| Теоретическая и математическая физика |
|
|
|
|
|
Диссипативная солитонная динамика в уравнении Ландау–Лифшица–Гильберта В. М. Ротосa, И. К. Милонасa, Т. Бунтисb a School of Mechanical Engineering, Aristotle University of Thessaloniki, Thessaloniki, Greece b Центр интегрируемых систем, Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова, Ярославль, Россия
Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2023, Volume 215, Issue 2, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0040577923050033 
Реферативные базы данных:
   1. ВведениеХорошо известно, что $(1+1)$-мерная ферромагнитная спиновая система Гейзенберга без затухания со взаимодействием ближайших соседей подчиняется эволюционному уравнению
$$
\begin{equation}
S_t=S\times S_{xx},\qquad S=(S^x,S^y,S^z),\quad S^2=1,
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
где нижние индексы обозначают дифференцирование по соответствующей переменной, а верхние индексы – компоненты спина в соответствующем направлении. Также известно [1], что систему (1.1) можно отобразить в пространственную кривую, определяемую уравнениями Серре–Френе, эволюционные уравнения для которой приводят к знаменитому нелинейному уравнению Шредингера (НУШ) В 1935 г. Ландау и Лифшиц ввели динамическое уравнение для вектора спиновой намагниченности $S(x,y,z,t)$ в объеме, в которое они также включили релятивистские взаимодействия в виде члена, описываюшего затухание [2]. Однако именно Гильберт [3] использовал лагранжев подход для включения члена, описывающего затухание, в уравнение, которое впоследствии стало называться уравнением Ландау–Лифшица–Гильберта (ЛЛГ):
$$
\begin{equation}
S_t=S\times S_{xx}+\lambda[S_{xx}-(S\cdot S_{xx})S].
\end{equation}
\tag{1.3}
$$
В таком виде это уравнение обычно записывают в литературе по магнетизму (см., например, [4], [5]), при этом $\lambda>0$ обозначает параметр диссипации. Прекрасный обзор этого интересного уравнения и его взаимоотношений со многими важными физическими системами, такими как ферромагнетики и вихревые нити, а также с движущимися в пространстве кривыми можно найти в работе [6], где подробно обсуждаются его разнообразные связи с хорошо известными интегрируемыми солитонными уравнениями, в том числе с НУШ и уравнением синус-Гордон. Среди наиболее интересных явлений, наблюдаемых в таких системах, можно отметить локализованные состояния, например киральные пузыри в жидких кристаллах, нити тока в газовых разрядах, пятна в химических реакциях [7], осциллоны в гранулированных средах [8], изолированные состояния в тепловой конвекции и уединенные волны [9]. Простейшей такой локализованной структурой, возникающей в ограниченной области пространства и соединяющей асимптотически не зависящие от времени состояния, является так называемый солитон. В настоящей статье мы изучаем ферромагнитные диссипативные системы, в которых могут иметь место пространственно-локализованные устойчивые динамические возбуждения, уделяя особое внимание диссипативным солитонным решениям уравнения ЛЛГ. Такие структуры обычно встречаются в магнитных системах. Например, в наноосцилляторах наблюдались магнитные солитонные моды [10], а диссипативные солитоны, описывающие магнитные капли, были сначала теоретически предсказаны в [11], а затем обнаружены экспериментально [12]. Кроме того, в работе [13] изучались темные солитоны и их взаимодействия, а совсем недавно в статье [14] было проанализировано влияние возмущений типа удара (наклона луча) на двумерные диссипативные солитоны. Очень интересные результаты по этой проблеме были получены Ланом и Ли [15], которые изучали динамику длинного наномагнита, управляющуюся током. Они показали, что при малом параметре затухания Гильберта решения уравнения ЛЛГ притягиваются к предельному циклу, который выше критического значения $\lambda$ становится хаотическим. Они также включили в возмущение периодический по времени член и распространили на эту систему подход Мельникова для теоретического предсказания возникновения хаоса. В настоящей работе мы рассматриваем диссипативное нелокальное НУШ
$$
\begin{equation}
iq_t^{}+q_{xx}^{}+2|q|^2q=i\lambda\biggl[q_{xx}^{}-2q\int_{-\infty}^{x}(qq_{x'}^*-q^*q_{x'}^{})\,dx'\biggr],
\end{equation}
\tag{1.4}
$$
которое было получено в работе [16] из уравнения (1.3) аналогично тому, как (1.2) получается из уравнения (1.1) (см. работу [1]). Мы концентрируем свое внимание на том, что у возмущенного НУШ (1.4) сохраняются решения типа ярких солитонов, представленные как гомоклинические решения системы нелокальных обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). В разделе 2 мы применяем теорию Мельникова к диссипативному нелокальному НУШ (1.4) и показываем, что при достаточно малых $\lambda>0$ оно обладает затухающими при $t\to\infty$ солитонными решениями. В разделе 3 мы сначала показываем, что солитонное решение невозмущенного НУШ неустойчиво. Затем мы применяем псевдоспектральный метод и схемы машинного обучения с помощью физически-информированных нейронных сетей (physics-informed neural network, PINN) для численного решения уравнения (1.4) и проверяем правильность наших аналитических выводов. В завершающем разделе 4 обсуждаются полученные результаты. В приложении изложены основы теории возмущений Мельникова для нелокальной динамической системы. 2. Сохранение решений типа ярких солитонов в диссипативном нелокальном НУШРассмотрим изотропную спиновую систему Гейзенберга с затуханием Гильберта, описываемую уравнением ЛЛГ
$$
\begin{equation}
S_t=S\times S_{xx}+\lambda[S_{xx}-(S\cdot S_{xx})S].
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
Единичный вектор спина $S(x,t)$ можно преобразовать в единичный касательный вектор $e_1$ к пространственной кривой, тогда, действуя так же, как в случае $\lambda=0$, получаем из (2.1) эквивалентное НУШ с затуханием
$$
\begin{equation}
iq_t^{}+q_{xx}^{}+2|q|^2q=i\lambda\biggl[q_{xx}^{}-2q\int_{-\infty}^{x}(qq_{x'}^*-q^*q_{x'}^{})\,dx'\biggr],
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
где, как и для обычного НУШ, $q(x,t)$ определяется кривизной и кручением кривой. Рассматривая члены затухания как возмущение, мы переходим к анализу влияния затухания на структуру солитона. Решения типа уединенных волн, которые могут поддерживаться в таких конфигурациях, можно найти как стационарные нелинейные моды системы: где $b$ – вещественная постоянная распространения и $u(x), v(x)$ – вещественные функции, описывающие комплексный поперечный профиль стационарной моды. Подстановка стационарных решений (2.3) в НУШ (2.2) приводит к системе ОДУ
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, u_{xx}-b u+2(u^2+v^2)u&=\lambda(v_{xx}+4u\widehat K), \\ v_{xx}-b v+2(u^2+v^2)v&=\lambda(u_{xx}+4v\widehat K), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\widehat K:=\int_{-\infty}^{x}(qq_{x'}^*-q^*q_{x'}^{})\,dx'.
\end{equation*}
\notag
$$
Для изучения уединенных волн, которые являются бифуркациями соответствующих нелинейных мод однородной системы (с $\lambda>0$), мы предполагаем, что $\lambda$ достаточно мало, так что неоднородность в правой части (2.4), описывающую комплексный потенциал, можно рассматривать как возмущения системы ОДУ
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, u_{xx}-bu+2(u^2+v^2)u&=0, \\ v_{xx}-bv+2(u^2+v^2)v&=0. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.5}
$$
Заметим, что (2.5) – это уравнения движения интегрируемой гамильтоновой системы с двумя степенями свободы с гамильтонианом
$$
\begin{equation}
H(u,u_x, v,v_x)=\frac{1}{2}(u_x^2+v_x^2)-\frac{1}{2}b (u^2+v^2)+\frac{1}{2}(u^2+v^2)^2,
\end{equation}
\tag{2.6}
$$
который является инвариантом системы вместе с величиной Заметим также, что нулевое решение системы с гамильтонианом (2.6) является седловой точкой, только если $b>0$. Следовательно, решения типа уединенных волн (солитоны) могут существовать, если устойчивое и неустойчивое многообразия нулевой точки пересекаются, поскольку, сделав это один раз, они будут пересекаться в бесконечном числе точек [17]. Таким образом, динамическая система (2.5)–(2.7) соответствует нелинейному осциллятору с двумя степенями свободы, при этом $x$ играет роль времени; для этого осциллятора $H$ – полная энергия и $F$ – угловой момент. После преобразования $u=r\cos\theta$, $v=r\sin\theta$ величины $H$ и $F$ принимают вид
$$
\begin{equation}
H=\frac{1}{2}\dot r^2-\frac{1}{2}b r^2+\frac{1}{2}r^4+\frac{F^2}{2r^2},\qquad F=r^2\dot\theta.
\end{equation}
\tag{2.8}
$$
При $F\neq 0$ гамильтониан стремится к нулю, когда $r$, $\dot r$ стремятся к нулю, следовательно, профили уединенных волн соответствуют $F=0$ и имеют вид
$$
\begin{equation}
u_0(x)=q_0(x-x_0)\cos\theta_0,\qquad v_0(x)=q_0(x-x_0)\sin\theta_0,
\end{equation}
\tag{2.9}
$$
где $q_0(x)=q_0(x,b)=\sqrt{b} \operatorname{sech} (\sqrt{b}x)$ и $\theta_0$, $x_0$ – произвольные постоянные. Произвольность $\theta_0$ связана с инвариантностью возмущенного (и невозмущенного) НУШ (2.2) относительно преобразования $q\to qe^{i\theta_0}$, и параметр $\theta_0$ можно положить равным нулю без ограничения общности. Произвольность $x_0$ отражает трансляционную инвариантность невозмущенного НУШ. Эти решения являются членами двухпараметрического $(b,x_0)$-семейства орбит, гомоклинических седлу, расположенному в начале координат четырехмерного фазового пространства нашей системы. Теперь применим теорию Мельникова к нелокальным динамическим системам, следуя аналитическому подходу, описанному в приложении. Заметим, что наличие неоднородного возмущения в уравнении (2.4) устраняет трансляционную инвариантность системы. Таким образом, устойчивое и неустойчивое многообразия начала координат уже не соединяются гладким образом в гомоклинические орбиты, а могут пересекаться трансверсально. Орбиты, соответствующие таким трансверсальным пересечениям, представляют собой профили стационарных уединенных волн возмущенной системы с дискретным набором значений $x_0$, параметризующих соответствующие решения и задающих поперечные положения, в которых находятся уединенные волны. Для достаточно малых возмущений теперь можно применить классический метод Мельникова, чтобы получить аналитическую информацию о существовании таких гомоклинических точек в терминах простых нулей вектора Мельникова [18]–[21]
$$
\begin{equation}
\mathbf M=\bigl(M_1(x_0;\theta_0,b),\,M_2(x_0;\theta_0,b)\bigr),
\end{equation}
\tag{2.10}
$$
где
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \begin{aligned} \, M_1(x_0;\theta_0,b)&=\int_{-\infty}^{+\infty}\nabla H(\gamma_0(x;\theta_0,b))\cdot\mathbf g(x-x_0,\gamma_0(x;\theta_0,b))\,dx, \\ M_2(x_0;\theta_0,b)&=\int_{-\infty}^{+\infty}\nabla F(\gamma_0(x;\theta_0,b))\cdot \mathbf g(x-x_0,\gamma_0(x;\theta_0,b))\,dx, \end{aligned} \\ \mathbf g=(0,0,v_{xx}+4u\widehat K,\,u_{xx}+4v\widehat K). \end{gathered}
\end{equation}
\tag{2.11}
$$
Этот вектор является возмущением, которое вычисляется в точке
$$
\begin{equation*}
\gamma_0(x;\theta_0,b)=\biggl(u_0,v_0,\frac{\partial{u_0}}{\partial x},\frac{\partial{v_0}}{\partial x}\biggr)
\end{equation*}
\notag
$$
невозмущенной гомоклинической орбиты (2.9). На гомоклинических решениях можно найти первый интеграл Мельникова в (2.11), после несложных преобразований получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, M_1&=\int_{-\infty}^{\infty}\bigl((v_{xx}+4u\widehat K\,)u_x+(u_{xx}+4v\widehat K\,)v_x\bigr)dx= \notag\\ &=\int_{-\infty}^{\infty}\bigl(v_{xx}u_x+u_{xx}v_x+4(uu_x+vv_x)\widehat K\kern1pt\bigr)dx=0. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.12}
$$
Вторая компонента вектора Мельникова равна
$$
\begin{equation}
M_2=-\frac{2}{3}b^{3/2}\cos(2\theta_0)\cos^2(\theta_0).
\end{equation}
\tag{2.13}
$$
Условие существования общих решений двух приведенных выше уравнений относительно $\theta_0$ определяет возмущения, поддерживающие существование уединенных волн. Нули вектора Мельникова задают подходящие начальные предположения о том, где расположены уединенные волны относительно нелокального возмущения.
3. Численные результаты3.1. Псевдоспектральный методПервый численный подход, который мы применяем для решения уравнения ЛЛГ, – это псевдоспектральный метод, описанный, например, в книге [22]. Мы используем пространственную область $[-L/2,L/2]$ и решаем уравнение (2.2), дискретизированное по пространственной переменной:
$$
\begin{equation}
q_{n,t}=iq_{n,xx}+2i|q_n|^2q_n-\lambda(q_{n,xx}-2q_n\widehat K_n),
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
где $q_n$ задает решение в точке $x_n$. Производная $q_{n,xx}$ записывается как дискретное преобразование Фурье, $q_{n,xx}=\mathcal F^{-1}[-k^2\mathcal F(q_n)]$, где $\mathcal F^{-1}$ и $\mathcal F$ – обратное и прямое преобразование Фурье с волновым числом $k$, принимающим значения в интервале $[-\pi/\Delta x,\pi/\Delta x]$. Основная идея состоит в следующем: использовать дискретные преобразования Фурье для нахождения пространственных производных, а затем применить численную схему, такую как метод Рунге-Кутты четвертого порядка, для расчета зависимости решений от времени. В качестве начального условия мы выбираем односолитонное решение
$$
\begin{equation}
q(x,0)=r \operatorname{sech} [r(x-x_0)]e^{\frac{\mathrm{i\nu}}{2}(x-x_0)}.
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
В нашем случае мы взяли очень малый шаг по времени $\Delta t=0.0008$, чтобы избежать неустойчивости вычислений, и рассчитали амплитуды решений для $r=1.2$ (см. рис. 1). Кроме того, мы исследовали, как влияет на результаты величина $\lambda$, и обнаружили, что при достаточно малых $\lambda$ наше численное решение хорошо сходится к аналитическому. 3.2. Спектр линейной устойчивостиДля уединенной волны важной задачей является определение спектра линейной устойчивости, который состоит из собственных значений соответствующего оператора линейной устойчивости. Этот спектр несет ценную информацию о свойствах уединенной волны. Если он содержит собственные значения с положительными вещественными частями, то уединенная волна линейно неустойчива. Если спектр содержит чисто мнимые дискретные собственные значения, то они будут соответствовать внутренним модам, которые вызывают длительные колебания уединенной волны. Ниже мы изучаем с этой точки зрения уравнение (2.2), следуя методу, описанному в [22]. Точнее, мы анализируем линейную устойчивость солитонного решения $q_0=q(x,0)$ этого уравнения с $\lambda=0$, см. формулу (3.2), используя для этого возмущенное выражение
$$
\begin{equation}
q(x,t)=\{q_0+\epsilon[v(x)+w(x)]e^{\mu t}+\epsilon[v^*(x)-w^*(x)]e^{\mu^*t}\}e^{i\beta t},
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
где $\mu$ – собственное значение соответствующей нормальной моды, $\beta$ – постоянная распространения, $v(x)$, $w(x)$ – возмущения нормальной моды и $q_0$ задано формулой (3.2). Подставляя (3.3) в (1.4) и удерживая члены порядка $O(\epsilon)$, получаем задачу на собственные значения для оператора линейной устойчивости:
$$
\begin{equation}
\mathcal L\Psi=\mu\Psi,\qquad \mathcal L=i\begin{pmatrix}0 & d_{xx}+G_1 \\ d_{xx}+G_2 & 0 \end{pmatrix},\quad \Psi=\begin{pmatrix} v \\ w \end{pmatrix},
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
где
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, G_1&=-\beta+i\lambda(\widehat K-\widehat K^*)-\frac{1}{2}(q_0^2+{q_0^*}^2), \\ G_2&=-\beta+i\lambda(\widehat K-\widehat K^*)+2|q_0|^2+\frac{1}{2}(q_0^2+{q_0^*}^2). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.5}
$$
Для изучения спектра оператора линейной устойчивости $\mathcal{L}$ мы используем известный метод фурье-коллокаций [22]. На первом шаге мы разлагаем собственную функцию $\Psi$ в ряд Фурье и преобразуем (3.4) в матричную задачу на собственные значения для коэффициентов Фурье собственных функций. Все функции разлагаются в ряды Фурье на конечном интервале $[-L/2,L/2]$ длины $L$:
$$
\begin{equation*}
v=\sum_{n=-N}^{N}\alpha_n e^{ink_0x},\qquad w=\sum_{n=-N}^{N}\beta_n e^{ink_0x},\qquad G_j=\sum_{n=-N}^{N}c_n^{(j)} e^{ink_0x},\quad j=1,2,
\end{equation*}
\notag
$$
где $k_0=2\pi/L$ и $N$ – большое натуральное число. Подставив эти разложения в спектральную задачу (3.4), получаем конечномерную задачу на собственные значения
$$
\begin{equation}
i\begin{pmatrix} \mathcal C_0 & \mathcal D+\mathcal C_1 \\ \mathcal D+\mathcal C_2 & -\mathcal C_0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} A \\ B \end{pmatrix}=\mu\begin{pmatrix} A \\ B \end{pmatrix},
\end{equation}
\tag{3.6}
$$
где $\mathcal C_0$, $\mathcal C_1$, $\mathcal C_2$ и $\mathcal D$ – матрицы размера $N\times N$. Далее решаем матричную задачу (3.6) численно; результаты расчета спектра представлены на рис. 2. Рис. 2 показывает, что уединенная волна $q(x,0)$ линейно неустойчива из-за наличия собственного значения $\mu$ с положительной вещественной частью. Как мы знаем из численного решения задачи (см. рис. 1), это означает, что решение $q(x,t)$ будет отделяться от $q(x,0)$ и стремиться к затухающей уединенной волне, убывая в конце концов до нуля при $t\to\infty$. 3.3. Схема PINNВ этом пункте мы используем PINN глубокого обучения, описанную в работе [23], для исследования data-driven-решений НУШ (1.4) с затуханием. Известно, что в общем случае PINN позволяет решать общие нелинейные уравнения в частных производных вида где $u(x,t)$ обозначает неизвестное решение и $\mathcal N\,[\,{\cdot}\,;\lambda]$ – нелинейный оператор с параметром $\lambda$. В настоящей работе мы применяем этот метод к решению начально-краевой задачи для уравнения ЛЛГ
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, iq_t^{}+q_{xx}^{}+2|q|^2q=i\lambda\biggl[q_{xx}^{}-2q\int_{-\infty}^{x}(qq_{x'}^*-q^*q_{x'}^{})\,dx'\biggr], \\ q(x,t_0)=q_0(x),\quad x\in[-L,L],\qquad q(-L,t)=q(L,t),\quad t\in[t_0,T], \end{gathered}
\end{equation}
\tag{3.8}
$$
при $L=10$, $t_0=0$ и $T=\pi/2$. Чтобы решить задачу (3.8), используя PINN-метод, сначала запишем искомую функцию в виде где $v(x,t)$, $w(x,t)$ – вещественная и мнимая части решения. Далее зададим комплекснозначную функцию
$$
\begin{equation}
F(x,t)=iq_t+q_{xx}+2|q|^2q-i\lambda[q_{xx}-2q\widehat K\kern1.5pt]
\end{equation}
\tag{3.10}
$$
и запишем ее как где $Fv(x,t)$ и $Fw(x,t)$ – вещественная и мнимая части функции $F(x,t)$, удовлетворяющие уравнениям
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, Fv(x,t)&=v_t+w_{xx}+2w(v^2+w^2)-\lambda v_{xx}-2\lambda w\widehat K, \\ Fw(x,t)&=w_t-v_{xx}+2v(v^2+w^2)-\lambda w_{xx}+2\lambda v\widehat K. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.12}
$$
Для PINN, схема которой изображена на рис. 3, комплекснозначная нейронная сеть $q(x,t)=(u(x,t),v(x,t))$ задается как
После того как найдено $q(x,t)$, PINN $F(x,t)$ может быть записана в виде
Здесь lam – значение $\lambda$ и intK – значение интеграла $\int_{-\infty}^{x}(qq_{x'}^*-q^*q_{x'}^{})\,dx'$. Общие параметры, веса и сдвиги, используемые в $q(x,t)$ и $F(x,t)$, можно найти, минимизировав общие потери $TL$ при обучении, т. е. сумму $\mathcal L^2$-норм потерь при обучении, соответствующих исходным данным ($TL_{\mathrm I}$), граничным данным ($TL_{\mathrm B}$) и уравнению для $F(x,t)$ в целом ($TL_{\mathrm S}$): где среднеквадратичные ошибки (в $\mathcal L^2$-норме) для этих потерь задаются как
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, TL_{\mathrm I}&=\frac{1}{N_{\mathrm I}}\sum_{j=1}^{N_{\mathrm I}}(|v(x_{ \scriptscriptstyle{\mathrm I} }^j,t_0)-v_0^j|^2+|w(x_{ \scriptscriptstyle{\mathrm I} }^j,t_0)-w_0^j|^2), \\ TL_{\mathrm B}&=\frac{1}{N_{\mathrm B}}\sum_{j=1}^{N_{\mathrm B}}(|v(-L,t_{ \scriptscriptstyle{\mathrm B} }^j)-v(L,t_{ \scriptscriptstyle{\mathrm B} }^j)|^2+|w(-L,t_{ \scriptscriptstyle{\mathrm B} }^j)-w(L,t_{ \scriptscriptstyle{\mathrm B} }^j)|^2), \\ TL_{\mathrm S}&=\frac{1}{N_{\mathrm S}}\sum_{j=1}^{N_{\mathrm S}}(|Fv(x_{ \scriptscriptstyle{\mathrm S} }^j,t_{ \scriptscriptstyle{\mathrm S} }^j)|^2+|Fw(x_{ \scriptscriptstyle{\mathrm S} }^j,t_{ \scriptscriptstyle{\mathrm S} }^j)|^2). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.14}
$$
Здесь $\{x_{ \scriptscriptstyle{\mathrm I} }^j,v_0^j,w_0^j\}_{j=1}^{N_{\mathrm I}}$ – начальные данные, $\{t_{ \scriptscriptstyle{\mathrm B} }^j,v(\pm L,t_{ \scriptscriptstyle{\mathrm B} }^j),w(\pm L,t_{ \scriptscriptstyle{\mathrm B} }^j)\}_{j=1}^{N_{\mathrm B}}$ – периодические граничные данные, $\{x_{ \scriptscriptstyle{\mathrm S} }^j,t_{ \scriptscriptstyle{\mathrm S} }^j,Fv(x_{ \scriptscriptstyle{\mathrm S} }^j,t_{ \scriptscriptstyle{\mathrm S} }^j),Fw(x_{ \scriptscriptstyle{\mathrm S} }^j,t_{ \scriptscriptstyle{\mathrm S} }^j)\}_{j=1}^{N_{\mathrm S}}$ – точки коллокации функции $F(x,t)=Fv(x,t)+iFw(x,t)$ в пространственно-временной области двумерной переменной $(x,t)\in(-L,L)\times(t_0,T]$. Все эти выборочные точки генерируются с использованием стратегии заполнения пространства методом латинского гиперкуба с исходными данными, полученными псевдоспектральным методом, как описано в работе [22]. В нашем случае мы берем $L=10$, $t_0=0$ и $T=\pi/2$ и задаем начальные данные, используя $10\,000$ шагов с применением оптимизации Адама (Adam) и $10\,000$ шагов с применением оптимизации Бройдена–Флетчера–Гольдфарба–Шанно с ограниченным объемом памяти (L-BFGD). На рис. 4–6 представлены три набора графиков, отвечающих $\lambda=0.2,\,0.7,\,1.2$. На верхних графиках каждого рисунка изображена эволюция модуля численного решения (3.9) $|q(x,t)|=\sqrt{v(x,t)^2+w(x,t)^2}$ вместе с начальными и обучающими данными. Крестики – это данные, выбранные случайным образом из начальных условий (50 точек) и граничных условий (100 точек). На средних графиках показаны численное и точное решения на разных временных шагах $t=0.59,\,0.79,\,0.98$. Численное решение хорошо согласуется с точным решением при всех временах, графики практически совпадают. Во всех случаях относительные ошибки
$$
\begin{equation*}
\frac{\|X_{\text{Exact}}-X_{\text{Predict}}\|_{\mathrm F}}{\|X_{\text{Exact}}\|_{\mathrm F}}
\end{equation*}
\notag
$$
(где F обозначает норму Фробениуса) для функций $q(x,t)$, $v(x,t)$ и $w(x,t)$ оказались порядка $10^{-3}$ и $10^{-4}$. Наконец, на нижних графиках на рис. 4–6 показано значение нормы разности между численным и точным решением. Опять же во всех случаях ошибки имеют порядок $10^{-3}$, $10^{-4}$.  Рис. 6.То же, что на рис. 4, для $\lambda=1.2$, в этом случае затухание относительно большое, поэтому и численное, и точное решение быстро стремятся к нулю. 4. ЗаключениеУравнение ЛЛГ является нелинейным эволюционным уравнением и представляет большой интерес как с математической, так и с физической точки зрения. Оно описывает динамику некоторых важных физических систем, таких как ферромагнетики или вихревые нити, и посредством преобразования движущихся в пространстве кривых связано со многими известными интегрируемыми солитонными уравнениями, включая НУШ и уравнение синус-Гордон, и тем самым со многими моделями математической физики, такими как спиновые волны, волны, выражающиеся через эллиптические функции, солитоны, дромионы, вихри и пространственно-временные паттерны, зависящие от физических и спиновых измерений, а также от природы взаимодействий. В представленной статье мы использовали тот факт, что уравнению ЛЛГ можно сопоставить пространственную кривую, для которой эволюционные уравнения Серре–Френе приводят к нелокальному НУШ с затуханием. Рассматривая параметр затухания $\lambda>0$ в качестве возмущения, мы сначала использовали теорию Мельникова, чтобы аналитически показать, что это уравнение при всех $\lambda$ имеет солитонные решения, которые стремятся к нулю при $t\to\infty$. Затем мы использовали линейный анализ устойчивости, чтобы показать, что солитонное решение невозмущенного НУШ неустойчиво, так как соответствующий спектр имеет собственное значение с положительной вещественной частью. Таким образом, естественно ожидать, что возмущения этого солитонного решения приводят к затухающим солитонным решениям уравнения ЛЛГ, которые мы изучали в этой работе. Наконец, мы использовали два разных численных подхода для проверки достоверности наших аналитических результатов, связанных с нелокальным НУШ: первый – это хорошо известный псевдоспектральный метод, основанный на пространственной дискретизации, а второй – так называемый метод глубокого обучения с использованием физически-информированной нейронной сети. Мы показали, что оба подхода приводят к результатам с очень низким уровнем ошибок. Приложение. Гомоклиническая теория Мельникова для интегро-дифференциальных уравненийВ этом приложении мы кратко рассматриваем теорию более общего класса возмущенных нелокальных динамических систем [24], которую мы использовали в разделе 2 для изучения существования и устойчивости ярких солитонов в нелокальном НУШ (2.2). Начнем с рассмотрения следующей возмущенной $n$-мерной интегро-дифференциальной динамической системы:
$$
\begin{equation}
\dot x=f(x)+\epsilon [\kern1pt\mathcal N\kern1.5pt] (x,t;\mu),\qquad x\in\mathbb{R}^{n},
\end{equation}
\tag{A.1}
$$
где $0\leqslant|\epsilon|\ll 1$, $ [\kern1pt\mathcal N\kern1.5pt] $ – периодические функции от $t$ и $\mu\in\mathbb{R}$ – набор внешних параметров задачи. Нелокальная часть $\mathcal N$ имеет довольно общий вид и включает в себя различные классы членов, часто встречающиеся в приложениях. Предположим, что невозмущенная система (A.1) (соответствующая $\epsilon=0$) имеет гиперболическую особую точку $x_0$ и гомоклиническую орбиту $\gamma$ к точке $x_0$. Известно, что у линейного вариационного уравнения для невозмущенной системы (A.1) вдоль гомоклинической орбиты $\gamma$, записанного в виде при $\alpha\in\mathbb{R}$ существует дихотомия на интервалах $\alpha\leqslant t\leqslant\infty$ и $-\infty\leqslant t\leqslant\alpha$. Очевидно, что для системы (A.2) при постоянной функции $A(t)=A$ экспоненциальная дихотомия на бесконечном интервале имеет место тогда и только тогда, когда $\operatorname{spec}A=\{\lambda\in\mathbb{C}\colon\operatorname{Re}\lambda\neq 0\}$, а при $A(t)=A(t+T)$ – тогда и только тогда, когда множители Флоке лежат вне единичного круга [25].Обозначим устойчивое и неустойчивое многообразия особой точки $x_0$ через $W^{\mathrm s}_0$ и $W^{\mathrm u}_0$ соответственно и для заданного $\alpha\in\mathbb{R}$ определим следующие проекции:
$$
\begin{equation*}
P(a)\colon T_{\gamma(\alpha)}\mathbb{R}^{n}\to T_{\gamma(\alpha)}W^{\mathrm s}_0,\qquad Q(a)\colon T_{\gamma(\alpha)}\mathbb{R}^{n}\to T_{\gamma(\alpha)}W^{\mathrm u}_0,
\end{equation*}
\notag
$$
удовлетворяющие равенствам
$$
\begin{equation*}
(I-P(\alpha))T_{\gamma(\alpha)}\mathbb{R}^{n}=T^{\perp}_{\gamma(\alpha)}W^{\mathrm s}_0,\qquad (I-Q(\alpha))T_{\gamma(\alpha)}\mathbb{R}^{n}=T^{\perp}_{\gamma(\alpha)}W^{\mathrm u}_0,
\end{equation*}
\notag
$$
где $T_{\gamma(\alpha)}\mathbb{R}^{n}$ и $T^{\perp}_{\gamma(\alpha)}W^{\mathrm s}_0$ – пространства, касательные к $\mathbb{R}^{n}$ и к $W^{\mathrm s}_0$ в точке $\gamma(\alpha)$. Система уравнений (A.2) имеет экпоненциальную дихотомию при $\alpha\leqslant t\leqslant\infty$, такую что $\Phi(t,\alpha)z_0\to 0$ экспоненциально при $t\to\infty$, когда $z_0\in T_{\gamma(\alpha)}W^{\mathrm u}_0$, где $\Phi(t,s)$ – переходная матрица Флоке системы (A.2). Далее определим возмущенное устойчивое инвариантное многообразие неподвижной точки $x_\epsilon$ как
$$
\begin{equation}
W^{\mathrm s}_{\mathrm{loc}}(x_\epsilon)= \bigcup_{\alpha\in\mathbb{R}}\bigl\{\gamma(\alpha)+\epsilon\kern1pt G^{\kern1pt\mathrm s}_2(\alpha,\eta^{\mathrm s};\epsilon;\mu)\bigr\},
\end{equation}
\tag{A.3}
$$
где
$$
\begin{equation*}
G^{\kern1pt\mathrm s}_2(\alpha,\eta^{\mathrm s};\epsilon;\mu)= \eta^{\mathrm s}+(I-P(\alpha))\int^{\alpha}_{\infty}\Phi(\alpha,\tau) [\kern1pt\mathcal N\kern1.5pt] (\gamma(\tau),\tau-\alpha;\mu)\,d\tau
\end{equation*}
\notag
$$
и $\eta^{\mathrm s}\in T_{\gamma(\alpha)}W^{\mathrm s}_0/T_{\gamma(\alpha)}\gamma(\alpha)$, $|\eta^{\mathrm s}|\ll 1$. Аналогично для возмущенного неустойчивого многообразия имеем
$$
\begin{equation}
W^{\mathrm u}_{\mathrm{loc}}(x_\epsilon)= \bigcup_{\alpha\in\mathbb{R}}\bigl\{\gamma(\alpha)+\epsilon\kern1pt G^{\mathrm u}_2(\alpha,\eta^{\mathrm u};\epsilon;\mu)\bigr\}.
\end{equation}
\tag{A.4}
$$
Здесь
$$
\begin{equation*}
G^{\mathrm u}_2(\alpha,\eta^{\mathrm u};\epsilon;\mu)= \eta^{\mathrm u}+(I-Q(\alpha))\int^{\alpha}_{-\infty}\Phi(\alpha,\tau) [\kern1pt\mathcal N\kern1.5pt] (\gamma(\tau),\tau-\alpha;\mu)\,d\tau,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\eta^{\mathrm u}\in T_{\gamma(\alpha)}W^{\mathrm u}_0/T_{\gamma(\alpha)}\gamma(\alpha)$, $|\eta^{\mathrm u}|\ll 1$. Далее, задав
$$
\begin{equation}
x(t)=\gamma(t+\alpha)+\epsilon z_2(t+\alpha),\qquad \alpha\in\mathbb{R},
\end{equation}
\tag{A.5}
$$
как возмущение гомоклинической орбиты системы (A.1), получаем систему вариационных уравнений
$$
\begin{equation}
\dot z_2=A(t)z_2+ [\kern1pt\mathcal N\kern1.5pt] (\gamma(t), t-\alpha;\mu)=h_2(t,x,z,\epsilon),
\end{equation}
\tag{A.6}
$$
где
$$
\begin{equation}
h_2(t,x,z,\epsilon)= \frac{1}\epsilon\bigl\{f(\gamma(t)+\epsilon z_2)-f(\gamma(t))z_2\big\}+ [\kern1pt\mathcal N\kern1.5pt] (\gamma(t)+\epsilon z_2)- [\kern1pt\mathcal N\kern1.5pt] (\gamma(t)).
\end{equation}
\tag{A.7}
$$
Пусть $z_2(t;\alpha,z_0)$ – решение системы (A.6) с $z_2(0;\alpha,z_0)=z_{0,2}$. Следуя работе [20], напрямую получаем, что решение $z_2(t;\alpha,z_0)$ ограничено при $\alpha\leqslant t<\infty$, если и только если оно удовлетворяет равенству
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &z_2(t;\alpha,z_0)= \notag\\ &\quad =\Phi(t,\alpha) \biggl[P(\alpha)z_{0,2}+P(\alpha)\int^t_{\alpha}\Phi(\alpha,\tau)\{ [\kern1pt\mathcal N\kern1.5pt] (\gamma(\tau),\tau-\alpha;\mu)+h_2(\tau,\alpha,z_2;\epsilon)\}\,d\tau+{} \notag\\ &\qquad\quad +(I-P(\alpha))\int^t_{\infty}\Phi(\alpha,\tau)\{ [\kern1pt\mathcal N\kern1.5pt] (\gamma(\tau),\tau-\alpha;\mu)+h_2(\tau,\alpha,z_2;\epsilon)\}\,d\tau\biggr]. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{A.8}
$$
Положив $\eta^{\mathrm s}_2=P(\alpha)z_{0,2}$, с помощью теоремы о сжимающем отображении можно доказать, что система (A.8) имеет единственное решение
$$
\begin{equation*}
z^{\mathrm s}_2=z_2(t;\alpha, z_{0,2}(\eta^{\mathrm s}_2)),\qquad |\eta^{\mathrm s}_1|\ll 1,\quad |\eta^{\mathrm s}_2|\ll 1.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть теперь в (A.8) $t=\alpha$, получаем
$$
\begin{equation}
z_{0,2}(\eta^{\mathrm s}_2)=\eta^{\mathrm s}_2+ (I-P(\alpha))\int^{\alpha}_{\infty}\Phi(\alpha,\tau)\{ [\kern1pt\mathcal N\kern1.5pt] (\gamma(\tau),\tau-\alpha;\mu)+h_2(\tau,\alpha,z_2;\epsilon)\}\,d\tau,
\end{equation}
\tag{A.9}
$$
при этом
$$
\begin{equation}
x(0)=\gamma(\alpha)+\epsilon \biggl[\eta^{\mathrm s}_2+(I-P(\alpha))\int^{\alpha}_{\infty}\Phi(\alpha,\tau) \{ [\kern1pt\mathcal N\kern1.5pt] (\gamma(\tau),\tau-\alpha;\mu)+h_2(\tau,\alpha,z_2;\epsilon;\mu)\}\,d\tau\biggr].
\end{equation}
\tag{A.10}
$$
Отсюда следует, что можно получить возмущенные локальные устойчивое $W^{\mathrm s}_{\mathrm{loc}}(x_\epsilon)$ и неустойчивое $W^{\mathrm u}_{\mathrm{loc}}(x_\epsilon)$ многообразия отображения Пуанкаре возмущенной динамической системы (A.1) как графики отображения на невозмущенных устойчивом и неустойчивом многообразиях $W^{\mathrm s}_0$ и $W^{\mathrm u}_0$. Функции $G^{\mathrm s}(\alpha,\eta^{\mathrm s},\epsilon;\mu)$ и $G^{\mathrm u}(\alpha,\eta^{\mathrm u},\epsilon;\mu)$ разлагаются следующим образом (см. работу [20]):
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, G^{\mathrm s}(\alpha,\eta^{\mathrm s},\epsilon;\mu)&= (\alpha,\nu,\eta^{\mathrm s}_2,m^{\mathrm s}_2(\alpha,\nu,\eta^{\mathrm s}_1,\eta^{\mathrm s}_2,\epsilon;\mu)), \\ G^{\mathrm u}(\alpha,\eta^{\mathrm u},\epsilon;\mu)&= (\alpha,\nu,\eta^{\mathrm u}_2,m^{\mathrm u}_2(\alpha,\nu,\eta^{\mathrm u}_1,\eta^{\mathrm u}_2,\epsilon;\mu)), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $(\alpha,\nu)\in\operatorname{Range}P(\alpha)\cap\operatorname{Range}Q(\alpha)$, $\eta^{\mathrm s,\mathrm u}=(\nu,\eta^{\mathrm s,\mathrm u}_2)$ и
$$
\begin{equation*}
\eta^{\mathrm s}_2\in\operatorname{Range}P(\alpha)\cap\operatorname{Range}(I-Q(\alpha)),\qquad \eta^{\mathrm u}_2\in\operatorname{Range}(I-P(\alpha))\cap\operatorname{Range}Q(\alpha).
\end{equation*}
\notag
$$
Чтобы найти расстояние между устойчивым и неустойчивым многообразиями возмущенного отображения Пуанкаре, достаточно найти расстояние между этими многообразиями в подпространстве $\operatorname{Range}(I-P(\alpha))\cap\operatorname{Range}(I-Q(\alpha))$. Обозначим через $\mathcal D$ расстояние между $W^{\mathrm s}_{\mathrm{loc}}(x_{\epsilon,\mu})$ и $W^{\mathrm u}_{\mathrm{loc}}(x_{\epsilon,\mu})$,
$$
\begin{equation}
\mathcal D=m^{\mathrm u}_2(\alpha,\nu,\eta^{\mathrm u}_2,\epsilon;\mu)-m^{\mathrm s}_2(\alpha,\nu,\eta^{\mathrm s}_2,\epsilon;\mu).
\end{equation}
\tag{A.11}
$$
Рассмотрим задачу, сопряженную к (A.2): Пусть $\{\phi_i^*\}$, $i=1,\ldots m$, – множество линейно независимых ограниченных решений сопряженной системы на $\mathbb{R}$. Тогда
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Range}(I-P^*(\alpha))\cap\operatorname{Range}(I-Q^*(\alpha))=\operatorname{span}\{\phi_i^*(\alpha)\}^{m}_{i=1}.
\end{equation*}
\notag
$$
В координатах $\phi_1^*(\alpha),\ldots,\phi_m^*(\alpha)$ разделяющее многообразие $\mathcal D$ выражается как
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \phi^*_i(\alpha)\mathcal D&=\phi^*_i(\alpha)(m^{\mathrm u}_2-m^{\mathrm s}_2)= \\ &=\biggl[\phi^*_i(\alpha)(I-Q(\alpha)) \int^{\alpha}_{-\infty}\!\!\Phi(\alpha,\tau) \{ [\kern1pt\mathcal N\kern1.5pt] (\gamma(\tau),\tau-\alpha;\mu)+h_2(\tau,\alpha,z^{\mathrm u}_1,z^{\mathrm u}_2;\epsilon)\}\,d\tau\biggr]-{} \\ &\quad-\biggl[\phi^*_i(\alpha)(I-P(\alpha)) \int^{\alpha}_{\infty}\!\!\Phi(\alpha,\tau) \{ [\kern1pt\mathcal N\kern1.5pt] (\gamma(\tau),\tau-\alpha;\mu)+h_2(\tau,\alpha,z^{\mathrm s}_1,z^{\mathrm s}_2;\epsilon)\}\,d\tau\biggr]= \\ &=\biggl[\,\int^{\alpha}_{-\infty}\!\!\phi^*_i(\tau) \{ [\kern1pt\mathcal N\kern1.5pt] (\gamma(\tau),\tau-\alpha;\mu)+h_2(\tau,\alpha,z^{\mathrm u}_1,z^{\mathrm u}_2;\epsilon)\}\,d\tau\biggr]-{} \\ &\quad -\biggl[\,\int^{\alpha}_{\infty}\!\!\phi^*_i(\tau) \{ [\kern1pt\mathcal N\kern1.5pt] (\gamma(\tau),\tau-\alpha;\mu)+h_2(\tau,\alpha,z^{\mathrm s}_1,z^{\mathrm s}_2;\epsilon)\}\,d\tau\biggr]= \\ &=\int^{\infty}_{-\infty}\!\!\phi^*(t) [\kern1pt\mathcal N\kern1.5pt] (\gamma(\tau),\tau-\alpha;\mu)\,dt+{} \\ &\quad +\biggl[\,\int^{0}_{-\infty}\!\!\phi^*_i(\tau) h_2(\tau,\alpha,z^{\mathrm u}_1,z^{\mathrm u}_2;\epsilon)\,d\tau- \int^{0}_{\infty}\!\!\phi^*_i(\tau)h_2(\tau,\alpha,z^{\mathrm s}_1,z^{\mathrm s}_2;\epsilon)\,d\tau\biggr] \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
для $i=1,2,\ldots,m$. Пусть $\mathcal D=\epsilon M_2+O(\epsilon^2)$. Здесь компоненты вектора Мельникова $M_2$ задаются как
$$
\begin{equation}
M_{2,i}(\alpha,\nu)=\int^{\infty}_{-\infty}\phi^*_i(t) [\kern1pt\mathcal N\kern1.5pt] (\gamma(\tau),\tau-\alpha;\mu)\,dt,\qquad i=1,2,
\end{equation}
\tag{A.13}
$$
где $z_1$ – решение первой вариационной задачи $\dot z_1=\mathrm Df(\gamma(t))z_1$. Таким образом, условия существования трансверсальных пересечений устойчивого и неустойчивого многообразий отображения Пуанкаре, ассоциированного с системой интегро-дифференциальных уравнений (A.1), можно обобщить в виде следующей теоремы [24]. Теорема. Если существуют $\alpha$, $\nu=(\nu_1,\ldots,\nu_{m-1})$ и $\epsilon$, такие что в точке $(\alpha,\nu)$ вектор Мельникова $M_1(\alpha,\nu)=0$, а векторы $\frac{\partial M_1}{\partial\alpha},\frac{\partial M_1}{\partial\nu_1},\ldots,\frac{\partial M_1}{\partial\nu_{m-1}}$ отличны от нулевого, то локальные устойчивое и неустойчивое многообразия отображения Пуанкаре, связанные с системой (A.1), пересекаются трансверсально. Если дополнительно $M_1(\alpha,\nu)\equiv 0$ и существуют $\alpha$, $\nu=(\nu_1,\ldots,\nu_{m-1})$ и $\epsilon$, такие что в точке $(\alpha,\nu)$ мельниковский вектор $M_2(\alpha,\nu)=0$, а векторы $\frac{\partial M_2}{\partial\alpha},\frac{\partial M_2}{\partial\nu_1},\ldots,\frac{\partial M_2}{\partial\nu_{m-1}}$ отличны от нулевого, то $W^{\mathrm s}_{\mathrm{loc}}(x_\epsilon)$, $W^{\mathrm u}_{\mathrm{loc}}(x_\epsilon)$ пересекаются трансверсально. Заметим, что в статье [26] для НУШ с нелокальными членами третьей и пятой степеней устойчивость ярких солитонов изучалась с использованием другого подхода к анализу их динамического поведения. Конфликт интересовАвторы заявляют, что у них нет конфликта интересов.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{RotMylBou23} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|