, а энергия $E$ частиц вне предела статичности во вращающейся системе может принимать отрицательные значения, сколь угодно большие по абсолютной величине (см. подробности в [8]).Наличие отрицательных значений энергии (24) при пространственноподобном векторе $(\zeta^i)$ не нарушает требования энергодоминантности (см. § 8.3 в [4]). Для доказательства этого заметим, что выражение (24) можно получить интегрированием тензора энергии-импульса точечной частицы с действием (5) (см. § 12.2 в [32]) по гиперповерхности $\Sigma$, перпендикулярной $\zeta$:
$$
\begin{equation}
T^{ik}(x)=-\frac{2c}{\sqrt{|g|}}\,\frac{\delta S}{\delta g_{ik}}= \frac{m c^2}{\sqrt{|g|}}\int\frac{dx_{\mathrm p}^i}{ds}\, \frac{dx_{\mathrm p}^k}{ds}\,\delta^4(x-x_{\mathrm p})\,ds,
\end{equation}
\tag{30}
$$
где $x_{\mathrm p}$ – мировая точка, в которой локализована частица, и $g=\det(g_{ik})$. Выражение для $T^{ik}(x)\sqrt{|g|}$ не зависит от выбора системы отсчета, в частности, оно выглядит так же, как в инерциальной системе отсчета, что и доказывает энергодоминантность тензора энергии-импульса точечной частицы с положительной массой. Это доказательство энергодоминантности справедливо для произвольного искривленного пространства-времени, поэтому наличие состояний с отрицательной энергией для обычных точечных частиц не может быть источником метрики кротовых нор. Отметим, что выражение (23) определяет энергию частицы и в случае, когда нет инвариантности по времени и энергия не сохраняется. 5. Вселенная МилнаРассмотрим пространство-время с интервалом
$$
\begin{equation}
ds^2=c^2\,dt^2-c^2t^2(d\chi^2+\operatorname{sh}^2\!\chi\,d\Omega^2),
\end{equation}
\tag{31}
$$
где $d\Omega^2=d\theta^2+\sin^2\kern-1pt\theta\,d\varphi^2$, а координата $\chi$ изменяется в интервале $[0,+\infty)$. Это пространство-время, называемое вселенной Милна [33], является частью плоского пространства-времени, поскольку замена координат
$$
\begin{equation}
T=t\operatorname{ch}\chi,\quad r=ct\operatorname{sh}\chi,\qquad cT>r>0,
\end{equation}
\tag{32}
$$
приводит (31) к форме интервала в пространстве Минковского в сферических координатах Система отсчета, соответствующая координатам $t$, $\chi$, может быть реализована следующим образом [34]. В плоском евклидовом пространстве в начальный момент $T=0$ из начала координат вылетает совокупность частиц, движущихся со всеми возможными скоростями $u<c$. Мы пренебрегаем обратным влиянием плотности энергии вылетевших частиц на метрику пространства-времени, считая, что оно остается евклидовым. Собственное время $t$ движущейся со скоростью $u$ частицы связано с координатным временем $T$ соотношением поэтому евклидовы координаты и время движущейся со скоростью $u$ частицы равны
$$
\begin{equation}
T=\frac{t}{\sqrt{1-u^2/c^2}},\qquad r=uT=t\frac{u}{\sqrt{1-u^2/c^2}}.
\end{equation}
\tag{35}
$$
Положив $\operatorname{ch}\chi=1/\sqrt{1-u^2/c^2}$, мы получим формулы (32) перехода к координатам Милна. Расстояние от начала координат до точки с заданным значением $\chi$ в метрике (31) равно $D=ct\chi$. Используя это значение для радиальной координаты в (35), запишем интервал (31) в виде
$$
\begin{equation}
ds^2=\biggl(1-\frac{D^2}{c^2t^2}\biggr)c^2\,dt^2+2\frac{D}{t}\,dt\,dD-dD^2-c^2t^2\operatorname{sh}^2\!\biggl(\frac{D}{ct}\biggr)d\Omega^2.
\end{equation}
\tag{36}
$$
Наличие недиагонального члена в метрике (36) и требование $ds^2\geqslant 0$ приводят к тому, что при значениях $D>D_{\mathrm s}=ct$ ни один физический объект не может покоиться в координатах $(D,\theta,\phi)$. Величина $D_{\mathrm s}$, соответствующая $\chi=1$, играет роль предела статичности вращающейся черной дыры в координатах Бойера–Линдквиста [36]. Энергия (23) частицы массы $m$ в системе отсчета с координатами $(t,D,\theta,\phi)$ равна
$$
\begin{equation}
E=cg_{0k} \frac{dx^k}{d\lambda}= mc^2\frac{dt}{d\tau}\biggl(1-\frac{D^2}{c^2t^2}+\frac{D}{c^2t}\frac{dD}{dt}\biggr)= mc^2\frac{dt}{d\tau}\biggl(1+\chi t\frac{d\chi}{dt}\biggr).
\end{equation}
\tag{37}
$$
Поскольку компоненты метрики (36) зависят от времени, энергия частицы в этой системе отсчета не сохраняется на геодезических. Из (37) получаем, что энергия частицы будет отрицательной при условии
$$
\begin{equation}
E<0\quad\Longleftrightarrow\quad\chi t\frac{d\chi}{dt}<-1.
\end{equation}
\tag{38}
$$
Энергия частицы в системе отсчета $(t,D,\theta,\phi)$ будет равна нулю, если
$$
\begin{equation}
E=0\quad \Longleftrightarrow\quad\frac{d\chi}{dt}=-\frac{1}{\chi t}.
\end{equation}
\tag{39}
$$
Поскольку из условия $ds^2\geqslant 0$ для (31) следует, что отрицательные энергии частиц возможны при $\chi>1$, а нулевые – при $\chi\geqslant 1$, т. е. вне предела статичности. В координатах $(T,r)$ эта область согласно (32) определяется неравенствами $1\leqslant cT/r\leqslant\operatorname{cth} 1\approx 1.313$ (см. рис. 1). Из соотношений (32) следует связь между скоростями движения в координатах $(t,\chi)$ и $(T,r)$:
$$
\begin{equation}
t\frac{d\chi}{dt}=\frac{\frac{dr}{dT}-c\operatorname{th}\chi}{c-\frac{dr}{dT}\operatorname{th}\chi}.
\end{equation}
\tag{41}
$$
Поэтому частица, покоящаяся в инерциальной системе отсчета $(T,r)$, согласно (38) будет иметь в системе отсчета $(t,\chi)$ нулевую энергию, если $\chi\operatorname{th}\chi=1$, т. е. при $\chi\approx 1.1997$ (штриховая линия на рис. 1) и отрицательную энергию при $\chi\operatorname{th}\chi>1$ (закрашенная область на рис. 1 ниже штриховой линии). Таким образом, при определенном выборе неинерциальной системы отсчета измеряемая в ней энергия может быть нулевой и отрицательной даже для частиц, покоящихся в некоторой инерциальной системе отсчета. Если тело в области $D>ct$ вне предела статичности распадается на два осколка, один с отрицательной энергией, а другой с положительной, то энергия второго осколка будет больше энергии исходного тела, как и в известном процессе Пенроуза. Сможет ли наблюдатель, находящийся вблизи начала координат, получить выигрыш в энергии? Отметим, что на малых расстояниях от начала координат (при $D/ct=\chi\ll 1$) метрика (36) соответствует метрике сферических координат пространства Минковского а значения энергии (37) будут равны энергии в инерциальной системе плоского пространства-времени
$$
\begin{equation}
E_{\mathrm u}=mc^2\frac{dt}{d\tau}\approx mc^2\frac{dT}{d\tau},
\end{equation}
\tag{43}
$$
поскольку при $\chi\ll 1$ из (32) следует, что $t\approx T$. При распаде по процессу Пенроуза первый осколок с отрицательной энергией (37) будет иметь отрицательное значение скорости $d\chi/dt$. Если осколок с положительной энергией будет также двигаться по направлению к началу координат, то в соответствии с (37) абсолютная величина его скорости $|d\chi/ dt|$ будет меньше, чем у осколка с отрицательной энергией. Согласно (41) это же имеет место и для скоростей $dr/dT$, если осколки будут двигаться к началу координат. Таким образом, для наблюдателя в окрестности начала координат $(t,D)$ осколок, имевший отрицательную энергию при распаде исходного тела, прибудет быстрее, а к моменту прибытия его энергия (37), которая не сохраняется, станет положительной. Наблюдатель не сможет получить выигрыш в энергии. В случае метрики Керра энергия является сохраняющейся величиной. Наблюдатель, находящийся на большом удалении от вращающейся черной дыры, может наблюдать выигрыш в энергии, если осколок с положительной энергией, получившийся в результате распада частицы по процессу Пенроуза в эргосфере, отлетает на большое расстояние от черной дыры. Также энергия сохраняется в случае вращающейся системы отсчета, что дает возможность наблюдения процесса, аналогичного процессу Пенроуза, во вращающейся системе координат [8]. Отметим, что наличие состояний с отрицательной энергией во вселенной Милна приводит к переходу в вакуумное состояние, отличное от вакуума в пространстве Минковского. Это можно интерпретировать как рождение квазичастиц (см. § 5.3 в [37]). Однако в данном случае это будут виртуальные частицы (см. § 9.8 в [4]), проявляющиеся в возбуждении соответствующего неинерциального детектора частиц и не оказывающие обратного влияния на метрику пространства-времени. 6. Пространство-время РиндлераШироко известен эффект Унру [5], который состоит в том, что движущийся с постоянным ускорением $a$ детектор должен фиксировать наличие квазичастиц, спектр которых носит тепловой характер, соответствующий температуре
$$
\begin{equation}
T_a=\frac{\hbar a}{2\pi ck_{\scriptscriptstyle{\mathrm B}}}\approx 4.055\cdot 10^{-21}K \,\frac{a}{1\,\text{м/с}^2},
\end{equation}
\tag{44}
$$
где $\hbar$ – приведенная постоянная Планка, $k_{\scriptscriptstyle{\mathrm B}}$ – постоянная Больцмана. Для описания движения с постоянным ускорением удобно использовать координаты Риндлера [38], которые связаны с обычными декартовыми координатами $(ct,x^1,x^2,x^3)$ соотношениями
$$
\begin{equation}
T=\frac{c}{2a}\ln\bigg|\frac{ct+x^1}{ct-x^1}\bigg|,\qquad \rho=\frac{a}{c^2}((x^1)^2-(ct)^2).
\end{equation}
\tag{45}
$$
В этих координатах метрика принимает вид
$$
\begin{equation}
ds^2=\rho a\,dT^2-\frac{c^2}{4\rho a}\,d\rho^2-d(x^2)^2- d(x^3)^2.
\end{equation}
\tag{46}
$$
Пространство-время разделяется на четыре области $\mathbb R$, $\mathbb L$, $\mathbb F$, $\mathbb P$, ограниченные изотропными гиперповерхностями $\rho=0$, $ \tau=-\infty$ и $\rho=0$, $\tau=+\infty$:
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{5} &\mathbb R: &\quad x^1&\geqslant 0,&\qquad x^1&>c|t|, \\ &\mathbb L: &\quad x^1&<0,&\qquad |x^1|&>c|t|, \\ &\mathbb F: &\quad t&\geqslant 0,&\qquad |x^1|&<c t, \\ &\mathbb P: &\quad t&\leqslant 0,&\qquad |x^1|&<c|t|. \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
В области $\mathbb R$ координата $T$ является временно́й, а $\rho$ – пространственной. Здесь обратные к (45) преобразования имеют вид
$$
\begin{equation}
t=\sqrt{\frac{\rho}{a}}\operatorname{sh}\frac{a T}{c},\qquad x^1=c\sqrt{\frac{\rho}{a}}\operatorname{ch}\frac{a T}{c}.
\end{equation}
\tag{47}
$$
Поэтому гиперболы $\rho=\rho_0=\text{const}$, $({x^2,x^3})=\text{const}$ представляют собой мировые линии частиц, движущихся с постоянным собственным ускорением $c\sqrt{a/\rho_0}$ вдоль оси $x^1$, а $T\sqrt{\rho_0 a}/c$ – собственное время этих частиц. Система отсчета, образованная совокупностью таких частиц (“наблюдателей”), накрывает всю область $\mathbb R$. Для наблюдателей из $\mathbb R$ поверхность $\rho=0$, $T=+\infty$ является горизонтом событий будущего, а поверхность $\rho=0$, $T=-\infty$ является горизонтом событий прошлого (подробности см. в [4], § 12.1). Вектор $\zeta=(1,0,0,0)$ является вектором Киллинга для метрики (46), времениподобным в области $\mathbb R$. Энергия частицы, вычисленная по формулам (23), (24), равна
$$
\begin{equation}
E=ma\frac{dt}{d\tau}(x^1-v^1 t)=\frac{mc^2}{\sqrt{1-v^2/c^2}}\frac{\rho}{(x^1+v^1t)},
\end{equation}
\tag{48}
$$
где $v^1=dx^1/dt$, $v$ – скорость в декартовой системе координат $(ct,x^1,x^2,x^3)$. Из формулы (48) следует, что в области $\mathbb R$ энергии могут быть только положительными, в области $\mathbb L$ – только отрицательными, а в областях $\mathbb F$, $\mathbb P$ возможны энергии разных знаков, а также нулевые, при $v^1=x^1/t$ (поскольку в областях $\mathbb F$, $\mathbb P$ имеет место неравенство $|x^1/t|<c$). Картина возможных знаков энергий (48) в пространстве-времени Риндлера аналогична ситуации с возможными знаками энергий для невращающейся черной дыры в координатах Крускала–Шекереса (см. рис. 1 в [39]).
7. ЗаключениеВ представленной работе мы рассмотрели различные случаи существования частиц с отрицательной и нулевой энергией в отсутствии внешних силовых полей. При измерении энергии в инерциальной системе отсчета энергия обычных массивных частиц всегда положительна. В случае гипотетических частиц, движущихся быстрее света, тахионов, энергия также положительна в любой инерциальной системе отсчета, если предположить, что справедлив принцип реинтерпретации. Отрицательная энергия свободной частицы в инерциальной системе отсчета возможна лишь в гипотетическом случае отрицательных масс частиц. Мы показали, что в неинерциальной системе отсчета всегда существует область значений координат, где энергия обычных частиц положительной массы будет отрицательной или нулевой в нерелятивистском случае. Мы рассмотрели общее определение энергии в неинерциальных системах отсчета в релятивистском случае и показали, что определения энергии релятивистской частицы через нулевую компоненту канонического импульса (23), через соответствующий вектор Киллинга (24) (при его наличии) и через тензор энергии-импульса точечной частицы (30) приводят к совпадающим результатам. Если вектор трансляций по времени оказывается пространственноподобным в некоторой области, то энергия частиц в этой области может быть отрицательной или нулевой. При этом, несмотря на наличие состояний с отрицательной энергией, требование энергодоминантности не нарушается. Таким образом, обычные частицы, энергия которых становится отрицательной для некоторого неинерциального наблюдателя, не могут быть источниками метрики объектов, подобным кротовым норам в общей теории относительности. Мы рассмотрели два примера плоского пространства-времени в неинерциальных координатах: вселенную Милна и пространство Риндлера. Для этих пространств мы нашли области, где имеют место состояния с отрицательной и нулевой энергией. На примере вселенной Милна мы показали, что в неинерциальной системе отсчета соответствующая релятивистская энергия может быть нулевой и отрицательной даже для частиц, покоящихся в некоторой инерциальной системе отсчета. БлагодарностиАвторы благодарят участников конференции MQFT-2022 за дискуссию на докладе и Д. И. Казакова за формулировку вопроса, положенного в основу названия данной статьи. Конфликт интересовАвторы заявляют, что у них нет конфликта интересов. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{GriPav23} |
|
||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|