| Теоретическая и математическая физика |
|
|
|
|
|
Инварианты Коши и точные решения нелинейных уравнений гидродинамики А. А. Абрашкинab, Е. Н. Пелиновскийab a Национальный исследовательский университет "Высшая школа экономики", Нижний Новгород, Россия b Федеральный исследовательский центр Институт прикладной физики Российской академии наук, Нижний Новгород, Россия
Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2023, Volume 215, Issue 2, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S004057792305001X 
Реферативные базы данных:
   В теории гравитационных волн на глубокой воде все точные решения получены в лагранжевых координатах. Мы даем обзор этих решений. Различные типы волн связаны с соответствующими интегралами уравнения Эйлера [1], которые названы инвариантами Коши [2]–[6]. Статья имеет следующую структуру. В разделе 1 обсуждаются свойства инвариантов Коши. Затем рассматриваются волны, возбуждаемые неоднородным давлением на свободной поверхности жидкости (раздел 2) и волновые движения с учетом вращения Земли (раздел 3). 1. Инварианты КошиУравнения динамики идеальной несжимаемой жидкости в лагранжевых координатах имеют вид [1], [4], [5], [7]
$$
\begin{equation}
(\vec{R}_{tt}+\vec g)\vec{R}_{a_i} =-\frac{1}{\rho}\nabla_{a_i}p_,\qquad i=1,2,3,
\end{equation}
\tag{2}
$$
где $\vec R=\{X(a,b,c,t),\,Y(a,b,c,t),\,Z(a,b,c,t)\}$ – радиус-вектор жидкой частицы, $a,b,c$ – ее метки (лагранжевы переменные), $a_1=a$, $a_2=b$, $a_3=c$, $t$ – время, $p$ – давление, $\rho$ – постоянная плотность, $\vec g$ – ускорение свободного падения, $D$ – якобиан, $J_0$ – функция, не зависящая от времени, $\nabla_{a_i}$ – градиент по переменным $a_i$. Уравнение (1) является условием неразрывности, а система (2) представляет уравнения движения. Возьмем перекрестные производные для каждой пары уравнений (2) и вычтем одно из другого. Правые части взаимно уничтожатся, а левые части предстанут как производные по времени. В результате интегрирования получим три уравнения [1]:
$$
\begin{equation}
\frac{D(X_t,X)}{D(b,c)}+\frac{D(Y_t,Y)}{D(b,c)}+\frac{D(Z_t,Z)}{D(b,c)} =S_1(a,b,c),
\end{equation}
\tag{3}
$$
$$
\begin{equation}
\frac{D(X_t,X)}{D(c,a)}+\frac{D(Y_t,Y)}{D(c,a)}+\frac{D(Z_t,Z)}{D(c,a)} =S_2(a,b,c),
\end{equation}
\tag{4}
$$
$$
\begin{equation}
\frac{D(X_t,X)}{D(a,b)}+\frac{D(Y_t,Y)}{D(a,b)}+\frac{D(Z_t,Z)}{D(a,b)} =S_3(a,b,c),
\end{equation}
\tag{5}
$$
где $S_1,S_2,S_3$ – произвольные функции (интегралы движения). Уравнения (3)–(5) были выведены Коши [8], [9]. Независимость от времени функций $S_1,S_2,S_3$ отражает условие сохранения циркуляции по замкнутому контуру [1], [9]. Стокс назвал их интегралами Коши [10], [11]. В статье [2] эти функции было предложено называть инвариантами Коши. Такая терминология успешно прижилась [3]–[6]. Прямым дифференцированием уравнений (3)–(5) можно убедиться, что
$$
\begin{equation*}
\frac{\partial S_1}{\partial a}+\frac{\partial S_2}{\partial b}+ \frac{\partial S_3}{\partial c}=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Это означает, что инварианты Коши не могут задаваться произвольными. Введем вектор инвариантов Коши $\vec S\{S_1,S_2,S_3\}$ так, что где $\vec{a}_0,\vec{b}_0,\vec{c}_0$ – единичные векторы вдоль соответствующих осей. Дивергенция этого вектора равна нулю ($\operatorname{div}_{\vec a}\vec S=0$). Систему (3)–(5) можно переписать в более компактном виде:
$$
\begin{equation}
\vec S=\operatorname{rot}_{\vec a} \sum_{i=1}^3(\vec{R}_t\vec{R}_{a_i})\vec a_{i0},
\end{equation}
\tag{6}
$$
где используется обозначение $\vec a=\{a_1,a_2,a_3\}=\{a,b,c\}$, индекс у оператора ротора означает, что операция выполняется в переменных Лагранжа. Инварианты Коши связаны с завихренностью $\vec\omega(\omega_x,\omega_y,\omega_z)$ соотношением
$$
\begin{equation}
\vec\omega=J_0^{-1} (S_1\vec R_a+S_2\vec R_b+S_3\vec R_c).
\end{equation}
\tag{7}
$$
Если в качестве лагранжевых переменных выбрать начальные положения жидких частиц $X_0,Y_0,Z_0$, то справедливы следующие равенства:
$$
\begin{equation}
S_1=\omega_{x0},\qquad S_2=\omega_{y0},\qquad S_3=\omega_{z0},
\end{equation}
\tag{8}
$$
где $\omega_{x0},\omega_{y0},\omega_{z0}$ – компоненты начальной завихренности. Этот результат был получен Коши [1], [10]. В общем случае инварианты Коши связаны с завихренностью следующими соотношениями:
$$
\begin{equation}
S_1=J_0(\vec\omega\nabla a),\qquad S_2=J_0(\vec\omega\nabla b),\qquad S_3=J_0(\vec\omega\nabla c).
\end{equation}
\tag{9}
$$
Для двумерных течений $X$ и $Y$ зависят только от $a,b,t$, а $Z=c$. Как видно из (3), (4), инварианты $S_1$ и $S_2$ равны нулю. Точно так же равны нулю компоненты завихренности $\omega_x$ и $\omega_y$ (см. (7)). Компонента $\omega_z$ определяется выражением
$$
\begin{equation}
\omega_z=\frac{1}{J_0}\biggl|\frac{D(X_t,X)}{D(a,b)}+\frac{D(Y_t,Y)}{D(a,b)}\biggr| =\frac{S_3(a,b)}{J_0(a,b)}.
\end{equation}
\tag{10}
$$
Она является функцией лагранжевых координат и не зависит от времени. Это означает, что завихренность жидких частиц сохраняется. Инвариант $S_3$ пропорционален $\omega_z$.
2. Обобщенные волны ГерстнераТрадиционно в теории волн на воде давление на свободной поверхности полагают постоянным. Однако это условие может быть нарушено при наличии ветра. Эффект его влияния может быть учтен как действие неоднородного и нестационарного давления на свободной поверхности. Рассмотрим движение жидкости в плоскости $\mathrm{XY}$. Введем комплексные координаты траектории жидкой частицы
$$
\begin{equation*}
W=X+iY,\qquad \overline W=X-iY,\qquad X=X(a,b,t),\qquad Y=Y(a,b,t)
\end{equation*}
\notag
$$
и комплексные лагранжевы координаты В таком случае система уравнений (1), (5) может быть записана как условие независимости от времени двух якобианов [4], [12], [13]:
$$
\begin{equation}
\frac{D(W,\overline W)}{D(\chi,\bar\chi)}=J_0(\chi,\bar\chi),\qquad \frac{D(W_t,\overline W)}{D(\chi,\bar\chi)}=\frac{i}{2}S_3.
\end{equation}
\tag{11}
$$
Непосредственным вычислением можно показать, что где $G$, $F$ – аналитические функции, а $\lambda$ и $\mu$ – действительные числа, есть точное решение системы (11). Функции $G$ и $F$ в значительной степени произвольные, поскольку единственным ограничением на их выбор служит требование, чтобы в области течения якобиан $J_0$ не обращался в нуль. В течениях (12) частица движется по окружности радиуса $|F|$, центр которой вращается по окружности радиуса $|G|$. Если отношение частот $\mu$ и $\lambda$ положительное, то траекторией частицы служит эпициклоида, а если отрицательное, то гипоциклоида; число петель на кривой зависит от соотношения частот. По таким орбитам двигались планеты в птолемеевой картине мира, поэтому данный тип течений был назван птолемеевскими [12], [13]. Инвариант Коши для них имеет вид Волна Герстнера принадлежит к классу птолемеевских течений. Она описывается выражением
$$
\begin{equation}
W=\chi+iAe^{i(k\bar\chi-\omega t)},\qquad \operatorname{Im}\chi\leqslant 0,
\end{equation}
\tag{14}
$$
где $A$ – амплитуда, $k$ – волновое число, $\omega=\sqrt{gk}$ – частота волны [14]. Жидкие частицы движутся по окружностям. Волна имеет трохоидальный профиль и распространяется в горизонтальном направлении. Свойства волн Герстнера и их обобщения в гидродинамике и геофизике детально обсуждаются в работах [15], [16]. Давление на профиле волны Герстнера постоянно. Однако в присутствии ветра это условие может нарушаться. Эффект его воздействия можно моделировать заданием неоднородного и нестационарного распределения давления на свободной поверхности. Тем самым проблема сводится к изучению влияния граничных условий такого типа на эволюцию волны. В рамках такого подхода рассмотрим обобщения волн Герстнера. Будем полагать, что области течения в лагранжевых переменных соответствует нижняя полуплоскость, и движение описывается выражением Это движение принадлежит к семейству птолемеевских течений, однако, в отличие от волны Герстнера, функция $G$ может отличаться от линейной, а функция $F$ от экспоненты (см. (14)). Функция $G$ задает уровень, относительно которого вращаются частицы свободной поверхности, а модуль функции $F$ определяет радиус их кругового вращения (амплитуду волны). На глубине жидкость покоится, поэтому соответствующее условие имеет вид Поскольку функция аналитическая, она достигает максимума на свободной поверхности. Отсюда следует, что частицы, находящиеся на ней, обладают наибольшей амплитудой.Волновому решению (15) соответствует распределение давления
$$
\begin{equation}
\frac{p-p_0}{\rho}=-glm(G+Fe^{-i\omega t})+\frac{1}{2}\omega^2|F|^2 +\operatorname{Re}\biggl(e^{i\omega t}\int\omega^2G'\vec F\,d\chi\biggr),
\end{equation}
\tag{16}
$$
где $p_0$ – постоянная. В общем случае давление изменяется периодически со временем и неоднородно вдоль поверхности $\operatorname{Im}\chi=0$. Для волны Герстнера (14) давление (16) принимает вид В сущности, мы нашли целый класс точных решений, которые описывают сложную динамику свободной границы в случае неоднородного и гармонически изменяющегося давления на ней. Завихренность волн (15) задается соотношением а инвариант Коши равен Различные примеры обобщенных волн Герстнера (15) изучены в серии работ [17]–[21]. Их характеристики представлены в табл. 1. Птолемеевские решения позволяют проанализировать целый ряд нестационарных явлений. Мы рассмотрим динамику волны-убийцы на фоне волны Герстнера. Таблица 1.Примеры обобщенных волн Герстнера ($\alpha$ и $\beta$ – постоянные, различные для разных случаев).
На рис. 1 изображена динамика поверхности волны для выражения (15) с функциями $G$ и $F$, представленными в последнем ряду табл. 1. Численный счет был выполнен для случая $A=0.5$ м, $k=0.074$ м, $\alpha=12$ м, $\beta=328$ м$^3$, $\omega=\sqrt{gk}=0.85$ c$^{- 1}$, $\lambda=84.9$ м. В начальный момент ($t=0$) форма свободной поверхности (верхняя кривая) совпадает с профилем волны Герстнера. Позже на профиле начинает расти пик, который достигает максимума в момент $t=\pi/\omega$ и затем уменьшается и исчезает в конце периода. Его максимальная высота $h=2\beta/\alpha^2+A\approx 5.1$ м в восемь раз больше, чем амплитуда волны Герстнера $A$. Вследствие этого образование волнового всплеска можно рассматривать как рождение волны-убийцы (см. [22]). Причина этого – давление, действующее на свободной поверхности. Нижняя кривая на рис. 1 показывает отклонение давления на свободной поверхности от атмосферного давления $p_0$. В каждой ее точке давление изменяется со временем, отрицательный перепад давления в области пика волны составляет порядка 100 мм ртутного столба. Отметим, что вид инварианта Коши для рассмотренной волны (см. табл. 1 и соотношение (17)) – сложная функция от $a$, $b$. 3. Точные решения для волн с учетом вращения ЗемлиВыберем систему отсчета на поверхности вращающейся Земли, как показано на рис. 2. Ее начало находится на широте $\Phi$, ось $X$ направлена на восток, ось $Y$ – на север, а ось $Z$ – вертикально вверх. В этой системе отсчета вектор угловой скорости вращения Земли $\vec\Omega$ лежит в плоскости $\mathrm{YZ}$. Во вращающейся системе отсчета в дополнение к силе тяжести на каждую частицу будут действовать сила Кориолиса и центробежная сила, так что уравнение движения примет следующий вид [23]:
$$
\begin{equation}
\vec{R}_{tt}+2\vec\Omega\times\vec{R}_t =-\frac{1}{\rho}\nabla p+\nabla\Phi -\vec\Omega\times(\vec\Omega\times\vec R),
\end{equation}
\tag{18}
$$
здесь $\Phi=-gZ$ – геопотенциал. Центробежная сила имеет градиентный вид, и уравнение (18) может быть переписано так:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \vec{R}_{tt}+2\vec\Omega\times\vec{R}_t =-\nabla H, \\ H=\frac{p}{\rho}-\Phi+\Phi_{\mathrm c},\qquad \Phi_{\mathrm c}=-\frac{1}{2}(\vec\Omega\times\vec R)^2, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{19}
$$
где $\Phi_{\mathrm c}$ – потенциал центробежных сил. Умножая скалярно уравнение (19) на $\vec{R}_{a_i}$, получим уравнения движения в лагранжевых координатах:
$$
\begin{equation}
\vec{R}_{tt}\vec{R}_{a_i} +2(\vec\Omega,\vec{R}_t,\vec{R}_{a_i}) =-H_{a_i},\qquad i=1,2,3,\qquad \{a_i\}=\{a,b,c\}.
\end{equation}
\tag{20}
$$
Вместе с уравнением непрерывности (1) три уравнения (20) составляет систему уравнений идеальной несжимаемой жидкости во вращающейся системе отсчета. Второе слагаемое в левой части представляет смешанное произведение. Ниже будут рассмотрены два типа волнового движения: а) проекции угловой скорости Земли можно считать неизменными во всей области течения: параметры Кориолиса $f=2\Omega_Z=2\Omega\sin\Phi$ и $\tilde f=2\Omega_Y-2\Omega\cos\Phi$ считаются постоянными (приближение $f$-плоскости); б) приэкваториальные течения находятся в полосе низких широт $\Phi Y/R$, $R$ – радиус Земли; параметры Кориолиса равны $f=\beta Y$, $\beta=2\Omega/R$ и $\tilde f=2\Omega$ (приближение $\beta$-плоскости). Представление для вектора $\vec\Omega$ в этих случаях будет разным, но оба случая можно рассмотреть с единых позиций [24], [25]. Исключим градиентный член из уравнения (20) взятием перекрестных производных и после промежуточных вычислений получим следующие уравнения:
$$
\begin{equation}
\vec{R}_{ta_i}\vec{R}_{a_j}- \vec{R}_{ta_j}\vec{R}_{a_i} +2(\vec\Omega,\vec{R}_{a_i},\vec{R}_{a_j}) =S_k(a,b,c),\qquad i,j=1,2,3,\quad i\ne j\ne k,
\end{equation}
\tag{21}
$$
пары $a_i$, $a_j$ выбираются из тройки координат $a$, $b$, $c$ перестановками по кругу. Уравнение (21) эквивалентно условию сохранения для инвариантов $S_1$, $S_2$, $S_3$. Если $\vec\Omega=0$, это уравнение совпадает с системой (3)–(5). 3.1. Волны Герстнера во вращающейся жидкостиВ приближении $f$-плоскости Поллард нашел точное решение [26]:
$$
\begin{equation}
\begin{cases} X=a-\dfrac{Am}{k}e^{mc}\sin[k(a-Ut)], \\ Y=b+f\dfrac{Am}{k^2U}e^{mc}\cos[k(a-Ut)], \\ Z=c+Ae^{mc}\cos[k(a-Ut)], \end{cases}
\end{equation}
\tag{22}
$$
где $A$ и $m$ – положительные постоянные, $k$ и $U$ – соответственно волновое число и фазовая скорость волны. Подставляя (22) в уравнение непрерывности (1), найдем Пусть $c=c_0$ соответствует свободной поверхности. Область течения задается условием $c\leqslant c_0<0$. Для однозначности отображения (22) ($J_0\ne 0$) необходимо выполнение неравенства $A\leqslant 1/[me^{mc}]$. Оно обеспечивает отсутствие самопересечений на профиле волны (в волне Герстнера роль параметра $m$ играет волновое число). Подставляя (22) в выражения (21), вычислим обобщенные инварианты Коши:
$$
\begin{equation*}
S_1=0,\qquad S_2=m(k^2-m^2)UA^2e^{2mc}+\tilde f(1-m^2A^2e^{2mc}),\qquad S_3=f.
\end{equation*}
\notag
$$
Из уравнений (21) также находится параметр $m$: Таким образом, в решении (22) остается только один свободный параметр $A$, определяющий амплитуду волны.Колебания жидких частиц экспоненциально затухают с глубиной, так что выполняется условие непротекания на дне $(c\to -\infty)$. Для нахождения давления подставим выражения (22) в уравнения (20) и пренебрежем центробежной силой. Выражение для давления принимает вид
$$
\begin{equation}
p-p_0=\rho\frac{mgA^2}{2}[e^{2mc}-e^{2mc_0}]-\rho g(c-c_0).
\end{equation}
\tag{24}
$$
Как и для волны Герстнера, давление зависит только от вертикальной лагранжевой координаты. При вычислении (24) находится дисперсионное уравнение волны (условие независимости давления от времени): Если вращение отсутствует (параметры Кориолиса равны нулю), это выражение переходит в дисперсионное соотношение для волн Герстнера. Волна распространяется с запада на восток, и ее гребни параллельны оси $Y$. Из соотношений (22), (23) следует, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, (X-a)^2+(Y-b)^2+(Z-c)^2&=\frac{m^2A^2}{k^2}e^{2mc}, \\ Y-f\frac{m}{k^2U}Z-b+f\frac{m}{k^2U}c&=0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
С одной стороны, жидкие частицы движутся вдоль поверхности сферы, а с другой – остаются в плоскости, составляющей угол $\gamma= \operatorname{arctg} (fm/k^2U)$ с осью $Z$. Поэтому их траекториями служат окружности, лежащие в этой плоскости. Центр каждой такой окружности располагается в точке с координатами $(a,b,c)$, которые не совпадают с начальным положением частиц; радиус вращения равен $mA e^{2mc}/k$. Задавая $c=c_0$ в (22), получим параметрическое представление поверхности волны: для фиксированного параметра $b$ это трохоида в плоскости, расположенной под углом $\gamma$ к оси $Z$. На экваторе $f=0$, $m=k$ и решение Полларда трансформируется в волну Герстнера (роль $b$ теперь играет координата $c$). Частицы вращаются в плоскости $XZ$, при $f\ne 0$ плоскость их колебаний наклоняется в каждом полушарии к соответствующему полюсу. Однако, как заключил сам Поллард [26], величина этого угла крайне мала. 3.2. Захваченные волны в приэкваториальной областиВблизи экватора в приближении $\beta$-плоскости уравнения (21) принимают вид [25]
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \frac{D(X_t,X)}{D(b,c)}+\frac{D(Y_t,Y)}{D(b,c)} +\frac{D(Z_t,Z)}{D(b,c)}+2\Omega\frac{D(Z,X)}{D(b,c)} +\beta Y\frac{D(X,Y)}{D(b,c)}&=S_1(a,b,c), \\ \frac{D(X_t,X)}{D(c,a)}+\frac{D(Y_t,Y)}{D(c,a)} +\frac{D(Z_t,Z)}{D(c,a)}+2\Omega\frac{D(Z,X)}{D(c,a)} +\beta Y\frac{D(X,Y)}{D(c,a)}&=S_2(a,b,c), \\ \frac{D(X_t,X)}{D(a,b)}+\frac{D(Y_t,Y)}{D(a,b)} +\frac{D(Z_t,Z)}{D(a,b)}+2\Omega\frac{D(Z,X)}{D(a,b)} +\beta Y\frac{D(X,Y)}{D(a,b)}&=S_3(a,b,c), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{25}
$$
Константин [27] нашел точное решение этой системы:
$$
\begin{equation}
\begin{cases} X=a-\dfrac{1}{k}e^{k[c-h(b)]}\sin[k(a-Ut)], \\ Y=b, \\ Z=c+\dfrac{1}{k}e^{k[c-h(b)]}\cos[k(a-Ut)]. \end{cases}
\end{equation}
\tag{26}
$$
где $h(b)=\beta b^2/(2(kU+2\Omega))$ и фазовая скорость равна Соотношения (26) описывают экваториальные поверхностные волны, распространяющиеся на восток со скоростью $U$. Это периодические пространственные волны, амплитуда которых экспоненциально убывает в меридиональном направлении. Вследствие этого они называются захваченными. Для $h=0$ выражения (26) переходят в решение Герстнера. Дополнительный экспоненциально затухающий множитель в выражении для амплитуды – “изюминка” этого решения. Обобщенные инварианты Коши для волн (26) имеют вид [23]
$$
\begin{equation}
S_1=0,\quad\! S_2=2\Omega-2(kU+\Omega)e^{2\xi},\quad\! S_3=\beta b\biggl[1-\frac{2(kU+\Omega)}{kU+2\Omega}e^{2\xi}\biggr],\quad\! \xi=k[c-h(b)].
\end{equation}
\tag{27}
$$
Зональная компонента вектора $\vec S\{S_1,S_2,S_3\}$ равна нулю. Завихренность $\vec\omega$ для волн (26) определяется равенствами
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \vec\omega=S_0^{-1}\{-bkU^2g^{-1}\beta e^\xi\sin\theta, -2kUe^{2\xi},bkU^2g^{-1}\beta(e^\xi\cos\theta-e^{2\xi})\}, \\ J_0^{-1}=1-e^{2\xi},\qquad \theta=k(a-Ut). \end{gathered}
\end{equation}
\tag{28}
$$
Все три ее компоненты ненулевые, причем зональная и вертикальная компоненты зависят от времени. Сравнение формул (27) и (28) показывает различие между вектором завихренности и вектором инвариантов Коши.
4. ЗаключениеИнварианты Коши – важное понятие лагранжева подхода. Они были открыты в начале XIX века, но впоследствии были основательно забыты. Настоящая статья – попытка вернуть к ним внимание. Вид и свойства этих инвариантов рассмотрены на основе точных решений для гравитационных волн на глубокой воде. Конфликт интересовАвторы заявляют, что у них нет конфликта интересов. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{AbrPel23} |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|