| Теоретическая и математическая физика |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) Об одном типе многокомпонентных неизоспектральных иерархий обобщенного нелинейного уравнения Шредингера Цзянь-До Юйa, Хай-Фэн Ванb, Чуань-Чжун Лиc a School of Mathematics and Statistics, Ningbo University, Ningbo, China b School of Science, Jimei University, Xiamen, China c College of Mathematics and Systems Science, Shandong University of Science and Technology, Qingdao, China
Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2023, Volume 215, Issue 3, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0040577923060077 
Реферативные базы данных:
   1. ВведениеШироко известно, что одной из важнейших тем современной теории интегрируемых систем является поиск новых интегрируемых систем. В работе Ту [1] был представлен эффективный подход к получению иерархий интегрируемых уравнений путем выбора подходящих петлевых алгебр, который Ма назвал схемой Ту [2], [3]. С помощью схемы Ту были исследованы разнообразные изоспектральные интегрируемые иерархии и их свойства [4]–[9]. В работе [10] был сформулирован систематический метод построения неизоспектральных интегрируемых систем из заданной изоспектральной иерархии и продемонстрировано его применение к трем иерархиям интегрируемых систем. Кроме того, в работах [11], [12] для анализа алгебраических структур, представлений Лакса и алгебр операторов Лакса изоспектральных и неизоспектральных иерархий эволюционных уравнений применялись уравнения Лакса. В работах [13], [14] использовались обобщенные представления Лакса, и с помощью производных Гато и рядов Ленара были выведены некоторые интересные изоспектральные и неизоспектральные интегрируемые иерархии, а также их редуцированные уравнения. Этот метод очевидно отличается от схемы Ту. В работе [15] обобщенное уравнение нулевой кривизны использовалось для получения некоторых неизоспектральных интегрируемых иерархий в случае, когда спектральный параметр $\lambda_t$ является мономом от $\lambda$. Предположив, что спектральный параметр имеет вид $\lambda_t=\sum_{i=0}^n k_i(t)\lambda^{n-i}$, Чжан с соавторами [6] применил улучшенную схему Ту для получения некоторых изоспектральных и неизоспектральных интегрируемых иерархий (см. также статьи [16]–[21]). Всё большее внимание многих математиков и физиков привлекают интегрируемые связи и ассоциированные с ними теории. Важной темой является построение гамильтоновых структур. Интегрируемые связи были получены из возмущений решений эволюционных уравнений [22] и тензорного пучка возмущений [23]. Чтобы установить гамильтонову структуру интегрируемых связей, Ма с соавторами [3] применил вариационное тождество к уравнениям нулевой кривизны, связанным с неполупростыми алгебрами Ли, такими как в работах [24]–[33]. В работе [34] была введена расширеннная неполупростая алгебра Ли, элементами которой являются квадратные матрицы вида
$$
\begin{equation}
M(m_1, m_2)=\begin{pmatrix} m_1 & \varepsilon m_2 \\ m_2 & m_1 \end{pmatrix}
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
с произвольной постоянной $\varepsilon$. Авторы работы [35], применив неполупростые алгебры Ли, вывели две интегрируемые связи путем решения изоспектрального и неизоспектрального уравнений нулевой кривизны, а также построили бигамильтоновы структуры полученной иерархии. Как развитие данного исследования в работах [36], [37] был предложен новый метод построения $Z_N^\varepsilon$-иерархии неизоспектральных интегрируемых связей. В этой работе была определена $N$-мерная алгебра Ли квадратных матриц размера $N\times N$, имеющих вид
$$
\begin{equation}
M(m_1,\ldots,m_N)=\begin{pmatrix} m_1 & \varepsilon m_N & \varepsilon m_{N-1} & \ldots & \varepsilon m_2 \\ m_2 & m_1 & \varepsilon m_N & \ddots & \vdots \\ m_3 & m_2 & m_1 & \ddots & \varepsilon m_{N-1} \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \varepsilon m_N \\ m_N & \ldots & m_3 & m_2 & m_1 \end{pmatrix}=: [m_1,\ldots, m_N]^{\mathrm T},
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
где $m_n$ ($n=1,\ldots,N$) – произвольные квадратные матрицы одного и того же размера. Здесь для удобства матрица размера $N\times N$ обозначена как вектор $[m_1,\ldots,m_N]^{\mathrm T}$ с матричными компонентами. При $N=2$ матрица (1.2) сводится к (1.1). Используя эту $N$-мерную алгебру Ли, авторы работ [36], [37] рассмотрели изоспектральную задачу для иерархии мКдФ и неизоспектральную задачу для иерархии АКНС и получили изоспектральные связанные $Z_N^\varepsilon$-иерархии мКдФ и АНКС путем решения уравнения нулевой кривизны. Бигамильтоновы структуры этих двух иерархий были построены с использованием $Z_N^\varepsilon$-тождества следов. В настоящей статье мы строим два вида многомерных неизоспектральных иерархий, ассоциированных с обобщенным нелинейным уравнением Шредингера (иерархий оНУШ), используя два новых класса многомерных алгебр Ли. Статья организована следующим образом. В разделе 2 мы сначала напоминаем, что такое алгебра Ли $A$ и связанная с $A$ алгебра $A_1$ с параметрами $\alpha$ и $\beta$, и рассматриваем решение стационарного уравнения нулевой кривизны, ассоциированного с неизоспектральной задачей. Затем мы выводим интегрируемую иерархию, которую можно свести к оНУШ, и переходим к установлению бигамильтоновой структуры с помощью тождества следов. В разделе 3 алгебра Ли $A$ расширяется до алгебры Ли удвоенной размерности, и на основе расширенного неизоспектрального представления нулевой кривизны мы выводим связанную неизоспектральную интегрируемую иерархию с интегрируемыми связями. Применяя $Z^\varepsilon_2$-тождество следов, мы получаем ее бигамильтоновы структуры. В разделе 4 мы вводим $N$-мерную алгебру Ли. Рассматривая неизоспектральную задачу, мы строим неизоспектральную интегрируемую $Z_N^\varepsilon$-иерархию оНУШ и с использованием $Z_N^\varepsilon$-тождества следов получаем ее бигамильтоновы структуры. Раздел 5 посвящен выводам и обсуждениям. 2. Неизоспектральная интегрируемая иерархия оНУШНапомним, как устроена простая алгебра Ли, введенная в [32], [16]. Она задается следующим образом: где
$$
\begin{equation}
e_1=\begin{pmatrix} 1 & \phantom{-}0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix},\qquad e_2=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \qquad e_3=\begin{pmatrix} \phantom{-}0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}.
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
Коммутационные соотношения имеют вид
$$
\begin{equation*}
[e_1,e_2]=2e_3,\qquad [e_1,e_3]=2e_2,\qquad [e_2, e_3]=-2e_1,
\end{equation*}
\notag
$$
где $[a,b]=ab-ba$ для $a,b\in A$. Обобщением простой алгебры Ли $A$ является алгебра Ли $A_2= \operatorname{span} \{g_1,g_2,g_3\}$, где
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, g_1=\alpha e_1,\qquad g_2=\beta e_2+\beta^*e_3,\qquad g_3=\beta^*e_2-\beta e_3, \\ \alpha=\frac{\sqrt{3}i}{2},\qquad \beta=\frac{3\sqrt{2}-\sqrt{6}i}{4},\qquad i^2=-1, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
с коммутаторами
$$
\begin{equation*}
[g_1,g_2]=4\alpha g_2+4\alpha^2g_3,\qquad [g_1,g_3]=4\alpha^2g_2-4\alpha g_3,\qquad [g_2,g_3]=\frac{3}{\alpha}g_1.
\end{equation*}
\notag
$$
Положим $\bar g=g_1/4\alpha$, тогда $A_1= \operatorname{span} \{\bar g,g_2,g_3\}$ становится алгеброй Ли, если снабдить ее коммутационными соотношениями
$$
\begin{equation}
[\bar g,g_2]=g_2+\alpha g_3,\qquad [\bar g,g_3]=\alpha g_2-g_3,\qquad [g_2,g_3]=12\bar g.
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
Зададим петлевую алгебу для $\mathrm A_1$ следующим образом:
$$
\begin{equation*}
\tilde{\mathrm A}_1= \operatorname{span} \{\bar g(n),g_2(n),g_3(n)\},
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\bar g(n)=\bar g\lambda^n,\qquad g_2(n)=g_2\lambda^n,\qquad g_3(n)=g_3\lambda^n.
\end{equation*}
\notag
$$
Используя алгебру $\tilde{\mathrm A}_1$, поставим неизоспектральную задачу
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \begin{alignedat}{3} \psi_x&=M \psi, & \qquad M&=-i\bar g(1)+qg_2(0)+rg_3(0),\\ \psi_t&=N \psi, & \qquad N&=a \bar g(0)+b g_2(0)+cg_3(0), \end{alignedat}\\ \lambda_t=\sum_{m\geqslant 0}k_m(t)\lambda^{-m}. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
Чтобы вывести нелинейную обобщенную интегрируемую иерархию, необходимо решить следующее стационарное уравнение нулевой кривизны:
$$
\begin{equation}
N_x=\frac{\partial M}{\partial\lambda}\lambda_t+[M,N].
\end{equation}
\tag{2.5}
$$
Подставляя $M$ и $N$ из (2.4) в (2.5), получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, a_x&=12(qc-rb)-i\lambda_t,\\ b_x&=-i\lambda b-i\alpha\lambda c-(q+\alpha r)a,\\ c_x&=-i\alpha\lambda b+i\lambda c+(r-\alpha q)a. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.6}
$$
Запишем разложения
$$
\begin{equation*}
a=\sum_{m\geqslant 0}a_m\lambda^{-m},\qquad b=\sum_{m\geqslant 0}b_m\lambda^{-m},\qquad c=\sum_{m\geqslant 0}c_m \lambda^{-m}
\end{equation*}
\notag
$$
и подставим их в (2.6). Сравнивая выражения при одинаковых степенях $\lambda$, имеем уравнения
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, a_{m,x}&=12(qc_m-rb_m)-ik_m(t),\\ b_{m,x}&=-i b_{m+1}-i\alpha c_{m+1}-(q+\alpha r)a_m,\\ c_{m,x}&=-i\alpha b_{m+1}+ic_{m+1}+(r-\alpha q)a_m, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.7}
$$
которые приводят к рекуррентным соотношениям
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, a_m&=12\partial_x^{-1}(qc_m-rb_m)-ik_m(t)x,\\ b_{m+1}&=iqa_m-\frac{1}{i(1+\alpha^2)}(b_{m,x}+\alpha c_{m,x}), \\ c_{m+1}&=ira_m+\frac{1}{i(1+\alpha^2)}(c_{m,x}-\alpha b_{m,x}). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.8}
$$
Выберем начальные условия и наложим условия интегрируемости
$$
\begin{equation*}
a_j|_{q=r=0}=0,\qquad b_j|_{q=r=0}=0,\qquad c_j|_{q=r=0}=0,\qquad j\geqslant 0.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда вся последовательность $\{a_j,b_j,c_j\,|\,j>0\}$ получается из соотношений (2.8). Несколько первых ее членов имеют вид
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, b_1=q,\qquad c_1=r,\qquad a_1=-ik_1(t)x, \\ b_2=qk_1(t)x-\frac{1}{i(1+\alpha^2)}(q_x+\alpha r_x),\qquad c_2=rk_1(t)x+\frac{1}{i(1+\alpha^2)}(r_x-\alpha q_x), \\ a_2=\frac{6}{i(1+\alpha^2)}\bigl(2qr+\alpha (r^2-q^2)\bigr)-ik_2(t)x. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть
$$
\begin{equation*}
N^{(n)}=\sum^n_{m=0}\bigl(a_m\bar g(n-m)+b_mg_2(n-m)+c_mg_3(n-m)\bigr).
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда имеем
$$
\begin{equation*}
-N_x^{(n)}+[M,N^{(n)}]=(ib_{n+1}+i\alpha c_{n+1})g_2(0)+(i\alpha b_{n+1}-ic_{n+1})g_3(0).
\end{equation*}
\notag
$$
Используя уравнение нулевой кривизны получаем интегрируемую иерархию
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, q_{t_n}&=-ib_{n+1}-i\alpha c_{n+1}=b_{n,x}+(q+\alpha r)a_n, \\ r_{t_n}&=ic_{n+1}-i\alpha b_{n+1}=c_{n,x}+(\alpha q-r)a_n. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.9}
$$
Здесь мы использовали второе и третье уравнения из (2.7). При $n=0$ иерархия (2.9) принимает вид
$$
\begin{equation*}
\binom{q}{\,r\,}_{{}^{\scriptstyle t_0}}= \binom{-i(q+\alpha r)}{-i(\alpha q-r)}.
\end{equation*}
\notag
$$
При $n=1$ иерархия (2.9) сводится к
$$
\begin{equation*}
\binom{q}{\,r\,}_{{}^{\scriptstyle t_1}}= \binom{q_x}{r_x}+k_1(t)x\binom{-i(q+\alpha r)}{-i(\alpha q-r)}.
\end{equation*}
\notag
$$
При $n=2$ уравнения (2.9) дают
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \binom{q}{\,r\,}_{{}^{\scriptstyle t_2}}&= \frac{1}{1+\alpha^2} \binom{iq_{xx}+i\alpha r_{xx}-18i\alpha qr^2+6i\alpha q^3-6i\alpha^2r^3+6i(\alpha^2-2)q^2r} {i\alpha q_{xx}-ir_{xx}+6i(2-\alpha^2)qr^2-18i\alpha rq^2+6i\alpha^2q^3+6i\alpha r^3}+{} \nonumber\\ &\quad +k_2(t)x\binom{-i(q+\alpha r)}{-i(\alpha q-r)}+ k_1(t)\binom{q}{\,r\,}+ k_1(t)x\binom{q_x}{r_x}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.10}
$$
Если $\alpha=0$, $r=-q^*/6$, $\lambda_t=0$, то (2.10) сводится к широко известному НУШ Если $\lambda_t=0$, то (2.10) сводится к оНУШ (см. работу [16]). Мы называем уравнение (2.10) неизоспектральным оНУШ. Бигамильтоновы структурыВ этом пункте мы применяем тождество следов, обсуждавшееся в работе [1], для исследования бигамильтоновых структур нелинейной интегрируемой иерархии (2.9). Поскольку
$$
\begin{equation*}
\frac{\partial M}{\partial\lambda}=\frac{-ie_1}{4},\qquad \frac{\partial M}{\partial q}=\beta e_2+\beta^*e_3,\qquad \frac{\partial M}{\partial r}=\beta^*e_2-\beta e_3,
\end{equation*}
\notag
$$
после непосредственных вычислений получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \operatorname{tr} \biggl(N\frac{\partial M}{\partial\lambda}\biggr)=-\frac{ia}{8},\qquad \operatorname{tr} \biggl(N\frac{\partial M}{\partial q}\biggr)=2b(\beta^2-\beta^{*2})+4c\beta\beta^*=-6\alpha b+6c, \\ \operatorname{tr} \biggl(N\frac{\partial M}{\partial r}\biggr)=4b\beta\beta^*+2c(\beta^{*2}-\beta^2)=6b+6\alpha c. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Используя тождество следов
$$
\begin{equation*}
\frac{\delta}{\delta u}\int \operatorname{tr} \biggl(N\frac{\partial M}{\partial\lambda}\biggr)dx= \lambda^{-\gamma}\frac{\partial}{\partial\lambda}\lambda^\gamma \biggl( \operatorname{tr} \biggl(N\frac{\partial M}{\partial q}\biggr), \operatorname{tr} \biggl(N\frac{\partial M}{\partial r}\biggr)\biggr)^{\!\mathrm T},
\end{equation*}
\notag
$$
где $u=(q,r)^{\mathrm T}$, получаем
$$
\begin{equation*}
\frac{\delta}{\delta u}\int-\frac{ia}{8}\,dx= \lambda^{-\gamma}\frac{\partial}{\partial\lambda}\lambda^\gamma\binom{-6\alpha b+6c}{\phantom{-}6b+6\alpha c}.
\end{equation*}
\notag
$$
Используя разложения по $\lambda$ и сопоставляя коэффициенты при $\lambda^{-m-1}$ в левой и правой частях этого уравнения, имеем
$$
\begin{equation*}
\frac{\delta}{\delta u}\int-\frac{ia_{m+1}}{8}\,dx=(\gamma-m)\binom{-6\alpha b_m+6c_m}{\phantom{-}6b_m+6\alpha c_m}.
\end{equation*}
\notag
$$
Взяв $m=1$, получаем $\gamma=0$. Следовательно,
$$
\begin{equation}
\frac{\delta}{\delta u}\int\frac{a_{m+2}}{m+1}\,dx= \binom{\phantom{-}48i\alpha b_{m+1}-48ic_{m+1}}{-48ib_{m+1}-48i\alpha c_{m+1}}= \frac{\delta H_{m+1}}{\delta u},
\end{equation}
\tag{2.11}
$$
где $H_{m+1}=\int\frac{a_{m+2}}{m+1}\,dx$. Непосредственное вычисление приводит к следующему рекуррентному соотношению:
$$
\begin{equation}
\binom{\phantom{-}48i\alpha b_{m+1}-48ic_{m+1}}{-48ib_{m+1}-48i\alpha c_{m+1}}= L\binom{\phantom{-}48i\alpha b_m-48ic_m}{-48ib_m-48i\alpha c_m}+ R_0k_m(t),\qquad m\geqslant 0,
\end{equation}
\tag{2.12}
$$
где
$$
\begin{equation*}
L=\frac{i}{1+\alpha^2}\begin{pmatrix} L_{11} & L_{12} \\ L_{21} & L_{22} \end{pmatrix},
\end{equation*}
\notag
$$
матричные элементы задаются как
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, L_{11}&=-\partial_x-12[\alpha^2q\,\partial^{-1}_xr+\alpha(q\,\partial^{-1}_xq-r\,\partial^{-1}_xr)-r\,\partial^{-1}_xq], \\ L_{12}&=-\alpha\partial_x-12[\alpha^2q\,\partial^{-1}_xq-\alpha(r\,\partial^{-1}_xq+q\,\partial^{-1}_xr)+r\,\partial^{-1}_xr], \\ L_{21}&=-\alpha\partial_x+12[\alpha^2r\,\partial^{-1}_xr+\alpha(r\,\partial^{-1}_xq+q\,\partial^{-1}_xr)+q\,\partial^{-1}_xq], \\ L_{22}&=\partial_x+12[\alpha^2r\,\partial^{-1}_xq+\alpha(q\,\partial^{-1}_xq-r\,\partial^{-1}_xr)-q\,\partial^{-1}_xr], \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
а $R_0$ имеет вид Отсюда получаем бигамильтоновы структуры иерархии (2.9):
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \binom{q}{\,r\,}_{{}^{\scriptstyle t_n}}&= \binom{-ib_{n+1}-i\alpha c_{n+1}}{-i\alpha b_{n+1}+ic_{n+1}}=\\ &=J\binom{\phantom{-}48i\alpha b_{n+1}-48ic_{n+1}}{-48ib_{n+1}-48i\alpha c_{n+1}}=:J\frac{\delta H_{n+1}}{\delta u}=\\ &=J\biggl(L\frac{\delta H_n}{\delta u}+R_0k_n(t)\biggr)=:Q\frac{\delta H_n}{\delta u}+JR_0k_n(t)=\\ &=J\biggl(L^n\binom{\phantom{-}48i\alpha b_1-48ic_1}{-48ib_1-48i\alpha c_1}+\sum_{i=0}^nJL^{n-i}R_0k_i(t)\biggr)=\\ &=\Phi^nJ\binom{\phantom{-}48i\alpha b_1-48ic_1}{-48ib_1-48i\alpha c_1}+\sum_{i=0}^n\Phi^{n-i}JR_0k_i(t)=\\ &=\Phi^nJ\frac{\delta H_1}{\delta u}+\sum_{i=0}^n\Phi^{n-i}JR_0k_i(t) \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
с операторами Гамильтона $J$, $Q$ и $\Phi$, представляющими собой операторы наследственной симметрии,
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, J=\frac{1}{48}\begin{pmatrix} \phantom{-}0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix},\qquad Q=\frac{i}{48(1+\alpha^2)}\begin{pmatrix} \phantom{-}L_{21} & \phantom{-}L_{22} \\ -L_{11} & -L_{12} \end{pmatrix}, \\ \Phi=JLJ^{-1}=\frac{i}{1+\alpha^2}\begin{pmatrix} \phantom{-}L_{22} & -L_{21} \\ -L_{12} & \phantom{-}L_{11} \end{pmatrix}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
3. Интегрируемые связи неизоспектральной иерархии оНУШПо аналогии с работой [37] расширим алгебру Ли $\mathrm A$ до алгебры Ли большей размерности с базисом
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{3} h_1&=\begin{pmatrix} e_1 & 0 \\ 0 & e_1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 & \phantom{-}0 & 0 & \phantom{-}0\\ 0 & -1 & 0 & \phantom{-}0\\ 0 & \phantom{-}0 & 1 & \phantom{-}0\\ 0 & \phantom{-}0 & 0 & -1 \end{pmatrix},&\qquad h_2&=\begin{pmatrix} e_2 & 0 \\ 0 & e_2 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}, \\ h_3&=\begin{pmatrix} e_3 & 0 \\ 0 & e_3 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \phantom{-}0 & 1 & \phantom{-}0 & 0\\ -1 & 0 & \phantom{-}0 & 0\\ \phantom{-}0 & 0 & \phantom{-}0 & 1\\ \phantom{-}0 & 0 & -1 & 0 \end{pmatrix},&\qquad h_4&=\begin{pmatrix} 0 & \varepsilon e_1 \\ e_1 & 0 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0 & \phantom{-}0 &\varepsilon & \phantom{-}0\\ 0 & \phantom{-}0 & 0 & -\varepsilon\\ 1 & \phantom{-}0 & 0 & \phantom{-}0\\ 0 & -1 & 0 & \phantom{-}0 \end{pmatrix}, \\ h_5&=\begin{pmatrix} 0 & \varepsilon e_2 \\ e_2 & 0 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & \varepsilon\\ 0 & 0 & \varepsilon & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},&\qquad h_6&=\begin{pmatrix} 0 & \varepsilon e_3 \\ e_3 & 0 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \phantom{-}0 & 0 & \phantom{-}0 &\varepsilon\\ \phantom{-}0 & 0 & -\varepsilon & 0\\ \phantom{-}0 & 1 & \phantom{-}0 &0\\ -1 & 0 & \phantom{-}0 &0 \end{pmatrix}. \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
Коммутационные соотношения задаются как
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \begin{alignedat}{9} [h_1,h_2]&=2h_3,&\;\; [h_1,h_3]&=2h_2,&\;\; [h_1,h_4]&=0,&\;\; [h_1,h_5]&=2h_6,&\;\; [h_1,h_6]&=2h_5, \\ [h_2,h_3]&=-2h_1,&\;\; [h_2,h_4]&=-2h_6,&\;\; [h_2,h_5]&=0,&\;\; [h_2,h_6]&=-2h_4,&\;\; [h_3,h_4]&=-2h_5, \\ [h_3,h_5]&=2h_4,&\;\; [h_3,h_6]&=0, &\;\; [h_4,h_5]&=2\varepsilon h_3,&\;\; [h_4,h_6]&=2\varepsilon h_2,&\;\; [h_5,h_6]&=-2\varepsilon h_1. \end{alignedat} \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Предположим, что $G_1= \operatorname{span} \{h_1,h_2,h_3\}$, $G_2= \operatorname{span} \{h_4,h_5,h_6\}$, тогда $\widetilde{\mathrm A}_{12}=G_1\oplus G_2$. Очевидно, что
$$
\begin{equation*}
[G_1,G_1]\subseteq G_1,\qquad [G_1,G_2]\subseteq G_2,\qquad [G_2,G_2]\subseteq G_1.
\end{equation*}
\notag
$$
Далее построим еще одну расширенную алгебру Ли $\mathrm A_{12}= \operatorname{span} \{\tilde g_i\}_{i=1}^{6}$, где
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{5} \tilde g_1&=\frac{1}{4}h_1,&\qquad\tilde g_2&=\beta h_2+\beta^*h_3,&\qquad\tilde g_3&=\beta^*h_2-\beta h_3, \\ \tilde g_4&=\frac{1}{4}h_4,&\qquad\tilde g_5&=\beta h_5+\beta^*h_6,&\qquad\tilde g_6&=\beta^*h_5-\beta h_6, \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
с коммутационными соотношениями
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{5} [\tilde g_1,\tilde g_2]&=\tilde g_2+\alpha\tilde g_3,&\qquad [\tilde g_1,\tilde g_3]&=\alpha\tilde g_2-\tilde g_3,&\qquad [\tilde g_1,\tilde g_4]&=0, \\ [\tilde g_1,\tilde g_5]&=\tilde g_5+\alpha\tilde g_6,&\qquad [\tilde g_1,\tilde g_6]&=\alpha\tilde g_5-\tilde g_6,&\qquad [\tilde g_2,\tilde g_3]&=12\tilde g_1, \\ [\tilde g_2,\tilde g_4]&=-\tilde g_5-\alpha\tilde g_6,&\qquad [\tilde g_2,\tilde g_5]&=0,&\qquad [\tilde g_2, \tilde g_6]&=12\tilde g_4, \\ [\tilde g_3,\tilde g_4]&=-\alpha\tilde g_5+\tilde g_6,&\qquad [\tilde g_3,\tilde g_5]&=-12\tilde g_4,&\qquad [\tilde g_3,\tilde g_6]&=0, \\ [\tilde g_4,\tilde g_5]&=\varepsilon(\tilde g_2+\alpha\tilde g_3),&\qquad [\tilde g_4,\tilde g_6]&=\varepsilon(\alpha\tilde g_2-\tilde g_3),&\qquad [\tilde g_5, \tilde g_6]&=12\varepsilon\tilde g_1. \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
Рассмотрим следующую расширенную неизоспектральную задачу:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \begin{alignedat}{3} \psi_x&=U \psi,&\qquad &\begin{aligned} \, U&=\begin{pmatrix} U_1 & \varepsilon U_2 \\ U_2 & U_1 \end{pmatrix}= \\ &=-i\tilde g_1(1)+q_1\tilde g_2(0)+r_1\tilde g_3(0)-i\tilde g_4(1)+q_2\tilde g_5(0)+r_2\tilde g_6(0), \end{aligned} \\ \psi_t&=V \psi, &\qquad &\begin{aligned} \, V&=\begin{pmatrix} V_1 & \varepsilon V_2 \\ V_2 & V_1 \end{pmatrix}=\vphantom{|^\Big|} \\ &=a\tilde g_1(0)+b\tilde g_2(0)+c\tilde g_3(0)+d\tilde g_4(0)+e\tilde g_5(0)+f\tilde g_6(0), \end{aligned} \end{alignedat} \\ \lambda_t=\sum_{m\geqslant 0}k_m(t)\lambda^{-m},\vphantom{\Big|^\big|} \end{gathered}
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
где
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, U_1&=-i\bar g_1(1)+q_1g_2(0)+r_1g_3(0)=-\frac{i}{4}\lambda e_1+(q_1\beta+r_1\beta^*)e_2+(q_1\beta^*-r_1\beta)e_3, \\ U_2&=-i\bar g_1(1)+q_2 g_2(0)+r_2 g_3(0)=-\frac{i}{4}\lambda e_1+(q_2\beta+r_2\beta^*)e_2+(q_2\beta^*-r_2\beta)e_3, \\ V_1&=a\bar g_1(0)+bg_2(0)+cg_3(0)=\frac{a}{4}e_1+(b\beta+c\beta^*)e_2+(b\beta^*-c\beta)e_3, \\ V_2&=d\bar g_0(1)+e g_2(0)+f g_3(0)=\frac{d}{4}e_1+(e\beta+f\beta^*)e_2+(e\beta^*-f\beta)e_3. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
Запишем разложения
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{5} a&=\sum_{m\geqslant 0}a_m\lambda^{-m},&\qquad b&=\sum_{m\geqslant 0}b_m\lambda^{-m},&\qquad c&=\sum_{m\geqslant 0}c_m\lambda^{-m}, \\ d&=\sum_{m\geqslant 0}d_m\lambda^{-m},&\qquad e&=\sum_{m\geqslant 0}e_m\lambda^{-m},&\qquad f&=\sum_{m\geqslant 0}f_m\lambda^{-m}, \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
тогда уравнение нулевой кривизны
$$
\begin{equation}
V_x=\frac{\partial U}{\partial\lambda}\lambda_t+[U,V]
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
приводит к рекуррентным уравнениям
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, a_{m,x}&=12[q_1c_m-r_1b_m+\varepsilon(q_2f_m-r_2e_m)]-ik_m(t), \\ b_{m,x}&=-i(b_{m+1}+\alpha c_{m+1})-i\varepsilon(e_{m+1}+\alpha f_{m+1})-(q_1+\alpha r_1)a_m-\varepsilon(q_2+\alpha r_2)d_m, \\ c_{m,x}&=-i(\alpha b_{m+1}-c_{m+1})-i\varepsilon(\alpha e_{m+1}-f_{m+1})+(r_1-\alpha q_1)a_m+\varepsilon(r_2-\alpha q_2)d_m, \\ d_{m,x}&=12(q_1f_m-r_1e_m+q_2c_m-r_2b_m)-ik_m(t), \\ e_{m,x}&=-i(e_{m+1}+\alpha f_{m+1})-i(b_{m+1}+\alpha c_{m+1})-(q_1+\alpha r_1)d_m-(q_2+\alpha r_2)a_m, \\ f_{m,x}&=-i(\alpha e_{m+1}-f_{m+1})-i(\alpha b_{m+1}-c_{m+1})+(r_1-\alpha q_1)d_m+(r_2-\alpha q_2)a_m. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, a_m&=12\partial_x^{-1}[q_1c_m-r_1b_m+\varepsilon(q_2f_m-r_2e_m)]-ik_m(t)x, \\ b_{m+1}&=\frac{i[(q_1-\varepsilon q_2)a_m+\varepsilon (q_2-q_1)d_m]}{1-\varepsilon}- \frac{b_{m,x}+\alpha c_{m,x}-\varepsilon(e_{m,x}+\alpha f_{m,x})}{i(1+\alpha^2)(1-\varepsilon)}, \\ c_{m+1}&=\frac{i[(r_1-\varepsilon r_2)a_m+\varepsilon (r_2-r_1)d_m]}{1-\varepsilon}+ \frac{c_{m,x}-\alpha b_{m,x}-\varepsilon(f_{m,x}-\alpha e_{m,x})}{i(1+\alpha^2)(1-\varepsilon)}, \\ d_m&=12\partial_x^{-1}(q_1f_m-r_1e_m+q_2c_m-r_2b_m)-ik_m(t)x, \\ e_{m+1}&=\frac{i[(q_1-\varepsilon q_2)d_m+(q_2-q_1)a_m]}{1-\varepsilon}- \frac{(e_{m,x}+\alpha f_{m,x}-b_{m,x}-\alpha c_{m,x})}{i(1+\alpha^2)(1-\varepsilon)}, \\ f_{m+1}&=\frac{i[(r_1-\varepsilon r_2)d_m+(r_2-r_1)a_m]}{1-\varepsilon}+ \frac{f_{m,x}-\alpha e_{m,x}-c_{m,x}+\alpha b_{m,x}}{i(1+\alpha^2)(1-\varepsilon)}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Выберем начальные условия
$$
\begin{equation*}
a_0=-i,\quad b_0=0,\qquad c_0=0,\qquad k_0=0,\qquad d_0=-i,\quad e_0=0,\qquad f_0=0
\end{equation*}
\notag
$$
и получим последовательность $\{a_j,b_j,c_j,d_j,e_j,f_j,|\,j>0\}$. Например, имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, b_1&=q_1,\quad c_1=r_1,\quad e_1=q_2,\quad f_1=r_2,\quad a_1=-ik_1(t)x,\quad d_1=-ik_1(t)x, \\ a_2&=\frac{6}{i(1+\alpha^2)(1-\varepsilon)}\bigl[2q_1r_1+\alpha (r_1^2-q_1^2)+\varepsilon(2q_1(\alpha q_2-r_2)-2r_1(q_2+\alpha r_2)+{} \\ &\kern90pt +2q_2r_2+\alpha (r_2^2-q_2^2))\bigr]-ik_2(t)x, \\ b_2&=q_1k_1(t)x-\frac{q_{1,x}+\alpha r_{1,x}-\varepsilon(q_{2,x}+\alpha r_{2,x})}{i(1+\alpha^2)(1-\varepsilon)}, \\ c_2&=r_1k_1(t)x+\frac{r_{1,x}-\alpha q_{1,x}-\varepsilon(r_{2,x}-\alpha q_{2,x})}{i(1+\alpha^2)(1-\varepsilon)}, \\ e_2&=q_2k_1(t)x-\frac{q_{2,x}+\alpha r_{2,x}-q_{1,x}-\alpha r_{1,x}}{i(1+\alpha^2)(1-\varepsilon)}, \\ f_2&=r_2k_1(t)x+\frac{r_{2,x}-\alpha q_{2,x}-r_{1,x}+\alpha q_{1,x}}{i(1+\alpha^2)(1-\varepsilon)}, \\ d_2&=\frac{6}{i(1+\alpha^2)(1-\varepsilon)}\bigl[\,{-2q_1}r_1-\alpha (r_1^2-q_1^2)-2q_1(\alpha q_2-r_2)+2r_1(\alpha r_2+q_2)-{} \\ &\kern90pt -\varepsilon(2q_2r_2+\alpha (r_2^2-q_2^2))\bigr]-ik_2(t)x. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, V_{+}^{(n)}=\sum^n_{m=0}[a_m\tilde g_1(n-m)+b_m\tilde g_2(n-m)&{}+c_m\tilde g_3(n-m)+d_m\tilde g_4(n-m)+{} \\ &{}+e_m\tilde g_5(n-m)+f_m\tilde g_6(n-m)], \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
тогда
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, -V_{+,x}^{(n)}+\frac{\partial U}{\partial\lambda}\lambda_{t,+}^{(n)}+[U, V_{+}^{(n)}]&= (i b_{n+1}+i\alpha c_{n+1}+i\varepsilon e_{n+1}+i\varepsilon\alpha f_{n+1})g_2(0)+{} \\ &\quad +(i\alpha b_{n+1}-ic_{n+1}+i\varepsilon\alpha e_{n+1}-i\varepsilon f_{n+1})g_3(0)+{} \\ &\quad +(i f_{n+1}+i\alpha g_{n+1}+ib_{n+1}+i\alpha c_{n+1})g_5(0)+{} \\ &\quad+(i\alpha e_{n+1}-if_{n+1}+i\alpha b_{n+1}-ic_{n+1})g_6(0). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Используя неизоспектральное уравнение нулевой кривизны
$$
\begin{equation*}
U_{t_n}+\frac{\partial U}{\partial\lambda}\lambda_t^{(n)}-V_x^{(n)}+[U, V^{(n)}]=0,
\end{equation*}
\notag
$$
получаем интегрируемую иерархию связей
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, q_{1,t_n}&=-ib_{n+1}-i\alpha c_{n+1}-i\varepsilon e_{n+1}-i\varepsilon\alpha f_{n+1}=b_{n,x}+(q_1+\alpha r_1)a_n+\varepsilon(q_2+\alpha r_2)d_n, \\ r_{1,t_n}&=-i\alpha b_{n+1}+ic_{n+1}-i\varepsilon\alpha e_{n+1}+i\varepsilon f_{n+1}=c_{n,x}-(r_1-\alpha q_1)a_n-\varepsilon(r_2-\alpha q_2)d_n, \\ q_{2,t_n}&=-i(e_{n+1}+\alpha f_{n+1})-i(b_{n+1}+\alpha c_{n+1})=e_{n,x}+(q_1+\alpha r_1)d_n+(q_2+\alpha r_2)a_n, \\ r_{2,t_n}&=-i(\alpha e_{n+1}-f_{n+1})-i(\alpha b_{n+1}-c_{n+1})=f_{n,x}-(r_1-\alpha q_1)d_n-(r_2-\alpha q_2)a_n. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
При $n=0$ иерархия (3.4) сводится к
$$
\begin{equation*}
\begin{pmatrix} q_1 \\ r_1 \\ q_2 \\ r_2 \end{pmatrix}_{\!{}^{\scriptstyle t_0}}= \begin{pmatrix} -i(q_1+\alpha r_1+\varepsilon q_2+\varepsilon\alpha r_2) \\ -i(\alpha q_1-r_1+\varepsilon\alpha q_2-\varepsilon r_2)\\ -i(q_1+\alpha r_1+q_2+\alpha r_2) \\ -i(\alpha q_1-r_1+\alpha q_2-r_2) \end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
При $n=1$ иерархия (3.4) принимает вид
$$
\begin{equation*}
\begin{pmatrix} q_1 \\ r_1 \\ q_2 \\ r_2 \end{pmatrix}_{\!{}^{\scriptstyle t_1}}= \begin{pmatrix} q_{1,x} \\ r_{1,x} \\ q_{2,x} \\ r_{2,x} \end{pmatrix}+ k_1(t)x\begin{pmatrix} -i(q_1+\alpha r_1+\varepsilon q_2+\varepsilon\alpha r_2) \\ -i(\alpha q_1-r_1+\varepsilon\alpha q_2-\varepsilon r_2)\\ -i(q_1+\alpha r_1+q_2+\alpha r_2) \\ -i(\alpha q_1-r_1+\alpha q_2-r_2) \end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
При $n=2$ уравнения иерархии (3.4) записываются как
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, q_{1,t_2}&=\frac{1}{(1+\alpha^2)(1-\varepsilon)}\bigl(iq_{1,xx}+i\alpha r_{1,xx}-i\varepsilon q_{2,xx}-i\varepsilon\alpha r_{2,xx}+{} \nonumber\\ &\quad+[12i(q_1r_1+\varepsilon q_2r_2)+6i\alpha(r^2_1-q^2_1+\varepsilon(r^2_2-q^2_2))](\varepsilon(q_2+\alpha r_2)-q_1-\alpha r_1)+{} \nonumber\\ &\quad+12i\varepsilon(q_1(\alpha q_2-r_2)-r_1(\alpha r_2+q_2))(q_2+\alpha r_2-q_1-\alpha r_1)\bigr)+{} \nonumber\\ &\quad+q_1k_1(t)+q_{1,x}k_1(t)x-i(q_1+\alpha r_1+\varepsilon q_2+\varepsilon\alpha r_2)k_2(t)x, \nonumber\\ r_{1,t_2}&=\frac{1}{(1+\alpha^2)(1-\varepsilon)}\bigl(-ir_{1,xx}+i\alpha q_{1,xx}+i\varepsilon r_{2,xx}-i\varepsilon\alpha q_{2,xx}+{} \nonumber\\ &\quad+[12i(q_1r_1+\varepsilon q_2r_2)+6i\alpha(r^2_1-q^2_1+\varepsilon(r^2_2-q^2_2))](\varepsilon(\alpha q_2-r_2)+r_1-\alpha q_1)+{} \nonumber\\ &\quad+12i\varepsilon(q_1(\alpha q_2-r_2)-r_1(\alpha r_2+q_2))(\alpha q_2-r_2+r_1-\alpha q_1)\bigr)+{} \nonumber\\ &\kern-17.5pt\begin{aligned} \, &\quad+r_1k_1(t)+r_{1,x}k_1(t)x-i(\alpha q_1-r_1+\varepsilon\alpha q_2-\varepsilon r_2)k_2(t)x, \\ q_{2,t_2}&=\frac{1}{(1+\alpha^2)(1-\varepsilon)}\bigl(iq_{2,xx}+i\alpha r_{2,xx}-iq_{1,xx}-i\alpha r_{1,xx}+{} \end{aligned} \\ &\quad+[12i(q_1r_1+\varepsilon q_2r_2)+6i\alpha(r^2_1-q^2_1+\varepsilon(r^2_2-q^2_2))](q_1+\alpha r_1-q_2-\alpha r_2)+{} \nonumber\\ &\quad+12i(q_1(\alpha q_2-r_2)-r_1(\alpha r_2+q_2))(q_1+\alpha r_1-\varepsilon(q_2+\alpha r_2))\bigr)+{} \nonumber\\ &\quad+q_2k_1(t)+q_{2,x}k_1(t)x-i(q_1+\alpha r_1+q_2+\alpha r_2)k_2(t)x, \nonumber\\ r_{2,t_2}&=\frac{1}{(1+\alpha^2)(1-\varepsilon)}\bigl(-ir_{2,xx}+i\alpha q_{2,xx}+ir_{1,xx}-i\alpha q_{1,xx}+{} \nonumber\\ &\quad+[12i(q_1r_1+\varepsilon q_2r_2)+6i\alpha(r^2_1-q^2_1+\varepsilon(r^2_2-q^2_2))](r_2-\alpha q_2-r_1+\alpha q_1)+{} \nonumber\\ &\quad+12i\varepsilon(q_1(\alpha q_2-r_2)-r_1(\alpha r_2+q_2))(\varepsilon (r_2-\alpha q_2)-r_1+\alpha q_1)\bigr)+{} \nonumber\\ &\quad+r_2k_1(t)+r_{2,x}k_1(t)x-i(\alpha q_1-r_1+\alpha q_2-r_2)k_2(t)x. \nonumber \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.5}
$$
Если $\varepsilon=0$, то первое и второе уравнения в (3.5) сводятся к (2.10). Следовательно, уравнения (3.5) являются интегрируемыми связями для неизоспектрального оНУШ. Таким образом, (3.4) – неизоспектральная интегрируемая связанная иерархия оНУШ. Бигамильтоновы структурыВ этом пункте мы устанавливаем, что нелинейная интегрируемая иерархия (2.9) обладает бигамильтоновой структурой. Мы применяем следующее $Z^\varepsilon_2$-тождество следов, которое обсуждалось в [35]:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \frac{\delta}{\delta\tilde u}\int \biggl( \operatorname{tr} \biggl(V_1\frac{\partial U_2}{\partial\lambda}\biggr)+ \operatorname{tr} \biggl(V_2\frac{\partial U_1}{\partial\lambda}\biggr)\!\biggr)dx&= \lambda^{-\gamma}\frac{\partial}{\partial\lambda} \lambda^\gamma\biggl( \operatorname{tr} \biggl(V_1\frac{\partial U_2}{\partial\tilde u}\biggr)+ \operatorname{tr} \biggl(V_2\frac{\partial U_1}{\partial\tilde u}\biggr)\!\biggr), \\ \frac{\delta}{\delta\tilde u}\int \biggl( \operatorname{tr} \biggl(V_1\frac{\partial U_1}{\partial\lambda}\biggr)+ \varepsilon \operatorname{tr} \biggl(V_2\frac{\partial U_2}{\partial\lambda}\biggr)\!\biggr)dx&= \lambda^{-\gamma}\frac{\partial}{\partial\lambda} \lambda^\gamma\biggl( \operatorname{tr} \biggl(V_1\frac{\partial U_1}{\partial\tilde u}\biggr)+ \varepsilon \operatorname{tr} \biggl(V_2\frac{\partial U_2}{\partial\tilde u}\biggr)\!\biggr), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.6}
$$
где $\tilde u=(q_1,r_1,q_2,r_2)^{\mathrm T}$. Из (3.2) получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \operatorname{tr} \biggl(V_1\frac{\partial U_2}{\partial q_1}\biggr)+ \operatorname{tr} \biggl(V_2\frac{\partial U_1}{\partial q_1}\biggr)&= 2e(\beta^2-\beta^{*2})+4f\beta\beta^*=-6\alpha e+6f, \\ \operatorname{tr} \biggl(V_1\frac{\partial U_2}{\partial q_2}\biggr)+ \operatorname{tr} \biggl(V_2\frac{\partial U_1}{\partial q_2}\biggr)&= 2b(\beta^2-\beta^{*2})+4c\beta\beta^*=-6\alpha b+6c, \\ \operatorname{tr} \biggl(V_1\frac{\partial U_2}{\partial r_1}\biggr)+ \operatorname{tr} \biggl(V_2\frac{\partial U_1}{\partial r_1}\biggr)&= 4e\beta\beta^*-2f(\beta^2-\beta^{*2})=6e+6\alpha f, \\ \operatorname{tr} \biggl(V_1\frac{\partial U_2}{\partial r_2}\biggr)+ \operatorname{tr} \biggl(V_2\frac{\partial U_1}{\partial r_2}\biggr)&= 4b\beta\beta^*-2c(\beta^2-\beta^{*2})=6b+6\alpha c, \\ \operatorname{tr} \biggl(V_1\frac{\partial U_1}{\partial q_1}\biggr)+\varepsilon \operatorname{tr} \biggl(V_2\frac{\partial U_2}{\partial q_1}\biggr)&= 2b(\beta^2-\beta^{*2})+4c\beta\beta^*=-6\alpha b+6c, \\ \operatorname{tr} \biggl(V_1\frac{\partial U_1}{\partial q_2}\biggr)+\varepsilon \operatorname{tr} \biggl(V_2\frac{\partial U_2}{\partial q_2}\biggr)&= \varepsilon[2e(\beta^2-\beta^{*2})+4f\beta\beta^*]=\varepsilon(-6\alpha e+6f), \\ \operatorname{tr} \biggl(V_1\frac{\partial U_1}{\partial r_1}\biggr)+\varepsilon \operatorname{tr} \biggl(V_2\frac{\partial U_2}{\partial r_1}\biggr)&= 4b\beta\beta^*-2c(\beta^2-\beta^{*2})=6b+6\alpha c, \\ \operatorname{tr} \biggl(V_1\frac{\partial U_1}{\partial r_2}\biggr)+\varepsilon \operatorname{tr} \biggl(V_2\frac{\partial U_2}{\partial r_2}\biggr)&= \varepsilon[4e\beta\beta^*-2f(\beta^2-\beta^{*2})]=\varepsilon(6e+6\alpha f), \\ \operatorname{tr} \biggl(V_1\frac{\partial U_2}{\partial\lambda}\biggr)+ \operatorname{tr} \biggl(V_2\frac{\partial U_1}{\partial\lambda}\biggr)&= -\frac{i}{8}(a+d), \\ \operatorname{tr} \biggl(V_1\frac{\partial U_1}{\partial\lambda}\biggr)+\varepsilon \operatorname{tr} \biggl(V_2\frac{\partial U_2}{\partial\lambda}\biggr)&= -\frac{i}{8}(a+\varepsilon d). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Подставляя эти уравнения в (3.6), используя разложения по степеням $\lambda$ и сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \frac{\delta}{\delta\tilde u}\int\frac{-i}{8}(a_{m+1}+d_{m+1})\,dx&= (\gamma-m)\begin{pmatrix} -6\alpha e_m+6f_m \\ \phantom{-}6e_m+6\alpha f_m\\ -6\alpha b_m+6c_m\\ \phantom{-}6b_m+6\alpha c_m \end{pmatrix}, \\ \frac{\delta}{\delta\tilde u}\int\frac{-i}{8}(a_{m+1}+\varepsilon d_{m+1})\,dx&= (\gamma-m)\begin{pmatrix} -6\alpha b_m+6c_m\\ \phantom{-}6b_m+6\alpha c_m\\ \phantom{-}\varepsilon(-6\alpha e_m+6f_m)\\ \phantom{-}\varepsilon(6e_m+6\alpha f_m) \end{pmatrix}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Положив $m=1$, получаем $\gamma=0$. Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \frac{\delta}{\delta\tilde u}\int\frac{a_{m+2}+d_{m+2}}{m+1}\,dx&= \begin{pmatrix} \phantom{-}48i\alpha e_{m+1}-48if_{m+1}\\ -48ie_{m+1}-48i\alpha f_{m+1}\\ \phantom{-}48i\alpha b_{m+1}-48ic_{m+1}\\ -48ib_{m+1}-48i\alpha c_{m+1} \end{pmatrix}= \frac{\delta H_{m+1}}{\delta\tilde u}, \\ \frac{\delta}{\delta\tilde u}\int \frac{a_{m+2}+\varepsilon d_{m+2}}{m+1}\,dx&= \begin{pmatrix} \phantom{-}48i\alpha b_{m+1}-48ic_{m+1}\\ -48ib_{m+1}-48i\alpha c_{m+1}\\ \phantom{-}\varepsilon(48i\alpha e_{m+1}-48if_{m+1})\\ \phantom{-}\varepsilon(-48ie_{m+1}-48i\alpha f_{m+1}) \end{pmatrix}= \frac{\delta\widehat H_{m+1}}{\delta\tilde u}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
H_{m+1}=\int\frac{a_{m+2}+d_{m+2}}{m+1}\,dx,\qquad \widehat H_{m+1}=\int\frac{a_{m+2}+\varepsilon d_{m+2}}{m+1}\,dx.
\end{equation*}
\notag
$$
Далее получаем рекуррентные соотношения: для $m\geqslant 0$
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \begin{pmatrix} \phantom{-}48i\alpha e_{m+1}-48if_{m+1}\\ -48ie_{m+1}-48i\alpha f_{m+1}\\ \phantom{-}48i\alpha b_{m+1}-48ic_{m+1}\\ -48ib_{m+1}-48i\alpha c_{m+1} \end{pmatrix}&= \widetilde L_1\begin{pmatrix} \phantom{-}48i\alpha e_m-48if_m\\ -48ie_m-48i\alpha f_m\\ \phantom{-}48i\alpha b_m-48ic_m\\ -48ib_m-48i\alpha c_m \end{pmatrix}+\widetilde R_1k_m(t), \\ \begin{pmatrix} \phantom{-}48i\alpha b_{m+1}-48ic_{m+1}\\ -48ib_{m+1}-48i\alpha c_{m+1}\\ \phantom{-}\varepsilon(48i\alpha e_{m+1}-48if_{m+1})\\ \phantom{-}\varepsilon(-48ie_{m+1}-48i\alpha f_{m+1}) \end{pmatrix}&= \widetilde L_1\begin{pmatrix} \phantom{-}48i\alpha b_m-48ic_m\\ -48ib_m-48i\alpha c_m\\ \phantom{-}\varepsilon(48i\alpha e_m-48if_m)\\ \phantom{-}\varepsilon(-48ie_m-48i\alpha f_m) \end{pmatrix}+\widehat R_1k_m(t), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \widetilde L_1=\frac{i}{(1+\alpha^2)(1-\varepsilon)}\begin{pmatrix} \widetilde L_{11} & \widetilde L_{12} & \widetilde L_{13} & \widetilde L_{14} \\ \widetilde L_{21} & \widetilde L_{22} & \widetilde L_{23} & \widetilde L_{24} \\ \varepsilon\widetilde L_{13} &\varepsilon\widetilde L_{14} & \widetilde L_{11} & \widetilde L_{12} \\ \varepsilon\widetilde L_{23} & \varepsilon\widetilde L_{24} & \widetilde L_{21} & \widetilde L_{22} \end{pmatrix}, \\ \begin{aligned} \, \widetilde L_{11}&=-\partial_x+12[(r_1-\alpha q_1-\varepsilon r_2+\varepsilon\alpha q_2)\,\partial^{-1}_x(\alpha r_1+ q_1)+{} \\ &\kern60pt+\varepsilon(r_2-\alpha q_2-r_1+\alpha q_1)\,\partial^{-1}_x(\alpha r_2+q_2)], \\ \widetilde L_{12}&=-\alpha\partial_x+12[(r_1-\alpha q_1-\varepsilon r_2+\varepsilon\alpha q_2)\,\partial^{-1}_x(\alpha q_1-r_1)+{} \\ &\kern60pt+\varepsilon(r_2-\alpha q_2-r_1+\alpha q_1)\,\partial^{-1}_x(\alpha q_2-r_2)\big], \\ \widetilde L_{13}&=\partial_x+12[(r_1-\alpha q_1-\varepsilon r_2+\varepsilon\alpha q_2)\,\partial^{-1}_x(\alpha r_2+q_2)+{} \\ &\kern60pt+(r_2-\alpha q_2-r_1+\alpha q_1)\,\partial^{-1}_x(\alpha r_1+q_1)], \\ \widetilde L_{14}&=\alpha\partial_x+12[(r_1-\alpha q_1-\varepsilon r_2+\varepsilon\alpha q_2)\,\partial^{-1}_x(\alpha q_2-r_2)+{} \\ &\kern60pt+(r_2-\alpha q_2-r_1+\alpha q_1)\,\partial^{-1}_x(\alpha q_1-r_1)], \\ \widetilde L_{21}&=-\alpha\partial_x+12[\varepsilon(q_2+\alpha r_2-q_1-\alpha r_1)\,\partial^{-1}_x(\alpha r_2+ q_2)+{} \\ &\kern60pt+(q_1+\alpha r_1-\varepsilon q_2-\varepsilon\alpha r_2)\,\partial^{-1}_x(\alpha r_1+q_1)], \\ \widetilde L_{22}&=\partial_x+12[\varepsilon(q_2+\alpha r_2-q_1-\alpha r_1)\,\partial^{-1}_x(\alpha q_2-r_2)+{} \\ &\kern60pt+(q_1+\alpha r_1-\varepsilon q_2-\varepsilon\alpha r_2)\,\partial^{-1}_x(\alpha q_1-r_1)], \\ \widetilde L_{23}&=\alpha\partial_x+12[(q_2+\alpha r_2-q_1-\alpha r_1)\,\partial^{-1}_x(\alpha r_1+q_1)+{} \\ &\kern60pt+(q_1+\alpha r_1-\varepsilon q_2-\varepsilon\alpha r_2)\,\partial^{-1}_x(\alpha r_2+q_2)], \\ \widetilde L_{24}&=-\partial_x+12[(q_2+\alpha r_2-q_1-\alpha r_1)\,\partial^{-1}_x(\alpha q_1-r_1)+{} \\ &\kern60pt+(q_1+\alpha r_1-\varepsilon q_2-\varepsilon\alpha r_2)\,\partial^{-1}_x(\alpha q_2-r_2)],\\ \end{aligned} \\ \begin{aligned} \, \widetilde R_1&=\frac{1}{1-\varepsilon}\begin{pmatrix} -48i(r_2-\alpha q_2-r_1+\alpha q_1)x \\ -48i(q_2+\alpha r_2-r_1-\alpha q_1)x\\ -48i(r_1-\alpha q_1-\varepsilon r_2+\varepsilon\alpha q_2)x \\ -48i(q_1+\alpha r_1-\varepsilon q_2-\varepsilon\alpha r_2)x \end{pmatrix}, \\ \widehat R_1&=\frac{1}{1-\varepsilon}\begin{pmatrix} -48i(r_1-\alpha q_1-\varepsilon r_2+\varepsilon\alpha q_2)x \\ -48i(q_1+\alpha r_1-\varepsilon q_2-\varepsilon\alpha r_2)x\\ -48i\varepsilon(r_2-\alpha q_2-r_1+\alpha q_1)x \\ -48i\varepsilon(q_2+\alpha r_2-r_1-\alpha q_1)x \end{pmatrix}. \end{aligned} \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, иерархия (3.4) имеет бигамильтонову структуру:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \begin{pmatrix} q_1 \\ r_1\\ q_2 \\ r_2 \end{pmatrix}_{\!{}^{\scriptstyle t_n}}&= \begin{pmatrix} -i b_{n+1}-i\alpha c_{n+1}-i\varepsilon e_{n+1}-i\varepsilon\alpha f_{n+1}\\ -i\alpha b_{n+1}+i c_{n+1}-i\varepsilon\alpha e_{n+1}+i\varepsilon f_{n+1}\\ -i (e_{n+1}+\alpha f_{n+1})-i(b_{n+1}+\alpha c_{n+1})\\ -i(\alpha e_{n+1}-f_{n+1})-i(\alpha b_{n+1}-c_{n+1}) \end{pmatrix}=\\ &=\widetilde J_1\begin{pmatrix} \phantom{-}48i\alpha e_{n+1}-48if_{n+1}\\ -48ie_{n+1}-48i\alpha f_{n+1}\\ \phantom{-}48i\alpha b_{n+1}-48ic_{n+1}\\ -48ib_{n+1}-48i\alpha c_{n+1} \end{pmatrix}=:\widetilde J_1\frac{\delta H_{n+1}}{\delta\tilde u}=\\ &=\widetilde J_1\biggl(\widetilde L_1\frac{\delta H_n}{\delta\tilde u}+\widetilde R_1k_n(t)\biggr)=: \widetilde Q_1\frac{\delta H_n}{\delta\tilde u}+\widetilde J_1\widetilde R_1k_n(t)=\\ &=\widetilde J_1\widetilde L_1^n\begin{pmatrix} \phantom{-}48i\alpha e_1-48if_1\\ -48ie_1-48i\alpha f_1\\ \phantom{-}48i\alpha b_1-48ic_1\\ -48ib_1-48i\alpha c_1 \end{pmatrix}+ \sum_{i=0}^n\widetilde J_1\widetilde L_1^{n-i}\widetilde R_1k_i(t):=\\ &=:\widetilde\Phi^n\widetilde J_1\begin{pmatrix} \phantom{-}48i\alpha e_1-48if_1\\ -48ie_1-48i\alpha f_1\\ \phantom{-}48i\alpha b_1-48ic_1\\ -48ib_1-48i\alpha c_1 \end{pmatrix}+\sum_{i=0}^n\widetilde\Phi_1^{n-i}\widetilde J_1\widetilde R_1k_i(t) \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
с операторами Гамильтона $J$, $Q$ и $\Phi$, представляющими собой операторы наследственной симметрии,
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \widetilde J_1=\frac{1}{48}\begin{pmatrix} \phantom{-}0 & \;\varepsilon\; & \phantom{-}0 & \;1 \\ -\varepsilon & 0 & -1 & \;0\\ \phantom{-}0 & 1 & \phantom{-}0 & \;1 \\ -1 & 0 & -1 & \;0\\ \end{pmatrix}, \\ \widetilde Q_1= \frac{i}{48(1+\alpha^2)(1-\varepsilon)}\begin{pmatrix} \phantom{-}\varepsilon(\widetilde L_{21}+\widetilde L_{23}) & \phantom{-}\varepsilon(\widetilde L_{22}+\widetilde L_{24}) & \phantom{-}\varepsilon\widetilde L_{23}+\widetilde L_{21} & \phantom{-}\varepsilon\widetilde L_{24}+\widetilde L_{22}\\ -\varepsilon(\widetilde L_{11}+\widetilde L_{13}) & -\varepsilon(\widetilde L_{12}+\widetilde L_{14}) & -(\varepsilon\widetilde L_{13}+\widetilde L_{11}) & -(\varepsilon\widetilde L_{14}+\widetilde L_{12})\\ \phantom{-}\varepsilon\widetilde L_{23}+\widetilde L_{21} & \phantom{-}\varepsilon\widetilde L_{24}+\widetilde L_{22} & \phantom{-}\widetilde L_{21}+\widetilde L_{23} & \phantom{-}\widetilde L_{22}+\widetilde L_{24}\\ -(\varepsilon\widetilde L_{13}+\widetilde L_{11}) & -(\varepsilon\widetilde L_{14}+\widetilde L_{12}) & -(\widetilde L_{11}+\widetilde L_{13}) & -(\widetilde L_{12}+\widetilde L_{14}) \end{pmatrix},\\ \widetilde\Phi=\widetilde J_1\widetilde L_1\widetilde J_1^{-1}= \frac{i}{(1+\alpha^2)(1-\varepsilon)}\begin{pmatrix} \phantom{-}\widetilde L_{22} & -\widetilde L_{21} & \phantom{-}\varepsilon\widetilde L_{24} & -\varepsilon\widetilde L_{23}\\ -\widetilde L_{12} & \phantom{-}\widetilde L_{11} & -\varepsilon\widetilde L_{14} & \phantom{-}\varepsilon\widetilde L_{13}\\ \phantom{-}\widetilde L_{24} & -\widetilde L_{23} & \phantom{-}\widetilde L_{22} & -\widetilde L_{21}\\ -\widetilde L_{14} & \phantom{-}\widetilde L_{13} & -\widetilde L_{12} & \phantom{-}\widetilde L_{11} \end{pmatrix}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Аналогично для второй компоненты имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \begin{pmatrix} q_1 \\ r_1\\ q_2 \\ r_2 \end{pmatrix}_{\!{}^{\scriptstyle t_n}}&= \begin{pmatrix} -i b_{n+1}-i\alpha c_{n+1}-i\varepsilon e_{n+1}-i\varepsilon\alpha f_{n+1}\\ -i\alpha b_{n+1}+i c_{n+1}-i\varepsilon\alpha e_{n+1}+i\varepsilon f_{n+1}\\ -i (e_{n+1}+\alpha f_{n+1})-i(b_{n+1}+\alpha c_{n+1})\\ -i(\alpha e_{n+1}-f_{n+1})-i(\alpha b_{n+1}-c_{n+1}) \end{pmatrix}= \\ &=\widehat J_1\begin{pmatrix} \phantom{-}48i\alpha b_m-48ic_m\\ -48ib_m-48i\alpha c_m\\ \phantom{-}\varepsilon(48i\alpha e_m-48if_m)\\ \phantom{-}\varepsilon(-48ie_m-48i\alpha f_m) \end{pmatrix}=:\widehat J_1\frac{\delta\widehat H_{n+1}}{\delta\tilde u}= \\ &=\widehat J_1\biggl(\widetilde L_1\frac{\delta\widehat H_n}{\delta\tilde u}+\widehat R_1k_n(t)\biggr)=: \widehat Q_1\frac{\delta\widehat H_n}{\delta\tilde u}+\widehat J_1\widehat R_1k_n(t)=\\ &=\widehat J_1\biggl(\widetilde L_1^n\begin{pmatrix} \phantom{-}48i\alpha b_1-48ic_1\\ -48ib_1-48i\alpha c_1\\ \phantom{-}\varepsilon(48i\alpha e_1-48if_1)\\ \phantom{-}\varepsilon(-48ie_1-48i\alpha f_1) \end{pmatrix}+\sum_{i=0}^n\widehat J_1\widetilde L^{n-i}\widehat R_1k_i(t)\biggr)=: \\ &=:\widehat{\Phi}^n\widehat J_1\begin{pmatrix} \phantom{-}48i\alpha b_1-48ic_1\\ -48ib_1-48i\alpha c_1\\ \phantom{-}\varepsilon(48i\alpha e_1-48if_1)\\ \phantom{-}\varepsilon(-48ie_1-48i\alpha f_1) \end{pmatrix}+\sum_{i=0}^n\widehat{\Phi}^{n-i}\widehat J_1\widehat R_1k_i(t) \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
с операторами Гамильтона $\widehat J_1$, $\widehat Q_1$ и $\widehat{\Phi}$, представляющими собой операторы наследственной симметрии,
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \widehat J_1=\frac{1}{48}\begin{pmatrix} \phantom{-}0 & \;1\; & \phantom{-}0 & \phantom{-}1 \\ -1 & 0 & -1 & \phantom{-}0 \\ \phantom{-}0 & 1 & \phantom{-}0 & \phantom{-}1/\varepsilon\\ -1 & 0 & -1/\varepsilon & \phantom{-}0 \end{pmatrix}, \\ \widehat Q_1= \frac{i}{48(1+\alpha^2)(1-\varepsilon)}\begin{pmatrix} \phantom{-}\widetilde L_{21}+\varepsilon\widetilde L_{23} & \phantom{-}\widetilde L_{22}+\varepsilon\widetilde L_{24} & \phantom{-}\widetilde L_{23}+\widetilde L_{21} & \phantom{-}\widetilde L_{24}+\widetilde L_{22}\\ -(\widetilde L_{11}+\varepsilon\widetilde L_{13}) & -(\widetilde L_{12}+\varepsilon\widetilde L_{14}) & -(\widetilde L_{13}+\widetilde L_{11}) & -(\widetilde L_{14}+\widetilde L_{12})\\ \phantom{-}\widetilde L_{23}+\widetilde L_{21} & \phantom{-}\widetilde L_{24}+\widetilde L_{22} & \phantom{-}\widetilde L_{21}/\varepsilon+\widetilde L_{23} & \phantom{-}\widetilde L_{22}/\varepsilon+\widetilde L_{24}\\ -(\widetilde L_{13}+\widetilde L_{11}) & -(\widetilde L_{14}+\widetilde L_{12}) & -\bigl(\widetilde L_{11}/\varepsilon+\widetilde L_{13}\bigr) & -\bigl(\widetilde L_{12}/\varepsilon+\widetilde L_{14}\bigr) \end{pmatrix}, \\ \widehat{\Phi}=\widehat J_1\widetilde L_1\widehat J_1^{-1}= \frac{i}{(1+\alpha^2)(1-\varepsilon)}\begin{pmatrix} \phantom{-}\widetilde L_{22} & -\widetilde L_{21} & \phantom{-}\varepsilon\widetilde L_{24} & -\varepsilon\widetilde L_{23}\\ -\widetilde L_{12}& \phantom{-}\widetilde L_{11} & -\varepsilon\widetilde L_{14} & \phantom{-}\varepsilon\widetilde L_{13}\\ \phantom{-}\widetilde L_{24} & -\widetilde L_{23}& \phantom{-}\widetilde L_{22} & -\widetilde L_{21}\\ -\widetilde L_{14} & \phantom{-}\widetilde L_{13} & -\widetilde L_{12} & \phantom{-}\widetilde L_{11} \end{pmatrix}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
4. Неизоспектральная интегрируемая $Z_N^\varepsilon$-иерархия оНУШДля решения неизоспектральной $Z_N^\varepsilon$-задачи введем произведение Ли. Для произвольных матриц $P=[P_1,\ldots,P_N]^{\mathrm T}$, $Q=[Q_1,\ldots,Q_N]^{\mathrm T}$ имеем
$$
\begin{equation*}
[P,Q]=\begin{pmatrix} R_1 & \varepsilon R_N & \varepsilon R_{N-1} & \ldots & \varepsilon R_2 \\ R_2 & R_1 & \varepsilon R_N & \ddots & \vdots \\ R_3 & R_2 & R_1 & \ddots & \varepsilon R_{N-1} \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \varepsilon R_N & \ \\ R_N & \ldots & R_3 & R_2 & R_1 \end{pmatrix}=:[R_1,\ldots, R_N]^{\mathrm T},
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
R_l=\sum_{\substack{k+j=l+1, \\ 1\leqslant k,j\leqslant l}}[P_k,Q_j]+\sigma\varepsilon\sum_{\substack{s+t=l+1+N,\\ l+1\leqslant s,t\leqslant N}}[P_s,Q_t], \qquad \sigma=\begin{cases} 1, & 1\leqslant l\leqslant N-1, \\ 0, & l=N.\end{cases}.
\end{equation*}
\notag
$$
Аналогично матричное произведение $PQ$ задается как
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, PQ=\biggl[&P_1Q_1+\sigma\varepsilon\sum_{\substack{s+t=2+N,\\ 2\leqslant s,t\leqslant N}}P_sQ_t, \sum_{\substack{k+j=3, \\ 1\leqslant k,j\leqslant 2}}P_kQ_j+\sigma\varepsilon\sum_{\substack{s+t=3+N, \\ 3\leqslant s,t\leqslant N}}P_sQ_t,\;\ldots{} \\ &{}\ldots\;,\sum_{\substack{k+j=l,\\ 1\leqslant k,j\leqslant l}}P_kQ_j+\sigma\varepsilon\sum_{\substack{s+t=l+1+N,\\ l+1\leqslant s,t\leqslant N}}P_sQ_t,\; \ldots\;,\sum_{\substack{k+j=l+1,\\ 1\leqslant k,j\leqslant N}}P_kQ_j\biggl]^{\mathrm T}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Далее для $N=1,2,\ldots{}$ введем расширенную алгебру Ли $\mathrm A_{1N}$, связанную с алгеброй Ли $\mathrm A_1$, как $\mathrm A_{1N}= \operatorname{span} \{\hat h_i\}_{i=1}^{3N}$, где
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{5} \hat h_1&=M(e_1,0,\ldots,0),&\quad \hat h_2&=M(e_2,0,\ldots,0),&\quad \hat h_3&=M(e_3,0,\ldots,0), \\ \hat h_4&=M(0,e_1,\ldots,0),&\quad \hat h_5&=M(0,e_2,\ldots,0),&\quad \hat h_6&=M(0,e_3,\ldots,0), \\ &\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots,\kern-270pt \\ \hat h_{3N-2}&=M(0,0,\ldots,e_1),&\quad \hat h_{3N-1}&=M(0,0,\ldots,e_2),&\quad \hat h_{3N}&=M(0,0,\ldots,e_3). \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
Коммутационные соотношения имеют вид
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, {} [\hat h_{3l-2},\hat h_{3k-2}]&=[\hat h_{3l-1},\hat h_{3k-1}]=[\hat h_{3l},\hat h_{3k}]=0,\qquad l,k=1,\ldots,N, \\ [\hat h_{3l-2},\hat h_{3k-1}]&=\begin{cases} 2\hat h_{3(k+l-1)-1}, & 1\leqslant k\leqslant N-l+1, \\ 2\varepsilon\hat h_{3(k+l-1-N)-1}, & N-l+2\leqslant k\leqslant N, \end{cases} \\ [\hat h_{3l-2},\hat h_{3k}]&=\begin{cases} 2\hat h_{3(k+l-1)}, & 1\leqslant k\leqslant N-l+1, \\ 2\varepsilon\hat h_{3(k+l-1-N)}, & N-l+2\leqslant k\leqslant N, \end{cases} \\ [\hat h_{3l},\hat h_{3k-1}]&=\begin{cases} 2\hat h_{3(k+l-1)-2}, &1\leqslant k\leqslant N-l+1, \\ \varepsilon\hat h_{3(k+l-1-N)-2}, & N-l+2\leqslant k\leqslant N. \end{cases} \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $\widehat G_k= \operatorname{span} \{\hat h_{3k-2},\hat h_{3k-1},\hat h_{3k}\}$, $k=1,2,\ldots, N$, тогда $\mathrm A_{1 N}=\widehat G_1\oplus\widehat G_2\oplus\cdots\oplus\widehat G_N$. Как следствие получаем
$$
\begin{equation*}
[\widehat G_s,\widehat G_t]\subseteq\widehat G_{s+t-1-\delta N},\qquad \delta=\begin{cases} 0, & 2\leqslant s+t\leqslant N+1, \\ 1, & N+2\leqslant s+t\leqslant 2 N, \end{cases} \quad s,t=1,\ldots,N.
\end{equation*}
\notag
$$
Аналогично для $\mathrm A_1$ получаем расширенную алгебру Ли $\widehat A_{1N}= \operatorname{span} \{\hat g_i\}_{i=1}^{3N}$, где
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{5} \hat g_1&=\frac{1}{4}\hat h_1,&\quad \hat g_2&=\beta\hat h_2+\beta^*\hat h_3,&\quad \hat g_3&=\beta^*\hat h_2-\beta\hat h_3, \\ \hat g_4&=\frac{1}{4}\hat h_4,&\quad \hat g_5&=\beta\hat h_5+\beta^*\hat h_6,&\quad \hat g_6&=\beta^*\hat h_5-\beta\hat h_6, \\ &\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots,\kern-270pt \\ \hat g_{3N-2}&=\frac{1}{4}\hat h_{3N-2},&\quad \hat g_{3N-1}&=\beta\hat g_{3N-1}+\beta^*\hat h_{3N},&\quad \hat g_{3N}&=\beta^*\hat h_{3N-1}-\beta\hat h_{3N} \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
и $N=1,2,\ldots{}\,$. Коммутационные соотношения имеют вид
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, {} [\hat g_{3l-2},\hat g_{3k-2}]&=[\hat g_{3l-1},\hat g_{3k-1}]=[\hat g_{3l},\hat g_{3k}]=0,\qquad l,k=1,\ldots,N, \\ [\hat g_{3l-2},\hat g_{3k-1}]&=\begin{cases} \hat g_{3(k+l-1)-1}+\alpha\hat g_{3(k+l-1)},& 1\leqslant k\leqslant N-l+1, \\ \varepsilon (\hat g_{3(k+l-1-N)-1}+\alpha\hat g_{3(k+l-1)-1}),& N-l+2\leqslant k\leqslant N, \end{cases} \\ [\hat g_{3l-2},\hat g_{3k}]&=\begin{cases} \alpha\hat g_{3(k+l-1)-1}-\hat g_{3(k+l-1)},& 1\leqslant k\leqslant N-l+1, \\ \varepsilon (\alpha\hat g_{3(k+i-1-N)-1}-\hat g_{3(k+l-1-N)}),& N-l+2\leqslant k\leqslant N, \end{cases} \\ [\hat g_{3l},\hat g_{3k-1}]&=\begin{cases} -12\hat g_{3(k+l-1)-2},& 1\leqslant k\leqslant N-l+1, \\ -12\varepsilon\hat g_{3(k+l-1-N)-2},& N-l+2\leqslant k\leqslant N. \end{cases} \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Опираясь на алгебру $\widehat A_{1N}$, рассмотрим $N$-мерную неизоспектральную задачу
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \begin{alignedat}{3} \psi_x&=\widehat U\psi,&\qquad\widehat U&=\sum_{l=1}^{N}[-i\hat g_{3l-2}(1)+q_l\hat g_{3l-1}(0)+r_l\hat g_{3l}(0)], \\ \psi_t&=\widehat V \psi,&\qquad\widehat V&=\sum_{l=1}^{N}[a_l \hat g_{3l-2}(0)+b_l \hat g_{3l-1}(0)+c_l\hat g_{3l}(0)], \end{alignedat}\\ \lambda_t=\sum_{m\geqslant 0} k_m(t) \lambda^{-m}.\vphantom{\sum_{l=1}^{N}} \end{gathered}
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
Для простоты положим $\widehat{U} :=[\widehat{U}_1, \widehat{U}_2,\ldots,\widehat{U}_N]^{\mathrm T}$, $\widehat{V} :=[\widehat{V}_1,\widehat{V}_2,\ldots,\widehat{V}_N]^{\mathrm T}$, где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \widehat U_l&=-i\bar g_1(1)+q_lg_2(0)+r_lg_3(0)=-\frac{i}{4}\lambda e_1+(q_l\beta+r_l\beta^*)e_2+(q_l\beta^*-r_l\beta)e_3, \\ \widehat V_l&=a_l\bar g_1(0)+b_lg_2(0)+c_lg_3(0)=\frac{a_l}{4}e_1+(b_l\beta+c_l\beta^*)e_2+(b_l\beta^*-c_l\beta)e_3. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Запишем разложения
$$
\begin{equation*}
a_l=\sum_{m\geqslant 0} a_{lm}\lambda^{-m},\qquad b_l=\sum_{m\geqslant 0} b_{lm}\lambda^{-m},\qquad c_l=\sum_{m\geqslant 0} c_{lm}\lambda^{-m},
\end{equation*}
\notag
$$
тогда стационарное уравнение нулевой кривизны
$$
\begin{equation}
\widehat V_x=\frac{\partial\widehat U}{\partial\lambda}\lambda_t+[\widehat U,\widehat V]
\end{equation}
\tag{4.2}
$$
дает рекуррентные уравнения
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, a_{lm,x}&=12\biggl[\;\sum_{\substack{k+j=l+1, \\ 1\leqslant k,j\leqslant l}}(q_kc_{jm}-r_kb_{jm})+ \sigma\varepsilon\sum_{\substack{s+t=l+1+N, \\ l+1\leqslant s,t\leqslant N}}(q_sc_{tm}-r_sb_{tm})\biggr]-ik_m(t), \\ b_{lm,x}&=-i\,\sum_{1\leqslant p\leqslant l}(b_{p,m+1}+\alpha c_{p,m+1})- i\sigma\varepsilon\sum_{l+1\leqslant n\leqslant N}(b_{n,m+1}+\alpha c_{n,m+1})-{} \\ &\quad\; -\sum_{\substack{k+j=l+1, \\ 1\leqslant k,j\leqslant l}}(q_k+\alpha r_k)a_{jm}- \sigma\varepsilon\sum_{\substack{s+t=l+1+N, \\ l+1\leqslant s,t\leqslant N}}(q_s+\alpha r_s)a_{tm}, \\ c_{lm,x}&=-i\sum_{1\leqslant p\leqslant l}(\alpha b_{p,m+1}-c_{p,m+1})- i\sigma\varepsilon\sum_{l+1\leqslant n\leqslant N}(\alpha b_{n,m+1}-c_{n,m+1})+{} \\ &\quad\;+\sum_{\substack{k+j=l+1, \\ 1\leqslant k,j\leqslant l}}(r_k-\alpha q_k)a_{jm}+ \sigma\varepsilon\sum_{\substack{s+t=l+1+N, \\ l+1\leqslant s,t\leqslant N}}(r_s-\alpha q_s)a_{tm}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, a_{lm}&=12\partial_x^{-1}\biggl[\,\sum_{\substack{k+j=l+1, \\ 1<k\leqslant l,\, 1\leqslant j<l}}\kern-8pt(q_kc_{jm}-r_kb_{jm})+ \sigma\varepsilon\kern-14pt\sum_{\substack{s+t=l+1+N, \\ l+1\leqslant s,t\leqslant N}}\kern-9pt(q_sc_{tm}-r_sb_{tm})\biggr]-ik_m(t)x, \nonumber\\ b_{1,m+1}&=\frac{i}{1-\varepsilon} \biggl[(q_1-\varepsilon q_N) a_{1m}+\varepsilon\kern-8pt\sum_{\substack{s+t=2+N, \\ 2\leqslant s,t\leqslant N}}\kern-3pt(q_s-q_{s-1}) a_{tm}\biggr]-{} \nonumber\\ &\quad -\frac{1}{i(1+\alpha^2)(1-\varepsilon)}[b_{1m,x}+\alpha c_{1m,x}-\varepsilon(b_{Nm,x}+\alpha c_{Nm,x})], \nonumber\\ b_{l,m+1}&=\frac{i}{1-\varepsilon} \biggl[(q_1-\varepsilon q_N) a_{lm}+\kern-14pt \sum_{\substack{k+j=l+1, \\ 1<k\leqslant l,\, 1\leqslant j<l}}\kern-12pt(q_k-q_{k-1})a_{jm}+ \sigma\varepsilon\kern-10pt\sum_{\substack{s+t=l+N+1, \\ l+1\leqslant s,t\leqslant N}}\kern-8pt(q_s-q_{s-1})a_{tm}\biggr]-{} \nonumber\\ &\quad -\frac{1}{i(1+\alpha^2)(1-\varepsilon)}[b_{lm,x}+\alpha c_{lm,x}-b_{(l-1)m,x}-\alpha c_{(l-1)m,x}], \\ c_{1,m+1}&=\frac{i}{1-\varepsilon} \biggl[(r_1-\varepsilon r_N)a_{1m}+\varepsilon\sum_{\substack{s+t=2+N, \\ 2\leqslant s,t\leqslant N}}(r_s-r_{s-1})a_{tm}\biggr]+{} \nonumber\\ &\quad+\frac{1}{i(1+\alpha^2)(1-\varepsilon)}[c_{1m,x}-\alpha b_{1m,x}+\varepsilon(\alpha b_{Nm,x}-c_{Nm,x})], \nonumber\\ c_{l,m+1}&=\frac{i}{1-\varepsilon} \biggl[(r_1-\varepsilon r_N) a_{lm}+\kern-14pt \sum_{\substack{k+j=l+1, \\ 1<k\leqslant l,\, 1\leqslant j<l}}\kern-12pt(r_k-r_{k-1})a_{jm}+ \sigma\varepsilon\kern-10pt\sum_{\substack{s+t=l+N+1, \\ l+1\leqslant s,t\leqslant N}}\kern-8pt(r_s-r_{s-1}) a_{tm}]+{} \nonumber\\ &\quad+\frac{1}{i(1+\alpha^2)(1-\varepsilon)}[\alpha b_{(l-1)m,x}-c_{(l-1)m,x}-\alpha b_{lm,x}+c_{lm,x}]. \nonumber \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.3}
$$
Зададим начальные условия
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, a_{l0}=-i,\quad b_{l0}=0,\qquad c_{l0}=0,\qquad k_0=0,\qquad l=1,\ldots,N, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
и предположим, что
$$
\begin{equation*}
a_{lk}|_{q_k=r_k=0}=0,\qquad b_{lk}|_{q_k=r_k=0}=0,\qquad c_{lk}|_{q_k=r_k=0}=0,\qquad l=1,\ldots,N.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда можно найти всю последовательность $\{a_{lk},b_{lk},c_{lk}\,|\,k>0\}$; первые ее члены имеют вид
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, b_{l1}&=q_l,\qquad c_{l1}=r_l,\qquad a_{l1}=-ik_1(t)x, \\ b_{12}&=q_1k_1(t)x-\frac{q_{1,x}+\alpha r_{1,x}-\varepsilon(q_{N,x}+\alpha r_{N,x})}{i(1+\alpha^2)(1-\varepsilon)}, \\ b_{l2}&=q_lk_1(t)x-\frac{q_{l,x}+\alpha r_{l,x}-q_{l-1,x}-\alpha r_{l-1,x}}{i(1+\alpha^2)(1-\varepsilon)}, \\ c_{12}&=r_1k_1(t)x+\frac{r_{1,x}-\alpha q_{1,x}-\varepsilon(r_{N,x}-\alpha q_{N,x})}{i(1+\alpha^2)(1-\varepsilon)}, \\ c_{l2}&=r_lk_1(t)x+\frac{r_{l,x}-\alpha q_{l,x}-r_{l-1,x}+\alpha q_{l-1,x}}{i(1+\alpha^2)(1-\varepsilon)}, \\ a_{l2}&=\frac{6}{i(1+\alpha^2)(1-\varepsilon)} \biggl[2q_{[(l+1)/2]}r_{[(l+1)/2]}+ \alpha (r_{[(l+1)/2]}^2-q_{[(l+1)/2]}^2)+{} \\ &\quad +\varepsilon(\alpha(q_{[(N+l+1)/2]}^2-r_{[(N+l+1)/2]}^2)- 2q_{[(N+l+1)/2]}r_{[(N+l+1)/2]})+{} \\ &\quad+2\sum_{\substack{k+j=l+1, \\ 1\leqslant k\leqslant[l/2]}} [q_k(r_j-\alpha q_j-r_{j-1}-\alpha q_{j-1})+r_k(\alpha r_j+q_j-\alpha r_{j-1}-q_{j-1})]+{}\vphantom{\Bigg|} \\ &\quad +2\sigma\varepsilon\kern-18pt\sum_{\substack{s+t=N+l, \\l\leqslant s\leqslant[(N+l-1)/2]}}\kern-10pt [(q_s-q_{s+1})(\alpha q_t-r_t)-(r_s-r_{s+1})(\alpha r_t+q_t)]\biggr]-ik_2(t)x. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Положим
$$
\begin{equation*}
\widehat V^{(n)}=\sum_{k=1}^{N}\sum^n_{m=0}\bigl(a_{km}\tilde g_{3k-2}(n-m)+b_{km}\tilde g_{3k-1}(n-m)+c_{km}\tilde g_{3k}(n-m)\bigr).
\end{equation*}
\notag
$$
Получаем уравнение
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, -\widehat V_x^{(n)}&{}+\frac{\partial\widehat U}{\partial\lambda}\lambda_t^{(n)}+[\widehat U,\widehat V^{(n)}]=\\ &=i\sum^{N}_{k=1}\biggl[ \biggr(\,\sum^{k}_{p=1}(b_{p,n+1}+\alpha c_{p,n+1})+\sigma\varepsilon\sum^{N}_{j=k+1}(b_{j,n+1}+\alpha c_{j,n+1})\biggr)g_{3k-1}(0)+{} \\ &\qquad\qquad+ \biggl(\,\sum^{k}_{p=1}(\alpha b_{p,n+1}-c_{p,n+1})+\sigma\varepsilon\sum^{N}_{j=k+1}(\alpha b_{j,n+1}-ic_{j,n+1})\biggr)g_{3k}(0)\biggr]. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Неизоспектральное уравнение нулевой кривизны
$$
\begin{equation*}
\widehat U_{t_n}+\frac{\partial\widehat U}{\partial\lambda}\lambda_t^{(n)}-\widehat U_x+[\widehat U, \widehat V^{(n)}]=0
\end{equation*}
\notag
$$
приводит к интегрируемой $Z^\varepsilon_N$-иерархии
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \hat u_{t_n}&=\begin{pmatrix} q_1 \\ r_1 \\ q_2 \\ r_2 \\ \vdots \\ q_N \\ r_N \end{pmatrix}_{\!{}^{\scriptstyle t_n}}= \begin{pmatrix} -i(b_{1,n+1}+\alpha c_{1,n+1})-i\varepsilon\sum\limits^{N}_{j=2}(b_{j,n+1}+\alpha c_{j,n+1}) \\ -i(\alpha b_{1,n+1}-c_{1,n+1})-i\varepsilon\sum\limits^{N}_{j=2}(\alpha b_{j,n+1}-c_{j,n+1}) \\ -i\sum\limits^2_{p=1}(b_{p,n+1}+\alpha c_{p,n+1})-i\varepsilon\sum\limits^{N}_{j=3}(b_{j,n+1}+\alpha c_{j,n+1}) \\ -i\sum\limits^2_{p=1}(\alpha b_{p,n+1}-c_{p,n+1})-i\varepsilon\sum\limits^{N}_{j=3}(\alpha b_{j,n+1}-c_{j,n+1}) \\ \vdots \\ -i\sum\limits^{N}_{p=1}(b_{p,n+1}+\alpha c_{p,n+1}) \\ -i\sum\limits^{N}_{p=1}(\alpha b_{p,n+1}-i c_{p,n+1}) \end{pmatrix}= \nonumber\\ &=\begin{pmatrix} b_{1n,x}+(q_1+\alpha r_1)a_{1n}+\varepsilon\sum\limits_{\substack{s+t=N+2, \\ 2\leqslant s,t\leqslant N}}(q_s+\alpha r_s)a_{tn} \\ c_{1n,x}-(r_1-\alpha q_1)a_{1n}-\varepsilon\sum\limits_{\substack{s+t=N+2, \\ 2\leqslant s,t\leqslant N}}(r_s-\alpha q_s)a_{tn} \\ b_{2n,x}+\sum\limits_{\substack{k+j=3, \\ 1\leqslant k,j\leqslant 2}}(q_k+\alpha r_k)a_{jn}- \varepsilon\sum\limits_{\substack{s+t=l+N+1, \\ l+1\leqslant s,t\leqslant N}}(q_s+\alpha r_s)a_{tn} \\ c_{2n,x}-\sum\limits_{\substack{k+j=3, \\ 1\leqslant k,j\leqslant 2}}(r_k-\alpha q_k)a_{jn}- \varepsilon\sum\limits_{\substack{s+t=l+N+1, \\ l+1\leqslant s,t\leqslant N}}(r_s-\alpha q_s)a_{tn} \\ \vdots \\ b_{Nn,x}+\sum\limits_{\substack{k+j=N+1, \\ 1\leqslant k,j\leqslant N}}(q_k+\alpha r_k)a_{jn} \\ c_{Nn,x}-\sum\limits_{\substack{k+j=N+1, \\ 1\leqslant k,j\leqslant N}}(r_k-\alpha q_k)a_{jn} \end{pmatrix}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.4}
$$
Очевидно, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, q_{l,t_n}&=-i\sum^{l}_{p=1}(b_{p,n+1}+\alpha c_{p,n+1})-i\sigma\varepsilon\sum_{l+1\leqslant j\leqslant N}(b_{j,n+1}+\alpha c_{j,n+1}), \\ r_{l,t_n}&=-i\sum^{l}_{p=1}(\alpha b_{p,n+1}-c_{p,n+1})-i\sigma\varepsilon\sum_{l+1\leqslant j\leqslant N}(\alpha b_{j,n+1}-c_{j,n+1}), \end{aligned}\qquad l=1,\ldots,N.
\end{equation*}
\notag
$$
При $n=0$ иерархия (4.4) сводится к
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, q_{l,t_0}&=-i\sum^{l}_{p=1}(q_p+\alpha r_p)-i\sigma\varepsilon\sum_{l+1\leqslant j\leqslant N}(q_j+\alpha r_j), \\ r_{l,t_0}&=-i\sum^{l}_{p=1}(\alpha q_p-r_p)-i\sigma\varepsilon\sum_{l+1\leqslant j\leqslant N}(\alpha q_j-r_j). \end{aligned}\qquad l=1,\ldots,N.
\end{equation}
\tag{4.5}
$$
При $n=1$ иерархия (4.4) принимает вид
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, q_{l,t_1}&=q_{l,x}-i\biggl[\,\sum^{l}_{p=1}(q_p+\alpha r_p)-i\sigma\varepsilon\sum_{l+1\leqslant j\leqslant N}(q_j+\alpha r_j)\biggr]k_1(t)x, \\ r_{l,t_1}&=r_{l,x}-i\biggl[\,\sum^{l}_{p=1}(\alpha q_p-r_p)-i\sigma\varepsilon\sum_{l+1\leqslant j\leqslant N}(\alpha q_j-r_j)\biggr]k_1(t)x, \end{aligned}\qquad l=1,\ldots,N.
\end{equation}
\tag{4.6}
$$
Если $N=n=2$, то система (4.4) сводится к (3.5). Мы видим, что для $n=2$ получается новая неизоспектральная $Z_N^\varepsilon$-система оНУШ. Следовательно, (4.4) является неизоспектральной интегрируемой $Z_N^\varepsilon$-иерархией оНУШ. Бигамильтоновы структурыВ этом пункте мы сосредоточимся на бигамильтоновых структурах иерархии (4.4), получающихся из $Z^\varepsilon_N$-тождества следов:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \frac{\delta}{\partial\hat u}& \int\biggl(\,\sum_{\substack{k+j=l+1, \\ 1\leqslant k,j\leqslant l}} \operatorname{tr} \biggl(\widehat V_k\frac{\partial\widehat U_j}{\partial\lambda}\biggr)+ \sigma\varepsilon\sum_{\substack{s+t=N+l+1, \\ l+1\leqslant s,t\leqslant N}} \operatorname{tr} \biggl(\widehat V_s\frac{\partial\widehat U_t}{\partial\lambda}\biggr)\!\biggr)dx= \nonumber\\ &=\lambda^{-\gamma}\frac{\partial}{\partial\lambda} \lambda^\gamma\biggl(\,\sum_{\substack{k+j=l+1, \\ 1\leqslant k,j\leqslant l}} \operatorname{tr} \biggl(\widehat V_k\frac{\partial\widehat U_j}{\partial\hat u}\biggr)+ \sigma\varepsilon\sum_{\substack{s+t=N+l+1, \\ l+1\leqslant s,t\leqslant N}} \operatorname{tr} \biggl(\widehat V_s\frac{\partial\widehat U_t}{\partial\hat u}\biggr)\!\biggr), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.7}
$$
где $\hat u=(q_1,r_1,q_2,r_2,\ldots,q_N,r_N)^{\mathrm T}$. Из (4.1) имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \sum_{\substack{k+j=l+1,\\ 1\leqslant k,j\leqslant l}} \operatorname{tr} \biggl(&\widehat V_k\frac{\partial\widehat U_j}{\partial\lambda}\biggr)+ \sigma\varepsilon\sum_{\substack{s+t=N+l+1, \\ l+1\leqslant s,t\leqslant N}} \operatorname{tr} \biggl(\widehat V_s\frac{\partial\widehat U_t}{\partial\lambda}\biggr)= \\ &=-\frac{i}{8}\biggl(\,\sum_{1\leqslant p\leqslant l}a_p+\sigma\varepsilon\sum_{l+1\leqslant n\leqslant N}a_n\biggr), \\ \sum_{\substack{k+j=l+1, \\ 1\leqslant k,j\leqslant l}}& \operatorname{tr} \biggl(\widehat V_k\frac{\partial\widehat U_j}{\partial\hat u}\biggr)+ \sigma\varepsilon\sum_{\substack{s+t=N+l+1, \\ l+1\leqslant s,t\leqslant N}} \operatorname{tr} \biggl(\widehat V_s\frac{\partial\widehat U_t}{\partial\hat u}\biggr)= \\ &=\begin{pmatrix} \displaystyle -6\sum_{1\leqslant p\leqslant l}(\alpha b_p-c_p)-6\sigma\varepsilon\sum_{l+1\leqslant n\leqslant N}(\alpha b_n-c_n) \\ \displaystyle \phantom{-}6\sum_{1\leqslant p\leqslant l}(b_p+\alpha c_p)+6\sigma\varepsilon\sum_{l+1\leqslant n\leqslant N}(b_n+\alpha c_n \vphantom{\bigg|^A} \end{pmatrix}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Подставляя эти уравнения в (4.7), получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \frac{\delta}{\partial\hat u}&\int{-\frac{i}{8}} \biggl(\,\sum_{1\leqslant p\leqslant l}a_p+\sigma\varepsilon\sum_{l+1\leqslant n\leqslant N}a_n\biggr)dx= \nonumber\\ &=\lambda^{-\gamma}\frac{\partial}{\partial\lambda}\lambda^\gamma \begin{pmatrix} \displaystyle -6\sum_{1\leqslant p\leqslant l}(\alpha b_p-c_p)-6\sigma\varepsilon\sum_{l+1\leqslant n\leqslant N}(\alpha b_n-c_n) \\ \displaystyle \phantom{-}6\sum_{1\leqslant p\leqslant l}(b_p+\alpha c_p)+6\sigma\varepsilon\sum_{l+1\leqslant n\leqslant N}(b_n+\alpha c_n) \vphantom{\bigg|^A} \end{pmatrix}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.8}
$$
Разложения в ряды Лорана дают
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \frac{\delta}{\partial\hat u}& \int{-\frac{i}{8}}\biggl(\,\sum_{1\leqslant p\leqslant l}a_{p,m+1}+\sigma\varepsilon\sum_{l+1\leqslant n\leqslant N}a_{n,m+1}\biggr)dx= \nonumber\\ &=(\gamma-m)\begin{pmatrix} \displaystyle -6\sum_{1\leqslant p\leqslant l}(\alpha b_{pm}-c_{pm})-6\sigma\varepsilon\sum_{l+1\leqslant n\leqslant N}(\alpha b_{nm}-c_{nm})\\ \displaystyle \phantom{-}6\sum_{1\leqslant p\leqslant l}(b_{pm}+\alpha c_{pm})+6\sigma\varepsilon\sum_{l+1\leqslant n\leqslant N}(b_{nm}+\alpha c_{nm}) \end{pmatrix}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.9}
$$
Положив $m=1$, имеем $\gamma=0$. Следовательно,
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \frac{\delta}{\partial\hat u}& \int\frac{1}{m+1}\biggl(\,\sum_{1\leqslant p\leqslant l}a_{p,m+2}+\sigma\varepsilon\sum_{l+1\leqslant n\leqslant N}a_{n,m+2}\biggr)dx= \nonumber\\ &=\begin{pmatrix} \displaystyle \phantom{-} 48i\sum_{1\leqslant p\leqslant l}(\alpha b_{p,m+1}-c_{p,m+1})+48i\sigma\varepsilon\sum_{l+1\leqslant n\leqslant N}(\alpha b_{n,m+1}-c_{n,m+1}) \\ \displaystyle -48i\sum_{1\leqslant p\leqslant l}(b_{p,m+1}+\alpha c_{p,m+1})-48i\sigma\varepsilon\sum_{l+1\leqslant n\leqslant N}(b_{n,m+1}+\alpha c_{n,m+1}) \vphantom{\bigg|^A} \end{pmatrix}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.10}
$$
где функции Гамильтона задаются как
$$
\begin{equation*}
\widehat H_{l,m+1}=\int\frac{1}{m+1} \biggl(\,\sum_{1\leqslant p\leqslant l}a_{p,m+2}+\sigma\varepsilon\sum_{l+1\leqslant n\leqslant N}a_{n,m+2}\biggr)dx,\qquad l=1,\ldots,N.
\end{equation*}
\notag
$$
Используя уравнения (4.3), получаем следующие рекуррентные соотношения:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\begin{pmatrix} \displaystyle \phantom{-}48i(\alpha b_{1,n+1}-c_{1,n+1})+48i\varepsilon\sum_{2\leqslant j\leqslant N}(\alpha b_{j,n+1}-c_{j,n+1}) \\ \displaystyle -48i(b_{1,n+1}+\alpha c_{1,n+1})-48i\varepsilon\sum_{2\leqslant j\leqslant N}(b_{j,n+1}+\alpha c_{j,n+1})\vphantom{\bigg|^a} \\ \displaystyle\phantom{-} 48i\sum_{1\leqslant p\leqslant 2}(\alpha b_{p,n+1}-c_{p,n+1})+48i\varepsilon\sum_{3\leqslant j\leqslant N}(\alpha b_{j,n+1}-c_{j,n+1}) \vphantom{\bigg|^a} \\ \displaystyle-48i\sum_{1\leqslant p\leqslant 2}(b_{p,n+1}+\alpha c_{p,n+1})-48i\varepsilon\sum_{3\leqslant j\leqslant N}(b_{j,n+1}+\alpha c_{j,n+1}) \vphantom{\bigg|^a} \\ \vdots\\ \displaystyle \phantom{-}48i\sum_{1\leqslant p\leqslant N}(\alpha b_{p,n+1}-c_{p,n+1}) \\ \displaystyle -48i\sum_{1\leqslant p\leqslant N}(b_{p,n+1}+\alpha c_{p,n+1})\vphantom{\bigg|^a} \end{pmatrix}= \\ &\quad = \kern1.1pt\overline{\kern-1.3pt L\kern-0.6pt}\kern0.8pt \begin{pmatrix} \displaystyle\phantom{-} 48i(\alpha b_{1n}-c_{1n})+48i\varepsilon\sum_{2\leqslant j\leqslant N}(\alpha b_{jn}-c_{jn}) \\ \displaystyle -48i(b_{1n}+\alpha c_{1n})-48i\varepsilon\sum_{2\leqslant j\leqslant N}(b_{jn}+\alpha c_{jn})\vphantom{\bigg|^a}\\ \displaystyle\phantom{-} 48i\sum_{1\leqslant p\leqslant 2}(\alpha b_{pn}-c_{pn})+48i\varepsilon\sum_{3\leqslant j\leqslant N}(\alpha b_{jn}-c_{jn}) \vphantom{\bigg|^a}\\ \displaystyle -48i\sum_{1\leqslant p\leqslant 2}(b_{pn}+\alpha c_{pn})-48i\varepsilon\sum_{3\leqslant j\leqslant N}(b_{jn}+\alpha c_{jn}) \\ \vdots\\ \displaystyle\phantom{-} 48i\sum_{1\leqslant p\leqslant N}(\alpha b_{pn}-c_{pn})\\ \displaystyle-48i\sum_{1\leqslant p\leqslant N}(b_{pn}+\alpha c_{pn})\vphantom{\bigg|^a} \end{pmatrix}+ \kern1.1pt\overline{\kern-1.4pt R\kern-0.5pt}\kern0.8pt _1k_n(t)x, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $ \kern1.1pt\overline{\kern-1.3pt L\kern-0.6pt}\kern0.8pt $ – матрица размера $2N\times2N$,
$$
\begin{equation*}
\kern1.1pt\overline{\kern-1.3pt L\kern-0.6pt}\kern0.8pt =\frac{12i}{(1-\varepsilon)(1+\alpha^2)}( \kern1.1pt\overline{\kern-1.3pt L\kern-0.6pt}\kern0.8pt _1, \kern1.1pt\overline{\kern-1.3pt L\kern-0.6pt}\kern0.8pt _2, \kern1.1pt\overline{\kern-1.3pt L\kern-0.6pt}\kern0.8pt _3,\ldots, \kern1.1pt\overline{\kern-1.3pt L\kern-0.6pt}\kern0.8pt _N)^{\mathrm T}+ \frac{i}{(1-\varepsilon)(1+\alpha^2)}( \kern1.2pt\overline{\kern-1.4pt A\kern-0.9pt}\kern1.1pt ,- \kern1.2pt\overline{\kern-1.4pt A\kern-0.9pt}\kern1.1pt ,0,\ldots,0,0)^{\mathrm T},
\end{equation*}
\notag
$$
в которой
$$
\begin{equation*}
\kern1.2pt\overline{\kern-1.4pt A\kern-0.9pt}\kern1.1pt =\frac{i}{(1-\varepsilon)(1+\alpha^2)} \begin{pmatrix} -\partial & -\alpha\partial \\ -\alpha\partial & \partial \end{pmatrix},\qquad \kern1.1pt\overline{\kern-1.3pt L\kern-0.6pt}\kern0.8pt _1=\begin{pmatrix} \kern1.1pt\overline{\kern-1.3pt L\kern-0.6pt}\kern0.8pt _{1,1} & \kern1.1pt\overline{\kern-1.3pt L\kern-0.6pt}\kern0.8pt _{1,2} \\ \kern1.1pt\overline{\kern-1.3pt L\kern-0.6pt}\kern0.8pt _{2,1} & \kern1.1pt\overline{\kern-1.3pt L\kern-0.6pt}\kern0.8pt _{2,2} \end{pmatrix},
\end{equation*}
\notag
$$
а элементы матрицы $ \kern1.1pt\overline{\kern-1.3pt L\kern-0.6pt}\kern0.8pt _1$ задаются как
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \kern1.1pt\overline{\kern-1.3pt L\kern-0.6pt}\kern0.8pt _{1,1}&=(r_1-\alpha q_1-\varepsilon r_N+\varepsilon\alpha q_N)\,\partial^{-1}(\alpha r_1+q_1)+{} \\ &\quad +\varepsilon\sum_{\substack{s+t=N+2, \\ 2\leqslant s,t\leqslant N}}(r_s-\alpha q_s-r_{s-1}+\alpha q_{s-1})\,\partial^{-1}(\alpha r_t+q_t), \\ \kern1.1pt\overline{\kern-1.3pt L\kern-0.6pt}\kern0.8pt _{1,2}&=(r_1-\alpha q_1-\varepsilon r_N+\varepsilon\alpha q_N)\,\partial^{-1}(\alpha q_1-r_1)+{} \\ &\quad +\varepsilon\sum_{\substack{s+t=N+2, \\ 2\leqslant s,t\leqslant N}}(r_s-\alpha q_s-r_{s-1}+\alpha q_{s-1})\,\partial^{-1}(\alpha q_t-r_t), \\ \kern1.1pt\overline{\kern-1.3pt L\kern-0.6pt}\kern0.8pt _{2,1}&=(q_1+\alpha r_1-\varepsilon q_N-\varepsilon\alpha r_N)\,\partial^{-1}(\alpha r_1+q_1)+{} \\ &\quad +\varepsilon\sum_{\substack{s+t=N+2,\\ 2\leqslant s,t\leqslant N}}(q_s+\alpha r_s-q_{s-1}-\alpha r_{s-1})\,\partial^{-1}(\alpha r_t+q_t), \\ \kern1.1pt\overline{\kern-1.3pt L\kern-0.6pt}\kern0.8pt _{2,2}&=(q_1+\alpha r_1-\varepsilon q_N-\varepsilon\alpha r_N)\,\partial^{-1}(\alpha q_1-r_1)+{} \\ &\quad +\varepsilon\sum_{\substack{s+t=N+2, \\ 2\leqslant s,t\leqslant N}}(q_s+\alpha r_s-q_{s-1}-\alpha r_{s-1})\,\partial^{-1}(\alpha q_t-r_t). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Для $l=2,3,\ldots,N$ имеем
$$
\begin{equation*}
\kern1.1pt\overline{\kern-1.3pt L\kern-0.6pt}\kern0.8pt _l=\begin{pmatrix} \kern1.1pt\overline{\kern-1.3pt L\kern-0.6pt}\kern0.8pt _{2l-1,1} & \kern1.1pt\overline{\kern-1.3pt L\kern-0.6pt}\kern0.8pt _{2l-1,2} \\ \kern1.1pt\overline{\kern-1.3pt L\kern-0.6pt}\kern0.8pt _{2l,1} & \kern1.1pt\overline{\kern-1.3pt L\kern-0.6pt}\kern0.8pt _{2l,2} \end{pmatrix},
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \kern1.1pt\overline{\kern-1.3pt L\kern-0.6pt}\kern0.8pt _{2l-1,1}&=(r_1-\alpha q_1-\varepsilon r_N+\varepsilon\alpha q_N)\,\partial^{-1}(\alpha r_l+q_l)+{} \\ &\quad +\sum_{\substack{k+j=l+1, \\ 1<k\leqslant l,\, 1\leqslant j<l}}(r_k-\alpha q_k-r_{k-1}+\alpha q_{k-1})\,\partial^{-1}(\alpha r_j+q_j)+{} \\ &\quad +\sigma\varepsilon\sum_{\substack{s+t=N+l+1, \\ l+1\leqslant s,t\leqslant N}}(r_s-\alpha q_s-r_{s-1}+\alpha q_{s-1})\,\partial^{-1}(\alpha r_t+q_t), \\ \kern1.1pt\overline{\kern-1.3pt L\kern-0.6pt}\kern0.8pt _{2l-1,2}&=(r_1-\alpha q_1-\varepsilon r_N+\varepsilon\alpha q_N)\,\partial^{-1}(\alpha q_l-r_l)+{} \\ &\quad +\sum_{\substack{k+j=l+1, \\ 1<k\leqslant l,\,1\leqslant j<l}}(r_k-\alpha q_k-r_{k-1}+\alpha q_{k-1})\,\partial^{-1}(\alpha q_j-r_j)+{} \\ &\quad+\sigma\varepsilon\sum_{\substack{s+t=N+l+1, \\ l+1\leqslant s,t\leqslant N}}(r_s-\alpha q_s-r_{s-1}+\alpha q_{s-1})\,\partial^{-1}(\alpha q_t-r_t), \\ \kern1.1pt\overline{\kern-1.3pt L\kern-0.6pt}\kern0.8pt _{2l,1}&=(q_1+\alpha r_1-\varepsilon q_N-\varepsilon\alpha r_N)\,\partial^{-1}(\alpha r_l+q_l)+{} \\ &\quad +\sum_{\substack{k+j=l+1\\ 1<k\leqslant l,\, 1\leqslant j<l}}(q_k+\alpha r_k-q_{s-1}-\alpha r_{k-1})\,\partial^{-1}(\alpha r_j+q_j)+{} \\ &\quad +\sigma\varepsilon\sum_{\substack{s+t=N+l+1 \\ l+1\leqslant s,t\leqslant N}}(q_s+\alpha r_s-q_{s-1}-\alpha r_{s-1})\,\partial^{-1}(\alpha r_t+q_t), \\ \kern1.1pt\overline{\kern-1.3pt L\kern-0.6pt}\kern0.8pt _{2l,2}&=(q_1+\alpha r_1-\varepsilon q_N-\varepsilon\alpha r_N)\,\partial^{-1}(\alpha q_l-r_l)_j+{} \\ &\quad +\sum_{\substack{k+j=l+1\\ 1<k\leqslant l,\, 1\leqslant j<l}}(q_k+\alpha r_k-q_{k-1}-\alpha r_{k-1})\,\partial^{-1}(\alpha q_j-r_j)+{} \\ &\quad+\sigma\varepsilon\sum_{\substack{s+t=N+l+1, \\ l+1\leqslant s,t\leqslant N}}(q_s+\alpha r_s-q_{s-1}-\alpha r_{s-1})\,\partial^{-1}(\alpha q_t-r_t) \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
и
$$
\begin{equation*}
\kern1.1pt\overline{\kern-1.4pt R\kern-0.5pt}\kern0.8pt _1=\begin{pmatrix} -48i(r_1-\alpha q_1)+48i\varepsilon\sum\limits_{2\leqslant j\leqslant N}(r_j-\alpha q_j)\\ -48i(q_1+\alpha r_1)-48i\varepsilon\sum\limits_{2\leqslant j\leqslant N}(q_j+\alpha r_j)\vphantom{\bigg|^A}\\ -48i\sum\limits_{1\leqslant p\leqslant 2}(r_p-\alpha q_p)+48i\varepsilon\sum\limits_{3\leqslant j\leqslant N}(r_j-\alpha q_j)\vphantom{\bigg|^A}\\ -48i\sum\limits_{1\leqslant p\leqslant 2}(q_p+\alpha r_p)-48i\varepsilon\sum\limits_{3\leqslant j\leqslant N}(q_j+\alpha r_j)\vphantom{\bigg|^A}\\ \vdots\\ -48i\sum\limits_{1\leqslant p\leqslant N}(r_p-\alpha q_p)\\ -48i\sum\limits_{1\leqslant p\leqslant N}(q_p+\alpha r_p\vphantom{\bigg|^A}) \end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
Опираясь на уравнения (4.3) и (4.10), получаем бигамильтоновы структуры иерархии (4.4):
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \hat u_{t_n}&=\begin{pmatrix} q_1 \\ r_1 \\ q_2 \\ r_2 \\ \vdots \\ q_N \\ r_N \end{pmatrix}_{\!{}^{\scriptstyle t_n}}= \begin{pmatrix} -i(b_{1,n+1}+\alpha c_{1,n+1})-i\varepsilon\sum\limits^{N}_{j=2}(b_{j,n+1}+\alpha c_{j,n+1})\\ -i(\alpha b_{1,n+1}-c_{1,n+1})-i\varepsilon\sum\limits^{N}_{j=2}(\alpha b_{j,n+1}-c_{j,n+1})\vphantom{\bigg|^A}\\ -i\sum\limits^2_{p=1}(b_{p,n+1}+\alpha c_{p,n+1})-i\varepsilon\sum\limits^{N}_{j=3}(b_{j,n+1}+\alpha c_{j,n+1})\vphantom{\bigg|^A}\\ -i\sum\limits^2_{p=1}(\alpha b_{p,n+1}-c_{p,n+1})-i\varepsilon\sum\limits^{N}_{j=3}(\alpha b_{j,n+1}-c_{j,n+1})\vphantom{\bigg|^A}\\ \vdots\\ -i\sum\limits^{N}_{p=1}(b_{p,n+1}+\alpha c_{p,n+1})\\ -i\sum\limits^{N}_{p=1}(\alpha b_{p,n+1}-i c_{p,n+1})\vphantom{\bigg|^A} \end{pmatrix}= \\ &= \kern1.4pt\overline{\kern-1.6pt J\kern-0.4pt}\kern0.6pt _1\begin{pmatrix} \phantom{-}48i(\alpha b_{1,n+1}-c_{1,n+1})+48i\varepsilon\sum\limits_{2\leqslant j\leqslant N}(\alpha b_{j,n+1}-c_{j,n+1})\\ -48i(b_{1,n+1}+\alpha c_{1,n+1})-48i\varepsilon\sum\limits_{2\leqslant j\leqslant N}(b_{j,n+1}+\alpha c_{j,n+1})\vphantom{\bigg|^a}\\ \phantom{-}48i\sum\limits_{1\leqslant p\leqslant 2}(\alpha b_{p,n+1}-c_{p,n+1})+48i\varepsilon\sum\limits_{3\leqslant j\leqslant N}(\alpha b_{j,n+1}-c_{j,n+1}) \vphantom{\bigg|^a}\\ -48i\sum\limits_{1\leqslant p\leqslant 2}(b_{p,n+1}+\alpha c_{p,n+1})-48i\varepsilon\sum\limits_{3\leqslant j\leqslant N}(b_{j,n+1}+\alpha c_{j,n+1}) \vphantom{\bigg|^a}\\ \vdots\\ \phantom{-}48i\sum\limits_{1\leqslant p\leqslant N}(\alpha b_{p,n+1}-c_{p,n+1})\\ -48i\sum\limits_{1\leqslant p\leqslant N}(b_{p,n+1}+\alpha c_{p,n+1})\vphantom{\bigg|^a} \end{pmatrix}= \\ &= \kern1.4pt\overline{\kern-1.6pt J\kern-0.4pt}\kern0.6pt _1\frac{\delta}{\delta\hat u}\begin{pmatrix} \kern1.1pt\overline{\kern-1.4pt H\kern-0.5pt}\kern0.8pt _{1,n+1} \\ \kern1.1pt\overline{\kern-1.4pt H\kern-0.5pt}\kern0.8pt _{2,n+1} \\ \kern1.1pt\overline{\kern-1.4pt H\kern-0.5pt}\kern0.8pt _{3,n+1} \\ \kern1.1pt\overline{\kern-1.4pt H\kern-0.5pt}\kern0.8pt _{4,n+1} \\ \vdots\\ \kern1.1pt\overline{\kern-1.4pt H\kern-0.5pt}\kern0.8pt _{N,n+1} \\ \kern1.1pt\overline{\kern-1.4pt H\kern-0.5pt}\kern0.8pt _{N,n+1} \end{pmatrix}= \\ &= \kern1.4pt\overline{\kern-1.6pt J\kern-0.4pt}\kern0.6pt _1 \kern1.1pt\overline{\kern-1.3pt L\kern-0.6pt}\kern0.8pt _1\begin{pmatrix} \phantom{-}48i(\alpha b_{1n}-c_{1n})+48i\varepsilon\sum\limits_{2\leqslant j\leqslant N}(\alpha b_{jn}-c_{jn})\\ -48i(b_{1n}+\alpha c_{1n})-48i\varepsilon\sum\limits_{2\leqslant j\leqslant N}(b_{jn}+\alpha c_{jn})\vphantom{\bigg|^a}\\ \phantom{-}48i\sum\limits_{1\leqslant p\leqslant 2}(\alpha b_{pn}-c_{pn})+48i\varepsilon\sum\limits_{3\leqslant j\leqslant N}(\alpha b_{jn}-c_{jn}) \vphantom{\bigg|^a}\\ -48i\sum\limits_{1\leqslant p\leqslant 2}(b_{pn}+\alpha c_{pn})-48i\varepsilon\sum\limits_{3\leqslant j\leqslant N}(b_{jn}+\alpha c_{jn}) \vphantom{\bigg|^a}\\ \vdots\\ \phantom{-}48i\sum\limits_{1\leqslant p\leqslant N}(\alpha b_{pn}-c_{pn})\\ -48i\sum\limits_{1\leqslant p\leqslant N}(b_{pn}+\alpha c_{pn})\vphantom{\bigg|^a} \end{pmatrix}+ \kern1.4pt\overline{\kern-1.6pt J\kern-0.4pt}\kern0.6pt _1 \kern1.1pt\overline{\kern-1.4pt R\kern-0.5pt}\kern0.8pt _1k_n(t)x= \\ &={\kern0.9pt\overline{\kern-1.1pt Q\kern-0.4pt}\kern0.6pt} \frac{\delta}{\delta\hat u}\begin{pmatrix} \kern1.1pt\overline{\kern-1.4pt H\kern-0.5pt}\kern0.8pt _{1n} \\ \kern1.1pt\overline{\kern-1.4pt H\kern-0.5pt}\kern0.8pt _{2n} \\ \kern1.1pt\overline{\kern-1.4pt H\kern-0.5pt}\kern0.8pt _{3n} \\ \kern1.1pt\overline{\kern-1.4pt H\kern-0.5pt}\kern0.8pt _{4n}\\ \vdots\\ \kern1.1pt\overline{\kern-1.4pt H\kern-0.5pt}\kern0.8pt _{Nn}\\ \kern1.1pt\overline{\kern-1.4pt H\kern-0.5pt}\kern0.8pt _{Nn} \end{pmatrix}+ \kern1.4pt\overline{\kern-1.6pt J\kern-0.4pt}\kern0.6pt _1 \kern1.1pt\overline{\kern-1.4pt R\kern-0.5pt}\kern0.8pt _1k_n(t)x= {\kern0.8pt\overline{\kern-0.8pt\Phi\kern-0.8pt}\kern0.8pt}^n_1 \kern1.4pt\overline{\kern-1.6pt J\kern-0.4pt}\kern0.6pt _1\frac{\delta}{\delta\hat u}\begin{pmatrix} \kern1.1pt\overline{\kern-1.4pt H\kern-0.5pt}\kern0.8pt _{11} \\ \kern1.1pt\overline{\kern-1.4pt H\kern-0.5pt}\kern0.8pt _{21}\\ \kern1.1pt\overline{\kern-1.4pt H\kern-0.5pt}\kern0.8pt _{31} \\ \kern1.1pt\overline{\kern-1.4pt H\kern-0.5pt}\kern0.8pt _{41} \\ \vdots \\ \kern1.1pt\overline{\kern-1.4pt H\kern-0.5pt}\kern0.8pt _{N1} \\ \kern1.1pt\overline{\kern-1.4pt H\kern-0.5pt}\kern0.8pt _{N1} \end{pmatrix}+ \sum_{m=0}^n{\kern0.8pt\overline{\kern-0.8pt\Phi\kern-0.8pt}\kern0.8pt}^{n-m}_1 \kern1.4pt\overline{\kern-1.6pt J\kern-0.4pt}\kern0.6pt _1 \kern1.1pt\overline{\kern-1.4pt R\kern-0.5pt}\kern0.8pt _1k_m(t)x, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где операторы Гамильтона задаются как
$$
\begin{equation*}
\kern1.4pt\overline{\kern-1.6pt J\kern-0.4pt}\kern0.6pt _1=\frac{1}{48}\begin{pmatrix} \phantom{-}0 & 1 & \phantom{-}0 & 0 & \ldots & \ldots & 0\; \\ -1 & 0 & \phantom{-}0 & 0 & \ddots & \ddots & \vdots \\ \phantom{-}0 & 0 & \phantom{-}0 & 1 & \ddots & \ddots & \vdots \\ \phantom{-}0 & 0 & -1 & 0 & 0 & \ddots & 0 \\ \phantom{-}\vdots & \ddots & \ddots & 0 & \ddots & \ddots & 0 \\ \phantom{-}\vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \phantom{-}0 & 1 \\ \phantom{-}0 & \ldots & \ldots & 0 & 0 & -1 & 0 \end{pmatrix},
\end{equation*}
\notag
$$
и ${\kern0.9pt\overline{\kern-1.1pt Q\kern-0.4pt}\kern0.6pt}_1= \kern1.4pt\overline{\kern-1.6pt J\kern-0.4pt}\kern0.6pt _1 \kern1.1pt\overline{\kern-1.3pt L\kern-0.6pt}\kern0.8pt _1$, ${\kern0.8pt\overline{\kern-0.8pt\Phi\kern-0.8pt}\kern0.8pt}_1= \kern1.4pt\overline{\kern-1.6pt J\kern-0.4pt}\kern0.6pt _1 \kern1.1pt\overline{\kern-1.3pt L\kern-0.6pt}\kern0.8pt _1 \kern1.4pt\overline{\kern-1.6pt J\kern-0.4pt}\kern0.6pt ^{-1}_1$.
5. Заключение и обсуждениеВ этой статье мы предложили метод получения многокомпонентных неизоспектральных иерархий с помощью многомерных алгебр Ли. На основе двух видов расширенных многомерных алгебр Ли мы вывели несколько многокомпонентных неизоспектральных иерархий оНУШ; их бигамильтоновы структуры установлены с помощью $Z^\varepsilon_N$-тождества следов. Представленный в статье подход может быть использован для других многокомпонентных изоспектральных и неизоспектральных интегрируемых иерархий и, возможно, окажется эффективным при решении последующих задач. Конфликт интересовАвторы заявляют, что у них нет конфликта интересов.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{YuWanLi23} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|