| Теоретическая и математическая физика |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) Обобщение конструкции Баргмана–Вигнера для описания полей бесконечного спина И. Л. Бухбиндерabc, А. П. Исаевbd, М. А. Подойницынb, С. А. Федорукb a Центр теоретической физики, Томский государственный педагогический университет, Томск, Россия b Лаборатория теоретической физики им. Н. Н. Боголюбова, Объединенный институт ядерных исследований, Дубна, Московской обл., Россия c Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники, Томск, Россия d Физический факультет, Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова, Москва, Россия
Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2023, Volume 216, Issue 1, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0040577923070061 
Реферативные базы данных:
   1. ВведениеКлассификация полей и частиц и их взаимодействия в релятивистской теории поля основывается на неприводимых представлениях группы Пуанкаре или ее обобщений таких, как, например, конформная группа или группы суперсимметрии. Поэтому изучение различных аспектов, связанных с пространственно-временными симметриями, может привести к формированию новых моделей и подходов в классической и квантовой теории поля. По этой причине исследование структуры неприводимых представлений групп релятивистской симметрии и их физических приложений является актуальным направлением в современной теоретической и математической физике. Основы описания неприводимых представлений группы Пуанкаре в четырехмерном пространстве Минковского заложены в пионерских работах Вигнера [1], [2] и Баргмана, Вигнера [3] (современное рассмотрение см., например, в книге [4]). Такие представления подразделяются на массивные и безмассовые, которые ассоциируются с массивными или безмассовыми релятивистскими частицами1. В свою очередь, безмассовые представления подразделяются на представления с определенными спиральностями (спинами) и представления с бесконечным (непрерывным) спином. В контексте релятивистской теории поля безмассовые представления с определенными спиральностями и массивные представления изучены достаточно подробно2. Вместе с тем представления бесконечного спина, будучи формально физически и математически непротиворечивыми, не привлекали внимания в теории поля. Однако в последнее время наблюдается всплеск интереса к построению лагранжевой теории полей бесконечного спина [12]–[32], что подчеркивает актуальность изучения различных новых аспектов неприводимых безмассовых представлений группы Пуанкаре и их приложений. Настоящая работа посвящена подробному и внутренне замкнутому описанию неприводимых безмассовых представлений бесконечного спина четырехмерной группы Пуанкаре, построению на их основе релятивистских полей бесконечного спина и выводу уравнений движения для таких полей. Релятивистские поля, отвечающие безмассовым неприводимым представлениям с определенными спиральностями и массивным представлениям группы Пуанкаре, были введены в пионерских работах [1]–[3]. Уравнения, которым удовлетворяют такие поля, имеют разную форму записи, носят различные названия (уравнения Баргмана–Вигнера, Дирака–Паули–Фирца, Рариты–Швингера и т. д.) и изучались многими авторами (см., например, [4] и приведенные там ссылки). В данной статье мы развиваем процедуру вывода аналогичных уравнений для релятивистских полей, преобразующихся по неприводимому безмассовому представлению бесконечного спина. Работа имеет следующую структуру. В разделе 2 представлено описание бесконечномерных унитарных неприводимых представлений группы $ISO(2)$, являющейся малой группой безмассового релятивистского 4-импульса. Здесь приведены две формулировки бесконечномерных $ISO(2)$-представлений: в базисе, в котором состояния нумеруются непрерывным параметром $\varphi\in[0,2\pi)$, и в дискретном базисе. В разделе 3 рассмотрена конструкция волновой функции Вигнера $\Phi(p,\varphi)$, на которой реализуется унитарное неприводимое представление четырехмерной группы Пуанкаре бесконечного спина в виде индуцированных преобразований из малой группы $ISO(2)$. Также мы описываем здесь в общем виде схему перехода с помощью обобщенного оператора Вигнера от волновой функции Вигнера $\Phi(p,\varphi)$ к релятивистскому полю $\Psi(p,y)$, которое определено на пространстве, параметризованном 4-импульсом $p$ и дополнительной координатой $y$ (эту координату можно рассматривать как дополнительный бесконечномерный индекс поля). Исследованы два случая, когда в качестве $y$ берется или коммутирующий 4-вектор $\eta^\mu\in\mathbb R^{1,3}$, или коммутирующий вейлевский спинор $u^\alpha$, $\bar u^{\dot\alpha}=(u^\alpha)^*$. В последующих разделах мы получаем явные выражения для обобщенного оператора Вигнера в этих двух случаях. В разделе 4 подробно рассмотрен случай, когда переменная $y$ является 4-вектором $\eta^\mu$. Решая дифференциальные уравнения, являющиеся следствиями законов преобразования волновой функции Вигнера и релятивистского поля, мы находим в явном виде соответствующий обобщенный оператор Вигнера. Используя оператор Вигнера, мы строим релятивистское поле $\Psi(p,\eta)$ с дополнительной векторной переменной, на котором реализуется унитарное неприводимое представление бесконечного спина четырехмерной группы Пуанкаре. Для построенного релятивистского поля найдены уравнения движения, частным случаем которых являются уравнения Баргмана–Вигнера [1]–[3]. В разделе 5 аналогичные результаты получены для случая, когда переменная $y$ является вейлевским спинором $u$. Кроме того, здесь дано описание связи данной формулировки с твисторной формулировкой полей, описывающих частицы бесконечного спина. В разделе 6 мы суммируем полученные результаты. В приложениях А и Б собраны технические детали вычислений, использованных в разделе 4. 2. Унитарные неприводимые представления группы $ISO(2)$Начиная с пионерской работы Вигнера [1] и последующих работ [2], [3] хорошо известно, что унитарные неприводимые представления группы Пуанкаре индуцируются неприводимыми унитарными представлениями малой группы, сохраняющей фиксированный 4-импульс релятивистской частицы в данном представлении. В случае безмассовой частицы в четырех измерениях малой группой является группа движений двумерного евклидова пространства $ISO(2)$. По этой причине в этом разделе мы кратко опишем известную конструкцию (см., например, [33], [34]) бесконечномерных унитарных представлений группы $ISO(2)$ в том виде, в каком она будет далее использована при построении представлений бесконечного спина группы Пуанкаре в четырехмерном пространстве Минковского. Алгебра $\mathfrak{iso}(2)$ группы $ISO(2)$ задается эрмитовыми генераторами $T_1$, $T_2$ и $R$, удовлетворяющими следующим коммутационным соотношениям: где $a,b=1,2$, $\varepsilon_{ab}$ – антисимметричный тензор с компонентами $\varepsilon_{12}=-\varepsilon_{21}=1$. Элемент группы $ISO(2)$ обозначается как $h(\theta,\vec b\,)$ и может быть представлен в виде произведения
$$
\begin{equation}
h(\theta,\vec b\,)=T(\vec b\,)\cdot R(\theta)\equiv e^{-ib_aT_a}e^{-i\theta R},
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
где $T(\vec b\,)$ – элемент подгруппы трансляций, $R(\theta)$ – элемент подгруппы $SO(2)\subset ISO(2)$. Соответственно $\vec b=(b_1,b_2)\in\mathbb R^2$, а $\theta\in[0,2\pi)$ – угловая переменная. Нетрудно показать, что имеет место соотношение
$$
\begin{equation}
R^{-1}(\theta)T_aR(\theta)\equiv e^{i\theta R}T_ae^{-i\theta R}=R_{ab}(\theta)T_b,
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
где $R_{ab}(\theta)$ – матрица поворота (против часовой стрелки) на угол $\theta$ на двумерной плоскости:
$$
\begin{equation*}
\|R_{ab}(\theta)\|=\begin{pmatrix} \cos\theta &-\sin \theta \\ \sin\theta &\hphantom{-{}}\cos\theta \end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
Пространство $V$ унитарного неприводимого представления группы $ISO(2)$ натянуто на базисные векторы
$$
\begin{equation}
|\vec t\,\,\rangle,\qquad \vec t=(t_1,t_2)\in\mathbb R^2,
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
являющиеся собственными для двух коммутирующих операторов $T_a$, $a=1,2$: Действие элементов $R(\theta)\in SO(2)$ на векторы $|\vec t\,\,\rangle$ определяется равенствами
$$
\begin{equation}
T_aR(\theta)|\vec t\,\,\rangle=R(\theta)R^{-1}(\theta)T_aR(\theta)|\vec t\,\,\rangle =t'_aR(\theta)|\vec t\,\,\rangle,
\end{equation}
\tag{2.6}
$$
т. е. выбирая определенным образом нормировку векторов $|\vec t\,\,\rangle$, мы можем положить
$$
\begin{equation}
R(\theta)|\vec t\,\,\rangle=|\vec{t'}\rangle,\qquad t_a':=R_{ab}(\theta)t_b,
\end{equation}
\tag{2.7}
$$
где 2-вектор $\vec{t'}$ получается поворотом $\vec t$ на угол $\theta$ против часовой стрелки (по повторяющимся индексам подразумевается суммирование). Алгебра $\mathfrak{iso}(2)$ имеет один оператор Казимира и в пространстве $V$ неприводимого представления группы $ISO(2)$ имеет место условие где $I$ – единичный оператор, который далее мы будем опускать, $\boldsymbol\rho$ – фиксированное вещественное число (без потери общности его можно считать неотрицательным: $\boldsymbol\rho\geqslant 0$). Тогда, вследствие (2.8) и (2.9) неприводимое унитарное представление группы $ISO(2)$ реализовано в пространстве $V$ с базисными векторами $|\vec t\,\,\rangle$ из (2.5), для которых векторы $\vec t\in\mathbb R^2$ лежат на окружности радиуса $\boldsymbol\rho$: Введем для таких векторов полярные координаты3
$$
\begin{equation}
\vec t_\varphi:=((t_\varphi)_1,(t_\varphi)_2) =(\boldsymbol\rho\cos\varphi,\boldsymbol\rho\sin\varphi),
\end{equation}
\tag{2.11}
$$
где $\varphi$ – угловая переменная, $0\leqslant\varphi<2\pi$. Отметим, что преобразованный вектор $\vec{t'}$, заданный в (2.7), равен вектору $\vec t_{\varphi+\theta}$:
$$
\begin{equation}
\vec{t'}=\vec t_{\varphi+\theta},\qquad (t_1',t_2')=(\boldsymbol\rho\cos(\varphi+\theta),\boldsymbol\rho\sin(\varphi+\theta)).
\end{equation}
\tag{2.12}
$$
В силу (2.11) векторы неприводимого представления $|\vec t_\varphi\rangle$ естественно обозначить как
$$
\begin{equation}
|\boldsymbol\rho,\varphi\rangle,\qquad |\boldsymbol\rho,\varphi+2\pi\rangle =|\boldsymbol\rho,\varphi\rangle.
\end{equation}
\tag{2.13}
$$
Далее для краткости мы опускаем параметр $\boldsymbol\rho$ в обозначении этих векторов и пишем $|\varphi\rangle$ вместо $|\boldsymbol\rho,\varphi\rangle$: $|\varphi\rangle\equiv|\boldsymbol\rho,\varphi\rangle$. Условие полноты для базисных векторов (2.13) представляется в виде
$$
\begin{equation}
\int_0^{2\pi}d\varphi\,|\varphi\rangle\langle\varphi|=I,
\end{equation}
\tag{2.14}
$$
что соответствует их нормировке
$$
\begin{equation}
\langle\varphi'|\varphi\rangle=\delta(\varphi-\varphi'),
\end{equation}
\tag{2.15}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\delta(\varphi)=\frac{1}{2\pi}\sum_{n=-\infty}^\infty e^{in\varphi}
\end{equation*}
\notag
$$
– периодическая дельта-функция на окружности, которая удовлетворяет свойствам $\delta(\varphi)=\delta(\varphi+2\pi)$, $\delta(\varphi)=\delta(-\varphi)$, а для любой периодической функции $f(\varphi)$ выполняется соотношение
$$
\begin{equation*}
\int_0^{2\pi}d\varphi'\,\delta(\varphi'-\varphi)f(\varphi')=f(\varphi).
\end{equation*}
\notag
$$
Используя разложение (2.2) для элемента $h(\theta,\vec b\,)$ группы $ISO(2)$ и формулы (2.5), (2.6), находим действие группового элемента $ISO(2)$ на базисные векторы в виде
$$
\begin{equation}
h(\theta,\vec b\,)|\varphi\rangle =e^{-i\vec b\cdot\vec t_{\varphi+\theta}}|\varphi+\theta\rangle,
\end{equation}
\tag{2.16}
$$
где
$$
\begin{equation}
\vec b\cdot\vec t_{\varphi+\theta} =\rho(b_1\cos(\varphi+\theta)+b_2\sin(\varphi+\theta)).
\end{equation}
\tag{2.17}
$$
Представление (2.16) группы $ISO(2)$ при $\boldsymbol\rho\ne 0$ является бесконечномерным и с использованием условия полноты (2.14) записывается в виде
$$
\begin{equation}
h(\theta,\vec b\,)|\varphi\rangle=\int_0^{2\pi}d\varphi'\,|\varphi'\rangle \langle\varphi'|h(\theta,\vec b\,)|\varphi\rangle =|\varphi'\rangle\mathcal D_{\varphi'\varphi} (\theta,\vec b\,),
\end{equation}
\tag{2.18}
$$
где для матричного элемента преобразования введено обозначение
$$
\begin{equation}
\mathcal D_{\varphi'\varphi}(\theta,\vec b\,) :=\langle\varphi'| h(\theta,\vec b\,)|\varphi\rangle =e^{-i\vec b\cdot\vec t_{\varphi'}}\delta(\varphi'-\varphi-\theta)
\end{equation}
\tag{2.19}
$$
и “суммирование” по повторяющемуся индексу $\varphi'$ в правой части (2.18) означает интегрирование по $\varphi'$:
$$
\begin{equation}
|\varphi'\rangle\mathcal D_{\varphi'\varphi}(\theta,\vec b\,) :=\int_0^{2\pi}d\varphi'\,|\varphi'\rangle\mathcal D_{\varphi'\varphi}(\theta,\vec b\,).
\end{equation}
\tag{2.20}
$$
Действие генераторов $(T_1,T_2,R)\in\mathfrak{iso}(2)$ на базисные векторы $|\varphi\rangle$ дается соотношениями (2.5), (2.7):
$$
\begin{equation}
T_1|\varphi\rangle=\boldsymbol\rho\cos\varphi|\varphi\rangle,\qquad T_2|\varphi\rangle=\boldsymbol\rho\sin\varphi|\varphi\rangle,\qquad R |\varphi\rangle=i\frac{d}{d\varphi}|\varphi\rangle.
\end{equation}
\tag{2.21}
$$
Отметим, что представление (2.18), (2.19) является унитарным, так как
$$
\begin{equation}
\mathcal D^*_{\varphi'\varphi}(\theta,\vec b\,) \mathcal D_{\varphi'\varphi^{\prime\prime}}(\theta,\vec b\,) =\delta(\varphi-\varphi^{\prime\prime}).
\end{equation}
\tag{2.22}
$$
С использованием разложения единицы (2.14) произвольный вектор $|\Phi\rangle$ пространства $V$ унитарного неприводимого представления группы $ISO(2)$ записывается в следующем виде:
$$
\begin{equation}
|\Phi\rangle=\int_0^{2\pi}d\varphi\,\Phi(\varphi)|\varphi\rangle,
\end{equation}
\tag{2.23}
$$
где волновая функция как обычно, представляет собой координаты вектора $|\Phi\rangle$ в данном базисе (2.13). Используя (2.16), находим действие группы $ISO(2)$ на произвольный элемент $|\Phi\rangle$:
$$
\begin{equation}
|\Phi'\rangle=h(\theta,\vec b\,)|\Phi\rangle =\int_0^{2\pi}d\varphi\,\Phi'(\varphi)|\varphi\rangle.
\end{equation}
\tag{2.25}
$$
Здесь преобразованная волновая функция $\Phi'(\varphi)$ задается соотношением
$$
\begin{equation}
\Phi'(\varphi)=[h(\theta,\vec b\,)\Phi](\varphi) =e^{-i\vec b\cdot\vec t_\varphi}\Phi(\varphi-\theta).
\end{equation}
\tag{2.26}
$$
Сворачивая обе части (2.25) с вектором $\langle\varphi|$ слева и используя матричные элементы (2.19), а также соглашение (2.20) для “суммирования” по непрерывному индексу $\varphi$, запишем преобразование (2.26) как
$$
\begin{equation}
\Phi'(\varphi)=\mathcal D_{\varphi\varphi'}(\theta,\vec b\,)\Phi(\varphi').
\end{equation}
\tag{2.27}
$$
Соответственно действие (2.21) генераторов $\mathfrak{iso}(2)$ на волновую функцию (2.24) переписывается следующим образом:
$$
\begin{equation}
T_1\Phi(\varphi)=\boldsymbol\rho\cos\varphi\Phi(\varphi),\qquad T_2\Phi(\varphi)=\boldsymbol\rho\sin\varphi\Phi(\varphi),\qquad R\Phi(\varphi)=-i\,\frac{d}{d\varphi}\Phi(\varphi).
\end{equation}
\tag{2.28}
$$
Для дальнейшего удобно ввести линейные комбинации генераторов $\mathfrak{iso}(2)$ которые в силу (2.1) и (2.28) удовлетворяют соотношениям
$$
\begin{equation}
T_\pm\Phi(\varphi)=\boldsymbol\rho e^{\pm i\varphi}\Phi(\varphi).
\end{equation}
\tag{2.31}
$$
При рассмотрении спиральных состояний, в частности при описании безмассовых состояний конечного спина (спиральности) в пространстве унитарного представления группы $ISL(2,\mathbb C)$, когда $ISO(2)$ выступает в качестве малой подгруппы в $ISL(2,\mathbb C)$, удобно использовать другой базис в пространстве унитарного неприводимого представления группы $ISO(2)$, в котором диагональны не образующие $T_a$, а генератор $R$. Данный базис образован дискретным набором векторов а генераторы алгебры $\mathfrak{iso}(2)$ действуют на эти векторы следующим образом:
$$
\begin{equation}
R|n\rangle=n|n\rangle,\qquad T_\pm|n\rangle=\boldsymbol\rho|n\pm 1\rangle.
\end{equation}
\tag{2.33}
$$
Здесь второе соотношение4 получено из первого с учетом коммутационных соотношений (2.30) и условия $T^2=T_+T_-=\boldsymbol\rho^2$ для оператора Казимира (см. (2.9)). Векторы $|n\rangle$ ортогональны и нормированы условием Условие полноты системы векторов (2.32), (2.34) имеет вид Функции преобразования $\langle\varphi|n\rangle$, связывающие базисные векторы (2.13) с базисными векторами (2.32), подчиняются дифференциальным уравнениям
$$
\begin{equation}
-i\,\frac{d}{d\varphi}\langle\varphi|n\rangle=n\langle\varphi|n\rangle,
\end{equation}
\tag{2.36}
$$
которые следуют из рассмотрения $\langle\varphi|R|n\rangle$ с учетом (2.21) и (2.33). Общими решениями (2.36) являются функции $\langle\varphi|n\rangle=ce^{in\varphi}$, где $c$ – некоторая константа, определяемая из условия ортонормированности (2.34) и условия полноты (2.14), что дает $c=1/\sqrt{2\pi}$. Таким образом, имеет место равенство
$$
\begin{equation}
\langle\varphi|n\rangle=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{i n \varphi}\,.
\end{equation}
\tag{2.37}
$$
Используя (2.35) и (2.37), получаем выражение волновой функции $\Phi(\varphi)$ (2.24) в виде ряда Фурье:
$$
\begin{equation}
\Phi(\varphi)=\langle\varphi|\Phi\rangle =\sum_{n=-\infty}^\infty\langle\varphi|n\rangle\langle n|\Phi\rangle =\sum_{n=-\infty}^\infty\Phi_ne^{in\varphi},
\end{equation}
\tag{2.38}
$$
где введено обозначение для координат вектора $|\Phi\rangle$ в дискретном базисе (2.32). Используя полярные координаты $(b_1,b_2)=b(\cos\beta,\sin\beta)$ для 2-вектора $\vec b$ и формулу (2.26), находим матричный элемент оператора $h(\theta,\vec b\,)\in ISO(2)$ в унитарном представлении в дискретном базисе в виде
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \mathcal D_{mn}(\theta,\vec b\,)&=\langle m|h(\theta,\vec b\,)|n\rangle =e^{-im\theta}\frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi}d\varphi\,e^{-i\boldsymbol\rho b\cos(\varphi+\theta-\beta)+i(n-m)\varphi}= \notag \\ &=e^{-i(n\theta-(n-m)\beta)}\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}d\varphi\, e^{-i\boldsymbol\rho b\cos\varphi+i(n-m)\varphi}= \notag \\ &=(-ie^{i\beta})^{n-m}e^{-in\theta}J_{(n-m)}(b\boldsymbol\rho), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.40}
$$
где $J_{(n)}(x)$ – функции Бесселя целого порядка (коэффициенты Бесселя). Условие унитарности для $\mathcal D_{mn}$ следует из ортогональности коэффициентов Бесселя,
3. Унитарные неприводимые представления группы ЛоренцаВ этом разделе мы кратко обсудим некоторые вопросы теории неприводимых представлений групп Лоренца и Пуанкаре в четырехмерном пространстве Минковского в той форме, в которой они далее будут использоваться для описания релятивистских полей бесконечного спина. Оговорим сразу используемые ниже соглашения. Для обозначения пространственно-временных индексов мы будем использовать греческие буквы $\mu$, $\nu$, $\lambda$, $\rho$, тогда как спинорные вейлевские индексы обозначаются посредством $\alpha$, $\beta$, $\gamma$. 3.1. Подгруппа стабильности безмассового тестового импульса и операторы ВигнераРассмотрим подгруппу $SL(2,\mathbb C)\subset ISL(2,\mathbb C)$, которая действует транзитивно на множестве $\mathcal H$ эрмитовых $(2\times 2)$-матриц следующим образом (см. описание групп $SL(2,\mathbb C)$ и $ISL(2,\mathbb C)$, например, в [11], [35], [36]): т. е. матрица $A\in SL(2,\mathbb C)$ переводит эрмитову матрицу $X=X^\unicode{8224}$ в любую другую эрмитову матрицу $X'=(X')^\unicode{8224}$. Так как $(2\times 2)$-матрицы5 $\sigma^\mu=(\sigma^\mu)^\unicode{8224}$, $\mu=0,1,2,3$, образуют базис в пространстве $\mathcal H$, мы имеем равенство
$$
\begin{equation}
A\sigma^\mu A^\unicode{8224}=\sigma^\nu\Lambda_\nu^\mu(A),
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
определяющее матрицу $\|\Lambda_\nu^\mu(A)\|\in SO^\uparrow(1,3)$ по элементу $A\in SL(2,\mathbb C)$ и устанавливающее гомоморфизм групп $SL(2,\mathbb C)\to SO^\uparrow(1,3)$. Разложение эрмитовой матрицы $X$ по этому базису задает взаимно однозначное соответствие элементов $\mathcal H$ с векторами четырехмерного пространства Минковского6 $(x_0,x_1,x_2,x_3)\in\mathbb R^{1,3}$. Соотношение (3.1) с помощью (3.2) дает Действие элемента $(A,Y)$ группы7 $ISL(2,\mathbb C)$ в пространстве $\mathcal H$ определяется следующим образом: $X'=AXA^\unicode{8224}+Y$, где $A\in SL(2,\mathbb C)$ и $Y\in\mathcal H$. Выберем в качестве тестового импульса безмассовой частицы вектор $\overset{_{\mathrm{o}}}{p}\in\mathbb R^{1,3}$ следующего вида:
$$
\begin{equation}
\|\overset{_{\mathrm{\;o}}}{p}_\nu\| =(\overset{_{\mathrm{\;o}}}{p}_0,\overset{_{\mathrm{\;o}}}{p}_1, \overset{_{\mathrm{\;o}}}{p}_2,\overset{_{\mathrm{\;o}}}{p}_3)=(E,0,0,E).
\end{equation}
\tag{3.5}
$$
По определению конечномерными операторами Вигнера называются матрицы $A_{(p)}\in SL(2,\mathbb C)$, которые переводят тестовый импульс $\overset{_{\mathrm{\;o}}}{p}$ в произвольный импульс $p$. Таким образом, согласно (3.1) имеет место равенство
$$
\begin{equation}
A_{(p)} (\overset{_{\mathrm{\;o}}}{p}\sigma)A_{(p)}^\unicode{8224}=(p\sigma),
\end{equation}
\tag{3.6}
$$
где использовано обозначение $(p\sigma):=p_\mu\sigma^\mu$. Подгруппа стабильности $G_{\overset{_{\mathrm{\;o}}}{p}}$ безмассового тестового импульса образована матрицами $h\in SL(2,\mathbb C)$, которые сохраняют $\overset{_{\mathrm{\;o}}}{p}$:
$$
\begin{equation}
h(\overset{_{\mathrm{\;o}}}{p}\sigma)h^\unicode{8224}=(\overset{_{\mathrm{\;o}}}{p}\sigma).
\end{equation}
\tag{3.7}
$$
Как следует из (3.6) и (3.7), операторы Вигнера определены с точностью до умножения справа на элементы из $G_{\overset{_{\mathrm{\;o}}}{p}}$: $A_{(p)}\simeq A_{(p)}h$, т. е. операторы Вигнера $A_{(p)}$ параметризуют фактор-пространство $SL(2,\mathbb C)/G_{\overset{_{\mathrm{\;o}}}{p}}$. Для фиксации этой параметризации мы налагаем условие8 Левое действие элемента группы $A\in SL(2,\mathbb C)$ на однородном параметризованном операторами Вигнера пространстве $SL(2,\mathbb C)/G_{\overset{_{\mathrm{\;o}}}{p}}$ определяется соотношением где $(4\times 4)$-матрица лоренцева преобразования $\Lambda$ связана с $(2\times 2)$-матрицей $A$ с помощью соотношения (3.2), а $h_{A,p}$ – $(2\times 2)$-матрица из $G_{\overset{_{\mathrm{\,o}}}{p}}$. Индексы у $h_{A,p}$ указывают на то, что эта матрица зависит от преобразования $A\in SL(2,\mathbb C)$ и 4-импульса $p$. Соотношение (3.9) дает выражение для элементов из $h\in G_{\overset{_{\mathrm{\,o}}}{p}}$, индуцированных лоренцевыми преобразованиями $A$:
$$
\begin{equation}
h_{A,p}=A_{(\Lambda p)}^{-1}AA_{(p)}\quad\Rightarrow \quad h_{A,\Lambda^{-1}p}=A_{(p)}^{-1}AA_{(\Lambda^{-1}p)},
\end{equation}
\tag{3.10}
$$
где второе выражение получается из первого заменой $p$ на $\Lambda^{-1}p$. Уравнение (3.7), определяющее подгруппу стабильности $G_{\overset{_{\mathrm{\,o}}}{p}}$ тестового импульса $\overset{_{\mathrm{\,o}}}{p}$, фиксированного в (3.5), имеет следующее решение:
$$
\begin{equation}
h=\begin{pmatrix} e^{i\theta/2} &e^{-i\theta/2}\mathbf b \\ 0 &e^{-i\theta/2} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 &\mathbf b \\ 0 &1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} e^{i\theta/2} &0 \\ 0 &e^{-i\theta/2} \end{pmatrix},
\end{equation}
\tag{3.11}
$$
где $\theta\in[0,2\pi]$, $\mathbf b=b_1+ib_2$. Это означает, что матрицы (3.11) образуют группу $ISO(2)$, т. е. $G_{\overset{_{\mathrm{\,o}}}{p}}=ISO(2)$. Представление (3.11) соответствует разложению элементов группы $ISO(2)$, которое рассматривалось в (2.2). В случае бесконечно малых параметров $\theta,b_1,b_2\in\mathbb R$ матрица (3.11) имеет разложение
$$
\begin{equation}
h=I-i\theta\widehat R-ib_1\widehat T_1-ib_2\widehat T_2+\dotsb,
\end{equation}
\tag{3.12}
$$
где образующие
$$
\begin{equation}
\widehat R=-\frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 &\hphantom{-{}}0 \\ 0 &-1 \end{pmatrix}, \qquad \widehat T_1=\begin{pmatrix} 0 &i \\ 0 &0 \end{pmatrix}, \qquad \widehat T_2=\begin{pmatrix} 0 &-1 \\ 0 &\hphantom{-{}}0 \end{pmatrix}
\end{equation}
\tag{3.13}
$$
удовлетворяют соотношениям
$$
\begin{equation}
[\widehat T_1,\widehat T_2]=0,\qquad [\widehat R,\widehat T_a]=i\varepsilon_{ad}\widehat T_d
\end{equation}
\tag{3.14}
$$
и являются двумерной реализацией вещественной алгебры $\mathfrak{iso}(2)$ с определяющими соотношениями (2.1). Преобразования Лоренца $\Lambda$ в четырехмерном пространстве Минковского, отвечающие элементам (3.11) из малой группы, определяются из соотношения (3.2) при $A=h$. В результате, используя равенство (3.12), имеем следующие три случая: где матричные генераторы
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \|\mathcal R_\nu^\mu\|=\begin{pmatrix} 0 &\hphantom{-{}}0 &0 &0 \\ 0 &\hphantom{-{}}0 &i &0 \\ 0 &-i &0 &0 \\ 0 &\hphantom{-{}}0 &0 &0 \end{pmatrix},\qquad \|(\mathcal T_1)_\nu^\mu\|=\begin{pmatrix} 0 &i &0 &\hphantom{-{}}0 \\ i &0 &0 &-i \\ 0 &0 &0 &\hphantom{-{}}0 \\ 0 &i &0 &\hphantom{-{}}0 \end{pmatrix}, \\ \|(\mathcal T_2)_\nu^\mu\|=\begin{pmatrix} \hphantom{-{}}0 &0 &-i &0 \\ \hphantom{-{}}0 &0 &\hphantom{-{}}0 &0 \\ -i &0 &\hphantom{-{}}0 &i \\ \hphantom{-{}}0 &0 &-i &0 \end{pmatrix} \end{gathered}
\end{equation}
\tag{3.18}
$$
реализуют четырехмерное представление алгебры $\mathfrak{iso}(2)$ с определяющими соотношениями (2.1):
$$
\begin{equation}
[\mathcal T_1,\mathcal T_2]=0,\qquad [\mathcal R,\mathcal T_a]=i\varepsilon_{ad}\mathcal T_d.
\end{equation}
\tag{3.19}
$$
Таким образом, элементу (3.11) малой группы $h$ в случае бесконечно малых параметров соответствует четырехмерное преобразование Лоренца
$$
\begin{equation}
\Lambda_\nu^\mu(h)=\delta_\nu^\mu-i\theta\mathcal R_\nu^\mu -ib_1(\mathcal T_1)_\nu^\mu-ib_2(\mathcal T_2)_\nu^\mu+\dotsb,
\end{equation}
\tag{3.20}
$$
где матрицы $\mathcal R$, $\mathcal T_1$, $\mathcal T_2$ даны в (3.18). 3.2. Волновые функции Вигнера и безмассовые релятивистские поляРелятивистские состояния нулевой массы задаются векторами в пространстве $ISO(2)$-представления в фиксированной системе отсчета, в импульсном представлении они являются функциями от 4-вектора энергии-импульса $p_\mu$. Следовательно, базис в пространстве состояний релятивистских безмассовых частиц со светоподобным импульсом $p\in\mathbb R^{1,3}$, на котором реализовано унитарное неприводимое представление группы $SL(2,\mathbb C)$, индуцированное из унитарного представления $ISO(2)$, задается векторами Дискретный базис формируется векторами Векторы (3.21), (3.22) обобщают состояния (2.13) и (2.32). Поскольку мы изучаем безмассовый случай, то 4-вектор импульса $p$ в (3.21) и (3.22) подчиняется условиям $p^2=0$, $p_0\geqslant 0$.Таким образом, унитарное представление накрывающей группы Лоренца $SL(2, \mathbb C)$ для элемента $A\in SL(2,\mathbb C)$ находится методом индуцированных представлений и индуцируется из представлений стационарной (малой) группы стандартного импульса. В этой конструкции унитарное представление элемента $A\in SL(2,\mathbb C)$ задается преобразованием векторов $|p,\varphi\rangle$:
$$
\begin{equation}
U(A)|p,\varphi\rangle=|\Lambda p,\varphi'\rangle \mathcal D_{\varphi'\varphi}(\theta_{A,p},\vec b_{A,p}),
\end{equation}
\tag{3.23}
$$
или в явном виде
$$
\begin{equation}
U(A)|p,\varphi\rangle=h(\theta_{A,p},\vec b_{A,p})|\Lambda p,\varphi\rangle =e^{-i\vec b_{A,p}\cdot\vec t_{\varphi+\theta_{A,p}}} |\Lambda p,\varphi+\theta_{A,p}\rangle.
\end{equation}
\tag{3.24}
$$
Эти соотношения непосредственно следуют из выражений (2.18), (2.19). Здесь операторы $h(\theta_{A,p},\vec b_{A,p})$ – элементы малой группы $ISO(2)$ в унитарном неприводимом представлении (2.16), которое было описано в предыдущем разделе. Матричные элементы $\mathcal D_{\varphi'\varphi}(\theta_{A,p},\vec b_{A,p})$ этих операторов определяются по формуле (2.19). Существенно, что теперь параметры $\theta$ и $\vec b$ группы $ISO(2)$ зависят от элемента $A\in SL(2,\mathbb C)$ и четырехмерного импульса $p$, на что указывают обозначения $\theta_{A,p}$, $\vec b_{A,p}$. Параметры $\theta_{A,p}$ и $\vec b_{A,p}$ соответствуют элементу $h_{A,p}$, который задается первым соотношением из (3.10). Как и раньше, матрица $\Lambda$ связана с $A$ равенством (3.2). Приведем также явное выражение для показателя экспоненты в (3.24):
$$
\begin{equation}
\vec b_{A,p}\cdot\vec t_{\varphi+\theta_{A,p}} =\boldsymbol\rho[(b_{A,p})_1\cos(\varphi+\theta_{A,p}) +(b_{A,p})_2\sin(\varphi+\theta_{A,p})],
\end{equation}
\tag{3.25}
$$
где неотрицательный вещественный параметр $\boldsymbol\rho$ характеризует унитарное неприводимое представление малой группы $ISO(2)$ и, таким образом, характеризует унитарное неприводимое безмассовое представление накрывающей группы Пуанкаре $ISL(2,\mathbb C)$. Унитарное представление накрывающей группы Лоренца $SL(2,\mathbb C)$, реализованное на базисных векторах $|p,\varphi\rangle$, легко переписывается в дискретном базисе $|p,n\rangle$. При этом матричные элементы малой группы определяются соотношением (2.40). Произвольный вектор в пространстве безмассового унитарного неприводимого представления группы $SL(2,\mathbb C)$ является линейной комбинацией базисных векторов (3.21):
$$
\begin{equation}
|\Phi\rangle=\int d^4p\,\vartheta(p_0)\delta(p^2) \int_0^{2\pi}d\varphi\,\Phi(p,\varphi)|p,\varphi\rangle,
\end{equation}
\tag{3.26}
$$
где $\vartheta(p_0)$ – функция Хевисайда: $\vartheta(p_0)=1$ при $p_0\geqslant 0$ и $\vartheta(p_0)=0$ при $p_0<0$. “Координатные” функции $\Phi(p,\varphi)$ в этом интегральном разложении будем называть волновыми функциями Вигнера безмассовой частицы. Эти функции получаются индуцированием из волновых функций (2.24). Отметим, что вместо разложения (2.38) мы можем использовать разложение
$$
\begin{equation}
\Phi(p,\varphi)=\sum_{n=-\infty}^\infty\Phi_n(p)e^{in\varphi},
\end{equation}
\tag{3.27}
$$
где $\Phi_n(p)$ – функции от импульсной переменной $p=(p_0,p_1,p_2,p_3)$. Индуцированные унитарные представления группы $SL(2,\mathbb C)$, реализованные на функциях Вигнера $\Phi(p,\varphi)$, строятся согласно (2.27), (3.23) и (3.24) и имеют вид
$$
\begin{equation}
\Phi'(p,\varphi):=[U(A)\Phi](p,\varphi) =\mathcal D_{\varphi\varphi'}(\theta_{A,\Lambda^{-1}p},\vec b_{A,\Lambda^{-1}p}) \Phi(\Lambda^{-1}p,\varphi'),
\end{equation}
\tag{3.28}
$$
т. е.
$$
\begin{equation}
\Phi'(p,\varphi)=e^{-i\vec b_{A,\Lambda^{-1}p}\vec t_\varphi} \Phi(\Lambda^{-1}p,\varphi-\theta_{A,\Lambda^{-1}p}).
\end{equation}
\tag{3.29}
$$
Отметим, что преобразования вигнеровских функций (3.28), (3.29) зависят от импульсной переменной $p_\mu$. Нашей задачей является нахождение релятивистских полей, на которых реализованы унитарные неприводимые представления групп Лоренца и Пуанкаре, а сами преобразования не зависят от 4-импульса и определяются только матрицей $A\in SL(2,\mathbb C)$. Предположим, что лоренц-ковариантное поле $\Psi(p,y)$, описывающее безмассовые частицы, строится по функции Вигнера $\Phi(p,\varphi)$ с помощью интегрального преобразования
$$
\begin{equation}
\Psi(p,y)=\int_0^{2\pi}d\varphi\,\mathcal A(p,y,\varphi)\Phi(p,\varphi),
\end{equation}
\tag{3.30}
$$
где $y$ – некоторый набор вспомогательных переменных. Ядро $\mathcal A(p,y,\varphi)$ играет роль ядра оператора Вигнера, являющегося бесконечномерным аналогом оператора $A_{(p)}$ из (3.6). Если использовать соглашение (2.20) о суммировании (интегрировании) по повторяющемуся индексу $\varphi$, то выражение (3.30) записывается в краткой форме Выбор вспомогательных переменных $y$ представляется достаточно произвольным. Главным требованием к полю $\Psi(p,y)$ является наличие для него стандартных лоренцевых преобразований, не зависящих от импульсных переменных $p$. Это условие несколько ограничивает выбор переменных $y$ и для каждого такого выбора будет приводить к определенной форме ядра $\mathcal A(p,y,\varphi)$. В некотором смысле набор переменных $y$ можно рассматривать как дополнительный индекс поля $\Psi(p,y)$. Тогда преобразование (3.31) интерпретируется как переход с помощью оператора Вигнера $\mathcal A(p,y,\varphi)$ от волновой функции $\Phi(p,\varphi)$ к полю $\Psi(p,y)$ с помощью свертки по индексу $\varphi$. Такой переход для безмассовых представлений предлагался в работах [37], [38]. Для массивных представлений $ISL(2,\mathbb C)$ аналогичный подход и операторы Вигнера детально рассматривались в работе [36], а для безмассовых спиральных представлений похожие конструкции описывались в работе [39]. При рассмотрении безмассовых представлений бесконечного (непрерывного) спина использование в полевом описании дополнительных переменных является естественным, поскольку эти представления должны описывать бесконечное число спиновых состояний. В качестве вспомогательных переменных для различных специальных целей в работах [12], [13] использовался коммутирующий вектор $\eta_\mu=(\eta_0,\eta_1,\eta_2,\eta_3)$, а в работах [21], [26] применялся коммутирующий вейлевский спинор $u^\alpha=(u^1,u^2)$. Ясно, что возможны и другие выборы вспомогательных переменных $y$. Далее мы опишем конструкцию релятивистских полей бесконечного спина для обоих указанных выше случаев и построим уравнения движения для таких полей. 4. Релятивистские поля с дополнительной векторной переменнойРассмотрим случай, когда в качестве набора переменных $y$ берется коммутирующий 4-вектор $\eta=(\eta_0,\eta_1,\eta_2,\eta_3)\in\mathbb R^{1,3}$ (см. [2], [3]). В данном разделе мы следуем подходу, который был разработан в статьях [12], [13]. Пусть релятивистское поле $\Psi(p,\eta)$, заданное в (3.30), (3.31), преобразуется под действием группы Лоренца стандартным образом:
$$
\begin{equation}
\Psi'(p,\eta)=[U(A)\Psi](p,\eta)=\Psi(\Lambda^{-1}p,\Lambda^{-1}\eta),
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
где матрицы $A$ и $\Lambda$ взаимосвязаны посредством соотношения (3.2). Зная явный вид унитарного лоренцева преобразования (3.28), (3.29) волновой функции $\Phi(p,\varphi)$ и соответствующее преобразование (4.1) поля $\Psi(p,\eta)$, найдем уравнения, которые определяют ядро $\mathcal A(p,\eta,\varphi)$ оператора Вигнера, присутствующего в выражениях (3.30), (3.31). С одной стороны, из (4.1) и (3.30) получаем равенство
$$
\begin{equation}
[U(A)\Psi](p,\eta)=\Psi(\Lambda^{-1}p,\Lambda^{-1}\eta) =\int_0^{2\pi}d\varphi\,\mathcal A( \Lambda^{-1}p,\Lambda^{-1}\eta,\varphi) \Phi(\Lambda^{-1}p,\varphi).
\end{equation}
\tag{4.2}
$$
С другой стороны, применим к (3.30) закон преобразования (3.29):
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, [U(A)\Psi](p,\eta)&=\int_0^{2\pi}d\varphi\,\mathcal A(p,\eta,\varphi) [U(A)\Phi](p,\varphi)= \notag \\ &=\int_0^{2\pi}d\varphi\,\mathcal A(p,\eta,\varphi) e^{-i\vec b_{A,\Lambda^{-1}p}\vec t_\varphi} \Phi(\Lambda^{-1}p,\varphi-\theta_{A,\Lambda^{-1}p})= \notag \\ &=\int_0^{2\pi}d\varphi\,\mathcal A(p,\eta,\varphi+\theta_{A,\Lambda^{-1}p}) e^{-i\vec b_{A,\Lambda^{-1}p}\vec t_{\varphi+\theta_{A,\Lambda^{-1}p}}} \Phi(\Lambda^{-1}p,\varphi). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.3}
$$
Приравнивая (4.2) и (4.3), мы получаем следующее уравнение на ядро $\mathcal A(p,\eta,\varphi)$:
$$
\begin{equation}
\mathcal A(\Lambda^{-1}p,\Lambda^{-1}\eta,\varphi) =e^{-i\vec b_{A,\Lambda^{-1}p}\vec t_{\varphi+\theta_{A,\Lambda^{-1} p}}} \mathcal A(p,\eta,\varphi+\theta_{A,\Lambda^{-1}p}).
\end{equation}
\tag{4.4}
$$
Запишем правую часть в (4.4) в виде
$$
\begin{equation}
e^{-i\vec b_{A,\Lambda^{-1}p}\vec t_{\varphi+\theta_{A,\Lambda^{-1}p}}} \mathcal A(p,\eta,\varphi+\theta_{A,\Lambda^{-1}p}) =\mathcal A(p,\eta,\varphi') \mathcal D_{\varphi'\varphi}(\theta_{A,\Lambda^{-1}p},\vec b_{A,\Lambda^{-1}p}),
\end{equation}
\tag{4.5}
$$
где $\mathcal D_{\varphi'\varphi}$ – матричный элемент, заданный в (2.19). Переписанная с учетом этого формула (4.4)
$$
\begin{equation}
\mathcal A(\Lambda^{-1}p,\Lambda^{-1}\eta,\varphi) =\mathcal A(p,\eta,\varphi')\mathcal D_{\varphi'\varphi} (\theta_{A,\Lambda^{-1}p},\vec b_{A,\Lambda^{-1}p})
\end{equation}
\tag{4.6}
$$
является бесконечномерным аналогом формулы (3.9) для оператора Вигнера $A_{(p)}$, т. е. ядро $\mathcal A(p,\eta,\varphi)$ играет роль матрицы $A_{(p)}$. Уравнения (4.4), (4.5) приводят к двум важным следствиям для ядра $\mathcal A(p,\eta,\varphi)$ оператора Вигнера. Первое следствие состоит в следующем. Возьмем в (4.4) в качестве преобразования Лоренца $A$ преобразование $A_{(p)}$, т. е. $A=A_{(p)}$. С учетом уравнения и условия (3.8) вторая формула в (3.10) показывает, что $h_{A_{(p)},p}=1$ и все параметры элементов подгруппы стабильности тестового импульса в правой части формулы (4.4) равны нулю при $A=A_{(p)}$. Таким образом, при $A=A_{(p)}$ соотношения (4.4), (4.6) после перестановки левой и правой частей принимают вид
$$
\begin{equation}
\mathcal A(p,\eta,\varphi)=\mathcal A(\overset{_{\mathrm{\;o}}}{p}, \Lambda^{-1}(A_{(p)})\eta,\varphi).
\end{equation}
\tag{4.8}
$$
Таким образом, для построения ядра $\mathcal A(p,\eta,\varphi)$ при произвольном импульсе $p$ достаточно найти ядро $\mathcal A(\overset{_{\mathrm{\;o}}}{p},\eta,\varphi)$ при тестовом импульсе $\overset{_{\mathrm{\;o}}}{p}$: $\mathcal A(p,\eta,\varphi)$ получается из $\mathcal A(\overset{_{\mathrm{\;o}}}{p},\eta,\varphi)$ с помощью лоренцева преобразования вектора $\eta$. Второе следствие из соотношения (4.4) как раз приводит к уравнению, которое определяет ядро $\mathcal A(\overset{_{\mathrm{\;o}}}{p},\eta,\varphi)$. Для этого сначала в правой и левой частях соотношения (4.4) положим $p=\overset{_{\mathrm{\;o}}}{p}$, а затем возьмем $A=h$, где элемент $h\in ISO(2)$ берется в параметризации (3.11) и зависит от $\vec b$ и $\theta$. В результате этого мы получим следующее соотношение:
$$
\begin{equation}
\mathcal A(\overset{_{\mathrm{\;o}}}{p},\Lambda^{-1}(h)\eta,\varphi) =e^{-i\vec b\cdot\vec t_{\varphi+\theta}} \mathcal A(\overset{_{\mathrm{\;o}}}{p},\eta,\varphi+\theta),
\end{equation}
\tag{4.9}
$$
где матрица $\Lambda(h)$ в левой части определяется по (3.2) и в инфинитезимальной форме дается соотношением (3.20). Уравнение (4.9) показывает, что ядро $\mathcal A(p,\eta,\varphi)$ при $p=\overset{_{\mathrm{\;o}}}{p}$ реализует представление трехпараметрической малой группы $ISO(2)$. Рассматривая соответствующие инфинитезимальные значения параметров и используя в левой части (4.9) разложение (3.20), получим три $iso(2)$-алгебраических соотношения, которые записываются в виде трех дифференциальных уравнений для ядра $\mathcal A(\overset{_{\mathrm{\;o}}}{p},\eta,\varphi)$.
Полученные уравнения (4.11), (4.13), (4.15) являются необходимыми уравнениями, которым должно подчиняться ядро $\mathcal A(\overset{_{\mathrm{\;o}}}{p},\eta,\varphi)$. Как будет показано, выполнение этих уравнений для $\mathcal A(\overset{_{\mathrm{\;o}}}{p},\eta,\varphi)$ приведет к требуемому ядру $\mathcal A(p,\eta,\varphi)$, определяемому формулой (4.8), после чего с помощью соотношений (3.30), (3.31) мы можем построить поле $\Psi(p,\eta)$. Уравнения (4.11), (4.13), (4.15) имеют два типа решений в зависимости от значения $\eta^+:=\eta^0+\eta^3$. В случае $\eta^+\neq0$ мы получим решение, названное в работах [12], [13] несингулярным, тогда как при $\eta^+=0$ возникают решения с дополнительными дельта-функциями, которые по терминологии [12], [13] называются сингулярными. В следующем подразделе мы опишем эти два класса решений. 4.1. Несингулярное решениеКак показано в приложении A, решением уравнений (4.11), (4.13), (4.15) для ядра при $\eta^+\ne 0$ является выражение
$$
\begin{equation}
\mathcal A(\overset{_{\mathrm{\;o}}}{p},\eta,\varphi) =e^{i\boldsymbol\rho(\eta_1\cos\varphi-\eta_2\sin\varphi)/\eta^+}f(\eta\cdot\eta,\eta^+),
\end{equation}
\tag{4.16}
$$
где $f((\eta)^2,\eta^+)$ – произвольная функция от $(\eta)^2:=\eta\cdot\eta$ и $\eta^+=\eta_0-\eta_3$. Здесь и далее мы используем обозначение $(a\cdot b)$ для скалярного произведения любых двух векторов $a,b\in\mathbb R^{1,3}$. Решение (4.16) также может быть записано в виде
$$
\begin{equation}
\mathcal A(\overset{_{\mathrm{\;o}}}{p},\eta,\varphi) =e^{i\boldsymbol\mu(\eta\cdot\overset{_{\mathrm{\,o}}}{\varepsilon}_{(1)}\cos\varphi -\eta\cdot\overset{_{\mathrm{\,o}}}{\varepsilon}_{(2)}\sin\varphi)/ (\eta\cdot\overset{_{\mathrm{\;o}}}{p})} f(\eta\cdot\eta,\eta\cdot\overset{_{\mathrm{\;o}}}{p}),
\end{equation}
\tag{4.17}
$$
где мы использовали формулу (3.5), ввели вместо безразмерной константы $\boldsymbol\rho$ константу имеющую размерность массы, вместо произвольной функции $f((\eta)^2,\eta\cdot\overset{_{\mathrm{\;o}}}{p}/E)$ пишем функцию $f((\eta)^2,\eta\cdot\overset{_{\mathrm{\;o}}}{p})$, а также вводим два дополнительных 4-вектора с координатами
$$
\begin{equation}
(\overset{_{\mathrm{\,o}}}{\varepsilon}_{(1)})_\nu=(0,1,0,0),\qquad (\overset{_{\mathrm{\,o}}}{\varepsilon}_{(2)})_\nu=(0,0,1,0).
\end{equation}
\tag{4.19}
$$
Определим векторы
$$
\begin{equation}
\overset{_{\mathrm{\,o}}}{\varepsilon}_{(1)}(\varphi) :=\overset{_{\mathrm{\,o}}}{\varepsilon}_{(1)}\cos\varphi -\overset{_{\mathrm{\,o}}}{\varepsilon}_{(2)}\sin\varphi,\qquad \overset{_{\mathrm{\,o}}}{\varepsilon}_{(2)}(\varphi) :=\overset{_{\mathrm{\,o}}}{\varepsilon}_{(1)}\sin\varphi +\overset{_{\mathrm{\,o}}}{\varepsilon}_{(2)}\cos\varphi,
\end{equation}
\tag{4.20}
$$
которые являются $SO(2)$-преобразованиями векторов $\overset{_{\mathrm{\,o}}}{\varepsilon}_{(1)}$ и $\overset{_{\mathrm{\,o}}}{\varepsilon}_{(2)}$. Тогда выражение (4.17) принимает вид
$$
\begin{equation}
\mathcal A(\overset{_{\mathrm{\;o}}}{p},\eta,\varphi) =e^{i\boldsymbol\mu\eta\cdot\overset{_{\mathrm{\,o}}}{\varepsilon}_{(1)}(\varphi)/ (\eta\cdot\overset{_{\mathrm{\;o}}}{p})} f(\eta\cdot\eta,\eta\cdot\overset{_{\mathrm{\;o}}}{p}).
\end{equation}
\tag{4.21}
$$
Выражение для ядра $\mathcal A(p,\eta,\varphi)$ в случае произвольного импульса $p$ получается из выражения (4.16) посредством соотношения (4.8). Воспользовавшись (4.7), получаем следующее выражение:
$$
\begin{equation}
\mathcal A(p,\eta,\varphi) =e^{i\boldsymbol\mu\eta\cdot\varepsilon_{(1)}(\varphi)/(\eta\cdot p)} f(\eta\cdot\eta,\eta\cdot p),
\end{equation}
\tag{4.22}
$$
где также использовано обозначение для одного из $SO(2)$-повернутых векторов поляризации
$$
\begin{equation}
\varepsilon_{(1)}(\varphi)=\Lambda(A_{(p)}) \overset{_{\mathrm{\,o}}}{\varepsilon}_{(1)}(\varphi),\qquad \varepsilon_{(2)}(\varphi)=\Lambda(A_{(p)}) \overset{_{\mathrm{\,o}}}{\varepsilon}_{(2)}(\varphi),
\end{equation}
\tag{4.23}
$$
взаимно ортогональных и поперечных безмассовому 4-импульсу $p$:
$$
\begin{equation}
\varepsilon_{(1)}(\varphi)\cdot p=\varepsilon_{(2)}(\varphi)\cdot p=0, \qquad \varepsilon_{(1)}(\varphi)\cdot\varepsilon_{(2)}(\varphi)=0.
\end{equation}
\tag{4.24}
$$
Эти векторы поляризации нормированы:
$$
\begin{equation}
\varepsilon_{(1)}(\varphi)\cdot\varepsilon_{(1)}(\varphi) =\varepsilon_{(2)}(\varphi)\cdot\varepsilon_{(2)}(\varphi)=-1.
\end{equation}
\tag{4.25}
$$
Решение (4.22) воспроизводит решение, найденное в работах [12], [13]. Получив выражение для “обобщенного оператора Вигнера” (4.22), мы можем построить лоренц-ковариантное поле $\Psi(p,\eta)$ с помощью соотношения (3.30). В результате имеем
$$
\begin{equation}
\Psi(p,\eta)=\int_0^{2\pi}d\varphi\, e^{i\boldsymbol\mu\eta\cdot\varepsilon_{(1)}(\varphi)/(\eta\cdot p)} f(\eta\cdot\eta,\eta\cdot p)\Phi(p,\varphi).
\end{equation}
\tag{4.26}
$$
Определим вектор Паули–Любанского
$$
\begin{equation}
\widehat W_\mu=\frac{1}{2}\varepsilon_{\mu\nu\lambda\rho} \widehat P^\nu\widehat M^{\lambda\rho},
\end{equation}
\tag{4.27}
$$
где операторы компонент импульса $\widehat P^\nu$ и углового момента $\widehat M^{\lambda\rho}$ даны в приложении Б. В приложении Б показано, что на поле (4.26) квадрат вектора Паули–Любанского принимает фиксированное значение $-\boldsymbol\mu^2$. Это указывает, что на полях $\Psi(p,\eta)$, построенных по волновым функциям Вигнера $\Phi(p,\varphi)$, реализовано неприводимое представление накрывающей группы $ISL(2,\mathbb C)$ бесконечного спина. Используя разложение (3.27) для волновой функции Вигнера $\Phi(p,\varphi)$, перепишем выражение (4.26) в виде
$$
\begin{equation}
\Psi(p,\eta)=f(\eta\cdot\eta,\eta\cdot p)\sum_{n\in\mathbb Z} \int_0^{2\pi}d\varphi\,e^{i\boldsymbol\mu(\eta\cdot\varepsilon_{(1)}\cos\varphi -\eta\cdot\varepsilon_{(1)}\sin\varphi)/(\eta\cdot p)}e^{in\varphi}\Phi_n(p),
\end{equation}
\tag{4.28}
$$
где мы воспользовались формулами (4.20), (4.23) и ввели обозначения для векторов поляризации
$$
\begin{equation}
\varepsilon_{(1)}:=\Lambda(A_{(p)})\overset{_{\mathrm{\,o}}}{\varepsilon}_{(1)},\qquad \varepsilon_{(2)}:=\Lambda(A_{(p)})\overset{_{\mathrm{\,o}}}{\varepsilon}_{(2)}.
\end{equation}
\tag{4.29}
$$
Применяя в правой части (4.28) подстановку
$$
\begin{equation}
\frac{\eta\cdot\varepsilon_{(1)}} {\sqrt{(\eta\cdot\varepsilon_{(1)})^2+(\eta\cdot\varepsilon_{(2)})^2}} =\sin\alpha,\qquad \frac{\eta\cdot\varepsilon_{(2)}} {\sqrt{(\eta\cdot\varepsilon_{(1)})^2+(\eta\cdot\varepsilon_{(2)})^2}}=\cos\alpha,
\end{equation}
\tag{4.30}
$$
получим
$$
\begin{equation}
\Psi(p,\eta)=f(\eta\cdot\eta,\eta\cdot p)\sum_{n\in\mathbb Z} \int_0^{2\pi}d\varphi\,e^{-i\boldsymbol\mu \frac{\sqrt{(\eta\cdot\varepsilon_{(1)})^2+(\eta\cdot\varepsilon_{(2)})^2}}{(\eta\cdot p)} \sin(\varphi-\alpha)+in\varphi} \Phi_n(p).
\end{equation}
\tag{4.31}
$$
Совершим в правой части соотношения (4.31) замену переменной интегрирования ($\varphi'=\varphi-\alpha$), используем интегральное представление функций Бесселя $J_n(x)$ целого порядка и выполним обратную подстановку (4.30), в результате получим следующее представление для поля $\Psi(p,\eta)$ в виде ряда:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \Psi(p,\eta)&=2\pi f(\eta\cdot\eta,\eta\cdot p)\sum_{n\in\mathbb Z} J_n\biggl(\boldsymbol\mu \frac{\sqrt{(\eta\cdot\varepsilon_{(1)})^2+(\eta\cdot\varepsilon_{(2)})^2}} {\eta\cdot p}\biggr)\times{} \notag \\ &\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad{}\times\exp\biggl\{in \operatorname{arctg} \biggl(\frac{\eta\cdot\varepsilon_{(1)}}{\eta\cdot\varepsilon_{(2)}}\biggr)\biggr\}\Phi_n(p). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.32}
$$
В полученном выражении (4.32) для релятивистского поля бесконечного спина используются в разложении функции Бесселя, так как неприводимые представления малой группы $ISO(2)$ реализуются именно в пространстве функций Бесселя [33]. 4.2. Сингулярное решениеКак показано в приложении A, решением уравнений (4.11), (4.13), (4.15) для ядра при $\eta^+=0$ является
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \mathcal A(\overset{_{\mathrm{\;o}}}{p},\eta,\varphi) &=\delta(\eta^+)\delta(\eta_1\sin\varphi+\eta_2\cos\varphi)\times{} \notag \\ &\qquad{}\times e^{\frac{i}{2}\frac{\boldsymbol\rho\eta^-}{\eta_1\cos\varphi-\eta_2\sin\varphi}} f(\eta_1\cos\varphi-\eta_2\sin\varphi), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.33}
$$
где $\eta^\pm=\eta_0\mp\eta_3$, $f(x)$ – произвольная функция. После введения векторов (4.20) и 4-вектора $\overset{_{\mathrm{\,o}}}{\varepsilon}$ с координатами
$$
\begin{equation}
(\overset{_{\mathrm{\,o}}}{\varepsilon})_\nu=\biggl(\frac{1}{2E},0,0,-\frac{1}{2E}\biggr)
\end{equation}
\tag{4.34}
$$
выражение (4.33) принимает вид
$$
\begin{equation}
\mathcal A(\overset{_{\mathrm{\;o}}}{p},\eta,\varphi) =\delta(\eta\cdot\overset{_{\mathrm{\;o}}}{p}) \delta(\eta\cdot\overset{_{\mathrm{\,o}}}{\varepsilon}_{(2)}(\varphi))\, e^{\frac{i\boldsymbol\mu\eta\cdot\overset{_{\mathrm{\,o}}}{\varepsilon}} {\eta\cdot\overset{_{\mathrm{\,o}}}{\varepsilon}_{\!(1)}(\varphi)}} f(\eta\cdot\overset{_{\mathrm{\,o}}}{\varepsilon}_{(1)}(\varphi)).
\end{equation}
\tag{4.35}
$$
Согласно (4.8) выражение для ядра $\mathcal A(p,\eta,\varphi)$ при произвольном импульсе получается из (4.35) заменой $\overset{_{\mathrm{\;o}}}{p}\to p$ и подстановкой Это ведет к следующему выражению:
$$
\begin{equation}
\mathcal A(p,\eta,\varphi)=\delta(\eta\cdot p)\delta(\eta\cdot\varepsilon_{(2)}(\varphi)) e^{\frac{i\boldsymbol\mu\eta\cdot\varepsilon}{\eta\cdot\varepsilon_{(1)}(\varphi)}} f(\eta\cdot\varepsilon_{(1)}(\varphi)),
\end{equation}
\tag{4.37}
$$
где мы ввели векторы поляризации (4.23) и вектор
$$
\begin{equation}
\varepsilon=\Lambda(A_{(p)})\overset{_{\mathrm{\,o}}}{\varepsilon},
\end{equation}
\tag{4.38}
$$
получаемый преобразованием вектора (4.34). Вектор (4.38) светоподобен и поперечен векторам $\varepsilon_{(1)}(\varphi)$, $\varepsilon_{(2)}(\varphi)$:
$$
\begin{equation}
\varepsilon\cdot\varepsilon=0,\qquad \varepsilon\cdot\varepsilon_{(1)}(\varphi)=\varepsilon\cdot\varepsilon_{(2)}(\varphi)=0.
\end{equation}
\tag{4.39}
$$
Кроме того, он подчиняется условию Выражение (4.37) совпадает с обобщенным оператором Вигнера, найденным в работах [12], [13]. Соотношение (3.30) генерирует с помощью обобщенного оператора Вигнера (4.37) лоренц-ковариантное поле $\Psi(p,\eta)$ следующего вида:
$$
\begin{equation}
\Psi(p,\eta)=\int_0^{2\pi}d\varphi\,\delta(\eta\cdot p) \delta(\eta\cdot\varepsilon_{(2)}(\varphi)) e^{\frac{i\boldsymbol\mu\eta\cdot\varepsilon}{\eta\cdot\varepsilon_{(1)}(\varphi)}} f(\eta\cdot\varepsilon_{(1)}(\varphi))\Phi(p,\varphi).
\end{equation}
\tag{4.41}
$$
Как показано в приложении Б, на этом поле квадрат вектора Паули–Любанского также принимает значение $-\boldsymbol\mu^2$. Это указывает на то, что на полях $\Psi(p,\eta)$, определенных в (4.41), также реализовано неприводимое представление накрывающей группы $ISL(2,\mathbb C)$ бесконечного спина. Вследствие присутствия дельта-функции $\delta(\eta\cdot p)$ в выражении (4.41) уравнением движения поля $\Psi(p,\eta)$ является Кроме того, с использованием (Б.14) легко показать, что поле (4.41) подчиняется уравнению
$$
\begin{equation}
\biggl[i\sqrt{-(\eta\cdot\eta)} \biggl(p\cdot\frac{\partial}{\partial\eta}\biggr)+\boldsymbol\mu\biggr]\Psi(p,\eta)=0.
\end{equation}
\tag{4.43}
$$
Дополнительное условие $f(\eta\cdot\varepsilon_{(1)}(\varphi))=\delta(\eta\cdot\varepsilon_{(1)}(\varphi)-1)$, фиксирующее функцию $f(\eta\cdot\varepsilon_{(1)}(\varphi))$ в (4.41), приводит к уравнению для поля (4.41). В результате уравнение (4.43) принимает вид
$$
\begin{equation}
\biggl[i\biggl(p\cdot\frac{\partial}{\partial\eta}\biggr)+\boldsymbol\mu\biggr]\Psi(p,\eta)=0.
\end{equation}
\tag{4.45}
$$
Вместе с условием безмассовости $p^2\Psi(p,\eta)=0$ уравнения (4.42), (4.44), (4.45) являются уравнениями Баргмана–Вигнера для полей бесконечного спина, зависящих от дополнительной векторной координаты [1]–[3].
5. Релятивистские поля с дополнительной спинорной переменнойРассмотрим теперь случай, когда в качестве дополнительных переменных $y$ в полевом описании (3.30), (3.31) безмассовых представлений бесконечного спина выступает коммутирующий вейлевский спинор. Ранее такое описание использовалось в работах [21], [26]. В этом случае релятивистское поле $\Psi(p,u,\bar u)\equiv\Psi(p_m,u^\alpha,\bar u^{\dot\alpha})$ является функцией 4-импульса $p$, а также двухкомпонентного коммутирующего вейлевского спинора $u^\alpha$, $\alpha=1,2$, и его комплексно-сопряженного спинора $\bar u^{\dot\alpha}=(u^\alpha)^*$. Отметим, что матрицы преобразования Лоренца и релятивистские сигма-матрицы по определению имеют спинорные индексы $A_\alpha^\beta$, $(A^\unicode{8224})^{\dot\alpha}_{\dot\beta}$, $(\sigma^n)_{\alpha\dot\beta}$9. Согласно (3.30) поле $\Psi(p,u,\bar u)$ находится из вигнеровской волновой функции $\Phi(p,\varphi)$ по формуле
$$
\begin{equation}
\Psi(p,u,\bar u)=\int_0^{2\pi}d\varphi\,\mathcal A(p,u,\bar u,\varphi)\Phi(p,\varphi),
\end{equation}
\tag{5.1}
$$
где обобщенный оператор Вигнера $\mathcal A(p,u,\bar u,\varphi)$ переводит функцию от $\varphi$ в функцию, зависящую от $u^\alpha$, $\bar u^{\dot\alpha}$. Преобразование Лоренца поля $\Psi(p,u,\bar u)$ имеет вид (ср. с формулой (4.1) для полей с целыми спиральностями)
$$
\begin{equation}
\Psi'(p,u,\bar u)=[U(A)\Psi](p,u,\bar u)=\Psi(\Lambda^{-1}p,uA,A^\unicode{8224}\bar u),
\end{equation}
\tag{5.2}
$$
где $(u A)^\alpha=u^\beta A_\beta^\alpha$, $(A^\unicode{8224}\bar u)^{\dot\alpha}=(A^\unicode{8224})^{\dot\alpha}_{\dot\beta}\bar u^{\dot\beta}$ и матрица $A\in SL(2,\mathbb C)$. Матрица $\Lambda\in SO^\uparrow(1,3)$ связана с $A$ соотношением (3.2). В пределе конечномерных лоренцевых представлений закон преобразования (5.2) сводится к традиционному преобразованию. Так, если взять в качестве производящей функции полином $\Psi(p,u,\bar u)=u^\alpha\dotsb\bar u^{\dot\beta}\dotsb\psi_{\alpha\dotsb\dot\beta\dotsb}(p)$ по спинорным переменным $u^\alpha$, $\bar u^{\dot\beta}$, то преобразование (5.2) воспроизводит стандартные преобразования спинорных полей $\psi_{\alpha\dotsb\dot\beta\dotsb}(p)$. Рассматриваемые здесь релятивистские поля, описывающие представления бесконечного спина, не будут иметь полиномиальной зависимости по дополнительным спинорным переменным. Найдем явный вид ядра $\mathcal A(p,u,\bar u,\varphi)$, которое переводит волновые функции Вигнера $\Phi(p,\varphi)$ в релятивистские поля $\Psi(p,u,\bar u)$. Из закона преобразования (3.29) для $\Phi(p,\varphi)$ и закона преобразования (5.2) для $\Psi(p,u,\bar u)$ следуют уравнения, определяющие ядро $\mathcal A(p,u,\bar u,\varphi)$:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \mathcal A(\Lambda^{-1}p,uA,A^\unicode{8224}\bar u,\varphi) &=e^{-i\vec b_{A,\Lambda^{-1}p}\vec t_{\varphi+\theta_{A,\Lambda^{-1} p}}} \mathcal A(p,u,\bar u,\varphi+\theta_{A,\Lambda^{-1}p})= \notag \\ &=\mathcal A(p,\eta,\varphi')\mathcal D_{\varphi'\varphi} (\theta_{A,\Lambda^{-1}p},\vec b_{A,\Lambda^{-1}p}). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.3}
$$
Эти уравнения являются спинорными аналогами уравнений (4.4). Подобно векторному случаю, рассмотренному в предыдущем разделе (см. (4.8), (4.9)), из уравнения (5.3) следуют два важных соотношения для ядра $\mathcal A(p,u,\bar u,\varphi)$. 1. Ядро $\mathcal A(p,\dots)$ при произвольном импульсе $p$ определяется по ядру $\mathcal A(\overset{_{\mathrm{\;o}}}{p},\dots)$ для тестового импульса $\overset{_{\mathrm{\;o}}}{p}$ в виде
$$
\begin{equation}
\mathcal A(p,u,\bar u,\varphi) =\mathcal A(\overset{_{\mathrm{\;o}}}{p},uA_{(p)},A_{(p)}^\unicode{8224}\bar u,\varphi).
\end{equation}
\tag{5.4}
$$
2. При $A=h$ действие малой группы на ядро $\mathcal A(\overset{_{\mathrm{\;o}}}{p},\dots)$ при тестовом импульсе $\overset{_{\mathrm{\;o}}}{p}$ записывается следующим образом:
$$
\begin{equation}
\mathcal A(\overset{_{\mathrm{\;o}}}{p},uh,h^\unicode{8224}\bar u,\varphi) =e^{-i\vec b\cdot\vec t_{\varphi+\theta}} \mathcal A(\overset{_{\mathrm{\;o}}}{p},u,\bar u,\varphi+\theta).
\end{equation}
\tag{5.5}
$$
В левой и правой частях соотношения (5.5), как и в векторном случае (4.9), используется параметризация матрицы $h\in ISO(2)$, определенная в (3.11). Найдем из (5.5) ядро $\mathcal A(\overset{_{\mathrm{\;o}}}{p},u,\bar u,\varphi)$ при тестовом импульсе $\overset{_{\mathrm{\;o}}}{p}$. Для этого рассмотрим равенство (5.5) в инфинитезимальном случае, что дает три дифференциальных уравнения.
$$
\begin{equation}
\mathcal A(\overset{_{\mathrm{\;o}}}{p},u,\bar u,\varphi) =\exp\biggl\{-\frac{i}{2}\boldsymbol\rho\biggl(\frac{u^2}{u^1}e^{-i\varphi} +\frac{\bar u^{\dot 2}}{\bar u^{\dot 1}}e^{i\varphi}\biggr)\biggr\} f(u^1,\bar u^{\dot 1},\varphi),
\end{equation}
\tag{5.8}
$$
где $f(u^1,\bar u^{\dot 1},\varphi)$ – произвольная функция трех переменных $u^1$, $\bar u^{\dot 1}$, $\varphi$. Подставляя (5.8) в (5.6), получаем уравнение на функцию $f(u^1,\bar u^{\dot 1},\varphi)$:
$$
\begin{equation}
\frac{i}{2}\biggl(u^1\,\frac{\partial}{\partial u^1} -\bar u^{\dot 1}\,\frac{\partial}{\partial\bar u^{\dot 1}}\biggr) f(u^1,\bar u^{\dot 1},\varphi) =\frac{\partial}{\partial\varphi}f(u^1,\bar u^{\dot 1},\varphi).
\end{equation}
\tag{5.9}
$$
Из уравнения (5.9) следует, что функция $f(u^1,\bar u^{\dot 1},\varphi)$ не зависит от фазовой переменной $[2\arg(u^1)-\varphi]$, а зависит только от комплексного числа $u^1e^{i\varphi/2}$ и его сопряженного $\bar u^{\dot 1}e^{-i\varphi/2}$. Таким образом, ядро $\mathcal A(\overset{_{\mathrm{\;o}}}{p},u,\bar u,\varphi)$ в общем случае имеет вид
$$
\begin{equation}
\mathcal A(\overset{_{\mathrm{\;o}}}{p},u,\bar u,\varphi) =\exp\biggl\{-\frac{i}{2}\boldsymbol\rho \biggl(\frac{u^2}{u^1}e^{-i\varphi}+\frac{\bar u^{\dot 2}}{\bar u^{\dot 1}} e^{i\varphi}\biggr)\biggr\} f(u^1e^{i\varphi/2},\bar u^{\dot 1}e^{-i\varphi/2}).
\end{equation}
\tag{5.10}
$$
Ядро $\mathcal A(p,u,\bar u,\varphi)$ при произвольном импульсе $p$ определяется по ядру $\mathcal A(\overset{_{\mathrm{\;o}}}{p},u,\bar u,\varphi)$ для тестового импульса $\overset{_{\mathrm{\;o}}}{p}$ с помощью формулы (5.4), т. е. если в выражении (5.10) сделать замену
$$
\begin{equation}
u^\alpha\to[u A_{(p)}]^\alpha,\qquad \bar u^{\dot\alpha}\to[A_{(p)}^\unicode{8224}\bar u]^{\dot\alpha},
\end{equation}
\tag{5.11}
$$
получим выражение для $\mathcal A(p,u,\bar u,\varphi)$:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \mathcal A(p,u,\bar u,\varphi)&=\exp\biggl\{-\frac{i}{2} \boldsymbol\rho\biggl(\frac{[u A_{(p)}]^2}{[u A_{(p)}]^1}e^{-i\varphi} +\frac{[A_{(p)}^\unicode{8224}\bar u]^{\dot 2}}{[A_{(p)}^\unicode{8224}\bar u]^{\dot 1}} e^{i\varphi}\biggr)\biggr\}\times{} \notag \\ &\qquad\times{}f([uA_{(p)}]^1e^{i\varphi/2}, [A_{(p)}^\unicode{8224}\bar u]^{\dot 1}e^{-i\varphi/2}). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.12}
$$
Как результат этого соотношения и определения (5.1) релятивистское поле $\Psi(p,u,\bar u)$ безмассовой частицы бесконечного спина имеет вид
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \Psi(p,u,\bar u)&=\int_0^{2\pi}d\varphi\, \exp\biggl\{-\frac{i}{2}\boldsymbol\rho \biggl(\frac{[uA_{(p)}]^2}{[u A_{(p)}]^1}e^{-i\varphi} +\frac{[A_{(p)}^\unicode{8224}\bar u]^{\dot 2}}{[A_{(p)}^\unicode{8224}\bar u]^{\dot 1}} e^{i\varphi}\biggr)\biggr\}\times{} \notag \\ &\qquad\qquad\qquad\qquad{}\times f([uA_{(p)}]^1e^{i\varphi/2},[A_{(p)}^\unicode{8224}\bar u]^{\dot 1} e^{-i\varphi/2})\Phi(p,\varphi). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.13}
$$
Найдем значение оператора Казимира $\widehat W^2$ при его действии на поле $\Psi(p,u,\bar u)$. Для этого, как и в случае полей с дополнительной векторной переменной, достаточно вычислить значение $\widehat W^2$ на ядре $\mathcal A(p,u,\bar u,\varphi)$, которое найдено в (5.12). Оператор Казимира $\widehat W^2$, записанный в терминах генераторов, действующих на поле $\Psi(p,u,\bar u)$ и зависящих от спинорных переменных $u^\alpha$, $\bar u^{\dot\alpha}$ и 4-импульса $p^m$, имеет вид [23]
$$
\begin{equation}
\widehat W^2=(u^\alpha p_{\alpha\dot\alpha}\bar u^{\dot\alpha}) \biggl(\frac{\partial}{\partial\bar u^{\dot\beta}} p^{\dot\beta\beta}\,\frac{\partial}{\partial u^\beta}\biggr),
\end{equation}
\tag{5.14}
$$
где $p_{\alpha\dot\alpha}=p_m(\sigma^m)_{\alpha\dot\alpha}$ и $p^{\dot\beta\beta} =\epsilon^{\beta\alpha}\epsilon^{\dot\beta\dot\alpha}p_{\alpha\dot\alpha}$. Действие этого оператора на ядро (5.12) легко вычисляется и с учетом равенств
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, p^{\dot\alpha\beta}(A_{(p)})_{\beta}^1 =(A^\unicode{8224}_{(p)})^{\dot 1}_{\dot\beta}p^{\dot\beta\alpha}=0, \\ (A^\unicode{8224}_{(p)})^{\dot 1}_{\dot\alpha}p^{\dot\alpha\beta} (A_{(p)})_\beta^1=(A^\unicode{8224}_{(p)})^{\dot 1}_{\dot\alpha} p^{\dot\alpha \beta}(A_{(p)})_\beta^2 =(A^\unicode{8224}_{(p)})^{\dot 2}_{\dot\alpha}p^{\dot\alpha\beta}(A_{(p)})_\beta^1=0, \\ (A^\unicode{8224}_{(p)})^{\dot 2}_{\dot\alpha}p^{\dot\alpha\beta} (A_{(p)})_\beta^2=2E \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
дает
$$
\begin{equation}
\widehat W^2\Psi(p,u,\bar u)=-\boldsymbol\mu^2\Psi(p,u,\bar u),
\end{equation}
\tag{5.15}
$$
где размерная константа $\boldsymbol\mu$, как и в случае векторных переменных $y=\eta$, равна $\boldsymbol\mu=E\boldsymbol\rho$ (см. (4.18)). Таким образом, для полученных полей $\Psi(p,u,\bar u)$ выполняется необходимое условие того, что эти поля образуют пространство неприводимого безмассового представления группы $ISL(2,\mathbb C)$ бесконечного спина. Уравнение (5.15) можно рассматривать как уравнение движения для поля (5.23). Однако, как следует из (5.14), оператор $\widehat W^2$ является произведением двух скалярных операторов $(u^\alpha p_{\alpha\dot\alpha}\bar u^{\dot\alpha})$ и $(\frac{\partial}{\partial\bar u^{\dot\beta}}p^{\dot\beta\beta} \, \frac{\partial}{\partial u^\beta})$. Поэтому в работах [22], [23] вместо уравнения (5.15) на поле $\Psi(p,u,\bar u)$, зависящее от дополнительных спинорных координат, налагались более сильные условия
$$
\begin{equation}
(u^\alpha p_{\alpha\dot\alpha}\bar u^{\dot\alpha} -\boldsymbol\mu)\Psi(p,u,\bar u) =0,
\end{equation}
\tag{5.16}
$$
$$
\begin{equation}
\biggl(\frac{\partial}{\partial\bar u^{\dot\beta}} p^{\dot\beta\beta}\,\frac{\partial}{\partial u^\beta} +\boldsymbol\mu\biggr)\Psi(p,u,\bar u) =0.
\end{equation}
\tag{5.17}
$$
Ядро (5.12) не удовлетворяет уравнениям (5.16), (5.17). Для выполнения этих уравнений в работах [22], [23] бралось ядро с фиксацией зависимости его от $u^\alpha p_{\alpha\dot\alpha}\bar u^{\dot\alpha}$, которое задавалось присутствием в решении дополнительной обобщенной функции $\delta(u^\alpha p_{\alpha\dot\alpha}\bar u^{\dot\alpha}-\boldsymbol\mu)$ в (5.12). При описании представлений группы Пуанкаре в пространстве с дополнительной спинорной переменной удобно использовать конечномерный оператор Вигнера $A_{(p)}$, записанный в терминах твисторных спиноров (в случае массивных представлений $ISL(2,\mathbb C)$ такой переход был использован в [36])
$$
\begin{equation}
A_{(p)}=\begin{pmatrix} \dfrac{1}{\sqrt{2E}}\pi_1 &\sqrt{2E}\lambda_1 \\ \dfrac{1}{\sqrt{2E}}\pi_2 &\sqrt{2E}\lambda_2 \end{pmatrix},
\end{equation}
\tag{5.18}
$$
где $\pi_\alpha$ и $\lambda_\alpha$, $\alpha=1,2$, – коммутирующие вейлевские спиноры. Тогда произвольный безмассовый 4-импульс $p$ представляется соотношением Картана–Пенроуза
$$
\begin{equation}
(p\sigma)_{\alpha\dot\beta}\equiv p_{\alpha\dot\beta} =(A_{(p)}(\overset{_{\mathrm{\;o}}}{p}\sigma)A_{(p)}^\unicode{8224})_{\alpha\dot\beta} =\pi_\alpha\bar\pi_{\dot\beta}.
\end{equation}
\tag{5.19}
$$
Спинор $\pi_\alpha$ представляет собой половину твистора Пенроуза. Второй спинор $\lambda_\alpha$, не участвующий в соотношении (5.19), подчиняется единственному (комплексному) уравнению которое вытекает из условия $\det A_{(p)}=1$ для матрицы $A_{(p)}\in SL(2,\mathbb C)/ISO(2)$, а также начальному условию (3.9). Компоненты спинора $\lambda$ являются функциями компонент спинора $\pi$: $\lambda_\alpha=\lambda_\alpha(\pi)$. В качестве $\lambda$ можно взять спинор
$$
\begin{equation}
\lambda_\alpha=\frac{(\sigma_0)_{\alpha\dot\alpha}\bar\pi^{\dot\alpha}} {\pi^\beta(\sigma_0)_{\beta\dot\beta}\bar\pi^{\dot\beta}},
\end{equation}
\tag{5.21}
$$
получаемый $SL(2,\mathbb C)$-нековариантным способом из спинора $\pi$. Теперь, используя явный вид оператора Вигнера (5.18), мы получим следующее выражение для ядра (5.12):
$$
\begin{equation}
\mathcal A (\pi,\bar\pi,u,\bar u,\varphi) =\exp\biggl\{-i\boldsymbol\mu \biggl(\frac{u^\alpha\lambda_\alpha}{u^\beta\pi_\beta}e^{-i\varphi} +\frac{\bar u^{\dot\alpha}\bar\lambda_{\dot\alpha}}{\bar u^{\dot\beta}\bar\pi_{\dot\beta}} e^{i\varphi}\biggr)\biggr\} f(u^\gamma\pi_\gamma e^{i\varphi/2}, \bar u^{\dot\gamma}\bar\pi_{\dot\gamma}e^{-i\varphi/2}),
\end{equation}
\tag{5.22}
$$
где $f$ – произвольная функция. Используя выражения (5.22) для ядра $\mathcal A(p,u,\bar u,\varphi)$ и условие индуцирования (5.1), находим твисторное поле $\Psi(\pi,\bar\pi,u,\bar u)$ частицы бесконечного спина:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \Psi(\pi,\bar\pi,u,\bar u)&=\int_0^{2\pi}d\varphi\, \exp\biggl\{-i\boldsymbol\mu\biggl(\frac{u^\alpha\lambda_\alpha}{u^\beta\pi_\beta} e^{-i\varphi} +\frac{\bar u^{\dot\alpha}\bar\lambda_{\dot\alpha}}{\bar u^{\dot\beta}\bar\pi_{\dot\beta}} e^{i\varphi}\biggr)\biggr\}\times{} \notag \\ &\qquad\qquad\qquad\qquad{}\times f(u^\gamma\pi_\gamma e^{i\varphi/2},\bar u^{\dot\gamma}\bar\pi_{\dot\gamma} e^{-i\varphi/2})\Phi(p,\varphi), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.23}
$$
которое соответствует полю (5.13), но имеет зависимость от твисторного спинора $\pi_\alpha$. В случае твисторного представления (5.19) для 4-импульса $p^m$ оператор (5.14) равен
$$
\begin{equation}
\widehat W^2=(u^\alpha\pi_\alpha\bar\pi_{\dot\alpha}\bar u^{\dot\alpha}) \biggl(\frac{\partial}{\partial\bar u^{\dot\beta}} \bar\pi^{\dot\beta}\pi^\beta\,\frac{\partial}{\partial u^\beta}\biggr)
\end{equation}
\tag{5.24}
$$
и, подобно (5.15), является собственным оператором твисторного поля:
$$
\begin{equation}
\widehat W^2\Psi(\pi,\bar\pi,u,\bar u)=-\boldsymbol\mu^2\Psi(\pi,\bar\pi,u,\bar u).
\end{equation}
\tag{5.25}
$$
Твисторная формулировка безмассовой частицы бесконечного спина в четырехмерном пространстве-времени была построена в работах [21], [26], где подобно решению уравнения (5.16) в твисторном описании постулировалось уравнение
$$
\begin{equation}
(\pi^\alpha u_\alpha\bar u_{\dot\alpha}\bar\pi^{\dot\alpha} -\boldsymbol\mu)\Psi(\pi,\bar\pi,u,\bar u)=0
\end{equation}
\tag{5.26}
$$
или более сильные уравнения
$$
\begin{equation}
(\pi^\alpha u_\alpha-\sqrt{\boldsymbol\mu})\Psi(\pi,\bar\pi,u,\bar u) =0,
\end{equation}
\tag{5.27}
$$
$$
\begin{equation}
(\bar u_{\dot\alpha}\bar\pi^{\dot\alpha}-\sqrt{\boldsymbol\mu}) \Psi(\pi,\bar\pi,u,\bar u) =0.
\end{equation}
\tag{5.28}
$$
Уравнения (5.26) и (5.27), (5.28) фиксируют значение части оператора $\widehat W^2$ в (5.24). Собственные значения второго множителя в $\widehat W^2$ в (5.24) задавались в работах [21], [26] уравнениями движения твисторного поля
$$
\begin{equation}
\biggl(\pi^\beta\,\frac{\partial}{\partial u^\beta} +i\sqrt{\boldsymbol\mu}\biggr)\Psi(\pi,\bar\pi,u,\bar u) =0,
\end{equation}
\tag{5.29}
$$
$$
\begin{equation}
\biggl(\bar\pi^{\dot\beta}\,\frac{\partial}{\partial\bar u^{\dot\beta}} +i\sqrt{\boldsymbol\mu}\biggr)\Psi(\pi,\bar\pi,u,\bar u) =0.
\end{equation}
\tag{5.30}
$$
Уравнения (5.27), (5.28) (или (5.26)) и (5.29), (5.30) приводят к выполнению условий неприводимости (5.25) для твисторного поля бесконечного спина, которое является определенным частным случаем поля (5.23) и имеет вид
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \Psi(\pi,\bar\pi,u,\bar u)&=\delta(\pi^\alpha u_\alpha-\sqrt{\boldsymbol\mu})\, \delta(\bar u_{\dot\alpha}\bar\pi^{\dot\alpha}-\sqrt{\boldsymbol\mu})\times{} \notag \\ &\qquad{}\times\int_0^{2\pi}d\varphi\, e^{i\sqrt{\boldsymbol\mu}(u^\alpha\lambda_\alpha e^{-i\varphi} +\bar u^{\dot\alpha}\bar\lambda_{\dot\alpha}e^{i\varphi})} \Phi(p,\varphi), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.31}
$$
где мы переопределили функцию $\Phi$ за счет функции $f$: $f\Phi\to\Phi$, а спинор $\lambda$ определен в (5.21). Для снятия интегрирования по $\varphi$ в определении (5.31) поля $\Psi(\pi,\bar\pi,u,\bar u)$ можно использовать тождество
$$
\begin{equation}
u^\alpha\lambda_\alpha e^{- i\varphi} +\bar u^{\dot\alpha}\bar\lambda_{\dot\alpha}e^{i\varphi} =2(\operatorname{Re}\{u^\alpha\lambda_\alpha\}\cos\varphi +\operatorname{Im}\{u^\alpha\lambda_\alpha\}\sin\varphi)
\end{equation}
\tag{5.32}
$$
и применить аналогичные рассуждения, как и при получении формулы (4.32). В результате твисторное поле бесконечного спина представляется в виде разложения
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \Psi(\pi,\bar\pi,u,\bar u)&=2\pi\delta(\pi^\alpha u_\alpha-\sqrt{\boldsymbol\mu}) \delta(\bar u_{\dot\alpha}\bar\pi^{\dot\alpha}-\sqrt{\boldsymbol\mu})\times{} \notag \\ &\qquad{}\times\sum_{n\in\mathbb Z}J_n(-2\sqrt{\boldsymbol\mu}|u^\alpha\lambda_\alpha|) e^{-in \operatorname{arctg} (\operatorname{Re} \{u^\alpha\lambda_\alpha\}/\operatorname{Im}\{u^\alpha\lambda_\alpha\})}\Phi_n(p) \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.33}
$$
по функциям Бесселя $J_n$. Отметим, что представления бесконечного спина с необходимостью требуют битвисторное описание [21], [26], в котором спинор $\pi_\alpha$ входил в определение одного твистора, а спинорная компонента второго твистора (в работах [21], [26] она обозначалась посредством $\rho_\alpha$), имеющая размерность квадратного корня массы, присутствовала в связях, идентичных уравнениям (5.26)–(5.30). Таким образом, используемый здесь спинор $u^\alpha$, $\bar u^{\dot\alpha}$, умноженный на $\sqrt{\boldsymbol\mu}$, играет роль спинорной компоненты второго твистора, используемого в битвисторной формулировке частицы бесконечного спина [21], [26]. 6. ЗаключениеВ работе введены и исследованы релятивистские поля $\Psi(p,\eta)$ и $\Psi(p,u,\bar u)$, описывающие унитарные неприводимые представления бесконечного спина четырехмерной группы Пуанкаре. Полученные поля $\Psi(p,\eta)$ и $\Psi(p,u,\bar u)$ определены на пространствах, параметризованных 4-импульсом $p$ и дополнительными координатами: коммутирующим 4-вектором $\eta^\mu$ или коммутирующим вейлевским спинором $u^\alpha$ соответственно. Сами релятивистские поля определяются интегральным преобразованием функции Вигнера $\Phi(p,\varphi)$, на которой реализуется унитарное бесконечномерное представление малой группы $ISO(2)$ безмассового 4-импульса. Переход от $\Phi(p,\varphi)$ к полям $\Psi(p,\eta)$ и $\Psi(p,u,\bar u)$ осуществляется с помощью введенных в работе обобщенных операторов Вигнера $\mathcal A(p,\eta,\varphi)$ и $\mathcal A(p,u,\bar u,\varphi)$ соответственно. Эти операторы являются решениями дифференциальных уравнений, которые возникают вследствие инфинитезимальных преобразований полей и волновой функции Вигнера. В работе показано, что на полях $\Psi(p,\eta)$ и $\Psi(p,u,\bar u)$ операторы Казимира алгебры Пуанкаре принимают числовые значения, соответствующие безмассовым частицам бесконечного спина в четырехмерном пространстве Минковского. Отметим, что выражения (4.22), (4.37) для обобщенных операторов Вигнера $\mathcal A(p,\eta,\varphi)$ и (5.12) для $\mathcal A(p,u,\bar u,\varphi)$ содержат произвольную функцию $f$. После ее фиксации поле $\Psi(p,\eta)$ подчиняется известным уравнениям Баргмана–Вигнера [2], [3], тогда как поле $\Psi(p,u,\bar u)$ – уравнениям, полученным в [21], [26]. Предложенные здесь конструкции полей бесконечного спина, в частности выражение (5.23) для поля $\Psi(p,u,\bar u)$, могут оказаться полезными для лагранжева описания таких полей, включая описание их взаимодействий (см., например, [12], [13]). В этой работе мы рассматривали только безмассовые поля, описывающие представления группы Пуанкаре бесконечного спина. Однако сформулированный подход, использующий дополнительные коммутирующие переменные, позволяет также найти соответствующие безмассовые поля конечного спина (спиральности). Определяя обобщенные операторы Вигнера $\mathcal A(p,\eta,\varphi)$ и $\mathcal A(p,u,\bar u,\varphi)$ из уравнений, которые являются пределом $\boldsymbol\rho\to 0$ уравнений (4.11), (4.13), (4.15) и (5.6), (5.7), мы находим поля $\Psi(p,\eta)$ и $\Psi(p,u,\bar u)$, описывающие безмассовые состояния фиксированной спиральности. В стандартном подходе такие частицы описываются спин-тензорными полями, являющимися или полевыми напряженностями, или потенциалами. В рассматриваемом подходе такие спин-тензорные поля возникают в разложении $\Psi(p,\eta)$ и $\Psi(p,u,\bar u)$ по дополнительным переменным $\eta$ или $u$. Как показывает рассмотрение, выполненное в [39], в случае дополнительной спинорной переменной поле $\Psi(p,u,\bar u)$ воспроизводит безмассовые напряженности. Однако в случае дополнительной векторной переменной поле $\Psi(p,\eta)$ будет воспроизводить описание безмассовых состояний в терминах потенциалов, обладающих калибровочной симметрией. Мы планируем изучить этот вопрос более детально в последущих работах. Приложение А. Решение уравнений, определяющих ядро $\mathcal A(\overset{_{\mathrm{\;{o}}}}{{p}},\eta,\varphi)$Для нахождения решения уравнения (4.11) удобно ввести новые переменные10
$$
\begin{equation}
\zeta=\eta^2+i\eta^1,\qquad \bar\zeta=\eta^2-i\eta^1\quad \Leftrightarrow \quad \eta^1=\frac{i}{2}(\bar\zeta-\zeta),\qquad \eta^2=\frac{1}{2}(\bar\zeta+\zeta),
\end{equation}
\tag{А.1}
$$
в которых уравнение (4.11) принимает вид
$$
\begin{equation}
-i\biggl(\zeta\,\frac{\partial}{\partial\zeta} -\bar\zeta\,\frac{\partial}{\partial\bar\zeta}\biggr) \mathcal A(\overset{_{\mathrm{\;o}}}{p},\eta,\varphi) =\frac{\partial}{\partial\varphi}\mathcal A(\overset{_{\mathrm{\;o}}}{p},\eta,\varphi).
\end{equation}
\tag{А.2}
$$
После введения полярных координат $\varrho\in\mathbb R$, $\alpha\in[0,2\pi]$ для $\zeta$ и $\bar\zeta$:
$$
\begin{equation}
\zeta=\varrho e^{-i\alpha},\qquad \bar\zeta=\varrho e^{i\alpha},
\end{equation}
\tag{А.3}
$$
уравнение (А.2) принимает вид
$$
\begin{equation}
\biggl(\frac{\partial}{\partial\alpha}-\frac{\partial}{\partial\varphi}\biggr) \mathcal A(\overset{_{\mathrm{\;o}}}{p},\eta,\varphi)=0.
\end{equation}
\tag{А.4}
$$
Уравнение (А.4) показывает, что ядро $\mathcal A(\overset{_{\mathrm{\;o}}}{p},\dots)$ не зависит от $\gamma^-=\alpha-\varphi$ и зависит только от переменной $\gamma^+=\alpha+\varphi$. Последнее удобно учесть введением вместо $\zeta$ и $\bar\zeta$ переменных
$$
\begin{equation}
z:=\zeta e^{-i\varphi}=\varrho e^{-i\gamma^+},\qquad \bar z:=\bar\zeta e^{i\varphi}=\varrho e^{i\gamma^+}.
\end{equation}
\tag{А.5}
$$
Таким образом, ядро $\mathcal A(\overset{_{\mathrm{\;o}}}{p},\dots)$, которое удовлетворяет уравнению (4.11), должно иметь следующую функциональную зависимость:
$$
\begin{equation}
\mathcal A(\overset{_{\mathrm{o}}}{p},z,\bar z,\eta^0,\eta^3).
\end{equation}
\tag{А.6}
$$
Перейдем к решению уравнений (4.13), (4.15). Для этого введем переменные светового конуса Тогда уравнения (4.13) и (4.15) записываются в виде
$$
\begin{equation}
i\biggl(\eta^1\,\frac{\partial}{\partial\eta^-} +\frac{1}{2}\eta^+\,\frac{\partial}{\partial\eta^1}\biggr) \mathcal A(\overset{_{\mathrm{\;o}}}{p},\eta,\varphi) =\frac{\boldsymbol\rho}{2}\cos\varphi\mathcal A(\overset{_{\mathrm{\;o}}}{p},\eta,\varphi),
\end{equation}
\tag{А.8}
$$
$$
\begin{equation}
\biggl(\eta^2\,\frac{\partial}{\partial\eta^-} +\frac{1}{2}\eta^+\,\frac{\partial}{\partial\eta^2}\biggr) \mathcal A(\overset{_{\mathrm{\;o}}}{p},\eta,\varphi) =i\frac{\boldsymbol\rho}{2}\sin\varphi\mathcal A(\overset{_{\mathrm{\;o}}}{p},\eta,\varphi).
\end{equation}
\tag{А.9}
$$
Сумма и разность уравнений (А.8), (А.9) дает
$$
\begin{equation}
\biggl(z\,\frac{\partial}{\partial\eta^-}+\eta^+\,\frac{\partial}{\partial\bar z}\biggr) \mathcal A(\overset{_{\mathrm{\;o}}}{p},z,\bar z,\eta^\pm) =\frac{\boldsymbol\rho}{2}\mathcal A(\overset{_{\mathrm{\;o}}}{p},z,\bar{z},\eta^\pm),
\end{equation}
\tag{А.10}
$$
$$
\begin{equation}
-\biggl(\bar z\,\frac{\partial}{\partial\eta^-}+\eta^+\,\frac{\partial}{\partial z}\biggr) \mathcal A(\overset{_{\mathrm{\;o}}}{p},z,\bar z,\eta^\pm) =\frac{\boldsymbol\rho}{2}\mathcal A(\overset{_{\mathrm{\;o}}}{p},z,\bar z,\eta^\pm),
\end{equation}
\tag{А.11}
$$
где были использованы переменные (А.5). Рассмотрим сначала случай $\eta^+\ne 0$. Умножим (А.10) на $\bar z$, (А.11) – на $z$ и сложим их. В результате получаем уравнение
$$
\begin{equation}
\biggl(\bar z\,\frac{\partial}{\partial\bar z} -z\,\frac{\partial}{\partial z}\biggr) \mathcal A(\overset{_{\mathrm{\;o}}}{p},z,\bar z,\eta^\pm) =\boldsymbol\rho\,\frac{(z+\bar z)}{2\eta^+} \mathcal A(\overset{_{\mathrm{\;o}}}{p},z,\bar z,\eta^\pm),
\end{equation}
\tag{А.12}
$$
решением которого является
$$
\begin{equation}
\mathcal A(\overset{_{\mathrm{\;o}}}{p},\eta,\varphi) =f(\eta^\pm,z\bar z)e^{\boldsymbol\rho(\bar z-z)/2\eta^+},
\end{equation}
\tag{А.13}
$$
где $f(\eta^\pm,z \bar z)$ – произвольная функция от переменных $\eta^+$, $\eta^-$ и $z\bar z$. Отметим, что решение (А.13) легко находится после перехода от $z$, $\bar z$ к переменным $\varrho$, $\gamma^+$ согласно (А.5). Рассмотрим теперь разность уравнения (А.10), умноженного на $\bar z$, и уравнения (А.11), умноженного на $z$. В результате получим уравнение
$$
\begin{equation}
\biggl[2z\bar z\,\frac{\partial}{\partial\eta^-} +\eta^+\biggl(\bar z\,\frac{\partial}{\partial\bar z} +z\,\frac{\partial}{\partial z}\biggr)\biggr] \mathcal A(\overset{_{\mathrm{\;o}}}{p},z,\bar z,\eta^\pm) =\frac{\boldsymbol\rho}{2}(\bar z-z) \mathcal A(\overset{_{\mathrm{\;o}}}{p},z,\bar z,\eta^\pm).
\end{equation}
\tag{А.14}
$$
Подставляя теперь в (А.14) выражение (А.13), находим новое уравнение на функцию $f(\eta^\pm,z\bar z)$:
$$
\begin{equation}
\biggl[2z\bar z\,\frac{\partial}{\partial\eta^-} +\eta^+\biggl(\bar z\,\frac{\partial}{\partial\bar z} +z\,\frac{\partial}{\partial z}\biggr)\biggr]f(\eta^\pm,z\bar z)=0.
\end{equation}
\tag{А.15}
$$
Поскольку мы рассматриваем случай $\eta^+\ne 0$, то решением уравнения (А.15) является произвольная функция11 от двух переменных $(\eta^+\eta^--z\bar z)$ и $\eta^+$. Как результат, в терминах переменных $z$, $\bar z$, $\eta^\pm$ общее решение уравнений (4.11), (4.13), (4.15) имеет следующий вид:
$$
\begin{equation}
\mathcal A(\overset{_{\mathrm{o}}}{p},z,\bar z,\eta^\pm) =f(\eta^+\eta^--z\bar z,\eta^+)e^{\boldsymbol\rho(\bar z-z)/2\eta^+}.
\end{equation}
\tag{А.17}
$$
После учета равенства $\eta^+\eta^--z\bar z=\eta^m\eta_m:=\eta\cdot\eta$ и восстанавления исходных переменных решение (А.17) записывается в форме (4.16). Рассмотрим теперь случай $\eta^+=0$ и найдем решение уравнений (А.10) и (А.11) в этом случае. Условие $\eta^+=0$ можно явно учесть в (А.10) и (А.11), если потребовать, чтобы ядро $\mathcal A$ было пропорционально соответствующей дельта-функции $\delta(\eta^+)$. То есть в этом случае
$$
\begin{equation}
\mathcal A(\overset{_{\mathrm{\;o}}}{p},z,\bar z,\eta^\pm) =\delta(\eta^+)\widetilde{\mathcal A}(\overset{_{\mathrm{\;o}}}{p},z,\bar z,\eta^-),
\end{equation}
\tag{А.18}
$$
а уравнения (А.10) и (А.11) принимают вид
$$
\begin{equation}
z\,\frac{\partial}{\partial\eta^-}\widetilde{\mathcal A} (\overset{_{\mathrm{\;o}}}{p},z,\bar z,\eta^-) =\frac{\boldsymbol\rho}{2}\widetilde{\mathcal A} (\overset{_{\mathrm{\;o}}}{p},z,\bar z,\eta^-),
\end{equation}
\tag{А.19}
$$
$$
\begin{equation}
-\bar z\,\frac{\partial}{\partial\eta^-}\widetilde{\mathcal A} (\overset{_{\mathrm{\;o}}}{p},z,\bar z,\eta^-) =\frac{\boldsymbol\rho}{2}\widetilde{\mathcal A} (\overset{_{\mathrm{\;o}}}{p},z,\bar z,\eta^-).
\end{equation}
\tag{А.20}
$$
Следствием этих уравнений является условие
$$
\begin{equation}
(z+\bar z)\widetilde{\mathcal A}(\overset{_{\mathrm{\;o}}}{p},z,\bar z,\eta^-)=0.
\end{equation}
\tag{А.21}
$$
Таким образом, с учетом (А.18) для ядра $\mathcal A(\overset{_{\mathrm{\;o}}}{p},z,\bar z,\eta^\pm)$ мы имеем выражение
$$
\begin{equation}
\mathcal A(\overset{_{\mathrm{\;o}}}{p},z,\bar z,\eta^\pm) =\delta(\eta^+)\delta(z+\bar z)\,\,\widetilde{\!\!\widetilde{\mathcal A}} (\overset{_{\mathrm{\;o}}}{p},z-\bar z,\eta^-).
\end{equation}
\tag{А.22}
$$
Учитывая это, из (А.19) и (А.20) следует единственное уравнение
$$
\begin{equation}
(z-\bar z)\,\frac{\partial}{\partial\eta^-}\,\,\,\widetilde{\!\!\widetilde{\mathcal A}} (\overset{_{\mathrm{\;o}}}{p},z,\bar z,\eta^\pm) =\boldsymbol\rho\,\,\widetilde{\!\!\widetilde{\mathcal A}} (\overset{_{\mathrm{\;o}}}{p},z,\bar z,\eta^\pm),
\end{equation}
\tag{А.23}
$$
решением которого является обобщенная функция
$$
\begin{equation}
\mathcal A(\overset{_{\mathrm{\;o}}}{p},z,\bar z,\eta^\pm) =\delta(\eta^+)\delta(z+\bar z)e^{\boldsymbol\rho\eta^-/(z-\bar z)}f(z-\bar z),
\end{equation}
\tag{А.24}
$$
где $f(z-\bar z)$ – произвольная функция. После восстановления исходных переменных решение (А.24) записывается, как (4.33).
Приложение Б. Значение оператора Казимира (квадрата вектора Паули–Любанского) на поле $\Psi({p},\eta)$Несингулярный случайНайдем значение квадрата вектора Паули–Любанского (4.27) на лоренц-ковариантном поле $\Psi(p,\eta)$, определенном в (4.26). Генераторы группы Пуанкаре $\widehat P_\mu$, $\widehat M_{\mu\nu}$, действующие в пространстве полей $\Psi(p,\eta)$, имеют вид
$$
\begin{equation}
\widehat P_\mu=p_\mu,\qquad \widehat M_{\mu\nu}=i\biggl(p_\mu\,\frac{\partial}{\partial p^\nu} -p_\nu\,\frac{\partial}{\partial p^\mu} +\eta_\mu\,\frac{\partial}{\partial\eta^\nu} -\eta_\nu\,\frac{\partial}{\partial\eta^\mu}\biggr).
\end{equation}
\tag{Б.1}
$$
Подставляя эти выражения в квадрат $\widehat W_\mu\widehat W^\mu$ вектора Паули–Любанского (4.27), получаем12
$$
\begin{equation}
\widehat W^2=2(p\cdot\eta)\biggl(p\cdot\frac{\partial}{\partial\eta}\biggr) \biggl(\eta\cdot\frac{\partial}{\partial\eta}\biggr) -(p\cdot\eta)^2\biggl(\frac{\partial}{\partial\eta}\biggr)^2 -\eta^2\biggl(p\cdot\frac{\partial}{\partial\eta}\biggr)^2.
\end{equation}
\tag{Б.2}
$$
Для того чтобы вычислить значение $\widehat W^2$ на поле $\Psi(p,\eta)$, определенном в (4.26), достаточно вычислить значение $\widehat W^2$ на ядре $\mathcal A(p,\eta,\varphi)$, выражение которого приведено в (4.22). Для этого представим (4.22) в следующем виде:
$$
\begin{equation}
\mathcal A(p,\varphi,\eta)=e^{i\boldsymbol\mu\mathrm B(p,\eta,\varphi)} f(\eta\cdot\eta,p\cdot\eta),
\end{equation}
\tag{Б.3}
$$
где мы ввели
$$
\begin{equation}
\mathrm B(p,\eta,\varphi)=\frac{\eta\cdot\varepsilon_{(1)}(p,\varphi)}{(\eta\cdot p)}.
\end{equation}
\tag{Б.4}
$$
Можно показать, что функция $\mathrm B(p,\eta,\varphi)$ удовлетворяет равенствам13
$$
\begin{equation}
\biggl(p\cdot\frac{\partial}{\partial\eta}\biggr)\mathrm B =\biggl(\eta\cdot\frac{\partial}{\partial\eta}\biggr)\mathrm B =\biggl(\frac{\partial}{\partial\eta}\cdot\frac{\partial}{\partial\eta}\biggr)\mathrm B=0
\end{equation}
\tag{Б.5}
$$
и соотношению
$$
\begin{equation}
(p\cdot\eta)^2\biggl(\frac{\partial}{\partial\eta}\mathrm B\biggr) \cdot\biggl(\frac{\partial}{\partial\eta}\mathrm B\biggr)=-1.
\end{equation}
\tag{Б.6}
$$
При доказательстве (Б.5) и (Б.6) мы использовали соотношения (4.24) и (4.25). Для упрощения записей в дальнейших вычислениях введем следующие обозначения:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, f_{\{1\}}:=\frac{\partial}{\partial(\eta\cdot\eta)}f(\eta\cdot\eta,p\cdot\eta),\qquad f_{\{2\}}:=\frac{\partial}{\partial(p\cdot\eta)}f(\eta\cdot\eta,p\cdot\eta), \\ f_{\{1,2\}}:=\frac{\partial}{\partial(p\cdot\eta)}\, \frac{\partial}{\partial(\eta\cdot\eta)} f(\eta\cdot\eta,p\cdot\eta)=\frac{\partial}{\partial(\eta\cdot\eta)}\, \frac{\partial}{\partial(p\cdot\eta)} f(\eta\cdot\eta,p\cdot\eta)=:f_{\{2,1\}}, \\ f_{\{1,1\}}:=\frac{\partial}{\partial(\eta\cdot\eta)}\, \frac{\partial}{\partial(\eta\cdot\eta)}f(\eta\cdot\eta,p\cdot\eta). \end{gathered}
\end{equation}
\tag{Б.7}
$$
Подействуем теперь первым слагаемым правой части (Б.2) на правую часть (Б.3). В результате получим
$$
\begin{equation}
2(p\cdot\eta)e^{i\boldsymbol\mu\mathrm B}[4(\eta\cdot\eta)(p\cdot\eta)f_{\{1,1\}} +4(p\cdot\eta)f_{\{1\}}+2(p\cdot\eta)^2f_{\{1,2\}}],
\end{equation}
\tag{Б.8}
$$
где мы воспользовались (Б.5) и обозначениями (Б.7). Далее подействуем вторым слагаемым правой части (Б.2) на правую часть (Б.3). В результате получим
$$
\begin{equation}
-\boldsymbol\mu^2\cdot e^{i\boldsymbol\mu\mathrm B}f(\eta\cdot\eta,p\cdot\eta) -(p\cdot\eta)^2e^{i\boldsymbol\mu\mathrm B} [4(\eta\cdot\eta)f_{\{1,1\}}+4(p\cdot\eta)f_{\{1,2\}}+8f_{\{1\}}],
\end{equation}
\tag{Б.9}
$$
где при выводе снова были использованы тождества (Б.5), (Б.6) и обозначения (Б.7). Подействуем последним слагаемым правой части (Б.2) на правую часть (Б.3). Результат записывается в виде
$$
\begin{equation}
-4\cdot(\eta\cdot\eta)e^{i\boldsymbol\mu\mathrm B}(p\cdot\eta)^2f_{\{1,1\}}.
\end{equation}
\tag{Б.10}
$$
Суммируя теперь (Б.8), (Б.9) и (Б.10), приходим к равенству
$$
\begin{equation}
\widehat W^2\mathcal A(p,\eta,\varphi)=-\boldsymbol\mu^2\mathcal A(p,\eta,\varphi)
\end{equation}
\tag{Б.11}
$$
и, следовательно, имеем
$$
\begin{equation}
\widehat W^2\Psi(p,\eta)=-\boldsymbol\mu^2\Psi(p,\eta).
\end{equation}
\tag{Б.12}
$$
Последнее показывает, что на лоренц-ковариантном поле $\Psi(p,\eta)$ реализовано неприводимое представление группы Пуанкаре бесконечного спина. Cингулярный случайВычислим теперь значение $\widehat W^2$ на поле $\Psi(p,\eta)$, определяемом соотношением (4.41). Для этого достаточно найти, какое значение принимает $\widehat W^2$ на ядре $\mathcal A(p,\eta,\varphi)$, заданное в данном случае выражением (4.37). Первые два слагаемых в соотношении (Б.2) для $\widehat W^2$ обращаются в нуль на ядре $\mathcal A(p,\eta,\varphi)$. Это обусловлено наличием дельта-функций в ядре $\mathcal A(p,\eta,\varphi)$ и свойством дельта-функции $x\delta'(x)=-\delta(x)$. Последнее слагаемое в (Б.2) при действии на $\mathcal A(p,\eta,\varphi)$ дает следующий результат:
$$
\begin{equation}
\mu^2\frac{\eta\cdot\eta}{(\eta\cdot\varepsilon_{(1)}(\varphi))^2} \mathcal A(p,\eta,\varphi).
\end{equation}
\tag{Б.13}
$$
Так как четверка векторов $p^m$, $\varepsilon^m$, $\varepsilon^m_{(1)}(\varphi)$, $\varepsilon^m_{(2)}(\varphi)$ (как и четверка векторов $\overset{_{\mathrm{\;o}}}p^m$, $\overset{_{\mathrm{\;o}}}\varepsilon^m$, $\overset{_{\mathrm{\;o}}}{\varepsilon}^m_{(1)}(\varphi)$, $\overset{_{\mathrm{\;o}}}{\varepsilon}^m_{(2)}(\varphi)$) образует ортонормированный базис в четырехмерном векторном пространстве, справедливо равенство
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \eta\cdot\eta &=2(\eta\cdot p)(\eta\cdot\varepsilon)-(\eta\cdot\varepsilon_{(1)}(\varphi))^2 -(\eta\cdot\varepsilon_{(2)}(\varphi))^2= \notag \\ &=2(\eta\cdot\overset{_{\mathrm{\;o}}}{p})(\eta\cdot\overset{_{\mathrm{\;o}}}{\varepsilon}) -(\eta\cdot\overset{_{\mathrm{\;o}}}{\varepsilon}_{(1)}(\varphi))^2 -(\eta\cdot\overset{_{\mathrm{\;o}}}{\varepsilon}_{(2)}(\varphi))^2. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{Б.14}
$$
Подставляя (Б.14) в (Б.13) и учитывая наличие дельта-функций $\delta(\eta\cdot p)$ и $\delta(\eta\cdot\varepsilon_{(2)}(\varphi))$ в выражении (4.37) для ядра $\mathcal A(p,\eta,\varphi)$, получим
$$
\begin{equation}
\widehat W^2\mathcal A(p,\eta,\varphi)=-\boldsymbol\mu^2\mathcal A(p,\eta,\varphi).
\end{equation}
\tag{Б.15}
$$
Такому же уравнению будет удовлетворять соответствующее релятивистское поле:
$$
\begin{equation}
\widehat W^2\Psi(p,\eta)=-\boldsymbol\mu^2\Psi(p,\eta).
\end{equation}
\tag{Б.16}
$$
Как результат, оно описывает неприводимое представление группы Пуанкаре бесконечного спина. Конфликт интересовАвторы заявляют, что у них нет конфликта интересов.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{BucIsaPod23} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|