| Теоретическая и математическая физика |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) Темная материя как гравитационный эффект в подходе теории вложения С. А. Пастон Физический факультет, Санкт-Петербургский государственный университет, Санкт-Петербург, Россия
Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2023, Volume 216, Issue 3, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S004057792309012X 
Реферативные базы данных:
   1. ВведениеЗагадка природы темной материи (ТМ) является одной из интереснейших проблем современной фундаментальной физики. Гипотеза ее существования позволяет объяснить сразу много противоречий, возникающих при интерпретации наблюдений, – от масштабов галактик до масштабов Вселенной (см., например, [1]). На галактических масштабах – это объяснение отклонений от ожидаемого движения звезд (“кривые вращения галактик”), на бо́льших масштабах – объяснение результатов наблюдения гравитационного линзирования и барионных акустических осцилляций. Наконец, на космологических масштабах – это решение проблемы образования структур и участие (наряду с темной энергией) в решении проблемы недостатка полной массы во Вселенной по сравнению со значением, соответствующим критической плотности. В целом все имеющиеся в настоящее время наблюдательные данные (среди которых важнейшую роль играет наблюдение анизотропии реликтового излучения) достаточно хорошо описываются $\Lambda$CDM-моделью1 [2], которая на данный момент является стандартной моделью космологии. В ее рамках ТМ может рассматриваться как нерелятивистская пылевидная материя, которая порождает такое же гравитационное поле, как и обычная материя, а негравитационное взаимодействие ТМ с обычной материей либо отсутствует, либо оказывается необнаружимо слабым (об основных известных свойствах ТМ, которые следуют из имеющихся наблюдений, см. [3]). Большое количество ситуаций, в которых введение ТМ оказывается полезным, делает ее существование очень вероятным, несмотря на то что попытки ее прямого детектирования не дают результата [4], [5]. Наверное, наиболее популярными идеями описания природы ТМ сейчас являются предположения, что ТМ состоит из слабо взаимодействующих массивных частиц (WIMP) [6] или представляет собой так называемую размытую ТМ (fuzzy dark matter) [7]. При этом неудачность попыток прямого детектирования объясняется достаточной слабостью взаимодействия между ТМ и обычной материей. Среди прочих рассматриваются и модели, в которых ТМ имеет некоторое самодействие [8], что позволяет пытаться решить проблему слишком большой плотности ТМ в центре галактик – так называемую “core-cusp” проблему [9]. Однако тот факт, что обнаружить участие ТМ в каком-либо взаимодействии кроме гравитационного не удается, позволяет предположить, что она является не реальной материей, а некоторым эффектом описания гравитационного взаимодействия, т. е. на самом деле (с точки зрения фундаментальной теории) ТМ не существует. Впервые, по-видимому, это было сделано в рамках парадигмы модифицированной ньютоновской динамики (MOND) [10]. В рамках этого подхода удается достаточно успешно снять упомянутое выше противоречие на галактических (или не слишком далеких от них) масштабах, однако на космологических масштабах парадигма MOND работает не так хорошо [11]. Гораздо более перспективными кажутся модификации теории гравитации, которые имеют дополнительные по сравнению с общей теорией относительности (ОТО) степени свободы. Если мы пытаемся обсуждать решения таких модифицированных теорий с точки зрения ОТО, то дополнительные гравитационные степени свободы оказываются описывающими динамику некоторой фиктивной материи, которую можно отождествить с ТМ. Важно подчеркнуть, что при этом ТМ имеет самостоятельную динамику, т. е. может двигаться отличным от обычной материи способом. Модифицированными теориями гравитации, которые имеют дополнительные по сравнению с ОТО степени свободы, являются, например, $f(R)$-гравитация, скалярно-тензорные теории гравитации и ряд других (см. [12]). Отметим, что после перехода к модифицированной теории гравитации ТМ уже не существует как самостоятельный фундаментальный объект, и только если мы эту теорию обсуждаем в терминах ОТО, то ТМ возникает как источник дополнительного вклада в уравнения Эйнштейна. Среди обладающих дополнительными степенями свободы модифицированных теорий гравитации в контексте описания темной материи чаще всего, наверное, в последнее десятилетие обсуждалась миметическая теория гравитации [13]. Название теории отражает тот факт, что ее гравитационные степени свободы “мимикрируют” под присутствие некоторой фиктивной материи. В простейшем варианте теории эта материя оказывается пылевидной и движущейся потенциально, т. е. безвихревым образом. Миметическая гравитация получается из ОТО заменой независимой переменной
$$
\begin{equation}
g_{\mu\nu}=\tilde g_{\mu\nu}\tilde g^{\gamma\delta}(\partial_\gamma\lambda)(\partial_\delta\lambda)
\end{equation}
\tag{1}
$$
в действии ОТО
$$
\begin{equation}
S=S^{\mathrm{EH}}+S_{\mathrm{m}},\qquad S^{\mathrm{EH}}=-\frac{1}{2\varkappa}\int d^4x\,\sqrt{-g}\,R,
\end{equation}
\tag{2}
$$
где $S^{\mathrm{EH}}$ – действие Эйнштейна–Гильберта (мы используем сигнатуру $+ - - -$), а $S_{\mathrm{m}}$ – действие обычной материи. В замене (1) величина $\tilde g_{\mu\nu}$ – это вспомогательная метрика (при этом $\tilde g^{\mu\nu}$ – обратная к ней метрика), являющаяся наряду со скалярным полем $\lambda$ новой независимой переменной. Поскольку общий множитель $\tilde g_{\mu\nu}$ очевидным образом не влияет на $g_{\mu\nu}$, в новой теории, как и в исходной ОТО, имеется десять независимых полевых переменных; обычно в связи с этим говорят об “изолировании конформной моды” метрики. Варьирование действия по новым независимым переменным $\tilde g_{\mu\nu}$ и $\lambda$ дает уравнения движения, которые можно записать в виде где $G^{\mu\nu}$ – тензор Эйнштейна, $T^{\mu\nu}$ – тензор энергии-импульса (ТЭИ) обычной материи, $D_\mu$ – ковариантная производная и использованы обозначения
$$
\begin{equation}
n\equiv g_{\mu\nu}\biggl(\frac{1}{\varkappa}G^{\mu\nu}-T^{\mu\nu}\biggr),
\end{equation}
\tag{5}
$$
Можно проверить, что тождественно выполняется соотношение С учетом этого тождества, а также обозначения (5) из десяти уравнений Эйнштейна (3) одно (получаемое сверткой с метрикой $g_{\mu\nu}$) выполняется тождественно, что соответствует инвариантности действия относительно преобразования Вейля вспомогательной метрики $\tilde g_{\mu\nu}$. Однако полученные уравнения можно интерпретировать и немного по-другому: считая, что величина $n$ – это некоторая дополнительная динамическая переменная, подчиняющаяся уравнению (4), а соотношение (5) для нее – это десятое уравнение Эйнштейна (именно то, которое получается сверткой с метрикой $g_{\mu\nu}$). Физический смысл этой переменной легко понять, если вспомнить, что величина $n u^\mu u^\nu$, входящая в правую часть уравнений Эйнштейна (3) как ТЭИ некоторой дополнительной материи, – это ТЭИ пылевидной материи с плотностью $n$ и скоростью $u^\mu$ (учитываем выполнение условия нормировки скорости (7)). Таким образом, получается, что миметическая гравитация полностью эквивалентна ОТО с дополнительной фиктивной материей, движущейся потенциально (это следует из (6)). Интересно отметить, что уравнение (4), играющее роль уравнения движения для фиктивной материи, оказывается следующим из уравнения Эйнштейна (3), что хорошо известно для пылевидной материи. Как видно, в результате проведения замены переменной в действии ОТО, несмотря на то что при замене количество независимых переменных не изменилось, при интерпретации с точки зрения ОТО в теории появляются новые динамические переменные – плотность фиктивной материи $n$ и параметризующий потенциальную скорость скаляр $\lambda$. Причиной этого является наличие в замене (1) операции дифференцирования – в результате таких дифференциальных замен переменных динамика теории может расширяться [14]. При обсуждении возможности успешно объяснять в рамках такого подхода эффекты, связанные с ТМ, важно подчеркнуть, что описываемая как гравитационный эффект фиктивная материя в данном подходе имеет собственную динамику – динамические степени свободы, а значит, и свои начальные данные. В зависимости от начальных данных мы можем иметь как решения, где-то полностью эквивалентные ОТО (если в некоторой области пространства в начальный момент $n=0$, что позволяет, например, описывать галактики, в которых почти нет ТМ), так и решения, для которых фиктивная материя двигается совсем не так, как обычная, – такое поведение ТМ известно из наблюдений методом гравитационного линзирования скопления Пуля [15]. Для теорий, возникающих в результате замены переменной в действии ОТО, обычно существует возможность их переформулировки в виде ОТО с дополнительной фиктивной материей не только на уровне уравнений движения, но и на уровне действия. Для миметической гравитации можно получить эквивалентную переформулировку, рассмотрев ОТО с дополнительным вкладом в действие вида [16]
$$
\begin{equation}
S^{\mathrm{add}}=-\frac{1}{2}\int d^4 x\, \sqrt{-g}\,( 1-g^{\mu\nu}(\partial_\mu\lambda)(\partial_\nu\lambda))n,
\end{equation}
\tag{8}
$$
так что полное действие имеет вид При этом независимыми переменными являются обычная метрика $g_{\mu\nu}$ и описывающие фиктивную материю два скалярных поля $n$ и $\lambda$, по-прежнему играющие роль ее плотности и потенциала скорости. Чаще всего исследования миметической гравитации проводятся именно в такой формулировке. Существуют и другие возможности выбора вклада в действие от потенциально движущейся идеальной жидкости без давления, различные варианты обсуждались в работе [17]. Для того чтобы в рамках идеи миметической гравитации удалось воспроизвести свойства ТМ, которые нужны для объяснения имеющихся наблюдений, оказывается необходимо внести в теорию некоторые дополнительные усложнения. Например, рассматривалась возможность добавления к действию некоторого потенциала скалярного поля $\lambda$, что приводит к появлению у фиктивной материи ненулевого давления [18]. Также изучалась возможность добавления к действию вклада с высшими производными этого поля, в результате чего фиктивная материя превращается в неидеальную жидкость [18]–[20]. Существует и возможность изменить вклад в действие (8) таким образом, чтобы фиктивная материя, оставаясь пылевидной, двигалась уже непотенциально [17]. В последнем случае в описании фиктивной материи кроме полей $n$ и $\lambda$ участвуют еще два скалярных поля, причем существует возможность вернуться к исходной формулировке миметической гравитации с независимой вспомогательной метрикой $\tilde g_{\mu\nu}$ и тремя скалярными полями, входящими в аналогичное (1) соответствующее выражение для физической метрики $g_{\mu\nu}$ (о текущем состоянии подхода миметической гравитации см. обзор [21] и ссылки в нем). Тот факт, что миметическая гравитация оказывается недостаточно “сложной” (соответствующая ей фиктивная материя имеет слишком простую динамику и для объяснения связываемых с ТМ эффектов теорию приходится усложнять), можно воспринимать как недостаток подхода. Другим недостатком можно считать искусственный вид лежащей в основе подхода замены (1) – сложно сформулировать какие-то физические или геометрические аргументы в пользу именно такого вида замены. Оба эти недостатка отсутствуют в другой, возникшей гораздо раньше, модифицированной теории гравитации, тоже возникающей в результате замены переменной в действии ОТО. Используемая замена имеет вид
$$
\begin{equation}
g_{\mu\nu}=(\partial_\mu y^a)(\partial_\nu y^b)\eta_{ab}
\end{equation}
\tag{10}
$$
и имеет ясный геометрический смысл: новая независимая переменная $y^a(x^\alpha)$ является функцией вложения четырехмерной поверхности в объемлющее пространство с плоской метрикой $\eta_{ab}$ (индексы $a,b,\ldots$ нумеруют компоненты лоренцевых координат объемлющего пространства), а (10) задает индуцированную метрику на вложенной поверхности. Таким образом, данная модификация гравитации основана на простом предположении: наше пространство-время является четырехмерной поверхностью в некотором плоском псевдоевклидовом объемлющем пространстве. Отметим, что в рамках ОТО мы считаем, что наше пространство-время – это абстрактное псевдориманово пространство. Такая модифицированная теория гравитации была предложена в 1975 году [22] и называется гравитацией Редже–Тейтельбойма или теорией вложения. Идея подхода очевидным образом подсказана геометрическим описанием струны, что нашло свое отражение в названии оригинальной работы [22]: “General relativity à la string: a progress report”. Отличие теории вложения от теории струны Намбу–Гото заключается в рассматриваемой размерности ($1+3$ вместо $1+1$) и в выборе действия: для теории вложения используется действие ОТО (2), а для струны вместо действия Эйнштейна–Гильберта используется объем (в двумерии площадь) многообразия. Как показано ниже, теория вложения оказывается достаточно “сложной”, чтобы можно было надеяться в рамках такого подхода объяснить связываемые с ТМ эффекты без дополнительного усложнения теории. В разделах 2, 3 мы более подробно описываем теорию вложения, включая возможность ее формулировки в виде ОТО с вкладом дополнительной фиктивной материи в действии. В разделе 4 мы обсуждаем предел слабой гравитации для теории вложения и показываем, что для выполнения принципа суперпозиции гравитационного поля соответствующее плоской метрике фоновое вложение должно соответствовать ситуации общего положения и, в частности, не сводиться к четырехмерной плоскости в объемлющем пространстве. В разделе 5 изложены результаты рассмотрения нерелятивистского предела теории вложения, в котором фиктивная материя ведет себя как нерелятивистская жидкость, обладающая некоторым самодействием. Дальнейшее исследование свойств этой жидкости и их сравнение с наблюдаемыми свойствами ТМ позволит понять, может ли переход к описанию гравитации в форме теории вложения без каких-либо дополнительных модификаций объяснить наблюдаемые эффекты, объясняемые в настоящее время в рамках гипотезы существования ТМ. 2. Теория вложения – гравитация Редже–ТейтельбоймаПри описании гравитации в форме теории вложения вместо метрики $g_{\mu\nu}(x^\alpha)$ независимой переменной является функция вложения $y^a(x^\alpha)$, через которую $g_{\mu\nu}(x^\alpha)$ выражается формулой индуцированной метрики (10). При этом возникает характеризующий выбранный подход параметр – размерность объемлющего пространства $N$. Кроме того, в принципе, существует некоторый произвол в выборе его сигнатуры. Если предположить, что в терминах теории вложения должна существовать возможность задать произвольную метрику пространства-времени (по крайней мере – локально, т. е. для некоторой его части), то ограничение на $N$ возникает в соответствии с теоремой Жане–Картана–Фридмана [23]. Эта теорема гласит, что произвольное риманово пространство размерности $d$ может быть локально изометрически вложено в любое риманово пространство размерности а значит, в частности, в плоское пространство такой размерности. На псевдориманов случай теорема была обобщена Фридманом [23], тогда, кроме ограничения (11) на полную размерность $N$, возникает дополнительное естественное ограничение: чтобы количество как пространственных, так и временны́х направлений в объемлющем пространстве было не меньше, чем во вкладываемом псевдоримановом пространстве.Так как для нашего пространства-времени $d=4$, ограничение (11) дает $N\geqslant 10$, и чаще всего рассматривается теория вложения с размерностью объемлющего пространства $N=10$ (удивительно, что это та же размерность, в которой оказывается непротиворечивой теория суперструн, но причина такого совпадения совершенно неясна). Это значение наиболее естественно, поскольку при нем в замене переменных (10) количество старых переменных $g_{\mu\nu}$ и новых переменных $y^a$ оказывается одним и тем же. При этом сигнатура объемлющего пространства должна быть такой, чтобы в нем было не менее одного времениподобного направления. Обычно используется именно одно времениподобное направление, при этом в объемлющем пространстве имеется причинность – нет замкнутых времениподобных линий, что актуально для варианта теории вложения, имеющего вид теории поля в объемлющем пространстве-времени [24]. Таким образом, в качестве объемлющего пространства для теории вложения оказывается наиболее естественным выбрать десятимерное пространство Минковского $R^{1,9}$. В качестве действия теории вложения берется действие ОТО (2), в которое подставлено выражение индуцированной метрики (10). В результате варьирования по новой независимой переменной $y^a$ возникают уравнения Редже–Тейтельбойма [22], которые можно записать в двух эквивалентных формах:
$$
\begin{equation}
D_\mu ( (G^{\mu\nu}-\varkappa T^{\mu\nu}) \partial_\nu y^a)=0
\end{equation}
\tag{12}
$$
или где $b^a_{\mu\nu}=D_\mu\partial_\nu y^a$ – вторая основная форма поверхности. Следует отметить, что, несмотря на то что уравнения Эйнштейна содержат вторые производные от метрики, а замена (10) содержит дифференцирование, уравнения (13) не содержат производных от $y^a$ выше вторых. Чтобы это стало очевидным, достаточно воспользоваться формулой [25]
$$
\begin{equation}
G^{\mu\nu}= \frac{1}{2}g_{\xi\zeta}E^{\mu\xi\alpha\beta}E^{\nu\zeta\gamma\delta} b^a_{\alpha\gamma} b^b_{\beta\delta}\eta_{ab},
\end{equation}
\tag{14}
$$
где $E^{\mu\xi\alpha\beta}=\varepsilon^{\mu\xi\alpha\beta}/\sqrt{|g|}$ – ковариантный единичный антисимметричный тензор. Как видно, уравнения Редже–Тейтельбойма содержат больше решений, чем уравнения Эйнштейна, – кроме эйнштейновских решений есть и другие. Возникающее расширение динамики теории является следствием наличия дифференцирований в замене переменных (10), точно так же, как в обсуждавшейся в разделе 1 миметической гравитации. В результате в теории вложения, как и в миметической гравитации, оказывается больше динамических переменных по сравнению с ОТО, и эти переменные можно считать описывающими некоторую фиктивную материю, которую можно отождествить с ТМ. Чтобы выделить эти переменные, удобно переписать уравнения Редже–Тейтельбойма в виде эквивалентной совокупности уравнений [26]:
$$
\begin{equation}
D_\mu(\tau^{\mu\nu}\partial_\nu y^a)=0 \quad\Longleftrightarrow\quad \tau^{\mu\nu}b^a_{\mu\nu}=0.
\end{equation}
\tag{16}
$$
Первое из них представляет собой уравнение Эйнштейна, содержащее дополнительный вклад ТЭИ $\tau^{\mu\nu}$ фиктивной материи. Второе же можно воспринимать как уравнение, ограничивающее возможное поведение величины $\tau^{\mu\nu}$, а значит, как уравнение движения этой фиктивной материи. Таким образом, можно считать, что фиктивная материя описывается переменными $y^a$ и $\tau^{\mu\nu}$. Не все из этих двадцати переменных оказываются динамическими, т. е. имеют свои произвольные начальные данные. Определить количество соответствующих фиктивной материи динамических переменных и как-то их выделить в общем случае сложно, но это можно сделать в нерелятивистском пределе, который обсуждается в разделе 4. Подсчитать количество степеней свободы фиктивной материи также можно при изучении канонической (гамильтоновой) формулировки теории (см. ниже). Как уже отмечалось в разделе 1, для теорий, возникающих в результате замены переменной в действии ОТО, обычно существует возможность их переформулировки в виде ОТО с дополнительной фиктивной материей не только на уровне уравнений движения, но и на уровне действия, если записывать полное действие в виде (9) с некоторым выбором $S^{\mathrm{add}}$. Это удается сделать и для теории вложения, причем разными способами, использование которых может оказаться удобным при анализе свойств фиктивной материи в разных ситуациях. Простейший способ – запись $S^{\mathrm{add}}$ в виде [17]
$$
\begin{equation}
S^{\mathrm{add}}=\frac{1}{2}\int d^4 x\, \sqrt{-g} ( (\partial_\mu y^a)(\partial_\nu y_a) - g_{\mu\nu})\tau^{\mu\nu}.
\end{equation}
\tag{17}
$$
При таком выборе $S^{\mathrm{add}}$ ТЭИ фиктивной материи $\tau^{\mu\nu}$ (считаем его симметричным) оказывается множителем Лагранжа, варьирование по которому обеспечивает связь метрики $g_{\mu\nu}$ с функцией вложения $y^a$ условием индуцированности (10). Альтернативный способ записи $S^{\mathrm{add}}$, при котором в качестве независимой переменной вместо $\tau^{\mu\nu}$ выбирается некоторый набор сохраняющихся токов, описывается в разделе 3. После статьи [22] идеи теории вложения критически обсуждались в работе [27], а впоследствии они достаточно много использовались для описания гравитации, в том числе и в связи с ее квантованием (см., например, работы [24], [28]–[32]). Вначале теория вложения в основном рассматривалась как переформулировка ОТО, потенциально более удобная для квантования из-за наличия плоского объемлющего пространства, поэтому наличие в ней неэйнштейновских решений рассматривалось как недостаток. Для его устранения в работе [22] было предложено наложить дополнительные связи, делающие теорию эквивалентной ОТО, и изучался канонический формализм для возникающей теории. Исследования такого канонического формализма были продолжены в работах [25], [33], [34], а в работах [35]–[39] исследовалось гамильтоново описание уже полной теории вложения. Такое описание позволяет, в частности, определить количество степеней свободы теории вложения: оно оказывается равно шести, т. е. по сравнению с ОТО имеются еще четыре степени свободы, соответствующие фиктивной материи [39] (имеются в виду четыре пары сопряженных канонических переменных, чему на лагранжевом языке соответствуют четыре переменные, развитие которых со временем управляется дифференциальным уравнением второго порядка). С появлением проблемы ТМ усилился интерес к исследованиям именно полной теории вложения, поскольку неэйнштейновские решения можно использовать для объяснения ее эффектов [40]–[42]. Несколько устаревший, но очень подробный список литературы, связанной с теорией вложения и смежными с ней вопросами, может быть найден в обзоре [43]. 3. Альтернативная форма действияЗаметим, что в первой форме уравнение (16), которое можно понимать как уравнение движения фиктивной материи, имеет вид сохранения некоторого набора токов, нумеруемых индексом $a$: где Описание фиктивной материи на языке такого набора токов оказывается полезным для лучшего понимания ее свойств. Поэтому представляется интересным записать действие фиктивной материи, считая $j^\mu_a$ одной из описывающих ее переменных вместо $\tau^{\mu\nu}$. Следует отметить, что этому не мешает тот факт, что $j^\mu_a$ содержит больше компонент (их 40), чем $\tau^{\mu\nu}$ (которых 10).Соответствующее действие имеет вид [44]
$$
\begin{equation}
S^{\mathrm{add}}=\int d^4 x\, \sqrt{-g} \bigl( j^\mu_a\partial_\mu y^a-\operatorname{tr}\sqrt{g_{\mu\nu}j^\nu_a j^{\alpha a}}\,\bigr),
\end{equation}
\tag{20}
$$
где подразумевается взятие корня из матрицы с индексами $\mu$ и $\alpha$ с последующим взятием следа (операция $\operatorname{tr}$). При этом кроме $j^\mu_a$ фиктивную материю описывает также функция вложения $y^a$, которая в данном подходе превращается в множитель Лагранжа. Именно варьирование по нему дает условие Варьирование же по $j^\mu_a$ приводит к еще одному уравнению движения: где симметричный тензор $\hat\beta_{\mu\nu}$ является обратным к величине $\beta^{\mu\nu}$, компоненты которой $\beta_\mu^\alpha$ определяются как результат взятия корня из матрицы $g_{\mu\nu}j^\nu_a j^{\alpha a}$ с индексами $\mu$ и $\alpha$. При этом корень определяется через его разложение в ряд Тейлора вокруг единичной матрицы (подробнее см. [44]). Легко проверить, что из (22) напрямую следует условие индуцированности метрики (10):
$$
\begin{equation}
(\partial_\mu y^a)(\partial_\nu y_a)=\hat\beta_{\mu\alpha}j^{\alpha a} \hat\beta_{\nu\beta}j^{\beta}{}_a= \hat\beta_{\mu\alpha}\hat\beta_{\nu\beta}\beta^{\alpha\gamma}\beta_\gamma{}^\beta=g_{\mu\nu}.
\end{equation}
\tag{23}
$$
Поскольку действие (20) является вкладом в полное действие (9), варьирование (20) по метрике $g_{\mu\nu}$ дает ТЭИ фиктивной материи $\tau^{\mu\nu}$. Можно показать [44], что в результате варьирования получается $\tau^{\mu\nu}=\beta^{\mu\nu}$. Используя этот факт, можно из уравнения движения (22) выразить $j^\mu_a$, и результат совпадет с (19). Кроме того, поскольку уравнение движения (21) совпадает с уравнением (19), можно заключить, что ОТО с дополнительным вкладом (20) в действии (9) полностью воспроизводит уравнения движения теории вложения. Полезно заметить, как упрощается действие (20), если подставить в него набор токов $j^\mu_a$, в котором равны нулю все токи, кроме соответствующего $a=0$: $j^\mu_a=j^\mu\delta^a_0$ (тот же результат можно получить, если уменьшить размерность объемлющего пространства до значения $N=1$). Замечая, что для матрицы единичного ранга (именно такой ранг в данном случае имеет стоящая под корнем матрица в (20)) след корня из нее совпадает с корнем из следа, получаем упрощенное действие в виде
$$
\begin{equation}
\tilde S^{\mathrm{add}}=\int d^4 x\, \sqrt{-g} \bigl(j^\mu\partial_\mu y^{0}-\sqrt{j^\mu g_{\mu\nu} j^\nu}\,\bigr).
\end{equation}
\tag{24}
$$
Это выражение является одним из способов записи действия потенциально движущейся идеальной жидкости без давления [17], которой, как упоминалось в разделе 1, является фиктивная материя миметической гравитации. Поэтому можно сказать, что миметическая гравитация является некоторым пределом теории вложения, а полная теория вложения оказывается более сложной. Однако, если мы ограничиваем класс полей в действии, уменьшается и множество вариаций этих полей, а значит, теряется часть уравнений движения. Результат более аккуратного анализа, проводимого в рамках изучения нерелятивистского предела теории вложения, описан в разделе 5.
4. Предел слабой гравитацииГравитационное поле считается слабым, если метрика имеет вид
$$
\begin{equation}
g_{\mu\nu}=\eta_{\mu\nu}+h_{\mu\nu},\qquad h_{\mu\nu}\ll 1,
\end{equation}
\tag{25}
$$
где $\eta_{\mu\nu}$ – метрика пространства Минковского. При описании гравитации в рамках теории вложения возникает вопрос: как выбрать фоновую функцию вложения $\bar y^a$, соответствующую фоновой метрике $\eta_{\mu\nu}$? Очевидно, что произвол в выборе $\bar y^a$ существует – об этом свидетельствует хорошо известный факт, что в трехмерном пространстве часть цилиндра имеет ту же плоскую метрику, что и часть плоскости. Простейшим выбором фоновой функции вложения является вариант, соответствующий четырехмерной плоскости: Однако если искать решения в виде малых отклонений от такого фона, т. е. как то уравнения движения (13) теории вложения не будут линейны по отклонению $\delta y^a$ (они будут кубическими, что видно из записи тензора Эйнштейна в виде (14)). Таким образом, над фоном (26) теория вложения оказывается нелинеаризуемой, что было замечено еще в работе [27].Кроме неудобства в техническом плане, имеется более существенная проблема – нелинейность уравнений движения в пределе слабой гравитации противоречит принципу суперпозиции для гравитационного поля. Действительно, для того чтобы поправка $h_{\mu\nu}$ к плоской метрике, отвечающая (в том смысле, что уравнение Редже–Тейтельбойма (13) удовлетворено) сумме двух вкладов в ТЭИ обычной материи, была равна сумме поправок $h_{\mu\nu}$, отвечающих каждому из вкладов в ТЭИ, необходимо, чтобы входящий в (13) множитель $b^a_{\mu\nu}$ был отличен от нуля в нулевом порядке разложения по $\delta y^a$. Причем это должно выполняться для каждого из шести нетривиальных уравнений (13) – необходимо учитывать, что вторая основная форма $b^a_{\mu\nu}$ по индексу $a$ по определению ортогональна четырем касательным к поверхности векторам $\partial_\mu y^a$, так что из десяти уравнений (13) четыре уравнения в каждой точке выполняются тождественно. В результате можно заключить, что для выполнения принципа суперпозиции для гравитационного поля необходимо, чтобы соответствующая фоновой функции вложения $\bar y^a$ вторая основная форма $\bar b^a_{\mu\nu}$ имела ранг 6, если рассматривать ее как $(10\times10)$-матрицу с индексами $a$ и $(\mu\nu)$ (нужно учесть, что $b^a_{\mu\nu}$ симметрична по перестановке $\mu,\nu$ и эту пару индексов можно заменить на пробегающий десять значений мультииндекс). Для тривиального вложения (26) оказывается $\bar b^a_{\mu\nu}=0$, так что данное условие на ранг не выполняется. Вложения, для которых $b^a_{\mu\nu}$ имеют максимально возможный ранг (для рассматриваемых размерностей поверхности и объемлющего пространства он равен 6), можно назвать развернутыми, потому что в этом случае поверхность в объемлющем пространстве занимает подпространство максимально возможной размерности – ее нельзя дополнительно “развернуть”. Это соответствует ситуации общего положения, поскольку уменьшение ранга $b^a_{\mu\nu}$ является некоторым дополнительным условием и отвечает множеству меры ноль. Обладающие свойством развернутости вложения плоских метрик изучались в работе [45], для случая сферической симметрии такое вложение было предложено в работе [42]. Если фоновая функция вложения $\bar y^a$ является развернутой, то связь между поправкой $h_{\mu\nu}$ к плоской метрике и $\delta y^a$ к фоновой функции вложения оказывается линейной. Чтобы это увидеть, нужно разложить произвольную величину $\delta y^a$ на продольную и поперечную к фоновой поверхности части:
$$
\begin{equation}
\delta y^a=\xi^\mu\partial_\mu \bar y^a+\delta y^a_{\perp}, \qquad \delta y^a_{\perp}\partial_\mu \bar y_a=0.
\end{equation}
\tag{28}
$$
Тогда из (10) в первом порядке по $\delta y^a$ находим
$$
\begin{equation}
h_{\mu \nu} = (\partial_\mu \bar y_a)(\partial_\nu \delta y^a)+(\partial_\mu \delta y^a)(\partial _\nu \bar y_a) = \partial_\mu\xi_\nu+\partial_\nu\xi_\mu -2 \bar b^a _{\mu \nu} \delta y_{a \perp},
\end{equation}
\tag{29}
$$
где использованы определение и свойства второй основной формы (подробнее см., например, [25]). Если $\bar b^a_{\mu\nu}$ имеет ранг 6, то из этого соотношения можно найти все шесть компонент $\delta y^a_\perp$, что означает линейную связь между всеми компонентами $h_{\mu \nu}$ и $\delta y_a$. В случае же меньшего ранга какие-то компоненты $\delta y^a_\perp$ из линеаризованного соотношения найти нельзя, а значит, они оказываются связаны с $h_{\mu \nu}$ уже нелинейно. В итоге заключаем, что в качестве соответствующего пространству Минковского фонового вложения необходимо брать какое-то из развернутых вложений соответствующей метрики. Над таким фоном уравнения Редже–Тейтельбойма оказываются линеаризуемыми, причем в первом порядке имеется линейность по поправкам как к функции вложения, так и к метрике. При этом линеаризованные уравнения имеют вид
$$
\begin{equation}
(G^{\mu\nu}_\mathrm{lin}-\varkappa T^{\mu\nu}) \bar b^a_{\mu\nu}=0
\end{equation}
\tag{30}
$$
(здесь $G^{\mu\nu}_\mathrm{lin}$ – линеаризованный тензор Эйнштейна, стандартно выражающийся через $h_{\mu \nu}$), представляя собой шесть (вследствие упомянутой выше поперечности $\bar b^a_{\mu\nu}$ по индексу $a$) линейных комбинаций десяти уравнений Эйнштейна. Линеаризованные уравнения (30) изучались в работе [42] для случая сферической симметрии. Если ограничиваться только линейным приближением, то решение обладает произволом, соответствующим выбору распределения фиктивной материи. Этот произвол можно ограничить, если учесть уравнения во втором порядке, причем в случае предположения статичности метрики (что физически соответствует, например, конечной стадии образования галактики) возникает нелинейное уравнение на параметры линейного приближения. В результате удалось показать, что, используя произвол в выборе фонового вложения, его можно выбрать так, чтобы возникающий гравитационный потенциал хорошо соответствовал наблюдаемому распределению ТМ в гало галактик (если пренебречь отклонениями от сферической симметрии для реальных галактик). 5. Нерелятивистский пределКак отмечалось в разделе 3, фиктивную материю в теории вложения можно характеризовать набором токов $j^\mu_a$, сохраняющихся (в смысле (18) и (21)) вследствие уравнений движения. В работах [46], [47] изучался предел, в котором эти векторы будут нерелятивистскими, если рассматривать $j^\mu_a$ как нумеруемые индексом $\mu$ четыре вектора объемлющего пространства, т. е.
$$
\begin{equation}
j^\mu_a=\delta^0_a j^\mu+\delta j^\mu_a,\qquad \delta j^\mu_a\to 0.
\end{equation}
\tag{31}
$$
Если одновременно с взятием этого предела метрика становится плоской, то удается показать [47], что в некоторых координатах и для конечного интервала изменения времени $x^0$ фоновая функция вложения в пределе имеет вид (здесь и далее $i,k,\ldots=1,2,3$ и $I,K,\ldots=1,\ldots,9$), где $\bar y^I(x^i)$ – развернутое вложение евклидовой трехмерной метрики в евклидово девятимерное пространство. Поскольку трехмерная метрика общего вида имеет шесть независимых компонент, такое вложение параметризуется тремя (поскольку $9-6=3$) произвольными функциями. При этом предельное значение ТЭИ фиктивной материи принимает вид
$$
\begin{equation}
\bar\tau^{\mu\nu}=\bar\rho_\tau \delta^\mu_0 \delta^\nu_0,
\end{equation}
\tag{33}
$$
т. е. в пределе, взятом при временах из конечного интервала изменения $x^0$, она оказывается покоящейся – это уточняет результат, возникающий при взятии предела в действии (см. конец раздела 3). Уравнения движения требуют, чтобы плотность фиктивной материи не менялась со временем (снова в области конечных значений $x^0$), но она может произвольным образом зависеть от пространственных координат $x^i$, эта зависимость определяется выбором начальных данных. Поскольку в пределе фиктивная материя оказалась пылевидной и покоящейся, до перехода к пределу имеет место ситуация ее нерелятивистского движения. Соответствующая функции вложения (32) вторая основная форма имеет вид
$$
\begin{equation}
\bar b^a_{\mu\nu}=\delta^a_I\delta^i_\mu\delta^k_\nu\bar b^I_{ik},
\end{equation}
\tag{34}
$$
где величина $\bar b^I_{ik}$ поперечна по индексу $I$ (т. е. $b^I_{ik}\partial_m \bar y_I=0$) и, как следствие предполагающейся развернутости вложения, имеет ранг 6, если ее понимать как $(9\times6)$-матрицу с индексами $I$ и $(ik)$. Это позволяет ввести для нее обратную в определенном смысле величину $\bar\alpha^{ik}_a$, однозначно определяемую соотношениями
$$
\begin{equation}
\bar\alpha^{ik}_I=\bar\alpha^{ki}_I,\qquad \bar\alpha^{ik}_I \partial_m y^I=0,\qquad \bar\alpha^{ik}_I \bar b_{lm}^I=\frac{1}{2}(\delta^i_l\delta^k_m+\delta^i_m\delta^k_l).
\end{equation}
\tag{35}
$$
Для конечного интервала изменения $x^0$ эта величина, как и $\bar y^I$, от времени не зависит. Однако при взятии релятивистского предела необходимо устремлять к бесконечности скорость света $c$, связывающую $x^0$ с нерелятивистским временем $t$ стандартной формулой $x^0=ct$. В результате конечный интервал $t$ соответствует уже неограниченному интервалу $x^0$, и в итоге от времени $t$ величина $\bar y^I$ уже начинает зависеть. При этом она в каждый момент времени остается вложением евклидовой трехмерной метрики в евклидово девятимерное пространство, т. е. со временем с ней происходит изометрическое изгибание (напомним, что такое вложение параметризуется тремя функциями, но, к сожалению, записать явно такую параметризацию не удается). Можно сказать, что имеет место неравномерность по $x^0$ сходимости фоновой функции вложения к виду (32) – сходимость имеет место только для каждого конечного интервала $x^0$. Заметим, что вместе с $\bar y^I$ от $t$ начинает зависеть и $\bar\alpha^{ik}_I$. Если предположить, что обычная материя является пылевидной и медленно движущейся, то ее можно описывать плотностью $\rho$. Тогда в нерелятивистском пределе уравнения движения теории вложения сводятся [46], [47] к уравнению Пуассона для ньютоновского гравитационного потенциала $\varphi$ (где $G$ – гравитационная постоянная Ньютона) и нерелятивистским уравнениям движения фиктивной материи
$$
\begin{equation}
\partial_t \rho_\tau=-\partial_i (\rho_\tau v_\tau^i),
\end{equation}
\tag{39}
$$
$$
\begin{equation}
\partial_t (\rho_\tau v_\tau^m)=-\rho_\tau \partial_m\varphi+ \partial_l \{\rho_\tau\bar\alpha^{lm}_I [\bar\alpha^{ik}_I((\partial_i \gamma^L)(\partial_k \gamma^L)+\partial_i\partial_k\varphi)+2v_\tau^i\partial_i \gamma^I]\},
\end{equation}
\tag{40}
$$
где $\partial_t\equiv\partial/\partial t$,
$$
\begin{equation}
\gamma^I=(\partial_i \psi)\partial_i y^I+\bar{\alpha}^{ik}_I \partial_i\partial_k \psi.
\end{equation}
\tag{41}
$$
В этом нерелятивистском пределе фиктивная материя описывается ее плотностью $\rho_\tau=\tau^{00}$ и скоростью $v^i_\tau=c \tau^{0i}/\rho_\tau$, а также четырьмя переменными, которые можно назвать “геометрическими” – скалярной функцией $\psi$ и тремя неявно присутствующими функциями, параметризующими в каждый момент времени вложение $\bar y^I$ евклидовой трехмерной метрики в евклидово девятимерное пространство. Можно проверить, что уравнение (38) с учетом (41) гарантирует, что с течением времени функция вложения испытывает именно изометрическое изгибание. Таким образом, фиктивная материя описывается восемью переменными, что соответствует четырем парам канонически сопряженных переменных, о которых свидетельствует канонический анализ (см. конец раздела 2). Система уравнений (37)–(40) естественным образом разбивается на две пары. Первая пара – уравнения (37), (38) – определяет динамику четырех “геометрических” переменных и не содержит “физических” переменных $\rho_\tau$, $v^i_\tau$. Вторая пара – уравнения (39), (40) – определяет динамику “физических” переменных, но полного разделения переменных не происходит, поскольку “геометрические” переменные входят в (40) через величины $\bar{\alpha}^{ik}_I$ и $\gamma^I$. Физический смысл уравнения (39) ясен: это уравнение неразрывности для фиктивной материи. Физический же смысл уравнения (40) можно сделать более ясным, если переписать это уравнение в виде
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \rho_\tau (\partial_t &+ v_\tau^i\partial_i ) v_\tau^m={} \notag \\ &=-\rho_\tau \partial_m\varphi+ \partial_l \{\rho_\tau[v_\tau^l v_\tau^m+\bar\alpha^{lm}_I (\bar\alpha^{ik}_I((\partial_i \gamma^L)(\partial_k \gamma^L)+\partial_i\partial_k\varphi)+2v_\tau^i\partial_i \gamma^I)]\}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{42}
$$
При такой записи в левой части фигурирует ускорение “отдельной частицы” фиктивной материи (полезно напомнить, что с фундаментальной точки зрения этих частиц нет, но удобно обсуждать фиктивную материю в таких терминах), а тогда правая часть уравнения представляет собой силу (на единицу объема), действующую на эту частицу. При этом первое слагаемое – это обычная гравитационная сила, соответствующая ньютоновскому приближению, а остальные слагаемые – некоторая сила самодействия фиктивной материи, которая зависит не только от “физических” характеристик этой материи – плотности $\rho_\tau$ и скорости $v^i_\tau$, но и от ее “геометрических” характеристик $\psi$ и $y^I$. Соответствующая нерелятивистскому приближению функция вложения с учетом поправок по $1/c$ имеет вид [46], [47]
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, y^0=ct+\frac{1}{c}\,\psi(t,x^i)+o\biggl(\frac{1}{c^2}\biggr), \\ y^I=\bar y^I(t,x^i)+\frac{1}{c^2}\bar\alpha^{Iik}\biggl(\frac{1}{2}(\partial_i \psi)(\partial_k \psi)-\varphi\delta_{ik}\biggr)+o\biggl(\frac{1}{c^2}\biggr). \end{gathered}
\end{equation}
\tag{43}
$$
Наличие самодействия для фиктивной материи в теории вложения позволяет надеяться, что в случае ее отождествления с ТМ удастся решить упоминавшуюся в разделе 1 “core-cusp” проблему. Чтобы в процессе попыток решения этой проблемы избежать проведения трудоемких симуляций, учитывающих возникающие вследствие самодействия отклонения от ньютоновского поведения частиц фиктивной материи, можно использовать метод аналитической оценки профиля распределения материи [48]. Метод заключается в рассмотрении функции распределения частиц по возможным траекториям движения и установлении связи между поведением профиля и асимптотикой в нуле функции распределения частиц по модулю углового момента. 6. ЗаключениеПредложенная Редже и Тейтельбоймом [22] модифицированная теория гравитации – теория вложения – имеет простой геометрический смысл, заключающийся в предположении о том, что наше пространство-время представляет собой четырехмерную поверхность в плоском объемлющем пространстве. С другой стороны, теорию вложения можно понимать как результат проведения замены независимой переменной (10) в действии ОТО, что роднит эту теорию с популярной в последние годы миметической теорией гравитации [13] и другими модификациями гравитации, возникающими в результате содержащих дифференцирования замен переменных. При этом преимуществом теории вложения по сравнению с альтернативными вариантами является ясный геометрический смысл формулы замены переменной. В пределе слабого гравитационного поля принцип суперпозиции для гравитации требует использовать в качестве фонового вложения (соответствующего метрике пространства Минковского) развернутую поверхность [45]. Нахождение явного вида всех развернутых вложений для метрики пространства Минковского остается нерешенной математической задачей. При переформулировке теории вложения в виде ОТО с фиктивной материей возникающая фиктивная материя обладает достаточно большим числом степеней свободы – их оказывается четыре, что позволяет в начальный момент времени произвольно задавать восемь начальных функций. Такое большое количество степеней свободы позволяет надеяться на успешное объяснение многих эффектов, связываемых обычно с ТМ, в то время как для миметической гравитации для этого необходимо дополнительно усложнять теорию, вводя в действие новые члены. Для теории вложения, которая оказывается изначально достаточно сложной, есть надежда обойтись без дополнительных усложнений, однако сложность ее уравнений движения делает непростой задачей получение следствий, которые можно было бы сравнивать с наблюдениями ТМ. На масштабах галактик эта задача сводится к анализу решений нерелятивистских уравнений (37)–(40). Необходимо понять, какими свойствами обладает сила самодействия фиктивной материи и каким оказывается после ее учета профиль распределения фиктивной материи в галактиках. Нахождение из уравнений поведения этого профиля в области галактического гало позволит сравнить результаты с наблюдаемыми кривыми вращения галактик, а нахождение его поведения в центре галактики укажет, можно ли в рамках данного подхода решить упоминавшуюся в разделе 1 “core-cusp” проблему. Необходимо также исследовать поведение фиктивной материи на космологических масштабах – в предположении обычной для моделей Фридмана однородности и изотропии распределения обычной материи. Такое исследование было проведено в работах [40], [41]. Было показано, что при некотором выборе начального соотношения между количествами фиктивной и обычной материи (включая в последнее понятие и космологическую константу) можно получить наблюдаемое соотношение между ними в настоящее время [40], однако при естественном соотношении в начале эпохи инфляции к настоящему времени вклад фиктивной материи оказывается сильно подавлен [41]. Важно подчеркнуть, что в обеих указанных работах в качестве поверхности, соответствующей метрике модели Фридмана, было выбрано вложение в пятимерное объемлющее пространство. Если считать, что объемлющее пространство теории вложения десятимерное, это означает, что в рамках приближения симметрии модели Фридмана поверхность оказывается вложена в пятимерное подпространство объемлющего пространства. Как следствие, соответствующее вложение не является развернутым. Если это верно не только “в среднем” – на очень больших масштабах, но также и на малых, то на них не будет выполняться принцип суперпозиции для гравитационного поля (см. раздел 4), что противоречит наблюдениям. Поэтому необходимо предполагать, что в пятимерном подпространстве объемлющего пространства лежит только некоторая усредненная поверхность, а при более точном рассмотрении на малых масштабах точная поверхность из этого подпространства “выходит”, т. е. становятся заметными отклонения в поперечных к нему направлениях. Из-за нелинейности уравнений Редже–Тейтельбойма кажется маловероятным, что при такой постановке задачи останутся верными результаты, полученные для вложения, являющегося точно пятимерным. Поэтому необходимо повторить проведенное исследование, либо учитывая наличие дополнительных измерений, в которые поверхность “выходит” на малых масштабах, либо изначально выбирая вложение для метрики Фридмана, являющееся развернутым в том числе и на космологических масштабах. БлагодарностиАвтор благодарит организаторов VII международной конференции “Модели квантовой теории поля” (MQFT-2022), посвященной 82-летию профессора Александра Николаевича Васильева и 80-летию профессора Владимира Дмитриевича Ляховского. Конфликт интересовАвтор заявляет, что у него нет конфликта интересов.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Pas23} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|