| Теоретическая и математическая физика |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 3 научных статьях (всего в 3 статьях) Контрастные структуры в задаче реакция-адвекция-диффузия, возникающей в дрейфо-диффузионной модели полупроводника, в случае негладкой реакции Е. И. Никулин Физический факультет, Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова, Москва, Россия
Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2023, Volume 215, Issue 3, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0040577923060028 
Реферативные базы данных:
   1. Введение. Постановка задачиИзвестно, что во многих системах, имеющих два устойчивых положения равновесия и описываемых сингулярно возмущенными уравнениями типа реакция-адвекция-диффузия, неоднородности коэффициентов уравнения определяют положение внутренних резких переходных слоев. Причиной существования таких слоев в малой окрестности некоторой точки может быть выполнение в этой точке условия баланса реакции (см., например, [1], [2]), адвекции [3], реакции и адвекции [4], разрыв коэффициентов по пространственной координате (как конечный [5], так и слабый [6]) или другие условия, налагаемые на неоднородные коэффициенты (см., например, [7]). Актуальность таких уравнений вызвана большим количеством приложений (см., например, работы [5], [6], [8] и приведенные в них ссылки). Асимптотический анализ этих уравнений является необходимым этапом их исследования, поскольку позволяет выявить условия на исходные данные, при которых существуют решения с внутренними переходными слоями. Эти решения называют контрастными структурами. Настоящая работа продолжает цикл работ [9], [5], [6], [8], в которых исследуются уравнения с разрывными коэффициентами, и посвящена исследованию одномерного уравнения типа реакция-адвекция-диффузия с малой гладкой адвекцией и негладкой по пространственной координате реакцией. Целью работы являются построение асимптотики, доказательство существования и исследование устойчивости стационарных решений с построенной асимптотикой, обладающих внутренними переходными слоями, которые образуются вблизи точки разрыва производной реактивного слагаемого по пространственной координате. Для построения асимптотики используется метод Васильевой [10], для обоснования существования решения – асимптотический метод дифференциальных неравенств [11] и метод сшивания [12], [13], для исследования устойчивости – метод сжимающих барьеров [14] и метод, основанный на следствии из теоремы Крейна–Рутмана [15], [16]. В настоящей работе доказано, что у поставленной задачи при определенных условиях могут сосуществовать несколько решений, обладающих в малой окрестности точки разрыва внутренним переходным слоем, проходящим от нижнего положения равновесия к верхнему. Выявлены достаточные условия, определяющие либо асимптотическую устойчивость по Ляпунову, либо неустойчивость каждого такого решения (см. теоремы 1, 2). Поставленная ниже задача находит свое прямое применение в одномерной дрейфо-диффузионной модели полупроводника, обладающего N-образной зависимостью скорости дрейфа от напряженности электрического поля (см. [17], п. 3.2). Из результатов асимптотического исследования следует, что при условии заданного внешнего тока в малой окрестности некоторой внутренней точки полупроводника могут сосуществовать два соседствующих стационарных обедненных электронами слоя, если в этой точке равновесная концентрация электронов является недостаточно гладкой функцией пространственной координаты (см. п. 4.1). При этом один из слоев является асимптотически устойчивым по Ляпунову (т. е. к нему “притягиваются” подвижные слои, попавшие в его область притяжения), а второй – неустойчивым (подвижные слои “удаляются” от него). Полученный результат можно интерпретировать как способ управления такими подвижными слоями в полупроводниках. Рассмотрим сингулярно возмущенную стационарную краевую задачу с граничными условиями $2$-го рода
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, N_\varepsilon u:=\varepsilon^2u''-\varepsilon^2a(u,x,\varepsilon)u' -f(u,x,\varepsilon)=0,\qquad x\in(-1,1), \\ u'(\pm 1,\varepsilon)=0, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{1}
$$
где $\varepsilon$ – малый параметр, лежащий в интервале $(0;\varepsilon_0)$, $\varepsilon_0>0$. Потребуем выполнения следующих условий. Условие 1. Пусть функция $a(u, x,\varepsilon)$ является достаточно гладкой при $u\in I_u$, $x\in[-1,1]$, $\varepsilon\in[0,\varepsilon_0)$, а функция $f(u,x,\varepsilon)$ представима в виде Таким образом, функция $\frac{\partial f}{\partial x}(u,x,\varepsilon)$ при любых $\varepsilon\in[0,\varepsilon_0)$, $u\in I_u$ претерпевает относительно переменной $x$ разрыв первого рода в точке $x=x_0$. Условие 2. Пусть при любом $x\in[-1,1]$ вырожденное уравнение имеет ровно три упорядоченных корня: $\phi^{(-)}(x)<\phi^{(0)}(x)<\phi^{(+)}(x)$, удовлетворяющих неравенствам Введем функцию
$$
\begin{equation*}
I(x):=\int_{\phi^{(-)}(x)}^{\phi^{(+)}(x)}f(u,x,0)\,du.
\end{equation*}
\notag
$$
Отметим, что последнее условие не исключает случая, когда $I(x)=0$ в других точках отрезка $[-1,1]$, например случая тождественного равенства $I(x)\equiv 0$, $x\in[-1,1]$ (см. пример в п. 4.2). Как показано ниже, условие 3 выделяет случай баланса реакции относительно уровня переходного слоя $p$. 2. Асимптотическое разложение решения вида контрастной структуры2.1. Асимптотика решенияДля построения формальной асимптотики задача (1) разбивается на две. Слева от переходного слоя рассматривается задача
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \varepsilon^2u''-\varepsilon^2a(u,x,\varepsilon)u'-f^{(-)}(u,x,\varepsilon)=0,\qquad x\in(-1,x_0), \\ u'(-1,\varepsilon)=0,\qquad u(x_0,\varepsilon)=p(\varepsilon). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Справа от переходного слоя рассматривается задача
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \varepsilon^2u''-\varepsilon^2a(u,x,\varepsilon)u' -f^{(+)}(u,x,\varepsilon)=0,\qquad x\in(x_0,1), \\ u(x_0,\varepsilon)=p(\varepsilon),\qquad u'(1,\varepsilon)=0. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Далее для функций асимптотики на отрезке $[-1,x_0]$ используем обозначение $(-)$, на отрезке $[x_0,1]$ – обозначение $(+)$, а символ $(\pm)$ пишем, подразумевая функции как для левой, так и для правой частей асимптотики. Построим асимптотику в виде ряда по степеням $\varepsilon$, не предполагая разложенной в такой ряд функцию уровня переходного слоя $p(\varepsilon)$:
$$
\begin{equation}
U^{(\pm)}(x,\varepsilon)=\bar u^{(\pm)}(x,\varepsilon) +Q^{(\pm)}(\tau,\varepsilon)+\Pi^{(\pm)}(\xi,\varepsilon),
\end{equation}
\tag{2}
$$
где регулярная часть
$$
\begin{equation*}
\bar u^{(\pm)}(x,\varepsilon)=\bar u_0^{(\pm)}(x) +\varepsilon\bar u_1^{(\pm)}(x)+\dotsb+\varepsilon^n\bar u_n^{(\pm)}(x)+\dotsb,
\end{equation*}
\notag
$$
пограничная часть в окрестности $x=-1$ и в окрестности $x=1$
$$
\begin{equation*}
\Pi^{(\pm)}(\xi,\varepsilon)=\Pi_0^{(\pm)}(\xi)+\varepsilon\Pi_1^{(\pm)}(\xi) +\dotsb+\varepsilon^n\Pi_n^{(\pm)}(\xi)+\dotsb, \qquad \xi=\frac{x\pm 1}{\varepsilon},
\end{equation*}
\notag
$$
и часть внутреннего переходного слоя в окрестности $x_0$
$$
\begin{equation*}
Q^{(\pm)}(\tau,\varepsilon)=Q_0^{(\pm)}(\tau,p(\varepsilon)) +\varepsilon Q_1^{(\pm)}(\tau,p(\varepsilon)) +\dotsb+\varepsilon^n Q_n^{(\pm)}(\tau,p(\varepsilon))+\dotsb,
\end{equation*}
\notag
$$
члены которой зависят от $\tau=(x-x_0)/\varepsilon$, $p(\varepsilon)$. Для определенности рассматриваем переход от корня $\phi^{(-)}$ к корню $\phi^{(+)}$. Метод пограничных функций (см. [10]) приводит к последовательности задач для определения коэффициентов асимптотических рядов (2), из которых, в частности, получим $\bar u_0^{(-)}(x)=\phi^{(-)}(x)$, $\bar u_0^{(+)}(x)=\phi^{(+)}(x)$. Функции $\bar u_i^{(\pm)}(x)$, $i=1,2,3,\dots$, а также пограничные функции $\Pi_i^{(\pm)}(\xi)$ строятся стандартным образом, и мы это построение в работе рассматривать не будем. Остановимся подробно на построении функций внутреннего переходного слоя. Члены $Q_0^{(\pm)}(\tau,p(\varepsilon))$ определяются из следующих задач:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \frac{\partial^2Q_0^{(\pm)}(\tau,p(\varepsilon))}{\partial\tau^2} =f(\phi^{(\pm)}(x_0)+Q_0^{(\pm)},x_0,0), \\ Q_0^{(\pm)}(0,p(\varepsilon))+\bar u_0^{(\pm)}(x_0)=p(\varepsilon), \\ Q_0^{(\pm)}(\pm\infty,p(\varepsilon))=0. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{3}
$$
Известно (см. [10]), что для каждого $p\in(\phi^{(-)}(x_0),\phi^{(+)}(x_0))$ задача (3) имеет единственное монотонное по $\tau$ решение, причем имеют место следующие оценки:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \frac{\partial Q_0^{(\pm)}(\tau,p)}{\partial\tau}&>C_0e^{-k_0|\tau|}, \\ |Q_0^{(\pm)}(\tau,p)|&\leqslant C'_0e^{-k'_0|\tau|}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4}
$$
где $C_0$, $C'_0$, $k$, $k'$ – некоторые положительные константы. Функции $Q_1^{(\pm)}$ определяются из следующих задач:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \frac{\partial^2Q_1^{(\pm)}}{\partial\tau^2} -\frac{\partial\tilde f^*}{\partial u}\,Q_1^{(\pm)}=r_1^{(\pm)}, \\ Q_1^{(\pm)}(0,p(\varepsilon))+\bar u_1^{(\pm)}(x_0)=0, \\ Q_1^{(\pm)}(\pm\infty,p(\varepsilon))=0,\\ \begin{aligned} \, r_1^{(\pm)}(\tau,p(\varepsilon)) &:=\frac{Q_0^{(\pm)}}{\partial\tau}(\tau,p(\varepsilon))\tilde a^* +\tau\biggl(\frac{\partial\tilde f^*}{\partial u}\,\bar u_0'^{(\pm)}(x_0) +\frac{\partial\tilde f^*}{\partial x}\biggr)+{} \\ &\qquad{}+\bar u_1(x_0,t)\frac{\partial\tilde f^*}{\partial u} +\frac{\partial\tilde f^*}{\partial\varepsilon}, \end{aligned} \end{gathered}
\end{equation}
\tag{5}
$$
где тильда над функцией и звездочка справа от нее означают, что ее значение берется при аргументе $(\bar{u}_0^{(\pm)}(x_0)+Q_0(\tau,p(\varepsilon)),x_0,0)$. Решение задач (5) представляется в явном виде (см. [1]):
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &Q_1^{(\pm)}(\tau,p(\varepsilon))=-\bar u_1^{(\pm)}(x_0) \frac{\tilde v^{(\pm)}(\tau,p(\varepsilon))}{\tilde v^{(\pm)}(0,p(\varepsilon))}+{} \nonumber \\ &\qquad{}+\tilde v^{(\pm)}(\tau,p(\varepsilon)) \int_0^\tau\,(\tilde v^{(\pm)}(s,p(\varepsilon)))^{-2} \int_{\pm\infty}^s\tilde v^{(\pm)}(\eta,p(\varepsilon)) r_1^{(\pm)}(\eta,p(\varepsilon))\,d\eta\,ds, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{6}
$$
где $\tilde v(\tau,p(\varepsilon)):=\frac{\partial Q_0}{\partial\tau}(\tau,p(\varepsilon))$. Для $Q_1^{(\pm)}$ справедлива оценка где $C_1$, $k_1$ – некоторые положительные константы. Функции внутреннего переходного слоя более высоких порядков строятся аналогично функциям $Q_1^{(\pm)}$ и имеют экспоненциальную оценку сверху, аналогичную (7). Таким образом, формальное построение асимптотики решения с внутренним переходным слоем для задачи (1) завершено. 2.2. Асимптотика уровня слоя $p(\varepsilon)$Остановимся подробно на определении коэффициентов в разложении для уровня перехода для этого воспользуемся условием $C^1$-сшивания асимптотики в точке $x_0$:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\varepsilon\biggl(\frac{dU^{(+)}}{dx}\biggr|_{x=x_0} -\frac{dU^{(-)}}{dx}\biggr|_{x=x_0}\biggr)= \nonumber \\ &\qquad=\varepsilon\biggl[\frac{d\varphi}{dx}(x_0) +\frac{\partial Q_1}{\partial\tau}(0,p(\varepsilon))\biggr]_-^+ +\varepsilon^2\biggl[\frac{d\bar u_1}{dx}(x_0) +\frac{\partial Q_2}{\partial\tau}(0,p(\varepsilon))\biggr]_-^++\dotsb=: \nonumber \\ &\qquad=:\frac{\varepsilon}{\tilde v(0,p(\varepsilon))} [K_1(p(\varepsilon))+\varepsilon K_2(p(\varepsilon))+\dotsb]=0, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{9}
$$
где $[A]_-^+:=A^{(+)}-A^{(-)}$. Здесь учтено, что
$$
\begin{equation*}
\biggl[\frac{\partial Q_0}{\partial\tau}(0,p)\biggr]_-^+\equiv 0,\qquad p\in(\phi^{(-)}(x_0),\phi^{(+)}(x_0)),
\end{equation*}
\notag
$$
это следует из очевидного представления
$$
\begin{equation*}
2I(x_0)=\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\partial\tilde v^{(\pm)2}}{\partial\eta}(\eta,p)\,d\eta =-\tilde v^{(+)2}(0,p)+\tilde v^{(-)2}(0,p)
\end{equation*}
\notag
$$
и условия 3. По этой причине рассматриваемый случай называется балансом реакции относительно уровня $p$. Можно показать, что $K_1(p)$ приводится к виду
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, K_1(p)={}&\int^{\varphi^{(-)}}_{\varphi^{(+)}}a(u,x_0,0)\tilde v(\tau(u,p),p)\,du+{} \\ &+\int^p_{\varphi^{(+)}} \biggl(\frac{\partial f^{(+)}}{\partial x}(u,x_0,0)\tau(u,p) +\frac{\partial f^{(+)}}{\partial\varepsilon}(u,x_0,0)\biggr)\,du+{} \\ &+\int_p^{\varphi^{(-)}} \biggl(\frac{\partial f^{(-)}}{\partial x}(u,x_0,0)\tau(u,p) +\frac{\partial f^{(-)}}{\partial\varepsilon}(u,x_0,0)\biggr)\,du. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Кроме того,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \frac{d}{dp}\,K_1(p)={}&\frac{1}{\tilde v(0,p)} \biggl[\int_{\varphi^{(-)}}^p\frac{\partial f^{(-)}}{\partial x}(u,x_0,0)\,du +\int_p^{\varphi^{(+)}}\frac{\partial f^{(+)}}{\partial x}(u,x_0,0)\,du\biggr]+{} \\ &+\biggl[\frac{\partial f}{\partial\varepsilon}(p,x_0,0)\biggr]_-^+. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Отметим, что $\frac{d}{dp}\,K_1(p)$ не зависит от коэффициента адвекции $a$. Разложим теперь каждое слагаемое в (9) по степеням $\varepsilon$, используя представление (8) для $p(\varepsilon)$:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\varepsilon\biggl(\frac{dU^{(+)}}{dx}\biggr|_{x=x_0} -\frac{dU^{(-)}}{dx}\biggr|_{x=x_0}\biggr)= \\ &\qquad\qquad\qquad=\frac{\varepsilon}{\tilde v(0,p_0)} \biggl[K_1(p_0)+\varepsilon\biggl(\frac{d}{dp}\,K_1(p_0)p_1 +K_2(p_0)\biggr)\biggr]+\dotsb=0, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
откуда получаем уравнение
$$
\begin{equation*}
K_1(p_0)+\varepsilon\biggl(\frac{d}{dp}K_1(p_0)p_1+K_2(p_0)\biggr)+\dotsb=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Для выполнения последнего равенства в нулевом порядке потребуем выполнения следующего условия. У уравнения (10) на промежутке $(\phi^{(-)}(x_0),\phi^{(+)}(x_0))$ допускается наличие других корней, отличных от $p_0$ (см. пример в п. 4.1). Нам также потребуется одно из следующих условий. Условие 5а. Пусть выполняется неравенство Как показано ниже, каждому корню $p_0$ уравнения (10) соответствует решение задачи (1), обладающее внутренним переходным слоем в окрестности точки $x_0$, уровень которого в нулевом приближении по $\varepsilon$ равен $p_0$. В случае выполнения условия 5а это решение оказывается локально асимптотически устойчивым по Ляпунову, а в случае выполнения условия 5б – неустойчивым. Случай $\frac{d}{dp}\,K_1(p_0)=0$ в данной работе не рассматривается. Очевидно, задачи для определения коэффициентов $p_i$, $i=1,2,\dots$, имеют вид где $L_i$ – известные константы, и разрешимы при выполнении любого из условий 5а или 5б.Таким образом, процесс построения асимптотики для уровня переходного слоя завершен. 3. Обоснование построенной асимптотикиПусть
$$
\begin{equation}
U_n(x,\varepsilon):= \sum^n_{i=0}(\bar u_i^{(\pm)}(x) +Q_i^{(\pm)}(\tau,\hat p_n(\varepsilon))+\Pi_i^{(\pm)}(\xi))\varepsilon^i,
\end{equation}
\tag{11}
$$
где $\hat p_n:=\sum^n_{i=0}\varepsilon^ip_i$. 3.1. Устойчивые решенияДоказательство существования решения при выполнении условий 1–4, 5а проведем с помощью асимптотического метода дифференциальных неравенств [11], который заключается в построении верхнего и нижнего решений задачи (1) как модификаций асимптотического представления этого решения. Будем проводить эти построения аналогично тому, как это делалось в работе [6]. Тогда, опираясь на результаты [18], мы получаем, что из существования упорядоченной пары $\alpha_{n+2}(x,\varepsilon)$, $\beta_{n+2}(x,\varepsilon)$ (соответственно нижнего и верхнего решений) следует существование решения $u_\varepsilon(x)$ задачи (1), заключенного между ними. Введем функцию $p_\delta(\varepsilon)=\hat p_{n+1}(\varepsilon)+\varepsilon^{n+1}\delta$, где постоянную $\delta>0$ мы определим позднее. Функция $\beta_{n+2}(x,\varepsilon)$ представляет собой модификацию формальной асимптотики:
$$
\begin{equation}
\beta_{n+2}^{(\pm)}(x,\varepsilon) =U_{n+2,\delta}^{(\pm)}(x,\varepsilon)+\varepsilon^{n+2} (\gamma+q^{(\pm)}(\tau)+\Pi^{(\pm)}_\beta(\xi)).
\end{equation}
\tag{12}
$$
Здесь $U_{n+2,\delta}^{(\pm)}(x,\varepsilon)$ – суммы (11) ($n+2$)-го порядка, при построении которых в дифференциальных уравнениях, определяющих функции $Q_0^{(\pm)}(\tau,p(\varepsilon))$ и $Q_1^{(\pm)}(\tau,p(\varepsilon))$, функция $p(\varepsilon)$ заменена на $p_\delta(\varepsilon)$, а остальные члены асимптотики оставлены без изменения; $\gamma>0$ – постоянная, обеспечивающая выполнение дифференциального неравенства для нелинейного оператора задачи (1), функции $\Pi^{(\pm)}_\beta$ строятся стандартным образом (см., например, [11]), чтобы выполнялось необходимое дифференциальное неравенство на границе, а функции ${q^{(\pm)}}(\tau)$ вводятся для устранения невязок, вносимых величиной $\gamma\varepsilon^{n+2}$. Выражения для функций $q^{(\pm)}$ получены в [5]:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, q^{(\pm)}(\tau)=-\gamma-\gamma\bar f_u^{(\pm)}\tilde v^{(\pm)}(\tau,p_0) \int_0^\tau(\tilde v^{(\pm)}(s,p_0))^{-2}\int_{\pm\infty}^s\tilde v^{(\pm)}(\eta,p_0)\,d\eta\,ds,\\ \bar f_u^{(\pm)}:=f_u^{(\pm)}(\bar u^{(\pm)}(x_0),x_0,0). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Функция $\alpha_{n+2}(x,\varepsilon)$ – нижнее решение задачи (1) – имеет аналогичную структуру, в ее построении используется функция $p_{-\delta}(\varepsilon)=\hat p_{n+1}(\varepsilon)-\varepsilon^{n+1}\delta$. Отметим, что порядок модификации асимптотики решения на единицу превосходит порядок модификации уровня перехода. Эта характерная ситуация для сбалансированного случая (см., например, [7]). Все условия для верхнего и нижнего решений проверяются стандартно, аналогично работам [6], [14]. Приведем здесь только проверку дифференциального неравенства на скачок производных верхнего и нижнего решений в точке $x=x_0$:
$$
\begin{equation*}
\frac{d\beta_{n+2}}{dx}\biggr|_{x=x_0-0} \geqslant\frac{d\beta_{n+2}}{dx}\biggr|_{x=x_0+0},\qquad \frac{d\alpha_{n+2}}{dx}\biggr|_{x=x_0-0}\leqslant\frac{d\alpha_{n+2}}{dx}\biggr|_{x=x_0+0}.
\end{equation*}
\notag
$$
Имеем
$$
\begin{equation}
\varepsilon\biggl(\frac{d\beta_{n+2}}{dx}\biggr|_{x=x_0+0} -\frac{d\beta_{n+2}}{dx}\biggr|_{x=x_0-0}\biggr) =\frac{\varepsilon^{n+2}}{\tilde v^{(\pm)}(0,p_0)} \biggl(\frac{d}{dp}\,K_1(p_0)\delta-\gamma B+O(\varepsilon)\biggr),
\end{equation}
\tag{13}
$$
где
$$
\begin{equation*}
B=\biggl[f_u^{(\pm)}(\bar u^{(\pm)}(x_0),x_0,0) \int_{\pm\infty}^0\tilde v^{(\pm)}(\eta,p_0)\,d\eta\biggr]^+_-<0
\end{equation*}
\notag
$$
(знак следует из условия 2). При достаточно малых $\varepsilon$ нужный знак скачка производной можно обеспечить, если выбрать постоянную $\delta>0$ так, чтобы она удовлетворяла неравенству Это можно сделать в силу условия 5а. Для нижнего решения рассуждения полностью аналогичны. Доказательство асимптотической устойчивости по Ляпунову стационарного решения с внутренним переходным слоем как решения соответствующей начально-краевой задачи и его локальной единственности проводится стандартно с использованием метода сжимающих барьеров (см., например, [14], [7]) и здесь не приводится. Таким образом, доказана следующая Теорема 1. При выполнении условий 1–4, 5а при достаточно малом $\varepsilon>0$ существует решение $u_\varepsilon(x)$ задачи (1), для которого выполняется неравенство 3.2. Неустойчивые решенияДоказательство существования решения при выполненных условиях 1–4, 5б можно провести методом сшивания (см., например, [13], [12]). Слева от переходного слоя рассматривается вспомогательная задача
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \varepsilon^2u''-\varepsilon^2a(u,x,\varepsilon)u' -f^{(-)}(u,x,\varepsilon)=0,\qquad x\in(-1,x_0), \\ u'(-1,\varepsilon)=0,\qquad u(x_0,\varepsilon)=p_\delta(\varepsilon). \end{gathered}
\end{equation}
\tag{14}
$$
Справа от переходного слоя рассматривается задача
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \varepsilon^2u''-\varepsilon^2a(u,x,\varepsilon)u' -f^{(+)}(u,x,\varepsilon)=0,\qquad x\in(x_0,1), \\ u(x_0,\varepsilon)=p_\delta(\varepsilon),\qquad u'(1,\varepsilon)=0. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{15}
$$
Известно (см. [10]), что задачи (14) и (15) имеют соответственно решения $u_\delta^{(-)}$ и $u_\delta^{(+)}$, обладающие пограничными слоями, для которых асимптотика
$$
\begin{equation*}
\sum^n_{i=0}(\bar u_i^{(\pm)}(x)+Q_i^{(\pm)}(\tau,p_\delta(\varepsilon)) +\Pi_i^{(\pm)}(\xi))\varepsilon^i
\end{equation*}
\notag
$$
является равномерным приближением соответственно на отрезках $[-1,x_0]$ и $[x_0,1]$. На основе результатов [10] с учетом построенных в разделе 2 асимптотик и формулы (13) имеем представление
$$
\begin{equation}
\varepsilon\biggl(\frac{du_\delta^{(+)}}{dx}\biggr|_{x=x_0} -\frac{du_\delta^{(-)}}{dx}\biggr|_{x=x_0}\biggr) =\frac{\delta\varepsilon^{n+2}}{\tilde v(0,p_0)}\, \frac{d}{dp}\,K_1(p_0)+O(\varepsilon^{n+3}).
\end{equation}
\tag{16}
$$
В то же время замена $p_\delta$ на $p_{-\delta}$ приводит к представлению
$$
\begin{equation}
\varepsilon\biggl(\frac{du_{-\delta}^{(+)}}{dx}\biggr|_{x=x_0} -\frac{du_{-\delta}^{(-)}}{dx}\biggr|_{x=x_0}\biggr) =-\frac{\delta\varepsilon^{n+2}}{\tilde v(0,p_0)}\, \frac{d}{dp}\,K_1(p_0)+O(\varepsilon^{n+3}).
\end{equation}
\tag{17}
$$
В силу условия 5б при достаточно малых $\varepsilon$ выражения (16) и (17) имеют разные знаки. Согласно рассуждениям, аналогичным рассуждениям работы [13], отсюда сразу же следует существование гладкого решения $u_\varepsilon(x)$ задачи (1), причем для уровня $p$ переходного слоя этого решения справедливо асимптотическое приближение $p=p_n(\varepsilon)+O(\varepsilon^{n+1})$. Естественно, аналогичные рассуждения могли бы быть применены для обоснования асимптотики и при выполнении условия 5а. Доказательство неустойчивости такого решения проводится с помощью следствия теоремы Крейна–Рутмана. Известно (cм., например, [15]), что вопрос об устойчивости решения $u_\varepsilon(x)$ может быть решен с помощью исследования следующей задачи на собственные значения:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, L_\varepsilon(w):=\mu w,\qquad x\in(-1,1), \\ \frac{dw}{dx}(\pm 1,\varepsilon)=0, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{18}
$$
где
$$
\begin{equation*}
L_\varepsilon(w):=\varepsilon^2\biggl(\frac{d^2w}{dx^2} -a(u_\varepsilon,x,\varepsilon)\,\frac{dw}{dx}\biggr) -\biggl(f_u(u_\varepsilon,x,\varepsilon) +a_u(u_\varepsilon,x,\varepsilon)\,\frac{du}{dx}\biggr)w
\end{equation*}
\notag
$$
– линеаризация оператора $N_\varepsilon$ на решении $u_\varepsilon(x)$. В частности, если $\mu>0$, то решение $u_\varepsilon(x)$ неустойчиво. Рассмотрим вспомогательную задачу
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, L_\varepsilon(w):=-h(x,\varepsilon),\qquad x\in(-1,1), \\ \frac{dw}{dx}(\pm 1,\varepsilon)=0. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{19}
$$
Из известных результатов, основанных на теореме Крейна–Рутмана ([19], с. 20, теорема 7.3) и примененных к эллиптическому оператору (см., например, [20], глава 1), следует Утверждение 1. Если для некоторой всюду положительной на $(-1,1)\times[0,\varepsilon_0)$ функции $h(x,\varepsilon)$ задача (19) имеет решение $w(x,\varepsilon)$ такое, что хотя бы в одной точке $x^*\in (-1,1)$ выполнено неравенство $w(x^*,\varepsilon)<0$, то главное собственное значение $\mu$ задачи (18) положительно. Пусть $w(x,\varepsilon):=\beta_{n+2}(x,\varepsilon)-\alpha_{n+2}(x,\varepsilon)$, где $\delta<0$ выбрано достаточно большим по модулю. Нетрудно показать, что
$$
\begin{equation*}
L_\varepsilon(w)=-2\varepsilon^{n+2}\gamma f_u(\bar u_0(x),x,0) +O(\varepsilon^{n+3})+O(\varepsilon^{2n+2}),
\end{equation*}
\notag
$$
для этого нужно почти дословно повторить выкладки из работы [2]. В силу условия 2 $L_\varepsilon(w)<0$ при достаточно малом $\varepsilon$, если $n\geqslant 0$. В то же время при достаточно малых $\varepsilon$ имеем
$$
\begin{equation*}
w(x_0,\varepsilon)=2\delta\varepsilon^{n+1}+O(\varepsilon^{n+2})<0.
\end{equation*}
\notag
$$
Чтобы утверждение 1 было справедливо, функция $w$ должна быть дважды непрерывно дифференцируемой на интервале $(-1,1)$ и удовлетворять однородным граничным условиям. Однако из построения следует, что на границе функция удовлетворяет неравенствам $w'(-1,\varepsilon)>0$, $w'(1,\varepsilon)<0$ и является негладкой в точке $x=x_0$. Эти незначительные трудности можно преодолеть, если действовать аналогично тому, как это было сделано в работе [21], применив одну итерацию из итерационного процесса, подобного описанному в [18]. Таким образом, справедлива Теорема 2. При выполнении условий 1–4, 5б при достаточно малом $\varepsilon>0$ существует функция $u_\varepsilon(x)$, являющаяся неустойчивым решением задачи (1), для которого выполняется неравенство где $C$ – положительная константа. Из теорем 1, 2 следует, что в случае, когда у уравнения $K_1(p)=0$ имеется конечное число простых корней $p_j$ на интервале $(\phi^{(-)}(x_0),\phi^{(+)}(x_0))$, у задачи (1) существует столько же соответствующих им решений c внутренним переходным слоем в $\varepsilon$-окрестности точки разрыва $x_0$, устойчивость которых определяется знаком производной $\frac{dK}{dp}(p_j)$. Пример такой ситуации приведен в п. 4.1. 4. Примеры4.1. Дрейфо-диффузионная модель полупроводникаУравнения типа (1) находят применение в дрейфо-диффузионной модели полупроводника. В одномерном случае система уравнений, связывающая напряженность электрического поля $E(x)$ и концентрацию электронов $n(x)$, выглядит следующим образом (см. [17]):
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \frac{\partial n}{\partial t}-\frac{\partial}{\partial x} \biggl[nV(E)+D\,\frac{\partial n}{\partial x}\biggr]=0, \\ \frac{\partial E}{\partial x}=-\frac{4\pi q}{\epsilon}(n-n_0).\\ \end{gathered}
\end{equation}
\tag{20}
$$
Здесь $D$ – коэффициент диффузии, который предполагается независящим от напряженности $E$ (правомерность этого ограничения обоснована в [17]), $V(E)$ – скорость дрейфа электронов, $n_0(x)$ – равновесная концентрация электронов, $q$ – абсолютная величина заряда электрона, $\epsilon$ – диэлектрическая проницаемость полупроводника. Исключая в системе (20) $n(x)$ и интегрируя по координате $x$, приходим к уравнению
$$
\begin{equation}
D\epsilon\,\frac{\partial^2 E}{\partial x^2} -\epsilon\,\frac{\partial E}{\partial t} +\epsilon V(E)\,\frac{\partial E}{\partial x} =4\pi\biggl(-j+Dq\,\frac{\partial n_0}{\partial x}+qV(E)n_0\biggr),
\end{equation}
\tag{21}
$$
где $j$ – полный ток через образец. Нас интересует полупроводник, имеющий N-образную зависимость скорости дрейфа электронов $V$ от поля $E$, а следовательно, N-образную вольт-амперную характеристику. Такие полупроводники обладают участком вольт-амперной характеристики с отрицательным дифференциальным сопротивлением, к ним относятся, например, GaAs, AlGaAs. Согласно [22] зависимость $V(E)$ в случае двухдолинной модели имеет вид
$$
\begin{equation}
V(E)=E(\mu_{e \Gamma}F(E)+\mu_{eL}[1-F(E)]),\qquad F(E)=[1+(E/E_c)^a]^{-b},
\end{equation}
\tag{22}
$$
где $\mu_{e\Gamma}=5000\,\text{см}^2/\text{Вс}$, $\mu_{eL}=300\,\text{см}^2/\text{Вс}$ – значения подвижности электронов в центральной и боковой долинах, $E_c=3\,\text{кВ}/\text{см}$ – значение поля насыщения, $a=5.6$, $b=0.25$ – материальные параметры GaAs. Пусть $L$ – длина образца, $n_{00}$, $V_0$ – характерные величины для $n(x)$ и $V(E)$ соответственно. Введем безразмерные функции: $\tilde x=x/L$, $\widetilde E=E/E_c$, $\widetilde V(u)=V/V_0$, $\tilde j=4\pi \lambda jL/qn_{00}D$, $\tilde n(\tilde x)=n(x)/n_{00}$, $\tilde n_0(\tilde x)=n_0(x)/n_{00}$. Параметр $\tilde j$ можно задавать постоянным, подключая образец к источнику постоянного тока. В стационарном случае в безразмерных переменных уравнение (21) принимает вид
$$
\begin{equation}
\varepsilon^2\lambda\,\frac{\partial^2\widetilde E}{\partial\tilde x^2} +\varepsilon^2\widetilde V(\widetilde E)\, \frac{\partial\widetilde E}{\partial\tilde x} =-\tilde j+4\pi\lambda\,\frac{\partial\tilde n_0}{\partial\tilde x} +4\pi\tilde n_0\widetilde V(\widetilde E),
\end{equation}
\tag{23}
$$
где $\varepsilon^2=\epsilon E_c/Lqn_{00}$, $\lambda=D/LV_0$ – безразмерные параметры. Для дальнейшего расчета были приняты следующие значения: $\epsilon=13$, $q=4.8\cdot 10^{-10}$ Фр, $L= 10^{-5}$ см, $n_{00}=3.7\cdot 10^{19}\,\text{см}^{-3}$, $V_0=10^7$ м/c, $D=100\,\text{см}^2/\text{с}$. При этих значениях $\lambda=1$, а $\varepsilon=0.027$ – достаточно малая величина. Можно сделать $\varepsilon$ еще меньше, повысив характерную величину концентрации $n_{00}$. Наконец, уравнение (23) принимает вид уравнения из задачи (1), если положить $u=\widetilde E$, $a(u)=-\widetilde V(u)$, $f(u,x):=-\tilde j+4\pi\tilde n_0'-4\pi\tilde n_0a(u)$ (здесь и далее опустим тильды над $x$ и оставим в этом подразделе один аргумент у функции $a$ и два – у функции $f$). Поставим для простоты на концах полупроводника граничные условия 2-го рода, так как они не влияют на положение внутреннего переходного слоя, являющегося главным объектом исследования настоящей работы. Отметим, что пространственная неоднородность реактивного слагаемого $f(u,x)$ определяется только неоднородностью функции $n_0(x)$ равновесной концентрации электронов, которую называют также профилем легирования полупроводника. Хорошо известно, что неоднородности профиля легирования могут существенно влиять на распределение поля в образце (см., например, [17], [23]). Если функция $n_0(x)$ является гладкой (пример такого профиля см. в [24]), то для приведенной дрейфо-диффузионной модели полупроводника имеют место результаты работы [1]. В работе [1] при условии гладкости реактивного слагаемого и других условиях на входные данные показаны существование и асимптотическая устойчивость по Ляпунову решения, обладающего внутренним переходным слоем, соответствующим обедненному электронами слою в полупроводнике. В частности, эти результаты будут применимы, если в условиях настоящей работы вместо условия 1 потребовать достаточной гладкости функций $a$ и $f$. Местоположение точки перехода в этом случае заранее неизвестно, и ее координата определяется как корень $x=x_0$ уравнения $I(x)=0$. Особенность случая разрыва производной $\partial f/\partial x$, рассмотренного в настоящей работе, заключается в том, что в малой окрестности точки разрыва $x_0$ могут возникать сразу несколько переходных слоев, что не наблюдалось при гладкой реакции. Более того, здесь наблюдается интересный с точки зрения динамики слоев случай односторонней блокировки слоя (см. ниже). На данный момент, по сведению автора, никем не было рассмотрено влияние недостаточной гладкости профиля легирования $n_0(x)$ на распределение поля в образце. Однако известно, что с помощью неравномерного добавления доноров в полупроводник можно добиться практически любой зависимости $n_0(x)$ [25]. Кроме того, примеси, как правило, распределяются в образце неравномерно, а потому важно учесть влияние неоднородностей указанного типа в модели полупроводника. Выберем профиль легирования $\tilde n_0(x)$ таким образом, чтобы функция $\tilde n_0'(x)$ (а следовательно, и функция $f(u,x)$) была негладкой в точке $x_0=0$, например
$$
\begin{equation*}
\tilde n_0(x)=\begin{cases} 1-0.03x^2, &x\in[-0.4,0], \\ 1+0.03 x^2, &x\in[0,0.4]. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Итак, имеем задачу
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \varepsilon^2u''-\varepsilon^2a(u)u'=f(u,x,\varepsilon),\qquad x\in(-0.4,0.4), \\ u'(\pm 0.4,\varepsilon)=0, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{24}
$$
где
$$
\begin{equation*}
f(u,x)=\begin{cases} -\tilde j+4\pi(-0.06 x-(1-0.03x^2)a(u)), &u\in I_u,\quad x\in[-0.4,0], \\ -\tilde j+4\pi(0.06 x-(1+0.03x^2)a(u)), &u\in I_u,\quad x\in[0,0.4]. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Очевидно, условие 1 выполнено. Из вида функции $f$ понятно, что существует такое значение тока $\tilde j$, что выполняются условия 2, 3. Это соответствует случаю, когда равны площади фигур, ограниченных графиками функции $\widetilde V(\widetilde E)$ и горизонтальной прямой $(\tilde j-4\pi\,\frac{\partial\tilde n_0}{\partial\tilde x}(0))/4\pi\tilde n_0(0)$ (см. рис. 1а). Численные расчеты показывают, что для этого нужно положить $\tilde j=15.2$.  Рис. 1.Участок кривой зависимости скорости дрейфа $\widetilde V$ от напряженности $u=\widetilde E$, пересекаемый горизонтальной прямой $(\tilde j-4\pi\frac{\partial\tilde n_0}{\partial\tilde x}(0))/4\pi\tilde n_0(0)$ так, чтобы площади закрашенных фигур были равны (а). Зависимость функции $K_1$ от $p$ для задачи (24) (б). Зависимость интеграла энергии $I$ от координаты $x$ (в). Функция $K_1(p)$ имеет ровно два корня на промежутке $(\varphi^{(-)}(0),\varphi^{(+)}(0))$: $p_{01}=1.66$, $\frac{dK_1}{dp}(p_{01})>0$ и $p_{02}=4.49$, $\frac{dK_1}{dp}(p_{02})<0$ (см. рис. 1б). Согласно теоремам 2, 1 корням $p_{01}$ и $p_{02}$ отвечают соответственно неустойчивое и устойчивое решения задачи (24) с внутренним переходным слоем вблизи точки $x=0$. Как нетрудно видеть, функция $I(x)$ пропорциональна энергии, необходимой для перевода участка полупроводника с координатой $x$ из состояния с электрическим полем $\widetilde E=\phi^{(-)}(x)$ в состояние с полем $\widetilde E=\phi^{(+)}(x)$. По этой причине функцию $I(x)$ назовем интегралом энергии. Она оказывается негладкой и неотрицательной (см. рис. 1в). Известно, что ее положительный знак определяет направление движения слоя слева направо [26], [8] и наоборот. Это полностью соответствует динамике подвижных слоев в окрестности точки $x=0$, задаваемой полученными выше устойчивым и неустойчивым решениями (см. рис. 2).  Рис. 2.Зависимость напряженности поля $u=\widetilde E$ от координаты $x$ (а). Сплошные кривые – асимптотика нулевого порядка для устойчивого решения задачи (24) (верхняя кривая), отвечающего уровню $p_{01}=4.49$, и неустойчивого решения (нижняя кривая), отвечающего уровню $p_{02}=1.66$. Тонкие кривые показывают динамику подвижных слоев и представляют собой численные решения начально-краевой задачи, соответствующей задаче (24), взятые через равные промежутки времени, с тремя различными начальными условиями, которые обозначены штриховыми кривыми. Пунктирные кривые – решения $\phi^{(-)}(x)$ и $\phi^{(+)}(x)$ вырожденного уравнения $f(u,x)=0$. Для каждого из решений, изображенных на рис. 2а, приведен график соответствующей этому решению функции концентрации электронов $\tilde n(x)$ (б). Все обозначения, кроме пунктирных линий, те же, что на рис. 2а. Пунктирной линией здесь обозначена равновесная концентрация электронов $\tilde n_{0}(x)$. Как следует из второго уравнения системы (20), функция $\tilde v=\frac{\partial \tilde u}{\partial\tau}$ имеет смысл избыточной концентрации электронов, показывающей отклонение их концентрации $n(x)$ от равновесной концентрации $n_0(x)$ в нулевом приближении по $\varepsilon$. Тогда из экспоненциального затухания $\tilde v$ при $\tau\to\pm\infty$ следует, что в нулевом приближении вдали от переходного слоя концентрация электронов стремится к равновесной, а вблизи точки $x=0$ возникает обедненный электронами слой (см. рис. 2б). Таким образом, приведенный пример показывает, что в полупроводнике можно создать условия, при которых $\varepsilon$-окрестность точки разрыва оказывается доступна для подвижных слоев, обедненных электронами, приближающихся к ней слева, и заблокирована для таких слоев, находящихся справа от нее. Это дает возможность управления динамикой подвижных слоев в полупроводниках. 4.2. Случай тождественного баланса реакции относительно пространственной координатыРассмотрим следующую задачу:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \varepsilon^2(u''-A(x)u')=F(u,x),\qquad -0.5<x<0.5, \\ F(u,x):=\begin{cases} c^{(+)}(x)u(u^2-1), &u\in I_u,\quad x\geqslant 0, \\ c^{(-)}(x)u(u^2-1), &u\in I_u,\quad x\leqslant 0, \end{cases} \\ \dfrac{\partial u}{\partial x}(-0.5,\varepsilon)=0,\qquad \dfrac{\partial u}{\partial x}(0.5,\varepsilon)=0. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{25}
$$
Пусть
$$
\begin{equation}
c^{(\pm)}(x)>0,\qquad x\in[-0.5,0.5],\qquad \frac{dc^{(+)}}{dx}(0) -\frac{dc^{(-)}}{dx}(0)>0.
\end{equation}
\tag{26}
$$
Очевидно, условия 1, 2 выполнены, причем
$$
\begin{equation*}
\varphi^{(\pm)}(x)=\pm 1,\qquad \varphi^{(0)}(x)\equiv 0.
\end{equation*}
\notag
$$
Условие 3 также выполняется, причем $I(x)\equiv 0$, $x\in[-0.5,0.5]$. Такой случай называется случаем тождественного баланса реакции относительно пространственной координаты $x$. Подробнее остановимся на проверке условий 4, 5а. Функции $K_1(p)$ и $K'_1(p)$ принимают вид
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, K_1(p)&=-A(0)\int_{-1}^1v(u)\,du +\biggl[\frac{dc^{(\pm)}}{dx}(0) \int_{\pm 1}^p(u^2-1)u\tau(u,p)\,du\biggr]^+_-, \\ K'_1(p)&=-\frac{1-p^2}{2\sqrt{2c^{(+)}(0)}} \biggl[\frac{dc^{(\pm)}}{dx}(0)\biggr]^+_-. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
В силу (26) $K'_1(p)<0$ при любых $p\in(-1,1)$. Таким образом, если у уравнения $K_1(p)=0$ есть решение $p=p_0$ на промежутке $(-1,1)$, то оно единственно на этом промежутке. Положим $A(x)=0.2$, $c^{(+)}(x)=1+x$, $c^{(-)}(x)=1$, тогда вычисления дают $p_0=0.13$ (см. рис. 3а). Соответствующее устойчивое решение задачи (25) с динамикой подвижного слоя в его окрестности показано на рис. 3б.  Рис. 3.Зависимость $K_1$ от $p$ для задачи (25) (а). Сплошная кривая – асимптотика нулевого порядка для задачи (25) (б). Тонкие кривые показывают динамику подвижных слоев и представляют собой численные решения начально-краевой задачи, соответствующей задаче (25), взятые через равные промежутки времени, с начальным условием, которое обозначено штриховой кривой. Пунктирные кривые – решения $\phi^{(-)}(x)=-1$ и $\phi^{(+)}(x)=1$ вырожденного уравнения $F(u,x)=0$. БлагодарностиАвтор выражает благодарность профессору Н. Н. Нефедову и профессору Д. А. Бандурину за плодотворные обсуждения. Конфликт интересовАвтор заявляет, что у него нет конфликта интересов. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Nik23} |
|
||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|