| Теоретическая и математическая физика |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) Построение единым методом решений уравнений типа Цицейки в виде бегущей волны Т. Айдемир The Faculty of Economics and Administrative Sciences, Yalova University, Yalova, Turkey
Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2023, Volume 216, Issue 1, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0040577923070048 
Реферативные базы данных:
   1. ВведениеНелинейные уравнения в частных производных играют важную роль во многих областях науки, таких как физика, математика и инженерия [1]–[5], потому что они моделируют многие физические явления. Поэтому в математических исследованиях используются разнообразные методы решения уравнений в частных производных. Среди них обратное преобразование рассеяния [6], преобразование Беклунда [7], преобразование Дарбу [8], билинейный метод Хироты [9], метод tanh-функции [10], sine-cosine метод [11], метод экспоненциальной функции [12], обобщенное уравнение Риккати [13], метод однородного баланса [14], метод первых интегралов [15], модифицированный метод экспоненциальной функции [16], [17], метод $({G'}/{G})$-разложения [18]–[21] и многие другие. Все эти методы успешно применяются, однако единый метод, впервые предложенный Айдемиром в Ph.D. тезисах [22], [23], в простом виде предъявляет точные решения более общего вида со свободными параметрами $A$ и $B$ [24]–[32]. Кроме того, единый метод был применен как к нелинейным уравнениям в частных производных, так и к нелинейным уравнениям в частных производных дробного порядка [24], [25], [32], причем единый метод является простым, мощным, эффективным и надежным методом получения большого разнообразия точных решений для нелинейных уравнений в частных производных. Уравнения типа Цицейки используются для решения многих задач физики твердого тела, нелинейной оптики и квантовой теории поля. Цицейка [33], [34] первым предложил важное в нелинейной динамике уравнение для описания особых поверхностей в дифференциальной геометрии. Додд, Буллоу и Михайлов [35] получили уравнения Додда–Буллоу–Михайлова (ДБМ) и Цицейки–Додда–Буллоу (ЦДБ). Наиболее известными уравнениями этого типа являются уравнение Цицейки а также уравнение ДБМ и уравнение ЦДБДо сих пор всего несколько методов было применено к уравнениям типа Цицейки [36]–[39]. Поиск научных публикаций в доступной литературе показал, что единый метод, дающий более общие решения уравнений, к уравнению типа Цицейки еще не применялся. По сравнению с другими исследованиями, основной целью нашей работы является изучение уравнений типа Цицейки и построение не только общих, но и многих частных решений с помощью единого метода. Статья имеет следующую структуру. В разделе 2 дан обзор единого метода. В разделе 3 развивается применение этого метода к уравнениям. Физические структуры и графические иллюстрации решений приведены в разделе 4. В разделе 5 представлены выводы. 2. Описание единого методаВ данном разделе дано подробное описание единого метода в следующей последовательности [23]. Предположим, что нелинейное уравнение в частных производных с двумя независимыми переменными $x$ и $t$ задано равенством где $v(x,t)$ – неизвестная функция, а $P$ – выражение от функции $v=v(x,t)$ и различных ее частных производных, в которое входят производная высшего порядка и нелинейные члены.Шаг 1. Волновая переменная $\eta$ используется для нахождения решения уравнения (2.1) в виде бегущей волны где параметр $c$ обычно означает волновую скорость. Подставляя решение (2.2) в уравнение (2.1), получим следующее обыкновенное дифференциальное уравнение по переменной $\eta$: Уравнение (2.3) следует проинтегрировать для упрощения. Шаг 2. Предположим, что решение нелинейного уравнения в частных производных можно представить в виде следующего анзаца: Семейство 1. При $\mu<0$ решения уравнения (2.5) имеют вид Семейство 2. При $\mu>0$ решения уравнения (2.5) имеют вид Семейство 3. При $\mu=0$ решение уравнения (2.5) имеет вид где $\eta _{0}$ – произвольный параметр. Оказалось, что с помощью соотношений $ \operatorname{sh} (ix)=i\sin(x)$ и $ \operatorname{ch} (ix) =\cos (x)$ семейство 2 можно получить из семейства 1. Другими словами, гиперболические решения (2.6) легко преобразуются в тригонометрические решения (2.7) с учетом указанных тригонометрически-гиперболических соотношений и изменения знака $\mu$. Шаг 3. Балансирующий член $M$ можно определить с помощью однородного баланса между линейным членом высшего порядка и нелинейным членом высшей степени, которые появляются в уравнении (2.3), следующим образом. Если ввести степень $V(\eta ) $ по формуле $D[V(\eta)]=M,$ то степень остальных выражений определится следующим образом: Шаг 4. Подставим решение (2.4), (2.5) в уравнение (2.3) и соберем все члены с одинаковыми степенями функции $\phi$ в итоговом уравнении. Приравняв к нулю коэффициенты при каждой степени функции $\phi$, получим ряд алгебраических уравнений на $a_{m},b_{m},c$ и $\mu$. Шаг 5. Подставив $a_{m},b_{m},c$ и $\mu$, полученные на шаге 4, в (2.4) и используя общие решения уравнения (2.5) вида (2.6), (2.7) и (2.8), получим точные решения уравнения (2.1) в замкнутой форме. 3. Применение единого метода3.1. Уравнение ЦицейкиУравнение Цицейки имеет вид Оно имеет много приложений в квантовой теории поля, нелинейной оптике и физике твердого тела. Единый метод не может быть применен непосредственно к уравнению Цицейки из-за экспоненциальных членов. Поэтому сначала преобразуем это уравнение к виду используя подстановку $u=\ln v$, чтобы можно было напрямую применить единый метод. Используя волновую переменную $\eta = x-ct $ в уравнении (3.2), перепишем его в виде где $v(x,t)=V(\eta)$ и $\eta = x-ct $. Баланс между линейным членом высшего порядка $V'^2$ и нелинейным членом высшей степени $V^3$ приводит к простому уравнению $2M+ 2=3M$. Отсюда получаем, что $M=2$. Поэтому решение уравнения (3.2) можно представить в виде
$$
\begin{equation}
V(\eta) =a_{0}+a_{1}\phi+a_{2}\phi^2+\frac{b_{1}}{\phi}+\frac{b_{2}}{\phi^2},
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
где $a_0,a_1,a_2,b_1$ и $b_2$ – коэффициенты перед степенями $\phi$, которые определим позднее. Подставив уравнение (3.4) и его производные в уравнение (3.3) и приравняв все коэффициенты перед $\phi$ к нулю, получим ряд нелинейных алгебраических уравнений на коэффициенты $a_0,a_1,a_2,b_1, b_2$ и $c$. Решая эту систему алгебраических уравнений с помощью пакета Maple, получим следующие наборы коэффициентов: 1) $a_{1}=a_{2}=b_{1}=0$, $a_{0}=-\dfrac{1}{2}$, $b_{2}=-\dfrac{3\mu}{2}$, $c=\sqrt{1-\dfrac{3}{4\mu}}$ ; 2) $b_{1}=b_{2}=a_{1}=0$, $a_{0}=-\dfrac{1}{2}$, $a_{2}=-\dfrac{3}{2\mu}$, $c=\sqrt{1-\dfrac{3}{4\mu}}$ ; 3) $b_{1}=a_{1}=0$, $a_{0}=\dfrac{1}{4}$, $a_{2}=-\dfrac{3}{8\mu}$, $b_{2}=-\dfrac{3\mu}{8}$, $c=\sqrt{1-\dfrac{3}{16\mu}}$ ; 4) $a_{1}=a_{2}=b_{1}=0$, $a_{0}=\dfrac{b_2}{3\mu}$, $b_{2}=\dfrac{3\mu}{2}\biggl(\dfrac{1-i\,\sqrt{3}}{2}\biggr)$, $c=\sqrt{1+\dfrac{b_2}{2\mu^2}}$ ; 5) $b_{1}=b_{2}=a_{1}=0$, $a_{0}=\dfrac{a_2\mu}{3}$, $a_{2}=\dfrac{3}{4\mu}(1-i\,\sqrt{3}\,)$, $c=\sqrt{1+\dfrac{a_2}{2}}$ ; 6) $a_{1}=a_{2}=b_{1}=0$, $a_{0}=\dfrac{b_2}{3\mu}$, $b_{2}=\dfrac{3\mu}{2}\biggl(\dfrac{1+i\,\sqrt{3}}{2}\biggr)$, $c=\sqrt{1+\dfrac{b_2}{2\mu^2}}$ ; 7) $b_{1}=b_{2}=a_{1}=0$, $a_{0}=\dfrac{a_2\mu}{3}$, $a_{2}=\dfrac{3}{4\mu}(1+i\,\sqrt{3}\,)$, $c=\sqrt{1+\dfrac{a_2}{2}}$ ; 8) $b_{1}=a_{1}=0$, $a_{0}=-\dfrac{2b_2}{3\mu}$, $a_{2}=\dfrac{b_2}{\mu^2}$, $b_{2}=\dfrac{3\mu}{16}(1+i\,\sqrt{3}\,)$, $c=\sqrt{1+\dfrac{b_2}{2\mu^2}}$ ; 9) $b_{1}=a_{1}=0$, $a_{0}=-\dfrac{2b_2}{3\mu}$, $a_{2}=\dfrac{b_2}{\mu^2}$, $b_{2}=\dfrac{3\mu}{16}(1-i\,\sqrt{3}\,)$, $c=\sqrt{1+\dfrac{b_2}{2\mu^2}}$ . Ниже мы строим решения по одной и той же схеме. В обозначении $u_{n,m}$ первый индекс $n$ означает один из указанных выше наборов коэффициентов, а второй – какая из функций $\phi$ используется в описываемом решении. Например, решение $u_{1,3}$ получено из набора 1 с использованием функции $\phi_3$. Подставляя значения коэффициентов и функции $\phi$ в уравнение (3.4), получим следующие точные решения уравнения Цицейки:
$$
\begin{equation}
u_{1,1}(x,t) =\ln\biggl[ -\frac{1}{2}-\frac{3\mu}{2}\biggl(\frac{A \operatorname{sh} (2\,\sqrt{-\mu}( \eta +\eta _{0}) ) +B}{\sqrt{-(A^{2}+B^{2}) \mu}-A\,\sqrt{-\mu} \operatorname{ch} (2\,\sqrt{-\mu} (\eta +\eta _{0}) ) }\biggr)^{\!2}\,\biggr],
\end{equation}
\tag{3.5}
$$
$$
\begin{equation}
u_{1,3}(x,t) =\ln \Biggl[ -\frac{1}{2}-\frac{{3\mu}/{2}}{\bigl(\sqrt{-\mu}-\frac{2A\,\sqrt{-\mu}}{A+ \operatorname{ch} (2\,\sqrt{-\mu} (\eta +\eta _{0}) )- \operatorname{sh} (2\,\sqrt{-\mu} (\eta +\eta _{0}) ) }\bigr)^{\!2}}\Biggr],
\end{equation}
\tag{3.6}
$$
$$
\begin{equation}
u_{2,1}(x,t) =\ln \biggl[ -\frac{1}{2}-\frac{3}{2\mu}\Bigl(\frac{\sqrt{-(A^{2}+B^{2}) \mu}-A\,\sqrt{-\mu} \operatorname{ch} (2\,\sqrt{-\mu} (\eta +\eta _{0}) ) }{A \operatorname{sh} (2\,\sqrt{-\mu}(\eta +\eta _{0}) ) +B}\Bigr)^{\!2}\biggr],
\end{equation}
\tag{3.7}
$$
$$
\begin{equation}
u_{2,3}(x,t) =\ln \Biggl[ -\frac{1}{2}-\frac{\bigl(\sqrt{-\mu}-\frac{2A\,\sqrt{-\mu}}{A+ \operatorname{ch} (2\,\sqrt{-\mu} (\eta +\eta _{0}) )- \operatorname{sh} (2\,\sqrt{-\mu} (\eta +\eta _{0}) ) }\bigr)^{\!2}}{{2\mu}/{3}}\Biggr],
\end{equation}
\tag{3.8}
$$
где $\eta= x-\sqrt{1-{3}/(4\mu)}\,t$;
$$
\begin{equation}
u_{3,1}(x,t) = \ln \biggl[ \frac{1}{4}-\frac{3\mu}{8}\biggl(\frac{A \operatorname{sh} ( 2\,\sqrt{-\mu}(\eta +\eta _{0}) ) +B}{\sqrt{-(A^{2}+B^{2}) \mu}-A\,\sqrt{-\mu} \operatorname{ch} (2\,\sqrt{-\mu} (\eta +\eta _{0}) ) }\biggr)^{\!2}-{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad\qquad\qquad-\frac{3}{8\mu}\biggl(\frac{\sqrt{-(A^{2}+B^{2}) \mu}-A\,\sqrt{-\mu} \operatorname{ch} (2\,\sqrt{-\mu} (\eta +\eta _{0}) ) }{A \operatorname{sh} (2\,\sqrt{-\mu}(\eta +\eta _{0}) ) +B}\biggr)^{\!2}\biggr],
\end{equation}
\tag{3.9}
$$
$$
\begin{equation}
u_{3,3}(x,t) =\ln \Biggl[ \frac{1}{4}-\frac{{3\mu}/{8}}{\bigl(\sqrt{-\mu}-\frac{2A\,\sqrt{-\mu}}{A+ \operatorname{ch} (2\,\sqrt{-\mu} (\eta +\eta _{0}) )- \operatorname{sh} (2\,\sqrt{-\mu} (\eta +\eta _{0}) ) }\bigr)^2}-{}\nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad\qquad\qquad-\frac{\bigl(\sqrt{-\mu}-\frac{2A\,\sqrt{-\mu}}{A+ \operatorname{ch} ( 2\,\sqrt{-\mu} (\eta +\eta _{0}) )- \operatorname{sh} (2\,\sqrt{-\mu} (\eta+\eta _{0}) ) }\bigr)^2}{{8\mu}/{3}}\Biggr],
\end{equation}
\tag{3.10}
$$
где $\eta=x-\sqrt{1-{3}/(16\mu)}\,t$;
$$
\begin{equation}
u_{4,1}(x,t) =\ln \biggl[ \frac{1-i\,\sqrt{3}}{4}+\frac{3\mu(1-i\,\sqrt{3}\,)}{4} \times{}\nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad\quad\times\biggl(\frac{A \operatorname{sh} (2\,\sqrt{-\mu}(\eta +\eta _{0}) ) +B}{\sqrt{-(A^{2}+B^{2}) \mu}-A\,\sqrt{-\mu} \operatorname{ch} (2\,\sqrt{-\mu} (\eta +\eta _{0}) ) }\biggr)^{\!2}\,\biggr],
\end{equation}
\tag{3.11}
$$
$$
\begin{equation}
u_{4,3}(x,t) =\ln \Biggl[\frac{1-i\,\sqrt{3}}{4} +\frac{{3\mu(1-i\,\sqrt{3}\,)}/{4}}{\bigl(\sqrt{-\mu}-\frac{2A\,\sqrt{-\mu}}{A+ \operatorname{ch} (2\,\sqrt{-\mu} (\eta +\eta _{0}) )- \operatorname{sh} (2\,\sqrt{-\mu} (\eta +\eta _{0}) ) }\bigr)^2}\Biggr],
\end{equation}
\tag{3.12}
$$
$$
\begin{equation}
u_{5,1}(x,t) =\ln \biggl[ \frac{1-i\,\sqrt{3}}{4}+\frac{3(1-i\,\sqrt{3}\,)}{4\mu}\times{}\nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad\quad\times\biggl(\frac{A \operatorname{sh} (2\,\sqrt{-\mu}(\eta +\eta _{0}) ) +B}{\sqrt{-(A^{2}+B^{2}) \mu}-A\,\sqrt{-\mu} \operatorname{ch} (2\,\sqrt{-\mu} (\eta +\eta _{0}) ) }\biggr)^{\!2}\,\biggr],
\end{equation}
\tag{3.13}
$$
$$
\begin{equation}
u_{5,3}(x,t) =\ln \biggl[\frac{1-i\,\sqrt{3}}{4} +\frac{3(1-i\,\sqrt{3}\,)}{4\mu}\times{}\nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad\quad\times\biggl(\sqrt{-\mu}-\frac{2A\,\sqrt{-\mu}}{A+ \operatorname{ch} (2\,\sqrt{-\mu} (\eta +\eta _{0}) )- \operatorname{sh} (2\,\sqrt{-\mu} (\eta +\eta _{0}) ) }\biggr)^{\!2}\,\biggr],
\end{equation}
\tag{3.14}
$$
где $\eta= x-\sqrt{1+{3(1-i\,\sqrt{3}\,)}/(8\mu)}\,t$;
$$
\begin{equation}
u_{6,1}(x,t) =\ln \biggl[ \frac{1+i\,\sqrt{3}}{4}+\frac{3\mu(1+i\,\sqrt{3}\,)}{4}\times{}\nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad\quad\times\biggl(\frac{A \operatorname{sh} (2\,\sqrt{-\mu}(\eta +\eta _{0}) ) +B}{\sqrt{-(A^{2}+B^{2}) \mu}-A\,\sqrt{-\mu} \operatorname{ch} (2\,\sqrt{-\mu} (\eta +\eta _{0}) ) }\biggr)^{\!2}\,\biggr],
\end{equation}
\tag{3.15}
$$
$$
\begin{equation}
u_{6,3}(x,t) =\ln \Biggl[\frac{1+i\,\sqrt{3}}{4} +\frac{{3\mu(1+i\,\sqrt{3}\,)}/{4}}{(\sqrt{-\mu}-\frac{2A\,\sqrt{-\mu}}{A+ \operatorname{ch} (2\,\sqrt{-\mu} (\eta +\eta _{0}) )- \operatorname{sh} (2\,\sqrt{-\mu} (\eta +\eta _{0}) ) })^{\!2}}\,\Biggr],
\end{equation}
\tag{3.16}
$$
$$
\begin{equation}
u_{7,1}(x,t) =\ln \biggl[ \frac{1+i\,\sqrt{3}}{4}+\frac{3(1+i\,\sqrt{3}\,)}{4\mu}\times{}\nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad\quad\times\biggl(\frac{A \operatorname{sh} (2\,\sqrt{-\mu}(\eta +\eta _{0}) ) +B}{\sqrt{-(A^{2}+B^{2}) \mu}-A\,\sqrt{-\mu} \operatorname{ch} (2\,\sqrt{-\mu} (\eta +\eta _{0}) ) }\biggr)^{\!2}\,\biggr],
\end{equation}
\tag{3.17}
$$
$$
\begin{equation}
u_{7,3}(x,t) =\ln \biggl[\frac{1+i\,\sqrt{3}}{4} +\frac{3(1+i\,\sqrt{3}\,)}{4\mu}\times{}\nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad\quad\times\biggl(\sqrt{-\mu}-\frac{2A\,\sqrt{-\mu}}{A+ \operatorname{ch} (2\,\sqrt{-\mu} (\eta +\eta _{0}) )- \operatorname{sh} (2\,\sqrt{-\mu} (\eta +\eta _{0}) ) }\biggr)^{\!2}\,\biggr],
\end{equation}
\tag{3.18}
$$
где $\eta= x-\sqrt{1+{3 t(1+i\,\sqrt{3}\,)}/(8\mu)}\,$;
$$
\begin{equation}
u_{8,1}(x,t) =\ln \biggl[ -\frac{1+i\,\sqrt{3}}{8} +\frac{3\mu(1+i\,\sqrt{3}\,)}{16}\times{}\nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad\qquad\qquad\times\biggl(\frac{A \operatorname{sh} ( 2\,\sqrt{-\mu}(\eta +\eta _{0}) ) +B}{\sqrt{-(A^{2}+B^{2}) \mu}-A\,\sqrt{-\mu} \operatorname{ch} (2\,\sqrt{-\mu} (\eta +\eta _{0}) ) }\biggr)^2+{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad+\frac{3(1+i\,\sqrt{3}\,)}{16\mu}\biggl(\frac{\sqrt{-( A^{2}+B^{2}) \mu}-A\,\sqrt{-\mu} \operatorname{ch} (2\,\sqrt{-\mu} (\eta +\eta _{0}) ) }{A \operatorname{sh} (2\,\sqrt{-\mu}(\eta +\eta _{0}) ) +B}\biggl)^{\!2}\,\biggr],
\end{equation}
\tag{3.19}
$$
$$
\begin{equation}
u_{8,3}(x,t) =\ln \Biggl[-\frac{1+i\,\sqrt{3}}{8}+ \frac{{3\mu(1+i\,\sqrt{3}\,)}/{16}}{\bigl(\sqrt{-\mu}-\frac{2A\,\sqrt{-\mu}}{A+ \operatorname{ch} (2\,\sqrt{-\mu} (\eta +\eta _{0}) )- \operatorname{sh} (2\,\sqrt{-\mu} (\eta +\eta _{0}) ) }\bigr)^2}-{}\nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad\quad-\frac{\bigl(\sqrt{-\mu}-\frac{2A\,\sqrt{-\mu}}{A+ \operatorname{ch} ( 2\,\sqrt{-\mu} (\eta +\eta _{0}) )- \operatorname{sh} (2\,\sqrt{-\mu} (\eta+\eta _{0}) ) }\bigr)^2}{{16\mu}/{3(1+i\,\sqrt{3}\,)}}\Biggr],
\end{equation}
\tag{3.20}
$$
где $\eta=x-\sqrt{1+{3 t(1+i\,\sqrt{3}\,)}/(32\mu)}\,$;
$$
\begin{equation}
u_{9,1}(x,t) =\ln \biggl[ -\frac{1-i\,\sqrt{3}}{8} +\frac{3\mu(1-i\,\sqrt{3}\,)}{16}\times{}\nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad\qquad\qquad\times\biggl(\frac{A \operatorname{sh} ( 2\,\sqrt{-\mu}(\eta +\eta _{0}) ) +B}{\sqrt{-(A^{2}+B^{2}) \mu}-A\,\sqrt{-\mu} \operatorname{ch} (2\,\sqrt{-\mu} (\eta +\eta _{0}) ) }\biggr)^{\!2}+{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad+\frac{3(1-i\,\sqrt{3}\,)}{16\mu}\biggl(\frac{\sqrt{-( A^{2}+B^{2}) \mu}-A\,\sqrt{-\mu} \operatorname{ch} (2\,\sqrt{-\mu} (\eta +\eta _{0}) ) }{A \operatorname{sh} (2\,\sqrt{-\mu}(\eta +\eta _{0}) ) +B}\biggr)^{\!2}\,\biggr],
\end{equation}
\tag{3.21}
$$
$$
\begin{equation}
u_{9,3}(x,t) =\ln \Biggl[-\frac{1-i\,\sqrt{3}}{8}+\frac{{3\mu(1-i\,\sqrt{3}\,)}/(16)} {\bigl(\sqrt{-\mu}-\frac{2A\,\sqrt{-\mu}}{A+ \operatorname{ch} (2\,\sqrt{-\mu} (\eta +\eta _{0}) )- \operatorname{sh} (2\,\sqrt{-\mu} (\eta +\eta _{0}) ) }\bigr)^2}-{}\nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad-\frac{\bigl(\sqrt{-\mu}-\frac{2A\,\sqrt{-\mu}}{A+ \operatorname{ch} ( 2\,\sqrt{-\mu} (\eta +\eta _{0}) )- \operatorname{sh} (2\,\sqrt{-\mu} (\eta+\eta _{0}) ) }\bigr)^2}{{16\mu}/{3(1-i\,\sqrt{3}\,)}}\,\Biggr],
\end{equation}
\tag{3.22}
$$
где $\eta=x-\sqrt{1+{3t(1-i\,\sqrt{3}\,)}/(32\mu)}\,$. Здесь $\mu<0$, $A\neq 0$, $B$ и $\eta _{0}$ – произвольные параметры. Очевидно, равенства $u_{1,1}(x,t)=u_{1,2}(x,t)$ и $u_{1,3}(x,t)=u_{1,4}(x,t)$ приводят к одному и тому же решению, поскольку квадраты $\phi_1$ и $\phi_2$ или $\phi_3$ и $\phi_4$ равны. Повторяющиеся решения не выписаны. Использование соотношений $ \operatorname{sh} (ix) =i\sin (x) $ и $ \operatorname{ch} (ix) =\cos(x)$ при $\mu>0$ в (2.6) приводит к решениям в тригонометрическом виде, подобным решениям (2.7). Поэтому приведенные выше решения преобразуются в тригонометрические функции при использовании функций $\phi$ вида (2.7). 3.2. Уравнение ДБМУравнение ДБМ имеет вид Реализовав те же шаги, что и в предыдущем разделе, построим решения уравнения ДБМ. Чтобы можно было легко применить единый метод, используем преобразование $u=\ln v$ в уравнении (3.23): Переходя к волновой переменной $\eta = x-ct$ в уравнении (3.24), получим где $v(x,t)=V(\eta)$ и $\eta = x-ct $. Установив баланс между $V'^2$ и $V^3$, найдем $2M+2=3M$. Отсюда получим $M=2$. Решения уравнения (3.24) можно представить в виде
$$
\begin{equation}
V(\eta) =a_{0}+a_{1}\phi+a_{2}\phi^2+\frac{b_{1}}{\phi}+\frac{b_{2}}{\phi^2},
\end{equation}
\tag{3.26}
$$
где $a_0,a_1,a_2,b_1$ и $b_2$ – коэффициенты перед степенями $\phi$, которые определяются аналогичным образом. Получим следующие наборы коэффициентов: 1) $a_{1}=a_{2}=b_{1}=0$, $a_{0}=\dfrac{1}{2}$, $b_{2}=\dfrac{3\mu}{2}$, $c=\dfrac{3}{4\mu}$; 2) $b_{1}=b_{2}=a_{1}=0$, $a_{0}=\dfrac{1}{2}$, $a_{2}=\dfrac{3}{2\mu}$, $c=\dfrac{3}{4\mu}$; 3) $b_{1}=a_{1}=0$, $a_{0}=-\dfrac{1}{4}$, $a_{2}=\dfrac{3}{8\mu}$, $b_{2}=\dfrac{3\mu}{8}$, $c=\dfrac{3}{16\mu}$; 4) $a_{1}=a_{2}=b_{1}=0$, $a_{0}=\dfrac{b_2}{3\mu}$, $b_{2}=-\dfrac{3\mu}{4}(1+i\,\sqrt{3}\,)$, $c=\dfrac{b_2}{2\mu^2}$; 5) $b_{1}=b_{2}=a_{1}=0$, $a_{0}=\dfrac{a_2\mu}{3}$, $a_{2}=-\dfrac{3}{4\mu}(1+i\,\sqrt{3}\,)$, $c=\dfrac{a_2}{2}$; 6) $a_{1}=a_{2}=b_{1}=0$, $a_{0}=\dfrac{b_2}{3\mu}$, $b_{2}=-\dfrac{3\mu}{4}(1-i\,\sqrt{3}\,)$, $c=\dfrac{b_2}{2\mu^2}$; 7) $b_{1}=b_{2}=a_{1}=0$, $a_{0}=\dfrac{a_2\mu}{3}$, $a_{2}=-\dfrac{3}{4\mu}(1-i\,\sqrt{3}\,)$, $c=\dfrac{a_2}{2}$; 8) $b_{1}=a_{1}=0$, $a_{0}=-\dfrac{2b_2}{3\mu}$, $a_{2}=\dfrac{b_2}{\mu^2}$, $b_{2}=-\dfrac{3\mu}{16}(1-i\,\sqrt{3}\,)$, $c=\dfrac{b_2}{2\mu^2}$; 9) $b_{1}=a_{1}=0$, $a_{0}=-\dfrac{2b_2}{3\mu}$, $a_{2}=\dfrac{b_2}{\mu^2}$, $b_{2}=-\dfrac{3\mu}{16}(1+i\,\sqrt{3}\,)$, $c=\dfrac{b_2}{2\mu^2}$. С помощью этих значений коэффициентов получим соответственно следующие точные решения уравнения ДБМ:
$$
\begin{equation}
u_{1,1}(x,t) =\ln \biggl[ \frac{1}{2}+\frac{3\mu}{2}\biggl(\frac{A \operatorname{sh} (2\,\sqrt{-\mu}( \eta +\eta _{0}) ) +B}{\sqrt{-(A^{2}+B^{2}) \mu}-A\,\sqrt{-\mu} \operatorname{ch} (2\,\sqrt{-\mu} (\eta +\eta _{0}) ) }\biggr)^{\!2}\,\biggr],
\end{equation}
\tag{3.27}
$$
$$
\begin{equation}
u_{1,3}(x,t) =\ln \Biggl[ \frac{1}{2}+\frac{{3\mu}/{2}}{\bigl(\sqrt{-\mu}-\frac{2A\,\sqrt{-\mu}}{A+ \operatorname{ch} (2\,\sqrt{-\mu} (\eta +\eta _{0}) )- \operatorname{sh} (2\,\sqrt{-\mu} (\eta +\eta _{0}) ) }\bigr)^2}\Biggr],
\end{equation}
\tag{3.28}
$$
$$
\begin{equation}
u_{2,1}(x,t) =\ln \Biggl[ \frac{1}{2}+\frac{3}{2\mu}\biggl(\frac{\sqrt{-(A^{2}+B^{2}) \mu}-A\,\sqrt{-\mu} \operatorname{ch} (2\,\sqrt{-\mu} (\eta +\eta _{0}) ) }{A \operatorname{sh} (2\,\sqrt{-\mu}(\eta +\eta _{0}) ) +B}\biggr)^{\!2}\,\Biggr],
\end{equation}
\tag{3.29}
$$
$$
\begin{equation}
u_{2,3}(x,t) =\ln \Biggl[ \frac{1}{2}+\frac{\bigl(\sqrt{-\mu}-\frac{2A\,\sqrt{-\mu}}{A+ \operatorname{ch} (2\,\sqrt{-\mu} (\eta +\eta _{0}) )- \operatorname{sh} (2\,\sqrt{-\mu} (\eta +\eta _{0}) ) }\bigr)^2}{{2\mu}/{3}}\Biggr],
\end{equation}
\tag{3.30}
$$
где $\eta= x-{3t}/{4\mu}$;
$$
\begin{equation}
u_{3,1}(x,t) =\ln \biggl[ -\frac{1}{4}+\frac{3\mu}{8}\biggl(\frac{A \operatorname{sh} ( 2\,\sqrt{-\mu}(\eta +\eta _{0}) ) +B}{\sqrt{-(A^{2}+B^{2}) \mu}-A\,\sqrt{-\mu} \operatorname{ch} (2\,\sqrt{-\mu} (\eta +\eta _{0}) ) }\biggr)^{\!2}+{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad\quad+\frac{3}{8\mu}\biggl(\frac{\sqrt{-(A^{2}+B^{2}) \mu}-A\,\sqrt{-\mu} \operatorname{ch} (2\,\sqrt{-\mu} (\eta +\eta _{0}) ) }{A \operatorname{sh} (2\,\sqrt{-\mu}(\eta +\eta _{0}) ) +B}\biggr)^{\!2}\,\biggr],
\end{equation}
\tag{3.31}
$$
$$
\begin{equation}
u_{3,3}(x,t) =\ln \biggl[- \frac{1}{4}+\frac{{3\mu}/{8}}{\bigl(\sqrt{-\mu}-\frac{2A\,\sqrt{-\mu}}{A+ \operatorname{ch} (2\,\sqrt{-\mu} (\eta +\eta _{0}) )- \operatorname{sh} (2\,\sqrt{-\mu} (\eta +\eta _{0}) ) }\bigr)^2}+{}\nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad\quad+\frac{\bigl(\sqrt{-\mu}-\frac{2A\,\sqrt{-\mu}}{A+ \operatorname{ch} ( 2\,\sqrt{-\mu} (\eta +\eta _{0}) )- \operatorname{sh} (2\,\sqrt{-\mu} (\eta+\eta _{0}) ) }\bigl)^{\!2}}{{8\mu}/{3}}\biggr],
\end{equation}
\tag{3.32}
$$
где $\eta=x-{3}t/{16\mu}$;
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, u_{4,1}(x,t)&=\ln \biggl[ -\frac{1+i\,\sqrt{3}}{4}-\frac{3\mu(1+i\,\sqrt{3}\,)}{4}\times{}\notag\\ &\qquad\quad\times\biggl(\frac{A \operatorname{sh} (2\,\sqrt{-\mu}(\eta +\eta _{0}) ) +B}{\sqrt{-(A^{2}+B^{2}) \mu}-A\,\sqrt{-\mu} \operatorname{ch} (2\,\sqrt{-\mu} (\eta +\eta _{0}) ) }\biggr)^{\!2}\,\biggr], \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.33}
$$
$$
\begin{equation}
u_{4,3}(x,t) =\ln \Biggl[-\frac{1+i\,\sqrt{3}}{4} -\frac{{3\mu(1+i\,\sqrt{3}\,)}/{4}}{\bigl(\sqrt{-\mu}-\frac{2A\,\sqrt{-\mu}}{A+ \operatorname{ch} (2\,\sqrt{-\mu} (\eta +\eta _{0}) )- \operatorname{sh} (2\,\sqrt{-\mu} (\eta +\eta _{0}) ) }\bigr)^2}\Biggr],
\end{equation}
\tag{3.34}
$$
$$
\begin{equation}
u_{5,1}(x,t) =\ln \biggl[ -\frac{1+i\,\sqrt{3}}{4}-\frac{3(1+i\,\sqrt{3}\,)}{4\mu}\times{}\nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad\quad\times\biggl(\frac{\sqrt{-( A^{2}+B^{2}) \mu}-A\,\sqrt{-\mu} \operatorname{ch} (2\,\sqrt{-\mu} (\eta +\eta _{0}) ) }{A \operatorname{sh} (2\,\sqrt{-\mu}(\eta +\eta _{0}) ) +B}\biggr)^{\!2}\biggr],
\end{equation}
\tag{3.35}
$$
$$
\begin{equation}
u_{5,3}(x,t) =\ln \biggl[-\frac{1+i\,\sqrt{3}}{4} -\frac{3(1+i\,\sqrt{3}\,)}{4\mu}\times{}\nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad\quad\times\biggl(\sqrt{-\mu}-\frac{2A\,\sqrt{-\mu}}{A+ \operatorname{ch} (2\,\sqrt{-\mu} (\eta +\eta _{0}) )- \operatorname{sh} (2\,\sqrt{-\mu} (\eta +\eta _{0}) ) }\biggr)^{\!2}\,\biggr],
\end{equation}
\tag{3.36}
$$
где $\eta=x+{3(1+i\,\sqrt{3}\,)}t/8\mu$;
$$
\begin{equation}
u_{6,1}(x,t) =\ln \biggl[- \frac{1-i\,\sqrt{3}}{4}-\frac{3\mu(1-i\,\sqrt{3}\,)}{4}\times{}\nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad\quad\times\biggl(\frac{A \operatorname{sh} (2\,\sqrt{-\mu}(\eta +\eta _{0}) ) +B}{\sqrt{-(A^{2}+B^{2}) \mu}-A\,\sqrt{-\mu} \operatorname{ch} (2\,\sqrt{-\mu} (\eta +\eta _{0}) ) }\biggr)^{\!2}\,\biggr],
\end{equation}
\tag{3.37}
$$
$$
\begin{equation}
u_{6,3}(x,t) =\ln \Biggl[-\frac{1-i\,\sqrt{3}}{4} -\frac{{3\mu(1-i\,\sqrt{3}\,)}/{4}}{\bigl(\sqrt{-\mu}-\frac{2A\,\sqrt{-\mu}}{A+ \operatorname{ch} (2\,\sqrt{-\mu} (\eta +\eta _{0}) )- \operatorname{sh} (2\,\sqrt{-\mu} (\eta +\eta _{0}) ) }\bigr)^2}\Biggr],
\end{equation}
\tag{3.38}
$$
$$
\begin{equation}
u_{7,1}(x,t) =\ln \biggl[ -\frac{1-i\,\sqrt{3}}{4\mu}-\frac{1-i\,\sqrt{3}}{4\mu}\times{}\nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad\quad\times\biggl(\frac{\sqrt{-( A^{2}+B^{2}) \mu}-A\,\sqrt{-\mu} \operatorname{ch} (2\,\sqrt{-\mu} (\eta +\eta _{0}) ) }{A \operatorname{sh} (2\,\sqrt{-\mu}(\eta +\eta _{0}) ) +B}\biggr)^{\!2}\,\biggr],
\end{equation}
\tag{3.39}
$$
$$
\begin{equation}
u_{7,3}(x,t) =\ln \biggl[-\frac{1-i\,\sqrt{3}}{4\mu} -\frac{1-i\,\sqrt{3}}{4\mu} \times{}\nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad\quad\times\biggl(\sqrt{-\mu}-\frac{2A\,\sqrt{-\mu}}{A+ \operatorname{ch} ( 2\,\sqrt{-\mu} (\eta +\eta _{0}) )- \operatorname{sh} (2\,\sqrt{-\mu} (\eta +\eta _{0}) ) }\biggr)^2\biggr],
\end{equation}
\tag{3.40}
$$
где $\eta= x+{3(1-i\,\sqrt{3}\,)}t/{8\mu}$;
$$
\begin{equation}
u_{8,1}(x,t) =\ln \biggl[ \frac{1-i\,\sqrt{3}}{8} -\frac{3\mu(1-i\,\sqrt{3}\,)}{16}\times{}\nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad\qquad\qquad\times\biggl(\frac{A \operatorname{sh} ( 2\,\sqrt{-\mu}(\eta +\eta _{0}) ) +B}{\sqrt{-(A^{2}+B^{2}) \mu}-A\,\sqrt{-\mu} \operatorname{ch} (2\,\sqrt{-\mu} (\eta +\eta _{0}) ) }\biggr)^{\!2}-{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad-\frac{3(1-i\,\sqrt{3}\,)}{16\mu}\biggl(\frac{\sqrt{-( A^{2}+B^{2}) \mu}-A\,\sqrt{-\mu} \operatorname{ch} (2\,\sqrt{-\mu} (\eta +\eta _{0}) ) }{A \operatorname{sh} (2\,\sqrt{-\mu}(\eta +\eta _{0}) ) +B}\biggr)^{\!2}\,\biggr],
\end{equation}
\tag{3.41}
$$
$$
\begin{equation}
u_{8,3}(x,t) =\ln \biggl[\frac{1-i\,\sqrt{3}}{8}-{\frac{3\mu(1-i\,\sqrt{3}\,)}{16}}\times{}\nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad\qquad\qquad\times\biggl(\sqrt{-\mu}-\frac{2A\,\sqrt{-\mu}}{A+ \operatorname{ch} (2\,\sqrt{-\mu} (\eta +\eta _{0}) )- \operatorname{sh} (2\,\sqrt{-\mu} (\eta +\eta _{0}) ) }\biggr)^{\!-2}-{}\nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad\quad-\frac{\bigl(\sqrt{-\mu}-\frac{2A\,\sqrt{-\mu}}{A+ \operatorname{ch} ( 2\,\sqrt{-\mu} (\eta +\eta _{0}) )- \operatorname{sh} (2\,\sqrt{-\mu} (\eta+\eta _{0}) ) }\bigr)^{2}}{{16\mu}/{3(1-i\,\sqrt{3}\,)}}\biggr],
\end{equation}
\tag{3.42}
$$
где $\eta=x+{3(1-i\,\sqrt{3}\,)t}/{32\mu}$;
$$
\begin{equation}
u_{9,1}(x,t) =\ln \biggl[ \frac{1+i\,\sqrt{3}}{8} -\frac{3\mu(1+i\,\sqrt{3}\,)}{16}\times{}\nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad\qquad\qquad\times\biggl(\frac{A \operatorname{sh} ( 2\,\sqrt{-\mu}(\eta +\eta _{0}) ) +B}{\sqrt{-(A^{2}+B^{2}) \mu}-A\,\sqrt{-\mu} \operatorname{ch} (2\,\sqrt{-\mu} (\eta +\eta _{0}) ) }\biggr)^{\!2}-{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad-\frac{3(1+i\,\sqrt{3}\,)}{16\mu}\biggl(\frac{\sqrt{-( A^{2}+B^{2}) \mu}-A\,\sqrt{-\mu} \operatorname{ch} (2\,\sqrt{-\mu} (\eta +\eta _{0}) ) }{A \operatorname{sh} (2\,\sqrt{-\mu}(\eta +\eta _{0}) ) +B}\biggr)^{\!2}\,\biggr],
\end{equation}
\tag{3.43}
$$
$$
\begin{equation}
u_{9,3}(x,t) =\ln \Biggl[\frac{1+i\,\sqrt{3}}{8}-\frac{{3\mu(1+i\,\sqrt{3}\,)}/{16}} {\bigl(\sqrt{-\mu}-\frac{2A\,\sqrt{-\mu}}{A+ \operatorname{ch} (2\,\sqrt{-\mu} (\eta +\eta _{0}) )- \operatorname{sh} (2\,\sqrt{-\mu} (\eta +\eta _{0}) ) }\bigr)^2}-{}\nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad\quad-\frac{\bigl(\sqrt{-\mu}-\frac{2A\,\sqrt{-\mu}}{A+ \operatorname{ch} ( 2\,\sqrt{-\mu} (\eta +\eta _{0}) )- \operatorname{sh} (2\,\sqrt{-\mu} (\eta+\eta _{0}) ) }\bigr)^2}{{16\mu}/{3(1+i\,\sqrt{3}\,)}}\Biggr],
\end{equation}
\tag{3.44}
$$
где $\eta=x+{3(1+i\,\sqrt{3}\,)t}/{32\mu}$. 3.3. Уравнение ЦДБУравнение ЦДБ имеет вид Преобразуем уравнение (3.45) с помощью подстановки $u=-\ln v$, чтобы стало возможным применение единого метода: Используя волновую переменную $\eta = x-ct $ в уравнении (3.46), получим где $v(x,t)=V(\eta)$ и $\eta = x-ct $. Установив баланс между $V'^2$ и $V^4$, найдем $2M+2=4M$. Отсюда получим $M=1$. Решение уравнения (3.46) можно представить в виде где $a_0,a_1$ и $b_1$ – коэффициенты перед степенями $\phi$, которые определяются аналогичным способом. Получим следующие наборы этих коэффициентов:1) $a_{0}=-\dfrac{1}{2}$, $a_{1}=0$, $b_{1}=-\dfrac{\sqrt{-\mu}}{2}$, $c=\dfrac{1}{4\mu}$; 2) $a_{0}=-\dfrac{1}{2}$, $a_{1}=0$, $b_{1}=\dfrac{\sqrt{-\mu}}{2}$, $c=\dfrac{1}{4\mu}$; 3) $a_{0}=-\dfrac{1}{2}$, $a_{1}=-\dfrac{1}{2\,\sqrt{-\mu}}$, $b_{1}=0$, $c=\dfrac{1}{4\mu}$; 4) $a_{0}=-\dfrac{1}{2}$, $a_{1}=\dfrac{1}{2\,\sqrt{-\mu}}$, $b_{1}=0$, $c=\dfrac{1}{4\mu}$; 5) $a_{0}=-\dfrac{1}{2}$, $a_{1}=\dfrac{1}{4\sqrt{-\mu}}$, $b_{1}=\dfrac{1}{16a_1}$, $c=\dfrac{1}{16\mu}$; 6) $a_{0}=-\dfrac{1}{2}$, $a_{1}=-\dfrac{1}{4\sqrt{-\mu}}$, $b_{1}=\dfrac{1}{16a_1}$, $c=\dfrac{1}{16\mu}$. С помощью этих наборов коэффициентов получим соответственно следующие точные решения уравнения ЦДБ:
$$
\begin{equation}
u_{1,1}(x,t) =-\ln \biggl[ -\frac{1}{2}\pm \frac{\sqrt{-\mu}}{2}\frac{A \operatorname{sh} (2\,\sqrt{-\mu}(\eta +\eta _{0}) ) +B}{\sqrt{-(A^{2}+B^{2}) \mu}-A\,\sqrt{-\mu} \operatorname{ch} (2\,\sqrt{-\mu} (\eta +\eta _{0}) ) }\biggr],
\end{equation}
\tag{3.49}
$$
$$
\begin{equation}
u_{1,3}(x,t) =-\ln \Biggl[ -\frac{1}{2}\pm \frac{{\sqrt{-\mu}}/{2}}{\sqrt{-\mu}-\frac{2A\,\sqrt{-\mu}}{A+ \operatorname{ch} (2\,\sqrt{-\mu} (\eta +\eta _{0}) )- \operatorname{sh} (2\,\sqrt{-\mu} (\eta +\eta _{0}) ) }}\Biggr],
\end{equation}
\tag{3.50}
$$
$$
\begin{equation}
u_{3,1}(x,t) =-\ln \biggl[ -\frac{1}{2}\pm \frac{1}{2\,\sqrt{-\mu}}\frac{\sqrt{-(A^{2}+B^{2}) \mu}-A\,\sqrt{-\mu} \operatorname{ch} (2\,\sqrt{-\mu} (\eta +\eta _{0}) ) }{A \operatorname{sh} (2\,\sqrt{-\mu}(\eta +\eta _{0}) ) +B}\biggr],
\end{equation}
\tag{3.51}
$$
$$
\begin{equation}
u_{3,3}(x,t) =-\ln \Biggl[ -\frac{1}{2}\pm \frac{\sqrt{-\mu}-\frac{2A\,\sqrt{-\mu}}{A+ \operatorname{ch} ( 2\,\sqrt{-\mu} (\eta +\eta _{0}) )- \operatorname{sh} (2\,\sqrt{-\mu} (\eta +\eta _{0}) ) }}{{2\,\sqrt{-\mu}}}\Biggr],
\end{equation}
\tag{3.52}
$$
где $\eta= x-{t}/{4\mu}$;
$$
\begin{equation}
u_{5,1}(x,t) =-\ln \biggl[ -\frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{-\mu}}{4} \biggl(\frac{A \operatorname{sh} (2\,\sqrt{-\mu}(\eta +\eta _{0}) ) +B}{\sqrt{-(A^{2}+B^{2}) \mu}-A\,\sqrt{-\mu} \operatorname{ch} (2\,\sqrt{-\mu} (\eta +\eta _{0}) ) }\biggr) \pm{}\nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad\qquad\pm\frac{1}{4\sqrt{-\mu}}\biggl(\frac{\sqrt{-(A^{2}+B^{2}) \mu}-A\,\sqrt{-\mu} \operatorname{ch} (2\,\sqrt{-\mu} (\eta +\eta _{0}) ) }{A \operatorname{sh} (2\,\sqrt{-\mu}(\eta +\eta _{0}) ) +B}\biggr)\biggr],
\end{equation}
\tag{3.53}
$$
$$
\begin{equation}
u_{5,3}(x,t) =-\ln \Biggl[-\frac{1}{2}\pm \frac{{\sqrt{-\mu}}/{4}}{\bigl(\sqrt{-\mu}-\frac{2A\,\sqrt{-\mu}}{A+ \operatorname{ch} (2\,\sqrt{-\mu} (\eta +\eta _{0}) )- \operatorname{sh} (2\,\sqrt{-\mu} (\eta +\eta _{0}) ) }\bigr)}\pm{}\nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\ \qquad\qquad\pm \frac{\bigl(\sqrt{-\mu}-\frac{2A\,\sqrt{-\mu}}{A+ \operatorname{ch} ( 2\,\sqrt{-\mu} (\eta +\eta _{0}) )- \operatorname{sh} (2\,\sqrt{-\mu} (\eta+\eta _{0}) ) }\bigr)}{4\sqrt{-\mu}}\Biggr],
\end{equation}
\tag{3.54}
$$
где $\eta= x-{t}/{16\mu}$.
4. Результаты и обсужденияСравним решения, полученные единым методом, с решениями, полученными ранее [36]–[39] для уравнений типа Цицейки, и затем изобразим с помощью пакета Maple физические структуры некоторых выбранных решений. Получение большего количества разнообразных решений единым методом, по сравнению с другими методами, без выполнения трудоемких и изнурительных компьютерных алгоритмов продемонстрировано в разделе 3. В работе [40] доказано, что единый метод дает больше решений, чем семейство решений в методе $\bigl({G'}/{G}\bigr)$-разложения. Поскольку предлагается больший набор функций и, кроме того, ввиду большего разнообразия решений благодаря добавлению члена $b_{m}\phi^{-m}$, число полученных в нашей работе решений больше, чем в работах [37], [39], где используется метод $\bigl({G'}/{G}\bigr)$-разложения. Мы также доказали, что единый метод предъявляет больше решений, чем семейство решений $\tanh$-метода в работе [23]. Чтобы показать, что решения, полученные применением $\tanh$-метода, могут быть также построены единым методом, мы подставим $B=0$ и учтем равенства $ \operatorname{ch} (2x)=1-2 \operatorname{sh} ^2(x)$ и $ \operatorname{sh} (2x)=2 \operatorname{sh} (x) \operatorname{ch} (x)$ в семействе 1. В результате получим, что число решений, полученных единым методом, превосходит число решений, полученных в работах [36], [38] с помощью $\tanh$-метода. Поскольку для каждого из рассмотренных уравнений получено множество решений, только некоторые решения уравнения Цицейки изображены графически. Это следующие решения: $u_{1,1}$, $u_{1,3}$, $u_{3,1}$, $u_{3,3}$ как примеры гиперболических решений и $u_{1,5}$, $u_{1,7}$, $u_{3,5}$, $u_{3,7}$ как примеры тригонометрических решений. Для краткости тригонометрические решения не представлены в этой работе, но, используя указания в конце п. 3.1, эти решения читатель без труда получит самостоятельно. В графическом представлении, хотя $\mu$ принимает различные значения, используемая область ограничена: $-10<x<10$, $-10<t<10$ при $A=1$, $B=1$. Первые три графика на рисунках – трехмерные представления решений с различными значениями $\mu$. Четвертый график на рисунках показывает двумерное представление решений в соответствии с изменениями амплитуды при различных значениях $\mu$. Кроме того, легко проследить изменение волновой скорости $c$, рассмотрев связь с $\mu$. Как видно из рис. 1, 2, максимальная амплитуда волн уменьшается с уменьшением $\mu $ в волновых решениях гиперболического типа, однако структура волны становится более предсказуемой. Кроме того, на рис. 3, 4 максимальная амплитуда волны растет с ростом значения $\mu $ в волновых решениях тригонометрического типа, однако структура волны становится более непредсказуемой. Как следствие, максимальная амплитуда волны и параметр $\mu$ изменяются пропорционально. Аналогично на рис. 5, 6 показано, что максимальная амплитуда волн уменьшается с уменьшением $\mu $ в волновых решениях гиперболического типа. Но структура волны становится более предсказуемой. С другой стороны, на рис. 7, 8 максимальная амплитуда волн растет с ростом $\mu$ в волновых решениях тригонометрического типа. При этом структура волны становится более непредсказуемой. 5. ВыводыСуществует много методов решения нелинейных уравнений в частных производных, но для получения большого количества решений необходимо комбинировать несколько методов. В этом заключается одно из основных преимуществ единого метода по сравнению с остальными: метод предоставляет множество решений, построенных одним способом с помощью свободных параметров. Например, при $B=0$ получим решения модифицированного расширенного tanh-метода, известного как сильный tanh-метод. Кроме этого, единый метод – это простой способ, уменьшающий вычислительную работу. Метод легко применим в сочетании с некоторыми пакетами символьных вычислений, таких как Maple, Mathematica. В представленной работе единый метод был успешно применен к уравнениям типа Цицейки, которые имеют много приложений в задачах физики твердого тела, нелинейной динамики, нелинейной оптики и квантовой теории поля. Получив множество решений в разделе 3, мы привели трехмерные и двумерные графики некоторых выбранных решений. Специалисты в области физики твердого тела, нелинейной динамики, нелинейной оптики, квантовой теории поля могут использовать эти решения для моделирования. Кроме того, можно наблюдать различия в структуре решений, меняя произвольные параметры $A$, $B$ и $\mu$ в сочетании с другими областями переменных $x$ и $t$. В дальнейшем автор планирует улучшить метод с целью получения большего разнообразия решений для нелинейных уравнений в частных производных и для нелинейных уравнений в частных производных дробного порядка. Конфликт интересовАвтор заявляет, что у него нет конфликта интересов. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Ayd23} |
|
||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|