| Теоретическая и математическая физика |
|
|
|
|
|
О базисе Пуанкаре–Биркгофа–Витта квантовой общей линейной супералгебры А. В. Разумов Институт физики высоких энергий, НИЦ "Курчатовский институт", Протвино, Московская обл., Россия
Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2023, Volume 217, Issue 3, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0040577923120115 
Реферативные базы данных:
   1. ВведениеИспользование функциональных соотношений является эффективным методом исследования квантовых интегрируемых систем. Для их вывода удобно использовать квантово-алгебраический подход. Ранее то, что мы называем квантовой алгеброй, обычно называли квантовой группой. На самом деле этот объект является алгеброй Хопфа, которая в определенном смысле есть деформация универсальной обертывающей алгебры Ли. Теперь обычно используется термин квантовая алгебра, и мы придерживаемся этой терминологии. Общее понятие квантовой алгебры $\mathrm U_q(\mathfrak{g})$, используемое в настоящей работе, было предложено Дринфельдом [1], [2] и Джимбо [3] для случая, когда $\mathfrak g$ – алгебра Каца–Муди с симметризуемой обобщенной матрицей Картана. Вывод функциональных соотношений в рамках квантово-алгебраического подхода приведен в работах [4]–[8] для алгебры Ли петель $\mathfrak g = \mathcal L(\mathfrak{sl}_2)$, в работах [8]–[10] – для $\mathfrak g = \mathcal L(\mathfrak{sl}_3)$, а в работе [11] приведен вывод для $\mathfrak g = \mathcal L(\mathfrak{sl}_M)$ с произвольным $M$ (cм. также работу [12], в которой отдельные функциональные соотношения для $\mathfrak g = \mathcal L(\mathfrak{sl}_M)$ были даны без вывода). Вывод функциональных соотношений, приведенный в работе [8] для $M = 2$ и в работе [11] для произвольного $M$, основан на результатах работ [13]–[15]. В работе [13] с использованием перестановочных соотношений для генераторов Пуанкаре–Биркгофа–Витта квантовой алгебры $\mathrm U_q(\mathfrak{gl}_M)$, приведенных в статье [16], найдено их действие на $\mathrm U_q(\mathfrak{gl}_M)$-модуле Верма. Используя подходящую предельную процедуру, можно прийти к набору $q$-осцилляторных модулей над положительной подалгеброй Бореля квантовой алгебры $\mathrm U_q(\mathfrak{gl}_M)$. Эти модули посредством гомоморфизма Джимбо порождают соответствующие модули над положительной подалгеброй Бореля квантовой алгебры $\mathrm U_q(\mathcal{L}(\mathfrak{sl}_M))$, которые используются для построения $Q$-операторов1. Соответствующие функциональные соотношения были получены в работе [11]. При этом для исследования тензорных произведений $q$-осцилляторных модулей использовались их $\ell$-веса, найденные в работах [14], [15]. Обобщая соответствующим образом определяющие соотношения квантовой алгебры, можно прийти к квантовым алгебрам, ассоциированным с супералгебрами Ли [17]. Представляется интересным обобщить описанную выше процедуру построения функциональных соотношений на случай квантовой супералгебры $\mathrm U_q(\mathcal{L}(\mathfrak{sl}_{M | N})\kern-0.5pt)$. Первые результаты в этом направлении были получены в работе [18]. Самым первым шагом является вывод перестановочных соотношений для генераторов Пуанкаре–Биркгофа–Витта квантовой супералгебры $\mathrm U_q(\mathfrak{gl}_{M | N})$. В действительности перестановочные соотношения для этого случая уже приведены в работах [19]–[21] без доказательства и имеется некоторое разногласие между этими работами. Это побудило нас заново вывести результаты работ [19]–[21]. Настоящая работа имеет следующую структуру. В разделе 2 напоминаются необходимые факты о супералгебре Ли $\mathfrak{gl}_{M | N}$. В разделе 3 определяется квантовая супералгебра $\mathrm U_q(\mathfrak{gl}_{M | N})$. Подробный вывод перестановочных соотношений приведен в разделе 4. Параметр деформации $\hbar$ фиксирован так, что $q = e^\hbar$ не является корнем из единицы, и предполагается, что $q^\nu = e^{\hbar \nu}$ для любого $\nu \in \mathbb{C}$. Используется следующее определение $q$-чисел:
$$
\begin{equation*}
[\nu]_q = \frac{q^\nu - q^{- \nu}}{q - q^{-1}}, \qquad \nu \in \mathbb{C}.
\end{equation*}
\notag
$$
2. Супералгебра Ли $\mathfrak{{gl}}_{M | N}$Зафиксируем два положительных целых числа $M$ и $N$ и обозначим через $\mathbb{C}_{M | N}$ суперпространство2, образованное кортежами комплексных чисел длины $(M + N)$ со следующей градуировкой. Элемент суперпространства $\mathbb{C}_{M | N}$ является четным, если его последние $N$ компонент являются нулями, и является нечетным, если нулями являются его первые $M$ компонент. Для простоты мы обозначаем супералгебру Ли $\mathfrak{gl}(\mathbb{C}_{M | N})$ как $\mathfrak{gl}_{M | N}$. Обозначим через $v_i$, $i = 1, \ldots, M + N$, элементы стандартного базиса суперпространства $\mathbb{C}_{M | N}$. По определению
$$
\begin{equation*}
[v_i] = {\overline 0}, \quad i = 1, \ldots, M, \qquad [v_i] = {\overline 1}, \quad i = M + 1, \ldots, N.
\end{equation*}
\notag
$$
Удобно пользоваться обозначением Элементы $\mathbb{E}_{i j} \in \mathfrak{gl}_{M | N}$, $i, j = 1, \ldots, M + N$, заданные равенством образуют базис супералгебры Ли $\mathfrak{gl}_{M | N}$. Ясно, что матрица элемента $\mathbb{E}_{i j}$ относительно стандартного базиса суперпространства $\mathbb{C}_{M | N}$ есть соответствующая обычная матричная единица, и мы имеем
$$
\begin{equation*}
\mathbb{E}_{i j} \mathbb{E}_{k l} = \delta_{j k} \mathbb{E}_{i l}.
\end{equation*}
\notag
$$
Также очевидно, что В качестве подалгебры Картана $\mathfrak k$ супералгебры Ли $\mathfrak{gl}_{M | N}$ возьмем подалгебру, порожденную элементами $K_i = \mathbb{E}_{i i}$, $i = 1, \ldots, M + N$, которые составляют ее базис. Обозначим через $(\Xi_i)_{i = 1, \ldots, M + N}$ дуальный базис пространства $\mathfrak k^*$. Для $X = \sum_{i = 1}^{M + N} c_i K_i \in \mathfrak k$ имеем
$$
\begin{equation*}
[X, \mathbb{E}_{i j}] = (c_i - c_j) \mathbb{E}_{i j} = \langle\Xi_i -\Xi_j, X \rangle \mathbb{E}_{i j}.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, $\mathbb{E}_{i j}$, $i \ne j$, есть корневой вектор, соответствующий корню $\Xi_i -\Xi_j$, и корневой системой супералгебры Ли $\mathfrak{gl}_{M | N}$ является множество
$$
\begin{equation*}
\Delta = \{\Xi_i -\Xi_j \mid i, j = 1, \ldots, M + N, \ i \ne j\}.
\end{equation*}
\notag
$$
В качестве системы простых корней выбираем множество
$$
\begin{equation*}
\Pi = \{\Xi_i -\Xi_{i + 1} \mid i = 1, \ldots, M + N - 1\},
\end{equation*}
\notag
$$
тогда система положительных корней, соответствующая $\Pi$, есть
$$
\begin{equation*}
\Delta_+ = \{\alpha_{i j} = \Xi_i -\Xi_j \mid 1 \leqslant i < j \leqslant M + N\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Естественно, что соответствующая система простых корней есть $\Delta_- = -\Delta_+$. Обозначая
$$
\begin{equation*}
\alpha_i = \alpha_{i, i + 1} =\Xi_i -\Xi_{i + 1}, \qquad i = 1, \ldots, M + N - 1,
\end{equation*}
\notag
$$
получаем
$$
\begin{equation*}
\alpha_{i j} = \sum_{k = 1}^{j - 1} \alpha_k, \qquad 1 \leqslant i < j \leqslant M + N.
\end{equation*}
\notag
$$
Зададим частичный порядок $\prec$ на $\mathfrak k^*$ следующим образом. Для данных $\alpha, \beta \in \mathfrak k^*$ считаем, что $\beta \prec \alpha$ тогда и только тогда, когда $\alpha - \beta$ есть сумма положительных корней. Зададим невырожденную симметричную билинейную форму $(\, \cdot \, | \, \cdot \,) $ на $\mathfrak k^*$ соотношением где $d_i = (-1)^{[i]}$. Видно, что
$$
\begin{equation*}
(\alpha_{i j}| \alpha_{m n}) = d_i \delta_{i m} - d_j \delta_{j m} - d_i \delta_{i n} + d_j \delta_{j n}.
\end{equation*}
\notag
$$
В дальнейшем часто используются соотношения
$$
\begin{equation}
(\alpha_{i j}|\alpha_{j n}) = -d_j, \qquad (\alpha_{i j}|\alpha_{m i}) = -d_i,
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
$$
\begin{equation}
(\alpha_{i j}|\alpha_{i n}) = d_i, \quad j \ne n, \qquad (\alpha_{i j}| \alpha_{i j}) = d_i + d_j, \qquad (\alpha_{i j}|\alpha_{m j}) = d_j, \quad i \ne m.
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
В действительности, они исчерпывают все нетривиальные случаи.
3. Квантовая супералгебра $\mathrm U_{{q}}(\mathfrak{{gl}}_{M | N})$Мы определяем квантовую супералгебру $\mathrm U_q(\mathfrak{gl}_{M | N})$ как унитальную ассоциативную $\mathbb{C}$-супералгебру, порождаемую элементами
$$
\begin{equation*}
E_i, \quad F_i, \quad i = 1, \ldots, M + N - 1, \qquad q^X, \quad X \in \mathfrak k,
\end{equation*}
\notag
$$
которые удовлетворяют соответствующим определяющим соотношениям. $\mathbb{Z}_2$-градуировка квантовой супералгебры $\mathrm U_q(\mathfrak{gl}_{M | N})$ задается на генераторах следующим образом:
$$
\begin{equation*}
[q^X] = {\overline 0}, \qquad [E_i] = [F_i] = \begin{cases} {\overline 0}, & i \ne M, \\ {\overline 1}, & i = M. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Перед тем как привести явную форму определяющих соотношений, введем понятие $q$-суперкоммутатора. Абелева группа
$$
\begin{equation*}
Q = \bigoplus_{i = 1}^{M + N - 1} \mathbb{Z} \alpha_i
\end{equation*}
\notag
$$
называется решеткой корней супералгебры Ли $\mathfrak{gl}_{M | N}$. Полагая, что
$$
\begin{equation*}
q^X \in \mathrm U_q(\mathfrak{gl}_{M | N})_0, \qquad E_i \in \mathrm U_q(\mathfrak{gl}_{M | N})_{\alpha_i}, \qquad F_i \in \mathrm U_q(\mathfrak{gl}_{M | N})_{-\alpha_i},
\end{equation*}
\notag
$$
мы наделяем $\mathrm U_q(\mathfrak{gl}_{M | N})$ $Q$-градуировкой. Для любых элементов $X \in \mathrm U_q(\mathfrak{gl}_{M | N})_\alpha$ и $Y \in \mathrm U_q(\mathfrak{gl}_{M | N})_\beta$ определяем $q$-суперкоммутатор уравнением
$$
\begin{equation*}
[\![ X, Y ]\!] = X Y - (-1)^{[X] [Y]} q^{- (\alpha|\beta)} Y X,
\end{equation*}
\notag
$$
если $\alpha, \beta \succ 0$, уравнением
$$
\begin{equation*}
[\![ X, Y ]\!] = X Y - (-1)^{[X] [Y]} q^{(\alpha|\beta)} Y X ,
\end{equation*}
\notag
$$
если $\alpha, \beta \prec 0$, и уравнением если $\alpha \prec 0$ и $\beta \succ 0$ или $\alpha \succ 0$ и $\beta \prec 0$. Определяющие соотношения квантовой супералгебры $\mathrm U_q(\mathfrak{gl}_{M | N})$ имеют вид [17]
$$
\begin{equation}
q^X E_i q^{-X} = q^{\langle \alpha_i, X \rangle} E_i, \qquad q^X F_i q^{-X} = q^{-\langle \alpha_i, X \rangle} F_i,
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
$$
\begin{equation}
[\![ E_i, F_j ]\!] = \delta_{i j} \frac{q^{d_i K_i - d_{i + 1} K_{i + 1}} -q^{- d_i K_i + d_{i + 1} K_{i + 1}}}{q_i^{} - q_i^{- 1}},
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
где $i, j = 1, \ldots, M + N - 1$. Здесь и далее мы используем обозначение $q_i = q^{d_i}$. Полезно помнить, что и В дополнение к (3.1)–(3.3) имеются также соотношения Серра
$$
\begin{equation}
[\![ E_i, E_j ]\!] = 0, \qquad [\![ F_j, F_i ]\!] = 0, \qquad (\alpha_i| \alpha_j) = 0,
\end{equation}
\tag{3.5}
$$
$$
\begin{equation}
[\![ [\![ E_{i - 1}, E_i ]\!], E_i ]\!] = 0, \qquad [\![ F_i, [\![ F_i , F_{i - 1} ]\!] ]\!] = 0, \qquad (\alpha_i| \alpha_i) \ne 0,
\end{equation}
\tag{3.6}
$$
$$
\begin{equation}
[\![ E_i, [\![ E_i, E_{i + 1} ]\!] ]\!] = 0, \qquad [\![ [\![ F_{i + 1}, F_i ]\!] , F_i ]\!] = 0, \qquad (\alpha_i| \alpha_i) \ne 0,
\end{equation}
\tag{3.7}
$$
$$
\begin{equation}
[\![ [\![ [\![ E_{M - 1}, E_M ]\!], E_{M + 1} ]\!], E_M ]\!] = 0, \qquad [\![ F_M, [\![ F_{M + 1}, [\![ F_M, F_{M - 1} ]\!] ]\!] ]\!] = 0.
\end{equation}
\tag{3.8}
$$
Перепишем определяющие соотношения (3.5)–(3.7) в более привычном виде. Соотношения (3.5) эквивалентны уравнениям
$$
\begin{equation}
E_i E_j = E_j E_i, \qquad F_j F_i = F_i F_j, \qquad |i - j| > 1,
\end{equation}
\tag{3.9}
$$
а соотношения (3.6), (3.7) эквивалентны уравнениям
$$
\begin{equation}
E^{}_{i - 1} E_i^2 - [2]_q E^{}_i E^{}_{i - 1} E^{}_i + E_i^2 E^{}_{i - 1} = 0, \quad F_i^2 F^{}_{i - 1} - [2]_q F^{}_i F^{}_{i - 1} F^{}_i + F_{i - 1} F_i^2 = 0,
\end{equation}
\tag{3.11}
$$
$$
\begin{equation}
E_i^2 E^{}_{i + 1} - [2]_q E^{}_i E^{}_{i + 1} E^{}_i + E^{}_{i + 1} E_i^2 = 0, \quad F^{}_{i + 1} F_i^2 - [2]_q F^{}_i F^{}_{i + 1} F^{}_i + F_i^2 F^{}_{i + 1} = 0,
\end{equation}
\tag{3.12}
$$
где $i \ne M$.
4. Базис Пуанкаре–Биркгофа–Витта квантовой супералгебры $\mathrm U_{{q}}(\mathfrak{{gl}}_{M | N})$Элемент $a \in \mathrm U_q(\mathfrak{gl}_{M | N})$ называется корневым вектором, соответствующим корню $\gamma$ супералгебры Ли $\mathfrak{gl}_{M | N}$, если $a \in \mathrm U_q(\mathfrak{gl}_{M | N})_\gamma$. В частности, $E_i$ и $F_i$ являются корневыми векторами, соответствующими корням $\alpha_i$ и $- \alpha_i$. Можно построить набор линейно независимых векторов, соответствующих всем корням супералгебры Ли $\mathfrak{gl}_{M | N}$. Для этого, следуя Джимбо [23], введем элементы $E_{ij}$ и $F_{ij}$, $1 \leqslant i < j \leqslant M + N$, с помощью соотношений
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, E_{i, i + 1} = E_i, \qquad F_{i, i + 1} = F_i, \\ E_{i, j + 1} = [\![ E_{i j}, E_{j, j + 1} ]\!], \qquad F_{i, j + 1} = [\![ F_{j, j + 1}, F_{i j} ]\!], \qquad j > i. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
В более явном виде два последних равенства выглядят следующим образом:
$$
\begin{equation*}
E_{i, j + 1} = E_{i j} E_{j, j + 1} - q_j E_{j, j + 1} E_{i j}, \qquad F_{i, j + 1 } = F_{j, j + 1} F_{i j} - q_j^{-1} F_{i j} F_{j, j + 1}.
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что в частности Видно также, что тогда и только тогда, когда $j \leqslant M$ или $i > M$, а тогда и только тогда, когда $i \leqslant M < j$. Ясно, что элементы $E_{i j}$ и $F_{i j}$ являются корневыми векторами, отвечающими корням $\alpha_{i j}$ и $- \alpha_{i j}$ соответственно. Эти векторы являются линейно независимыми, и совместно с элементами $q^X$, $X \in \mathfrak k$, называются генераторами Картана–Вейля квантовой супералгебры $\mathrm U_q(\mathfrak{gl}_{M | N})$. Оказывается, что упорядоченные мономы, построенные из генераторов Картана–Вейля, образуют базис Пуанкаре–Биркгофа– Витта квантовой супералгебры $\mathrm U_q(\mathfrak{gl}_{M | N})$. В настоящей работе мы выбираем следующее полное упорядочение мономов. Сначала мы наделяем множество пар $(i, \, j)$ таких, что $1 \leqslant i < j \leqslant M + N$, лексикографическим упорядочением. Это значит, что $(i, j) \prec (m, n)$, если $i < m$ или если $i = m$ и $j < n$. Отметим, что если мы определим упорядочение положительных корней таким образом, что $\alpha_{i j} \prec \alpha_{m n}$, если $(i, j) \prec (m, n)$, то мы получим нормальное упорядочение в смысле работ [24], [25] (см. также [26]). Говорят, что моном является упорядоченным, если он имеет вид
$$
\begin{equation}
F_{i_1 j_1} \ldots F_{i_r j_r} q^X E_{m_1 n_1} \ldots E_{m_s n_s},
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
где $(i_1, j_1) \preccurlyeq \cdots \preccurlyeq (i_r, j_r)$, $(m_1, n_1) \preccurlyeq \cdots \preccurlyeq (m_s, n_s)$ и $X$ есть произвольный элемент $\mathfrak k$. В настоящей работе мы только покажем, что любой моном может быть записан в виде конечной суммы мономов вида (4.1). Для доказательства того, что такие мономы образуют базис квантовой супералгебры $\mathrm U_q(\mathfrak{gl}_{M | N})$, можно использовать аргументы, подобные тем, которые были использованы в работе [16] в случае квантовой алгебры $\mathrm U_q(\mathfrak{gl}_M)$. Представим соотношения, необходимые для упорядочения, в виде последовательности предложений. Сначала рассмотрим упорядочение элементов $q^X$ с $E_{i j}$ и $F_{i j}$. Предложение 1. Для любых $i$, $j$ и $n$ таких, что $1 \leqslant j < n \leqslant M + N$ и $1 \leqslant i \leqslant M + N$, имеем Доказательство. Очевидно, что Теперь рассмотрим упорядочение корневых векторов $E_{i j}$, $1 \leqslant i < j \leqslant M + N$, и $F_{m n}$, $1 \leqslant m < n \leqslant M + N$. Разделим множество пар $((i, j), (m, n))$, где $1 \leqslant i < j \leqslant M + N$, $1 \leqslant m < n \leqslant M + N$ и $(i, j) \prec (m, n)$, на шесть ветвей $\mathcal C_a$, $a = \mathrm{I}, \ldots, \mathrm{VI}$. Условия, определяющие ветви, приведены в табл. 1, где приведена также необходимая информация для построения соответствующих $q$-суперкоммутаторов. Для заполнения табл. 1 достаточно использовать соотношения
$$
\begin{equation*}
a^2 = a, \qquad a + a = {\overline 0}, \qquad a \in \mathbb{Z}_2,
\end{equation*}
\notag
$$
и соотношения (2.1) и (2.2). Таблица 1
Доказательство. Утверждение предложения является прямым следствием соотношений Серра (3.9). $\blacksquare$ Доказательство. Предложение может быть доказано индукцией по $n$. Предположим, что утверждение предложения справедливо для некоторого $n > j$. Это так, по крайней мере для $n = j + 1$. Тогда имеем Используя это уравнение и предложение 2, получаем Доказательство. Сначала докажем, что для любого $m$ такого, что $2 \leqslant m \leqslant M + N - 2$. Легко видеть, что для $m = M$ уравнение (4.2) есть просто первое из соотношений Серра (3.8). Для $m \ne M$ имеем Теперь предположим, что
$$
\begin{equation}
[\![ E_{i j}, E_{m, m + 1} ]\!] = E_{i j} E_{m, m + 1} - (-1)^{[m] + [m + 1]} E_{m, m + 1} E_{i j} = 0
\end{equation}
\tag{4.3}
$$
для некоторых $i$, $m$ и $j$ таких, что $1 \leqslant i < m < j - 1 \leqslant M + N - 1$. Используя предложение 2, получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, [\![ E_{i - 1, j}, E_{m, m + 1} ]\!] &= (E_{i - 1, i} E_{i j} - q_i E_{i j} E_{i - 1, i}) E_{m, m + 1}-{} \\ &\quad - (-1)^{[m] + [m + 1]} E_{m, m + 1} (E_{i - 1, i} E_{i j} - q_i E_{i j} E_{i - 1, i})={}\\ & = E_{i - 1, i} [\![ E_{i j}, E_{m, m + 1} ]\!] - q_i [\![ E_{i j}, E_{m, m + 1} ]\!] E_{i - 1, i} = 0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Если уравнение (4.3) справедливо для некоторых $i$, $m$ и $j$ таких, что $1 \leqslant i < m < j - 1 \leqslant M + N - 2$, то, используя предложение 2, получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, [\![ E_{i, j + 1}, E_{m, m + 1} ]\!] &= (E_{i j} E_{j, j + 1} - q_j E_{j, j + 1} E_{i j}) E_{m, m + 1} -{} \\ & \quad - (-1)^{[m] + [m + 1]} E_{m, m + 1} (E_{i j} E_{j, j + 1} - q_j E_{j, j + 1} E_{i j})={} \\ &= [\![ E_{i j}, E_{m, m + 1} ]\!] E_{j, j + 1} - q_j E_{j, j + 1} [\![ E_{i j} , E_{m, m + 1} ]\!] = 0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, уравнение (4.3) справедливо для любых допустимых $i$, $j$ и $m$. Наконец, предположим, что уравнение
$$
\begin{equation*}
[\![ E_{i j}, E_{m n} ]\!] = E_{i j} E_{m n} - (-1)^{[m] + [n]} E_{m n} E_{i j} = 0
\end{equation*}
\notag
$$
справедливо для некоторых $i$, $m$, $n$ и $j$ таких, что $1 \leqslant i < m < n < j - 1 \leqslant M + N - 1$, тогда имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, [\![ E_{i j}, E_{m, n + 1} ]\!] &= E_{i j} (E_{m n} E_{n, n + 1} - q_n E_{n, n + 1} E_{m n})-{} \\ &\quad - (-1)^{[m] + [n + 1]} (E_{m n} E_{n, n + 1} - q_n E_{n, n + 1} E_{m n}) E_{i j}={} \\ &= [\![ E_{i j}, E_{m n} ]\!] E_{n, n + 1} - (-1)^{[n] + [n + 1]} q_n E_{n, n + 1} [\![ E_{i j}, E_{m n} ]\!] = 0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь ясно, что первое уравнение справедливо. Второе уравнение доказывается аналогично. $\blacksquare$ Предложение 5. Для любой пары $((i, j), (m, n)) \in \mathcal C_{\mathrm{I}}$ имеем Доказательство. Рассмотрим случай, когда $((i, j), (m, n)) \in \mathcal C_{\mathrm{I}}$, и докажем уравнение (4.4). Покажем сначала, что для любого $i$ такого, что $1 \leqslant i \leqslant M + N - 2$. Имеем Предположим, что
$$
\begin{equation*}
[\![ E_{i, i + 1}, E_{i n} ]\!] = E_{i, i + 1} E_{i n} - (-1)^{[i] + [i + 1]} q_i^{-1} E_{i n} E_{i, i + 1} = 0
\end{equation*}
\notag
$$
для некоторых $i$ и $n$ таких, что $1 \leqslant i < n - 1 \leqslant M + N - 2$. Используя это уравнение и предложение 2, получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, [\![ E_{i, i + 1}, E_{i, n + 1} ]\!] &= E_{i, i + 1} (E_{i n} E_{n, n + 1} - q_n E_{n, n + 1} E_{i n})-{} \\ &\quad - (-1)^{[i] + [i + 1]} q_i^{-1} (E_{i n} E_{n, n + 1} - q_n E_{n, n + 1} E_{i n}) E_{i, i + 1}={} \\ & = [\![ E_{i, i + 1}, E_{i n} ]\!] E_{n, n + 1} - q_n E_{n, n + 1} [\![ E_{i, i + 1}, E_{i n} ]\!] = 0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, для любых $i$ и $n$ таких, что $1 \leqslant i < n - 1 \leqslant M + N - 1$. Теперь предположим, что
$$
\begin{equation*}
[\![ E_{i j}, E_{i n} ]\!] = E_{i j} E_{i n} - (-1)^{[i] + [j]} q_i^{-1} E_{i n} E_{i j} = 0
\end{equation*}
\notag
$$
для некоторых $i$, $j$ и $n$ таких, что $1 \leqslant i < j < n - 1 \leqslant M + N - 1$. Используя предложение 4, получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, [\![ E_{i, j + 1}, E_{i n} ]\!] &= (E_{i j} E_{j, j + 1} - q_j E_{j, j + 1} E_{i j}) E_{i n}-{} \\ &\quad- (-1)^{[i] + [j + 1]} q_i^{-1} E_{i n} (E_{i j} E_{j, j + 1} - q_j E_{j, j + 1} E_{i j})={} \\ & = (-1)^{[j] + [j + 1]} [\![ E_{i j}, E_{i n} ]\!] E_{j, j + 1} - q_j E_{j, j + 1} [\![ E_{i j}, E_{i n} ]\!] = 0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, для любой пары $((i, j), (m, n)) \in \mathcal C_{\mathrm{I}}$ уравнение (4.4) справедливо. Уравнение (4.5) можно доказать таким же способом. В случае, когда $((i, j), (m, n)) \in \mathcal C_{\mathrm{III}}$, уравнения (4.6) и (4.7) доказываются аналогично. $\blacksquare$ Из предложения 5 следует, что если $((i, j), (m, n)) \in \mathcal C_{\mathrm{I}}$, то
$$
\begin{equation}
[\![ E_{i j}, [\![ E_{i j}, E_{j n} ]\!] ]\!] = 0, \qquad [\![ [\![ F_{j n}, F_{i j} ]\!], F_{i j} ]\!] = 0,
\end{equation}
\tag{4.9}
$$
и если $((i, j), (m, n)) \in \mathcal C_{\mathrm{III}}$, то
$$
\begin{equation}
[\![ [\![ E_{i m}, E_{m n} ]\!], E_{m n} ]\!] = 0, \qquad [\![ F_{m n}, [\![ F_{m n}, F_{i m} ]\!] ]\!] = 0.
\end{equation}
\tag{4.10}
$$
Эти соотношения являются обобщением соотношений Серра (3.6) и (3.7). Заметим, что квантовая супералгебра $\mathrm U_q(\mathfrak{gl}_{M | N})$ содержит две естественные подалгебры, изоморфные квантовым алгебрам $\mathrm U_q(\mathfrak{gl}_{M})$ и $\mathrm U_q(\mathfrak{gl}_{N})$. Первая из них порождается элементами $E_i$, $F_i$, $i = 1, \ldots, M - 1$, и $q^X$, где $X$ принадлежит линейной оболочке элементов $K_i$, $i = 1, \ldots, M$, а вторая порождается элементами $E_i$, $F_i$, $i = M + 1, \ldots, M + N - 1$, и $q^X$, где $X$ принадлежит линейной оболочке элементов $K_i$, $i = M + 1, \ldots, M + N$. Ясно, что $[i] + [j] = {\overline 0}$ тогда и только тогда, когда $E_{i j}$ принадлежит одной из этих подалгебр. Каждая из них не имеет делителей нуля (см. [16]). Следовательно, для любого элемента $E_{i j}$, принадлежащего им, имеем $E_{i j}^2 \ne 0$. Другими словами, если $[i] + [j] = {\overline 0}$, тогда $E_{i j}^2 \ne 0$. То же самое верно и для генераторов $F_{i j}$. Предложение 6. Для любых $i$ и $j$ таких, что $1 \leqslant i < j \leqslant M + N$, и таких, что $[i] + [j] = {\overline 1}$, имеем Доказательство. Покажем сначала, что если $1 \leqslant i \leqslant M$ и $M < j \leqslant M + N$, то Предположим, что для некоторого $j > M$. Это, конечно, так, по крайней мере для $j = M + 1$. С учетом того, что $q_j = q^{-1}$ для любого $j > M$, получаем Далее предположим, что первое уравнение в (4.11) справедливо для $i$ и $j$ таких, что $1 < i < M$ и $M < j \leqslant M + N$, тогда имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, E^2_{i - 1, j} &= (E_{i - 1, i} E_{i j} - q E_{i j} E_{i - 1, i})^2={} \nonumber \\ &= E_{i - 1, i} E_{i j} E_{i - 1, i} E_{i j} - q E_{i j} E^2_{i - 1, i} E_{i j} + q^2 E_{i j} E_{i - 1, i} E_{i j} E_{i - 1, i}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.16}
$$
При этом мы учитываем, что $q_i = q$ для любого $i < M$. Из первого соотношения в (4.9) следует, что
$$
\begin{equation*}
[\![ E_{i - 1, i}, [\![ E_{i - 1, i}, E_{i j} ]\!] ]\!] = 0,
\end{equation*}
\notag
$$
или, в более явном виде,
$$
\begin{equation*}
E^2_{i - 1, i} E_{i j} - [2]_q E_{i - 1, i} E_{i j} E_{i - 1, i} + E_{i j} E^2_{i - 1, i} = 0.
\end{equation*}
\notag
$$
Умножая это уравнение слева и справа на $E_{i j}$, получаем два уравнения:
$$
\begin{equation}
E_{i j} E^2_{i - 1, i} E_{i j} - [2]_q E_{i j} E_{i - 1, i} E_{i j} E_{i - 1, i} = 0,
\end{equation}
\tag{4.17}
$$
$$
\begin{equation}
- [2]_q E_{i - 1, i} E_{i j} E_{i - 1, i} E_{i j} + E_{i j} E^2_{i - 1, i} E_{i j} = 0.
\end{equation}
\tag{4.18}
$$
Отсюда следует, что
$$
\begin{equation*}
E_{i j} E_{i - 1, i} E_{i j} E_{i - 1, i} = E_{i - 1, i} E_{i j} E_{i - 1, i} E_{i j}.
\end{equation*}
\notag
$$
Используя это соотношение в (4.16), приходим к уравнению
$$
\begin{equation*}
E^2_{i - 1, j} = -q (- [2]_q E_{i - 1, i} E_{i j} E_{i - 1, i} E_{i j} + E_{i j} E^2_{i - 1, i} E_{i j}).
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь уравнение (4.18) дает Таким образом, ясно, что первое уравнение в (4.11) всегда верно. Доказательство второго уравнения аналогично. $\blacksquare$ Предложение 7. Для любой пары $((i, j), (m, n)) \in \mathcal C_{\mathrm{IV}}$ имеем Доказательство. Имеем Предложение 8. Для любой пары $((i, j), (m, n)) \in \mathcal C_{\mathrm{V}}$ имеем Для любой пары $((i, j), (m, n)) \in \mathcal C_{\mathrm{VI}}$ имеем Доказательство. Утверждение предложения является прямым следствием определяющего соотношения (3.3). $\blacksquare$ Предложение 9. Для любой пары $((i, j), (m, n)) \in \mathcal C_{\mathrm{II}}$ имеем Доказательство. Пусть $k$ таково, что $1 < k \leqslant M + N - 2$. Докажем уравнение (4.22) для $i = k - 1$, $m = k$, $n = k + 1$ и $j = k + 2$. Имеем Теперь пусть $i$ и $k$ таковы, что $2 \leqslant i < k \leqslant M + N - 2$, и
$$
\begin{equation*}
[\![ E_{i, k + 2}, F_{k, k + 1} ]\!] = E_{i, k + 2} F_{k, k + 1} - (-1)^{[k] + [k + 1]} F_{k, k + 1} E_{i, k + 2} = 0.
\end{equation*}
\notag
$$
Используя предложение 8, получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, [\![ E_{i - 1, k + 2}, F_{k, k + 1} ]\!] &= (E_{i - 1, i} E_{i, k + 2} - q_i E_{i, k + 2} E_{i - 1, i}) F_{k, k + 1}-{} \\ &\quad - (-1)^{[k] + [k + 1]} F_{k, k + 1} (E_{i - 1, i} E_{i, k + 2} - q_i E_{i, k + 2} E_{i - 1, i})={} \\ & = E_{i - 1, i} [\![ E_{i, k + 2} F_{k, k + 1} ]\!] - q_i [\![ E_{i, k + 2} F_{k, k + 1} ]\!] E_{i - 1, i} = 0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Далее, пусть $i$, $k$ и $j$ таковы, что $1 \leqslant i < k < j - 1 \leqslant M + N - 2$, и справедливо уравнение
$$
\begin{equation*}
[\![ E_{i j}, F_{k, k + 1} ]\!] = E_{i j} F_{k, k + 1} - (-1)^{[k] + [k + 1]} F_{k, k + 1} E_{i j} = 0.
\end{equation*}
\notag
$$
Используя предложение 8, получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, [\![ E_{i, j + 1}, F_{k, k + 1} ]\!] &= (E_{i j} E_{j, j + 1} - q_j E_{j, j + 1} E_{i j}) F_{k, k + 1}-{} \\ &\quad- (-1)^{[k] + [k + 1]} F_{k, k + 1} (E_{i j} E_{j, j + 1} - q_j E_{j, j + 1} E_{i j}) ={}\\ &=[\![ E_{i j}, F_{k, k + 1} ]\!] E_{j, j + 1} - q_j E_{j, j + 1} [\![ E_{i j}, F_{k, k + 1} ]\!] = 0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, имеем для всех $i$, $k$ и $j$ таких, что $1 \leqslant i < k < j - 1 \leqslant M + N - 1$. Предположим, что $i$, $j$, $m$ и $n$ таковы, что $1 \leqslant i < m < n < j - 1 \leqslant M + N - 1$, и
$$
\begin{equation*}
[\![ E_{i j}, F_{m n} ]\!] = E_{i j} F_{m n} - (-1)^{[m] + [n]} F_{m n} E_{i j} = 0.
\end{equation*}
\notag
$$
Используя предложение 8, получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, [\![ E_{i j}, F_{m, n + 1} ]\!] &= E_{i j} (F_{n, n + 1} F_{m n} - q^{-1}_n F_{m n} F_{n, n + 1})-{}\\ &\quad - (-1)^{[m] + [n + 1]} (F_{n, n + 1} F_{m n} - q^{-1}_n F_{m n} F_{n, n + 1}) E_{i j}={} \\ &=(-1)^{[n] + [n + 1]} F_{n, n + 1} [\![ E_{i j}, F_{m n} ]\!] - q_n^{-1} [\![ E_{i j}, F_{m n} ]\!] F_{n, n + 1} = 0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, уравнение (4.22) справедливо. Таким же способом можно доказать уравнение (4.23). $\blacksquare$ Предложение 10. Для любой пары $((i, j), (m, n)) \in \mathcal C_{\mathrm{I}}$ имеем Доказательство. Пусть $i$ и $n$ таковы, что $1 \leqslant i < n - 1 \leqslant M + N - 1$. Докажем уравнение (4.24) для $j = i + 1$. Используя предложение 8, получаем Пусть теперь $i$, $j$ и $n$ таковы, что $1 \leqslant i < j < n - 1 \leqslant M + N -1$, и справедливо уравнение
$$
\begin{equation*}
[\![ E_{i j}, F_{i n} ]\!] = - (-1)^{[i] + [j]} q^{- d_i K_i + d_j K_j} F_{j n}.
\end{equation*}
\notag
$$
Используя предложение 9, получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, [\![ E_{i, j + 1},\,& F_{i n} ]\!] = (E_{i j} E_{j, j + 1} - q_j E_{j, j + 1} E_{i j}) F_{i n}-{} \\ & \quad - (-1)^{[i] + [j + 1]} F_{i n} (E_{i j} E_{j, j + 1} - q_j E_{j, j + 1} E_{i j})={} \\ & = (-1)^{[j] + [j + 1]} [\![ E_{i j}, F_{i n} ]\!] E_{j, j + 1} - q_j E_{j, j + 1} [\![ E_{i j}, F_{i n} ]\!] ={}\\ & = (-1)^{[i] + [j]} q^{-d_i K_i + d_j K_j} [\![ E_{j, j + 1}, F_{j n} ]\!] = - (-1)^{[i] + [j + 1]} q^{- d_i K_i + d_{j + 1} K_{j + 1}} F_{j + 1, n}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Видно, что уравнение (4.24) справедливо всегда. Таким же способом можно доказать уравнения (4.25), (4.26) и (4.27). $\blacksquare$ Доказательство. Пусть $i$ и $j$ таковы, что $2 \leqslant i < j \leqslant M + N$, и утверждение предложения справедливо. Имеем Предложение 12. Для любой пары $((i, j), (m, n)) \in \mathcal C_{\mathrm{IV}}$ имеем Доказательство. Из предложения 8 следует, что Используя теперь предложение 1, получаем
$$
\begin{equation*}
[\![ E_{i j}, F_{m n} ]\!] = (-1)^{[m] + [j]} (q_m^{} - q_m^{-1}) q^{- d_m K_m + d_j K_j} F_{j n} E_{i m}.
\end{equation*}
\notag
$$
Принимая во внимание уравнение (3.4), видим, что первое уравнение предложения справедливо. Второе уравнение можно доказать аналогично. $\blacksquare$ Можно убедиться в том, что предложения 1–12 позволяют привести любой моном из генераторов Пуанкаре–Биркгофа–Витта к упорядоченному виду (4.1). 5. ЗаключениеПриведен детальный вывод перестановочных соотношений для генераторов Пуанкаре–Биркгофа–Витта квантовой супералгебры $\mathrm U_q(\mathfrak{gl}_{M | N})$. Наши результаты не полностью совпадают с результатами работ [19]–[21]. Мы планируем использовать полученные результаты для построения $q$-осцилляторных представлений положительной подалгебры Бореля квантовой супералгебры $\mathrm U_q(\mathfrak{gl}_{M | N})$. Конфликт интересовАвтор заявляет, что у него нет конфликта интересов.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Raz23} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|