| Теоретическая и математическая физика |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) Решение модифицированного уравнения Камассы–Холма методом обратной задачи рассеяния Хуэй Мао, Ю Цянь, Юань-Юань Мяо School of Mathematics and Statistics, Nanning Normal University, Nanning, Guangxi, China
Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2023, Volume 216, Issue 2, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S004057792308010X 
Реферативные базы данных:
   1. ВведениеМодифицированное уравнение Камассы–Холма (мКХ) является актуальной темой солитонной теории в течение последних трех десятилетий. Это уравнение в частных производных с кубической нелинейностью, имеющее вид или аналогично
$$
\begin{equation}
u_{t}-u_{xxt}-u_{x}^{3}+u_{x}^{2}u_{xxx}+3u^{2}u_{x}+2u_{x}u_{xx}^2-4uu_{x}u_{xx}-u^{2}u_{xxx}=0,
\end{equation}
\tag{2}
$$
где $u=u(x,t)$ и $m=m(x,t)$ – вещественнозначные функции пространственной переменной $x$ и времени $t$. По-видимому, впервые это уравнение появилось в работе Фуксштейнер и Фокаса (см. (32) в [1]), где оно представлено как частный случай более общей системы. Позднее это уравнение появилось в работах Фокаса [2], Фуксштейнер [3], Олвера и Розенау [4]. В частности, Фокас [5] и Цяо [6] обсудили его физическую актуальность. Поэтому это уравнение иногда называют также уравнением FORQ или уравнением Цяо. Уравнение мКХ обладает также бигамильтоновой структурой и допускает представление Лакса [7] (см. также [6]). Таким образом, оно интегрируемо. Уравнение мКХ обладает разнообразными решениями, которые были построены и изучены разными методами. Как и уравнение Камассы–Холма, уравнение мКХ допускает пиконные решения [8]. Солитонные решения построили Иванов и Лион с помощью метода обратной задачи рассеяния [9], Матсумо с помощью билинейного метода Хироты [10], [11], Ван с соавторами с помощью преобразования Беклунда [12], Ся с соавторами с помощью преобразования Дарбу [13], Мао и Гуан с помощью метода одевания [14], Буте де Монвель и Карпенко с соавторами методом задачи Римана–Гильберта [15]. Кроме того, наложив два типа ограничений, Цяо получил некоторые интересные параметрические решения этого уравнения [16]. Недавно Иванов и Лион сформулировали спектральную задачу для уравнения мКХ в виде оператора Шредингера, а это та же спектральная задача, что и для уравнения Кортевега–де Фриза [9]. Поэтому на основе известных результатов для обратного спектрального преобразования уравнения Кортевега–де Фриза они построили темные солитонные решения для уравнения мКХ. Хорошо известно, что преобразование взаимности играет огромную роль при изучении как уравнения Камассы–Холма, так и уравнения мКХ. Из предыдущего опыта мы сделали вывод, что удобно расширить исследование, связав уравнение мКХ с так называемым ассоциированным модифицированным уравнением Камассы–Холма (амКХ) с помощью преобразования взаимности [12], [14]. Под влиянием этой идеи в настоящей работе мы развиваем более общий метод изучения обратной спектральной задачи рассеяния для уравнения мКХ с помощью преобразования взаимности и уравнения амКХ. Статья организована следующим образом. В разделе 2 мы даем обзор некоторых свойств пары Лакса и преобразования взаимности для уравнения мКХ. В разделе 3, введя соответствующую униформизующую переменную, мы рассматриваем прямую задачу рассеяния для уравнения амКХ с ненулевыми граничными условиями (ННГУ). Приводятся аналитичность, симметрии и асимптотические поведения собственных функций рассеяния и матрицы рассеяния, а также дискретный спектр и условия на вычеты. В разделе 4 сформулирована обратная задача рассеяния для уравнения амКХ с ННГУ в терминах матричной задачи Римана–Гильберта. Представлены в общем виде решения с простыми полюсами для уравнения амКХ с ННГУ. В разделе 5 с помощью преобразования взаимности и решений уравнения амКХ, полученных в разделе 4, построены $N$-солитонные решения уравнения мКХ. В частности, представлены различные решения уравнения мКХ, включая как светлые солитоны, так и темные: гладкое солитонное решение, сингулярное солитонное решение, многозначное сингулярное солитонное решение, а также их взаимодействия. 2. Пара Лакса и преобразование взаимностиУравнение мКХ обладает парой Лакса [6]
$$
\begin{equation}
\Phi_{x}=\widetilde{U}\Phi, \qquad \Phi_t=\widetilde{V}\Phi,
\end{equation}
\tag{3}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \widetilde{U}= \begin{pmatrix}-\dfrac{1}{2} & \dfrac{1}{2}k m \\ -\dfrac{1}{2}k m & \dfrac{1}{2}\end{pmatrix}, \\ \widetilde{V}=\begin{pmatrix}\dfrac{1}{k^{2}}+\dfrac{1}{2}(u^{2}-u_{x}^{2}) &-\dfrac{1}{k}(u-u_{x})-\dfrac{1}{2}k m (u^{2}-u_{x}^{2}) \\ \dfrac{1}{k}(u+u_{x})+\dfrac{1}{2}k m (u^{2}-u_{x}^{2}) & -\dfrac{1}{k^{2}}-\dfrac{1}{2}(u^{2}-u_{x}^{2})\end{pmatrix}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Соответствующее уравнение нулевой кривизны приводит к уравнению мКХ (1), что подтверждает его полную интегрируемость. С помощью калибровочного преобразования введем новую собственную функцию $\Psi=G^{-1}\Phi$ (или $\Phi=G\Psi$), где матрица калибровочного преобразования $G$ имеет вид
$$
\begin{equation*}
G =\begin{pmatrix} i & \hphantom{-}i\\ 1 & -1 \end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
В терминах введенной функции $\Psi$ линейная спектральная задача (3) преобразуется к виду
$$
\begin{equation}
\Psi_{x}=\widehat{U}\Psi,\qquad \Psi_t=\widehat{V}\Psi,
\end{equation}
\tag{4}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\widehat{U}=G^{-1}\widetilde{U}G-G^{-1}G_{x}, \qquad \widehat{V}=G^{-1}\widetilde{V}G-G^{-1}G_{t}.
\end{equation*}
\notag
$$
В явном виде имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \widehat{U}=-\frac{1}{2}\sigma_1-\frac{ik m}{2} \sigma_3, \\ \widehat{V}=\biggl(\frac{1}{k^2}+\frac{u^2-u_x^2}{2}\biggr)\sigma_1+\biggl[\frac{iu}{k}+\frac{ik m}{2}(u^2-u_x^2)\biggr] \sigma_3-\frac{u_x}{k} \sigma_2, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\sigma_1=\begin{pmatrix}0 & 1\\ 1 & 0\end{pmatrix}, \qquad \sigma_2=\begin{pmatrix}0 & -i\\ i & \hphantom{-}0\end{pmatrix},\qquad \sigma_3=\begin{pmatrix}1 & \hphantom{-}0\\ 0 & -1\end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что само уравнение мКХ (1) представлено в виде закона сохранения, поэтому можно ввести преобразование взаимности следующим образом [13]: Из этого преобразования взаимности следует
$$
\begin{equation}
\frac{\partial}{\partial {y}}=\frac{1}{m} \frac{\partial}{\partial {x}}, \qquad \frac{\partial}{\partial {\tau}}=\frac{\partial}{\partial {t}}+(u^{2}-u_{x}^{2})\frac{\partial}{\partial {x}},
\end{equation}
\tag{6}
$$
а также
$$
\begin{equation}
\frac{\partial}{\partial {x}}=m \frac{\partial}{\partial {y}},\qquad \frac{\partial}{\partial {t}}=\frac{\partial}{\partial {\tau}}-m(u^{2}-m^{2}u_{y}^{2})\frac{\partial}{\partial {y}}.
\end{equation}
\tag{7}
$$
В терминах $(y, \tau)$ уравнение мКХ (1) можно представить в виде
$$
\begin{equation}
m_{\tau}+2m^{3}u_{y}=0, \qquad u=m+\frac{1}{2}m\biggl(\frac{1}{m}\biggr)_{\!y\tau},
\end{equation}
\tag{8}
$$
что является упомянутым выше уравнением амКХ. Преобразование взаимности устанавливает связь между уравнениями мКХ и амКХ. С другой стороны, пары Лакса для этих двух уравнений также связаны друг с другом преобразованием взаимности. Действительно, из (7) и (4) можно получить пару Лакса уравнения амКХ где
$$
\begin{equation*}
U=-\frac{1}{2m}\sigma_1-\frac{ik}{2}\sigma_3, \qquad V=\frac{1}{k^2}\sigma_1+\frac{iu}{k}\sigma_3-\frac{mu_y}{k} \sigma_2.
\end{equation*}
\notag
$$
Далее мы будем использовать обратное спектральное преобразование, основанное на линейной спектральной задаче (9), при решении задачи с начальными условиями для уравнения амКХ (8) со следующими ННГУ при $y\to\pm\infty$:
$$
\begin{equation}
\lim_{y\to\pm\infty}m(y,\tau)=m_\pm,\qquad |m_\pm|=m_0>0,
\end{equation}
\tag{10}
$$
где $m=m(y,\tau) \in \mathbb{R}$.
3. Прямая задача рассеяния для уравнения амКХ с ННГУВ процессе решения прямой задачи рассеяния для уравнения амКХ мы рассматриваем аналитичность, симметрии и асимптотические характеристики собственных функций рассеяния и матрицы рассеяния, а также дискретный спектр и условия на вычеты. 3.1. Поверхность Римана и униформизующая координатаАсимптотическая задача рассеяния ($y\to \pm \infty$) для пары Лакса (9) имеет вид
$$
\begin{equation}
\begin{alignedat}{2} \Psi_y&=U_\pm\Psi,&\qquad U_\pm&=\lim_{y\to\pm\infty}U=-\frac{ik}{2}\sigma_{3}-\frac{1}{2m_\pm}\sigma_{1},\\ \Psi_{\tau}&=V_\pm\Psi,&\qquad V_\pm&=\lim_{y\to\pm\infty}V=-\frac{2m_\pm}{k^2}U_\pm. \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{11}
$$
Собственные значения оператора $U_\pm$ равны $\pm(i/2)\sqrt{k^2-1/{m_0}^2}$. Отметим, что собственные значения имеют две ветви, поэтому введем двулистную поверхность Римана, которую зададим формулой при этом $\lambda(k)$ – однозначная функция на поверхности. Точками ветвления являются $k=\pm1/m_0$, а разрезом – отрезок $[-1/m_0,1/m_0]$. Взяв $k+1/m_0={r_1}e^{i\theta_1}$ и $k-1/m_0=r_2 e^{i\theta_2}$ с аргументами в интервале $-\pi < \theta_j \leqslant\pi$, $j=1,2$, получим две однозначные ветви $\lambda_1=\sqrt{r_1r_2}e^{i(\theta_1+\theta_2)/2}$ и $\lambda_2=-\lambda_1$ на листе I и листе II. Поверхность Римана получается склеиванием двух копий вдоль разреза. Область, в которой $\operatorname{Im} \lambda>0$, – верхняя полуплоскость на листе I и нижняя полуплоскость на листе II, а область, в которой $\operatorname{Im}\lambda<0$, – нижняя полуплоскость на листе I и верхняя полуплоскость на листе II (см. рис. 1a). Для удобства введем униформизующую переменную Эта униформизующая переменная определяет отображение поверхности Римана на комплексную плоскость, что позволит нам работать с комплексным параметром вместо более громоздкой двулистной поверхности Римана. Обратное преобразование имеет вид
$$
\begin{equation}
k=\frac{1}{2}\biggl(z+\frac{1}{zm_0^2}\biggr) , \qquad \lambda=\frac{1}{2}\biggl(z-\frac{1}{zm_0^2}\biggr) .
\end{equation}
\tag{14}
$$
Пусть $C_0$ – окружность радиуса $1/m_0$ с центром в начале координат на комплексной плоскости $z$. Тогда мы знаем, что разрезы на двух листах отображаются в $C_0$, первый лист $\mathbb{C}_{\mathrm{I}}$ отображается во внешнюю область окружности $C_0$, а второй лист $\mathbb{C}_{\mathrm{II}}$ – во внутреннюю область окружности $C_0$. В частности, первый, второй, третий и четвертый квадранты на листе $\mathbb{C}_{\mathrm{I}}$ отображаются соответственно в первый, второй, третий и четвертый квадранты внешней области окружности $C_0$; первый, второй, третий и четвертый квадранты на листе $\mathbb{C}_{\mathrm{II}}$ отображаются соответственно в первый, второй, третий и четвертый квадранты внутренней области окружности $C_0$. Заметим, что $z(k_{\mathrm{I}})z(k_{\mathrm{II}})=1/m_0^2$. В частности, $z(\pm 1/m_0)=\pm 1/m_0$ на обоих листах; $z(0^{\pm}_{\mathrm{I}})={\pm}i/m_0$ и $z(\infty_{\mathrm{I}})=\infty$ на листе I; $z(0^{\pm}_{\mathrm{II}})=\mp i/m_0$ и $z(\infty_\mathrm{II})=0$ на листе II. Кроме того, $\operatorname{Im} \lambda>0$ и $\operatorname{Im}\lambda<0$ соответственно в областях $D^+$ и $D^-$, где
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, D^{+}&=\biggl\{z\in \mathbb{C}\!: \operatorname{Im}\lambda=\frac{\operatorname{Im}z}{2}\biggl(1+\frac{1}{m_0^2|z|^2}\biggr)>0\biggr\},\\ D^-&=\biggl\{z\in \mathbb{C}\!: \operatorname{Im}\lambda=\frac{\operatorname{Im}z}{2}\biggl(1+\frac{1}{m_0^2|z|^2}\biggr)<0\biggr\}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{15}
$$
Две области отмечены серым и белым цветом на рис. 1б. Заметим, что везде далее нижние индексы $\pm$ означают асимптотическое поведение при $y\to\pm\infty$, а верхние индексы $\pm$ относятся к областям аналитичности. 3.2. Решения Йоста и аналитичностьДля асимптотической задачи рассеяния (11) имеем
$$
\begin{equation}
U_\pm Y_\pm=Y_\pm \biggl(-\frac{i\lambda}{2}\sigma_3\biggr),
\end{equation}
\tag{16}
$$
где используются матрицы собственных векторов ($I$ – единичная $(2\times2)$-матрица) Отметим, что
$$
\begin{equation}
\det Y_\pm=1-\frac{1}{m_0^2z^2}:=\gamma(z), \qquad Y_\pm^{-1}=\frac{1}{\gamma(z)}\biggl(i+\frac{1}{m_\pm z}\sigma_2\biggr).
\end{equation}
\tag{18}
$$
Из второго уравнения системы (11) получим $[U_\pm,\ V_\pm]=0$. Это отражает тот факт, что граничные условия (10) не зависят от $\tau$. Следовательно, $U_\pm$ и $V_\pm$ имеют одни и те же собственные векторы. Другими словами,
$$
\begin{equation}
V_\pm Y_\pm=Y_\pm \biggl(\frac{i\lambda m_\pm}{k^2}\sigma_3\biggr).
\end{equation}
\tag{19}
$$
Непрерывный спектр представляет собой набор всех значений $k$ таких, что $\lambda(k)$ – вещественнозначная функция. Это имеет место при
$$
\begin{equation*}
\Sigma_k=\biggl(-\infty,-\frac{1}{m_0}\biggr]\cup\biggl[\frac{1}{m_0},+\infty\biggr)
\end{equation*}
\notag
$$
на двух листах поверхности Римана. Соответствующий набор на комплексной плоскости $z$ представляет собой $\Sigma_z=\mathbb{R}\setminus\{0\}$. Поскольку вкладываемый смысл будет ясен из контекста, далее верхний индекс у $\Sigma$ будем опускать. Для $z\in \Sigma $ можно определить решения Йоста $\Psi_\pm(y,\tau,z)$ как совместные матричные решения пары Лакса (9), удовлетворяющие асимптотическому условию
$$
\begin{equation}
\Psi_\pm(y,\tau,z)=Y_\pm e^{i\theta_\pm(y,\tau,z)\sigma_3}+o(1), \qquad y\to \pm\infty,
\end{equation}
\tag{20}
$$
при этом
$$
\begin{equation}
\theta_\pm(y,\tau,z)=\lambda(z)\biggl({-\frac{y}{2}+\frac{m_\pm\tau}{k(z)^2}}\biggr).
\end{equation}
\tag{21}
$$
Для устранения асимптотических осцилляций введем модифицированные собственные функции
$$
\begin{equation}
\mu_\pm(y,\tau,z)=\Psi_\pm(y,\tau,z) e^{-i\theta_\pm(y,\tau,z)\sigma_3}.
\end{equation}
\tag{22}
$$
Теперь граничные условия имеют вид В терминах модифицированных собственных функций пара Лакса (9) приобретает вид
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, ({e^{-i\theta_\pm\sigma_3}Y^{-1}_\pm\mu_{\pm}e^{i\theta_\pm\sigma_3}})_y&={e^{-i\theta_\pm\sigma_3}Y^{-1}_{\pm}\Delta Q_{\pm}\mu_{\pm}e^{i\theta_\pm\sigma_3}},\\ ({e^{-i\theta_\pm\sigma_3}Y^{-1}_\pm\mu_{\pm}e^{i\theta_\pm\sigma_3}})_{\tau}&={e^{-i\theta_\pm\sigma_3}Y^{-1}_{\pm}\Delta P_{\pm}\mu_{\pm}e^{i\theta_\pm\sigma_3}}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{23}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \Delta Q_\pm(y,\tau)&=\biggl(\frac{1}{2m_\pm}-\frac{1}{2m}\biggr)\sigma_1,\\ \Delta P_\pm(y,\tau)&=\biggl(\frac{ui}{k}-\frac{m_{\pm}i}{k}\biggr)\sigma_3-\frac{mu_y}{k} \sigma_2. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Кроме того, уравнение (23) можно представить в виде полного дифференциала
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, d(e^{-i\theta_\pm\sigma_3}&Y^{-1}_\pm\mu_{\pm}e^{i\theta_\pm\sigma_3})={} \notag \\ &=(e^{-i\theta_\pm\sigma_3}Y^{-1}_{\pm}\Delta Q_{\pm}\mu_{\pm}e^{i\theta_\pm\sigma_3})\,dy+(e^{-i\theta_\pm\sigma_3}Y^{-1}_{\pm}\Delta P_{\pm}\mu_{\pm}e^{i\theta_\pm\sigma_3})\,d\tau. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{24}
$$
Поэтому обыкновенное дифференциальное уравнение для модифицированных собственных функций $\mu_{\pm}$ можно формально интегрировать и получить линейные интегральные уравнения
$$
\begin{equation}
\mu_+(y,\tau,z) =Y_+-\int_{y}^{+\infty} Y_+e^{i\lambda(\frac{\xi-y}{2})\sigma_3}Y_+^{-1}\Delta Q_+(\xi,\tau)\mu_+(\xi,\tau) e^{i\lambda(\frac{y-\xi}{2})\sigma_3}\,d\xi,
\end{equation}
\tag{25}
$$
$$
\begin{equation}
\mu_-(y,\tau,z) =Y_-+\int_{-\infty}^{y} Y_-e^{i\lambda(\frac{\xi-y}{2})\sigma_3}Y_-^{-1}\Delta Q_-(\xi,\tau)\mu_-(\xi,\tau) e^{i\lambda(\frac{y-\xi}{2})\sigma_3}\,d\xi.
\end{equation}
\tag{26}
$$
Аналогично доказательству, предложенному в работах [17], [18], получим, что столбцы $\mu_{-,1}$ и $\mu_{+,2}$ аналитичны в области $D^+$, а $\mu_{+,1}$ и $\mu_{-,2}$ аналитичны в области $D^-$. Тогда соотношение (22) означает согласованность аналитичности столбцов матрицы $\Psi_\pm$ с аналитичностью соответствующих столбцов собственных функций $\mu_\pm$. 3.3. Матрица рассеянияПоскольку $\operatorname{tr} U= \operatorname{tr} V=0$, то в совокупности с теоремой Абеля имеем Поэтому в силу (20) и условия $\det e^{i\theta_\pm(y,\tau,z)\sigma_3}=1$ получим
$$
\begin{equation}
\det \Psi_{\pm}(y,\tau,z)=\det Y_\pm(z)=\gamma(z),\qquad y,\tau \in \mathbb{R},\ z \in \Sigma.
\end{equation}
\tag{27}
$$
Поскольку $\gamma(\pm 1/m_0)=0$, введем $\Sigma_0=\Sigma \backslash \{\pm 1/m_0\}$. Таким образом, $\gamma(z)\neq0$ для $z \in \Sigma_0$. Это означает, что $\Psi_+$ и $\Psi_-$ для $z \in \Sigma_0$ являются двумя фундаментальными матричными решениями пары Лакса, а также существует регулярная матрица $S$, зависящая от $z$, но не зависящая от $y$ и $\tau$, такая что
$$
\begin{equation}
\Psi_+(y,\tau,z)=\Psi_-(y,\tau,z)S(z), \qquad z\in \Sigma_0.
\end{equation}
\tag{28}
$$
Матрица $S(z)$ – так называемая матрица рассеяния, а ее элементы $s_{ij}(z)$ – коэффициенты рассеяния. Из приведенной выше формулы следует, что $\det S(z)=1$. Расписав уравнения (28) по столбцам, получим
$$
\begin{equation}
\Psi_{+1}=s_{11}\Psi_{-1}+s_{21}\Psi_{-2},\qquad \Psi_{+2}=s_{12}\Psi_{-1}+s_{22}\Psi_{-2}.
\end{equation}
\tag{29}
$$
Коэффициенты рассеяния можно выразить через вронскианы столбцов матрицы $\Psi_{\pm}$ следующим образом:
$$
\begin{equation}
s_{11}(z)=\frac{\mathrm{Wr}(\Psi_{+1},\Psi_{-2})}{\gamma(z)}, \qquad s_{12}(z)=\frac{\mathrm{Wr}(\Psi_{+2}, \Psi_{-2})}{\gamma(z)},
\end{equation}
\tag{30a}
$$
$$
\begin{equation}
s_{21}(z)=\frac{\mathrm{Wr}(\Psi_{-1}, \Psi_{+1})}{\gamma(z)}, \qquad s_{22}(z)=\frac{\mathrm{Wr}(\Psi_{-1}, \Psi_{+2})}{\gamma(z)}.
\end{equation}
\tag{30b}
$$
Из указанного представления найдем, что коэффициенты рассеяния $s_{11}(z)$ и $s_{22}(z)$ можно аналитически продолжить соответственно в областях $D^-$ и $D^+$. Но коэффициенты $s_{12}(z)$ и $s_{21}(z)$, вообще говоря, не являются аналитическими. Кроме того, определим нужные для обратной задачи коэффициенты отражения в виде
$$
\begin{equation}
\rho(z)=\frac{s_{21}(z)}{s_{11}(z)},\qquad \widetilde{\rho}(z)=\frac{s_{12}(z)}{s_{22}(z)},\qquad z\in \Sigma.
\end{equation}
\tag{31}
$$
3.4. СимметрииВ задаче рассеяния имеются три независимые симметрии, возникающие из преобразований, совместных с определяющим уравнением $\lambda^2=k^2-1/m_0^2$ для поверхности Римана. Первое преобразование – это $(k, \lambda)\to (k^*, \lambda^*)$, которое отображает точки на данном листе поверхности Римана на тот же самый лист. В терминах $z$ отображение имеет вид $z\to z^*$. Второе преобразование – это $(k, \lambda)\to (-k^*, -\lambda^*)$, которое также отображает точки на тот же самый лист. В терминах $z$ отображение имеет вид $z\to -z^*$. Наконец, третье отображение – это $(k, \lambda)\to (k, -\lambda)$ между двумя листами поверхности Римана (напомним, что $\lambda_{2}(k)=-\lambda_{1}(k)$). В терминах $z$ это отображение имеет вид $z\to 1/m_0^{2}z$, оно отображает точки внутри $C_0$ в область вне $C_0$ и наоборот. Это отображение происходит из ННГУ и двулистной поверхности Римана. При $z \in \Sigma $ собственные функции Йоста удовлетворяют следующим соотношениям:
$$
\begin{equation}
\Psi_\pm(y,\tau,z) =\sigma_1\Psi_\pm^*(y,\tau,z^*)\sigma_1,
\end{equation}
\tag{32}
$$
$$
\begin{equation}
\Psi_\pm(y,\tau,z) =-\frac{1}{m_\pm z}\Psi_\pm\biggl(y,\tau,\frac{1}{m_0^2z}\biggr)\sigma_2.
\end{equation}
\tag{34}
$$
Метод доказательства аналогичен методу, предложенному в работах [14], [17], мы не будем его здесь повторять. Для каждой симметрии матриц $\Psi_{\pm}$ в соотношении рассеяния (28) можно получить симметрии коэффициентов рассеяния. Действительно, из (28) и (32) имеем для $z \in \Sigma $ Поэтому соотношения между коэффициентами рассеяния имеют вид
$$
\begin{equation}
s_{21}(z)=s^*_{12}(z^*),\qquad s_{22}(z)=s^*_{11}(z^*).
\end{equation}
\tag{36}
$$
Аналогично, комбинируя (28) с (33), получим для $z \in \Sigma $ Записав это соотношение поэлементно, получим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, s_{11}(z)&=s^*_{11}(-z^*),\qquad s_{12}(z)=s^*_{12}(-z^*),\\ s_{21}(z)&=s^*_{21}(-z^*),\qquad s_{22}(z)=s^*_{22}(-z^*). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{38}
$$
Наконец, из (28) и (34) получим для $z \in \Sigma $
$$
\begin{equation}
S(z)=\frac{m_-}{m_+}\sigma_2S\biggl(\frac{1}{m_0^2z}\biggr)\sigma_2.
\end{equation}
\tag{39}
$$
Для коэффициентов рассеяния отсюда имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, s_{11}(z)&=\frac{m_-}{m_+}s_{22}\biggl(\frac{1}{m_0^2z}\biggr),\qquad s_{12}(z)=-\frac{m_-}{m_+}s_{21}\biggl(\frac{1}{m_0^2z}\biggr),\\ s_{21}(z)&=-\frac{m_-}{m_+}s_{12}\biggl(\frac{1}{m_0^2z}\biggr),\qquad s_{22}(z)=\frac{m_-}{m_+}s_{11}\biggl(\frac{1}{m_0^2z}\biggr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{40}
$$
Кроме того, используя приведенные выше симметрии для коэффициентов рассеяния, найдем следующую симметрию для коэффициентов отражения: 3.5. Дискретный спектр и условия для вычетовНабор точек $z \in \mathbb{C}\setminus\Sigma$, для которого существуют собственные функции в $L^2(\mathbb{R})$, является дискретным спектром задачи рассеяния. Как показано в работах [18], [19], существует конечный набор простых дискретных спектральных точек, каждая из которых является в точности значением $z\in D^-$, для которого $s_{11}(z)=0$ и которое принадлежит $C_0$, а также аналогичный набор точек для $s_{22}(z)$ в области $D^+$. Поэтому предположим, что $s_{11}(z)$ имеет простые нули $z_n$, $n=1,\dots,N$, в $D^- \cap \{z\in \mathbb{C}\!: |z|=1/m_0\}$. Тогда ввиду симметрий (36) и (38) имеем
$$
\begin{equation}
s_{11}(z_n)=s_{22}(z^*_n)=s_{11}(-z^*_n)=s_{22}(-z_n)=0,\qquad n=1,\dots,N.
\end{equation}
\tag{42}
$$
Таким образом, дискретный спектр представляет собой набор точек
$$
\begin{equation}
Z={\{z_n,z^*_n,-z^*_n,-z_n}\}^N_{n=1}\cup{\biggl\{\frac{i}{m_0},-\frac{i}{m_0}\biggr\}^{\delta}},
\end{equation}
\tag{43}
$$
где $z_n$ удовлетворяет условиям $|z_n| =1/m_0$, $ \operatorname{Re}z_n>0$, $ \operatorname{Im}z_n<0$, при этом набор $\{i/m_0,-i/m_0\}^\delta$ задается правилом
$$
\begin{equation}
\biggl\{\frac{i}{m_0},-\frac{i}{m_0}\biggr\}^{\delta}= \begin{cases} \varnothing,& \delta =0, \\ \biggl\{\dfrac{i}{m_0},-\dfrac{i}{m_0}\biggr\}, &\delta =1. \end{cases}
\end{equation}
\tag{44}
$$
Распределение дискретного спектра показано на рис. 1б. Для любого $z \in D^-$ имеем $\Psi_{+1}(y,\tau,z)\to 0$ при $y\to +\infty$ и $\Psi_{-2}(y,\tau,z)\to 0$ при $y\to -\infty$. Предположим, что $s_{11}(z)=0$ при $z=z_n$, из первого соотношения в (30a) получим следующее соотношение между собственными функциями $\Psi_{+1}$ и $\Psi_{-2}$ при $z=z_n$: где $b_n$ не зависит от $y$, $\tau$ и $z$.Выведем условия для вычетов, поскольку они требуются в обратной задаче. Для простоты далее ограничимся классом потенциалов, для которых $m_+=m_-$. Таким образом, имеем $\theta_-(y,\tau,z)=\theta_+(y,\tau,z)$, обозначим их $\theta(y,\tau,z)$. В силу (22) уравнение (45) можно записать в виде
$$
\begin{equation*}
\mu_{+1}(y,\tau,z_n)=b_ne^{-2i\theta(z_n)}\mu_{-2}(y,\tau,z_n).
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда получим
$$
\begin{equation}
\mathop{\operatorname{Res}}_{z=z_n}\biggl[\frac{\mu_{+1}(z)}{s_{11}(z)}\biggr]=C_ne^{-2i\theta(z_n)}\mu_{-2}(y,\tau,z_n),
\end{equation}
\tag{46}
$$
где $C_n= b_n/ s'_{11}(z_n)$. Аналогично, если $s_{22}(z^*_n)=0$, то из второго соотношения в (30b) получим уравнение
$$
\begin{equation}
\Psi_{+2}(y,\tau,z^*_n)=\widetilde b_n\Psi_{-1}(y,\tau,z^*_n),
\end{equation}
\tag{47}
$$
которое можно записать в эквивалентном виде
$$
\begin{equation*}
\mu_{+2}(y,\tau,z^*_n)=\widetilde b_n e^{2i\theta(z^*_n)}\mu_{-1}(y,\tau,z^*_n).
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, получим
$$
\begin{equation}
\mathop{\operatorname{Res}}_{z=z^*_n}\biggl[\frac{\mu_{+2}(z)}{s_{22}(z)}\biggr]=\widetilde C_ne^{2i\theta(z^*_n)}\mu_{-1}(y,\tau,z^*_n),
\end{equation}
\tag{48}
$$
где $\widetilde C_n= \widetilde b_n/ s'_{22}(z^*_n)$. Связь между указанными нормировочными константами можно получить с помощью симметрий собственных функций. Подставив (32) в (45) и сравнив с (47), получим $\widetilde b_n= b^*_n$. Кроме того, из (36) легко получить $s'_{11}(z_n)=[s'_{22}(z^*_n)]^*$. В результате имеем Далее обсудим оставшиеся точки из набора собственных значений. Подставив (33) в (45) и (47), получим следующие соотношения:
$$
\begin{equation}
\Psi_{+1}(y,\tau,-z^*_n)= b^*_n\Psi_{-2}(y,\tau,-z^*_n), \qquad \Psi_{+2}(y,\tau,-z_n)= b_n\Psi_{-1}(y,\tau,-z_n).
\end{equation}
\tag{50}
$$
Далее можно получить
$$
\begin{equation}
\mathop{\operatorname{Res}}_{z=-z^*_n}\biggl[\frac{\mu_{+1}(z)}{s_{11}(z)}\biggr] = C_{N+n}e^{2i\theta(z^*_n)}\mu_{-2}(y,\tau,-z^*_n),
\end{equation}
\tag{51}
$$
$$
\begin{equation}
\mathop{\operatorname{Res}}_{z=-z_n}\biggl[\frac{\mu_{+2}(z)}{s_{22}(z)}\biggr] =\widetilde C_{N+n}e^{-2i\theta(z_n)}\mu_{-1}(y,\tau,-z_n),
\end{equation}
\tag{52}
$$
где
$$
\begin{equation}
C_{N+n}=\frac{ b^*_n}{ s'_{11}(-z^*_n)}, \qquad \widetilde C_{N+n}=\frac{ b_n}{ s'_{22}(-z_n)}.
\end{equation}
\tag{53}
$$
Кроме соотношения (49) существуют следующие связи между указанными выше константами:
$$
\begin{equation}
C_{N+n}=- C^*_n,\qquad \widetilde C_{N+n}=-\widetilde C^*_n.
\end{equation}
\tag{54}
$$
Тогда в соответствии с (49) имеем также $\widetilde C_{N+n}=C^*_{N+n}$. Наконец, подставляя (34) в (45) и (47), получим следующие соотношения:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \Psi_{+1}\biggl(y,\tau,\frac{1}{m_0^2z^*_n}\biggr)&= -\widetilde b_n\Psi_{-2}\biggl(y,\tau,\frac{1}{m_0^2z^*_n}\biggr), \\ \Psi_{+2}\biggl(y,\tau,\frac{1}{m_0^2z_n}\biggr)&= -b_n\Psi_{-1}\biggl(y,\tau,\frac{1}{m_0^2z_n}\biggr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{55}
$$
Таким образом, имеем
$$
\begin{equation}
\mathop{\operatorname{Res}}_{z=1/m_0^2z^*_n}\biggl[\frac{\mu_{+1}(z)}{s_{11}(z)}\biggr] = \frac{\widetilde C_n}{m_0^2(z^*_n)^{2}}e^{-2i\theta(1/m_0^2z^*_n)}\mu_{-2}\biggl(y,\tau,\frac{1}{m_0^2z^*_n}\biggr),
\end{equation}
\tag{56}
$$
$$
\begin{equation}
\mathop{\operatorname{Res}}_{z=1/m_0^2z_n}\biggl[\frac{\mu_{+2}(z)}{s_{22}(z)}\biggr] = \frac{C_{n}}{m_0^2z^2_n}e^{2i\theta(1/m_0^2z_n)}\mu_{-1}\biggl(y,\tau,\frac{1}{m_0^2z_n}\biggr).
\end{equation}
\tag{57}
$$
Заметим, что $z_n=1/m_0^2z^*_n$ на $C_0$. Сравнив (56) и (57) с (46) и (48), найдем 3.6. Асимптотическое поведениеЧтобы соответствующим образом ввести обратную задачу и восстановить потенциал по решению задачи Римана–Гильберта, нужно рассмотреть асимптотические свойства собственных функций и матриц рассеяния при $z\to {\infty}$ и $z\to 0$. Сначала рассмотрим асимптотические свойства при $z\to {\infty}$. Перепишем уравнения (23) в виде
$$
\begin{equation}
(Y_{\pm}^{-1}\mu_{\pm})_{y}-\frac{i\lambda}{2}(Y_{\pm}^{-1}\mu_{\pm}\sigma_{3}-\sigma_{3}Y_{\pm}^{-1}\mu_{\pm})-Y_{\pm}^{-1}\Delta Q_{\pm}\mu_{\pm}=0,
\end{equation}
\tag{59}
$$
$$
\begin{equation}
(Y_{\pm}^{-1}\mu_{\pm})_{\tau}+\frac{im_{-}\lambda}{k^2}(Y_{\pm}^{-1}\mu_{\pm}\sigma_{3}-\sigma_{3}Y_{\pm}^{-1}\mu_{\pm})-Y_{\pm}^{-1}\Delta P_{\pm}\mu_{\pm}=0.
\end{equation}
\tag{60}
$$
Рассмотрим решение системы (59), (60) в виде
$$
\begin{equation}
\mu_\pm(y,\tau,z)=\mu_0(y,\tau)+\frac{\mu_{1}(y,\tau)}{z}+\frac{\mu_{2}(y,\tau)}{z^2}+\frac{\mu_{3}(y,\tau)}{z^3}+\cdots.
\end{equation}
\tag{61}
$$
Подставляя полученное выражение в (59), (60) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях переменной $z$, получим
$$
\begin{equation}
\mu_{\pm}=I-\frac{1}{zm}\sigma_2+\frac{i}{2z}\sigma_3\int_{-\infty}^{y}\biggl(\frac{1}{m^2(\xi,\tau)}-\frac{1}{m_0^2}\biggr) \, d\xi+O\biggl(\frac{1}{z^2}\biggr), \qquad z\to\infty.
\end{equation}
\tag{62}
$$
С помощью этого уравнения можно восстановить потенциал $m(y,\tau)$ следующим образом:
$$
\begin{equation}
\frac{1}{m(y,\tau)}=-i\lim_{z \to \infty}z\mu_{\pm12}(y,\tau,z).
\end{equation}
\tag{63}
$$
Подставляя полученные асимптотические разложения собственных функций Йоста в (30), найдем
$$
\begin{equation}
S(z)=I+O\biggl(\frac{1}{z}\biggr),\qquad z\to \infty.
\end{equation}
\tag{64}
$$
Далее рассмотрим асимптотические свойства при $z\to 0$. Сначала предположим, что $\mu_\pm$ допускает разложение в ряд Лорана
$$
\begin{equation*}
\mu_\pm(y,\tau,z)=\sum\limits_{-\infty}^{\infty}\mu_{n}(y,\tau)z^n.
\end{equation*}
\notag
$$
Подставляя это разложение в (59), (60) и приравнивая коэффициенты перед одинаковыми степенями переменной $z$, найдем $\mu_{n}(y,\tau)=0$, $n=-2,-3, \dots$ . Поэтому решение уравнений (59), (60) можно представить в виде ряда
$$
\begin{equation}
\mu_\pm(y,\tau,z)=\frac{\mu_{-1}(y,\tau)}{z}+\mu_0(y,\tau)+\mu_{1}(y,\tau)z+\mu_{2}(y,\tau)z^2+\cdots, \qquad z\to 0.
\end{equation}
\tag{65}
$$
Подставляя (65) в (59), (60) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях переменной $z$, найдем
$$
\begin{equation}
\mu_{\pm}=-\frac{1}{zm_-}\sigma_2+O(1), \qquad z\to 0.
\end{equation}
\tag{66}
$$
Наконец, подставляя (66) в выражения (30), содержащие вронскиан, получим
4. Обратная задача рассеяния для уравнения амКХ с ННГУВ этом разделе с помощью обобщенной матричной задачи Римана–Гильберта мы сформулируем и решим обратную задачу рассеяния для уравнения амКХ. Кроме того, мы предложим следовую формулу и формулу восстановления безотражательного потенциала. 4.1. Обобщенная матричная задача Римана–ГильбертаТеперь у нас есть вся необходимая информация для формулировки обратной задачи в виде обобщенной матричной задачи Римана–Гильберта. Начиная с соотношений рассеяния (29) и перегруппировав члены, мы получим соотношения между функциями $\Psi_{-1}$, $\Psi_{+2}$ и $s_{22}$, а также между $\Psi_{+1}$, $\Psi_{-2}$ и $s_{11}$ (эти два набора функций аналитичны в областях $D^+$ и $D^-$ соответственно) на границе $\Sigma$ областей. Заменяя $\Psi_{\pm}$ модифицированными собственными функциями, получим
$$
\begin{equation}
\mu_{+1}=s_{11}\mu_{-1}+s_{21}\mu_{-2}e^{-2i\theta(y,\tau,z)}, \qquad \mu_{+2}=s_{12}\mu_{-1}e^{2i\theta(y,\tau,z)} +s_{22}\mu_{-2}.
\end{equation}
\tag{68}
$$
Далее по определению коэффициентов отражения (31) введем мероморфные матрицы
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, M^+(y,\tau,z)&=\biggl(\mu_{-1}(y,\tau,z),\frac{\mu_{+2}(y,\tau,z)}{s_{22}(z)}\biggr),\qquad z\in D^+,\\ M^-(y,\tau,z)&=\biggl(\frac{\mu_{+1}(y,\tau,z)}{s_{11}(z)},\mu_{-2}(y,\tau,z)\biggr),\qquad z\in D^-, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{69}
$$
и матрицу скачка
$$
\begin{equation}
G(y,\tau,z)=\begin{pmatrix} 0& -\widetilde{\rho}(z)e^{2i\theta(y,\tau,z)}\\ \rho(z)e^{-2i\theta(y,\tau,z)} &\rho(z)\widetilde{\rho}(z) \end{pmatrix}.
\end{equation}
\tag{70}
$$
Согласно этим определениям соотношения (68) ведут к условию на скачок для мультипликативной матрицы задачи Римана–Гильберта:
$$
\begin{equation}
M^+(y,\tau,z)=M^-(y,\tau,z)(I-G(y,\tau,z)),\qquad z\in \Sigma.
\end{equation}
\tag{71}
$$
Заметим, что матрицы $M^\pm(z)$ имеют простые полюсы в дискретных собственных числах. Для регуляризации задачи Римана–Гильберта нужно рассмотреть поведение матрицы $M^\pm(z)$ при $z\to \infty$ и $z\to 0$ (собственные функции имеют полюс в точке $z=0$), а также полюсы функции $\mu_{+2}(y,\tau,z)/s_{22}(z)$ в области $D^+$ и функции $\mu_{+1}(y,\tau,z)/s_{11}(z)$ в области $D^-$. Асимптотическое поведение при $z\to \infty$ и $z\to 0$ определяется выражениями (62), (66), (64) и (67). Таким образом, получим
$$
\begin{equation}
\begin{alignedat}{2} M^\pm(y,\tau,z)&=I+O\biggl(\frac{1}{z}\biggr) ,&\qquad &z\to \infty,\\ M^\pm(y,\tau,z)&=-\frac{1}{zm_-}\sigma_2+O(1) ,&\qquad &z\to 0. \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{72}
$$
Для удобства возьмем
$$
\begin{equation}
\zeta_n= \begin{cases} z_n,& n=1,2,\dots, N, \\ -z^*_{n-N},& n=N+1,N+2,\dots, 2N, \end{cases}
\end{equation}
\tag{73}
$$
и
$$
\begin{equation}
\zeta_{2N+\delta}= \begin{cases} \zeta_{2N},& \delta=0, \\ -\dfrac{i}{m_0},& \delta=1 . \end{cases}
\end{equation}
\tag{74}
$$
Вычитая асимптотические значения при $z\to \infty$ и $z\to 0$, данные выражениями (72), и сингулярные вклады от полюсов, мы тем самым регуляризуем задачу Римана–Гильберта (71):
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, M^+(y,\tau,z)&-I+\frac{1}{m_-z}\sigma_2-\sum_{n=1}^{2N+\delta}\frac{\mathop{\operatorname{Res}}_{z=\zeta^*_n}M^+ (y,\tau,z)}{z-\zeta^*_n}-\sum_{n=1}^{2N+\delta}\frac{\mathop{\operatorname{Res}}_{z=\zeta_n}M^-(y,\tau,z)}{z-\zeta_n}={} \notag \\ &=M^-(y,\tau,z)-I+\frac{1}{m_-z}\sigma_2-\sum_{n=1}^{2N+\delta}\frac{\mathop{\operatorname{Res}}_{z=\zeta^*_n}M^+(y,\tau,z)}{z-\zeta^*_n}-{} \notag \\ &\quad-\sum_{n=1}^{2N+\delta}\frac{\mathop{\operatorname{Res}}_{z=\zeta_n}M^-(y,\tau,z)}{z-\zeta_n} -M^-(y,\tau,z)G. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{75}
$$
Теперь левая часть аналитична в области $D^+$, а правая часть, за исключением члена $M^-(y,\tau,z)G$, аналитична в области $D^-$ (заметим, что функция $G$ определена только на $\Sigma$), и обе имеют порядок $1/z$ при $z\to \infty$ в своих областях. Поэтому можно использовать проекторы Коши $P_{\pm}$ на $\Sigma$, заданные формулами
$$
\begin{equation*}
P_{\pm}[f](z)= \frac{1}{2\pi i}\int_{\Sigma} \frac{f(\zeta)}{\zeta-(z\pm i 0)}\,d\zeta.
\end{equation*}
\notag
$$
Применяя проекторы Коши к (75) и комбинируя формулы Племеля, получим интегральное представление решения задачи Римана–Гильберта в виде
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, M(y,\tau,z)={}&I-\frac{1}{m_-z}\sigma_2+\sum_{n=1}^{2N+\delta} \frac{\mathop{\operatorname{Res}}_{z=\zeta^*_n}M^+}{z-\zeta^*_n}+\sum_{n=1}^{2N+\delta}\frac{\mathop{\operatorname{Res}}_{z=\zeta_n}M^-}{z-\zeta_n}-{} \notag \\ &-\frac{1}{2\pi i}\int_{\Sigma} \frac{M^-(y,\tau,\zeta)G(y,\tau,\zeta)}{\zeta-z}\,d\zeta, \qquad z\in \mathbb{C}\setminus \Sigma. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{76}
$$
4.2. Условия на вычеты и формула восстановленияЧтобы получить замкнутую систему уравнений для решения задачи Римана–Гильберта, нужно найти выражения для вычетов в (76). Это можно сделать с помощью (46), (48), (51) и (52). Из (69) найдем, что только первый столбец матрицы $M^-$ имеет полюсы в точках $\zeta_n $, и только второй столбец матрицы $M^+$ имеет полюсы в точках $\zeta^*_n$. Поэтому в явном виде получим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, & \mathop{\operatorname{Res}}_{z=\zeta^*_n}M^+(y,\tau,z)=(0, \widetilde C_ne^{2i\theta(y,\tau,\zeta^*_n)}\mu_{-1}(y,\tau,\zeta^*_n)), \\ & \mathop{\operatorname{Res}}_{z=\zeta_n}M^-(y,\tau,z)=( C_ne^{-2i\theta(y,\tau,\zeta_n)}\mu_{-2}(y,\tau,\zeta_n), 0), \end{aligned}\qquad n=1,\dots,2N+\delta.
\end{equation}
\tag{77}
$$
Далее, вычисляя первый столбец матрицы (76) в точках $\zeta^*_n$, получим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \mu_{-1}(y,\tau,\zeta^*_n)={}&\begin{bmatrix} 1\\ -\dfrac{i}{m_-\zeta^*_n} \end{bmatrix}+\sum_{j=1}^{2N+\delta}\frac{C_je^{-2i\theta(y,\tau,\zeta_j)}}{\zeta^*_n-\zeta_j} \mu_{-2}(y,\tau,\zeta_j)-{} \notag \\ &-\frac{1}{2\pi i}\int_{\Sigma} \frac{(M^-(y,\tau,\zeta)G(y,\tau,\zeta))_1}{\zeta-\zeta^*_n}\,d\zeta. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{78}
$$
Аналогично, вычисляя второй столбец матрицы (76) в точках $\zeta_n$, имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \mu_{-2}(y,\tau,\zeta_n)={}&\begin{bmatrix} \dfrac{i}{m_-\zeta_n}\\ 1 \end{bmatrix}+\sum_{k=1}^{2N+\delta}\frac{\widetilde{C}_ke^{2i\theta(y,\tau,\zeta^*_k)}}{\zeta_n-\zeta^*_k} \mu_{-1}(y,\tau,\zeta^*_k)-{} \notag \\ &-\frac{1}{2\pi i}\int_{\Sigma} \frac{(M^-(y,\tau,\zeta)G(y,\tau,\zeta))_2}{\zeta-\zeta_n}\,d\zeta. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{79}
$$
Уравнения (78) и (79) при $n=1,\dots,2N+\delta$ представляют собой линейную систему из $4N+2$ интегро-алгебраических уравнений с $4N+2$ неизвестными $\mu_{-1}(y,\tau,\zeta^*_n)$, $\mu_{-2}(y,\tau,\zeta_n)$, $n=1,\dots,2N+\delta$. Эти уравнения вместе с (76) составляют полную систему уравнений для $M^{\pm}(y,\tau,z)$ в терминах данных рассеяния. Восстановим теперь потенциал из решения задачи Римана–Гильберта. Выражение (63) означает, что нужно найти асимптотическое выражение для $M(y,\tau,z)$ при $z\to \infty$. Действительно, из (76) имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, M(y,\tau,z)={}&I+\frac{1}{z} \biggl[-\frac{1}{m_-}\sigma_2+\sum_{n=1}^{2N+\delta}\biggl(\operatorname{Res}_{z=\zeta^*_n}M^{+}+\mathop{\operatorname{Res}}_{z=\zeta_n}M^-\biggr)+{} \notag \\ &\qquad\quad+\frac{1}{2\pi i}\int_{\Sigma} M^-(y,\tau,\zeta)G(y,\tau,\zeta)\,d\zeta \biggr]+O\biggl(\frac{1}{z^2}\biggr), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{80}
$$
где вычеты определяются выражениями (77). Поэтому, взяв $M=M^-$ и сравнив элемент $M_{1,2}$ матрицы (80) с выражением (63), получим решение уравнения амКХ с ННГУ, соответствующее простым полюсам коэффициентов рассеяния, в виде
$$
\begin{equation}
\frac{1}{m(y,\tau)}=\frac{1}{m_-}-i\sum_{n=1}^{2N+\delta}\widetilde C_ne^{2i\theta(y,\tau,\zeta^*_n)}\mu_{-11}(y,\tau,\zeta^*_n)-\frac{1}{2\pi }\int_{\Sigma} (M^-G)_{12}(y,\tau,\zeta)\, d\zeta.
\end{equation}
\tag{81}
$$
4.3. Следовая формулаПостроив задачу Римана–Гильберта для $s_{11}$ и $s_{22}$, можно вывести формулу для коэффициентов рассеяния в терминах коэффициентов отражения и дискретных собственных чисел. Для этого сначала вынесем за скобки нули коэффициентов рассеяния. Поскольку $s_{11}$ имеет простые нули в $\zeta_n$, $n=1,\dots,2N +\delta$, то функция
$$
\begin{equation}
\beta^-(z)=s_{11}(z)\prod_{n=1}^N\frac{(z-z^*_n)(z+z_n)}{(z-z_n)(z+z^*_n)}\cdot \biggl[\frac{z-i/m_0}{z+i/m_0}\biggr]^{\delta}
\end{equation}
\tag{82}
$$
не имеет нулей в области $D^-$ и аналитична в этой области, причем проявляет такое же асимптотическое поведение, как и $s_{11}$, при $z\to \infty$. Аналогично, функция
$$
\begin{equation}
\beta^+(z)=s_{22}(z)\prod_{n=1}^N\frac{(z-z_n)(z+z^*_n)}{(z-z^*_n)(z+z_n)}\cdot \biggl[\frac{z+i/m_0}{z-i/m_0}\biggr]^{\delta},
\end{equation}
\tag{83}
$$
не имеет нулей и аналитична в области $D^+$, причем имеет такое же асимптотическое поведение, как и $s_{22}$, при $z\to \infty$. Кроме того, $\beta^+(z)\beta^-(z)=s_{11}(z)s_{22}(z)$ на $\Sigma$. Вспомнив тот факт, что $\operatorname{det}S(z)=1$ на $\Sigma$, найдем
$$
\begin{equation*}
\frac{1}{s_{11}(z)s_{22}(z)}=1-{\rho}(z)\widetilde{\rho}(z).
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, имеем
$$
\begin{equation}
\beta^+(z)\beta^-(z)=\frac{1}{1-\rho(z)\widetilde{\rho}(z)}.
\end{equation}
\tag{84}
$$
Взяв логарифм, получим
$$
\begin{equation}
\ln\beta^+(z)+\ln\beta^-(z)=-\ln4[1-{\rho}(z)\widetilde{\rho}(z)], \qquad z\in \Sigma.
\end{equation}
\tag{85}
$$
Это условие на скачок для скалярной аддитивной задачи Римана–Гильберта. Условие (64) означает, что как $\ln\beta^+(z)$, так и $\ln\beta^-(z)$ стремятся к нулю при $z\to \infty$. Используя проекторы Коши $P_{\pm}$, найдем
$$
\begin{equation}
\ln\beta^{\pm}(z)=\mp\frac{1}{2\pi i}\int_{\Sigma} \frac{\ln[1-{\rho}(\zeta)\widetilde{\rho}(\zeta)]}{\zeta-z}\, d\zeta, \qquad z\in D^{\pm}.
\end{equation}
\tag{86}
$$
Подставляя $\beta^{+}$ и $\beta^{-}$ вместо $s_{22}$ и $s_{11}$, получим так называемые формулы следов для коэффициентов рассеяния в следующем виде:
$$
\begin{equation}
s_{11}(z) =\exp\biggl[\frac{1}{2\pi i}\int_{\Sigma} \frac{\ln[1-{\rho}(\zeta)\widetilde{\rho}(\zeta)]}{\zeta-z}\, d\zeta\biggr]\prod_{n=1}^{2N+\delta}\frac{z-\zeta_n}{z-\zeta^*_n},
\end{equation}
\tag{87}
$$
$$
\begin{equation}
s_{22}(z) =\exp\biggl[-\frac{1}{2\pi i}\int_{\Sigma} \frac{\ln[1-{\rho}(\zeta)\widetilde{\rho}(\zeta)]}{\zeta-z} \, d\zeta\biggr]\prod_{n=1}^{2N+\delta}\frac{z-\zeta^*_n}{z-\zeta_n}.
\end{equation}
\tag{88}
$$
В особом случае безотражательных решений ($s_{12}(z)=s_{21}(z)\equiv0, z\in\Sigma$) интегралы в (87), (88) тождественно равны нулю. Наконец, с помощью указанных выше формул следов можно определить, что значение $\delta$ в (43) равно нулю. Действительно, взяв предел $z\to 0$ в (87), (88) и вспомнив асимптотическое поведение коэффициентов рассеяния (67), получим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, 1&=\exp\biggl[\frac{1}{2\pi i}\int_{\Sigma} \frac{\ln[1-{\rho}(\zeta)\widetilde{\rho}(\zeta)]}{\zeta}\, d\zeta\biggr]\cdot(-1)^{\delta},\\ 1&=\exp\biggl[-\frac{1}{2\pi i}\int_{\Sigma} \frac{\ln[1-{\rho}(\zeta)\widetilde{\rho}(\zeta)]}{\zeta}\, d\zeta\biggr]\cdot(-1)^{\delta}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{89}
$$
Тогда из (41) следует $\rho(\zeta)\widetilde\rho(\zeta)=\rho(-\zeta)\widetilde\rho(-\zeta)$. Поэтому получаем
$$
\begin{equation}
\int_{\Sigma} \frac{\ln[1-{\rho}(\zeta)\widetilde{\rho}(\zeta)]}{\zeta}\, d\zeta=0,
\end{equation}
\tag{90}
$$
что означает $\delta=0$. 4.4. Безотражательный потенциалРассмотрим теперь особый тип решений для случая, когда скачок происходит от $M^+$ до $M^-$ по непрерывному спектру. Это означает, что коэффициенты отражения $\rho(z)$ и $\widetilde\rho(z)$ тождественно обращаются в нуль. Поэтому потенциал $m$ называется безотражательным. В этом случае обратная задача сводится к алгебраическим уравнениям, а ее решение приводит к солитонам.
$$
\begin{equation}
\mu_{-1}(y,\tau,\zeta^*_n)=\begin{bmatrix} 1\\ -\dfrac{i}{\zeta^*_nm_-} \end{bmatrix}+\sum_{j=1}^{2N}\frac{C_je^{-2i\theta(y,\tau,\zeta_j)}}{\zeta^*_n-\zeta_j} \mu_{-2}(y,\tau,\zeta_j)
\end{equation}
\tag{91}
$$
и
$$
\begin{equation}
\mu_{-2}(y,\tau,\zeta_j)=\begin{bmatrix} \dfrac{i}{\zeta_jm_-}\\ 1 \end{bmatrix}+\sum_{k=1}^{2N}\frac{\widetilde{C}_ke^{2i\theta(y,\tau,\zeta^*_k)}}{\zeta_j-\zeta^*_k} \mu_{-1}(y,\tau,\zeta^*_k).
\end{equation}
\tag{92}
$$
Согласно формуле восстановления (81) нам нужна только первая компонента собственной функции. С помощью $\widetilde C_n=C^*_n$, $n=1,\dots,2N$, система алгебраических уравнений, полученная методом обратной задачи, принимает вид
$$
\begin{equation}
\begin{alignedat}{2} \mu_{-11}(y,\tau,\zeta^*_n)&=1+\sum_{j=1}^{2N}c_j(y,\tau,\zeta^*_n)\mu_{-12}(y,\tau,\zeta_j),&\qquad n&=1,\dots,2N,\\ \mu_{-12}(y,\tau,\zeta_j)&=\frac{i}{\zeta_jm_-}+\sum_{k=1}^{2N}c^*_k(y,\tau,\zeta^*_j)\mu_{-11}(y,\tau,\zeta^*_k),&\qquad j&=1,\dots,2N, \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{93}
$$
где
$$
\begin{equation}
c_k(y,\tau,z)=\frac{C_k}{z-\zeta_k}e^{-2i\theta(y,\tau,\zeta_k)}, \qquad k=1,\dots, 2N.
\end{equation}
\tag{94}
$$
Исключая $\mu_{-12}(\zeta_j)$ из (93), получим
$$
\begin{equation}
\mu_{-11}(\zeta^*_n)=1+\frac{i}{m_-}\sum_{j=1}^{2N}\frac{c_j(\zeta^*_n)}{\zeta_j}+\sum_{k=1}^{2N}\sum_{j=1}^{2N}c_j(\zeta^*_n)c^*_k(\zeta^*_j)\mu_{-11}(\zeta^*_k),\qquad n=1,\dots,2N,
\end{equation}
\tag{95}
$$
где для краткости опущена зависимость от $y$ и $\tau$. Чтобы представить эту систему в матричном виде, определим $\mathbf{X}=(X_1,\dots,X_{2N})^{\mathrm T}$ и $ \mathbf{B}=(B_1,\dots,B_{2N})^{\mathrm T}$, где
$$
\begin{equation}
X_n=\mu_{-11}(\zeta^*_n),\qquad B_n=1+\frac{i}{m_-}\sum_{j=1}^{2N}\frac{c_j(\zeta^*_n)}{\zeta_j},\qquad n=1,\dots,2N,
\end{equation}
\tag{96}
$$
и введем $(2N \times 2N)$-матрицу $A=(A_{nk})$, где
$$
\begin{equation*}
A_{nk}=\sum_{j=1}^{2N}c_j(\zeta^*_n)c^*_k(\zeta^*_j),\qquad n,k=1,\dots,2N.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда система (95) сводится к $R\mathbf{X}= \mathbf{B}$, где $R=I-A=(\mathbf{R}_1,\dots,\mathbf{R}_{2N})$. По правилу Крамера получим
$$
\begin{equation}
X_n=\frac{\operatorname{det}R^{\mathrm{ext}}_n}{\operatorname{det}R},\qquad n=1,\dots,2N,
\end{equation}
\tag{97}
$$
где
$$
\begin{equation*}
R^{\mathrm{ext}}_n=(\mathbf{R}_1,\dots,\mathbf{R}_{n-1}, \mathbf{B},\mathbf{R}_{n+1},\dots,\mathbf {R}_{2N}).
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому формула восстановления для безотражательного потенциала упрощается и сводится к виду
$$
\begin{equation}
\frac{1}{m}=\frac{1}{m_-}+i\frac{\operatorname{det}R^{\mathrm{aug}}}{\operatorname{det}R},
\end{equation}
\tag{98}
$$
где
$$
\begin{equation}
R^{\mathrm{aug}}=\begin{pmatrix} 0 & \mathbf{Y}^{\mathrm{T}}\\ \mathbf{B} &R \end{pmatrix}, \qquad \mathbf{Y}=(Y_1,\dots,Y_{2N})^{\mathrm{T}},
\end{equation}
\tag{99}
$$
и $Y_n=\widetilde C_ne^{2i\theta(y,\tau,\zeta^*_n)}$ при $n=1,\dots,2N$. Наконец, из (98) получаем решения, соответствующие простым полюсам для уравнения амКХ с ННГУ.
5. Солитонные решения уравнения мКХ с ННГУПреобразование взаимности устанавливает связь между двумя разными интегрируемыми уравнениями. В то же время решения этих двух уравнений также связаны друг с другом преобразованием взаимности. В этом разделе с помощью преобразования взаимности и решения уравнения амКХ, полученного в предыдущем разделе, мы построим солитонное решение уравнения мКХ. Преобразование взаимности (5) указывает на то, что для решения уравнения мКХ нужно, кроме выражения для $u$, найти выражения для $x$ и $t$. Таким образом, используя (5) и второе из уравнений (8), получим
$$
\begin{equation}
u=m+\frac{1}{2}m\biggl(\frac{1}{m}\biggr)_{y\tau}, \qquad x=\int\frac{1}{m}\,dy , \qquad t\equiv\tau,
\end{equation}
\tag{100}
$$
где $m$ задается выражением (98). Кроме того, из выражения для $u$ в (100) нам известно, что $u\to m_-$ при $y\to \pm\infty$ (напомним, что $m_+=m_-$). Поэтому соотношения (100) представляют собой $N$-солитонное решение уравнения мКХ с ННГУ. 5.1. Односолитонные решенияВ качестве приложения сначала используем $N$-солитонное решение (100) для построения односолитонного решения уравнения мКХ. В соответствии с условием $N=1$ положим $z_1=\frac{1}{m_0}e^{i\omega_1}$ при $\omega_1 \in (3\pi/2,2\pi)$ и возьмем $C_1=a_1+ib_1$. Далее с помощью (58) получим $C_1=a_1(1+i\operatorname{tg}\omega_1)$, где $a_1$ – произвольная вещественная константа. Интересно отметить, что, взяв в качестве граничного значения $m_{-}$ положительные или отрицательные вещественные числа, можно получить два разных типа решений. Действительно, если $m_{-}>0$ $(m_0=m_-)$, то, положив $a_1=\frac{2\sin\omega_1(1+\sin\omega_1)}{m_-\cos\omega_1}$, получим в этом случае светлый солитон. Если $m_{-}<0$ $(m_0=-m_-)$, то, положив $a_1=\frac{2\sin\omega_1(1-\sin\omega_1)}{m_-\cos\omega_1}$, получим в этом случае темный солитон. Эти два типа решений соответствуют результатам, полученным в работах [10] и [9] соответственно. Найдем теперь конкретное выражение для односолитонного решения и проанализируем его. Подставляя приведенные выше данные в (98), получим
$$
\begin{equation*}
\frac{1}{m}=\frac{\sin^2{\omega_1}\operatorname{th}^2\xi-\sin{\omega_1}\operatorname{th}\xi+\cos^2{\omega_1}}{m_-(1-\sin\omega_1\operatorname{th}\xi)},
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\xi=\sin\omega_1\biggl(\frac{y}{2m_-}-\frac{m_-^2\tau}{\cos^2\omega_1}\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Подставляя это выражение в (100), получим следующее явное выражение для односолитонного решения уравнения мКХ:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, u&=\frac{m_-[2(1-2\sin\omega_1\operatorname{th}\xi)+2\sin^3\omega_1\operatorname{th}\xi(1+\operatorname{th}^2\xi)-\sin^4\omega_1(1+\operatorname{th}^4\xi)]}{ 2\cos^2{\omega_1}(1-\sin\omega_1\operatorname{th}\xi)^2},\\ x&=\frac{y}{m_-}+m_-^2\tau+2\ln (1-\sin\omega_1\operatorname{th}\xi)+c, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{101}
$$
где $c$ – константа интегрирования, которую без потери общности можно положить равной единице. Кроме того, можно классифицировать полученное выше семейство односолитонных решений согласно области изменения параметра $\omega_1$. Действительно, из второго уравнения (101) найдем
$$
\begin{equation}
x_y=\frac{\sin^2{\omega_1}\operatorname{th}^2\xi-\sin{\omega_1}\operatorname{th}\xi+\cos^2{\omega_1}}{m_-(1-\sin\omega_1\operatorname{th}\xi)}.
\end{equation}
\tag{102}
$$
Таким образом, зададим параметр классификации как $\Delta=\sin^2{\omega_1}-4\sin^2{\omega_1}\cos^2{\omega_1}$ и классифицируем эти солитонные решения следующим образом. 1. $\Delta<0$ при $\omega_1 \in (5\pi/3,2\pi)$. В этом случае всегда выполняется одно из условий $x_y>0$ или $x_y<0$, а (101) – гладкое солитонное решение, изображенное на рис. 2. 2. $\Delta=0$ при $\omega_1 = 5\pi/3$. В этом случае $x_y$ имеет всего один нуль, а (101) – сингулярное солитонное решение, изображенное на рис. 3. 3. $\Delta>0$ при $\omega_1 \in (3\pi/2,5\pi/3)$. В этом случае $x_y$ имеет два нуля, а (101) – многозначное сингулярное солитонное решение, изображенное на рис. 4. 5.2. Многосолитонные решенияЯсно, что кроме односолитонного решения выражение (100) можно использовать для построения явных решений с любым числом солитонов. Например, взяв $z_1=\frac{1}{m_0}e^{i\omega_1}$, $z_2=\frac{1}{m_0}e^{i\omega_2}$ и присвоив соответствующие значения параметрам, можно построить различные комбинации взаимодействий трех типов решений, полученных в п. 5.1. На рис. 5–9 изображены взаимодействия указанных солитонов. Конфликт интересовАвторы заявляют, что у них нет конфликта интересов. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{MaoYuMia23} |
|
||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|