| Теоретическая и математическая физика |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 3 научных статьях (всего в 3 статьях) О неустойчивых контрастных структурах в одномерных задачах реакция-диффузия-адвекция с разрывными источниками Н. Н. Нефедов, А. О. Орлов Физический факультет, Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова,Москва, Россия
Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2023, Volume 215, Issue 2, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0040577923050100 
Реферативные базы данных:
   1. Введение. Постановка задачиИсследование существования контрастных структур, построение их асимптотических приближений, а также установление условий их асимптотической устойчивости или неустойчивости по Ляпунову являются одним из актуальных направлений исследований нелинейных уравнений в частных производных. Это обусловлено многими важными приложениями. Различные направления этих исследований отражены в обзоре [1], где представлены исследования контрастных структур в различных классах задач с помощью асимптотического метода дифференциальных неравенств. В этом методе используется формальная асимптотика для построения достаточно точных нижних и верхних решений, что позволяет доказать существование решений, оценить точность построенной асимптотики, а также получить условия асимптотической устойчивости по Ляпунову контрастных структур в соответствующих задачах. В работах Васильевой (см. [2] и ссылки в этой работе) рассмотрен ряд сингулярно возмущенных краевых задач для одномерных по пространственной переменной уравнений второго порядка, было доказано существование решений с переходными слоями и построена их асимптотика. Доказательство существования таких решений было проведено методом сшивания решений погранслойных краевых задач. Отметим, что этот метод не позволяет исследовать устойчивость полученных решений как стационарных решений соответствующих параболических задач и является эффективным лишь в одномерных по пространственной переменной задачах. К его преимуществам можно отнести возможность доказательства существования неустойчивых решений. Хорошо известно, что стационарные решения (устойчивые и неустойчивые) в значительной мере определяют динамику решения в нестационарных задачах. В частности, приведенные ниже исследования устойчивости позволяют оценить границы области устойчивости, а в рассмотренных классах задач утверждать, что область устойчивости может быть асимптотически мала, что не позволяет получить такие решения методом стационирования в соответствующих начально-краевых задачах. Кроме того, нестационарные решения определяют область притяжения устойчивых стационарных решений, что, как было отмечено выше, определяет процесс стационирования решения. Поэтому строгие результаты исследования неустойчивых контрастных структур представляют интерес для различных приложений. В настоящей работе развивается новый метод исследования неустойчивых контрастных структур – решений с внутренним переходным слоем, основанный на построении достаточно точных неупорядоченных верхних и нижних решений и применении следствия из теоремы Крейна–Рутмана. Этот метод применим для многих сингулярно возмущенных задач, в том числе многомерных. Ниже рассматриваются одномерная задача для уравнения реакция-диффузия с разрывной правой частью и задача для уравнения реакция-диффузия-адвекция со слабой адвекцией, для которых существование решений доказано методом сшивания. Итак, исследуется контрастная структура типа ступеньки, возникающая в следующей задаче для сингулярно возмущенного уравнения реакция-диффузия с разрывным в точке $x_0$ источником:
$$
\begin{equation}
\varepsilon^2\frac{d^2u}{dx^2}=f(u,x,\varepsilon),\quad x\in(-1;1),\qquad u(\mp1,\varepsilon)=u^{(\mp)} ,
\end{equation}
\tag{1}
$$
где $\varepsilon\in(0;\varepsilon_0]$ – малый параметр. Пусть выполнено следующее условие. Условие A1. Функция $f(u,x,\varepsilon)$ определена на множестве и претерпевает разрыв первого рода вдоль отрезка прямой $\{u\in I_u,x=x_0\}$: где $f^{(-)}(u,x,\varepsilon)$ и $f^{(+)}(u,x,\varepsilon)$ – достаточно гладкие функции в своих областях определения, а также $f^{(-)}(u,x_0,\varepsilon)\neq f^{(+)}(u,x_0,\varepsilon)$, $u\in I_u$. Решение задачи (1) является стационарным решением параболической задачи
$$
\begin{equation}
\begin{cases} \varepsilon^2\dfrac{\partial^2 v}{\partial x^2}-\dfrac{\partial v}{\partial t}=f(v,x,\varepsilon), \quad x\in(-1;1),\; t>0,\\ v(\mp 1,t,\varepsilon)=u^{(\mp)},\qquad v(x,0,\varepsilon)=v_\mathrm{init}(x,\varepsilon).& \end{cases}
\end{equation}
\tag{2}
$$
Определим области
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, D_T:=(t,x)\in(0;T]\times(-1;1), \\ D^{(-)}_T:=(t,x)\in(0;T]\times(-1;x_0),\qquad D^{(+)}_T:=(t,x)\in(0;T]\times(x_0;1). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Определение 1. Функция $v(x,t,\varepsilon)\in C^{0,0}(\overline D_T)\cap C^{1,2}(D_T^{(-)}\cup D_T^{(+)})$ называется решением задачи (2), если она удовлетворяет уравнению (2) в каждой из областей $D^{(\mp)}_T$, а также начальному и граничным условиям. Отметим, что в работах Васильевой [3], [4] была исследована задача (1) с гладкой правой частью. Было показано, что у такой задачи могут существовать как устойчивые контрастные структуры типа ступеньки, так и неустойчивые контрастные структуры типа ступеньки и всплеска (аналогичный метод развивался также в работе [5]). Применяемый в работе [4] подход основан на анализе задачи Штурма–Лиувилля
$$
\begin{equation}
\varepsilon^2\frac{d^2z}{dx^2}=(f_u(u,x,\varepsilon)+\lambda)z,\quad x\in(-1;1),\qquad z(\mp1,\varepsilon)=0.
\end{equation}
\tag{3}
$$
При этом известно [6], что знак главного собственного значения $\lambda$ дает ответ на вопрос об устойчивости или неустойчивости стационарного решения. Исследование задач с разрывными источниками было начато в работе [7], где доказано существование решения методом сшивания. В работе [8] исследована устойчивость контрастной структуры типа ступеньки в задаче (1), двумерный аналог был рассмотрен в работе [9]. Для доказательства асимптотической устойчивости был использован метод стабилизирующихся верхних и нижних решений, эффективно используемый во многих классах задач (см. [1] и ссылки в этой работе). В работе [10] был предложен другой подход к исследованию устойчивости. Этот подход, основанный на применении следствия из теоремы Крейна–Рутмана и построении достаточно точных неупорядоченных нижних и верхних решений для определения знака главного собственного значения линеаризованной на решении оператора задачи, применен в работах [11], [12]. В настоящей работе на основании развития этого метода получены условия, при которых стационарное решение $u(x,\varepsilon)$ задачи (2) c разрывной правой частью является неустойчивым. 2. Основные условияПусть выполнено следующее условие. Условие A2. Пусть уравнение $f^{(-)}(u,x,0)=0$ имеет на отрезке $[-1;x_0]$ изолированное решение $\varphi^{(-)}(x)$, а уравнение $f^{(+)}(u,x,0)=0$ имеет на отрезке $[x_0;1]$ изолированное решение $\varphi^{(+)}(x)$, причем выполнено неравенство $\varphi^{(-)}(x_0)<\varphi^{(+)}(x_0)$. Пусть также выполнены неравенства Для формулировки следующего условия введем так называемые присоединенные уравнения и присоединенные системы:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \frac{d^2\tilde{u}^{(-)}}{d\xi^2}&=f^{(-)}(\tilde{u}^{(-)},x_0,0),\qquad \xi<0; \\ \frac{d^2\tilde{u}^{(+)}}{d\xi^2}&=f^{(+)}(\tilde{u}^{(+)},x_0,0),\qquad \xi>0. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4}
$$
Присоединенные уравнения ниже используются для построения главного члена в асимптотике решения в области переходного слоя, где $\xi=(x-x_0)/\varepsilon$. Каждое из присоединенных уравнений (4) эквивалентно соответствующей присоединенной системе
$$
\begin{equation*}
\frac{d\tilde{u}^{(\mp)}}{d\xi}=\tilde v^{(\mp)},\qquad \frac{d\tilde v^{(\mp)}}{d\xi}=f^{(\mp)}(\tilde{u}^{(\mp)},x_0,0).
\end{equation*}
\notag
$$
В силу условия A2 каждая из точек $(\varphi^{(\mp)}(x_0),0)$ является точкой покоя типа седла соответствующей присоединенной системы на фазовой плоскости $(\tilde{u}^{(\mp)},\tilde v^{(\mp)})$. Потребуем выполнения следующего условия. Условие A3. Справедливы неравенства При выполнении условий A1 и A3 существуют сепаратрисы $\tilde v^{(\mp)},$ входящие соответственно в седла $(\varphi^{(\mp)}(x_0),0)$ при $\xi\to \mp\infty$. Выражения для этих сепаратрис имеют вид
$$
\begin{equation*}
\tilde v^{(\mp)}(p)=\biggl(2\int_{\varphi^{(\mp)}(x_0)}^{p}{f^{(\mp)}(u,x_0,0)\,du}\biggr)^{1/2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Введем функцию
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, H(p)&:=\tilde v^{(+)}(p)-\tilde v^{(-)}(p)={} \\ &=\biggl(2\int_{\varphi^{(+)}(x_0)}^{p}{f^{(+)}(u,x_0,0)\,du}\biggr)^{1/2} -\biggl(2\int_{\varphi^{(-)}(x_0)}^{p}{f^{(-)}(u,x_0,0)\,du}\biggr)^{1/2}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Потребуем выполнения еще одного условия. Условие A4. Пусть существует величина $p_0\in(\varphi^{(-)}(x_0);\varphi^{(+)}(x_0))$ – решение уравнения $ H(p)=0$, а также выполнено неравенство Уравнение $H(p) = 0$ эквивалентно уравнению
$$
\begin{equation*}
\int_{\varphi^{(-)}(x_0)}^{p}f^{(-)}(u,x_0,0)\,du= \int_{\varphi^{(+)}(x_0)}^{p}f^{(+)}(u,x_0,0)\,du.
\end{equation*}
\notag
$$
Несложно также получить, что
$$
\begin{equation}
\frac{dH}{dp}(p_0)=2\frac{f^{(+)}(p_0,x_0,0)-f^{(-)}(p_0,x_0,0)}{(2\int_{\varphi^{(-)}(x_0)}^{p_0}f^{(-)}(u,x_0,0)\,du)^{1/2} + (2\int_{\varphi^{(+)}(x_0)}^{p_0}f^{(+)}(u,x_0,0)\,du)^{1/2}}.
\end{equation}
\tag{5}
$$
Таким образом, из условия A4 следует неравенство Отметим, что теорема существования контрастной структуры и ее асимптотическое приближение получены в работе [7] при условии $\frac{dH}{d p}(p_0)\neq0$. Условие A4 отличается знаком неравенства от аналогичного требования в работе [8], где при условии $\frac{dH}{d p}(p_0)<0$ доказана асимптотическая устойчивость контрастной структуры. Ниже показано, что при выполнении условия A4 контрастная структура будет неустойчивой. В настоящей работе мы не уделяем внимание описанию поведения решения вблизи граничных точек $x=\mp 1$. Отметим, что в случае граничных условий Дирихле необходимо потребовать выполнения следующего условия (см., например, [7]). Условие A5. Пусть граничные значения $u^{(\mp)}$ принадлежат области влияния соответствующих корней вырожденного уравнения. 3. Асимптотическое приближение решенияСледуя алгоритму, предложенному в работах [7], [8], построим формальную асимптотику порядка $n$, т. е. построим такую функцию, которая удовлетворяет задаче (1) c точностью $O(\varepsilon^{n+1})$. Будем строить ее слева и справа от точки $x_0$:
$$
\begin{equation*}
U_n(x,\varepsilon)= \begin{cases} U_n^{(-)}(x,\varepsilon),& -1\leqslant x\leqslant x_0,\\ U_n^{(+)}(x,\varepsilon),& \,\, x_0\leqslant x\leqslant 1. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Отметим основые моменты, связанные с построением функции $U_n(x,\varepsilon)$. Каждая из функций $U_n^{(\mp)}(x,\varepsilon)$ представляется в виде суммы трех слагаемых:
$$
\begin{equation}
U_n^{(\mp)}(x,\varepsilon)=\bar{u}^{(\mp)}(x,\varepsilon)+Q^{(\mp)}(\xi,\varepsilon)+R^{(\mp)}(\eta^{(\mp)},\varepsilon).
\end{equation}
\tag{7}
$$
Здесь $ {\bar{u}}^{(\mp)}(x,\varepsilon)=\bar{u}_{0}^{(\mp)}(x)+\varepsilon \bar{u}_{1}^{(\mp)}+\cdots$ – регулярная часть разложения, функции $ {Q}^{(\mp)}(\xi ,\varepsilon)=Q_{0}^{(\mp)}(\xi,p(\varepsilon))+\varepsilon Q_{1}^{(\mp)}(\xi,\varepsilon)+\cdots$ описывают поведение решения в окрестности точки $x_0$, $\xi=(x-x_0)/\varepsilon$, а функции $ R(\eta^{(\mp)} ,\varepsilon)={R}_{0}(\eta^{(\mp)})+\varepsilon {R}_{1}(\eta^{(\mp)})+\cdots $ описывают поведение решения в окрестностях граничных точек отрезка $[-1;1],$ $\eta^{(\mp)}=(x\pm 1)/\varepsilon$ – растянутые переменные вблизи точек $x=\mp1$ соответственно. В окрестности точки $x_0$ происходит быстрый переход решения $u(x,\varepsilon)$ от $\varphi^{(-)}(x)$ до $\varphi^{(+)}(x)$. Определим уровень перехода условием $u(x_0,\varepsilon) = p(\varepsilon)$, $\varphi^{(-)}(x_0)< p(\varepsilon)<\varphi^{(+)}(x_0)$ и будем искать асимптотику слева и справа от $x_0$, удовлетворяющую условию
$$
\begin{equation}
{U}_n^{(-)}(x_0,\varepsilon )={U}_n^{(+)}(x_0 ,\varepsilon)=p(\varepsilon).
\end{equation}
\tag{8}
$$
Уровень перехода будем искать в виде разложения по степеням $\varepsilon$: $p(\varepsilon)=p_0+\varepsilon p_1+\cdots$. Неизвестные коэффициенты $p_i$, $i=0,1,\dots$, определяются из условия непрерывного сшивания производных функций $U_n^{(-)}(x,\varepsilon)$ и $U_n^{(+)}(x,\varepsilon)$ в точке $x_0$:
$$
\begin{equation}
\frac{d{U}_n^{(-)}}{d x} \biggr|_{x_0}- \frac{d{U}_n^{(+)}}{\partial x} \biggr|_{x_0}=0.
\end{equation}
\tag{9}
$$
Подставив функцию (7) в правую часть уравнения задачи (1), представим функции $f^{(\mp)}(u,x,\varepsilon)$ в виде, аналогичном (7) (см. [2]). Далее стандартным способом получим уравнения для определения $\bar{u}_{i}^{(\mp)}(x)$, $Q_{i}^{(\mp)}(\xi,\varepsilon)$, ${R}_{i}(\eta^{(\mp)})$. Для определения $\bar{u}_{0}^{(\mp)}(x)$ получаем вырожденные уравнения $f^{(\mp)}(\bar{u}_0^{(\mp)},x,0)=0$. Учитывая условие A2, положим Далее нетрудно определить старшие порядки регулярной части асимптотики, например функции $\bar{u}_{1}^{(\mp)}(x)$ являются решениями уравнений
$$
\begin{equation*}
f^{(\mp)}_{u}(\varphi^{(\mp)}(x),x,0)\bar{u}_1^{(\mp)}(x)= -\frac{\partial f^{(\mp)}}{\partial\varepsilon}(\varphi^{(\mp)}(x),x,0),
\end{equation*}
\notag
$$
которые также разрешимы согласно условию A2. Не будем останавливаться на построении пограничных функций ${R}_{i}(\eta^{(\mp)})$, они определяются стандартным способом [2]. Для $Q_0^{(\mp)}(\xi,p(\varepsilon),\varepsilon)$ имеем задачи
$$
\begin{equation}
\left\{ \begin{aligned} \, &\frac{d^2Q_0^{(\mp)}}{d\xi^2}=f^{(\mp)}(\varphi^{(\mp)}(x_0)+Q_0^{(\mp)},x_0,0),\\ &Q_0^{(-)}(0,p(\varepsilon))+\varphi^{(-)}(x_0)=Q_0^{(+)}(0,p(\varepsilon))+\varphi^{(+)}(x_0)=p(\varepsilon),\\ &Q_0^{(\mp)}(\mp\infty,p(\varepsilon))=0. \end{aligned} \right.
\end{equation}
\tag{10}
$$
Задача для функции $Q_0^{(-)}(\xi,p(\varepsilon))$ рассматривается на полупрямой $\xi\leqslant 0$, а для функции $Q_0^{(+)}(\xi,p(\varepsilon))$ – на полупрямой $\xi\geqslant 0$. Введем обозначения
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \tilde{u}(\xi,p(\varepsilon))= \begin{cases} \varphi^{(-)}(x_0)+Q_0^{(-)}(\xi,p(\varepsilon)),&\xi\leqslant 0,\\ \varphi^{(+)}(x_0)+Q_0^{(+)}(\xi,p(\varepsilon)),&\xi\geqslant 0. \end{cases} \\ \begin{cases} \tilde v^{(-)}(\xi,p(\varepsilon))=\dfrac{d\tilde{u}}{d\xi},&\xi\leqslant 0,\\ \tilde v^{(+)}(\xi,p(\varepsilon))=\dfrac{d\tilde{u}}{d\xi},&\xi\geqslant 0. \end{cases} \end{gathered}
\end{equation}
\tag{11}
$$
Перепишем задачи (10) с учетом введенных обозначений:
$$
\begin{equation*}
\frac{d^2\tilde{u}}{d\xi^2}=f^{(\pm)}(\tilde{u},x_0,0),\qquad \tilde{u}(0,p(\varepsilon))=p(\varepsilon),\qquad \tilde{u}(\mp\infty,p(\varepsilon))=\varphi^{(\mp)}(x_0).
\end{equation*}
\notag
$$
Уравнения для функции $\tilde{u}(\xi,p(\varepsilon))$ на каждой из полупрямых $\xi\leqslant0$ и $\xi\geqslant0$ совпадают с присоединенными уравнениями (4). Согласно условиям A2 и A3 существуют функции
$$
\begin{equation*}
\tilde v^{(-)}(\xi,p(\varepsilon)):=\tilde v^{(-)}(\tilde{u}(\xi,p(\varepsilon)))=\frac{d\tilde{u}}{d\xi},\qquad \xi\leqslant 0,
\end{equation*}
\notag
$$
и
$$
\begin{equation*}
\tilde v^{(+)}(\xi,p(\varepsilon)):=\tilde v^{(+)}(\tilde{u}(\xi,p(\varepsilon)))=\frac{d\tilde{u}}{d\xi},\qquad \xi\geqslant 0.
\end{equation*}
\notag
$$
Функция $\tilde{u}(\xi,p(\varepsilon))$ при $\xi\leqslant0$ является решением задачи
$$
\begin{equation}
\frac{d\tilde{u}}{d\xi}=\sqrt{2\int_{\varphi^{(-)}(x_0)}^{\tilde{u}}{f^{(-)}(u,x_0,0)\,du}}, \qquad\tilde{u}(0,p(\varepsilon))=p(\varepsilon),
\end{equation}
\tag{12}
$$
а при $\xi\geqslant0$ – решением задачи
$$
\begin{equation}
\frac{d\tilde{u}}{d\xi}=\sqrt{2\int_{\varphi^{(+)}(x_0)}^{\tilde{u}}{f^{(+)}(u,x_0,0)\,du}}, \qquad\tilde{u}(0,p(\varepsilon))=p(\varepsilon).
\end{equation}
\tag{13}
$$
Решения задач (12), (13) можно выписать в квадратурах. Известно (см., например, [2]), что справедливы следующие оценки:
$$
\begin{equation*}
|\tilde{u}(\xi,p(\varepsilon))-\varphi^{(\mp)}(x_0)|\leqslant C\ e^{-\varkappa|\xi|},
\end{equation*}
\notag
$$
где $C$ и $\varkappa$ – не зависящие от $\varepsilon$ положительные константы. Отсюда с учетом обозначений (11) следуют оценки для функций $Q_0^{(\mp)}(\xi,p(\varepsilon))$:
$$
\begin{equation}
|Q_0^{(\mp)}(\xi,p(\varepsilon))|\leqslant C e^{-\varkappa|\xi|}.
\end{equation}
\tag{14}
$$
С использованием обозначений (11) условия сшивания производных (9) в порядке $\varepsilon^{-1}$ принимают вид
$$
\begin{equation*}
\tilde v^{(-)}(0,p(\varepsilon))=\tilde v^{(+)}(0,p(\varepsilon)).
\end{equation*}
\notag
$$
Из этого равенства следует уравнение $H(p)=0$, которое согласно условию A4 имеет решение $p=p_0$. Следуя алгоритму метода пограничных функций, можно последовательно получить задачи для определения функций $Q_i^{(\mp)}(\xi,\varepsilon)$ при $i \geqslant 1$. Эти задачи являются линейными, их решения имеют экспоненциальную оценку типа (14). Из условия сшивания производных следует, что эти функции должны удовлетворять равенству, которое можно привести к виду где величины $G_i$ известны. Эти уравнения однозначно разрешимы в силу неравенства из условия A4. Пусть функции $\bar{u}_{i}^{(\mp)}(x)$, ${R}_{i}(\eta^{(\mp)})$, $Q_{i}^{(\mp)}(\xi,\varepsilon)$ и величины $p_i$ определены для $i=0,1, \dots,n+1$. Положим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &U_{n+1}({x,\varepsilon })={} \notag \\ &= \begin{cases} U_{n+1}^{(-)}(x,\varepsilon)=\sum_{i=0}^{n+1} \varepsilon^{i}(\bar{u}_{i}^{(-)}(x)+ Q_i^{(-)}(\xi,\varepsilon)+ R_i^{(-)}(\eta^{(-)})),& -1\leqslant x\leqslant x_0, \\ U_{n+1}^{(+)}(x,\varepsilon)=\sum_{i=0}^{n+1} \varepsilon^{i}(\bar{u}_{i}^{(+)}(x)+ Q_i^{(+)}(\xi,\varepsilon) +R_i^{(+)}(\eta^{(+)}) ),& x_0\leqslant x\leqslant 1. \end{cases} \end{aligned}
\end{equation}
\tag{15}
$$
Дадим определение решению задачи (1). Определение 2. Функция $u(x,\varepsilon)\in C(-1;1)\cap C^{2}((-1;1)\setminus x_0)$ называется решением задачи (1), если она удовлетворяет уравнению (1) при $x\in(-1;x_0)\cup(x_0;1)$, а также граничным условиям задачи (1). Сформулируем теорему существования, доказанную в работе [7] c помощью метода сшивания погранслойных решений. Теорема 1 [7]. Пусть выполнены условия A1–A5. Тогда при достаточно малом $\varepsilon>0$ существует функция $u(x,\varepsilon)$ – решение задачи (1) в смысле определения 2, для которого функция $U_{n+1}(x,\varepsilon)$ является равномерным асимптотическим приближением с точностью $O(\varepsilon^{n+2})$, т. е. для всех $x\in[-1;1]$ выполняется неравенство где $C$ – положительная константа, не зависящая от $\varepsilon$. 4. Построение неупорядоченных верхнего и нижнего решенийМодификация построенной в предыдущем разделе асимптотики для получения неупорядоченных верхнего и нижнего решений незначительно отличается от модификации при построении упорядоченных решений (см., например, [13]). Основное отличие состоит в том, что асимптотика уровня модифицируется с добавкой другого знака: $p_{\delta}(\varepsilon)= p_0+\varepsilon p_1+\cdots+\varepsilon^{n+1} p_{n+1}+\varepsilon^{n+1}\delta$, где величину $\delta<0$ мы определим позже. Функция $\beta_{n+1} ({x,\varepsilon })$ строится на каждом из интервалов $(-1,x_0)$ и $(x_0,1)$ и представляет собой модификацию построенной формальной асимптотики:
$$
\begin{equation}
\beta({x,\varepsilon })= \begin{cases} \beta^{(-)}({x,\varepsilon }) = U_{n + 1,\delta}^{(-)}(x,\varepsilon) + {\varepsilon ^{n + 1}}({\mu + {q^{(-)}}(\xi)}+R_\beta^{(-)}(\eta^{(-)}) ),\\ \qquad \qquad\qquad\qquad \qquad\qquad\qquad -1\leqslant x\leqslant x_0,\;\xi \leqslant 0, \;\eta^{(-)}\geqslant 0; \\ \beta ^{(+)}({x,\varepsilon }) = U_{n + 1,\delta}^{(+)}(x,\varepsilon) + {\varepsilon ^{n + 1}}({\mu + {q^{(+)}}(\xi)}+ R_\beta^{(+)}(\eta^{(+)}) ),\\ \qquad \qquad\qquad\qquad \qquad\qquad\qquad \,\,x_0\leqslant x\leqslant 1,\;\xi \geqslant 0,\;\eta^{(+)} \geqslant 0. \end{cases}
\end{equation}
\tag{17}
$$
Здесь $U_{n + 1,\delta}^{(\mp)}(x,\varepsilon)$ – суммы (15) $(n+1)$-го порядка, при построении которых функция $p(\varepsilon)$ в $Q_0^{(\mp)}(\xi,p(\varepsilon))$ заменена на $p_\delta(\varepsilon)$, а остальные члены асимптотики оставлены без изменения, $\mu>0$ – постоянная, обеспечивающая выполнение неравенства на оператор для верхнего и нижнего решений (см. ниже), функции $R_\beta^{(\mp)}(\eta^{(\mp)}) $ строятся стандартным образом (см. [14]), чтобы выполнялись неравенства на границе (см. ниже), а функции ${q^{(\mp)}}(\xi)$ вводятся для устранения невязок, возникающих в окрестности точки $x_0,$ в результате добавления к асимптотическому приближению величины $\mu\varepsilon^{n+1}$. Эти функции находятся как решения краевых задач
$$
\begin{equation}
\left\{ \begin{aligned} \, &\frac{d^2q^{(\mp)}}{d\xi^2}-\tilde{f}_u^{(\mp)}(\xi)q^{(\pm)}= (\tilde{f}_u^{(\mp)}(\xi)-\bar{f}_u^{(\mp)}(x_0))\mu,\\ &q^{(-)}(0)+\mu=q^{(+)}(0)+\mu=0,\qquad q^{(\mp)}(\mp\infty)=0. \end{aligned} \right.
\end{equation}
\tag{18}
$$
Здесь были использованы обозначения
$$
\begin{equation*}
\tilde{f}^{(\mp)}(\xi):=f^{(\mp)}(\tilde{u}^{(\mp)}(\xi ,p(\varepsilon)),x_0,0),\qquad \bar {f}^{(\mp)}(x):=f^{(\mp)}(\varphi ^{(\mp)}(x),x,0).
\end{equation*}
\notag
$$
Аналогичный смысл имеют обозначения, содержащие символы, помеченные сверху тильдой и чертой. Функция $\alpha ({x,\varepsilon })$ имеет аналогичную структуру, в ее построении используется функция
$$
\begin{equation*}
p_{-\delta}(\theta,\varepsilon)= p_0+\varepsilon p_1+\cdots+\varepsilon^{n+1} p_{n+1}-\varepsilon^{n+1}\delta.
\end{equation*}
\notag
$$
Можно показать [8], что при достаточно малых $\varepsilon>0$ и достаточно большом по модулю $\delta<0$ выполняются соотношения
$$
\begin{equation}
\varepsilon^2\frac{d^2\beta}{dx^2}- f(\beta ,x,\varepsilon) = -\varepsilon^{n+1}(\mu \bar{f}^{(\mp)}_u(x_0) +O(\varepsilon^{n+2})<0,\qquad x\in(-1;1)\backslash x_0,
\end{equation}
\tag{19}
$$
$$
\begin{equation}
\varepsilon^2\frac{d^2\alpha}{dx^2}- f(\alpha ,x,\varepsilon) = \varepsilon^{n+1}\mu \bar{f}^{(\mp)}_u(x_0) +O(\varepsilon^{n+2})>0,\qquad\;\;\;\; x\in(-1;1)\backslash x_0,
\end{equation}
\tag{20}
$$
$$
\begin{equation}
\qquad\qquad\alpha(\mp 1)\leqslant u^{(\mp)}\leqslant \beta(\mp 1),
\end{equation}
\tag{21}
$$
$$
\begin{equation}
\frac{d\beta}{dx}(x_0-0,\varepsilon) \geqslant \frac{d\beta}{dx}(x_0+0,\varepsilon),\qquad \frac{d\alpha}{dx}(x_0-0,\varepsilon)\leqslant \frac{d\alpha}{dx}(x_0+0,\varepsilon).
\end{equation}
\tag{22}
$$
Отметим, что построенные функции $\alpha(x,\varepsilon)$ и $\beta(x,\varepsilon)$ непрерывные на отрезке $x\in[-1,1]$, но негладкие в точке $x_0,$ а также что выполнение неравенств (22) обусловлено условием A4. Покажем это на примере верхнего решения:
$$
\begin{equation}
\frac{d\beta }{d x}\biggr|_{x=x_0+0}-\frac{d \beta }{d x}\biggr|_{x= x_0- 0}=\varepsilon ^{n}\biggl(\frac{d H({p_0}) }{dp} \delta-\mu \frac{1}{{\tilde v}^{(\pm)}(0,p_0)}B(x_0,p_0)\biggr)+O(\varepsilon^{n+1})<0,
\end{equation}
\tag{23}
$$
где $B(x_0,p_0)$ – известная функция. Соотношения (19)–(22) показывают, что функции $\beta(x,\varepsilon)$ и $\alpha(x,\varepsilon)$ – соответственно верхнее и нижнее решения при достаточно малых $\varepsilon>0$ и достаточно большом по модулю $\delta<0$. Покажем теперь, что построенные верхнее и нижнее решения являются неупорядоченными на отрезке $x\in[x_0-C\varepsilon,x_0+C\varepsilon]$. Для этого запишем разность $\beta(x,\varepsilon)-\alpha(x,\varepsilon)$ на каждом из отрезков $[x_0-C\varepsilon,x_0]$ и $[x_0,x_0+C\varepsilon]$:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \beta ^{(\mp)}&(x,\varepsilon) - \alpha ^{(\mp)}(x,\varepsilon) =Q_0^{(\mp)}(\xi,p_{\delta}(\varepsilon))-Q_0^{(\mp)}(\xi,p_{-\delta}(\varepsilon))+{} \notag\\ &+2\varepsilon^{n+1} (\mu+q^{(\mp)}(\xi))+O(\varepsilon^{n+2})=2{\varepsilon ^{n + 1}}\biggl[\frac{\delta{\tilde v}^{(\mp)}(\xi,p^*)}{{\tilde v}^{(\mp)}(0,p^*) }+{} \notag\\ &+\mu {\tilde v}^{(\mp)}(\xi,p_0) \bar f_u^{(\mp)} \int_0^{\xi}{( {\tilde v}^{(\mp)}(s,p_0))}^{-2}\int_{s}^{\pm\infty}{\tilde v}^{(\mp)}(\eta,p_0) \,d\eta \, ds\biggr]+O(\varepsilon^{n+2}), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{24}
$$
где $p^*\in(p_{-\delta},p_{\delta})$. Функции $\tilde v^{(\mp)}(\xi,p_0)$, $\bar f_u^{(\mp)}(x_0)$ положительны на каждом из отрезков $[x_0-C\varepsilon,x_0]$ и $[x_0,x_0+C\varepsilon]$ соответственно. Выражение справа можно сделать отрицательным, если константа $\delta<0$ выбрана достаточно большой по модулю. Таким образом, неравенство $\beta(x,\varepsilon)-\alpha(x,\varepsilon)<0$ выполнено всюду на $x\in[x_0-C\varepsilon,x_0+C\varepsilon]$. Итак, в рассматриваемом случае (в отличие от [8]) верхнее и нижнее решения оказываются неупорядоченными, т. е. не удовлетворяют неравенству
$$
\begin{equation*}
\beta(x,\varepsilon)-\alpha(x,\varepsilon)\geqslant 0,\qquad x\in[-1,1].
\end{equation*}
\notag
$$
5. Оценка знака главного собственного значения линеаризованного опрератора. НеустойчивостьРассмотрим задачу Штурма–Лиувилля для линеаризованного на решении $u(x,\varepsilon)$ оператора $L$ задачи (1):
$$
\begin{equation}
L_{\varepsilon}[w]:=\varepsilon^2\frac{d^2w}{dx^2}-f_u(u,x,\varepsilon)w=\lambda w,\qquad x\in(-1;1),\quad w(\mp1)=0.
\end{equation}
\tag{25}
$$
Известно, что если $\lambda>0$, то решение $u(x,\varepsilon)$ является неустойчивым. Рассмотрим вспомогательную задачу
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, L_{\varepsilon}[w]&=-h(x,\varepsilon), \qquad x\in(-1;1),\\ w(\mp1)&=0. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{26}
$$
Следствием теоремы Крейна–Рутмана является Утверждение 1. Если для некоторой всюду положительной на $(-1,1)$ функции $h(x,\varepsilon)$ задача (26) имеет решение $w(x,\varepsilon)$ такое, что хотя бы в одной точке $x\in (-1,1)$ выполнено неравенство $w(x,\varepsilon)<0$, то главное собственное значение $\lambda$ задачи (25) положительно. Для того чтобы применить утверждение 1, поступим следующим образом. Введем функцию $\Psi(x,\varepsilon)=\beta(x,\varepsilon)-\alpha(x,\varepsilon)$, где функции $\beta(x,\varepsilon), \alpha(x,\varepsilon)$ – верхнее и нижнее решения, полученные в предыдущем разделе. Используя (19)–(22), нетрудно показать, что для функции $\Psi(x,\varepsilon)$ верны соотношения
$$
\begin{equation}
L_\varepsilon[\Psi]<0,\qquad x\in(-1;1)\backslash x_0,
\end{equation}
\tag{27}
$$
$$
\begin{equation}
\begin{gathered}
\Psi(x,\varepsilon)<0,\qquad x\in[x_0-C\varepsilon,x_0+C\varepsilon], \notag \\ \frac{d\Psi}{d x}\biggr|_{x=x_0+0}-\frac{d \Psi}{d x}\biggr|_{x= x_0- 0}<0, \notag \\ \Psi(\mp1)\geqslant 0. \notag \end{gathered}
\end{equation}
\notag
$$
Отметим, что $\Psi(x,\varepsilon)$ – непрерывная на отрезке $x\in[-1,1]$ функция, но не являющаяся гладкой в точке $x=x_0$. Существуют предельные значения для производной первого и второго порядка функции $\Psi(x,\varepsilon)$ слева и справа от точки $x_0,$ а соотношение (27) выполняется для предельных значений. Построим теперь гладкую функцию $\Psi^*(x,\varepsilon)$, необходимую для применения следствия из теоремы Крейна–Рутмана. Возьмем число
$$
\begin{equation*}
M>\sup_{\substack{x\in [-1,1],\\ \varepsilon\in(0,\varepsilon_0] }}|f_u(u(x,\varepsilon),x, \varepsilon)|.
\end{equation*}
\notag
$$
Определим $\Psi^*(x,\varepsilon)$ как решение задачи
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, & L_\varepsilon[\Psi^*]-M\Psi^*=-M\Psi,\qquad x\in (-1,1), \\ &\Psi^*(\mp1,\varepsilon)=0. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{28}
$$
Гладкое решение данной задачи существует, единственно и может быть выписано через функцию Грина [15]. Далее нам понадобится следующий вариант принципа максимума, который легко следует из принципа максимума для эллиптических уравнений с разрывными нелинейностями [16], [17]. Лемма 1. Пусть для функции $z(x,\varepsilon)\in C([-1,1])\cap C^{2}((-1,1)\backslash x_0)$ при некотором $\bar c>0$ выполняются условия Применим лемму 1 к задаче
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &L_\varepsilon[\Psi-\Psi^*]-M(\Psi-\Psi^*)=L_\varepsilon[\Psi],\qquad x\in (-1,1)/x_0, \\ & \Psi(\mp 1)-\Psi^*(\mp 1)\geqslant 0. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{31}
$$
Получаем $\Psi(x,\varepsilon)\geqslant\Psi^*(x,\varepsilon)$, $x\in[-1,1]$, а также $\Psi(x,\varepsilon)>\Psi^*(x,\varepsilon)$, $x\in(-1,1)$. Теперь нетрудно показать, что $L[\Psi^*]<0$, $x\in(-1,1)$. Из задачи (28) следует, что
$$
\begin{equation*}
L_\varepsilon[\Psi^*]=M(\Psi^*-\Psi)<0,\qquad x\in (-1,1).
\end{equation*}
\notag
$$
В то же время на всем отрезке $x\in[x_0-C\varepsilon,x_0+C\varepsilon]$
$$
\begin{equation*}
\Psi^*(x,\varepsilon)\leqslant\Psi(x,\varepsilon)=\beta(x,\varepsilon)-\alpha(x,\varepsilon)<0.
\end{equation*}
\notag
$$
Итак, условия утверждения выполнены, следовательно, решение $u(x,\varepsilon)$, соответствующее построенной асимптотике $U_n(x,\varepsilon),$ при выполнении условий A1–A5, является неустойчивым. Таким образом, верна Теорема 2. При выполнении условий A1–A5 при достаточно малых $\varepsilon>0$ стационарное решение $u(x,\varepsilon)$ задачи (2) в смысле определения 1, для которого функция $U_{n+1}(x,\varepsilon)$ является равномерным асимптотическим приближением, неустойчиво. 6. Случай слабой адвекцииРассмотрим обобщение результатов, касающихся неусточивости решения типа контрастной структуры, на случай слабой разрывной адвекции. Постановка задачи имеет вид
$$
\begin{equation}
\varepsilon^2\frac{d^2u}{dx^2}+\varepsilon A(u,x)\frac{d u}{dx}=f(u,x,\varepsilon),\qquad x\in(-1;1),\quad u(\mp1,\varepsilon)=u^{(\mp)} ,
\end{equation}
\tag{32}
$$
где $\varepsilon\in(0;\varepsilon_0]$ – малый параметр. Соответствующая (32) параболическая задача имеет вид
$$
\begin{equation}
\begin{cases} \varepsilon^2\dfrac{\partial^2 v}{\partial x^2}+\varepsilon A(v,x)\dfrac{\partial v}{\partial x}-\dfrac{\partial v}{\partial t}=f(v,x,\varepsilon),\qquad x\in(-1;1),\qquad t>0;\\ v(\mp1,t,\varepsilon)=u^{(\mp)},\qquad v(x,0,\varepsilon)=v_\mathrm{init}(x,\varepsilon). \end{cases}
\end{equation}
\tag{33}
$$
Определения решений задач (32) и (33) формулируются аналогично определениям из предыдущих разделов. Пусть выполнено следующее условие. Условие A1*. Функция $f(u,x,\varepsilon)$ – функция из условия A1, а $A(u,x)$ претерпевает разрыв первого рода вдоль отрезка прямой $\{u\in I_u,x=x_0\}$: где $A^{(\mp)}(u,x)$ – достаточно гладкие функции в своих областях определения. Условие A2 оставим без изменений. Определим присоединенные системы уравнений следующим образом:
$$
\begin{equation}
\frac{d\tilde{u}^{(\mp)}}{d \xi}=\tilde{v}^{(\mp)}, \qquad \frac{\partial \tilde{v}^{(\mp)}}{\partial \xi}=A^{(\mp)}(\tilde{u}^{(\mp)},x_0) \tilde{v}^{(\pm)}+f^{(\mp)}(\tilde{u}^{(\mp)},x_0, 0).
\end{equation}
\tag{34}
$$
В силу условия A2 точки $(\varphi^{(\mp)}(x_0)),0)$ являются точками покоя типа седла на фазовых плоскостях $(\tilde u^{(\mp)},\tilde v^{(\mp)})$ соответствующей присоединенной системы. Потребуем также выполнения двух следующих условий. Условие A3*. Для любого $p\in(\varphi^{(-)}(x_0),\varphi^{(+)}(x_0))$ сепаратриса, выходящая из седла $(\phi^{(-)}(x_0),0)$, может быть представлена в виде $\tilde v = \tilde v^{(-)}(\xi,p)$, $\tilde u = \tilde u^{(-)}(\xi,p)$ и пересекает прямую $\tilde u=p$. Кроме того, точка пересечения соответствует значению $\xi = 0$, а седло соответствует значению $\xi = -\infty$. Пусть также $\tilde v^{(-)}(\xi,p)>0$, $\xi \in (-\infty, 0]$. Потребуем, чтобы аналогичное условие было выполнено для сепаратрисы, входящей в седло $(\phi^{(+)}(x_0), 0)$. Условие A4*. Введем функцию Пусть уравнение $H(p)=0$ имеет решение $p=p_0,$ удовлетворяющее неравенству Здесь и далее через $[\,{}\cdot{}\,]_-^+$ обозначена разность функций с индексами $(+)$ и $(-)$. Условие A5 оставим без изменений (обозначим условия A2 и A5 через A2* и A5*). Отметим, что требование A4* отличается знаком неравенства от аналогичного требования в работе [18], где доказана асимптотическая устойчивость контрастной структуры для задачи (32) в двумерном случае. Действуя согласно алгоритму Васильевой, можно определить функции $\bar{u}_{i}^{(\mp)}(x)$, $Q_{i}^{(\mp)}(\xi,\varepsilon)$, $R_{i}(\eta^{(\mp)})$ и построить асимптотическое приближение $U_n(x,\varepsilon)$ решения контрастной структуры типа ступеньки для задачи (32). Сформулируем теорему существования, доказанную в работе [19] c помощью метода сшивания решений при условии $\frac{d }{{d p}}H({{p_0}})\neq 0$. Теорема 3 [19]. Пусть выполнены условия A1*–A5*. Тогда при достаточно малом $\varepsilon>0$ существует функция $u(x,\varepsilon)$ – решение задачи (32) в смысле определения 2, для которого функция $U_{n+1}(x,\varepsilon)$ является равномерным асимптотическим приближением с точностью $O(\varepsilon^{n+2})$, т. е. для всех $x\in[-1;1]$ выполняется неравенство где $C$ – положительная константа, не зависящая от $\varepsilon$. Алгоритм построения верхнего $\beta^{*}(x,\varepsilon)$ и нижнего $\alpha^{*}(x,\varepsilon)$ неупорядоченных решений для данного случая аналогичен изложенному выше и представляет собой незначительную модификацию алгоритма, предложенного в работе [18]. Отметим, что ключевую роль в доказательстве играет условие A4*, обеспечивающее неупорядоченность в зоне переходного слоя. Таким образом, верна следующая теорема. Теорема 4. При выполнении условий A1*–A5* при достаточно малых $\varepsilon>0$ стационарное решение $u(x,\varepsilon)$ задачи (33) в смысле определения 1, для которого функция $U_{n+1}(x,\varepsilon)$ является равномерным асимптотическим приближением, неустойчиво. 7. ЗаключениеПредложенный в работе метод имеет очевидную перспективу развития на многомерные и периодические параболические задачи. Выделенный в работе критерий устойчивости (неустойчивости) позволяет получить информацию об области притяжения устойчивых стационарных решений. Показано, что простые корни введенной в работе функции $H(p)$ определяют асимптотическую устойчивость решения с переходным слоем. Это продемонстрировано в рассмотренных одномерных классах задач. Очевидно, что наличие нескольких корней может приводить к асимптотически малой области притяжения устойчивого решения или к асимптотически малой области, разделяющей устойчивые решения. Вместе с тем отметим, что физическая интерпретация этих условий в конкретных прикладных задачах требует дальнейших исследований и запланирована в наших исследованиях. Конфликт интересовАвторы заявляют, что у них нет конфликта интересов. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{NefOrl23} |
|
||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|