| Теоретическая и математическая физика |
|
|
|
|
|
А. Г. Сергеев Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук, Москва, Россия
Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2023, Volume 216, Issue 2, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0040577923080044 
Реферативные базы данных:
   1. ВведениеВ исследовании римановых поверхностей, т. е. римановых многообразий размерности 2, ключевую роль играют совместимая с римановой метрикой комплексная структура, существующая на любом таком многообразии, и тесно связанный с ней $\bar\partial$-оператор Коши–Римана. Если обратиться к следующему примеру четномерных римановых многообразий, т. е. к четырехмерным римановым многообразиям, то подкласс многообразий, обладающих комплексной структурой, является достаточно узким и по нему трудно судить об общих дифференциально-геометрических свойствах четырехмерных римановых многообразий. Поэтому при исследовании таких многообразий возникают два естественных вопроса: первый – что является заменой комплексной структуры на римановых 4-многообразиях, и второй – какой линейный дифференциальный оператор играет роль $\bar\partial$-оператора в четырехмерном случае. Эти вопросы подробно рассматриваются в разделе 2. В качестве замены комплексной структуры предлагается использовать $\text{Spin}^c$-структуру, существующую на любом четырехмерном римановом многообразии. А в качестве замены $\bar\partial$-оператора на четырехмерном римановом многообразии выступает оператор Дирака, ассоциированный с заданной $\text{Spin}^c$-структурой. Наличие $\text{Spin}^c$-структуры позволяет ввести функционал действия Зайберга–Виттена. Критические точки этого функционала описываются соответствующими уравнениями Эйлера–Лагранжа. Удобно называть их полными уравнениями Зайберга–Виттена, в отличие от уравнений Зайберга–Виттена в узком смысле, которые собственно и рассматриваются в настоящей статье. Полные уравнения Зайберга–Виттена, как и уравнения Янга–Миллса, являются предельным случаем более общих суперсимметричных уравнений Янга–Миллса (см. [1]–[3]). Однако, в отличие от конформно-инвариантных уравнений Янга–Миллса, они не инвариантны относительно изменения масштаба. Поэтому, для того чтобы извлечь из них “полезную информацию”, приходится вводить масштабный параметр $\lambda$ и переходить к пределу при $\lambda\to\infty$. Как отмечено выше, нас особенно интересуют локальные минимумы функционала действия Зайберга–Виттена. Уравнения для них выписаны в разделе 3. Более доступный вид они приобретают в симплектическом случае (см. раздел 5). Именно в этом случае удается описать более подробно упомянутый выше адиабатический предел. Полезно рассмотреть отдельно случай кэлеровых поверхностей (см. раздел 4), в котором нет необходимости переходить к пределу при $\lambda\to\infty$, достаточно взять $\lambda$ достаточно большим. 2. $\text{S{pin}}^{{c}}$-структурыКак отмечено в разделе 1, ключевую роль в исследовании четырехмерных римановых многообразий играет $\text{Spin}^c$-структура, которая существует на любом римановом 4-многообразии. Отсылая читателя за общим определением $\text{Spin}^c$-структуры к книге Лоусона и Михельсон [4] (см. также [5]), ограничимся здесь перечислением свойств этой структуры, используемых в теории Зайберга–Виттена. Пусть $(X,g)$ есть компактное ориентированное риманово 4-многообразие, наделенное связностью Леви-Чивиты. С ее помощью можно определить клиффордово умножение $\rho$ на дифференциальные формы, заданные на $X$. Оно задается представлением таких форм линейными эндоморфизмами, действующими на гладких сечениях спинорного расслоения $W\to X$. Это комплексное эрмитово векторное расслоение ранга 4, разлагающееся в прямую сумму комплексных полуспинорных расслоений $W^{\pm}$ ранга 2 над $X$.Спинорное расслоение $W\to X$ можно наделить спинорной связностью $\nabla$, являющейся продолжением связности Леви-Чивиты до связности на расслоении $W$. Оператор Дирака $D$, действующий на гладких сечениях расслоения $W$, задается композицией $\rho\circ\nabla$ клиффордова умножения со спинорной связностью. В случае, когда многообразие $(X,g)$ является симплектическим, т. е. обладает симплектической формой $\omega$, совместимой с метрикой $g$, его можно наделить почти комплексной структурой $J$, совместимой как с $\omega$, так и с $g$. В этом случае имеется каноническая конструкция спинорного расслоения $W$, отождествляемого с
$$
\begin{equation*}
W_{\mathrm{can}}=\Lambda^{0,*}(T^*X)=\bigoplus_{q=0}^{2}\Lambda^{0,q}(T^*X).
\end{equation*}
\notag
$$
Соответственно, полуспинорные расслоения задаются как
$$
\begin{equation*}
W_{\mathrm{can}}^+=\Lambda^{0,0}(T^*X)\oplus\Lambda^{0,2}(T^*X),\qquad W_{\mathrm{can}}^-=\Lambda^{0,1}(T^*X).
\end{equation*}
\notag
$$
В этом случае имеются также каноническая спинорная связность $\nabla_{\mathrm{can}}$ на $W_{\mathrm{can}}$ и явная формула для клиффордова умножения (см. [4], [5]). Более того, для любого эрмитова линейного расслоения $E\to X$, наделенного эрмитовой связностью $B$, можно построить ассоциированное спинорное расслоение $W_E:=W_{\mathrm{can}}\otimes E$ и ввести спинорную связность $\nabla_A$ на $W_E$ такую, что $A=A_E$ есть тензорное произведение канонической спинорной связности $A_{\mathrm{can}}$ на $W_{\mathrm{can}}$ и заданной эрмитовой связности $B$ на $E$. Оператор Дирака
$$
\begin{equation*}
D_A=\rho\circ\nabla_A\!:\Gamma(X,W^+)\rightarrow\Gamma(X,W^-)
\end{equation*}
\notag
$$
совпадает с $\bar\partial_B+\bar\partial_B^*$, где $\bar\partial_B^*$ – оператор, $L^2$-сопряженный к оператору $\bar\partial_B$.
3. Уравнения Зайберга–Виттена на римановых 4-многообразияхПусть $(X,g)$ есть компактное ориентированное риманово 4-многообразие, наделенное $\text{Spin}^c$-структурой. Рассмотрим следующий функционал действия Зайберга–Виттена:
$$
\begin{equation*}
S(A,\Phi)=\frac12\int_X\biggl\{|F_A|^2+|\nabla_A\Phi|^2+ (\mathrm{s}(g)+|\Phi|^2)\frac{|\Phi|^2}{4}\biggr\}\mathrm{vol},
\end{equation*}
\notag
$$
где $\Phi$ – гладкое сечение расслоения $W^+$, $F_A$ – кривизна связности $\nabla_A$, $\mathrm{s}(g)$ – скалярная кривизна многообразия $(X,g)$, $\mathrm{vol}$ – элемент объема многообразия $(X,g)$. Локальные минимумы введенного функционала удовлетворяют уравнениям Зайберга–Виттена
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, D_{A}\Phi =0,\\ F_{A}^{+}=\ \Phi\otimes\Phi^{*}-\frac12|\Phi|^2\cdot\operatorname{Id}, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{1}
$$
где $\Phi\otimes\Phi^{*}-\frac12|\Phi|^2\cdot\operatorname{Id}$ есть бесследовый эрмитов эндоморфизм расслоения $W^+$, ассоциированный с $\Phi$, а $F_A^+$ – автодуальная компонента кривизны $F_A$ (относительно $\star$-оператора Ходжа метрики $g$). Во втором уравнении автодуальная форма кривизны $F_A^+$ интерпретируется как эндоморфизм спинорного расслоения $W^+$, задаваемый клиффордовым умножением на эту форму. Гладкое сечение $\Phi$ расслоения $W^+$ задается парой форм $(\varphi_0,\varphi_2)$, где $\varphi_0\in\Omega^0(X,E)$, $\varphi_2\in\Omega^{0.2}(X,E)$. Уравнения Зайберга–Виттена, как и функционал Зайберга–Виттена $S(A,\Phi)$, инвариантны относительно калибровочных преобразований, задаваемых как где $u=e^{i\chi}$, а $\chi$ есть гладкая вещественнозначная функция, так что $u\in C^\infty(X,\mathrm{U}(1))$.Наряду с уравнениями Зайберга–Виттена (1) мы будем рассматривать их возмущенную версию
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, D_{A}\Phi =0,\\ F_{A}^{+}+\eta=\Phi\otimes\Phi^{*}-\frac12|\Phi|^2\cdot\operatorname{Id}, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{2}
$$
где $\eta$ – автодуальная 2-форма на $X$. Это возмущение необходимо вводить для того, чтобы гарантировать существование решения уравнений Зайберга–Виттена (см. ниже).
4. Уравнения Зайберга–Виттена на кэлеровой поверхностиПредположим теперь, что $X$ есть компактная кэлерова поверхность, т. е. гладкое компактное двумерное комплексное многообразие, наделенное кэлеровой формой $\omega$. В этом случае комплексифицированное расслоение $\Lambda^2_+\otimes\mathbb C$ автодуальных 2-форм на $X$ разлагается в прямую сумму подрасслоений
$$
\begin{equation*}
\Lambda^2_+\otimes\mathbb{C}=\Lambda^{2,0}\oplus\mathbb{C}[\omega]\oplus\Lambda^{0,2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Соответственно, второе уравнение Зайберга–Виттена (2) для кривизны разлагается в сумму трех уравнений: одно для компоненты кривизны, параллельной $\omega$, другое для $(0,2)$-компоненты и третье для $(2,0)$-компоненты, которое сопряжено уравнению для $(0,2)$-компоненты и потому ниже опускается. В результате уравнения Зайберга–Виттена приобретают вид
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \bar\partial_{B}\varphi_0 +\bar\partial_{B}^{*}\varphi_2=0,\\ F_{B}^{0,2}+ \eta^{0,2}=\frac{\bar{\varphi}_0\varphi_2}{2},\\ F_{A_{\mathrm{can}}}^{\omega} +F_{B}^{\omega}=\frac{i}{4} (|\varphi_0|^2-|\varphi_2|^2)-\eta^{\omega}. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{3}
$$
Первое из этих уравнений есть уравнение Дирака, второе отвечает $(0,2)$-компоненте кривизны, а третье – компоненте кривизны, параллельной $\omega$. Для того чтобы гарантировать существование решения (3), необходимо наложить на расслоение $E$ следующее топологическое условие: существует $\lambda>0$ такое, что
$$
\begin{equation*}
0\leqslant c_1(E)\cdot[\omega]<\frac{c_1(K)\cdot[\omega]}2+\lambda\operatorname{Vol}(X),
\end{equation*}
\notag
$$
где $c_1(E)$ – первый класс Черна расслоения $E$, $K=K(X)$ – каноническое расслоение многообразия $X$. Это условие есть условие стабильности расслоения $E$, аналогичное необходимому условию разрешимости для вихревых уравнений на компактной римановой поверхности, приведенному в работе Брэдлоу [6]. Доказательство существования решения уравнений (3) при выполнении условия стабильности проводится так же, как в работе [6]. А именно, возьмем возмущение $\eta$ вида $\eta=\pi i\lambda\omega$ и выберем $\lambda$ достаточно большим так, чтобы выполнялось условие стабильности. Тогда, повторяя рассуждения из работы [6], можно показать, что пространство модулей решений уравнений (3) отождествляется с пространством эффективных дивизоров степени $c_1(E)$ на $X$. 5. Уравнения Зайберга–Виттена на четырехмерном симплектическом многообразииПредположим, что $X=(X,\omega,J,g)$ есть компактное симплектическое четырехмерное многообразие, наделенное симплектической 2-формой $\omega$ и совместимой с ней почти комплексной структурой $J$. Пусть $E\to X$ есть эрмитово линейное расслоение с эрмитовой связностью $B$, а $W_E:=W_{\mathrm{can}}\otimes E$ – ассоциированное спинорное расслоение. Возьмем возмущение $\eta$ вида $\eta=-F_{A_{\mathrm{can}}}^{+}+\pi i\lambda\omega$ с $\lambda>0$. Параметр $\lambda$ играет роль масштабного параметра в адиабатическом пределе $\lambda\to\infty$. Чтобы перейти к этому пределу, введем перенормированные сечения
$$
\begin{equation*}
\alpha:=\frac{\varphi_0}{\sqrt{\lambda}},\qquad \beta:=\frac{\varphi_2}{\sqrt{\lambda}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда возмущенные уравнения Зайберга–Виттена примут вид
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \bar\partial_{B}\alpha +\bar\partial_{B}^{*}\beta=0,\\ \frac2{\lambda}F_{B}^{0,2} =\bar{\alpha}\beta,\\ \frac{4 i}{\lambda}F_{B}^{\omega} =4\pi+|\beta|^2-|\alpha|^2. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{4}
$$
Заметим, что все входящие в эти уравнения величины, такие как $B$, $\alpha$, $\beta$, зависят от $\lambda$ и, чтобы подчеркнуть это, часто обозначаются как $B_\lambda$, $\alpha_\lambda$, $\beta_\lambda$.
6. Адиабатический предел в уравнениях Зайберга–ВиттенаСогласно результату Таубса [7] решения $(\alpha_\lambda,\beta_\lambda)$ возмущенных уравнений (4) имеют следующее поведение при $\lambda\to\infty$:
Обозначим через $C_\lambda:=\alpha_\lambda^{-1}(0)$ множество нулей решения $\alpha_\lambda$. Кривые $C_\lambda$ сходятся в смысле потоков в некоторому псевдоголоморфному дивизору, двойственному по Пуанкаре к $c_{1}(E)$. Указанный дивизор задается цепью вида $\sum d_kC_k$, состоящей из связных псевдоголоморфных кривых $C_k$, взятых с кратностями $d_k$. Рассмотрим одну из кривых $C_k$, которую обозначим временно через $C$. Иными словами, $C$ есть компактная псевдоголоморфная кривая в компактном симплектическом четырехмерном многообразии $(X,\omega,J,g)$. Пусть $\pi\!:N\rightarrow C$ есть нормальное расслоение к кривой $C$, слой которого $N_z$ при $z\in C$ отождествляется с ортогональным дополнением к пространству $T_zC$ в $T_zX$. Так как оператор почти комплексной структуры $J$ сохраняет $T_zC$, он сохраняет также и $N_z$. Тем самым $\pi\!:N\to C$ есть комплексное линейное расслоение. В адиабатическом пределе исходные уравнения Зайберга–Виттена редуцируются к семейству уравнений Гинзбурга–Ландау в плоскостях $N_z$, нормальных к касательным плоскостям $T_z(C_k)$. Напомним, что уравнения Гинзбурга–Ландау на комплексной плоскости являются двумерным аналогом уравнений Зайберга–Виттена (см. [8], [9]). Решения этих уравнений, называемые вихрями Гинзбурга–Ландау, параметризуются точками на комплексной плоскости, взятыми с кратностями. Обратно, чтобы можно было восстановить решение уравнений Зайберга–Виттена по такому семейству вихревых решений в нормальных плоскостях $N_z$, это семейство должно удовлетворять нелинейному уравнению типа $\bar\partial$ (см. [10], [9]). Таким образом, мы имеем для уравнений Зайберга–Виттена на четырехмерных симплектических многообразиях следующее соответствие, устанавливаемое переходом к адиабатическому пределу:
$$
\begin{equation*}
\left\{ \begin{matrix}\text{решения уравнений}\\ \text{Зайберга}-\text{Виттена}\end{matrix}\right\}\longmapsto \left\{
\begin{matrix}\text{семейства вихревых решений}\\ \text{в нормальных плоскостях}\\ \text{к псевдоголоморфным дивизорам}\end{matrix} \right\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Конфликт интересовАвтор заявляет, что у него нет конфликта интересов.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Ser23} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|