| Теоретическая и математическая физика |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) Нётеров заряд, термодинамика и фазовый переход черной дыры в пространстве-времени Шварцшильда–Анти-де-Ситтера–Бельтрами Т. Ангсачон, К. Руэнеаром Division of Physics, Faculty of Science and Technology, Thammasat University, Bangkok, Thailand
Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2023, Volume 217, Issue 1, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S004057792310001X 
Реферативные базы данных:
   1. ВведениеСогласно классической общей теории относительности ничто не может ускользнуть за горизонт событий черной дыры. Однако, если учитывать квантовые флуктуации в окрестности горизонта событий, черные дыры могут испускать частицы. Следовательно, они могут иметь температуру и энтропию и рассматриваться как термодинамические объекты [1]–[3]. Термодинамические свойства черных дыр связаны с их механическими свойствами законами механики черных дыр [4], [5], согласно которым предполагается, что температура и энтропия черной дыры ассоциированы с ее поверхностной гравитацией и площадью горизонта соответственно. Как результат можно сформулировать законы термодинамики черной дыры, используя понятие нётерового заряда и вариацию действия гравитационного поля [6]–[10]. Решение типа сферически-симметричной черной дыры с положительной (отрицательной) космологической постоянной было открыто Коттлером [11]. Оно называется пространством-временем Шварцшильда–(анти)-де Ситтера (сокращенно пространством S(A)dS). Термодинамика черной дыры Шварцшильда в пространстве-времени SAdS впервые была исследована в [12]. Интересно, что существуют две фазы черных дыр SAdS, а именно малые и большие черные дыры с отрицательной и положительной теплоемкостями соответственно. Кроме того, при определенной температуре возникает переход между двумя стабильными фазами – фазой теплового излучения и фазой больших черных дыр. Он известен как фазовый переход Хокинга–Пейджа первого рода. В последнее время был проведен ряд исследований, посвященных дуальности между геометрией пространства-времени AdS и конформной теорией поля, эта дуальность известна как соответствие AdS/CFT [13]–[15]. Оно играет чрезвычайно важную роль при изучении непертурбативной квантовой хромодинамики с помощью термодинамики черной дыры SAdS. В частности, фазовый переход Хокинга–Пейджа можно использовать как голографический двойник фазового перехода конфайнмент/деконфайнмент [13]–[15]. Согласно статьям [16]–[19] космологическая постоянная $\Lambda$ интерпретируется как давление, $P=-\Lambda/{8\pi}$, так что можно ввести термодинамическую работу и тем самым довести до конца формулировку первого закона механики черных дыр. Предполагается, что черная дыра SAdS обладает положительным давлением, вызванным отрицательным значением $\Lambda$. Тогда термодинамический объем черной дыры SAdS можно определить как производную массы по давлению и, таким образом, интерпретировать массу черной дыры SAdS как химическую энтальпию. В работе [20] этот подход был назван подходом расширенного фазового пространства черной дыры в пространстве-времени AdS. Кроме того, в контексте соответствия AdS/CFT значение $\Lambda$ отвечает количеству $N$ совпадающих бран в окружающем пространстве-времени. Изменение давления приводит к изменению количества цветов $N$. В работах [21]–[23] вводились и изучались уравнение состояния, зависящее от $N$ полевых степеней свободы, и тепловой фазовый переход в конформной теории поля. Недавно было показано, что можно получить новое состояние термодинамического равновесия, если рассматривать статистики Реньи асимптотически плоских черных дыр [24]–[28] и пространство-время, асимптотически являющееся пространством де Ситтера [29]–[31]. В работах [26], [27] было предложено интерпретировать параметр неэкстенсивности как термодинамическое давление, а его сопряженный – как термодинамический объем. Эта новая конструкция известна как подход расширенного фазового пространства Реньи. Крайне важно определить координаты, задающие инерциальные системы отсчета в пространствах-временах dS и AdS. Эта система координат известна как координаты Бельтрами [32]–[36], она также определяет пространство, которое называется пространством (анти)-де Ситтера–Бельтрами (сокращенно (A)dSB). Поскольку это пространство-время обладает групповой изометрией, для него можно построить генератор симметрии и сохраняющиеся величины с помощью метода нётеровского заряда так же, как в пространстве-времени Минковского [37]. Вследствие инерционности системы отсчета геодезическая в пространстве-времени (A)dSB представляет собой прямую, аналогичную прямой в пространстве-времени Минковского. Применяя сжатие группы, можно преобразовать генераторы симметрии в пространстве-времени AdSB в генераторы симметрии в пространстве-времени Минковского [35]. Координаты Бельтрами пространства-времени (A)dSB ограничены по радиальной координате $r$, что отличает их от статических координат пространства-времени (A)dS, у которых радиальная координата неограничена [32]–[36]. Временна́я координата Бельтрами не содержит периодического мнимого фактора. Это означает, что в пространстве-времени (A)dSB определено состояние с нулевой температурой [38]. Пространство-время Шварцшильда–(Анти)-де Ситтера–Бельтрами (сокращенно SAdSB) впервые изучалось в работах [39], [40], где было показано, что метрика SAdS в неинерциальных координатах или координатах Бельтрами может быть построена из неинерциальной или статической метрики SAdS путем преобразования сферических координат. Термодинамика черной дыры SdSB была исследована в статье [41], где было установлено, что в координатах Бельтрами черные дыры с положительной кривизной возникают только в нестабильном состоянии. В настоящей статье мы исследуем термодинамические свойства черной дыры в пространстве-времени SAdSB. Термодинамические величины в этом пространстве-времени строятся на основе того факта, что в этом пространстве существует генератор, задающий времениподобную симметрию. Мы предполагаем, что энтропию черной дыры SAdSB можно определить методом нётерового заряда [6]–[9] и аналогичным образом сформулировать первый закон термодинамики черной дыры. Примечательно, что даже в инерциальной системе координат Бельтрами присутствуют нестабильная фаза (маленькая черная дыра) и стабильная фаза (большая черная дыра и тепловое излучение). Кроме того, мы полагаем, что черная дыра SAdSB может рассматриваться как термодинамическая система в ящике или полости из-за существования границы по радиусу в пространстве-времени AdSB. Настоящая статья организована следующим образом. В разделе 2 мы вводим и вкратце описываем координаты Бельтрами в пространстве-времени AdS, а также представляем геодезическое уравнение и определяем генератор временны́х трансляций в пространстве-времени AdSB. В разделе 3 мы определяем преобразования, связывающие, с одной стороны, сферические неинерционные или статические координаты и, с другой стороны, сферические инерционные координаты (координаты Бельтрами). В разделе 4 мы строим метрику пространства-времени SAdSB, используя координатное преобразование между пространствами-временами AdS и AdSB. Мы рассматриваем горизонт событий черной дыры SAdSB, который определяется нормой вектора Киллинга, отвечающего временно́й трансляции, в пространства-времени AdSB. Раздел 5 посвящен определению нётеровых зарядов из этого вектора Киллинга, которые используются для вычисления энтропии черной дыры SAdSB. Показано, что энтропия подчиняется закону площадей Бекенштейна–Хокинга. В разделе 6 мы показываем, что массу черной дыры можно рассматривать как энтальпию, а температура Хокинга связана с поверхностной гравитацией, и вычисляем теплоемкость и свободную энергию Гиббса, чтобы продемонстрировать, какие фазы этой черной дыры возможны. Мы обсуждаем фазовый переход Хокинга–Пейджа и поведение свободной энергии. Всюду в работе используются константы $c=\hbar=G_4=k_{\scriptscriptstyle{\mathrm B}}=1$. 2. Пространство AdSBИзвестно, что пространство-время AdS$_4$ задается как вложенный в пятимерное пространство гиперболоид где $R$ – параметр, определяющий радиус пространства-времени AdS. Таким образом, с использованием координат пятимерного объемлющего пространства-времени Минковского линейный элемент пространства-времени AdS$_4$ представляется как [15]
$$
\begin{equation}
ds^2=dX_A\,dX^A=dX_{-1}^2+dX_0^2-dX_1^2-dX_2^2-dX_3^2,
\end{equation}
\tag{2}
$$
где индекс $A$ пробегает значения $-1,0,1,2,3$. Теперь введем координаты Бельтрами, взяв проекцию центра пятимерного вложенного гиперболоида на гиперплоскость $X_{-1}=R$ со следующей параметризацией: Здесь $x_\mu$ – координаты Бельтрами [32]–[37], а индекс $\mu$ пробегает значения $0,1,2,3$. Подставляя преобразование координат (3) в метрику (2), получаем линейный элемент
$$
\begin{equation}
ds^2=\frac{\eta_{\mu\nu}\,dx^\mu\,dx^\nu}{h^2}-\frac{(\eta_{\mu\nu}x^\mu\,dx^\nu)^2}{R^2h^4},
\end{equation}
\tag{4}
$$
где $h^2=1+\frac{\eta_{\mu\nu}x^\mu x^\nu}{R^2}$ и $\eta_{\mu\nu}$ – метрический тензор в пространстве Минковского. Пространство с элементом (4) называется пространством-временем AdSB [35], [37]. Таким образом, скаляр Риччи этого пространства-времени является постоянным и равен $\mathcal R=-12/R^2$, что совпадает со значением скаляра Риччи в пространстве-времени AdS. Это означает, что пространство-время AdSB тоже имеет постоянную кривизну. Метрический тензор является решением для действия Эйнштейна–Гильберта с отрицательной космологической постоянной
$$
\begin{equation}
I=-\frac{1}{16\pi}\int d^4x\,\sqrt{-g}(\mathcal R-2\Lambda),
\end{equation}
\tag{5}
$$
где соотношение $\Lambda=-3/R^2$ отражает связь между космологической постоянной и радиусом пространства AdS. Уравнение геодезической в этом пространстве-времени записывается как
$$
\begin{equation}
\frac{d^2 x^\mu}{ds^2}-\frac{2}{R^2 h^2}\frac{dx^\mu}{ds}\biggl(x^\nu\frac{dx^\nu}{ds}\biggr)=0.
\end{equation}
\tag{6}
$$
Интересно, что решение этого уравнения дается выражением где $v^i=\frac{dx^i}{dt}$ и $c^i$ – произвольная постоянная. Отсюда следует, что траектория массивной частицы в пространстве-времени AdSB является прямой линией, как и траектория свободной частицы в пространстве-времени Минковского [32]–[34], [36], [37], хотя кривизна пространства-времени AdSB не равна нулю. Это означает, что координаты Бельтрами (3) можно рассматривать как инерциальные координаты в пространстве-времени AdS. Тем самым в пространстве-времени постоянной кривизны, таком как пространство-время AdSB, можно построить инерциальную систему отсчета. Мы видим, что пространство-время AdSB имеет границу при $h^2=0$, поэтому радиус границы определяется как $r_{\mathrm b}=\sqrt{(\eta_{ij}x^ix^j)}\,\big|_{\mathrm b}=\sqrt{R^2+t^2}$. Таким образом, область значений радиуса в этом пространстве-времени есть интервал $r\in[0,r_{\mathrm b}]$. В этом оно отличается от пространства-времени AdS, в котором такая область неограничена, $r\in[0,\infty)$ [15]. Известно, что группа симметрий вложенного пространства-времени AdS$_4$ – это группа $SO(3,2)$, которая реализуется с помощью генераторов симметрии или векторов Киллинга, имеющих вид [37]
$$
\begin{equation}
L_{AB}=X_A\frac{\partial}{\partial X^B}-X_B\frac{\partial}{\partial X^A}.
\end{equation}
\tag{8}
$$
Нас интересует генератор преобразования между времениподобными вложенными координатами $X_{-1}$ и $X_0$, задающего временну́ю трансляцию четырехмерной координаты Бельтрами. В координатах Бельтрами генератор определяется как [35], [37]
$$
\begin{equation}
H=\biggl(1+\frac{t^2}{R^2}\biggr)\frac{\partial}{\partial t}+\frac{tx_i}{R^2}\frac{\partial}{\partial x^i}.
\end{equation}
\tag{9}
$$
Таким образом, мы получаем сохраняющуюся энергию массивной частицы в пространстве-времени AdSB [37]. Генератор (9) аналогичен генератору $\partial/\partial t$ временны́х трансляций в пространстве-времени Минковского, который также отвечает за сохраняющуюся энергию массивной частицы. Аналогично из симметрии генератора (8) строятся другие сохраняющиеся величины, такие как импульс и момент импульса [37]. Это означает, что координаты Бельтрами пространства-времени AdS не только задают исходную систему отсчета, но и приводят к существованию физических сохраняющихся величин в этом пространстве, как в плоском пространстве-времени Минковского. Генератор Бельтрами (9) переходит в генератор временны́х трансляций Минковского в пределе $R\to\infty$. Аналогично с помощью деформации групповой алгебры Галилея генератор $\partial/\partial t$ преобразуется в генератор (9) [35]. Таким образом, только координаты Бельтрами пространства-времени Анти-де-Ситтера могут быть стянуты с помощью групповой структуры в координаты пространства-времени Минковского. Далее мы покажем это, используя преобразование координат между пространствами-временами AdS и AdSB, которое будет обсуждаться в разделе 3. Затем в разделе 4 мы покажем, что генератор (9) является времениподобным вектором Киллинга в пространстве-времени AdSB. 3. Преобразование между сферическими координатами в пространствах AdS и AdSBВ этом разделе мы находим преобразование, переводящее неинерциальную систему координат $x^\mu=(t_{\mathrm n},r_{\mathrm n},\theta_{\mathrm n},\phi_{\mathrm n})$ в пространстве AdS в инерциальную систему координат $x^\mu=(t,r,\theta,\phi)$ в пространстве AdSB. Сначала рассмотрим метрику пространства AdS [12], [14], [15]
$$
\begin{equation}
ds^2=\biggl(1+\frac{r_{\mathrm n}^2}{R^2}\biggr)dt_{\mathrm n}^2- \biggl(1+\frac{r_{\mathrm n}^2}{R^2}\biggr)^{\!-1}dr_{\mathrm n}^2- r_{\mathrm n}^2(d\theta_{\mathrm n}^2+\sin^2\theta_{\mathrm n}\,d\phi_{\mathrm n}^2).
\end{equation}
\tag{10}
$$
Метрика (4) пространства AdSB в сферических координатах записывается как
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, ds^2&=\frac{1}{h^2}\biggl(1-\frac{t^2}{R^2h^2}\biggr)dt^2+\frac{2rt}{r^2h^4}\,dr\,dt-{} \notag\\ &\quad -\frac{1}{h^2}\biggl(1+\frac{r^2}{R^2h^2}\biggr)dr^2-\frac{r^2}{h^2}(d\theta^2+\sin^2\theta\,d\phi^2), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{11}
$$
где Мы предполагаем, что временна́я и пространственные координаты, заданные в неинерциальной системе отсчета, записываются в инерциальной системе как $t_{\mathrm n}=t_{\mathrm n}(t)$, $r_{\mathrm n}=r_{\mathrm n}(r,t)$ и $\theta_{\mathrm n}=\theta_{\mathrm n}(\theta)$, $\phi_{\mathrm n}=\phi_{\mathrm n}(\phi)$. Правило преобразования метрического тензора имеет вид
$$
\begin{equation}
g_{\mu\nu}=\frac{\partial x^\rho_{\mathrm n}}{\partial x^\mu}\frac{\partial x^\sigma_{\mathrm n}}{\partial x^\nu}g_{\mu\nu}^{\mathrm n},
\end{equation}
\tag{12}
$$
где $g_{\mu\nu}$ и $g_{\mu\nu}^{\mathrm n}$ задают метрические тензоры пространств AdSB и AdS соответственно. Следовательно, поставляя метрики (10) и (11) в преобразование (12), получаем следующую систему дифференциальных уравнений для координат AdSB и AdS:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \frac{1}{h^2}\biggl(1-\frac{t^2}{R^2h^2}\biggr)&= \biggl(\frac{\partial t_{\mathrm n}}{\partial t}\biggr)^{\!2}\biggl(1+\frac{r_{\mathrm n}^2}{R^2}\biggr)- \biggl(\frac{\partial r_{\mathrm n}}{\partial t}\biggr)^{\!2}\biggl(\frac{1}{1+r_{\mathrm n}^2/R^2}\biggr), \\ \frac{1}{h^2}\biggl(1+\frac{r^2}{R^2h^2}\biggr)&= \biggl(\frac{\partial r_{\mathrm n}}{\partial t}\biggr)^{\!2}\biggl(\frac{1}{1+r_{\mathrm n}^2/R^2}\biggr), \\ \frac{r^2}{h^2}&=\biggl(\frac{\partial \theta_{\mathrm n}}{\partial\theta}\biggr)^{\!2}r_{\mathrm n}^2, \\ \frac{r^2}{h^2}\sin\theta&=\biggl(\frac{\partial \phi_{\mathrm n}}{\partial \phi}\biggr)^{\!2}r_{\mathrm n}^2\sin\theta_{\mathrm n}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{13}
$$
Нетривиальное решение этой системы имеет вид
$$
\begin{equation}
t_{\mathrm n}=L\operatorname{arctg}\frac{t}{R},\qquad r_{\mathrm n}=\frac{r}{\sqrt{1+(t^2-r^2)/R^2}},
\end{equation}
\tag{14}
$$
$$
\begin{equation}
\theta_{\mathrm n} =\theta,\qquad \phi_{\mathrm n}=\phi.
\end{equation}
\tag{15}
$$
Эти формулы задают преобразование координат пространства AdS в координаты пространства AdSB. С помощью этого преобразования любой физический метрический тензор в пространстве-времени AdSB можно построить из статических координат пространства-времени AdS; мы опишем эту технику в следующем разделе.
4. Пространство-время SAdSBВ этом разделе мы исследуем пространство-время SAdSB и определяем линейный элемент сферически-симметричной гравитирующей массы $M$ в инерциальной системе отсчета пространства-времени с постоянной отрицательной кривизной. Исходная метрика SAdS может быть задана как [11], [12], [14]–[15].
$$
\begin{equation}
ds^2=\biggl(1+\frac{r_{\mathrm n}^2}{R^2}-\frac{2M}{r_{\mathrm n}}\biggr)dt_{\mathrm n}^2- \biggl(1+\frac{r_{\mathrm n}^2}{R^2}-\frac{2 M}{r_{\mathrm n}}\biggr)^{\!-1}dr_{\mathrm n}^2-r_{\mathrm n}^2(d\theta_{\mathrm n}^2+\sin^2\theta_{\mathrm n} d\phi_{\mathrm n}^2).
\end{equation}
\tag{16}
$$
Чтобы получить метрику SAdSB, используем преобразование координат (14), (15), тогда метрика (16) принимает вид
$$
\begin{equation}
ds^2=\biggl(\frac{1}{h_0^4}f(r,t)-\frac{r^2t^2}{R^4h^6f(r,t)}\biggr)dt^2+ 2\frac{h_0^2tr}{R^2h^6f(r,t)}\,dt\,dr-\frac{h_0^4}{h^6f(r,t)}\,dr^2-\frac{r^2}{h^2}\,d\Omega^2,
\end{equation}
\tag{17}
$$
где $d\Omega^2=d\theta^2+\sin^2\theta\,d\phi^2$ и
$$
\begin{equation*}
f(r,t)=1+\frac{r^2}{R^2h^2}-\frac{2M h}{r},\qquad h=\sqrt{1+\frac{t^2-r^2}{R^2}},\qquad h_0=\sqrt{1+\frac{t^2}{R^2}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Эта метрика описывает сферически-симметричное решение с отрицательной космологической постоянной в инерциальной системе отсчета [39], [40]. Исследования черной дыры в пространстве AdSB крайне важны. Поскольку горизонт событий черной дыры является горизонтом Киллинга, т. е. областью, в которой векторное поле Киллинга нормальное, норма векторного поля Киллинга стремится к нулю на поверхности горизонта событий черной дыры [9]. Известно, что вектор Киллинга пространства AdS – это генератор временны́х трансляций (а именно $\xi_{\mathrm n}=\partial/\partial t_{\mathrm n}$), который можно записать в координатах Бельтрами с помощью преобразования (14) как
$$
\begin{equation}
\xi=\frac{\partial x^\mu}{\partial t_{\mathrm n}}\frac{\partial}{\partial x^\mu}=h_0^2\frac{\partial}{\partial t}+\frac{rt}{R^2}\frac{\partial}{\partial r}
\end{equation}
\tag{18}
$$
или, покомпонентно, как Заметим, что вектор Киллинга (18) соответствует генератору временны́х трансляций в пространстве AdSB в сферических координатах (9). Кроме того, вектор Киллинга (19) в координатах AdSB подчиняется уравнению Киллинга
$$
\begin{equation}
\nabla^\mu \xi^\nu+\nabla^\nu\xi^\mu=2\nabla^{[\mu}\xi^{\nu]}=0.
\end{equation}
\tag{20}
$$
Норма вектора Киллинга в метрике SAdSB (17) равна Обозначим радиус горизонта событий черной дыры SAdSB как $r_{+}$. C учетом (21) горизонт событий определяется условием $f(r_{+},t)=0$, поскольку вектор Киллинга является времениподобным вне области черной дыры (т. е. $f(r)>0$ при $r>r_{+}$), светоподобным на горизонте событий ($f(r_{+})=0$), а внутри черной дыры он является пространственноподобным ($f(r)<0$ при $r<r_{+}$). Чтобы получить радиус горизонта событий, введем новую переменную $x_{+}=r_{+}/h$ и подставим ее в уравнение, задающее горизонт событий: Решение этого уравнения имеет вид
$$
\begin{equation}
x_{+}=\frac{r_{+}}{h}=\frac{2}{\sqrt{3}}R\operatorname{sh}\biggl(\frac{1}{3}\operatorname{sh}^{-1}\!\frac{3\sqrt{3} M}{R}\biggr),
\end{equation}
\tag{23}
$$
откуда мы получаем радиус горизонта событий как функцию от гравитирующей массы $M$ и временно́й переменной:
$$
\begin{equation}
r_{+}=\frac{\frac{2}{\sqrt{3}}R\operatorname{sh}\bigl(\frac{1}{3}\operatorname{sh}^{-1}\!\frac{3\sqrt{3} M}{R}\bigr)} {\sqrt{1+\frac{4}{3}\frac{r_{\mathrm b}^2}{R^2}\operatorname{sh}^2\bigl(\frac{1}{3}\operatorname{sh}^{-1}\!\frac{3\sqrt{3} M}{R}\bigr)}},
\end{equation}
\tag{24}
$$
где $r_{\mathrm b}=\sqrt{R^2+t^2}$ есть верхняя граница радиальной переменной, определяющаяся фоновой метрикой пространства AdSB (17). Этот граничный радиус зависит от времени, в пределе $R\gg t$ он медленно изменяется и стремится к радиусу $r_{\mathrm b}\simeq R$ в пространстве AdS. Из (22) также можно получить связь между массой и радиусом горизонта событий:
$$
\begin{equation}
M=\frac{x_{+}(R^2+x_{+}^2)}{2R^2}=\frac{r_{+}r_{\mathrm b}^2R}{2(r_{\mathrm b}^2-r_{+}^2)^{3/2}}.
\end{equation}
\tag{25}
$$
Мы видим, что значение массы черной дыры SAdSB ограничено радиусом $r_{\mathrm b}$. Далее в разделах 4 и 5 мы используем массу для того, чтобы получить соотношение Смарра и сформулировать первый закон механики (термодинамики) черных дыр.
5. Энтропия черной дыры SAdSB как нётеров зарядВ этом разделе мы определяем энтропию черной дыры SAdSB. Хотя метрика этой черной дыры зависит от времени, существуют изометрия и генератор симметрии, описанные в разделе 2. Мы сформулируем закон площадей для энтропии, соотношение Смарра и первый закон механики черных дыр с помощью техники нётерова заряда. Вальд и Айер предположили [6], [7], что инвариантный относительно диффеоморфизма лагранжиан гравитационного поля можно использовать для построения нётерова заряда. Исходя из действия Эйнштейна–Гильберта (5) с постоянной отрицательной кривизной можно представить плотность нётерова тока как [7]–[10] где
$$
\begin{equation}
Q^{\mu\nu}=\frac{1}{8\pi}\nabla^{[\mu}\xi^{\nu]}=\frac{1}{16\pi}(\nabla^\mu\xi^\nu-\nabla^\nu\xi^\mu)
\end{equation}
\tag{27}
$$
суть элементы нётерова заряда гравитационного поля в пространстве-времени постоянной кривизны, порожденные вектором Киллинга $\xi^\mu$ [10], [42]. Известно [7]–[10], [42], что интеграл по двумерной поверхности от нётерова заряда для гравитационных полей Эйнштейна в пространстве-времени AdS записывается как
$$
\begin{equation}
Q=\int_{\partial\Sigma} Q^{\mu \nu}\,d\sigma_{\mu\nu},
\end{equation}
\tag{28}
$$
где
$$
\begin{equation*}
d\sigma_{\mu\nu}=\frac{1}{4}\sqrt{-g}\,\varepsilon_{\mu\nu\theta\phi} \det\biggl(\frac{\partial(x^\mu,x^\nu)}{\partial(\theta,\phi)}\biggr)d\theta\,d\phi
\end{equation*}
\notag
$$
есть элемент площади замкнутой двумерной поверхности $\partial\Sigma$ горизонта событий. Отсюда получаем, что ненулевые элементы плотности нётерова заряда для метрики SAdSB равны
$$
\begin{equation}
Q^{01}=-Q^{10}=\frac{1}{16\pi}(\nabla^0\xi^1-\nabla^1\xi^0)=\frac{h^2}{8\pi R^2}\biggl(r-M h+\frac{M R^2h h_0^2}{r^2}\biggr),
\end{equation}
\tag{29}
$$
при этом ненулевыми компонентами двумерного элемента площади являются
$$
\begin{equation}
d\sigma_{01}=-d\sigma_{10}=\frac{r^2}{2h^5}\sin\theta\,d\theta\,d\phi.
\end{equation}
\tag{30}
$$
В результате из интеграла (28) получаем следующую сохраняющуюся величину для черной дыры SAdSB:
$$
\begin{equation}
Q=2\int_{\partial\Sigma}Q^{01}\,d\sigma_{01}=\frac{M}{2}+\frac{x_{+}^3}{2R^2}.
\end{equation}
\tag{31}
$$
Далее из интеграла от нётерова заряда по поверхности горизонта событий вычисляется энтропия черной дыры [7]–[10]
$$
\begin{equation}
S_{\mathrm{BH}}=\frac{2\pi}{\kappa_{ \scriptscriptstyle{\mathrm H} }}Q= \frac{2\pi}{\kappa_{ \scriptscriptstyle{\mathrm H} }}\int_{\partial\Sigma}Q^{\mu\nu}\,d\sigma_{\mu\nu},
\end{equation}
\tag{32}
$$
где $\kappa_{ \scriptscriptstyle{\mathrm H} }$ – поверхностная гравитация черной дыры SAdSB на горизонте событий. Таким же образом через нётеров заряд гравитационного лагранжиана может быть определена энтропия любой черной дыры [7]–[9]. С помощью выражения для массы (25) получаем поверхностную гравитацию в метрике SAdSB
$$
\begin{equation}
\kappa_{ \scriptscriptstyle{\mathrm H} }=\sqrt{-\frac{1}{2}\nabla^\nu \xi^\mu \nabla_\nu\xi_\mu}= \frac{1}{2}\frac{df(x)}{dx}\bigg|_{x_{+}}=\frac{R^2+3x_{+}^2}{2R^2 x_{+}}.
\end{equation}
\tag{33}
$$
В результате энтропия (32) черной дыры SAdSB принимает вид
$$
\begin{equation}
S_{\mathrm{BH}}= \frac{1}{4\kappa_{ \scriptscriptstyle{\mathrm H} }}\int_0^\pi\int_0^{2\pi}(\nabla^0\xi^1)\frac{r_{+}^2}{h_{+}^5}\sin\theta\,d\theta\,d\phi= \pi x_{+}^2=\frac{\pi r_{+}^2 R^2}{r_{\mathrm b}^2-r_{+}^2}.
\end{equation}
\tag{34}
$$
При этом площадь горизонта черной дыры SAdSB рассчитывается как интеграл по поверхности,
$$
\begin{equation}
\mathcal A_{\mathrm H}=\int_0^{\pi}\int_0^{2\pi}\sqrt{g_{\theta\theta}g_{\phi\phi}}\,d\theta\,d\phi= 4\pi x_{+}^2=4\pi\frac{r_{+}^2R^2}{r_{\mathrm b}^2-r_{+}^2}.
\end{equation}
\tag{35}
$$
Сравнивая выражения (34) и (35), получаем примечательный результат: для энтропии черной дыры SAdSB справедлив обычный закон площадей Бекенштейна–Хокинга: Комбинируя соотношения (31), (32) и (36) и исключая $S_{\mathrm{BH}}$, мы можем записать формулу Смарра механики черных дыр:
$$
\begin{equation}
\frac{M}{2}=\frac{\kappa_{ \scriptscriptstyle{\mathrm H} }}{8\pi}\mathcal A_{\mathrm H}-\frac{x_{+}^3}{2R^2}.
\end{equation}
\tag{37}
$$
6. Термодинамический фазовый переход черной дыры SAdSBВ этом разделе мы определяем термодинамические величины и термодинамические соотношения для черной дыры SAdSB, получаем выражения для теплоемкости и свободной энергии Гиббса и с их помощью изучаем фазовую структуру и фазовый переход этой черной дыры. Сформулируем термодинамический формализм из закона площадей (36) для энтропии и выражения (25) для массы. Радиус кривизны $R$ пространства AdS можно представить как термодинамическое давление, используя соотношение [17]–[19], [43] На основании выражения (34) для энтропии и равенства (38) мы полагаем, что масса черной дыры SAdSB (25) играет роль функции энтальпии $H(S_{\mathrm{BH}},P)$ [16], [17], [19] и выражается как
$$
\begin{equation}
M=H(S_{\mathrm{BH}},P)=\sqrt{\frac{S_{\mathrm{BH}}}{4\pi}}\biggl(1+\frac{8S_{\mathrm{BH}}P}{3}\biggr).
\end{equation}
\tag{39}
$$
Тогда мы можем использовать термодинамическое соотношение Максвелла для задания температуры Хокинга и термодинамического объема черной дыры SAdSB:
$$
\begin{equation}
T_{\mathrm H}=\frac{\partial H}{\partial S}\bigg|_{P}=\sqrt{\frac{1}{16\pi S_{\mathrm{BH}}}}(1+8PS_{\mathrm{BH}}),
\end{equation}
\tag{40}
$$
$$
\begin{equation}
V=\frac{\partial H}{\partial P}\bigg|_{S_{\mathrm{BH}}}=\frac{4}{3}\frac{S_{\mathrm{BH}}^{3/2}}{\sqrt{\pi}}.
\end{equation}
\tag{41}
$$
Из (40) можно показать, что температура Хокинга связана с поверхностной гравитацией на горизонте событий черной дыры SAdSB (33) соотношением
$$
\begin{equation}
T_{\mathrm H}=\frac{R^2+3x_{+}^2}{4\pi R^2x_{+}}= \frac{1}{4\pi r_{+}R}\biggl(\frac{\kern3.1pt r_{\mathrm b}^2+2r_{+}^2\kern3.1pt} {\sqrt{\phantom{r^A-rr}}\kern-34pt r_{\mathrm b}^2-r_{+}^2\kern0.5pt}\biggr)=\frac{\kappa_{ \scriptscriptstyle{\mathrm H} }}{2\pi},
\end{equation}
\tag{42}
$$
а термодинамический объем (41) выражается через радиус горизонта событий $r_{+}$ по формуле
$$
\begin{equation}
V=\frac{4\pi x_{+}^3}{3}=\frac{4}{3}\frac{\pi r_{+}^3R^3}{(r_{\mathrm b}^2-r_{+}^2)^{3/2}}.
\end{equation}
\tag{43}
$$
Следовательно, с учетом (37) мы можем сформулировать первый закон механики черной дыры, описывающий связь между массой, площадью горизонта событий и давлением черной дыры SAdSB:
$$
\begin{equation}
dM=\frac{\kappa_{ \scriptscriptstyle{\mathrm H} }}{8\pi}\,d\mathcal A_{\mathrm H}+VdP.
\end{equation}
\tag{44}
$$
Заметим, что соотношение Смарра (37) и первый закон механики имеют тот же вид, что и в случае черной дыры SAdS [19]. В результате первый закон термодинамики черных дыр в пространстве-времени AdSB формулируется как
$$
\begin{equation}
dM=dH(S_{\mathrm{BH}},P)=T_{\mathrm H}\,dS_{\mathrm{BH}}+VdP.
\end{equation}
\tag{45}
$$
Теперь мы можем описать термодинамические свойства черной дыры SAdSB. Выражение (42) для температуры Хокинга говорит о том, что область черной дыры SAdSB задается соотношением $h^2=0$ только в диапазоне $(0,r_{\mathrm b})$, поскольку значение температуры ограничено только вплоть до радиуса $r_{\mathrm b}$. Это отличается от случая температуры черной дыры SAdS, но похоже на результат для черной дыры Шварцшильда в ящике [44]. Поведение температуры показано на рис. 1а. Температура черной дыры SAdSB незначительно изменяется в пределе $R\gg t$. Известно, что фаза черной дыры характеризуется теплоемкостью и свободной энергией Гиббса. Применим эти величины для изучения фазового перехода черной дыры SAdSB. Теплоемкость черной дыры SAdSB определяется из соотношения
$$
\begin{equation}
C=\frac{\partial M}{\partial T_{\mathrm H}}=\frac{2\pi r_{+}^2R^2(r_{\mathrm b}^2+2r_{+}^2)}{(r_{\mathrm b}^2-r_{+}^2)(4r_{+}^2-r_{\mathrm b}^2)}.
\end{equation}
\tag{46}
$$
Из графика зависимости температуры от радиуса горизонта видно (см. рис. 1а), что минимальная температура $T_{\min}$ разделяет два состояния черной дыры SAdSB. А именно, на графике теплоемкости как функции радиуса горизонта имеется разрыв (см. рис. 1б), когда радиус горизонта принимает значение $r_{\mathrm c}=r_{\mathrm b}/2$, что указывает на переход между двумя фазами черной дыры SAdSB. В пределе $R\gg t$ значение $r_{\mathrm c}$ примерно равно $R/2$, что меньше критического радиуса $r_{\mathrm c}$ черной дыры SAdS. Аналогично с использованием критического радиуса $r_{\mathrm c}$ вычисляется минимальная температура: Эта температура характеризует черную дыру SAdSB в двух различных состояниях в соответствии с ее теплоемкостью, т. е. мы имеем малые черные дыры при $C<0$ и большие черные дыры при $C>0$. Минимальная температура черной дыры SAdSB такая же, как в случае черной дыры SAdS. Два решения для радиуса горизонта в случаях состояний малой ($r_{\mathrm s}$) и большой ($r_\ell$) черной дыры зависят от температуры и задаются формулой
$$
\begin{equation}
r^2_{\ell,\mathrm s}= \frac{r_{\mathrm b}^2\bigl(4\pi^2 R^2T_{\mathrm H}^2-1\pm 2\pi RT_{\mathrm H}\sqrt{4\pi^2 R^2T_{\mathrm H}^2-3}\,\bigr)}{2(1+4\pi^2R^2 T_{\mathrm H}^2)}.
\end{equation}
\tag{48}
$$
Фазовый переход черной дыры SAdSB также можно описать с помощью свободной энергии Гиббса
$$
\begin{equation}
G=M-T_{\mathrm H} S_{BH}=\frac{r_{+}R(r_{\mathrm b}^2-2r_{+}^2)}{4(r_{\mathrm b}^2-r_{+}^2)^{3/2}}.
\end{equation}
\tag{49}
$$
На рис. 2 изображен график свободной энергии Гиббса как функции от температуры Хокинга. На этом графике мы также наблюдаем разрыв производной из-за фазового перехода черной дыры SAdSB, который происходит при критической минимальной температуре $T_{\min}$, что хорошо согласуется с результатом предыдущего обсуждения. Поэтому мы также можем использовать связь между свободной энергией Гиббса и температурой Хокинга, чтобы получить две фазы черной дыры SAdSB. Далее рассмотрим, чему равна свободная энергия Гиббса в пределах большой и малой черной дыры. Предел малой черной дыры возникает при условии $r_{+},t\ll R$, и тогда свободная энергия Гиббса С другой стороны, предел большой черной дыры возникает при $r_{+}\sim R\gg t$, в этом пределе свободная энергия Гиббса Очевидно, что предел больших черных дыр в пространстве SAdSB отличается от аналогичного предела в пространстве SAdS, поскольку размер большой черной дыры почти равен радиусу пространства AdS.Конечно, мы можем задать температуру Хокинга–Пейджа черной дыры SAdSB как точку пересечения графика свободной энергии от температуры с уровнем $G=0$. Получаем Таким образом, можно сказать, что фазовый переход первого рода из теплового пространства-времени AdS в большую черную дыру в координатах Бельтрами происходит при температуре $T_{\mathrm{HP}}$ и радиусе $r_{\scriptscriptstyle{\mathrm{HP}}}=r_{\mathrm b}/\sqrt{2}$. В пределе $R\gg t$ значение $r_{\scriptscriptstyle{\mathrm{HP}}}\simeq R/\sqrt{2}$ для черной дыры SAdSB опять же меньше радиуса фазового перехода Хокинга–Пейджа черной дыры SAdS.Рассмотрим канонический ансамбль SAdSB в контексте свободной энергии Гиббса вне поверхности черной дыры [27], [45]. Эту свободную энергию можно получить, заменив температуру Хокинга $T_{\mathrm H}$ температурой ансамбля $T$, что дает
$$
\begin{equation}
\kern0.2pt{\overline{\vphantom{G^{;}}\kern7.2pt}\kern-7.4pt G} =M-TS=\frac{R r_{+}r_{\mathrm b}^2}{2(r_{\mathrm b}-r_{+})^{3/2}}-\frac{\pi TR^2r_{+}^2}{r_{\mathrm b}^2-r_{+}^2}.
\end{equation}
\tag{53}
$$
График зависимости $ \kern0.2pt{\overline{\vphantom{G^{;}}\kern7.2pt}\kern-7.4pt G} $ от $r_{+}$ показан на рис. 3. Заметим, что свободная энергия $ \kern0.2pt{\overline{\vphantom{G^{;}}\kern7.2pt}\kern-7.4pt G} $ черной дыры SAdSB задается только в области $r_{+}<r_{\mathrm b}$, как и в случае асимптотически плоской черной дыры Шварцшильда в полости [46]. При низкой температуре $T<T_{\min}$ фазы черной дыры отсутствуют, а единственный глобальный минимум функции $ \kern0.2pt{\overline{\vphantom{G^{;}}\kern7.2pt}\kern-7.4pt G} $ соответствует тепловому излучению в пространстве AdSB. Когда температура становится равной $T=T_{\min}$, в точке перегиба появляется конфигурация черной дыры. При $T_{\min}<T<T_{\mathrm{HP}}$ возникают две конфигурации черных дыр – фазы малой и большой черных дыр, которые соответствуют локальным максимуму и минимуму функции $ \kern0.2pt{\overline{\vphantom{G^{;}}\kern7.2pt}\kern-7.4pt G} $. При температуре фазового перехода Хокинга–Пейджа $T=T_{\mathrm{HP}}$ свободные энергии Гиббса вне поверхности черной дыры как для фазы излучения, так и для фазы большой черной дыры одинаковые, $ \kern0.2pt{\overline{\vphantom{G^{;}}\kern7.2pt}\kern-7.4pt G} _{\mathrm{rad}}= \kern0.2pt{\overline{\vphantom{G^{;}}\kern7.2pt}\kern-7.4pt G} _{\mathrm{LBH}}=0$ (см. кривую на рис. 3 для $T=T_{\mathrm{HP}}$). В этой точке параметр порядка $r_{+}$ скачкообразно меняется от фазы теплового излучения к фазе большой черной дыры, поэтому данный фазовый переход рассматривается как фазовый переход первого рода. Наконец, в области $T>T_{\mathrm{HP}}$ мы получаем, что фаза большой черной дыры является наиболее термодинамически предпочтительным состоянием с точки зрения свободной энергии системы. 7. ЗаключениеВ представленной работе мы нашли решение для гравитирующей массы в инерциальной системе координат пространства-времени AdS. Горизонт событий черной дыры SAdSB определяется нулевой нормой вектора Киллинга (19), который задает временны́е трансляции в координатах Бельтрами. Мы обнаружили, что энтропия черной дыры SAdSB связана с площадью поверхности горизонта событий и удовлетворяет закону площадей Бекенштейна–Хокинга. Примечательно, что энтропию можно рассматривать как нётеров заряд, создаваемый вектором Киллинга. Также мы сформулировали соотношение Смарра для этой черной дыры с помощью интеграла от нётерова заряда и определили термодинамические величины через полученную энтропию. Температура Хокинга и свободная энергия Гиббса зависят от верхней границы радиуса и по своему характеру аналогичны тем же величинам для плоской черной дыры в полости. Однако граница полости в метрике SAdSB меняется со временем. Это отличает наш случай от случая черной дыры SAdS. Кроме того, критический радиус $r_{\mathrm c}$, при котором возникает фазовый переход от малой к большой черной дыре, в пространстве-времени AdSB меньше такого же радиуса в пространстве-времени AdS, но минимальная температура $T_{\min}$ принимает одно и то же значение в этих двух пространствах-временах. Мы также обсудили фазовый переход Хокинга–Пейджа между тепловым фоном AdS и состоянием большой черной дыры в координатах Бельтрами. Температура фазового перехода $T_{\mathrm{HP}}$ остается такой же, как в случае черной дыры SAdS, при этом радиус перехода $r_{\scriptscriptstyle{\mathrm{HP}}}$ черной дыры SAdSB уменьшается по сравнению со случаем черной дыры в неинерциальных координатах. Мы получили графики свободной энергии вне поверхности черной дыры, из которых можно увидеть все возможные фазы черных дыр SAdSB. Мы полагаем, что имеется сходство между фазами черной дыры SAdSB и фазами черной дыры в ящике или полости. Изменение знака пространственно-временны́х переменных черной дыры SAdSB вызывает фазовый переход, на что указывает скачок производной графика свободной энергии Гиббса и температуры. С другой стороны, в черной дыре SdSB фазовый переход не существует [41], поскольку график зависимости свободной энергии Гиббса от температуры имеет непрерывную производную. БлагодарностиАвторы выражают свою благодарность Ч. Промсири, С. Понглертсакулу и С. Н. Маниде за полезные обсуждения этой статьи. Конфликт интересовАвторы заявляют, что у них нет конфликта интересов.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{AngRue23} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|