Аннотация:
Выполнены оценки однопетлевых электрослабых радиационных поправок к процессу рождения дилептонов в канале фотонного слияния при адронных столкновениях для экспериментальной программы Большого адронного коллайдера (LHC) по изучению процесса Дрелла–Яна. Проведен подробный численный анализ эффектов электрослабых поправок к сечениям и асимметрии вперед-назад в широкой кинематической области, в том числе для эксперимента CMS LHC в режиме Run3/HL, который соответствует сверхвысоким энергиям и инвариантным массам лептонной пары.
Ключевые слова:Большой адронный коллайдер, CMS, асимметрия вперед-назад, процесс Дрелла–Яна, режим Run3/HL, рождение дилептонов, фотонное слияние, электрослабые радиационные поправки.
Работа выполнена частично при поддержке Государственной программы научных исследований
Республики Беларусь “Конвергенция-2025” (подпрограмма “Микромир, плазма и Вселенная”).
Поступило в редакцию: 17.01.2023 После доработки: 25.02.2023
Прецизионное изучение процесса рождения лептонной пары в столкновениях адронов обладает большим научным потенциалом с точки зрения открытия новых физических явлений. В экспериментах на протонном коллайдере в ЦЕРН, которые проводились в начале 1980-х годов, коллаборациям UA1 и UA2 удалось обнаружить переносчики слабого взаимодействия – $W$- и $Z$-бозоны, а в сходных экспериментах на Большом адронном коллайдере (LHC) в настоящий момент осуществляется тестирование энергетического масштаба выше ТэВ и поиск на нем отклонений от Стандартной модели (СМ) – новых физических явлений: суперсимметричных партнеров известных частиц, проявлений (супер)струнной теории и $M$-теории, частиц-кандидатов на роль темной материи, аксионов, ультраслабовзаимодействующих частиц. Обнаружение следов новых физических явлений является одной из главных перспектив развития современной физики. Есть надежда, что поиск новых физических явлений увенчается успехом после тщательного исследования наблюдаемых величин процесса Дрелла–Яна при больших инвариантных массах $M$ лептонной пары (дилептона) $l^-l^+$.
Принято различать процесс Дрелла–Яна [1], [2] – рождение дилептона в адронных столкновениях посредством аннигиляции кварк-антикварковой пары через виртуальный фотон или виртуальный $Z$-бозон ($q\bar q \to l^-l^+(\gamma)$ и $\bar q q \to l^-l^+(\gamma)$) – и подобные процессы рождения дилептона, где также имеются в виду столкновения адронов, но дилептон рождается посредством другого механизма. Одной из таких возможностей является двухфотонный механизм образования дилептона или рождение дилептона при фотонном слиянии ($\gamma\gamma \to l^-l^+(\gamma)$). Существуют и другие партонные процессы, дающие вклад в сечение рождения дилептона в адронных столкновениях, например к ним относятся инверсное глюонное излучение ($gq \to l^-l^+q$ и $g\bar q \to l^-l^+\bar q$) [3] и инверсное фотонное излучение ($\gamma q \to l^-l^+q$ и $\gamma \bar q \to l^-l^+\bar q$). Последние вклады рассмотрены в работе [4], необходим тщательный анализ их влияния на наблюдаемые величины при больших инвариантных массах дилептона, эту работу планируется проделать в ближайшем будущем.
По всей видимости, новые физические явления проявятся в экспериментах на LHC не через прямое обнаружение новых частиц и/или новых явлений, а по небольшим отклонениям от предсказаний СМ. Обнаружение новых физических явлений по такому сценарию возможно только в ходе крайне точного (прецизионного) сравнения полученных экспериментальных данных с предсказаниями теории. Сказанное выше требует соответствующего улучшения точности теоретического описания исследуемых процессов, протекающих в микромире, и обеспечения экспериментов на Run3/HL LHC надежными и прецизионными программами учета эффектов радиационных поправок.
В настоящий момент имеется большое количество разнообразных, взаимодополняющих друг друга программ и компьютерных кодов, посвященных этой проблеме, их обзор сделан, например, в работе [5], где также приведено физическое содержание одной из таких программ (READY – Radiative corrEctions to lArge invariant mass Drell–Yan process), разработанной автором для оценки электрослабых и КХД-поправок для процесса Дрелла–Яна. В настоящей работе описан вклад однопетлевых электрослабых радиационных поправок (ЭСП) для $\gamma\gamma$-механизма и с помощью новой версии программы READY проделан численный анализ эффектов ЭСП к сечениям и асимметрии вперед-назад.
2. Описание процесса
Объектом изучения является процесс рождения лептонной пары в столкновении неполяризованных адронов $h_A$ и $h_B$
(в скобках указаны обозначения 4-импульсов частиц). Полную энергию реакции (1) в системе центра масс адронов запишем как $E_A+E_B = \sqrt{S}$. Возможные механизмы, по которым осуществляется реакция (1) на партонном уровне, изображены на рис. 1.
Аналитическое и численное сравнение этих двух механизмов проведено в работе [6], где также изучены электромагнитные поправки (ЭМП) для фотонного слияния. Изложение в работе [6] и в настоящей статье проводится в духе работы [5], где подробно изложена методика расчета электрослабых и КХД-поправок для процесса Дрелла–Яна.
Безрадиационное рождение дилептона путем фотонного слияния на партонном уровне имеет вид
Фейнмановские диаграммы, которые ему соответствуют в борновском приближении, приведены на рис. 2. Обозначения на диаграмме рис. 2а следующие: $p_1$ $(p_2)$ – 4-импульс первого (второго) фотона; $p_3$ $(p_4)$ – 4-импульс конечного лептона $l^-$ (антилептона $l^+$) с массой $m$. Согласно кварк-партонной модели 4-импульсы адрона и партона пропорциональны:
Чтобы построить в рамках кварк-партонной модели сечение процесса (1), нужно учесть все возможности образования дилептона из адронов, допустимые законами сохранения, и отобрать те конфигурации, которые допустимы кинематически, – провести конволюцию:
где $d\sigma_\mathrm{C}^h $ – сечение процесса (1), $d \sigma_\mathrm{C}^{\gamma\gamma} $ – сечение процесса (2). Символом $f_\gamma^{h}(x) \equiv f_\gamma^{h}(x,Q^2)$ обозначаются функции партонных распределений.
Чтобы из соотношения (4) получить наблюдаемое сечение, в фазовом пространстве реакции нужно выделить зависимость от требуемых переменных и проинтегрировать по остальным переменным в области фазового объема, допустимой кинематикой реакции и возможностями детектора. Такое интегрирование несложно обеспечить с помощью фактора $\Theta$, который математически представляет собой произведение трех комбинаций тета-функций: $\Theta = \Theta_\theta \Theta_\alpha \Theta_\mathrm{T}$. Первые две функции задают ограничения по углам рассеяния лептона ($\theta$) и антилептона ($\alpha$):
Величины из этих выражений объяснены ниже и/или в работе [6].
Нижним индексом $\mathrm{C}$ обозначаются вклады в сечение: борновский (ведущий порядок) вклад ($\mathrm{C} = 0 \equiv \mathrm{LO}$), виртуальные однопетлевые вклады ($\mathrm{C}=\mathrm{V}$), вклад от мягких тормозных фотонов ($\mathrm{C}=\mathrm{soft}$), вклад ЭМП ($\mathrm{C}=\mathrm{QED}$), вклад слабых радиационных поправок ($\mathrm{C}=\mathrm{WRC} = Z+W$; этот вклад разбивается на два в соответствии с наборами диаграмм, обусловленных дополнительным $Z$- или $W$-бозоном: $\mathrm{C}=Z$ и $\mathrm{C}=W$ соответственно). Наконец, обозначим индексом $\mathrm{C} = \mathrm{NLO}$ (следующий за ведущим порядок) полные ЭСП, которые состоят из двух вкладов – электромагнитного ($\mathrm{C} = \mathrm{QED}$) и уже определенного слабого ($\mathrm{C} = \mathrm{WRC}$), так что $\mathrm{NLO} = \mathrm{QED} + Z + W$.
Для описания безрадиационного процесса достаточно трех партонных лоренц-инвариантов Мандельштама:
$$
\begin{equation}
s = (p_1+p_2)^2,\qquad t = (p_1-p_3)^2,\qquad u = (p_2-p_3)^2.
\end{equation}
\tag{5}
$$
нужны для описания радиационной кинематики. В безрадиационном случае выполняются соотношения $s \equiv s_1$, $t \equiv t_1$, $u \equiv u_1$, $M$ определяется так: $ M=\sqrt{(p_3+p_4)^2}$, в безрадиационном случае $M=\sqrt{s}$.
Адронные инварианты вводятся по аналогии с партонными и обозначаются выражениями с шляпками. Согласно кварк-партонной модели (3) партонные и адронные инварианты в ультрарелятивистском приближении связаны простыми соотношениями:
$$
\begin{equation}
\hat s = \frac{s}{x_1x_2},\qquad \hat t = \frac{t}{x_1},\qquad \hat u = \frac{u}{x_2},\qquad \hat t_1 = \frac{t_1}{x_2},\qquad \hat u_1 = \frac{u_1}{x_1}.
\end{equation}
\tag{6}
$$
Нужные для анализа величины (энергии частиц, энергия пары $E$, углы рассеяния $\theta$ и $\alpha$, поперечные и продольные компоненты 3-импульсов, $p_\mathrm{T}$ и $p_z$ – поперечная и продольная составляющие 3-импульса пары) связаны с инвариантами в работе [6].
4. Сечение и асимметрия вперед-назад
Для расчета сечения $d \sigma_{0}^{\gamma\gamma}$ процесса (2) применяем стандартную технику: по правилам Фейнмана [7] записываем амплитуды, соответствующие диаграммам рис. 2, затем квадрируем их и суммируем (усредняем) по поляризациям конечных (начальных) частиц. Представим результат в ультрарелятивистском приближении в форме, принятой в работе [5]:
Применяя конволюционную формулу, перейдем к адронному сечению. Используем полностью дифференциальное сечение, для чего осуществим замену переменных $ (x_1, x_2, t) \to (M, y, {\cal C}) $, где ${\cal C} = \cos\theta$ в системе центра масс адронов. Соответствующий этой замене якобиан $J_N$ имеет вид [6]
Опишем важную наблюдаемую величину – асимметрию вперед-назад $A_\mathrm{FB}$, которая определяется как отношение разности сечений рассеяния дилептона в диапазоне угла $\theta^*$ вперед $\sigma^h_\mathrm{F}$ ($\cos\theta^* > 0$) и назад $\sigma^h_\mathrm{B}$ ($\cos\theta^* < 0$) в системе Коллинза–Сопера (покоя дилептона) [8] к их сумме:
Уравнение $\cos\theta^* = 0$ дает два условия на границу, разделяющую области сечений вперед $\sigma^h_\mathrm{F}$ и назад $\sigma^h_\mathrm{B}$: $y=0$ и ${\cal C} = \operatorname{th}{y}$ (см. рис. 3 из работы [9]). Рассматриваемая асимметрия не равна нулю также по причине того, что не симметричны области интегрирования для сечений $\sigma^h_\mathrm{F}$ и $\sigma^h_\mathrm{B}$ (равенство достигается только для вкладов в сечение, которые обладают симметрией относительно замен $y \to -y$ и ${\cal C} \to - {\cal C} $, т. е. только для фотонных вкладов). Отметим, что изображенная физическая область ограничена также условиями $|{\cal C}| \leqslant \zeta^*$ и $|\cos\alpha| \leqslant \zeta^*$. В переменных настоящей работы границы области, вытекающие из неравенства $|\cos\alpha| \leqslant \zeta^*$, имеют нетривиальный вид:
где $r = \sqrt{1-2\cos\theta\operatorname{th} y+\operatorname{th}^2 y}$ (см. более подробно в описании рис. 3 из работы [9]).
На рис. 3 изображены борновские асимметрии вперед-назад процесса рождения димюона в зависимости от $M$ в условиях эксперимента CMS LHC. Так как борновский процесс фотонного слияния имеет электромагнитную природу (нет вкладов слабых бозонов), для него $A_\mathrm{FB}^{\gamma\gamma}=0$, откуда мы заключаем, что сечения “вперед” и “назад” равны: $\sigma^{\gamma\gamma}_\mathrm{F} = \sigma^{\gamma\gamma}_\mathrm{B} = \Delta$. Сечение фотонного слияния становится сравнимым с сечением процесса Дрелла–Яна только при больших $M$. После несложных алгебраических преобразований асимметрия, обусловленная суммарным эффектом, принимает вид
Вклад от диаграмм с дополнительным виртуальным фотоном (в обратном процессе $e^+e^- \to \gamma\gamma$) впервые был рассчитан в работах [10]–[12], он полностью факторизуется перед борновским сечением
$$
\begin{equation*}
d \sigma_\mathrm{QED}^{\gamma\gamma} = \delta_\mathrm{QED} d \sigma_{0}^{\gamma\gamma},
\end{equation*}
\notag
$$
В рассматриваемый вклад ($\mathrm{C}=\mathrm{QED}$) входят следующие диаграммы: две фотонные вершины (рис. 4а, 4б), диаграмма собственной энергии лептона (рис. 4в), фотонный бокс (рис. 4г), диаграммы с излучением мягкого фотона ($\mathrm{C}=\mathrm{soft}$). Вклад процессов с излучением тормозного фотона включается для решения проблемы инфракрасной расходимости. На партонном уровне они имеют вид
Полностью (с полным учетом жесткого тормозного излучения) расчет ЭМП был проделан в работе [6]. Вклад ЭСП в исследуемую партонную реакцию был рассчитан в работе [13] (точнее, там был изучен обратный процесс). Как и в случае ЭМП, для слабой части имеет место полная факторизация относительных поправок перед борновским сечением:
$$
\begin{equation*}
d \sigma_\mathrm{WRC}^{\gamma\gamma} = d \sigma_{Z}^{\gamma\gamma} + d \sigma_{W}^{\gamma\gamma},\qquad d \sigma_{Z,W}^{\gamma\gamma} = \delta_{Z,W} d \sigma_{0}^{\gamma\gamma}.
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь индексом $Z$ помечено сечение, обусловленное диаграммами с дополнительным $Z$-бозоном (рис. 4), а индексом $W$ – диаграммами с дополнительным $W$-бозоном (рис. 6). Набор диаграмм рис. 4 и рис. 6 минимальный, это значит, что указаны только те диаграммы, которые дают значимый вклад в ультрарелятивистском приближении и (или) взаимно не сокращаются в сумме; полный набор приведен, например, в работе [13].
Как и для ЭМП, в случае ЭСП имеет место кроссинговая симметрия $t \leftrightarrow u$, благодаря которой электрослабые относительные поправки можно записать следующим образом:
Для численных оценок адронных наблюдаемых принимается набор предписаний, соответствующий экспериментальной постановке CMS LHC:
1) реакция (1) с неполяризованными протонами суммарной энергии $\sqrt{\!S}=14$ ТэВ (система центра масс протонов, Run3/HL LHC) и конечными состояниями $\mu^-\mu^+$ и $e^-e^+$;
Исследована область только положительных $y$ (факт симметрии наблюдаемых сечений относительно точки $y=0$ часто используется для уменьшения статистической ошибки).
На рис. 7а показаны борновские дважды дифференциальные сечения ${d\sigma_0^h}/{dM\,dy}$ процесса димюонного рождения через два механизма (Дрелла–Яна и фотонного слияния) для эксперимента CMS LHC в зависимости от $M$ при разных $y$. Сечения резко уменьшаются с ростом как $M$, так и $y$, однако новые физические явления могут проявиться именно на краю кинематической области, поэтому ее прецизионное изучение представляется крайне необходимым. Рис. 7б иллюстрирует полные относительные ЭСП $\delta_\mathrm{C}^h(M,y)$ в зависимости от $M$ при разных $y$. Из-за факторизации партонной поправки перед борновским сечением в поправках $\delta_\mathrm{WRC}^h(M,y)$ в основном сохраняются черты поведения партонной относительной поправки $\delta_\mathrm{WRC}$: малость при небольших энергиях реакции, пик в точке $M=2m_W$ и резкое падение в области высоких энергий, обусловленное двойными судаковскими логарифмами.
На рис. 8 показаны борновские дифференциальные сечения $d\sigma_0^h/dM$ процесса димюонного рождения и электрослабые поправки к нему в зависимости от $M$ (по переменной $y$ произведено интегрирование в пределах $|y| \leqslant 2.5$). Видно, что два рассмотренных механизма образования лептонной пары сравниваются по масштабу в области больших $M \sim 7$ ТэВ. Рис. 8б иллюстрирует поведение полных относительных ЭСП, разделенных по вкладам $Z$- и $W$-бозонов $\delta_\mathrm{WRC}^h(M,y) = \delta_{Z}^h(M,y) + \delta_{W}^h(M,y)$, в зависимости от $M$. Относительные поправки значительны (отрицательны) при больших $M$, с ростом $M$ их абсолютное значение быстро растет.
На рис. 9 показаны борновское сечение процесса Дрелла–Яна (жирные сплошные линии), борновское сечение и сечение с учетом ЭСП процесса рождения димюона в фотонном слиянии (жирные штриховые и тонкие сплошные линии соответственно) в зависимости от $M$ в условиях эксперимента CMS LHC для двух стандартных интервалов по быстроте пары $y$.
Рис. 10 иллюстрирует асимметрии вперед-назад рождения димюона в зависимости от $M$ в условиях эксперимента CMS LHC. Жирными сплошными линиями обозначена асимметрия, обусловленная механизмом Дрелла–Яна, штриховыми – асимметрия с учетом обоих механизмов – Дрелла–Яна и фотонного слияния. Асимметрии с учетом ЭМП (тонкие сплошные линии) и полных ЭСП (тонкие штриховые линии) заметно отличаются от борновских только в области больших значений $M$.
Наконец, чтобы установить разницу в поведении поправок для разных конечных состояний, на рис. 11а показана разница сечений с учетом полных ЭСП в случае рождения димюона и диэлектрона в зависимости от $M$:
В работе изучены наблюдаемые величины (сечения и асимметрия вперед-назад) процесса рождения дилептонов в адронных столкновениях в канале фотонного слияния, расчет сделан с точностью до полных однопетлевых ЭСП. Полученные теоретические эффекты необходимо учитывать в экспериментальной программе CMS LHC, где внимание акцентировано на области сверхвысоких энергий и инвариантных масс дилептона, соответствующей режиму Run3/HL LHC, поскольку эффекты оказались на уровне ожидаемых статистических и систематических (экспериментальных) погрешностей.
Благодарности
Автор признателен коллегам по группе RDMS CMS и участникам VII Международной конференции “Модели в квантовой теории поля” (Санкт-Петербург, 10–14 октября 2022 г.) за обсуждение.
Конфликт интересов
Автор заявляет, что у него нет конфликта интересов.
Список литературы
1.
S. D. Drell, T.-M. Yan, “Massive lepton-pair production in hadron-hadron collisions at high-energies”, Phys. Rev. Lett., 25:5 (1970), 316–320; Erratum, 25:13 (1970), 902–902
2.
S. D. Drell, T.-M. Yan, “Partons and their applications at high energies”, Ann. Phys., 66:2 (1971), 578–623
3.
В. А. Зыкунов, “Вклад инверсного глюонного излучения в КХД-поправки к процессу Дрелла–Яна для экспериментов на LHC”, ЯФ, 74:1 (2011), 72–84
4.
A. B. Arbuzov, R. Sadykov, “Inverse bremsstrahlung contributions to Drell–Yan like processes”, ЖЭТФ, 133:3 (2008), 564–570, arXiv: 0707.0423
5.
В. А. Зыкунов, “Эффекты радиационных поправок в процессе Дрелла–Яна при сверхвысоких инвариантных массах дилептона”, ЯФ, 84:4 (2021), 348–368
6.
В. А. Зыкунов, “Эффекты электромагнитных радиационных поправок в процессе рождения лептонных пар при фотон-фотонном слиянии на LHC”, ЯФ, 85:5 (2022), 366–380
7.
M. Böhm, H. Spiesberger, W. Hollik, “On the 1-loop renormalization of the electroweak standard model and its application to leptonic processes”, Fortschr. Phys., 34:11 (1986), 687–751
8.
J. C. Collins, D. E. Soper, “Angular distribution of dileptons in high-energy hadron collisions”, Phys. Rev. D, 16:7 (1977), 2219–2225
9.
V. A. Zykunov, “Weak radiative corrections to the Drell-Yan process for large invariant mass of a dilepton pair”, Phys. Rev. D, 75:7 (2007), 073019, 11 pp.
10.
I. Harris, I. M. Brown, “Radiative corrections to pair annihilation”, Phys. Rev., 105:5 (1957), 1656–1661
11.
Y. -S. Tsai, “High-energy $\gamma$-ray source from electron-positron pair annihilation”, Phys. Rev., 137:3B (1965), B730–B739
12.
F. A. Berends, R. Gastmans, “Hard photon corrections for $e^+ e^- \to \gamma \gamma$”, Nucl. Phys. B, 61 (1973), 414–428
13.
M. Böhm, T. Sack, “Electroweak radiative corrections to $e^+ e^- \to \gamma \gamma$”, Z. Phys. C, 33 (1986), 157–165
14.
P. A. Zyla, R. M. Barnett, J. Beringer et al. (Particle Data Group), “Review of particle physics”, Prog. Theor. Exp. Phys., 2020:8 (2020), 083C01, 2092 pp.
15.
A. D. Martin, R. G. Roberts, W. J. Stirling, R. S. Thorne, “Parton distributions incorporating QED contributions”, Eur. Phys. J. C, 39:2 (2005), 155–161
Образец цитирования:
В. А. Зыкунов, “Двухфотонное рождение дилептонов на LHC с учетом электрослабых поправок”, ТМФ, 217:1 (2023), 30–43; Theoret. and Math. Phys., 217:1 (2023), 1446–1458