| Теоретическая и математическая физика |
|
|
|
|
|
Интегрирование векторного нелинейного уравнения Шредингера–Максвелла–Блоха и метод матриц Коши Хуэй Чжоуa, Е-Хуэй Хуанb, Юй-Цинь Яоa a College of Science, China Agricultural University, Beijing, China b School of Mathematics and Physics, North China Electric Power University, Beijing, China
Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2023, Volume 215, Issue 3, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0040577923060053 
Реферативные базы данных:
   Вклад авторов: Хуэй Чжоу – методология, вычисления, написание начальной версии статьи; Е-Хуэй Хуан – программное обеспечение, написание начальной версии статьи; Юй-Цинь Яо – концептуализация, написание статьи, проверка и редактирование. 1. ВведениеВ течение последних десятилетий уравнения типа нелинейного уравнения Шредингера (НШ) интенсивно изучаются в различных областях применения математической физики, начиная с нелинейной оптики и процесса распространения волн в глубокой воде и заканчивая конденсатом Бозе–Эйнштейна и криогенной физикой. Среди этих уравнений векторное нелинейное уравнение Шредингера (ВНШ)
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, & iq_{1,t}+q_{1,xx}+2q_{1}(|q_{1}|^{2}+2|q_0|^{2})+2q^2_0q^*_{-1}=0,\\ & iq_{0,t}+2q_{0,xx}+2q_{0}(|q_{1}|^{2}+|q_0|^{2}+|q_{-1}|^{2})+2q_{1}q^*_0q_{-1}=0,\\ & iq_{-1,t}+q_{-1,xx}+2q_{-1}(|q_{-1}|^{2}+2|q_0|^{2})+2q^2_0q^*_{1}=0\\ \end{aligned}
\end{equation}
\tag{1}
$$
является важной нелинейной физической моделью, которая может точно характеризовать динамику и взаимодействие светлых солитонов [1]. Кроме того, поскольку солитоны волн материи перспективны для применения в атомной интерферометрии, атомном лазере и в когерентном атомном транспорте, в будущем это уравнение может оказаться полезным при обработке квантовой информации и проведении квантовых вычислений. Вообще говоря, в лазерной физике уравнение Максвелла–Блоха (МБ)
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &q_{t}+q_{x}=\langle \mathcal{U}\rangle,\\ &\mathcal{U}_{t}=-2i\lambda\mathcal{U}+q\mathcal{N},\\ &\mathcal{N}_{t}=-\frac{1}{2}(q^*\mathcal{U}+q\mathcal{U}^*), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2}
$$
является полуклассической моделью резонансного взаимодействия светового поля с активной оптической средой, состоящей из двухуровневых атомов, в которой уравнение Максвелла описывает свойства распространения светового поля в среде, а уравнение Блоха – свойства атомов. Явление самоиндуцированной прозрачности [2]–[4] можно описать уравнением МБ. Абловиц, Кауп и Ньюэлл исследовали распространение импульса в двухуровневой резонансной среде методом обратной задачи рассеяния [5]. С помощью уравнения МБ была изучена эволюция фемтосекундного импульса на больших расстояниях в резонансной двухуровневой атомной среде [6]. Скалярные уравнения МБ изучались с помощью преобразования Дарбу [7]. В работе [8] были выведены $N$-солитонные решения уравнения МБ с помощью метода задачи Римана–Гильберта. Совместное существование солитонов уравнений НШ и МБ было показано в работе [9] и экспериментально наблюдалось в резонансном волокне, легированном эрбием [10]. На данный момент для уравнений типа НШ-МБ в работах [11], [12] обсуждались солитоны, периодические решения, волны-убийцы и т. д. В то же время интегрируемость и солитоны векторного нелинейного уравнения Шредингера–Максвелла–Блоха (ВНШ-МБ), насколько нам известно, не рассматривались. В наcтоящей работе мы построили уравнение ВНШ-МБ на основе обобщенного метода $\bar{\partial}$-одевания [13]–[21]. Чтобы решить уравнение ВНШ-МБ, нам понадобится уравнение ВНШ с самосогласованными источниками. Мы построили уравнение ВНШ с самосогласованными источниками и доказали эквивалентность уравнений ВНШ-МБ и ВНШ с самосогласованными источниками. Используя эту эквивалентность и метод матриц Коши [22]–[25], мы получили явные выражения для $N$-солитонных решений уравнения ВНШ-МБ. Статья имеет следующую структуру. В разделе 2, применив соответствующие симметрийные условия, мы обобщаем метод $\bar{\partial}$-одевания на основе локальной $\bar{\partial}$-задачи для построения уравнения ВНШ-МБ. Уравнение ВНШ-МБ построено в разделе 3. Раздел 4 посвящен доказательству эквивалентности уравнений ВНШ-МБ и ВНШ с самосогласованными источниками. В разделе 5 показано, как работает метод матриц Коши при выводе $N$-солитонных решений уравнения ВНШ-МБ, и проиллюстрированы их динамические характеристики. В разделе 6 представлены выводы. 2. $\bar{\partial}$-задача высшего порядка и уравнение ВНШ-МБВ данном разделе строится ($4\times 4$)-матричная $\bar{\partial}$-задача, которая затем применяется для вывода уравнения ВНШ-МБ методом $\bar{\partial}$-одевания. Предложение 1. Введем ($4\times 4$)-матричную $\bar{\partial}$-задачу на комплексной плоскости $z$ Доказательство. Решение задачи (3) с канонической нормировкой имеет вид где $I$ – единичная матрица, а $C_{z}$ – оператор Коши–Грина, действующий влево [13]: Чтобы вывести матричную систему НШ-МБ, с помощью $P=i[\sigma_{3},\langle\Psi R\rangle]$ найдем
$$
\begin{equation}
P_{t}=2[\sigma_{3},\langle \bar{\partial}(z^{2}U)\rangle]+i[\sigma_{3},\langle \omega(z)U\rangle].
\end{equation}
\tag{14}
$$
В силу спектральной задачи (12) нетрудно проверить, что Опираясь на структуру матриц $U^{\mathrm{(d)}}$ и $U^{\mathrm{(o)}}$, имеем
$$
\begin{equation}
U=U^{\mathrm{(d)}}+U^{\mathrm{(o)}},\qquad U^{\mathrm{(o)}}=\frac{1}{4}[\sigma_{3},[\sigma_{3},U]].
\end{equation}
\tag{16}
$$
Тогда из (15) получим
$$
\begin{equation}
U_{x}^{\mathrm{(d)}}=[P,U^{\mathrm{(o)}}],\qquad U_{x}^{\mathrm{(o)}}-2iz\sigma_{3}U^{\mathrm{(o)}}-[P,\partial_{x}^{-1}[P,U^{\mathrm{(o)}}]]=-2\sigma_{3}P.
\end{equation}
\tag{17}
$$
Введем для простоты рекуррентный оператор
$$
\begin{equation}
\Lambda\, \cdot=-\frac{i}{2}\sigma_{3}\{\partial_{x}-[P,\partial_{x}^{-1}[P,\cdot\,]]\},
\end{equation}
\tag{18}
$$
тогда соотношение (14) можно представить в виде
$$
\begin{equation}
P_{t}=4i\sigma_{3}\Lambda^{2}P+i[\sigma_{3},\langle \omega(z)U\rangle].
\end{equation}
\tag{19}
$$
Далее непосредственные вычисления приводят к матричной системе НШ-МБ (6). Чтобы вывести уравнение ВНШ-МБ, введем следующие симметрийные условия:
$$
\begin{equation}
\sigma \overline P \sigma^{-1}=-P^{\unicode{8224}},\qquad \sigma \overline {\Psi(\bar z)} \sigma^{-1}=-\Psi(-z),\qquad \sigma \overline {U(\bar z)} \sigma^{-1}=-U(-z),
\end{equation}
\tag{20}
$$
где $\sigma= \begin{pmatrix} 0_{2\times 2} & -I_{2} \\ -I_{2} & 0_{2\times 2} \end{pmatrix}$. Симметрийные условия означают, что $P$ и $U$ принимают следующий вид:
$$
\begin{equation}
P=\begin{pmatrix} 0_{2\times 2} & Q\\ -Q^{\unicode{8224}} & 0_{2\times 2}\\ \end{pmatrix},\qquad Q=\begin{pmatrix} q_{1} & q_{0}\\ q_{0} & q_{-1} \end{pmatrix},\qquad U=\begin{pmatrix} a & b & u & v\\ -b^* & c & v & w\\ -u^* & -v^* & -a^* & -b^*\\ -v^* & -w^* & b & -c^* \end{pmatrix}.
\end{equation}
\tag{21}
$$
Поэтому из (6) легко получим уравнение ВНШ-МБ
$$
\begin{equation}
\begin{cases} iq_{1,t}+q_{1,xx}+2q_{1}(|q_{1}|^{2}+2|q_0|^{2})+2q^2_0q^*_{-1}=\langle\!\langle u \rangle\!\rangle,\\ iq_{0,t}+q_{0,xx}+2q_{0}(|q_{1}|^{2}+|q_0|^{2}+|q_{1}|^{2})+2q_{1}q^*_0q_{-1}=\langle\!\langle v \rangle\!\rangle,\\ iq_{-1,t}+2q_{-1,xx}+2q_{-1}(|q_{-1}|^{2}+2|q_0|^{2})+2q^2_0q^*_{1}=\langle\!\langle w \rangle\!\rangle,\\ u_{x}+2izu=(a-a^*)q_{1}+2bq_{0},\\ v_{x}+2izv=-b^*q_{1}+(a-c^*)q_{0}+bq_{-1},\\ w_{x}+2izw=-2b^*q_{0}+(c-c^*)q_{-1},\\ a_{x}=u^*q_{1}+v^*q_{0}-uq_{1}^*-vq_{0}^*,\\ b_{x}=v^*q_{1}+w^*q_{0}-uq_{0}^*-vq_{-1}^*,\\ c_{x}=v^*q_{0}+w^*q_{-1}-vq_{0}^*-wq_{-1}^*, \end{cases}
\end{equation}
\tag{22}
$$
где $a^*=\overline {a(-\bar z)}$ или $u^*=\overline {u(-\bar z)}$,
$$
\begin{equation}
\langle\!\langle u \rangle\!\rangle =\frac{1}{\pi i}\int\!\!\!\int\omega(z)u(z)\,dz\wedge d\bar z.
\end{equation}
\tag{23}
$$
Здесь $\omega(z)$ – скалярная функция в сингулярном дисперсионном соотношении.
3. Уравнение ВНШ с самосогласованными источникамиЗдесь и далее положим $r_{i}$ = $-q_{i}^*$, $i=1,0,-1$. Спектральной задачей для уравнения ВНШ-МБ является уравнение [26]
$$
\begin{equation}
\phi_{x}=(i\lambda \sigma_3+P)\phi \triangleq M\phi,\qquad \phi_{t}=N\phi,\qquad N=\begin{pmatrix} a_{1} & a_{2} &\hphantom{-} b_{1} & \hphantom{-}b_{2}\\ a_{3} & a_{4} &\hphantom{-} b_{2} & \hphantom{-}b_{4}\\ c_{1} & c_{2} & -a_{1} & -a_{3}\\ c_{2} & c_{4} &\ -a_{2} & -a_{4} \end{pmatrix}.
\end{equation}
\tag{24}
$$
Разложим $a_{i}$, $b_{i}$ и $c_{i}$ в ряды:
$$
\begin{equation}
a_{i}=\sum_{m\geqslant 0}a_{i,m}\lambda^{-m},\qquad b_{i}=\sum_{m\geqslant 0}b_{i,m}\lambda^{-m},\qquad c_{i}=\sum_{m\geqslant 0}c_{i,m}\lambda^{-m},
\end{equation}
\tag{25}
$$
тогда стационарное уравнение нулевой кривизны $N_{x}=[M, N]$ порождает ряд рекуррентных соотношений:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, a_{1,m,x}&=c_{2,m}q_{0}+c_{1,m}q_{1}-b_{2,m}r_{0}-b_{1,m}r_{1},\\ a_{2,m,x}&=c_{4,m}q_{0}+c_{2,m}q_{1}-b_{2,m}r_{-1}-b_{1,m}r_{0},\\ a_{3,m,x}&=c_{2,m}q_{-1}+c_{1,m}q_{0}-b_{4,m}r_{0}-b_{2,m}r_{1},\\ a_{4,m,x}&=c_{4,m}q_{-1}+c_{2,m}q_{0}-b_{4,m}r_{-1}-b_{2,m}r_{0},\\ b_{1,m,x}&=-2ib_{1,m+1}-2a_{2,m}q_{0}-2a_{1,m}q_{1},\\ b_{2,m,x}&=-2ib_{2,m+1}-a_{2,m}q_{-1}-a_{1,m}q_{0}-a_{4,m}q_{0}-a_{3,m}q_{1},\\ b_{4,m,x}&=-2ib_{4,m+1}-2a_{4,m}q_{-1}-2a_{3,m}q_{0},\\ c_{1,m,x}&=2ic_{1,m+1}+2a_{3,m}r_{0}+2a_{1,m}r_{1},\\ c_{2,m,x}&=2ic_{2,m+1}+a_{3,m}r_{-1}+a_{1,m}r_{0}+a_{4,m}r_{0}+a_{2,m}r_{1},\\ c_{4,m,x}&=2ic_{4,m+1}+2a_{4,m}r_{-1}+2a_{2,m}r_{0} \end{aligned}
\end{equation}
\tag{26}
$$
с начальными условиями $a_{1,0}=a_{4,0}=-2i$, $a_{2,0}=a_{3,0}=0$, $b_{1,0}=b_{2,0}=b_{3,0}=b_{4,0}=0$ и $c_{1,0}=c_{2,0}=c_{3,0}=c_{4,0}=0$. Опираясь на указанные соотношения, положим
$$
\begin{equation}
N^{(n)}=(\lambda^{n} N)_{+}=\biggl(\lambda^{n}\sum_{m\geqslant 0} N_{m}\lambda^{-m}\biggr)_{+}=\sum_{m\geqslant 0} N_{m}\lambda^{n-m}.
\end{equation}
\tag{27}
$$
Подставляя выражения для $M$, $N^{(n)}$ в уравнение нулевой кривизны получим
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, iu_{t}\triangleq i \begin{pmatrix} q_{1}\\ q_{0}\\ q_{-1}\\ r_{1}\\ r_{0}\\ r_{-1} \end{pmatrix}_{t} =J \begin{pmatrix} c_{1,n+1}\\ 2c_{2,n+1}\\ c_{4,n+1}\\ b_{1,n+1}\\ 2b_{2,n+1}\\ b_{4,n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \hphantom{-} 2b_{1,n+1}\\ \hphantom{-} 2b_{2,n+1}\\ \hphantom{-} 2b_{4,n+1}\\ -2c_{1,n+1}\\ -2c_{2,n+1}\\ -2c_{4,n+1} \end{pmatrix},\\ J= \begin{pmatrix} \hphantom{-}0 & \hphantom{-}0 & \hphantom{-}0 & 2 & 0 & 0\\ \hphantom{-}0 & \hphantom{-}0 & \hphantom{-}0 & 0 & 1 & 0\\ \hphantom{-}0 & \hphantom{-}0 & \hphantom{-}0 & 0 & 0 & 2\\ -2 & \hphantom{-}0 & \hphantom{-}0 & 0 & 0 & 0\\ \hphantom{-}0 & -1 &\hphantom{-} 0 & 0 & 0 & 0\\ \hphantom{-}0 & \hphantom{-}0 & -2 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{29}
$$
Используя тождество следов [27]
$$
\begin{equation}
\frac{\delta}{\delta u_{i}}\biggl\{ \overline N,\frac{\partial M}{\partial \lambda}\biggr\}=\biggl(\lambda^{-\gamma}\frac{\partial}{\partial \lambda}\lambda^{\gamma}\biggr)\biggl\{ \overline N,\frac{\partial M}{\partial u_{i}}\biggr\},
\end{equation}
\tag{30}
$$
получим
$$
\begin{equation}
\begin{pmatrix} {\delta}/{\delta q_{1}} \\ {\delta}/{\delta q_{0}} \\ {\delta}/{\delta q_{-1}} \\ {\delta}/{\delta r_{1}} \\ {\delta}/{\delta r_{0}} \\ {\delta}/{\delta r_{-1}} \end{pmatrix} (-2i(a_{1}+a_{4}))=\biggl(\lambda^{-\gamma}\frac{\partial}{\partial \lambda}\lambda^{\gamma}\biggr) \begin{pmatrix} c_{1}\\ 2c_{2}\\ c_{4}\\ b_{1}\\ 2b_{2}\\ b_{4} \end{pmatrix}.
\end{equation}
\tag{31}
$$
Здесь введен оператор $\Gamma_{n}$, который имеет следующие свойства. Предложение 2 [27]. Пусть $A=\sum A_{n}\lambda^{-n}$ и оператор $\Gamma_{n}$ задан в виде $\Gamma_{n}A=A_{n}$. Тогда он удовлетворяет условиям Применяя $\Gamma_{n+2}$ к обеим частям уравнения (31), получим
$$
\begin{equation}
\begin{pmatrix} {\delta}/{\delta q_{1}} \\ {\delta}/{\delta q_{0}} \\ {\delta}/{\delta q_{-1}} \\ {\delta}/{\delta r_{1}} \\ {\delta}/{\delta r_{0}} \\ {\delta}/{\delta r_{-1}} \end{pmatrix} (-2i(a_{1,n+2}+a_{4,n+2}))=(\gamma-n-1) \begin{pmatrix} c_{1,n+1}\\ 2c_{2,n+1}\\ c_{4,n+1}\\ b_{1,n+1}\\ 2b_{2,n+1}\\ b_{4,n+1} \end{pmatrix}.
\end{equation}
\tag{33}
$$
Чтобы фиксировать константу $\gamma$, просто положим $n=0$ в приведенном выше уравнении. С помощью рекуррентных соотношений (26) получим $\gamma=-1$. Тогда формулу (33) можно переписать в виде
$$
\begin{equation}
\begin{pmatrix} {\delta}/{\delta q_{1}} \\ {\delta}/{\delta q_{0}} \\ {\delta}/{\delta q_{-1}} \\ {\delta}/{\delta r_{1}} \\ {\delta}/{\delta r_{0}} \\ {\delta}/{\delta r_{-1}} \end{pmatrix} H_{n}= \begin{pmatrix} c_{1,n+1}\\ 2c_{2,n+1}\\ c_{4,n+1}\\ b_{1,n+1}\\ 2b_{2,n+1}\\ b_{4,n+1} \end{pmatrix},
\end{equation}
\tag{34}
$$
где $H_{n}=-\frac{2i}{n+2}(a_{1,n+2}+a_{4,n+2})$. Подводя итог проведенным вычислениям, сформулируем следующую теорему. Теорема 1. Иерархию ВНШ можно представить в гамильтоновом виде где $J$ и $H_{n}$ заданы выражениями (29) и (34) соответственно. Далее рассмотрим пространственную спектральную задачу
$$
\begin{equation}
\phi_x=i\lambda \sigma_3\phi+P\phi,\qquad \phi=(\phi_{1}, \phi_{2},\phi_{3},\phi_{4})^\mathrm{T}
\end{equation}
\tag{36}
$$
и сопряженную задачу
$$
\begin{equation}
-\psi_{x}=i\lambda \sigma_3\psi+P^\mathrm{T} \psi,\qquad \psi=(\psi_{1},\psi_{2},\psi_{3},\psi_{4})^\mathrm{T}.
\end{equation}
\tag{37}
$$
Пусть $\psi_{1}=\phi_{3}$, $\psi_{2}=\phi_{4}$, $\psi_{3}=-\phi_{1}$, $\psi_{4}=-\phi_{2}$. Простыми вычислениями получим следующие вариации:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \frac{\delta \lambda}{\delta q_{1}}=-i\phi_{3}^{2},\qquad \frac{\delta \lambda}{\delta q_{0}}=-2i\phi_{3}\phi_{4},\qquad \frac{\delta \lambda}{\delta q_{-1}}=-i\phi_{4}^{2},\\ \frac{\delta \lambda}{\delta r_{1}}=i\phi_{1}^{2},\qquad \frac{\delta \lambda}{\delta r_{0}}=2i\phi_{1}\phi_{2},\qquad \frac{\delta \lambda}{\delta r_{-1}}=i\phi_{2}^{2}. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{38}
$$
Таким образом, иерархия ВНШ с самосогласованными источниками задается следующими уравнениями:
$$
\begin{equation}
\begin{cases} iu_{t_n}=J\biggl(\dfrac{\delta H_{n}}{\delta u}+\alpha\sum_{j=1}^{N}\biggl(\dfrac{\delta \lambda_{j}}{\delta u}+\dfrac{\delta \lambda'_{j}}{\delta u}\biggr)\biggr),\\ \phi_{j,x}=i\lambda_j \sigma_3\phi_j+P\phi_j,\\ \phi'_{j,x}=i\lambda'_j \sigma_3\phi'_j+P\phi'_j, \end{cases}
\end{equation}
\tag{39}
$$
где $J$ и $H_{n}$ получены в (29) и (34) соответственно, $\alpha$ – произвольная константа. Пусть $\phi_{1,j}^{'}=-i\phi_{3,j}^*$, $\phi_{2,j}^{'}=-i\phi_{4,j}^*$, $\phi_{3,j}^{'}=i\phi_{1,j}^*$, $\phi_{4,j}^{'}=i\phi_{2,j}^*$ и $\lambda_{j}^{'}=\lambda_{j}^*$, тогда (39) при $n=2$, $\alpha=i/2$ сводится к уравнению ВНШ с самосогласованными источниками
$$
\begin{equation}
\begin{cases} iq_{1,t}+q_{1,xx}+2q_{1}(|q_{1}|^{2}+2|q_0|^{2})+2q^2_0q^*_{-1}=\sum_{j=1}^N(\phi_{3,j}^{*2}-\phi_{1,j}^{2}),\\ iq_{0,t}+q_{0,xx}+2q_{0}(|q_{1}|^{2}+|q_0|^{2}+|q_{1}|^{2})+2q_{1}q^*_0q_{-1}=\sum_{j=1}^N(\phi_{3,j}^*\phi_{4,j}^*-\phi_{1,j}\phi_{2,j}),\\ iq_{-1,t}+q_{-1,xx}+2q_{-1}(|q_{-1}|^{2}+2|q_0|^{2})+2q^2_0q^*_{1}=\sum_{j=1}^N(\phi_{4,j}^{*2}-\phi_{2,j}^{2}),\\ \phi_{1,j,x}=-i\lambda \phi_{1,j}+q_{1}\phi_{3,j}+q_{0}\phi_{4,j},\\ \phi_{2,j,x}=-i\lambda \phi_{2,j}+q_{0}\phi_{3,j}+q_{-1}\phi_{4,j},\\ \phi_{3,j,x}=-q_{1}^*\phi_{1,j}-q_{0}^*\phi_{2,j}+i\lambda\phi_{3,j},\\ \phi_{4,j,x}=-q_{0}^*\phi_{1,j}-q_{-1}^*\phi_{2,j}+i\lambda\phi_{4,j}. \end{cases}
\end{equation}
\tag{40}
$$
4. Эквивалентность уравнений ВНШ-МБ и ВНШ с самосогласованными источникамиС помощью преобразований координат
$$
\begin{equation}
\xi=-t,\quad \tau=x,\quad q_{i}=\varepsilon_{i},\quad i=1,0,-1,
\end{equation}
\tag{41}
$$
уравнение ВНШ-МБ (22) переходит в систему
$$
\begin{equation}
\begin{cases} i\varepsilon_{1,\xi}-\varepsilon_{1,\tau\tau}-2\varepsilon_{1}(|\varepsilon_{1}|^{2}+2|\varepsilon_0|^{2})-2\varepsilon^2_0\varepsilon_{-1}^*=-\langle\!\langle u \rangle\!\rangle,\\ i\varepsilon_{0,\xi}-\varepsilon_{0,\tau\tau}-2\varepsilon_{0}(|\varepsilon_{1}|^{2}+|\varepsilon_0|^{2}+|\varepsilon_{1}|^{2})-2\varepsilon_{1}\varepsilon_{0}^*\varepsilon_{-1}=-\langle\!\langle v \rangle\!\rangle,\\ i\varepsilon_{-1,t}-\varepsilon_{-1,xx}-2\varepsilon_{-1}(|\varepsilon_{-1}|^{2}+2|\varepsilon_0|^{2})-2\varepsilon^2_0\varepsilon^*_{1}=-\langle\!\langle w \rangle\!\rangle,\\ u_{\tau}+2izu=(a-a^*)\varepsilon_{1}+2b\varepsilon_{0},\\ v_{\tau}+2izv=-b^*\varepsilon_{1}+(a-c^*)\varepsilon_{0}+b\varepsilon_{-1},\\ w_{\tau}+2izw=-2b^*\varepsilon_{0}+(c-c^*)\varepsilon_{-1},\\ a_{\tau}=u^*\varepsilon_{1}+v^*\varepsilon_{0}-u\varepsilon_{1}^*-v\varepsilon_{0}^*,\\ b_{\tau}=v^*\varepsilon_{1}+w^*\varepsilon_{0}-u\varepsilon_{0}^*-v\varepsilon_{-1}^*,\\ c_{\tau}=v^*\varepsilon_{0}+w^*\varepsilon_{-1}-v\varepsilon_{0}^*-w\varepsilon_{-1}^*, \end{cases}
\end{equation}
\tag{42}
$$
где
$$
\begin{equation*}
u(z_{1})=\int_{-\infty}^{+\infty}\delta(z-z_{1})u(z)\,dz.
\end{equation*}
\notag
$$
Если применить то же самое преобразование координат к системе (40), уравнение ВНШ с самосогласованными источниками преобразуется к виду
$$
\begin{equation}
\begin{cases} i\varepsilon_{1,\xi}-\varepsilon_{1,\tau\tau}-2\varepsilon_{1}(|\varepsilon_{1}|^{2}+2|\varepsilon_0|^{2})-2\varepsilon^2_0\varepsilon_{-1}^*=-\sum_{j=1}^N(\phi_{3,j}^{*2}-\phi_{1,j}^{2}),\\ i\varepsilon_{0,\xi}-\varepsilon_{0,\tau\tau}-2\varepsilon_{0}(|\varepsilon_{1}|^{2}+|\varepsilon_0|^{2}+|\varepsilon_{1}|^{2})-2\varepsilon_{1}\varepsilon_{0}^*\varepsilon_{-1}=-\sum_{j=1}^N(\phi_{3,j}^*\phi_{4,j}^*-\phi_{1,j}\phi_{2,j}),\\ i\varepsilon_{-1,\xi}-\varepsilon_{-1,\tau\tau}-2\varepsilon_{-1}(|\varepsilon_{-1}|^{2}+2|\varepsilon_0|^{2})-2\varepsilon^2_0\varepsilon^*_{1}=-\sum_{j=1}^N(\phi_{4,j}^{*2}-\phi_{2,j}^{2}),\\ \phi_{1,j,\tau}=-i\lambda \phi_{1,j}+q_{1}\phi_{3,j}+q_{0}\phi_{4,j},\\ \phi_{2,j,\tau}=-i\lambda \phi_{2,j}+q_{0}\phi_{3,j}+q_{-1}\phi_{4,j},\\ \phi_{3,j,\tau}=-q_{1}^*\phi_{1,j}-q_{0}^*\phi_{2,j}+i\lambda\phi_{3,j},\\ \phi_{4,j,\tau}=-q_{0}^*\phi_{1,j}-q_{-1}^*\phi_{2,j}+i\lambda\phi_{4,j}. \end{cases}
\end{equation}
\tag{43}
$$
Пусть
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, u=-\phi_{3}^{*2}-\phi_{1}^{2},\qquad v=-\phi_{3}^*\phi_{4}^*-\phi_{1}\phi_{2},\qquad w=-\phi_{4}^{*2}-\phi_{2}^{2},\\ a=\phi_{1}^*\phi_{3}^*-\phi_{1}\phi_{3},\qquad b=\phi_{2}^*\phi_{3}^*-\phi_{1}\phi_{4},\qquad c=\phi_{2}^*\phi_{4}^*-\phi_{2}\phi_{4}, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{44}
$$
тогда легко найти
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &u_{\tau}+2izu=(a-a^*)\varepsilon_{1}+2b\varepsilon_{0},\\ &v_{\tau}+2izv=-b^*\varepsilon_{1}+(a-c^*)\varepsilon_{0}+b\varepsilon_{-1},\\ &w_{\tau}+2izw=-2b^*\varepsilon_{0}+(c-c^*)\varepsilon_{-1},\\ &a_{\tau}=u^*\varepsilon_{1}+v^*\varepsilon_{0}-u\varepsilon_{1}^*-v\varepsilon_{0}^*,\\ &b_{\tau}=v^*\varepsilon_{1}+w^*\varepsilon_{0}-u\varepsilon_{0}^*-v\varepsilon_{-1}^*,\\ &c_{\tau}=v^*\varepsilon_{0}+w^*\varepsilon_{-1}-v\varepsilon_{0}^*-w\varepsilon_{-1}^*, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{45}
$$
где $z=(\lambda+\lambda^*)/2 \in \mathbb{R}$. Отсюда следует, что уравнение ВНШ-МБ (42) эквивалентно уравнению ВНШ с самосогласованными источниками (43). Поэтому в следующем разделе мы заменим поиск решений уравнения ВНШ-МБ поиском решений уравнения ВНШ с самосогласованными источниками.
5. Метод матриц Коши и солитонное решениеЗдесь для вывода в явном виде солитонных решений уравнения ВНШ-МБ используется метод матриц Коши. 5.1. Метод матриц КошиУравнение Сильвестра имеет вид где
$$
\begin{equation}
\mathcal{K}= \begin{pmatrix} K_{1} & 0\\ 0 & K_{2} \end{pmatrix},\qquad \mathcal{M}= \begin{pmatrix} 0 & M_{1}\\ M_{2} & 0 \end{pmatrix},\qquad r= \begin{pmatrix} r_{1} & 0\\ 0 & r_{2} \end{pmatrix},\qquad s= \begin{pmatrix} 0 & s_{1}\\ s_{2} & 0 \end{pmatrix},
\end{equation}
\tag{47}
$$
$K_{i}\in \mathbb{C}_{2N\times 2N}$, $M_{i}\in \mathbb{C}_{2N\times 2N}[x,t]$, $r_{i}, s_{i}\in \mathbb{C}_{2N\times 2}[x,t]$, $i=1,2$. В матричном случае для разрешимости уравнения Сильвестра (46) необходимо, чтобы была справедлива следующая теорема, которая имеет принципиальное значение для решения уравнения ВНШ с самосогласованными источниками. Теорема 2 [22]. Уравнение Сильвестра (46) имеет единственное решение $\mathcal{M}$ тогда и только тогда, когда $\mathcal E(K_{1})\cap \mathcal E(K_{2})=\varnothing$, где $\mathcal E(A)$ обозначает набор собственных чисел матрицы $A$. Введем матрицы
$$
\begin{equation}
\beta(t)= \begin{pmatrix} \beta_{1}(t) & 0\\ 0 & \beta_{2}(t) \end{pmatrix},\qquad A= \begin{pmatrix} I_{2N} & 0\\ 0 & -I_{2N} \end{pmatrix},\qquad \alpha= \begin{pmatrix} I_{2} & 0\\ 0 & -I_{2} \end{pmatrix},
\end{equation}
\tag{48}
$$
где $\beta_{1}(t), \beta_{2}(t) \in \mathbb{C}_{2N\times 2N}[t]$ – произвольные диагональные матрицы. Как составляющая самосогласованного источника, матрица $\beta_{i}(t)$ имеет важное влияние на динамические характеристики решений уравнения ВНШ-МБ. Из (46) после простых вычислений получим
$$
\begin{equation}
\mathcal{K}^{l}\mathcal{M}-\mathcal{MK}^{l}=\sum_{j=0}^{l-1}\mathcal{K}^{l-1-j}rs^\mathrm{T}\mathcal{K}^{j},\qquad l=1,2,\dots\,.
\end{equation}
\tag{49}
$$
Предположим теперь, что $r$, $s$ удовлетворяют следующим дисперсионным соотношениям:
$$
\begin{equation}
\begin{alignedat}{2} r_{x}&=A\mathcal{K}r,&\qquad s_{x}&=A\mathcal{K}^\mathrm{T}s,\\ r_{t}&=A\mathcal{K}^{2}r+A\beta(t)r,&\qquad s_{t}&=A(\mathcal{K}^\mathrm{T})^{2}s+A\beta^\mathrm{T}(t)s. \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{50}
$$
Из (46) и (50) найдем
$$
\begin{equation}
\mathcal{M}_{x}=r\alpha s^\mathrm{T},\qquad \mathcal{M}_{t}=\mathcal{K}r\alpha s^\mathrm{T}+r\alpha s^\mathrm{T}\mathcal{K}+A\beta(t)\mathcal{M}+\mathcal{M}\beta(t)A.
\end{equation}
\tag{51}
$$
Чтобы получить эволюцию функции $S^{(i,j)}$, введем ($4\times 4$)-матричную мастер-функцию
$$
\begin{equation}
S^{(i,j)}=s^\mathrm{T}\mathcal{K}^{j}(I+\mathcal{M})^{-1}\mathcal{K}^{i}r= \begin{pmatrix} S_{1}^{(i,j)} & S_{2}^{(i,j)}\\ S_{3}^{(i,j)} & S_{4}^{(i,j)} \end{pmatrix},\qquad i,j\in \mathbb{Z},
\end{equation}
\tag{52}
$$
и вспомогательные матричные функции
$$
\begin{equation}
u^{(i)}=(I+\mathcal{M})^{-1}\mathcal{K}^{i}r,\qquad\omega^{(j)}=s^\mathrm{T}\mathcal{K}^{j}(I+\mathcal{M})^{-1},
\end{equation}
\tag{53}
$$
тогда $S^{(i,j)}$ можно представить в следующем виде:
$$
\begin{equation}
S^{(i,j)}=s^\mathrm{T}\mathcal{K}^{j}u^{(i)}=\omega^{(j)}\mathcal{K}^{i}r.
\end{equation}
\tag{54}
$$
Используя (51), (53) и (54), непосредственными вычислениями получим следующую эволюцию:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, u_{x}^{(i)}&=u^{(i+1)}\alpha-u^{(0)}\alpha S^{(i,0)},\\ u_{t}^{(i)}&=u^{(i+2)}\alpha-u^{(1)}\alpha S^{(i,0)}-u^{(0)}\alpha S^{(i,1)}-(I+\mathcal{M})^{-1}[-A\beta(t)+\mathcal{M}\beta(t)A]u^{(i)},\\ S_{x}^{(i,j)}&=-\alpha S^{(i,j+1)}+S^{(i+1,j)}\alpha -S^{(0,j)}\alpha S^{(i,0)},\\ S_{xx}^{(i,j)}&= S^{(i,j+2)}+S^{(i+2,j)}-2\alpha S^{(i+1,j+1)}\alpha +2\alpha S^{(0,j+1)}\alpha S^{(i,0)}-{}\\ &\hphantom{={}}-2S^{(0,j)}\alpha S^{(i+1,0)}-S^{(1,j)}S^{(i,0)}+S^{(0,j)}S^{(i,1)}+2S^{(0,j)}\alpha S^{(0,0)}\alpha S^{(i,0)},\\ S_{t}^{(i,j)}&=-\alpha S^{(i,j+2)}+S^{(i+2,j)}\alpha -S^{(1,j)}\alpha S^{(i,0)}-S^{(0,j)}\alpha S^{(i,1)}+\omega^{(i)}[2A\beta(t)]u^{(i)}.\\ \end{aligned}
\end{equation}
\tag{55}
$$
Чтобы получить в результате систему уравнений в замкнутом виде, введем переменные
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, u=S^{(0,0)}= \begin{pmatrix} u_{1} & u_{2}\\ u_{3} & u_{4} \end{pmatrix},\qquad u_{i}= \begin{pmatrix} u_{i1} & u_{i2}\\ u_{i2} & u_{i3} \end{pmatrix},\\ u^{(0)}= \begin{pmatrix} u_{1}^{(0)} & u_{2}^{(0)}\\ u_{3}^{(0)} & u_{4}^{(0)} \end{pmatrix},\qquad \omega^{(0)}= \begin{pmatrix} \omega_{1}^{(0)} & \omega_{2}^{(0)}\\ \omega_{3}^{(0)} & \omega_{4}^{(0)} \end{pmatrix}, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{56}
$$
где $u_{ij}$, $i=1,2,3,4,j=1,2,3$, – скалярные функции, $u_{i}^{(0)}$, $i=1,2,3,4$, – матрицы размера $2N \times 2$, а $\omega_{i}^{(0)}$, $i=1,2,3,4$, – матрицы размера $2 \times 2N$. Положив $i=j=0$ в (55), после простых вычислений получим второе уравнение Абловица–Каупа–Ньюэлла–Сигура с источниками, которое представляет собой систему для функций $u_{2}$ и $u_{3}$:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &2u_{2,t}+u_{2,xx}+8u_{2}u_{3}u_{2}=2\omega_{1}^{(0)}[2\beta_{1}(t)]u_{2}^{(0)}-2\omega_{2}^{(0)}[2\beta_{2}(t)]u_{4}^{(0)},\\ -&2u_{3,t}+u_{3,xx}+8u_{3}u_{2}u_{3}=-2\omega_{3}^{(0)}[2\beta_{1}(t)]u_{1}^{(0)}+2\omega_{4}^{(0)}[2\beta_{2}(t)]u_{3}^{(0)}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{57}
$$
Чтобы свести эту систему к уравнению ВНШ с самосогласованными источниками, положим $K_{2}=-K_{1}^*$. Тогда из (46), (47) следуют соотношения
$$
\begin{equation}
M_{2}=-M_{1}^*,\quad r_{2}=r_{1}^*,\quad s_{2}=s_{1}^*,\quad u_{3}=u_{2}^*,\quad u_{4}=-u_{1}^*,\quad \beta_{2}(t)=-\beta_{1}^*(t).
\end{equation}
\tag{58}
$$
Теперь заменим $x \to 2x$, $t\to 2it$. Тогда первое из уравнений (57) принимает вид
$$
\begin{equation}
iQ_{t}+Q_{xx}+2QQ^{\unicode{8224}}Q=-\omega_{1}^{(0)}\beta_{1}(t)u_{2}^{(0)}+\omega_{3}^{(0)*}\beta_{1}^*(t)u_{1}^{(0)*},
\end{equation}
\tag{59}
$$
где $Q=-u_{2}$. Кроме того, $M_{1}$, $r_{1}$ и $s_{1}$ удовлетворяют системе
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, K_{1}M_{1}+M_{1}K_{1}^*=r_{1}s_{1}^\mathrm{*T},\\ \begin{aligned} \, &r_{1,x}=\frac{1}{2}K_{1}r_{1},\qquad r_{1,t}=-\frac{1}{2}iK_{1}^{2}r_{1}-\frac{1}{2}i\beta_{1}(t)r_{1},\\ &s_{1,x}=\frac{1}{2}K_{1}^\mathrm{T}s_{1},\qquad s_{1,t}=-\frac{1}{2}i(K_{1}^\mathrm{T})^{2}s_{1}-\frac{1}{2}i\beta_{1}^\mathrm{T}(t)s_{1}. \end{aligned} \end{gathered}
\end{equation}
\tag{60}
$$
Здесь мы положили
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \Phi_{1}&=(\phi_{1,1}, \phi_{1,2}, \dots, \phi_{1,N})^\mathrm{T},\qquad \phi_{1,j}=i\sqrt{\beta^{(1)}_{1,j}(t)}\sqrt{(u_{2}^{(0)})_{j,1}^{2}+(u_{2}^{(0)})_{j,2}^{2}},\\ \Phi_{2}&=(\phi_{2,1},\phi_{2,2}, \dots, \phi_{2,N})^\mathrm{T},\qquad \phi_{2,j}=i\sqrt{\beta^{(1)}_{1,j}(t)}\sqrt{(u_{2}^{(0)})_{j,2}^{2}+(u_{2}^{(0)})_{j,3}^{2}},\\ \Phi_{3}&=(\phi_{3,1},\phi_{3,2}, \dots, \phi_{3,N})^\mathrm{T},\qquad \phi_{3,j}=\sqrt{\beta^{(1)}_{1,j}(t)}\sqrt{(u_{1}^{(0)})_{j,1}^{2}+(u_{1}^{(0)})_{j,2}^{2}},\\ \Phi_{4}&=(\phi_{4,1},\phi_{4,2}, \dots, \phi_{4,N})^\mathrm{T},\qquad \phi_{4,j}=\sqrt{\beta^{(1)}_{1,j}(t)}\sqrt{(u_{1}^{(0)})_{j,2}^{2}+(u_{1}^{(0)})_{j,3}^{2}},\\ \Phi_{5}&=(\phi_{5,1},\phi_{5,2}, \dots, \phi_{5,N}),\qquad \phi_{5,j}=i\sqrt{(\omega_{1}^{(0)})_{j,1}^{2}+(\omega_{1}^{(0)})_{j,2}^{2}}\sqrt{\beta^{(1)}_{1,j}(t)},\\ \Phi_{6}&=(\phi_{6,1},\phi_{6,2}, \dots, \phi_{6,N}),\qquad \phi_{6,j}=i\sqrt{(\omega_{1}^{(0)})_{j,2}^{2}+(\omega_{1}^{(0)})_{j,3}^{2}}\sqrt{\beta^{(1)}_{1,j}(t)},\\ \Phi_{7}&=(\phi_{7,1},\phi_{7,2}, \dots, \phi_{7,N}),\qquad \phi_{7,j}=\sqrt{(\omega_{3}^{(0)})_{j,1}^{2}+(\omega_{3}^{(0)})_{j,2}^{2}}\sqrt{\beta^{(1)}_{1,j}(t)},\\ \Phi_{8}&=(\phi_{8,1},\phi_{8,2}, \dots, \phi_{8,N}),\qquad \phi_{8,j}=\sqrt{(\omega_{3}^{(0)})_{j,2}^{2}+(\omega_{3}^{(0)})_{j,3}^{2}}\sqrt{\beta^{(1)}_{1,j}(t)}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{61}
$$
а также
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, u_{i}^{(0)}&= \begin{pmatrix} (u_{i}^{(0)})_{1,1} & (u_{i}^{(0)})_{1,2} & \dots & (u_{i}^{(0)})_{N,1} & (u_{i}^{(0)})_{N,2}\\ (u_{i}^{(0)})_{1,2} & (u_{i}^{(0)})_{1,3} & \dots & (u_{i}^{(0)})_{N,2} & (u_{i}^{(0)})_{N,3} \end{pmatrix}^\mathrm{T},\\ \omega_{i}^{(0)}&= \begin{pmatrix} (\omega_{i}^{(0)})_{1,1} & (\omega_{i}^{(0)})_{1,2} & \dots & (\omega_{i}^{(0)})_{N,1} & (\omega_{i}^{(0)})_{N,2}\\ (\omega_{i}^{(0)})_{1,2} & (\omega_{i}^{(0)})_{1,3} & \dots & (\omega_{i}^{(0)})_{N,2} & (\omega_{i}^{(0)})_{N,3} \end{pmatrix}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{62}
$$
Поэтому, с учетом (61) и (62) и подставляя $Q$ вида (21) в (59), получим систему трех векторных уравнений:
$$
\begin{equation}
\begin{cases} iq_{1,t}+q_{1,xx}+2q_{1}(|q_{1}|^{2}+2|q_0|^{2})+2q^2_0q^*_{-1}=\Phi_{5}\Phi_{1}+\Phi_{7}^*\Phi_{3}^*,\\ iq_{0,t}+2q_{0,xx}+2q_{0}(|q_{1}|^{2}+|q_0|^{2}+|q_{-1}|^{2})+2q_{1}q^*_0q_{-1}=\Phi_{5}\Phi_{2}+\Phi_{7}^*\Phi_{4}^*,\\ iq_{-1,t}+q_{-1,xx}+2q_{-1}(|q_{-1}|^{2}+2|q_0|^{2})+2q^2_0q^*_{1}=\Phi_{6}\Phi_{2}+\Phi_{8}^*\Phi_{4}^*. \end{cases}
\end{equation}
\tag{63}
$$
Чтобы вывести солитонные решения уравнения (59), нужно сначала решить уравнения (46) и (50) при заданных ($\mathcal K$, $\beta(t)$). Рассмотрим $K_{1}$ и $\beta_{1}(t)$ следующего вида:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, K_{1}= \begin{pmatrix} k_{1} & 0 & \cdots & 0\\ 0 & k_{2} & \cdots & 0\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & \dots & k_{N} \end{pmatrix}_{2N\times 2N},\qquad k_{i}= \begin{pmatrix} k_{i}^{(1)} & 0\\ 0 & k_{i}^{(1)} \end{pmatrix},\notag\\ \\ \beta_{1}(t)= \begin{pmatrix} \beta_{1,1}(t) & 0 & \cdots & 0\\ 0 & \beta_{1,2}(t) & \cdots & 0\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & \cdots & \beta_{1,N}(t) \end{pmatrix}_{2N\times 2N},\qquad \beta_{1,j}(t)= \begin{pmatrix} \beta_{1,j}^{(1)}(t) & 0\\ 0 & \beta_{1,j}^{(1)}(t) \end{pmatrix},\notag \end{gathered}
\end{equation}
\tag{64}
$$
тогда имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, r_{1}&= \begin{pmatrix} r_{1,1}, r_{1,2}, \dots, r_{1,N} \end{pmatrix}^\mathrm{T},\qquad r_{1,i}= \begin{pmatrix} r_{1,i}^{(1)} & r_{1,i}^{(2)}\\ r_{1,i}^{(2)} & r_{1,i}^{(3)} \end{pmatrix},\\ s_{1}&= \begin{pmatrix} s_{1,1}, s_{1,2}, \dots, s_{1,N} \end{pmatrix}^\mathrm{T},\qquad s_{1,i}= \begin{pmatrix} s_{1,i}^{(1)} & s_{1,i}^{(2)}\\ s_{1,i}^{(2)} & s_{1,i}^{(3)} \end{pmatrix}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{65}
$$
При таких условиях получим $r_{1}=s_{1}$ и $M_{1}=M_{1}^*$. При этом из (56) нам известно, что $\Phi_{5}^\mathrm{T}=-\Phi_{1}$, $\Phi_{6}^\mathrm{T}=-\Phi_{2}$, $\Phi_{7}^\mathrm{T}=\Phi_{3}$, $\Phi_{8}^\mathrm{T}=\Phi_{4}$. Тогда уравнения (63) можно переписать в виде
$$
\begin{equation}
\begin{cases} iq_{1,t}+q_{1,xx}+2q_{1}(|q_{1}|^{2}+2|q_0|^{2})+2q^2_0q^*_{-1}=\Phi_{3}^{*\mathrm{T}}\Phi_{3}^*-\Phi_{1}^\mathrm{T}\Phi_{1},\\ iq_{0,t}+q_{0,xx}+2q_{0}(|q_{1}|^{2}+|q_0|^{2}+|q_{-1}|^{2})+2q_{1}q^*_0q_{-1}=\Phi_{3}^{*\mathrm{T}}\Phi_{4}^*-\Phi_{1}^\mathrm{T}\Phi_{2},\\ iq_{-1,t}+q_{-1,xx}+2q_{-1}(|q_{-1}|^{2}+2|q_0|^{2})+2q^2_0q^*_{1}=\Phi_{4}^{*\mathrm{T}}\Phi_{4}^*-\Phi_{2}^\mathrm{T}\Phi_{2}. \end{cases}
\end{equation}
\tag{66}
$$
Кроме того, соотношения (55) при $i=0$ приводят к После этого, подставляя $u^{(1)}$ в (67), получим
$$
\begin{equation}
u_{x}^{(0)}=\mathcal{K}u^{(0)}\alpha +u^{(0)}S^{(0,0)}\alpha -u^{(0)}\alpha S^{(0,0)}.
\end{equation}
\tag{68}
$$
Пусть $x\to 2x$, $k_{1}^{(1)}\to 2ik_{1}$. Получим соотношения, которым удовлетворяют самосогласованные источники:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \phi_{1,j,x}&=-ik_{1}\phi_{1}+q_{1}\phi_{3}+q_{0}\phi_{4},\\ \phi_{2,j,x}&=-ik_{1}\phi_{2}+q_{0}\phi_{3}+q_{-1}\phi_{4},\\ \phi_{3,j,x}&=-q_{1}^*\phi_{1}-q_{0}^*\phi_{2}+ik_{1}\phi_{3},\\ \phi_{4,j,x}&=-q_{0}^*\phi_{1}-q_{-1}^*\phi_{2}+ik_{1}\phi_{4}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{69}
$$
В результате замены $k_{1}\to \lambda$ соотношения (69) становятся в точности спектральной задачей (24). Используя соотношения (52), (56), (58) и $Q=-u_{2}$, сформулируем следующую теорему. Теорема 3. При условиях (64) явное решение уравнений (66) можно представить в виде Замечание 1. Подставляя преобразование координат (41) и соотношение (44) в (70), сразу получим явные выражения для решений уравнения ВНШ-МБ (22). 5.2. Односолитонное решение уравнения ВНШ-МБВыберем константы интегрирования $\xi_{1}$, $\eta_{1}$, $\sigma_{1}\in \mathbb{R}$, удовлетворяющие условию $\xi_{1}+\sigma_{1}=2\eta_{1}$. При $N=1$ пусть $Y_{1}=e^{2\xi_{1}}+e^{2\eta_{1}}$, $Y_{2}=e^{\xi_{1}+\eta_{1}}+e^{\eta_{1}+\sigma_{1}}$, $Y_{3}=e^{2\eta_{1}}+e^{2\sigma_{1}}$, тогда из (60) получим элементы матрицы $M_{1}$
$$
\begin{equation}
M_{11}=\frac{e^{B+B^*}Y_{1}}{k_{1}^{(1)}+k_{1}^{(1)*}},\qquad M_{12}=M_{21}=\frac{e^{B+B^*}Y_{2}}{k_{1}^{(1)}+k_{1}^{(1)*}},\qquad M_{22}=\frac{e^{B+B^*}Y_{3}}{k_{1}^{(1)}+k_{1}^{(1)*}},
\end{equation}
\tag{71}
$$
где
$$
\begin{equation*}
B=\frac{1}{2}k_{1}^{(1)}x-\frac{1}{2}i(k_{1}^{(1)})^{2}t-\frac{1}{2}i\int_{0}^\mathrm{T}\beta_{1,1}^{(1)}(z)\,dz.
\end{equation*}
\notag
$$
Кроме того, имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, I+|M_{1}|^{2}&=\begin{pmatrix} 1+M_{11}M_{11}^*+M_{12}M_{21}^* & M_{11}M_{12}^*+M_{12}M_{22}^*\\ M_{21}M_{11}^*+M_{22}M_{21}^* & 1+M_{21}M_{12}^*+M_{22}M_{22}^* \end{pmatrix}\triangleq\begin{pmatrix} D_{1} & D_{2}\\ D_{2} & D_{3} \end{pmatrix}, \\ (I&+|M_{1}|^{2})^{-1}=\frac{1}{D}\begin{pmatrix} D_{3} & -D_{2}\\ -D_{2} & D_{1} \end{pmatrix}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{72}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, D_{1}=1+\frac{e^{2(B+B^*)}(Y_{1}^{2}+Y_{2}^{2})}{(k_{1}^{(1)}+k_{1}^{(1)*})^{2}},\qquad D_{2}=\frac{e^{2(B+B^*)}(Y_{1}Y_{2}+Y_{2}Y_{3})}{(k_{1}^{(1)}+k_{1}^{(1)*})^{2}},\\ D_{3}=1+\frac{e^{2(B+B^*)}(Y_{2}^{2}+Y_{3}^{2})}{(k_{1}^{(1)}+k_{1}^{(1)*})^{2}},\qquad D=D_{1}D_{3}-D_{2}^{2}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда из (70) получим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, Q&=-s_{1}^{*\mathrm{T}}(I_{2}+|M_{1}|^{2})^{-1}r_{1}^*={} \nonumber \\ &=-\frac{1}{D}\begin{pmatrix} e^{B^*+\xi_{1}} & e^{B^*+\eta_{1}}\\ e^{B^*+\eta_{1}} & e^{B^*+\sigma_{1}} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \hphantom{-}D_{3} & -D_{2}\\ -D_{2} & \hphantom{-}D_{1} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} e^{B^*+\xi_{1}} & e^{B^*+\eta_{1}}\\ e^{B^*+\eta_{1}} & e^{B^*+\sigma_{1}} \end{pmatrix}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{73}
$$
Подставляя $Q$ из (21) в (73), получим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, q_{1}&=-\frac{D_{3}e^{2(B^*+\xi_{1})}-2D_{2}e^{2B^*+\xi_{1}+\eta_{1}}+D_{1}e^{2(B^*+\eta_{1})}}{D},\\ q_{0}&=-\frac{D_{3}e^{2B^*+\xi_{1}+\eta_{1}}-2D_{2}e^{2(B^*+\eta_{1})}+D_{1}e^{2B^*+\eta_{1}+\sigma_{1}}}{D},\\ q_{-1}&=-\frac{D_{3}e^{2(B^*+\eta_{1})}-2D_{2}e^{2B^*+\eta_{1}+\sigma_{1}}+D_{1}e^{2(B^*+\sigma_{1})}}{D}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{74}
$$
Сначала упростим $q_{1}$:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, q_{1}&=-\frac{D_{3}e^{2(B^*+\xi_{1})}-2D_{2}e^{2B^*+\xi_{1}+\eta_{1}}+D_{1}e^{2(B^*+\eta_{1})}}{D}={} \nonumber \\ &=-\biggl(1+\frac{e^{2(B+B^*)}(Y_1^2+2Y_2^2+Y_3^2)}{(k_{1}^{(1)}+k_1^{(1)*})^2}\biggr)^{-1}\times {} \nonumber \\ &\quad\hphantom{=}\times \biggl\{\biggl[1+\frac{e^{2(B+B^*)}(Y_{2}^{2}+Y_{3}^{2})}{(k_{1}^{(1)}+k_{1}^{(1)*})^{2}}\biggr]e^{2(B^*+\xi_{1})}-2\frac{e^{2(B+B^*)}(Y_{1}Y_{2}+Y_{2}Y_{3})}{(k_{1}^{(1)}+k_{1}^{(1)*})^{2}}e^{2B^*+\xi_{1}+\eta_{1}}+{} \nonumber \\ &\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad+\biggl[1+\frac{e^{2(B+B^*)}(Y_{1}^{2}+Y_{2}^{2})}{(k_{1}^{(1)}+k_{1}^{(1)*})^{2}}\biggr]e^{2(B^*+\eta_{1})}\biggr\}={} \nonumber \\ &=-\frac{e^{-2B}Y_{1}}{e^{-2(B+B^*)}+(Y_{1}^{2}+2Y_{2}^{2}+Y_{3}^{2})e^{-2\ln(k_{1}^{(1)}+k_{1}^{(1)*})}}={} \nonumber \\ &=-\frac{e^{\frac{1}{2}\ln(Y_{1}^{2}+2Y_{2}^{2}+Y_{3}^{2})-\ln(k_{1}+k_{1}^*)-(B+B^*)}}{e^{-2(B+B^*)}+(Y_{1}^{2}+2Y_{2}^{2}+Y_{3}^{2})e^{-2\ln(k_{1}+k_{1}^*)}}\times{} \nonumber \\ &\quad\hphantom{=}\times e^{-\frac{1}{2}\ln(Y_{1}^{2}+2Y_{2}^{2}+Y_{3}^{2})+\ln(k_{1}+k_{1}^*)+B+B^*}e^{-2B}Y_{1}={} \nonumber \\ &=-\frac{2}{e^{-\ln\frac{2\sqrt{Y_{1}^{2}+2Y_{2}^{2}+Y_{3}^{2}}}{k_{1}+k_{1}^*}-B-B^*}+e^{\ln\frac{2\sqrt{Y_{1}^{2}+2Y_{2}^{2}+Y_{3}^{2}}}{k_{1}+k_{1}^*}+B+B^*}}e^{B^*-B+\ln\frac{k_{1}+k_{1}^*}{\sqrt{Y_{1}^{2}+2Y_{2}^{2}+Y_{3}^{2}}}}Y_{1}={} \nonumber \\ &=-e^{B^*-B+\ln\frac{k_{1}+k_{1}^*}{\sqrt{Y_{1}^{2}+2Y_{2}^{2}+Y_{3}^{2}}}}Y_{1}\operatorname{sech} A=-\frac{Y_{1}}{(e^{\xi_{1}}+e^{\sigma_{1}})^{2}}(k_{1}^{(1)}+k_{1}^{(1)*})e^{B^*-B}\operatorname{sech} A, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{75}
$$
где
$$
\begin{equation*}
A=\ln\frac{2\sqrt{Y_{1}^{2}+2Y_{2}^{2}+Y_{3}^{2}}}{k_{1}+k_{1}^*}+B+B^*.
\end{equation*}
\notag
$$
Аналогичным образом можно упростить $q_{0}$ и $q_{-1}$:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, q_{0}&=-\frac{Y_{2}}{(e^{\xi_{1}}+e^{\sigma_{1}})^{2}}(k_{1}^{(1)}+k_{1}^{(1)*})e^{B^*-B}\operatorname{sech} A,\\ q_{-1}&=-\frac{Y_{3}}{(e^{\xi_{1}}+e^{\sigma_{1}})^{2}}(k_{1}^{(1)}+k_{1}^{(1)*})e^{B^*-B}\operatorname{sech} A. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{76}
$$
Из (53) получим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, u_{1}^{(0)}&=(I_{2}+|M_{1}|^{2})^{-1}r_{1}=\frac{1}{D}\begin{pmatrix} \hphantom{-}D_{3} & -D_{2}\\ -D_{2} & \hphantom{-}D_{1} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} e^{B+\xi_{1}} & e^{B+\eta_{1}}\\ e^{B+\eta_{1}} & e^{B+\sigma_{1}} \end{pmatrix}={} \nonumber \\ &=\frac{1}{D}\begin{pmatrix} \hphantom{-}D_{3}e^{B+\xi_{1}}-D_{2}e^{B+\eta_{1}} & \hphantom{-}D_{3}e^{B+\eta_{1}}-D_{2}e^{B+\sigma_{1}}\\ -D_{2}e^{B+\xi_{1}}+D_{1}e^{B+\eta_{1}} & -D_{2}e^{B+\eta_{1}}+D_{1}e^{B+\sigma_{1}} \end{pmatrix}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{77}
$$
а также
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, u_{2}^{(0)}&=-M_{1}(I_{2}+|M_{1}|^{2})^{-1}r_{1}^*={} \nonumber \\ &=-\frac{1}{D}\begin{pmatrix} M_{11} & M_{12}\\ M_{21} & M_{22} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \hphantom{-}D_{3} & -D_{2}\\ -D_{2} & \hphantom{-}D_{1} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} e^{B^*+\xi_{1}} & e^{B^*+\eta_{1}}\\ e^{B^*+\eta_{1}} & e^{B^*+\sigma_{1}} \end{pmatrix}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{78}
$$
Тогда из (70), (77) и (78) выведем $\phi_{1,1}, \phi_{2,1}, \phi_{3,1}$ и $\phi_{4,1}$:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \phi_{1,1}&=i\sqrt{\beta^{(1)}_{1,1}(t)}\sqrt{(u_{2}^{(0)})_{1,1}^{2}+(u_{2}^{(0)})_{1,2}^{2}}=-\frac{i\sqrt{\beta_{1,1}^{(1)}(t)}}{D}\sqrt{\Omega_{1}^2+\Omega_{2}^2},\\ \phi_{2,1}&=i\sqrt{\beta^{(1)}_{1,1}(t)}\sqrt{(u_{2}^{(0)})_{1,2}^{2}+(u_{2}^{(0)})_{1,3}^{2}}=-\frac{i\sqrt{\beta_{1,1}^{(1)}(t)}}{D}\sqrt{\Omega_{2}^2+\Omega_{3}^2},\\ \phi_{3,1}&=\sqrt{\beta^{(1)}_{1,j}(t)}\sqrt{(u_{1}^{(0)})_{j,1}^{2}+(u_{1}^{(0)})_{j,2}^{2}}=\frac{\sqrt{\beta_{1,1}^{(1)}(t)}}{D}\sqrt{\Upsilon_{1}^2+\Upsilon_{2}^2},\\ \phi_{4,1}&=\sqrt{\beta^{(1)}_{1,j}(t)}\sqrt{(u_{1}^{(0)})_{j,2}^{2}+(u_{1}^{(0)})_{j,3}^{2}}=\frac{\sqrt{\beta_{1,1}^{(1)}(t)}}{D}\sqrt{\Upsilon_{2}^2+\Upsilon_{3}^2}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{79}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \begin{aligned} \, \Omega_{1}&=(M_{11}D_{3}-M_{12}D_{2})e^{B^*+\xi_{1}}+(-M_{11}D_{2}+M_{12}D_{1})e^{B^*+\eta_{1}}, \\ \Omega_{2}&=(M_{11}D_{3}-M_{12}D_{2})e^{B^*+\eta_{1}}+(-M_{11}D_{2}+M_{12}D_{1})e^{B^*+\sigma_{1}},\\ \Omega_{3}&=(M_{12}D_{3}-M_{22}D_{2})e^{B^*+\eta_{1}}+(-M_{12}D_{2}+M_{22}D_{1})e^{B^*+\sigma_{1}},\\ \end{aligned} \\ \Upsilon_{1}=D_{3}e^{B+\xi_{1}}-D_{2}e^{B+\eta_{1}}, \qquad \Upsilon_{2}=D_{3}e^{B+\eta_{1}}-D_{2}e^{B+\sigma_{1}},\\ \Upsilon_{3}=-D_{2}e^{B+\eta_{1}}+D_{1}e^{B+\sigma_{1}}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Формулы (41), (44), (75), (76) и (79) непосредственно порождают односолитонное решение уравнения ВНШ-МБ (22). Поскольку решения (70) содержат функцию $\beta_{1,1}^{(1)}(t)$, то эта функция влияет на траектории вершин солитонов. На рис. 1–3 показана форма единичного солитона и его распространение, когда $\beta_{1,1}^{(1)}(t)$ является соответственно постоянной, линейной и тригонометрической функцией. В дальнейшем выберем значения параметров $\xi_{i}=0.1$, $\eta_{i}=0.2$ и $\sigma_{i}=0.3$, $i=1,2$. 5.3. Двухсолитонное решение уравнения ВНШ-МБПри $N=2$ формулы (41), (44) и (70) приводят к двухсолитонному решению уравнения ВНШ-МБ. Мы опустим явное выражение для двухсолитонного решения и уделим больше внимания его динамическим характеристикам. На рис. 4а и рис. 4б показано взаимодействие двух солитонов, когда $\beta_{1,j}^{(1)}(t)$, $j=1,2$, являются соответственно константами и тригонометрическими функциями. В этом случае можно получить, что $q_1$ и $q_{-1}$ являются стандартными солитонами, а для $q_0$ отсутствует взаимодействие, подобное солитонному. Это указывает на то, что свойства трех компонент не тождественны. При специальном выборе параметров можно получить решения типа солитонов и бризеров, которые изображены на рис. 5. Очевидно, показанное на рис. 5 столкновение является неупругим, т. е. столкновение двух волн отличается от стандартного солитонного столкновения. На рис. 5а две волны не пересекаются после столкновения, изменяется только направление распространения. На рис. 5б амплитуда одной волны растет, а амплитуда другой значительно уменьшается. 5.4. Солитонная молекула уравнения ВНШ-МБЧастным случаем является солитонная молекула, которая представляет собой связанное состояние солитона и может быть построена с помощью техники резонанса скоростей. Солитонную молекулу $i$-й и $j$-й солитоны образуют, если их скорости одинаковы. Можно получить следующее условие резонанса скоростей двух солитонов, необходимое для формирования из них солитонной молекулы:
$$
\begin{equation}
\operatorname{Im} k_{1}^{(1)}=\operatorname{Im} k_{2}^{(1)},\qquad \frac{\operatorname{Re} k_{1}^{(1)}}{\operatorname{Re} k_{2}^{(1)}}=\frac{\operatorname{Im} \beta_{1,1}^{(1)}}{\operatorname{Im} \beta_{1,2}^{(1)}}.
\end{equation}
\tag{80}
$$
Распространение солитонной молекулы, когда $\beta_{1,j}^{(1)}(t)$, $j=1,2$, являются постоянными или тригонометрическими функциями, показано на рис. 6.
6. ВыводыДанная работа проясняет вопрос об интегрируемости уравнения ВНШ-МБ и его солитонных решениях. Для доказательства интегрируемости уравнения ВНШ-МБ мы исходили из метода $\bar \partial$-одевания на основе локальной $\bar \partial$-задачи, расширив его с целью получения уравнения ВНШ-МБ. Для поиска солитонных решений уравнения ВНШ-МБ нам понадобилось уравнение ВНШ с самосогласованными источниками, которое было успешно построено в рамках уравнения нулевой кривизны. Далее мы доказали, что уравнение ВНШ-МБ эквивалентно уравнению ВНШ с самосогласованными источниками. $N$-солитонные решения уравнения ВНШ-МБ получены с помощью метода матриц Коши. В качестве приложения построены односолитонное решение, решение типа двухсолитонного, решение типа двух бризеров и солитонная молекула. Основные характеристики этих решений продемонстрированы графически. Благодаря наличию функции $\beta(t)$ в дисперсионном соотношении выявлены более богатые динамические свойства решений уравнения ВНШ с самосогласованными источниками. Например, функция $\beta(t)$ оказывает важное влияние на траекторию и скорость решения. При достижении резонанса скоростей образуется солитонная молекула. Таким образом, мы предлагаем не только новое применение метода $\bar \partial$-одевания и метода матриц Коши, но и более глубокое понимание системы ВНШ-МБ. Конфликт интересовАвторы заявляют, что у них нет конфликта интересов. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{ZhoHuaYao23} |
|
||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|