| Теоретическая и математическая физика |
|
|
|
|
|
Локальные аттракторы одной из первоначальных версий уравнения Курамото–Сивашинского А. Н. Куликов, Д. А. Куликов Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова, Ярославль, Россия
Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2023, Volume 215, Issue 3, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0040577923060016 
Реферативные базы данных:
   1. ВведениеК числу самых известных уравнений математической физики относят уравнение с частными производными, которое получило название уравнение Курамото–Сивашинского (УКС). Это нелинейное уравнение впервые появилось в работах [1], [2]. Монография [1] посвящена изучению нелинейных колебаний в химии. В ней данное уравнение, названное впоследствии УКС, появилось при асимптотическом анализе другого известного нелинейного уравнения математической физики – уравнения Гинзбурга–Ландау. При выводе УКС, кроме упрощения уравнения Гинзбурга–Ландау, были использованы идеи, основанные на физических соображениях. Они были частично навеяны тем соображением, что возникающие математические модели должны быть корректны в смысле известного постулата Адамара [3]. Иной вывод УКС был предложен в работе [2], где была рассмотрена система Навье–Стокса, дополненная периодическими краевыми условиями, а также диссипативными членами. Такой вариант системы Навье–Стокса был в свое время предложен А. Н. Колмогоровым при изучении слабой турбулентности (более подробно см. [2]). При некоторых предположениях на параметры задачи был проведен асимптотический анализ выбранной системы дифференциальных уравнений и в результате получено модельное уравнение с частными производными. Полученное в работе [2] уравнение в достаточной, но не в полной мере похоже на уравнение из работ Курамото (см., например, [1]). Как правило, УКС приводят в одной из двух форм: или Уравнение (2) – это продифференцированный вариант уравнения (1), в котором использовано обозначение $v=u_x$. Здесь $u = u(t,x)$, $v=v(t,x)$, а $b_1,b_2\in \mathbb{R}$.В работе [2] в результате асимптотического упрощения первоначальной задачи было получено дифференциальное уравнение с частными производными следующего вида:
$$
\begin{equation}
u_t+u_{xxxx}+bu_{xx}+a_1 u - a_2 u^2_x - a_3(u^3_x)_x=0,
\end{equation}
\tag{3}
$$
где $b,a_2,a_3\in \mathbb{R}$, $a_1\geqslant 0$. Следовательно, уравнения (3) и (1) совпадают, если $a_1,a_3=0$. Вторая часть статьи [2] посвящена изложению результатов численного анализа уравнения (2), дополненного периодическими краевыми условиями. Отметим, что уравнение (3) было к этому времени записано уже в перенормированном и безразмерном виде. При этом оказалось, что для рассматриваемой физической задачи характерна малость коэффициентов $a_1$ и $a_3$ по сравнению с остальными коэффициентами выведенного уравнения: $0\leqslant a_1\ll 1$, $|a_3|\ll 1$. Более того, если пренебречь внешним трением, получим $a_1=0$. Поэтому численный анализ предполагал, что $a_3=0$, а коэффициент $a_1$ либо очень мал, либо $a_1=0$. В результате в работе [2] было предложено считать допустимым замену уравнения (3) на уравнение (1). Уместно отметить, что именно для уравнения (1) были получены широко известные результаты (см., например, [4]–[9]). В этих работах были изучены вопросы, связанные с существованием и единственностью решений начально-краевых задач. Особую известность приобрели работы Темама с соавторами, в которых исследован вопрос о существовании глобального аттрактора для решений уравнения (1), дополненного однородными краевыми условиями Неймана. Впоследствии были предложены различные модификации уравнений (1), (2), связанные, впрочем, с иными физическими приложениями (см., например, [10]–[16]). Подчеркнем, что в большинстве этих и других работ уравнения (1), (2) изучались вместе с периодическими краевыми условиями или (реже) с однородными краевыми условиями Неймана. Вместе с тем, как нетрудно заметить, малость коэффициентов $a_1$, $a_3$ вовсе не означает, что они равны нулю. В первую очередь это относится к коэффициенту $a_1$. Его малость, как уже отмечалось, означает малость внешнего трения, а $a_1=0$, если такое трение равно нулю. Ясно, что ситуация, когда внешнее трение отсутствует, является допустимой, но достаточно идеализированной. В настоящей работе для уравнения (3) дается анализ пяти краевых задач в случае, если $a_1=\varepsilon\alpha$, где $\varepsilon\in (0,\varepsilon_0)$, $\varepsilon_0\ll 1$, $\alpha\geqslant 0$. Для каждой из таких краевых задач изучены локальные бифуркации в окрестности пространственно однородных состояний равновесия. В частности, получены достаточные условия формирования паттернов, выявлены отличия в характере бифуркаций при $\alpha\neq 0$ и $\alpha=0$. Ответ на эти и другие вопросы в первую очередь зависит от следующих двух факторов. Первый из них – это выбор краевых условий, второй – выбор уравнения (3) или уравнения (1). Подчеркнем, что многие из рассматриваемых вопросов для уравнения (3) при $\alpha\neq 0$ не изучались. Их анализ в ряде случаев приводит к результатам, отличным от ответов на аналогичные вопросы при изучении уравнения (1) (уравнения (3) при $\alpha=0$). 2. Постановка задачиРассмотрим следующее дифференциальное уравнение с частными производными:
$$
\begin{equation}
u_t+ u_{xxxx}+bu_{xx}+\alpha\varepsilon u = a_2 u^2_x+a_3(u^3_x)_x,
\end{equation}
\tag{4}
$$
где $u = u(t,x)$, $b,a_2,a_3\in \mathbb{R}$, $\alpha\geqslant 0$, $\varepsilon\in (0,\varepsilon_0)$, а $\varepsilon_0$ – достаточно малая положительная постоянная. В дальнейших построениях будем интерпретировать $\varepsilon$ как малый положительный параметр. Уравнение (4) дополним одним из четырех следующих краевых условий:
$$
\begin{equation}
u_x(t,0) = u_{x}(t,\pi) = u_{xxx}(t,0)=u_{xxx}(t,\pi) = 0,
\end{equation}
\tag{6}
$$
$$
\begin{equation}
u_x(t,0) = u_x(t,\pi) = u_{xx}(t,0)=u_{xx}(t,\pi) = 0.
\end{equation}
\tag{8}
$$
При анализе всех этих краевых задач (КЗ) предполагаем, что $x\in [0,\pi],t\geqslant 0$. Естественно, возможен и иной выбор краевых условий, например Периодические краевые условия часто встречались в работах, имеющих прикладной характер [10]–[16]. Несколько реже использовались краевые условия Неймана (6) и краевые условия Дирихле (5). В некоторых работах (см., например, [6]) изучались локальные бифуркации на основе применения метода Галёркина при выборе не очень большого числа базисных функций и, как правило, основное внимание уделялось традиционному варианту УКС (1). Ниже мы изучаем локальные бифуркации во всех краевых задачах ((4), (5); (4), (6); (4), (7); (4), (8) и (4), (9)) как в случае $\alpha=0$, так и при $\alpha\neq 0$, не забывая при этом уделять внимание предельному переходу при $\alpha\to 0$. Отметим, что при $\alpha>0$ все отмеченные КЗ имеют только нулевое решение в качестве пространственно однородного состояния равновесия. Напомним, что решение одной из отмеченных КЗ мы называем состоянием равновесия, если это решение $u(t,x)=v(x)$, т. е. не зависит от $t$. Если же такое решение не зависит и от $x$, то получаем однородное состояние равновесия соответствующей КЗ, а в ином варианте, если $v(x)$ существенно зависит от $x$ (функция $v(x)$ отлична от постоянной), принято говорить о неоднородном состоянии равновесия. При $\alpha=0$ такая ситуация сохраняется для КЗ (4), (5) и (4), (7), но для КЗ (4), (6); (4), (8); (4), (9) она изменяется. Последние три КЗ при $\alpha=0$ имеют однопараметрические семейства состояний равновесия $u(t,x)=\mathrm{const}$. Пусть сначала $\alpha>0$. Для всех КЗ, приведенных выше, мы изучаем локальные бифуркации при смене устойчивости состояния равновесия $u=0$, а также вопросы об изменении характера бифуркаций, если $\alpha$ станет равным нулю. При анализе бифуркаций во всех КЗ ((4), (5); (4), (6); (4), (7); (4), (8); а также (4), (9)) использован единый подход, основанный на развитии таких методов теории динамических систем, как метод интегральных (инвариантных) многообразий и нормальных форм (НФ) Пуанкаре–Дюлака в той форме, которая допускает их применение при анализе динамических систем с бесконечномерным фазовым пространством (пространством начальных условий). Прежде чем перейти к бифуркационному анализу отмеченных КЗ, следует добавить, что рассматриваемые далее вопросы для КЗ (4), (7) и (4), (8) ранее не изучались ни при $\alpha>0$, ни при $\alpha=0$. Оставшиеся три КЗ частично изучались, в том числе в работах других авторов, но, как правило, при $\alpha=0$ (см., например, [6], [8], [13]). Поэтому их анализ при $\alpha>0$ также заслуживает внимания. 3. Анализ УКС при краевых условиях жесткого закрепленияВ данном разделе уравнение (4) рассмотрим вместе с краевыми условиями (7), которые в различных разделах физики достаточно часто называют условиями жесткого закрепления. Такую КЗ удобно переписать в следующей форме:
$$
\begin{equation}
u_t = A(b)u +\varepsilon\alpha A_1 u+ a_2 F_2(u)+a_3 F_3(u),
\end{equation}
\tag{10}
$$
где
$$
\begin{equation*}
A(b)u = -u_{xxxx}-bu_{xx}, \qquad A_1 u = -u, \qquad F_2(u) = u^2_x, \qquad F_3(u) = (u^3_x)_x.
\end{equation*}
\notag
$$
КЗ (10), (11), естественно, имеет нулевое состояние равновесия. В начале этого раздела изучим вопрос об устойчивости нулевого решения КЗ (10), (11). На первом этапе, как обычно, рассмотрим вопрос об устойчивости решений для линеаризованной в нуле КЗ (10), (11) и, следовательно, будем изучать следующую линейную КЗ:
$$
\begin{equation}
u_t = A(b)u, \qquad u(t,0) = u(t,\pi) = u_x(t,0) = u_x(t,\pi) = 0.
\end{equation}
\tag{12}
$$
В свою очередь, это предполагает анализ линейного дифференциального оператора (ЛДО) область определения которого $D(A(b))$ состоит из достаточно гладких функций $y(x)$, удовлетворяющих краевым условиям Отметим некоторые свойства этого ЛДО. Свойство 1. При всех $b\in \mathbb{R}$ ЛДО $A(b)$ симметричен (см. определение, например, в [17]), т. е. при всех $y(x),w(x)\in D(A(b))$ справедливо равенство где – скалярное произведение в $L_2(0,\pi)$. Проверка этого свойства использует преобразование интегралов с применением интегрирования по частям. Свойство 2. При всех $b\leqslant 0$ ЛДО $A(b)$ отрицательно определен ($-A(b)$ положительно определен). Действительно, нетрудно показать, что справедливо неравенство
$$
\begin{equation*}
\int_{0}^{\pi} (-A(b)y(x))y(x)\,dx \geqslant \gamma^2\int_{0}^{\pi} y^2(x)\, dx,
\end{equation*}
\notag
$$
где в качестве $\gamma^2$ можно взять $1/\pi^2$. Краевые условия (11) – это краевые условия типа Штурма–Лиувилля, и, следовательно, они регулярны (см. [18]), если использовать терминологию и определения из монографии [18]. Из результатов, изложенных в гл. 2.3 этой монографии, вытекает, что ЛДО $A(b)$ имеет счетный набор простых собственных значений где $\lambda_n\in \mathbb{R}$, а соответствующие им собственные функции образуют полную ортогональную систему в $L_2(0,2\pi)$.Свойство 3. Существует такое минимальное $b=b_*>0$, при котором ЛДО $A(b_*)$ имеет простое нулевое собственное число. Действительно, рассмотрим КЗ Пусть теперь $b>0$, тогда общее решение обыкновенного дифференциального уравнения (13) имеет вид где $\sigma = \sqrt{b}$. Подстановка последней функции в краевые условия (14) приводит к системе уравнений
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, C_1+C_4 = 0, \qquad \sigma C_2+C_3 = 0, \\ C_1\cos\sigma\pi + C_2\sin\sigma\pi + C_3\pi + C_4 = 0, \qquad -\sigma C_1\sin\sigma\pi + \sigma C_2\cos\sigma\pi + C_3 = 0. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Данная система линейных алгебраических уравнений имеет ненулевое решение, если ее определитель равен нулю. Это приводит к уравнению где $\omega=\pi\sigma/2$. Следовательно, получаем два уравнения:
$$
\begin{equation*}
\sin\omega = 0,\qquad \operatorname{tg}\omega = \omega.
\end{equation*}
\notag
$$
Первое из них имеет набор положительных корней $\omega_n = \pi n$ ($n=1,2,\ldots$), а второе уравнение также имеет счетный набор решений $\tilde{\omega}_1<\tilde{\omega}_2<\cdots$ . При этом $\omega_1<\tilde{\omega}_1$. В результате получаем, что корню $\omega_1 = \pi$ соответствует минимальное значение $b=b_*=4$, при котором у ЛДО $A(b)$ есть нулевое собственное значение. Ему соответствует собственная функция $e_0(x)=\gamma_0(1-\cos 2x)$, $\gamma_0\in \mathbb{R}$. Если же выбрать $\gamma_0 = \sqrt{2/3\pi}$, то Замечание 1. Если рассмотреть неоднородную КЗ Из предыдущих построений вытекает, что при $b<b_* = 4$ решения линейной КЗ (12) асимптотически устойчивы, а также справедливо следующее утверждение. Теорема 1. Пусть $b<b_*=4$, тогда нулевое решение нелинейной КЗ (10), (11) асимптотически устойчиво при любом выборе $\alpha>0$ и любом $\varepsilon\in (0,\varepsilon_0)$. Аналогичное утверждение справедливо при $\alpha=0$. Значение $b=b_* = 4$ выделяет величину параметра $b$, при котором реализуется критический случай в задаче об устойчивости нулевого решения КЗ (10), (11), если в ней $\varepsilon\alpha=0$. Возвратимся к анализу нелинейной КЗ (10), (11) при $b=4(1+\beta\varepsilon)$. При таком выборе коэффициента $b$ изучаемая КЗ такова, что для нее реализуется случай, близкий к критическому, простого нулевого собственного значения. КЗ (10), (11) имеет одномерное инвариантное многообразие $M_1(\varepsilon)$ [19], [20]. Решения, ему принадлежащие, можно и целесообразно искать в виде
$$
\begin{equation}
u(t,x,\varepsilon) = \varepsilon z e_0(x)+ \varepsilon^2 v_2(z,x)+o(\varepsilon^2),
\end{equation}
\tag{15}
$$
где $z=z(s)$, $s=\varepsilon t$ – медленное время, достаточно гладкая функция $v_2(z,x)$ удовлетворяет краевым условиям (11), а также равенству Наконец, $z(s)$ – решение вспомогательного дифференциального уравнения где функция $\varphi(z,\varepsilon)$ обладает следующими свойствами (см., например, [19], [20]): 1) достаточно гладко зависит от $z$ и $\varepsilon$, если $|z|<\delta$, $\varepsilon\in (0,\varepsilon_0)$, а $\delta$, $\varepsilon_0$ – некоторые положительные постоянные; 2) справедливо тождество $\varphi(0,\varepsilon)=0$. В дальнейших построениях определяющую роль играет “укороченный” вариант последнего дифференциального уравнения (НФ) Подставим сумму (15) в КЗ (10), (11) при выбранных $b=b(\varepsilon)$ и выделим члены при одинаковых степенях $\varepsilon$. При $\varepsilon$ получим тождество в силу выбора первого члена суммы (15). На втором шаге, приравнивая коэффициенты при $\varepsilon^2$, получим уже линейную неоднородную КЗ для определения $v_2(t,x)$
$$
\begin{equation}
v_2(z,0)=v_2(z,\pi) = v_{2x}(z,0)=v_{2x}(z,\pi)=0, \qquad \int_{0}^{\pi} v_2(z,x)e_0(x)\,dx=0,
\end{equation}
\tag{18}
$$
где $\Phi_2(z,x)=-\psi(z)e_0(x)-\alpha z e_0(x) - 4\beta z e_{0xx} + a_2z^2e^2_{0x}$. При составлении КЗ (17), (18) было учтено, что $z_t = \varepsilon z'(s)$. Напомним, что условия разрешимости КЗ (17), (18) состоят в выполнении при любом рассматриваемом $z$ равенства Вычисления соответствующих интегралов приводят к равенству
$$
\begin{equation*}
\psi(z) = \biggl(\frac{16}{3}\beta - \alpha\biggr)z + \frac{4}{3} a_2\gamma_0 z^2.
\end{equation*}
\notag
$$
В результате НФ (16) приобретает окончательный вид
$$
\begin{equation}
z' = \nu z + lz^2, \qquad \nu = \frac{16}{3}\beta - \alpha, \qquad l = \frac{4a_2}{3}\sqrt{\frac{2}{3\pi}}.
\end{equation}
\tag{19}
$$
Лемма 1. Дифференциальное уравнение (19), кроме нулевого состояния равновесия $S_0 (z=0)$, имеет ненулевое состояние равновесия $S_1\!: z = -\nu/l$, если $\nu\neq 0$ (т. е. $\alpha\neq 16\beta/3$), $a_2\neq 0$, которое асимптотически устойчиво при $\nu>0$ и неустойчиво, если $\nu <0$. Состояние равновесия $S_0$ асимптотически устойчиво при $\nu<0$ и неустойчиво при $\nu>0$. Из результатов работ [19], [20] вытекает, что все решения из достаточно малой окрестности нулевого состояния равновесия КЗ (10), (11) при выбранных значениях $b$ стремятся к инвариантному многообразию $M_1(\varepsilon)$ со скоростью экспоненты. Поэтому анализ поведения решений КЗ на $M_1(\varepsilon)$ сводится к анализу решений НФ (16). В частности, дифференциальное уравнение (16) имеет два состояния равновесия $S_0,S_1$. Из этих построений (более подробно см. [21]–[23], а также [24]) вытекает справедливость следующего утверждения. Теорема 2. Пусть $\nu,a_2\neq 0$. Существует положительная постоянная $\varepsilon_0>0$ такая, что при всех $\varepsilon\in (0,\varepsilon_0)$ КЗ (10), (11) при $b= 4(1+\beta\varepsilon)$ имеет пространственно неоднородное состояние равновесия $E_1$, соответствующее $S_1$, для которого справедлива асимптотическая формула При этом $E_1$, как и $S_1$, асимптотически устойчиво, если $\nu>0$, и неустойчиво при $\nu<0$. При $\nu<0$ у КЗ (10), (11) асимптотически устойчиво нулевое состояние равновесия. В заключение этого раздела отметим, что переход от $\alpha>0$ к $\alpha=0$ не меняет вывода о характере бифуркаций. В окрестности нулевого состояния равновесия при значениях параметра $b$, близких к критическому, существует (появляется) пространственно неоднородное состояние равновесия $E_1$. 4. Однородные краевые условия ДирихлеВ этом разделе рассмотрим следующую КЗ:
$$
\begin{equation}
u_t=A(b)u +\varepsilon\alpha A_1 u+ a_2 F_2(u)+a_3 F_3(u),
\end{equation}
\tag{20}
$$
Уравнение (20) совпадает с уравнением (10), но здесь оно будет изучаться с иными краевыми условиями (21), которые принято называть однородными краевыми условиями Дирихле или краевыми условиями шарнирного опирания. Анализ КЗ (20), (21), конечно, отличается от анализа аналогичной КЗ (10), (11), но при изучении локальных бифуркаций эти отличия имеют скорее вычислительный характер. Поэтому изложение бифуркационного анализа будет приведено в относительно сокращенном виде. Сразу отметим, что в данном разделе ЛДО, определенный равенством рассматривается с иной областью определения по сравнению с предыдущим разделом: функция $v = v(x)\in D(A(b))$, если она удовлетворяет краевым условиям Нетрудно заметить, что ЛДО $A(b)$ имеет счетный набор простых собственных значений $\lambda_n = -n^4+bn^2$, отвечающих собственным функциям $f_n(x)=\sqrt{2/\pi}\sin nx$, где $n=1,2,\dots$ . Система собственных функций формирует полную ортонормированную систему функций в $L_2(0,\pi)$. При $b=1$ ЛДО $A(1)$ имеет простое собственное значение $\lambda_1(0)=0$, а остальные его собственные значения лежат в левой полуплоскости комплексной плоскости.Справедливо следующее утверждение. Лемма 2. Пусть $b<1$, тогда нулевое решение нелинейной КЗ (20), (21) асимптотически устойчиво при всех $\varepsilon\in (0,\varepsilon_0)$, где $\varepsilon_0\ll 1$. При $b>1$ оно неустойчиво. Если же $b=1$, то для КЗ (20), (21) при достаточно малых $\varepsilon\in (0,\varepsilon_0)$ реализуется случай, близкий к критическому, нулевого собственного значения. Положим $b = 1+\beta\varepsilon$, $\varepsilon\in (0,\varepsilon_0)$, $\beta\in \mathbb{R}$. При этих значениях параметра $b$ рассмотрим нелинейную КЗ (20), (21). Как и для КЗ из предыдущего раздела, у нее есть гладкое инвариантное многообразие $M_1(\varepsilon)$, размерность которого равна единице. Анализ окрестности нулевого решения можно свести к изучению “укороченной” НФ где свойства функции $\chi(z)$ аналогичны свойствам функций $\varphi(z,\varepsilon),\psi(z)$ из раздела 3 (см. [19], [20]), т. е. функция $\chi(z)$ имеет достаточно большое число непрерывных производных и $\chi(0)=0$.В свою очередь, решения КЗ (20), (21), принадлежащие инвариантному многообразию $M_1(\varepsilon)$, будем искать в виде
$$
\begin{equation}
u(t,x,\varepsilon) = \varepsilon f_1(x)z+\varepsilon^2 u_2(z,x)+ o(\varepsilon^2),
\end{equation}
\tag{23}
$$
где функция $u_2(z,x)$ удовлетворяет краевым условиям (21), а также для нее справедливо равенство Наконец, $z=z(s)$ – решение дифференциального уравнения (22). После подстановки суммы (23) в КЗ (20), (21), рассматриваемую при $b=1+\beta\varepsilon$, и выделения слагаемых при одинаковых степенях $\varepsilon$ для определения $u_2(z,x)$ получим следующую линейную неоднородную КЗ:
$$
\begin{equation}
u_{2xxxx}+u_{2xx}= \Phi_2(z,x) = -\chi(z)f_1(x)+ (\beta-\alpha)zf_1(x)+2\frac{a_2}{\pi}z^2\cos^2 x,
\end{equation}
\tag{24}
$$
$$
\begin{equation}
u_2(z,0) = u_2(z,\pi) = u_{2xx}(z,0)=u_{2xx}(z,\pi) = 0, \qquad \int_{0}^{\pi}u_2(z,x)f_1(x)\,dx=0.
\end{equation}
\tag{25}
$$
КЗ (24), (25) разрешима, если Последнее равенство (условие разрешимости) дает
$$
\begin{equation*}
\chi(z) = \nu z + lz^2, \qquad \nu=\beta-\alpha, \qquad l = \frac{4}{3\pi}\biggl(\frac{2}{\pi}\biggr)^{1/2}a_2.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, НФ (22) приобретает следующий вид: она имеет ненулевое состояние равновесия $z(s) = -\nu/l$, если $\nu\neq 0$, $a_2\neq 0$. Оно асимптотически устойчиво, если $\nu>0$, и неустойчиво при $\nu<0$. При $\nu <0$ асимптотически устойчиво нулевое состояние равновесия.Пусть $\nu,a_2\neq 0$. Справедливо следующее утверждение. Теорема 3. Существует $\varepsilon_0>0$ такое, что при всех $\varepsilon\in (0,\varepsilon_0)$ КЗ (20), (21) имеет пространственно неоднородное состояние равновесия Нетрудно заметить, что и в данном случае, т. е. в случае выбора КЗ (20), (21), характер бифуркаций при $\alpha = 0$ не изменяется по сравнению со случаем, когда $\alpha >0$. В обоих случаях при значениях параметра $b$, близких к критическому, рождается пространственно неоднородное состояние равновесия. Подчеркнем, что при $\alpha=0$ получаем $\nu=\beta$. В следующих двух разделах рассмотрены две КЗ, у которых анализ бифуркаций при $\alpha>0$ и $\alpha = 0$ приводит к принципиально разным результатам. 5. Случай однородных краевых условий НейманаВ этом разделе рассмотрим КЗ (4), (6), которую удобно переписать в виде, аналогичном КЗ из предыдущих разделов:
$$
\begin{equation}
u_t=A(b)u+\varepsilon\alpha A_1 u + a_2F_2(u)+a_3 F_3(u),
\end{equation}
\tag{26}
$$
$$
\begin{equation}
u_x(t,0)=u_x(t,\pi) = u_{xxx}(t,0) = u_{xxx}(t,\pi) = 0,
\end{equation}
\tag{27}
$$
где, как и ранее, $A(b)u = -u_{xxxx}-bu_{xx}$, $A_1u = - u$, $F_2(u) = u^2_x$, $F_3(u)=(u^3_x)_x$, $\varepsilon\in (0,\varepsilon_0)$, $\alpha\geqslant 0$. Сразу отметим, что варианты $\alpha>0$ и $\alpha=0$ при анализе КЗ (26), (27) имеют существенные различия. При $\alpha>0$ КЗ (26), (27) имеет только одно пространственное состояние равновесия $u(t,x)=0$. При $\alpha=0$ у этой КЗ существует однопараметрическое семейство пространственно однородных состояний равновесия $u(t,x)=\mathrm{const}$. Варианты $\alpha>0$ и $\alpha=0$ рассмотрим по отдельности. Пусть сначала $\alpha>0$. Рассмотрим ЛДО определенный на достаточно гладких функциях $v(x)$, удовлетворяющих краевым условиям (27) Он имеет следующий набор собственных значений:
$$
\begin{equation*}
\lambda_0 = 0, \qquad \lambda_n = \lambda_n(b) = -n^4+bn^2,\qquad n=1,2,\ldots\, .
\end{equation*}
\notag
$$
Собственное число $\lambda_0=0$ отвечает собственной функции $e_0(x) = 1/\sqrt{\pi}$, а остальные собственные значения $\lambda_n(b)$ отвечают собственным функциям $e_n(x) = \sqrt{2/\pi}\cos nx$, $n=1,2,\dots$ . При этом система функций
$$
\begin{equation*}
\frac{1}{\sqrt{\pi}},\,\, \biggl\{\sqrt{\frac{2}{\pi}}\cos nx\biggr\},\quad n=1,2,\ldots\, ,
\end{equation*}
\notag
$$
образует полную ортонормированную систему в пространстве $L_2(0,\pi)$. Подчеркнем, что $\lambda_0=0$ является собственным значением ЛДО $A(b)$ при всех $b$. Отметим, что при $b<1$ для остальных собственных значений справедливы неравенства Кроме того, ЛДО $A(b)v+\varepsilon\alpha A_1 v$ имеет счетный набор собственных значений
$$
\begin{equation*}
\lambda_n(\varepsilon) = -n^4+bn^2-\alpha\varepsilon,\qquad n = 0,1,2,\ldots\, .
\end{equation*}
\notag
$$
Очевидно, что собственное число $\lambda_0(\varepsilon) = -\alpha\varepsilon$ не зависит от выбора $b$ и $\lambda_0(\varepsilon)<0$ при всех $\varepsilon\in (0,\varepsilon_0)$ и $\alpha>0$. Как и ранее (см., например, случай краевых условий Дирихле), при $b<1$, $\alpha>0$ состояние равновесия $u=0$ КЗ (26), (27) асимптотически устойчиво. Пусть далее в этом разделе $b= 1+\beta\varepsilon$. При таком выборе $b$ ЛДО $A(b)u+\varepsilon\alpha A_1 u$ удобнее переписать в виде $A(1)v+\varepsilon Bv$, где
$$
\begin{equation*}
A(1)v = -v_{xxxx}-v_{xx},\qquad Bv = -\beta v_{xx}-\alpha v.
\end{equation*}
\notag
$$
ЛДО $A(1)v+\varepsilon Bv$ имеет собственные значения $\lambda_0(\varepsilon) = -\alpha\varepsilon$, $\lambda_1(\varepsilon) = (\beta-\alpha)\varepsilon$, отвечающие собственным элементам $1/\sqrt{\pi}$, $\sqrt{2/\pi}\cos x$. Остальные его собственные значения лежат в полуплоскости комплексной плоскости
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Re} \lambda_m(\varepsilon) \leqslant -\gamma <0, \qquad m=2,3,\ldots\, ,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\gamma$ – не зависящая от $\varepsilon$ положительная постоянная. Кроме того, Последние замечания показывают, что при выбранных значениях $b$ у КЗ (26), (27) реализуется уже близкий к критическому случай двойного нулевого собственного значения. В окрестности ее нулевого состояния равновесия существует гладкое двумерное инвариантное многообразие $M_2(\varepsilon)$ (см., например, [19], [20]). Будем искать решения, принадлежащие ему, в следующем виде [21]–[23]:
$$
\begin{equation}
u(t,x,\varepsilon) = ye_0(x)+\varepsilon^{1/2} z e_1(x)+\varepsilon u_2(y,z,x)+\varepsilon^{3/2} u_3(y,z,x)+o(\varepsilon^{3/2}),
\end{equation}
\tag{28}
$$
где $y = y(s),z=z(s)$, $s=\varepsilon t$, функции $u_2(y,z,x),u_3(y,z,x)\in W$. Через $W$ обозначена совокупность функций, обладающих следующими свойствами: 1) при $\varepsilon\in (0,\varepsilon_0)$, $|y|\leqslant \nu_0$, $|z|\leqslant \nu_1$, $x\in [0,\pi]$ они достаточно гладко зависят от своих аргументов ($\varepsilon_0,\nu_0,\nu_1$ – положительные постоянные); 2) они удовлетворяют однородным краевым условиям Неймана; 3) функции $u_2(y,z,x),u_3(y,z,x)$ удовлетворяют следующим равенствам:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, M_0(u_j)&=\int_{0}^{\pi} u_j(y,z,x)e_0(x)\,dx = 0, \\ M_1(u_j)&=\int_{0}^{\pi} u_j(y,z,x)e_1(x)\,dx = 0,\qquad j=2,3. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Наконец, функции $y(s),z(s)$ удовлетворяют системе дифференциальных уравнений (НФ)
$$
\begin{equation}
y' = G_0(y,z,\varepsilon), \qquad z' = G_1(y,z,\varepsilon),
\end{equation}
\tag{29}
$$
где достаточно гладкие функции $G_0,G_1$ подлежат определению. Как и выше, в этом разделе определяющую роль играет “главная” часть НФ (29), которую можно записать в следующем виде: а $g_0(y,z) = G_0(y,z,0)$, $g_1(y,z) = G_1(y,z,0)$. При этом $g_0(0,0)=g_1(0,0)=0$. Подстановка суммы (28) в КЗ (26), (27) с последующим выделением слагаемых при одинаковых степенях $\varepsilon^{1/2}$ и учетом равенств $z_t = \varepsilon z'_s$, $y_t = \varepsilon y'_s$ приводит к линейным неоднородным КЗ для определения функций $u_2(y,z,x)$, $u_3(y,z,x)$. Выделяя члены при $\varepsilon$, получим КЗ для определения $u_2 = u_2(y,z,x)$:
$$
\begin{equation}
u_{2x}(y,z,0) = u_{2x}(y,z,\pi) = u_{2xxx}(y,z,0)=u_{2xxx}(y,z,\pi)= 0,
\end{equation}
\tag{32}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \Phi_2=\Phi_2(y,z,x) = -g_0(y,z)e_0(x)+a_2z^2 e^2_{1x}(x) - \alpha ye_0(x),\\ e_0(x) = \frac{1}{\sqrt{\pi}},\qquad e_1(x)=\sqrt{\frac{2}{\pi}}\cos x. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Рассматривая члены, пропорциональные $\varepsilon^{3/2}$, получаем неоднородную КЗ для определения функции $u_3=u_3(y,z,x)$:
$$
\begin{equation}
u_{3x}(y,z,0) = u_{3x}(y,z,\pi) = u_{3xxx}(y,z,0) = u_{3xxx}(y,z,\pi) = 0,
\end{equation}
\tag{34}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\Phi_3(y,z,x) = -g_1(y,z)e_1(x)-\beta z e_{1xx}(x)-\alpha z e_1(x)+2a_2 e_{1x}(x)u_{2x}(z,x)z+a_3(e^3_{1x})_x z^3.
\end{equation*}
\notag
$$
Из условий разрешимости неоднородной КЗ (31), (32) ($M_0(\Phi_2) = M_1(\Phi_2)=0$) вытекает, что соответствующее решение можно найти, если Последнее равенство вытекает из условия $M_0(\Phi_2)=0$. Второе равенство $M_1(\Phi_2)=0$ выполнено при любом выборе $g_0(y,z)$. После такого выбора $g_0(y,z)$ уравнение (31) перепишется с упрощенной правой частью, равной а соответствующее решение КЗ (31), (32) не зависит от $y$ и имеет следующий вид:Теперь из условий разрешимости неоднородной КЗ (33), (34) находим, что где
$$
\begin{equation*}
\nu = \beta-\alpha, \qquad l = - \frac{1}{6\pi}(a^2_2+9a_3).
\end{equation*}
\notag
$$
В результате НФ (30) приобретает следующий вид:
$$
\begin{equation}
y' = -\alpha y + \frac{a_2z^2}{\sqrt{\pi}},\qquad z' = \nu z + lz^3.
\end{equation}
\tag{35}
$$
Лемма 3. Система дифференциальных уравнений (35) при $\nu>0$, $l<0$ имеет два асимптотически устойчивых состояния равновесия Если же $\nu <0$, $l>0$, то система дифференциальных уравнений (35) имеет также два ненулевых состояния равновесия $S_-(\alpha)$, $S_+(\alpha)$, но они неустойчивы. Отметим, что при $\nu<0$ асимптотически устойчиво нулевое состояние равновесия системы дифференциальных уравнений (35). Наконец, при $\nu l>0$ у системы дифференциальных уравнений (35) отсутствуют состояния равновесия $S_+(\alpha)$ и $S_-(\alpha)$. Доказательство леммы 3 сводится к анализу системы алгебраических уравнений
$$
\begin{equation*}
\alpha y = \frac{a_2z^2}{\sqrt{\pi}},\qquad z(\nu+lz^2)=0.
\end{equation*}
\notag
$$
После нахождения решений этой системы алгебраических уравнений анализ устойчивости соответствующих им состояний равновесия системы дифференциальных уравнений (35) проводится с использованием теоремы об устойчивости по первому (линейному) приближению, что приводит к необходимости анализа спектра матрицы Якоби, вычисленной в точке с координатами соответствующего состояния равновесия ($y=y_*$, $z=z_*$). Получаем, что
$$
\begin{equation*}
J_{y=y_*,z=z_*} = \begin{pmatrix} -\alpha & \dfrac{2a_2z_*}{\sqrt{\pi}} \\ \hphantom{-}0 & \nu+3lz^2_* \end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
В результате можно заключить, что справедливо следующее утверждение. Теорема 4. Существует положительная постоянная $\varepsilon_0$ такая, что при всех $\varepsilon\in (0,\varepsilon_0)$ нелинейная КЗ (26), (27) при $b=1+\beta\varepsilon$ имеет два ненулевых асимптотически устойчивых состояния равновесия $E_+$, $E_-$, соответствующих $S_+(\alpha)$, $S_-(\alpha)$ НФ (35) с наследованием устойчивости, т. е. $E_+,E_-$ асимптотически устойчивы, если $S_+(\alpha)$, $S_-(\alpha)$ асимптотически устойчивы, и $E_-$, $E_+$ неустойчивы, если $S_-(\alpha)$, $S_+(\alpha)$ неустойчивы. При $\nu l >0$ КЗ (26), (27) не имеет нетривиальных состояний равновесия, принадлежащих малой окрестности нулевого состояния равновесия. Наконец, если $\nu <0$, нулевое решение рассматриваемой КЗ асимптотически устойчиво, и оно неустойчиво при $\nu >0$. Иная ситуация возникает при $\alpha=0$. У КЗ (26), (27) изменяется характер бифуркаций, если $b=1+\beta\varepsilon$. НФ (35) приобретает следующий вид:
$$
\begin{equation}
y' = \frac{a_2z^2}{\sqrt{\pi}},\qquad z' = \beta z + lz^3,
\end{equation}
\tag{36}
$$
у нее отсутствуют ненулевые состояния равновесия. В то же время у второго уравнения системы дифференциальных уравнений (36) при $\beta l <0$ имеются два ненулевых состояния равновесия
$$
\begin{equation*}
S_+(0)\!: \quad z = \sqrt{-\frac{\beta}{l}},\qquad S_-(0)\!: \, z = -\sqrt{-\frac{\beta}{l}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Им соответствуют два семейства решений КЗ (26), (27)
$$
\begin{equation*}
u_{\pm}(t,x,\varepsilon) = \biggl[\biggl(-\frac{a_2\beta\varepsilon}{\pi l}+o(\varepsilon)\biggr)t \pm \varepsilon^{1/2}\sqrt{-\frac{2\beta}{\pi l}}\cos x + \varepsilon\frac{\beta a_2}{12\pi l}\cos 2x + o(\varepsilon) \biggr]+K_{\pm},
\end{equation*}
\notag
$$
где $K_{\pm}$ – две произвольные действительные постоянные. Эти два семейства формируют два интегральных многообразия КЗ (26), (27), которые являются локальными аттракторами, если $\beta>0$ ($l<0$), и они неустойчивы при $\beta<0$ ($l>0$). В первом случае ($l<0$) решения, принадлежащие указанным интегральным многообразиям, устойчивы, но не асимптотически устойчивы, во втором случае ($l>0$), естественно, они неустойчивы. Подчеркнем, что найденные при $\alpha=0$ решения не являются состояниями равновесия изучаемой КЗ, но в то же время их частная производная $u_{\pm x}(t,x,\varepsilon) = \partial u_{\pm}(t,x,\varepsilon)/\partial x$ не зависит от $t$, а частная производная $u_{\pm t}(t,x,\varepsilon)=\partial u_{\pm}(t,x,\varepsilon)/\partial t$ равна постоянной величине. Условно такие решения можно назвать состояниями равновесия второго рода. Более детальное обсуждение утверждений, относящихся к КЗ (26), (27) при $\alpha=0$, можно найти в работах [21]–[23], где изучались иные, но достаточно похожие по ряду свойств КЗ. Итак, анализ локальных бифуркаций КЗ Неймана (26), (27) показал, что результаты, полученные при $\alpha>0$ и $\alpha=0$, в достаточной мере различны. 6. Локальные бифуркации в краевой задаче (4), (8)В данном разделе рассмотрим КЗ (4), (8). Перепишем ее в следующей форме:
$$
\begin{equation}
u_t = B(b)u+ \varepsilon\alpha B_1 u + a_2 F_2(u)+ a_3 F_3(u),
\end{equation}
\tag{37}
$$
$$
\begin{equation}
u_x(t,0) =u_x(t,\pi) = u_{xx}(t,0) = u_{xx}(t,\pi)=0,
\end{equation}
\tag{38}
$$
где $B(b)u = -u_{xxxx}-bu_{xx}$, $B_1 u = -u$. Нелинейные слагаемые $F_2(u)$, $F_3(u)$ определены в предыдущих трех разделах. В данном случае ЛДО $B(b)$ отличаются от ЛДО из предыдущих разделов областью определения. В данном разделе ЛДО определен на достаточно гладких функциях, удовлетворяющих краевым условиямРассмотрим сначала КЗ (37), (38) в случае $\alpha>0$. В таком варианте постановки задача имеет только одно пространственно однородное состояние равновесия $u=0$. Для анализа его устойчивости, как и ранее, на первом этапе следует изучить вопрос о расположении собственных значений у ЛДО $B(b)$. Отметим, что в данном случае ЛДО $B(b)$ не является симметричным. Обозначим сопряженный к нему ЛДО $B^{*}(b)$, т. е. такой ЛДО, для которого справедливо равенство
$$
\begin{equation*}
\int_{0}^{\pi} (B(b)y(x))w(x)\,dx = \int_{0}^{\pi} y(x)(B^{*}(b)w(x))\,dx,
\end{equation*}
\notag
$$
где $y(x)\in D(B(b))$, $w(x)\in D(B^{*}(b))$ (см., например, [17], [18]). Стандартным образом можно убедиться, что где $w=w(x)\in D(B^{*}(b))$ – области определения этого ЛДО. Отметим, что достаточно гладкая функция $w(x)\in D(B^{*}(b))$, если для нее выполнены следующие краевые условия: Итак, у ЛДО $B(b)$ и $B^{*}(b)$ различные области определения. В данном разделе рассматривается ЛДО $B(b)$, который не является симметричным, тем не менее все его собственные числа действительны. Проверим это. Собственные значения ЛДО $B(b)$ можно искать как нетривиальные решения КЗ
$$
\begin{equation}
-y^\mathrm{IV}-by''=\lambda y, \qquad y'(0)=y'(\pi)=y''(0)=y''(\pi)=0.
\end{equation}
\tag{39}
$$
Если продифференцировать уравнение из КЗ (39) и обозначить $y'(x)=v(x)$, получим КЗ
$$
\begin{equation}
-v^\mathrm{IV}-bv''=\lambda v, \qquad v(0)=v(\pi) = v'(0)=v'(\pi) = 0,
\end{equation}
\tag{40}
$$
у которой все собственные значения действительны (см. раздел 3). В дополнение к собственным значениям, найденным у КЗ (40), для КЗ (39) следует добавить собственное число $\lambda=0$, которое существует при всех значениях $b$. Лемма 4. Существует такое значение параметра $b=b_*=4$, при котором ЛДО $B(b_*)$ имеет двукратное нулевое собственное значение. Ему отвечают собственные функции У сопряженного ЛДО $B^{*}(b_*)$ также имеется нулевое собственное значение кратности 2, а соответствующие собственные функции могут быть выбраны следующим образом: Напомним, что краевые условия (38) регулярны, поэтому собственные функции ЛДО $B(b)$, $B^{*}(b)$ могут быть выбраны таким образом, чтобы они образовывали полные биортогональные (биортонормированные) системы функций [18]. В частности, функции $e_1(x)$, $e_2(x)$, $h_1(x)$, $h_2(x)$ выбраны таким образом, чтобы были справедливы равенства
$$
\begin{equation*}
(e_k(x),h_j(x))=\int_{0}^{\pi} e_k(x)h_j(x)\,dx=\delta_{kj},
\end{equation*}
\notag
$$
где $\delta_{kk} = 1$, $\delta_{kj} = 0$, если $j\neq k$, т. е. $\delta_{kj}$ – символ Кронекера. Замечание 2. Рассмотрим неоднородную КЗ Пусть $b = 4(1+\gamma\varepsilon)$, $\gamma\in \mathbb{R}$. Тогда в задаче об устойчивости нулевого решения КЗ (37), (38) реализуется близкий к критическому случай двукратного нулевого собственного значения. Итак, справедливо следующее утверждение. Лемма 5. Пусть $b<4$. Тогда нулевое решение КЗ (37), (38) при достаточно малом $\varepsilon$ асимптотически устойчиво. Оно неустойчиво при $b>4$. При $b= 4$ возникает критический случай в задаче об устойчивости нулевого состояния равновесия КЗ (37), (38). Следовательно, при $b = 4(1+\gamma\varepsilon)$ возникает и может быть изучена соответствующая бифуркационная задача. При таких значениях параметра $b$ КЗ (37), (38) имеет двумерное инвариантное многообразие $M_2(\varepsilon)$ (центральное инвариантное многообразие) и на нем анализ бифуркаций (см. разделы 3–5) может быть сведен к анализу НФ, “укороченный” вариант которой может быть представлен в виде где $y = y(s)$, $z=z(s)$, $s=\varepsilon t$ – “медленное” время. Для построения НФ (43) используем алгоритм из раздела 4. Как и в предыдущих разделах, функции $Q_1(y,z)$, $Q_2(y,z)$ достаточно гладко зависят от $y,z$ в окрестности точки $(0,0)$ и, кроме того, $Q_1(0,0)=Q_2(0,0)=0$.При $b = 4(1+\gamma\varepsilon)$ решения КЗ (37), (38) будем искать в следующем виде:
$$
\begin{equation}
u(t,x,\varepsilon) = y(s)e_1(x)+\varepsilon^{1/2} u_1(y,z,x)+\varepsilon u_2(y,z,x)+\varepsilon^{3/2} u_3(y,z,x)+ o(\varepsilon^{3/2}),
\end{equation}
\tag{44}
$$
где $u_1(y,z,x) = ze_2(x)$, а достаточно гладкие функции $u_2(y,z,x)$, $u_3(y,z,x)$ из суммы (44) находим как решения двух линейных неоднородных КЗ
$$
\begin{equation}
u_{2xxxx}+ 4u_{2xx} = -Q_1(y,z)e_1(x)-\alpha y e_1(x) + a_2 u^2_{1x},
\end{equation}
\tag{45}
$$
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, u_{2x}(y,z,0) = u_{2x}(y,z,\pi) = u_{2xx}(y,z,0) = u_{2xx}(y,z,\pi) = 0, \\ \int_{0}^{\pi} u_2(y,z,x)h_j(x)\,dx = 0, \qquad j=1,2, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{46}
$$
$$
\begin{equation}
u_{3xxxx}+4u_{3xx}= -Q_2(y,z)e_2(x)-\alpha ze_2(x)-4\gamma z e_{2xx}(x) + a_3(u^3_{1x})_x + 2a_2 u_{1x}u_{2x},
\end{equation}
\tag{47}
$$
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, u_{3x}(y,z,0) = u_{3x}(y,z,\pi) = u_{3xx}(y,z,0) = u_{3xx}(y,z,\pi) = 0, \\ \int_{0}^{\pi} u_3(y,z,x)h_j(x)\,dx = 0, \qquad j=1,2. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{48}
$$
В целом реализуется алгоритм построения НФ, аналогичный тому, который был использован в разделе 5 при анализе КЗ (4), (6), т. е. в случае выбора однородных краевых условий Неймана. Изменения касаются выбора краевых условий и, следовательно, анализа соответствующих неоднородных КЗ, включая условия их разрешимости. Такие изменения не носят принципиального характера, поэтому соответствующие построения приведем в сокращенном виде. Условия разрешимости КЗ (45), (46) и (47), (48) позволяют определить, что
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, Q_1(y,z) = -\alpha y + l_1 z^2, \qquad l_1 = \frac{5a_2}{2}, \\ Q_2(y,z) = \nu z + l_2 z^3,\qquad \nu = \frac{16}{3}\gamma - \alpha, \qquad l_2 = -5\biggl(a_3+\frac{a^2_2}{16}\biggr). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
При этом оказалось, что решение КЗ (45), (46), обладающее необходимыми свойствами, имеет следующий вид:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, u_2(y,z,x) = a_2v_2(x)z^2, \\ v_2(x) = -\frac{x^2}{8}+\frac{x}{8}\sin 2x +\frac{1}{384}\cos 4x + \frac{5}{96}\cos 2x + \frac{\pi}{8}\biggl(x-\frac{\sin 2x}{2}\biggr)+\frac{1-2\pi^2}{96}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Еще раз подчеркнем, что при анализе неоднородных КЗ (45), (46) и (47), (48) функции $z(s)$, $y(s)$ играют роль параметров. Итак, НФ (43) приобретает окончательно следующий вид:
$$
\begin{equation}
y ' = -\alpha y + l_1 z^2, \qquad z' = \nu z + l_2 z^3.
\end{equation}
\tag{49}
$$
Система дифференциальных уравнений (49) при $\alpha\neq 0$ и $\nu\neq 0$, $l_2\neq 0$, кроме тривиального состояния равновесия $S_0$ ($y=z=0$), имеет еще два ненулевых состояния
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, S_+\!: \quad z_+ = \sqrt{-\frac{\nu}{l_2}},\quad y_+ = \frac{l_1}{\alpha}z^2_+ = -\frac{\nu l_1}{\alpha l_2}, \\ S_-\!: \quad z_- = -\sqrt{-\frac{\nu}{l_2}},\quad y_- = \frac{l_1}{\alpha}z^2_- = -\frac{\nu l_1}{\alpha l_2}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Такие состояния равновесия существуют, если $\nu/l_2 <0$, и, естественно, они отсутствуют, если $\nu/l_2>0$. Если $l_2<0 \, (\nu>0)$, состояния равновесия $S_+$, $S_-$ асимптотически устойчивы, они неустойчивы, если $l_2>0 \, (\nu<0)$. Напомним, что $S_0 (z=y=0)$ асимптотически устойчиво, если $\nu <0$, и неустойчиво, если $\nu >0$. В результате при $\alpha>0$ справедливо утверждение, аналогичное теоремам из разделов 3–5. Теорема 5. Существует такая положительная постоянная $\varepsilon_0$, что при всех $\varepsilon\in (0,\varepsilon_0)$ нелинейная КЗ (4), (8) при $b = 4(1+\gamma\varepsilon)$ имеет два ненулевых состояния равновесия $E_+$, $E_-$, соответствующих состояниям равновесия $S_+$, $S_-$ НФ (49). Состояния равновесия $E_+$ и $E_-$ наследуют устойчивость $S_+$ и $S_-$ соответственно. Для состояний равновесия $E_+$, $E_-$ справедливы асимптотические формулы где постоянные $y_{\pm}$, $z_{\pm}$ и функция $v_2(x)$ были указаны выше. Как и в разделе 5, случай $\alpha=0$ отличается от случая $\alpha>0$. При $\alpha=0$ КЗ (4), (8), как и КЗ (4), (6), имеет два однопараметрических семейства решений. В данном случае
$$
\begin{equation*}
u_{\pm}(t,x,\varepsilon) = \biggl[(l_1z^2_{\pm}\varepsilon + o(\varepsilon))t + \varepsilon^{1/2}z_{\pm}\biggl(x-\frac{\sin 2x}{2}\biggr)+\varepsilon z^2_{\pm} v_2(x)+ o(\varepsilon)\biggr] + K_{\pm},
\end{equation*}
\notag
$$
где $K_{\pm}$ – две произвольные постоянные, а постоянные $l_1$, $z_{\pm}$ и функция $v_2(x)$ были указаны выше. Эти два семейства существуют, если $\nu/l_2 <0$. При $l_2<0$ ($\nu>0$) они формируют притягивающие интегральные многообразия. Решения, принадлежащие каждому из них, устойчивы. При $l_2>0$ ($\nu<0$) эти интегральные многообразия и формирующие их решения, разумеется, уже неустойчивы. Напомним, что найденные решения КЗ (37), (38) при выбранном $b$ и $\alpha=0$ можно (см. раздел 5) называть состояниями равновесия второго рода. 7. Периодическая краевая задачаРассмотрим КЗ (4), (9). Пусть $u(0,x)=f(x)$. Отметим, что при четной и достаточно гладкой функции $f(x)$ решения КЗ (4), (9) будут также четными функциями пространственной переменной $x$ ($u(t,-x)=u(t,x)$). Данное замечание вытекает из специфики правой части уравнения (4). Добавим, что если $f(x)$ – четная функция, то этим же свойством обладают и функции $(f'(x))^2$, $((f'(x))^3)'$. Если при изучении КЗ (4), (9) ограничиться изучением инвариантного для нее подпространства четных функций, она может быть заменена на КЗ (4), (6), т. е. периодические краевые условия можно заменить на краевые условия Неймана. Пусть сначала $\alpha>0$. Следовательно, вместо КЗ (4), (9) сначала можно изучить вспомогательную КЗ (4), (6). У нее (см. раздел 5) есть два нетривиальных состояния равновесия $S_{\pm}\!: u = u_{\pm}(x,\varepsilon)$. Эти обе функции $u_-(x,\varepsilon)$, $u_+(x,\varepsilon)$, естественно, удовлетворяют КЗ (4), (9) как $2\pi$-периодические и четные функции. Вместе с тем КЗ (4), (9) такова, что ее решения трансляционно инвариантны, т. е. если $u(t,x)$ – решение соответствующей КЗ, то $u(t,x+h)$ также будет решением КЗ (4), (9). Поэтому наряду с состояниями равновесия $u_-(x,\varepsilon)$, $u_+(x,\varepsilon)$ КЗ (4), (9) имеет и состояния равновесия $u_-(x+h,\varepsilon)$, $u_+(x+h,\varepsilon)$, где $h\in \mathbb{R}$. При этом, как вытекает из результатов раздела 5, для $u_-(x,\varepsilon)$, $u_+(x,\varepsilon)$ справедливо тождество Из этих замечаний вытекает справедливость следующего утверждения. Теорема 6. Пусть $\alpha>0$, $b=1+\beta\varepsilon$, где $\beta\in \mathbb{R}$. Существует положительная постоянная $\varepsilon_0$ такая, что при всех $\varepsilon\in (0,\varepsilon_0)$ КЗ (4), (9) имеет однопараметрическое семейство состояний равновесия $E(\alpha,h)$, для каждого из которых справедлива асимптотическая формула где $h$ – произвольная действительная постоянная, $\nu=\beta-\alpha$, $l = -(a^2_2+9a_3)/6\pi$. Семейство этих решений существует, если $\nu/l<0$. При $l<0$ инвариантное многообразие $E(\alpha,h)$ – локальный аттрактор, оно седловое, если $l>0$. Если же $\alpha=0$, то, как и в разделах 5, 6, ситуация изменяется. КЗ (4), (9) имеет двупараметрическое семейство решений где $h,K$ – произвольные действительные постоянные. Это семейство существует, если $\beta/l <0$. При $l<0$ это интегральное многообразие – локальный аттрактор, оно седловое при $l>0$.8. ЗаключениеВ работе изучены локальные бифуркации пяти КЗ. В двух из них – КЗ (4), (5) и (4), (7) – характер бифуркаций при $\alpha>0$ и $\alpha=0$ аналогичен. При выборе соответствующего значения бифуркационного параметра в окрестности однородного состояния равновесия может появиться пространственно неоднородное состояние равновесия как при $\alpha>0$, так и при $\alpha=0$. В остальных КЗ – (4), (6); (4), (8); (4), (9) – варианты $\alpha=0$ и $\alpha>0$ в достаточной мере различаются. Следовательно, переход $\alpha\to 0$ не вполне допустим. При этом первоначальный вариант уравнения из статьи [2] отличается от уравнения, предложенного в монографии [1], не только тем, что имеет дополнительные слагаемые, но и динамика его решений во многих случаях отличается от динамики решений уравнения из монографии [1]. Быть может, это вполне естественно с физической точки зрения. В частности, обе версии уравнения – и Курамото, и Сивашинского – были получены при анализе разных прикладных задач. Уравнение, полученное Курамото, возникло при анализе задач химической кинетики, а уравнение из статьи Сивашинского появилось как модельное уравнение при анализе одной из задач гидродинамики. Эти слагаемые появились благодаря одной из гипотез А. Н. Колмогорова (см. подробнее [2]). В настоящей работе были проанализированы возможные локальные бифуркации для обоих вариантов УКС. Такой анализ использовал единый подход, опирающийся на такие методы теории бесконечномерных динамических систем, как метод инвариантных многообразий и метод НФ, а также асимптотические методы анализа динамических систем. Используемый подход позволил выявить в ряде случаев принципиальную разницу в динамике решений соответствующих КЗ. Так, например, результаты бифуркационного анализа уравнений (1) и (4) во многом различны, если их дополнить краевыми условиями (6), (8), (9). Для КЗ (4), (6); (4), (8); (4), (9) характерны инвариантные многообразия, сформированные пространственно неоднородными решениями. В приложениях к физике такие инвариантные многообразия часто называют паттернами или диссипативными структурами, если такие инвариантные многообразия устойчивы. У КЗ (1), (6); (1), (8); (1), (9) в соответствующем диапазоне параметров уравнений существуют так называемые “динамические” паттерны – интегральные многообразия, сформированные зависящими от эволюционной переменной решениями. Конфликт интересовАвторы заявляют, что у них нет конфликта интересов. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{KulKul23} |
|
||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|