| Теоретическая и математическая физика |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 2 научных статьях (всего в 2 статьях) Применение тригональной кривой к иерархии обобщенной цепочки Тоды Цю-Лань Чжаоa, Цай-Сюэ Ли, Синь-Юэ Ли a College of Mathematics and Systems Science, Shandong University of Science and Technology, Shandong, China
Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2023, Volume 215, Issue 1, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0040577923040037 
Реферативные базы данных:
   1. Введение
$$
\begin{equation}
\frac{\partial^2y}{\partial{t^2}}=\exp(y^{-}-y)-\exp(y-y^{+}),\qquad y=y(n,t),\quad (n,t)\in\mathbb{Z}\times\mathbb{R},
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
представляет собой систему абсолютно интегрируемых уравнений с экспоненциальным взаимодействием. Она была открыта при поиске системы со строгим периодическим решением, при этом экспоненциальное взаимодействие использовалось для объяснения неэргодического характера знаменитой проблемы Ферми–Пасты–Улама [3]. Цепочка Тоды обладает многочисленными математическими структурами и рассматривается как модель разнообразных физических явлений. С ней тесно связаны или выводятся из нее с помощью определенных предположений такие известные уравнения, как нелинейное уравнение Шредингера и уравнение Кортевега–де Фриза [4], [5]. Кроме того, задавая различные математические модели, можно использовать систему Тоды для описания движения цепочки частиц со взаимодействием ближайших соседей; также она применяется в биологии как типичная модель цепочки ДНК [6]. Следует заметить, что с помощью преобразования переменных $\varpi=-\exp(y-y^{+})$, $x=y_t$ цепочку Тоды можно переписать как
$$
\begin{equation}
\varpi_t=\varpi(x-x^{+}),\qquad x_t=\varpi-\varpi^{-}.
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
По мере роста внимания исследователей к цепочке Тоды с тех пор, как она была предложена, для нее применялось разнообразные математические методы, и были получены многочисленные результаты [7]–[12]. Как один из наиболее эффективных инструментов исследования для исследования системы Тоды широко используются методы алгебраической геометрии. Математическая теория алгебро-геометрического подхода разрабатывается с начала 1970-х гг. по мере развития метода конечнозонного интегрирования, представленного в работах Новикова, Матвеева, Итса и др. [13], [14]. Получающиеся решения могут не только описывать свойства интегрируемости уравнений, но и раскрывать внутреннюю структуру решений солитонных уравнений [15]–[18]. Для ($2\times 2$)-матричных спектральных задач уже были получены алгебро-геометрические решения соответствующих солитонных уравнений, выражающиеся через тета-функции Римана на гиперэллиптической кривой [19]–[21]. Однако исследования алгебро-геометрических решений солитонных уравнений третьего порядка очень немногочисленны. Наиболее известный классический результат связан с уравнением Буссинеска, для которого дифференциальные операторы третьего порядка, содержащиеся в этом уравнении, изучались в рамках теории редукции тета-функций Римана [22]. Позже с помощью специального алгоритма были получены конечнозонные гладкие решения нелинейного уравнения Шредингера [23]. В 1999 г. Диксон, Гестези и Унтеркофлер предложили единую структуру, которая дает все алгебро-геометрические решения полной иерархии Буссинеска, связанной с дифференциальным оператором третьего порядка [24]. В работах [25], [26] на основе предложенной ранее схемы был разработан систематический метод введения тригональной кривой с помощью характеристического полинома матрицы Лакса, ассоциированного с матричной спектральной задачей высшего порядка. Этот метод позволил обобщить алгебро-геометрический подход и получить решения непрерывных иерархий в случае матриц размера $3\times 3$. Затем методы алгебраической геометрии были распространены на дискретные иерархии третьего порядка [27], [28]. В настоящей работе мы вводим тригональную кривую для определения функции Бейкера-Ахиезера $\Xi$ и соответствующей мероморфной функции $\Theta$, после этого солитонные уравнения расщепляются и принимают вид разрешимых обыкновенных дифференциальных уравнений типа Дубровина. В результате можно дополнительно проанализировать свойства введенных функций. Используя в качестве основы подход алгебраической геометрии, мы применяем его к дискретной иерархии обобщенной цепочки Тоды третьего порядка
$$
\begin{equation}
\begin{alignedat}{3} q_t&=2rq^{--}q^{-}-\frac{s^{+}q}{s},&\qquad r_t&=\frac{s}{s^{-}}-\frac{s^{+}}{s}+2(qv^{+}-q^{-}v), \\ s_t&=-qsv-rs,&\qquad v_t&=\frac{qs}{s^{-}}-2rv+2v^{-}, \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{1.3}
$$
которая переходит в систему (1.2) при $q=0 $, $r=\varpi^{+}$, $x=s/s^{-}$, $v=0$. Гамильтонова система для (1.3) была построена в работе [29]. Статья организована следующим образом. В разделе 2 с помощью рекуррентных соотношений Ленарда введены разностные операторы $K_n$ и $J_n$, а затем из уравнения нулевой кривизны получена иерархия (1.3). В разделе 3 определена тригональная кривая $\mathcal K_{l-1}$, задающаяся через характеристический полином пары Лакса для иерархии (1.3), из которого можно найти функции $\Xi$ и $\Theta$. В разделе 4 проанализированы свойства полученных функций в случае, когда они не зависят от времени, и введены абелевые дифференциалы, а затем потенциалы пары Лакса выражены через тета-функции Римана. В разделе 5 мы применяем анализ двух предыдущих разделов к случаю, когда имеется зависимость от времени, и записываем иерархию (1.3) как разделенную систему разрешимых обыкновенных дифференциальных уравнений типа Дубровина. Затем мы выпрямляем потоки и выражаем функции $\Xi$ и $\Theta$ через тета-функции Римана. Таким образом, мы получаем алгебро-геометрические решения иерархии (1.3) и в случае низкого рода кривой записываем представление потенциалов через тета-функции Римана. В разделе 6 мы суммируем содержание статьи и делаем соответствующие замечания. 2. Иерархия обобщенной цепочки ТодыПредположим что функции $q$, $r$, $s$, $v$ удовлетворяют следующим условиям: в стационарном случае
$$
\begin{equation*}
q(n,\,{\cdot}\,), r(n,\,{\cdot}\,), s(n,\,{\cdot}\,), v(n,\,{\cdot}\,)\in C^1(\mathbb{R}),
\end{equation*}
\notag
$$
в случае зависимости от времени
$$
\begin{equation*}
q(\,{\cdot}\,,t), r(\,{\cdot}\,,t), s(\,{\cdot}\,,t), v(\,{\cdot}\,,t)\in\mathbb{C}^{\,\mathbb{Z}},\qquad t\in\mathbb{R},
\end{equation*}
\notag
$$
где $\mathbb{C}^{\,\mathbb{Z}}$ – множество комплекснозначных функций от целочисленной переменной. Для комплексной последовательности $\hbar=\{\hbar(n)\}_{n\in\mathbb{Z}}$ зададим операторы сдвига $E^{\pm}$,
$$
\begin{equation*}
(E^{\pm}\hbar)(n)=\hbar(n\pm 1),\qquad n\in\mathbb{Z},
\end{equation*}
\notag
$$
и будем писать $\hbar^{\pm}=E^{\pm}\hbar$ для $\hbar\in\mathbb{C}^{\,\mathbb{Z}}$. Мы рассматриваем ($3\times 3$)-матричную спектральную задачу [29]
$$
\begin{equation}
E\Xi=U\Xi,\qquad \Xi=\begin{pmatrix} \Xi_1 \\ \Xi_2 \\ \,\Xi_3\, \end{pmatrix},\qquad U=\begin{pmatrix} 1 & q & 0 \\ v & \lambda+r & s \\ 0 & -1/s & 0 \end{pmatrix},
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
где $q$, $r$, $s$, $v$ – потенциалы и $\lambda$ – постоянная. Запишем рекуррентные соотношения Ленарда
$$
\begin{equation}
\begin{alignedat}{3} K_n\tilde g_j&=J_n\tilde g_{j+1}, & \qquad \tilde g_j&=(\tilde a_j,\tilde b_j,\tilde c_j,\tilde d_j)^{\mathrm T}, \\ K_n\bar g_j&=J_n\bar g_{j+1}, & \qquad \bar g_j&=(\bar a_j,\bar b_j,\bar c_j,\bar d_j)^{\mathrm T} \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
с начальными значениями
$$
\begin{equation}
\tilde g_0=(1,0,-1,0)^{\mathrm T},\qquad \bar g_0=(-1,0,2,0)^{\mathrm T}
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
и зададим два разностных оператора $J_n$ и $K_n$,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, J_n&=\begin{pmatrix} 0 & E & 0 & 0 \\ 0 & 0 & E-1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & s^2E \\ -\dfrac{1}{q}(E-1) & -\dfrac{v}{q}E & 0 & 0 \end{pmatrix}, \\ K_n&=\begin{pmatrix} -qE & K_{12} & q & \dfrac{1}{s}Eq{s}^2E \\ -qE\dfrac{1}{q}(E-1) & v-qE\dfrac{v}{q}E & -r(E-1) & s-\dfrac{1}{s}E{s}^2E \\ -s & vsE & -sE-s & K_{34} \\ K_{41} & K_{42} & -vE & -sE^{-1}vE \end{pmatrix}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, K_{12}&=1+\frac{1}{s}EsE-rE,\qquad K_{34}=vq{s}^2E-r{s}^2E, \\ K_{41}&=(r-E)\frac{1}{q}(E-1)+\frac{s(E^{-1}-1)}{s^{-}q^{-}}+v, \\ K_{42}&=-E\frac{v}{q}+\frac{rv}{q}E-\frac{sE^{-1}vE}{s^{-}q^{-}}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
Тогда можно найти $\tilde g_j$ и $\bar g_j$ с помощью операторов $K_n$ и $J_n$, первые члены последовательностей имеют вид
$$
\begin{equation}
\tilde g_1=\biggl(1,-2q^{-},0,\frac{1}{s^{-}}\biggr)^{\!\mathrm T},\qquad \bar g_1=\biggr(1,3q^{-},1,-\frac{3}{s^{-}}\biggr)^{\!\mathrm T}.
\end{equation}
\tag{2.5}
$$
Для вывода иерархии, связанной со спектральной задачей (2.1), запишем стационарное уравнение нулевой кривизны:
$$
\begin{equation}
(E\Gamma)U-U\Gamma=0,\qquad \Gamma=(\Gamma_{ij})_{3\times 3}=\begin{pmatrix} \Gamma_{11} & \Gamma_{12} & \Gamma_{13} \\ \Gamma_{21} & \Gamma_{22} & \Gamma_{23} \\ \Gamma_{31} & \Gamma_{32} & -\Gamma_{11}-\Gamma_{22} \end{pmatrix},
\end{equation}
\tag{2.6}
$$
или, поэлементно,
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &E\Gamma_{11}+vE\Gamma_{12}-\Gamma_{11}-q\Gamma_{21}=0, \\ &qE\Gamma_{11}+{(r+\lambda)}E\Gamma_{12}-\frac{1}{s}E\Gamma_{13}-\Gamma_{12}-q\Gamma_{22}=0, \\ &sE\Gamma_{12}-\Gamma_{13}-q\Gamma_{23}=0, \\ &E\Gamma_{21}+vE\Gamma_{22}-v\Gamma_{11}-(r+\lambda)\Gamma_{21}-s\Gamma_{31}=0, \\ &qE\Gamma_{21}+(r+\lambda)E\Gamma_{22}-\frac{1}{s}E\Gamma_{23}-v\Gamma_{12}-(r+\lambda)\Gamma_{22}-s\Gamma_{32}=0, \\ &sE\Gamma_{22}-v\Gamma_{13}-(r+\lambda)\Gamma_{23}+s(\Gamma_{11}+\Gamma_{22})=0, \\ &E\Gamma_{31}+vE\Gamma_{32}+\frac{1}{s}\Gamma_{21}=0, \\ &qE\Gamma_{31}+(r+\lambda)E\Gamma_{32}+\frac{1}{s}E(\Gamma_{11}+\Gamma_{22})+\frac{1}{s}\Gamma_{22}=0, \\ &sE\Gamma_{32}+\frac{1}{s}\Gamma_{23}=0. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.7}
$$
Представим каждый элемент $\Gamma_{ij}=\Gamma_{ij}(a,b,c,d)$ как ряд Лорана по $\lambda$:
$$
\begin{equation}
\begin{alignedat}{5} \Gamma_{11}&=a, & \quad \Gamma_{12}&=b, & \quad \phantom{-}\Gamma_{13}&=sEb+q{s}^2Ed, \notag\\ \Gamma_{21}&=\frac{1}{q}(E-1)a+\frac{v}{q}Eb, & \quad \Gamma_{22}&=c, & \quad \phantom{-}\Gamma_{23}&=-{s}^2Ed, \\ \Gamma_{31}&=\frac{(E^{-1}-1)}{s^{-}q^{-}}a-\frac{E^{-1}vE}{s^{-}q^{-}}b-E^{-1}vEd, & \quad \Gamma_{32}&=d, & \quad -\Gamma_{11}&{}-\Gamma_{11}=-a-c, \notag \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{2.8}
$$
где
$$
\begin{equation}
a=\sum_{j\geqslant 0}{a_j\lambda ^{-j}},\qquad b=\sum_{j\geqslant 0}b_j\lambda ^{-j},\qquad c=\sum_{j\geqslant 0}{c_j\lambda ^{-j}},\qquad d=\sum_{j\geqslant 0}{d_j\lambda ^{-j}}.
\end{equation}
\tag{2.9}
$$
Прямыми вычислениями можно показать, что при выполнении уравнений (2.6) и (2.7) имеет место соотношение Ленарда Подставим в (2.8) разложения (2.9) и сравним выражения при одинаковых степенях $\lambda$, отсюда выводим следующие рекуррентные соотношения:
$$
\begin{equation}
K_nG_j=\lambda J_nG_{j+1},\quad J_nG_0=0,\qquad j\geqslant 0,
\end{equation}
\tag{2.11}
$$
где $G_j=(a_j,b_j,c_j,d_j)^{\mathrm T}$. Очевидно, что $\operatorname{ker}{J_n}=\{\alpha_0 \tilde g_0+\beta_0\bar g_0\mid\alpha_0,\beta_0\in\mathbb{R}\}$, а вектор $G_j$ можно разложить как
$$
\begin{equation}
G_j=\alpha_0\tilde g_j+\beta_0\bar g_j+\cdots+\alpha_j\tilde g_0+\beta_j\bar g_0,\qquad j\geqslant 0,
\end{equation}
\tag{2.12}
$$
где $\alpha_j$ и $\beta_j$ – постоянные. Предположим, что $\Xi$ удовлетворяет дискретной матричной спектральной задаче (2.1), тогда
$$
\begin{equation}
\Xi_{t_m}=\widehat\Gamma^{(m)}\Xi ,\qquad \widehat\Gamma^{(m)}=(\widehat\Gamma_{ij}^{(m)})_{3\times3}=\begin{pmatrix} \widehat\Gamma_{11}^{(m)} & \widehat\Gamma_{12}^{(m)} & \widehat\Gamma_{13}^{(m)} \\ \widehat\Gamma_{21}^{(m)} & \widehat\Gamma_{22}^{(m)} & \widehat\Gamma_{23}^{(m)} \\ \widehat\Gamma_{31}^{(m)} & \widehat\Gamma_{32}^{(m)} & -\widehat\Gamma_{11}^{(m)}-\widehat\Gamma_{22}^{(m)} \end{pmatrix},
\end{equation}
\tag{2.13}
$$
где $\widehat\Gamma_{ij}^{(m)}=\widehat\Gamma_{ij}(\hat a^{(m)},\hat b^{(m)},\hat c^{(m)},\hat d^{(m)})$ и
$$
\begin{equation}
\begin{alignedat}{3} \hat a^{(m)}&=\sum_{j=0}^{m}\hat a_j\lambda ^{m-j}, & \qquad \hat b^{(m)}&=\sum_{j=0}^{m}\hat b_j\lambda ^{m-j}, \\ \hat c^{(m)}&=\sum_{j=0}^{m}\hat c_j\lambda^{m-j}, & \qquad \hat d^{(m)}&=\sum_{j=0}^{m}\hat d_j\lambda^{m-j}. \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{2.14}
$$
Аналогично $\hat a_j$, $\hat b_j$, $\hat c_j$ и $\hat d_j$ определяются равенством
$$
\begin{equation}
\widehat G_j=\hat\alpha_0\tilde g_j+\hat\beta_0\bar g_j+\cdots+\hat\alpha_j\tilde g_0+\hat\beta_j\bar g_0,\qquad j\geqslant 0,
\end{equation}
\tag{2.15}
$$
где $\widehat G_j$ – решение уравнения (2.10). Важно отметить, что $\hat\alpha_j$, $\hat\beta_j$ и $\alpha_j$, $\beta_j$ в (2.12) равны друг другу по модулю. Уравнение нулевой кривизны $U_{t_m}=(E\widehat\Gamma^m)U-U\widehat\Gamma^m$ порождается условием совместности уравнений (2.1) и (2.12), которое эквивалентно дискретной иерархии (1.3):
$$
\begin{equation}
(q_{t_m},r_{t_m},s_{t_m},v_{t_m})^{\mathrm T}=\widehat{\mathcal I}_m,\qquad m\geqslant 0,
\end{equation}
\tag{2.16}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\widehat{\mathcal I}_j=K_n\widehat G_j=J_n\widehat G_{j+1},\qquad \widehat{\mathcal I}_j=\mathcal I(q,r,s,v, \underline {\hat\alpha}^{(j)}, \underline {\hat\beta}^{(j)});
\end{equation*}
\notag
$$
здесь $ \underline {\hat\alpha}^{(j)}=(\hat\alpha_0,\ldots,\hat\alpha_j)$, и $ \underline {\hat\beta}^{(j)}=(\hat\beta_0,\ldots,\hat\beta_j)$ для $j\geqslant 0$. Первый нетривиальный член иерархии (2.16) имеет вид
$$
\begin{equation*}
\widehat{\mathcal I}_0=K_n\widehat G_0=K_n(\alpha_0\tilde g_0+\beta_0\bar g_0),
\end{equation*}
\notag
$$
отсюда при $\alpha_0=1$, $\beta_0=0$ мы имеем
$$
\begin{equation}
q_{t_0}=-2q,\qquad r_{t_0}=0,\qquad s_{t_0}=s,\qquad v_{t_0}=2v.
\end{equation}
\tag{2.17}
$$
Аналогично для $j=2$ и $\widehat{\mathcal I}_1=K_n(\alpha_0\tilde g_1+\alpha_1\tilde g_0+\beta_0\bar g_1+\beta_1\bar g_0)$ при $\alpha_0=1$, $\beta_0=1$ и $t_0=t$ мы получаем следующую иерархию, которая и будет предметом наших исследований:
$$
\begin{equation}
\begin{alignedat}{3} q_t&=2rq^{--}q^{-}-\frac{s^{+}q}{s}, & \qquad r_t&=\frac{s}{s^{-}}-\frac{s^{+}}{s}+2(qv^{+}-q^{-}v), \\ s_t&=-qsv-rs, & \qquad v_t&=\frac{qs}{s^{-}}-2rv+2v^{-}. \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{2.18}
$$
Если $q=0$, $r=\varpi^{+}$, $x=s/s^{-}$, $v=0$, то (2.18) переходит в цепочку Тоды (1.2).
3. Стационарная мероморфная функцияРассмотрим иерархию (1.3) в стационарном случае $\mathcal I_p=\mathcal I(q,r,s,v; \underline {\alpha}^{(p)}$, $ \underline {\beta}^{(p)})=0$, $ \underline {\alpha}^{(p)}=(\alpha_0\ldots\alpha_p)$ и $ \underline {\beta}^{(p)}=(\beta_0\ldots\beta_p)$. Эта иерархия эквивалентна уравнению нулевой кривизны
$$
\begin{equation}
(E\Gamma^{(p)})U-U\Gamma^{(p)}=0,\qquad\Gamma^{(p)}=(\lambda^{p}\Gamma)_{+}=(\Gamma_{ij}^{(p)})_{3\times3},
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
где $\Gamma_{ij}^{(p)}=\Gamma_{ij}(a^{(p)},b^{(p)},c^{(p)},d^{(p)})$ и
$$
\begin{equation}
a^{(p)}=\sum_{j=0}^{p}a_j\lambda^{p-j},\quad b^{(p)}=\sum_{j=0}^{p}b_j\lambda^{p-j},\quad c^{(p)}=\sum_{j=0}^{p}c_j\lambda^{p-j},\quad d^{(p)}=\sum_{j=0}^{p}d_j\lambda^{p-j}.
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
Прямые вычисления показывают, что если $\Gamma^{(p)}$, удовлетворяет уравнению нулевой кривизны (3.1), то характеристический полином равен не зависящей от $n$ постоянной. Этот полином разлагается как
$$
\begin{equation}
\det(fI-\Gamma^{(p)})=f^3-f^2X_l(\lambda)+fY_l(\lambda)-Z_l(\lambda),
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
где $X_l(\lambda),Y_l(\lambda)$ и $Z_l(\lambda)$ – полиномы от $\lambda$ с постоянными коэффициентами,
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, X_l(\lambda)&=t_r\Gamma^{(p)}=\Gamma_{11}^{(p)}+\Gamma_{22}^{(p)}+(-\Gamma_{11}^{(p)}-\Gamma_{22}^{(p)})=0, \\ Y_l(\lambda)&= \begin{vmatrix} \Gamma_{11}^{(p)} & \Gamma_{12}^{(p)} \\ \Gamma_{21}^{(p)} & \Gamma_{22}^{(p)} \end{vmatrix}+ \begin{vmatrix} \Gamma_{11}^{(p)} & \Gamma_{13}^{(p)} \\ \Gamma_{31}^{(p)} & -\Gamma_{11}^{(p)}-\Gamma_{22}^{(p)} \end{vmatrix}+ \begin{vmatrix} \Gamma_{22}^{(p)} & \Gamma_{23}^{(p)} \\ \Gamma_{32}^{(p)} & -\Gamma_{11}^{(p)}-\Gamma_{22}^{(p)} \end{vmatrix}= \\ &=(-\alpha_0^2+\alpha_0\beta_0-3\beta_0^2)\lambda^{2p}+\cdots, \\ Z_l(\lambda)&=\det\Gamma_n^{(p)}= \begin{vmatrix} \Gamma_{11}^{(p)} & \Gamma_{12}^{(p)} & \Gamma_{13}^{(p)} \\ \Gamma_{21}^{(p)} & \Gamma_{22}^{(p)} & \Gamma_{23}^{(p)} \\ \Gamma_{31}^{(p)} & \Gamma_{32}^{(p)} & -\Gamma_{11}^{(p)}-\Gamma_{22}^{(p)} \end{vmatrix}= \\ &=({\alpha_0}^2\beta_0-3\alpha_0{\beta_0}^2+2{\beta_0}^3)\lambda^{3p}+\cdots{}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
Тогда можно ввести тригональную кривую, заданную уравнением $\digamma_l(\lambda,f)=0$, ее степень равна $l=3p$ при $\alpha_0\beta_0\neq 0$,
$$
\begin{equation}
\mathcal K_{l-1}\colon\,\digamma_l(\lambda ,f)=f^3-f^2X_l(\lambda)+fY_l(\lambda)-Z_l(\lambda)=0.
\end{equation}
\tag{3.5}
$$
Очевидно, что при $l=3p$ тригональную кривую ${\mathcal K}_{l-1}$ можно компактифицировать, добавляя две различные бесконечные точки $u_{\infty'}$ и $u_{\infty''}$ с учетом (3.2) и (3.4). Мы полагаем, что $u_{\infty''}$ – это двойная точка ветвления. Компактифированную кривую мы всё также будем обозначать через ${\mathcal K}_{l-1}$. Дискриминант уравнения (3.5) равен
$$
\begin{equation}
\Delta(\lambda)=27{Z_l}^2-18X_lS_lZ_l+4{Y_l}^3-{X_l}^2{Y_l}^2+4{X_l}^3Z_l.
\end{equation}
\tag{3.6}
$$
С помощью формулы Римана–Гурвица получаем, что арифметический род кривой ${\mathcal K}_{l-1}$ равен $l-1$. Следовательно, ${\mathcal K}_{l-1}$ превращается в трехлистную риманову поверхность рода $l-1$, если кривая является неприводимой и
$$
\begin{equation*}
\biggl(\frac{\partial\digamma_l(\lambda,f)}{\partial \lambda},\frac{\partial\digamma_l(\lambda,f)}{\partial f}\biggr)\bigg|_{(\lambda,f)=(\lambda_0,f_0)}\neq 0
\end{equation*}
\notag
$$
для любой точки $u_0=(\lambda_0,f_0)\in\mathcal K_{l-1}$. Введем стационарную функцию Бейкера–Ахиезера $\Xi$,
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, E\Xi(u,n,n_0)=U(q(n),r(n),s(n),v(n);\lambda(u))\Xi(u,n,n_0), \\ \Gamma^{(p)}(q(n),r(n),s(n),v(n);\lambda(u))\Xi(u,n,n_0)=f(u)\Xi(u,n,n_0), \\ \Xi_1(u,n_0,n_0)=1,\qquad u=(\lambda,f)\in\mathcal K_{l-1}\backslash\{u_{\infty'},u_{\infty''}\},\quad n,n_0\in\mathbb{Z}. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{3.7}
$$
Мероморфная функция $\Theta$ на $\mathcal{K}_{l-1}$ определяется через функцию $\Xi$ следующим образом:
$$
\begin{equation}
\Theta(u,n)=\frac{\Xi_2(u,n,n_0)}{\Xi_1(u,n,n_0)},\qquad u\in\mathcal K_{l-1},\quad n\in\mathbb{Z},
\end{equation}
\tag{3.8}
$$
отсюда мы имеем
$$
\begin{equation}
\Xi_1(u,n,n_0)= \begin{cases} \displaystyle\prod_{n'=n_0}^{n-1}(1+q(n)\Theta(u,n')), & n\geqslant n_0+1,\\ \quad 1, & n=n_0, \\ \displaystyle\prod_{n'=n_0}^{n-1}(1+q(n)\Theta(u,n'))^{-1}, & n\leqslant n_0-1. \end{cases}
\end{equation}
\tag{3.9}
$$
Явное выражение для мероморфной функции $\Theta(u,n)$ получается из (3.7) и (3.8):
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \Theta(u,n)&=\frac{y\Gamma_{23}^{(p)}+A_l(\lambda,n)}{f\Gamma_{13}^{(p)}+B_l(\lambda,n)}= \frac{E_{l-1}(\lambda,n)}{f^2\Gamma_{23}^{(p)}-fA_l(\lambda,n)+C_l(\lambda,n)}= \notag\\ &=\frac{f^2\Gamma_{13}^{(p)}-fB_l(\lambda,n)+D_l(\lambda,n)}{F_{l-1}(\lambda,n)}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.10}
$$
где
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, A_l&=\Gamma_{13}^{(p)}\Gamma_{21}^{(p)}-\Gamma_{11}^{(p)}\Gamma_{23}^{(p)},\qquad B_l=\Gamma_{12}^{(p)}\Gamma_{23}^{(p)}-\Gamma_{13}^{(p)}\Gamma_{22}^{(p)}, \\ C_l&=\Gamma_{21}^{(p)}(\Gamma_{13}^{(p)}\Gamma_{22}^{(p)}-\Gamma_{12}^{(p)}\Gamma_{23}^{(p)})- \Gamma_{23}^{(p)}(\Gamma_{11}^{(p)}\Gamma_{22}^{(p)}+(\Gamma_{22}^{(p)})^2+\Gamma_{23}^{(p)}\Gamma_{32}^{(p)}), \\ D_l&=\Gamma_{12}^{(p)}(\Gamma_{11}^{(p)}\Gamma_{23}^{(p)}-\Gamma_{13}^{(p)}\Gamma_{21}^{(p)})-\Gamma_{13}^{(p)}((\Gamma_{11}^{(p)})^2+ \Gamma_{11}^{(p)}\Gamma_{22}^{(p)}+\Gamma_{13}^{(p)}\Gamma_{31}^{(p)}), \\ E_{l-1}&=(\Gamma_{23}^{(p)})^2\Gamma_{31}^{(p)}+\Gamma_{21}^{(p)}\Gamma_{23}^{(p)}(2\Gamma_{11}^{(p)}+ \Gamma_{22}^{(p)})-(\Gamma_{21}^{(p)})^2\Gamma_{13}^{(p)}, \\ F_{l-1}&=(\Gamma_{13}^{(p)})^2\Gamma_{32}^{(p)}+\Gamma_{12}^{(p)}\Gamma_{13}^{(p)}(2\Gamma_{22}^{(p)}+ \Gamma_{11}^{(p)})-(\Gamma_{12}^{(p)})^2\Gamma_{23}^{(p)}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.11}
$$
Введем еще два элемента
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, G_l&=\Gamma_{13}^{(p)}\Gamma_{32}^{(p)}+\Gamma_{12}^{(p)}(\Gamma_{11}^{(p)}+\Gamma_{22}^{(p)}), \\ H_l&=\Gamma_{12}^{(p)}(\Gamma_{11}^{(p)}\Gamma_{22}^{(p)}-\Gamma_{12}^{(p)}\Gamma_{21}^{(p)})+ \Gamma_{13}^{(p)}(\Gamma_{11}^{(p)}\Gamma_{32}^{(p)}-\Gamma_{12}^{(p)}\Gamma_{31}^{(p)}). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.12}
$$
Существуют различные соотношения между полиномами (3.11), (3.12) и функциями $X_l$, $Y_l$, $Z_l$, перечислим некоторые из них:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, F_{l-1}=\Gamma_{13}^{(p)}G_l-\Gamma_{12}^{(p)}B_l, \\ B_lE_{l-1}=(\Gamma_{23}^{(p)})^2Z_l+A_lC_l,\qquad A_lF_{l-1}=(\Gamma_{13}^{(p)})^2Z_l+B_lD_l, \\ \Gamma_{13}^{(p)}E_{l-1}=\Gamma_{23}^{(p)}C_l-(\Gamma_{23}^{(p)})^2Y_l-A_l^2,\qquad \Gamma_{23}^{(p)}F_{l-1}=\Gamma_{13}^{(p)}B_l-(\Gamma_{13}^{(p)})^2Y_l-B_l^2, \\ E_{l-1}^{-}=-F_{l-1},\qquad G_l=A_l^{-},\qquad H_l=C_l^{-}. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{3.13}
$$
Опираясь на соотношения (3.1), (3.2), (3.11) и (3.13), находим, что $F_{l-1}$ и $E_{l-1}$ являются полиномами степени $l-1$, поэтому их можно представить как
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, F_{l-1}(\lambda ,n)&=F_{l-1,0}\prod_{j=1}^{l-1}(\lambda-\mu_j(n)), \\ E_{l-1}(\lambda ,n)&=-F_{l-1,0}\prod_{j=1}^{l-1}(\lambda-\mu_j^{+}(n)). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.14}
$$
Зададим наборы точек $\{\tilde\mu_j(n)\}_{j=\overline{1,l-1}}$ и $\{\tilde\mu_j^{+}(n)\}_{j=\overline{1,l-1}}$ на кривой $\mathcal K_{l-1}$ следующим образом:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \tilde\mu_j(n)&=\bigl(\mu_j(n),y(\hat{\mu}_j(n))\bigr)=\biggl(\mu_j(n)-\frac{B_l(\lambda,n)}{\Gamma_{32}^{(p)}(\mu_j(n))}\biggr), \\ \tilde\mu_j^{+}(n)&=\bigl(\mu_j^{+}(n),y(\hat{\mu}_j^{+}(n))\bigr)=\biggl(\mu_j^{+}(n)-\frac{A_l(\lambda,n)}{\Gamma_{32}^{(p)}(\mu_j^{+}(n))}\biggr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.15}
$$
Для удобства обозначим как $u$, $u^*$ и $u^{**}$ точки на каждом из трех листов римановой поверхности $\mathcal K_{l-1}$ и и предположим, что $f_i(\lambda)$ ($i=1,2,3$) – это три корня уравнения $\digamma_l(\lambda,f)=0$,
$$
\begin{equation}
\bigl(f-f_1(\lambda)\bigr)\bigl(f-f_2(\lambda)\bigr)\bigl(f-f_3(\lambda)\bigr)=f^3-f^2X_l+fY_l-Z_l=f^3+fY_l-Z_l=0.
\end{equation}
\tag{3.16}
$$
Тогда точки $(\lambda,f_1(\lambda))$, $(\lambda, f_2(\lambda))$ и $(\lambda,f_3(\lambda))$ также лежат на римановой поверхности $\mathcal K_{l-1}$. Пусть $\{u,u^*,u^{**}\}=\{(\lambda,f_i(\lambda)),\,i=1,2,3\}$ – набор этих трех точек. Из (3.16) без труда получаем систему уравнений
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, f_1+f_2+f_3=X_l=0,\qquad f_1f_2+f_2f_3+f_3f_1=Y_l,\qquad f_1f_2f_3=Z_l, \\ f_1^2+f_2^2+f_3^2=-2Y_l,\qquad f_1^3+f_2^3+f_3^3=3Z_l,\qquad f_1^2f_2^2+f_1^2f_3^2+f_2^2f_3^2=X_l^2, \\ (f_1+f_2)f_3^2+(f_2+f_3)f_1^2+(f_1+f_3)f_2^2=-3Z_l. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда функция $\Theta(u,n)$ удовлетворяет равенствам
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \Theta(u,n)\Theta(u^*,n)\Theta(u^{**},n)=-\frac{E_{l-1}(\lambda,n)}{F_{l-1}(\lambda,n)}, \\ \Theta(u,n)+\Theta(u^*,n)+\Theta(u^{**},n )=\frac{3D_l(\lambda,n)-2\Gamma_{32}^{(p)}Y_l(\lambda)}{F_{l-1}(\lambda,n)}, \\ \frac{1}{\Theta(u,n)}+\frac{1}{\Theta(u^*,n)}+\frac{1}{\Theta(u^{**},n)}= \frac{3C_l(\lambda,n)-2\Gamma_{12}^{(p)}(\lambda,n)Y_l(\lambda)}{E_{l-1}(\lambda,n)}. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{3.17}
$$
4. Алгебро-геометрические решения стационарной иерархииПроанализируем асимптотическое поведение функций $\Theta(u,n)$ и $\Xi(u,n)$, а затем введем абелев дифференциал и тета-функцию Римана. Как результат, получим алгебро-геометрические решения иерархии в стационарном случае, с помощью которых запишем потенциалы $q$, $r$, $s$ и $v$ через тета-функции Римана. Прямые вычисления показывают, что функция $\Theta(u,n)$ удовлетворяет уравнению типа Риккати
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, q^{-}(n)&q(n)\Theta^{+}(u,n)\Theta(u,n)\Theta^{-}(u,n)= \notag\\ &=\biggl(v(n)q^{-}(n)-\frac{s(n)}{s^{-}(n)}\biggr)\Theta^{-}(u,n)+{} \notag\\ &\quad +(\lambda+r(n))\Theta(u,n)-\Theta^{+}(u,n)+v(n)+(\lambda+r(n))q^{-}(n)\Theta^{-}(u,n)\Theta(u,n)-{} \notag\\ &\quad -q(n)\Theta(u,n)\Theta^{+}(u,n)-q^{-}(n)\Theta^{-}(u,n)\Theta^{+}(u,n). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
Введем локальные координаты $\varsigma=\lambda^{-1}$ в окрестности точки $u_{\infty'}$ и сравним выражения при одинаковых степенях $\varsigma$, получим
$$
\begin{equation*}
\Theta=\sum_{j=1}^{\infty}\delta_j\varsigma^j,\qquad u\to u_{\infty'},
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \delta_1=-v,\qquad\delta_2=v^{+}-\frac{s}{s^{-}}v^{-}+rv, \\ \delta_3=v(r+r^{+}+1-qv+{r}^2)+v^{+}(2+r-qv-2q^{-}v^{-}-r^{+})-v^{++}. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{4.2}
$$
Аналогично введем локальные координаты $\lambda=\eta^{-2}$ в окрестности точки $u_{\infty''}$ и сравним выражения при одинаковых степенях $\eta$, получим
$$
\begin{equation*}
\Theta=\sum_{j=0}^{\infty}\kappa_j\eta^j,\qquad u\to u_{\infty''},
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation}
\kappa_{0}=1,\qquad\kappa_1=-q^{-}-v,\qquad \kappa_2=1-r+{q^{-}}^2+q^{-}v+q^{-}q^{--}+\frac{s}{s^{-}}.
\end{equation}
\tag{4.3}
$$
Дивизоры [16] мероморфной функции задаются как
$$
\begin{equation}
(\Theta(u,n))=\mathcal D_{u_{\infty'},\tilde\mu_1^{+}(n),\ldots,\tilde\mu_{l-1}^{+}(n)}(u)- \mathcal D_{u_{\infty''},\tilde\mu_1^{+}(n),\ldots,\tilde\mu_{l-1}^{+}(n)}(u),
\end{equation}
\tag{4.4}
$$
откуда мы получаем, что функция $\Theta(u,n)$ имеет $l$ нулей $u_{\infty'}$, $\tilde\mu_1^{+}(n),\ldots,\tilde\mu_{l-1}^{+}(n)$ и $l$ полюсов $u_{\infty''}$, $\tilde\mu_1(n),\ldots,\tilde\mu_{l-1}(n)$. Кроме того, в соответствии с (3.8), (4.2) и (4.3)
$$
\begin{equation}
\Xi_1(u,n,n_0)\underset{\varsigma\to 0}{=}\Upsilon(n,n_0)\varsigma^{n-n_0}(1+O(\varsigma)),\qquad u\to u_{\infty'},\quad\varsigma=\lambda^{-1},
\end{equation}
\tag{4.5}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\Upsilon(n,n_0)=\begin{cases} \displaystyle\prod_{n'=n_0}^{n-1}-v(n'),& n\geqslant n_0+1,\\ \quad 1, & n=n_0,\\ \displaystyle\prod_{n'=n_0}^{n_0-1}(-v(n'))^{-1},&n\leqslant n_0-1, \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
и
$$
\begin{equation}
\Xi_1(u,n,n_0)\underset{\eta\to 0}{=}\eta^{n-n_0}(1+O(\eta)),\qquad u\to u_{\infty''},\quad \eta=\lambda^{1/2}.
\end{equation}
\tag{4.6}
$$
Дивизоры функции Бейкера–Ахиезера $\Xi_1(u,n,n_0)$ суть
$$
\begin{equation}
(\Xi_1(u,n,n_0))=\mathcal D_{\tilde\mu_1(n),\ldots,\tilde\mu_{l-1}(n)}- \mathcal D_{\tilde\mu_1(n_0),\ldots,\tilde\mu_{l-1}(n_0)}+ (n-n_0)(\mathcal D_{u_{\infty'}}-\mathcal D_{u_{\infty''}}).
\end{equation}
\tag{4.7}
$$
Введем независимые базисные циклы $\mathbf w_1,\ldots,\mathbf w_{l-1}$, $\mathbf o_1,\ldots,\mathbf o_{l-1}$ на римановой поверхности $\mathcal K_{l-1}$, их числа пересечения равны
$$
\begin{equation}
\mathbf w_j \mathbin{\stackrel{\scriptscriptstyle\circ}{{}_{\vphantom{.}}}} \mathbf o_\sigma=0,\quad \mathbf w_j \mathbin{\stackrel{\scriptscriptstyle\circ}{{}_{\vphantom{.}}}} \mathbf w_\sigma=0,\quad \mathbf o_j \mathbin{\stackrel{\scriptscriptstyle\circ}{{}_{\vphantom{.}}}} \mathbf o_\sigma=0,\qquad j,\sigma=1,\ldots,l-1.
\end{equation}
\tag{4.8}
$$
На римановой поверхности $\mathcal K_{l-1}$ введем
$$
\begin{equation}
\tilde\omega_h(u)=\frac{1}{3f^2+Y_l}= \begin{cases} \lambda^{h-1}d\lambda, & 1\leqslant h\leqslant 2p-1,\\ f\lambda^{h-2p-2}, & 2p\leqslant h\leqslant l-1, \end{cases}
\end{equation}
\tag{4.9}
$$
и положим
$$
\begin{equation*}
\mathbb{O}_{ij}=\int_{\mathbf w_j}\tilde\omega_i,\qquad \mathbb{P}_{ij}=\int_{\mathbf o_j}\tilde\omega_i,
\end{equation*}
\notag
$$
где матрицы $\mathbb{O}$ и $\mathbb{P}$ обратимы. Теперь введем новые матрицы $\mathbb{Q}$ и $\tau$ как $\mathbb{Q}=\mathbb{O}^{-1}$, $\tau=\mathbb{O}^{-1}\mathbb{P}$. Нетрудно доказать, что матрица $\tau$ симметричная ($\tau_{ij}=\tau_{ji}$) и ее мнимая часть положительно определена ($\operatorname{Im}\tau>0$). Переведем $\tilde\omega_h$ в новый нормированный базис $\omega_j$,
$$
\begin{equation}
\omega_j=\sum_{h=1}^{l-1}\mathbb{Q}_{jh}\tilde\omega_h,\qquad j=1,\ldots,l-1,
\end{equation}
\tag{4.10}
$$
что дает
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \int_{\mathbf w_\sigma}\omega_j&=\sum_{h=1}^{l-1}\mathbb{Q}_{jh}\int_{\mathbf w_i}\tilde\omega_h= \sum_{h=1}^{l-1}\mathbb{Q}_{jh}\mathbb{P}_{h\sigma}=\gamma_{j\sigma}, \\ \int_{\mathbf o_\sigma}\omega_j&=\sum_{h=1}^{l-1}\mathbb{Q}_{jh}\int_{\mathbf o_i}\tilde\omega_h= \sum_{h=1}^{l-1}\mathbb{Q}_{jh}\mathbb{P}_{h\sigma}=\tau_{j\sigma}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Определим на $\mathcal K_{l-1}\backslash\{Q',Q''\}$ голоморфный дифференциал $\omega_{Q',Q''}^{(3)}$ третьего рода, он имеет полюсы в точках $Q_k$ и вычеты, равные $(-1)^{k+1}$, $k=1,2$. В частности,
$$
\begin{equation*}
\int_{{\mathbf w}_j}\omega_{Q',Q''}^{(3)}=0,\qquad \int_{\mathbf o_j}\omega_{Q',Q''}^{(3)}=2\pi i\int_{Q''}^{Q'}\omega_j,\qquad j=1,\ldots,l-1.
\end{equation*}
\notag
$$
Для $\omega_{u_{\infty'},u_{\infty''}}^{(3)}$ мы имеем
$$
\begin{equation}
\begin{alignedat}{5} \omega_{u_{\infty'},u_{\infty''}}^{(3)}&\underset{\varsigma\to 0}{=} (\varsigma^{-1}+\omega_{0}^{\infty'}\varsigma^0+O(\varsigma))\,d\varsigma,&\qquad & u\to u_{\infty'},&\quad \varsigma&=\lambda^{-1}, \\ \omega_{u_{\infty'},u_{\infty''}}^{(3)}&\underset{\eta\to 0}{=} (-\eta^{-1}+\omega_{0}^{\infty''}\eta^0+O(\eta))\,d\eta,&\qquad & u\to u_{\infty''},&\quad \eta&=\lambda^{-1/2}, \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{4.11}
$$
откуда получаем, что
$$
\begin{equation}
\begin{alignedat}{3} \int_{Q_0}^{u}\omega_{u_{\infty'},u_{\infty''}}^{(3)}&\underset{\varsigma\to 0}{=} \ln\varsigma+\ell_1(Q_0)+\omega_{0}^{\infty'}\varsigma+O(\varsigma^2), &\qquad & u\to u_{\infty'}, \\ \int_{Q_0}^{u}\omega_{u_{\infty'},u_{\infty''}}^{(3)}&\underset{\eta\to 0}{=} -\ln\eta+\ell_2(Q_0)+\omega_{0}^{\infty''}\eta+O(\eta^2), &\qquad & u\to u_{\infty''}, \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{4.12}
$$
где $Q_0$ – переменная базовая точка на $\mathcal K_{l-1}\{u_{\infty'},u_{\infty''}\}$, а $\ell_1(Q_0)$, $\ell_2(Q_0)$, $\omega_{0}^{\infty'}$, $\omega_{0}^{\infty''}$ – постоянные. Пусть $\mathcal T_{l-1}$ – это решетка периодов $\{ \underline {z}\in\mathbb{C}^{l-1}| \underline {z}= \underline {\mathcal F}+ \underline {\mathcal H}\tau, \underline {\mathcal F}, \underline {\mathcal H}\in\mathbb{Z}^{l-1}\}$. Будем рассматривать $\mathcal J_{l-1}=\mathbb{C}^{l-1}/\mathcal T_{l-1}$ на $\mathcal K_{l-1}$ как многообразие Якоби, тогда можно ввести абелево отображение $ \underline {\mathcal A}\colon\mathcal K_{l-1}\to\mathcal J_{l-1}$,
$$
\begin{equation*}
\underline {\mathcal A}(u)=\bigl(\mathcal A_1(u),\ldots,\mathcal A_{l-1}(u)\bigr)= \biggl(\,\int_{Q_0}^{u}{\omega_1},\ldots,\int_{Q_0}^{u}{\omega_{l-1}}\biggr)\quad (\mathrm{mod}\;\;\mathcal T_{l-1}).
\end{equation*}
\notag
$$
Зададим группу дивизоров $\operatorname{Div}(\mathcal K_{l-1})$ и линейно продолжим абелево отображение на нее:
$$
\begin{equation*}
\underline {\mathcal A}\biggl(\sum h_\sigma u_\sigma\biggr)=\sum h_\sigma \underline {\mathcal A}(u_\sigma).
\end{equation*}
\notag
$$
Рассмотрим неспециальный дивизор $\mathcal D_{ \underline {\tilde\mu}(n)}=\sum_{\sigma=1}^{l-1}\tilde\mu_\sigma(n)$ и введем
$$
\begin{equation}
\underline {\rho}(n)= \underline {\mathcal A} \biggl(\,\sum_{\sigma=1}^{l-1}\tilde\mu_\sigma(n)\biggr)= \sum_{\sigma=1}^{l-1} \underline {\mathcal A}(\tilde\mu_\sigma(n))= \sum_{\sigma=1}^{l-1}\int_{Q_0}^{\tilde\mu_\sigma(n)} \underline {\omega}\,,
\end{equation}
\tag{4.13}
$$
где $ \underline {\rho}=(\rho_1(n),\ldots,\rho_{l-1}(n))$, $ \underline {\omega}=(\omega_1,\ldots,\omega_{l-1})$. Определим тета-функцию Римана $\theta( \underline {z})$ на $\mathcal K_{l-1}$ как
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \theta( \underline {z})=\sum_{ \underline {\mathcal F}\in\mathbb{Z}^{l-1}} \exp\{2\pi i\langle\kern1pt \underline {\mathcal F}, \underline {z}\kern1pt\rangle+ \pi i\langle\kern1pt \underline {\mathcal F}, \underline {\mathcal F\tau}\rangle\},\qquad \underline {z}=(z_1,\ldots,z_{l-1})\in\mathbb{C}^{l-1}, \\ \langle\kern1pt \underline {\mathcal F}, \underline {z}\kern1pt\rangle=\sum_{j=1}^{l-1}\mathcal F_jz_j,\qquad \langle\kern1pt \underline {\mathcal F}, \underline {\mathcal F\tau}\kern1pt\rangle= \sum_{j,\sigma=1}^{l-1}\tau_{j\sigma}\mathcal F_j\mathcal F_\sigma. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{4.14}
$$
Введем следующую функцию:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \theta( \underline {z}(u,\tilde{ \underline {\mu}}(n)))=\theta( \underline {\Lambda}-\mathcal A(u)+ \underline {\rho}(n)), \\ u\in\mathcal K_{l-1},\qquad \underline {\tilde\mu}(n)=\{\tilde\mu_1(n),\ldots,\tilde\mu_{l-1}(n)\}\in\sigma^{l-1}\mathcal K_{l-1}, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{4.15}
$$
где $\sigma^{l-1}\mathcal K_{l-1}$ есть $(l-1)$-я симметрическая степень на $\mathcal K_{l-1}$, а вектор $\Lambda$, зависящий от базовой точки $Q_0$, задается как
$$
\begin{equation*}
\Lambda_j=\frac{1}{2}(1+\tau_{jj})- \sum_{\substack{\sigma=1,\\ \!\!\sigma\neq j}}^{l-1}\int_{\mathbf w_\sigma}{\omega_\sigma}\int_{Q_0}^{u}\omega_j,\qquad j=1,\ldots,l-1.
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема 1. Пусть $u=(\lambda,f)\in\mathcal K_{l-1}\backslash\{u_{\infty'},u_{\infty''}\}$, $(n,n_0)\in\mathbb{Z}^2$ и $\mathcal D_{ \underline {\tilde\mu}(n)}$ – неспециальный дивизор, тогда Доказательство. По теореме Абеля получаем (4.17) из (4.7), а из (4.10) выводим следующие соотношения: Теорема 2. Пусть $n\in\mathbb{Z}$ и $\mathcal D_{ \underline {\tilde\mu}(n)}$ – неспециальный дивизор, тогда потенциалы $q$, $r$, $s$ и $v$ представляются через тета-функцию Римана следующим образом: Доказательство. По теореме Абеля с учетом (4.6) имеем Аналогично предыдущим шагам получаем
$$
\begin{equation*}
\frac{\theta( \underline {z}(u, \underline {\tilde\mu}^{+}(n)))}{\theta( \underline {z}(u, \underline {\tilde\mu}(n)))}= \frac{\theta_{+}^{''}}{\theta''} \biggl(1-\sum_{j=1}^{l-1}(-\frac{1}{3\beta_0}\mathbb{Q}_{j,l-1}- \frac{1}{{\alpha_0\beta_0}}\mathbb{Q}_{j,2p-1})\frac{\partial}{\partial z_j}\ln\frac{\theta_{+}^{''}}{\theta''}\eta+O(\eta^2)\biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
где $\eta\to 0$, $\theta''=\theta( \underline {z}(u_{\infty''}, \underline {\tilde\mu}(n)))$, $\theta_{+}^{''}=\theta( \underline {z}(u_{\infty''}, \underline {\tilde\mu}^{+}(n)))$. Следовательно, при $\eta\to 0$ и $\varsigma\to 0$
$$
\begin{equation*}
\Theta(u,n)\underset{\stackrel{\scriptstyle\varsigma\to 0,}{\eta\to 0}}{=} \begin{cases} \Bigl(\varsigma+\Bigl(\omega_{0}^{\infty'}- \sum_{j=1}^{l-1}\Bigl(\frac{2}{3\alpha_0}\mathbb{Q}_{j,l-1}-\frac{1}{{\alpha_0}^2}\mathbb{Q}_{j,2p-1}\bigr) \frac{\partial}{\partial z_j}\ln\frac{\theta_{+}^{'}}{\theta'}\Bigr)\varsigma^2+O(\varsigma^3)\Bigl)\times{} \\ \quad\times\frac{\theta''\theta_{+}^{'}}{\theta_{+}^{''}\theta'}\exp(\ell_1(Q_0)-\ell_2(Q_0)), & \kern-40pt u\to u_{\infty'}, \\ \eta^{-1}+\omega_{0}^{\infty''}+ \sum_{j=1}^{l-1}(\frac{1}{3\beta_0}\mathbb{Q}_{j,l-1}+ \frac{1}{{\alpha_0\beta_0}}\mathbb{Q}_{j,2p-1})\frac{\partial}{\partial z_j} \ln\frac{\theta_{+}^{''}}{\theta''}+O(\eta), & \\ &\kern-40pt u\to u_{\infty''}. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Кроме того, в соответствии с соотношениями (4.2) и (4.3)
$$
\begin{equation*}
\Theta(u,n)\underset{\stackrel{\scriptstyle\varsigma\to 0,}{\eta\to 0}}{=}\ \begin{cases} -v\varsigma+\biggl(v^{+}-\dfrac{s}{s^{-}}v^{-}+rv\biggr)\varsigma^2+O(\varsigma^3), & u\to u_{\infty'}, \\ \eta^{-1}-q^{-}+v+O(\eta), & u\to u_{\infty''}. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
В итоге формулы (4.19) доказаны. Обозначим $\mathbf o$-периоды дифференциала $\omega_{u_{\infty'},u_{\infty''}}^{(3)}$ как
$$
\begin{equation}
\underline {\mathcal A}^{(3)}=(\mathcal A_{1}^{(3)},\ldots,\mathcal A_{l-1}^{(3)}),\qquad \mathcal A_\sigma^{(3)}=\frac{1}{2\pi i} \int_{\mathbf o_\sigma}\omega_{u_{\infty'},u_{\infty''}}^{(3)},\quad \sigma=1,\ldots,l-1.
\end{equation}
\tag{4.20}
$$
Комбинируя формулы (4.11), (4.17), (4.19) и (4.20), мы видим, что представление потенциалов $q(n)$, $r(n)$, $s(n)$ и $v(n)$ через тета-функцию Римана имеют примечательную линейность в окрестности $n\in\mathbb{Z}\times\mathbb{R}$. Фактически соотношения (4.19) можно переписать как
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, q(n)&=-\,\omega_{0}^{\infty''}+ \sum_{j=1}^{l-1}\mathbb{K}_{j,0}^{(\infty'')} \frac{\partial}{\partial_{z_j}}\ln\frac{\theta( \underline {\mathcal B}_2+ \underline {\mathcal A}^{(3)}n)}{\theta( \underline {\mathcal B}_1+ \underline {A}^{(3)}n)}-{} \\ &\quad\;-\frac{\theta( \underline {\mathcal B}_0+ \underline {\mathcal A}^{(3)}n)\theta( \underline {\mathcal B}_2+ \underline {\mathcal A}^{(3)}n)} {\theta( \underline {\mathcal B}'_2+ \underline {\mathcal A}^{(3)}n)\theta( \underline {\mathcal B}_1+ \underline {\mathcal A}^{(3)}n)} \exp(\ell_1(Q_0)-\ell_2(Q_0)), \\ r(n)&=-\,\omega_{0}^{\infty'}+ \sum_{j=1}^{l-1}\mathbb{K}_{j,0}^{(\infty')} \frac{\partial}{\partial_{z_j}}\ln\frac{\theta( \underline {\mathcal B}_1+ \underline {\mathcal A}^{(3)}n)}{\theta( \underline {\mathcal B}_0+ \underline {\mathcal A}^{(3)}n)}, \\ \frac{s(n)}{s^{-}(n)}&=\omega_{0}^{\infty'}- \sum_{j=1}^{l-1}\mathbb{K}_{j,0}^{(\infty')} \frac{\partial}{\partial_{z_j}}\ln\frac{\theta( \underline {\mathcal B}_1+ \underline {\mathcal A}^{(3)}n)}{\theta( \underline {\mathcal B}_0+ \underline {\mathcal A}^{(3)}n)}, \\ v(n)&=-\,\frac{\theta( \underline {\mathcal B}'_{0}+ \underline {\mathcal A}^{(3)}n)\theta( \underline {\mathcal B}_1+ \underline {\mathcal A}^{(3)}n)} {\theta( \underline {\mathcal B}_0+ \underline {\mathcal A}^{(3)}n)^2}\exp(\ell_1(Q_0)-\ell_2(Q_0)). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \underline {\mathcal B}_0= \underline {\mathcal{S}}- \underline {\mathcal A}^{(3)},\qquad \underline {\mathcal B}'_0= \underline {\mathcal{S}}'- \underline {\mathcal A}^{(3)},\qquad \underline {\mathcal B}_1= \underline {\mathcal{S}}+ \underline {\mathcal A}^{(3)}, \\ \underline {\mathcal B}'_1= \underline {\mathcal{S}}'+ \underline {\mathcal A}^{(3)},\qquad \underline {\mathcal B}_2= \underline {\mathcal{S}}+2 \underline {\mathcal A}^{(3)},\qquad \underline {\mathcal B}'_2= \underline {\mathcal{S}}'+2 \underline {\mathcal A}^{(3)}, \\ \mathbb{K}_{j,0}^{(\infty')}=\frac{2}{3\alpha_0}\mathbb{Q}_{j,l-1}-\frac{1}{\alpha^2}\mathbb{Q}_{j,2p-1},\qquad \mathbb{K}_{j,0}^{(\infty'')}=-\frac{1}{3\beta_0}\mathbb{Q}_{j,l-1}-\frac{1}{\alpha_0\beta_0}\mathbb{Q}_{j,2p-1}, \\ \underline {\mathcal{S}}= \underline {\Lambda}- \underline {\mathbb{O}}(u_{\infty'})+ \underline {\rho}(n_0)- \underline {\mathcal A}^{(3)}n_0,\qquad \underline {\mathcal{S}}'= \underline {\Lambda}- \underline {\mathbb{O}}(u_{\infty''})+ \underline {\rho}(n_0)- \underline {\mathcal A}^{(3)}n_0. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
5. Алгебро-геометрические решения иерархии в нестационарном случаеВ этом разделе мы обсуждаем алгебро-геометрические решения иерархии (1.3) в случае, когда имеется зависимость от времени. Сначала определим зависящую от времени функцию Бейкера–Ахиезера:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &E\Xi(u,n,n_0,t_m,t_{0m})= \\ &\qquad =U(q(n,t_m),r(n,t_m),s(n,t_m),v(n,t_m);\lambda(u))\Xi(u,n,n_0,t_m,t_{0m}), \\ &\Xi_{tm}(u,n,n_0,t_m,t_{0m})= \\ &\qquad =\widehat\Gamma^mU(q(n,t_m),r(n,t_m),s(n,t_m),v(n,t_m);\lambda(u))\Xi(u,n,n_0,t_m,t_{0m}), \\ &\Gamma^{(p)}(q(n,t_m),r(n,t_m),s(n,t_m),v(n,t_m);\lambda(u))\Xi(u,n,n_0,t_m,t_{0m})= \\ &\qquad =f(u)\Xi(u,n,n_0,t_m,t_{0m}), \\ &\Xi_1(u,n_0,n_0,t_{0m},t_{0m})=1, \\ &\qquad u\in\mathcal K_{l-1}\backslash\{u_{\infty'},u_{\infty''}\},\quad (n,t_m),(n_0,t_{0m})\in{\mathbb{Z}\times\mathbb{R}}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.1}
$$
Из условия совместности уравнений (5.1) получаем
$$
\begin{equation}
U_{t_m}-(E\widehat\Gamma^m)U+U\widehat\Gamma^m=0,\quad\;\; (E\Gamma^{(p)})U-U\Gamma^{(p)}=0,\quad\;\; \Gamma_{t_m}^{(p)}-[\widehat\Gamma^m,\Gamma^{(p)}]=0.
\end{equation}
\tag{5.2}
$$
Прямые вычисления показывают, что $\digamma_l(\lambda,f)=\det(fI-\Gamma^{(p)})$ согласуется со стационарным уравнением нулевой кривизны для $\Gamma^{(p)}$. Характеристический многочлен есть постоянная, не зависящая от переменных $n$ и $t_m$, и мы имеем
$$
\begin{equation*}
\det(fI-\Gamma^{(p)})=f^3-f^2X_l(\lambda)+fY_l(\lambda)-Z_l(\lambda).
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда тригональная кривая $\mathcal K_{l-1}$ в нестационарном случае задается следующим образом:
$$
\begin{equation*}
\mathcal K_{l-1}\colon\,f_l(\lambda,f)=f^3-f^2X_l(\lambda)+fY_l(\lambda)-Z_l(\lambda).
\end{equation*}
\notag
$$
Мероморфная функция $\Theta (u,n,t_m)$ на $\mathcal K_{l-1}$ определяется как
$$
\begin{equation}
\Theta(u,n,t_m)=\frac{\Xi_2(u,n,n_0,t_m,t_{0m})}{\Xi_1(u,n,n_0,t_m,t_{0m})},\qquad u\in\mathcal K_{l-1},\quad (n,t_m)\in{\mathbb{Z}\times\mathbb{R}},
\end{equation}
\tag{5.3}
$$
откуда мы имеем
$$
\begin{equation*}
\Xi_1(u,n,n_0,t_0,t_{0m})=\begin{cases} \displaystyle\prod_{n'=n_0}^{n-1}(1+q(n,t_m)\Theta(u,n',t_m)),& n\geqslant n_0+1,\\ \quad 1, & n=n_0, \\ \displaystyle\prod_{n'=n_0}^{n-1}(1+q(n,t_m)\Theta(u,n',t_m))^{-1}, & n\leqslant n_0-1. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Используя выражение (5.3), получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \Theta(u,n,t_m)&=\frac{f\Gamma_{23}^m(\lambda,n,t_m)+A_l(\lambda,n,t_m)}{f\Gamma_{13}^m(\lambda,n,t_m)+B_l(\lambda,n,t_m)}= \notag\\ &=\frac{E_{l-1}(\lambda,n,t_m)}{f^2\Gamma_{23}^m(\lambda,n,t_m)-fA_l(\lambda,n,t_m)+C_l(\lambda,n,t_m)}= \notag\\ &=\frac{f^2\Gamma_{13}^m(\lambda,n,t_m)-fB_l(\lambda,n,t_m)+D_l(\lambda,n,t_m)}{F_{l-1}(\lambda,n,t_m)}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.4}
$$
где $u=(\lambda,f)$, а коэффициенты $A_l(\lambda,n,t_m)$, $B_l(\lambda,n,t_m)$ и пр. определены так же, как в стационарном случае. Аналогично введем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, F_{l-1}(\lambda,n,t_m)&=F_{l-1,0}\prod_{j=1}^{l-1}(\lambda-\mu_j(n,t_m)), \\ E_{l-1}(\lambda ,n,t_m)&=-F_{l-1,0}\prod_{j=1}^{l-1}(\lambda-\mu_j^{+}(n,t_m)). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Зададим наборы $\{\tilde\mu_j(n,t_m)\}_{j=1,\ldots,l-1}\subset\mathcal K_{l-1}$ и $\{\tilde\mu_j^{+}(n,t_m)\}_{j=1,\ldots,l-1}\subset\mathcal K_{l-1}$ как
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \tilde\mu_j(n,t_m)&=\bigl(\mu_j(n,t_m),f(\hat{\mu}_j(n,t_m))\bigr)= \\ &=\biggl(\mu_j(n,t_m)-\frac{B_l(\mu_j(n,t_m),n,t_m)}{\Gamma_{32}^m(\mu_j(n,t_m),n,t_m)}\biggr), \\ \tilde\mu_j^{+}(n,t_m)&=\bigl(\mu_j^{+}(n,t_m),f(\hat{\mu}_j^{+}(n,t_m))\bigr)= \\ &=\biggl(\mu_j^{+}(n,t_m)-\frac{A_l(\mu_j(n,t_m),n,t_m)}{\Gamma_{32}^m(\mu_j^{+}(n,t_m),n,t_m)}\biggr),\qquad(n,t_m)\in\mathbb{Z}\times\mathbb{R}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.5}
$$
Дивизор функции $\Theta(u,n,t_m)$ выражается из (5.4) следующим образом:
$$
\begin{equation}
(\Theta(u,n,t_m))=\mathcal D_{u_{\infty'},\tilde\mu_1^{+}(n,t_m),\ldots,\tilde\mu_{l-1}^{+}(n,t_m)}(u)- \mathcal D_{u_{\infty''},\tilde\mu_1^{+}(n,t_m),\ldots,\tilde\mu_{l-1}^{+}(n,t_m)}(u),
\end{equation}
\tag{5.6}
$$
так что $\Theta(u,n,t_m)$ всё так же имеет $l$ нулей $u_{\infty'},\tilde\mu_1^{+}(n,t_m),\ldots,\tilde\mu_{l-1}^{+}(n,t_m)$ и $l$ полюсов $u_{\infty''},\tilde\mu_1(n,t_m),\ldots,\tilde\mu_{l-1}(n,t_m)$. Вычисления, аналогичные стационарному случаю, показывают, что $\Theta(u,n,t_m)$ удовлетворяет уравнению типа Риккати
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, q^{-}&(n,t_m)q(n,t_m)\Theta^{+}(u,n,t_m)\Theta(u,n,t_m)\Theta^{-}(u,n,t_m)= \notag\\ &=\biggl(v(n,t_m)q^{-}(n,t_m)-\frac{s(n,t_m)}{s^{-}(n,t_m)}\biggr)\Theta^{-}(u,n,t_m)+{} \notag\\ &\quad +(\lambda+r(n,t_m))\Theta(u,n,t_m)-\Theta^{+}(u,n,t_m)+v(n,t_m)+{} \notag\\ &\quad +(\lambda+r(n,t_m))q^{-}(n,t_m)\Theta^{-}(u,n,t_m)\Theta(u,n,t_m)-{} \notag\\ &\quad -q(n,t_m)\Theta(u,n,t_m)\Theta^{+}(u,n,t_m)-{}q^{-}(n,t_m)\Theta^{-}(u,n,t_m)\Theta^{+}(u,n,t_m). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.7}
$$
Также аналогично предыдущему разделу $\Theta(u,n,t_m)$ удовлетворяет следующей системе уравнений:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\Theta(u,n,t_m)\Theta(u^*,n,t_m)\Theta(u^{**},n,t_m)=-\frac{E_{l-1}(\lambda,n,t_m)}{F_{l-1}(\lambda,n,t_m)}, \\ &\Theta(u,n,t_m)+\Theta(u^*,n,t_m)+\Theta(u^{**},n,t_m)= \\ &\kern100pt =\frac{3D_l(\lambda,n,t_m)-2\Gamma_{32}^m(\lambda,n,t_m)Y_l(\lambda,n,t_m)}{F_{l-1}(\lambda,n,t_m)}, \\ &\frac{1}{\Theta(u,n,t_m)}+\frac{1}{\Theta(u^*,n,t_m)}+\frac{1}{\Theta(u^{**},n,t_m)}= \\ &\kern100pt =\frac{3C_l(\lambda,n,t_m)-2\Gamma_{12}^m(\lambda,n,t_m)(\lambda,n,t_m)Y_l(\lambda,n,t_m)}{E_{l-1}(\lambda,n,t_m)}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.8}
$$
Дифференцируя мероморфную функцию по $t_m$, получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \Theta_{t_m}=\biggl(\frac{\Xi_1^{+}}{\Xi_1}\biggr)_{t_m}&= \frac{\Xi_{1,t_m}^{+}\Xi_1-\Xi_1^{+}\Xi_{1,t_m}}{\Xi_1^2}= \frac{\Xi_1^{+}}{\Xi_1}\biggl(\frac{\Xi_{1,t_m}^{+}}{\Xi_1^{+}}-\frac{\Xi_{1,t_m}}{\Xi_1}\biggr)= \\ &=\Theta\Delta\frac{\Xi_{1,t_m}}{\Xi_1}= \Theta\Delta\biggl(\widehat\Gamma_{11}^m+\widehat\Gamma_{12}^m\Theta+\widehat\Gamma_{13}^m\frac{1}{\Theta^{-}}\biggr), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
тогда
$$
\begin{equation}
\frac{\Theta(u,n,t_m)_{t_m}}{\Theta(u,n,t_m)}= \Delta\biggl(\widehat\Gamma_{11}^m(\lambda,n,t_m)+\widehat\Gamma_{12}^m(\lambda,n,t_m)\Theta+ \widehat\Gamma_{13}^m(\lambda,n,t_m)\frac{1}{\Theta^{-}(u,n,t_m)}\biggr),
\end{equation}
\tag{5.9}
$$
где $\Delta$ – разностный оператор, $\Delta=E-1$. Динамика нулей $\mu_j(n,t_m)$ функции $F_{l-1}(\lambda,n,t_m)$ описывается уравнениями типа Дубровина в соответствии со следующей леммой. Лемма 1. Пусть $(n,t_m)\in\mathbb{Z}\times\mathbb{R}$. Предположим, что нули $\{\mu_j(n,t_m)\}_{j=\overline{1,l-1}}$ функции $F_{l-1}(\lambda,n,t_m)$ дифференцируемы, тогда они удовлетворяют уравнениям Доказательство. Используя (3.10), (3.11) и (5.2), имеем Кроме того, в силу (5.1) имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\Xi_1(u,n,n_0,t_m,t_{0m})= \notag\\ &\quad=\exp\biggl(\,\int_{t_{0m}}^{t_m} \biggl(\widehat\Gamma_{11}^m(\lambda,n,t_m)+\widehat\Gamma_{12}^m(\lambda,n,t_m)\Theta+ \widehat\Gamma_{13}^m(\lambda,n,t_m)\frac{1}{\Theta^{-}(u,n,t_m)}\biggr)dt'\biggr)\times{} \notag\\ &\qquad\times\begin{cases} \displaystyle\prod_{n'=n_0}^{n-1}(1+q(n,t_m)\Theta(u,n',t_m)),& n\geqslant n_0+1,\\ \quad 1,& n=n_0,\\ \displaystyle\prod_{n'=n}^{n_0-1}(1+q(n,t_m)\Theta(u,n',t_m))^{-1},& n\leqslant n_0-1, \end{cases} \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.11}
$$
и
$$
\begin{equation}
\Xi_1(u,n,n_0,t_m,t_{0m})=\Xi_1(u,n,n_0,t_m,t_m)\Xi_1(u,n_0,n_0,t_m,t_{0m}),
\end{equation}
\tag{5.12}
$$
где $u=(\lambda,f)\in\mathcal K_{l-1}\backslash\{u_{\infty'},u_{\infty''}\}$ и $(n,t_m),(n_0,t_{0m})\in\mathbb{Z}\times\mathbb{R}$. Для функции (5.11) зададим
$$
\begin{equation*}
\Pi_m(u,n,t_m)=\widehat\Gamma_{11}^m(\lambda,n,t_m)+ \widehat\Gamma_{12}^m(\lambda,n,t_m)\Theta(u,n,t_m)+\widehat\Gamma_{13}^m\frac{1}{\Theta^{-}(u,n,t_m)},
\end{equation*}
\notag
$$
таким образом,
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \widetilde\Pi_m^{(k)}(u,n,t_m)&=\widetilde{\widehat\Gamma}_{11}^{{}_{{}_{\scriptstyle(m,k)}}}(\lambda,n,t_m)+ \widetilde{\widehat\Gamma}_{12}^{{}_{{}_{\scriptstyle(m,k)}}}(\lambda,n,t_m)\Theta(u,n,t_m)+{} \notag\\ &\quad +\widetilde{\widehat\Gamma}_{13}^{{}_{{}_{\scriptstyle(m,k)}}}\frac{1}{\Theta^{-}(u,n,t_m)}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.13}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\widetilde{\widehat\Gamma}_{1j}^{{}_{{}_{\scriptstyle(m,1)}}}=\tilde{\Gamma}_{1j}^m|_{\hat\alpha_0=1,\hat\beta_1=0},\qquad \widetilde{\widehat\Gamma}_{1j}^{{}_{{}_{\scriptstyle(m,2)}}}=\tilde{\Gamma}_{1j}^m|_{\hat\alpha_0=1,\hat\beta_1=0}
\end{equation*}
\notag
$$
и $\hat\alpha_1=\cdots=\hat\alpha_m=\hat\beta_1=\cdots=\hat\beta_m=0$. Следовательно,
$$
\begin{equation}
\Pi_m(u,n,t_m)=\sum_{h=0}^{m}\hat\alpha_{m-h}\widetilde\Pi_{h}^{(1)}(u,n,t_m)+ \sum_{h=0}^{m}\hat\beta_{m-h}\widetilde\Pi_{h}^{(2)}(u,n,t_m).
\end{equation}
\tag{5.14}
$$
Лемма 2. Пусть $(n,t_m)\in\mathbb{Z}\times\mathbb{R}$ и $\varsigma=\lambda^{-1}$, $\eta=\lambda^{1/2}$ – локальные координаты в окрестности точек $u_{\infty'}$, $u_{\infty''}$, тогда Доказательство. Положим $\tilde\alpha^m=\hat\alpha^m|_{\hat\alpha_0=1,\hat\beta_0=0}$, тогда с учетом (5.1) и (5.13) имеем Итак, мы доказали соотношение (5.15) для $\widetilde\Pi_{m+1}^{(k)}$ при $k=1$, доказательство в случае $k=2$ аналогично. Пусть $\omega_{u_{\infty k},j}^{(2)}$, $j\geqslant 2$, есть нормированный дифференциал второго рода, голоморфный на $\mathcal K_{l-1}\backslash\{u_{\infty k}\}$, который имеет полюс $j$-го порядка в точках $u_{\infty k}$ ($k=1,2$),
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{5} \omega_{u_\infty',j}^{(2)}&\underset{\varsigma\to 0}{=}(\varsigma^{-j}+O(1))\,d\varsigma, &\qquad u&\to u_{\infty'},&\quad \varsigma&=\lambda^{-1}, \\ \omega_{u_\infty'',j}^{(2)}&\underset{\eta\to 0}{=}(\eta^{-j}+O(1))\,d\eta, &\qquad u&\to u_{\infty''},&\quad \eta&=\lambda^{-1/2}, \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
с $\mathbf w$-периодами $\int_{\mathbf w_\sigma}\omega_{u_{\infty k},j}^{(2)}=0$, $\sigma=1,\ldots,l-1$. Пусть
$$
\begin{equation}
\widehat{\mho}_m^{(2)}=-\sum_{h=0}^{m}\hat\alpha_{m-h}(h+1){\omega}_{u_{\infty'},h+2}^{(2)}+ \sum_{h=0}^{m}\hat\beta_{m-h}(2h+1)\hat{\omega}_{u_{\infty''},2h+2}^{(2)}.
\end{equation}
\tag{5.16}
$$
Интегрируя это выражение, получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{3} \int_{Q_0}^{u}\widehat{\mho}_m^{(2)}&\underset{\varsigma\to 0}{=} \sum_{h=0}^{m}\hat\alpha_{m-h}\varsigma^{-h-1}+\hat{\ell}_{1}^{(2)}(Q_0)+O(\varsigma),&\qquad u&\to u_{\infty'}, \\ \int_{Q_0}^{u}\widehat{\mho}_m^{(2)}&\underset{\eta\to 0}{=} -\sum_{h=0}^{m}\hat\beta_{m-h}\eta^{-2h-1}+\hat{\ell}_2^{(2)}(Q_0)+O(\eta),&\qquad u&\to u_{\infty''}. \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
Далее найдем явные представления через тета-функции Римана для $\Theta(u,n,t_m)$ и $\Xi_1(u,n,n_0,t_m,t_{0m})$. Теорема 3. Пусть $u=(\lambda,f)\in\mathcal K_{l-1}\backslash\{u_{\infty'},u_{\infty''}\}$, $(n,n_0,t_m,t_{0m})\in\mathbb{Z}^2\times\mathbb{R}^2$. Если $\mathcal D_{ \underline {\tilde\mu}(n,t_m)}$ – неспециальный дивизор и $(n,\kern-1pt t_m)\in\mathbb{Z}\times\mathbb{R}$, то $\Theta(u,\kern-1pt n,\kern-1pt t_m)$ и $\Xi_1(u,\kern-1pt n,\kern-1pt n_0,\kern-1pt t_m,\kern-1pt t_{0m})$ представляются как Доказательство. При $t_{0m}=t_m$ функция $\Xi_1(u,n,n_0,t_m,t_m)$ имеет вид Обозначим $\mathbf o$-периоды функции $\widehat{\mho}_m^{(2)}$ как
$$
\begin{equation}
\underline {\widehat{\mathcal A}}_m^{(2)}=(\widehat{\mathcal A}_{m,1}^{(2)},\ldots,\widehat{\mathcal A}_{m,l-1}^{(2)}),\qquad \widehat{\mathcal A}_{m,\sigma}^{(2)}=\frac{1}{2\pi i}\int_{\mathbf o_j}\widehat{\mho}_m^{(2)},\quad \sigma=1,\ldots,l-1.
\end{equation}
\tag{5.19}
$$
Доказательство. Введем мероморфный дифференциал Из теоремы 4 получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \theta( \underline {z}(u_{\infty'},{ \underline {\tilde\mu}(n,t_m)}))&=\theta( \underline {\widehat{\mathcal B}}_0+ \underline {\mathcal A}^{(3)}n+ \underline {\widehat{\mathcal A}}_m^{(2)}t_m), \\ \theta( \underline {z}(u_{\infty'},{ \underline {\tilde\mu}^{+}(n,t_m)}))&=\theta( \underline {\widehat{\mathcal B}}_1+ \underline {\mathcal A}^{(3)}n+ \underline {\widehat{\mathcal A}}_m^{(2)}t_m), \\ \theta( \underline {z}(u_{\infty'},{ \underline {\tilde\mu}^{++}(n,t_m)}))&=\theta( \underline {\widehat{\mathcal B}}_2+ \underline {\mathcal A}^{(3)}n+ \underline {\widehat{\mathcal A}}_m^{(2)}t_m), \\ \theta( \underline {z}(u_{\infty''},{ \underline {\mu}}(n,t_m)))&=\theta( \underline {\widehat{\mathcal B}}'_{0}+ \underline {\mathcal A}^{(3)}n+ \underline {\widehat{\mathcal A}}_m^{(2)}t_m), \\ \theta( \underline {z}(u_{\infty''},{ \underline {\mu}}^{+}(n,t_m)))&=\theta( \underline {\widehat{\mathcal B}}'_1+ \underline {\mathcal A}^{(3)}n+ \underline {\widehat{\mathcal A}}_m^{(2)}t_m), \\ \theta( \underline {z}(u_{\infty''},{ \underline {\mu}}^{++}(n,t_m)))&=\theta( \underline {\widehat{\mathcal B}}'_2+ \underline {\mathcal A}^{(3)}n+ \underline {\widehat{\mathcal A}}_m^{(2)}t_m), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.22}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \begin{alignedat}{5} \underline {\widehat{\mathcal B}}_0&= \underline {\widehat{\mathcal S}}- \underline {\mathcal A}^{(3)}, &\qquad \underline {\widehat{\mathcal B}}'_0&= \underline {\widehat{\mathcal S}}'- \underline {\mathcal A}^{(3)}, &\qquad \underline {\widehat{\mathcal B}}_1&= \underline {\widehat{\mathcal S}}+ \underline {\mathcal A}^{(3)}, \\ \underline {\widehat{\mathcal B}}'_1&= \underline {\widehat{\mathcal S}}'+ \underline {\mathcal A}^{(3)}, &\qquad \underline {\widehat{\mathcal B}}_2&= \underline {\widehat{\mathcal S}}+2 \underline {\mathcal A}^{(3)}, &\qquad \underline {\widehat{\mathcal B}}'_2&= \underline {\widehat{\mathcal S}}'+2 \underline {\mathcal A}^{(3)}, \end{alignedat} \\ \begin{aligned} \, \underline {\widehat{\mathcal S}}&= \underline {\Lambda}- \underline {\mathbb{O}}(u_{\infty'})+ \underline {\rho}(n_0,t_{0m})- \underline {\mathcal A}^{(3)}n_0- \underline {\mathcal A}_m^{(2)}t_{0m}, \\ \underline {\widehat{\mathcal S}}'&= \underline {\Lambda}- \underline {\mathbb{O}}(u_{\infty''})+ \underline {\rho}(n_0,t_{0m})- \underline {\mathcal A}^{(3)}n_0- \underline {\mathcal A}_m^{(2)}t_{0m}. \end{aligned} \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема 5. Пусть $(n,t_m)\in\mathbb{Z}\times\mathbb{R}$ и $\mathcal D_{\tilde{ \underline {\mu}}(n,t_m)}$ – неспециальный дивизор, тогда Комбинируя результаты (5.20) и (5.23), заключаем, что представления через тета-функции Римана для $q(n,t_m)$, $r(n,t_m)$, $s(n,t_m)$ и $v(n,t_m)$ обладают примечательной линейностью в окрестности точки $(n,t_m)\in\mathbb{Z}\times\mathbb{R}$. Тогда выражения (5.23) можно записать в виде
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, q(n,t_m)&=-\,\omega_{0}^{\infty''}+ \sum_{j=1}^{l-1}\mathbb{K}_{j,0}^{(\infty'')} \frac{\partial}{\partial_{z_j}} \ln\frac{\theta( \underline {\widehat{\mathcal B}}_2+ \underline {\mathcal A}^{(3)}n+ \underline {\widehat{\mathcal A}}_m^{(2)}t_m)} {\theta( \underline {\widehat{\mathcal B}}_1+ \underline {A}^{(3)}n+ \underline {\widehat{\mathcal A}}_m^{(2)}t_m)}-{} \notag\\ &\quad\, -\frac{\theta( \underline {\widehat{\mathcal B}}_0+ \underline {\mathcal A}^{(3)}n+ \underline {\widehat{\mathcal A}}_m^{(2)}t_m)\theta( \underline {\widehat{\mathcal B}}_2+ \underline {\mathcal A}^{(3)}n+ \underline {\widehat{\mathcal A}}_m^{(2)}t_m)} {\theta( \underline {\widehat{\mathcal B}}'_2+ \underline {\mathcal A}^{(3)}n+ \underline {\widehat{\mathcal A}}_m^{(2)}t_m)\theta( \underline {\widehat{\mathcal B}}_1+ \underline {\mathcal A}^{(3)}n+ \underline {\widehat{\mathcal A}}_m^{(2)}t_m)} \exp(\ell_1(Q_0)-\ell_2(Q_0)), \notag\\ r(n,t_m)&=-\,\omega_{0}^{\infty'}+ \sum_{j=1}^{l-1}\mathbb{K}_{j,0}^{(\infty')} \frac{\partial}{\partial_{z_j}} \ln\frac{\theta( \underline {\widehat{\mathcal B}}_1+ \underline {\mathcal A}^{(3)}n+ \underline {\widehat{\mathcal A}}_m^{(2)}t_m)} {\theta( \underline {\widehat{\mathcal B}}_0+ \underline {\mathcal A}^{(3)}n+ \underline {\widehat{\mathcal A}}_m^{(2)}t_m)}, \\ \frac{s(n,t_m)}{s^{-}(n,t_m)}&=\omega_{0}^{\infty'}- \sum_{j=1}^{l-1}\mathbb{K}_{j,0}^{(\infty')} \frac{\partial}{\partial_{z_j}} \ln\frac{\theta( \underline {\widehat{\mathcal B}}_1+ \underline {\mathcal A}^{(3)}n+ \underline {\widehat{\mathcal A}}_m^{(2)}t_m)} {\theta( \underline {\widehat{\mathcal B}}_0+ \underline {\mathcal A}^{(3)}n+ \underline {\widehat{\mathcal A}}_m^{(2)}t_m)}, \notag\\ v(n,t_m)&=-\frac{\theta( \underline {\widehat{\mathcal B}}'_{0}+ \underline {\mathcal A}^{(3)}n+ \underline {\widehat{\mathcal A}}_m^{(2)}t_m)\theta( \underline {\widehat{\mathcal B}}_1+ \underline {\mathcal A}^{(3)}n+ \underline {\widehat{\mathcal A}}_m^{(2)}t_m)} {\theta( \underline {\widehat{\mathcal B}}_0+ \underline {\mathcal A}^{(3)}n+ \underline {\widehat{\mathcal A}}_m^{(2)}t_m)^2} \exp(\ell_1(Q_0)-\ell_2(Q_0)). \notag \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.24}
$$
Таким образом, алгебро-геометрические решения дискретной иерархии обобщенной цепочки Тоды (1.3) задаются формулами (5.23) и (5.24). Чтобы вид алгебро-геометрических решений стал более отчетливым, рассмотрим простой пример представления через тета-функции Римана при $p=1$. Тогда род кривой $\mathcal K_2$ равен 2. Прямыми вычислениями получаем следующие результаты:
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{5} \Gamma_{11}^{(1)}&=\alpha_0+\beta_0+\alpha_1-\beta_1,&\qquad \Gamma_{12}^{(1)}&=(3\beta_0-2\alpha_0)q^{-},&\qquad \Gamma_{13}^{(1)}&=-\alpha_0sq, \\ \Gamma_{21}^{(1)}&=(3\beta_0-2\alpha_0)v,&\qquad \Gamma_{22}^{(1)}&=\beta_0-\alpha_1+2\beta_1,&\qquad \Gamma_{23}^{(1)}&=(3\beta_0-\alpha_0)s, \\ \Gamma_{31}^{(1)}&=(2\alpha_0-3\beta_0)\frac{v^{-}}{s^{-}q^{-}},&\qquad \Gamma_{32}^{(1)}&=(\alpha_0-3\beta_0)\frac{1}{s^{-}},&\qquad -\Gamma_{11}^{(1)}&{}-\Gamma_{22}^{(1)}=-\alpha_0-\beta_0-\beta_1. \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда тригональная кривая $\digamma_3(\lambda,f)=0$ степени $l=3$ (при $\alpha_0\beta_0\neq 0$) задается как
$$
\begin{equation*}
\mathcal K_2\colon\, \digamma_3(\lambda ,f)=f^3-f^2X_3(\lambda)+fY_3(\lambda)-Z_3(\lambda)=0,
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, X_3(\lambda)&=0, \\ Y_3(\lambda)&=(-{\alpha_0}^2+\alpha_0\beta_0-3{\beta_0}^2){\lambda}^2+\imath_1\lambda-({a_2}^2+a_2c_2+{c_2}^2), \\ Z_3(\lambda)&=({\alpha_0}^2\beta_0-3\alpha_0{\beta_0}^2+2{\beta_0}^3)\lambda^3+\imath_2\lambda^2+\imath_3\lambda-({a_2}^2c_2+a_2{c_2}^2), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
а $\imath_1$, $\imath_2$ и $\imath_3$ – произвольные постоянные. При этом полиномы $F_2$ и $E_2$ имеют вид
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, F_2(\lambda,n,t_m)&=(3\beta_0-\alpha_0)(\lambda-\mu_1(n))(\lambda-\mu_2(n)), \\ E_2(\lambda,n,t_m)&=(\alpha_0-3\beta_0)(\lambda-\mu_1^{+}(n))(\lambda-\mu_2^{+}(n)). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда мы получаем представления через тета-функции Римана для потенциалов в случае кривой второго рода:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, q(n,t_m)&=-\,\omega_{0}^{\infty''}+ \sum_{j=1}^2\mathbb{K}_{j,0}^{(\infty'')} \frac{\partial}{\partial_{z_j}} \ln\frac{\theta(\widehat{\mathcal B}_2+\mathcal A_2^{(3)}n+\widehat{\mathcal A}_{m,2}^{(2)}t_m)}{\theta(\widehat{\mathcal B}_1+\mathcal A_2^{(3)}n+ \widehat{\mathcal A}_{m,2}^{(2)}t_m)}-{} \\ &\quad\, -\frac{\theta(\widehat{\mathcal B}_0+\mathcal A_2^{(3)}n+\widehat{\mathcal A}_{m,2}^{(2)}t_m)\theta(\widehat{\mathcal B}_2+\mathcal A_2^{(3)}n+ \widehat{\mathcal A}_{m,2}^{(2)}t_m)} {\theta(\widehat{\mathcal B}'_2+\mathcal A_2^{(3)}n+ \widehat{\mathcal A}_{m,2}^{(2)}t_m)\theta(\widehat{\mathcal B}_1+ \mathcal A_2^{(3)}n+\widehat{\mathcal A}_m^{(2)}t_m)} \exp(\ell_1(Q_0)-\ell_2(Q_0)), \\ r(n,t_m)&=-\,\omega_{0}^{\infty'}+ \sum_{j=1}^2\mathbb{K}_{j,0}^{(\infty')} \frac{\partial}{\partial_{z_j}} \ln\frac{\theta(\widehat{\mathcal B}_1+\mathcal A_2^{(3)}n+\widehat{\mathcal A}_{m,2}^{(2)}t_m)}{\theta(\widehat{\mathcal B}_0+\mathcal A_2^{(3)}n+ \widehat{\mathcal A}_{m,2}^{(2)}t_m)}, \\ \frac{s(n,t_m)}{s^{-}(n,t_m)}&=\omega_{0}^{\infty'}- \sum_{j=1}^2\mathbb{K}_{j,0}^{(\infty')} \frac{\partial}{\partial_{z_j}} \ln\frac{\theta(\widehat{\mathcal B}_1+\mathcal A_2^{(3)}n+\widehat{\mathcal A}_{m,2}^{(2)}t_m)} {\theta(\widehat{\mathcal B}_0+\mathcal A^{(3)}n+\widehat{\mathcal A}_{m,2}^{(2)}t_m)},\ \\ v(n,t_m)&=-\frac{\theta(\widehat{\mathcal B}'_{0}+\mathcal A_2^{(3)}n+ \widehat{\mathcal A}_{m,2}^{(2)}t_m)\theta(\widehat{\mathcal B}_1+\mathcal A_2^{(3)}n+ \widehat{\mathcal A}_{m,2}^{(2)}t_m)} {\theta(\widehat{\mathcal B}_0+\mathcal A_2^{(3)}n+ \widehat{\mathcal A}_{m,2}^{(2)}t_m)^2} \exp(\ell_1(Q_0)-\ell_2(Q_0)), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \theta(z)=\sum_{\mathcal F_1\in\mathbb{Z}}\exp\{2\pi i\mathcal F_1 z+\pi i\tau_{11}\mathcal F_{1}^2\}, \\ \begin{alignedat}{5} \widehat{\mathcal B}_0&=\widehat{\mathcal S}-\mathcal A_2^{(3)},&\qquad \widehat{\mathcal B}'_0&=\widehat{\mathcal S}'-\mathcal A_2^{(3)},&\qquad \widehat{\mathcal B}_1&=\widehat{\mathcal S}+\mathcal A_2^{(3)}, \\ \widehat{\mathcal B}'_1&=\widehat{\mathcal S}'+\mathcal A_2^{(3)},&\qquad \widehat{\mathcal B}_2&=\widehat{\mathcal S}+2\mathcal A_2^{(3)},&\quad \widehat{\mathcal B}'_2&=\widehat{\mathcal S}'+2\mathcal A_2^{(3)}, \end{alignedat} \\ \begin{aligned} \, \widehat{\mathcal S}&=\Lambda_2-\mathbb{O}_2(u_{\infty'})+\rho_2(n_0,t_{0m})-\mathcal A_2^{(3)}n_0-\widehat{\mathcal A}_{m,2}^{(2)}t_{0m}, \\ \widehat{\mathcal S}'&=\Lambda_2-\mathbb{O}_2(u_{\infty''})+\rho_2(n_0,t_{0m})-\mathcal A_2^{(3)}n_0-\widehat{\mathcal A}_{r,2}^{(2)}t_{0m}, \end{aligned} \\ \mathbb{K}_{j,0}^{(\infty')}=\frac{2}{3\alpha_0}\mathbb{Q}_{j,l-1}-\frac{1}{\alpha^2}\mathbb{Q}_{j,2p-1},\qquad \mathbb{K}_{j,0}^{(\infty'')}=-\frac{1}{3\beta_0}\mathbb{Q}_{j,l-1}-\frac{1}{\alpha_0\beta_0}\mathbb{Q}_{j,2p-1}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Эти формулы задают алгебро-геометрические решения дискретной иерархии обобщенной цепочки Тоды (1.3) в случае, когда род кривой равен 2.
6. Заключительные замечанияВ представленной статье мы нашли алгебро-геометрические решения иерархии обобщенной цепочки Тоды. Сначала мы получили эту иерархию с помощью уравнения нулевой кривизны, а затем ввели функции $\Xi$ и $\Theta$ на тригональной кривой. На основе дифференциала Абеля мы построили представления через тета-функции Римана для потенциалов в стационарном и нестационарном случаях и далее получили решения иерархии. К настоящему времени исследование тригональных кривых привлекает всё большее внимание, и применение этих методов становится всё более и более распространенным. Представляют интерес алгебро-геометрические решения солитонных уравнений четвертого порядка, и это то, что мы собираемся рассмотреть в дальнейшем. Не менее важно и то, что наряду с алгебро-геометрическими решениями заслуживают глубокого изучения солитонные решения, такие как решения типа лампа или бризеры. БлагодарностиАвторы выражают свою глубокую благодарность профессору Сянь-Го Гэну за любезную помощь и конструктивные предложения. Конфликт интересовАвторы заявляют, что у них нет конфликта интересов. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{ZhaLiLi23} |
|
||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|