| Теоретическая и математическая физика |
|
|
|
|
|
Конформная инвариантность и феноменология рождения частиц: сравнение геометрии Вейля с римановой геометрией В. А. Березин, И. Д. Иванова Институт ядерных исследований Российской академии наук, Москва, Россия
Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2023, Volume 216, Issue 3, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0040577923090040 
Реферативные базы данных:
   1. ВведениеЕсли предположить, что Вселенная возникла из “ничего” [1], то дополнительная симметрия увеличивает вероятность такого события. Это одна из причин, почему локальная конформная инвариантность выглядит хорошим кандидатом на роль фундаментальной симметрии природы. Эту идею поддерживают, в частности, Пенроуз [2] и ’т Хоофт [3]. Конформная инвариантность действия гравитации в римановой геометрии приводит к тому, что все космологические метрики (однородные и изотропные) оказываются вакуумными решениями [4], [5]. Одним из решений этой проблемы является рассмотрение гравитации Вейля [6], которая инвариантна относительно локального конформного преобразования. Гравитационный лагранжиан Вейля содержит члены, квадратичные по кривизне. Результаты, полученные несколькими независимыми исследовательскими группами [7]–[12], показывают, что появление подобных слагаемых связано с конформной аномалией, ответственной за рождение частиц в однопетлевом приближении квантовой теории поля. Изучение процессов рождения частиц в присутствии сильных внешних полей играет важную роль как в космологии, так и в физике черных дыр. Наиболее сложной задачей является учет обратного влияния этих процессов на метрику, так как оно включает в себя не только вклад от рожденных частиц, но и от поляризации вакуума. Точное решение квантовой задачи требует граничных условий, но последние могут налагаться только после решения уравнений поля с тензором энергии-импульса, полученным соответствующим усреднением из квантовой задачи. Для того чтобы обойти эти препятствия, использована модель, описывающая процесс рождения частиц феноменологически на классическом уровне, но с учетом обратного влияния. А именно, мы рассматриваем модификацию действия идеальной жидкости в форме, предложенной Рэем [13], где закон сохранения числа частиц заменен законом рождения [14]. 2. Геометрия ВейляПространство-время полностью определяется метрическим тензором $g_{\mu\nu}$ и аффинной связностью $\Gamma^\lambda_{\mu\nu}(x)$, первый задает интервал между близкими точками, в то время как последняя служит для определения параллельного переноса векторов, тензоров и их ковариантных производных
$$
\begin{equation}
\nabla_\lambda l^\mu= l^\mu_{\,,\lambda}+\Gamma_{\lambda\nu}^\mu l^\nu+\dotsb,
\end{equation}
\tag{2}
$$
где запятая в индексе обозначает частную производную. Тензор кривизны $R^\mu_{\nu\lambda\sigma}$ строится исключительно из $\Gamma_{\mu\nu}^\lambda$, а именно
$$
\begin{equation}
R^\mu_{\nu\lambda\sigma} =\frac{\partial\Gamma^\mu_{\nu\sigma}}{\partial x^\lambda} -\frac{\partial\Gamma^\mu_{\nu\lambda}}{\partial x^\sigma} +\Gamma^\mu_{\varkappa\lambda}\Gamma^\varkappa_{\nu\sigma} -\Gamma^\mu_{\varkappa\sigma}\Gamma^\varkappa_{\nu\lambda},
\end{equation}
\tag{3}
$$
и тензор Риччи $R_{\mu\nu}$, который представляет собой свертку тензора Римана, также зависит только от компонент связности $\Gamma_{\mu\nu}^\lambda$, Скалярная кривизна определяется как $R=g^{\mu\nu}R_{\mu\nu}$. С другой стороны, произвольная связность может быть выражена через следующие три тензора: метрический тензор $g_{\mu\nu}$, кручение $S^\lambda_{\mu\nu}$ и неметричность $Q_{\lambda\mu\nu}$,
$$
\begin{equation}
\Gamma^\lambda_{\mu\nu} =C^\lambda_{\mu\nu}+K^\lambda_{\mu\nu}+L^\lambda_{\mu\nu}, \qquad S^\lambda_{\mu\nu} =\Gamma^\lambda_{\mu\nu} -\Gamma^\lambda_{\mu\nu}, \qquad Q_{\lambda\mu\nu} =\nabla_\lambda g_{\mu\nu},
\end{equation}
\tag{5}
$$
где $C^\lambda_{\mu\nu}$ – символы Кристоффеля,
$$
\begin{equation}
C^\lambda_{\mu\nu}=\frac{1}{2}g^{\lambda\kappa}(g_{\kappa\mu,\nu} +g_{\kappa\nu,\mu}-g_{\mu\nu,\kappa})
\end{equation}
\tag{6}
$$
и
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, K^\lambda_{\mu\nu} &=\frac{1}{2}(S^\lambda_{\mu\nu}-S^{\lambda}_{\mu\nu}-S^{\lambda}_{\nu\mu}), \\ L^\lambda_{\mu\nu} &=\frac{1}{2}(Q^\lambda_{\mu\nu}-Q^{\lambda}_{\mu\nu}-Q^{\lambda}_{\nu\mu}). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{7}
$$
Заметим, что, используя символы Кристоффеля в качестве компонент связности, можно построить другую ковариантную производную – метрическую, отличную в общем случае от $\nabla_\mu$, которую мы будем обозначать точкой с запятой в индексе. Опускание и поднятие индексов осуществляется с помощью метрики $g_{\mu\nu}$ и обратной метрики $g^{\mu\nu}$ ($g^{\mu\nu}g_{\nu \lambda}=\delta_\lambda^\mu$) соответственно. При такой классификации риманова геометрия оказывается самой простой. Действительно, в этом случае $S^\lambda_{\mu\nu}=0$, $Q_{\lambda\mu\nu}=0$, и дифференциальную геометрию на многообразии описывает метрический тензор. Кроме того, тензор кривизны $R_{\mu\nu\lambda\sigma}$ обладает дополнительными алгебраическими симметриями (по определению он кососимметричен по второй паре индексов)
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, R_{\mu\nu\lambda\sigma}=R_{\lambda\sigma\mu\nu} =-R_{\nu\mu\lambda\sigma}=-R_{\mu\nu\sigma\lambda}, \\ R^\mu_{\nu\lambda\sigma}+R^\mu_{\sigma\nu\lambda} +R^\mu_{\lambda\sigma\nu}=0 \end{gathered}
\end{equation}
\tag{8}
$$
и подчиняется тождествам Бьянки
$$
\begin{equation}
R^\mu_{\nu\lambda\sigma;\kappa} +R^\mu_{\nu\kappa\lambda;\sigma} +R^\mu_{\nu\sigma\kappa;\lambda}=0.
\end{equation}
\tag{9}
$$
Кроме того, тензор Риччи симметричен, В геометрии Вейля тензор кручения по-прежнему равен нулю, $S^\lambda_{\mu\nu}=0$ (поскольку $\Gamma^\lambda_{\mu\nu}=\Gamma^\lambda_{\nu\mu}$), но неметричность нулю не равняется,
$$
\begin{equation}
Q_{\lambda\mu\nu}=\nabla_\lambda g_{\mu\nu}=A_\lambda g_{\mu\nu}.
\end{equation}
\tag{11}
$$
1-Форма $A_\lambda$ называется вектором Вейля. Соответственно компоненты связности имеют вид
$$
\begin{equation}
\Gamma^\lambda_{\mu\nu} =C^\lambda_{\mu\nu}+W^\lambda_{\mu\nu},
\end{equation}
\tag{12}
$$
$$
\begin{equation}
W^\lambda_{\mu\nu} =-\frac{1}{2}(A_\mu \delta^\lambda_\nu +A_\nu \delta^\lambda_\mu-A^\lambda g_{\mu\nu}),
\end{equation}
\tag{13}
$$
где $\delta^\lambda_\nu$ – символ Кронекера. В геометрии Вейля тензор кривизны $R_{\mu\nu\lambda\sigma}$ все так же кососимметричен по второй паре индексов, но некоторые другие симметрии теряются. Вместо этого получим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, R_{\mu\nu\lambda\sigma}+R_{\nu\mu\lambda\sigma}&=F_{\sigma\lambda}g_{\mu\nu}, \\ R_{\mu\nu\lambda\sigma}-R_{\lambda\sigma\mu\nu} &=\frac{1}{2}(F_{\mu\sigma}g_{\nu\lambda} -F_{\mu\lambda}g_{\nu\sigma}+F_{\nu\lambda}g_{\mu\sigma}-F_{\nu\sigma}g_{\mu\lambda}+F_{\mu\nu}g_{\lambda\sigma} -F_{\lambda\sigma}g_{\mu\nu}), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{14}
$$
где $F_{\mu\nu}$ – тензор напряженности,
$$
\begin{equation}
F_{\mu\nu}=\nabla_\mu A_\nu-\nabla_\nu A_\mu =A_{\nu;\mu}-A_{\mu;\nu}=A_{\nu,\mu}-A_{\mu,\nu}.
\end{equation}
\tag{15}
$$
Несмотря на это, циклическая сумма остается равной нулю,
$$
\begin{equation}
R_{\mu\nu\lambda\sigma}+R_{\mu\sigma\nu\lambda}+R_{\mu\lambda\sigma\nu}=0,
\end{equation}
\tag{16}
$$
и тождество Бьянки также сохраняется, но для ковариантной производной Вейля:
$$
\begin{equation}
\nabla_\kappa R^\mu_{\nu\lambda\sigma} +\nabla_\sigma R^\mu_{\nu\kappa\lambda} +\nabla_\lambda R^\mu_{\nu\sigma\kappa}=0.
\end{equation}
\tag{17}
$$
Отсюда можно вывести два следствия:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \nabla_\mu R_{\nu\lambda\sigma}^\mu =\nabla_\lambda R_{\nu\sigma}-\nabla_\sigma R_{\nu\lambda},\\ \nabla^\mu R_{\mu\nu}=(\nabla_\mu+A_\mu)R_\nu^\mu =\frac{1}{2}(\nabla_\nu R+A_\nu R+\nabla^\mu F_{\nu\mu}). \end{gathered}
\end{equation}
\tag{18}
$$
Заметим также, что тензор Риччи больше не является симметричным, Формула (1.7) в статье [15] описывает изменение тензора Римана при сдвиге связности на произвольный тензор. Применяя ее к частному случаю (12), получаем связь между тензорами кривизны, заданными связностями $\Gamma^\lambda_{\mu\nu}$ и $C^\lambda_{\mu\nu}$:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, R_{\nu\lambda\sigma}^\mu &={}_CR_{\nu\lambda\sigma}^\mu+W_{\nu\sigma;\lambda}^\mu -W_{\nu\lambda;\sigma}^\mu+W_{\lambda\kappa}^\mu W_{\nu\sigma}^\kappa-W_{\sigma\kappa}^\mu W_{\nu\lambda}^\kappa= {}_CR_{\nu\lambda\sigma}^\mu+{} \notag \\ &\quad{}+\frac{1}{2}\{g_{\nu\sigma}A_{;\lambda}^\mu -g_{\nu\lambda} A_{;\sigma}^\mu+\delta_\lambda^\mu A_{\nu;\sigma}-\delta_\sigma^\mu A_{\nu;\lambda} +\delta_\nu^\mu A_{\lambda;\sigma}-\delta_\nu^\mu A_{\sigma;\lambda}\}+{} \notag \\ &\quad{}+\frac{1}{4}\{A_\nu A_\sigma \delta_\lambda^\mu -A_\nu A_\lambda\delta_\sigma^\mu+g_{\nu\sigma}A_\lambda A^\mu -g_{\nu\lambda}A^\mu A_\sigma+{} \notag \\ &\quad{}+g_{\nu\lambda}\delta_\sigma^\mu A_\kappa A^\kappa -g_{\nu\sigma}\delta_\lambda^\mu A_\kappa A^\kappa\}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{20}
$$
здесь и далее индекс $C$ перед соответствующей величиной означает, что она относится к связности Леви–Чивиты $C^a_{bc}$. Аналогично для тензора Риччи и скалярной кривизны имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, R_{\nu\sigma} &={}_CR_{\nu\sigma}+W_{\nu\sigma;\mu}^\mu -W_{\nu\mu;\sigma}^\mu+W_{\mu\kappa}^\mu W_{\nu\sigma}^\kappa-W_{\sigma\kappa}^\mu W_{\nu\mu}^\kappa= \\ &={}_CR_{\nu\sigma}+\frac{3}{2} A_{\nu;\sigma} -\frac{1}{2}A_{\sigma;\nu}+\frac{1}{2}g_{\nu\sigma} A_{;\mu}^\mu +\frac{1}{2}A_\nu A_\sigma-\frac{1}{2}g_{\nu\sigma} A_\mu A^\mu, \\ R&=g^{\nu\sigma}R_{\nu\sigma}={}_CR+3A_{;\mu}^\mu-\frac{3}{2}A_\mu A^\mu. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{21}
$$
3. Локальное конформное преобразованиеВ попытке объединить гравитацию и электромагнетизм Вейль утверждал, что гравитация должна быть инвариантной относительно локального конформного преобразования:
$$
\begin{equation}
ds^2=\Omega^2(x)\,d\hat s^2=\Omega^2(x)\hat g_{\mu\nu}\,dx^\mu\,dx^\nu,
\end{equation}
\tag{22}
$$
где $\Omega(x)$ – конформный фактор, “крышками” обозначаются конформно преобразованные величины. Отметим, что конформное преобразование не меняет координаты. Символы Кристоффеля трансформируются следующим образом:
$$
\begin{equation}
C^\lambda_{\mu\nu}=\widehat C^\lambda_{\mu\nu} +\biggl(\frac{\Omega_{,\mu}}{\Omega}\delta^\lambda_\nu +\frac{\Omega_{,\nu}}{\Omega}\delta^\lambda_\mu -\frac{\Omega_{,\kappa}}{\Omega}g^{\lambda\kappa}g_{\mu\nu}\biggr).
\end{equation}
\tag{23}
$$
Вейль заметил, что если 1-форма преобразуется как то она представляет из себя калибровочное поле, как в электродинамике. Что еще более важно, связность $\Gamma^\lambda_{\mu\nu}$ оказывается конформно-инвариантной,
$$
\begin{equation*}
\Gamma^\lambda_{\mu\nu}=\widehat\Gamma^\lambda_{\nu\mu}.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда следует, что
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, R^\mu_{\nu\lambda\sigma}&=\widehat R^\mu_{\nu\lambda\sigma}, \\ R_{\mu\nu}&=\widehat R_{\mu\nu}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{25}
$$
В попытке инкорпорировать электродинамику в геометрию подобно гравитации и построить гравитационный лагранжиан, как в электродинамике, Вейль предложил следующее конформно-инвариантное действие:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, S_{\mathrm W}=\int\mathcal L_{\mathrm W}\sqrt{-g}\,d^4x, \\ \mathcal L_{\mathrm W}=\alpha_1R_{\mu\nu\lambda\sigma}R^{\mu\nu\lambda\sigma} +\alpha_2R_{\mu\nu}R^{\mu\nu}+\alpha_3R^2+\alpha_4F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{26}
$$
которое мы будем называть гравитацией Вейля и использовать далее в качестве действия гравитации. Отметим также, что существуют и другие теории гравитации, основанные на геометрии Вейля, например теория гравитации Вейля–Эйнштейна [16]. Используя формулы (20), (21), покажем связь инвариантов, представленных в данном лагранжиане, с величинами из римановой геометрии:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \mathcal L_{\mathrm W}&={}_C\mathcal L_{\mathrm W} +\frac{3}{4}(\alpha_1+\alpha_2+3\alpha_3) (A_\mu A^\mu)^2+(\alpha_1+2\alpha_2+9\alpha_3)(A_{;\mu}^\mu)^2+{} \notag \\ &\qquad{}+(2\alpha_1+\alpha_2)A_{\mu;\nu}A^{\mu;\nu} -\frac{1}{2}(4\alpha_1+5\alpha_2+18\alpha_3)A_{;\mu}^\mu A_\nu A^\nu+{} \notag \\ &\qquad{}+(2\alpha_1+\alpha_2)A_{\mu;\nu}A^\mu A^\nu +2(2\alpha_1+\alpha_2){}_CR^{\mu\nu}A_{\mu;\nu} +(\alpha_2+6\alpha_3){}_CRA_{;\mu}^\mu+{} \notag \\ &\qquad{}+(2\alpha_1+\alpha_2){}_CR^{\mu\nu}A_\mu A_\nu- (\alpha_2+\alpha_1+3\alpha_3){}_CRA_\mu A^\mu+{} \notag \\ &\qquad{}+\frac{1}{4}(4\alpha_4+4\alpha_1+3\alpha_2)F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{27}
$$
где ${}_C\mathcal L_{\mathrm W} =\alpha_1{}_CR_{\mu\nu\lambda\sigma}{}_CR^{\mu\nu\lambda\sigma} +\alpha_2{}_CR_{\mu\nu}{}_CR^{\mu\nu}+\alpha_3{}_CR^2$. Если вектор Вейля $A_\mu$ стремится к нулю, конформная инвариантность действия гравитации сохраняется только при соотношении коэффициентов
$$
\begin{equation}
\alpha_2=-2\alpha_1,\qquad \alpha_3=\frac{1}{3}\alpha_1
\end{equation}
\tag{28}
$$
и дополнительном условии $F^{\mu\nu}=0$. В этом случае лагранжиан $\mathcal L_{\mathrm W}$ пропорционален квадрату тензора Вейля и не зависит от $A_\mu$:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \mathcal L_{\mathrm W} &=\alpha_1\biggl(R_{\mu\nu\lambda\sigma}R^{\mu\nu\lambda\sigma} -2R_{\mu\nu}R^{\mu\nu}+\frac{1}{3}R^2\biggr)= \notag \\ &=\alpha_1\biggl({}_CR_{\mu\nu\lambda\sigma}{}_CR^{\mu\nu\lambda\sigma} -2{}_CR_{\mu\nu}{}_CR^{\mu\nu}+\frac{1}{3}{}_CR^2\biggr) ={}_C\mathcal L_{\mathrm W}= \notag \\ &=\alpha_1{}_CC_{\mu\nu\lambda\sigma}{}_CC^{\mu\nu\lambda\sigma} =\alpha_1{}_CC^2=\alpha_1C^2. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{29}
$$
Потерю конформной инвариантности при переходе от геометрии Вейля к римановой геометрии можно также объяснить тем, что при $A_\mu=\widehat A_\mu=0$ конформный множитель $\Omega$ является константой, т. е. локальное конформное преобразование становится глобальным. С одной стороны, слагаемое, пропорциональное квадрату тензора напряженности, можно было бы обратить в нуль, положив $\alpha_4=-\alpha_1-3\alpha_2/4$. С другой стороны, вариация гравитационного лагранжиана по $A_\mu$ тождественно равна нулю, если помимо отношений (28) также положить $\alpha_1+\alpha_2+2\alpha_4=0$:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \delta_A\mathcal L_{\mathrm W}&=\delta A_\mu \{2(\alpha_1+\alpha_2+2\alpha_4)F_{;\nu}^{\mu\nu} -2(2\alpha_1+\alpha_2)R_{;\nu}^{\mu\nu} +2(2\alpha_1+\alpha_2)A_\nu(R^{\mu\nu}+F^{\mu\nu})-{} \notag \\ &\quad{}-2(\alpha_1+\alpha_2+3\alpha_3)R A^\mu -(\alpha_2+6\alpha_3)R^{;\mu}\}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{30}
$$
поэтому для сохранения конформной инвариантности при переходе к римановой геометрии тензор напряженности необходимо положить равным нулю. Полный интеграл действия состоит из гравитационной части $S_{\mathrm W}$ и действия полей материи $S_{\mathrm m}$:
$$
\begin{equation}
S_{\mathrm{tot}}=S_{\mathrm W}+S_{\mathrm m},\qquad S_{\mathrm m}=\int\mathcal L_{\mathrm m}\sqrt{-g}\,d^4x.
\end{equation}
\tag{31}
$$
Важно отметить, что в то время как действие гравитации Вейля конформно-инвариантно, действие материи $S_{\mathrm m}$ не обязательно обладает таким свойством, но его вариация $\delta S_{\mathrm m }$ должна быть конформно-инвариантной. По определению
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \delta S_{\mathrm m}&\overset{\mathrm{def}}{=}-\frac{1}{2} \int T^{\mu\nu}(\delta g_{\mu\nu})\sqrt{-g}\,d^4x -\int G^\mu(\delta A_\mu)\sqrt{-g}\,d^4x+{} \notag \\ &\qquad{}\!\!+\int\frac{\delta\mathcal L_{\mathrm W}}{\delta\Psi}(\delta\Psi)\sqrt{-g}\,d^4x, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{32}
$$
где $G^\mu$ – некоторый вектор, который можно назвать током Вейля, а $\Psi$ – коллективная динамическая переменная, описывающая поля материи. Движение материи определяется уравнением Лагранжа $\delta S/\delta\Psi=0$. Поскольку
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \delta g_{\mu\nu}=2\Omega\hat g_{\mu\nu}(\delta\Omega) =2g_{\mu\nu}\frac{\delta\Omega}{\Omega}, \\ \delta A_\mu=2\delta\biggl(\frac{\Omega_{,\mu}}{\Omega}\biggr) =2\delta(\ln\Omega)_{,\mu}=2(\delta(\ln\Omega))_{,\mu} =2\biggl(\frac{\delta\Omega}{\Omega}\biggr)_{\!,\mu}, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{33}
$$
в таком случае
$$
\begin{equation}
\delta S=0=-\int T^{\mu\nu}g_{\mu\nu} \biggl(\frac{\delta\Omega}{\Omega}\biggr)\sqrt{-g}\,d^4x -2\int G^\mu\biggl(\frac{\delta\Omega}{\Omega}\biggr)_{\!,\mu}\sqrt{-g}\,d^4x,
\end{equation}
\tag{34}
$$
и, опуская полную производную, получим Это можно назвать условием самосогласованности. Заметим, что оно содержит не ковариантную производную Вейля, а метрическую. Условие самосогласованности необходимо добавить к уравнениям поля. В случае вышеупомянутого перехода к римановой геометрии, при котором сохраняется конформная инвариантность действия гравитации, оно сводится к бесследовости тензора энергии-импульса.
4. Идеальная жидкостьРассмотрим идеальную жидкость в качестве поля материи и выберем следующий интеграл действия [13]:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, S_{\mathrm m}&=-\int\varepsilon(X,n)\sqrt{-g}\,d^4x +\int\lambda_0(u_\mu u^\mu-1)\sqrt{-g}\,d^4x+{} \notag \\ &\qquad{}+\int\lambda_1(n u^\mu)_{;\mu}\sqrt{-g}\,d^4x +\int\lambda_2X_{,\mu}u^\mu\sqrt{-g}\,d^4x. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{36}
$$
Динамическими переменными являются плотность числа частиц $n(x)$, $4$-скорость $u^\mu(x)$ и вспомогательная переменная $X(x)$. Плотность энергии $\varepsilon$ задает уравнение состояния $p=p(\varepsilon)$, где
$$
\begin{equation}
p=n\frac{\partial\varepsilon}{\partial n}-\varepsilon
\end{equation}
\tag{37}
$$
– гидродинамическое давление. Вариация $S_{\mathrm m}$ по множителям Лагранжа $\lambda_0$, $\lambda_1$ и $\lambda_2$ дает следующие связи: нормировку $4$-скоростей $u^\mu u_\mu=1$, сохранение числа частиц $(nu^\mu)_{;\mu }=0$ и нумерацию траекторий $X_{,\mu}u^\mu=0$ соответственно. Тензор энергии-импульса равен Нашей целью является изучение возможных модификаций действия идеальной жидкости при переходе от римановой геометрии к геометрии Вейля. Для этого рассмотрим поведение точечной частицы в заданном гравитационном поле. Хорошо известно, что в случае римановой геометрии единственным возможным вариантом является
$$
\begin{equation}
S_\mathrm{part}=-m\int\,ds =-m\int\sqrt{g^{\mu\nu}(x)\,\frac{dx^\mu}{d\tau}\,\frac{dx^\nu}{d\tau}}\,d\tau,
\end{equation}
\tag{39}
$$
где $m$ – масса покоя частицы, $\tau$ – ее собственное время, и динамической переменной является траектория $x^\mu(\tau)$. Тогда принцип наименьшего действия $\delta S_\mathrm{part}=0$ приводит к движению по геодезической $u_{\mu;\nu}u^\nu=0$ ($u^\mu=dx^\mu/d\tau$). В случае геометрии Вейля существует еще один инвариант: Возможная структура интеграла действия усложняется:
$$
\begin{equation}
S_{\mathrm{part}}=\int f_1(B)\,ds+\int f_2(B)\,d\tau =\int\{f_1(B)\sqrt{g_{\mu\nu}u^\mu u^\nu}+f_2(B)\}\,d\tau
\end{equation}
\tag{41}
$$
с некоторыми произвольными функциями $f_1(B)$ и $f_2(B)$. Соответствующие уравнения движения имеют вид
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, f_1(B)u_{\lambda;\mu}u^\mu\!=((f''_1(B)+f''_2(B))A_\lambda-f'_1(B)u_\lambda))B_{,\mu}u^\mu\!+ (f'_1(B)+f'_2(B))F_{\lambda\mu}u^\mu, \\ F_{\lambda\mu}=A_{\mu,\lambda}-A_{\lambda,\mu}. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{42}
$$
Поскольку $F_{\lambda\mu}u^\lambda u^\mu\equiv 0$ и $u_{\lambda;\mu}u^\lambda\equiv 0$, приведенные выше уравнения являются самосогласованными, если или Простейший способ добавить взаимодействие с вектором Вейля $A_\mu$ в лагранжиан идеальной жидкости заключается в том, чтобы сделать замену Это приводит к поправкам вклада $G^\mu[\mathrm{part}]$ в ток Вейля и в тензор энергии-импульса $T^{\mu \nu}[\mathrm{part}]$, а именно:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, G^\mu[\mathrm{part}]=\frac{\partial\varepsilon}{\partial B}u^\mu, \\ T^{\mu\nu}[\mathrm{part}]=\biggl((\varepsilon+p) -B\frac{\partial\varepsilon}{\partial B}\biggr)u^\mu u^\nu -pg^{\mu\nu}. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{46}
$$
Таким образом, условие самосогласованности имеет вид
$$
\begin{equation}
2\biggl(\frac{\partial\varepsilon}{\partial B}u^\mu\biggr)_{;\mu} =\varepsilon-3p-B\frac{\partial\varepsilon}{\partial B}.
\end{equation}
\tag{47}
$$
Отметим, что в случае упомянутого выше перехода к римановой геометрии оно сводится к следующему: поэтому для конформно-инвариантного действия гравитации рассматриваемая материя может быть только излучением.
5. Темп рождения частицВ ходе изучения процессов квантового рождения частиц скалярным полем на фоне космологической модели [17]–[19] было установлено, что основную роль в них играет конформная аномалия, которая является следствием процедуры перенормировки, необходимой в квантовой теории поля. Конформная аномалия может быть включена в интеграл действия, где она состоит из двух частей: локальной и нелокальной. Локальная часть входит в гравитационный лагранжиан в виде набора контрчленов и в однопетлевом приближении равна сумме членов, квадратичных по тензору кривизны и его сверткам. Поскольку лагранжиан гравитации Вейля состоит именно из таких квадратичных членов, логично предположить, что происходит рождение частиц. В этом случае имеем где “закон рождения” $\Phi$ зависит от некоторых инвариантов. Самый простой способ учесть рождение в лагранжиане идеальной жидкости – модифицировать соответствующую связь [14].Таким образом, мы приходим к следующему интегралу действия материи:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, S_{\mathrm m}={}&-\int\varepsilon(X,B,n)\sqrt{-g}\,d^4x +\int\lambda_0(u_\mu u^\mu-1)\sqrt{-g}\,d^4x+{} \notag \\ &+\int\lambda_1((nu^\mu)_{;\mu}-\Phi(\mathrm{inv}))\sqrt{-g}\,d^4x +\int\lambda_2X_{,\mu}u^\mu\sqrt{-g}\,d^4x. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{49}
$$
Поскольку гравитация Вейля конформно-инвариантна, естественно проверить поведение функции рождения $\Phi$ при таком преобразовании. Имеем
$$
\begin{equation}
n=\frac{\hat n}{\Omega^3},\qquad u^\mu=\frac{\hat u^\mu}{\Omega},\qquad \sqrt{-g}=\Omega^4\sqrt{-\hat g},
\end{equation}
\tag{50}
$$
следовательно
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, (n u^\mu)_{;\mu}&=\frac{1}{\sqrt{-g}}(nu^\mu\sqrt{-g})_{,\mu} =\frac{1}{\sqrt{-g}} \biggl(\frac{\hat n}{\Omega^3} \frac{\hat u^\mu}{\Omega}\Omega^4\sqrt{-\hat g}\biggr)_{\!,\mu}= \notag \\ &=\frac{1}{\sqrt{-g}}(\hat n\hat u^\mu\sqrt{-\hat g})_{,\mu}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{51}
$$
и получаем, что слагаемое $(nu^\mu)_{;\mu}\sqrt{-g}$ является конформно-инвариантным. В отсутствие классических внешних полей частицы рождаются исключительно за счет флуктуаций вакуума, обусловленных гравитацией, поэтому функция $\Phi$ должна зависеть от геометрических инвариантов. В случае геометрии Вейля мы готовы записать результат для закона рождения:
$$
\begin{equation}
\Phi=\alpha'_1R_{\mu\nu\lambda\sigma}R^{\mu\nu\lambda\sigma} +\alpha'_2R_{\mu\nu}R^{\mu\nu} +\alpha'_3R^2+\alpha'_4F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}
\end{equation}
\tag{52}
$$
(в силу описанных выше причин нас интересуют только квадратичные члены). Конечно, функция $\Phi$ будет давать вклад как в ток Вейля ($G^\mu[\mathrm{gr}]$), так и в тензор энергии-импульса ($T^{\mu\nu}[\mathrm{gr}]$). Поскольку уравнения движения для рассматриваемого лагранжиана материи содержат только производные от множителя Лагранжа $\lambda_1$, он определен с точностью до константы. Слагаемое $\int C(nu^\mu)_{;\mu}\sqrt{-g}\,d^4x$ оказывается чисто топологическим при сдвиге множителя Лагранжа на постоянную величину: $\lambda_1\to\lambda_1+C$, тогда как слагаемое $-\int C\Phi\sqrt{-g}\,d^4x$ может быть включено в гравитационный лагранжиан. Таким образом, рассматриваемое действие материи в сочетании с конформно-инвариантным действием гравитации Вейля в некотором смысле эквивалентно индуцированной гравитации, где нет ничего, кроме действия материи. Впервые модели, в которых отсутствует отдельное действие гравитации, были изучены Сахаровым [20]. Он предположил, что гравитационное поле не является фундаментальным, а представляет из себя результат усредненного влияния вакуумных флуктуаций всех остальных квантовых полей. Эти представления легли в основу теории индуцированной гравитации. Для индуцированной гравитации уравнения $T=0$ и $G^\mu=0$ не зависят друг от друга, поэтому условие самосогласованности становится тривиальным. В этом случае можно использовать другой подход, а именно рассматривать конформную инвариантность только первого слагаемого в действии материи. Множитель при $\lambda_1$ конформно-инвариантен, поэтому его вариация относительно $\delta\Omega$ равна нулю, множители при $\lambda_0$ и $\lambda_2$ конформно-неинвариантны, но их вариация относительно $\delta\Omega$ обращается в нуль в силу связей, полученных вариацией по этим множителям Лагранжа. Таким образом, для индуцированной гравитации условие самосогласованности сводится к следующему:
$$
\begin{equation}
\varepsilon-3p-B\frac{\partial\varepsilon}{\partial B} =2\biggl(\frac{\partial\varepsilon}{\partial B}u^\mu\biggr)_{\!;\mu}.
\end{equation}
\tag{53}
$$
Очевидно, оно полностью совпадает с условием (47), поскольку добавка к тензору импульса, связанная с $\Phi$, полностью уравновешивается поправкой к току Вейля: Это следствие конформной инвариантности $\Phi\sqrt{-g}$ и гравитационного действия. Кроме того, это соотношение выполняется не только для случая рождения частиц под действием гравитации, но и при наличии внешних полей, инварианты которых могут входить в функцию $\Phi$. Как было показано выше, для лагранжиана гравитации Вейля в случае перехода к римановой геометрии закон рождения сводится к следующему: Такой же результат был получен в работе [21] для случая рождения частиц за счет вакуумных флуктуаций безмассового скалярного поля на фоне однородного и слабоанизотропного космологического пространства-времени. Вклад в тензор энергии-импульса для случая римановой геометрии составляет
$$
\begin{equation*}
T^{\mu\nu}[\mathrm{gr}]=-8\alpha'_1 \biggl((\lambda_1C^{\mu\sigma\nu\kappa})_{;\kappa;\sigma} +\frac{1}{2}R_{\sigma\kappa}(\lambda_1C^{\mu\sigma\nu\kappa})\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
6. Введение скалярного поляПерейдем к рассмотрению функции $\Phi$ более сложного вида, когда вклад в процесс рождения частиц вносит не только гравитация, но и некоторое внешнее скалярное поле $\varphi$, а плотность энергии частиц зависит от $\varphi$: Как отмечено выше, комбинация $\sqrt{-g}\Phi$ должна быть конформно-инвариантной, поэтому одним из самых простых способов включения скалярного поля является следующий:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \Phi[\varphi]&=\varphi\biggl\{\alpha\biggl(\square\varphi +A^\mu\,\partial_\mu\varphi+\frac{1}{2}\varphi\triangledown_\mu A^\mu +\frac{3}{4}\varphi A_\mu A^\mu\biggr)+\xi\varphi R +\Lambda\varphi^3\biggr\}= \notag \\ &=\varphi\biggl\{\alpha\varphi_{;\mu}^{;\mu} +\frac{1}{2}\varphi(\alpha+6\xi) \biggl( A_{;\mu}^\mu-\frac{1}{2}A_\mu A^\mu\biggr) +\xi\varphi_CR+\Lambda\varphi^3\biggr\}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{55}
$$
где $\alpha$, $\xi$, $\Lambda$ – некоторые константы. Можно проверить, что эта функция инвариантна относительно конформного преобразования, если скалярное поле преобразуется по закону В геометрии Вейля эта комбинация конформно-инвариантна при любых значениях коэффициентов $\alpha$ и $\xi$. Если же вектор Вейля $A_\mu$ устремить к нулю, то конформная инвариантность сохраняется только при $\xi=-\alpha/6$, так как для такой комбинации коэффициентов функция $\Phi[\varphi]$ не зависит от $A_\mu$. Вычислим поправки к тензору энергии-импульса и току Вейля, обусловленные введением скалярного поля для этой модели:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, T^{\mu\nu}[\varphi]&=\alpha(\lambda_1\varphi)^{,\mu}\varphi^{,\nu} +\alpha(\lambda_1\varphi)^{,\nu}\varphi^{,\mu} -2\xi\{\lambda_1\varphi^2_CG^{\mu\nu}-(\lambda_1\varphi^2)^{;\mu;\nu} +g^{\mu\nu}(\lambda_1\varphi^2)_{;\kappa}^{;\kappa}\}+{} \notag\\ &\quad{}+\frac{1}{2}(\alpha+6\xi)\biggl\{A^\mu(\lambda_1\varphi^2)^{,\nu} +A^\nu(\lambda_1\varphi^2)^{,\mu} -g^{\mu\nu}A^\kappa(\lambda_1\varphi^2)_{,\kappa}+{} \notag\\ \\ &\quad{}+\lambda_1\varphi^2 \biggl(A^\mu A^\nu-\frac{1}{2}g^{\mu\nu}A_\kappa A^\kappa\biggr)\biggr\} +\lambda_1g^{\mu\nu}\Lambda\varphi^4 -g^{\mu\nu}\alpha(\lambda_1\varphi )_{,\kappa}\varphi^{,\kappa}, \notag\\ G^\mu[\varphi]&=-\frac{1}{2}(\alpha+6\xi) \{(\lambda_1\varphi^2)^{,\mu}+A^\mu\lambda_1\varphi^2\}, \notag \end{aligned}
\end{equation}
\tag{57}
$$
где $G^{\mu\nu}=R^{\mu\nu}-g^{\mu\nu}R/2$ – тензор Эйнштейна. При введении внешнего скалярного поля появляется дополнительное уравнение движения, полученное варьированием действия материи по $\varphi$:
$$
\begin{equation}
\alpha\lambda_1\varphi_{;\mu}^{;\mu}+\alpha(\lambda_1\varphi)_{;\mu}^{;\mu} +4\lambda_1\Lambda\varphi^3+2\xi\lambda_1\varphi_CR +\lambda_1\varphi(\alpha+6\xi)\biggl(A_{;\mu}^\mu-\frac{1}{2}A_\mu A^\mu\biggr) =-\frac{\partial\varepsilon}{\partial\varphi}.
\end{equation}
\tag{58}
$$
Следуя рассуждениям, приведенным в предыдущем разделе, мы можем также рассмотреть случай индуцированной гравитации для этой модели. Это позволяет не вводить в действие материи дополнительные члены, связанные с внешним скалярным полем. Тогда условие самосогласованности модифицируется следующим образом:
$$
\begin{equation*}
\varepsilon-3p-B\,\frac{\partial\varepsilon}{\partial B} -\varphi\,\frac{\partial\varepsilon}{\partial\varphi} =2\biggl(\frac{\partial\varepsilon}{\partial B}u^\mu\biggr)_{\!;\mu}.
\end{equation*}
\notag
$$
Как показано выше, оно верно как для индуцированной гравитации, так и для случая, когда действие гравитации является конформно-инвариантным. Рассмотрим описанный выше переход к римановой геометрии. В этом случае поправки к закону рождения и тензору энергии-импульса, связанные со скалярным полем, а также уравнения движения для $\varphi$ имеют вид
$$
\begin{equation}
\Phi[\varphi] =\varphi\biggl\{\alpha\varphi_{;\mu}^{;\mu} -\frac{1}{6}\alpha\varphi R+\Lambda\varphi^3\biggr\},
\end{equation}
\tag{59}
$$
$$
\begin{equation}
T^{\mu\nu}[\varphi] =\alpha(\lambda_1\varphi)^{,\mu}\varphi^{,\nu} +\alpha(\lambda_1\varphi)^{,\nu}\varphi^{,\mu} +\frac{\alpha}{3}\bigl\{\lambda_1\varphi^2G^{\mu\nu} -(\lambda_1\varphi^2)^{;\mu;\nu} +g^{\mu\nu}(\lambda_1\varphi^2)_{;\kappa}^{;\kappa}\bigr\}+{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\quad{}+\lambda_1g^{\mu\nu}\Lambda\varphi^4 -g^{\mu\nu}\alpha(\lambda_1\varphi)_{,\kappa}\varphi^{,\kappa},
\end{equation}
\tag{60}
$$
$$
\begin{equation}
\alpha\lambda_1\varphi_{;\mu}^{;\mu}+\alpha(\lambda_1\varphi)_{;\mu}^{;\mu} +4\lambda_1\Lambda\varphi^3-\frac{\alpha}{3}\lambda_1\varphi R =-\frac{\partial\varepsilon}{\partial\varphi}.
\end{equation}
\tag{61}
$$
Условие самосогласованности сводится к следующему:
$$
\begin{equation}
T=\varepsilon-3p+4\lambda_1\Lambda\varphi^4 -\frac{\alpha}{3}\lambda_1\varphi^2R+\alpha\varphi(\mu_1\varphi)_{;\mu}^{;\mu} +\alpha\lambda_1\varphi\varphi_{;\mu}^{;\mu} =\varepsilon-3p-\varphi\,\frac{\partial\varepsilon}{\partial\varphi}=0,
\end{equation}
\tag{62}
$$
где было использовано уравнение движения (61). Таким образом, в римановой геометрии в случае конформно-инвариантного действия гравитации при добавлении скалярного поля рассматриваемая идеальная жидкость больше не сводится исключительно к излучению. Вместо этого получаем следующее ограничение:
$$
\begin{equation*}
\varepsilon-3p=\varphi\,\frac{\partial\varepsilon}{\partial\varphi}.
\end{equation*}
\notag
$$
Для частиц пыли $p=0$, поэтому из этого уравнения следует, что $\varepsilon=Cn\varphi$, где $C$ – некоторая константа. Для излучения $\varepsilon=3p$, тогда $\partial\varepsilon/\partial\varphi=0$. Это означает, что плотность энергии либо не зависит от скалярного поля, либо $\varphi$ соответствует экстремумам функции $\varepsilon$ на уравнениях движения. Те же результаты верны и для геометрии Вейля при выборе специальной калибровки, для которой выполняется следующее условие:
$$
\begin{equation}
-B\,\frac{\partial\varepsilon}{\partial B} =2\biggl(\frac{\partial\varepsilon}{\partial B}u^\mu\biggr)_{\!;\mu}.
\end{equation}
\tag{63}
$$
Рассмотрим также космологические решения, под которыми мы понимаем однородные и изотропные многообразия, описываемые метрикой Робертсона–Уокера:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, ds^2=dt^2-a^2(t)\,dl^2, \\ dl^2=\gamma_{ij}\,dx^i\,dx^j=\frac{dr^2}{1-kr^2} +r^2(d\theta^2+\sin^2\theta\,d\varphi^2),\qquad k=0,\pm 1, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{64}
$$
с масштабным коэффициентом $a(t)$. Ввиду высокого уровня симметрии примем, что все динамические переменные, кроме метрики, зависят только от $t$ и $u^a=\delta^a_0$. Рассмотрим случай римановой геометрии с конформно-инвариантным действием гравитации. Как уже было отмечено, конформная инвариантность важна в контексте космологии. Уравнения движения для метрики (64) и действия материи (49) со скалярным полем имеют вид
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &0=T^{\mu\nu}=(p+\varepsilon)\delta_0^\mu\delta_0^\nu -pg^{\mu\nu}+\Lambda g^{\mu\nu}\lambda_1\varphi^4 +\alpha(2\delta_0^\mu\delta_0^\nu-g^{\mu\nu}) (\lambda_1\dot\varphi+\varphi\dot\lambda_1)\dot\varphi+{} \\ &\hphantom{0={}}+\frac{\alpha}{3}\biggl\{\lambda_1\varphi^2G^{\mu\nu} -(\lambda_1\varphi^2)^{;\nu;\mu}+\frac{g^{\mu\nu}}{a^3}\,\frac{d}{dt} (a^3\varphi(2\lambda_1\dot\varphi+\varphi\dot\lambda_1))\biggr\}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{65}
$$
$$
\begin{equation}
2\lambda_1\frac{1}{a^3}\,\frac{d}{dt}(a^3\dot\varphi) +\varphi\frac{1}{a^3}\,\frac{d}{dt}(a^3\dot{\lambda}_1) +2\dot\lambda_1\dot\varphi+\frac{4\Lambda}{\alpha}\lambda_1\varphi^3 -\frac{1}{3}\lambda_1\varphi R =-\frac{1}{\alpha}\,\frac{\partial\varepsilon}{\partial\varphi},
\end{equation}
\tag{66}
$$
$$
\begin{equation}
\Phi=\alpha\varphi\biggl(\frac{1}{a^3}\,\frac{d}{dt}(a^3\dot\varphi) -\frac{1}{6}\varphi R+\frac{\Lambda}{\alpha}\varphi^3\biggr) =(nu^\mu)_{;\mu}=\frac{1}{a^3}\,\frac{d}{dt}(a^3n),
\end{equation}
\tag{67}
$$
$$
\begin{equation}
\lambda_{1,\mu}u^\mu=\dot\lambda_1=-\frac{p+\varepsilon}{n},
\end{equation}
\tag{68}
$$
где точка обозначает производную по $t$. В работах [4], [5] показано, что для метрики (64) тензор Вейля и, как следствие, тензор Баха равны нулю. В связи с этим левая часть уравнения (65) равна нулю, и в законе рождения (67) отсутствует вклад от гравитации $\alpha'_1C^2$. Рассмотрим частный случай $\varphi=0$. Из уравнений (65), (67) получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, T^{00}=\varepsilon=0,\qquad T^{i\nu}=-pg^{i\nu}=0,\quad i\ne 0, \\ \Phi=0=\frac{1}{a^3}\,\frac{d}{dt}(a^3n). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Возможны два варианта: либо $n=0$, либо $\partial\varepsilon/\partial n=0$, но согласно физической интерпретации оба варианта соответствуют вакууму. Таким образом, без скалярного поля не только нет рождения частиц, но и $\varepsilon=n=0$, поэтому метрика (64) в данном случае является вакуумным решением.
7. Обсуждение и выводыВ данной работе мы исследовали применение геометрии Вейля к действию идеальной жидкости с переменным числом частиц, которое используется для феноменологического описания процессов рождения частиц на фоне сильных внешних полей. Конформно-инвариантная гравитация Вейля рассматривалась в качестве действия гравитации. В рамках этой модели был исследован переход к римановой геометрии, сохраняющий конформную инвариантность. Оказалось, что при таком переходе нельзя просто устремить к нулю векторы Вейля, так как в этом случае теряется конформная инвариантность. Вместо этого необходимо подобрать коэффициенты при инвариантах геометрии Вейля так, чтобы исчезла зависимость от вектора Вейля $A_\mu$. Таким образом, соответствующее действие в римановой геометрии возникает как частный случай ее аналога в геометрии Вейля. Если действие гравитации конформно-инвариантно, то действие материи не обязательно должно подчиняться этому условию, однако его вариация должна подчиняться этому условию в силу принципа наименьшего действия. В римановой геометрии это требование, обусловленное конформной инвариантностью гравитации, сводится к бесследовости тензора энергии-импульса. В геометрии Вейля вместо него мы получили так называемое условие самосогласованности (35). Для модификации лагранжиана идеальной жидкости в случае геометрии Вейля был исследован лагранжиан точечной частицы, движущейся в фиксированной геометрии Вейля. Мы обнаружили, что одночастичный лагранжиан и, как следствие, лагранжиан идеальной жидкости можно обобщить, введя новый инвариант $B=A_\mu u^\mu$, где $u^\mu$ – $4$-скорость частицы. Конформная инвариантность слагаемого, связанного с законом рождения частиц, в действии материи приводит к ограничениям на форму функции $\Phi$, зависящей от инвариантов внешних полей, ответственных за процессы рождения. Этот результат имеет большое значение, так как не зависит от гравитационного лагранжиана. В отсутствие внешних полей, когда единственной причиной рождения частиц является гравитация, единственным выбором для $\Phi(\mathrm{inv})$ является комбинация тех же членов, что и в гравитационном лагранжиане Вейля, но с другими произвольными коэффициентами. При этом рассматриваются только квадратичные члены, чтобы не выходить за рамки однопетлевого приближения квантовой теории поля. Благодаря тому, что множитель Лагранжа $\lambda_1$ определен с точностью до константы, рассматриваемое суммарное действие гравитации и материи в определенном смысле эквивалентно случаю индуцированной гравитации. В силу конформной инвариантности $\Phi\sqrt{-g}$ переход к римановой геометрии является частным случаем, когда коэффициенты в лагранжиане гравитации Вейля соответствуют квадрату тензора Вейля. Такой же результат был получен Зельдовичем и Старобинским [20] при рассмотрении рождения скалярных частиц из вакуума для фиксированной фоновой метрики – однородной и слабоанизотропной космологической модели. В данном случае он становится универсальным для римановой геометрии, независимо от вида гравитационного лагранжиана, а также с учетом обратного влияния. При введении в закон рождения внешнего скалярного поля выбрана комбинация (55), поскольку она дает нетривиальное уравнение движения и является конформно-инвариантной при умножении на $\sqrt{|g|}$. Как и в предыдущем случае, переход к римановой геометрии является частным случаем, для которого произвольные коэффициенты из (55) связаны соотношением $\xi=-\alpha/6$. Из условия самосогласованности для модели с внешним скалярным полем в римановой геометрии, а также в геометрии Вейля при выборе специальной калибровки (63) следует, что плотность энергии для пыли пропорциональна скалярному полю, а для излучения не зависит от скалярного поля. Конфликт интересовАвторы заявляют, что у них нет конфликтов интересов. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{BerIva23} |
|
||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|