| Теоретическая и математическая физика |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 11 научных статьях (всего в 11 статьях) Тепловые свойства двумерного осциллятора Клейна–Гордона в пространстве-времени космической струны А. Бузенада, А. Бумали, Ф. Сердук Laboratoire de Physique Appliquêe et Thêorique, Universitê Larbi-Têbessi, Têbessа, Algeria
Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2023, Volume 216, Issue 1, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0040577923070115 
Реферативные базы данных:
   1. ВведениеДля построения теории, сочетающей квантовую физику и общую теорию относительности, было исследовано несколько квантовых систем в искривленном пространстве-времени. Эти результаты в последнее время вызвали интерес со стороны физики элементарных частиц и стали предметом активных исследований. Среди них можно выделить исследования проблемы рождения частиц в расширяющихся Вселенных, а также Вселенных, связанных с квантовой механикой в различных пространственно-временных фонах [1], [2]. Кроме того, несколько лет назад в контексте физике элементарных частиц внимание привлекло воздействие гравитационного поля на квантовые системы [3]–[18]. Наилучший способ понять этот эффект состоит в решении релятивистских волновых уравнений для этих частиц в присутствии гравитационных полей. Такие решения могут служить чрезвычайно полезным инструментом при анализе рассматриваемых моделей. Топологические дефекты образовались при фазовом переходе вакуума в ранней Вселенной. В гравитации они проявляются в виде монополей, струн и стенок. Космическая струна является одним из таких топологических дефектов, имеющим наилучшие шансы быть обнаруженным при наблюдениях. Пространство-время вокруг космической струны локально, но в общем случае не плоское. Струны не вызывают локального гравитационного взаимодействия, но изменяют геометрию пространства-времени, создавая дефицит телесного угла [19]–[23]. Топологические дефекты могут возникать во многих физических системах, например в жидких кристаллах, в графене, их рассматривают в магнетизме и космологии (см. работу [24] и ссылки в ней). Эксперимент с однослойным графеном позволил лабораторно наблюдать влияние топологических дефектов. Энергетическое возбуждение в системе графена подчиняется безмассовому двумерному уравнению Дирака [25]. В работе [26] Чакработи с соавторами исследовал возможность анализа квантовой динамики фермионов Дирака в присутствии космической струны путем введения конического топологического дефекта в графен при наличии кулоновского заряда. Авторы этой работы предложили модулировать космическую струну с помощью введения подходящей трубки магнитого потока, аналогичной космической струне, проходящей через начало координат, и использовать эту трубку для моделирования конического топологического дефекта на двумерном графеновом листе. В их исследовании экспериментально наблюдались неэквивалентные квантования фермионов Дирака в присутствии дефекта космической струны и множество других интересных сверхкритических явлений. Также можно рассмотреть ситуацию, когда не только имеется трубка магнитных силовых линий, но и присутствует цилиндрически-симметричное внешнее статическое гравитационное поле, ось симметрии которого совпадает с осью магнитной трубки. Во всех этих исследованиях низкоразмерных квантовых систем топологические дефекты проявляют замечательные свойства в различных физических моделях, особенно таких, в которых присутствует космическая струна. Ее присутствие приводит к новым непертурбативным квантовым свойствам частицы, таким как неэквивалентные квантования [27]–[29]. Заметим, однако, что, хотя эти характеристики интересны с теоретической точкой зрения, трудно представить себе эксперимент с космической струной, который продемонстрировал бы такой квантовый эффект. Одной из наиболее важных квантовых систем является релятивистский гармонический осциллятор, поскольку это одна из немногих точно решаемых моделей. Широкие возможности для исследования как с теоретической, так и с прикладной точки зрения предоставляет релятивистский осциллятор Дирака (ОД). Впервые он изучался в работе [30]. Интерес к этой системе возродили работы [31], [32], авторы которых и назвали такую модель ОД, потому что в нерелятивистском пределе она переходит в гармонический осциллятор с очень сильной спин-орбитальной связью. В последнее время этот осциллятор вызывает большой интерес и вследствие того, что он дает один из примеров точного решения уравнения Дирака, и из-за своих многочисленных физических приложений [3], [5], [7], [33]–[46]. Кроме того, в работе [47] была впервые предложена экспериментальная микроволновая реализация одномерного ОД, которая раскрывает физический смысл ОД. Основной целью настоящей работы является изучение влияния геометрических параметров пространства-времени на низкоразмерные квантово-механические системы, точнее, на тепловые и магнитные свойства этих систем. В этом контексте мы концентрируем свое внимание на расчете термодинамики осциллятора Клейна–Гордона (ОКГ) в случае фона, порожденного топологическими дефектами, в присутствии приложенного магнитного поля. Для вычислений мы используем приближение Пуассона [48]. Информация о свойствах релятивистских уравнений играет важную роль для всестороннего понимания физической природы различных гравитационных полей в релятивистских и нерелятивистских режимах [33]–[36], [41]–[43]. С этой точки зрения нас интересует физическая система, в динамику которой также вносят вклад термодинамика и общая теория относительности. В частности, мы изучаем, как изменяются статистические свойства, когда на частицы действует искривление пространства-времени, вытекающее из принципов общей теории относительности. Заметим, что подобные проблемы обычно возникают вблизи черной дыры или звезд в гравитационном поле галактики [49]. Структура настоящей статьи такова. Раздел 2 представляет собой обзор решений ОКГ в пространстве-времени космической магнитной струны [37]. Раздел 3 посвящен изучению тепловых и магнитных свойств в космическом пространстве с магнитным полем; для расчета статистической суммы используется приближение Пуассона. Раздел 4 содержит заключительные замечания. 2. Двумерный ОКГ в пространстве-времени космической струны: обзорОКГ в плоском пространстве записывается как [35], [50]
$$
\begin{equation}
\{(\boldsymbol p+im\omega\boldsymbol r)(\boldsymbol p-im\omega\boldsymbol r)+E^2-m^2\}\psi=0,
\end{equation}
\tag{1}
$$
где произведена замена импульса $\boldsymbol p$ на $\boldsymbol p-im\omega\gamma^0\boldsymbol r$, вектор $\boldsymbol r$ задает положение частицы, $m$ – масса частицы и $\omega$ – частота осциллятора. В гравитационном поле уравнение для массивного скаляра выглядит следующим образом [51]–[53]:
$$
\begin{equation}
\biggl\{\frac{1}{\sqrt{-g}}\frac{\partial}{\partial x^\mu}\sqrt{-g}g^{\mu\nu}\frac{\partial}{\partial x^\nu}-m^2+\zeta R\biggr\}\psi=0,
\end{equation}
\tag{2}
$$
где $\zeta$ – вещественная безразмерная константа связи, $R$ – скаляр Риччи, задающийся формулой $R=g^{\mu\nu}R_{\mu\nu}$, в которой $R_{\mu\nu}$ – тензор Риччи [54]–[56], $g^{\mu\nu}$ – обратный метрический тензор и $g=\det(g^{\mu\nu})$. В цилиндрических координатах $(t,\rho,\varphi,z)$ метрика пространства-времени космической струны задается как [3]–[5], [37], [57], [58] где $-\infty<(t,z)<+\infty$, $0<\rho<+\infty$, $0\leqslant\phi\leqslant2\pi$. Параметр $\alpha=1-4\mu$ задает дефицит угла, связанный с конической геометрией; здесь $\mu$ – линейная плотность массы струны в естественных единицах ($\hbar=c=1$).Для этого типа пространства при наличии приложенного однородного магнитного поля $\boldsymbol B=B\boldsymbol e_z$ решение задачи на собственные функции задается следующими формулами [37]. • Волновая функция имеет вид
$$
\begin{equation}
\psi(\rho)=e^{-iEt}e^{ij\phi}(m\Omega\rho^2)^{|j/\alpha|} \exp\biggl({-}\,\frac{m\Omega\rho^2}{2}\biggr)\,{}_{1\kern-1pt}F_1\biggl(-n,\frac{|j|}{\alpha},m\Omega\rho^2\biggr),
\end{equation}
\tag{4}
$$
где $j=0,\pm 1,\pm 2,\ldots{}$, а ${}_{1\kern-1pt}F_1$ – конфлюентная гипергеометрическая функция [48]. • Собственные энергии равны
$$
\begin{equation}
E_{n,j,\alpha}=\pm m\sqrt{2m\Omega\biggl(2n+\frac{|j|}{\alpha}+1\biggr)-2m\biggl(\omega+\omega_0\frac{|j|}{\alpha}\biggr)+m^2},
\end{equation}
\tag{5}
$$
где $\alpha$ – дефицит угла, $\omega_0=eB/2m$ – циклотронная частота, $\Omega^2=\omega^2+\omega_0^2$ и $n=0,1,2,\ldots{}$ – главное квантовое число системы [37]. Наличие в энергетическом спектре параметра $\alpha$ снимает вырождение энергетических уровней. Зная энергетический спектр, мы можем проанализировать тепловые и магнитные свойства рассматриваемого генератора. Для этого мы используем статистическую сумму, которую вычисляем с помощью приближения Пуассона. 3. Тепловые и магнитные свойства двумерного ОКГ в пространстве-времени космической струны3.1. Описание методаОтправной точкой для получения тепловых свойств рассматриваемой системы является статистическая сумма. Она может быть рассчитана путем прямого суммирования по всем энергетическим уровням системы:
$$
\begin{equation}
Z=\sum_{n=0}^{\infty}e^{-\beta E_{n}},\qquad \beta=\frac{1}{k_{\scriptscriptstyle\mathrm B}T},
\end{equation}
\tag{6}
$$
где $k_{\scriptscriptstyle\mathrm B}$ – постоянная Больцмана. Термодинамические величины, такие как свободная энергия, полная энергия, энтропия и удельная теплоемкость, задаются следующими выражениями:
$$
\begin{equation}
F =-\frac{1}{\beta}\ln Z, \quad U =-\frac{d\ln Z}{d\beta},
\end{equation}
\tag{7}
$$
$$
\begin{equation}
S =\ln Z-\beta\frac{d\ln Z}{d\beta}, \qquad C =\beta^2\frac{d^2\ln Z}{d\beta^2}.
\end{equation}
\tag{8}
$$
Чтобы найти статистическую сумму, мы применяем правило суммирования Пуассона [48]:
$$
\begin{equation}
\sum_{n=-\infty}^{+\infty}f(n)=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}\hat f(k),
\end{equation}
\tag{9}
$$
где $\hat f$ – преобразование Фурье функции $f$. При этом
$$
\begin{equation}
\sum_{n=0}^{n_{\max}}f(n)=\frac{1}{2}\bigl(f(0)-f(n_{\max}+1)\bigr)+\sum_{\nu=0}^{\infty}\int_0^{n_{\max}+1}f(y)e^{-i2\pi\nu y}\,dy.
\end{equation}
\tag{10}
$$
В работах [59], [60] Стрекалов предложил простое аналитическое выражение для статистической суммы осциллятора Морса, основанное на формуле суммирования Пуассона, и применил этот поход для расчета тепловых свойств некоторых двухатомных молекул при различных типах потенциалов. В этих исследованиях использовалось классическое приближение с $\nu=0$. В этом случае (10) превращается в
$$
\begin{equation}
\sum_{n=0}^{n_{\max}}f(n)=\frac{1}{2}(f(0)-f(n_{\max}+1))+\int_0^{n_{\max}+1}f(y)\,dy.
\end{equation}
\tag{11}
$$
Подставим энергии (4) в (6), тогда статистическая сумма принимает вид
$$
\begin{equation}
Z=\sum_{n}e^{-\beta m\sqrt{2m\Omega\bigl(2n+\frac{|j|}{\alpha}+1\bigr)-2m\bigl(\omega+\omega_0\frac{|j|}{\alpha}\bigr)+m^2}}= \sum_{n}e^{-\beta m\sqrt{an+b}}\equiv f(n).
\end{equation}
\tag{12}
$$
Здесь
$$
\begin{equation}
a=4m\Omega,\quad b=2m\Omega\biggl(\frac{|j|}{\alpha}+1\biggr)-2m\biggl(\omega+\omega_0\frac{|j|}{\alpha}\biggr)+m^2,\qquad f(n)=e^{-\beta m\sqrt{an+b}}.
\end{equation}
\tag{13}
$$
Поскольку функция $f(n)$ удовлетворяет следующему условию статистическая сумма $Z$ преобразуется в (детали см. в приложении)
$$
\begin{equation}
Z=\frac{f(0)}{2}+\frac{2}{a\beta^2}(\beta\sqrt{b}+1)+ \sum_{\nu=1}^{\infty}\biggl({-}\,\frac{f^{(1)}(0)}{(2\nu\pi)^2}+\frac{f^{(3)}(0)}{(2\nu\pi)^4}\biggr),
\end{equation}
\tag{15}
$$
где
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \int_0^{+\infty}f(n)\,dn=\frac{2}{a\beta^2}(\beta\sqrt{b}+1), \\ f^{(1)}(0)=-\frac{a\beta}{2\sqrt{b}}e^{-\beta\sqrt{b}},\qquad f^{(3)}(0)=-\biggl(\frac{3a^3\beta}{8b^{5/2}}+\frac{3a^3\beta^2}{8b^2}+\frac{a^3\beta^3}{8b^{3/2}}\biggr)e^{-\beta\sqrt{b}}. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{16}
$$
Заметим, что наш метод можно рассматривать как обобщение метода Стрекалова. В отличие от случая $\nu=0$, рассмотренного в [60], мы взяли сумму по всем значениям параметра $\nu$. Далее для простоты положим $m=1$. После введения новой переменной $\tau=1/\beta$ формула (15) принимает вид
$$
\begin{equation}
Z=\frac{f(0)}{2}+\frac{2\tau^2}{a}\biggl(\frac{\sqrt{b}}{\tau}+1\biggr)+ \sum_{\nu=1}^{\infty}\biggl({-}\,\frac{f^{(1)}(0)}{(\nu\pi)^2}+\frac{f^{(3)}(0)}{(2\nu\pi)^4}\biggr).
\end{equation}
\tag{17}
$$
Тепловые величины (7) и (8) преобразуются в
$$
\begin{equation}
\begin{alignedat}{3} F&=-\tau\ln Z,&\qquad U&=\tau^2\frac{d\ln Z}{d\tau}, \\ S&=\ln Z+\tau^2\frac{d\ln Z}{d\tau},&\qquad C&=2\tau\frac{d\ln Z}{d\tau}+\tau^2\frac{d^2\ln Z}{d\tau^2}. \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{18}
$$
Далее мы представим результаты численных расчетов тепловых и магнитных свойств рассматриваемой модели. Мы сосредоточимся только на оценке влияния параметров, связанных с геометрией пространства-времени, на энтропию, теплоемкость и намагниченность. 3.2. Тепловые свойстваИспользуя статистическую сумму $Z$, легко исследовать тепловые свойства нашей системы. Мы рассчитали энтропию и удельную теплоемкость в зависимости от приведенной температуры $\tau$ для различных значений параметров $\alpha$, $j$ и $B$. Полученные результаты показаны на рис. 1, 2 и 3 соответственно. По этим рисункам мы можем сделать следующие выводы. • Рис. 1 показывает изменение энтропии и теплоемкости в зависимости от температуры $\tau$ при различных значениях $\alpha$. Напомним, что этот параметр задает дефицит угла, связанный с конической геометрией, и подчиняется равенству $\alpha=1-4\mu$. Видно, что, даже если можно заметить зависимость от $\alpha$, магнитное поле не влияет на функции $S$ и $C$. Случай $j=0$ мы не рассматриваем, так как в этом случае спектр не зависит от $\alpha$ (см. формулу (5)). • Рис. 2 показывает влияние параметра $j$. Мы сравниваем зависимости энтропии и теплоемкости от температуры $\tau$ при различных значениях $j$, за исключением $j=0$. Видно, что зависимость от параметра $j$ при $B=1$ и $B=10$ в обеих тепловых функциях незначительная. • Рис. 3 показывает, как влияет магнитное поле на функции $S$ и $C$ при $\alpha=0.5$ и двух значениях $j=0$, $j=2$. При $j=0$ результат зависит от магнитного поля, но не зависит от параметра $\alpha$ (см. описание рис. 1). При $j=2$ зависимость от топологического дефекта $\alpha$ проявляется в том, что кривые для каждого из параметров (энтропии и теплоемкости) расположены теснее друг к другу по сравнению со случаем $j=0$, в котором кривые разнесены. Однако зависимость функций $S$ и $C$ от магнитного поля по-прежнему сохраняется. Сделаем два замечания относительно кривых удельной теплоемкости. • Все кривые стремятся к значению 2 с ростом приведенной температуры. • Начальный рост теплоемкости обусловлен сложением всех возможных квантовых состояний. Причину этого можно объяснить следующим образом: квантовая система поглощает тепло из окружающей среды, прилегающей к топологическому дефекту, и одновременно отдает ему часть накопленного тепла. Теперь рассмотрим влияние параметров, связанных с геометрией пространства-времени, на магнитные свойства нашей системы. 3.3. Магнитные свойстваНамагниченность получается из статистической суммы следующим образом:
$$
\begin{equation}
M=\frac{1}{\beta}\frac{\partial\ln Z}{\partial B}=\tau\frac{\partial\ln Z}{\partial B}.
\end{equation}
\tag{19}
$$
Когда температура равна абсолютному нулю, $T=0$, намагниченность принимает вид где $E_{n,\alpha}$ задана в (5). Намагниченность служит для изучения возможности фазовых переходов внутри системы. Помимо намагниченности можно ввести другую интересную величину, называющуюся магнитной восприимчивостью. Это количественная мера того, какое количество материи будет намагничено в приложенном магнитном поле. Мы используем эту величину для выяснения природы фазового перехода, если он существует. Магнитная восприимчивость определяется как Это выражение показывает, что функция $\chi$ есть отношение намагниченности $M$ к напряженности приложенного магнитного поля $B$.Сначала мы исследовали поведение функций намагниченности и магнитной восприимчивости в зависимости от приложенного магнитного поля при $\tau=0$. Результаты представлены на рис. 4. Для основного уровня $n=0$ зависимость от дефицита угла $\alpha$ в этих величинах очень заметна. Намагниченность как функция магнитного поля монотонно и быстро падает примерно до $B=5$, а затем растет. Это поведение не меняется с увеличением $\alpha$. Кроме того, если проследить поведение величины $\chi$, функция $M$ может стремиться к нулю, но в очень сильном магнитном поле. На рис. 5 показаны кривые зависимости намагниченности и магнитной восприимчивости от магнитного поля при пяти значениях температуры. Обе функции ведут себя так же, как и при $\tau=0$, но намагниченность $M$ медленно стремится к нулю при увеличении $\tau$. Это можно объяснить следующим образом: при нулевой температуре (при отсутствии теплового возбуждения) на наш осциллятор действует сила, вызванная магнитным полем. Это поле не компенсирует намагниченность. Повышая температуру и рассматривая все возбужденные уровни, мы получаем две конкурирующие силы: одну от магнитного поля и другую от теплового возбуждения. При $\tau\leqslant 10$ тепловое возбуждение больше, чем сила, обусловленная магнитным полем, и поэтому намагниченность $M$ стремится к нулю. Однако при других температурах ситуация обратная. При очень высоких значениях поля намагниченность не может обращаться в нуль. На рис. 6 показаны графики намагниченности как функции от температуры для различных значений $\alpha$ и $B$. На левом рисунке $B=5$. Влияние параметра $\alpha$ незаметно. Правый рисунок отвечает $\alpha=0.5$, и мы наблюдаем заметную зависимость от приложенного магнитного поля. Теперь мы готовы объяснить причину отрицательной намагниченности. Отрицательной намагниченностью называется переход намагниченности от положительного значения к отрицательному (при охлаждении материала под действием приложенного положительного магнитного поля). Состояние отрицательной намагниченности (с положительной магнитной восприимчивостью) отличается от диамагнитного состояния (с отрицательной магнитной восприимчивостью). Температура, при которой намагниченность становится равной нулю и меняет знак, называется температурой компенсации. Наши результаты показывают, что этой температуры нет и функция $M$ всюду отрицательна (см. рис. 7). Существование отрицательной намагниченности можно объяснить присутствием космической струны с параметром $\alpha$, который, как представляется, играет важную роль, поскольку характеризует топологический дефект. В частности, мы имеем взаимодействие между осциллятором и гравитационным полем космической струны вблизи определенной точки пространства-времени. То же самое наблюдалось и в случае отрицательной теплоемкости (см. работы [61]–[66]); это явление объяснялось существованием гравитационного поля пространства-времени. 4. ЗаключениеПредставленная работа посвящена теоретическому изучению термодинамических свойств двумерного ОКГ в присутствии космической струны, находящейся в приложенном магнитном поле. В качестве результатов мы получили зависимости от температуры и приложенного магнитного поля для различных параметров рассматриваемой задачи. Мы обнаружили, что энтропия и теплоемкость как функции от температуры $\tau$ при различных значениях параметра $\alpha$ слабо зависят от магнитного поля. Кроме того, анализируя кривые удельной теплоемкости, мы получили, что, во-первых, эти кривые стремятся к уровню 2, и, во-вторых, начальный рост теплоемкости связан с добавлением всех возможных квантовых состояний. Причина этого в том, что квантовая система поглощает тепло из среды, прилегающей к топологическому дефекту, и одновременно отдает ему часть запасенного тепла. Таким образом, на данном этапе мы можем заключить, что влияние геометрических параметров пространства-времени космической струны вполне очевидно. Наши расчеты также показывают, что намагниченность всюду отрицательна. Происхождение отрицательной намагниченности можно аргументировать существованием гравитационного поля пространства-времени так же, как в случае отрицательной теплоемкости. Кривые намагниченности имеют минимум при определенном значении магнитного поля, который увеличивается с увеличением $\alpha$. При температуре $\tau=0$ все кривые не пересекают нулевой уровень. Однако, когда мы увеличиваем температуру, кривые быстро стремятся к нулю – до тех пор, пока мы не достигнем значений температуры, при которых эти кривые опять же не достигают нуля. Это явление можно объяснить наличием взаимной конкуренции между тепловым возбуждением и приложенным магнитным полем. Кривые магнитной восприимчивости имеют пик при некотором значении магнитного поля, зависящем от температуры. Мы заключаем, что в области низких температур магнитная восприимчивость увеличивается с увеличением внешнего магнитного поля при различных значениях параметров. При высокой температуре магнитная восприимчивость падает в результате повышения уровней заполнения. Эти кривые не показывают каких-либо признаков фазового перехода. В качестве развития наших исследований мы намерены изучить случай вращающейся космической струны. Вращающиеся космические струны представляют собой одномерные стабильные топологические дефекты, вероятно, образовавшиеся на начальных стадиях развития Вселенной, как и их статические аналоги. Они характеризуются параметром $\alpha$, который зависит от линейной плотности энергии $\mu$ и углового момента $J$ [67]. Приложение. Вывод формулы (17)Чтобы вычислить сумму по формуле приближения Пуассона
$$
\begin{equation}
\sum_{n=0}^{\infty}f(x)=\frac{f(0)}{2}+ \sum_{m=-\infty}^{+\infty}\biggl(\,\int_0^{\infty}e^{-\beta\sqrt{ax+b}}e^{-2im\pi x}\,dx\biggr)
\end{equation}
\tag{П.1}
$$
для $f(x)=e^{-\beta\sqrt{ax+b}}$, сначала разложим интеграл. Имеем
$$
\begin{equation}
\int_0^{\infty}f(x)e^{-2im\pi x}\,dx=\int_0^{\infty}f(x)\bigl(\cos(2m\pi x)-i\sin(2m\pi x)\bigr)\,dx.
\end{equation}
\tag{П.2}
$$
Рассмотрим вещественную часть. Интегрируя по частям, получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \int_0^{\infty}\cos(2m\pi x)f(x)\,dx&=\underbrace{\frac{1}{2m\pi}f(x)\sin(2m\pi x)\bigg|_0^\infty}_{{}=0}- \frac{1}{2m\pi}\int_0^{\infty}\sin(2m\pi x)f^{(1)}(x)\,dx= \notag \\ &=-\frac{1}{2m\pi}\int_0^{\infty}\sin(2m\pi x)f^{(1)}(x)\,dx. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{П.3}
$$
Аналогично
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \int_0^{\infty}\sin(2m\pi x)f^{(1)}(x)\,dx&=-\frac{f^{(1)}(x)}{2m\pi}\cos(2m\pi x)\bigg|_0^\infty+ \frac{1}{2m\pi}\int_0^{\infty}\cos(2m\pi x)f^{(2)}(x)\,dx= \notag \\ &=\frac{f^{(1)}(0)}{2m\pi}+\frac{1}{2m\pi}\int_0^{\infty}\cos(2m\pi x)f^{(2)}(x)\,dx. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{П.4}
$$
Следовательно,
$$
\begin{equation}
\int_0^{\infty}\cos(2m\pi x)f(x)\,dx= -\frac{1}{2m\pi}\biggl\{\frac{f^{(1)}(0)}{2m\pi}+\frac{1}{2m\pi}\int_0^{\infty}\cos(2m\pi x)f^{(2)}(x)\,dx\biggr\}.
\end{equation}
\tag{П.5}
$$
Еще раз беря интеграл по частям, имеем
$$
\begin{equation}
\int_0^{\infty}\cos(2m\pi x)f(x)\,dx= -\frac{f^{(1)}(0)}{(2m\pi)^2}+\frac{f^{(3)}(0)}{(2m\pi)^4}+\frac{1}{(2m\pi)^4}\int_0^{\infty}\cos(2m\pi x)f^{(4)}(x)\,dx.
\end{equation}
\tag{П.6}
$$
После многократного интегрирования по частям получаем
$$
\begin{equation}
\int_0^{\infty}\cos(2m\pi x)f(x)\,dx=\sum_{r=1}^{2k-1}\biggl((-1)^r\frac{f^{(2r-1)}(0)}{(2\pi m)^{2r}}\biggr)+R_k,
\end{equation}
\tag{П.7}
$$
где $R_k$ – остаточный член в форме Эйлера–Маклорена [48],
$$
\begin{equation}
R_k=\sum_{r=1}^{2k-1}\frac{1}{(2\pi m)^{2k}}\int_0^{\infty}\cos(2m\pi x)f^{(2k)}(x)\,dx.
\end{equation}
\tag{П.8}
$$
Учитывая ограниченность косинуса, можно оценить остаточный член как
$$
\begin{equation}
R_k\leqslant\sum_{r=2k}^{\infty}\frac{1}{(2\pi m)^{2k}}\int_0^{\infty}f^{(2k)}(x)\,dx.
\end{equation}
\tag{П.9}
$$
Статистическая сумма задается формулой
$$
\begin{equation}
Z=\frac{f(0)}{2}+\int_0^{\infty}f(x)\,dx+\sum_{m=1}^{\infty}\sum_{r=1}^{2k-1}\biggl((-1)^r\frac{f^{(2r-1)}(0)}{(2\pi m)^{2r}}\biggr)+R_k
\end{equation}
\tag{П.10}
$$
или, в явном виде,
$$
\begin{equation*}
Z=\frac{1}{2}+\frac{2}{a\beta^2}(\beta\sqrt{b}+1)+\sum_{m=1}^{\infty} \biggl[\biggl(\frac{a\beta}{2\sqrt{b}}\biggr)\frac{1}{(2m\pi)^2}- \biggl(\frac{3a^3\beta}{8b^{5/2}}+\frac{3a^3\beta^2}{8b^2}+\frac{a^3\beta^3}{8b^{3/2}}\biggr)\frac{1}{(2m\pi)^4}\biggr].
\end{equation*}
\notag
$$
Конфликт интересовАвторы заявляют, что у них нет конфликта интересов.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{BouBouSer23} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|