| Теоретическая и математическая физика |
|
|
|
|
|
Квантовая задача Кулона в электрическом поле с гауссовой зависимостью от времени: формализм интеграла по траекториям Н. Бедидаa, С. Фадельab, М. Дифаллаa, М. Т. Мефтаb a Department of Physics and LABTHOP Laboratory, Faculty of Exact Sciences, University of El Oued, El Oued, Algeria b Department of Physics and LRPPS Laboratory, Faculty of Mathematics and Matter Sciences, University of Kasdi Merbah, Ouargla, Algeria
Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2023, Volume 215, Issue 1, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0040577923040062 
Реферативные базы данных:
   1. ВведениеЗадача об одноэлектронном атоме (задача Кулона) успешно изучалась с первых дней квантовой теории (уравнение Шредингера), и было найдено ее точное решение; также было получено ее решение в релятивистском случае (уравнение Дирака) [1]. В настоящей работе мы решаем более сложную задачу, рассматривая в нерелятивистском пределе атом водорода, взаимодействующий с плазменным окружением, которое представлено флуктуирующим электрическим полем, статистически описывающимся как гауссов белый шум. Это электрическое поле, разумеется, обусловлено всеми заряженными компонентами системы, ионами и электронами плазмы, находящимися в постоянном движении. Поскольку электроны легче ионов, их вклад во взаимодействие заменяется оператором столкновения [2], тогда как ионы представлены электрическим полем, подчиняющимся статистике гауссова белого шума [3]. Если рассматривать нашу систему как водородоподобный ион в среде, которая мгновенно действует на систему посредством зависящего от времени электрического поля, ответом системы на это воздействие, очевидно, будет излучение. Этот процесс повторяется в каждой точке среды (напомним, что мы имеем дело с плазмой), поэтому необходимо использовать статистику по электрическому полю. Поскольку взаимодействие нашей системы со свободными электронами среды заменяется оператором столкновения, мы будем рассматривать только взаимодействие с ионами среды. Выполняя статистическое усреднение по электрическому полю ионов, мы приходим к задаче Кулона, возмущенной квадратичным членом [4], умноженным на комплексный коэффициент, зависящий от времени. Происхождение этого комплексного множителя связано с диссипацией энергии среды. Технически эта схема реализуется, когда мы используем пространственно-временное преобразование исходной задачи $(x,t)\to(q,s)$, при этом получается новая задача Кулона с зарядом $Ze\bar\rho(s)$, имеющим зависимость от псевдовремени [5]–[8]. Выбор $\bar\rho(s)$ в нашей статье был подсказан некоторыми моделями, присутствующими в литературе. Например, известно, что для электрического поля в плазме временну́ю автокорреляционную функцию $C_{E\kern-0.5pt E}(\tau)$ можно считать пропорциональной $t^{-2}$. Такое поведение $C_{E\kern-0.5pt E}(\tau)$ позволяет точно вычислить функцию Грина рассматриваемой системы с помощью теории возмущений, используя формализм интегралов по траекториям. В качестве тестового примера мы восстанавливаем функцию Грина задачи Кулона в пределе постоянного электрического заряда. Отметим, что примерно двадцать лет назад был достигнут значительный прогресс в вычислении интегралов по траекториям с использованием теории возмущений. Например, пертурбативное разложение интеграла по траекториям использовалось для получения точной функции Грина задачи с потенциалом типа дельта-функции [8], [9], а также для релятивистской [10] и нерелятивистской [11] кулоновских систем. Теория возмущений также успешно применялась для вывода функции Грина задачи с обратной квадратичной зависимостью в потенциале [12]. В работе [13] был представлен пропагатор для потенциала типа ступеньки. Но до сих пор имеется не так много работ, посвященных задачам с зависимостью от времени, в которых применяется теория возмущений в формализме интегралов по траекториям [14], [15]. В настоящей статье мы решаем задачу, относящуюся именно к этому классу [5], [6], [11], [16]. Работа организована следующим образом. В разделе 2 мы записываем пропагатор, соответствующий водородоподобному иону, погруженному в гауссово электрическое поле, и используем обобщенное каноническое преобразование, чтобы получить фиктивный лагранжиан с потенциалом, зависящим от псевдовремени. В разделе 3 мы вычисляем пропагатор, соответствующий этому лагранжиану, используя точное суммирования ряда возмущений. Раздел 4 является заключительным. 2. Формула для фейнмановского пропагатораНашей отправной точкой является представление фейнмановского пропагатора для рассматриваемой системы в виде интеграла по траекториям [4]:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, K(\vec x,\vec y,t)=\int_{\vec x(0)=\vec x}^{\vec x(t)=\vec y}D[\vec x\,] \exp\biggl\{\,&\int_0^{t}d\tau\biggl[\frac{m}{2}(\dot{\vec x}(\tau))^2+\frac{Ze^2}{x}\biggr]-{} \notag\\ &-\frac{ie^2}{3\hbar}\int_0^{t}d\tau\int_0^{\tau}d\tau'\,\vec x(\tau)\cdot\vec x(\tau')C_{E\kern-0.5pt E}(\tau-\tau')\biggr\}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{1}
$$
где $C_{E\kern-0.5pt E}(\tau)$ – автокорреляционная функция электрического поля, связанного с наличием среды в нашей системе (водородоподобный ион). Если электрическое поле подчиняется статистике белого шума,
$$
\begin{equation}
C_{E\kern-0.5pt E}(\tau-\tau')=C_{E\kern-0.5pt E}(\tau)\delta(\tau-\tau'),
\end{equation}
\tag{2}
$$
то пропагатор принимает вид
$$
\begin{equation}
K(\vec x_{ \kern1pt\mathrm{f} },\tau_{ \kern1pt\mathrm{f} }/\vec x_{ \kern1pt\mathrm{i} },\tau_{ \kern1pt\mathrm{i} })= \int D[x(\tau)]\exp\biggl\{i\int_{\tau_{ \kern1pt\mathrm{i} }}^{\tau_{ \kern1pt\mathrm{f} }}d\tau\,\biggl[\frac{m}{2}(\dot{\vec x}(\tau))^2-V(\vec x(\tau),\tau)\biggr]\biggr\},
\end{equation}
\tag{3}
$$
где
$$
\begin{equation}
V(\vec x(\tau),\tau)=-\frac{Ze^2}{r}+i\alpha(\tau)\vec x^{\,2}(\tau)=-\frac{Ze^2}{r}+i\frac{e^2}{3\hbar}C_{E\kern-0.5pt E}(\tau) r^2(\tau)
\end{equation}
\tag{4}
$$
представляет собой кулоновский потенциал, возмущенный квадратичным по $r(\tau)$ членом, умноженным зависящий от времени множитель $i\frac{e^2}{3\hbar}C(\tau)$, который отвечает за наличие окружающей среды. Заметим, что в работе [17] рассматривался кулоновский потенциал, возмущенный не зависящим от времени линейным по $r(\tau)$ членом. Определим канонические преобразования [5]
$$
\begin{equation}
\vec x=\overrightarrow{Q}\rho(\tau),\qquad \vec p=\frac{\overrightarrow{P}}{\rho(\tau)},
\end{equation}
\tag{5}
$$
$$
\begin{equation}
\frac{ds}{d\tau}=\frac{1}{\rho^2(\tau)}\equiv\frac{1}{\rho^2(\tau(s))}\equiv\frac{1}{\bar\rho^2(s)}
\end{equation}
\tag{6}
$$
и используем вспомогательное уравнение для $\rho(\tau)$, получим Как следствие, приходим к пропагатору в координатном представлении
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, K(\overrightarrow{Q}_{ \kern1pt\mathrm{f} },\tau_{ \kern1pt\mathrm{f} }/\overrightarrow{Q}_{ \kern1pt\mathrm{i} },\tau_{ \kern1pt\mathrm{i} })&= (\rho_{ \kern1pt\mathrm{f} }\rho_{ \kern1pt\mathrm{i} })^{-3/2}\exp\biggl\{\frac{im}{2\hbar} \biggl(\frac{\dot{\bar\rho}_{ \kern1pt\mathrm{f} }}{\rho_{ \kern1pt\mathrm{f} }}\overrightarrow{\overline{Q}}_{ \kern1pt\mathrm{f} }^2- \frac{\dot{\bar\rho}_{ \kern1pt\mathrm{i} }}{\rho_{ \kern1pt\mathrm{i} }}\overrightarrow{\overline{Q}}_{ \kern1pt\mathrm{i} }^2\biggr]\biggr\}\times{} \notag\\ &\quad \times\int D[\overrightarrow{\overline{Q}}(s)] \exp\biggl\{i\int_{s_{ \kern1pt\mathrm{i} }}^{s_{ \kern1pt\mathrm{f} }}ds\, \biggl[\frac{m}{2}\dot{\overrightarrow{\overline{Q}}}^2+\frac{\bar\rho(s)Ze^2}{\|\overrightarrow{\overline{Q}}\|}\biggr]\biggr\}\equiv \notag\\ &\equiv(\rho_{ \kern1pt\mathrm{f} }\rho_{ \kern1pt\mathrm{i} })^{-3/2}\exp\biggl\{\frac{im}{2\hbar} \biggl[\frac{\dot{\bar\rho}_{ \kern1pt\mathrm{f} }}{\rho_{ \kern1pt\mathrm{f} }}\overrightarrow{\overline{Q}}_{ \kern1pt\mathrm{f} }^2- \frac{\dot{\bar\rho}_{ \kern1pt\mathrm{i} }}{\rho_{ \kern1pt\mathrm{i} }}\overrightarrow{\overline{Q}}_{ \kern1pt\mathrm{i} }^2\biggr]\biggr\} \mathcal K(\vec q_{ \kern1pt\mathrm{f} },s_{ \kern1pt\mathrm{f} }/\vec q_{ \kern1pt\mathrm{i} },s_{ \kern1pt\mathrm{i} }), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{8}
$$
где
$$
\begin{equation}
s_{ \kern1pt\mathrm{i} }=\int^{\tau_{ \kern1pt\mathrm{i} }}\frac{d\sigma}{\rho^2(\sigma)},\qquad s_{ \kern1pt\mathrm{f} }=\int^{\tau_{ \kern1pt\mathrm{f} }}\frac{d\sigma}{\rho^2(\sigma)},\qquad q(s)\equiv Q(\tau (s)).
\end{equation}
\tag{9}
$$
Нас интересует вычисление нового фейнмановского пропагатора $\mathcal K(\vec q_{ \kern1pt\mathrm{f} },s_{ \kern1pt\mathrm{f} }/\vec q_{ \kern1pt\mathrm{i} },s_{ \kern1pt\mathrm{i} })$ путем точного суммирования ряда теории возмущений.
3. Пертурбативный подход к пропагаторуМы имеем дело с пропагатором модели атома водорода, заряд которого зависит от псевдовремени $s$. Эта система описывается лагранжианом
$$
\begin{equation}
\mathcal L(\vec q,\dot{\vec q},s)=\frac{m}{2}\dot{\vec q}^{\;2}+\frac{\bar\rho(s)e^2}{\|\vec q\,\|},
\end{equation}
\tag{10}
$$
где $\bar\rho(s)$ – аналитическая функция параметра $s$. Соответствующий этому лагранжиану пропагатор можно записать следующим образом:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \mathcal K(\vec q_{ \kern1pt\mathrm{f} },S/\vec q_{ \kern1pt\mathrm{i} },0)&= \int_{\vec q(0)=\vec q_{ \kern1pt\mathrm{i} }}^{\vec q(S)=\vec q_{ \kern1pt\mathrm{f} }}D[\vec q(s)] \exp\biggl\{\frac{i}{\hbar}\int_0^{S}\biggl(\frac{m}{2}\dot{\vec q}^{\;2}+\frac{e^2\bar\rho(s)}{q}\biggr)ds\biggr\}= \notag\\ &=\int_{\vec q(0)=\vec q_{ \kern1pt\mathrm{i} }}^{\vec q(S)=\vec q_{ \kern1pt\mathrm{f} }}D[\vec q(s)] \exp\biggl(\frac{i}{\hbar}\int_0^{S}\frac{m}{2}\dot{\vec q}^{\;2}\,ds\biggr) \exp\biggl(\frac{i}{\hbar}\int_0^{S}\frac{e^2\bar\rho(s)}{q}\,ds\biggr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{11}
$$
Поскольку мы имеем дело с классическими величинами, вторую экспоненту в правой части можно разложить в ряд, в результате имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\mathcal K(\vec q_{ \kern1pt\mathrm{f} },S/\vec q_{ \kern1pt\mathrm{i} },0)= \notag\\ &\quad= \sum_{n=0}^{\infty}\biggl(\frac{i e^2}{\hbar}\biggr)^{\!n}\frac{1}{n!} \int_{\vec q(0)=\vec q_{ \kern1pt\mathrm{i} }}^{\vec q(S)=\vec q_{ \kern1pt\mathrm{f} }}D[\vec q(s)] \exp\biggl(\frac{i}{\hbar}\int_0^{S}\frac{m}{2}\dot{\vec q}^{\;2}\,ds\biggr) \biggl(\frac{i}{\hbar}\int_0^{S}\frac{e^2\bar\rho(s)}{q}\,ds\biggr)^{\!n}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{12}
$$
Заметим, что
$$
\begin{equation}
\biggl(\,\int_0^{S}\frac{e^2\bar\rho(s)}{q}\,ds\biggr)^{\!n}= (e^2)^nn!\int_0^{S}\frac{\bar\rho(s_n)}{q_n}\,ds_n \int_0^{s_n}\frac{\bar\rho(s_{n-1})}{q_{n-1}}\,ds_{n-1}\ldots \int_0^{s_1}\frac{\bar\rho(s_1)}{q_1}\,ds_1.
\end{equation}
\tag{13}
$$
Для некоторых случаев, встречающихся при изучении открытых квантовых систем, как утверждается, можно выбрать функцию $\bar\rho(s)$ в виде что соответствует, например, взаимодействию, когда электрическое поле, создаваемое средой и возмущающее систему, затухает по закону $t^{-2}$. В самом деле, если в (7) положить $\alpha(\tau)\sim\tau^{-2}$, мы приходим к выражению (14). Подставив (13) и (14) в (12), получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \mathcal K(\vec q_{ \kern1pt\mathrm{f} },S/\vec q_{ \kern1pt\mathrm{i} },0)= \sum_{n=0}^{\infty}\biggl(\frac{i e^2}{\hbar}\biggr)^{\!n} \int_0^{S}&e^{i as_n}\,ds_n\int_0^{s_n}e^{ias_{n-1}}\,ds_{n-1}\ldots \int_0^{s}e^{ias_1}\,ds_1\times{} \notag\\ &\times\mathop{\int\!\!{\ldots}\!\!\int}\prod_{j=0}^n\mathcal K_0(\vec q_{j+1},s_{j+1}/\vec q_j,s_j) \prod_{j=1}^n\frac{d\vec q_j}{q_j}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{15}
$$
где $\mathcal K_0(\vec q_{j+1},S/\vec q_j,0)$ есть свободный пропагатор. Учитывая, что $s_0=0$ и $s_{n+1}=S$, мы можем записать равенство
$$
\begin{equation}
e^{ias_1+i as_2+\cdots+ias_n}=\exp\biggl[(n+1)aiS-ia\sum_{j=1}^{n+1}j(s_j-s_{j-1})\biggr].
\end{equation}
\tag{16}
$$
Подставим (16) в (15) и получим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\mathcal K(\vec q_{ \kern1pt\mathrm{f} },S/\vec q_{ \kern1pt\mathrm{i} },0)= \notag\\ &\quad =\sum_{n=0}^{\infty}\biggl(\frac{i e^2}{\hbar}\biggr)^{\!n} \int_0^{S}ds_n\int_0^{s_n}ds_{n-1}\ldots\int_0^{s_2} \exp\biggl[(n+1)aiS-ia\sum_{j=1}^{n+1}j(s_j-s_{j-1})\biggr]ds_1\times{} \notag\\ &\kern160pt\times\mathop{\int\!\!{\ldots}\!\!\int}\prod_{j=0}^n\mathcal K_0(\vec q _{j+1},s_{j+1}/\vec q_j,s_j) \prod_{j=1}^n \frac{d\vec q_j}{q_j}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{17}
$$
Теперь определим функцию Грина как
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, G(\vec q_{ \kern1pt\mathrm{f} },\vec q_{ \kern1pt\mathrm{i} },\varepsilon)&=\int_0^{\infty}e^{i\varepsilon S}\mathcal K(\vec q _{ \kern1pt\mathrm{f} },S/\vec q_{ \kern1pt\mathrm{i} },0)\,dS= \notag\\ &=\sum_{n=0}^{\infty}\biggl(\frac{i e^2}{\hbar}\biggr)^{\!n} \int_0^{\infty}e^{i p_nS}\,dS\int_0^{S}ds_n\int_0^{s_n}ds_{n-1}\ldots\int_0^{s_2}ds_1\times{} \notag\\ &\kern90pt\times\mathop{\int\!\!{\ldots}\!\!\int}\prod_{j=0}^n\overline{\mathcal K}_0(\vec q_{j+1},s_{j+1}/\vec q_j,s_j) \prod_{j=1}^n\frac{d\vec q_j}{q_j}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{18}
$$
где $\varepsilon$ – переменная, сопряженная псевдовремени $S$, $p_n=\varepsilon+(n+1)a$ и
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \overline{\mathcal K}_0(\vec q_{j+1},s_{j+1}/\vec q_j,s_j)= \biggl(\frac{m}{2\pi i\hbar(s_{j+1}-s_j)}\biggr)^{\!3/2} &e^{-ia(j+1)(s_{j+1}-s_j)}\times{} \notag\\ &\quad\;\;\times\exp\biggl[\frac{im(\vec q_{j+1}-\vec q_j)^2}{2\hbar(s_{j+1}-s_j)}\biggr]. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{19}
$$
Таким образом, формулу (18) можно переписать как
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &G(\vec q_{ \kern1pt\mathrm{f} },\vec q_{ \kern1pt\mathrm{i} },\varepsilon)= \notag\\ &\;=\sum_{n=0}^{\infty} \biggl(\frac{i e^2}{\hbar}\biggr)^{\!n}\mathop{\int\!\!{\ldots}\!\!\int} \prod_{j=1}^n\frac{d\vec q_j}{q_j}\int_0^{\infty}e^{i p_nS}dS\times{} \notag\\ &\qquad \times\int_0^{S}\biggl(\frac{m}{2\pi i\hbar (S-s_n)}\biggr)^{\!3/2}H(s_n) \exp\biggl[\frac{im(\vec q_{n+1}-\vec q_n)^2}{2\hbar (S-s_n)}\biggr]e^{-ia(n+1)(S-s_n)}\,ds_n, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{20}
$$
где
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, H(s_n)&=\int_0^{s_n}\biggl(\frac{m}{2\pi i\hbar(s_n-s_{n-1})}\biggr)^{\!3/2} e^{-ian(s_n-s_{n-1})}\exp\biggl[\frac{im(\vec q_n-\vec q_{n-1})^2}{2\hbar (s_n-s_{n-1})}\biggr]\,ds_{n-1}\times\cdots{} \notag\\ &\qquad\cdots\times\int_0^{s_2}\biggl(\frac{m}{2\pi i\hbar(s_1-s_0)}\biggr)^{\!3/2} e^{-ia(s_1-s_0)}\exp\biggl[\frac{im(\vec q_1-\vec q_0)^2}{2\hbar(s_1-s_0)}\biggr]\times{} \notag\\ &\kern120pt \times\biggl(\frac{m}{2\pi i\hbar s_1}\biggr)^{\!3/2}\exp\biggl[\frac{im(\vec q_1-\vec q_0)^2}{2\hbar s_1}\biggr]e^{-ias_1}\,ds_1. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{21}
$$
Применяя к формуле (20) теорему о свертке для преобразования Лапласа по переменной $S$, получаем
$$
\begin{equation}
G(\vec q_{ \kern1pt\mathrm{f} },\vec q_{ \kern1pt\mathrm{i} },\varepsilon)=\sum_{n=0}^{\infty} \biggl(\frac{ie^2}{\hbar}\biggr)^{\!n}\mathop{\int\!\!{\ldots}\!\!\int} \prod_{j=1}^n\frac{d\vec q_j}{q_j}\widetilde{\mathcal K}_{(n+1)a}(p_n;\vec q_{n+1},\vec q_n)\widetilde H_n(p_n),
\end{equation}
\tag{22}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\widetilde{\mathcal K}_{(n+1) a}(p_n;\vec q_{n+1},\vec q_n)= \int_0^{\infty}e^{ip_nS}\biggl(\frac{m}{2\pi i\hbar S}\biggr)^{\!3/2} \exp\biggl[\frac{im}{2\hbar S}(\vec q_{n+1}-\vec q_n)^2-i a(n+1)S\biggr]\,dS
\end{equation*}
\notag
$$
и
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \widetilde H_n(p_n)&=\int_0^{\infty}e^{i p_ns_n}H_n(s_n)\,ds_n= \\ &=\int_0^{\infty}e^{i p_ns_n}ds_n\int_0^{s_n}h_{n-1}(s_{n-1})\biggl(\frac{m}{2\pi i\hbar (s_n-s_{n-1})}\biggr)^{\!3/2}\times{} \\ &\kern80pt\times \exp\biggl[\frac{im}{2\hbar(s_n-s_{n-1})}(\vec q_n-\vec q_{n-1})^2\biggr]e^{-ian(s_n-s_{n-1})}\,ds_{n-1}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Применим еще раз теорему о свертке, получим
$$
\begin{equation}
\widetilde H_n(p_n)=\widetilde{\mathcal K}_{na}(p_n)\widetilde H_{n-1}(p_n),
\end{equation}
\tag{23}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\widetilde{\mathcal K}_{na}(p_n)=\int_0^{\infty}e^{ip_ns_n} \biggl(\frac{m}{2\pi i\hbar s_n}\biggr)^{\!3/2} \exp\biggl[\frac{im(\vec q_n-\vec q_{n-1}) ^2}{2\hbar s_n}+inas_n\biggr]\,ds_n
\end{equation*}
\notag
$$
и
$$
\begin{equation*}
\widetilde H_{n-1}(p_n)=\int_0^{\infty}e^{ip_ns_{n-1}}H_{n-1}(s_{n-1})\,ds_{n-1}.
\end{equation*}
\notag
$$
Последовательное применение теоремы о свертке дает
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, G(\vec q_{ \kern1pt\mathrm{f} },\vec q_{ \kern1pt\mathrm{i} },\varepsilon)&= \sum_{n=0}^{\infty}\biggl(\frac{ie^2}{\hbar}\biggr)^{\!n}\mathop{\int\!\!{\ldots}\!\!\int} \prod_{j=1}^n\frac{d\vec q_j}{q_j}\widetilde{\mathcal K}_{(n+1)a}(p_n)\widetilde{\mathcal K}_{na}(p_n)\ldots\widetilde{\mathcal K}_{a}(p_n)= \notag\\ &=\sum_{n=0}^{\infty}\biggl(\frac{ie^2}{\hbar}\biggr)^{\!n}\mathop{\int\!\!{\ldots}\!\!\int} \prod_{j=1}^n\frac{d\vec q_j}{q_j}\prod_{j=0}^n\widetilde{\mathcal K}_{(j+1)a}(p_n), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{24}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \widetilde{\mathcal K}_{(j+1)a}(p_n)&= \widetilde{\mathcal K}_{(j+1)a}(\varepsilon_j^n)= \\ &=\int_0^{\infty}e^{i(p_n-(j+1)a)s_{j+1}}\biggl(\frac{m}{2\pi i\hbar s_{j+1}}\biggr)^{\!3/2} \exp\biggl[\frac{im(\vec q_{j+1}-\vec q _j)^2}{2\hbar s_{j+1}}\biggr]\,ds_{j+1}= \\ &=\int_0^{\infty}e^{i\varepsilon_j^ns_j}\biggl(\frac{m}{2\pi i\hbar s_j}\biggr)^{\!3/2} \exp\biggl[\frac{im(\vec q_{j+1}-\vec q_j)^2}{2\hbar s_j}\biggr]\,ds_j= G_0(\vec q_{j+1},\vec q_j,\varepsilon_j^n). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь введено обозначение $\varepsilon_j^n=p_n-(j+1)a=\varepsilon +(n-j)a$. Тогда функция Грина (24) принимает вид
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, G(\vec q_{ \kern1pt\mathrm{f} },\vec q_{ \kern1pt\mathrm{i} },\varepsilon)&= \sum_{n=0}^{\infty}\biggl(\frac{ie^2}{\hbar}\biggr)^{\!n}\mathop{\int\!\!{\ldots}\!\!\int} \prod_{j=1}^n\frac{d\vec q_j}{q_j} \prod_{j=0}^nG_0(\vec q_{j+1},\vec q_j,\varepsilon_j^n)= \notag\\ &=\sum_{n=0}^{\infty}\biggl(\frac{ie^2}{\hbar}\biggr)^{\!n}\mathop{\int\!\!{\ldots}\!\!\int} \prod_{j=1}^nq_j\,dq_j\,d\Omega_j \prod_{j=0}^n\int_0^{\infty}e^{i\varepsilon_j^ns_j}\mathcal K_0(\vec q_{j+1},\vec q_j,s_j)\,ds_j. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{25}
$$
Выделим угловую и радиальную части и воспользуемся равенствами
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, (\vec q_{j+1}-\vec q_j)^2=\vec q_{j+1}^{\;2}+\vec q_{\,j}^{\;2}-2q_{j+1}q_j\cos\Omega_{j+1,j}, \\ e^{z\cos\Omega_{j,j+1}}=\sqrt{\frac{\pi}{2z}}\sum_{l_j=0}^{\infty}(2l_j+1)I_{l_j+1/2}(z)P_{l_j}(\cos\Omega_j,_{j+1}), \\ \sum_{m_j=-l_j}^{+l_j}Y_{l_j}^{m_j}(\theta_j,\varphi_j)[Y_{l_j}^{m_j}(\theta_{j+1},\varphi_{j+1})]^{\ast}= \frac{(2l_j+1)}{4\pi}P_{l_j}(\cos\Omega_j), \\ \int Y_l^m(\theta_j,\varphi_j)[Y_{l'}^{m'}(\theta_{j+1},\varphi_{j+1})]^{\ast}\,d\Omega_j=\delta_{mm'}\delta_{ll'}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
В результате получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &G(\vec q_{ \kern1pt\mathrm{f} },\vec q_{ \kern1pt\mathrm{i} },\varepsilon)= \\ &\;=\sum_{n=0}^{\infty}\biggl(\frac{ie^2}{\hbar}\biggr)^{\!n} \mathop{\int\!\!{\ldots}\!\!\int}\prod_{j=1}^nq_j\,dq_j\,d\Omega_j\times{} \\ &\quad\times\prod_{j=0}^n\sum_{l_j=0}^{\infty}\sum_{m_j=-l_j}^{+l_j}\int_0^{\infty} \exp\biggl[i\varepsilon_j^ns_j+\frac{i\alpha}{s_j}(\vec q_{j+1}^{\;2}-\vec q_{\,j}^{\;2})\biggr] \biggl(\frac{\alpha (4\pi)^{2/3}}{i\pi s_j}\biggr)^{\!3/2} \biggl(\frac{i\pi s_j}{\alpha q_{j+1}q_j}\biggr)^{\!1/2}\times{} \\ &\kern90pt\times I_{l_j+1/2}\biggl(\frac{-2i\alpha q_{j+1}q_j}{s_j}\biggr) Y_{l_j}^{m_j}(\theta_j,\varphi_j)[Y_{l_j}^{m_j}(\theta_{j+1},\varphi_{j+1})]^{\ast}\,ds_j, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $\alpha=m/2\hbar$. С учетом равенства $\prod_{j=1}^nq_j=\frac{1}{\sqrt{q_{ \kern1pt\mathrm{i} }q_{ \kern1pt\mathrm{f} }}}\prod_{j=0}^n\sqrt{q_{j+1}q_j}$ находим интеграл по углам. В результате имеем
$$
\begin{equation}
G(\vec q_{ \kern1pt\mathrm{f} },\vec q_{ \kern1pt\mathrm{i} },\varepsilon)= \sum_{l,m}Y_l^m(\theta_{ \kern1pt\mathrm{i} },\varphi_{ \kern1pt\mathrm{i} })[Y_l^m(\theta_{ \kern1pt\mathrm{f} },\varphi_{ \kern1pt\mathrm{f} })]^{\ast}G_l(q_{ \kern1pt\mathrm{f} },q_{ \kern1pt\mathrm{i} },\varepsilon),
\end{equation}
\tag{26}
$$
где $G_l(q_{ \kern1pt\mathrm{f} },q_{ \kern1pt\mathrm{i} },\varepsilon)$ – радиальная функция Грина, которую можно записать как
$$
\begin{equation}
G_l(q_{ \kern1pt\mathrm{f} },q_{ \kern1pt\mathrm{i} },\varepsilon)=\frac{4\alpha}{i}\frac{1}{\sqrt{q_{ \kern1pt\mathrm{i} }q_{ \kern1pt\mathrm{f} }}} \sum_{n=0}^{\infty}\biggl(\frac{ie^2}{\hbar}\biggr)^{\!n}\mathop{\int\!\!{\ldots}\!\!\int}\prod_{j=1}^ndq_j\prod_{j=0}^nA_l(q_{j+1,}q_j,\varepsilon_j^n).
\end{equation}
\tag{27}
$$
Коэффициенты $A_l$ задаются формулой
$$
\begin{equation}
A_l(q_{j+1},q_j,\varepsilon_j^n)= \frac{1}{2}\int_0^{\infty}\exp\biggl[i\alpha\frac{q_{j+1}^2+q_j^2}{s_j}+i\varepsilon_j^n\frac{s_j}{\hbar}\biggr] I_{l+1/2}\biggl(-2i\alpha\frac{q_{j+1}q_j}{s_j}\biggr)\frac{ds_j}{s_j}.
\end{equation}
\tag{28}
$$
Соотношения (25) и (28) дают новую функцию Грина
$$
\begin{equation}
G_l(q_{ \kern1pt\mathrm{f} },q_{ \kern1pt\mathrm{i} },\varepsilon)=\frac{4\alpha}{i}(q_{ \kern1pt\mathrm{f} }q_{ \kern1pt\mathrm{i} })^{-1/2} \sum_{n=0}^{\infty}\biggl(\frac{4\alpha e^2}{\hbar}\biggr)^{\!n}F_l^{(n)}(q_{ \kern1pt\mathrm{f} },q_{ \kern1pt\mathrm{i} },\varepsilon),
\end{equation}
\tag{29}
$$
где
$$
\begin{equation*}
F_l^{(0)}(q_{ \kern1pt\mathrm{f} },q_{ \kern1pt\mathrm{i} },\varepsilon)=A_l(q_{ \kern1pt\mathrm{f} },q_{ \kern1pt\mathrm{i} },\varepsilon),\qquad F_l^{(n)}(q_{ \kern1pt\mathrm{f} },q_{ \kern1pt\mathrm{i} },\varepsilon)=\mathop{\int\!\!{\ldots}\!\!\int}\prod_{j=0}^nA_l(\vec q_{j+1},\vec q_j,\varepsilon_j^n)\prod_{j=1}^n dq_j.
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, A_l(q_{j+1},q_j,\varepsilon_j^n)=\int_0^{\infty}G_l(\omega)\,d\omega, \\ G_l(\omega)=\frac{\exp[-2i(\alpha\epsilon_j)^{1/2}(q_{j+1}+q_j)\operatorname{cth}\omega]}{ \operatorname{sh} \omega} I_{l+1/2}\biggl(\frac{-4i(\alpha\epsilon_jq_{j+1}q_j)^{1/2}}{ \operatorname{sh} \omega}\biggr),\quad \epsilon_j=\frac{\varepsilon_j^n}{\hbar}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда следует, что
$$
\begin{equation}
F_l^{(1)}(q_{ \kern1pt\mathrm{f} },q_{ \kern1pt\mathrm{i} },\varepsilon) = \int_0^{\infty}A_l(q_2,q_1,\varepsilon_2^n)A_l(q_1,q_0,\varepsilon_1^n)\,dq_1=
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
=\frac{i}{2}(\alpha\epsilon_0)^{-1/2}(\alpha\epsilon_1)^{-1/2}\int_0^{\infty}\omega G_l(\omega)\,d\omega,
\end{equation}
\tag{30}
$$
$$
\begin{equation}
F_l^{(n)}(q_{ \kern1pt\mathrm{f} },q_{ \kern1pt\mathrm{i} },\varepsilon) =\frac{(i/2)^n}{n!}\prod_{j=0}^n(\alpha\epsilon_j)^{-1/2} \int_0^{\infty}\omega^n G_l(\omega)\,d\omega=
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
=\frac{(i/2)^n}{n!}\exp\biggl[-\frac{1}{2}\sum_j\ln(\alpha\epsilon_j)\biggr]\int_0^{\infty}\omega^n G_l(\omega)\,d\omega.
\end{equation}
\tag{31}
$$
Подставляя (31) в (29), находим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, G_l(q_{ \kern1pt\mathrm{f} },q_{ \kern1pt\mathrm{i} },\varepsilon)&=\frac{4\alpha}{i}(q_{ \kern1pt\mathrm{f} }q_{ \kern1pt\mathrm{i} })^{-1/2} \int_0^{\infty}\sum_{n=0}^{\infty}\biggl(\frac{2i\alpha e^2}{\hbar}\,\omega\biggr)^{\!n} \frac{1}{n!}\exp\biggl[-\frac{1}{2}\sum_j^n\ln (\alpha\epsilon_j)\biggr]G_l(\omega)\,d\omega= \notag\\ &=\frac{4\alpha}{i}(q_{ \kern1pt\mathrm{f} }q_{ \kern1pt\mathrm{i} })^{-1/2}\int_0^{\infty}F(\omega,a)G_l(\omega)\,d\omega, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{32}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, F(\omega ,a)&=\sum_{n=0}^{\infty}\biggl(\frac{2i\alpha e^2}{\hbar}\,\omega\!\biggr)^{\!n}\frac{1}{n!} \exp\biggl[-\frac{1}{2}\sum_j^n\ln(\alpha\epsilon_j)\biggr]= \\ &=\sum_{n=0}^{\infty}\biggl(\frac{2i\alpha e^2}{\hbar}\,\omega\!\biggr)^{\!n}\! \frac{1}{n!}\exp\biggl[-\frac{1}{2} \biggl(\!\ln\frac{\alpha(\varepsilon+na)}{\hbar}\,{+}\ln\frac{\alpha(\varepsilon+(n-1)a)}{\hbar}{+}\cdots{+} \ln\frac{\alpha\varepsilon}{\hbar}\biggr)\biggr]. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Легко проверить, что если положить $a=0$, то мы получим функцию Грина для задачи Кулона. В самом деле, в силу формул преобразования переменные $\tau$ и $s$ играют одинаковую роль времени, а $\varepsilon$ представляет в данном случае энергию $E$. Следовательно,
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, F(\omega,a)\big|_{a=0}&=\sum_{n=0}^{\infty}\biggl(\frac{2i\alpha e^2}{\hbar}\,\omega\biggr)^{\!n}\frac{1}{n!} \exp\biggl[-\frac{n}{2}\ln(-i\alpha\epsilon)\biggr]= \notag\\ &=\sum_{n=0}^{\infty}\biggl(\frac{2i\alpha e^2}{\hbar}\,\omega\biggr)^{\!n}\frac{1}{n!}(-i\alpha\epsilon)^{-n/2}= \exp\biggl[\frac{2ie^2}{\hbar}\biggl(\frac{-i\alpha}{\epsilon}\biggr)^{\!1/2}\omega\biggr]. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{33}
$$
При этом функция (32) может быть записана как
$$
\begin{equation}
G_l(r_{ \kern1pt\mathrm{f} },r_{ \kern1pt\mathrm{i} },\varepsilon))\big|_{\varepsilon\equiv E}=\frac{4\alpha}{i}(q_{ \kern1pt\mathrm{f} }q_{ \kern1pt\mathrm{i} })^{-1/2} \int_0^{\infty}\exp\biggl[\frac{2i e^2}{\hbar}\biggl(\frac{-i\alpha}{\epsilon}\biggr)^{\!1/2}\omega\biggr]G_l(\omega)\,d\omega.
\end{equation}
\tag{34}
$$
Применим формулу [18]
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \int_0^{\infty}&\frac{\exp[2\mu x-t(a+b) \operatorname{ch} x]}{ \operatorname{sh} x}I_{2\nu}\biggl(\frac{2t(ab)^{1/2}}{ \operatorname{sh} x}\biggr)dx= \\ &\qquad\qquad=\frac{m\Gamma(\nu-\mu+1/2)}{2t(ab)^{1/2}\Gamma(2\nu+1)}W_{\mu,\nu}(2ta)M_{\mu,\nu}(2tb), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $W_{\mu,\nu}$ и $M_{\mu,\nu}$ – функции Уиттекера. Эта формула верна при $a>b$, $\operatorname{Re}\nu>0$, $\operatorname{Re}(\nu-\mu +1/2)>0$. В результате радиальная функция Грина в точности совпадает с функцией Грина для задачи Кулона [11]
$$
\begin{equation}
G_l(q_{ \kern1pt\mathrm{f} },q_{ \kern1pt\mathrm{i} },E)=\frac{m\Gamma (l+1-u)}{\hbar kq_{ \kern1pt\mathrm{f} }q_{ \kern1pt\mathrm{i} }(2l+1)!}W_{u,l+1/2}(-2ikq_{ \kern1pt\mathrm{f} })M_{u,l+1/2}(-2ikq_{ \kern1pt\mathrm{i} }),
\end{equation}
\tag{35}
$$
где $u=i(me^{4}/2\hbar^2E)^{1/2}$, $k=(2mE/\hbar^2)^{1/2}$ и $q_{ \kern1pt\mathrm{f} }>q_{ \kern1pt\mathrm{i} }$. Дискретный спектр соответствует полюсам радиальной функции Грина (35): мы имеем $l+1+u=-n$ и $E_n=-me^{4}/(2\hbar^2(n+ l+1)^2)$. Окончательно радиальный пропагатор записывается как
$$
\begin{equation}
\mathcal K_l(q_{ \kern1pt\mathrm{f} },q_{ \kern1pt\mathrm{i} },T)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}G_l(q_{ \kern1pt\mathrm{f} },q_{ \kern1pt\mathrm{i} },\varepsilon)e^{i\varepsilon S(T)}\,d\varepsilon.
\end{equation}
\tag{36}
$$
Кроме того, из соотношений (6) и (14) вытекает следующий интеграл: Таким образом, Вместе с (36) это дает искомый результат:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathcal K_l(q_{ \kern1pt\mathrm{f} },q_{ \kern1pt\mathrm{i} },T)&=\frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty}G_l(q_{ \kern1pt\mathrm{f} },q_{ \kern1pt\mathrm{i} },\varepsilon)T^{i\varepsilon /a}e^{i\varepsilon S_0}\,d\varepsilon= \\ &=\frac{1}{2\pi}\frac{4\alpha}{i}(q_{ \kern1pt\mathrm{f} }q_{ \kern1pt\mathrm{i} })^{-1/2} \int_{-\infty}^{+\infty}\!\!\!d\varepsilon \int_0^{\infty}\sum_{n=0}^{\infty}\biggl(\frac{2i\alpha e^2}{\hbar}\,\omega\biggr)^{\!n}\frac{1}{n!}\times{} \\ &\kern124pt\times\exp\biggl[-\frac{1}{2}\sum_j^n\ln(\alpha\epsilon_j)\biggr]T^{i\varepsilon/a}e^{i\varepsilon S_0}G_l(\omega)\,d\omega. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Интересно, что если мы положим $a=0$, то этот результат сведется к чисто кулоновскому случаю [11].
4. ЗаключениеВ представленной работе мы рассчитали фейнмановский пропагатор в нерелятивистском пределе для атома водорода (или водородоподобного иона), помещенного в зависящее от времени поле, подчиняющееся гауссовой статистике белого шума. После усреднения по этой статистике наша задача превращается в новую задачу Кулона, содержащую дополнительное квадратичное слагаемое в лагранжиане. Это слагаемое умножается на аналитический (комплексный) множитель и зависит от времени. Комплексный множитель отвечает диссипации энергии в окружающей среде. С помощью соответствующих канонических преобразований мы получили компактное выражение для фейнмановского пропагатора системы. Конфликт интересовАвторы заявляют, что у них нет конфликта интересов.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{BedFadDif23} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|