| Теоретическая и математическая физика |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) Суперсимметричная иерархия Пенлеве II и билинеаризация А. Мирзаa, М. Аль-Хассанb a Department of Software Engineering, Faculty of Computing and Information Technology, University of the Punjab, Quaid-e-Azam Campus, Lahore, Pakistan b Department of Physics, University of the Punjab, Quaid-e-Azam Campus, Lahore, Pakistan
Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2023, Volume 216, Issue 1, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0040577923070036 
Реферативные базы данных:
   1. ВведениеИзучение суперсимметричных (SUSY) интегрируемых систем представляет большой интерес, и поэтому ряд интегрируемых систем имеет свои SUSY-обобщения. Суперсимметрия связывает состояния с разными спинами [1]–[5]. Она была введена для получения фермионных расширений известных классических интегрируемых систем, в которых формализм суперпространства и суперполя применялся для сохранения фермионных степеней свободы; как результат, интегрируемая система остается инвариантной при преобразовании суперсимметрии. Свои SUSY-обобщения имеет ряд известных классических интегрируемых систем, например связанная бездисперсионная интегрируемая система [6]–[9], уравнение синус-Гордон [4], уравнение Кортевега–де Фриза (КдФ) [10], иерархия Кадомцева–Петвиашвили [11], нелинейное уравнение Шредингера [12], уравнение Буссинеска [13] и т. д. SUSY-расширения нелинейных эволюционных уравнений представляют собой системы уравнений для бозонных (грассманово четных) и фермионных (грассманово нечетных) полей, которые сводятся к соответствующим исходным нелинейным системам в бозонном пределе, т. е. суперсимметрия отражает связь фермионного и бозонного полей. Полевые SUSY-уравнения можно получить, расширив бозонную систему с пространственно-временными переменными $(x,t)$ до системы с суперпространственно-временными переменными $(x,t,\vartheta)$, где $\vartheta$ – нечетная грассманова переменная ($\vartheta^2=0$). Ковариантная производная в суперпространстве определяется как $D_x^{}=\partial_\vartheta+\vartheta\partial_x^{}$, где $D_x^2=\partial_x^{}$. SUSY-преобразование порождается оператором $Q_x=\partial_\vartheta-\vartheta\partial_x$, который антикоммутирует с ковариантной производной $D_x$. В настоящей статье мы изучаем SUSY-уравнение Пенлеве II, которое изначально было представлено в работе [14]. Мы рассматриваем SUSY-обобщение уравнения Пенлеве II для фермионного суперполя и определяем суперполевую билинеаризацию SUSY-уравнения Пенлеве II в терминах супероператоров Хироты. Мы также приводим иерархию уравнения Пенлеве II. Статья организована следующим образом. В разделе 2 мы рассматриваем SUSY-уравнение Пенлеве II и получаем уравнения для фермионного и бозонного полей. В разделе 3 мы предлагаем суперполевую билинеаризацию SUSY-уравнения Пенлеве II. Раздел 4 содержит иерархию уравнения Пенлеве II. Раздел 5 завершает обсуждение. 2. SUSY-уравнение Пенлеве IIУравнение Пенлеве II считается вполне интегрируемым уравнением. Хотя оно является нелинейным, его решение можно выразить через решение линейного интегрируемого уравнения. Изначально полученное чисто математически, уравнение Пенлеве II имеет различные важные физические приложения, включая физику плазмы, нелинейные волны, статистическую механику, квантовую гравитацию, квантовую теорию поля, общую теорию относительности и нелинейную оптику. Уравнение Пенлеве II [15] связано с редукцией подобия солитонных уравнений. Уравнение мКдФ обладает редукцией подобия
$$
\begin{equation*}
u(x,t)=\frac{v(z)}{(3t)^{2/3}},\qquad z=\frac{x}{(3t)^{1/3}}.
\end{equation*}
\notag
$$
В терминах поля $v(z)$ уравнение Пенлеве II задается как следующее уравнение: где штрихом обозначена производная $\partial_z$. Суперсимметричное уравнение Пенлеве II имеет аналогичную связь с солитонными уравнениями для суперполя. SUSY-уравнение мКдФ
$$
\begin{equation*}
\partial_t\Psi-3(D_x\Psi)D_x^2(\Psi D_x\Psi)+D_x^{6}\Psi=0
\end{equation*}
\notag
$$
обладает редукцией подобия
$$
\begin{equation*}
\Psi=t^{-1/6}\Phi(xt^{-1/3},\theta t^{-1/6}),\qquad z=xt^{-1/3},\qquad \vartheta=\theta t^{-1/6}.
\end{equation*}
\notag
$$
В терминах суперполя $\Phi(z,\theta)$ SUSY-уравнение Пенлеве II задается как следующее уравнение:
$$
\begin{equation}
D_z\Phi''-2(D_z\Phi)^3+3(D_z\Phi)\Phi\Phi'-\theta\Phi-2zD_z\Phi-\alpha=0,
\end{equation}
\tag{2}
$$
где $D_x=\partial_\vartheta+\vartheta\partial_x$, $D_z=\partial_\theta+\theta\partial_z$ и штрихом обозначена производная $\partial_z$. Чтобы найти уравнения для фермионной и бозонной компонент поля, разложим суперполе $\Phi(z,\theta)$, его фермионное разложение можно представить в виде где $\zeta(z)$ – фермионное поле и $v(z)$ – бозонное поле, при этом производная задается как Для компонент получаем следующую систему полевых уравнений:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &v''-2v^3-2zv-\alpha+3v\zeta \zeta'=0, \\ &\zeta'''-3\zeta'v^2-3vv'\zeta-2z\zeta'-\zeta=0. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3}
$$
Уравнения (3) для бозонного и фермионного полей сводятся к обычному уравнению Пенлеве II (1) из работы [16], когда фермионное поле равно нулю.
3. Билинеаризация SUSY-уравнения Пенлеве IIПолезным инструментом для вычисления суперполевых многосолитонных решений различных интегрируемых SUSY-систем является билинейный метод Хироты. Он неоднократно применялся для нахождения многосолитонных суперполевых решений интегрируемых SUSY-систем, см., например, работы [6], [8], [9], [17]–[23]. В этом методе для нахождения решений заданной интегрируемой системы используется стандартная техника возмущений билинейных суперполевых уравнений. Мы применяем билинейный метод Хироты, чтобы найти решения связанного SUSY-уравнения КдФ. Для получения билинейной формы связанного SUSY-уравнения КдФ (2) нам потребуется супероператор Хироты. Билинейная форма SUSY-уравнения КдФ получается с использованием подходящего преобразования, в результате которого суперполевые уравнения (2) принимают квадратичный по зависимым переменным вид. Обычный оператор Хироты $\mathbf D_x$ определяется своим действием на функции $f(x,t,\theta)$ и $g(x,t,\theta)$ как
$$
\begin{equation}
\mathbf D_x^m(f.g)=(\partial_{x_1}-\partial_{x_2})^m\{f(x_1,t,\theta).g(x_2,t,\theta)\}\big|_{x_1=x_2=x}.
\end{equation}
\tag{4}
$$
Оператор Хироты $S_x$ в суперпространстве определяется своим действием на две грассмановозначные четные функции как [17]
$$
\begin{equation}
S_x(f.g)=(D_{x_1}-D_{x_2})\{f(x_1,t,\theta _1).g(x_2,t,\theta_2)\}\big|_{x_1=x_2=x,\,\theta_1=\theta_2=\theta},
\end{equation}
\tag{5}
$$
при этом $S_x$ удовлетворяет следующим свойствам:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, S_x(f.g)=(D_xf)g-(-1)^{|f|}f(D_xg), \\ S _x^{2n}(f.g)=\mathbf D_x^{n}(f.g),\qquad S_x^{2n+1}(f.g)=S\mathbf D_x^{n}(f.g), \end{gathered}
\end{equation}
\tag{6}
$$
где $|f|$– грассманова четность функции $f$, равная нулю для бозонной (грассманово четной) функции и единице для фермионной (грассманово нечетной) функции. В случае уравнения Пенлеве II действие обычного оператора Хироты $\mathbf D_z$ на функции $f(z,\theta)$ и $g(z,\theta)$ задается как
$$
\begin{equation}
\mathbf D_z^m(f.g)=(\partial_{z_1}-\partial_{z_2})^m\{f(z_1,\theta).g(z_2,\theta)\}\big|_{z_1=z_2=z},
\end{equation}
\tag{7}
$$
а оператор Хироты $S_x$ в суперпространстве определяется как
$$
\begin{equation}
S_z(f.g)=(D_{z_1}-D_{z_2})\{f(z_1,\theta_1).g(z_2,\theta_2)\}\big|_{z_1=z_2=z,\theta_1=\theta_2=\theta}.
\end{equation}
\tag{8}
$$
С помощью замены $\Phi=D_z\mathbf\Psi$ SUSY-уравнение Пенлеве II (2) можно преобразовать к потенциальной форме
$$
\begin{equation}
\mathbf\Psi'''-2(\mathbf\Psi')^3+3(D_z\mathbf\Psi)\mathbf\Psi'D_z\mathbf\Psi'-\theta D_z\mathbf\Psi-2z\mathbf\Psi'-\alpha=0.
\end{equation}
\tag{9}
$$
Кроме того, чтобы получить билинейную форму суперполевого SUSY-уравнения Пенлеве II, мы вводим преобразование суперполя $\mathbf\Psi$ в зависимые переменные $G$ и $F$, заданное формулой где $G$ и $F$ – четные суперполя. Прежде чем использовать преобразование (10) в уравнении (9), прямыми вычислениями получаем следующие соотношения:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \mathbf\Psi'''-2(\mathbf\Psi')^3=\frac{\mathbf D_z^3G.F}{FG}-3\frac{\mathbf D_z^2G.F}{FG}\frac{\mathbf D_zG.F}{FG}, \\ (D_z\mathbf\Psi)D_z\mathbf\Psi'=\frac{D_z(GF)}{FG}\frac{S_z\mathbf D_zG.F}{FG}+\frac{\mathbf D_z^2G.F-D_z(S_z\mathbf D_zG.F)}{FG}, \\ \theta D_z\mathbf\Psi=\theta \frac{S_zG.F}{FG},\qquad 2z\mathbf\Psi'=2z\frac{\mathbf D_zG.F}{FG}. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{11}
$$
Таким образом, билинейная форма суперполя Хироты для SUSY-уравнения Пенлеве II задается как
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \mathbf D_z^3G.F-(3\lambda+2z)\mathbf D_zG.F-\alpha GF&=0, \\ S_z\mathbf D_zG.F-\lambda GF&=0. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{12}
$$
Эти билинейные суперполевые SUSY-уравнения Пенлеве II сводятся к обычному билинейному уравнению Пенлеве II в бозонном пределе (см. работу [24]).
4. SUSY-иерархия Пенлеве IIИерархию КдФ можно свести к иерархии Пенлеве II с помощью подходящего преобразования (см., например, [25]). В этом разделе мы поступаем аналогичным образом, чтобы найти SUSY-иерархию Пенлеве II из иерархии КдФ. Иерархия КдФ задается уравнением
$$
\begin{equation}
\partial_{t_{2n+1}}\chi+\partial_x\mathcal L_{n+1}[\chi]=0,
\end{equation}
\tag{13}
$$
где
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \partial_x\mathcal L_{n+1}[\chi]&=(\partial_x^2D_x+(D_x\chi)D_x+3\chi\partial_x+2\partial_x\chi)\mathcal O_n, \\ \partial_x\mathcal O_n&=(\partial_xD_x-\chi)\mathcal L_n \end{aligned}
\end{equation}
\tag{14}
$$
и $\mathcal L_0=0$, $\mathcal O_0=-1/2$. Оператор $\mathcal L_n$ удовлетворяет рекуррентному соотношению из работы [26]. При $n=1$ получаем SUSY-уравнение КдФ Под действием преобразования Миуры SUSY-уравнение КдФ (15) переходит в SUSY-уравнение мКдФ
$$
\begin{equation}
\partial_t\Psi+3(D_x\Psi)D_x^2(\Psi D_x\Psi)-D_x^6\Psi=0.
\end{equation}
\tag{17}
$$
Для получения SUSY-иерархии уравнения мКдФ применим преобразование (16) в соотношениях (13), (14), получим
$$
\begin{equation}
\partial_{t_{2n+1}}\Psi-(\partial_xD_x+2D_x^2\Psi+(D_x\Psi)D_x+\Psi\partial_x)\mathcal L_n[D_x^2\Psi-\Psi D_x\Psi]=0.
\end{equation}
\tag{18}
$$
Теперь для иерархии SUSY-уравнения Пенлеве II используем замены
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \Psi(t_{2n+1},x,\theta)=\frac{\Phi(z,\vartheta)}{(t_{2n+1})^{1/2(2n+1)}},\qquad z=\frac{x}{(t_{2n+1})^{1/(2n+1)}},\qquad \vartheta=\frac{\theta}{(t_{2n+1})^{1/2(2n+1)}}, \\ \partial_x\Psi-\Psi D_x\Psi=\frac{1}{(t_{2n+1})^{3/2(2n+1)}}[\Phi'-\Phi D_z\Phi], \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
где $\Phi'=\partial_z\Phi$. Аналогично получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \partial_{t_{2n+1}}\Psi=-\frac{\Phi(z,\vartheta)}{2(2n+1)(t_{2n+1})^{[1/2(2n+1)]+1}}-\frac{z\Phi'(z,\vartheta)}{(2n+1)(t_{2n+1})^{[1/2(2n+1)]+1}}, \\ \Psi\partial_x=\frac{1}{(t_{2n+1})^{3/2(2n+1)}}\Phi\partial_z, \\ \mathcal L_n[\Psi]=-\frac{1}{(t_{2n+1})^{[1/2(2n+1)]+[(2n-1)/(2n+1)]}}\mathcal M_n[\Phi'-\Phi D_z\Phi], \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
где $\mathcal M_n=D_z\mathcal L_n$. В результате выводим редуцированную иерархию
$$
\begin{equation*}
\frac{\Phi(z,\vartheta)}{2(2n+1)}+\frac{z\Phi'(z,\vartheta)}{(2n+1)}-(\partial_zD_z+2D_z^2\Phi+(D_z\Phi)D_z-\Phi\partial_z)\mathcal M_n[\Phi'-\Phi D_z\Phi]=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Возьмем производную $D_z$, а затем проинтегрируем по $z$, получим SUSY-иерархию Пенлеве II
$$
\begin{equation*}
D_z(z\Phi)-(\partial_z+2D_z\Phi-\Phi D_z)\mathcal M_n[\Phi'-\Phi D_z\Phi]=\alpha_n.
\end{equation*}
\notag
$$
При $n=0$ получаем уравнение $\theta \Phi+zD_z\Phi=\alpha_0$. При $n=1$ имеем $\mathcal M_1=D_z\mathcal L_1$ и $\mathcal M_1=D_z[\Phi'-\Phi D_z\Phi]$, что дает уравнение
$$
\begin{equation*}
D_z(z\Phi)-(\partial_z+2D_z\Phi-\Phi D_z)\mathcal{(}D_z\Phi'-(D_z\Phi)^{^2}+\Phi \Phi']=\alpha_1,
\end{equation*}
\notag
$$
решая которое, получаем SUSY-уравнение Пенлеве II в терминах фермионного суперполя $\Phi$:
$$
\begin{equation*}
D_z\Phi''-2(D_z\Phi)^3+3(D_z\Phi)\Phi\Phi'-\theta \Phi-2zD_z\Phi-\alpha=0.
\end{equation*}
\notag
$$
5. Заключительные замечанияМы представили билинеаризацию уравнения Пенлеве II с помощью фермионных суперполевых $\tau$-функций. В бозонном пределе формулы билинеаризации SUSY-уравнения Пенлеве II переходят в формулы билинеаризации для обычного уравнения Пенлеве II. Мы также получили иерархию уравнения Пенлеве II. Продолжением настоящей работы может быть изучение суперполевого преобразования Дарбу и построение многосолитонных решений SUSY-уравнения Пенлеве II в форме вронскианов. В отдельной работе мы намерены представить решения Эйри и суперполевое преобразование Беклунда SUSY-уравнения Пенлеве II. Конфликт интересовАвторы заявляют, что у них нет конфликта интересов.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{MirUl 23} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|