| Теоретическая и математическая физика |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) Минимизация числа гетероклинических кривых 3-диффеоморфизма с неподвижными точками, имеющими попарно различные индексы Морса О. В. Починкаa, Е. А. Талановаab a Национальный исследовательский университет – Высшая школа экономики в Нижнем Новгороде, Нижний Новгород, Россия b Нижегородский государственный университет им. Н. И. Лобачевского, Нижний Новгород, Россия
Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2023, Volume 215, Issue 2, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0040577923050112 
Реферативные базы данных:
   1. Введение и формулировка результатовВ настоящей работе рассмотрен класс $G$ сохраняющих ориентацию диффеоморфизмов Морса–Смейла, заданных на замкнутом 3-многообразии, неблуждающее множество которых состоит в точности из четырех неподвижных точек с попарно различными индексами Морса. Известно [1], что инвариантные многообразия седловых точек рассматриваемого диффеоморфизма могут быть дико вложенными (см. рис. 1). Из-за этого топология многообразий, допускающих такие диффеоморфизмы, до сих пор не изучена и является открытой проблемой. В случае ручного вложения седловых сепаратрис несущим многообразием рассматриваемых диффеоморфизмов являются линзовые пространства [2]. В работе [3] было доказано, что для любого диффеоморфизма $f\in G$, заданного на многообразии, отличном от линзы $\mathbb{S}^2\times\mathbb{S}^1$, множество гетероклинических кривых непусто и содержит как минимум одну некомпактную кривую. Все гетероклинические кривые диффеоморфизма $f\in G$ принадлежат двумерному устойчивому многообразию $W^{\mathrm s}_{\sigma^1_f}$ седловой точки $\sigma^1_f$ с индексом Морса 1 и двумерному неустойчивому многообразию $ W^{\mathrm u}_{\sigma^2_f}$ седловой точки $\sigma^2_f$ с индексом Морса 2. Положим
$$
\begin{equation*}
H_f=W^{\mathrm s}_{\sigma^1_f}\cap W^{\mathrm u}_{\sigma^2_f}.
\end{equation*}
\notag
$$
Если гетероклиническая кривая $\gamma\subset H_f$ некомпактна, то она содержит вместе с любой точкой $x\in\gamma$ точку $f(x)$. Будем считать кривую $\gamma$ ориентированной в направлении от $x$ к $f(x)$. Также зафиксируем ориентацию на многообразиях $W^{\mathrm s}_{\sigma^1_f}$ и $W^{\mathrm u}_{\sigma^2_f}$. Для некомпактной гетероклинической кривой $\gamma$ обозначим через $v_\gamma=(\vec v^{\,1}_\gamma,\vec v^{\,2}_\gamma,\vec v^{\,3}_\gamma)$ тройку векторов с началом в точке $x\in\gamma$, таких что $\vec v^{\,1}_\gamma$ – вектор нормали к $W^{\mathrm s}_{\sigma^1_f}$, $\vec v^{\,2}_\gamma$ – вектор нормали к $W^{\mathrm u}_{\sigma^2_f}$ и $\vec v^{\,3}_\gamma$ – касательный вектор к ориентированной кривой $\gamma$. Назовем $v_\gamma$ репером некомпактной гетероклинической кривой $\gamma$. Очевидно, что ориентация (правая или левая) репера $v_\gamma$ не зависит от выбора точки $x$ на $\gamma$. Множество $H_f$ назовем ориентируемым, если оно состоит только из некомпактных кривых, и реперы всех кривых в $H_f$ имеют одинаковую ориентацию (см. рис. 2). Основным результатом настоящей работы является доказательство следующего факта. Теорема 1. Пусть многообразие $M^3$ допускает диффеоморфизм $f\in G$ с по крайней мере одной некомпактной гетероклинической кривой. Тогда это многообразие также допускает диффеоморфизм $f'\in G$ с ориентируемым множеством гетероклинических кривых. 2. Динамика диффеоморфизмов из класса $G$В настоящем разделе мы описываем некоторые динамические свойства диффеоморфизма $f\in G$. Из определения класса следует, что неблуждающее множество $\Omega_f$ диффеоморфизма $f$ состоит в точности из четырех точек $\omega_f$, $\sigma_f^1$, $\sigma_f^2$, $\alpha_f$ с индексами Морса $0$, $1$, $2$, $3$ соответственно. В силу того, что у диффеоморфизма $f$ отсутствуют пересечения одномерных сепаратрис седловых точек с двумерными, одномерные седловые многообразия содержат в своих замыканиях единственную узловую точку (см. предложение 2.3 в [4]). А именно,
$$
\begin{equation*}
\operatorname{cl}(W^{\mathrm u}_{\sigma_f^1})=W^{\mathrm u}_{\sigma_f^1}\cup\omega_f,\qquad \operatorname{cl}(W^{\mathrm s}_{\sigma_f^2})=\alpha_f\cup W^{\mathrm s}_{\sigma_f^2}.
\end{equation*}
\notag
$$
При этом множества $A_f=\operatorname{cl}(W^{\mathrm u}_{\sigma_f^1})$, $R_f=\operatorname{cl}(W^{\mathrm s}_{\sigma_f^2})$ являются попарно не пересекающимися топологически вложенными окружностями [4] (см. предложение 2.3), возможно, дикими в узловых точках (см. рис. 1). Поскольку пересечение $H_f=W^{\mathrm s}_{\sigma_f^1}\cap W^{\mathrm u}_{\sigma_f^2}$ непусто, в силу теоремы 2.1 из [4]
$$
\begin{equation*}
\operatorname{cl}(W^{\mathrm s}_{\sigma_1})=W^{\mathrm s}_{\sigma_f^1}\cup R_f,\qquad \operatorname{cl}(W^{\mathrm u}_{\sigma_f^2})=W^{\mathrm u}_{\sigma_f^2}\cup A_f.
\end{equation*}
\notag
$$
В силу теоремы 1.1 из [5] множества $A_f$ и $R_f$ являются глобальными аттрактором и репеллером соответственно. Положим В силу теоремы 1.2 из [5] пространство орбит $\widehat V_f=V_f/f$ является гладким замкнутым ориентируемым 3-многообразием, а естественная проекция $p_f\colon V_f\to\widehat V_f$ является накрытием и индуцирует эпиморфизм ставящий в соответствие элементу $[\hat c]\in\pi_1(\widehat V_f)$ число $\mu\in\mathbb{Z}$, такое что любое поднятие элемента $\hat c$ соединяет точку $x\in V_f$ с точкой $f^{\mu}(x)$. Положим
$$
\begin{equation*}
T^{\mathrm s}_f=p_f(W^{\mathrm s}_{\sigma_f^1}),\qquad T^{\mathrm u}_f=p_f(W^{\mathrm u}_{\sigma_f^2}),\qquad C_f=p_f(H_f).
\end{equation*}
\notag
$$
3-Многообразие $X$ называется неприводимым, если любая 2-сфера, цилиндрически вложенная в $X$, ограничивает в нем 3-шар. Топологически вложенная в 3-многообразие $X$ поверхность $F$ называется собственно вложенной, если $\partial X\cap F=\partial F$. Собственно вложенная в $X$ поверхность $F$ называется сжимаемой в $X$ в одном из следующих двух случаев:
Поверхность $F$, не являющаяся сжимаемой в $X$, называется несжимаемой в $X$. Предложение 1 (лемма 2 в [6]). Для любого диффеоморфизма $f\in G$ справедливо следующее (см. рис. 3):
Пусть $U_A$ – захватывающая окрестность аттрактора $A_f$. Введем обозначение $F_A=U_A\backslash f(U_A)$, тогда $\operatorname{cl}(F_A)$ – фундаментальная область ограничения диффеоморфизма $f$ на $V_f$. Положим $\widehat V_A=\operatorname{cl}(F_A)/f$, тогда $\widehat V_A$ – гладкое замкнутое 3-многообразие, полученное из $\operatorname{cl}(F_A)$ отождествлением границ в силу диффеоморфизма $f$. Обозначим через $p_A\colon\operatorname{cl}(F_A)\to\widehat V_A$ естественную проекцию. Рассмотрим семейство $E_f\in Dif\kern-1pt f(M^3)$ диффеоморфизмов Морса–Смейла, таких что для любого диффеоморфизма $f'\in E_f$ имеет место равенство $\Omega_{f'}=\Omega_f$ и диффеоморфизм $f'$ совпадает с диффеоморфизмом $f$ на $U_A$ и в некоторой окрестности репеллера $R_f$. Для любого диффеоморфизма $f'\in E_f$ положим $\hat l^{\,\mathrm s}_{f'}=p_A(W^{\mathrm s}_{\sigma_f^1}\cap F_A)$ и $\hat l^{\,\mathrm u}_{f'}=p_A(W^{\mathrm u}_{\sigma_f^2}\cap F_A)$. Предложение 2 (лемма 1 в [6]). Пусть $\hat h\colon\widehat V_A\to\widehat V_A$ есть изотопный тождественному диффеоморфизм. Тогда существует гладкое по $t$ семейство диффеоморфизмов $\zeta_t\subset E_f$, такое что $\zeta_0=f$, $\zeta_1=f'$ и $\hat l^{\mathrm u}_{f'}=\hat h(\hat l^{\mathrm u}_f)$, $\hat l^{\mathrm s}_{f'}=\hat l^{\mathrm s}_f$. Предложение 3 (теорема 1 в [6]). Пусть многообразие $M^3$ допускает диффеоморфизм $f\in G$. Тогда это многообразие также допускает диффеоморфизм $f'\in G$, не имеющий компактных гетероклинических кривых, стягиваемых на $W^{\mathrm s}_{\sigma^1_f}\backslash\sigma^1_f$. 3. Минимизация числа гетероклинических кривыхВ настоящем разделе мы доказываем теорему 1: если многообразие $M^3$ допускает диффеоморфизм $f\in G$ с по крайней мере одной некомпактной гетероклинической кривой, то это многообразие допускает диффеоморфизм $f'\in G$ с ориентируемым множеством гетероклинических кривых. Доказательство. Пусть $f\in G$ и множество $H_f$ непусто. В силу предложения 3, не уменьшая общности, можно считать, что множество $H_f$ не содержит компактных гетероклинических кривых. Тогда $H_f$ состоит только из некомпактных гетероклинических кривых, и с каждой такой кривой связан либо положительный, либо отрицательный репер. Покажем, что если множество $H_f$ неориентируемо, то число кривых в нем можно уменьшить как минимум на две.
Для этого заметим, что в силу предложения 1 множество $C_f=p_f(H_f)$ состоит из простых замкнутых кривых $c$, таких что $\eta_f([c])\neq 0$. Следовательно, каждая такая кривая является существенной на обоих торах $T^{\mathrm s}_f$, $T^{\mathrm u}_f$. Поскольку отображение $p_f$ является накрытием, с каждой такой кривой также связан положительный или отрицательный репер, соответствующий кривой $\gamma\subset H_f$, такой что $c=p_f(\gamma)$. Кривые из множества $C_f$ имеют одинаковый гомотопический тип на торе $T^{\mathrm s}_f$ (на торе $T^{\mathrm u}_f$), см., например, [7], поэтому множество $T^{\mathrm s}_f\backslash C_f$ (соответственно множество $T^{\mathrm u}_f\backslash C_f$) состоит из конечного числа колец. В силу неориентируемости множества $H_f$ найдутся кривые $c_{+},c_{-}\subset C_f$, имеющие соответственно положительный и отрицательный репер и ограничивающие компоненту связности $K^{\mathrm s}$ множества $T^{\mathrm s}_f\backslash C_f$, а также компоненту связности $K^{\mathrm u}$ множества $T^{\mathrm u}_f\backslash C_f$ (см. рис. 4). Таким образом, множество $T=K^{\mathrm s}\cup K^{\mathrm u}\cup c_{+}\cup c_{-}$ является двумерным тором. Покажем, что тор $T$ ограничивает заполненный тор в $\widehat V_f$, внутренность которого не пересекается с $T^{\mathrm s}_f\cup T^{\mathrm u}_f$. Действительно, рассмотрим трубчатую окрестность $N^{\mathrm s}$ тора $T^{\mathrm s}_f$. Тогда в точности одна из компонент связности границы множества $N^{\mathrm s}\cup K^{\mathrm u}$ является тором $T'$ в $\widehat V_f$, таким что $(T'\cap T^{\mathrm u}_f)\subset K^{\mathrm u}$. Рассмотрим пространство орбит $\widehat V_{\omega_f}=(W^{\mathrm s}_{\omega_f}\backslash\omega_f)/f$. Согласно предложению 2.3 в [4] оно диффеоморфно многообразию $\mathbb{S}^2\times\mathbb{S}^1$. Обозначим через $p_\omega$ естественную проекцию $p_{\omega_f}\colon W^{\mathrm s}_{\omega_f}\backslash\omega\to\widehat V_{\omega_f}$. Положим $\hat A_f=p_{\omega_f}(A_f\backslash\sigma^1_f)$. В силу предложения 2.3 в [4] $\hat A_f$ – пара окружностей, гладко вложенных в $\widehat V_{\omega_f}$. С другой стороны, в силу теоремы 2.1 в [4]
$$
\begin{equation*}
M^3=W^{\mathrm s}_{\omega_f}\cup W^{\mathrm s}_{\sigma_f^1}\cup W^{\mathrm s}_{\sigma_f^2}\cup W^{\mathrm s}_{\alpha_f}.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда $V_f\backslash W^{\mathrm s}_{\sigma_1}=W^{\mathrm s}_\omega\backslash A_f$, следовательно, многообразия $\widehat V_f\backslash T^{\mathrm s}_f$ и $\widehat V_{\omega_f}\backslash\hat A_f$ гомеоморфны. При этом торы $p_{\omega_f}(p_f^{-1}(\partial N^{\mathrm s}))$ ограничивают трубчатые окрестности $N_{\hat A_f}$ узлов $\hat A_f$ в многообразии $\widehat V_{\omega_f}$. Также корректно определен тор $\widetilde T'=p_{\omega_f}(p_f^{-1}(T'))$, пересекающийся с трубчатой окрестностью одного из узлов по гомотопически нетривиальному кольцу $\widetilde K^{\mathrm s}$ (см. рис. 5). Таким образом, тор $\widetilde T'$ гомотопически нетривиально вложен в $\widehat V_{\omega_f}$. Поскольку заполненные торы $N_{\hat A_f}$ также гомотопически нетривиально вложены в $\widehat V_{\omega_f}$, они не содержатся там ни в каком 3-шаре. Тем самым многообразие $\widetilde W=\widehat V_{\omega_f}\backslash\operatorname{int}N_{\hat A_f}$ неприводимо, следовательно, тор $\widetilde T'$ ограничивает в этом многообразии заполненный тор $\widetilde V'$ (см., например, [8], § 1.2, п. (4)). Каждая компонента связности множества $p_{\omega_f}(W^{\mathrm u}_{\sigma^2_f}\backslash(H_f\cup\sigma^2_f))$ имеет непустое пересечение с множеством $\operatorname{int}N_{\hat A_f}$, поэтому
$$
\begin{equation*}
\operatorname{int}\widetilde V'\cap p_{\omega_f}(W^{\mathrm u}_{\sigma^2_f}\backslash(H_f\cup\sigma^2_f))=\varnothing.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда $p_f(p_{\omega_f}^{-1}(\widetilde V'))$ – заполненный тор в $\widehat V_f$, который в объединении с частью окрестности $N^{\mathrm s}$ дает искомый заполненный тор. Обозначим как $T^{\prime\,\mathrm u}_f$ двумерный тор, полученный сглаживанием тора $(T^{\mathrm u}_f\backslash K^{\mathrm u})\cup K^{\mathrm s}$, такой что $T^{\prime\,\mathrm u}_f\cap T^{\mathrm s}_f=\varnothing$ вблизи кривых $c_{+}$, $c_{-}$. По построению существует изотопный тождественному диффеоморфизм $\hat h\colon\widehat V_f\to\widehat V_f$, для которого $\hat h(T^{\mathrm u}_f)=T^{\prime\,\mathrm u}_f$. Тогда в силу предложения 2 существует дуга $\zeta_t\subset E_f$, такая что $\zeta_0=f$, $\zeta_1=f'$ и $T^{\mathrm u}_{f'}=T^{\prime\,\mathrm u}_f$, $T^{\mathrm s}_{f'}=T^{\mathrm s}_f$. Соответственно, диффеоморфизм $f'\in G$ задан на том же многообразии $M^3$, что и $f$, но имеет на две гетероклинические кривые меньше. Продолжая этот процесс, мы построим в классе $G$ диффеоморфизм $g:M^3\to M^3$ с ориентируемым множеством $H_g$, что и завершает доказательство теоремы. Конфликт интересовАвторы заявляют, что у них нет конфликта интересов.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{PocTal23} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|