| Теоретическая и математическая физика |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) Неабелева фермионная T-дуальность для фундаментальной струны Л. Н. Астраханцевabc a Московский физико-технический институт, Долгопрудный, Московская обл., Россия b Институт теоретической и математической физики, МГУ им. М. В. Ломоносова, Москва, Россия c Национальный исследовательский центр "Курчатовский институт", Москва, Россия
Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2023, Volume 216, Issue 1, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0040577923070073 
Реферативные базы данных:
   Статья публикуется по результатам доклада на конференции “Models in Quantum Field Theory” (MQFT-2022). 1. ВведениеТеория струн обладает множеством симметрий дуальности, связывающих конфигурации фонового поля, эквивалентные с точки зрения струны. В настоящее время известно, что полное пространство вакуумов струны вырожденно в том смысле, что существует симметрия, делающая различные супергравитационные решения неразличимыми на уровне струны. Одной из таких симметрий дуальности является, вероятно наиболее известная, пертурбативная бозонная T-дуальность, которая преобразует поля из таргет-пространства, оставляя при этом статсумму теории инвариантной [1], [2]. Преобразование выполняется вдоль бозонной изометрии фона и на уровне полей описывается в терминах так называемых правил Бушера [3] (см. также обзор в [4]). Процедура Бушера может быть обобщена на неабелевы изометрии, в этом случае симметрия называется неабелевой бозонной T-дуальностью [5] и T-дуальностью Пуассона–Ли [6], [7]. Если расширить процедуру Бушера на суперсимметричный фон, то можно показать, что теория струн на древесном уровне допускает изометрию, называемую фермионной T-дуальностью. Вместо изометрии вдоль вектора Киллинга предполагается инвариантность фоновых суперполей при сдвиге фермионной координаты в суперпространстве. Впервые это было проделано в [8] для доказательства T-самодуальности $AdS_5\times S^5$ и описания соответствия амплитуда/петля Вильсона, а также для доказательства суперконформной инвариантности амплитуд рассеяния супер-Янга-Миллса [8]–[10] (см. обзор в [11]). Вследствие коммутативности T-дуальность вынужденно ограничена комплексными фермионными направлениями в суперпространстве, что приводит к комплексным фонам супергравитации. Даже единичная фермионная T-дуальность вдоль майорановского спинора Киллинга в десятимерной супергравитации по умолчанию неабелева в том смысле, что генератор суперсимметрии не обращается в нуль при антикоммутировании с самим собой, $\{Q^a,{\kern1.2pt\overline{\vphantom{Q}\kern6.6pt}\kern-7.8pt Q}_b\}=(\Gamma^m)^a{}_bP_m$. Комплексификация спинора Киллинга позволяет удовлетворить абелево ограничение и, таким образом, сделать фермионную T-дуальность согласованной. Чтобы в конечном итоге получить действительный фон, обычно применяют цепочку фермионных T-дуальностей, выполняемых в такой последовательности, что мнимые компоненты полей, генерируемых в процессе, обращаются в нуль [8], [12], [13]. Правила Бушера для неабелева фермионного преобразования T-дуальности для фона в общем случае были сформулированы в работе [14]. При этом преобразование полей супергравитации типа II в размерности $d=10$ внешне такое же, как и в абелевом случае [8]. Для преобразованного дилатона $\phi$ и RR-биспинора $\mathcal F^{\alpha\hat\beta}$, содержащего калибровочно-инвариантные напряженности поля, имеем
$$
\begin{equation}
\mathcal F'=\mathcal F+16i\frac{\epsilon\otimes\hat\epsilon}{C},\qquad \phi'=\phi+\frac{1}{2}\ln C,
\end{equation}
\tag{1}
$$
где $\epsilon^\alpha$, $\hat\epsilon^{\hat\alpha}$ – пара спиноров Киллинга, задающих направление фермионной изометрии в суперсимметричной $\mathcal N=2$ теории. Что меняется в неабелевом случае, так это определение функции $C$:
$$
\begin{equation}
\partial_mC=iK_m-ib_{mn}\widetilde K^n,\qquad \tilde\partial^mC=-i\widetilde K^m,
\end{equation}
\tag{2}
$$
где
$$
\begin{equation}
K_m=\begin{cases} \epsilon\bar\gamma_m\epsilon+\hat\epsilon\gamma_m\hat\epsilon, & \text{тип IIA},\\ \epsilon\bar\gamma_m\epsilon-\hat\epsilon\bar\gamma_m\hat\epsilon, & \text{тип IIB}, \end{cases}\qquad \widetilde K^m=\begin{cases} \epsilon\bar\gamma^m\epsilon-\hat\epsilon\gamma^m\hat\epsilon, & \text{тип IIA},\\ \epsilon\bar\gamma^m\epsilon+\hat\epsilon\bar\gamma^m\hat\epsilon, & \text{тип IIB}. \end{cases}
\end{equation}
\tag{3}
$$
Заметим, что обращение в нуль вектора Киллинга $\widetilde K^m$ является абелевым ограничением для спиноров Киллинга, $[\delta_{\epsilon,\hat\epsilon},\delta_{\epsilon,\hat\epsilon}]=-\widetilde K^mP_m$, из-за алгебры суперсимметрии. Следовательно, в неабелевом случае функция $C$ обретает зависимость от дуальной координаты и получает вклад от NSNS-2-формы $b_{mn}$. Обычные координаты $x^m$, которые мы здесь называем геометрическими, вместе с набором дополнительных координат $\tilde x_m$, которые мы называем дуальными, параметризуют пространство-время удвоенной теории поля (DFT). По аналогии со струнной сигма-моделью $x^m$ соотносятся с обычными координатами “импульса” (пространства-времени), а $\tilde x_m$ – с новыми координатами “намотки” $\tilde x_m$, объединяясь в набор $\mathbb{X}^M=(x^m,\tilde x_m)$. Данная теория была впервые введена в [15], [16] как надлежащее ковариантное описание T-дуальности струнных фонов, а затем получила дальнейшее развитие в работах [17]. Поля DFT зависят от полного набора координат $\mathbb{X}^M=(x^m,\tilde x_m)$, подчиняющихся условию проекции $\partial_m\overset{\scriptscriptstyle\bullet}{\hphantom{-}}\tilde\partial^m\overset{\scriptscriptstyle\bullet}{\hphantom{-}}=0$, где точки соответствуют любым полям теории. Удвоенная теория поля ковариантна относительно локальных обобщенных диффеоморфизмов, которые, в частности, включают стандартные диффеоморфизмы, преобразование T-дуальности, калибровочные преобразования поля Калба–Рамона, и относительно локальных преобразований, которыми, в частности, являются $\beta$-сдвиги [18], [19]. Из-за зависимости функции $C$ как от обычных, так и от дуальных координат результатом после неабелевой фермионной T-дуальности в общем случае будет решение DFT. Явные примеры включают в себя неабелевы T-дуализированные пустое пространство Минковского и фон D$p$-браны [14]. После действия неабелевой фермионной T-дуальности на решение супергравитации в общем случае мы наблюдаем три класса решений DFT: 1) действительные фоны, зависящие от дуального времени; 2) комплексные фоны, оба являющиеся решениями уравнения супергравитации; 3) негеометрические комплексные фоны. Также отметим, что зависимость от дуального времени делает фон эффективно комплексным из-за неправильного знака кинетических членов RR-полей. Неабелевы спиноры Киллинга при антикоммутации дают вектор $\widetilde K^m$, поэтому они образуют замкнутую подалгебру суперизометрии. Таким образом, полная процедура преобразования неабелевой фермионной T-дуальности может быть проделана в два основных этапа: сдвиг RR-полей и дилатона по правилам (5), за которым следует (формальная) абелева бозонная T-дуальность вдоль вектора Киллинга $\widetilde K^m$. При этой полной T-дуальности мы наблюдаем следующее преобразование ранее введенных трех классов решений DFT. 1. Решения первого класса становятся комплексными решениями супергравитации, поскольку преобразование включает в себя T-дуальность вдоль временно́й координаты. 2. У решений второго класса остается только зависимость от геометрических координат, и эти решения опять же являются решениями уравнений комплексной супергравитации. 3. Решения третьего класса являются наиболее нетривиальными в зависимости от комбинаций $x\pm\tilde x$ в сооответствии с условием проекции. Это означает, что существует система координат DFT, в которой данная комбинация становится геометрической, но при этом фон в этой системе не может быть описан в терминах римановой метрики и калибровочных полей. Такие фоны в работе [20] были названы неримановыми. Мы называем такие фоны негеометрическим, фактически относя их к тем фонам, которые нельзя T-дуализировать в обычные решения супергравитации, называющиеся геометрическими по номенклатуре работы [21]. Настоящая работа организована следующим образом. В разделе 2 мы исследуем примеры неабелевых фермионных T-дуализированных фонов фундаментальной струны. В разделе 3 мы формулируем некоторые выводы и обсуждаем возможные будущие исследования. 2. Фундаментальная струнаНекоторые примеры преобразованных решений были рассмотрены в [14], при этом во всех примерах b-поле было равно нулю. Теперь мы рассмотрим, что происходит в случае фона без RR-полей, но с ненулевым b-полем. В качестве примера такого фона рассмотрим фундаментальную струну типа II, заданную как [22]
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, ds^2=H^{-1}(-dt^2+dy^2)+dx_{(8)}^2, \\ B_{ty}=H^{-1}-1,\qquad e^{-2\phi}=H e^{-2\phi_0}, \qquad H=1+\frac{h}{|x_{(8)}|^6}. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{4}
$$
Поскольку решение 1/2-BPS сохраняет половину общей суперсимметрии типа II, мы можем найти соответствующие спиноры Киллинга как для типа IIA, так и для типа IIB из следующего условия проекции:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \binom{\epsilon}{\hat\epsilon}=H^{-1/4}\binom{\epsilon_0}{\hat\epsilon_0},\qquad (1+\Gamma^{01}\mathcal O)\binom{\epsilon_0}{\hat\epsilon_0}=0, \\ \mathcal O=\begin{cases} \Gamma_{11}, & \text{тип IIA}, \\ \sigma^3, & \text{тип IIB}. \end{cases} \end{gathered}
\end{equation}
\tag{5}
$$
В десяти измерениях $\Gamma_{11}$ является гамма-матрицей размера $32\times32$, в то время как матрица Паули $\sigma^3$ действует на столбец из двух спиноров типа IIB одинаковой киральности. Из уравнений (5) найдем спиноры Киллинга в явном виде:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \epsilon_0&=(1-\gamma^{0\bar 1})\eta=(1-\gamma^0\gamma^1)\eta, \quad\;\;\text{типы IIA, IIB}, \\ \hat\epsilon_0&=\begin{cases} (1+\gamma^{\bar{0}1})\bar{\eta}=(1-\gamma^0\gamma^1)\bar{\eta}, & \text{тип IIA},\\ (1+\gamma^{0\bar 1})\eta=(1+\gamma^0\gamma^1)\eta, & \text{тип IIB}, \end{cases} \end{aligned}
\end{equation}
\tag{6}
$$
где $(\eta,\bar{\eta})$ – произвольные 16-компонентные постоянные спиноры. Здесь мы использовали соотношение $\gamma^{0\bar 1}=-\gamma^{\bar{0}1}=\gamma^0\gamma^1$. Чтобы записать спиноры Киллинга, удовлетворяющие уравнениям (5), как и в работе [14], пронумеруем все спиноры, введя базис $(\epsilon_i)^\alpha=\delta_i{}^\alpha$, $(\hat\epsilon_j)^{\hat\alpha}=\delta_j{}^{\hat\alpha}$ 16-компонентных спиноров различной киральности для теории типа IIA и одинаковой киральности для IIB. Теперь мы можем записать спиноры Киллинга в общем виде: для теории типа IIA
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \epsilon_0&=\frac{1}{4}e^{-i\pi/4} \biggl(\,\sum_{i=1}^8a_i\epsilon_i-a_8\epsilon_9+a_7\epsilon_{10}+a_6\epsilon_{11}- a_5\epsilon_{12}+a_4\epsilon_{13}-a_3\epsilon_{14}-a_2\epsilon_{15}+a_1\epsilon_{16}\biggr), \\ \hat\epsilon_0&=\frac{1}{4}e^{-i\pi/4} \biggl(\,\sum_{j=1}^8b_j\hat\epsilon_i-b_8\hat\epsilon_9+b_7\hat\epsilon_{10}+b_6\hat\epsilon_{11}- b_5\hat\epsilon_{12}+b_4\hat\epsilon_{13}-b_3\hat\epsilon_{14}-b_2\hat\epsilon_{15}+b_1\hat\epsilon_{16}\biggr), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
а для теории типа IIB
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \epsilon_0&=\frac{1}{4}e^{-i\pi/4} \biggl(\,\sum_{i=1}^8a_i\epsilon_i-a_8\epsilon_9+a_7\epsilon_{10}+a_6\epsilon_{11}- a_5\epsilon_{12}+a_4\epsilon_{13}-a_3\epsilon_{14}-a_2\epsilon_{15}+a_1\epsilon_{16}\biggr), \\ \hat\epsilon_0&=\frac{1}{4}e^{-i\pi/4} \biggl(\,\sum_{j=1}^8b_j\hat\epsilon_j+b_8\hat\epsilon_9-b_7\hat\epsilon_{10}-b_6\hat\epsilon_{11}+ b_5\hat\epsilon_{12}-b_4\hat\epsilon_{13}+b_3\hat\epsilon_{14}+b_2\hat\epsilon_{15}-b_1\hat\epsilon_{16}\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь общий комплексный множитель выбран для удобства последующего анализа, коэффициенты $a_i$, $b_j$ – константы. Вычисляя $K$ и $\widetilde K$, мы получаем, что ненулевыми остаются только следующие компоненты:
$$
\begin{equation*}
-\widetilde K^0=K_1=\frac{1}{2}(A+B)H^{-1/2},\qquad \widetilde K^1=K_0=\frac{1}{2}(A-B)H^{-1/2},
\end{equation*}
\notag
$$
где мы определили константы как Отсюда получаем функцию $C$ для обеих теорий:
$$
\begin{equation}
C=\frac{1}{2}(A+B)(x^1+\tilde x_0)+\frac{1}{2}(A-B)(x^0-\tilde x_1).
\end{equation}
\tag{7}
$$
Полученная функция удовлетворяет полевым уравнениям DFT и условиям проекции $\partial_m\tilde\partial^mC=0$ и $\partial_mC\tilde\partial^mC=0$, несмотря на то что содержит зависимость как от обычных координат, так и от дуальных им. Как и в работе [14], мы имеем следующие возможные классы решений: 1) фон, который зависит от дуального времени $\tilde x_0$, кажущийся действительным; 2) фон, не зависящий от дуального времени, всегда являющийся комплексным; 3) негеометрический фон по номенклатуре статьи [21], зависящий от пары $x\pm\tilde x$; его можно перевести в систему координат, в которой нельзя определить риманову метрику пространства-времени. Далее мы начнем с рассмотрения явных геометрических фонов в теориях IIA и IIB, затем продолжим описание негеометрических фонов в теориях типа II и, наконец, кратко суммируем результаты для всех примеров, поместив их в табл. 1. 2.1. Фермионная теория IIAДалее мы будем выбирать наиболее удобный набор констант $a_i$ и $b_j$, чтобы получить желаемые $A$ и $B$. Сначала рассмотрим геометрические примеры в теории типа IIA. Действительный фонЧтобы получить формально действительный фон, выберем ненулевыми только $a_1=b_1=2$, что дает $A=B=1$. Тогда $C=x^1+\tilde x_0$. Для неабелева фермионного T-дуализированного фона получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, e^{-2\phi}&=\frac{He^{-2\phi_0}}{x^1+\tilde x_0},\qquad m=\frac{e^{-\phi_0}}{2(x^1+\tilde x_0)^{3/2}}, \notag\\ \mathcal F_{(2)}&=\frac{e^{-\phi_0}}{2HC^{3/2}}\,dx^{01}, \\ \mathcal F_{(4)}&=\frac{e^{-\phi_0}}{C^{3/2}} \bigl((dx^{34}-dx^{27}-dx^{89})\wedge(dx^{56}-dx^{89})+{} \notag\\ &\qquad\qquad +(dx^{23}-dx^{47})\wedge(dx^{58}+dx^{69}-dx^{47})+(dx^{24}+dx^{37})\wedge(dx^{59}-dx^{68})\bigr). \notag \end{aligned}
\end{equation}
\tag{8}
$$
Явные выражения мы приводим только для преобразованных напряженности RR-полей и дилатона, так как остальные поля остаются неизменными. Мы используем очевидное обозначение $dx^{ij}=dx^i\wedge dx^j$. Заметим, что напряженность поля 0-формы $\mathcal F_0$, обычно называемая массой Романса $m$, становится зависящей от дуальной координаты. Действительный фон с нулевой массойНенулевая масса Романса в предыдущем примере подразумевает, что после T-дуальности по временно́й координате фон становится решением деформированной массивной теории типа IIA. Чтобы прийти к решениям для безмассовой супергравитации типа II, положим ненулевыми только $a_1=b_2=2$, $A=B=1$, что дает
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, e^{-2\phi}&=\frac{He^{-2\phi_0}}{x^1+\tilde x_0}, \notag\\ \mathcal F_{(2)}&=-\frac{e^{-\phi_0}}{2C^{3/2}}\bigl(dx^{67}+dx^{38}+dx^{49}-dx^{25}\bigr), \\ \mathcal F_{(4)}&=\frac{e^{-\phi_0}}{2C^{3/2}}\biggl(\frac{1}{H}dx^{01}\wedge(dx^{67}-dx^{25}+dx^{38}+dx^{49})+{} \notag\\ &\qquad\qquad\quad +(dx^{89}-dx^{34})\wedge(dx^{26}+dx^{57})+(dx^{39}-dx^{48})\wedge(dx^{27}-dx^{56})\biggr). \notag \end{aligned}
\end{equation}
\tag{9}
$$
В данном случае степень свободы из массы Романса перешла в дополнительную компоненту $F_{(2)}$-формы. Комплексный фонЕсли исключить зависимость от дуального времени, мы приходим к комплексному фону. Положим $a_1=-ib_1=2$, откуда $A=-B=1$ и $C=x^0-\tilde x_1$. T-дуализированные поля в данном случае задаются как
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, e^{-2\phi}&=\frac{He^{-2\phi_0}}{x^0-\tilde x_1}, \qquad m=\frac{ie^{-\phi_0}}{2(x^0-\tilde x_1)^{3/2}}, \notag\\ \mathcal F_{(2)}&=\frac{ie^{-\phi_0}}{2HC^{3/2}}dx^{01}, \\ F_{(4)}&=\frac{ie^{-\phi_0}}{C^{3/2}} \bigl(\,(dx^{34}-dx^{27}-dx^{89})\wedge(dx^{56}-dx^{89})+{} \notag\\ &\qquad\qquad +(dx^{23}-dx^{47})\wedge(dx^{58}+dx^{69}-dx^{47})+(dx^{24}+dx^{37})\wedge(dx^{59}-dx^{68})\bigr). \notag \end{aligned}
\end{equation}
\tag{10}
$$
Заметим, что масса Романса $m$ опять зависит от координат $x^0$ и $\tilde x_1$, но, как и раньше, мы можем сделать ее равной нулю, выбрав подходящие $a_i$ и $b_j$. Далее рассмотрим геометрические примеры теории типа IIB. 2.2. Фермионная теория IIBПримеры теории IIB аналогичны примерам теории IIA, поэтому для краткости мы только запишем полученные решения. Действительный фонПоложим $a_1=b_2=2$, $A=B=1$, откуда $C=x^1+\tilde x_0$, и мы получаем T-дуализированные поля
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, e^{-2\phi}=&\frac{He^{-2\phi_0}}{x^1+\tilde x_0}, \notag\\ F_{(1)}=&-\frac{e^{-\phi_0}}{2C^{3/2}}dx^4, \notag\\ F_{(3)}=&\frac{e^{-\phi_0}}{2C^{3/2}} \bigl(-H\,dx^{014}+dx^3\wedge(dx^{56}-dx^{27})-dx^8\wedge(dx^{26}+dx^{57})+{} \notag\\ &\qquad\quad\,+dx^9\wedge(dx^{25}-dx^{67}-dx^{38})\bigr), \\ F_{(5)}=&\frac{e^{-\phi_0}}{2C^{3/2}}\bigl(H\,dx^{01}\wedge\bigl(dx^2\wedge(dx^{37}+dx^{59}-dx^{68})-dx^3\wedge(dx^{56}+dx^{89})+{} \notag\\ &\kern204pt +dx^7\wedge(dx^{58}+dx^{69})\bigr)+{} \notag\\ &\qquad\quad\,+dx^{347}\wedge(dx^{68}-dx^{59})+dx^{247}\wedge(dx^{89}+dx^{56})-{} \notag\\ &\qquad\quad\,-dx^4\wedge(dx^{5689}-dx^{2369}-dx^{2358})\bigr). \notag \end{aligned}
\end{equation}
\tag{11}
$$
Комплексный фонВ данном случае положим $a_1=-ib_2=1$, $A=-B=1$, что дает и преобразованные поля
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, e^{-2\phi}&=\frac{He^{-2\phi_0}}{x^0-\tilde x_1}, \notag\\ F_{(1)}&=-\frac{ie^{-\phi_0}}{2C^{3/2}}\,dx^4, \notag\\ F_{(3)}&=\frac{ie^{-\phi_0}}{2C^{3/2}}\bigl(-H\,dx^{014}+dx^3\wedge(dx^{56}-dx^{27})-dx^8\wedge(dx^{26}+dx^{57})+{} \\ &\qquad\qquad\; +dx^9(dx^{25}-dx^{67}-dx^{38})\bigr), \notag\\ F_{(5)}&=\frac{ie^{-\phi_0}}{2C^{3/2}}\bigl(H\,dx^{01}\wedge\big(dx^2\wedge(dx^{37}+dx^{59}-dx^{68})-{} \notag\\ &\kern90pt -dx^3\wedge(dx^{56}+dx^{89})+dx^7\wedge(dx^{58}+dx^{69})\bigr)+{} \notag\\ &\qquad\qquad\; +dx^{347}\wedge(dx^{68}-dx^{59})+dx^{247}\wedge(dx^{89}+dx^{56})-{} \notag\\ &\qquad\qquad\; -dx^4\wedge(dx^{5689}-dx^{2369}-dx^{2358})\bigr). \notag \end{aligned}
\end{equation}
\tag{13}
$$
Далее мы рассмотрим негеометрические фоны, которые будут выглядеть одинаково для обеих теорий типа II. 2.3. Негеометрический фонМы можем получить негеометрический фон, просто взяв значение $A$ или $B$ равным нулю или, в более общем случае, взять $|A|\neq|B|$. При этом, как пример, мы можем получить следующие две функции:
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{3} C&=x^1+x^0+\tilde x_0-\tilde x_1 &\qquad &(A=1,B=0), \\ C&=3x^1+x^0+3\tilde x_0-\tilde x_1 &\quad &(A=4, B=2) \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
с таким выбором спинора Киллинга, при котором RR-поля могут быть равны или не равны нулю. Мы видим, что функция $C$ может зависеть от комбинации вида $\alpha x\pm\beta\tilde x$. Так же, как и в [14], под негеометрическими мы подразумеваем решения DFT, которые не могут быть бозонно T-дуализированы в какой-либо геометрический фон. Согласно номенклатуре статьи [24] они принадлежат к так называемому истинно негеометрическому классу, к которому мы также относим фоны DFT, либо зависящие от дуальной координаты, либо становящиеся неримановыми в смысле работы [20]. Для удобства мы объединили полученные результаты в табл. 1. Таблица 1.Дуальные фоны фундаментальной струны при неабелевой фермионной T-дуальности в зависимости от выбора параметров $A$ и $B$.
2.4. Обобщенная супергравитацияВ этом пункте мы рассматриваем действие неабелевой фермионной T-дуальности на решения тривиальной обобщенной супергравитации. А именно, мы показываем, что решение фундаментальной струны после последовательного применения сначала неабелевой фермионной, а затем бозоной T-дуальности становится тривиальным решением обобщенной супергравитации. Для этого мы применяем бозонную T-дуальность вдоль координаты $x^1$ для T-дуализированного фона (12). В данном случае мы должны были бы получить супергравитацию типа IIA, но, как мы покажем далее, на самом деле получается более общая теория. После бозонной T-дуальности NSNS-поля́ и дилатон имеют вид
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, ds^2=-(2-H)\,dt^2+H\,dy^2+2(1-H)\,dt\,dy+dx_{(8)}^2, \\ B=0, \qquad e^{-2\phi'}=\frac{e^{-2\phi_0}}{x^0-x^1}, \qquad H=1+\frac{h}{|x_{(8)}|^6}. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{14}
$$
Мы получили обращающееся в нуль поле Калба–Рамона, но также получили ненулевую недиагональную компоненту метрики $g_{ty}\neq 0$, зависящую от гармонической функции $H$. Найдем новые RR-поля, используя равенство
$$
\begin{equation*}
F'=16ie^{\phi_0}C^{-3/2}(\epsilon_0 \otimes \hat\epsilon_0)\times\gamma^1,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\gamma^1$ – плоская гамма-матрица с верхним индексом. Получаем новые RR-поля:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, m&=0, \notag\\ F_{(2)}&=\frac{ie^{-\phi_0}}{2C^{3/2}}\,dx^4(dx^1-dx^0), \\ F_{(4)}&=\frac{ie^{-\phi_0}}{2C^{3/2}}\bigl((dx^1-dx^0)(dx^{356}+dx^{327}-dx^{268}-dx^{578}+dx^{259}-dx^{679}-dx^{389})\bigr). \notag \end{aligned}
\end{equation}
\tag{15}
$$
Запишем полевые уравнения в обобщенной супергравитации для NSNS-полей:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, R_{mn}-\frac{1}{4}H_{mkl}H_n{}^{kl}-e^{2\phi'}T_{mn}+D_mX_n+D_nX_m=0, \\ \frac{1}{2}D^{k}H_{kmn}+\frac{1}{2}mF_{mn}+\frac{1}{8}F_{mnpq}F^{pq}=X^{k}H_{kmn}+D_mX_n-D_nX_m=0, \\ R-\frac{1}{12}H^2+4D_mX^m-4X_mX^m=0, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{16}
$$
где $X_m=I_m+\partial_m\phi'-B_{mn}I^m$ является так называемой обобщенной производной для дилатона. Заметим, что для преобразованных RR-полей (15) полевые уравнения и тождества Бьянки выполняются тривиально, поэтому мы их здесь не приводим. Вектор $I^m$ удовлетворяет условию ортогональности $I^m\,\partial_m\phi'=0$ и уравнению Киллинга Мы видим, что для полученных полей выполнены соотношения $R_{mn}=0$ и $H_{mnp}=0$, так как $B=0$, откуда $X_m=I_m+\partial_m\phi$. Тензор энергии-импульса $T_{mn}$ для RR-полей имеет следующий вид:
$$
\begin{equation*}
T_{mn}=\frac{1}{2}F_{mp}F_n{}^{p}+\frac{1}{2}\frac{1}{3!}F_{m pqr}F_n{}^{pqr}-\frac{1}{4}g_{mn}\biggl(\,\sum_{i=2,4}|F^{(i)}|^2+m^2\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Из условия ортогональности получаем $I^0=I^1$. Система уравнений на вектор Киллинга $I_m$, которую нам нужно решить, выглядит следующим образом:
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{3} D_mX_n+D_nX_m&=T_{mn}, &\qquad D_mX_n-D_nX_m&=0, \\ D_mI_n+D_nI_m&=0, &\qquad D_mX^m-X_mX^m&=0. \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
Учитывая явный вид компонент ковариантной производной, а также условия обращения в нуль $T_{mn}-2\partial_m\partial_n\phi'=0$ и $\partial_m\partial^m\phi'-\partial_m\phi'\partial^m\phi'=0$, получаем следующую систему уравнений только на вектор $I^m$:
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{3} \partial_mI_n+\partial_nI_m-2\Gamma_{mn}{}^{\rho}I_{\rho}&=0, &\qquad \partial_mI_n&=\partial_nI_m, \\ \frac{1}{\sqrt{g}}\partial_m(\sqrt{g}I^m)-I_mI^m&=0, &\qquad I^0&=I^1. \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
Общее решение данной системы имеет следующий вид: где $f(x)$ – произвольная гладкая функция. Таким образом, мы получаем, что решение (14), (15) является не только решением супергравитации, но и тривиальным решением обобщенной супергравитации с вектором Киллинга, записанным в общем виде (18). Это также относится к исходному решению фундаментальной струны (4), которое тоже удовлетворяет тривиальному фону обобщенной супергравитации с простым вектором Киллинга, например $I^m=(g(y),-g(t),0,\ldots,0)$, где $g(x)$ – произвольная гладкая функция. Следовательно, неабелева фермионная T-дуальность сохраняет данное свойство в случае тривиального решения. Вопрос о сохранении этой особенности в нетривиальном случае обобщенной супергравитации остается открытым и является предметом будущих исследований. 3. ЗаключениеРанее в работе [14] мы обсуждали, что неабелева T-дуальность вдоль суперизометрии, состоящая из спинора и вектора Киллинга, может быть реализована как двухэтапная процедура: чисто фермионное преобразование по правилу (1), за которым следует абелева бозонная T-дуальность вдоль вектора Киллинга. Однако, применяя данную процедуру к решениям супергравитации, из рассмотрения явных примеров мы видим, что в общем случае итоговый фон не является фоном супергравитации, но в результате всегда получается решение уравнений движения DFT. Неабелева T-дуальность вдоль бозонных изометрий может быть реализована аналогичным образом: сначала линейный сдвиг b-поля в дуальных координатах, а затем действие формальных абелевых T-дуальностей вдоль всех направлений [23]. Аналогично представленному случаю первый шаг приводит исключительно к решениям DFT, зависящим от дуальных координат. Заметим, что вся процедура бозонной неабелевой T-дуальности всегда заканчивается решением (обобщенной) супергравитации, потому что все дуальные координаты дуализируются. Напротив, в фермионном случае имеются примеры, которые зависят от комбинаций $x\pm\tilde x$ геометрической координаты $x$ и ее дуальной $\tilde x$. Такие решения нельзя бозонно T-дуализировать в некоторое супергравитационное решение, даже если мы выполним бозонную T-дуальность в терминах другой координаты $x'= x+\tilde x$ и ее дуальной $\tilde x'=x-\tilde x$. Мы получим фон, для которого нельзя восстановить метрику $g_{mn}$, так как соответствующий блок обобщенной метрики является вырожденным. Такой фон не является римановым в смысле работы [20]. Недостаточность описания таких фонов в терминах фоновой метрики выбрасывает их из множества решений супергравитации. Насколько нам известно, в бозонном случае неизвестны примеры подобного поведения, соответственно, их поиск, на наш взгляд, представляет некоторый интерес. В данной работе, как и в [14], мы рассмотрели преобразования только из простого набора супералгебр, содержащих один фермионный генератор и один бозонный генератор. Слово “неабелев” относится к свойству спинора Киллинга, который не коммутирует сам с собой, как это обычно требуется для абелевой фермионной T-дуальности. Как мы показали в [14], из-за комплексных спиноров Киллинга такое преобразование никогда не генерирует настоящий действительный фон, т. е. мы получаем либо комплексный фон, либо фон с зависимостью от дуального времени. В последнем случае после дальнейшего применения T-дуальности вдоль времени поля́ становятся комплексными. Представляет интерес рассмотреть более общую задачу, где подгруппа бозонной изометрии неабелева и содержит больше генераторов. Это должно помочь продвинуться в получении действительного фона с помощью фермионных дуальностей. Альтернативный, хотя и похожий, подход см. в работе [24]. Наконец, как мы продемонстрировали на простом примере, неабелева фермионная T-дуальность вместе с бозонной T-дуальностью сохраняет существование вектора Киллинга в случае тривиального решения обобщенной супергравитации. Возникает вопрос: справедливо ли это для нетривиального решения обобщенной супергравитации? Последовательное действие неабелевых фермионных, а затем бозонных T-дуальностей на решения обобщенной супергравитации можно рассматривать как новый метод генерации решений обобщенной супергравитации. Мы оставим доказательство этого утверждения как задел для дальнейшей работы. БлагодарностиАвтор выражает благодарность профессорам Э. Т. Мусаеву и И. В. Бахматову, а также К. Губареву за плодотворные обсуждения представленной работы. Конфликт интересовАвтор заявляет, что у него нет конфликта интересов.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Ast23} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|