| Теоретическая и математическая физика |
|
|
|
|
|
Асимптотика решений уравнения Гельмгольца в двухслойной среде с локализованной правой частью А. Ю. Аникин, А. И. Клевин Институт проблем механики им. А. Ю. Ишлинского Российской академии наук, Москва, Россия
Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2023, Volume 216, Issue 1, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0040577923070103 
Реферативные базы данных:
   1. ВведениеВ задачах океанической акустики уравнение Гельмгольца
$$
\begin{equation}
\biggl(\Delta_x + \frac{\partial^2}{\partial {z}^2} + \frac{\omega^2}{c^2(x,z)} \biggr) u = - f\biggl( \frac{x-x^0}{\mu}, z \biggr)
\end{equation}
\tag{1}
$$
относительно неизвестной функции $u(x, z)$ описывает (см. [1]–[4]) распространение звука с заданной частотой $\omega$ в мелкой воде в трехмерной области с координатами $(x, z) = (x_1, x_2, z)$ с переменной скоростью звука $c(x, z)$ в ней. В океанической акустике под $z$ понимается координата глубины. Переходя к более общему случаю, мы предполагаем, что уравнение рассматривается в области размерности $n+1$ с координатами $(x, z) = (x_1,\ldots, x_n, z)$. В уравнение входит оператор Лапласа $\Delta_x = \partial^2 /\partial x_1^2 + \cdots + \partial^2 / \partial x_n^2$ по переменным $x$. Пусть имеется локализованный в окрестности множества $x=x^0$ источник, заданный правой частью уравнения (1) с помощью функции $f(\xi, z)$, быстро убывающей при $|\xi| \to +\infty$, и малого параметра $\mu$, отвечающего за степень локализации правой части в окрестности множества $x=x^0$. Задача (1) возникает при изучении решений волнового уравнения со скоростью звука $c(x,z)$, описывающих волны, порожденные гармоническим по времени пространственно локализованным источником. Предположим, что характерный масштаб задачи $d_0$ по переменной $z$ много меньше характерного масштаба задачи $l_0$ по переменной $x$, т. е. $h\equiv d_0/l_0 \ll 1$. Предположим также, что $\mu \sim d_0$, т. е. параметры $\mu$ и $d_0$ являются величинами одного порядка. Замена функции $f(\xi, z)$ на функцию $f(\xi \mu/d_0, z)$ позволяет без ограничения общности считать, что $\mu = d_0$. Перейдем к безразмерным переменным $z=z' d_0$, $x=x'l_0$ и введем величину $k(x,z)= \omega d_0/c(x,z)$. После очевидных переобозначений мы приходим к уравнению
$$
\begin{equation}
-h^2 \Delta_x u - \frac{\partial^2 u}{\partial {z}^2} - k^2(x, z) u = f\biggl( \frac{x-x^0}{h}, z \biggr).
\end{equation}
\tag{2}
$$
Пусть задана область $(x, z) \in \mathbb{R}^n\times [z_-, z_+]$, разделенная на два слоя графиком некоторой гладкой функции $D=D(x)\colon \mathbb{R}^n \to (z_-, z_+)$. Предположим, что коэффициент уравнения (2) имеет вид
$$
\begin{equation*}
k(x, z) = \begin{cases} k_+(x), & z\in [D(x), z_+], \\ k_-(x), & z\in [z_-, D(x)), \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
где $k_\pm(x)$ – некоторые гладкие функции. Пусть также задана функция плотности вида
$$
\begin{equation*}
\rho(x, z) = \begin{cases} \rho_+(x), & z\in [D(x), z_+], \\ \rho_-(x), & z\in [z_-, D(x)), \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
где $\rho_\pm(x)$ – некоторые гладкие функции. Таким образом, функции $k(x, z)$, $\rho(x, z)$ могут иметь разрыв на границе раздела двух сред. Для функции $u(x, z)$ потребуем выполнения следующих граничных условий:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, u|_{z=z_\pm} = 0, \qquad u|_{z=D(x)-0} = u|_{z=D(x)+0}, \\ \frac{1}{\rho_-(x)}\frac{\partial u}{\partial z}\bigg|_{z=D(x)-0} = \frac{1}{\rho_+(x)}\frac{\partial u}{\partial z}\bigg|_{z=D(x)+0}. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{3}
$$
Потребуем, чтобы функция $f(\xi, z)$ принадлежала классу Шварца по $x$ и была непрерывна по $z$. Замечание 1. В океанической акустике данное разделение на два слоя соответствует среде жидкость–дно. При этом обычно рассматривают полупространство $\mathbb{R}^n\times [z_-, +\infty)$. Возникающая в нашей задаче ситуация с областью $\mathbb{R}^n\times [z_-, z_+]$ может рассматриваться как более простое приближение к задаче в полупространстве. Ограничение глубины дна устанавливается с целью устранения сложностей, связанных с возникновением непрерывного спектра соответствующего оператора в полупространстве (см. [5]). Замечание 2. Мотивировку рассмотрения уравнения с локализованной правой частью можно найти в работе [6]. В реальных приложениях задача поиска асимптотики уравнения с локализованной правой частью может быть более естественной, чем формально обобщающая ее задача поиска асимптотики функции Грина, которой соответствует правая часть в виде дельта-функции (см., например, [7], [8]). При этом сам переход от асимптотики функции Грина к асимптотике задачи с заданной правой частью может потребовать дополнительных вычислений, связанных, как известно, со взятием свертки функции Грина и правой части. В настоящей работе мы строим главный член квазиклассического асимптотического решения уравнения (2) с граничными условиями (3) относительно малого положительного параметра $h\to +0$. При этом мы доказываем существование самого асимптотического решения – функции $u(x, z, h)$, подстановка которой в уравнение (2) дает асимптотическое тождество $-h^2 \Delta_x u - u_{zz} - k^2 u = f + O(h^\infty)$. Метод решения задачи включает в себя три основных направления. Во-первых, учитывая наличие в уравнении “медленной” переменной $z$ и “быстрой” переменной $x$, мы будем использовать адиабатическое приближение в виде операторного разделения переменных (см. [9], [10]), основанного на исчислении Фейнмана–Маслова (см. [11], [12]). Во-вторых, мы будем использовать предложенный в работе [6] (см. также [13]) метод построения асимптотического решения уравнений с локализованной правой частью с помощью теории канонического оператора Маслова на лагранжевых многообразиях. В-третьих, при проведении вычислений, связанных с решениями возникающей в задаче гамильтоновой системы, мы будем использовать некоторые методы квантового аналога принципа Мопертюи–Якоби (см. [14], а также, например, [15]–[17]). Имея в виду неограниченность области по переменной $x$, отметим, цитируя раздел 1.6 работы [6], что в асимптотической теории сложно наложить естественные условия (типа условий излучения на бесконечности или принципа предельного поглощения), которые бы выделяли единственное асимптотическое решение. Там же отмечается, что построенное решение фактически отвечает принципу предельного поглощения. Мы не изучаем вопрос о существовании точного решения рассматриваемой задачи и о близости к нему построенных нами асимптотических решений. Даже для дифференциальных уравнений этот вопрос представляет значительную трудность и соответствующие рассуждения и доказательства весьма сложны и громоздки (см., например, [18]). В нашем случае уравнение в $\mathbb{R}^2$, получаемое после адиабатической редукции, является псевдодифференциальным, и соответствующий более сложный вопрос должен составить предмет отдельного исследования. Отметим, что в работе [19] рассматривалась аналогичная задача в однослойной среде. 2. Операторнозначный символ и его спектрСогласно [10] разделение “медленной” переменной $z$ и “быстрой” переменной $x$ заключается в рассмотрении оператора в левой части уравнения (2) как дифференциального оператора с операторнозначным символом (см. [20], [9], [10]):
$$
\begin{equation*}
\mathcal{H}(x, p) = p^2 - \frac{\partial^2}{\partial z^2} - k^2(x, z), \qquad \widehat{\mathcal{H}} \equiv \mathcal{H}\biggl(\overset{2}{x}, -ih\frac{\overset{1}{ \partial}}{\partial x}\biggr) = -h^2\Delta_x - \frac{\partial^2}{\partial z^2} - k^2(x, z),
\end{equation*}
\notag
$$
где $p=(p_1, \ldots, p_n)$ – сопряженная к $x$ переменная. Уравнение (2) кратко может быть записано как $\widehat{\mathcal{H}}u=f$. Символ $\mathcal{H}(x, p)$ мы понимаем как параметрически зависящий от $(x, p)$ оператор в гильбертовом пространстве функций $\chi(z) \in L_2((z_-, z_+), \rho^{-1}(x, z)\, dz)$ с областью определения
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \{ \chi(z) &\in L_2((z_-, z_+), \rho^{-1}\, dz) \mid \ \chi, \rho^{-1} \chi' \in AC(z_-, z_+), \\ & \mathcal{H}(x, p) \chi \in L_2((z_-, z_+), \rho^{-1}\, dz), \, \chi|_{z=z_-+0} = \chi|_{z=z_+-0} = 0\}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4}
$$
Скалярное произведение в $L_2((z_-, z_+), \rho^{-1}(x, z)\, dz)$ задается формулой
$$
\begin{equation*}
\langle \chi_1(z), \chi_2(z) \rangle = \frac{1}{\rho_-(x)} \int_{z_-}^{D(x)} \chi_1 \overline{\chi_2} \,dz + \frac{1}{\rho_+(x)} \int_{D(x)}^{z_+} \chi_1 \overline{\chi_2}\, dz.
\end{equation*}
\notag
$$
Зададим следующие вспомогательные объекты. Введем аналитические в пространстве $\mathbb{C}$ и вещественные при $\zeta\in \mathbb{R}$ функции
$$
\begin{equation}
\mathbf{s}(\zeta) = \frac{\sin \sqrt{\zeta}}{\sqrt{\zeta}} = \sum_{m=0}^\infty \frac{(-1)^m \zeta^m}{(2m+1)!}, \qquad \mathbf{c}(\zeta) = \cos \sqrt{\zeta} = \sum_{m=0}^\infty \frac{(-1)^m \zeta^m}{(2m)!},
\end{equation}
\tag{5}
$$
а также аналитическую в $\mathbb{C}$ и строго положительную1 при $\zeta \in \mathbb{R}$ функцию
$$
\begin{equation*}
\mathbf{b}(\zeta) = \frac{\sqrt{\zeta} - \sin \sqrt{\zeta}}{\zeta\sqrt{\zeta}} = \sum_{m=0}^\infty \frac{(-1)^m \zeta^k}{(2 m+3)!}.
\end{equation*}
\notag
$$
Положим
$$
\begin{equation}
\mu_\pm(x, \mathcal{E}) = k_\pm^2(x) -\mathcal{E}, \qquad \chi_\pm(A_\pm, x, \mathcal{E}, z) = A_\pm \mathbf{s}(\mu_\pm (z-z_\pm)^2) (z-z_\pm),
\end{equation}
\tag{6}
$$
$$
\begin{equation}
\chi(A_+, A_-, x, \mathcal{E}, z) = \begin{cases} \chi_+(A_+, x, \mathcal{E}, z), & z\in [D(x), z_+], \\ \chi_-(A_-, x, \mathcal{E}, z), & z\in [z_-, D(x)), \end{cases}
\end{equation}
\tag{7}
$$
$$
\begin{equation}
v_+(x, \mathcal{E}) = \begin{pmatrix} \mathbf{s}(\mu_+(D-z_+)^2) (D-z_+) \\ \rho_+^{-1} \mathbf{c}(\mu_+ (D-z_+)^2) \end{pmatrix}, \qquad v_-(x, \mathcal{E}) = \begin{pmatrix} \mathbf{s}(\mu_-(D-z_-)^2) (D-z_-) \\ \rho_-^{-1} \mathbf{c}(\mu_- (D-z_-)^2) \end{pmatrix},
\end{equation}
\tag{8}
$$
$$
\begin{equation}
C_\pm(x, \mathcal{E}) = \pm 2 (z_\pm - D)^3 \mathbf{b}(4\mu_\pm (D-z_\pm)^2), \qquad C_0(x, \mathcal{E}) = \frac{v_-^\mathrm{T} v_+ }{v_-^\mathrm{T} v_-},
\end{equation}
\tag{9}
$$
$$
\begin{equation}
a_+(x, \mathcal{E}) = \frac{1}{\sqrt{\rho_+^{-1} C_+ + \rho_-^{-1}C_- C_0^2}}, \qquad a_-(x, \mathcal{E}) = \frac{C_0}{\sqrt{\rho_+^{-1} C_+ + \rho_-^{-1}C_- C_0^2}}, \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, [b] \mathcal{D}(x, \mathcal{E}) & = -\rho_+(x) \rho_-(x) \det[v_+(x, \mathcal{E}), v_-(x, \mathcal{E})] ={} \\ &= \rho_+ \mathbf{c}(\mu_- (D-z_-)^2) \mathbf{s}(\mu_+(D-z_+)^2) (z_+-D) + {} \\ & \hphantom{={}} + \rho_- \mathbf{c}(\mu_+ (D-z_+)^2) \mathbf{s}(\mu_-(D-z_-)^2) (D-z_-). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{10}
$$
Здесь через $v_-^\mathrm{T}$ обозначено транспонирование зависящего от $(x, \mathcal{E})$ столбца $v_-$. В силу положительности $\mathbf{b}(\zeta)$ при вещественных $\zeta$ функции $C_\pm(x, \mathcal{E})$ удовлетворяют неравенствам $C_\pm(x, \mathcal{E}) > 0$. Легко убедиться, что ни одна из двух векторных функций $v_\pm(x, \mathcal{E})$ не обращается в нуль, что делает функцию $C_0(x, \mathcal{E})$ корректно определенной выражением (9). Доказательство. Последнее равенство следует из первых двух. Непосредственно проверяется, что Таким образом, найдены первообразные подынтегральных функций. Вычисляя интегралы с помощью первообразных и используя определения функций $C_\pm(x, \mathcal{E})$, через которые выражаются значения первообразных в точке $z=D(x)$, мы получаем доказываемые равенства. Лемма 2. Пусть пара $(\tilde{x}, \widetilde{\mathcal{E}})$ удовлетворяет равенству $\mathcal{D}(\tilde{x}, \widetilde{\mathcal{E}}) = 0$. Тогда справедливо равенство Как следствие, значение $-(\partial \mathcal{D} / \partial \mathcal{E})(\tilde{x}, \widetilde{\mathcal{E}})$ не обращается в нуль и имеет знак, совпадающий со знаком $C_0(\tilde{x}, \widetilde{\mathcal{E}})$. Доказательство. В произвольной точке $(x, \mathcal{E})$ производная задается выражением Предложение 1. Оператор $\mathcal{H}(x, p)$ с областью определения (4) является самосопряженным и обладает простым дискретным спектром вида $\{p^2 - \mathcal{E}_\varkappa(x)\}_{\varkappa=1}^\infty$, причем Значения $\mathcal{E}_\varkappa(x)$ гладко зависят от $x$ и определяются как решения относительно $\mathcal{E}$ уравнения называемого дисперсионным соотношением. Последовательности собственных значений $\{p^2 - \mathcal{E}_\varkappa(x)\}_{\varkappa=1}^\infty$ соответствует последовательность собственных функций которая составляет ортонормированный базис в $L_2((z_-, z_+), \rho^{-1} dz)$. Доказательство. Спектральные свойства оператора $\mathcal{H}(x, p)$ следуют из теории операторов Штурма–Лиувилля. Утверждение о самосопряженности оператора $\mathcal{H}(x, p)$ с областью определения (4), о простоте и дискретности его спектра, а также о существовании ортонормированного базиса из его собственных функций можно найти, например, в главе 9 книги [21]. Утверждение о выполнении свойства (13) имеется в теореме 4.3.1 в книге [22]. При этом зависимость оператора и его спектра от $p^2$ легко вычленяется. При фиксированном $x$ пары $(\mathcal{E}_\varkappa, \chi_\varkappa)$ находятся как решения относительно $(\mathcal{E}, \chi)$ следующей спектральной задачи на отрезке $z\in [z_-, z_+]$:
$$
\begin{equation}
\chi'' + k^2(x, z) \chi = \mathcal{E} \chi, \qquad \chi|_{z=z_+} = \chi|_{z=z_-} = 0,
\end{equation}
\tag{16}
$$
$$
\begin{equation}
\chi|_{D(x) -0} = \chi|_{D(x)+0}, \qquad \frac{1}{\rho_-(x)} \frac{\partial \chi}{\partial z}\Big|_{z=D(x) - 0} = \frac{1}{\rho_+(x)} \frac{\partial \chi}{\partial z}\Big|_{z=D(x) + 0}.
\end{equation}
\tag{17}
$$
Рассмотрение уравнения (16) с первым начальным условием в каждом слое (т. е. по отдельности при $z\in [D(x), z_+]$ и при $z\in [z_-, D(x))$) приводит к уравнениям с граничными условием с не зависящим от $z$ коэффициентом:
$$
\begin{equation*}
\chi_\pm'' + k_\pm^2(x) \chi_\pm = \mathcal{E} \chi_\pm, \qquad \chi_\pm|_{z=z_\pm} = 0.
\end{equation*}
\notag
$$
Общие решения этих уравнений с учетом граничных условий имеют следующий вид (где $A_+, A_- \in \mathbb{C}$ – произвольные постоянные):
Функции $\chi_\pm(A_\pm, x, \mathcal{E}, z)$ задают согласно соотношениям (7) кусочным образом функцию $\chi(A_+, A_-, x, \mathcal{E}, z)$. При этом на границе $z=D(x)$ должны выполняться условия (17). Заданные выражением (8) векторные функции $v_+(x, \mathcal{E})$, $v_-(x, \mathcal{E})$ удовлетворяют тождествам
$$
\begin{equation}
A_\pm v_\pm(x, \mathcal{E}) = \begin{pmatrix} \chi_\pm(A_\pm, x, \mathcal{E}, D(x)) \\ (\rho_\pm(x))^{-1}(\partial \chi_\pm/\partial z)(A_\pm, x, \mathcal{E}, D(x)) \end{pmatrix}.
\end{equation}
\tag{18}
$$
С помощью этих векторных функций условия (17) могут быть записаны в виде равенства Требование отличия от нулевой функции решения спектральной задачи (16), (17) влечет одновременное выполнение неравенств $A_+\neq 0$ и $A_- \neq 0$. Условие $A_+ v_+ = A_- v_-$ для некоторых $A_\pm$ есть требование линейной зависимости $v_+$, $v_-$, которое эквивалентно условию $\det[v_+, v_-] = 0$. Введенное в (14) дисперсионное соотношение $\mathcal{D}(x, \mathcal{E}) = 0$ эквивалентно уравнению $\det[v_+, v_-] = 0$. Пусть $(\tilde{x}, \widetilde{\mathcal{E}})$ удовлетворяет дисперсионному соотношению (14), т. е. $\mathcal{D}(\tilde{x}, \widetilde{\mathcal{E}}) = 0$. Подстановка этой пары в (18) дает систему уравнений $A_+ v_+(\tilde{x}, \widetilde{\mathcal{E}}) = A_- v_-(\tilde{x}, \widetilde{\mathcal{E}}) $ относительно $A_\pm$. Данной системе удовлетворяют в точности такие пары $(A_+, A_-)$, что $A_- = C_0(\tilde{x}, \widetilde{\mathcal{E}}) A_+$. Равенствами
$$
\begin{equation*}
A_+ = a_+(\tilde{x}, \widetilde{\mathcal{E}}), \qquad A_- = a_-(\tilde{x}, \widetilde{\mathcal{E}})
\end{equation*}
\notag
$$
задается значение пары $(A_+, A_-)$, удовлетворяющее условию $A_- = C_0(\tilde{x}, \widetilde{\mathcal{E}}) A_+$ и условию нормировки $\langle \chi, \chi\rangle = 1$. Это можно увидеть, воспользовавшись последней формулой в (11). Таким образом, решениям $\{\mathcal{E}_\varkappa(x)\}_{\varkappa = 1}^\infty$ уравнения (14) (дисперсионного соотношения) соответствуют определенные в (15) вещественные нормированные собственные функции $\chi_\varkappa(x, z)$, параметрически зависящие от $x$. При этом из леммы 2 следует, что при любом $x$. Следовательно, согласно теореме о неявной функции заключаем, что $\mathcal{E}_\varkappa(x)$ гладким образом зависит от $x$.Замечание 3. Каждая пара $(x, \mathcal{E})$, удовлетворяющая дисперсионному соотношению $\mathcal{D}(x, \mathcal{E}) =0$, должна при этом удовлетворять условию $\mu_+(x, \mathcal{E}) > 0$ или условию $\mu_-(x, \mathcal{E}) > 0$. Действительно, при одновременном выполнении $\mu_-(x, \mathcal{E}) \leqslant 0$ и $\mu_+(x, \mathcal{E}) \leqslant 0$ из разложений (5) видно, что каждый множитель обоих слагаемых в правой части последнего равенства в (10) является строго положительным, откуда следует $\mathcal{D}(x, \mathcal{E}) > 0$. Замечание 4. Выражения для собственных функций (15) определяются явно заданной функцией $\chi(a_+(x, \mathcal{E}), a_-(x, \mathcal{E}), x, \mathcal{E}, z)$, в аргументы которой подставляются функции $\mathcal{E}_\varkappa(x)$, $\varkappa \in \mathbb{N}$, неявно заданные дисперсионным соотношением (14). 3. Операторное разделение переменныхВоспользуемся адиабатическим приближением в виде операторного разделения переменных (см. [9], [10]). Метод заключается в представлении неизвестного решения уравнения (2) в виде суммы (разложение решения по модам)
$$
\begin{equation}
u(x, z, h) = \sum_{\varkappa=1}^\infty \phi_\varkappa\biggl(\overset{2}{x}, -ih \frac{\overset{1}{\partial}}{\partial x},z, h\biggr) u_\varkappa(x, h),
\end{equation}
\tag{20}
$$
члены которой определяются действиями некоторых псевдодифференциальных операторов $\bigl\{\phi_\varkappa(\overset{2}{x}, \overset{1}{-ih \, \partial / \partial x},z, h)\bigr\}_{\varkappa=1}^\infty$ на не зависящие от переменной $z$ новые неизвестные функции $\{u_\varkappa(x, h)\}_{\varkappa=1}^\infty$. Функции $\{u_\varkappa(x, h)\}_{\varkappa=1}^\infty$ должны удовлетворять при этом некоторым псевдодифференциальным уравнениям, в которые переменная $z$ уже не входит. Отметим, что нахождение псевдодифференциальных операторов $\bigl\{\phi_\varkappa(\overset{2}{x}, \overset{1}{-ih \,\partial / \partial x},z, h)\bigr\}_{\varkappa=1}^\infty$ связано (см., например, [10]) с известной подстановкой Пайерлса. Предложение 2. Найдется счетное семейство пар псевдодифференциальных операторов Доказательство. Для каждого $\varkappa \in \mathbb{N}$ подстановка (22) в (21) дает последовательность уравнений Пусть символы $\{(\phi_\varkappa, H_\varkappa) \}_{\varkappa = 1}^\infty$ заданы в соответствии с предложением 2. Зададимся вопросом о существовании функций
$$
\begin{equation}
f_\varkappa(\xi, h) = \sum_{m=0}^\infty h^m f_{\varkappa, m}(\xi), \qquad \varkappa \in \mathbb{N},
\end{equation}
\tag{27}
$$
осуществляющих разложение
$$
\begin{equation}
f\biggl( \frac{x-x^0}{h}, z \biggr) = \sum_{\varkappa=1}^\infty \phi_\varkappa\biggl(\overset{2}{x}, -ih\frac{\overset{1}{ \partial}}{ \partial x},z, h\biggr) f_\varkappa\biggl( \frac{x-x^0}{h}, h \biggr) + O(h^\infty).
\end{equation}
\tag{28}
$$
Через $A(p, z)$ обозначим следующим образом определенное преобразование Фурье функции $f(\xi, z)$ по переменной $\xi$:
$$
\begin{equation*}
A(p, z) = \frac{e^{-i\pi n/4}}{(2\pi)^{n/2}} \int_{\mathbb{R}^n} e^{-i p \cdot \xi} f(\xi, z)\, d\xi, \qquad f( \xi, z) = \frac{e^{i\pi n/4}}{(2\pi)^{n/2}} \int_{\mathbb{R}^n} e^{i p \cdot \xi} A(p, z)\, dp,
\end{equation*}
\notag
$$
где запись $p \cdot \xi$ означает $p_1 \xi_1 + \cdots + p_n \xi_n$. Введем неизвестные асимптотические ряды
$$
\begin{equation*}
A_\varkappa(p, h) = \sum_{m=0}^\infty h^m A_{\varkappa, m}(p), \qquad \varkappa \in \mathbb{N},
\end{equation*}
\notag
$$
заданные фурье-образами членов рядов (27): при $\varkappa \in \mathbb{N}$, $m\in \mathbb{N}\cup\{0\}$ имеем
$$
\begin{equation*}
A_{\varkappa, m}(p) = \frac{e^{-i\pi n/4}}{(2\pi)^{n/2}} \int_{\mathbb{R}^n} e^{-i p \cdot \xi} f_{\varkappa, m}(\xi)\, d\xi, \qquad f_{\varkappa, m}( \xi) = \frac{e^{i\pi n/4}}{(2\pi)^{n/2}} \int_{\mathbb{R}^n} e^{i p \cdot \xi} A_{\varkappa, m}(p)\, dp.
\end{equation*}
\notag
$$
Предложение 3. Найдутся функции $\{f_\varkappa(\xi, h)\}_{\varkappa = 1}^\infty$, осуществляющие разложение (28). Фурье-образы их главных членов задаются равенствами Доказательство. Равенство (28) может быть представлено в виде Подстановка (20) и (28) в уравнение (2) (кратко записываемое как $\widehat{\mathcal{H}}u=f$) сводит задачу об его асимптотическом решении к семейству задач поиска асимптотических решений $u_\varkappa(x, h)$ уравнений
$$
\begin{equation}
\widehat H_\varkappa u_\varkappa(x, h)=f_{\varkappa}\biggl( \frac{x-x^0}{h}, h \biggr), \qquad \varkappa \in \mathbb{N}.
\end{equation}
\tag{30}
$$
Замечание 5. Существенное отличие разложений (20) и (28) от обычных разложений по базису состоит в зависимости от операторов $-ih\, \partial / \partial x$ поправок к главным членам $\phi_\varkappa(\overset{2}{x}, \overset{1}{-ih \, \partial / \partial x},z, h)$. В нашем случае главные члены $\phi_{\varkappa,0}(\overset{2}{x}, \overset{1}{-ih \, \partial / \partial x},z)$ не содержат зависимость от $-ih \,\partial / \partial x$, поскольку их символы $\phi_{\varkappa,0}(x, p, z) \equiv \chi_\varkappa(x, z)$ не зависят от $p$. В общей ситуации уже в главные члены могут входить операторы $-ih\, \partial / \partial x$. 4. “Гиперболические” и “эллиптические” моды. Решение редуцированных уравнений с локализованной правой частьюДля каждого фиксированного $\varkappa$ будем строить решения уравнения (30) с помощью теории канонического оператора Маслова на лагранжевых многообразиях в соответствии с работой [6]. Обозначим через
$$
\begin{equation*}
\mathbf{H}(x,p)\equiv H_{\varkappa,0}=p^2-\mathcal{E}_\varkappa(x)
\end{equation*}
\notag
$$
главный символ оператора $\widehat H_\varkappa$, а через
$$
\begin{equation*}
\mathbf{H}_{\rm sub}(x, p)\equiv H_{\varkappa, 1}+\frac{i}{2}\operatorname{tr} \frac{\partial^2 H_{\varkappa,0}}{\partial p\,\partial x} = H_{\varkappa, 1}
\end{equation*}
\notag
$$
– его субглавный символ. Потребуем, чтобы $\mathcal{E}_\varkappa(x^0) \neq 0$ при каждом $\varkappa$. В зависимости от знака $\mathcal{E}_\varkappa(x^0)$ возможны следующие ситуации. Мы говорим об “эллиптической” моде с номером $\varkappa$, если $\mathcal{E}_\varkappa(x^0) < 0$. В этом случае $\{p\mid p^2 -\mathcal{E}_\varkappa(x^0)\} = \varnothing$, откуда следует (см. [6]), что уравнение (30) имеет асимптотическое решение, которое на каждом не содержащем точку $x^0$ компакте в $\mathbb{R}^n$ асимптотически мало: $u_\varkappa \in O(h^\infty)$ в данном компакте. В случае $\mathcal{E}_\varkappa(x^0) > 0$ мы говорим о “гиперболической” моде. Из дискретности последовательности $\{\mathcal{E}_\varkappa\}_{\varkappa=1}^\infty$ и ее монотонного убывания на $-\infty$ следует, что количество гиперболических мод конечно. Далее мы предполагаем, что $\mathcal{E}_\varkappa(x^0) > 0$ при данном выбранном $\varkappa$. Обозначим через $x=X(q,\tau)$, $p=P(q,\tau)$ решение задачи Коши
$$
\begin{equation}
\frac{d x}{d\tau}=\frac{\partial \mathbf{H}}{\partial p}, \qquad \frac{d p}{d\tau}=-\frac{\partial \mathbf{H}}{\partial x}, \qquad x|_{\tau=0}=x^0, \qquad p|_{\tau=0}=q
\end{equation}
\tag{31}
$$
для системы Гамильтона в фазовом пространстве $\mathbb{R}^{2n}$ с гамильтонианом $\mathbf{H}$ и с зависящим от параметра $q\in \mathbb{R}^n$ начальным условием. Введем сферу $\{x=x^0, \ \mathbf{H}(x^0, p)=0 \} \cong \mathbb{S}^{n-1}$ радиуса $\sqrt{\mathcal{E}_\varkappa(x^0)}$ в слое фазового пространства над точкой $x=x^0$. Зададим некоторую ее параметризацию вида3 $(x, p) = (x^0, Q(\psi))$, $\psi \in \mathbb{S}^{n-1}$. Через $\mathcal{X}(\psi,\tau)=X(Q(\psi),\tau)$ и $\mathcal{P}(\psi,\tau)=P(Q(\psi),\tau)$ обозначим компоненты решения системы Гамильтона (31) с начальными условиями на данной сфере. Возникает $n$-мерное лагранжево многообразие
$$
\begin{equation*}
\Lambda_+ = \{x=\mathcal{X}(\psi, \tau), \ p=\mathcal{P}(\psi, \tau)\mid \psi \in \mathbb{S}^{n-1}, \ \tau>0\} \cong \mathbb{S}^{n-1} \times \mathbb{R}_{>0}
\end{equation*}
\notag
$$
в фазовом пространстве $\mathbb{R}^{2n}$. Условие
$$
\begin{equation*}
dq_1\wedge \cdots \wedge dq_n = d\sigma_0 \wedge dH(x^0, q)
\end{equation*}
\notag
$$
однозначно определяет некоторую форму объема $d\sigma_0$ на определенной выше сфере $\mathbb{S}^{n-1}$ в слое $(x, p) = (x^0, q)$, $q\in \mathbb{R}^n$, фазового пространства над точкой $x^0$. Гамильтоновой системой форма $d\sigma_0$ степени $n-1$ переносится на лагранжево многообразие $\Lambda_+$: ее координатная запись в координатах $(\psi, \tau)$ совпадает с записью формы объема $d\sigma_0$ на $\mathbb{S}^{n-1}$ в координатах $\psi$. Лагранжево многообразие следует оснастить следующей гладкой инвариантной относительно фазового потока системы Гамильтона мерой (формой объема): $d\mu_+ = -d\sigma_0 \wedge d\tau$. В слое над $x^0$ имеем $dH(x^0, q) = 2q_1dq_1 + \cdots + 2q_ndq_n$, и форма $d\sigma_0$ оказывается пропорциональной стандартной форме объема на сфере $\mathbb{S}^{n-1}$ в $\mathbb{R}^n$. Она может быть записана как ограничение на $\mathbb{S}^{n-1}$ формы
$$
\begin{equation*}
\sum_{j=1}^n \frac{(-1)^{n+j} q_j}{2q^2} dq_1\wedge \cdots \wedge \widehat{dq_j} \wedge \cdots \wedge dq_n,
\end{equation*}
\notag
$$
где запись $\widehat{dq_j}$ обозначает пропуск соответствующего элемента в произведении. При $n=2$, если мы возьмем $Q(\psi)=\sqrt{\mathcal{E}_\varkappa(x^0)}(\cos\psi,\sin\psi)$, получим $d\sigma_0 = (-1/2)d\psi$ и соответственно $d\mu_+ = (1/2)d\psi \wedge d\tau$. Следуя работе [6], потребуем выполнения следующих условий:
Замечание 6. Входящая в гамильтониан $\mathbf{H}(x,p)=p^2-\mathcal{E}_\varkappa(x)$ функция $\mathcal{E}_\varkappa(x)$ неявно задана дисперсионным соотношением (14). В практических вычислениях задачу Коши (31) удобнее представить в следующем эквивалентном виде: Положим
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \notag S(\psi,\tau)=2\int_0^\tau \mathcal{P}^2(\psi,\tau')\,d\tau', \\ B(\psi,\tau)=A_{\varkappa, 0}(Q(\psi))\exp\biggl(-i\int_0^\tau \mathbf{H}_{\rm sub}(\mathcal{X}(\psi,\tau'), \mathcal{P}(\psi,\tau'))\,d\tau'\biggr). \end{gathered}
\end{equation}
\tag{33}
$$
Пусть $K_{\Lambda_+, d\mu_+}^h$ – канонический оператор на лагранжевом многообразии с мерой $d\mu_+$. Главный член данного асимптотического решения равен
$$
\begin{equation*}
u_\varkappa(x, h) \asymp \sqrt{2\pi}e^{\pi i/4} h^{(n-1)/2} K_{\Lambda_+, d\mu_+}^h [B(\psi,\tau)].
\end{equation*}
\notag
$$
В данные для определения канонического оператора $K_{\Lambda_+, d\mu_+}^h$ входит выбор ветви аргумента не обращающегося в нуль при $\tau\geqslant 0$, $\psi\in \mathbb{S}^1$ якобиана $J^1(\psi, \tau)$, который может быть рассмотрен как элемент $\varepsilon =1$ семейства с параметром $\varepsilon \in [0, 1]$ якобианов4
$$
\begin{equation*}
J^\varepsilon(\psi,\tau)=\det\frac{d(\mathcal{X}_1 - i\varepsilon \mathcal{P}_1 )\wedge \cdots \wedge d(\mathcal{X}_n - i\varepsilon \mathcal{P}_n )}{d\mu_+}.
\end{equation*}
\notag
$$
Согласно [6] этот выбор должен быть осуществлен следующим образом. Введем функцию (здесь вектор $q$ рассматривается в виде столбца)
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, W(q,\tau,\lambda,\nu,\varepsilon)&=\det\frac{\partial (X-i\varepsilon P, \lambda\tau + i\nu(q^2 + \mathcal{E}_\varkappa(x^0))}{\partial (q,\tau)} ={} \\ &= \det \begin{pmatrix} \dfrac{\partial X}{\partial q}- i\varepsilon \dfrac{\partial P}{\partial q} & \dfrac{\partial X}{\partial \tau}- i\varepsilon \dfrac{\partial P}{\partial \tau} \\ 2i\nu q^\mathrm{T} & \lambda \end{pmatrix}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Зафиксируем ветвь аргумента функции $W$ такую, что $\operatorname{arg} W(q, 0, 1, 0, 1) = -\pi n/2$. Справедливо равенство $J^\varepsilon(\psi,\tau) = -i W(Q(\psi), \tau, 0, 1, \varepsilon)$, которое может быть использовано в качестве более удобного определения $J^\varepsilon$ без использования формы $d\mu_+$. Функция $J^\varepsilon$ не обращается в нуль при $\varepsilon > 0$ и может обращаться в нуль при $\varepsilon = 0$. Выбор ветви аргумента5 $J^\varepsilon$ осуществляется исходя из условия $\operatorname{arg} J^\varepsilon(\psi, \tau) = \operatorname{arg} W(Q(\psi), \tau, 0, 1, \varepsilon) - \pi/2$. В частности, данное условие определяет выбор аргумента $J^1$. Предложение 5. Выбранная выше ветвь $\operatorname{arg} J^1(\psi,\tau)$ при $\tau = 0$ удовлетворяет неравенствам $-\pi n/2 -\pi < \operatorname{arg} J^1(\psi, 0) < -\pi n/2$. Доказательство. Перенесем ветвь $\operatorname{arg} W(q, 0, \lambda, \nu, 1)$ из точки $(1, 0)$ в точку $(0, 1)$ в плоскости $(\lambda, \nu)$ вдоль отрезка между этими точками. Имеем При вычислении канонического оператора может быть полезно следующее утверждение. Предложение 6. При малых положительных значениях $\tau$ справедливо неравенство $J^0(\psi,\tau) < 0$, причем $\arg J^0(\psi,\tau) = -\pi$. Доказательство. Нам потребуются следующие оценки: Напомним, что действие канонического оператора Маслова определяется сшивкой его локальных представлений в картах некоторого атласа6 $\Lambda_+ = \bigcup_{\beta}V_\beta$ на лагранжевом многообразии. В неособых картах7 результатом действия канонического оператора Маслова является функция типа ВКБ. Выпишем выражение для канонического оператора в произвольной неособой карте $V_{\beta}$. В неособой карте можно однозначно разрешить уравнение $x=\mathcal{X}(\psi,\tau)$. Обозначим его решение через $\psi=\psi_\beta(x)$, $\tau=\tau_\beta(x)$. Пусть $\vartheta_\beta(\psi, \tau)$ – некоторая гладкая функция с носителем в карте $V_{\beta}$. Определим в каждой карте “фазу”, “якобиан” и “амплитуду” как следующие функции от $x$:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, S_\beta(x) = S(\psi_\beta(x), \tau_\beta(x)), \qquad J_\beta(x) = J^0(\psi_\beta(x), \tau_\beta(x)), \\ B_\beta(x) = [\vartheta_\beta B](\psi_\beta(x), \tau_\beta(x)). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Предложение 7. На функциях с носителем в неособой карте $V_{\beta}$ канонический оператор действует в соответствии с выражением При этом значение ветви $\operatorname{arg} J_\beta$ постоянно в карте. Оно равно приращению аргумента вдоль любого пути $\gamma$ с началом в точке $\Lambda_+$, имеющей достаточно малую координату $\tau > 0$, и с концом в произвольной точке в $V_\beta$. Выражение для $\mathbf{H}_{\rm sub}(x, p)$ зависит от неявно заданной уравнением (31) функции $\mathcal{E}_\varkappa(x)$. Применение рассуждений, приведенных в замечании 6, позволяет не решать уравнение (31) во всех точках $x$, а ограничиться поиском решения $\mathcal{E}_\varkappa(x^0)$, которое требуется для определения функций $\mathcal{X}(\psi,\tau)$, $\mathcal{P}(\psi,\tau)$, лишь в точке $x=x^0$. Получим не зависящее от $\mathcal{E}_\varkappa(x)$ выражение функции $\mathbf{H}_{\rm sub}(\mathcal{X}(\psi,\tau), \mathcal{P}(\psi,\tau))$, входящей в формулу (33). Введем функцию
$$
\begin{equation*}
\mathbf{F}(x,p,\mathcal{E})=i \sum_{j=1}^n p_j \biggl[ (\rho_-^{-1} - \rho_+^{-1}) \frac{\partial D}{\partial x_j} \biggl(\chi^2 \Big|_{ \begin{subarray}{l} z=D(x) \\ A_\pm = a_\pm(x, \mathcal{E}) \end{subarray} } \biggr) + a_-^2 C_- \frac{\partial \rho_-^{-1}}{\partial x_j}+ a_+^2 C_+ \frac{\partial \rho_+^{-1}}{\partial x_j} \biggr],
\end{equation*}
\notag
$$
где $D=D(x)$, $\rho_\pm^{-1} = 1/\rho_\pm(x)$, $a_\pm = a_\pm(x, \mathcal{E})$, $C_\pm = C_\pm(x, \mathcal{E})$, а функция $\chi = \chi(A_+, A_-, x, \mathcal{E}, z)$ задана в (7). Доказательство. Разность данных функций равна Взятие производной по переменной $x_j$ от обеих частей тождества $\langle \chi_\varkappa, \chi_\varkappa\rangle = 1$ дает тождество
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, 2 \biggl\langle \chi_\varkappa, \frac{\partial \chi_\varkappa}{\partial x_j} \biggr\rangle &+ \chi_\varkappa^2(x, D(x)) (\rho_-^{-1} - \rho_+^{-1}) \frac{\partial D}{\partial x_j} +{} \notag \\ &+ \frac{\partial \rho_-^{-1}}{\partial x_j} \int_{z_-}^{D(x)} \chi_\varkappa^2\, dz + \frac{\partial \rho_+^{-1}}{\partial x_j} \int_{D(x)}^{z_+} \chi^2_\varkappa\, dz = 0. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{36}
$$
Формулы для интегралов (11) с учетом выражения (15) для функции $\chi_\varkappa$ дают равенства
$$
\begin{equation*}
\int_{z_-}^{D(x)} \chi_\varkappa^2\, dz = a_-^2C_-|_{\mathcal{E} = \mathcal{E}_\varkappa(x)}, \qquad \int_{D(x)}^{z_+} \chi^2_\varkappa\, dz = a_+^2C_+|_{\mathcal{E} = \mathcal{E}_\varkappa(x)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Подстановка этих равенств в левую часть (36) дает разность (35), которая, таким образом, оказывается равной нулю. Доказательство. Данное равенство получается с помощью подстановки в (34) функций $\mathcal{P}(\psi,\tau)$, $\mathcal{X}(\psi,\tau)$ и использования тождества $\mathcal{E}_\varkappa(\mathcal{X}(\psi,\tau)) \equiv \mathcal{P}^2(\psi,\tau)$. 5. Алгоритм построения асимптотикиПриведем алгоритм построения главного члена асимптотического решения уравнения (2).
6. ПримерПусть $n=2$ и правая часть уравнения имеет вид
$$
\begin{equation}
f(\xi, z) = F(\xi) G(z), \qquad F(\xi) = c_1 e^{-(\xi-c_2)^2 / c_3^2}, \qquad G(z) = c_4 e^{-(z-c_5)^2 / c_6^2}.
\end{equation}
\tag{38}
$$
Тогда
$$
\begin{equation*}
A(p, z) = G(z) \frac{-i c_1 c_3}{4\pi} e^{-i p c_2} e^{-c_3 p^2/4}.
\end{equation*}
\notag
$$
Для каждой моды $(\mathcal{E}_\varkappa, \chi_\varkappa)$ введем числа
$$
\begin{equation*}
A_{\pm,0} = a_\pm(x^0, \mathcal{E}_\varkappa(x^0)), \qquad \mu_{\pm,0} = \mu_\pm(x^0, \mathcal{E}_\varkappa(x^0))
\end{equation*}
\notag
$$
и функции
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathbf{P}_\pm(z) ={}& \frac{-i \sqrt{\pi} A_{\pm,0} c_4 c_6}{4\mu_{\pm,0}} \exp\biggl[-i(c_5+z_\pm) \sqrt{\mu_{\pm,0}} - \frac{c_6^2 \mu_{\pm,0}}{4}\biggr] \times {} \\ &\times \biggl\{ \exp[2iz_\pm \sqrt{\mu_{\pm,0}}] \operatorname{erf} \biggl[ \frac{c_5 - z}{c_6} - \frac{i c_6 \sqrt{\mu_{\pm,0}}}{2} \biggr] -{} \\ &\qquad- \exp[2ic_5 \sqrt{\mu_{\pm,0}}] \operatorname{erf} \biggl[ \frac{c_5 - z}{c_6} + \frac{i c_6 \sqrt{\mu_{\pm,0}}}{2} \biggr] \biggr\}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
в которые входит функция ошибок $\operatorname{erf}(\zeta)$. Справедливо равенство $(d/dz)\mathbf{P}_\pm(z) = G(z) \chi_\pm(x^0, z)$. Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, A_{\varkappa,0}(p) &= \langle A(p, z), \chi_\varkappa(x^0, z) \rangle = \frac{-i c_1 c_3}{4\pi} e^{-i p c_2} e^{- c_3 p^2/4} \times{} \\ &\hphantom{={}}\times \biggl[\frac{\mathbf{P}_-(D(x^0)) - \mathbf{P}_-(z_-)}{\rho_+(x^0)} + \frac{\mathbf{P}_+(z_+) - \mathbf{P}_+(D(x^0))}{\rho_-(x^0)}\biggr]. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Рассмотрим следущий пример:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, k_+(x)=1, \qquad k_-(x) = \frac{3}{4}, \qquad \rho_+(x) = 1, \qquad \rho_-(x) = 2, \qquad z_+ = 0, \qquad z_- = -5, \\ x^0 = (-3, 0), \qquad D(x) = -1-3 e^{-x_1^2/2}, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
и возьмем правую часть вида (38) с константами
$$
\begin{equation*}
c_1 = -i, \qquad c_2 = (0, 0), \qquad c_3 = \sqrt{2}, \qquad c_4 = 1, \qquad c_5 = -1, \qquad c_6 = \frac{1}{\sqrt{8}}.
\end{equation*}
\notag
$$
В точке $x=x^0$ дисперсионное соотношение (14) имеет только одно положительное решение $\mathcal{E}_1(x^0) \approx 0.112918$. На рис. 1 изображен график функции $D(x)$. Для единственной гиперболической моды $\varkappa = 1$ на рис. 2 изображены проекции на пространство $\mathbb{R}^n_x$ координатных линий на лагранжевом многообразии $\Lambda_+$, образованных равномерной прямоугольной сеткой в плоскости координат $(\psi, \tau)$. На рис. 3 изображен график функции $\operatorname{Re} u_\varkappa(x, h)$, $\varkappa=1$, при $h=0.1$. На рис. 4 изображен график вещественной части главного члена асимпотики $\operatorname{Re} u(x, z, h) = \operatorname{Re} [u_\varkappa(x, h) \chi_\varkappa(x, z)]$, $\varkappa=1$, в плоскости $x_2=0$ при $h=0.1$. БлагодарностиАвторы благодарны С. Ю. Доброхотову и В. Е. Назайкинскому за внимание к работе и ценные дискуссии. Конфликт интересовАвторы заявляют, что у них нет конфликта интересов. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{AniKle23} |
|
||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|