| Теоретическая и математическая физика |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 2 научных статьях (всего в 2 статьях) Об одном классе квадратичных законов сохранения для уравнений Ньютона в евклидовом пространстве А. В. Цыганов, Е. О. Порубов Санкт-Петербургский государственный университет, Санкт-Петербург, Россия
Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2023, Volume 216, Issue 2, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0040577923080111 
Реферативные базы данных:
   1. ВведениеИсследование вопроса о существовании интегралов движения тесно связано с выбором того функционального класса, в котором ищутся первые интегралы. Обычно выделяют полиномиальные, рациональные, алгебраические и неалгебраические интегралы движения [1]–[10]. В данной работе мы обсуждаем известные интегрируемые системы, описывающие движение в евклидовом пространстве, которые обладают, как минимум, двумя квадратичными по скоростям законами сохранения, тогда как остальные интегралы движения являются полиномами старших степеней по скоростям (импульсам). Наиболее часто квадратичные интегралы движения возникают при рассмотрении гамильтоновых систем, интегрируемых методом разделения переменных. Действительно, пусть $A$ и $B$ – пара невырожденных симметричных тензоров второго порядка в евклидовом пространстве $\mathbb R^n$, которые порождают пару квадратичных полиномов по импульсам
$$
\begin{equation*}
T_A=\sum_{i,j} A^{ij}p_ip_j, \qquad T_B=\sum_{i,j} B^{ij}p_ip_j.
\end{equation*}
\notag
$$
Эти полиномы находятся в инволюции, $\{T_A,T_B\}=0$, относительно стандартной скобки Пуассона на кокасательном расслоении $T^*\mathbb R^n$, если скобка Схоутена между тензорами $A$ и $B$ равна нулю, Скобка Схоутена позволяет перейти к геометрическому описанию динамической системы, т. е. заменить уравнение $\{T_A,T_B\}=0$ на фазовом пространстве на уравнение $[\![A,B]\!]=0$ на конфигурационном пространстве, а затем использовать геометрические свойства конфигурационного пространства при изучении свойств динамических систем. Например, если спектральная задача имеет $n$ различных вещественных собственных значений и отвечающие им собственные векторы нормальны, т. е. ортогональные дополнения любого собственного вектора образуют интегрируемое распределение [11], [12], то тензоры $A$ и $B$ порождают $n$-мерное линейное пространство тензорных полей второго порядка, которые находятся в инволюции и имеют общие собственные векторы [13]–[15].Это позволяет построить $n$ независимых полиномов второго порядка по импульсам на кокасательном расслоении $T^*\mathbb R^n$
$$
\begin{equation*}
T_1=\sum_{i,j} A^{ij}p_ip_j,\quad T_2=\sum_{i,j} B^{ij}p_ip_j,\quad T_3=\sum_{i,j} K_3^{ij}p_ip_j,\quad\ldots,\quad T_n=\sum_{i,j} K_n^{ij}p_ip_j
\end{equation*}
\notag
$$
в инволюции, относительно канонических скобок Пуассона
$$
\begin{equation}
\{q_i,q_j\}=0,\qquad \{p_i,p_j\}=0,\qquad \{q_i,p_j\}=\delta_{ij},\qquad i,j=1,\ldots,n.
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
Добавляя подходящие потенциалы
$$
\begin{equation*}
H_1=T_1+V_1(q_1,\ldots,q_n),\quad H_2=T_2+V_2(q_1,\ldots,q_n),\quad\ldots,\quad H_n=T_n+V_n(q_1,\ldots,q_n),
\end{equation*}
\notag
$$
получаем $n$-мерное пространство первых интегралов [13] (см. также [16], [17]). Исторические детали и более полный список соответствующих ссылок можно найти в работах [18], [19]. Другими словами, два тензора $A$ и $B$ определяют эквивалентные метрики с общими геодезическими тогда и только тогда, когда их можно привести к некоторым специальным нормальным формам [13], [15], [20]. При этом оказывается, что соответствующий геодезический поток интегрируем и обладает полным набором квадратичных по импульсам интегралов движения. После этого рассматривается вопрос о добавлении к гамильтониану нетривиальных потенциалов с сохранением свойства интегрируемости в данном функциональном классе квадратичных по импульсам интегралов движения [6], [7], [16], [17], [21]. Для того чтобы получить что-то новое, мы предлагаем отказаться от привычной схемы первоначального рассмотрения интегрируемых геодезических потоков и дальнейшего добавления к полученным интегралам движения подходящих потенциалов. Действительно, если сразу рассматривать движение в потенциальном поле, можно найти ряд новых примеров тензоров второго порядка $A$ и $B$, которые также определяют интегрируемые и суперинтегрируемые системы в евклидовом пространстве [22]–[25]. При этом соответствующая спектральная задача (1.1) не имеет необходимого набора различных вещественных собственных значений и нормальных собственных векторов, т. е. уравнение Гамильтона–Якоби не допускает разделения переменных в любой из известных криволинейных ортогональных систем координат евклидова пространства. Далее мы изучаем свойства тензоров второго порядка $A$ и $B$ в евклидовом пространстве $\mathbb R^n$, отвечающих квадратичным законам сохранения, которые возникают при изучении гамильтоновых интегрируемых систем, связанных с иерархией многокомпонентных нелинейных уравнений Шредингера [26]–[29]. В этом случае соответствующая спектральная задача (1.1) также не имеет необходимого набора различных вещественных собственных значений и нормальных собственных векторов, что нисколько не мешает интегрируемости по Лиувиллю. Несмотря на то что ряд явных выражений для гамильтонианов отвечающих эрмитовым симметрическим пространствам типов A.III, BD.I, C.I и D.III в классификации Картана, были воспроизведены в различных учебниках (см., например, [30]–[33]), исследование соответствующих полиномиальных по импульсам интегралов движения проведено не было. В данной работе мы частично исправим этот недостаток.1.1. Интегрируемые системы и симметрические пространстваОдносвязное симметрическое пространство является однородным пространством $G / K$, где $G$ – группа Ли, а $K$ – ее подгруппа, которая является группой изотропии данного симметрического пространства. Для любого эрмитова симметрического пространства $G/K$ существует элемент подалгебры Картана $\mathcal A$ алгебры Ли $\mathfrak g$ группы $G$ такой, что:
$$
\begin{equation*}
\langle X,Y\rangle=b\, \operatorname{tr} (X\cdot Y),\qquad b\in\mathbb R,
\end{equation*}
\notag
$$
мы можем определить метрику
$$
\begin{equation*}
\mathrm g^{\alpha,\beta}=\langle e_\alpha,e_\beta\rangle,
\end{equation*}
\notag
$$
для которой $b$ играет роль постоянной гауссовой кривизны, и тензор кривизны Римана с компонентами
$$
\begin{equation*}
\mathcal R_{\alpha,\beta, \gamma, \delta}=\langle [ e_{\alpha}, e_{\beta}], [ e_{\gamma}, e_{\delta}]\rangle.
\end{equation*}
\notag
$$
Точные определения и все необходимые детали и ссылки можно найти в учебнике [34]. Более точно, тензоры $\mathrm g$ и $\mathcal R$ обладают свойствами метрики и тензора Римана [26], что позволяет отождествить $\mathrm g$ с метрикой евклидова пространства и использовать $\mathcal R$ для построения потенциала в евклидовом пространстве. Используя инволюцию Картана $\sigma$, мы можем построить разложение скрученной аффинной алгебры $\mathcal L(\mathfrak g,\sigma)=\mathcal L_++\mathcal L_-$ на две подалгебры, построить соответствующую этому разложению классическую $r$-матрицу и описать орбиты алгебры $\mathcal L_-$ в дуальном пространстве $\mathcal L^*_-$, проходящие через точку $\mathcal A\lambda^2$ [26], [28], [29]. Сдвиг орбиты на произвольный элемент подалгебры Картана $\Lambda$, который играет ключевую роль в наших вычислениях, порождает следующую матрицу Лакса:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, L(\lambda)=\lambda^2 \mathcal A&+\lambda\sum_{\alpha} q^\alpha(e_\alpha-e_{-\alpha})-\frac{1}{a}\sum_{\alpha} \mathrm g^{\alpha,-\alpha}p_\alpha(e_\alpha+e_{-\alpha})+{} \notag \\ & +\frac{1}{a}\sum_{\alpha,\beta}q_\alpha q_\beta[e_\alpha,e_{-\beta}]+\Lambda. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{1.3}
$$
Мы используем обозначения из работы [28], так что $q_\alpha$ – декартовы координаты в евклидовом пространстве, $p_\alpha$ – отвечающие им моменты, которые мы далее будем обозначать $q_i$ и $p_i$, для которых скобка Пуассона имеет вид (1.2). Суммирование в (1.3) идет по всем корням $\alpha$ и $\beta,$ принадлежащим подмножеству $\Delta_+$. Соответствующий гамильтониан
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, H=\frac{1}{4}\operatorname{tr}L^2(\lambda)\Bigl|_{\lambda=0} ={}& \frac12\sum_{\alpha}\mathrm g^{\alpha,-\alpha}p_\alpha^2-\frac14\sum_{\alpha,\beta,\gamma,\delta} \mathcal R_{-\alpha,\beta,\gamma,-\delta}q^\alpha q^\beta q^\gamma q^\delta+{} \notag \\ &+\frac12\sum_\alpha \omega_\alpha (q^\alpha)^2 \end{aligned}
\end{equation}
\tag{1.4}
$$
зависит от произвольных “частот” $\omega_\alpha$, которые являются функциями от элементов матрицы $\Lambda$. Отвечающие этому гамильтониану уравнения движения Ньютона в евклидовом пространстве имеют вид
$$
\begin{equation}
\ddot{q}^\alpha=\sum_{\beta,\gamma,\delta} \mathcal R^\alpha_{\beta,\gamma,-\delta}q^\beta q^\gamma q_\delta-\omega_\alpha q_\alpha,\qquad \alpha,\beta,\gamma,\delta=1,\ldots, N.
\end{equation}
\tag{1.5}
$$
Согласно [28] матрица Лакса (1.3) порождает также некоторое количество квадратичных интегралов движения, коммутирующих с гамильтонианом $H$ (1.4), В этом случае $A=\mathrm g$ – стандартная метрика в евклидовом пространстве, а $B=K$ – тензор Киллинга, который удовлетворяет уравнению Киллинга
$$
\begin{equation}
\nabla_iK^{jk} + \nabla_jK^{ki} + \nabla_kK^{ij} = 0,
\end{equation}
\tag{1.6}
$$
где $\nabla$ – связность Леви-Чивиты для метрики $\mathrm g$. Предложение 1. В общем случае существует независимый от квадратичных интегралов движения $H_i^{(2)}$ интеграл движения четвертого порядка по импульсам главная часть которого определяется тензором $\mathcal R$. В частном случае ангармонического осциллятора или системы Гарнье данный полином четвертого порядка выражается через квадратичные интегралы движения [28]. Соответствующий тензор второго порядка $S^{\alpha,\beta}$ и потенциал $W$ мы явно выписывать не будем, так как они не имеют отношения к основной цели данной работы. Когда все параметры $\omega_\alpha=0$, т. е. $\Lambda=0$, гамильтониан $H$ (1.4) коммутирует с семейством некоммутативных линейных интегралов движения, связанных с различными комбинациями вращений. В этом случае спектральные инварианты матрицы Лакса порождают семейство коммутирующих интегралов движения, число которых не позволяет говорить об интегрируемости по Лиувиллю в общем случае, как и в случае полной цепочки Тоды [35]. То есть для доказательства интегрируемости необходимо использовать также и другие тензорные инварианты, связанные с матрицей Лакса. Если параметры $\omega_\alpha\neq 0$, матрица Лакса $L(\lambda)$ (1.3) порождает необходимое число интегралов движения, которые являются полиномами второй, четвертой, шестой и т. д. степеней по импульсам. Главные части этих полиномов
$$
\begin{equation}
H_i^{(2\ell)}=\sum_{j,k,\dots, m}^{2\ell} K_i^{j,k,\dots, m} p_jp_k\dots p_m+\cdots,\qquad \ell=1,2,\dots,
\end{equation}
\tag{1.8}
$$
определяют тензоры Киллинга валентности $2\ell$ в евклидовом пространстве $\mathbb R^n$, В данной работе, используя кручение Хаантьеса [11], мы рассмотрели несколько тензоров Киллинга второго порядка и доказали, что спектральная задача (1.1) не имеет необходимого количества вещественных простых собственных значений и нормальных собственных векторов. 1.2. Тензоры Киллинга второго порядка в евклидовом пространствеВекторные поля Киллинга являются генераторами локальных симметрий метрики конфигурационного пространства. Например, в евклидовом пространстве стандартный базис сдвигов и вращений где $\partial_i=\frac{\partial}{\partial q_i}$, позволяет описывать различные симметрии данной физической системы. По теореме Нётер этим симметриям отвечают линейные по скоростям законы сохранения, связанные с преобразованиями координат в пространстве-времени. Например, для инвариантных относительно вращений физических систем интегралами движения будут линейные комбинации компонент тензора углового момента $J$, Если интегралом движения является квадрат углового момента или спина, для их описания не достаточно векторов Киллинга, и нам необходимо использовать тензоры Киллинга.Тензоры Киллинга ранга $m$ связаны с наличием полиномиальных интегралов движения, которые имеют $m$-й порядок по скоростям. Поскольку с тензорами Киллинга ранга $m>1$ не связано преобразование координат в пространстве-времени, их принято отождествлять с так называемыми скрытыми симметриями [21]. Для построения тензоров старших порядков принято использовать теорию Вейля о тензорных произведениях. Например, в евклидовом пространстве тензор Киллинга второго порядка в общем случае имеет вид
$$
\begin{equation}
K=\sum_{i,j} a_{ij} X_i\circ X_j+\sum_{i,j,k} b_{ijk} X_i\circ X_{j,k}+\sum_{i,j,k,m} c_{ijkm} X_{i,j}\circ X_{k,m},
\end{equation}
\tag{1.10}
$$
где $a_{ij}, b_{ijk}$ и $c_{ijm}$ – произвольные параметры, а $\circ$ обозначает симметрическое произведение векторных полей Киллинга. Размерность векторного пространства тензоров Киллинга валентности $m$ в $n$-мерном евклидовом пространстве дается формулой Делонга–Такеучи–Томпсона
$$
\begin{equation*}
d=\frac{1}{n}\binom{n+m}{m+1}\binom{n+m-1}{m}=\frac{1}{n}\binom{n+2}{3}\binom{n+1}{2}=\frac{n(n + 2)(n + 1)^2}{12}.
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь мы положили $m=2$ в нашем случае тензоров второго порядка для нахождения полного числа независимых параметров $a_{ij}, b_{ijk}$ и $c_{ijm}$, входящих в определение (1.10) общего решения уравнения Киллинга (1.6). Так как мы отказываемся от рассмотрения геодезических потоков и сразу переходим к движению в потенциальном поле, то все тензоры Киллинга второго порядка, связанные с гамильтонианом $H=T+V$ (1.4), можно найти, непосредственно решая уравнение это означает, что 1-форма $KdV$ является точной. Напомним, что уравнение (1.11) на конфигурационном пространстве получается из уравнения на фазовом пространстве
$$
\begin{equation*}
\biggl\{\,\sum_{i,j}^n\mathrm g^{ij} p_ip_j+V(q), \sum_{i,j}^n K^{ij} p_ip_j+U(q)\biggr\}=0,
\end{equation*}
\notag
$$
которое отвечает за инволюцию интегралов движения относительно скобки Пуассона (1.2). Здесь $V$ – функция в $\mathbb R^n$, а выражение $KdV$ обозначает 1-форму Киллинга, компоненты которой имеют вид $\mathrm g_{ij} K^{jk} \partial_k V$, $\mathrm g_{ij}$ – тензор, обратный тензору $\mathrm g^{ij}$. Подставляя общее решение уравнения Киллинга $K$ (1.10) и потенциал
$$
\begin{equation}
V=\frac14\sum_{\alpha,\beta,\gamma,\delta} \mathcal R_{-\alpha,\beta,\gamma,-\delta}q^\alpha q^\beta q^\gamma q^\delta -\frac12\sum_\alpha \omega_\alpha (q^\alpha)^2
\end{equation}
\tag{1.12}
$$
в уравнение (1.11), получим линейную систему уравнений на коэффициенты $a_{ij}$, $b_{ijk}$ и $c_{ijkm}$. Решая с помощью современных компьютерных средств данную систему уравнений, мы получим искомые тензоры Киллинга [36]. Для краткости под тензором Киллинга мы далее будем понимать тензорные поля типов (2,0), (1,1) и (0,2), так как существует метрический тензор $\mathrm g$, который можно использовать для изменения типа тензорного поля. Для изучения свойств полученных решений уравнения (1.11) можно использовать следующие критерии. Тензорное поле $K$ типа (1,1) имеет простые собственные значения, если
$$
\begin{equation}
D=\operatorname{det} \begin{pmatrix} S_0&S_1&\cdots &S_{n-1}\\ S_1&S_2&\cdots &S_n\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ S_{n-1}&S_n&\cdots&S_{2n-2} \end{pmatrix} \neq 0,\qquad S_m=\operatorname{tr}(K^m).
\end{equation}
\tag{1.13}
$$
Это следствие из теоремы Сильвестра о дискриминанте $D$ алгебраического уравнения в приложении к характеристическому уравнению $\operatorname{det}(A-\lambda B)=0$ для симметрического тензора $K$. Тензор Киллинга $K$ с простыми собственными числами обладает нормальными собственными векторами тогда и только тогда, когда выполняются условия Нийенхейса [12]
$$
\begin{equation}
\mathcal N^m _{[j k }\mathrm g_{i ]m }=0,\qquad \mathcal N^m _{[j k }K_{i ]m }=0,\qquad \mathcal N^m _{[j k }K_{i ]\ell}K^\ell_m =0.
\end{equation}
\tag{1.14}
$$
Входящие в уравнения квадратные скобки означают антисимметризацию по трем индексам $i ,j ,k$, а $N$ – тензор Нийенхейса или кручение Нийенхейса тензора $K$, В терминах локальных координат $q=(q_1,\ldots,q_n)$ элементы антисимметрического тензорного поля $\mathcal N_K$ типа (1,2) выглядят следующим образом:
$$
\begin{equation*}
\mathcal N^i_{jk}=\sum_{m=1}^n\frac{\partial {K}^i_k} {\partial q_m} {K}^m_j -\frac{\partial {K}^i_j} {\partial q_m} {K}^m_k+\biggl(\frac{\partial {K}^m_j} {\partial q_k} -\frac{\partial {K}^m_k} {\partial q_j}\biggr) {K}^i_m.
\end{equation*}
\notag
$$
Вместо условий Нийенхейса (1.14) в качестве критерия нормальности собственных векторов тензора Киллинга $K$ относительно метрики $\mathrm g$ можно использовать условие равенства нулю тензора Хаантьеса или кручения Хаантьеса [11]
$$
\begin{equation*}
\mathcal H_K(X,Y)=K^2\mathcal N(X,Y)-K\mathcal N(KX,Y)-K\mathcal N(X,KY)+\mathcal N(KX,KY).
\end{equation*}
\notag
$$
В терминах локальных координат $q=(q_1,\ldots,q_n)$ условие $\mathcal H_K(X,Y)=0$ является системой уравнений следующего вида:
$$
\begin{equation}
\mathcal {H}^i_{jk}=\sum _{m,\ell=1}^n K^i_m K^m_\ell \mathcal N^\ell_{jk} + \mathcal N^i_{m \ell}K^m_j K^\ell_k- K^i_m( \mathcal N^m_{\ell k} K^\ell_j+ \mathcal N^m_{j \ell } K^\ell_k)=0.
\end{equation}
\tag{1.15}
$$
Эти уравнения являются уравнениями четвертого порядка по элементам тензора Киллинга $K$, тогда как уравнения Нийенхейса являются уравнениями второго, третьего и четвертого порядков по элементам тензора $K$, которые можно рассматривать последовательно (см. обсуждение в [18], [19]). Тензоры Нийенхейса и Хаантьеса определяют деформацию структур неассоциативных и альтернированных алгебр в касательном расслоении $TQ$ многообразия $Q$ [37]. В силу этого тензоры Нийенхейса и Хаантьеса используются во многих задачах математической физики, однако основные применения этих тензоров связаны именно с условиями их тривиальности $\mathcal N_K(X,Y) = 0$ и $\mathcal H_K(X,Y) = 0$ (см. [38]). Поэтому нам практически ничего не известно о тензорах, которые не удовлетворяют условиям Нийенхейса. Ниже доказано, что связанные с гамильтонианом $H$ (1.4) тензоры Киллинга $K$ (1.8) валентности 2 имеют ненулевое кручение Хаантьеса $\mathcal H(K)\neq 0$. Таким образом, построение необходимого для интегрируемости по Лиувиллю числа независимых коммутирующих интегралов движения является открытым вопросом, если ограничиться рамками классической евклидовой геометрии, т. е. без использования матриц Лакса. 2. Симметрические пространства типа A.IIIРассмотрим уравнения движения (1.5) в евклидовом пространстве $\mathbb R^{mn}$ и соответствующий гамильтониан $H$ (1.4), связанный с римановой парой
$$
\begin{equation*}
SU(m+n)/S(U(m)\times U(n)),\qquad 1<m\leqslant n,\quad n+m\geqslant 4.
\end{equation*}
\notag
$$
Используем представление $su(m+n)$ матрицами размерности $(m+n)\times (m+n)$ с блочно-матричной структурой [39], [26]–[28], связанной со следующим декартовым разложением:
$$
\begin{equation*}
\mathfrak{g} \equiv \mathfrak k\oplus \mathfrak m,\qquad \mathfrak k=s(u(m) \oplus u(n)),
\end{equation*}
\notag
$$
в котором подалгебра $\mathfrak k$ состоит из блочно-диагональных матриц вида
$$
\begin{equation*}
\mathfrak k \simeq \begin{pmatrix} u(m) & 0\\ 0 & u(n) \end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
При этом элементы дополняющего подпространства $\mathfrak m$ имеют вид
$$
\begin{equation*}
X\in \mathfrak m\quad\rightarrow\quad X=\sum_{\alpha\in \Delta_+} (X^\alpha e_\alpha+X^{-\alpha}e_{-\alpha}),
\end{equation*}
\notag
$$
в котором генераторы Вейля, отвечающие подмножеству корневой системы $\Delta_+$, реализуются в виде нижнетреугольных матриц в которых единственный ненулевой элемент стоит на пересечении $i$-й строки и $j$-го столбца. Мы используем немного другую нормировку, чем в работах [26]–[28], [39], и поэтому представим соответствующую матрицу Лакса (1.3) в явном матричном виде:
$$
\begin{equation}
L(\lambda)= \begin{pmatrix} -2\lambda^2 I_m +QQ^\mathrm{T}+a&0 \\ 0 & 2\lambda^2 I_n-Q^\mathrm{T}Q+b \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} 0 & P-2\mathrm{i}\lambda Q \\ P^\mathrm{T}+2\mathrm{i}\lambda Q^\mathrm{T} & 0 \end{pmatrix},
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
где $I_m$ и $I_n$ – единичные $(m\times m)$- и $(n\times n)$-матрицы, $a$ и $b$ – диагональные матрицы, зависящие от $m$ вещественных чисел $a_k$ и $n$ вещественных чисел $b_i$,
$$
\begin{equation*}
a=\mathrm{diag}_m(a_1,\ldots,a_m),\qquad b=\mathrm{diag}_n(b_1,\ldots,b_n),\qquad a_i,b_i\in \mathbb{R},
\end{equation*}
\notag
$$
индекс $\mathrm{T}$ обозначает транспонирование, $\mathrm{i}=\sqrt{-1}$ – мнимая единица. Матрицы $Q$ и $P$ – это $(m\times n)$-матрицы, линейно зависящие от декартовых координат $q_i$ и импульсов $p_i$,
$$
\begin{equation*}
Q_{ij}=q_{(i-1)n+j},\qquad P_{ij}=p_{(i-1)n+j},\qquad i=1,\ldots,m,\quad j=1,\ldots,n,
\end{equation*}
\notag
$$
т. е.
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, Q&=\begin{pmatrix} q_1& q_2&\cdots &q_n\\ q_{n+1} &q_{n+2}&\cdots & q_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ q_{n(m-1)+1}&q_{n(m-1)+2}&\cdots & q_{mn} \end{pmatrix},\\ P&=\begin{pmatrix} p_1&p_2&\cdots &p_n\\ p_{n+1} &p_{n+2}&\cdots &p_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ p_{n(m-1)+1}&p_{n(m-1)+2}&\cdots &p_{mn} \end{pmatrix}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
Для рассматриваемого симметрического пространства типа A.III гамильтониан (1.4) имеет вид
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, H={}&\frac14 \operatorname{tr} L^2\Bigl|_{\lambda=0}-\frac14\sum_{j=1}^ m a_j^2-\frac{1}{4}\sum_{i=1}^n b_i^2= \frac12\sum_{i=1}^n p_i^2+\frac12\sum_{j=0}^{m-1}\biggl(\,\sum_{i=1}^n q_{jn+i}^2\biggr)^2+{} \notag\\ &+\sum_{k,j=0; k>j}^{m-1}\biggl(\,\sum_{i=1}^n q_{jn+i}q_{kn+i}\biggr)^2 +\frac12\sum_{j=0}^{m-1}a_{j+1}\biggl(\,\sum_{i=1}^n q_{jn+i}^2\biggr) -\frac12\sum_{i=1}^n b_i\biggl( \sum_{j=0}^{m-1}q_{jn+i}^2\biggr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
Когда $a_i\neq 0$ и $b_i\neq 0$, существуют два базиса в пространстве интегралов движения, получаемых из характеристического полинома матрицы Лакса которые связаны с представлениями алгебр $so(m)$ и $so(n)$ соответственно. Поскольку все эти интегралы движения находятся в инволюции относительно скобок Пуассона (1.2). 2.1. Первый базис в пространстве интегралов движенияРассмотрим вычеты функции
$$
\begin{equation}
\Delta_1(z,\lambda)=\frac{\tau(z,\lambda)}{\prod_{i=1}^m (z-a_i+2\lambda^2)}
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
по переменной $z$ в $m$ точках $z=a_i-2\lambda^2$
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Res} \Delta_1(z,\lambda)\bigl|_{z=a_i-2\lambda^2}=\sum_{k=0}^{n-1} \lambda^{2k} h^{( 2(n-k))}_i,\qquad i=1,\ldots,m.
\end{equation*}
\notag
$$
Так как $m\leqslant n$, коэффициенты $h^{( 2(n-k))}$ являются полиномами по импульсам порядка не более $2m$. Предложение 2. Для интегрируемых систем, связанных с симметрическими эрмитовыми пространствами типа A.III, существует базис из $mn$ независимых интегралов движения, среди которых
Квадратичные интегралы движения имеют вид
$$
\begin{equation}
h_i^{(2)}=\sum_{k\neq i}^m \frac{M_{ik}^2}{a_i-a_k} + t_i(p)+v_i(q),
\end{equation}
\tag{2.5}
$$
где функции
$$
\begin{equation*}
M_{ik}=\sum^n J_{ j\ell},\qquad J_{j\ell}=q_jp_\ell-q_\ell p_j,
\end{equation*}
\notag
$$
определяют реализацию элементов алгебры Ли $so^*(m)$ в виде линейной комбинации из $n$ вращений $X_{j,\ell}$ (1.9) в конфигурационном пространстве $\mathbb R^{mn}$. Функции $t_i(p)$ отвечают последовательности $n$ сдвигов $X_\ell$ (1.9) а потенциалы $v_i(q)$ в (2.5) – полиномы четвертого порядка по координатам $q_j$. Соответствующие тензоры Киллинга не удовлетворяют условиям Нийенхейса (1.4), и их кручения Хаантьеса не равны нулю. 2.2. Второй базис в пространстве интегралов движенияРассмотрим вычеты функции
$$
\begin{equation}
\Delta_2(z,\lambda)=\frac{\tau(z,\lambda)}{\prod_{i=1}^n (z-b_i-2\lambda^2)}
\end{equation}
\tag{2.6}
$$
по переменной $z$ в $n$ точках $z=b_i+2\lambda^2$
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Res} \Delta_2(z,\lambda)\bigl|_{z=b_i+2\lambda^2}=\sum_{k=0}^{m-1} \lambda^{2k} H^{( 2(m-k))}_i,\qquad i=1,\ldots,n.
\end{equation*}
\notag
$$
Коэффициенты $H^{( 2(m-k))}_i$ при различных степенях $\lambda$ являются полиномиальными интегралами движения степени не более $2m$. Предложение 3. Для интегрируемых систем, связанных с симметрическими эрмитовыми пространствами типа A.III, существует базис из $mn$ независимых интегралов движения, среди которых
$$
\begin{equation}
H_i^{(2)}= \sum_{k\neq i}^n \frac{N_{ik}^2}{b_i-b_k} +T_i(p)+U_i(q),
\end{equation}
\tag{2.7}
$$
где функции
$$
\begin{equation*}
N_{ik}=\sum^m J_{ j\ell},\qquad J_{j\ell}=q_jp_\ell-q_\ell p_j,
\end{equation*}
\notag
$$
определяют реализацию элементов алгебры Ли $so^*(n)$ в виде линейной комбинации $m$ вращений $X_{i,\ell}$ (1.9) в конфигурационном пространстве $\mathbb R^{mn}$. Функции $T_i(p)$ отвечают последовательности из $m$ сдвигов $X_\ell$ вдоль осей координат (1.9) а потенциалы $U_i(q)$ в (2.7) – полиномы четвертого порядка по координатам. Соответствующие тензоры Киллинга не удовлетворяют условиям Нийенхейса (1.14), и их кручения Хаантьеса не равны нулю. Таким образом, существует $m+n-1$ независимых квадратичных интегралов движения
$$
\begin{equation*}
h_1^{(2)}+\cdots+h_m^{(2)}=2H=H_1^{(2)}+\cdots+H_n^{(2)},
\end{equation*}
\notag
$$
связанных с линейными комбинациями вращений в конфигурационном пространстве, отвечающих представлениям алгебр $so^*(m)$ и $so^*(n)$. Предложение 4. Мы предполагаем, что уравнения движения (1.5), определяемые гамильтонианом $H$ (2.3), обладают только этими $n+m-1$ независимыми квадратичными законами сохранения в инволюции. Для доказательства этого предложения необходимо оценить размерность пространства решений уравнения (1.11) для потенциалов, входящих в определение гамильтониана (2.3). 2.3. Пример: $so(m+n)$ при $m=n=2$Рассмотрим движение в четырехмерном евклидовом пространстве $\mathbb R^4$, когда в определении квадратичных законов сохранения возникают левые и правые изоклинные двойные вращения (смещения Клиффорда), которые являются основными объектами в классической геометрии четырехмерного евклидова пространства и теории алгебр Клиффорда [40]–[42]. В этом примере $(4\times 4)$-матрицу Лакса можно выписать явно:
$$
\begin{equation}
L(\lambda)=\left(\begin{smallmatrix} q_1^2 + q_2^2 + a_1-2\lambda^2 & q_1q_3 + q_2q_4 & p_1 - 2\mathrm{i}\lambda q_1 & p_2 - 2\mathrm{i}\lambda q_2 \\ q_1q_3 + q_2q_4 & q_3^2 + q_4^2 + a_2-2\lambda^2 & p_3 - 2\mathrm{i}\lambda q_3 & p_4 - 2\mathrm{i}\lambda q_4 \\ p_1 - 2\mathrm{i}\lambda q_1& p_3 - 2\mathrm{i}\lambda q_3 & b_1-q_1^2 - q_3^2+2\lambda^2 & -q_1q_2 - q_3q_4 \\ p_2 - 2\mathrm{i}\lambda q_2& p_4 - 2\mathrm{i}\lambda q_4 & -q_1q_2 - q_3q_4 & b_2- q_2^2 - q_4^2 +2\lambda^2 \end{smallmatrix}\right).
\end{equation}
\tag{2.8}
$$
Соответствующий гамильтониан $H$ (2.3) имеет вид
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, H={}&\frac{p_1^2}{2} +\frac{p_2^2}{2} +\frac{p_3^2}{2}+\frac{p_4^2}{2} +\frac12(q_1^2 + q_2^2)^2 + \frac12(q_3^2 + q_4^2)^2 + (q_1q_3 + q_2q_4)^2+{} \notag\\ &+\frac{a_1-b_1}{2}q_1^2 +\frac{a_1-b_2}{2}q_2^2 + \frac{a_2-b_1}2q_3^2 +\frac{a_2-b_2}{2} q_4^2. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.9}
$$
Спектральная кривая матрицы Лакса $L(\lambda)$ (2.8) не является гиперэллиптической кривой рода $g=5$, она определяется характеристическим уравнением
$$
\begin{equation*}
\mathcal C\!:\quad\operatorname{det}( zI-L(\lambda))=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Первый базис в пространстве интегралов движенияОба вычета функции (2.4)
$$
\begin{equation*}
\Delta(z,\lambda)=\frac{\operatorname{det}(zI-L(\lambda))}{(z-a_1+2\lambda^2)(z-a_2+2\lambda^2)}
\end{equation*}
\notag
$$
по переменной $z$ в точках $z=a_{1,2}-2\lambda^2$ являются полиномами второго порядка по $\lambda$:
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Res}\bigl|_{z=a_i-2\lambda^2} \Delta(z,\lambda)=4\lambda^2 f_i+g_i,\qquad i=1,2,
\end{equation*}
\notag
$$
в которых коэффициенты $f_{1,2}$ и $g_{1,2}$ – это полиномы второго и четвертого порядков по импульсам соответственно. Вычисление вычета на бесконечности
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Res}\bigl|_{z=\infty} \Delta(z,\lambda)=-4\lambda^2 (f_1+f_2) -(g_1+g_2)
\end{equation*}
\notag
$$
позволяет найти связи между коэффициентами $f_{1,2}$ и $g_{1,2}$: где $\tilde{f}_3$ – полином второго порядка по импульсам, который не зависит от $f_{1,2}$. Выпишем квадратичные интегралы движения:
$$
\begin{equation}
f_1=-\frac{M_{12}^2}{a_1-a_2}+p_1^2+p_2^2+ v_1,\qquad f_2= \frac{M_{12}^2}{a_1-a_2}+p_3^2+p_4^2+v_2,
\end{equation}
\tag{2.10}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, v_1&=(q_1^2 + q_2^2 + q_3^2 + a_1 - b_1)q_1^2 + (q_1^2+q_2^2 + q_4^2 + a_1 - b_2)q_2^2 + 2q_1q_2q_3q_4, \\ v_2&=(q_1^2 + q_3^2 + q_4^2 + a_2 - b_1) q_3^2 + (q_2^2+q_3^2 + q_4^2 + a_2 - b_2) q_4^2 + 2q_1q_2q_3q_4, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
а $M_{12}$ – функция, связанная с двойным вращением в пространстве $\mathbb R^4$,
$$
\begin{equation*}
M_{12}=J_{1,3}+J_{2,4}=(q_1p_3-q_3p_1)+(q_2p_4-q_4p_2).
\end{equation*}
\notag
$$
Эта функция коммутирует с отвечающими сдвигам слагаемыми в определении коэффициентов $f_{1,2}$ (2.10), и с функцией, описывающей второе независимое двойное вращение в $\mathbb R^4$,
$$
\begin{equation*}
N_{12}=J_{1,2}+J_{3,4}=( q_1p_2 -q_2p_1) + (q_3p_4 - p_3q_4)
\end{equation*}
\notag
$$
так, что Эта функция входит в следующую комбинацию интегралов движения:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, f_3&=(b_1 + b_2)H - g_1 - g_2 - a_1f_1 - a_2f_2={} \\ &=N_{12}^2 -\frac{1}{2}(b_1-b_2)((q_1^2 + q_2^2 + q_3^2 + q_4^2)(q_1^2 - q_2^2 + q_3^2 - q_4^2)+{}\\ &\hphantom{={}}+(q_1^2-q_2^2)a_1 + (q_3^2-q_4^2)a_2- (q_1^2+q_3^2)b_1 + (q_2^2+q_4^2)b_2). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
При $b_1=b_2$ линейный интеграл движения $N_{12}$ является функцией от интегралов движения $f_{1,2}$ и $g_{1,2}$, образующих первый базис в пространстве интегралов движения. Второй базис в пространстве интегралов движенияОба вычета функции (2.6)
$$
\begin{equation*}
\Delta(z,\lambda)=\frac{\operatorname{det}(zI-L(\lambda))}{(z-b_1-2\lambda^2)(z-b_2-2\lambda^2)}
\end{equation*}
\notag
$$
по переменной $z$ в точках $z=b_{1,2}+2\lambda^2$ являются полиномами второго порядка по $\lambda$,
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Res}\bigl|_{z=b_i+2\lambda^2} \Delta(z,\lambda)=-4\lambda^2 F_i+G_i,\qquad i=1,2,
\end{equation*}
\notag
$$
в которых коэффициенты $F_{1,2}$ и $G_{1,2}$ – это полиномы второго и четвертого порядков по импульсам соответственно. Вычисление вычета на бесконечности
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Res}\bigl|_{z=\infty} \Delta(z,\lambda)=8\lambda^2 H -(G_1+G_2)
\end{equation*}
\notag
$$
позволяет найти связи между коэффициентами $F_{1,2}$ и $G_{1,2}$: где $\widetilde{F}_3$ – полином второго порядка по импульсам, который не зависит от $F_{1,2}$. Выпишем квадратичные интегралы движения:
$$
\begin{equation*}
F_1=\frac{N_{12}^2}{b_1-b_2} + p_1^2 + p_3^2+V_1,\qquad F_2=-\frac{N_{12}^2}{b_1-b_2} + p_2^2 + p_4^2+V_2,
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, V_1&=(q_1^2+q_2^2 + q_3^2 +a_1- b_1)q_1^2 + (q_1^2+q_3^2 + q_4^2+a_2- b_1)q_3^2 + 2q_1q_2q_3q_4, \\ V_2&=(q_1^2+q_2^2 + q_4^2 +a_1- b_2)q_2^2 + (q_2^2+q_3^2 + q_4^2 +a_2- b_2)q_4^2+2q_1q_2q_3q_4. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь $N_{12}$ – функция, связанная с двойным вращением в $\mathbb R^4$:
$$
\begin{equation*}
N_{12}=J_{1,2}+J_{3,4}=( q_1p_2 -q_2p_1) + (q_3p_4 - p_3q_4),
\end{equation*}
\notag
$$
которая коммутирует с отвечающими сдвигам слагаемыми в определении $F_{1,2}$, и с отвечающей второму двойному вращению функцией
$$
\begin{equation*}
M_{12}=J_{1,3}+J_{2,4}=( q_1p_3 -q_3p_1) + (q_2p_4 - p_2q_4),
\end{equation*}
\notag
$$
которая входит в определение квадратичных интегралов движения $f_{1,2}$ (2.10) из первого базиса. Эта функция также появляется в комбинации интегралов движения
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, F_3&=G_1+G_2-b_1F_1-b_2F_2-(a_1 + a_2)H={} \\ &=M_{12}^2+\frac{1}{2}(a_1 - a_2)( p_3^2 + p_4^2 - p_1^2 - p_2^2 + (q_1^2 - q_3^2)b_1 + (q_2^2 - q_4^2)b_2 -{}\\ &\hphantom{={}}- (q_1^2 + q_2^2)a_1 + (q_3^2 + q_4^2)a_2 - (q_1^2 + q_2^2)^2 + (q_3^2 + q_4^2)^2). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
При $a_1=a_2$ линейный интеграл движения $N_{13}$ является функцией интегралов $F_{1,2}$ и $G_{1,2}$, которые задают второй базис в пространстве интегралов движения. Итак, мы предъявили шесть полиномов $f_1,f_2,f_3$ и $F_1,F_2,F_3$ второго порядка по импульсам, среди которых только $m+n-1=3$ функционально независимы. Непосредственные вычисления показывают, что соответствующие тензоры Киллинга валентности 2 имеют ненулевое кручение Хаантьеса. Можно проверить, что полином $G=\operatorname{tr}L^4(\lambda=0)$ четвертого порядка по импульсам (1.7) не выражается через эти полиномы второго порядка по импульсам. 2.4. Пример: $so(m+n)$ при $m=2$ и $n=3$В этом примере $(5\times 5)$-матрица Лакса имеет вид
$$
\begin{equation*}
L(\lambda)=\left( \begin{smallmatrix} q_1^2 + q_2^2 +q_3^2+ a_1-2\lambda^2 & q_1q_4 + q_2q_5 + q_3q_6 & p_1 - 2\mathrm{i}\lambda q_1 & p_2 - 2\mathrm{i}\lambda q_2&p_3 - 2\mathrm{i}\lambda q_3 \\ q_1q_4 + q_2q_5 + q_3q_6 & q_4^2 + q_5^2 + q_6^2 + a_2-2\lambda^2 & p_4 - 2\mathrm{i}\lambda q_4 & p_5 - 2\mathrm{i}\lambda q_5&p_6 - 2\mathrm{i}\lambda q_6 \\ p_1 + 2\mathrm{i}\lambda q_1& p_4 + 2\mathrm{i}\lambda q_4 & b_1-q_1^2 - q_4^2+2\lambda^2 &-q_1q_2 - q_4q_5 &-q_1q_3 - q_4q_6\\ p_2 + 2\mathrm{i}\lambda q_2& p_5 + 2\mathrm{i}\lambda q_5 & -q_1q_2 - q_4q_5 & b_2- q_2^2 - q_5^2 +2\lambda^2&-q_2q_3 - q_5q_6 \\ p_3 + 2\mathrm{i}\lambda q_3& p_6 + 2\mathrm{i}\lambda q_6 &-q_1q_3 - q_4q_6 &-q_2q_3 - q_5q_6&b_3- q_3^2 - q_6^2 +2\lambda^2 \end{smallmatrix}\right),
\end{equation*}
\notag
$$
а гамильтониан $H$ (1.4), (2.3) имеет вид
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, H={}&\frac12 \sum_{i=1}^6 p_i^2+\frac{(q_1^2 + q_2^2 + q_3^2)^2}{2} +\frac{(q_4^2 + q_5^2 + q_6^2)^2}{2}+ (q_1q_4 + q_2q_5 + q_3q_6)^2-{} \notag\\ &-\frac{q_1^2+ q_4^2}{2}b_1 -\frac{q_2^2+ q_5^2}{2}b_2 -\frac{q_3^2+ q_6^2}{2}b_3 +\frac{q_1^2 + q_2^2 + q_3^2}{2}a_1 +\frac{q_4^2 + q_5^2 + q_6^2}{2}a_2. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.11}
$$
При $a_i=0$ и $b_k=0$ этот гамильтониан инвариантен относительно четырех вращений (1.9) конфигурационного пространства $\mathbb R^6$:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, Y_1&=(q_1\partial_4-q_1\partial_4) + (q_2\partial_5-q_5\partial_2) +(q_3\partial_6-q_6\partial_3),\\ Y_2&= (q_1\partial_2-q_2\partial_1) + (q_4\partial_5-q_5\partial_4),\\ Y_3&=(q_1\partial_3-q_3\partial_1)+(q_4\partial_6-q_6\partial_4),\\ Y_4&=(q_2\partial_3-q_3\partial_2)+(q_5\partial_6-q_6\partial_5), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.12}
$$
т. е. производная Ли вдоль этих векторных полей равна нулю:
$$
\begin{equation*}
\mathcal L_{Y_j}H=0,\quad j=1,\dots,4,\quad\text{при}\quad a_i=0,\,\, b_k=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Наличие этих четырех симметрий приводит к существованию четырех линейных по импульсам интегралов движения, часть из которых не коммутирует друг с другом. Уравнение спектральной кривой $(5\times 5)$-матрицы Лакса содержит пять коммутирующих функций $H,F_1, F_2$ и $G_1, G_2$:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \tau(z,\lambda)={}&z^5 - 2\lambda^2 z^4 - 2(4\lambda^4 + H)z^3 + (16\lambda^6 + 4H\lambda^2 + F_1)z^2+(16\lambda^8 +{}\\ & + 8H\lambda^4 - 4F_2^2\lambda^2 + G_1)z - 32\lambda^{10} - 16H\lambda^6 + (8F_2^2 - 4F_1)\lambda^4 - 2G_1\lambda^2 +G_2, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где квадратичные по импульсам интегралы движения
$$
\begin{equation*}
F_1=M_{12}^2-N_{12}^2-N_{13}^2-N_{23}^2,\qquad F_2=M_{12}^2
\end{equation*}
\notag
$$
связаны с симметриями $Y_k$ (2.12) (см. явные выражения для $M_{12}$ (2.14) и $N_{ij}$ (2.15) ниже). Функции $G_{1,2}$ являются полиномами четвертого порядка по импульсам, которые функционально независимы от $H,F_1,F_2$. В качестве недостающего независимого шестого интеграла движения можно взять любой линейный интеграл движения $N_{ij}$, который тем не менее формально не порождается спектральными инвариантами $(5\times 5)$-матрицы Лакса. Таким образом, для доказательства интегрируемости в рамках метода классической $r$-матрицы необходимо найти недостающий шестой интеграл движения, используя другие тензорные инварианты матрицы Лакса, как и для полной цепочки Тоды [35]. В общем случае при $a_i\neq 0$ и $b_k\neq0$ добавляемые нами в потенциал слагаемые (2.11) неинвариантны относительно вращений $Y_i$ (2.12), тем не менее спектральная кривая матрицы Лакса $L(\lambda)$ не является гиперэллиптической кривой шестого рода, что позволяет нам сразу получить шесть независимых полиномиальных интегралов движения в инволюции, которые уже не принадлежат классу полиномов второй степени по импульсам. Первый базис в пространстве интегралов движенияНайдем вычеты функции $\Delta(z,\lambda)$ (2.4)
$$
\begin{equation*}
\Delta(z,\lambda)=\frac{\operatorname{det}(zI-L(\lambda))}{(z-a_1+2\lambda^2)(z-a_2+2\lambda^2)}
\end{equation*}
\notag
$$
по переменной $z$ в двух точках $z=a_{1,2}-2\lambda^2$,
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Res}\bigl|_{z=a_i-2\lambda^2} \Delta(z,\lambda)=-16\lambda^4 f_i+\lambda^2 g_i+w_i,\qquad i=1,2.
\end{equation*}
\notag
$$
Коэффициенты $f_{1,2}$ – полиномы второго порядка по импульсам, а $g_{1,2}$ и $w_{1,2}$ – полиномы четвертого порядка по импульсам. Выпишем выражения для квадратичных интегралов движения:
$$
\begin{equation}
f_1=-\frac{M_{12}^2}{b_1-b_2}+p_1^2 + p_2^2 + p_3^2 +v_1,\qquad f_2=\frac{M_{12}^2}{b_1-b_2}+p_4^2 + p_5^2 + p_6^2 +v_2,
\end{equation}
\tag{2.13}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, v_1={}&(q_1^2 + q_2^2 + q_3^2 + q_4^2 + a_1 - b_1 ) q_1^2 + (q_1^2 + q_2^2 + q_3^2 + q_5^2 + a_1 - b_2 ) q_2^2+{} \\ &+(q_1^2 + q_2^2 + q_3^2 + q_6^2 + a_1 - b_3 ) q_3^2+ 2 q_1q_2 q_4 q_5 + 2q_1 q_3 q_4 q_6 + 2 q_2 q_3 q_5 q_6,\\ v_2={}&(q_1^2 + q_4^2 + q_5^2 + q_6^2 + a_2 - b_1 ) q_4^2 + (q_2^2 + q_4^2 + q_5^2 + q_6^2 + a_2 - b_2 ) q_5^2+{}\\ &+(q_3^2 + q_4^2 + q_5^2 + q_6^2 + a_2 - b_3 ) q_6^2+ 2 q_1 q_2q_4 q_5 + 2 q_1 q_3q_4 q_6 + 2 q_2 q_3 q_5 q_6. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Так как вычет на бесконечности
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Res}\bigl|_{z=\infty} \Delta(z,\lambda)=32\lambda^4 H -\lambda^2(g_1+g_2)-(w_1+w_2),\qquad f_1 + f_2 - 2H=0,
\end{equation*}
\notag
$$
то сумма этих интегралов движения равна удвоенному гамильтониану. Функция $M_{12}$ связана с тройным вращением конфигурационного пространства $\mathbb R^6$, так как $n=3$:
$$
\begin{equation}
M_{12}=J_{14}+J_{25}+J_{36}=(q_1p_4-p_4q_1) + (q_2p_5-p_2q_5) +(q_3p_6-p_3q_6).
\end{equation}
\tag{2.14}
$$
Различные комбинации базисных элементов $f_{1,2}$, $g_{1,2}$ и $w_{1,2}$ также связаны с различными двойными вращениями в $\mathbb R^6$. Например, полином второго порядка по импульсам
$$
\begin{equation*}
f_3=2(b_1 + b_2 + b_3)H + \frac{g_1 + g_2}{4} - 2a_1f_1 - 2a_2f_2
\end{equation*}
\notag
$$
равен
$$
\begin{equation*}
f_3=N_{12}^2 + N_{13}^2 + N_{23}^2+(p_1^2 + p_4^2)b_1 + (p_2^2 + p_5^2)b_2 + (p_3^2 + p_6^2)b_3+v_3,
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, N_{12}&= J_{12}+J_{45}=(q_1p_2-p_1q_2) + (q_4p_5-p_4q_5),\\ N_{13}&=J_{13}+J_{46}=(q_1p_3-p_1q_3)+(q_4p_6-p_4q_6),\\ N_{23}&=J_{23} +J_{56}=(q_2p_3-p_2q_3)+(q_5p_6-p_5q_6) \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.15}
$$
и
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, v_3={}& (q_1^4 + q_1^2 q_2^2 + q_1^2 q_3^2 + 2 q_1^2 q_4^2 + 2 q_1 q_2 q_4 q_5 + 2 q_1 q_3 q_4 q_6 + q_4^4 + q_4^2 q_5^2 + q_4^2 q_6^2 + a_1 q_1^2 + {}\\ &+a_2 q_4^2) b_1+ (q_1^2 q_2^2 + 2 q_1 q_2 q_4 q_5 + q_2^4 + q_2^2 q_3^2 + 2 q_2^2 q_5^2 + 2 q_2 q_3 q_5 q_6 + q_4^2 q_5^2 + q_5^4 + {}\\ &+ q_5^2 q_6^2 +a_1 q_2^2 + a_2 q_5^2) b_2+ (q_1^2 q_3^2 + 2 q_1 q_3 q_4 q_6 + q_2^2 q_3^2 + 2 q_2 q_3 q_5 q_6 + q_3^4 + 2 q_3^2 q_6^2 + {}\\ &+q_4^2 q_6^2 + q_5^2 q_6^2+q_6^4 + a_1 q_3^2 + a_2 q_6^2) b_3-(q_1^2 + q_4^2) b_1^2- (q_2^2 + q_5^2) b_2^2-(q_3^2 + q_6^2) b_3^2. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Второй базис в пространстве интегралов движенияВычислим вычеты функции $\Delta(z,\lambda)$ (2.6)
$$
\begin{equation*}
\Delta(z,\lambda)=\frac{\operatorname{det}(zI-L(\lambda))}{(z-b_1-2\lambda^2)(z-b_2-2\lambda^2)(z-b_3-2\lambda^2)}
\end{equation*}
\notag
$$
по переменной $z$ в трех точках $z=b_{i}+2\lambda^2$,
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Res}\bigl|_{z=b_i+2\lambda^2} \Delta(z,\lambda)=4\lambda^2 F_i+G_i,\qquad i=1,2,3.
\end{equation*}
\notag
$$
Шесть коэффициентов $F_i$ и $G_i$ являются полиномами второго и четвертого порядков по импульсам соответственно. Вычет на бесконечности
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Res}\bigl|_{z=\infty} \Delta(z,\lambda)=8\lambda^2 H -(G_1+G_2+G_3),\qquad 2H+F_1+F_2+F_3=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Квадратичные интегралы движения определяются двойными вращениями и двойными сдвигами (2.7) конфигурационного пространства:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, F_1={}&{-}\frac{N_{12}^2}{b_1 - b_2} -\frac{ N_{13}^2}{b_1 - b_3}-p_1^2 - p_4^2 - (q_1^2+q_2^2 + q_3^2 + 2q_4^2 +a_1-b_1)q_1^2-{} \\ &-( q_4^2 +q_5^2 + q_6^2+a_2- b_1)q_4^2-2 (q_2q_5 +q_3q_6)q_1q_4, \\ F_2={}&{-}\frac{ N_{21}^2 }{b_2 - b_1} -\frac{N_{23}^2}{b_2 - b_3}-p_2^2-p_5^2 -(q_1^2+q_2^2 + q_3^2 + 2q_5^2 +a_1-b_2)q_2^2-{} \\ &-( q_4^2+q_5^2+ q_6^2 + a_2 - b_2)q_5^2-2 (q_1q_4+q_3q_6)q_2q_5, \\ F_3={}&{-}\frac{N_{31}^2}{b_3-b_1} -\frac{ N_{32} ^2}{b_3-b_2}-p_3^2-p_5^2-(q_1^2 + q_2^2+q_3^2 - 2q_6^2+a_1-b_3)q_3^2-{} \\ &- (q_4^2 + q_5^2+q_6^2 + a_2 -b_3)q_6^2-2(q_1q_4 +q_2q_5)q_3q_6. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Функции $N_{ij}=-N_{ji}$ (2.15) можно рассматривать как реализацию элементов алгебры Ли $so^*(3)$ с помощью двойных вращений конфигурационного пространства $ \mathbb R^6$, так как
$$
\begin{equation*}
\{N_{12}, N_{13}\} = N_{23},\qquad \{N_{13}, N_{23}\}=N_{12},\qquad \{N_{23}, N_{12}\}=N_{13}.
\end{equation*}
\notag
$$
Старший член независимого от $F_1,F_2$ и $F_3$ полинома второго порядка по импульсам
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, F_4&=G_1+G_2+G_3-b_1F_1-b_2F_2-b_3F_3-(a_1+a_2)H={}\\ &=M_{12}^2-\frac{a_1-a_2}{2}(p_1^2 + p_2^2 + p_3^2-p_4^2 - p_5^2 - p_6^2+ V_4) \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
содержит функцию $M_{12}$ (2.14), связанную с тройным вращением в $\mathbb R^6$. Соответствующий потенциал
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, V_4={}&(q_1^2 + q_2^2 + q_3^2 + q_4^2 + q_5^2 + q_6^2) (q_1^2 + q_2^2 + q_3^2 - q_4^2 - q_5^2 - q_6^2)+{}\\ &+ (q_1^2 + q_2^2 + q_3^2) a_1 - (q_4^2 + q_5^2 + q_6^2) a_2 - (q_1^2 - q_4^2) b_1 - (q_2^2 - q_5^2) b_2 - (q_3^2 - q_6^2) b_3. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
При $a_1=a_2$ линейный интеграл движения $M_{12}$ является функцией от базисных элементов $F_k$ и $G_k$ в пространстве интегралов движения. Итак, в случае $m=2$ и $n=3$ мы предъявили семь квадратичных по импульсам интегралов движения $f_1,f_2,f_3$ и $F_1,F_2,F_3,F_4$. Непосредственные вычисления показывают, что соответствующие тензоры Киллинга валентности 2 имеют нетривиальное кручение Хаантьеса. Среди этих интегралов движения только $m+n-1=4$ функционально независимы. Как и ранее, можно проверить, что полином четвертого порядка по импульсам $G=\operatorname{tr}L^4(\lambda=0)$ (1.7) не выражается через эти полиномы второго порядка по импульсам. 2.5. Пример: $so(m+n)$ при $m=n=3$Выпишем явно $(6\times 6)$-матрицу Лакса:
$$
\begin{equation}
L(\lambda)=\begin{pmatrix} L_{11}&L_{12}\\ L_{21}&L_{22} \end{pmatrix},
\end{equation}
\tag{2.16}
$$
в которой $(3\times 3)$-блоки имеют вид
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, L_{11}&=\left(\begin{smallmatrix} -2 \lambda^2 + q_1^2 + q_2^2 + q_3^2 + a_1& q_1 q_4 + q_2 q_5 + q_3 q_6& q_1 q_7 + q_2 q_8 + q_3 q_9\\ q_1 q_4 + q_2 q_5 + q_3 q_6& -2 \lambda^2 + q_4^2 + q_5^2 + q_6^2 + a_2& q_4 q_7 + q_5 q_8 + q_6 q_9\\ q_1 q_7 + q_2 q_8 + q_3 q_9& q_4 q_7 + q_5 q_8 + q_6 q_9& -2 \lambda^2 + q_7^2 + q_8^2 + q_9^2 + a_3& \end{smallmatrix}\right), \\ L_{22}&=\left(\begin{smallmatrix} 2 \lambda^2 - q_1^2 - q_4^2 - q_7^2 + b_1& -q_1 q_2 - q_4 q_5 - q_7 q_8& -q_1 q_3 - q_4 q_6 - q_7 q_9\\ -q_1 q_2 - q_4 q_5 - q_7 q_8& 2 \lambda^2 - q_2^2 - q_5^2 - q_8^2 + b_2& -q_2 q_3 - q_5 q_6 - q_8 q_9\\ -q_1 q_3 - q_4 q_6 - q_7 q_9& -q_2 q_3 - q_5 q_6 - q_8 q_9& 2 \lambda^2 - q_3^2 - q_6^2 - q_9^2 + b_3 \end{smallmatrix}\right), \\ L_{12}&=\left(\begin{smallmatrix} p_1 - 2\mathrm{i} \lambda q_1& p_2 - 2\mathrm{i} \lambda q_2& p_3 - 2\mathrm{i} \lambda q_3\\ \\ p_4 - 2\mathrm{i} \lambda q_4& p_5 - 2\mathrm{i} \lambda q_5& p_6 - 2\mathrm{i} \lambda q_6\\ p_7 - 2\mathrm{i} \lambda q_7& p_8 - 2\mathrm{i} \lambda q_8& p_9 - 2\mathrm{i} \lambda q_9 \end{smallmatrix}\right),\qquad L_{21}=\left(\begin{smallmatrix} p_1 + 2\mathrm{i} \lambda q_1& p_4 + 2\mathrm{i} \lambda q_4& p_7 + 2\mathrm{i} \lambda q_7\\ p_2 + 2\mathrm{i} \lambda q_2& p_5 + 2\mathrm{i} \lambda q_5& p_8 + 2\mathrm{i} \lambda q_8\\ p_3 + 2\mathrm{i} \lambda q_3& p_6 + 2\mathrm{i} \lambda q_6& p_9 + 2\mathrm{i} \lambda q_9\\ \end{smallmatrix}\right). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Гамильтониан $H$ (2.3) имеет вид
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, H={}&\frac12 \sum_{i=1}^9 p_i^2+\frac{(q_1^2 + q_2^2 + q_3^2)^2}{2} +\frac{(q_4^2 + q_5^2 + q_6^2)^2}{2} +\frac{(q_7^2 + q_8^2 + q_9^2)^2}{2}+{} \\ &+ (q_1q_4 + q_2q_5 + q_3q_6)^2+ (q_1q_7 + q_2q_8 + q_3q_9)^2 + (q_4q_7 + q_5q_8 + q_6q_9)^2-{} \\ &-\frac{q_1^2+ q_4^2+ q_7^2}{2}b_1 -\frac{q_2^2+ q_5^2+ q_8^2}{2}b_2 -\frac{q_3^2+ q_6^2+ q_9^2}{2}b_3+{} \\ &+\frac{q_1^2 + q_2^2+ q_3^2}{2}a_1 +\frac{q_4^2 + q_5^2 + q_6^2}{2}a_2 + \frac{q_7^2 + q_8^2 + q_9^2}{2}a_3. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Первый базис в пространстве интегралов движенияВычеты функции (2.4)
$$
\begin{equation*}
\Delta(z,\lambda)=\frac{\operatorname{det}(zI-L(\lambda))}{(z-a_1+2\lambda^2)(z-a_2+2\lambda^2)(z-a_3+2\lambda^2)}
\end{equation*}
\notag
$$
по переменной $z$ определяют полиномы четвертой степени по переменной $\lambda$,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\operatorname{Res}\bigl|_{z=a_i+2\lambda^2} \Delta(z,\lambda)=16\lambda^4 f_i+\lambda^2 g_i+s_i,\qquad i=1,2,3. \\ &\operatorname{Res}\bigl|_{z=\infty} \Delta(z,\lambda)=32H\lambda^4 -(g_1+g_2+g_3)\lambda^2-(s_1+s_2+s_3). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Девять коэффициентов $f_i$, $g_i$ и $s_i$ являются полиномами второй, четвертой и шестой степеней по импульсам. Выпишем квадратичные интегралы движения:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, f_1={}&\frac{M_{12}^2}{a_1 - a_2} +\frac{M_{13}^2}{a_1 - a_3}-p_1^2 - p _{2}^2 - p_{3}^2 -(2{q_2}^{2}+2{q_3}^{2}+{q_4}^{2}+{q_7}^{2}+a_1-b_1){q_1}^{2}-{} \\ &- (2 {q_3}^{2}-{q_5}^{2}-{q_8}^{2}-{a_1}+{b_2}){q_2}^{2} -({q_3}^{2}+{q_6}^{2}+{q_9}^{2}+{a_1}-{b_3}) {q_3}^{2}-{} \\ &- 2{q_2}{q_3} ({q_5}{q_6}+{q_8} {q_9})- 2 q_1 q_2 ( q_4 q_5 + q_7 q_8) - 2 q_1 q_3 (q_4 q_6+q_7 q_9)- {q_1}^{4}-{q_2}^{4}, \\ f_2={}&\frac{M_{21}^2}{a_2 - a_1} +\frac{M_{23}^2}{a_2 - a_3}-p_4^2 - p_5^2 - p_6^2 -({q_1}^{2}+2{q_5}^{2}+2{q_6}^{2}+{q_7}^{2}+{a_2}-{b_1}){q_4}^{2}-{} \\ & - ({q_2}^{2}+2 {q_6}^{2}+{q_8}^{2}+{a_2}-{b_2}){q_5}^{2} - (q_3^2 + q_6^2 + q_9^2 + a_2 - b_3) q_6^2-{} \\ &- q_5 q_4 (2 q_1 q_2 + 2 q_7 q_8) - 2 q_6 q_4(q_1 q_3 + q_7 q_9) - 2 q_5 q_6 (q_2 q_3 + q_8 q_9) - q_4^4-q_5^4, \\ f_3={}&\frac{M_{31}^2}{a_3 - a_1} +\frac{M_{32}^2}{a_3 - a_2}-p_7^2 - p_8^2 - p_9^2 -(q_1^2 + q_4^2 + 2 q_8^2 + 2 q_9^2 + a_3 - b_1) q_7^2-{} \\ &- (q_2^2 + q_5^2 + 2 q_9^2 + a_3 - b_2) q_8^2 - (q_3^2 + q_6^2 + q_9^2 + a_3 - b_3) q_9^2-{} \\ & - 2q_7 q_8(q_1q_2 + q_4q_5) - 2q_7q_9(q_1q_3 + q_4q_6) - 2q_8q_9(q_2q_3 + q_5q_6) - q_7^4 - q_8^4. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Входящие в определение квадратичных интегралов движения функции $M_{ij}$ имеют вид
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, M_{12}&= J_{14}+J_{25}+J_{36}=(q_1p_4-p_1q_4) + (q_2p_5-p_2q_5)+ (q_3p_6-p_3q_6), \\ M_{13}&=J_{17}+J_{28}+J_{39}=(q_1p_7-p_1q_7)+(q_2p_8-p_2q_8)+ (q_3p_9-p_3q_9), \\ M_{23}&=J_{47} +J_{58}+J_{69}=(q_4p_7-p_4q_7)+(q_5p_8-p_5q_8)+ (q_6p_9-p_6q_9). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.17}
$$
Следующая комбинация базисных интегралов движения также является квадратичным полиномом по импульсам:
$$
\begin{equation*}
f_4= \frac{g_1 + g_2 + g_2}{4} + 2a_1f_1 + 2a_2f_2+2a_3 f_3,
\end{equation*}
\notag
$$
в определение которого
$$
\begin{equation*}
f_4=-\biggl(\,\sum_{j=1}^{n} b_j\biggr)\biggl(\,\sum_{i=1}^{nm} p_i^2\biggr) +\sum_{j=1}^n b_{j}\biggl(\,\sum_{i=0}^{m-1} p_{j+im}^2\biggr) +N_{12}^2+N_{23}^2+N_{31}^2+u_4(q)
\end{equation*}
\notag
$$
входят функции $N_{ij}$:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, N_{12}&= J_{12}+J_{45}+J_{78}=(q_1p_2-p_1q_2) + (q_4p_5-p_4q_5)+ (q_7p_8-p_7q_8),\\ N_{13}&=J_{13}+J_{46}+J_{79}=(q_1p_3-p_1q_3)+(q_4p_6-p_4q_6)+ (q_7p_9-p_7q_9),\\ N_{23}&=J_{23} +J_{56}+J_{89}=(q_2p_3-p_2q_3)+(q_5p_6-p_5q_6)+ (q_8p_9-p_8q_9). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.18}
$$
Функции $M_{ij}$ (2.17) и $N_{ij}$ (2.18) связаны с двумя независимыми реализациями элементов алгебры Ли $so^*(3)$ с помощью тройных вращений в $\mathbb R^9$. Соответствующие скобки Пуассона равны
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{3} \{M_{12}, M_{13}\}&= M_{23},&\qquad \{M_{13}, M_{23}\}&=M_{12},&\qquad \{M_{23}, M_{12}\}&=M_{13}, \\ \{N_{12}, N_{13}\} &= N_{23},&\qquad \{N_{13}, N_{23}\}&=N_{12},&\qquad \{N_{23}, N_{12}\}&=N_{13}, \\ \{N_{ij}, M_{kl}\}&=0. \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
Второй базис в пространстве интегралов движенияВычеты функции (2.6)
$$
\begin{equation*}
\Delta(z,\lambda)=\frac{\operatorname{det}(zI-L(\lambda))}{(z-b_1-2\lambda^2)(z-b_2-2\lambda^2)(z-b_3-2\lambda^2)}
\end{equation*}
\notag
$$
по переменной $z$ равны
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\operatorname{Res}\bigl|_{z=b_i+2\lambda^2} \Delta(z,\lambda)=16\lambda^4 F_i+\lambda^2 G_i+S_i,\qquad i=1,2,3, \\ &\operatorname{Res}\bigl|_{z=\infty} \Delta(z,\lambda)=32H\lambda^4 -(G_1+G_2+G_3)\lambda^2-(S_1+S_2+S_3). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Девять коэффициентов $F_i$, $G_i$ и $S_i$ являются полиномами второй, четвертой и шестой степеней по импульсам соответственно. Выпишем квадратичные интегралы движения:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, F_1={}&{-}\frac{N_{12}^2}{b_1 - b_2} -\frac{N_{13}^2}{b_1 - b_3}-p_1^2 - p _{4}^2 - p_{7}^2 -(q_1^2 + q_2^2 + q_3^2 + q_4^2 + q_7^2 +a_1- b_1 )q_1^2-{} \\ & - (q_1^2 + q_4^2 + q_5^2 + q_6^2 + q_7^2+a_2 - b_1)q_4^2 - (q_1^2 + q_4^2 + q_7^2 + q_8^2 + q_9^2+a_3 - b_1)q_7^2-{} \\ &- 2q_1q_4(q_2q_5 + q_3q_6)- 2q_1q_7(q_2q_8 + q_3q_9)- 2q_4q_7(q_5q_8 + q_6q_9), \\ F_2={}&{-}\frac{N_{21}^2}{b_2 - b_1} -\frac{N_{23}^2}{b_2 - b_3}-p_2^2 - p_5^2 - p_8^2 -(q_1^2 + q_2^2 + q_3^2 + q_5^2 + q_8^2+a_1 - b_2)q_2^2-{} \\ & - (q_2^2 + q_4^2 + q_5^2 + q_6^2 + q_8^2+a_2-b_2)q_5^2 - (q_2^2 + q_5^2 + q_7^2 + q_8^2 + q_9^2+a_3 - b_2)q_8^2-{} \\ &- 2q_2q_5(q_1q_4 + q_3q_6) - 2q_2q_8(q_1q_7 + q_3q_9) - 2q_5q_8(q_4q_7 + q_6q_9), \\ F_3={}&{-}\frac{N_{31}^2}{b_3 - b_1} -\frac{N_{32}^2}{b_3 - b_2}-p_3^2 - p_6^2 - p_9^2 -(q_1^2 + q_2^2 + q_3^2 + q_6^2 + q_9^2 +a_1- b_3)q_3^2-{} \\ &- (q_3^2 + q_4^2 + q_5^2 + q_6^2 + q_9^2+a_2 - b_3)q_6^2 - (q_3^2 + q_6^2 + q_7^2 + q_8^2 + q_9^2+a_3 - b_3)q_9^2-{} \\ & - 2q_3q_6(q_1q_4 + q_2q_5) - 2q_3q_9(q_1q_7 + q_2q_8) - 2q_6q_9(q_4q_7 + q_5q_8). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Выражения для входящих в эти определения функций $N_{kl}$ даны в (2.18). Комбинация базисных интегралов движения
$$
\begin{equation*}
F_4=\frac18(G_1 + G_2 + G_3) - b_1F_1 - b_2F_2 - b_3F_3
\end{equation*}
\notag
$$
также является полиномом второго порядка по импульсам, который не зависит от $F_1$, $F_2$ и $F_3$:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, F_4={}&\frac12\biggl(\,\sum_{j=1}^{m} a_j\biggr)\biggl(\,\sum_{i=1}^n p_i^2\biggr) -\frac12\sum_{j=0}^{m-1}a_{j+1}\biggl(\,\sum_{i=1}^n p_{jn+i}^2\biggr)+{} \\ &+\frac{M_{12}^2}{2}+\frac{M_{13}^2}{2}+\frac{M_{23}^2}{2}+U_4(q). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Итак, в случае $m=n=3$ мы предъявили восемь квадратичных по импульсам интегралов движения $f_1$, $f_2$, $f_3$, $f_4$ и $F_1$, $F_2$, $F_3$, $F_4$, для которых соответствующие тензоры Киллинга валентности 2 имеют нетривиальное кручение Хаантьеса. Среди них только $m+n-1=5$ функционально независимых интегралов движения. Как и ранее, можно проверить, что полином четвертого порядка по импульсам $G=\operatorname{tr}L^4(\lambda=0)$ (1.7) не выражается через эти полиномы второго порядка по импульсам. 3. Симметрические пространства типа C.IГруппа $Sp(n)$ связана с корневым пространством $C_n$, и ее матричное представление можно реализовать симплектическими и унитарными $(2n \times 2n)$-матрицами. Поскольку
$$
\begin{equation*}
\frac{Sp(n)}{U(n)}\subset \frac{SU(2n)}{S(U(n)\times U(n))},
\end{equation*}
\notag
$$
мы можем получить искомые матрицы Лакса с помощью уже использованных нами ранее матриц Лакса (2.1). Грубо говоря, налагая условия на декартовы координаты в определении (2.1) при $m=n$, мы можем сделать $(n\times n)$-матрицы $Q$ и $P$ (2.2) симметричными, затем разделить внедиагональные элементы матрицы $P$ на 2 и наложить подходящие ограничения на параметры $a_i$ и $b_i$. При этом, следуя [28], мы получим нестандартную постоянную метрику в евклидовом пространстве. Далее мы выпишем эти матрицы Лакса при $n=2$ и $n=3$ и обсудим соответствующие квадратичные интегралы движения. 3.1. Пример: $sp(n)$ при $n=2$В этом случае $(4\times 4)$-матрица Лакса имеет вид
$$
\begin{equation}
L(\lambda)=\left( \begin{smallmatrix} -2\lambda^2+ q_1^2 + q_2^2 +a_1& q_1q_2 + q_2q_3 & p_1 - 2\mathrm{i} \lambda q_1 & \frac{p_2}{2} - 2\mathrm{i}\lambda q_2 \\ q_1q_2 + q_2q_3 &-2\lambda^2+q_2^2 + q_3^2+a_2 &\frac{p_2}{2} - 2\mathrm{i}\lambda q_2 & p_3 - 2\mathrm{i} \lambda q_3 \\ p_1 + 2\mathrm{i} \lambda q_1 & \frac{p_2}{2} + 2\mathrm{i}\lambda q_2 & 2\lambda^2 - q_1^2 - q_2^2+b_1 & -q_1q_2 - q_2q_3 \\ \frac{p_2}{2} +2\mathrm{i}\lambda q_2 & p_3 + 2\mathrm{i} \lambda q_3 & -q_1q_2 - q_2q_3 & 2\lambda^2 - q_2^2 - q_3^2 +b_2 \end{smallmatrix}\right),
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
где Гамильтониан имеет вид
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, H=T+V&=\frac{p_1^2}{2} +\frac{p_2^2}{4} +\frac{p_3^2}{2}+\frac{(q_1^2 + 2q_2^2 + q_3^2)^2}{2}-{} \notag\\ &\hphantom{={}}- (q_1q_3 - q_2^2)^2-b_1(q_1^2 +q_2^2)-b_2(q_2^2 + q_3^2). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
Легко проверить, что этот гамильтониан отвечает случаю (13c) из статьи [28]. После канонической замены переменных $p_2\to\sqrt{2} p_2$, $q_2\to q_2/\sqrt{2}$ мы получаем стандартную метрику $\mathrm g=\operatorname{diag}(1,1,1)$ в евклидовом пространстве и интегрируемый потенциал четвертой степени
$$
\begin{equation}
V=\frac12(q_1^2 + q_2^2 + q_3^2)^2 -\frac{ (2q_1q_3 - q_2^2)^2}{4},
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
где мы для краткости положили $b_i=a_i=0$. Этот потенциал отсутствует в классификации интегрируемых потенциалов четвертой степени [43], основанной на методе Зиглина и Йошиды, поскольку в указанной работе авторы ограничились рассмотрением частного анзаца для потенциалов вида
$$
\begin{equation*}
\widetilde{V}=q_1^4+aq_1^2q_2^2+bq_1^2q_3^2+cq_2^4+dq_2^2q_3^2+eq_3^4,\qquad a,b,c,d,e\in\mathbb R,
\end{equation*}
\notag
$$
тогда как потенциал (3.4) включает линейное по $q_1$ и $q_3$ слагаемое $q_1q_3q_2^2$. Базис в пространстве интегралов движенияВычеты функций
$$
\begin{equation*}
\Delta(z,\lambda)=\frac{\operatorname{det}(Iz-L(\lambda))}{(z+2\lambda^2 -a_1)(z+2\lambda^2 -a_2)}, \qquad \Delta(z,\lambda)=\frac{\operatorname{det}(Iz-L(\lambda))}{(z-2\lambda^2 -b_1)(z-2\lambda^2 -b_2)}
\end{equation*}
\notag
$$
совпадают друг с другом с точностью до знака и замены $a_1-a_2=-(b_1-b_2)$, что соответствует налагаемому нами условию на параметры (3.2). Вычисляя эти вычеты
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\operatorname{Res}\bigl|_{z=b_i+2\lambda^2} \Delta(z,\lambda)=-4\lambda^2 F_i+G_i,\qquad i=1,2, \\ &\operatorname{Res}\bigl|_{z=\infty} \Delta(z,\lambda)=8\lambda^2 H -(G_1+G_2), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
найдем условия на коэффициенты Таким образом, существуют два полинома второго порядка по импульсам $F_{1,2}$ и один полином четвертого порядка по импульсам $G_{1,2}$ или $G$ (1.7), которые не зависят друг от друга и тем самым образуют базис в пространстве интегралов движения. В работе [28] авторы утверждают, что так как три интеграла движения $F_1$, $F_2$ и $G_1+G_2$ являются квадратичными полиномами по импульсам, то существует точечное, т. е. координатное, каноническое преобразование, позволяющее разделить переменные в уравнении Гамильтона–Якоби. Очевидно, что авторы просто не заметили, что эти квадратичные интегралы движения функционально зависимы, поэтому их утверждение о разделении переменных неверно. Выпишем квадратичные интегралы движения:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, F_1&=p_1^2 + \frac{p_2^2}{4} + \frac{M_{12}^2}{b_1-b_2}+(q_1^2 + 2q_2^2 + a_1 - b_1)q_1^2 + (q_1^2 + q_2^2 + q_3^2 + 2q_1q_3 - b_1 - b_2)q_2^2,\\ F_2&=p_3^2+\frac{p_2^2}{4}+\frac{M_{12}^2}{b_2-b_1} + (2q_2^2 + q_3^2 + a_2 - b_2)q_3^2 + (q_1^2 + q_2^2 + q_3^2+ 2q_1q_3 -b_2 - b_1)q_2^2, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
M_{12}= \frac{1}{2}(q_1p_2-2q_2p_1 -q_3p_2+ 2q_2p_3).
\end{equation*}
\notag
$$
При $b_1=b_2$ мы имеем линейный интеграл движения $M_{12}$, связанный с двойным вращением в $\mathbb R^3$. После редукции по соответствующей симметрии мы получим квадратично-линейный гамильтониан $H$, коммутирующий с интегралом четвертой степени $G$ (1.7), описывающий интегрируемое движение по плоскости $\mathbb R^2$ в присутствии магнитного поля. Предложение 5. Общее решение $K$ (1.10) уравнения Киллинга (1.6) зависит от 20 параметров в случае трехмерного евклидова пространства $\mathbb R^3$. Используя современное компьютерное обеспечение, можно непосредственно доказать, что для потенциала $V$ (1.12) в гамильтониане (3.3) существует только два независимых решения уравнения (1.11), связанные с интегралами движения $F_{1,2}$. Более того, подставляя в уравнение (1.11) тензоры Киллинга, отвечающие интегралам движения $F_{1,2}$ и неизвестную функцию $V(q_1,q_2,q_3)$, мы получим более общий, чем в (3.3), интегрируемый потенциал. Действительно, рассмотрим квадратичные интегралы движения $F_1$, $F_2$ и $2H=F_1+F_2$, и
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, F_1&=2p_1^2+p_2^2 + \frac{(q_1p_2-p_1q_2+q_2p_3 - p_2q_3 )^2}{b_1-b_2}+U_1(q),\\ F_2&=2p_3^2+p_2^2 + \frac{(q_1p_2-p_1q_2+q_2p_3 - p_2q_3 )^2}{b_2-b_1}+U_2(q). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Предложение 6. Общее решение $V_g$ уравнения (1.11) в этом случае имеет вид Соответствующий интеграл движения (1.7) мы выписывать не будем. Полагая далее во всех интегралах движения $c_1=0$, мы получим трехмерный интегрируемый аналог системы Энона–Эйлеса с интегралом четвертой степени по импульсам. Согласно [39] эта интегрируемая система с кубическим потенциалом связана с третьим стационарным потоком векторного уравнения Кортевега–де Фриза. 3.2. Пример: $sp(n)$ при $n=3$Матрица Лакса (2.16) имеет вид
$$
\begin{equation*}
L(\lambda)=\begin{pmatrix} \widehat L_{11}&\widehat L_{12}\\ \widehat L_{21}& \widehat L_{22} \end{pmatrix},
\end{equation*}
\notag
$$
где $(3\times 3)$-блоки
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \widehat L_{11}&=\left(\begin{smallmatrix} -2 \lambda^2 + q_1^2 + q_2^2 + q_3^2 + a_1& q_1q_2 + q_2q_4 + q_3q_5& q_1q_3 + q_2q_5 + q_3q_6 \\ q_1q_2 + q_2q_4 + q_3q_5& -2\lambda^2 + q_2^2 + q_4^2 + q_5^2 + b_1 - b_2 + a_1& q_2q_3 + q_4q_5 + q_5q_6 \\ q_1q_3 + q_2q_5 + q_3q_6& q_2q_3 + q_4q_5 + q_5q_6&-2\lambda^2 + q_3^2 + q_5^2 + q_6^2 + b_1 - b_3 + a_1 \end{smallmatrix}\right), \\ \widehat L_{22}&=\left(\begin{smallmatrix} 2\lambda^2 - q_1^2 - q_2^2 - q_3^2 + b_1&-q_1q_2 - q_2q_4 - q_3q_5 &-q_1q_3 - q_2q_5 - q_3q_6 \\ -q_1q_2 - q_2q_4 - q_3q_5& 2\lambda^2 - q_2^2 - q_4^2 - q_5^2 + b_2&-q_2q_3 - q_4q_5 - q_5q_6 \\ -q_1q_3 - q_2q_5 - q_3q_6&-q_2q_3 - q_4q_5 - q_5q_6 & 2\lambda^2 - q_3^2 - q_5^2 - q_6^2 + b_3 \end{smallmatrix}\right), \\ \widehat L_{12}&=\left(\begin{smallmatrix} p_1 - 2\mathrm{i} \lambda q_1& \frac{p_2}{2} - 2\mathrm{i} \lambda q_2& \frac{p_3}{2} - 2\mathrm{i} \lambda q_3\\ \frac{p_2}2 - 2\mathrm{i} \lambda q_2& p_4 - 2\mathrm{i} \lambda q_4& \frac{p_5}{2} - 2\mathrm{i} \lambda q_5\\ \frac{p_3}{2} - 2\mathrm{i} \lambda q_3& \frac{p_5}{2} - 2\mathrm{i} \lambda q_5& p_6 - 2\mathrm{i} \lambda q_6 \end{smallmatrix}\right),\qquad \widehat L_{21}=\left(\begin{smallmatrix} p_1 + 2\mathrm{i} \lambda q_1& \frac{p_2}{2}+ 2\mathrm{i} \lambda q_2& \frac{p_3}{2} + 2\mathrm{i} \lambda q_3\\ \frac{p_2}2 + 2\mathrm{i} \lambda q_2& p_4 + 2\mathrm{i} \lambda q_4& \frac{p_5}{2} + 2\mathrm{i} \lambda q_5\\ \frac{p_3}{2} + 2\mathrm{i} \lambda q_3& \frac{p_5}{2} + 2\mathrm{i} \lambda q_5& p_6 +2\mathrm{i} \lambda q_6 \end{smallmatrix}\right). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
При этом мы должны наложить следующие ограничения на бывшие ранее произвольными параметры в исходной матрице Лакса (2.16): Как и ранее, определим базис в пространстве интегралов движения, используя вычеты функции
$$
\begin{equation*}
\Delta=\frac{\operatorname{det}(Iz-L(\lambda))}{(z-2\lambda^2 - b_1)(z-2\lambda^2 - b_2)(z-2\lambda^2 - b_3)}
\end{equation*}
\notag
$$
по переменной $z$ в конечных точках $z=b_i+2\lambda^2$
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Res}\bigl|_{z=b_i+2\lambda^2} \Delta(z,\lambda)=-16\lambda^4 F_i+\lambda^2 G_i+ S_i.
\end{equation*}
\notag
$$
Ограничимся рассмотрением квадратичных интегралов движения
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, F_1&=\frac{M_{12}^2}{b_1 - b_2} +\frac{M_{13}^2}{b_1-b_3}+T_1+V_1,\qquad T_1=p_1^2 + \frac{p_2^2}{4} + \frac{p_3^2}{4},\\ F_2&=\frac{M_{21}^2}{b_2 - b_1} +\frac{M_{23}^2}{b_2-b_3}+T_2+V_2,\qquad T_2=\frac{p_2^2}{4}+ p_4^2 +\frac{p_5^2}{4},\\ F_3&=\frac{M_{31}^2}{b_3 - b_1} +\frac{M_{32}^2}{b_3-b_2}+T_3+V_3,\qquad T_3=\frac{p_3^2}{4}+ \frac{p_5^2}{4} + p_6^2, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
в определение которых входят функции, связанные с тройными вращениями в конфигурационном пространстве после подходящего канонического преобразования, приводящего метрику к стандартной единичной метрике:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, M_{12}&=-M_{21}= \frac12 (q_1p_2- 2p_1q_2 +2q_2p_4- p_2q_4+q_3p_5 - p_3q_5),\\ M_{13}&=-M_{31}=\frac12 (q_1p_3 -2p_1q_3 +q_2p_5- p_2q_5 +2q_3p_6- p_3q_6),\\ M_{23}&=-M_{32}=\frac12 (q_2p_3-p_2q_3+q_4p_5 - 2p_4q_5 +2q_5p_6 - p_5q_6). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Для краткости мы опускаем явные выражения для потенциалов $V_k$. Вычет на бесконечности порождает связь между квадратичными интегралами и соотношения между другими интегралами движения
$$
\begin{equation*}
\frac{1}{4}\,(G_1+G_2+G_3) + b_1F_1 + b_2F_2 + b_3F_3 + 2(b_1 + b_2 + b_3)H=0
\end{equation*}
\notag
$$
и
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, S_1 + S_2 + S_3 &-\frac14(b_1G_1 +b_2 G_2 +b_3 G_3)-{} \\ &- (b_1^2 - b_2b_3)F_1 - (b_2^2-b_1b_3)F_2 -(b_3^2-b_1b_2)F_3=0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Из построенных таким образом девяти зависимых интегралов движения $F_i$, $G_i$ и $S_i$ нужно выбрать шесть независимых, например можно взять три квадратичных интеграла движения, два интеграла движения четвертого порядка и один интеграл шестого порядка по импульсам.
4. Симметрические пространства типа D.IIIТак как
$$
\begin{equation*}
\frac{SO(2n)}{U(n)}\subset \frac{SU(2n)}{S(U(n)\times U(n))},
\end{equation*}
\notag
$$
мы можем использовать редукцию для построения интегрируемых систем, отвечающих симметрическим пространствам, связанным с корневым пространством $D_n$. Действительно, возьмем матрицу Лакса (2.1) при $m=n$ и, налагая условия на декартовы координаты и отвечающие им импульсы, сделаем $(n\times n)$-матрицы $Q$ и $P$ (2.2) антисимметричными и наложим подходящие ограничения на параметры $a_i$ и $b_i$ в (2.1). 4.1. Пример: $so(2n)$ при $n=2$После редукции $(8\times 8)$-матрица Лакса (2.1) остается блочной матрицей
$$
\begin{equation*}
L(\lambda)=\begin{pmatrix} \bar L_{11}&\bar L_{12}\\ \bar L_{21}& \bar L_{22} \end{pmatrix},
\end{equation*}
\notag
$$
в которой два диагональных блока – это симметричные матрицы
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \bar{L}_{11}&= \left(\begin{smallmatrix} q_1^2 + q_2^2 + q_3^2 + a_1 -2 \lambda^2 & q_2 q_4 + q_3 q_5 & -q_1 q_4 + q_3 q_6 & -q_1 q_5 - q_2 q_6 \\ q_2 q_4 + q_3 q_5 & q_1^2 + q_4^2 + q_5^2 + a_2 -2 \lambda^2 & q_1 q_2 + q_5 q_6 & q_1 q_3 - q_4 q_6 \\ -q_1 q_4 + q_3 q_6 & q_1 q_2 + q_5 q_6 & q_2^2 + q_4^2 + q_6^2 + a_3 -2 \lambda^2 & q_2 q_3 + q_4 q_5 \\ -q_1 q_5 - q_2 q_6 & q_1 q_3 - q_4 q_6 & q_2 q_3 + q_4 q_5 & q_3^2 + q_5^2 + q_6^2 + a_4 -2 \lambda^2 \end{smallmatrix}\right), \\ \bar{L}_{22}&=\left(\begin{smallmatrix} 2 \lambda^2 - q_1^2 - q_2^2 - q_3^2 + b_1 & -q_2 q_4 - q_3 q_5 & q_1 q_4 - q_3 q_6 & q_1 q_5 + q_2 q_6 \\ -q_2 q_4 - q_3 q_5 & 2 \lambda^2 - q_1^2 - q_4^2 - q_5^2 + b_2 & -q_1 q_2 - q_5 q_6 & -q_1 q_3 + q_4 q_6 \\ q_1 q_4 - q_3 q_6 & -q_1 q_2 - q_5 q_6 & 2 \lambda^2 - q_2^2 - q_4^2 - q_6^2 + b_3 & -q_2 q_3 - q_4 q_5 \\ q_1 q_5 + q_2 q_6 & -q_1 q_3 + q_4 q_6 & -q_2 q_3 - q_4 q_5 & 2 \lambda^2 - q_3^2 - q_5^2 - q_6^2 + b_4 \end{smallmatrix}\right), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
а внедиагональные блоки – это антисимметричные матрицы вида
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \bar{L}_{12}&= \left(\begin{smallmatrix} 0 & p_1 - 2\mathrm{i} \lambda q_1 & p_2 - 2\mathrm{i} \lambda q_2 & p_3 - 2\mathrm{i} \lambda q_3 \\ -p_1 + 2\mathrm{i} \lambda q_1 & 0 & p_4 - 2\mathrm{i} \lambda q_4 & p_5 - 2\mathrm{i} \lambda q_5 \\ -p_2 + 2\mathrm{i} \lambda q_2 & -p_4 + 2\mathrm{i} \lambda q_4 & 0 & p_6 - 2\mathrm{i} \lambda q_6 \\ -p_3 + 2\mathrm{i} \lambda q_3 & -p_5 + 2\mathrm{i} \lambda q_5 & -p_6 + 2\mathrm{i} \lambda q_6 & 0 \end{smallmatrix}\right), \\ \bar{L}_{21}&= \left(\begin{smallmatrix} 0 & -p_1 - 2\mathrm{i} \lambda q_1 & -p_2 - 2\mathrm{i} \lambda q_2 & -p_3 - 2\mathrm{i} \lambda q_3 \\ p_1 + 2\mathrm{i} \lambda q_1 & 0 & -p_4 - 2\mathrm{i} \lambda q_4 & -p_5 - 2\mathrm{i} \lambda q_5 \\ p_2 + 2\mathrm{i} \lambda q_2 & p_4 + 2\mathrm{i} \lambda q_4 & 0 & -p_6 - 2\mathrm{i} \lambda q_6 \\ p_3 + 2\mathrm{i} \lambda q_3 & p_5 + 2\mathrm{i} \lambda q_5 & p_6 + 2\mathrm{i} \lambda q_6 & 0 \end{smallmatrix}\right). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
При этом произвольные ранее параметры должны теперь удовлетворять следующим ограничениям:
$$
\begin{equation*}
a_2-a_1= b_1 - b_2,\qquad a_3-a_1= b_1 - b_3,\qquad a_4-a_1= b_1 - b_4.
\end{equation*}
\notag
$$
Четыре вычета функции
$$
\begin{equation*}
\Delta=\frac{\operatorname{det}(Iz-L(\lambda))}{(z-2\lambda^2 - b_1)(z-2\lambda^2 - b_2)(z-2\lambda^2 - b_3)(z-2\lambda^2 - b_4)}
\end{equation*}
\notag
$$
по переменной $z$ в точках $z=b_i+2\lambda^2$ являются полиномами шестого порядка по переменной $\lambda$:
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Res}t\bigl|_{z=b_i+2\lambda^2} \Delta(z,\lambda)=-64\lambda^6 F_i+\lambda^4 G_i+\lambda^2 S_i+W_i.
\end{equation*}
\notag
$$
Коэффициенты $F_i$, $G_i$, $S_i$ и $W_i$ – полиномы второго, четвертого, шестого и восьмого порядков по импульсам. В результате мы имеем 16 зависимых интегралов движения, а вычет на бесконечности дает различные соотношения между этими полиномами, например Мы приведем только старшую часть квадратичных интегралов движения и опустим явные выражения для соответствующих потенциалов $V_k$:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, F_1&=\frac{M_{12}^2}{b_1-b_2}+\frac{M_{13}^2}{b_1-b_2}+\frac{M_{14}^2}{b_1-b_4}+T_1+V_1,\\ F_2&=\frac{M_{21}^2}{b_2-b_1}+\frac{M_{23}^2}{b_2-b_3}+\frac{M_{24}^2}{b_2-b_4}+T_2+V_2,\\ F_3&=\frac{M_{31}^2}{b_3-b_1}+\frac{M_{32}^2}{b_3-b_2}+\frac{M_{34}^2}{b_3-b_4}+T_3+V_3,\\ F_4&=\frac{M_{41}^2}{b_4-b_1}+\frac{M_{42}^2}{b_4-b_2}+\frac{M_{43}^2}{b_4-b_3}+T_4+V_4. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Входящие в определение интегралов движения функции
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, M_{12}&=(q_2p_4-p_2q_4)+(q_3p_5-p_3q_5),\qquad M_{13}=(q_1p_4-p_1q_4)+ (q_6p_3-p_6q_3),\\ M_{14}&=(q_1p_5-p_1q_5)+(q_2p_6-p_2q_6),\qquad M_{23}=(q_1p_2- p_1q_2) + (q_5p_6-p_5q_6),\\ M_{24}&=(q_1p_3-p_1q_3)+(q_6p_4-p_6q_4),\qquad M_{34}=(q_2p_3-p_2q_3)+(q_4p_5-p_4q_5) \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
связаны с двойными вращениями конфигурационного пространства $\mathbb R^6$, тогда как функции
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, T_1=p_1^2 + p_2^2 + p_3^2,\qquad T_2=p_1^2 + p_4^2 + p_5^2,\\ T_3=p_2^2 + p_4^2 + p_6^2,\qquad T_4=p_3^2 + p_5^2 + p_6^2 \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
определяются последовательностями из трех сдвигов вдоль осей координат. Прямые вычисления показывают, что кручение Хаантьеса соответствующих тензоров Киллинга не равно нулю. Из шестнадцати зависимых интегралов движения $F_i, G_i$, $S_i$ и $W_i$ мы должны выбрать шесть независимых интегралов движения, четыре из которых могут быть квадратичными полиномами по импульсам. 5. Симметрические пространства типа BD.IСимметрическое пространство является эрмитовым только при $m =2$, так как в общем случае $so(m) + so(n)$ не имеет центра. При $m = 2$ подалгебра $so (2)$ является центром, и в зависимости от того, является ли $n$ четным или нечетным, это симметрическое пространство связано c корневыми системами $B_{(n+ 1)/2}$ или $D_{(n+ 2)/2}$.5.1. Пример: $SO(2)\times SO(4) \simeq S(U(1)\times U(3))$Используя базис Картана–Вейля из работы [26], построим $(6\times 6)$-матрицу Лакса (1.3)
$$
\begin{equation*}
L(\lambda)=\begin{pmatrix} \widetilde{L}_{11}&\widetilde{L}_{12}\\ \widetilde{L}_{21}&\widetilde{L}_{22} \end{pmatrix},
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \widetilde{L}_{11}&= \left(\begin{smallmatrix} -2 \lambda^2+2 q_1^2 + 2 q_2^2 + 2 q_3^2 + 2 q_4^2 + a_1 & p_1-2\mathrm{i} \lambda q_1 & p_2-2\mathrm{i} \lambda q_2 \\ p_1+2\mathrm{i} \lambda q_1 & -2 q_1^2 + 2 q_3^2 + a_2 & -2 q_1 q_2 + 2 q_3 q_4 \\ p_2+2\mathrm{i} \lambda q_2 & -2 q_1 q_2 + 2 q_3 q_4 & -2 q_2^2 + 2 q_4^2 + a_3 \end{smallmatrix}\right), \\ \widetilde{L}_{22}&= \left(\begin{smallmatrix} 2 \lambda^2 - 2 q_1^2 - 2 q_2^2 - 2 q_3^2 - 2 q_4^2 + b_1 & -p_1-2\mathrm{i} \lambda q_1 & -p_2-2\mathrm{i} \lambda q_2 \\ -p_1+ 2\mathrm{i} \lambda q_1 & 2 q_1^2 - 2 q_3^2 + b_2 & 2 q_1 q_2 - 2 q_3 q_4 \\ -p_2+ 2\mathrm{i} \lambda q_2 & 2 q_1 q_2 - 2 q_3 q_4 & 2 q_2^2 - 2 q_4^2 + b_3 \end{smallmatrix}\right), \\ \widetilde{L}_{12}&= \left(\begin{smallmatrix} 0 & p_3-2\mathrm{i} \lambda q_3 & p_4-2\mathrm{i} \lambda q_4 \\ -p_3+2\mathrm{i} \lambda q_3 & 0 & -2q_1q_4 + 2q_2q_3\\ -p_4+2\mathrm{i} \lambda q_4 & 2q_1q_4 - 2q_2q_3 & 0 \end{smallmatrix}\right), \\ \widetilde{L}_{21}&=\left(\begin{smallmatrix} 0 & -p_3-2\mathrm{i} \lambda q_3 & -p_4-2\mathrm{i} \lambda q_4 \\ p_3+2\mathrm{i} \lambda q_3 & 0 & 2q_1q_4 - 2q_2q_3\\ p_4+2\mathrm{i} \lambda q_4 & -2q_1q_4 + 2q_2q_3 & 0 \end{smallmatrix}\right). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Входящие в матрицу Лакса параметры удовлетворяют следующим соотношениям: В этом случае гамильтониан $H$ (2.3) имеет вид
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, H={}&p_1^2 +p_2^2 +p_3^2+p_4^2+4(q_1^2+q_2^2+q_3^2+q_4^2)^2 - 8(q_1q_3 + q_2q_4)^2+{}\\ &+ 2(b_2-b_1)q_1^2 +2 (b_3-b_1)q_2^2 + 2(a_1 - b_2)q_3^2 + 2(a_1-b_3)q_4^2. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Этот гамильтониан совпадает с гамильтонианом (2.9) с точностью до масштабирования и канонического преобразования $q_i\to-q_i$ и $p_i\to-p_i$ одной из координат и импульсов (см. обсуждение изоморфизма корневых систем и соответствующих интегрируемых систем в работе [26]). 5.2. Пример: $so(2n+1)$ при $n=2$Рассмотрим реализацию элементов алгебры Ли $so(2n+1)$ матрицами $X$ размерности $(2n+1)\times (2n+1)$, которые удовлетворяют соотношению
$$
\begin{equation*}
X+SX^\mathrm{T} S^{-1}=0,\qquad S=\sum_{k=1}^{2n+1} (-1)^{k+1}E_{k,2n+2-k},
\end{equation*}
\notag
$$
где $E_{ij}$ – матрицы с единственным ненулевым элементом на пересечении $i$-й строки и $j$-го столбца [34]. В этом случае инволюция Картана связана с элементом $\mathcal A= E_{1,1}-E_{2n+1,2n+1}$ подалгебры Картана, а матрица Лакса (1.3) имеет следующую блочную структуру:
$$
\begin{equation*}
L(\lambda)=\begin{pmatrix} 2\lambda^2 & \vec{x}^\mathrm{T}& 0 \\ \vec{y} &0& s\cdot\vec{x} \\ 0 & \vec{y}^{\,\mathrm{T}}\cdot s &- 2\lambda^2 \end{pmatrix} +C+\Lambda,
\end{equation*}
\notag
$$
где в первом слагаемом центральный нулевой блок имеет размерность $(2n-1)\times (2n-1)$, а элементы векторов-столбцов $x$ и $y$ равны
$$
\begin{equation*}
\vec{x}_i=p_i-2\mathrm{i} q_i,\qquad \vec{y}_i=p_i+2\mathrm{i} q_i,\qquad i=1,\ldots,2n-1,
\end{equation*}
\notag
$$
и $s$ – матрица размера $(2n-1)\times (2n-1)$, Матрица $C$ отвечает слагаемому $\sum_{\alpha,\beta}q_\alpha q_\beta[e_\alpha,e_{-\beta}]$ в определении (1.3), а матрица $\Lambda$ – это числовая матрица, удовлетворяющая соотношению и, как следует из [29], определяющая сдвиг орбиты. Первый нетривиальный пример возникает при $n=2$ [26]. Для соответствующего симметрического пространства выпишем явное выражение для $(5\times 5)$-матрицы Лакса (1.3):
$$
\begin{equation*}
L(\lambda)=\left(\begin{smallmatrix} 2\lambda^2 & p_1-2\mathrm{i} \lambda q_1 & p_2-2\mathrm{i} \lambda q_2 & p_3-2\mathrm{i} \lambda q_3 & 0 \\ p_1+2\mathrm{i} \lambda q_1 & 0 & 0 & 0 & -p_3+2\mathrm{i} \lambda q_3 \\ p_2+2\mathrm{i} \lambda q_2 & 0 & 0 & 0 & p_2-2\mathrm{i} \lambda q_2 \\ p_3+2\mathrm{i} \lambda q_3 & 0 & 0 & 0 & -p_1+2\mathrm{i} \lambda q_1 \\ 0 & -p_3-2\mathrm{i} \lambda q_3 & p_2+2\mathrm{i} \lambda q_2 & -p_1-2\mathrm{i} \lambda q_1 & -2\lambda^2 \end{smallmatrix}\right)+C+\Lambda,
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
C=2 \left(\begin{smallmatrix} -q_1^2 - q_2^2 - q_3^2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & q_1^2 - q_3^2 & (q_1 + q_3)q_2 & 0 & 0 \\ 0 & (q_1 + q_3)q_2 & 0 & (q_1 + q_3)q_2 & 0 \\ 0 & 0 & (q_1 + q_3)q_2 & -q_1^2 + q_3^2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & q_1^2 + q_2^2 + q_3^2 \end{smallmatrix}\right),\quad \Lambda=2 \left(\begin{smallmatrix} a_1 & 0 & 0 & \hphantom{-{}} 0 &\hphantom{-{}} 0 \\ 0 & a_2 & a_3 &\hphantom{-{}} 0 &\hphantom{-{}} 0 \\ 0 & a_3 & 0 &\hphantom{-{}} a_3 & \hphantom{-{}}0 \\ 0 & 0 & a_3 & -a_2 & \hphantom{-{}}0 \\ 0 & 0 & 0 & \hphantom{-{}}0 & -a_1 \end{smallmatrix}\right).
\end{equation*}
\notag
$$
Для нас этот пример интересен тем, что в этом представлении матрица $\Lambda$ может быть не только диагональной матрицей. Гамильтониан (1.4) равен
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, H={}&\frac14 \operatorname{tr} L^2\bigl|_{\lambda=0}-2a_1^2 - 2a_2^2 - 4a_3^2=p_1^2 + p_2^2 + p_3^2 + 4(q_1^2 + q_2^2 + q_3^2)^2 -{} \\ &- 2(2q_1q_3 - q_2^2)^2-4(a_1 - a_2)q_1^2 - 4(a_1 + a_2)q_3^2 - 4q_2(a_1q_2 - 2a_3(q_1 +q_3)). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Квадратичный интеграл движения
$$
\begin{equation*}
F=(q_1p_2-p_1q_2+q_2p_3-q_3p_2)^2 -(p_1+p_3)(a_2(p_1 - p_3) + 2a_3p_2) +U,
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, U={}&4(q_1 + q_3)(a_2 (q_1 - q_3) + 2 a_3 q_2) (a_1-q_1^2 - q_2^2 - q_3^2) - 4 (a_2^2 + a_3^2) (q_1^2 + q_3^2)-{} \\ & - 8 q_2 (q_1 - q_3) a_2a_3- 8 (q_1 q_3 + q_2^2) a_3^2, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
определяет тензор Киллинга второго порядка с ненулевым кручением Хаантьеса. Характеристическое уравнение этой матрицы Лакса имеет вид
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, z^5 - 2&(2\lambda^4 + 4a_1\lambda^2 + 2a_1^2 + 2a_2^2 + 4a_3^2 + H)z^3+{} \\ & + [16(a_2^2 + 2a_3^2)\lambda^4 + 8(F + 4a_1(a_2^2 + 2a_3^2))\lambda^2 + G/2 - H^2]z=0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Старший член полинома четвертого порядка по импульсам $G$, входящего в это уравнение, определяется тензором кривизны $\mathcal R$:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, G&=-\frac14\sum_{\alpha,\beta,\gamma,\delta} \mathcal R_{-\alpha,\beta,\gamma,-\delta}q^\alpha q^\beta q^\gamma q^\delta+\cdots={} \\ &=4(p_1^2 + p_2^2 + p_3^2)^2 - 2(2p_1p_3 - p_2^2)^2+\cdots. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
При $a_i=0$ мы имеем гамильтониан (3.3), (3.4) с точностью до канонического преобразования:
$$
\begin{equation*}
H=\frac14 \operatorname{tr} L^2\bigl|_{\lambda=0}=p_1^2 + p_2^2 + p_3^2 + 4(q_1^2 + q_2^2 + q_3^2)^2 - 2(2q_1q_3 - q_2^2)^2,
\end{equation*}
\notag
$$
что следует из изоморфизма корневых систем (см. [26], [34]). При $a_i\neq 0$ в потенциал входят слагаемые, не отмеченные в работе [28]. 5.3. Пример: $so(2n+1)$ при $n=3$В данном случае $(7\times 7)$-матрица Лакса (1.3), в которой мы пока положили $\Lambda=0$, имеет вид
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, L(\lambda)={}&\left(\begin{smallmatrix} 2\lambda^2 & p_1-2\mathrm{i} \lambda q_1 & p_2-2\mathrm{i} \lambda q_2 & p_3-2\mathrm{i} \lambda q_3 & p_4-2\mathrm{i} \lambda q_4& p_5-2\mathrm{i} \lambda q_5&0 \\ p_1+2\mathrm{i} \lambda q_1 & 0 & 0 & 0 &0 &0 &-p_5 +2\mathrm{i} \lambda q_5 \\ p_2+2\mathrm{i} \lambda q_2 & 0 & 0 & 0 &0 &0 &p_4 -2\mathrm{i} \lambda q_4\\ p_3+2\mathrm{i} \lambda q_3 & 0 & 0 & 0 &0 &0 &-p_3+ 2\mathrm{i} \lambda q_3\\ p_4+2\mathrm{i} \lambda q_4 & 0 & 0 & 0 &0 &0 &p_2-2\mathrm{i} \lambda q_2\\ p_5+2\mathrm{i} \lambda q_5 & 0 & 0 & 0 &0 &0 & -p_1+2\mathrm{i} \lambda q_1\\ 0 & -p_5-2\mathrm{i} \lambda q_5&p_4+2\mathrm{i} \lambda q_4&-p_3-2\mathrm{i} \lambda q_3& p_2+2\mathrm{i} \lambda q_2 & -p_1-2\mathrm{i} \lambda q_1 & -2\lambda^2 \\ \end{smallmatrix}\right)+{} \notag\\ &+2 \left(\begin{smallmatrix} -\sum_{k=1}^5 q_k^2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & q_1^2 - q_5^2 & q_1q_2 + q_4q_5 & q_3(q_1 - q_5) & q_1q_4 + q_2q_5 & 0 & 0 \\ 0 & q_1q_2 + q_4q_5 & q_2^2 - q_4^2 & q_3(q_2 + q_4) & 0 & q_1q_4 + q_2q_5 & 0 \\ 0 & q_3(q_1 - q_5) & q_3(q_2 + q_4) & 0 & q_3(q_2 + q_4) & -q_3(q_1 - q_5) & 0 \\ 0 & q_1q_4 + q_2q_5 & 0 & q_3(q_2 + q_4) & -q_2^2 +q_4^2 & q_1q_2 + q_4q_5 & 0 \\ 0 & 0 & q_1q_4 + q_2q_5 & -q_3(q_1 - q_5) &q_1q_2 + q_4q_5 & -q_1^2 + q_5^2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \sum_{k=1}^5 q_k^2 \end{smallmatrix}\right). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.1}
$$
Соответствующий гамильтониан
$$
\begin{equation}
H=\frac14 \operatorname{tr} L^2\bigl|_{\lambda=0}=\sum_{k=1}^{5}p_k^2+4\biggl(\,\sum_{k=1}^{5}q_k^2\biggr)^2-2(2q_1q_5 - 2q_2q_4 + q_3^2)^2
\end{equation}
\tag{5.2}
$$
коммутирует с четырьмя интегралами движения
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, R_1&= (q_1p_2-p_1 q_2)+(q_4p_5-p_4q_5),\qquad R_2=(q_2p_3-p_2q_3) +(q_3p_4-p_3q_4),\\ R_3&= (q_1p_3-p_1q_3) + (q_5p_3-p_5q_3),\qquad R_4 = (q_1p_4-p_1q_4)+(q_2p_5-p_2q_5) \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
такими, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \{R_1, R_2\}&= - R_3,\qquad \{R_1,R_3\}=R_2,\qquad \{R_1,R_4\}=0,\\ \\ \{R_4, R_2\}&= R_3,\qquad \{R_4,R_3\}=-R_2,\qquad \{R_2,R_3\}=R_4-R_1. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Как и ранее, существование этих интегралов движения связано с инвариантностью гамильтониана относительно вращений конфигурационного пространства $\mathbb R^5$. В характеристическое уравнение матрицы Лакса
$$
\begin{equation*}
\operatorname{det}(z\cdot I-L(\lambda))=z^7 -2(2\lambda^4 + H)z^5 + (8F_1\lambda^2 + G_1)z^3 - 4G_2z=0
\end{equation*}
\notag
$$
входит четыре независимых интеграла движения в инволюции $H$, $G_1$ и
$$
\begin{equation*}
F_1=R_1^2 + R_2^2 + R_3^2 + R_4^2,\qquad G_2=(R_1 + R_4)^2[(R_1 - R_4)^2 + 2(R_2^2 + R_3^2)].
\end{equation*}
\notag
$$
Используя гамильтониан и полином четвертого порядка $G_1$, мы можем получить интеграл движения $G$ (1.7), главная часть которого определяется тензором кривизны $\mathcal R$ (1.4), (2.9):
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, G=2G_1+2H^2&=-\frac14\sum_{\alpha,\beta,\gamma,\delta} \mathcal R_{-\alpha,\beta,\gamma,-\delta}p^\alpha p^\beta p^\gamma p^\delta+\cdots={} \\ &=-4(p_1^2+p_2^2+p_3^3+p_4^2+p_5^2)^2 + 2(2p_1p_5 - 2p_2p_4 + p_3^2)^2+\cdots. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Этот интеграл движения не зависит от гамильтониана $H$ и линейных интегралов движения $R_k$. Поскольку $\{R_k,G_1\}=0$, мы имеем полностью интегрируемую систему с пятью независимыми интегралами движения в инволюции, например Тем не менее спектральные инварианты матрицы Лакса (5.1) порождают только четыре интеграла движения аналогично полной цепочке Тоды [35].Добавив к $L(\lambda)$ (5.1) постоянную недиагональную матрицу
$$
\begin{equation*}
\Lambda= \begin{pmatrix} a_1 & 0 & 0 & 0 & \hphantom{-{}}0 & \hphantom{-{}}0 & \hphantom{-{}}0 \\ 0 & a_2 & 0 & 0 & \hphantom{-{}}0 & \hphantom{-{}}0 &\hphantom{-{}} 0 \\ 0 & 0 & a_3 & a_4 &\hphantom{-{}} 0 & \hphantom{-{}}0 &\hphantom{-{}} 0 \\ 0 & 0 & a_4 & 0 &\hphantom{-{}} a_4 & \hphantom{-{}}0 &\hphantom{-{}} 0 \\ 0 & 0 & 0 & a_4 & -a_3 & \hphantom{-{}}0 &\hphantom{-{}} 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 &\hphantom{-{}} 0 & -a_2 &\hphantom{-{}} 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \hphantom{-{}}0 & \hphantom{-{}}0 & -a_1 \end{pmatrix},
\end{equation*}
\notag
$$
добавим квадратичные по координатам слагаемые в исходный гамильтониан (5.2)
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, H&=\frac14 \operatorname{tr} L^2\bigl|_{\lambda=0}-2a_1^2 - 2a_2^2 - 2a_3^2 - 4a_4^2 ={}\\ &=\sum_{k=1}^{5}p_k^2+4\biggl(\,\sum_{k=1}^{5}q_k^2\biggr)^2-2(2q_1q_5 - 2q_2q_4 + q_3^2)^2+(a_1 - a_2)q_1^2 +{} \\ &\hphantom{={}}+ (a_1 - a_3)q_2^2 +q_3(a_1q_3 - 2a_4q_2 - 2a_4q_4)+ (a_1+ a_3)q_4^2 + (a_2 + a_1)q_5^2. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
В этом случае характеристическое уравнение матрицы Лакса
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, z^7 - 4(\lambda^4 &- 2\lambda^2a_1 +a_1^2+a_2^2+a_3^2 + 2a_4^2 +H/2)z^5 +(16(a_2^2 + a_3^2 + 2a_4^2)\lambda^4 +{} \\ & + F_1\lambda^2 + G_1)z^3-[64a_2^2(a_3^2 + 2a_4^2)\lambda^4 + F_2\lambda^2 + G_2]z=0 \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
содержит достаточное количество коммутирующих и независимых интегралов движения для интегрируемости по теореме Лиувилля. Имеются три полинома $H$, $F_1$, $F_2$ второго порядка по импульсам и два полинома $G_1$ и $G_2$ четвертого порядка. Таким образом, мы можем сказать, что постоянное слагаемое $\Lambda$ в матрице Лакса (1.3) позволяет в каком-то смысле снять вырождение и получить полный набор интегралов движения, достаточный для доказательства интегрируемости данной системы по теореме Лиувилля. 6. ЗаключениеВопрос о существовании квадратичных интегралов движения для гамильтонианов натурального вида обсуждается достаточно давно, начиная с работ Якоби, Леви-Чивиты, Дарбу, и до настоящего времени. В большинстве из классических и современных работ сначала изучается вопрос о существовании интегрируемых геодезических потоков при $V(q)=0$ или вопрос об эквивалентных метриках. После этого описывается класс потенциалов $V(q)\neq 0$, которые можно добавить к данному геодезическому потоку с сохранением свойства интегрируемости.Оказывается, если отказаться от этой привычной последовательности действий, можно построить квадратичные законы сохранения для достаточно широкого класса гамильтонианов натурального вида, описывающих движение в евклидовом пространстве. Часть примеров была построена в работах [22]–[25] с помощью прямого решения уравнения Киллинга (1.6) и уравнения на потенциал (1.11). В настоящей работе квадратичные законы сохранения для уравнений Ньютона (1.5) были построены с помощью известного представления Лакса [26], [28], [29]. Соответствующие тензоры Киллинга связаны со специальными линейными комбинациями базисных вращений относительно осей координат, образующими представление подалгебры вращений, и последовательностями сдвигов вдоль этих осей. Например, в четырехмерном евклидовом пространстве для построения интегралов движения используются правое и левое изоклинные вращения (смещения Клиффорда), которые являются классическими объектами в евклидовой геометрии и теории алгебр Клиффорда. Открытыми вопросами остаются строгое математическое определение данного класса тензоров Киллинга и построение соответствующих интегралов движения старших степеней по импульсам в рамках стандартной евклидовой, римановой и псевдоримановой геометрий, т. е. без использования матриц Лакса. Конфликт интересовАвторы заявляют, что у них нет конфликта интересов.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{TsiPor23} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|