| Теоретическая и математическая физика |
|
|
|
|
|
Дайсоновская диффузия на криволинейном контуре А. В. Забродинabc a Сколковский институт науки и технологий, Москва, Россия b Национальный исследовательский университет "Высшая школа экономики" Москва, Россия c Институт теоретической и экспериментальной физики им. А. И. Алиханова, Национальный исследовательский центр "Курчатовский институт", Москва, Россия
Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2023, Volume 216, Issue 2, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0040577923080020 
Реферативные базы данных:
   1. ВведениеВ пионерской работе [1] Дайсон определил диффузионный процесс для собственных значений унитарной матрицы, сосредоточенных на единичной окружности. В настоящей статье мы вводим более общий диффузионный процесс для $N$ взаимодействующих частиц во внешнем потенциале, сосредоточенных на гладком замкнутом контуре произвольной формы на плоскости. Это сделано с помощью $N$ копий стандартного броуновского процесса $B_i(t)$. Эволюция плотности вероятности во времени описывается уравнением Фоккера–Планка. Мы выводим это уравнение и находим его стационарное решение, которое является больцмановским весом для логарифмического газа во внешнем потенциале. Логарифмические газы были введены Дайсоном в работах [2], где было показано, что собственные значения случайных матриц можно представить как статистический ансамбль заряженных частиц с двумерным кулоновским (логарифмическим) взаимодействием. Полное изложение теории логарифмических газов можно найти в книге [3]. В нашем случае мы получаем больцмановский вес для логарифмического газа на криволинейном контуре при обратной температуре $\beta$, изученного в работе [4]. В разделе 4 мы приводим результаты для разложения свободной энергии этого газа при больших $N$. 2. Диффузионный процесс на криволинейном контуреПусть $\Gamma$ – гладкий замкнутый контур без самопересечений на плоскости. Рассмотрим систему $N$ взаимодействующих частиц с комплексными координатами $z_i\in\Gamma$, двигающихся вдоль контура и подверженных гауссовым случайным силам. Для того чтобы описать процесс диффузии, введем $N$ копий стандартного броуновского процесса $B_i(t)$ таких, что $B_i(0)=0$ с условиями
$$
\begin{equation}
\langle B_i(t)\rangle=0,\qquad \langle(B_i(t)-B_i(t'))(B_j(t)-B_j(t'))\rangle=\delta_{ij}|t-t'|,
\end{equation}
\tag{1}
$$
или
$$
\begin{equation*}
\langle\dot B_i(t)\dot B_j(t')\rangle=\delta_{ij}\delta(t-t').
\end{equation*}
\notag
$$
Для $dB_i(t)=B_i(t+dt)-B_i(t)$ имеем
$$
\begin{equation}
\langle dB_i(t)\rangle=0,\qquad \langle dB_i(t)dB_j(t)\rangle=0,\quad i\ne j,\qquad \langle( dB_i(t))^2\rangle=dt,
\end{equation}
\tag{2}
$$
так что мы должны рассматривать $(dB_i)^2$ как величину первого порядка по $dt$. Ниже мы используем стандартные понятия и факты из стохастического исчисления и теории стохастических дифференциальных уравнений [5], [6]. Мы можем написать где обе точки $z_i(t)$ и $z_i(t+dt)$ принадлежат $\Gamma$. Для $z\in\Gamma$ введем единичный касательный вектор $\tau(z)$ и единичный нормальный вектор $\nu(z)$ к кривой $\Gamma$ в точке $z$, представленные как комплексные числа. Примем, что касательный вектор направлен против часовой стрелки, а нормальный вектор направлен во внешность контура, так что $\tau=i\nu$. Для $z=z_i$ для краткости будем писать $\tau(z_i)=\tau_i$, $\nu(z_i)=\nu_i$. Тогда $\tau_i|dz_i|$ – касательный вектор в точке $z_i$ длины $|dz_i|$. Однако для нужд стохастического исчисления нельзя просто положить $dz_i=\tau_i|dz_i|$, поскольку необходимо использовать разложение, учитывающее члены второго порядка. Легко видеть, что поправка второго порядка равна $-\nu_i|dz_i|\,d\vartheta_i/2$, где $\vartheta(z)=\arg\tau(z)$. По определению $k(z)=d\vartheta(z)/|dz|$ – кривизна кривой $\Gamma$ в точке $z$, так что мы можем написатьМы определим процесс диффузии, положив Здесь $W(z)$ – внешний потенциал, $\partial_s=\tau\,\partial_z+\bar\tau\,\partial_{\bar z}$ означает производную вдоль контура, $\kappa$ – параметр, характеризующий величину случайной силы. Вещественнозначная функция $W$ определена в трубчатой окрестности контура и зависит как от $z$, так и от $\bar z$ (мы пишем $W=W(z)$, чтобы упростить обозначения). В явном виде имеем
$$
\begin{equation}
\partial_{s_i}E=\tau_i\sum_{j\ne i} \frac{1}{z_i-z_j}+\tau_i\,\partial_{z_i}W(z_i)+\text{к.с.}
\end{equation}
\tag{6}
$$
Подставив (4) в уравнение (3), определим процесс диффузии на $\Gamma$ как следующее стохастическое дифференциальное уравнение:
$$
\begin{equation}
dz_i=\tau_i\,\partial_{s_i}E\,dt-\frac{\kappa}{2}\nu_ik_i\,(dB_i)^2 +\sqrt{\kappa}\tau_i\,dB_i.
\end{equation}
\tag{7}
$$
В правой части мы удерживаем члены первого порядка по $dt$. Отметим, что уравнение (7) согласуется с известным определением процесса диффузии на единичной окружности, где $z_j=e^{i\theta_j}$ (см. [1]). В терминах переменных $\theta_j$ стохастическое дифференциальное уравнение (уравнение Ланжевена) принимает стандартный вид
$$
\begin{equation}
d\theta_j=\partial_{\theta_j}E\,dt+\sqrt{\kappa}\,dB_j.
\end{equation}
\tag{8}
$$
Применив формулу Ито
$$
\begin{equation*}
df(\theta_j)=\frac{\partial f}{\partial\theta_j}\,d\theta_j +\frac{\kappa}{2}\,\frac{\partial^2f}{\partial\theta_j^2}\,(dB_j)^2
\end{equation*}
\notag
$$
к функции $f(\theta)=e^{i\theta}$, мы можем переписать (8) в виде
$$
\begin{equation}
dz_j=iz_j\,\partial_{\theta_j}E\,dt-\frac{\kappa}{2}z_j\,(dB_j)^2 +iz_j\sqrt{\kappa}\,dB_j,
\end{equation}
\tag{9}
$$
что согласуется с (7), поскольку на единичной окружности $\tau_j=iz_j$ и $k_j=1$. Уравнение (7) обобщает уравнение (9) на случай криволинейных контуров произвольной формы. Теперь выведем стохастическое дифференциальное уравнение для произвольной (достаточно гладкой) функции $f=f(z_1,\dots,z_N)$. Как обычно в исчислении Ито, дифференциал $df$ должен содержать члены не только первого порядка по $dz_i$, но также и второго:
$$
\begin{equation}
df=\sum_i\biggl(\frac{\partial f}{\partial z_i}\,dz_i +\frac{\partial f}{\partial\bar z_i}\,d\bar z_i\biggr) +\frac{1}{2}\sum_i\biggl(\frac{\partial^2f}{\partial z_i^2}\,(dz_i)^2 +\frac{\partial^2f}{\partial\bar z_i^2}\,(d\bar z_i)^2 +2\,\frac{\partial^2f}{\partial z_i\,\partial\bar z_i}\,|dz_i|^2\biggr).
\end{equation}
\tag{10}
$$
Используя (7) и принимая во внимание, что $\nu_i\,\partial_{z_i}f+\bar\nu_i\,\partial_{\bar z_i}f=\partial_{n_i}f$ – нормальная производная функции $f$ в точке $z_i\in\Gamma$ (нормальный вектор направлен во внешность контура $\Gamma$), имеем из (10)
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, df&=\sum_i\,\partial_{s_i}E\,\partial_{s_i}f\,dt +\frac{\kappa}{2}\sum_i(-k_i\,\partial_{n_i}f +\tau_i^2\,\partial^2_{z_i}f+\bar\tau_i^2\,\partial^2_{\bar z_i}f +2\partial_{z_i}\,\partial_{\bar z_i}f)\,(dB_i)^2+{} \notag \\ &\qquad{}+\sqrt{\kappa}\sum_i\,\partial_{s_i}f\,dB_i. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{11}
$$
В соответствии с правилами исчисления Ито надо положить $(dB_i)^2=dt$. Таким образом, мы получаем стохастическое дифференциальное уравнение
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, df&=\sum_i\biggl(\partial_{s_i}E\,\partial_{s_i}f +\frac{\kappa}{2}(-k_i\,\partial_{n_i}f +\tau_i^2\,\partial^2_{z_i}f+\bar\tau_i^2\,\partial^2_{\bar z_i}f +2\,\partial_{z_i}\,\partial_{\bar z_i}f)\biggr)\,dt+{} \notag \\ &\qquad{}+\sqrt{\kappa}\sum_i\,\partial_{s_i}f\,dB_i. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{12}
$$
Чтобы упростить правую часть, пишем для функции $f=f(z)$
$$
\begin{equation*}
\partial_s^2f=\partial_s(\tau\,\partial_zf) +\partial_s(\bar\tau\,\partial_{\bar z}f) =\partial_s\tau\cdot\partial_zf +\tau\,\partial_s(\partial_zf)+\text{к.с.}
\end{equation*}
\notag
$$
Учитывая, что $\partial_s\tau=i\tau k$, имеем
$$
\begin{equation*}
\partial_s^2f=-k(\nu\,\partial_zf+\bar\nu\,\partial_{\bar z}f) +\tau(\tau\,\partial^2_zf+\bar\tau\,\partial_z\,\partial_{\bar z}f) +\bar\tau(\tau\,\partial_z\,\partial_{\bar z}f +\bar\tau\,\partial^2_{\bar z}f)
\end{equation*}
\notag
$$
или, окончательно,
$$
\begin{equation}
\partial_s^2f=-k\,\partial_nf+\tau^2\,\partial^2_zf +\bar\tau^2\,\partial^2_{\bar z}f +2\,\partial_z\,\partial_{\bar z}f.
\end{equation}
\tag{13}
$$
Подставив это в правую часть (12), получаем стохастическое дифференциальное уравнение в простом виде
$$
\begin{equation}
df=\sum_i\biggl(\frac{\kappa}{2}\,\partial_{s_i}^2f +\partial_{s_i}E\,\partial_{s_i}f\biggr)\,dt +\sqrt{\kappa}\sum_i\,\partial_{s_i}f\,dB_i.
\end{equation}
\tag{14}
$$
Оно содержит производные только в касательном направлении.
3. Уравнение Фоккера–Планка и его стационарное решениеОбозначим через $\widehat A$ дифференциальный оператор
$$
\begin{equation}
\widehat A=\sum_i\biggl(\frac{\kappa}{2}\,\partial_{s_i}^2 +\partial_{s_i}E\,\partial_{s_i}\biggr),
\end{equation}
\tag{15}
$$
тогда уравнение (14) можно записать как
$$
\begin{equation*}
df=\widehat Af+\sqrt{\kappa}\sum_i\,\partial_{s_i}f\,dB_i.
\end{equation*}
\notag
$$
Как известно, уравнение Фоккера–Планка для эволюции во времени плотности вероятности $P=P(z_1,\dots,z_N)$ имеет вид где $\widehat A^*$ – оператор, сопряженный к $\widehat A$. В явном виде в нашем случае уравнение Фоккера–Планка запишется следующим образом:
$$
\begin{equation}
\partial_tP=\sum_i\biggl(\frac{\kappa}{2}\,\partial^2_{s_i}P -\partial_{s_i}E\,\partial_{s_i}P-\partial^2_{s_i}EP\biggr).
\end{equation}
\tag{16}
$$
Преобразование подобия оператора $\widehat A^*$ с функцией $e^{E/\kappa}$ уничтожает первые производные. С помощью этой процедуры мы получаем “гамильтониан” $\widehat H$:
$$
\begin{equation}
\widehat H=e^{-E/\kappa}\widehat A^*e^{E/\kappa} =\frac{1}{2}\sum_i(\kappa\,\partial_{s_i}^2-\kappa^{-1}\,(\partial_{s_i}E)^2 -\partial_{s_i}^2E).
\end{equation}
\tag{17}
$$
Отметим, что если контур $\Gamma$ есть единичная окружность и $W=0$, то $\widehat H$ совпадает с гамильтонианом модели Калоджеро–Сазерленда:
$$
\begin{equation}
\widehat H=\frac{\kappa}{2}\biggl(\sum_i\,\partial^2_{\theta_i} -\frac{2}{\kappa}\biggl(\frac{2}{\kappa}-1\biggr)\sum_{i\ne j} \frac{1}{4\sin^2((\theta_i-\theta_j)/2)}\biggr)+\mathrm{const}.
\end{equation}
\tag{18}
$$
Стационарное решение $P_0$ уравнения (16), для которого $\partial_tP_0=0$, является нулевой модой оператора $\widehat A^*$: $\widehat A^*P_0=0$. Легко проверить, что оно имеет вид Обозначив $\beta=2/\kappa$ и подставив формулу (5) для $E$, имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, P_0(z_1,\dots,z_N)&=\exp\biggl(2\beta\sum_{i<j}\ln|z_i-z_j| +\beta\sum_iW(z_i)\biggr)= \notag \\ &=\prod_{i<j}|z_i-z_j|^{2\beta}\prod_ke^{\beta W(z_k)}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{20}
$$
Это больцмановский вес для логарифмического газа во внешнем потенциале $W$ при обратной температуре $\beta$. Больцмановский вес (20) определяет $\beta$-ансамбль из $N$ частиц на простом замкнутом контуре $\Gamma$ на плоскости [4] (см. также раздел 7 в [7]). Аналогичная задача с носителем в комплексной плоскости (двумерный дайсоновский газ) была рассмотрена в работах [8]–[11].
4. Свободная энергия логарифмического газа: асимптотика при больших $N$Для полноты приведем здесь результаты для асимптотики свободной энергии логарифмического газа при больших $N$, полученные в работе [4] (см. также [12], где дано строгое доказательство для $\beta=1$). Также мы дадим новую интерпретацию $O(1)$-вклада. Статистическая сумма представляет собой $N$-кратный интеграл
$$
\begin{equation}
Z_N=\oint_\Gamma\dotsb\oint_\Gamma P_0(z_1,\dots,z_N)\,ds_1\dotsb ds_N
\end{equation}
\tag{21}
$$
с функцией $P_0$ такой, как в (20), где $ds_i=|dz_i|$ – линейный элемент вдоль контура. При $N\to \infty$ статистическая сумма ведет себя как где свободная энергия $F^{(N)}$ имеет разложение по целым степеням $N$ вида Основной интерес представляют не исчезающие при $N\to\infty$ вклады $F_0$, $F_1$ и $F_2$. Кривая $\Gamma$ делит плоскость на две части – внутреннюю область $\mathbb D_{\mathrm{int}}$ и внешнюю область $\mathbb D_{\mathrm{ext}}$, содержащую $\infty$. Без потери общности предположим, что $0\in\mathbb D_{\mathrm{int}}$. Результаты для $F_0,F_1,F_2$ выражаются в терминах конформных отображений $w_{\mathrm{int}}(z)$, $w_{\mathrm{ext}}(z)$ областей $\mathbb D_{\mathrm{int}}$, $\mathbb D_{\mathrm{ext}}$ на внутренность и внешность единичной окружности соответственно. Мы нормируем конформные отображения следующим образом:
$$
\begin{equation}
\begin{alignedat}{2} w_{\mathrm{int}}(0)&=0, &\qquad w_{\mathrm{int}}'(0)&>0, \\ w_{\mathrm{ext}}(\infty)&=\infty, &\qquad w_{\mathrm{ext}}'(\infty )&=\frac{1}{r}>0. \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{23}
$$
Величина $r$ называется конформным радиусом области $\mathbb D_{\mathrm{ext}}$. Удобно использовать обозначения
$$
\begin{equation}
\psi_{\mathrm{int}}(z)=\ln|w_{\mathrm{int}}'(z)|,\qquad \psi_{\mathrm{ext}}(z)=\ln|w_{\mathrm{ext}}'(z)|.
\end{equation}
\tag{24}
$$
Отметим, что $\psi_{\mathrm{int}}$, $\psi_{\mathrm{ext}}$ являются гармоническими функциями в областях $\mathbb D_{\mathrm{int}}$, $\mathbb D_{\mathrm{ext}}$ соответственно. В [4] было показано, что лидирующий и следующий за лидирующим вклады в свободную энергию даются формулами
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, F_0&=\beta\ln r, \\ F_1&=\frac{\beta}{2\pi}\oint_\Gamma |w_{\mathrm{ext}}'|W\,ds-(\beta-1)\ln\frac{er}{2\pi\beta} +\ln\frac{2\pi}{\Gamma(\beta)}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{25}
$$
Наиболее интересен и нетривиален результат для $F_2$. Вклад $F_2$ может быть естественным образом разделен на две части, “классическую” и “квантовую”: $F_2=F_2^{(\mathrm{cl})}+F_2^{(\mathrm q)}$. “Классическая” часть имеет электростатическую природу, а “квантовая” часть обусловлена флуктуациями частиц. Результат для “классической” части выражается через оператор скачка Неймана $\widehat{\mathcal N}$, ассоциированный с контуром. Этот оператор сопоставляет функции $f$ на $\Gamma$ разность нормальных производных ее гармонических продолжений $f_H$ в $\mathbb D_{\mathrm{int}}$ и $f^H$ в $\mathbb D_{\mathrm{ext}}$: где нормальный вектор направлен во внешность контура $\Gamma$ в обоих случаях. Результат для $F_2^{(\mathrm{cl})}$ следующий:
$$
\begin{equation}
F_2^{(\mathrm{cl})}=\frac{\beta}{8\pi}\oint_\Gamma ((1-\beta^{-1})\psi_{\mathrm{ext}}+W)\widehat{\mathcal N} ((1-\beta^{-1})\psi_{\mathrm{ext}}+W)\,ds.
\end{equation}
\tag{26}
$$
Результат для $F_2^{(\mathrm q)}$ таков:
$$
\begin{equation}
F_2^{(\mathrm q)}=\frac{1}{24\pi}\oint_\Gamma (\psi_{\mathrm{int}}\,\partial_n\psi_{\mathrm{int}} -\psi_{\mathrm{ext}}\,\partial_n\psi_{\mathrm{ext}})\,ds +\frac{1}{6}(\psi_{\mathrm{ext}}(\infty)-\psi_{\mathrm{int}}(0)) +\ln\sqrt{\beta}.
\end{equation}
\tag{27}
$$
Замечательным образом величина в правой части (27) равна $1/24$, умноженной на энергию Левнера $I^{\mathrm L}(\Gamma)$ кривой $\Gamma$:
$$
\begin{equation}
F_2^{(\mathrm q)}=\frac{1}{24}\,I^{\mathrm L}(\Gamma)+\ln\sqrt{\beta},
\end{equation}
\tag{28}
$$
где
$$
\begin{equation}
I^{\mathrm L}(\Gamma)=\frac{1}{\pi}\int_{\mathbb D_{\mathrm{int}}} |\nabla \psi_{\mathrm{int}}|^2\,d^2z +\frac{1}{\pi}\int_{\mathbb D_{\mathrm{ext}}}|\nabla \psi_{\mathrm{ext}}|^2\,d^2z +4(\psi_{\mathrm{ext}}(\infty)-\psi_{\mathrm{int}}(0))
\end{equation}
\tag{29}
$$
(см. [13]). Понятие энергии Левнера недавно активно обсуждалось в литературе в контексте эволюции Шрамма–Левнера (см., например, обзор [14] и ссылки там). Величина (29) известна также как универсальное действие Лиувилля [15].
5. Заключительные замечанияВ этой статье мы определили процесс диффузии для $N$ взаимодействующих частиц на гладком замкнутом контуре $\Gamma$ на плоскости. Каждая частица подвержена действию случайной силы, представленной как броуновский процесс $B(t)$ такой, что $\langle(dB(t))^2\rangle=\kappa\,dt$, где коэффициент $\kappa$ характеризует величину случайной силы. Мы вывели уравнение Фоккера–Планка для соответствующей плотности вероятности. Показано, что стационарное решение уравнения Фоккера–Планка представляет собой больцмановский вес для $N$ частиц, сосредоточенных на контуре и взаимодействующих с помощью двумерного кулоновского (логарифмического) потенциала. Температура этого логарифмического газа равна $\kappa/2$. Такая модель изучалась в статье [4], где были найдены не исчезающие при $N\to\infty$ вклады в свободную энергию. Лидирующий вклад имеет порядок $O(N^2)$ и обладает электростатической природой. Наиболее интересный вклад – “квантовая” часть (т. е. часть, целиком обусловленная флуктуациями) вклада в свободную энергию порядка $O(1)$. Хотя результат (27) для нее был получен в работе [4], там не было замечено, что в действительности он представляет собой $1/24$ от энергии Левнера $I^{\mathrm L}(\Gamma)$ контура $\Gamma$. В данной статье мы делаем это явным. БлагодарностиАвтор благодарен П. Вигману за полезные обсуждения и указание на работу [14]. Конфликт интересовАвтор заявляет, что у него нет конфликта интересов.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Zab23} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|