| Теоретическая и математическая физика |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) Существование решений системы двух обыкновенных дифференциальных уравнений с нелинейностью модульно-кубического типа Б. В. Тищенко Физический факультет, Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова, Москва, Россия
Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2023, Volume 215, Issue 2, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0040577923050124 
Реферативные базы данных:
   1. ВведениеОбъектом исследования является нелинейная система обыкновенных дифференциальных уравнений с разными степенями малого параметра при старших производных с дополнительными однородными условиями Неймана, в которой уравнение $\varepsilon^4 u''=f(u,v,x,\varepsilon)$ имеет разрыв первого рода по неизвестной переменной $u$ при $u=0$, а правая часть второго уравнения $\varepsilon^2 v''=g(u,v,x,\varepsilon)$ полагается гладкой. Предложенные специфические степени малого параметра возникают, например, в задачах развития урбоэкосистем [1]: в указанной работе $\varepsilon$ имеет смысл отношения ширины городской окраины к размеру всей урбоэкосистемы, после перенормировки переменных при старших производных естественным образом возникает $\varepsilon^2$, тогда как появление дополнительного множителя $\varepsilon^2$ в первом уравнении моделирует на порядок бо́льшую скорость изменения активатора, по сравнению с ингибитором; в свою очередь, однородные условия Неймана обусловлены отсутствием влияния источников вне расчетной области на происходящее внутри нее. Подобная система, но с бесконечно гладкими правыми частями была исследована ранее в статье [2], имеющей основополагающее значение для настоящей работы и наибольшее сходство с ней с точки зрения проблематики, а также используемых методов анализа. Развитием работы [2] стали работы [3], [4]. В них одними из основных вопросов являлись построение барьерных решений и классы гладкости истинных решений для аналогичной системы с правыми частями, претерпевающими разрыв первого рода лишь в некоторой заранее известной фиксированной точке $x_0$. Настоящая работа во многом представляет собой синтез трех вышеуказанных, однако ее основным содержательным моментом является исследование влияния наличия скачка по искомой переменной $u$, которое требует иного подхода к формулировке определения самого́ решения и условий, обеспечивающих существование решения в том или ином смысле: обобщенном, т. е. сформулированном в терминах дифференциальных включений, сильном в смысле принадлежности $W^2_2$ или квазиклассическом, когда решение является $C^2$-гладким внутри интервала, кроме одной точки, где имеется гладкая сшивка (существование таких решений стационарной задачи в [3], [4] обеспечено тем, что точка разрыва $x_0$ известна и фиксирована). Доказательство существования решений, как и в указанных работах, опирается на асимптотический метод дифференциальных неравенств [5] вместе с методом монотонных итераций [6], модифицированным с учетом особенностей текущей задачи. Важно отметить следующее: в предложенном доказательстве просматриваются общие черты и соображения с подходом Павленко [7] (хотя в работе [7] была рассмотрена задача лишь с одним уравнением), где явно используется теория монотонных операторов при значительно более слабых условиях на разрывную функцию и более общем виде оператора. Тем не менее избранный в настоящей работе путь полностью к методу Павленко не сводится и приводит к получению более специфичных результатов. Ранее в работах [8]–[11] исследовались скалярные задачи с модульными и модульно-кубическими нелинейностями. Они стали основой для статьи [12], где впервые был применен термин “нелинейность модульно-кубического типа” по отношению к скалярным параболической задаче и производной от нее стационарной эллиптической задаче с разрывной по искомой переменной правой частью общего вида $f(u,x,\varepsilon)$. На этом основании настоящую работу можно в определенном смысле считать одним из ответвлений в тематике задач обозначенного типа, которые имеют приложения, например, в разномодульной теории упругости [13] и биофизике [1]. 2. Постановка задачиРассматривается краевая задача
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \varepsilon^4\frac{d^2u}{dx^2}=f(u,v,x,\varepsilon),\quad \varepsilon^2\frac{d^2 v}{dx^2}=g(u,v,x,\varepsilon),\qquad x\in(0,1), \\ u'(0)=u'(1)=0,\qquad v'(0)=v'(1)=0, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{1}
$$
где $\varepsilon\in(0,\varepsilon_0]$ — малый параметр. Пусть $S_u$, $S_v$ – допустимые отрезки изменения зависимых переменных $u$ и $v$, причем $0\in\operatorname{int}(S_u)$. Введем обозначения $I^{+}_u :=S_u\cap\{u>0\}$, $I^{-}_u :=S_u\cap\{u<0\}$. Будем считать, что функция $f(u,v,x,\varepsilon)$ в системе (1) удовлетворяет условию
$$
\begin{equation}
f(u,v,x,\varepsilon):=\begin{cases} f^{(-)}(u,v,x,\varepsilon), & u\in I^{-}_u,\;v\in S_v,\;x\in[0,1],\;\varepsilon\in[0,\varepsilon_0],\\ f^{(+)}(u,v,x,\varepsilon), & u\in\overline{I^{+}_u},\;v\in S_v,\;x\in[0,1],\;\varepsilon\in[0,\varepsilon_0]. \end{cases}
\end{equation}
\tag{2}
$$
Гладкость функций $f^{(\mp)}(u,v,x,\varepsilon)$ и $g(u,v,x,\varepsilon)$ связана с порядком асимптотического приближения, которое требуется построить. Для построения приближения $n$-го порядка необходимо, чтобы1
$$
\begin{equation*}
f^{(\mp)}\in C^{(n+3)}(\;\overline{I^{\mp}_u}\times S_v\times[0,1]\times[0,\varepsilon_0]),\quad g\in C^{(n+3)}(S_u\times S_v\times[0,1]\times[0,\varepsilon_0]).
\end{equation*}
\notag
$$
Замечание 1. В более общем случае, как это сделано в [7], можно брать лишь борелевы при $u=0$ функции $f$, однако ради простоты и наглядности $f$ выбрана непрерывной справа по $u$, чего в полной мере достаточно для демонстрации особенностей настоящего исследования. Определение 1. Назовем пару функций $(u_\varepsilon(x),v_\varepsilon(x))$, таких что2 Определение 2. Назовем пару функций $(u_\varepsilon(x), v_\varepsilon(x))$, таких что Чтобы обеспечить существование обобщенного и/или сильного решений, потребуем выполнения следующих условий. Условие 1. Для всех $(v,x,\varepsilon)\in S_v\times[0,1]\times[0,\varepsilon_0]$ справедливо неравенство Условие 2. Каждое из уравнений $f^{(\mp)}(u,v,x,0)=0$ среди всех решений относительно $u$ имеет единственный изолированный корень $u=\varphi^{(\mp)}(v,x)$, такой что для всех $(v,x)\in S_v\times[0,1]$ выполняются неравенства Положим $h^{(\mp)}(v,x)=g(\varphi^{(\mp)}(v,x),v,x,0)$. Условие 3. Каждое из уравнений $h^{(\mp)}(v,x)=0$ среди всех решений относительно $v$ имеет единственный изолированный корень $v=\psi^{(\mp)}(x)$ на отрезке $[0,1]$, и при этом выполняются неравенства Условие 4. При всех допустимых $u$ и $(v,x,\varepsilon)\in S_v\times[0,1]\times[0,\varepsilon_0]$ правые части уравнений (1) удовлетворяют неравенствам, которые называются условиями квазимонотонности3: Условие 5. Для каждого параметра $x^*\in(0,1)$ выполняются неравенства Условие 7. Для якобиана системы (6) справедливо неравенство Условие 8. Пусть для некоторого $\overline{\varepsilon\kern-1pt}\kern1pt_0$, такого что $\varepsilon_0\geqslant\overline{\varepsilon\kern-1pt}\kern1pt_0>0$, при всех значениях $x\in[0,1]$ и для любых $(v,\varepsilon)\in S_v\times[0,\overline{\varepsilon\kern-1pt}\kern1pt_0]$ либо $f^{(-)}(0,v,x,\varepsilon)=f^{(+)}(0,v,x,\varepsilon)$, либо $\mu(\{x\colon f^{(-)}(0,v,x,\varepsilon)=0\})=0$, где $\mu(\,{\cdot}\,)$ – стандартная мера Лебега на отрезке $[0,1]$. Также в настоящей работе исследуется существование решений задачи (1), у которых $u$-компонента единственный раз пересекает нулевой уровень. Такой случай является идейно основополагающим и наиболее близким к рассмотренному в работе [2]; именно на него автор опирается при построении асимптотики, а также верхних и нижних решений. Назовем точку $x^*$, в которой $u(x^*)=0$, точкой перехода. Определение 3. Пусть $x^*$ – некоторая точка из интервала $(0,1)$. Назовем пару функций $(u_\varepsilon(x), v_\varepsilon(x))$, таких что Далее нас будут интересовать решения $(u_\varepsilon(x),v_\varepsilon(x))$ задачи (1), которые имеют внутренний переходный слой, т. е. резко изменяются в некоторой окрестности от значений $(u_\varepsilon(x),v_\varepsilon(x))$, близких к $(\varphi^{(-)}(\psi^{(-)}(x),x),\psi^{(-)}(x))$, до значений, близких к $(\varphi^{(+)}(\psi^{(+)}(x),x),\psi^{(+)}(x))$. Замечание 2. В большинстве сформулированных выше условий так или иначе фигурируют не всегда явно определимые корни функциональных уравнений. Тем не менее проверка выполнения наложенных, в том числе и на корни, ограничений, к которой в соответствии с асимптотическим методом и сводится исследование исходной проблемы существования решений с внутренним переходным слоем, представляется более простой процедурой по сравнению с прямыми аналитическими и численными методами, особенно с учетом нетривиальной природы разрыва правой части первого уравнения. Как было отмечено во введении, одним из основных этапов доказательства существования решения является построение верхнего и нижнего решений задачи (1) как модификаций асимптотического приближения ее решения, поэтому далее вкратце остановимся на последнем. 3. Асимптотическое приближение решения стационарной задачиПостроение асимптотического приближения решения стационарной задачи в настоящей работе почти дословно повторяет таковое из статьи [2], поэтому здесь укажем лишь основные моменты и имеющиеся минимальные отличия, вызванные спецификой функции $f(u,v,x,\varepsilon)$. Введем обозначение $v^*:=v_{\varepsilon}(x^*)$ и будем искать $n$-е приближения $x^*$ и $v^*$ как
$$
\begin{equation}
\begin{alignedat}{3} x^*&=x^*_n(\varepsilon)+O(\varepsilon^{n+1}), &\quad\text{где}\quad x^*_n(\varepsilon)&:=x_0+\varepsilon x_1+\cdots+\varepsilon^n x_n, \\ v^*&=v^*_n(\varepsilon)+O(\varepsilon^{n+1}), &\quad\text{где}\quad v^*_n(\varepsilon)&:=v_0+\varepsilon v_1+\cdots+\varepsilon^n v_n. \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{8}
$$
Асимптотическое приближение строится отдельно слева и справа от точки $x_n^*$:
$$
\begin{equation}
U_n(x,\varepsilon)=\begin{cases} U_n^{(-)}(x,\varepsilon), & 0\leqslant x\leqslant x_n^*,\\ U_n^{(+)}(x,\varepsilon), & x_n^*<x\leqslant 1, \end{cases}\quad V_n(x,\varepsilon)=\begin{cases} V_n^{(-)}(x,\varepsilon), & 0\leqslant x\leqslant x_n^*,\\ V_n^{(+)}(x,\varepsilon), & x_n^*<x\leqslant 1. \end{cases}
\end{equation}
\tag{9}
$$
Каждая из функций $U_n^{(\mp)}$, $V_n^{(\mp)}$ представляется в виде суммы функций, описывающих решение вдали от переходного слоя и границ отрезка (регулярная часть), функций переходного слоя, зависящих от растянутых переменных $\tau=(x-x_n^*)/\varepsilon$ и $\sigma=(x-x_n^*)/\varepsilon^2$ различных масштабов, и пограничных функций, которые также зависят от различных растянутых переменных $\zeta_{-}=x/\varepsilon$ и $\eta_{-}=x/\varepsilon^2$ в окрестности точки $x=0$ и $\zeta_+=(x-1)/\varepsilon$ и $\eta_+=(x-1)/\varepsilon^2$ в окрестности точки $x=1$:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, U_n^{(\mp)}&= \overline{u}\kern1pt _n^{(\mp)}(x,\varepsilon)+Q_n^{(\mp)}u(\tau,\varepsilon)+ M_n^{(\mp)}u(\sigma,\varepsilon)+P_{n+1}^{(\mp)}u(\zeta_{\mp},\varepsilon)+R_{n+2}^{(\mp)}u(\eta_{\mp},\varepsilon), \\ V_n^{(\mp)}&= \overline{v}\kern1pt _n^{(\mp)}(x,\varepsilon)+Q_n^{(\mp)}v(\tau,\varepsilon)+ M_{n+2}^{(\mp)}v(\sigma,\varepsilon)+P_{n+1}^{(\mp)}v(\zeta_{\mp},\varepsilon)+R_{n+2}^{(\mp)}v(\eta_{\mp},\varepsilon). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Каждая из функций в этих суммах представляется в виде разложения по степеням малого параметра:
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{3} \overline{u}\kern1pt _n^{(\mp)}(x,\varepsilon)&=\sum_{i=0}^n\varepsilon^{i} \overline{u}\kern1pt ^{(\mp)}_{i}(x),&\qquad \overline{v}\kern1pt _n^{(\mp)}(x,\varepsilon)&=\sum_{i=0}^n\varepsilon^{i} \overline{v}\kern1pt ^{(\mp)}_{i}(x), \\ Q_n^{(\mp)}u(\tau,\varepsilon)&=\sum_{i=0}^n\varepsilon^{i}Q^{(\mp)}_{i}u(\tau),&\qquad Q_n^{(\mp)}v(\tau,\varepsilon)&=\sum_{i=0}^n\varepsilon^{i}Q^{(\mp)}_{i}v(\tau), \\ M_n^{(\mp)}u(\sigma,\varepsilon) &=\sum_{i=0}^n\varepsilon^{i}M^{(\mp)}_{i}u(\sigma),&\qquad M_{n+2}^{(\mp)}v(\sigma,\varepsilon)&=\sum_{i=0}^{n+2}\varepsilon^{i}M^{(\mp)}_{i}v(\sigma), \\ P_{n+1}^{(\mp)}u(\zeta_{\mp},\varepsilon) &=\sum_{i=0}^{n+1}\varepsilon^{i} P^{(\mp)}_{i}u(\zeta_{\mp}),&\qquad P_{n+1}^{(\mp)}v(\zeta_{\mp},\varepsilon) &=\sum_{i=0}^{n+1}\varepsilon^{i} P^{(\mp)}_{i}v(\zeta_{\mp}), \\ R_{n+2}^{(\mp)}u(\eta_{\mp},\varepsilon) &=\sum_{i=0}^{n+2}\varepsilon^{i} R^{(\mp)}_{i}u(\eta_{\mp}),&\qquad R_{n+2}^{(\mp)}v(\eta_{\mp},\varepsilon) &=\sum_{i=0}^{n+2}\varepsilon^{i} R^{(\mp)}_{i}v(\eta_{\mp}). \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
Функции $U_n^{(-)}(x,\varepsilon)$ и $U_n^{(+)}(x,\varepsilon)$, а также $V_n^{(-)}(x,\varepsilon)$ и $V_n^{(+)}(x,\varepsilon)$ сшиваются непрерывно в точке $x_n^*$ согласно равенствам
$$
\begin{equation}
U^{(-)}_n(x_n^*,\varepsilon)=U^{(+)}_n(x_n^*,\varepsilon)=0,\qquad V^{(-)}_n(x_n^*,\varepsilon)=v^*_n+O(\varepsilon^{n+1})=V^{(+)}_n(x_n^*,\varepsilon),
\end{equation}
\tag{10}
$$
где входящие соответственно в $x^*_n$ и $v^*_n$ величины $x_0$ и $v_0$ те же, что в условии 5, а $x_k$ и $v_k$, $k=\overline{1,n}$, определяются последовательно при построении функций переходного слоя таким образом, чтобы выполнялись следующие условия на производные функций $U_n^{(\mp)}(x,\varepsilon)$, $V_n^{(\mp)}(x,\varepsilon)$:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \frac{\partial U_n^{(-)}}{\partial x}(x^*_n,\varepsilon)&=\frac{\partial U_n^{(+)}}{\partial x}(x^*_n,\varepsilon)+O(\varepsilon^{n-2}), \\ \frac{\partial V_n^{(-)}}{\partial x}(x^*_n,\varepsilon)&=\frac{\partial V_n^{(+)}}{\partial x} (x^*_n,\varepsilon)+O(\varepsilon^{n-1}). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{11}
$$
В левой цепочке равенств (10) кроется первое отличие (не являющееся принципиальным для алгоритма) настоящей работы от [2]: уровнем сшивки естественным образом выбран $u=0$ (а не $u=\varphi^2(v^*_n,x^*_n)$ – неустойчивый корень из [2], подобного которому здесь может и не быть). Подставим найденные $U_n^{(\mp)}$ и $V_n^{(\mp)}$, которые существуют в силу условий 2, 3, 5, в условия гладкого сшивания (11) и дополнительно разложим полученные выражения с учетом явной зависимости $x_n^*$ от $\varepsilon$, заданной в (8). В нулевом порядке идентично [2] получаем разрешимую относительно $(x_0,v_0)$ в силу условия 5 систему Коэффициенты $v_k$, $x_k$ определяются из условий (11) в $k$-м порядке, $k=1,2,\ldots{}$, приводящих к системе
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \frac{\partial J_0v}{\partial v}\bigg|_{\substack{x=x_0,\\ v=v_0\;}} v_k+ \frac{\partial J_0v}{\partial x}\bigg|_{\substack{x=x_0,\\ v=v_0\;}} x_k+S_k=0, \\ \frac{\partial J_0u}{\partial v}\bigg|_{\substack{x=x_0,\\ v=v_0\;}} v_k+ \frac{\partial J_0u}{\partial x}\bigg|_{\substack{x=x_0,\\ v=v_0\;}} x_k+T_k=0, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{13}
$$
где $S_k$, $T_k$ – известные на каждом шаге величины. Разрешимость системы (13) обеспечивается условием 7. Необходимо отметить, что из условий сшивания (11) первое равенство в (13) получается, в точности как в [2], однако второе равенство приобретает указанный вид несколько иным образом, нежели в [2], из-за того что в настоящей работе, вообще говоря, $f^{(\mp)}(0,v_0,x_0,0)\neq 0$, поэтому в процессе преобразований выражений для $\frac{dM^{(\mp)}u}{d\sigma}(0)$ происходит частичное сокращение слагаемых, а не их обнуление (см. [2]). Погранслойные функции с точностью до обозначений находятся согласно [15]. 4. Существование решения Теорема 1. Пусть выполняются условия 1–7. Тогда при достаточно малых $\varepsilon>0$ существуют, в общем случае различные, сильное $(u^{\mathrm s}_\varepsilon(x),v^{\mathrm s}_\varepsilon(x))$ и обобщенное $(u_\varepsilon(x),v_\varepsilon(x))$ решения задачи (1), для которых пара функций $(U_n(x,\varepsilon),V_n(x,\varepsilon))$ является равномерным на отрезке $x\in[0,1]$ асимптотическим приближением с точностью $O(\varepsilon^{n+1})$, т. е. Эта теорема доказывается методом монотонных итераций, который включает в себя необходимость нахождения верхнего и нижнего решений исследуемой задачи. Верхнее и нижнее решения задачи (1) определяются следующим образом. Определение 4. Пары функций $( \overline{U\kern-1pt}\kern1pt (x), \overline{V\kern-1pt}\kern1pt (x))$ и $( \underline{U\!}\, (x), \underline{V\!}\, (x))$, такие что Для доказательства основных утверждений потребуется следующая лемма. Лемма 1. Пусть $w(x)\in W^{1}_{2}(0,1)$ и $c(x)$, $x\in[0,1]$, – некоторая неотрицательная непрерывная функция, $c(x)\not\equiv 0$, такая что для всех неотрицательных функций $\varphi\in W^{1}_{2}(0,1)$ выполнено неравенство Тогда $w(x)\geqslant 0$ для п. в. $x\in[0,1]$. Доказательство. Положим $\varphi(x)=-w^-(x)$, где $w^-(x)$ – доопределенная нулем неположительная часть $w(x)$, тогда следовательно, $w(x)\geqslant 0$ для п. в. $x\in[0,1]$. $\blacksquare$ Предлагается следующий итерационный процесс:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \begin{alignedat}{3} \varepsilon^4\frac{d^2 \overline{u}\kern1pt ^{(k)}}{dx^2}-c \overline{u}\kern1pt ^{(k)}&=f( \overline{u}\kern1pt ^{(k-1)}, \overline{v}\kern1pt ^{(k-1)},x,\varepsilon)-c \overline{u}\kern1pt ^{(k-1)}& \quad&\text{для п. в.}\;\, x\in(0,1), \\ \varepsilon^2\frac{d^2 \overline{v}\kern1pt ^{(k)}}{dx^2}-c \overline{v}\kern1pt ^{(k)}&=g( \overline{u}\kern1pt ^{(k-1)}, \overline{v}\kern1pt ^{(k-1)},x,\varepsilon)-c \overline{v}\kern1pt ^{(k-1)}& \quad&\text{для всех}\;\,x\in(0,1), \end{alignedat}\\ \frac{d \overline{u}\kern1pt ^{(k)}}{dx}(0)=\frac{d \overline{u}\kern1pt ^{(k)}}{dx} (1)=0,\qquad \frac{d \overline{v}\kern1pt ^{(k)}}{dx}(0)=\frac{d \overline{v}\kern1pt ^{(k)}}{dx} (1)=0; \end{gathered}
\end{equation}
\tag{15}
$$
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \begin{alignedat}{3} \varepsilon^4\frac{d^2 \underline{u}\kern1pt ^{(k)}}{dx^2}-c \underline{u}\kern1pt ^{(k)}&=f( \underline{u}\kern1pt ^{(k-1)}, \underline{v}\kern1pt ^{(k-1)},x,\varepsilon)-c \underline{u}\kern1pt ^{(k-1)}& \quad&\text{для п. в.}\;\, x\in(0,1), \\ \varepsilon^2\frac{d^2 \underline{v}\kern1pt ^{(k)}}{dx^2}-c \underline{v}\kern1pt ^{(k)}&=g( \underline{u}\kern1pt ^{(k-1)}, \underline{v}\kern1pt ^{(k-1)},x,\varepsilon)-c \underline{v}\kern1pt ^{(k-1)}& \quad&\text{для всех}\;\,x\in(0,1), \end{alignedat}\\ \frac{d \underline{u}\kern1pt ^{(k)}}{dx}(0)=\frac{d \underline{u}\kern1pt ^{(k)}}{dx} (1)=0,\qquad \frac{d \underline{v}\kern1pt ^{(k)}}{dx}(0)=\frac{d \underline{v}\kern1pt ^{(k)}}{dx} (1)=0; \end{gathered}
\end{equation}
\tag{16}
$$
здесь $c$ – достаточно большая положительная константа, $k=1,2,\ldots{}$, и мы полагаем $( \overline{u}\kern1pt ^{(0)}, \overline{v}\kern1pt ^{(0)})=( \overline{U\kern-1pt}\kern1pt , \overline{V\kern-1pt}\kern1pt )$ и $( \underline{u}\kern1pt ^{(0)}, \underline{v}\kern1pt ^{(0)})=( \underline{U\!}\, , \underline{V\!}\, )$. Лемма 2. Пусть выполняются условия 1–7. Тогда последовательность верхних решений $( \overline{u}\kern1pt ^{(k)}, \overline{v}\kern1pt ^{(k)})$ сходится к сильному решению $( \overline{u}\kern1pt _\varepsilon, \overline{v}\kern1pt _\varepsilon)$ задачи (1), а последовательность нижних решений $( \underline{u}\kern1pt ^{(k)}, \underline{v}\kern1pt ^{(k)})$ сходится к обобщенному решению $( \underline{u}\kern1pt _\varepsilon, \underline{v}\kern1pt _\varepsilon)$ задачи (1), причем Доказательство. Рассмотрим первую итерацию:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \begin{alignedat}{3} \varepsilon^4\frac{d^2 \overline{u}\kern1pt ^{(1)}}{dx^2}-c \overline{u}\kern1pt ^{(1)}&=f( \overline{U\kern-1pt}\kern1pt , \overline{V\kern-1pt}\kern1pt ,x,\varepsilon)-c \overline{U\kern-1pt}\kern1pt & \quad&\text{для п. в.}\;\, x\in(0,1), \\ \varepsilon^2\frac{d^2 \overline{v}\kern1pt ^{(1)}}{dx^2}-c \overline{v}\kern1pt ^{(1)}&=g( \overline{U\kern-1pt}\kern1pt , \overline{V\kern-1pt}\kern1pt ,x,\varepsilon)-c \overline{V\kern-1pt}\kern1pt & \quad&\text{для всех}\;\, x\in(0,1), \\ \end{alignedat}\\ \frac{d \overline{u}\kern1pt ^{(1)}}{dx}(0)=\frac{d \overline{u}\kern1pt ^{(1)}}{dx} (1)=0,\qquad \frac{d \overline{v}\kern1pt ^{(1)}}{dx}(0)=\frac{d \overline{v}\kern1pt ^{(1)}}{dx} (1)=0; \end{gathered}
\end{equation}
\tag{17}
$$
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \begin{alignedat}{3} \varepsilon^4\frac{d^2 \underline{u}\kern1pt ^{(1)}}{dx^2}-c \underline{u}\kern1pt ^{(1)}&=f( \underline{U\!}\, , \underline{V\!}\, ,x,\varepsilon)-c \underline{U\!}\, & \quad&\text{для п. в.}\;\, x\in(0,1), \\ \varepsilon^2\frac{d^2 \underline{v}\kern1pt ^{(1)}}{dx^2}-c \underline{v}\kern1pt ^{(1)}&=g( \underline{U\!}\, , \underline{V\!}\, ,x,\varepsilon)-c \underline{V\!}\, & \quad&\text{для всех}\;\, x\in(0,1), \end{alignedat}\\ \frac{d \underline{u}\kern1pt ^{(1)}}{dx}(0)=\frac{d \underline{u}\kern1pt ^{(1)}}{dx}(1)=0,\qquad \frac{d \underline{v}\kern1pt ^{(1)}}{dx}(0)=\frac{d \underline{v}\kern1pt ^{(1)}}{dx}(1)=0. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{18}
$$
Введем потенциалы
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \mathrm U[u,v](x,\varepsilon)&=\int_{0}^{1}G^{u}(x-s)\bigl(f(u,v,s,\varepsilon)-c u\bigr)\,ds, \\ \mathrm V[u,v](x,\varepsilon)&=\int_{0}^{1}G^{v}(x-s)\bigl(g(u,v,s,\varepsilon)-c v\bigr)\,ds, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{19}
$$
где $G^{u}(x-s)$ и $G^{v}(x-s)$ – функции Грина задач (15), (16). Заметим, что при непрерывных $u(x)$, $v(x)$ имеем $f(u(x),v(x),x,\varepsilon)\in L^2(0,1)$ (это следует из того, что множество нулей непрерывной функции $u(x)$ замкнуто, функция $f$ кусочно непрерывна, а функции $f^{(\mp)}$ гладкие) и, очевидно, $g(u(x),v(x),x,\varepsilon)\in C[0,1]$, тогда
$$
\begin{equation}
\mathrm U[u,v]\in C^1[0,1]\cap W^2_2(0,1),\qquad \mathrm V[u,v]\in C^1[0,1]\cap C^2(0,1),
\end{equation}
\tag{20}
$$
где гладкость $\mathrm U[u,v]$ доказывается путем аппроксимации $f(u(x),v(x),x,\varepsilon)\in L^2(0,1)$ бесконечно гладкими финитными функциями (см. [14]) с учетом того, что
$$
\begin{equation*}
\Gamma(x)=-\frac{1}{2}c^{-1/2}\varepsilon^2\cdot\exp(-c^{1/2}\varepsilon^{-2}|x|)
\end{equation*}
\notag
$$
является фундаментальным решением оператора $d^2/dx^2-c\cdot\varepsilon^{-4}$. Итак,
$$
\begin{equation*}
( \overline{u}\kern1pt ^{(1)}, \overline{v}\kern1pt ^{(1)})=(\mathrm U[\, \overline{U\kern-1pt}\kern1pt , \overline{V\kern-1pt}\kern1pt \,],\mathrm V[\, \overline{U\kern-1pt}\kern1pt , \overline{V\kern-1pt}\kern1pt \,]),\qquad ( \underline{u}\kern1pt ^{(1)}, \underline{v}\kern1pt ^{(1)})=(\mathrm U[\, \underline{U\!}\, , \underline{V\!}\, \,],\mathrm V[\, \underline{U\!}\, , \underline{V\!}\, \,])
\end{equation*}
\notag
$$
являются решениями соответственно задач (17) и (18).
Теперь домножим уравнения (17) и (18) на произвольную неотрицательную функцию $\varphi(x)$ из $W^1_2(0,1)$, проинтегрируем по частям с учетом граничных условий и, принимая во внимание (A${}_2$), получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\int_{0}^{1}(\varepsilon^4( \overline{U\kern-1pt}\kern1pt - \overline{u}\kern1pt ^{(1)})'\cdot\varphi'+c( \overline{U\kern-1pt}\kern1pt - \overline{u}\kern1pt ^{(1)})\cdot\varphi)\,dx\geqslant 0, \\ &\int_{0}^{1}(\varepsilon^2( \overline{V\kern-1pt}\kern1pt - \overline{v}\kern1pt ^{(1)})'\cdot\varphi'+c( \overline{V\kern-1pt}\kern1pt - \overline{v}\kern1pt ^{(1)})\cdot\varphi)\,dx\geqslant 0, \\ &\int_{0}^{1}(\varepsilon^4( \underline{u}\kern1pt ^{(1)}- \underline{U\!}\, )'\cdot\varphi'+c( \underline{u}\kern1pt ^{(1)}- \underline{U\!}\, )\cdot\varphi)\,dx\geqslant 0, \\ &\int_{0}^{1}(\varepsilon^2( \underline{v}\kern1pt ^{(1)}- \underline{V\!}\, )'\cdot\varphi'+c( \underline{v}\kern1pt ^{(1)}- \underline{V\!}\, )\cdot\varphi)\,dx\geqslant 0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Применяя лемму 1, заключаем, что $ \underline{U\!}\, \leqslant \underline{u}\kern1pt ^{(1)}$, $ \overline{u}\kern1pt ^{(1)}\leqslant \overline{U\kern-1pt}\kern1pt $, $ \underline{V\!}\, \leqslant \underline{v}\kern1pt ^{(1)}$, $ \overline{v}\kern1pt ^{(1)}\leqslant \overline{V\kern-1pt}\kern1pt $ при всех $x\in[0,1]$ в силу непрерывности функций.
Далее вычтем (18) из (17), получим
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \begin{aligned} \, -\varepsilon^4( \overline{u}\kern1pt ^{(1)}&{}- \underline{u}\kern1pt ^{(1)})''+c( \overline{u}\kern1pt ^{(1)}- \underline{u}\kern1pt ^{(1)})= \\ &=f( \underline{U\!}\, , \underline{V\!}\, ,x,\varepsilon)-f( \overline{U\kern-1pt}\kern1pt , \overline{V\kern-1pt}\kern1pt ,x,\varepsilon)+c( \overline{U\kern-1pt}\kern1pt - \underline{U\!}\, ) \quad\text{для п. в.}\;\, x\in(0,1), \end{aligned}\\ ( \overline{u}\kern1pt ^{(1)}- \underline{u}\kern1pt ^{(1)})'(0)=( \overline{u}\kern1pt ^{(1)}- \underline{u}\kern1pt ^{(1)})'(1)=0; \end{gathered}
\end{equation}
\tag{21}
$$
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \begin{aligned} \, -\varepsilon^2( \overline{v}\kern1pt ^{(1)}&{}- \underline{v}\kern1pt ^{(1)})''+c( \overline{v}\kern1pt ^{(1)}- \underline{v}\kern1pt ^{(1)})= \\ &=g( \underline{U\!}\, , \underline{V\!}\, ,x,\varepsilon)-g( \overline{U\kern-1pt}\kern1pt , \overline{V\kern-1pt}\kern1pt ,x,\varepsilon)+c( \overline{V\kern-1pt}\kern1pt - \underline{V\!}\, ) \quad\text{для всех}\;\,x\in(0,1), \end{aligned}\\ ( \overline{v}\kern1pt ^{(1)}- \underline{v}\kern1pt ^{(1)})'(0)=( \overline{v}\kern1pt ^{(1)}- \underline{v}\kern1pt ^{(1)})'(1)=0. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{22}
$$
Из уравнений (22) в силу условия 3 и включений (20), гарантирующих гладкость функций $ \overline{v}\kern1pt ^{(1)}$, $ \underline{v}\kern1pt ^{(1)}$, согласно [6] немедленно следует, что $ \underline{v}\kern1pt ^{(1)}\leqslant \overline{v}\kern1pt ^{(1)}$ для $x\in[0,1]$.
Отдельного исследования требует задача (21). Рассмотрим в общем виде правую часть уравнения (21). Заметим, что при достаточно большой константе $c$ функции $f^{(\mp)}$ в силу гладкости по всем переменным на соответствующих множествах $\overline{I_u^{\mp}}\times S_v\times[0,1]$ удовлетворяют одностороннему условию Липшица
$$
\begin{equation}
f^{(\mp)}( \overline{u}\kern1pt ,v,x,\varepsilon)-f^{(\mp)}( \underline{u}\kern1pt ,v,x,\varepsilon)\leqslant c( \overline{u}\kern1pt - \underline{u}\kern1pt )
\end{equation}
\tag{23}
$$
для всех $ \underline{u}\kern1pt \leqslant \overline{u}\kern1pt $, $[ \underline{u}\kern1pt , \overline{u}\kern1pt ]\subseteq\overline{I_u^{\mp}}$, $v\in S_v$, $x\in[0,1]$, откуда
$$
\begin{equation}
\begin{alignedat}{5} &f^{(-)}(0,v,x,\varepsilon)-f^{(-)}( \underline{u}\kern1pt ,v,x,\varepsilon)\leqslant-c \underline{u}\kern1pt ,&\qquad & \underline{u}\kern1pt \leqslant 0,&\quad v\in S_v,&\quad x\in[0,1], \\ &f^{(+)}( \overline{u}\kern1pt ,v,x,\varepsilon)-f^{(+)}(0,v,x,\varepsilon)\leqslant c \overline{u}\kern1pt ,&\qquad & \overline{u}\kern1pt \geqslant 0,&\quad v\in S_v,&\quad x\in[0,1], \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{24}
$$
а значит, при $ \underline{u}\kern1pt \leqslant 0\leqslant \overline{u}\kern1pt $
$$
\begin{equation}
f^{(-)}( \underline{u}\kern1pt ,v,x,\varepsilon)-f^{(+)}( \overline{u}\kern1pt ,v,x,\varepsilon)+c( \overline{u}\kern1pt - \underline{u}\kern1pt )\geqslant f^{(-)}(0,v,x,\varepsilon)-f^{(+)}(0,v,x,\varepsilon)\geqslant 0
\end{equation}
\tag{25}
$$
в силу условия 1, поэтому при $ \underline{u}\kern1pt \leqslant \overline{u}\kern1pt $, $[ \underline{u}\kern1pt , \overline{u}\kern1pt ]\in S_u$
$$
\begin{equation}
f( \overline{u}\kern1pt ,v,x,\varepsilon)-f( \underline{u}\kern1pt ,v,x,\varepsilon)\leqslant c ( \overline{u}\kern1pt - \underline{u}\kern1pt ),\qquad v\in S_v,\qquad x\in[0,1].
\end{equation}
\tag{26}
$$
В силу уравнений (21), условия 4 (которое влечет $f( \underline{U\!}\, , \underline{V\!}\, ,x,\varepsilon)\geqslant f( \underline{U\!}\, , \overline{V\kern-1pt}\kern1pt ,x,\varepsilon)$) и соотношения (26) к функции $ \overline{u}\kern1pt ^{(1)}- \underline{u}\kern1pt ^{(1)}$ применима лемма 1, а стало быть, объединяя полученные неравенства, имеем
$$
\begin{equation}
\underline{U\!}\, \leqslant \underline{u}\kern1pt ^{(1)}\leqslant \overline{u}\kern1pt ^{(1)}\leqslant \overline{U\kern-1pt}\kern1pt ,\quad \underline{V\!}\, \leqslant \underline{v}\kern1pt ^{(1)}\leqslant \overline{v}\kern1pt ^{(1)}\leqslant \overline{V\kern-1pt}\kern1pt ,\qquad x\in[0,1].
\end{equation}
\tag{27}
$$
Доказательство того, что $( \overline{u}\kern1pt ^{(1)}, \overline{v}\kern1pt ^{(1)})$ и $( \underline{u}\kern1pt ^{(1)}, \underline{v}\kern1pt ^{(1)})$ являются верхним и нижним решениями в смысле определения 4, производится аналогично [6] с учетом (26), но в слабом смысле. Далее находятся
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, ( \overline{u}\kern1pt ^{(k)}, \overline{v}\kern1pt ^{(k)})&=(\mathrm U[ \overline{u}\kern1pt ^{(k-1)}, \overline{v}\kern1pt ^{(k-1)}],\mathrm V[ \overline{u}\kern1pt ^{(k-1)}, \overline{v}\kern1pt ^{(k-1)}]), \\ ( \underline{u}\kern1pt ^{(k)}, \underline{v}\kern1pt ^{(k)})&=(\mathrm U[\, \underline{u}\kern1pt ^{(k-1)}, \underline{v}\kern1pt ^{(k-1)}],\mathrm V[\, \underline{u}\kern1pt ^{(k-1)}, \underline{v}\kern1pt ^{(k-1)}]), \end{aligned} \qquad k=2,3,\ldots,
\end{equation*}
\notag
$$
которые имеют ту же гладкость, что и первые итерации:
$$
\begin{equation}
\overline{u}\kern1pt ^{(k)}, \underline{u}\kern1pt ^{(k)}\in C^{1}[0,1]\cap W^2_2(0,1),\quad \overline{v}\kern1pt ^{(k)}, \underline{v}\kern1pt ^{(k)}\in C^{1}[0,1]\cap C^2(0,1).
\end{equation}
\tag{28}
$$
Аналогично [6] по индукции с применением леммы 2 доказываются неравенства
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, & \underline{U\!}\, \leqslant \underline{u}\kern1pt ^{(1)}\leqslant\cdots\leqslant \underline{u}\kern1pt ^{(k)}\leqslant \overline{u}\kern1pt ^{(k)}\leqslant\cdots\leqslant \overline{u}\kern1pt ^{(1)}\leqslant \overline{U\kern-1pt}\kern1pt , \\ & \underline{V\!}\, \leqslant \underline{v}\kern1pt ^{(1)}\leqslant\cdots\leqslant \underline{v}\kern1pt ^{(k)}\leqslant \overline{v}\kern1pt ^{(k)}\leqslant\cdots\leqslant \overline{v}\kern1pt ^{(1)}\leqslant \overline{V\kern-1pt}\kern1pt , \end{aligned}\qquad x\in[0,1],\quad k=2,3,\ldots,
\end{equation}
\tag{29}
$$
и тот факт, что $( \overline{u}\kern1pt ^{(k)}, \overline{v}\kern1pt ^{(k)})$, $( \underline{u}\kern1pt ^{(k)}, \underline{v}\kern1pt ^{(k)})$ являются верхними и нижними решениями в смысле определения 4.
В силу (29) для всеx $x\in[0,1]$ существуют поточечные ограниченные пределы
$$
\begin{equation}
\begin{alignedat}{3} \overline{u}\kern1pt _\varepsilon(x)&:=\lim_{k\to\infty} \overline{u}\kern1pt ^{(k)},&\qquad \overline{v}\kern1pt _\varepsilon(x)&:=\lim_{k\to\infty} \overline{v}\kern1pt ^{(k)}, \\ \underline{u}\kern1pt _\varepsilon(x)&:=\lim_{k\to\infty} \underline{u}\kern1pt ^{(k)},&\qquad \underline{v}\kern1pt _\varepsilon(x)&:=\lim_{k\to\infty} \underline{v}\kern1pt ^{(k)}, \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{30}
$$
откуда следует равномерная ограниченность потенциалов
$$
\begin{equation*}
\mathrm U[ \overline{u}\kern1pt ^{(k)}, \overline{v}\kern1pt ^{(k)}],\quad \mathrm V[ \overline{u}\kern1pt ^{(k)}, \overline{v}\kern1pt ^{(k)}],\qquad \mathrm U[\, \underline{u}\kern1pt ^{(k)}, \underline{v}\kern1pt ^{(k)}],\quad\mathrm V[\, \underline{u}\kern1pt ^{(k)}, \underline{v}\kern1pt ^{(k)}],\qquad k=2,3,\ldots{}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку последовательности функций
$$
\begin{equation*}
f( \overline{u}\kern1pt ^{(k)}, \overline{v}\kern1pt ^{(k)},x,\varepsilon)-c \overline{u}\kern1pt ^{(k)},\quad g( \overline{u}\kern1pt ^{(k)}, \overline{v}\kern1pt ^{(k)},x,\varepsilon)-c \overline{v}\kern1pt ^{(k)},\qquad k=2,3,\ldots,
\end{equation*}
\notag
$$
монотонно не убывают, а последовательности функций
$$
\begin{equation*}
f( \underline{u}\kern1pt ^{(k)}, \underline{v}\kern1pt ^{(k)},x,\varepsilon)-c \underline{u}\kern1pt ^{(k)},\quad g( \underline{u}\kern1pt ^{(k)}, \underline{v}\kern1pt ^{(k)},x,\varepsilon)-c \underline{v}\kern1pt ^{(k)},\qquad k=2,3,\ldots,
\end{equation*}
\notag
$$
монотонно не возрастают, для этих потенциалов выполнены все условия теоремы Леви, что влечет равномерную сходимость в (30) к предельным функциям, откуда $ \overline{u}\kern1pt _\varepsilon(x), \underline{u}\kern1pt _\varepsilon(x), \overline{v}\kern1pt _\varepsilon(x), \underline{v}\kern1pt _\varepsilon(x)\in C[0,1]$ и
$$
\begin{equation}
\underline{U\!}\, \leqslant\cdots\leqslant \underline{u}\kern1pt _\varepsilon\leqslant \overline{u}\kern1pt _\varepsilon\leqslant\cdots\leqslant \overline{U\kern-1pt}\kern1pt ,\quad \underline{V\!}\, \leqslant\cdots\leqslant \underline{v}\kern1pt _\varepsilon\leqslant \overline{v}\kern1pt _\varepsilon\leqslant\cdots\leqslant \overline{V\kern-1pt}\kern1pt ,\qquad x\in[0,1].
\end{equation}
\tag{31}
$$
Опять же из теоремы Леви и непрерывности вышеназванных предельных функций, следует, что п. в. на $[0,1]$ существуют пределы
$$
\begin{equation}
\begin{alignedat}{3} \overline{\mathcal F}(x)&:=\lim_{k\to\infty} f( \overline{u}\kern1pt ^{(k)}, \overline{v}\kern1pt ^{(k)},x,\varepsilon),&\qquad \overline{\mathcal G}(x)&:=\lim_{k\to\infty} g( \overline{u}\kern1pt ^{(k)}, \overline{v}\kern1pt ^{(k)},x,\varepsilon), \\ \underline{\mathcal F}(x)&:=\lim_{k\to\infty} f( \underline{u}\kern1pt ^{(k)}, \underline{v}\kern1pt ^{(k)},x,\varepsilon),&\qquad \underline{\mathcal G}(x)&:=\lim_{k\to\infty} g( \underline{u}\kern1pt ^{(k)}, \underline{v}\kern1pt ^{(k)},x,\varepsilon),\\ \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{32}
$$
принадлежащие пространству $L^{1}(0,1)$. Функция $g(u,v,x,\varepsilon)$ гладкая по всем переменным, таким образом, попросту
$$
\begin{equation}
\overline{\mathcal G}(x)=g( \overline{u}\kern1pt _\varepsilon, \overline{v}\kern1pt _\varepsilon,x,\varepsilon),\qquad \underline{\mathcal G}(x)=g( \underline{u}\kern1pt _\varepsilon, \underline{v}\kern1pt _\varepsilon,x,\varepsilon).
\end{equation}
\tag{33}
$$
Уже на данном этапе известны, пусть даже абстрактно, непрерывные функции $ \overline{u}\kern1pt _\varepsilon(x)$ и $ \underline{u}\kern1pt _\varepsilon(x)$; особый интерес представляют их множества нулей. Для последовательности верхних решений в силу монотонности итераций (29), правой непрерывности по $u$ в нуле функции $f(u,v,x,\varepsilon)$ и ее кусочной непрерывности (см. формулу (2) и классы гладкости для $f^{(\mp)}$) независимо от структуры множества нулей функции $ \overline{u}\kern1pt _\varepsilon(x)$ справедливо поточечное равенство для верхних решений:
$$
\begin{equation*}
\overline{\mathcal F}(x)= \lim_{k\to\infty} f( \overline{u}\kern1pt ^{(k)}, \overline{v}\kern1pt ^{(k)},x,\varepsilon)= f(\lim_{k\to\infty} \overline{u}\kern1pt ^{(k)},\lim_{k\to\infty} \overline{v}\kern1pt ^{(k)},x,\varepsilon)= f( \overline{u}\kern1pt _\varepsilon, \overline{v}\kern1pt _\varepsilon,x,\varepsilon)\in L^2(0,1).
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда с учетом (32), (33) следует, что $(\mathrm U[ \overline{u}\kern1pt _\varepsilon, \overline{v}\kern1pt _\varepsilon],\mathrm V[ \overline{u}\kern1pt _\varepsilon, \overline{v}\kern1pt _\varepsilon])$ обращает в тождества уравнения задачи (1) (в соответствующих смыслах) и удовлетворяет граничным условиям, следовательно, $( \overline{u}\kern1pt _\varepsilon, \overline{v}\kern1pt _\varepsilon)$ – сильное решение задачи (1).
Для нижней последовательности ситуация существенно иная. Обозначим через $\underline{\Omega}$ множество нулей функции $ \underline{u}\kern1pt _\varepsilon(x)$. Если $\mu(\underline{\Omega})=0$, то
$$
\begin{equation*}
f(\lim_{k\to\infty} \underline{u}\kern1pt ^{(k)},\lim_{k\to\infty} \underline{v}\kern1pt ^{(k)},x,\varepsilon)= f(0, \underline{v}\kern1pt _\varepsilon,x,\varepsilon)\quad \text{для п. в.} \;\, x\in[0,1].
\end{equation*}
\notag
$$
В противном случае, при $\mu(\underline{\Omega})\neq 0$, вообще говоря,
$$
\begin{equation*}
\underline{\mathcal F}(x)= \lim_{k\to\infty} f( \underline{u}\kern1pt ^{(k)}, \underline{v}\kern1pt ^{(k)},x,\varepsilon)= f(\lim_{k\to\infty} \underline{u}\kern1pt ^{(k)},\lim_{k\to\infty} \underline{v}\kern1pt ^{(k)},x,\varepsilon)\neq f( \underline{u}\kern1pt _\varepsilon, \underline{v}\kern1pt _\varepsilon,x,\varepsilon),
\end{equation*}
\notag
$$
поскольку имеем
$$
\begin{equation*}
f(\lim_{k\to\infty} \underline{u}\kern1pt ^{(k)},\lim_{k\to\infty} \underline{v}\kern1pt ^{(k)},x,\varepsilon)= f^{(-)}(0, \underline{v}\kern1pt _\varepsilon,x,\varepsilon),\qquad x\in\underline{\Omega},
\end{equation*}
\notag
$$
вместо $f^{(+)}(0, \underline{v}\kern1pt _\varepsilon,x,\varepsilon)$.
Введем потенциал
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \widetilde{\mathrm U}[u,v](x,\varepsilon) :=\int_{0}^{1}G^{u}(x-s)\bigl(\tilde f(u,v,s,\varepsilon)-c u\bigr)\,ds, \\ \text{где}\quad \tilde f(u,v,x,\varepsilon)=\begin{cases} f(u,v,x,\varepsilon), & x\in[0,1]\backslash\underline{\Omega},\\ f^{(-)}(0,v,x,\varepsilon), & x\in\underline{\Omega}, \end{cases} \end{gathered}
\end{equation}
\tag{34}
$$
обладающий при $u(x),v(x)\in C[0,1]$ идентичной $\mathrm U[u,v]$ гладкостью (20), тогда
$$
\begin{equation*}
\underline{u}\kern1pt _\varepsilon= \lim_{k\to\infty}\mathrm U[\, \underline{u}\kern1pt ^{(k)}, \underline{v}\kern1pt ^{(k)}]= \mathrm U[\lim_{k\to\infty} \underline{u}\kern1pt ^{(k)},\lim_{k\to\infty} \underline{v}\kern1pt ^{(k)}]= \widetilde{\mathrm U}[\, \underline{u}\kern1pt _\varepsilon, \underline{v}\kern1pt _\varepsilon].
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку $f( \underline{u}\kern1pt _\varepsilon, \underline{v}\kern1pt _\varepsilon,x,\varepsilon)\in L^2(0,1)$, пара $(\widetilde{\mathrm U}[\, \underline{u}\kern1pt _\varepsilon, \underline{v}\kern1pt _\varepsilon],\mathrm V[\, \underline{u}\kern1pt _\varepsilon, \underline{v}\kern1pt _\varepsilon\,])$ будет обращать в тождество уравнения модифицированной задачи (1), в которой $f$ заменена на $\tilde f$, а это означает, что $( \underline{u}\kern1pt _\varepsilon, \underline{v}\kern1pt _\varepsilon)$ будет как минимум обобщенным решением задачи (1).
В случае $\mu(\underline{\Omega})\neq 0$ необходимым образом получаем равенство $0=f^{(-)}(0,v,x,\varepsilon)$ для п. в. $x\in\underline{\Omega}$, следовательно, при наложении условия 8 $\widetilde{\mathrm U}[\, \underline{u}\kern1pt _\varepsilon, \underline{v}\kern1pt _\varepsilon\,]=\mathrm U[\, \underline{u}\kern1pt _\varepsilon, \underline{v}\kern1pt _\varepsilon\,]$. Тогда $( \underline{u}\kern1pt _\varepsilon, \underline{v}\kern1pt _\varepsilon)$ – сильное решение задачи (1). Лемма доказана. $\blacksquare$ Конкретные верхнее и нижнее решения задачи (1) строятся согласно асимптотическому методу дифференциальных неравенств [2], [5] как модификации асимптотического приближения решения этой задачи. Далее мы будем обозначать нижним индексом $n$ верхнее и нижнее решения, построенные с использованием асимптотического приближения $n$-го порядка. Как и асимптотическое приближение (9), будем строить их из двух частей:
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{3} \overline{U\kern-1pt}\kern1pt _n(x,\varepsilon)&=\begin{cases} \overline{U\kern-1pt}\kern1pt _n^{(-)}(x,\varepsilon), & 0\leqslant x\leqslant\overline{x},\\ \overline{U\kern-1pt}\kern1pt _n^{(+)}(x,\varepsilon), &\overline{x}< x\leqslant 1, \end{cases}&\qquad \overline{V\kern-1pt}\kern1pt _n(x,\varepsilon)&=\begin{cases} \overline{V\kern-1pt}\kern1pt _n^{(-)}(x,\varepsilon), & 0\leqslant x\leqslant\overline{x},\\ \overline{V\kern-1pt}\kern1pt _n^{(+)}(x,\varepsilon), & \overline{x}<x\leqslant 1; \end{cases} \\ \underline{U\!}\, _n(x,\varepsilon)&=\begin{cases} \underline{U\!}\, _n^{(-)}(x,\varepsilon), & 0\leqslant x\leqslant\underline{x},\\ \underline{U\!}\, _n^{(+)}(x,\varepsilon), &\underline{x}<x\leqslant 1, \end{cases}&\qquad \underline{V\!}\, _n(x,\varepsilon)&=\begin{cases} \underline{V\!}\, _n^{(-)}(x,\varepsilon), & 0\leqslant x\leqslant\underline{x},\\ \underline{V\!}\, _n^{(+)}(x,\varepsilon), &\underline{x}<x\leqslant 1. \end{cases} \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
Введем точки $\overline{x}$ и $\underline{x}$ как
$$
\begin{equation}
\overline{x}=x^*_{n+1}(\varepsilon)-\varepsilon^{n+1}\delta,\qquad\underline{x}=x^*_{n+1}(\varepsilon)+\varepsilon^{n+1}\delta,
\end{equation}
\tag{35}
$$
а также введем новые переменные
$$
\begin{equation}
\overline{\tau}=\frac{x-\overline{x}}{\varepsilon},\qquad\overline{\sigma}=\frac{x-\overline{x}}{\varepsilon^2},\qquad \underline{\tau}=\frac{x-\underline{x}}{\varepsilon},\qquad\underline{\sigma}=\frac{x-\underline{x}}{\varepsilon^2}.
\end{equation}
\tag{36}
$$
Верхнее и нижнее решения сшиваются следующим образом:
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{3} \overline{U\kern-1pt}\kern1pt _n^{(-)}(\overline{x},\varepsilon)&= \overline{U\kern-1pt}\kern1pt _n^{(+)}(\overline{x},\varepsilon),&\qquad \overline{V\kern-1pt}\kern1pt _n^{(-)}(\overline{x},\varepsilon)=v^*_{n+1}(\varepsilon)+\varepsilon^{n+1}\mu&= \overline{V\kern-1pt}\kern1pt _n^{(+)}(\overline{x},\varepsilon), \\ \underline{U\!}\, _n^{(-)}(\underline{x},\varepsilon)&= \underline{U\!}\, _n^{(+)}(\underline{x},\varepsilon),&\qquad \underline{V\!}\, _n^{(-)}(\underline{x},\varepsilon)=v^*_{n+1}(\varepsilon)-\varepsilon^{n+1}\mu&=\underline V_n^{(+)}(\underline{x},\varepsilon). \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
Введем обозначения
$$
\begin{equation*}
L_{u,\varepsilon}(u,v):=-\varepsilon^4\frac{d^2u}{dx^2}+f(u,v,x,\varepsilon),\qquad L_{v,\varepsilon}(u,v):=-\varepsilon^2\frac{d^2v}{dx^2}+g(u,v,x,\varepsilon).
\end{equation*}
\notag
$$
Помимо условия (A${}_1$), потребуем для $ \underline{U\!}\, _n$, $ \underline{V\!}\, _n$, $ \overline{U\kern-1pt}\kern1pt _n$, $ \overline{V\kern-1pt}\kern1pt _n$ выполнение более жестких, чем (A${}_2$), условий
$$
\begin{equation}
\begin{alignedat}{5} L_{u,\varepsilon}( \overline{U\kern-1pt}\kern1pt _n, \overline{V\kern-1pt}\kern1pt _n)&>0,&\quad L_{v,\varepsilon}( \overline{U\kern-1pt}\kern1pt _n, \overline{V\kern-1pt}\kern1pt _n)&>0, &\qquad &x\in(0,\overline{x})\cup(\overline{x},1), \\ L_{u,\varepsilon}( \underline{U\!}\, _n, \underline{V\!}\, _n)&<0,&\quad L_{v,\varepsilon}( \underline{U\!}\, _n, \underline{V\!}\, _n)&<0, &\qquad &x\in(0,\underline{x})\cup(\underline{x},1); \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{$\mathrm{A}^s_2$}
$$
$$
\begin{equation}
\begin{alignedat}{3} \overline{U\kern-1pt}\kern1pt _n'(0)&\leqslant 0\leqslant \underline{U\!}\, _n'(0),&\qquad \overline{U\kern-1pt}\kern1pt _n'(1)&\geqslant 0\geqslant \underline{U\!}\, _n'(1), \\ \overline{V\kern-1pt}\kern1pt _n'(0)&\leqslant 0\leqslant \underline{V\!}\, _n'(0),&\qquad \overline{V\kern-1pt}\kern1pt _n'(1)&\geqslant 0\geqslant \underline{V\!}\, _n'(1); \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{$\mathrm{A}^s_3$}
$$
$$
\begin{equation}
\begin{alignedat}{3} \overline{U\kern-1pt}\kern1pt '_n(\overline{x}-0)- \overline{U\kern-1pt}\kern1pt '_n(\overline{x}+0)&\geqslant 0,&\qquad \underline{U\!}\, _n'(\underline{x}-0)- \underline{U\!}\, _n'(\underline{x}+0)&\leqslant 0, \\ \overline{V\kern-1pt}\kern1pt _n'(\overline{x}-0)- \overline{V\kern-1pt}\kern1pt _n'(\overline{x}+0)&\geqslant 0,&\qquad \underline{V\!}\, _n'(\underline{x}-0)- \underline{V\!}\, _n'(\underline{x}+0)&\leqslant 0. \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{$\mathrm{A}^s_4$}
$$
В явном виде функции $ \overline{U\kern-1pt}\kern1pt _n$, $ \underline{U\!}\, _n$, $ \overline{V\kern-1pt}\kern1pt _n$ и $ \underline{V\!}\, _n$ строятся как
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \overline{U\kern-1pt}\kern1pt _n^{(\mp)}&=U_n^{(\mp)}\Big|_{\substack{\tau=\overline{\tau},\sigma=\overline{\sigma},\\ x^*=\overline{x}}}+{} \\ &\quad+\varepsilon^{n+1} \bigl( \overline{u}\kern1pt _{n+1}(x)+\alpha^{(\mp)}(x)+q_{\text{sup}}^{(\mp)}u(\overline{\tau})+m_{\text{sup}}^{(\mp)}u(\overline{\sigma})\bigr)+ \varepsilon^{n+3}C_ue^{-k_u|\eta_{\mp}|}, \\ \underline{U\!}\, _n^{(\mp)}&= U_n^{(\mp)}\Big|_{\substack{\tau=\underline{\tau},\sigma=\underline{\sigma},\\ x^*=\underline{x}}}+{} \\ &\quad+\varepsilon^{n+1} \bigl( \overline{u}\kern1pt _{n+1}(x)-\alpha^{(\mp)}(x)+q_{\text{sub}}^{(\mp)}u(\underline{\tau})+m_{\text{sub}}^{(\mp)}u(\underline{\sigma})\bigr)- \varepsilon^{n+3}C_ue^{-k_u|\eta_{\mp}|}, \\ \overline{V\kern-1pt}\kern1pt _n^{(\mp)}&=V_n^{(\mp)}\Big|_{\substack{\tau=\overline{\tau},\sigma=\overline{\sigma},\\ x^*=\overline{x}}}+{} \\ &\quad +\varepsilon^{n+1} \bigl( \overline{u}\kern1pt _{n+1}(x)+\beta^{(\mp)}(x)+q_{\text{sup}}^{(\mp)}v(\overline{\tau})\bigr)+ \varepsilon^{n+2}C_ve^{-k_v|\zeta_{\mp}|}+{} \\ &\quad +\varepsilon^{n+3}m_{\text{sup}}^{(\mp)}v(\overline{\sigma})- \varepsilon^{n+2} M^{(\mp)}_{n+2}v(0)\big|_{x^*_n=\overline{x}}- \varepsilon^{n+3}m_{\text{sup}}^{(\mp)}v(0), \\ \underline{V\!}\, _n^{(\mp)}&=V_n^{(\mp)}\Big|_{\substack{\tau=\underline{\tau},\sigma=\underline{\sigma},\\ x^*=\underline{x}}}+{} \\ &\quad+\varepsilon^{n+1} \bigl( \overline{u}\kern1pt _{n+1}(x)-\beta^{(\mp)}(x)+q_{\text{sub}}^{(\mp)}v(\underline{\tau})\bigr)- \varepsilon^{n+2}C_ve^{-k_v|\zeta_{\mp}|}+{} \\ &\quad +\varepsilon^{n+3}m_{\text{sub}}^{(\mp)}v(\underline{\sigma})- \varepsilon^{n+2} M^{(\mp)}_{n+2}v(0)\big|_{x^*_n=\underline{x}}-\varepsilon^{n+3}m_{\text{sub}}^{(\mp)}v(0). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Нахождение неизвестных функций, а также проверка выполнения условий (A${}_1$), (A${}^s_2$)–(A${}^s_4$) производятся идентично работе [2] в области переходного слоя и работе [15] в области пограничного слоя. Отдельно необходимо отметить следующее свойство функций $ \underline{U\!}\, _n$, $ \overline{U\kern-1pt}\kern1pt _n$, вытекающее из самого́ способа их построения (см. [2]). Свойство P${}_1$. Функции $ \underline{U\!}\, _n$, $ \overline{U\kern-1pt}\kern1pt _n$ лишь единожды пересекают ноль на отрезке $[0,1]$ в точках соответственно $\underline{x}$, $\overline{x}$, причем $ \underline{U\!}\, _n'|_{x=\overline{x}\mp 0}>0$ и $ \overline{U\kern-1pt}\kern1pt _n'|_{x=\overline{x}\mp 0}>0$ при достаточно малых $\varepsilon$. К парам функций $( \underline{U\!}\, _n, \underline{V\!}\, _n)$ и $( \overline{U\kern-1pt}\kern1pt _n, \overline{V\kern-1pt}\kern1pt _n)$ применимы результаты леммы 2, и между ними заключено $(u_\varepsilon,v_\varepsilon)$ – некоторое, будь то обобщенное или сильное, решение задачи (1). Согласно [2]
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, (u_\varepsilon,v_\varepsilon)&=( \underline{U\!}\, _n, \underline{V\!}\, _n)+O(\varepsilon^{(n-1)})= \notag\\ &=( \overline{U\kern-1pt}\kern1pt _n, \overline{V\kern-1pt}\kern1pt _n)+O(\varepsilon^{(n-1)})=(U_{n-2},V_{n-2})+O(\varepsilon^{(n-1)}). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{37}
$$
Помимо этого в силу неравенств (31) и свойства P${}_1$ имеем следующее:
Теперь исследуем вопрос о возможности однократного обращения в нуль $u$-компонент решений задач (1). Потребуем выполнения условий 1–8*. Поскольку условие 8* является более жестким, нежели условие 8, всё так же воспользуемся леммой 2 и придем к выводу о существовании как минимум сильных решений $( \underline{u}\kern1pt _\varepsilon, \underline{v}\kern1pt _\varepsilon)$ и $( \overline{u}\kern1pt _\varepsilon, \overline{v}\kern1pt _\varepsilon)$. Уже для $ \underline{u}\kern1pt ^{(1)}$, $ \overline{u}\kern1pt ^{(1)}$ априори не известно ни количество, ни положение нулей функций, образующих итерационные последовательности $ \underline{u}\kern1pt ^{(k)}$, $ \overline{u}\kern1pt ^{(k)}$, $k=1,2,\ldots{}$, на отрезке $[\kern1pt\overline{x},\underline{x}\kern2pt]$; тем более это так для $ \underline{u}\kern1pt _\varepsilon$ и $ \overline{u}\kern1pt _\varepsilon$. Проведем рассуждения для $u$-компонент верхней последовательности. Пусть $ \overline{u}\kern1pt ^{(1)}$ достигает нуля хотя бы дважды на отрезке $[\kern1pt\overline{x},\underline{x}\kern2pt]$. В силу гладкости $ \overline{u}\kern1pt ^{(1)}$ это возможно, когда
На рис. 1 схематично изображены характерные варианты I–IV “плохого” поведения функции $ \overline{u}\kern1pt ^{(1)}$, однако благодаря условию 8* ни один из подобных вариантов, а значит, ни один из пунктов 1–3, не реализуется, поскольку в любом случае (см. соотношения (17), (24) с учетом того, что $ \overline{U\kern-1pt}\kern1pt _n>0$ при $x\in(\overline{x},\underline{x})$)
$$
\begin{equation}
\underbrace{\varepsilon^4\frac{d^2 \overline{u}\kern1pt ^{(1)}}{dx^2}\big|_{x_2}}_{\geqslant 0}\, \underbrace{{}-\vphantom{\varepsilon^4\frac{d^2 \overline{u}\kern1pt ^{(1)}}{dx^2}\big|_{x_2}} c \overline{u}\kern1pt ^{(1)}\big|_{x_2}}_{\geqslant 0}= \bigl(f^{(+)}( \overline{U\kern-1pt}\kern1pt _n, \overline{V\kern-1pt}\kern1pt _n,x,\varepsilon)-c \overline{U\kern-1pt}\kern1pt _n\bigr)\big|_{x_2}\leqslant \underbrace{\vphantom{ \varepsilon^4\frac{d^2 \overline{u}\kern1pt ^{(1)}}{dx^2}\big|_{x_2}} f^{(+)}(0, \overline{V\kern-1pt}\kern1pt _n,x,\varepsilon)\big|_{x_2}}_{<0},
\end{equation}
\tag{38}
$$
т. е. наблюдается противоречие. Более того, получаем очень важный результат: функция $ \overline{u}\kern1pt ^{(1)}$ не может пересекать ноль с отрицательной производной, так как (38) исключает случай II; функция $ \overline{u}\kern1pt ^{(1)}$ и ее производная не могут одновременно обращаться в ноль, так как (38) исключает случаи I, III, IV, в том числе вариант IV с $x_1=x_2$. Итак, $ \overline{u}\kern1pt ^{(1)}$ пересекает ноль лишь один раз в некоторой точке $\overline{x}^{(1)}\in[\kern1pt\overline{x},\underline{x}\kern2pt]$, и при этом, что важно, $\frac{d \overline{u}\kern1pt ^{(1)}}{dx}(\overline{x}^{(1)})>0$. Для $ \overline{u}\kern1pt ^{(k)}$, $k=2,3,\ldots{}$, доказательство того факта, что эти функции один раз пересекают ноль в некоторой точке $\overline{x}^{(k)}$ и имеют в этой точке положительную производную, осуществляется идентично по индукции. Поскольку члены итерационной последовательности $ \overline{u}\kern1pt ^{(k)}$ монотонно не убывают (см. (29)), $\frac{d \overline{u}\kern1pt ^{(1)}}{dx}(\overline{x}^{(k)})>0$ и, очевидно, $\overline{x}^{(1)}\leqslant\cdots\leqslant\overline{x}^{(k)}\leqslant\underline{x}$, приходим к выводу: предельная функция $ \overline{u}\kern1pt _\varepsilon$ может только пересекать ноль и/или касаться его сверху, в том числе совпадая с нулем на некотором интервале (см. рис. 2). Касание нуля необходимым образом требует существования хотя бы одной точки $\tilde x\in[\,\underline{x},\bar{x}]$, в которой $ \overline{u}\kern1pt _\varepsilon(\tilde x)= \overline{u}\kern1pt '_\varepsilon(\tilde x)=0$. Тогда, поскольку выполнено условие 8*, можно выбрать некоторую точку $\hat x\in(\tilde x,1]$ так, чтобы на интервале $(\tilde x,\hat x)$ были выполнены оба неравенства: $ \overline{u}\kern1pt _\varepsilon(x)>0$ и $f( \overline{u}\kern1pt _\varepsilon, \overline{v}\kern1pt _\varepsilon,x,\varepsilon)<0$. Следует отметить, что на том же интервале $f=f^{(+)}$ (так как $ \overline{u}\kern1pt _\varepsilon(x)>0$). Подставим в первое уравнение (1) функции $( \overline{u}\kern1pt _\varepsilon, \overline{v}\kern1pt _\varepsilon)$, домножим полученное равенство на $\hat x-x$, проинтегрируем по частям и получим противоречие:
$$
\begin{equation*}
0< \overline{u}\kern1pt _\varepsilon(\hat x)=\int_{\tilde x}^{\hat x}f^{(+)}( \overline{u}\kern1pt _\varepsilon, \overline{v}\kern1pt _\varepsilon,x,\varepsilon)(\hat x-x)\,dx\leqslant 0.
\end{equation*}
\notag
$$
Итак, для $ \overline{u}\kern1pt _\varepsilon$ исключены касания нуля и равенство ее нулю на интервале. Более того, установлено, что для функции $ \overline{u}\kern1pt _\varepsilon$ не существует точек, в которых она и ее производная одновременно обращаются в ноль, это означает, что функция $ \overline{u}\kern1pt _\varepsilon$ не может пересекать ноль по типу $y=x^3$. Рассуждения для $ \underline{u}\kern1pt ^{(k)}$, $k=1,2,\ldots{}$, аналогичны. Точки пересечения нуля функциями $ \underline{u}\kern1pt ^{(k)}$ обозначим через $\underline{x}^{(k)}$. Для ясности изложения можно уточнить итерационные процессы (15), (16), заменив области рассмотрения на $x\in(0,1)\backslash\overline{x}^{(k-1)}$ для $ \overline{u}\kern1pt ^{(k)}$ и $x\in(0,1)\backslash\underline{x}^{(k-1)}$ для $ \underline{u}\kern1pt ^{(k)}$. Здесь $[\,\overline{x}^{(k)},\underline{x}^{(k)}]\subseteq [\,\overline{x}^{(k-1)},\underline{x}^{(k-1)}]$, $\overline{x}^{(0)}:=\overline{x}$, $\underline{x}^{(0)}:=\underline{x}$, а в качестве нулевых итераций в самих процессах выбраны $( \overline{u}\kern1pt ^{(0)}, \overline{v}\kern1pt ^{(0)})=( \overline{U\kern-1pt}\kern1pt _n, \overline{V\kern-1pt}\kern1pt _n)$ и $( \underline{u}\kern1pt ^{(0)}, \underline{v}\kern1pt ^{(0)})=( \underline{U\!}\, _n, \underline{V\!}\, _n)$. В конце остается заменить в рассуждениях $n$ на $n+2$ (поэтому требуется $C^{(n+3)}$-гладкость функций $f^{(\mp)}$ и $g$). Тем самым с учетом равенства (37), переходящего в (14), теорема 1 доказана во всей полноте. $\blacksquare$ Замечание 3. Вопрос существования других решений задачи (1), расположенных между верхним и нижним решением, и их типов (слабые, сильные, квазиклассические) остается открытым и может заслуживать отдельного исследования. 5. ЗаключениеНаиболее показательным результатом настоящей работы является то, что асимптотический метод дифференциальных неравенств может успешно применяться для обоснования существования не только решений, слабо отличающихся от классических в смысле нарушения гладкости вторых производных в конечном числе точек, но и сильных или даже обобщенных, которые описываются в терминах дифференциальных включений – в любом случае они остаются между построенными барьерными решениями, а сформулированные при этом дополнительные условия лишь ненамного жестче встречающихся в схожих задачах и не связаны напрямую с самим методом. В перспективе интерес представляет рассмотрение такой же задачи, но с другими условиями квазимонотонности и/или в многомерном случае. БлагодарностиАвтор выражает благодарность Н. Т. Левашовой за ценные замечания по тексту статьи. Конфликт интересовАвтор заявляет, что у него нет конфликта интересов. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Tis23} |
|
||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|