| Теоретическая и математическая физика |
|
|
|
|
|
Интегралы от тау-функций: хороводная тау-функция и многоматричные интегралы А. Ю. Орловab a Институт океанологии им. П. П. Ширшова Российской академии наук, Москва, Россия b Институт теоретической и экспериментальной физики имени А.И. Алиханова Национального исследовательского центра "Курчатовский институт", Москва, Россия
Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2023, Volume 215, Issue 3, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S004057792306003X 
Реферативные базы данных:
   1. ВведениеЭту статью я хочу посвятить Андрею Погребкову в связи с его 75-летием. Андрей внес заметный и разносторонний вклад в развитие теории интегрируемых систем: среди его достижений – определение вершинного оператора (работа Погребкова и Сушко [1], опубликованная в 1975 г.), правильно определенный гамильтонов формализм, работы по обратной задаче рассеяния, детальное изучение ряда конкретных интегрируемых уравнений и ряд других, часто очень оригинальных, подходов к теории интегрируемости. Моя работа представляет несколько иное направление, но я благодарен Андрею за всегда вдохновляющие дискуссии на эту тему. Наверное, излишне говорить о роли разработанной киотской школой концепции тау-функции [2] (см. также работу [3] и ссылки в ней). В настоящей работе тау-функция интересует нас как подынтегральная функция в моделях случайных матриц, где матричные элементы являются аргументами тау-функции. Как было отмечено в ряде статей [4] (см. приложение 2), [5]–[12], тау-функция представляет собой естественный объект интегрирования; это связано с тем, что она разлагается в подходящие ряды по функциям Шура (что было обнаружено в [2], [3] для $a_\infty$-иерархий и затем описано для $b_\infty$-иерархий в [13]), а функцию Шура удобно интегрировать. Известные примеры такого подхода включают в себя обобщенную модель Концевича [14], [15], одно- и двухматричную модели [5], [16], модель нормальных матриц [17], ансамбль Жинибра [6], ортогональные и симплектические ансамбли [18], [19] (которые впервые были соотнесены с тау-функцией большой иерархии BКП в работе [20]), круговые ансамбли [18]. В зависимости от ситуации существуют три метода расчета: интегрирование по собственным значениям, как в [14], [16], [17], [21]; использование фермионного представления, как в [22]–[24], и интегрирование по матричным элементам [8], [25]. В настоящей работе используется последний метод, при этом случайные матрицы связаны с вложенным графом. Идея применения интегралов по матрицам, связанным с ребрами графа, использовалась Виттеном при описании двумерной теории Янга–Миллса [11]. Он рассматривал унитарные матрицы, в этом случае подынтегральную функцию можно интерпретировать как произведение экспонент или, что то же самое, как произведение простейших тау-функций цепочки Тоды (ЦТ), старшие времена которых связаны с монодромиями вокруг плакетов. Цель настоящей работы – показать, что $2\mathcal N$-компонентные тау-функции ЦТ можно использовать в качестве подынтегральной функции и что такая матричная модель приводит к компактному ответу в виде ряда по разбиениям вместо интеграла по $\mathcal N\cdot N^2$ комплексным переменным. Здесь $N\times N$ – размер случайной матрицы. Понятие многокомпонентной тау-функции было введено в работе [3] (см. также [26]). Вместо двух наборов старших времен в этом случае мы получаем $2\mathcal N$ наборов, в которых часть старших времен зависит от случайных матриц, а часть остается свободными параметрами (константы связи модели). Использовать такие тау-функции было предложено в работе [10], здесь мы намерены рассмотреть пример, когда подынтегральная функция – это простейшая нетривиальная многокомпонентная тау-функция, которую мы называем хороводной тау-функцией. Ответом для такого интеграла в общем случае будет ряд Миронова–Морозова–Натанзона [27], [28], порождающий числа Гурвица, и мы выделим случаи, когда этот ряд является тау-функцией. 2. Простейшие нетривиальные тау-функции многокомпонентной ЦТХорошо известное соотношение Коши–Литтлвуда можно записать в виде
$$
\begin{equation}
\exp\biggl\{{-\sum_{m>0}}\frac{1}{m}p_m\tilde p_m\biggr\}= 1+\sum_{\kappa>0}\sum_{\substack{\alpha_1>\cdots>\alpha_\kappa,\\ \beta_1>\cdots>\beta_\kappa}\,} s_{(\alpha|\beta)}(\mathbf p)s_{(\beta|\alpha)}(\tilde{\mathbf p})=\tau_0(\mathbf p,\tilde{\mathbf p}).
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
Здесь $\mathbf p=(p_1,p_2,\ldots)$ и $\tilde{\mathbf p}=(\tilde p_1,\tilde p_2,\ldots)$ – два бесконечных множества переменных и $s_{(\alpha|\beta)}$ – многочлен Шура [29] от переменных степенной суммы, индексированный разбиением $(\alpha|\beta)$, которое записано в координатах Фробениуса $\alpha=(\alpha_1,\ldots,\alpha_\kappa)$ и $\beta=(\beta_1,\ldots,\beta_\kappa)$ (см. приложение A). Это также простейший пример тау-функции ЦТ [3], [26], [30], где переменные $\mathbf p$ и $\tilde{\mathbf p}$ играют роль так называемых высших времен1. Тау-функция (2.1) записана в виде ряда по функциям Шура, как это было сделано в [31], [32]. Прямое обобщение этого выражения на $\mathcal N$-компонентную ЦТ дает
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \tau_0(\mathbf p^1,&\tilde{\mathbf p}^1,\ldots,\mathbf p^{\mathcal N},\tilde{\mathbf p}^{\mathcal N})=\nonumber\\ &=1+\sum_{\kappa>0}\sum_{\substack{\alpha^1_1>\cdots>\alpha^1_\kappa,\\ \beta^1_1>\cdots>\beta^1_\kappa\,}} \cdots \sum_{\substack{\alpha^\mathcal N_1>\cdots>\alpha^\mathcal N_\kappa,\\ \beta^\mathcal N_1>\cdots>\beta^\mathcal N_\kappa\,}}\; \prod_{1\leqslant i\leqslant\mathcal N}^{\circlearrowleft} s_{(\alpha^i|\beta^i)}(\mathbf p^i)s_{(\beta^i|\alpha^{i+1})}(\tilde{\mathbf p}^i), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
где каждый из наборов высших времен обозначен как $\mathbf p^i$ и $\tilde{\mathbf p}^i$, $i=1,\ldots,\mathcal N$. Символ $\circlearrowleft$ над знаком произведения обозначает, что налагается условие $\alpha^{\mathcal N+1}=\alpha^1$, которое замыкает цепочку функций Шура в круг, чем и объясняется введенное название “хороводная”. Мне нравится это выражение, оно чем-то напоминает картину Матисса “Танец”. Существует красивое выражение для ряда (2.2), похожее на левую часть (2.1), см. формулу (38) в [33]:
$$
\begin{equation}
\tau_0(\mathbf p^1,\tilde{\mathbf p}^1,\ldots,\mathbf p^{\mathcal N},\tilde{\mathbf p}^{\mathcal N})= \exp\sum_{n>0}\frac{(-1)^{n+1}}{n} \operatorname{tr} \bigl(X(\mathbf p^1)X(\tilde{\mathbf p}^1)\ldots X(\mathbf p^{\mathcal N)} X(\tilde{\mathbf p}^{\mathcal N)}\bigr)^n,
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
где каждый элемент матрицы $X$ задается функцией Шура для диаграммы с одним крюком: Здесь $(i|j)$ – обозначение Фробениуса для крюка диаграммы Юнга с длиной руки $i$ и длиной ноги $j$ [29]. Случай (2.1) отвечает $\mathcal N=1$ [33].
3. Графы и матричные моделиРассмотрим комплексные матрицы $Z_1,\ldots,Z_n$ из группы $GL_N$ и их эрмитово сопряженные $Z_{-1}^{},\ldots,Z_{-n}^{}$, где $Z_{-i}^{}:=Z_i^\unicode{8224}$. Умножим каждую $Z_i$ на матрицу $C_i\in GL_N$ справа, $Z_i\to Z_iC_i$, где $i=\pm 1,\ldots,\pm n$. Матрицы $Z_i$ будем называть случайными, а матрицы $C_i$ – источниками. Элементы случайных матриц имеют гауссово распределение с корреляционным моментом
$$
\begin{equation}
\langle(Z_a)_{ij}(Z_{a'})_{i'j'}\rangle=\frac{1}{N}\delta_{a+a',0}\delta_{ii'}\delta_{jj'}.
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
Эти корреляционные функции отвечают так называемому комплексному многоматричному ансамблю Жинибра [34]–[36] (см. приложение В). Для вычисления различных корреляционных функций используется правило Вика. Мы изучаем специальные корреляционные функции, которые получаются следующим образом. Пусть $\mathrm Z=\{Z_1,\ldots,Z_n\}$ – множество случайных матриц. Рассмотрим матрицы $W_1(\mathrm Z),\ldots,W_{\mathrm V}(\mathrm Z)$ из $GL_N$, такие что каждая $W_a(\mathrm Z)$ является произведением пар $Z_iC_i$. Любое произведение пар матриц, входящих в $W_a(\mathrm Z)$, определяется с точностью до циклической перестановки сомножителей. Наложим условие: каждая пара входит один и только один раз в одну из матриц набора $\{W_a(\mathrm Z),\,a=1,\ldots,\mathrm V\}$. В этом случае имеется двумерная ориентируемая поверхность $\Omega$ и вложенный граф2 $\Gamma$ на ней с $n$ пронумерованными ребрами и с $\mathrm V$ пронумерованными вершинами, который строится следующим образом. Каждое ребро с номером $|i|$ ($|i|=1,\ldots,n$) состоит из двух полуребер с номерами $i$ и $-i$, и полуребру $i$ ставится в соответствие матрица $Z_i$. Каждая вершина с номером $a$ связана с $W_a(Z)$: если двигаться по часовой стрелке, то исходящие из вершины полуребра будут иметь те же номера, что и случайные матрицы, входящие в произведение $W_a(\mathrm Z)$, если отсчитывать их слева направо. Затем нумеруются углы граней графа: при обходе вершины по часовой стрелке за каждым полуребром с номером $i$ ($i=\pm 1,\ldots,\pm n$) следует угол с тем же номером $i$, в который помещается матрица $C_i$. Мы будем использовать обозначение $W_a(\mathrm I)$ для произведения $W_a(\mathrm Z)$, в котором все матрицы $Z_i$ единичные. Мы видим, что $W_a(\mathrm I)$ можно назвать монодромией вершины $a$, а $W_a(\mathrm Z)$ – монодромией, одетой случайными матрицами. Предположим, что $\mathrm E$ – эйлерова характеристика поверхности $\Omega$, $\mathrm E=\mathrm F-n+\mathrm V$, где $\mathrm F$ – число граней графа. Пронумеруем грани, сопоставляя каждой грани монодромию, которая представляет собой произведение матриц, определенное с точностью до циклической перестановки сомножителей. Монодромия $W_b^*(\mathrm I)$ грани с номером $b$ вводится как произведение всех матриц-источников $C_i$ в углах грани в том порядке, в котором мы встречаем их при обходе грани против часовой стрелки. Одетая монодромия $W_a(\mathrm Z)$ грани получается из $W_a(\mathrm I)$ заменой каждой матрицы $C_i$, входящей в $W_a(\mathrm I)$, на $Z_iC_i$. Мы видим, что одетые монодромии граней графа $\Gamma$ представляют собой одетые монодромии вершин дуального графа $\Gamma^*$. Данная конструкция была исследована в работах [10], [12], [37], [38]. Интегралы от произведений функций ШураДля любых наборов разбиений $\{\lambda^a,\,a=1,\ldots,\mathrm V\}$ и $\{\lambda^b,\,b=1,\ldots,\mathrm V\}$ мы имеем
$$
\begin{equation}
\biggl\langle\prod_{a=1}^\mathrm V s_{\lambda^a}(W_a(\mathrm Z))\biggr\rangle = c\delta_{\lambda}\prod_{b=1}^\mathrm Fs_\lambda(W_b^*(\mathrm I)),
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
$$
\begin{equation}
\biggl\langle \prod_{b=1}^\mathrm F s_{\lambda^b}(W^*_b(\mathrm Z))\biggr\rangle = c\delta_{\lambda}\prod_{a=1}^\mathrm Vs_\lambda(W_a(\mathrm I)),
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
где
$$
\begin{equation}
c=\biggl(\frac{\dim\lambda}{|\lambda|!}\biggr)^{\!-n} N^{-n|\lambda|}
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
и $\dim\lambda$ – размерность неприводимого представления симметрической группы $S_d$ ($d=|\lambda|!$), отвечающего диаграмме $\lambda$. Величина $\delta_\lambda$ равна $1$, если все разбиения совпадают, $\lambda^1=\lambda^2=\cdots=:\lambda$, в противном случае $\delta_\lambda=0$. Обратим внимание на диагонализацию произведений функций Шура при вычислении математического ожидания $\langle\,{\cdot}\,\rangle$. Это очень важное свойство. Замечание. Красивые соотношения (3.2), (3.3) можно сравнить с соотношениями для вложенных графов (см. [39], предложение 1.3.16) Для матрицы $X$ и разбиения $\mu=(\mu_1,\ldots,\mu_{\ell})$ введем обозначение
$$
\begin{equation}
\mathbf p_\mu(X)= \operatorname{tr} X^{\mu_1}\ldots \operatorname{tr} X^{\mu_\ell}.
\end{equation}
\tag{3.6}
$$
Можно сопоставить $\mathbf p_\mu(X)$ множество многоугольников с $\mu_1,\ldots,\mu_\ell$ углами. Пусть $i$-угольник входит в это множество $m_i$ раз. Введем число $\operatorname{Aut}(\mu):=\prod_{i>0} m_i!\,i^{m_i}$, которое можно назвать числом автоморфизмов этого набора: число перестановок многоугольников с тем же количеством ребер, умноженное на количество вращений каждого многоугольника. Формулы (3.2), (3.3) можно получить разными способами, например, как в работе [38], начав с соотношения
$$
\begin{equation}
\biggl\langle\,\prod_{b=1}^\mathrm F\frac{\mathbf p_{\mu^b}(W^*_b(\mathrm Z))}{|\operatorname{Aut}(\mu^b)|}\biggr\rangle= \sum_{\nu^1,\ldots,\nu^\mathrm V} \mathcal H_\Omega(\mu^1,\ldots,\mu^\mathrm F,\nu^1,\ldots,\nu^\mathrm V) \prod_{a=1}^\mathrm V \mathbf p_{\nu^a}(W_a(\mathrm I)),
\end{equation}
\tag{3.7}
$$
где все разбиения $\mu^1,\ldots,\mu^\mathrm F,\nu^1,\ldots,\nu^\mathrm V$ имеют один и тот же вес, скажем, $d$, при этом $d\leqslant N$. Здесь $\mathcal H_\Omega$ – число Гурвица, $\Omega$ – базовая поверхность, а все указанные разбиения являются простейшим разбиением единицы, т. е. представляют собой разбиение $(1)$. Эта формула описывает базовую поверхность, склеенную из многоугольников, связанных с множеством $\{ \operatorname{tr} W^*_b(\mathrm Z),\,b=1,\ldots,\mathrm F\}$ (см. второе соотношение в (3.5)). Выражение для $\mathbf p_\mu$ отвечает множеству многоугольников на покрывающей поверхности, которые соответствуют набору профилей $\mu^b$ в центре (в “столице”) многоугольника $b$. Правило Вика определяет все возможные склейки набора многоугольников для данного $\mathbf p_\nu$. Любой способ склейки приводит к множеству $\{\nu^a,\,a=1,\ldots,\mathrm V\}$ профилей ветвления в вершинах. Число способов склейки многоугольников (с точностью до автоморфизов) для заданных профилей ветвления $\mu^1,\ldots,\mu^\mathrm F$, $\nu^1,\ldots,\nu^\mathrm V$ является числом Гурвица в его геометрическом смысле. Тогда из формулы Фробениуса для чисел Гурвица и из соотношений ортогональности для характеров симметрической группы получаем (3.2) и (3.3). Другой способ получить (3.2) и (3.3) – последовательное применение известных формул интегрирования функций Шура (с аналитическим продолжением параметров), см., например, [10]. Если рассмотреть вместо ансамбля Жинибра ансамбли унитарных матриц (круговые ансамбли), то соотношения (3.2) и (3.3) несколько изменятся, в частности, размерность представления симметрической группы придется заменить на размерность представления линейной группы (в связи с этим см. также работы [8] и [25]). Фактически для дальнейшего анализа нам потребуется только формула (3.2). 4. Хороводная тау-функция и многоматричный ансамбль ЖинибраТеперь рассмотрим конструкцию из предыдущего раздела и в формуле (2.2) выберем времена $\tilde{\mathbf p}^a$ следующим образом:
$$
\begin{equation}
\tilde p^{(a)}_k= \operatorname{tr} W_a(\mathrm Z)^k,\qquad a=1,\ldots,\mathcal N.
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
Получаем
$$
\begin{equation}
\langle\tau(\mathbf p^1,\tilde{\mathbf p}^1,\ldots,\mathbf p^\mathcal N,\tilde{\mathbf p}^\mathcal N)\rangle= \sum_\lambda\biggl(\frac{\dim\lambda}{|\lambda|!}\biggr)^{\!-n} N^{-n|\lambda|} \prod_{a=1}^\mathcal N s_\lambda(\mathbf p^a) \prod_{b=1}^\mathrm F s_\lambda(W_b^*(\mathrm I)).
\end{equation}
\tag{4.2}
$$
Ряды вида (4.2) появились в работах [27], [28], [40]–[42] как производящие функции чисел Гурвица. Чтобы получить такой ряд, мы наложили условие (4.1). Заметим, что, по-видимому, правая часть (4.2) может быть только тау-функцией гипергеометрического типа для иерархии ЦТ [4], [14], [15], [43]. Это нестрогое утверждение, но других возможностей на данный момент нет. То есть может существовать тау-функция вида
$$
\begin{equation}
\sum_\lambda s_\lambda(\mathbf p^1)s_\lambda(\mathbf p^2)\prod_{(i,j)\in\lambda} r(j-i)
\end{equation}
\tag{4.3}
$$
с некоторой функцией $r$. Каковы наши шансы получить ее? Прежде всего, эйлерова характеристика базовой поверхности $\Omega$ должна быть равна 2, поэтому мы имеем граф $\Gamma$ на римановой сфере. Тогда должны остаться только два набора свободных параметров. Рассмотрим все возможности, их три. 1. Два набора из $\mathbf p^a$ свободные, остальные имеют вид
$$
\begin{equation}
\mathbf p^i=\mathbf p(a_i):=(a_i,a_i,\ldots),\qquad i=1,\ldots,k
\end{equation}
\tag{4.4}
$$
(где $a_i$ – комплексные числа), или совпадают с
$$
\begin{equation}
\mathbf p^i=\mathbf p_\infty:=(1,0,0,\ldots),\quad i=1,\ldots,\mathcal N-k;
\end{equation}
\tag{4.5}
$$
в рассматриваемом случае $k\leqslant\mathcal N$. Тогда спектры матриц $W^*_b$, $b=1,\ldots,\mathrm F$, должны быть такими:
$$
\begin{equation}
\operatorname{Spectr}[W_b(\mathrm I)]=\bigl(\,\underbrace{1,\ldots,1}_{N_b}\,,\,\underbrace{0,\ldots,0}_{N-N_b}\,\bigr)
\end{equation}
\tag{4.6}
$$
при некотором $N_b$. Следовательно, правая часть равенства (4.2) записывается как
$$
\begin{equation}
\sum_\lambda N^{-n|\lambda|}s_\lambda(\mathbf p^1)s_\lambda(\mathbf p^2)\prod_{(i,j)\in\lambda} \prod_{c=1\vphantom{(i,j)\in\lambda}}^k(a_c+j-i)\prod_{b=1\vphantom{(i,j)\in\lambda}}^\mathcal N (N_b+j-i).
\end{equation}
\tag{4.7}
$$
О конкретных случаях задания (4.4), (4.5) см. работы [4], [8], для (4.6) см. работы [10], [12]. Среди этих тау-функций можно найти одну, которая изучалась в [44], где авторы использовали прямоугольные матрицы $Z$; в нашем подходе это выбор матриц-источников, которые могут быть вырожденными. Граф $\Gamma^*$ в этом случае представляет собой просто открытую цепь. Тау-функции типа (4.7) впервые применялись в [45], а затем в [46] в контексте комбинаторных задач, кроме того, в работах [47]–[49] они использовались как производящие функции чисел Гурвица определенного типа. 2. Существует один свободный набор, например $\mathbf p^1$, все остальные имеют вид (4.5) или (4.4). При этом одна монодромия, например $W^*_1$, свободная, все остальные имеют спектр, как в (4.6). В этом случае правая часть (4.2) принимает вид
$$
\begin{equation}
\sum_\lambda N^{-n|\lambda|}s_\lambda(\mathbf p^1)s_\lambda(\mathbf p^2(W^*_1(\mathrm I))) \prod_{(i,j)\in\lambda} \prod_{c=1\vphantom{(i,j)\in\lambda}}^{k+1} (a_c+j-i)\prod_{b=2\vphantom{(i,j)\in\lambda}}^\mathcal N (N_b+j-i).
\end{equation}
\tag{4.8}
$$
Она записывается как функция либо от старших времен $\mathbf p^1$, либо от так называемых переменных Мивы, определяющихся спектром матрицы $W^*_1(\mathrm I)$. 3. Имеются две свободные монодромии, например $W^*_1(\mathrm I)$ и $W^*_2(\mathrm I)$, а спектр всех остальных задается формулой (4.6). Все времена $\mathbf p^a$ определяются либо как в (4.4), либо как в (4.5). В этом случае правая часть (4.2) записывается в переменных Мивы следующим образом:
$$
\begin{equation}
\sum_\lambda N^{-n|\lambda|}s_\lambda(\mathbf p^1(W^*_1(\mathrm I)))s_\lambda(\mathbf p^2(W^*_2(\mathrm I)))\prod_{(i,j)\in\lambda} \prod_{c=1\vphantom{(i,j)\in\lambda}}^{k+2} (a_c+j-i)\prod_{b=3\vphantom{(i,j)\in\lambda}}^\mathcal N (N_b+j-i).
\end{equation}
\tag{4.9}
$$
Приложение А. Разбиения и функции ШураРазбиение – это набор целых чисел $\lambda=(\lambda_1,\ldots,\lambda_\ell)$, где $\lambda_1\geqslant\cdots\geqslant\lambda_\ell>0$. Числа $\lambda_i$ называются частями разбиения $\lambda$. Сумма частей называется весом разбиения и обычно обозначается как $|\lambda|$. Хорошо известно, что разбиение $\lambda$ можно представить как диаграмму Юнга (набор строк, составленных из ячеек или клеток), длины строк которой равны частям разбиения. Мы используем обозначения, принятые в книге [29]: длину по горизонтали части строки справа от $i$-й диагональной клетки (не включая эту клетку) обозначаем как $\alpha_i$, а длину части столбца вниз от этой клетки (не включая ее) – как $\beta_i$. В координатах Фробениуса диаграмма $\lambda$ записывается как $(\alpha|\beta)=(\alpha_1,\ldots,\alpha_k|\beta_1,\ldots,\beta_k)$, где $k$ – количество узлов на главной диагонали диаграммы Юнга (подробности см. в [29]). Полиномы Шура (функции Шура) как функции от переменных $\mathbf p=(p_1,p_2,\ldots)$ степенной суммы определяются следующим образом:
$$
\begin{equation*}
\exp\sum_{k>0}\frac{1}{k}p_k x^k=\sum_{k\geqslant 0}s_{(k)}(\mathbf p),\qquad s_{\lambda}(\mathbf p)=\det\bigl[s_{(\lambda_i-i+j)}(\mathbf p)\bigr]_{i,j}.
\end{equation*}
\notag
$$
Если $p_m= \operatorname{tr} X^m$, то можно положить $s_\lambda(\mathbf p(X))=:s_\lambda(X)$. Имеем
$$
\begin{equation*}
s_\lambda(\mathbf p)=\frac{\dim\lambda}{|\lambda|!}\sum_{\mu} \varphi_\lambda(\mu) \mathbf p_\mu,\qquad \dim\lambda=\frac{\prod_{i<j}(\lambda_i-\lambda_j-i+j)}{\prod_i(\lambda_i-i+\ell)!}.
\end{equation*}
\notag
$$
Для множителей $\varphi_\lambda$ (которые являются нормированными характерами симметрической группы в представлении $\lambda$) справедливы известные соотношения ортогональности [29]
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \zeta_{\Delta} \sum_{\lambda}\biggl(\frac{{\rm\dim}\lambda}{d!}\biggr)^{\!2}\varphi_\lambda(\mu)\varphi_\lambda(\Delta)&=\delta_{\Delta,\mu}, \\ \biggl(\frac{{\rm\dim}\lambda}{d!}\biggr)^{\!2}\sum_{\Delta} \zeta_\Delta\varphi_\lambda(\Delta)\varphi_\mu(\Delta)&=\delta_{\lambda,\mu}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{А.1}
$$
Здесь $d=|\Delta|=|\lambda|$ и $\zeta_\Delta=\prod_{i}m_i!\,i^{m_i}$, где $m_i$ – число раз, когда $i$ входит в разбиение $\Delta$ (это число было обозначено как $|\operatorname{Aut}(\Delta)|$ в п. “Интегралы от произведений функций Шура”). Формула Фробениуса для чисел Гурвица, упомянутая в разделе 3, имеет вид
$$
\begin{equation*}
\mathcal H_\Omega(\Delta^1,\ldots,\Delta^m)= \sum_\lambda\biggl(\frac{\dim\lambda}{|\lambda|!}\biggr)^{\!\mathrm E}\varphi_\lambda(\Delta^1)\cdots\varphi_\lambda(\Delta^m),
\end{equation*}
\notag
$$
где $\mathrm E$ – эйлерова характеристика базовой поверхности $\Omega$, разбиения $\Delta^1,\ldots,\Delta^m$ представляют собой профили ветвления в точках ветвления. Все детали можно найти в книге [29].
Приложение Б. Фермионы. Многокомпонентная тау-функцияДадим краткий обзор обозначений и некоторых формул. Фермионные операторы $\psi^{(a)}_n$, $\psi^{\unicode{8224}(a)}_n$, где $a=1,\ldots,\mathcal N$, $n\in\mathbb{Z} $, удовлетворяют соотношениям
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, [\psi^{(a)}_n,\psi^{(b)}_m]_{+}=0=[\psi^{(a)\unicode{8224}}_n,\psi^{(b\unicode{8224})}_m]_{+},\qquad [\psi^{(a)\unicode{8224}}_n,\psi^{(b)}_m]_{+}=\delta_{a,b}\delta_{n,m}, \\ \langle 0|\psi^{(a)}_n=\langle 0|\psi^{\unicode{8224}(a)}_{-n-1}=0=\psi^{(a)}_{-n-1}|0\rangle=\psi^{\unicode{8224}(a)}_n|0\rangle,\qquad n>0. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Примечательное наблюдение киотской школы (см., например, [3]) состоит в том, что справедливо равенство
$$
\begin{equation}
s_{(\alpha|\beta)}(\mathbf p^{a})= (-1)^{\sum_{i=1}^k \beta_i}\biggl\langle 0 \bigg|\exp\biggl(\,\sum_{k>0}\frac1k p^{(a)}_k J_k^{(a)}\biggr)\sum_{i=1}^k \psi_{\alpha_i}^{(a)}\psi^{\unicode{8224}(a)}_{-\beta_i-1} \bigg|0\biggr\rangle,
\end{equation}
\tag{Б.1}
$$
которое также известно как формула бозонизации (точнее, вариант этой формулы). Здесь
$$
\begin{equation*}
J_n^{(a)}=\sum_{i\in\mathbb{Z}}\psi^{(a)}_i\psi^{\unicode{8224}(a)}_{n+i}.
\end{equation*}
\notag
$$
Кроме того, имеет место следующее свойство: $s_{(\alpha|\beta)}(\mathbf p)=(-1)^{|(\alpha|\beta))|}s_{(\beta|\alpha)}(-\mathbf p)$. Следуя работе [3], введем тау-функцию $2\mathcal N$-компонентной иерархии КП ($\mathcal N$-компонентной ЦТ) как следующее фермионное среднее:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \biggl\langle 0\bigg| \exp\biggl(\,\sum_{a=1}^\mathcal N\sum_{k>0}\frac{1}{k}(p_k J^{(a)}_k-\tilde p_k\tilde J^{(a)})\biggr) \exp\biggl(\,\sum_{1\leqslant a\leqslant 2\mathcal N}^\circlearrowleft &\sum_i\psi^{\unicode{8224}(a)}_{-i-1}\psi^{(a+1)}_{i}\biggr)\bigg|0\biggr\rangle=: \nonumber\\ &:=\tau_0(\mathbf p^1,\tilde{\mathbf p}^1,\ldots,\mathbf p^\mathcal N,\tilde{\mathbf p}^\mathcal N), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{Б.2}
$$
где $\circlearrowleft$ означает, что $\psi^{(2\mathcal N+1)}_{-i-1}:=\psi^{(1)}_{-i-1}$. Здесь мы использовали обозначения
$$
\begin{equation*}
J^{(a)}_k=\sum_{i\in\mathbb{Z}}\psi^{(2a-1)}_{i}\psi^{\unicode{8224}(2a-1)}_{i+k},\qquad \tilde J^{(a)}_k=\sum_{i\in\mathbb{Z}}\psi^{(2a)}_{i}\psi^{\unicode{8224}(2a)}_{i+k}.
\end{equation*}
\notag
$$
Эту тау-функцию мы назвали хороводной. Разлагая экспоненту в (Б.2) в ряд Тейлора и используя приведенные выше соотношения, мы получаем (2.2). В случае $\mathcal N=1$ имеем правую часть соотношения (2.1).
Приложение В. Комплексный ансамбль ЖинибраПо этому вопросу имеется обширная литература (см., например, работы [12], [25], [35]–[38], [44] и списки литературы в них). Рассмотрим интегралы по комплексным матрицам $Z_1,\ldots,Z_n$ размера $N\times N$, в которых мера интегрирования определяется как
$$
\begin{equation}
d\Omega(Z_1,\ldots,Z_n)=c_N^n\prod_{i=1}^n\prod_{a,b=1}^N d\kern-1pt\operatorname{Re}(Z_i)_{ab}\,d\kern-0.5pt\operatorname{Im}(Z_i)_{ab}\,e^{-N|(Z_i)_{ab}|^2},
\end{equation}
\tag{В.1}
$$
область интегрирования есть $\mathbb{C}^{N^2}\times\cdots\times\mathbb{C}^{N^2}$ и $c_N^n$ – постоянная нормировки, задаваемая условием $\int d\Omega(Z_1,\ldots,Z_n)=1$. Корреляционные функции для элементов матриц $Z_1,\ldots,Z_n$ дают соотношение (3.1). Набор $n$ комплексных матриц размера $N\times N$ с мерой (В.1) образует $n$ независимых комплексных ансамблей Жинибра. Такие ансамбли имеют широкое применение в физике и теории передачи информации. БлагодарностиЯ бы хотел поблагодарить Андрея Дмитриевича Миронова за вдохновляющие дискуссии. Конфликт интересовАвтор заявляет, что у него нет конфликта интересов.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Orl23} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|