| Теоретическая и математическая физика |
|
|
|
|
|
Статистические свойства одномерного осциллятора Дирака в пространстве-времени Риндлера Т. И. Руабия, А. Бумали Laboratory of Theoretical and Applied Physics, Echahid Cheikh Larbi Tebessi University, Tebessa, Algeria
Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2023, Volume 217, Issue 1, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0040577923100124 
Реферативные базы данных:
   1. ВведениеВ последние годы научный интерес к изучению квантово-механических релятивистских частиц и гравитации был сосредоточен на решении их волновых уравнений в рамках общей теории относительности. На атомном уровне, где гравитационные эффекты минимальны, эти уравнения могут оказаться бессмысленными. Физика, управляющая такими частицами, имеет решающее значение для астрофизики и космологии, где преобладают гравитационные эффекты. Кроме того, изучение одночастичных состояний необходимо для разработки единой теории гравитации и квантовой механики [1], [2]. Релятивистский осциллятор Дирака (ОД) обладает значительным теоретическим и практическим потенциалом. Впервые он изучался в работе Ито и др. [3], где было рассмотрено уравнение Дирака, в котором импульс $\vec p$ заменен на $\vec p-im\beta\omega\vec r$, где $\vec r$ – радиус-вектор частицы, $m$ – масса частицы, $\omega$ – частота осциллятора. Интерес к этой системе возродили работы [4], [5], авторы которых и назвали такую модель ОД, потому что в нерелятивистском пределе она переходит в гармонический осциллятор с очень сильной спин-орбитальной связью. Можно показать, что модель взаимодействия в ОД описывает физическую систему, которую можно интерпретировать как взаимодействие аномального магнитного момента с линейным электрическим полем [6], [7]. Релятивистски равномерно ускоренная (гиперболическая) система отсчета является полезной и важной системой координат, задающей часть плоского пространства-времени Минковского в релятивистской физике [8], [9]. Равномерно ускоряющаяся частица в специальной теории относительности движется по гиперболе. При этом равномерно ускоренная система отсчета, в которой частица покоится, может быть выбрана в качестве собственной. Эффекты, возникающие в однородном гравитационном поле, можно сравнить с явлениями в этой гиперболической системе отсчета. Еще один тип неинерциальной системы, интересной с точки зрения исследования таких эффектов, связан с равномерно ускоренными наблюдателями в пространстве-времени Минковского [10]; эта система известна как пространство-время Риндлера. Параллельно с этим в последние несколько лет интенсивно изучались гравитационные эффекты в квантово-механических системах [11]. В физике фундаментальным является вопрос: каким образом и насколько сильно структура пространства-времени влияет на квантовые системы? Систематическое исследование этих гравитационных эффектов было проведено в работах [12]. Тепловые свойства одномерного ОД впервые были рассмотрены в работе [13], где авторы вычислили термодинамические параметры осциллятора, используя формулу Эйлера–Маклорена. Хотя этот метод можно применять для получения всех тепловых характеристик системы, использующееся в нем разложение статистической суммы корректно только при высоких температурах. Статистическая сумма полностью расходится при температуре $T=0$ K. Нас интересует, во-первых, уточнение вычислений термодинамических параметров релятивистских гармонических осцилляторов во всех диапазонах температур, во-вторых, устранение расходимости, появляющейся в статистической сумме при $T=0$ K, для модели ОД. Обеих этих целей можно достичь, используя метод дзета-функций [14]–[16]. Дзета-функция успешно применяется в различных областях физики, от обычной квантовой и статистической механики до квантовой теории поля [17]. В настоящей статье мы обсуждаем одночастичное решение уравнения ОД в ускоренной системе отсчета. Статья организована следующим образом: в разделе 2 мы представляем уравнение ОД для фермионов со спином $1/2$ в пространстве-времени Риндлера. В разделе 3 мы исследуем тепловые свойства таких фермионов и их поведение в ускоренной системе координат. Наконец, в разделе 4 представлены выводы. Всюду в работе мы используем натуральные единицы $\hbar=c=1$. 2. Одномерный ОД в пространстве-времени Риндлера2.1. Свободные фермионы в пространстве-времени РиндлераМетрика Минковского в координатах Риндлера $(\eta,\xi)$ имеет вид [8], [18]–[20] Кривизна пространства-времени Риндлера всюду равна нулю, поскольку оно отличается от пространства-времени Минковского только заменой координат. Лабораторные и конформные координаты связаны как [8], [21]
$$
\begin{equation}
t(\eta,\xi)=\frac{e^{a\xi}}{a}\operatorname{sh}(a\eta),\qquad x(\eta,\xi)=\frac{e^{a\xi}}{a}\operatorname{ch}(a\eta),
\end{equation}
\tag{2}
$$
где $a$ – ускорение, а координаты $(\eta,\xi)$ изменяются в интервалах $-\infty<\eta<+\infty$ и $-\infty<\xi<+\infty$. Уравнение Дирака в произвольном искривленном пространстве-времени записывается как [18]
$$
\begin{equation}
[i\gamma^\mu(\partial_\mu-\Gamma_\mu)-m]\psi_{ \scriptscriptstyle{\mathrm D} }=0,\qquad \mu=0,1,2,3,
\end{equation}
\tag{3}
$$
где $m$ – масса частицы, $\Gamma_\mu(x)$ – спинорная аффинная связность и $\gamma^\mu$ – обобщенные матрицы Дирака, которые удовлетворяют антикоммутационным соотношениям Локальные матрицы $\gamma^\mu(x)$ связаны со стандартными матрицами Дирака $\gamma^a$ в плоском пространстве-времени посредством тетрадных полей $e_a^\mu(x)$ [22]: Тетрадные поля подчиняются соотношениям где $(\mu,\nu)=(0,1,2,3)$ – тензорные индексы, $(a,b)=(0,1,2,3)$ – тетрадные индексы и $\eta'{}^{ab}=\operatorname{diag}(+1,-1,-1,-1)$ – тензор Минковского [22]. Вид тетрадных полей $e_\mu^a$ и их обратных $e_a^\mu$ определяется диагональной формулой элемента длины [23]:
$$
\begin{equation}
e_\mu^a=e^{\sigma(\xi)}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix},\qquad e_a^\mu=e^{-\sigma(\xi)}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix},
\end{equation}
\tag{7}
$$
Символы Кристоффеля $\Gamma_{\sigma\mu}^\nu$ задаются как
$$
\begin{equation}
\Gamma_{\sigma\mu}^\nu=\frac{1}{2}g^{\nu\beta}[\partial_{\sigma}g_{\beta\mu}+\partial_\mu g_{\beta\sigma}-\partial_{\beta}g_{\sigma\mu}].
\end{equation}
\tag{8}
$$
Если представить матрицы $\gamma$ в виде [24], [25]
$$
\begin{equation}
\gamma^0=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix},\qquad \gamma^1=\begin{pmatrix} i & \phantom{-}0 \\ 0 & -i \end{pmatrix},
\end{equation}
\tag{9}
$$
то мы имеем
$$
\begin{equation}
\gamma^0(\xi)=\gamma^0e^{-\sigma(\xi)},\qquad \gamma^1(\xi)=\gamma^1e^{-\sigma(\xi)}.
\end{equation}
\tag{10}
$$
После задания всех параметров в (3) свободное уравнение Дирака в пространстве-времени Риндлера принимает вид [24]
$$
\begin{equation}
\biggl[i\gamma^0\partial_0+i\gamma^1\biggl(\partial_\xi+\frac{1}{4}\frac{d\sigma(\xi)}{d\xi}\biggr)-me^{\sigma(\xi)/2}\biggr]\psi_{ \scriptscriptstyle{\mathrm D} }=0.
\end{equation}
\tag{11}
$$
Это уравнение можно переформулировать как следующую задачу на собственные функции:
$$
\begin{equation}
H_{ \scriptscriptstyle{\mathrm D} }\psi_{ \scriptscriptstyle{\mathrm D} }=E\psi_{ \scriptscriptstyle{\mathrm D} },
\end{equation}
\tag{12}
$$
где
$$
\begin{equation}
H_{ \scriptscriptstyle{\mathrm D} }=\begin{pmatrix} 0 & -\partial_\xi-\dfrac{1}{4}\dfrac{d\sigma(\xi)}{d\xi}+me^{\sigma(\xi)/2} \\ \partial_\xi+\dfrac{1}{4}\dfrac{d\sigma(\xi)}{d\xi}+me^{\sigma(\xi)/2} & 0 \end{pmatrix}
\end{equation}
\tag{13}
$$
обозначает гамильтониан Дирака. После унитарного преобразования [24], [26]
$$
\begin{equation}
U(\xi)=e^{\sigma(\xi)/4}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
\end{equation}
\tag{14}
$$
уравнение Дирака (12) переходит в
$$
\begin{equation}
\widetilde H_{ \scriptscriptstyle{\mathrm D} }\tilde\psi_{ \scriptscriptstyle{\mathrm D} }(\xi)=\varepsilon\tilde\psi_{ \scriptscriptstyle{\mathrm D} }(\xi),\qquad \tilde\psi_{ \scriptscriptstyle{\mathrm D} }(\xi)=(\tilde\psi_1,\tilde\psi_2)^{\mathrm T}.
\end{equation}
\tag{15}
$$
Новая волновая функция $\tilde\psi_{ \scriptscriptstyle{\mathrm D} }(\xi)$ связана с $\psi_{ \scriptscriptstyle{\mathrm D} }=(\psi_1,\psi_2)^{\mathrm T}$ посредством унитарного преобразования $U$ следующим образом:
$$
\begin{equation}
\tilde\psi_{ \scriptscriptstyle{\mathrm D} }(\xi)=U\psi_{ \scriptscriptstyle{\mathrm D} }(\xi).
\end{equation}
\tag{16}
$$
Отсюда
$$
\begin{equation}
\binom{\tilde\psi_1}{\tilde\psi_2}=e^{\sigma(\xi)/2}\binom{\psi_1}{\psi_2}.
\end{equation}
\tag{17}
$$
Новый гамильтониан имеет вид
$$
\begin{equation}
\widetilde H_{ \scriptscriptstyle{\mathrm D} }=UH_{ \scriptscriptstyle{\mathrm D} }U^{-1}= \begin{pmatrix} 0 & -\partial_\xi+me^{\sigma(\xi)/2} \\ \partial_\xi+me^{\sigma(\xi)/2} & 0 \end{pmatrix}.
\end{equation}
\tag{18}
$$
В результате получаем систему уравнений
$$
\begin{equation}
(-\partial_\xi+me^{\sigma(\xi)/2})\tilde\psi_2 =E\tilde\psi_1,
\end{equation}
\tag{19}
$$
$$
\begin{equation}
(\partial_\xi+me^{\sigma(\xi)/2})\tilde\psi_1 =E\tilde\psi_2.
\end{equation}
\tag{20}
$$
Из второго уравнения системы получаем
$$
\begin{equation}
\tilde\psi_2=\frac{\partial_\xi+me^{\sigma(\xi)/2}}{E}\tilde\psi_1.
\end{equation}
\tag{21}
$$
Подставляя это соотношение в первое уравнение, получаем следующее дифференциальное уравнение для $\tilde\psi_1$:
$$
\begin{equation}
\{-\partial_\xi^2-ma-E^2+m^2e^{\sigma(\xi)}\}\tilde\psi_1(\xi)=0.
\end{equation}
\tag{22}
$$
Рассмотрим частный случай $\sigma(\xi)=2a\xi$ [24], [26]. Чтобы решить уравнение (22), введем новую переменную $z=\frac{m}{a}e^{a\xi}$. После несложных вычислений получаем
$$
\begin{equation}
\biggl\{z^2\frac{d^2}{dz^2}+z\frac{d}{dz}-(z^2-\nu^2)\biggr\}\tilde\psi_1(z)=0,\qquad \nu=i\sqrt{\frac{E^2-ma}{a^2}}.
\end{equation}
\tag{23}
$$
Это модифицированное уравнение Бесселя с комплексным $\nu$. Общее решение этого уравнения имеет вид [27], [28] Мы налагаем граничные условия Физический смысл этих граничных условий состоит в том, что при них получаются решения, регулярные на бесконечности, и волновая функция в этом пределе равна нулю (условие квантования). Таким образом, коэффициент при $I_\nu$ должен быть равным нулю, поскольку $I_\nu$ экспоненциально возрастает, а $K_\nu$ экспоненциально убывает. Теперь, чтобы решить уравнение (22), используем приближение малого ускорения $a$ [26]. В этом случае $z=\frac{m}{a}e^{a\xi}$ можно разложить как Подстановка этого разложения в (22) дает
$$
\begin{equation}
\{-\partial_\xi^2+2am^2\xi-\zeta\}\tilde\psi_1(\xi)=0,\qquad \zeta=E^2+ma-m^2.
\end{equation}
\tag{27}
$$
Положим
$$
\begin{equation}
\alpha=2am^2=\frac{1}{l^3},\qquad \zeta\equiv E^2+ma-m^2=\frac{\lambda}{2ml^2},
\end{equation}
\tag{28}
$$
где $l=1/(2am^2)^{1/3}$ есть характеристическая длина, которую можно вычислить для любой массы. Эта длина убывает с ростом массы, и для электрона при $a=g$ она равна $l=0.088$ см [28]. Введем новую переменную $\varrho=\xi/l-\lambda$. Тогда уравнение (27) принимает вид
$$
\begin{equation}
\frac{\partial^2\tilde\psi_1}{\partial\varrho^2}-\varrho\tilde\psi_1=0.
\end{equation}
\tag{29}
$$
Новые граничные условия таковы:
$$
\begin{equation}
\tilde\psi_1(-\lambda)=0,\qquad \tilde\psi_1(\infty)\to 0.
\end{equation}
\tag{30}
$$
Решением уравнения (29), удовлетворяющим условию $\tilde\psi_1(\infty)=0$, является функция Эйри [20], [27], [28], таким образом,
$$
\begin{equation}
\tilde\psi_1(\xi)=N_{\text{norm}}\operatorname{Ai}(\xi).
\end{equation}
\tag{31}
$$
Для высоких уровней с $\lambda\gg 1$ находим, что (детали см. в [20], [26], [28])
$$
\begin{equation}
\lambda_n=\biggl(\frac{3\pi}{4}\biggl(2n+\frac{1}{2}\biggr)\!\biggr)^{\!2/3}.
\end{equation}
\tag{32}
$$
Подставляя эти собственные значения в $\zeta$ из (28), получаем спектр энергий:
$$
\begin{equation}
E_n=\pm m\sqrt{1-\frac{a}{m}+\frac{1}{m^3l^2}\biggl(\frac{3\pi}{4}\biggl(2n+\frac{1}{2}\biggr)\!\biggr)^{\!2/3}} \quad\text{при}\quad n\gg 1.
\end{equation}
\tag{33}
$$
Эта формула представляет собой компактное выражение для энергетического спектра, связанного с ускоренной системой отсчета. Она показывает, что неинерционный эффект ускоренной системы отсчета имитирует внешний потенциал в уравнении Дирака, а также допускает образование связанных состояний [20], [26]. На рис. 1 показан спектр энергетических уровней одномерного свободного ОД в пространстве-времени Риндлера как функция квантового числа $n$ при различных значениях других параметров. Из рис. 1a мы видим, что влияние параметра $l$ заметно только при малых его значениях. При больших $l$ энергии совпадают. Это замечание позволяет нам понять рис. 1б, на котором представлены энергетические спектры в зависимости от квантового числа $n$ для различных значений ускорения $a$. Мы видим, что для более низких уровней кривые становятся более различимыми. 2.2. Фермионы в присутствии одномерного ОДТеперь, чтобы включить в рассмотрение взаимодействие, описывающееся ОД, произведем в импульсной компоненте замену $\partial_\xi\to\partial_\xi+m\omega\beta\xi$ [29]–[31]. Тогда уравнение (11) преобразуется в
$$
\begin{equation}
\biggl[i\gamma^0\biggl(\partial_\xi+m\omega\beta\xi+\frac{a}{2}\biggr)+E-\gamma^0me^{a\xi}\biggr]\Psi_{ \scriptscriptstyle{\mathrm D} }=0.
\end{equation}
\tag{34}
$$
Для решения уравнения (34) используем следующий анзац:
$$
\begin{equation}
\Psi_{ \scriptscriptstyle{\mathrm D} }=e^{-i\varepsilon\eta}\binom{\psi_1(\xi)}{\psi_2(\xi)}.
\end{equation}
\tag{35}
$$
Тогда получаем систему уравнений
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \biggl(\partial_\xi-m\omega\xi+\frac{a\xi}{2}+z(\xi)\biggr)\psi_1(\xi)&=\varepsilon\psi_2(\xi), \\ \biggl(\,{-\partial_\xi}+m\omega\xi-\frac{a\xi}{2}+z(\xi)\biggr)\psi_2(\xi)&=\varepsilon\psi_1(\xi), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{36}
$$
где $z(\xi)=me^{a\xi}$. Ее можно записать как задачу на собственные функции
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, H_{ \scriptscriptstyle{\mathrm D} }\Psi_{ \scriptscriptstyle{\mathrm D} }=\varepsilon\Psi_{ \scriptscriptstyle{\mathrm D} }, \\ H_{ \scriptscriptstyle{\mathrm D} }=\begin{pmatrix} 0 & -\partial_\xi+m\omega\xi-a\xi/2+z(\xi) \\ \partial_\xi-m\omega\xi-a\xi/2+z(\xi) & 0 \end{pmatrix}. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{37}
$$
Используя ту же процедуру, что и выше (см. также [24], [26]), получаем новое уравнение Дирака с новым гамильтонианом
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \widetilde H_{ \scriptscriptstyle{\mathrm D} }\widetilde\Psi_{ \scriptscriptstyle{\mathrm D} }(\xi)=\varepsilon\widetilde\Psi_{ \scriptscriptstyle{\mathrm D} }(\xi), \\ \widetilde H_{ \scriptscriptstyle{\mathrm D} }=\begin{pmatrix} 0 & -\partial_\xi+m\omega\xi-z(\xi) \\ \partial_\xi+m\omega\xi+z(\xi) & 0 \end{pmatrix}. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{38}
$$
Преобразовав эту систему уравнений, окончательно имеем
$$
\begin{equation}
\{-\partial_\xi^2-m\omega+m^2\omega^2\xi^2-\partial_\xi z(\xi)-\varepsilon^2+z^2(\xi)\}\tilde\psi_1=0.
\end{equation}
\tag{39}
$$
Для решения этого уравнения рассмотрим приближение малых $a$. Тогда В этом приближении уравнение (39) преобразуется в
$$
\begin{equation}
\biggl\{-\frac{1}{2m}\frac{d^2}{d\xi^2}+\frac{1}{2}m\omega^2\biggl(\xi+\frac{a}{\omega}\biggr)^{\!2\,}\biggr\}\tilde\psi_1= \frac{\varepsilon^2-m^2+m(a+\omega)}{2m}\tilde\psi_1.
\end{equation}
\tag{41}
$$
Положим
$$
\begin{equation}
y=\xi+\frac{a}{\omega},\qquad \epsilon=\frac{\varepsilon^2-m^2+m(a+\omega)}{2m},
\end{equation}
\tag{42}
$$
отсюда получим
$$
\begin{equation}
\biggl\{-\frac{1}{2m}\frac{d^2}{dy^2}+\frac{1}{2}m\omega^2y^2\biggr\}\tilde\psi_1=\epsilon\tilde\psi_1.
\end{equation}
\tag{43}
$$
Это стандартное уравнение одномерного гармонического осциллятора. Энергетические уровни для такой модели известны:
$$
\begin{equation}
\frac{\varepsilon_n^2-m^2+m(a+\omega)}{2m}=\omega\biggl(n+\frac{1}{2}\biggr),
\end{equation}
\tag{44}
$$
откуда
$$
\begin{equation}
\varepsilon_n=\pm m\sqrt{\frac{2n\omega}{m}+1-\frac{a}{m}}.
\end{equation}
\tag{45}
$$
На рис. 2 показан энергетический спектр одномерного ОД в пространстве-времени Риндлера. Мы видим, что при небольших $a$ от ускорения системы отсчета зависят только нижние уровни (см. рис. 2a). При очень малых $a$ эту зависимость можно игнорировать, поэтому влияние этого параметра на энергетический спектр не вполне ясно. 3. Термодинамические свойства ОД в пространстве-времени Риндлера3.1. МетодСначала вычислим статистическую сумму $Z$, а далее из нее получим термодинамические характеристики релятивистского гармонического осциллятора. Статистическая сумма задается как
$$
\begin{equation}
Z=\sum_n e^{-\beta E_n}=\sum_n e^{-\sqrt{2}\beta\sqrt{\alpha+n}},\qquad \alpha=\frac{1-a}{2},
\end{equation}
\tag{46}
$$
где мы положили $\omega/m=1$. Используем преобразование Меллина для экспоненты
$$
\begin{equation}
e^{-x}=\frac{1}{2\pi i}\int_{C-i\infty}^{C+i\infty}ds\,x^{-s}\Gamma(s)
\end{equation}
\tag{47}
$$
(см. рис. 3a), тогда сумма в (46) принимает вид
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \sum_n e^{-\sqrt{2}\beta\sqrt{\alpha+n}}&= \frac{1}{2\pi i}\int_{C-i\infty}^{C+i\infty} ds\,(\sqrt{2}\beta)^{-s}\sum_n (\alpha+n)^{-s/2}\Gamma(s)= \notag\\ &=\frac{1}{2\pi i}\int_{C-i\infty}^{C+i\infty} ds\,(\sqrt{2}\beta)^{-s}\zeta_{\scriptscriptstyle{\mathrm H}}(s/2,\alpha)\Gamma(s), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{48}
$$
где мы выбрали $x=\sqrt{2}\beta\sqrt{\alpha+n}$ в (47), а $\Gamma(s)$ и $\zeta_{\scriptscriptstyle{\mathrm H}}(s/2,\alpha)$ суть гамма-функция и дзета-функция Гурвица. Заметим, что гамма-функция имеет простые полюсы при $s=-n$, $n\in\mathbb{N}$, и вычеты в этих полюсах равны $(-1)^n/n!$ [16], [17], [32], [33].  Рис. 3.Контур преобразования Меллина (47); крестиками отмечены полюсы гамма-функции (a). Контур теоремы о вычетах и полюсы подынтегральной функции для рассматриваемой задачи (б). См. такие же рисунки в работах [32], [34]. Применяя к интегралу в (48) теорему о вычетах с учетом того, что полюсы подынтегральной функции $s\in\{0,2,\mathbb{Z}^{-}\}$ (см. рис. 3б), получаем
$$
\begin{equation}
\sum_n e^{-\sqrt{2}\beta\sqrt{\alpha+n}}= \frac{1}{2\beta^2}+\zeta_{\scriptscriptstyle{\mathrm H}}(0,\alpha)+ \sum_{n=1}^{\infty}\zeta_{\scriptscriptstyle{\mathrm H}}\biggl(-\frac{n}{2},\alpha\biggr)\frac{(-1)^n}{n!}(\sqrt{2}\beta)^n.
\end{equation}
\tag{49}
$$
Окончательно искомая статистическая сумма $Z$ записывается через дзета-функции Гурвица как
$$
\begin{equation}
Z(\tau,a)=\frac{1}{2\beta^2}+\zeta_{\scriptscriptstyle{\mathrm H}}\biggl(0,\frac{1-a}{2}\biggr)+ \sum_{n=1}^{\infty}\zeta_{\scriptscriptstyle{\mathrm H}}\biggl(-\frac{n}{2},\frac{1-a}{2}\biggr)\frac{(-1)^n}{n!}(\sqrt{2}\beta)^n.
\end{equation}
\tag{50}
$$
Этот результат позволяет определить термодинамические свойства одномерного ОД в пространстве-времени Риндлера. На этом этапе нужно сделать важное замечание о выборе правильного знака энергетического спектра для вычисления статистической суммы. Здесь мы ограничились устойчивыми состояниями с положительной энергией. Причину этого можно сформулировать так. В работах [7], [35] было показано, что физическую интерпретацию ОД можно легко получить, применяя преобразование Фолди–Вутхайзена [36]. Другими словами, независимо от интенсивности взаимодействия решения с положительной и отрицательной энергией не смешиваются. Любой энергетический уровень занят состоянием одного из этих двух типов, но никогда не бывает смеси двух ветвей, которая вызвала бы аннигиляцию частица-античастица. Итак, состояния фермионов разделяются на два сектора: обычный положительный и отрицательный, состоящие соответственно из состояний с положительным и отрицательным числом фермионов. Как только состояние попадает в отрицательный сектор, оно не может вернуться в положительный сектор в результате обычного взаимодействия из-за наличия барьера (похожего на энергетическую щель в физике твердого тела) [37]. Таким образом, в соответствии с приведенными выше аргументами мы предполагаем, что только частицы с положительной энергией доступны для определения термодинамических свойств рассматриваемой нами системы. 3.2. Обсуждение результатовНаиболее важные термодинамические величины, такие как свободная энергия $F$, внутренняя энергия $U$, энтропия $S$ и удельная теплоемкость $C_V$, можно получить из следующих выражений через статистическую сумму [38], [16]:
$$
\begin{equation}
\begin{alignedat}{3} F&=-\frac{1}{\beta}\ln Z,&\qquad U&=-\frac{\partial\ln Z}{\partial\beta}, \\ \frac{S}{k_{\scriptscriptstyle{\mathrm B}}}&=\ln Z-\beta\frac{\partial\ln Z}{\partial\beta}, &\qquad \frac{C_V}{k_{\scriptscriptstyle{\mathrm B}}}&=\beta^2\frac{\partial^2\ln Z}{\partial\beta^2}. \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{51}
$$
Мы рассчитали эти термодинамические характеристики для одномерного ОД в пространстве-времени Риндлера. На рис. 4 все величины представлены как функции от температуры $1/\beta$ в релятивистском случае с $r=\omega/m$. Обсудим эти результаты. Мы видим в некоторых случаях разницу в поведении теплоемкости $C_V$: когда решения быстро стремятся к $2k_{\scriptscriptstyle{\mathrm B}}$, графики имеют четко выраженный максимум в окрестности температуры $1/\beta_0$. При этом на графиках энтропии $S$ для различных значений ускорения $a$ резкие изменения в окрестности этой температуры не обнаруживаются. Такое поведение теплоемкости $C_V$ не является ни признаком, ни причиной существования фазового перехода вблизи температуры $1/\beta_0$. 4. ЗаключениеВ представленной статье мы провели анализ термодинамических свойств одномерного осциллятора Дирака в пространстве-времени Риндлера. Сначала мы получили энергетический спектр осциллятора, а затем вычислили статистическую сумму. Как следствие мы определили термодинамические параметры. На кривых удельной теплоемкости наблюдается максимум, который исчезает при уменьшении ускорения. Кроме того, эти кривые не говорят о существовании фазового перехода. БлагодарностиАвторы выражают свою благодарность рецензенту за внимательное рассмотрение рукописи и ценные предложения. Конфликт интересовАвторы заявляют, что у них нет конфликта интересов.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{RouBou23} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|