| Теоретическая и математическая физика |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) О решениях матричных солитонных уравнений М. А. Шумкинab a Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова, Москва, Россия b Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана, Москва, Россия
Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2023, Volume 215, Issue 1, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0040577923040013 
Реферативные базы данных:
   1. ВведениеВ данной статье рассмотрен вопрос о возможности мероморфного продолжения решений солитонных уравнений параболического типа, получающихся из матричного уравнения где $q(x,t)$ – некоторый блочно-внедиагональный голоморфный росток матричнозначной функции в окрестности точки $(x_0, t_0) \in \mathbb{C}^2_{xt}$, а $F_m (q)$ – последовательность интегро-дифференциальных полиномов от $q$, обсуждаемых в следующих двух разделах. Матрица $a$ имеет вид $\operatorname{diag}(\alpha_1 I_{s_1},\dots,\alpha_k I_{s_k})$, где $\alpha_i \ne \alpha_j$ для $i \ne j$, а $I_{k}$ – единичная матрица размера $k \times k$.Оказывается, что любой такой голоморфный росток $q(x,t)$ может быть мероморфно продолжен по переменной $x$ на всю комплексную плоскость, т. е. существует некоторое $\delta > 0$ и функция $Q(x,t)$, мероморфная в полосе $D = \{|t-t_0| \leqslant \delta, x \in \mathbb{C} \} \subset \mathbb{C}_{xt}^2$, такие, что $Q(x,t) = q(x,t)$ на области определения $q(x,t)$. Если любое решение некоторого уравнения может быть продолжено мероморфно в указанном смысле, то мы будем говорить, что уравнение обладает свойством мероморфного продолжения (СМП). Вопросы о возможности принудительного аналитического продолжения решений дифференциальных уравнений в частных производных восходят к С. В. Ковалевской. В ее работе [1] содержится следующий результат. Пусть имеется уравнение $\partial_t^m u = P(x,t,\{\partial^{\alpha} u\})$, где $\alpha = (l_1,l_2)$ – двумерный мультииндекс, для которого $|\alpha| \leqslant m$, $l_2 < m$ (первой координате соответствует $x$, второй координате – $t$), при этом функция $P$ голоморфна по $(x,t)$ в окрестности точки $(x_0, t_0)$ и полиномиальна по остальным переменным. Тогда задача Коши $\partial^{i}_t u(x,t_0)= u_i (x)$, где $i = 0,1,\dots,m-1$, имеет локально голоморфное решение для любых голоморфных ростков $u_i$. Этот результат был также ранее опубликован Коши [2], поэтому теорема носит название Коши–Ковалевской. Однако, помимо резрешимости задачи Коши, Ковалевская установила, что задача Коши $u(x,0) = u_0 (x)$ для уравнения теплопроводности $\partial_t u = \partial^2_{xx} u$ разрешима не для всех ростков $u_0 (x)$ (тем самым предположение $|\alpha| \leqslant m$ опустить нельзя) – требуется наложить ограничения на рост коэффициентов ряда Тейлора, и если эти условия выполнены, то функция $u(x,t)$ продолжается до целой функции по переменной $x$. В дальнейшем теория уравнений в частных производных, в частности солитонных уравнений, развивалась по разным направлениям. Как мы видим из довольно популярных монографий [3]–[6] (последняя из которых посвящена изучению редукций уравнения (1)), наибольший интерес у математиков на протяжении долгого времени вызывает интегрируемость солитонных уравнений. Какой-либо конкретной связи между интегрируемостью и мероморфной продолжаемостью пока, по-видимому, не установлено. Можно лишь отметить, что многие известные уравнения, обладающие СМП, интегрируемы в симметрийном смысле. Тем не менее СМП интересно само по себе. Многие физически интересные уравнения обладают этим свойством (см. примеры в разделе 7). Кроме того, интуитивно свойство мероморфности кажется куда более естественным, чем наличие ветвления. Результаты настоящей работы являются естественным обобщением результатов работы [7], касающихся мероморфного продолжения. В работе [7] существенным требованием являлась простота спектра матрицы $a$ (и матрицы $b$, см. лемму 1), т. е. отсутствие повторяющихся собственных чисел. В дальнейшем случай, когда матрицы $a$ и $b$ имеют простой спектр, мы будем называть скалярным. Помимо самого результата о наличии СМП, в разделе 7 приведено несколько содержательных примеров, а именно нелинейные уравнения Шредингера (НУШ), а также уравнение Кортевега–де Фриза (КдФ) и модифицированное уравнение Кортевега–де Фриза (мКдФ) (а точнее, матричные аналоги указанных уравнений). Отдельно отметим уравнения (40), обсуждавшиеся в статьях [8]–[10]. Они имеют решения, называемые бумеронами. Такие решения также обсуждались в книге [6]. Бумероны привлекают внимание благодаря набору причудливых свойств, а СМП – дополнительное свойство в эту копилку. 2. Алгебраические вопросыПусть $a \in \mathrm{gl}(n,\mathbb{C})$ – блочно-диагональная матрица, в которой каждый диагональный блок скалярно кратен единичной матрице, т. е. имеет вид $\operatorname(\alpha_1 I_{s_1},\dots,\alpha_k I_{s_k})$, где $\alpha_i \ne \alpha_j$ для $i \ne j$. Мы будем говорить, что некая матрица той же размерности, что и матрица $a$, является $a$-диагональной ($a$-внедиагональной), если она при аналогичном матрице $a$ разбиении на блоки является блочно-диагональной (блочно-внедиагональной). Тогда для любой матрицы $F \in \mathrm{gl}(n,\mathbb{C})$ ее коммутатор $[a,F] = aF - Fa$ с матрицей $a$ является $a$-внедиагональным. Если матрица $F$ еще и $a$-внедиагональна, тогда операция коммутирования обратима (при выполнении условий на матрицу $a$, указанных выше). Таким образом, коммутатор можно рассматривать как линейный обратимый оператор $A_a (F) = [a,F]$, определенный на пространстве $a$-внедиагональных матриц. Обратимость следует из равенства $[a,F]_{i,j} = (\alpha_i - \alpha_j) F_{i,j}$, где индексы $i,j$ обозначают номера блоков. Для матрицы $X$ будем обозначать через $X^\mathrm{d}$ и $X^\mathrm{od}$ соответственно диагональную матрицу с диагональными элементами, как у матрицы $X$, и внедиагональную матрицу с внедиагональными элементами матрицы $X$. Если $X \in \mathrm{gl}(n,\mathbb{C})$, то через $X^\mathrm{a-d}$ и $X^\mathrm{a-od}$ будем обозначать аналогично $a$-диагональную и $a$-внедиагональную части матрицы $X$. Итак, из сказанного выше получаем основное алгебраическое свойство: если $a = \operatorname{diag} (\alpha_1 I_{s_1},\dots, \alpha_k I_{s_k})$, причем $\alpha_i \ne \alpha_j$ для $i \ne j$, то оператор $A(F) = [a,F]$ обратим, как оператор на $\mathrm{gl}^\mathrm{a-od}(n,\mathbb{C})$. В дальнейшем, имея в виду обратимость оператора $A(F) = [a, F]$, будем говорить “операция коммутирования обратима”, или, короче, “коммутатор обратим” (хотя матрица $[a,F]$ может и не быть обратима). Обозначим через $\mathfrak{R}(x_0)$ множество всех голоморфных матричных ростков в точке $x_0$. Если далее точка не указана, то подразумевается, что речь идет о точке $x_0$. Мы назовем отображение $F\!:\mathfrak{R} \to \mathfrak{R}$ дифференциальным полиномом, если для $q \in \mathfrak{R}$ его образ $F(q)$ является полиномом от $q$ и его производных. Теперь переформулируем лемму, сформулированную для скалярного случая, на матричный случай. Лемма 1. Пусть матрицы $a, b, c_1, c_2,\ldots \in \mathrm{gl}(n, \mathbb{C})$, причем матрица $a$ имеет блочно-диагональный вид, указанный выше, а матрицы $c_i$ и $b$ являются $a$-диагональными. Тогда существует единственная последовательность интегро-дифференциальных полиномов $F_j\!: \mathfrak{R} \to \mathfrak{R}$, $j = 0, 1, 2,\dots$, таких что: 1) $F_0 (q) \equiv b$; 2) $F_j (0) \equiv c_j$ для всех $j = 1,2,\dots$; 3) формальный ряд Лорана $F(q,z) = \sum_{j=0}^{\infty} F_j (q) z^{-j}$ удовлетворяет уравнению тождественно по $x$ и $z$ для всех $q \in \mathfrak{R}^\mathrm{a-od}$.В скалярном случае принципиальным моментом являлась невырожденность спектра матрицы $a$, т. е. все диагональные элементы этой матрицы должны быть различными. В данном случае мы допускаем повторение собственных чисел и увеличиваем количество параметров матриц $c_j$, но уменьшаем количество ненулевых элементов в $q$. Доказательство. Используя обозначения $D_j = F_j (q)^\mathrm{a-d}$ и $N_j = F_j (q)^\mathrm{a-od}$, получаем, что $F_j (q) = D_j + N_j$, и подставляем в (2) выражение для $F(q,z)$ в виде формального степенного ряда. Получаем систему (полагая $F_{-1} \equiv 0$) Благодаря указанным выше свойствам коммутатора эта система разрешима единственным образом. Замечание 1. В скалярном случае можно показать, что полиномы $F_{j}$ являются дифференциальными. Это утверждение существенно опирается на свойство следа, а именно на то, что след коммутатора равен нулю: $\operatorname{tr} [A,B] = 0$. В случае блочных матриц отсутствует понятие, эквивалентное следу, поэтому $F_j$ являются, вообще говоря, интегро-дифференциальными полиномами. Тем не менее уравнения, содержащие первообразные, также представляют интерес, как мы увидим ниже. 3. Постановка задачи и основное уравнениеПусть $U,V$ – голоморфные $\mathrm{gl}(n,\mathbb{C})$-значные функции в некоторой односвязной области в $\mathbb{C}^2_{xt}$. Рассмотрим систему Данная система имеет (см., например, [11]) голоморфно обратимое решение в той же области тогда и только тогда, когда функции $U, V$ удовлетворяют уравнению нулевой кривизны:Мы будем рассматривать случай, когда $U$ и $V$ являются полиномами по $z$ первой и $m$-й степени соответственно, т. е.
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, U(x,t,z) &= az + q(x,t), \\ V(x,t,z) &= bz^m + r_1 (x, t) z^{m-1} +\dots+ r_m (x,t), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{7}
$$
где $a,b,c_i$ – матрицы указанного выше вида, причем матрица $b$ теперь чисто диагональна и имеет вид $\operatorname{diag}(\beta_1 I_{s_1},\dots,\beta_k I_{s_k})$ (такой же, как у матрицы $a$), $q(x,t)$ – $a$-внедиагональная функция. Требуется найти условия на $q$ и $r_i$, при которых функции $U$ и $V$ удовлетворяют уравнению нулевой кривизны в смысле формальных сумм по $z$ (т. е. при подстановке $U$ и $V$ в уравнение нулевой кривизны коэффициенты при степенях $z$ должны обращаться в нуль). Опираясь на лемму 1 и повторяя рассуждения из работы [7] (см. систему (1.11), лемму 1.3 и следствие 1.1 в указанной работе; требование диагональности $a$ заменяется на требование к виду матрицы $a$, указанному выше), получаем, что $U(x,t,z)$ и $V(x,t,z)$ удовлетворяют уравнению нулевой кривизны тогда и только тогда, когда $r_i = F_i(q)$ для $i = 1,\dots,m$, а $q$ удовлетворяет уравнению Матрицы $c_i(t)$ при этом могут зависеть от $t$ голоморфно в рассматриваемой области (однако в дальнейшем будем предполагать, что $c_i$ не зависят от $t$).Уравнение (8) играет ключевую роль в настоящей работе. Его можно принять за определение солитонных уравнений параболического типа. 4. О формальных степенных рядахСледуя терминологии скалярного случая, назовем связностью формальный степенной ряд $U = az + \sum_{i=0}^{\infty} u_i (x) z^{-i}$, где матрица $a$, как и прежде, имеет блочно-диагональный вид $\operatorname{diag}(\alpha_1 I_{s_1},\dots,\alpha_k I_{s_k})$ и $u_i \in \mathfrak{R}$. Назовем калибровочным преобразованием связности $U$ в связность $V$ формальный степенной ряд
$$
\begin{equation*}
\Phi = I + \sum_{i=0}^{\infty} \phi_i (x) z^{-(i+1)}, \qquad \phi_i \in \mathfrak{R},
\end{equation*}
\notag
$$
такой, что $V = \Phi_x \Phi^{-1} + \Phi U \Phi^{-1}$. Данное определение как раз соответствует замене искомой функции $F=\Phi E$ в уравнении (4). Уравнение на $\Phi$ можно записать в виде Возникает вопрос: какие связности получаются друг из друга калибровочным преобразованием? В частности, нас будет интересовать случай, когда одной из связностей является $U = az + q$. Ответ на этот вопрос дает следующее утверждение. Утверждение 1. Пусть $q \in \mathfrak{R}^\mathrm{a-od}$. Тогда для любого набора $\kappa_k \in \mathfrak{R}^\mathrm{a-d}$, $k = 1,2,\dots$, и $a$-диагональных матриц $C_j$ существует единственный формальный степенной ряд $\Phi$ указанного выше вида такой, что и $\{\phi_k(x_0)\}_{a-d} = C_k$. Сравнивая коэффициенты при степенях $z$ и обозначая $(\phi_k)_\mathrm{a-d} = D_k$, $(\phi)_\mathrm{a-od} = N_k$, получаем систему уравнений
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, 0 &= [a, N_1] + q, \\ D'_j &= (qN_j)_\mathrm{a-d} - \sum \limits^{j-1}_{k=1} D_k \kappa_{j-k} - \kappa_j,\\ N'_j &= [a, N_{j+1}] + q D_j + (q N_j)_\mathrm{a-od} - \sum^{j-1}_{k=1} N_k \kappa_{j-k}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{10}
$$
Как уже отмечалось выше (см. основное алгебраическое свойство из раздела 2), коммутатор $[a, N_{j+1}]$ при сделанных предположениях на матрицу $a$ обратим, следовательно, эта система разрешима. Замечание 2. Отсюда сразу следует важное свойство, а именно: калибровочное преобразование связности $az$ в себя $a$-диагонально и не зависит от $x$. Для проверки достаточно в системе положить $q \equiv 0$ и $\kappa_k \equiv 0$. 5. Классы ЖевреМы скажем, что формальный степенной ряд $\phi = \sum^{\infty}_{k=0} \phi_k z^{-k}$, где $\phi_k \in \mathrm{gl}(n, \mathbb{C})$, принадлежит $\operatorname{Gev}_{\alpha}$ ($\alpha \geqslant 0$), т. е. классу Жевре $\alpha$, если числовой ряд $\sum^{\infty}_{k=1} \frac{|\phi_i|}{(k!)^{\alpha}} x^k$ сходится для некоторого $x>0$. Здесь мы обозначили через $|\cdot|$ любую норму на $\mathrm{gl}(n, \mathbb{C})$, обладающую свойством $|A| |B| \geqslant |AB|$. Соответственно через $\operatorname{Gev}_{\alpha}^\mathrm{a-od}$ обозначим подмножество $\operatorname{Gev}_{\alpha}$, для которого $\phi_k$ – $a$-внедиагональные матрицы. Обозначим через $G_{\alpha} (A)$ ($A>0$) множество всех степенных рядов $\phi = \sum^{\infty}_{k=0} \phi_k z^{-k}$ из $\operatorname{Gev}_{\alpha}$, для которых ряд $\sum^{\infty}_{k=1} \frac{|\phi_i|}{(k!)^{\alpha}} x^k$ имеет радиус сходимости больше или равный $A$. Тогда на $G_{\alpha} (A)$ можно ввести следующую норму:
$$
\begin{equation*}
\|\phi\|_{\alpha,A} = \sum^{\infty}_{k=0} \frac{|\phi_i|}{(k!)^{\alpha}} A^{-k}.
\end{equation*}
\notag
$$
При таком определении нормы пространство $G_{\alpha} (A)$ становится банаховым, изометрически изоморфным $l_1$. Именно принадлежность данных рассеяния (о которых пойдет речь ниже) к определенным классам Жевре дает СМП. 6. Формулировка и доказательство основной теоремыСформулируем основную теорему. Теорема 1. Пусть матрицы $a,b,c_i$ для $i = 1,\dots,m$ фиксированы, как в лемме 1. Тогда для любого голоморфного $a$-внедиагонального решения $q(x,t)$ уравнения (8) в окрестности точки $(x_0, t_0) \in \mathbb{C}^2$ существует число $\delta > 0$ и мероморфная $a$-внедиагональная функция $Q(x,t)$ на множестве $\{(x,t) \in \mathbb{C}^2 \mid |t-t_0| < \delta\}$ такие, что $Q = q$ в окрестности точки $(x_0, t_0)$. Таким образом, решения уравнения (8) допускают мероморфное продолжение на всю комплексную плоскость по переменной $x$. Для доказательства потребуется ввести еще один объект. Определим формальный степенной ряд $\mu(x,z) = I + \sum_{j=1}^{\infty} \mu_j (x) z^{-j}$ для заданного $q \in \mathfrak{R}^\mathrm{a-od}$ и $\mu_j \in \mathfrak{R}$ такой, что где $\mu_j(x_0)$ – $a$-внедиагональные матрицы.Иными словами, $\mu$ – это калибровочное преобразование связности $az$ в $az + q$. Согласно доказанному выше утверждению 1 такое преобразование существует. Назовем (локальными) данными рассеяния потенциала $q$ следующий формальный ряд: Отображение $q \to Lq$ оказывается биективным на множестве $a$-внедиагональных матричнозначных функций $q$, причем его образом является класс $\operatorname{Gev}_1^\mathrm{od}$. Доказательство этого факта естественным образом разбивается на серию утверждений.1. $Lq \in \operatorname{Gev}_1$. Для доказательства потребуется следующее утверждение. Лемма 2. Пусть даны целые числа $m, \nu \geqslant 1$ и зависящее от параметра $z \in \mathbb{C}$ дифференциальное уравнение на $\mathbb{C}^{\nu}$-значную голоморфную функцию $y(x)$ в окрестности точки $x_0 \in \mathbb{C}$, где $A\!: \mathbb{C}^{\nu} \to \mathbb{C}^{\nu}$ – обратимый линейный оператор, а каждое $B_k (x,y)$ – полином от компонент вектора $y$ с $\mathbb{C}^{\nu}$-значными коэффициентами, голоморфными в точке $x_0$. Тогда уравнение имеет единственное формальное решение вида $y(x,z) = \sum_{k=0}^{\infty} a_k(x) z^{-k}$ с $\mathbb{C}^{\nu}$-значными коэффициентами, голоморфными в точке $x_0$. При этом все $\mathbb{C}^{\nu}$-значные ростки $a_k(x)$ голоморфны в некоторой общей для них окрестности точки $x_0$, $a_0 \equiv 0$, и формальный ряд $y(x_0, \cdot)$ принадлежит классу Жевре $\operatorname{Gev}_{1/m}$. Доказательство леммы 2 можно найти в работе [7]. Набросок доказательства более общего результата можно найти в книге [12] (теорема А.5.4.1). Чтобы воспользоваться леммой 2, надо переписать $Lq(z)$. Для этого положим в (9) $a$-диагональную часть $D_j$ равной нулю. Тогда получим некоторое калибровочное преобразование $M(x,z)$, причем $M(x,z) - I$ $a$-внедиагонально. Далее, требуется показать, что $Lq(z) = M(x_0, z) - I$. Рассмотрим калибровочное $a$-диагональное преобразование $\delta(x,z)$, определяемое из (9), полагая $q(x) \equiv 0$, $\phi^\mathrm{a-od}(x) \equiv 0$. Это преобразование переводит $a$-диагональную связность $az+\kappa(x,z)$ в $U_0 (x,z) = az$. Тогда $\Delta(x,z): = \delta(x,z) M^{-1} (x,z)\mu(x,z)$ – калибровочное преобразование $U_0$ в себя, а такие преобразования $a$-диагональны и не зависят от $x$ (см. замечание 2). Отсюда получаем $\mu = M \delta^{-1} \Delta = \delta^{-1} \Delta + (M-I) \delta^{-1} \Delta$. Разделяя $a$-диагональные и $a$-внедиагональные части, получаем, что $\mu^\mathrm{a-d} = \delta^{-1} \Delta$ и $\mu^\mathrm{a-od} = (M-I)\delta^{-1} \Delta$, или $\mu^\mathrm{a-od} = (M-I)\mu^\mathrm{a-d}$. В точке $x_0$ данное равенство превращается в $Lq(z) = M(x_0, z) - I$. Положим $N(x,z) := M(x,z) - I$. Учитывая, что по построению $M_x = (az + q) M - M(az+\kappa)$, получаем $N_x = z [a,N] + q(I+N) - (I+N) \kappa$. А отсюда разделением диагональной и внедиагональной частей получается уравнение типа (13) с оператором $A(N) = [a, N]$, который обратим по основному алгебраическому свойству. 2. Оператор $L\!: \mathfrak{R}^\mathrm{a-od} \to \operatorname{Gev}_1^\mathrm{a-od}$ инъективен. Данное утверждение доказывается напрямую. Пусть $q(x) = \sum^{\infty}_{j=0} q_j (x-x_0)^j$. Пусть $m_k (x) = \sum_{k,j=0}^{\infty} m_{k,j} (x-x_0)^j$. Требуется найти коэффициенты $m_{k,j}$. Подставляя эти коэффициенты в уравнение на $\mu$, получаем
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, {} [a,m_{j0}] + q_j= 0, \qquad j \geqslant 0,\\ (j+1)m_{j+1,k}= [a,m_{j,k+1}] + \sum_{s=0}^j q_s m_{j-s,k}, \qquad j,k \geqslant 0. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{14}
$$
Последовательно решая эту систему (используя основное алгебраическое свойство), находим матричные коэффициенты $m_{k,j}$. 3. $LB \phi = \phi$ для всех $\phi \in \operatorname{Gev}_1^\mathrm{a-od}$ и некоторого оператора $B\!: \operatorname{Gev}_1 \to \mathfrak{R}^\mathrm{a-od}$. Кроме того, $L$ – биективный оператор из $\mathfrak{R}^\mathrm{a-od}$ в $\operatorname{Gev}_1^\mathrm{a-od}$. Оператор $B$ определяется следующим образом: где вычет определяется как коэфффициент при степени $z^{-1}$, а $\gamma_-(x, \cdot) \in I + \operatorname{Gev}_1$ – решение задачи Римана
$$
\begin{equation}
e^{a(x-x_0)z} (I + \phi(z))^{-1} = \gamma^{-1}_- (x,z) \gamma_+ (x,z).
\end{equation}
\tag{16}
$$
Это решение существует и единственно в окрестности точки $x_0$, оно имеет вид $\gamma_- (x,z) = I+\sum_{j=0}^{\infty} g_j(x) z^{-(j+1)}$ и является калибровочным преобразованием связности $az$ в $az + B \phi(x)$ (см. [7], § 4). Как отмечалось выше, соотношение (11) можно рассматривать как определение калибровочного преобразования $\mu(x,z)$. Тогда $\Delta(x,z): = \gamma_-^{-1} (x,z) \mu(x,z)$ – калибровочное преобразование связности $U_0 (x,z) = az$ в себя. Такие преобразования $a$-диагональны и не зависят от $x$ (см. замечание 2). Тогда при $x=x_0$ имеем где $\Delta(z) = \Delta(x_0,z)$ и $q(x) = B\phi(x)$. Разделяя $a$-диагональные и $a$-внедиагональные части и учитывая, что $\phi(z)$ $a$-внедиагонально, получаем, что $I = \Delta(z)$ и $Lq(z) = \phi(z) \Delta(z)$.Этим доказано, что $L$, как оператор из $\mathfrak{R}^\mathrm{a-od}$ в $\operatorname{Gev}_1^\mathrm{a-od}$, – сюръекция, что в совокупности с уже доказанной инъективностью дает биективность. 4. Если $Lq \in \operatorname{Gev}_{\alpha}$ для некоторого $\alpha <1$ и $a$-внедиагонального ростка $q(x)$, то этот росток допускает мероморфное $a$-внедиагональное продолжение $Q(x)$ на всю комплексную плоскость $\mathbb{C}$. Доказательство практически сразу вытекает из п. 3 доказательства. Если $Lq \in \operatorname{Gev}_{\alpha}$, то из теоремы 4.1 работы [7] для $m=1$ и $\Omega = \mathbb{C}_x$ следует, что $\gamma_- (x,z)$ мероморфно продолжается по $x$. Следовательно, все функции $g_j(x)$ из разложения $\gamma_-(x,z)$ в ряд Лорана также продолжаются мероморфно, в том числе и $g_0(x)$. Тогда из (15) следует, что $B \phi(x)$ продолжается мероморфно. А так как $LB \phi(x) = \phi(x)$, то в качестве $Q(x)$ можно взять $B\phi(x)$, положив $\phi(x) = Lq(x)$. 5. Пусть $q_0 \in \mathfrak{R}^\mathrm{a-od}$. Если задача Коши
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &q_t = [a, F_{m+1} (q)],\\ &q(x_0,t) = q_0 (x) \end{aligned}
\end{equation}
\tag{18}
$$
имеет локальное голоморфное решение, то $Lq_0 \in \operatorname{Gev}_{1/m}$. Пусть задан $q \in \mathfrak{R}^\mathrm{a-od}$. По формуле (11) определим $\mu(x,t,z)$. При каждом фиксированном $t$ это калибровочное преобразование связности $U_0 (x,t,z) = az$ в $U (x,t,z) = az+q(x,t)$. Идея доказательства заключается в том, чтобы рассмотреть связность $V_0 (x,t,z) = - \mu^{-1} \mu_t + \mu^{-1} V \mu$, тогда $\mu$ представляет собой калибровочное преобразование связности $V$ в $V_0$ по переменной $t$. По аналогии с [7] (формула (6.4)) доказывается, что $V_0$ имеет следующий вид:
$$
\begin{equation}
V_0 (x,t,z) = bz^m + \sum_{k = -\infty}^{m-1} \varphi_k (t) z^k
\end{equation}
\tag{19}
$$
для некоторых ростков $\varphi_k \in \mathfrak{R}^\mathrm{a-d}$. Осталось положить $N (t,z) := \mu(x_0,t,z) - I$ и переписать уравнение на $V_0$ в виде Снова разделяя $a$-диагональные и $a$-внедиагональные части, получаем
$$
\begin{equation}
N_t = V N - N V_\mathrm{d} + V_\mathrm{od} - (I + N)(V_\mathrm{od} N)_\mathrm{d}.
\end{equation}
\tag{21}
$$
Это уравнение имеет вид (13) с заменой $x$ на $t$. Обратимый оператор $A$ есть не что иное, как коммутатор $[b,N]$, который действительно является обратимым в силу условий на $b$ и $a$-внедиагональности $N$. Следовательно, из $Lq_0 (z) = N(t_0,z)$ имеем $Lq_0 \in \operatorname{Gev}_{1/m}$. 7. ПримерыВ этом разделе мы разберем несколько примеров применения основной теоремы. 7.1. Уравнения КдФ и мКдФВ скалярном случае из (8) при $i=3$, $a=b=\operatorname{diag}\{1/2,-1/2\}$, $c_i = 0$ и $q_{21} (x,t) = 1, \, q_{12} (x,t) = u(x,t)$ получается уравнение КдФ: а при $a=b=\operatorname{diag}\{1/2,-1/2\}$, $c_i = 0$ и $q_{21} (x,t) = q_{12} (x,t) = u(x,t)$ получается уравнение мКдФ:Матричный случай можно получить из скалярного заменой скалярной функции $u$ на квадратную матричную функцию размера $k$, а матрицы $\operatorname{diag}\{1/2,-1/2\}$ на $\operatorname{diag}\{1/2 I_{k},-1/2 I_{k}\}$. Тогда матричные уравнения КдФ и мКдФ принимают вид
$$
\begin{equation}
u_t = u_{xxx} - 3uu_x - 3u_x u, \qquad u_t = u_{xxx} + 3u^2 u_x +3 u_x u^2.
\end{equation}
\tag{24}
$$
Так как эти уравнения получаются из уравнения (8) также при $i=3$, то они обладают СМП. Замечание 3. Оба приведенные уравнения входят в список так называемых $\lambda$-однородных уравнений (см. [14]–[16]). В случае, если иерархия, задаваемая (8), совпадает с иерархией, задаваемой оператором рекурсии из [15] (в скалярном случае это так, см. [16]; в матричном случае это утверждение почти не вызывает сомнений, хотя, судя по всему, пока строго не проверялось), то удастся решить вопрос о наличии СМП для определенного класса $\lambda$-однородных уравнений. 7.2. НУШ и его обобщенияПервая серия примеров взята из работы [8]:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, Q_t &= [C^{(0)}, Q] + \sigma [C^{(1)}, Q_x] - \sigma \{Q, W \} - i \gamma \sigma (Q_{xx} - 2 Q^3),\\ W_x &= [C^{(1)}, Q^2], \end{aligned}
\end{equation}
\tag{25}
$$
где $Q = Q(x,t)$ – блочно-внедиагональная матрица, а $W = W(x,t)$, $C^{(i)}$ – блочно-диагональные матрицы (разбитые на блоки одинаково). Фигурные скобки обозначают антикоммутатор: $\{A,B\} = AB + BA$, константа $\gamma$ действительная. Матрица $\sigma$ также блочно-диагональная, имеющая вид $\sigma = \operatorname{diag}(I_{N^{(+)} },-I_{N^{(-)}})$, т. е.
$$
\begin{equation}
\sigma = \begin{pmatrix} I_{N^{(+)}} & 0 \\ 0 & -I_{N^{(-)} } \end{pmatrix},
\end{equation}
\tag{26}
$$
где $I_{N}$, как и ранее, – единичная матрица размерности $N$. Заметим, что уравнения (25) суть не что иное, как второй поток ($m=2$) уравнения (8) с матрицами $a = b = \sigma$. Действительно, при $m=2$ основное уравнение принимает вид
$$
\begin{equation}
q_t = \frac{\beta_1-\beta_2}{(\alpha_1-\alpha_2)^2} M_2 q + \frac{1}{\alpha_1-\alpha_2} M_1 q + [C_0, q],
\end{equation}
\tag{27}
$$
где $a = \operatorname{diag}(\alpha_1 I_{s_1}, \alpha_2 I_{s_2})$, $b = \operatorname{diag}(\beta_1 I_{s_1}, \beta_2 I_{s_2})$, $C_1 = \operatorname{diag}(A,B)$,
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, q = \begin{pmatrix} 0 & u(x,t) \\ v(x,t) & 0 \end{pmatrix}, \qquad M_2q = \begin{pmatrix} 0 & u_{xx} - 2uvu \\ -v_{xx}+2vuv & 0 \end{pmatrix}, \\ M_1q = \begin{pmatrix} 0 & Au_x - u_x B + [\xi, A]u + u[\eta, B] \\ v_x A - Bv_x + [B,\eta]v + v[A, \xi] & 0 \end{pmatrix}. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{28}
$$
Здесь $A,B$ – матрицы, а $\xi$ и $\eta$ удовлетворяют уравнениям
$$
\begin{equation}
\xi_x = uv, \qquad \xi(x_0,t) = 0, \qquad \eta_x = vu, \qquad \eta(x_0, t) = 0.
\end{equation}
\tag{29}
$$
Сравнивая данное матричное уравнение с (25), убеждаемся в том, что они эквивалентны. Заметим, что второе уравнение в (25) может приводить к появлению дифференциальных полиномов. Пример 1. Положим $C^{(1)} = c \sigma$, где $c \in \mathbb{C}$. Тогда $W = 0$. Кроме того, в результате подстановки в (25) вместо $Q(x,t)$ функции слагаемые с коммутаторами пропадают и получается уравнение Это стандартная матричная версия НУШ. Докажем, что оно обладает СМП. Из (30) получается, что $Q(x-2ct,t) = e{-C^{(0)}t} \widehat{Q}(x,t) e^{C^{(0)}t}$. Функция $\widehat{Q}(x,t)$ при фиксированном $t$ продолжается мероморфно по переменной $x$ на всю комплексную плоскость. Но тогда и $Q(x,t)$ мероморфно продолжается по переменной $x$. Пример 2. Пусть $Q^*(x,t)=SQ(x,t)S$. Здесь и далее звездочка обозначает эрмитово сопряжение (в случае функций $f^*(x,t) = \bar{f}(\bar{x},\bar{t})$), а матрица $S$ постоянная и блочно-диагональная, т. е. $S = \operatorname{diag}(S^{(+)},S^{(-)})$, причем Из уравнений (34)–(36) можно получать различные частные случаи, меняя размеры блоков $N^{(\pm)}$ и постоянные матрицы $C^{(j)(\pm)}$. Более детальную информацию о самих уравнениях можно найти в работе [9]. Пример 3. Пусть $N^{(+)}=1$, $N^{(-)} = D$, $C^{(j)(\pm)} = 0$, $S^{(+)} = 1$ и $S^{(-)} = \widehat{S} = \operatorname{diag} (s_1, \dots, s_D)$ с $s_n^2 = 1$. Тогда $U(x,t)$ представляет собой вектор размерности $D$, а уравнение (34) переписывается в виде где $\langle u,v \rangle = \sum_{n=1}^D (u^{(n)})^* v^{(n)}$. При $D=2$ это уравнение принимает вид стандартного векторного НУШ. Пример 4. Пусть $N^{(+)}=1$, $N^{(-)} = 2$, $C^{(j)(+)} = 0$, $S^{(+)} = 1$, $S^{(-)} = \operatorname{diag} (-1, -1)$ и Как отмечалось в примере 2, вектор $u(x,t)$ и его координаты мероморфны по $x$. Кроме того, эта система уравнений содержит в качестве решений бумероны (см. [10], формулы (16)–(19)), причем бумеронам соответствуют именно компоненты $u^{(1)} (x,t)$ и $u^{(2)} (x,t)$, откуда следует, что данные бумероны допускают мероморфное продолжение по $x$. Что же касается компоненты $w(x,t)$, то про нее из основной теоремы ничего сказать нельзя, кроме того, что она является первообразной от мероморфной функции. Впрочем, как видно из (25), функция $w(x,t)$, вероятнее всего, является “вспомогательной” (так ее называют, например, в [10]) и нужна для того, чтобы записать уравнение в более компактном виде. Можно лишь добавить, что в приведенном в [10] примере $w_x (x,t) = C( \operatorname{ch} ^2 (p[x-\xi(t)])^{-1}$, где $C$ и $p$ – некоторые константы. Так как $w_x (x,t)$ имеет нулевой вычет во всех полюсах, то $w(x,t)$ является мероморфной функцией по $x$. Пример 5. Приведем еще частные случаи уравнений из примера 2, обладающих СМП. Пусть $N^{(+)}=2$, $N^{(-)} = D$, $C^{(j)(\pm)} = 0$, $S^{(+)} = \operatorname{diag} (s_1, s_2)$ и $S^{(-)} = \operatorname{diag} (s_1, \dots, s_D)$. Тогда получаем Рассмотрим частный случай $D=2$. Тогда $U$ – это матрица размера $2 \times 2$. В этом случае ее можно разложить по базису матриц Паули: $U = iu^{(4)} I + u^{(1)} \sigma_1 + u^{(2)} \sigma_2 +u^{(3)} \sigma_3$. Таким образом, получаем вектор $u = (u^{(1)},u^{(2)},u^{(3)},u^{(4)})$. Положим также $S^{(+)} = I$, $S^{(-)} = sI$ с $s^2 = 1$. Тогда получаем уравнение (подробнее см. [13]) Конфликт интересовАвтор заявляет, что у него нет конфликта интересов. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Shu23} |
|
||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|