| Теоретическая и математическая физика |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) Резонансный процесс Брейта–Уиллера в сильном электромагнитном поле В. Д. Серов, С. П. Рощупкин, В. В. Дубов Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого, Санкт-Петербург, Россия
Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2023, Volume 216, Issue 3, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0040577923090131 
Реферативные базы данных:
   1. ВведениеВ настоящее время заметный интерес вызывает теоретическое изучение процессов квантовой электродинамики (КЭД) в сильных электромагнитных полях, чему посвящено большое количество работ (см., например, [1]–[51]). Это прежде всего связано с совершенствованием высокомощных источников лазерного излучения и развитием экспериментальных методов для их возможного наблюдения [11]–[22]. Одной из отличительных особенностей описываемых процессов является то, что они могут протекать как обычно (нерезонансно), так и резонансно. Так называемые резонансы Олейника для процессов второго порядка по постоянной тонкой структуры впервые были описаны в работах [23], [24] а затем подробно обсуждены в обзорах [25], [26] и монографиях [27], [28]. Они соответствуют тому, что во внешнем поле промежуточные виртуальные состояния могут выйти на массовую оболочку и стать реальными частицами. Таким образом, изначальные процессы второго порядка эффективно распадаются на два последовательных процесса первого порядка, так как последние становятся разрешенными. При этом резонансные процессы существенно более вероятны, чем нерезонансные (см. также [29]–[31]). Интересным примером описанной выше ситуации является модифицированный внешним полем процесс Брейта–Уиллера. Это процесс образования электрон-позитронной пары двумя гамма-квантами во внешнем электромагнитном поле, который теоретически изучался во многих работах (см., например, [32]–[41]). В условиях резонанса этот процесс второго порядка эффективно распадается на два последовательных процесса первого порядка: стимулированный внешним полем процесс образования электрон-позитронной пары (процесс Брейта–Уиллера) и стимулированный внешним полем эффект Комптона. Рассмотрение резонансного случая представлено в работах [42], [43]. В работе [44] обсуждалась резонансная кинематика для процесса в сильном поле, а также качественно получено дифференциальное сечение. Основным безразмерным параметром при описании такого рода процессов является классический релятивистски-инвариантный параметр [45] численно равный отношению работы поля на длине волны к энергии покоя электрона. Здесь $e$ и $m$ – заряд и масса электрона, $F$ и $ \lambda \kern-3pt{\bar{}} =c/\omega$ – напряженность и длина волны электрического поля, $\omega$ – частота волны. В дальнейшем используется естественная система единиц $c=\hbar=1$.Следует отметить, что в случае сильного поля $(\eta\gtrsim1)$ необходимо рассматривать 4-квазиимпульс $\tilde{p}$ электрона вместо обычного 4-импульса $p$ и его эффективную массу $m_*$ вместо обычной массы $m$ [45]:
$$
\begin{equation}
\tilde{p}=p+\eta^2\frac{m^2}{(pk)}k,\qquad m_*=m\sqrt{1+\eta^2},
\end{equation}
\tag{2}
$$
где $k$ – 4-импульс фотона внешнего поля. В настоящей работе рассматривается резонансный модифицированный электромагнитным полем процесс Брейта–Уиллера в случае сильного внешнего поля. 2. Амплитуда процессаПредставим 4-потенциал внешнего электромагнитного поля в виде плоской циркулярно-поляризованной монохроматической волны, распространяющейся вдоль оси $z$:
$$
\begin{equation}
A=\frac{F}{\omega}(e_x\cos{\varphi}+\delta e_y\sin{\varphi}), \qquad \varphi=kx=\omega(t-z),\qquad\delta=\pm 1,
\end{equation}
\tag{3}
$$
где $e_x, e_y$ – 4-векторы поляризации внешнего поля, обладающие следующими свойствами:
$$
\begin{equation}
e_x=(0,\mathbf{e_x}), \qquad e_y=(0,\mathbf{e_y}), \qquad e_xe_y=0, \qquad (e_x)^2=(e_y)^2=-1.
\end{equation}
\tag{4}
$$
Модифицированный внешним полем процесс Брейта–Уиллера описывается двумя диаграммами Фейнмана (рис. 1). Амплитуда рассматриваемого процесса записывается согласно фейнмановским правилам в виде
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, S_{if}=ie^2\iint & d^4x_1\,d^4x_2\,\overline{\Psi}_{\tilde{p}_-}(x_1|A)\hat{A}_1(x_1;k_1)\times{} \notag \\ &\times G(x_2x_1|A)\hat{A}_2(x_2;k_2)\Psi_{-\tilde{p}_+}(x_2|A) + (k_1\leftrightarrow k_2), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5}
$$
где $k_{1,2}=\omega_{1,2}(1,\mathbf{n}_{1,2})$ – 4-импульсы начальных гамма-квантов, $\tilde{p}_{\pm}=(\widetilde{E}_{\pm}, \mathbf{\tilde{p}_{\pm}})$ – 4-квазиимпульсы конечной электрон-позитронной пары, а функция
$$
\begin{equation}
\Psi_{\tilde{p}}(x)=\mathfrak{J}_{\tilde{p}}(x)\frac{U_p}{\sqrt{2\widetilde{E}}}, \quad\mathfrak{J}_{\tilde{p}}(x)=\biggl[1+\frac{e}{2(pk)}\hat{k}\hat{A}(kx)\biggr]e^{iS_{\tilde{p}}(x)},\quad\hat{A}\equiv\gamma_0A^0-(\vec{\gamma}, \mathbf{A}),
\end{equation}
\tag{6}
$$
является функцией Волкова для электрона (позитрона) [46], [47], $U_p$ – дираковский биспинор. Отметим, что $\overline{\Psi}_{\tilde{p}}$ определяет дираковское сопряжение $\Psi_{\tilde{p}}$, а индекс $-\tilde{p}_+$ подчеркивает, что позитронную функцию Волкова можно формально получить из электронной заменой знака 4-квазиимпульса. Выражение (6) также содержит классическое действие электрона в поле плоской монохроматической электромагнитной волны [48]:
$$
\begin{equation}
S_{\tilde{p}}(x)=-(\tilde{p}x)-\frac{e}{(kp)}\int_0^{kx}d\varphi\,\biggl[pA(\varphi)-\frac{e}{2}A^2(\varphi)\biggr].
\end{equation}
\tag{7}
$$
Функции $A_j$ в выражении (5) определяют 4-потенциалы начальных гамма-квантов:
$$
\begin{equation}
A_j^{\mu}=\sqrt{\frac{2\pi}{\omega_j}}\,\varepsilon_j^{\mu}e^{-ik_jx}, \qquad j=1,2,
\end{equation}
\tag{8}
$$
где $\varepsilon_j^{\mu}$ являются 4-векторами поляризации начальных гамма-квантов. Функция $G(x_2x_1|A)$ в выражении (6) представляет собой функцию Грина электрона в поле плоской волны. Она записывается как следующий интеграл [49], [50]:
$$
\begin{equation}
G(x_2x_1|A)=\int\frac{d^4p}{(2\pi)^4}\,\mathfrak{J}_{\tilde{p}}(x_2)\frac{\hat{p}+ m}{p^2-m^2}\overline{\mathfrak{J}}_{\tilde{p}}(x_1).
\end{equation}
\tag{9}
$$
Отметим, что в настоящей работе не рассматривается интерференция каналов, условия для этого будут обозначены ниже. Поэтому дальнейшие выкладки делаются только для канала А, результаты для канала B получаются с помощью переобозначений импульсов. После интегрирования выражения (5) по импульсу промежуточной частицы и разложения функций Волкова из выражения (6) с помощью преобразования Фурье [51] амплитуда процесса представляется в виде суммы парциальных амплитуд: где каждая парциальная амплитуда $S_l$ соответствует поглощению или излучению $|l|$ фотонов внешней волны и может быть представлена в следующем виде:
$$
\begin{equation}
S_l=\frac{i\pi e^2(2\pi)^4e^{-id}}{\sqrt{\widetilde{E}_-\widetilde{E}_+\omega_1\omega_2}}[U_{p_-}M_{l}V_{p_+}]\delta^{(4)}(k_1+k_2-\tilde{p}_--\tilde{p}_+-lk),
\end{equation}
\tag{11}
$$
где $d$ – фаза, не зависящая от индексов суммирования, матрица $M_{l}$ имеет вид
$$
\begin{equation}
M_l=\varepsilon_{1\mu}\varepsilon_{2\nu}\sum_{r=-\infty}^{+\infty}K^{\mu}_{l+r}(\tilde{p}_-,\tilde{q}_-)\frac{\hat{q}_-+m}{\tilde{q}_-^{\,2}-m_*^2}P^{\nu}_{-r}(\tilde{q}_-,\tilde{p}_+),
\end{equation}
\tag{12}
$$
функции $K$ и $P$ определяются как
$$
\begin{equation}
K^{\mu}_{n}(\tilde{p}',\tilde{p}) =\biggl(\gamma^{\mu}+\frac{m^2\hat{k}k^{\mu}}{2(p'k)(pk)}\biggr)L_n+{} \nonumber
\end{equation}
\tag{13}
$$
$$
\begin{equation}
\quad+\frac{m\eta}{4}\biggl[\biggl(\frac{\hat{e}_-\hat{k}\gamma^{\mu}}{(p'k)}+\frac{\gamma^{\mu}\hat{k}\hat{e}_-}{(pk)}\biggr)L_{n-1}+\biggl(\frac{\hat{e}_+\hat{k}\gamma^{\mu}}{(p'k)}+\frac{\gamma^{\mu}\hat{k}\hat{e}_+}{(pk)}\biggr)L_{n+1}\biggr],
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
P^{\nu}_{n}(\tilde{p}',\tilde{p}) =\biggl(\gamma^{\nu}-\frac{m^2\hat{k}k^{\nu}}{2(p'k)(pk)}\biggr)L_n+{} \nonumber
\end{equation}
\tag{14}
$$
$$
\begin{equation}
\quad+\frac{m\eta}{4}\biggl[\biggl(\frac{\hat{e}_-\hat{k}\gamma^{\nu}}{(p'k)}-\frac{\gamma^{\nu}\hat{k}\hat{e}_-}{(pk)}\biggr)L_{n-1}+\biggl(\frac{\hat{e}_+\hat{k}\gamma^{\nu}}{(p'k)}-\frac{\gamma^{\nu}\hat{k}\hat{e}_+}{(pk)}\biggr)L_{n+1}\biggr],
\end{equation}
\notag
$$
где мы воспользовались определением $e_{\pm}\equiv e_x\pm ie_y$. В рассматриваемом случае циркулярной поляризации специальные функции $L_n$ могут быть записаны с помощью функций Бесселя с целым индексом [51]:
$$
\begin{equation}
L_n(\gamma_{\tilde{p}'\tilde{p}},\chi_{\tilde{p}'\tilde{p}})=e^{-in\chi_{\tilde{p}'\tilde{p}}} J_n(\gamma_{\tilde{p}'\tilde{p}}),
\end{equation}
\tag{15}
$$
а их аргументы определяются следующим образом:
$$
\begin{equation}
\gamma_{\tilde{p}'\tilde{p}}=m\eta\sqrt{-Q^2_{\tilde{p}'\tilde{p}}}, \qquad\operatorname{tg}\chi_{\tilde{p}'\tilde{p}}=\delta\frac{(Q_{\tilde{p}'\tilde{p}}e_y)}{(Q_{\tilde{p}'\tilde{p}}e_x)}, \qquad Q_{\tilde{p}'\tilde{p}}=\frac{\tilde{p}'}{(p'k)}-\frac{\tilde{p}}{(pk)}.
\end{equation}
\tag{16}
$$
Отметим, что матрица в выражении (13) в условиях резонанса (см. раздел 3) определяет амплитуду стимулированного внешним полем эффекта Комптона, а матрица в выражении (14) определяет амплитуду стимулированного внешним полем процесса Брейта–Уиллера. 3. Резонансная кинематикаРезонансный случай рассматриваемого процесса характеризуется четырьмя каналами, представленными диаграммами Фейнмана (рис. 2). На рис. 2 через $\tilde{q}_-$ и $\tilde{q}_+$ обозначены 4-квазиимпульсы промежуточного электрона (для каналов А и C) и позитрона (для каналов B и D), которые связаны в силу закона сохранения с 4-импульсами начальных гамма-квантов и 4-квазиимпульсами конечных частиц следующими соотношениями:
$$
\begin{equation}
\tilde{q}_{\pm}=k_2+rk-\tilde{p}_{\pm}=\tilde{p}_{\mp}+r'k-k_1.
\end{equation}
\tag{17}
$$
Здесь $r\geqslant 1$ – число поглощенных фотонов внешней волны в стимулированном внешним полем процессе Брейта–Уиллера, $r'\geqslant 1$ – число излученных фотонов в процессе стимулированного внешним полем эффекта Комптона. В условиях резонанса Олейника промежуточные состояния для всех каналов выходят на массовую оболочку. В результате этого для них выполняются законы сохранения энергии-импульса:
$$
\begin{equation}
\tilde{q}_-^{\,2}=m_*^2,\qquad\tilde{q}_+^{\,2}=m_*^2.
\end{equation}
\tag{18}
$$
Ниже мы будем рассматривать высокоэнергетические начальные гамма-кванты и ультрарелятивистские энергии конечной электрон-позитронной пары. При этом классический релятивистски-инвариантный параметр $\eta$ может принимать большие значения, ограниченные сверху условиями
$$
\begin{equation}
\eta\ll\frac{\omega_{1,2}}{m}\gg 1,\qquad\eta\ll\frac{E_{\pm}}{m}\gg 1.
\end{equation}
\tag{19}
$$
В этих условиях импульсы начальных и конечных частиц должны лежать в узком конусе углов, который должен находиться вдали от направления распространения волны [25], [26]:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \theta_{j\pm}\equiv\angle(\mathbf{k}_j, \mathbf{p}_{\pm})\ll1, \qquad\theta_j\equiv\angle(\mathbf{k}_j, \mathbf{k})\sim1,\qquad j=1,2; \\ \theta_{\pm}\equiv\angle(\mathbf{p}_{\pm}, \mathbf{k})\sim1,\qquad\theta_1\approx\theta_2=\theta. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{20}
$$
Отметим, что в условиях ультрарелятивистского приближения (19) для квазиэнергии можно получить оценку
$$
\begin{equation}
\widetilde{E}_{\pm}=E_{\pm}\biggl[1+\frac{1}{4\sin^2(\theta_{\pm}/2)}\biggl(\frac{m\eta}{E_{\pm}}\biggr)^2\biggr]\approx E_{\pm},
\end{equation}
\tag{21}
$$
поэтому при вычислениях можно заменять квазиэнергию на обычную энергию. Дальнейшее рассмотрение проводится только для канала A, результаты для остальных каналов получаются после соответствующих переобозначений индексов. Используя законы сохранения (17) и резонансные условия (18), можно получить выражения для энергий конечных частиц в единицах суммарной начальной энергии гамма-квантов ($x_{\pm}=E_{\pm}/\omega_i$, $\omega_i=\omega_1+\omega_2$):
$$
\begin{equation}
x_{+(r)} =\frac{\omega_2}{2\omega_i(\varepsilon_{\mathrm{BW}(r)}+\delta^2_{2+})}\biggl[\varepsilon_{\mathrm{BW}(r)}\pm\sqrt{\varepsilon_{\mathrm{BW}(r)}(\varepsilon_{\mathrm{BW}(r)}-1)-\delta^2_{2+}}\biggr],
\end{equation}
\tag{22}
$$
$$
\begin{equation}
x_{-(r')} =\frac{\omega_1}{2\omega_i(\varepsilon_{\mathrm{C}(r')}-\delta^2_{1-})}\biggl[\varepsilon_{\mathrm{C}(r')}+\sqrt{\varepsilon_{\mathrm{C}(r')}^2+4(\varepsilon_{\mathrm{C}(r')}-\delta^2_{1-})}\biggr].
\end{equation}
\tag{23}
$$
Здесь введены следующие обозначения:
$$
\begin{equation}
\varepsilon_{\mathrm{BW}(r)}=r\varepsilon_\mathrm{BW},\qquad\varepsilon_\mathrm{BW}=\frac{\omega_2}{\omega_\mathrm{BW}},\qquad\varepsilon_{\mathrm{C}(r')}=r'\varepsilon_\mathrm{C},\qquad\varepsilon_\mathrm{C}=\frac{\omega_1}{\omega_\mathrm{C}};
\end{equation}
\tag{24}
$$
$$
\begin{equation}
\omega_\mathrm{BW}=\frac{(2m_*)^2}{4\omega\sin^2(\theta/2)},\quad\omega_\mathrm{C}=\frac{m_*^2}{4\omega\sin^2(\theta/2)};
\end{equation}
\tag{25}
$$
$$
\begin{equation}
\delta_{2+}=\frac{\omega_2}{2m_*}\theta_{2+},\qquad\delta_{1-}=\frac{\omega_1}{m_*}\theta_{1-}.
\end{equation}
\tag{26}
$$
В соотношениях (25) $\omega_\mathrm{BW}$ – характерная энергия для стимулированного внешним полем процесса Брейта–Уиллера, а $\omega_\mathrm{C}$ – характерная энергия для стимулированного внешним полем эффекта Комптона. Величины из выражений (26) называются ультрарелятивистскими параметрами. Отметим, что хотя из выражения (22) следует, что для энергии позитрона допустимы два значения, решение со знаком плюс перед корнем будет иметь бо́льшую вероятность, чем решение со знаком минус. Это можно увидеть, если записать дифференциальное сечение процесса (см. раздел 4). Поэтому в дальнейшем мы будем рассматривать только одно решение, со знаком плюс. Выражение под корнем в уравнении (22) приводит к ограничению на минимальное число поглощенных фотонов $r$:
$$
\begin{equation}
\varepsilon_{\mathrm{BW}(r)}\geqslant 1\quad\Longleftrightarrow \quad r\geqslant\varepsilon_\mathrm{BW}^{-1}.
\end{equation}
\tag{27}
$$
Условие (27) следует рассматривать в двух ситуациях. Если энергия соответствующего начального гамма-кванта меньше характерной энергии для процесса образования пары, то существует минимальное число $r_\mathrm{min}>1$, начиная с которого соответствующие процессы будут разрешены, т. е. имеет место пороговый характер. В ином случае процессы с любыми $r\geqslant 1$ разрешены, пороговый характер отсутствует. Наличие корня в выражении (22) приводит также к ограничению на возможный угол вылета конечного позитрона, которое можно записать через следующее условие на соответствующий ультрарелятивистский параметр:
$$
\begin{equation}
0\leqslant\delta^2_{2+}\leqslant\varepsilon_{\mathrm{BW}(r)}(\varepsilon_{\mathrm{BW}(r)}-1)\equiv\delta^2_{2+\mathrm{max}}.
\end{equation}
\tag{28}
$$
Заметим, что из решения (23) для вершины с эффектом Комптона формально не следует никакого ограничения на число излученных фотонов $r'$. Однако возникает ограничение на угол вылета конечного электрона, так как величина энергии в единицах суммарной начальной энергии не может превышать единицу. Это также можно записать как условие на соответствующий ультрарелятивистский параметр:
$$
\begin{equation}
\delta^2_{1-}<\varepsilon_{\mathrm{C}(r')}\biggl(1-\frac{\omega_1}{\omega_i}\biggr)-\frac{\omega_1^2}{\omega_i^2}.
\end{equation}
\tag{29}
$$
Рассмотрение случая, когда энергия одного из начальных гамма-квантов превышает характерную энергию $\omega_\mathrm{BW}$, а у другого – существенно меньше характерной, например
$$
\begin{equation}
\omega_2>\omega_\mathrm{BW},\qquad\omega_1\ll\omega_\mathrm{BW},
\end{equation}
\tag{30}
$$
позволяет исключить интерференцию между обменными каналами. Энергии конечных частиц из соотношений (22) и (23) должны быть согласованы в силу общего закона сохранения энергии, поэтому
$$
\begin{equation}
1-x_{+(r)}(\delta^2_{2+})=x_{-(r')}(\delta^2_{1-})\begin{cases} \geqslant 1-x_{+(r)}(0),\\ \leqslant 1-x_{+(r)}(\delta^2_{2+\mathrm{max}}), \end{cases}
\end{equation}
\tag{31}
$$
что приводит к следующей зависимости углов вылета:
$$
\begin{equation}
\delta^2_{1-}=\varepsilon_{\mathrm{C}(r')}\biggl(1-\frac{\omega_1}{\omega_i(1-x_{+(r)}(\delta^2_{2+}))}\biggr)-\frac{\omega_1^2}{(\omega_i(1-x_{+(r)}(\delta^2_{2+})))^2}.
\end{equation}
\tag{32}
$$
Соотношения (31) и (32) означают, что для каждой пары $(r,r')$ угол вылета конечного электрона полностью определяется углом вылета конечного позитрона. На рис. 3 представлены графики для энергии позитрона в единицах суммарной начальной энергии для случая, соответствующего условию (30). Кривая 1 построена для решения (22) как функция $\delta^2_{2+}$. Остальные кривые получены для решения (23) с учетом соотношения (31) как функции $\delta^2_{1-}$ при значениях $r'=1,2,3$. Штриховые линии выделяют только те значения и соответствующие им интервалы углов, чтобы соблюдался закон сохранения энергии (31).  Рис. 3.Энергия позитрона в единицах суммарной начальной энергии. Кривая 1 соответствует решению (22) для $r=1$, кривые 2, 3, 4 получены из соотношения (31) для $r'=1,2,3$ соответственно. Остальные параметры: $\eta=1$ (интенсивность внешнего поля $I=1.861\cdot 10^{18}$ Вт/см$^2$), $\omega_1=4$ ГэВ, $\omega_2=180$ ГэВ. Штриховыми линиями отмечен диапазон допустимых значений. Заметим, что для получения соответствующих результатов для канала B требуется поменять местами плюсы и минусы во всех индексах, поэтому для канала B обе энергии определяются углом вылета конечного электрона. В силу этого каналы A и B различимы и не интерферируют. 4. Дифференциальное сечениеПолучим резонансное дифференциальное сечение при отсутствии интереференции каналов реакции при условии (30). Рассмотрим канал A, результаты для остальных каналов отличаются соответствующими переобозначениями импульсов. Дифференциальная вероятность в единицу времени и единицу объема для процесса получается после возведения амплитуды (5) в квадрат по модулю и усреднения выражения по поляризациям частиц. При этом отметим, что процессы с разными числами $r$ и $l$ поглощенных (излученных) фотонов внешней волны имеют существенно разные вероятности и энергии электрон-позитронной пары и, следовательно, не интерферируют. Поэтому в матрице $M_l$ (12) можно убрать суммирование по $r$, введя
$$
\begin{equation}
M_{l,r}=\varepsilon_{1\mu}\varepsilon_{2\nu}K^{\mu}_{l+r}(\tilde{p}_-,\tilde{q}_-)\frac{\hat{q}_-+m}{\tilde{q}_-^{\,2}-m_*^2}P^{\nu}_{-r}(\tilde{q}_-,\tilde{p}_+),
\end{equation}
\tag{33}
$$
и рассматривать парциальные амплитуды для каждой пары $(r,l)$ по отдельности. Дифференциальное сечение получается после деления дифференциальной вероятности на плотность потока начальных гамма-квантов, которая берется в виде [48]
$$
\begin{equation}
j=\frac{(k_1k_2)}{\omega_1\omega_2}=\frac{m^2_*}{2\omega_1\omega_2}\delta^2_{12},\qquad\delta^2_{12}\equiv\frac{\omega_1\omega_2}{m^2_*}\theta^2_{12},\qquad\theta_{12}\equiv\angle(\mathbf{k}_1, \mathbf{k}_2)\ll1,
\end{equation}
\tag{34}
$$
где введен дополнительный ультрарелятивистский параметр. Дифференциальное парциальное сечение для пары $(r,l)$ можно записать в виде
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, d\sigma_{l,r}=\frac{2m^4r^2_e}{\delta_{12}^2\widetilde{E}_-\widetilde{E}_+(1+\eta^2)}&\frac{K_{(l+r)}(u_{1-},v_{1-})P_{(r)}(u_{2+},v_{2+})}{|\tilde{q}_-^{\,2}-m_*^2|^2}\times{} \notag \\ &\times \delta^{(4)}(k_1+k_2-\tilde{p}_--\tilde{p}_+-lk)\,d^3\tilde{p}_-\,d^3\tilde{p}_+, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{35}
$$
где $r_e=e^2/m$ – классический радиус электрона,
$$
\begin{equation}
K_{(l+r)}(u_{1-}, v_{1-})= -4J^2_{l+r}(\gamma_{l+r}(u_{1-}, v_{1-}))+{} \nonumber
\end{equation}
\tag{36}
$$
$$
\begin{equation}
+\eta^2\biggl[2+\frac{u_{1-}^2}{1+u_{1-}}\biggr](J^2_{l+r-1}+J^2_{l+r+1}-2J^2_{l+r}),
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
P_{(r)}(u_{2+},v_{2+})= J^2_{r}(\gamma_r(u_{2+},v_{2+}))+\eta^2(2u_{2+}-1)\times{} \nonumber
\end{equation}
\tag{37}
$$
$$
\begin{equation}
\times \biggl[\biggl(\frac{r^2}{\gamma_r^2(u_{2+},v_{2+})}-1\biggr)J^2_{r}+J'^2_{r}\biggr]
\end{equation}
\notag
$$
– функции, определяющие вероятности эффекта Комптона и процесса образования пары соответственно [45]. Аргументы функций Бесселя можно представить в виде
$$
\begin{equation}
\gamma_n(u,v)=2n\frac{\eta}{\sqrt{1+\eta^2}}\sqrt{\frac{u}{v}\biggl(1-\frac{u}{v}\biggr)},
\end{equation}
\tag{38}
$$
в это выражение нужно подставлять соответствующие кинематические инварианты
$$
\begin{equation}
u_{1-}=\frac{(k_1k)}{(p_-k)}=\frac{\omega_1}{\omega_ix_{-(l+r)}},\qquad v_{1-}=\frac{2r'(q_-k)}{m^2_*}=\varepsilon_{\mathrm{C}(l+r)}\biggl(\frac{\omega_ix_{-(l+r)}}{\omega_1}-1\biggr),
\end{equation}
\tag{39}
$$
$$
\begin{equation}
u_{2+}=\frac{(k_2k)^2}{4(p_+k)(q_-k)}=\frac{\omega_2}{4\omega_ix_+(1-(\omega_ix_{+(r)})/\omega_2)},\qquad u_{2+}=\varepsilon_{\mathrm{BW}(r)}.
\end{equation}
\tag{40}
$$
Для устранения резонансной бесконечности в выражении (35) применяется процедура Брейта–Вигнера [25], [26], суть которой заключается в мнимой добавке к эффективной массе в знаменателе:
$$
\begin{equation}
m_*\longrightarrow\mu_*=m_*+i\Gamma_{(l+r)},\qquad\Gamma_{(l+r)}=\frac{\tilde{q}_-^{\,0}}{2m_*}W_{(l+r)},
\end{equation}
\tag{41}
$$
где $\Gamma_{(l+r)}$ – радиационная ширина, $W_{(l+r)}$ – полная вероятность (в единицу времени) стимулированного внешним полем эффекта Комптона на промежуточном электроне с 4-импульсом $q_-$ [45],
$$
\begin{equation}
W_{(l+r)}=\frac{\alpha m^2}{4\pi\tilde{q}_-^{\,0}}H_{(l+r)}(v_{1-}),\qquad H_{(l+r)}(v_{1-})=\int_0^{v_{1-}}\frac{du}{(1+u)^2}K_{(l+r)}(u,v_{1-}),
\end{equation}
\tag{42}
$$
$\alpha$ – постоянная тонкой структуры. Принимая во внимание, что в ультрарелятивистском приближении
$$
\begin{equation}
d^3\tilde{p}_+\approx\widetilde{E}_+^2\,d\widetilde{E}_+\,d\Omega_{2+}\approx E_+^2\,dE_+^2\,d\Omega_{2+},\qquad d\Omega_{2+}\approx\theta_{2+}\,d\theta_{2+}\,d\varphi_{2+}=\frac{2m^2_*}{\omega_2^2}\,d\delta^2_{2+},
\end{equation}
\tag{43}
$$
парциальное сечение (35) можно проинтегрировать с дельта-функцией по импульсу конечного электрона и энергии конечного позитрона, а также по азимутальному углу, окончательно получим
$$
\begin{equation}
\frac{d\sigma_{l,r}}{d\delta^2_{2+}}=\frac{\pi r^2_em^2}{2\delta^2_{12}(1+\eta^2)^2}\frac{K_{(l+r)}(u_{1-},v_{1-})P_{(r)}(u_{2+},v_{2+})}{\omega_i^2x_{+(r)}(1-x_{+(r)})[(\delta^2_{2+}-\delta^2_{2+(r)})^2+\Upsilon^2_{(l+r)}]},
\end{equation}
\tag{44}
$$
где параметр $\delta^2_{2+(r)}$ связан с резонансом из соотношения (22), а $\delta^2_{2+}$ изменяется независимо от резонансной энергии позитрона. Здесь $\Upsilon_{(l+r)}$ – угловая радиационная ширина, определяемая как
$$
\begin{equation}
\Upsilon_{(l+r)}=\frac{\alpha m\omega_2}{16\omega_ix_{+(r)}\sqrt{1+\eta^2}}H_{(l+r)}(v_{1-}).
\end{equation}
\tag{45}
$$
При условии
$$
\begin{equation}
(\delta^2_{2+}-\delta^2_{2+(r)})^2\ll\Upsilon^2_{(l+r)}
\end{equation}
\tag{46}
$$
получается максимальное дифференциальное сечение, которое может быть представлено в виде
$$
\begin{equation}
\frac{d\sigma_{l,r(\mathrm{max})}}{d\delta^2_{2+}}=r^2_eC_{i\eta}R_{l,r}(\delta^2_{2+}),
\end{equation}
\tag{47}
$$
где постоянная
$$
\begin{equation}
C_{i\eta}=\frac{128\pi^3\omega_i^2} {\alpha^2\delta^2_{12}\omega_2^2}
\end{equation}
\tag{48}
$$
зависит только от начальных параметров, а функция
$$
\begin{equation}
R_{l,r}(\delta^2_{2+})=\frac{x_{+(r)}P_{(r)} (u_{2+},v_{2+})}{1-x_{+(r)}}\frac{K_{(l+r)}(u_{1-},v_{1-})}{H^2_{(l+r)}(v_{1-})}
\end{equation}
\tag{49}
$$
является спектрально-угловым распределением. В нерезонансном случае дифференциальное сечение для процесса Брейта–Уиллера имеет порядок квадрата классического радиуса электрона $(d\sigma_\mathrm{BW}\sim r^2_e)$ [48], поэтому произведение $C_{i\eta}R_{l,r}$, которое является резонансным дифференциальным сечением в единицах $r_e^2$, является отношением резонансного сечения к нерезонансному по порядку величины. Графики этой величины с $r=1$ в случаях с $r'=1,2,3$ (при условии (30)) представлены на рис. 4. Видно, что сечение убывает при увеличении $r'$. Также резонансное сечение значительно (вплоть до шести порядков величины) превышает нерезонансное. 5. ЗаключениеВ работе рассмотрен модифицированный резонансный процесс Брейта–Уиллера в сильном электромагнитном поле. Выход промежуточного состояния на массовую оболочку приводит к особой кинематике процесса, которая детально проанализирована. Подтверждено общее предположение о том, что энергии конечных частиц определяются их углами вылета, характерными параметрами стимулированных внешним полем эффекта Комптона и процесса Брейта–Уиллера, а также интенсивностью внешнего поля. Изучаемый процесс может иметь пороговый характер для минимального числа поглощенных фотонов внешней волны, которое увеличивается с ростом интенсивности внешнего поля, а также зависит от начальных параметров (экспериментальной установки). Физически это связано с наличием стимулированного внешним полем процесса Брейта–Уиллера первого порядка. Дифференциальное сечение для рассматриваемого процесса получено в случае отсутствия интерференции каналов. Показано, что оно может значительно превышать соответствующее сечение в отсутствие внешнего поля (нерезонансное). Анализ полученных результатов будет продолжен в дальнейшем. Полученные теоретические результаты могут быть подвергнуты экспериментальной проверке в международных научно-исследовательских центрах (ELI, SLAC, XCEL, ZEUS и др.). Конфликт интересовАвторы заявляют, что у них нет конфликтов интересов.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{SerRosDub23} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|