| Теоретическая и математическая физика |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) О нелинейных интегральных уравнениях типа свертки в теории А. Х. Хачатрянa, Х. А. Хачатрянbc, А. С. Петросянac a Национальный аграрный университет Армении, Ереван, Армения b Ереванский государственный университет, Ереван, Армения c Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова, Москва, Россия
Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2023, Volume 216, Issue 1, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0040577923070127 
Реферативные базы данных:
   1. Введение и сводка основных результатовНастоящая работа посвящена изучению и решению следующего класса нелинейных интегральных уравнений типа свертки на всей прямой:
$$
\begin{equation}
Q(f(x))=\lambda(x)\int_{-\infty}^\infty K(x-t)f(t)\,dt,\qquad x\in\mathbb{R}:=(-\infty,+\infty),
\end{equation}
\tag{1}
$$
относительно искомой измеримой и ограниченной на множестве $\mathbb{R}$ функции $f(x)$. Нелинейность $Q$ удовлетворяет следующим условиям:
Ядро $K$ в уравнении (1) обладает следующими свойствами:
Относительно функции $\lambda$ предположим выполнение следующих условий:
Прежде всего заметим, что из условий a–в немедленно следует, что $Q(0)=0$. Следовательно, уравнение (1) обладает тривиальным (нулевым) решением. Отметим, что данный класс уравнений при различных представлениях функций $Q$, $K$ и $\lambda$ имеет приложения во многих областях современной физики и динамической теории $p$-адических струн (см. [1]–[14]). В работах [1], [5] и [6] изучались нелокальные уравнения для открытой $p$-адической струны. Открытые и замкнутые $p$-адические струны рассматривались в работе [2], а нелокальные уравнения, описывающие замкнутые $p$-адические струны, рассматривались в работе [7]. Отметим также, что открытые и замкнутые $p$-адические струны и сравнение их поведения изучались в работах [5], [6], [8]–[10]. Системы нелокальных уравнений, описывающие взаимодействие открытых и замкнутых $p$-адических струн, рассматривались в работах [4], [11], [12]. Следует также отметить, что более сложные нелокальные уравнения возникают в транкированной по уровням струнной теории поля (см. [13]), включая уравнения в искривленном пространстве (см. [14]). Отметим, что уравнения такого характера возникают также в математической теории пространственно-временного распространения пандемии в рамках модифицированной модели Дикмана–Капера, в кинетической теории газов (в задаче изучения нелинейного интегро-дифференциального уравнения Больцмана в рамках модифицированной модели Бхатнагара–Гросса–Крука), в теории переноса излучения в неоднородной среде (см. [15]–[20]). В случае, когда ядро $K$ допускает представление вида $K(x)=2\gamma e^{-\gamma|x|}$, $x\in\mathbb{R}$, $\gamma>0$ – параметр, с помощью решения уравнения (1) находятся также волновые фронты одного варианта нелинейного уравнения Клейна–Гордона–Фока. Как известно, уравнения типа Клейна–Гордона–Фока используются для описания скалярных массивных полей (таких, как поле Хиггса) (см. [21], [22]). В частном случае, когда $Q(u)=au^p+(1-a)u$, $a\in(0,1]$, $p>2$ – нечетное число, $\lambda(x)\equiv1$, $K(x)=\frac{1}{\sqrt{4\pi a}}e^{-x^2/4a}$, $x\in \mathbb{R}$, уравнение (1) достаточно подробно исследовалось в работах [1]–[4] с точки зрения существования и изучения качественных свойств роллинговых решений. В случае, когда $\lambda(x)\equiv 1$, $x\in\mathbb{R}$, $Q(u)=u^p$, а ядро $K$ удовлетворяет условиям 1 и 2, вопросы существования и единственности нечетных непрерывных монотонных и ограниченных решений обсуждались в работе [23]. В дальнейшем результаты работы [23] были обобщены в работах [24], [25] в случае $\lambda(x)\equiv1$, $x\in\mathbb{R}$, для общих нелинейностей, удовлетворяющих условиям a–в. При этом в работе [24] в основном изучены вопросы существования, а также асимптотического поведения на $\pm\infty$ нечетных нетривиальных и ограниченных решений, а в работе [25] доказана теорема единственности построенного решения. В работе [17] в качестве вспомогательного факта доказано существование знакопеременного нечетного непрерывного монотонного и ограниченного решения уравнения (1) при условиях a–в, 1, 2 и при следующем дополнительном ограничении на функцию $Q$:
В настоящей работе мы исследуем вопросы отсутствия или существования и в последнем случае единственности неотрицательных (нетривиальных) непрерывных и ограниченных решений. В частности, доказано, что уравнение (1) в случае $\lambda(x)\equiv1$, кроме тривиальных решений $0$ и $\pm\eta$, не может иметь неотрицательное (неположительное) и ограниченное на $\mathbb{R}$ решение (см. теоремы 1, 2). В случае, когда $\lambda(x)\not\equiv1$, мы доказываем существование неотрицательного (неположительного) нетривиального ограниченного решения и исследуем некоторые качественные свойства построенного решения. В частности, доказано, что существует $\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=\eta$, и показано, что разность между пределом на $\pm\infty$ и решением представляет собой суммируемую функцию на множестве $\mathbb{R}$ (см. теорему 3). Далее доказана теорема единственности построенного решения в классе неотрицательных (ненулевых) и ограниченных на $\mathbb{R}$ функций (см. теорему 4). В заключение мы приводим конкретные прикладные примеры уравнения (1), для которых выполняются все условия сформулированных и доказанных теорем. Для определенных классов нелинейных эллиптических уравнений в частных производных и нелинейных уравнений типа Клейна–Гордона–Фока построены волновые фронты (решения в виде бегущих волн) и выявлены некоторые дополнительные свойства (предел на $\pm\infty$, интегральная асимптотика) построенных волновых фронтов (см. теорему 5). 2. Отсутствие неотрицательных (неположительных) нетривиальных и ограниченных решенийИмеет место следующая Теорема 1. При условиях a–в и 1, 2, если $\lambda(x)\equiv1$, уравнение (1) не может иметь неотрицательное нетривиальное (отличное от $0$ и $\eta$) ограниченное на $\mathbb{R}$ решение. Доказательство. Предположим обратное: уравнение (1) при $\lambda(x)\equiv1$, $x\in\mathbb{R}$, обладает неотрицательным нетривиальным и ограниченным на $\mathbb{R}$ решением $f(x)$, $f(x)\not\equiv0$, $f(x)\not\equiv \eta$, $x\in\mathbb{R}$. Так как свертка суммируемых и ограниченных функций представляет собой непрерывную функцию (см. [26]), из уравнения (1) следует, что $Q(f)\in C(\mathbb{R})$. Следовательно, с учетом условий а–в из последнего включения получаем, что $f\in C(\mathbb{R})$. Докажем теперь, что $f-Q(f)\in L_1(\mathbb{R})$. С этой целью сначала убедимся, что $f(x)\leqslant\eta$, $x\in\mathbb{R}$. Введем обозначение $c_0:=\sup\limits_{x\in\mathbb{R}}f(x)>0$. В силу условия 1 из уравнения (1) получим откуда, принимая во внимание условия a–в, получаем, что Если предположить, что $c_0>\eta$, то в силу выпуклости вниз функции $y=Q(u)$ получим что противоречит неравенству (2). Следовательно, $f(x)\leqslant c_0\leqslant \eta$, $x\in\mathbb{R}$. Введем следующее множество: Поскольку $f(x)\geqslant0$, $f(x)\leqslant\eta$, $f(x)\not\equiv 0$, $f(x)\not\equiv\eta$, $x\in\mathbb{R}$ и $f\in C(\mathbb{R})$, существует точка $x_0\in\mathbb{R}$ такая, что $f(x_0)\in(0,\eta)$. Снова используя непрерывность функции $f$ на $\mathbb{R}$, заключаем, что существует число $\delta>0$ такое, что при $x\in (x_0-\delta, x_0+\delta)$ функция $f(x)\in (0,\eta)$. Таким образом, $(x_0-\delta, x_0+\delta)\subset E$ и, следовательно, $\operatorname{mes} E\geqslant 2\delta>0$. Вернемся теперь к доказательству включения Сначала убедимся, что $f-Q(f)\in L_1(-\infty,0)$. Пусть $a>0$ – произвольное число. Тогда, принимая во внимание неравенства $f(x)\leqslant\eta$, $f(x)\geqslant0$, $x\in\mathbb{R}$, условия a–в, 1, 2, а также непрерывность функции $f$, из уравнения (1) (при $\lambda(x)\equiv1$) в силу теоремы Фубини (см. [27]) имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, 0&\leqslant \int_{-a}^0 (\eta-Q(f(x)))\,dx= \int_{-a}^0 \int_{-\infty}^\infty K(x-t)(\eta-f(t))\,dt\,dx={}\\ &=\int_{-a}^0 \int_0^\infty K(x-t)(\eta-f(t))\,dt\,dx+ \int_{-a}^0 \int_{-\infty}^{-a} K(x-t)(\eta-f(t))\,dt\,dx+ {}\\ &\hphantom{={}}+\int_{-a}^0 \int_{-a}^0 K(x-t)(\eta-f(t))\,dt\,dx\leqslant \eta \int_{-a}^0 \int_{-\infty}^x K(y)\,dy\,dx+{}\\ &\hphantom{={}}+ \eta \int_{-a}^0 \int_{-\infty}^{-a} K(x-t)\,dt\,dx+\int_{-a}^0 \int_{-a}^0 K(x-t)(\eta-f(t))\,dt\,dx\leqslant {}\\ &\leqslant \eta \int_{-\infty}^0 \int_{-\infty}^x K(y)\,dy\,dx+ \eta \int_{-a}^0\int_{x+a}^\infty K(y)\,dy\,dx+{}\\ &\hphantom{={}}+\int_{-a}^0 \int_{-a}^0 K(x-t)(\eta-f(t))\,dt\,dx\leqslant {}\\ &\leqslant \eta \int_{-\infty}^0 K(y)(-y)\,dy+ \eta \int_0^a \int_{\tau}^\infty K(y)\,dy\,d\tau+ \int_{-a}^0 (\eta-f(t))\,dt\leqslant {}\\ &\leqslant \eta \int_0^\infty x K(x)\,dx+ \eta \int_0^\infty \int_{\tau}^\infty K(y)\,dy\,d\tau+ \int_{-a}^0 (\eta-f(t))\,dt= {}\\ &=2\eta \int_0^\infty x K(x)\,dx+ \int_{-a}^0 (\eta-f(t))\,dt, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
откуда получаем, что
$$
\begin{equation}
0\leqslant \int_{-a}^0 (f(x)-Q(f(x)))\,dx\leqslant 2\eta \int_0^\infty x K(x)\,dx.
\end{equation}
\tag{4}
$$
В неравенстве (4) устремляя число $a$ к $+\infty$, получаем, что $f-Q(f)\in L_1(-\infty,0)$ и
$$
\begin{equation}
0\leqslant \int_{-\infty}^0 (f(x)-Q(f(x)))\,dx\leqslant 2\eta \int_0^\infty x K(x)\,dx.
\end{equation}
\tag{5}
$$
Аналогично можно доказать, что $f-Q(f)\in L_1(0,+\infty)$ и при этом
$$
\begin{equation}
0\leqslant \int_0^{\infty}(f(x)-Q(f(x)))\,dx\leqslant 2\eta \int_0^\infty x K(x)\,dx.
\end{equation}
\tag{6}
$$
Таким образом из (5), (6) приходим к (3), причем
$$
\begin{equation}
0\leqslant \int_{-\infty}^{\infty}(f(x)-Q(f(x)))\,dx\leqslant 4\eta \int_0^\infty x K(x)\,dx.
\end{equation}
\tag{7}
$$
Умножим теперь обе части очевидного равенства
$$
\begin{equation*}
\eta-Q(f(x))= \int_{-\infty}^{\infty} K(x-t)(\eta-f(t))\,dt,\qquad x\in \mathbb{R},
\end{equation*}
\notag
$$
на функцию $f(x)-Q(f(x))$, $x\in\mathbb{R}$. Тогда в силу условия 1 и соотношений (1), (3) с учетом теоремы Фубини имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, 0&\leqslant \int_{-\infty}^{\infty}(f(x)-Q(f(x)))(\eta-Q(f(x)))\,dx={}\\ &= \int_{-\infty}^{\infty}(f(x)-Q(f(x)))\int_{-\infty}^{\infty} K(x-t)(\eta-f(t))\,dt\,dx= {}\\ &= \int_{-\infty}^{\infty}(\eta-f(t)) \int_{-\infty}^{\infty} K(x-t) (f(x)-Q(f(x)))\,dx\,dt={}\\ &= \int_{-\infty}^{\infty} (\eta-f(t))\biggl(Q(f(t))- \int_{-\infty}^{\infty} K(t-x)Q(f(x))\,dx\biggr)\,dt. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
В силу неравенства (6.14.1) из работы [28] имеем
$$
\begin{equation}
Q\biggl( \,\int_{-\infty}^{\infty} K(t-x)f(x)\,dx \biggr)\leqslant \int_{-\infty}^{\infty} K(t-x)Q(f(x))\,dx,\qquad t\in E.
\end{equation}
\tag{8}
$$
Следовательно, из полученного выше равенства приходим к оценке
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \int_{E}(f(x)&-Q(f(x)))(\eta-Q(f(x)))\,dx\leqslant {} \notag \\ &\leqslant\int_{E}(\eta-f(t)) \biggl( Q(f(t))- Q\biggl(\, \int_{-\infty}^{\infty} K(t-x)f(x)\,dx\biggr)\biggr)\,dt \end{aligned}
\end{equation}
\tag{9}
$$
или в силу (1) имеем
$$
\begin{equation}
\int_{E}(f(x)-Q(f(x)))(\eta-Q(f(x)))\,dx\leqslant \int_{E}(\eta-f(x))(Q(f(x))-Q(Q(f(x))))\,dx.
\end{equation}
\tag{10}
$$
Так как при $x\in E$ то неравенство (10) можно переписать в следующем виде:
$$
\begin{equation}
\int_{E}(f(x)-Q(f(x)))(\eta-f(x))\biggl(\frac{\eta-Q(f(x))}{\eta-f(x)}-\frac{Q(f(x))-Q(Q(f(x)))}{f(x)-Q(f(x))} \biggr)dx\leqslant0.
\end{equation}
\tag{12}
$$
Однако из условий а–в следует, что для всех $x\in E$ имеет место неравенство (см. рис. 1)
$$
\begin{equation}
\frac{\eta-Q(f(x))}{\eta-f(x)}>\frac{Q(f(x))-Q(Q(f(x)))}{f(x)-Q(f(x))}.
\end{equation}
\tag{13}
$$
Из (11), (12) и (13) приходим к противоречию. Следовательно, теорема доказана. Аналогично доказывается следующая Теорема 2. При условиях a–в и 1, 2, если $\lambda(x)\equiv 1$, уравнение (1) не может иметь неположительное нетривиальное (отличное от $0$ и $-\eta$) и ограниченное на множестве $\mathbb{R}$ решение. Отметим, что теоремы 1, 2 обобщают и дополняют соответствующий результат работы [29]. 3. Существование и единственность неотрицательного нетривиального и ограниченного решенияПерейдем теперь к изучению уравнения (1) в случае Как уже было отмечено в разделе 1, из результатов работы [17] следует, что при условиях a–г, A–В и 1, 2 уравнение (1) имеет знакопеременное нечетное монотонно возрастающее непрерывное и ограниченное на $\mathbb{R}$ решение $f^*(x)$, причем данное решение обладает следующими дополнительными свойствами:
Ниже мы докажем, что кроме такого решения уравнение (1) при условии (14) обладает также неотрицательным нетривиальным непрерывным и ограниченным на $\mathbb{R}$ решением. Справедлива следующая Теорема 3. При условиях a–г, A–В, 1, 2 и (14) уравнение (1) имеет неотрицательное нетривиальное непрерывное и ограниченное на $\mathbb{R}$ решение $f(x)$, причем $f(x)\leqslant\eta$, $x\in\mathbb{R}$, $\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=\eta$, $\eta-f\in L_1(\mathbb{R})$. Доказательство. Рассмотрим следующие последовательные приближения для уравнения (1): Таким образом, в силу (18) можем утверждать, что последовательные приближения (15) сходятся к функции $f(x)$ равномерно на каждом компакте из $\mathbb{R}$. Принимая во внимание (19), I и II, заключаем, что $\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=\eta$ и $\eta-f\in L_1(\mathbb{R})$. Тем самым теорема полностью доказана. Замечание 1. В силу нечетности функции $Q$ решением уравнения (1) является также функция вида $f^\sharp(x):=-f(x)$, $x\in\mathbb{R}$. Замечание 2. Как в ходе доказательства теоремы 1, здесь также можно убедиться, что для любого неотрицательного (нетривиального) и ограниченного решения $\tilde{f}$ уравнения (1) имеют место включения Докажем теперь следующую теорему единственности решения уравнения (1). Теорема 4. При условиях теоремы 3 уравнение (1) в классе неотрицательных (нетривиальных) и ограниченных на множестве $\mathbb{R}$ функций не может иметь более одного решения. Доказательство. Пусть $\tilde{f}(x)$ – любое неотрицательное (нетривиальное) и ограниченное на $\mathbb{R}$ решение уравнения (1). Как в доказательстве теоремы 1, можно установить, что Индукцией по $n$ несложно доказать, что $\tilde{f}(x)\leqslant f_n(x)$, $n=0,1,2,\ldots\,$, $x\in\mathbb{R}$. Следовательно, где $f(x)=\lim_{n\to\infty}f_n(x)$. Нашей целью является доказательство того, что на самом деле $\tilde{f}(x)=f(x)$, $x\in\mathbb{R}$. Предположим обратное; тогда в силу (23) существует точка $x_1\in\mathbb{R}$ такая, что $\tilde{f}(x_1)< f(x_1)$. В силу непрерывности функций $\tilde{f}$ и $f$ можно утверждать, что существует число $\delta_1>0$ такое, что $\tilde{f}(x)<f(x)$, $x\in (x_1-\delta, x_1+\delta)$. Введем следующее множество:
$$
\begin{equation}
\mathfrak{M}:=\{x\in\mathbb{R}\!: \tilde{f}(x)<f(x)\}.
\end{equation}
\tag{24}
$$
Тогда очевидно, что $(x_1-\delta, x_1+\delta)\subset \mathfrak{M}$, откуда следует, что $\operatorname{mes}\mathfrak{M}\geqslant 2\delta>0$. Теперь убедимся, что $\tilde{f}(x)>0$, $x\in\mathbb{R}$. Так как $\tilde{f}(x)\geqslant0$ и $\tilde{f}(x)\not\equiv0$, $x\in\mathbb{R}$, существует хотя бы одна точка $x^*\in\mathbb{R}$, для которой $\tilde{f}(x^*)>0$. Так как $\tilde{f}\in C(\mathbb{R})$, существует число $\delta^*>0$ такое, что
$$
\begin{equation}
m:=\inf_{x\in[x^*-\delta^*, x^*+\delta^*]}\tilde{f}(x)>0.
\end{equation}
\tag{25}
$$
Тогда, учитывая (25), условие Б и положительность ядра $K$, из уравнения (1) имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, Q(\tilde{f}(x))&\geqslant \lambda(x)\int_{x^*-\delta^*}^{x^*+\delta^*} K(x-t)\tilde{f}(t)\,dt\geqslant{}\\ &\geqslant \varepsilon_0m \int_{x^*-\delta^*}^{x^*+\delta^*} K(x-t)\,dt=\varepsilon_0m \int_{x-x^*-\delta^*}^{x-x^*+\delta^*} K(y)\,dy>0,\quad x\in\mathbb{R}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
откуда в силу монотонности и непрерывности функции $Q$ следует, что
$$
\begin{equation}
\tilde{f}(x)\geqslant Q^{-1} \biggl(\varepsilon_0m \int_{x-x^*-\delta^*}^{x-x^*+\delta^*} K(y)\,dy\biggr)>0,\qquad x\in\mathbb{R}.
\end{equation}
\tag{26}
$$
Так как $f(x)$ также является неотрицательным, нетривиальным и ограниченным на $\mathbb{R}$ решением уравнения (1), то $f(x)>0$, $x\in\mathbb{R}$. В силу условий б, 1 и Б из уравнения (1) с учетом (23) имеем
$$
\begin{equation}
0\leqslant Q(f(x))-Q(\tilde{f}(x))=\lambda(x)\int_{-\infty}^\infty K(x-t)(f(t)-\tilde{f}(t))\,dt, \qquad x\in\mathbb{R}.
\end{equation}
\tag{27}
$$
Так как $\tilde{f}\in(0,\eta]$, то из условий а–в сразу следует, что
$$
\begin{equation}
\tilde{f}(x)\geqslant Q(\tilde{f}(x)), \qquad x\in\mathbb{R}.
\end{equation}
\tag{28}
$$
Умножим обе части (27) на функцию $(\tilde{f}(x)-Q(\tilde{f}(x)))/\lambda(x)$ и в силу условий (20), 1, 2 и Б проинтегрируем полученное равенство по $x$ в пределах от $-\infty$ до $+\infty$. Тогда, принимая во внимание четность ядра $K$, в силу теоремы Фубини имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, 0&\leqslant \int_{-\infty}^\infty \frac{(Q(f(x))-Q(\tilde{f}(x)))(\tilde{f}(x)-Q(\tilde{f}(x)))}{\lambda(x)}\,dx={}\\ &=\int_{-\infty}^\infty (\tilde{f}(x)-Q(\tilde{f}(x)))\int_{-\infty}^\infty K(x-t)(f(t)-\tilde{f}(t))\,dt\,dx= {}\\ &= \int_{-\infty}^\infty (f(t)-\tilde{f}(t))\int_{-\infty}^\infty K(t-x)(\tilde{f}(x)-Q(\tilde{f}(x)))\,dx\,dt= {}\\ &= \int_{-\infty}^\infty (f(t)-\tilde{f}(t)) \biggl( \frac{Q(\tilde{f}(t))}{\lambda(t)}- \int_{-\infty}^\infty K(t-x)Q(\tilde{f}(x))\,dx\biggr)dt. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
В силу (23) и (24) приведенное выше выражение можно переписать в следующем виде:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, 0&\leqslant \int_{\mathfrak{M}}\frac{(Q(f(x))-Q(\tilde{f}(x)))(\tilde{f}(x)-Q(\tilde{f}(x)))}{\lambda(x)}\,dx={} \notag \\ & = \int_{\mathfrak{M}} (f(t)-\tilde{f}(t)) \biggl( \frac{Q(\tilde{f}(t))}{\lambda(t)}- \int_{-\infty}^\infty K(t-x)Q(\tilde{f}(x))\,dx\biggr)dt. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{29}
$$
Снова используя неравенство (6.14.1) из работы [28], получим
$$
\begin{equation}
Q\biggl(\int_{-\infty}^\infty K(t-x) \tilde{f}(x)\,dx\biggr)\leqslant \int_{-\infty}^\infty K(t-x)Q(\tilde{f}(x))\,dx,\qquad t\in \mathfrak{M}.
\end{equation}
\tag{30}
$$
Из (29), (30) и (1) приходим к следующему неравенству:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \int_{\mathfrak{M}} &\biggl(\frac{(Q(f(x))-Q(\tilde{f}(x)))(\tilde{f}(x)-Q(\tilde{f}(x)))}{\lambda(x)}-{}\\ &\qquad\qquad\qquad\qquad-(f(x)-\tilde{f}(x)) \biggl(\frac{Q(\tilde{f}(x))}{\lambda(x)} -Q\biggl(\frac{Q(\tilde{f}(x))}{\lambda(x)}\biggr)\biggr)\biggr)dx\leqslant0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Так как для всех $x\in \mathfrak{M}\!: \tilde{f}(x)>Q(\tilde{f}(x))$ (ибо если $x\in \mathfrak{M}$, то $0<\tilde{f}(x)<f(x)\leqslant \eta$, а $Q$ удовлетворяет условиям a–в), последнее неравенство можно переписать в виде
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \int_{\mathfrak{M}}&\frac{(f(x)-\tilde{f}(x))(\tilde{f}(x)-Q(\tilde{f}(x)))}{\lambda(x)}\biggl( \frac{Q(f(x))-Q(\tilde{f}(x))}{f(x)-\tilde{f}(x)}-{} \notag \\ &\qquad\qquad\qquad\qquad - \frac{Q(\tilde{f}(x))-\lambda(x)Q (Q(\tilde{f}(x))/\lambda(x))}{\tilde{f}(x)-Q(\tilde{f}(x))}\biggr)dx\leqslant0. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{31}
$$
Заметим теперь, что для всех $v\in[0,1]$ и $u\in[0,+\infty)$ имеет место неравенство (см. рис. 2): Действительно, если $v\in(0,1)$ и $u\in(0,+\infty)$, согласно теореме Фалеса откуда $vQ(u)=\varepsilon+Q(uv)\geqslant Q(uv)$. Для $v=0, v=1$ и $u=0$ неравенство (32) очевидно. Используя (32) и при этом в качестве $v$ и $u$ выбирая
$$
\begin{equation*}
v=\lambda(x),\qquad u=\frac{Q(\tilde{f}(x))}{\lambda(x)},
\end{equation*}
\notag
$$
для всех $x\in\mathfrak{M}$ имеем
$$
\begin{equation}
\frac{Q(\tilde{f}(x))-Q(Q(\tilde{f}(x)))}{\tilde{f}(x)-Q(\tilde{f}(x))}\geqslant \frac{Q(\tilde{f}(x))-\lambda(x)Q (Q(\tilde{f}(x))/\lambda(x))}{\tilde{f}(x)-Q(\tilde{f}(x))}.
\end{equation}
\tag{33}
$$
Из свойств а–в функции $Q$ с учетом (24) для всех $x\in\mathfrak{M}$ имеем (см. рис. 3)
$$
\begin{equation}
\frac{Q(f(x))-Q(\tilde{f}(x))}{f(x)-\tilde{f}(x)}> \frac{Q(\tilde{f}(x))-Q (Q(\tilde{f}(x)))}{\tilde{f}(x)-Q(\tilde{f}(x))}.
\end{equation}
\tag{34}
$$
Следовательно, из (33) и (34) получаем, что для всех $x\in\mathfrak{M}$
$$
\begin{equation}
\frac{Q(f(x))-Q(\tilde{f}(x))}{f(x)-\tilde{f}(x)}> \frac{Q(\tilde{f}(x))-\lambda(x)Q (Q(\tilde{f}(x))/\lambda(x))}{\tilde{f}(x)-Q(\tilde{f}(x))}.
\end{equation}
\tag{35}
$$
Таким образом, принимая во внимание (35) и доказанное выше неравенство
$$
\begin{equation*}
\tilde{f}(x)>Q(\tilde{f}(x)),\qquad x\in\mathfrak{M},
\end{equation*}
\notag
$$
в неравенстве (31) приходим к противоречию. Следовательно, $\tilde{f}(x)=f(x)$, $x\in\mathbb{R}$. Теорема доказана. Замечание 3. Пусть ядро $K$ допускает следующее частное представление: Таким образом, из доказанных теорем 1–4 следует, что если в представлении (37) $\lambda\equiv1$, то уравнение (36) не может иметь знакосохраненное нетривиальное и ограниченное решение. Если же в (37) функция $\lambda\not\equiv1$ и удовлетворяет условиям A–В, то уравнение (36) имеет единственное положительное и ограниченное решение с одинаковыми предельными значениями на $\pm\infty$. Замечание 4. Ниже приведем краткий сравнительный анализ полученных результатов с результатами из работ [5]–[12]. В частном случае, когда $\lambda\equiv1$, $Q(u)=u^n$, $K(x)=\frac{1}{\sqrt{4\pi\sigma_0}}e^{-x^2/4\sigma_0}$, $x\in\mathbb{R}$ (при этом если $n=p^2$, то $\sigma_0=1/2$, а если $n=p$, то $\sigma_0=1/4$, $p$ – простое число), для уравнения (1) с граничными условиями $f(\pm\infty)=1$, в работах [5], [6] приведены формулы, устанавливающие связь между числом нулей, кратностями нулей и числом, показывающим, сколько раз решения меняют знак. В настоящей работе мы доказываем, что уравнение (1) с общей нелинейностью $Q$ и с общим ядром $K$ при $\lambda\equiv1$ может иметь только знакопеременные решения. Вопрос о свойствах нулей таких решений в нашей работе не обсуждается. Для гауссовского ядра $K$ и степенной нелинейности $Q$ при $\lambda\equiv1$ в работах [7]–[10] получены асимптотические оценки снизу решения, когда $|x|\to\infty$. В нашем случае, когда функции $Q, K$ и $\lambda$ удовлетворяют соответственно условиям a–в, 1, 2, A–В и $\lambda\not\equiv1$, для решения $f$ мы доказываем, что (см. теорему 3) $\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=\eta$ и $\eta-f\in L_1(\mathbb{R})$. В работах [11], [12] исследованы вопросы несуществования знакосохраненных решений с определенными граничными значениями (на $\pm\infty$) уравнения (1), в случае, когда $K(x)=\frac{1}{4\sqrt{\pi a}}e^{-x^2/4a}$, $x\in \mathbb{R}$, $Q(u)=u^p$, $p\in\mathbb{N}$, а $\lambda\equiv1$. Доказанные нами теоремы (см. теоремы 1, 2) об отсутствии знакосохраненного ограниченного нетривиального решения обобщают часть этих результатов для общих ядер $K$ и нелинейности $Q$. 4. Приложение к модельным уравнениям математической физики4.1. Приложение в динамической теории $p$-адических струнВ динамической теории $p$-адических струн возникают следующие нелинейные псевдодифференциальные уравнения (см. [1], [4]):
$$
\begin{equation}
e^{a(d^2/dx^2)}f(x)=af^p(x)+(1-a)f(x),\qquad x\in\mathbb{R},
\end{equation}
\tag{38}
$$
относительно вещественной функции $f(x)$, где $p>2$ – нечетное число, а $a\in(0,1]$ – числовой параметр. Левая часть уравнения (38) представляет собой псевдодифференциальный оператор с символом $e^{-as^2}$. Уравнение (1) имеет следующее интегральное представление (см. [1]):
$$
\begin{equation}
\frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty \hat{f}(\xi)e^{-a\xi^2}e^{-ix\xi}\,d\xi=af^p(x)+(1-a)f(x),\qquad x\in\mathbb{R},
\end{equation}
\tag{39}
$$
где
$$
\begin{equation}
\hat{f}(\xi):=\int_{-\infty}^\infty f(y)e^{iy\xi}\,dy.
\end{equation}
\tag{40}
$$
Решение $f(x)$ уравнения (39) (или (38)) ищется в классе медленно растущих обобщенных функций $S^\prime(\mathbb{R})\subset D^\prime(\mathbb{R})$ (см. [30]). Подставляя (40) в (39), после несложных выкладок имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, af^p(x)&+(1-a)f(x)=\frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty f(y)\int_{-\infty}^\infty e^{-a\xi^2}e^{-i(x-y)\xi}\,d\xi \,dy={}\\ &= \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty e^{-(x-y)^2/4a}f(y)\int_{-\infty}^\infty e^{-(\sqrt{a}\,\xi+i(x-y)/2\sqrt{a}\,)^2}\,d\xi \,dy={}\\ &=\frac{1}{\sqrt{4\pi a}}\int_{-\infty}^\infty e^{-(x-y)^2/4a}f(y)\,dy,\qquad x\in\mathbb{R}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Итак, мы приходим к интегральному уравнению (1) с $\lambda(x)\equiv1$, $Q(u)=au^p+(1-a)u$ и $K(x)=\frac{1}{\sqrt{4\pi a}} e^{-x^2/4a}$, $x\in\mathbb{R}$. Несложно проверить, что нелинейность $Q$ и ядро $K$ удовлетворяют соответственно условиям a–в и 1, 2. Здесь следует отметить, что исследованию многомерного аналога уравнения (38) посвящена работа [31]. 4.2. Нелинейное эллиптическое уравнение и уравнение Клейна–Гордона–ФокаРассмотрим следующие варианты классических нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных из математической физики:
Сначала займемся уравнением (41). Решение уравнения (41) ищем в виде
$$
\begin{equation*}
u(x,y)=F(x+cy)\in C_l^2(\mathbb{R}),\qquad (x,y)\in \mathbb{R}^2,
\end{equation*}
\notag
$$
где $C_l^2(\mathbb{R})$ – пространство дважды непрерывно дифференцируемых на $\mathbb{R}$ функций, имеющих конечный предел на $\pm\infty$. Тогда из (41) имеем
$$
\begin{equation*}
F^{\prime\prime}(\text{x})+c^2 F^{\prime\prime}(\text{x})=F(\text{x})-G_1(\lambda(\text{x})F(\text{x})),\qquad \text{x}:=x+cy\in\mathbb{R},
\end{equation*}
\notag
$$
или
$$
\begin{equation*}
-F^{\prime\prime}(\text{x})+\frac{1}{1+c^2}F(\text{x})=\frac{G_1(\lambda(\text{x})F(\text{x}))}{1+c^2},\qquad \text{x}\in\mathbb{R}.
\end{equation*}
\notag
$$
Так как $F\in C_l^2(\mathbb{R})$, несложно проверить, что последнее уравнение равносильно следующему нелинейному интегральному уравнению:
$$
\begin{equation}
F(\text{x})=\int_{-\infty}^\infty \widetilde{K}(\text{x}-t)\widetilde{G}_1(\lambda(t)F(t))\,dt, \qquad \text{x}\in\mathbb{R},
\end{equation}
\tag{43}
$$
где ядро $\widetilde{K}$ допускает представление вида
$$
\begin{equation}
\widetilde{K}(\text{x})=\frac{1}{2\sqrt{1+c^2}}e^{-|\text{x}|/\sqrt{1+c^2}}, \qquad \text{x}\in\mathbb{R},
\end{equation}
\tag{44}
$$
а Несложно проверить, что если $Q(u):= \widetilde{G}_1^{-1}(u)$ (здесь $\widetilde{G}_1^{-1}(u)$ – функция, обратная к функции $y=Q(u)$) удовлетворяет условиям а–г, то после обозначения
$$
\begin{equation*}
f(x):= \widetilde{G}_1(\lambda(x)F(x)),\quad x\in\mathbb{R},
\end{equation*}
\notag
$$
приходим к нелинейному интегральному уравнению (1) с ядром вида (44). Очевидно, что ядро $\widetilde{K}$ удовлетворяет условиям 1, 2. Перейдем теперь к уравнению (42). В этом случае также решение ищем в следующем виде:
$$
\begin{equation*}
u(x,t):=\Phi(x+ct)\in C_l^2(\mathbb{R}),\qquad (x,t)\in\mathbb{R}\times(0,+\infty).
\end{equation*}
\notag
$$
Выполняя рассуждения, аналогичные проведенным для уравнения (41), приходим к следующему нелинейному интегральному уравнению:
$$
\begin{equation}
\Phi(\text{x})=\int_{-\infty}^\infty K^*(\text{x}-t)\widetilde{G}_2(\lambda(t)\Phi(t))\,dt,\qquad \text{x}\in\mathbb{R},
\end{equation}
\tag{45}
$$
где
$$
\begin{equation}
K^*(\text{x})=\frac{1}{2\sqrt{c^2-1}}e^{-|\text{x}|/\sqrt{c^2-1}}, \qquad \text{x}\in\mathbb{R},
\end{equation}
\tag{46}
$$
при условии, что $c\in(-\infty, -1)\cup(1,+\infty)$, а Здесь также, если $Q(u):= \widetilde{G}_2^{-1}(u)$ удовлетворяет условиям а–г, после обозначения $f(x):= \widetilde{G}_2(\lambda(x)\Phi(x))$ опять приходим к нелинейному интегральному уравнению относительно искомой функции $f(x)$ с ядром вида (46). Наконец, докажем, что решения $u(x,y)=F(x+cy)$, $(x,y)\in\mathbb{R}^2$, $u(x,t)=\Phi(x+ct)$, $(x,t)\in \mathbb{R}\times(0,+\infty)$ уравнений (41) и (42) соответственно обладают следующими дополнительными свойствами:
$$
\begin{equation*}
\lim_{x\to\pm\infty}F(x)= \lim_{x\to\pm\infty}\Phi(x)=\eta\qquad \text{и}\qquad \eta-F\in L_1(\mathbb{R}),\quad \eta-\Phi\in L_1(\mathbb{R}).
\end{equation*}
\notag
$$
Для этого достаточно доказать следующую теорему. Теорема 5. При условиях теоремы 3 любое неотрицательное (нетривиальное) и ограниченное на $\mathbb{R}$ решение уравнения (1) обладает следующими свойствами: Доказательство. В силу теорем 3 и 4, условий 1, 2 и A–В из уравнения (1) имеем БлагодарностиАвторы выражают благодарность рецензенту за полезные замечания. Конфликт интересовАвторы заявляют, что у них нет конфликта интересов.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{KhaKhaPet23} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|