| Теоретическая и математическая физика |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) Влияние облака струн и квинтэссенции на фазовый переход в заряженных вращающихся черных дырах анти-де Ситтера А. Даассу, Р. Бенбрик, Х. Лаассири Fundamental and Applied Physics Laboratory, Physics Department, Polydisciplinary Faculty, Cadi Ayyad University, Safi, Morocco
Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2023, Volume 215, Issue 3, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0040577923060090 
Реферативные базы данных:
   1. ВведениеСегодня становится очевидным, что ускоренное расширение нашей Вселенной [1], недавно обнаруженное неожиданным образом, является одним из важных космологических открытий. Примечательным моментом этой бросающей вызов научной новости является то, что высокоточные астрономические наблюдения космической эволюции позволяют сделать вывод, что существует энергетическая компонента, так называемая темная энергия, действующая как отталкивающая гравитация и обеспечивающая отрицательное давление, которое может вызвать это ускоренное расширение. Несмотря на обилие наземных и космических астрономических наблюдений, происхождение и природа темной энергии остается полной загадкой. Упомянем в качестве примера модели, в которой учитывается темная энергия, модель однородной энергии вакуума, равной фиксированному значению во всем пространстве; как оказалось, такая модель занимает решающее место в некоторых астрофизических сценариях [2]. Другая точка зрения на темную энергию состоит в предположении, что существует пронизывающая всю Вселенную неоднородная жидкость, называемая энергией квинтэссенции [3], [4], которая отвечает за космическое расширение. Таким образом, если квинтэссенция распространена всюду в пространстве-времени, то она должна покрывать горизонт черной дыры. Мы хотели бы обратить внимание читателя на то, что черная дыра – это одно из самых интересных предсказаний общей теории относительности Эйнштейна, в то же время возьмем на себя смелость утверждать, что будущие сложные, но интересные исследования в этой области еще откроют и опровергнут дополнительные аспекты и факты, связанные с этим загадочным астрофизическим объектом. Рассматривая черную дыру как термодинамическую систему, мы знаем, что ее термодинамические параметры, такие как температура Хокинга $T$, энтропия $S$ и др., зависят от координаты горизонта черной дыры. Следовательно, квинтэссенция может влиять на некоторые термодинамические свойства черной дыры. Кроме того, проведенные в последнее время теоретические исследования проливают свет на новую идею, согласно которой Вселенная может быть представлена набором протяженных объектов вместо точечных частиц; наиболее уместно заменить частицы одномерными объектами, которые называются струнами. Эти протяженные структуры были рассмотрены в рамках формализма, разработанного Летелье [5], который исследовал черную дыру Шварцшильда, окруженную облаком струн, и показал, что присутствие этого облака изменяет горизонт черной дыры по сравнению с горизонтом Шварцшильда. В конечном итоге все эти разные источники, такие как облако струн, квинтэссенция и энергия вакуума, имеют глубокие астрофизические следствия, в частности, для термодинамики черных дыр, и поэтому представляется интересным исследовать влияние этих источников энергии на свойства черной дыры. С 1970-х гг. термодинамика черных дыр продолжает оставаться важной частью теоретической физики [6], [7]. В последнее время широкое внимание привлекли исследования фазовых переходов черных дыр в пространстве, асимптотически являющемся пространством анти-де Ситтера (АдС), благодаря их тесной связи с голографической сверхпроводимостью в контексте соответствия АдС/КТП [8]–[10]. Во многих работах было показано, что для заряженных черных дыр АдС в каноническом ансамбле с фиксированным зарядом существуют фазовые переходы от малых к большим черным дырам. Они аналогичны переходам жидкость-газ в ван-дер-ваальсовой жидкости [11], [12]. Впоследствии аналогичное поведение было обнаружено для черных дыр Керра–АдС и Керра–Ньюмена–АдС [13], [14]. Если интерпретировать космологическую постоянную как термодинамическое давление, а сопряженную ей величину – как объем, то аналогия между черной дырой АдС и ван-дер-ваальсовой жидкостью устанавливается с высокой точностью [15]–[17]. Во многих других параллельных исследованиях было показано, что в системах черных дыр АдС существует фазовый переход от малой к большой черной дыре [18]–[34]. Поскольку эти системы ведут себя как ван-дер-ваальсова жидкость, для них характерны одинаковое поведение свободной энергии Гиббса типа ласточкина хвоста и критические явления на изотермической линии, а также одни и те же законы масштабирования и критические показатели вблизи критической точки. Одним из традиционно используемых методов исследования критического поведения черных дыр является анализ фазовых диаграмм. Но эти диаграммы не всегда легко получить из-за технических трудностей соответствующей теории. Одна из таких сложных ситуаций возникает при исследовании черной дыры Керра–Ньюмена–АдС с квинтэссенцией и облаком струн, которая рассматривается в настоящей статье. Действительно, в этом случае для получения фазовых диаграмм необходимо выразить температуру Хокинга, теплоемкость и энергию Гиббса через все существенные параметры, чтобы иметь полное представление о критическом поведении этой черной дыры в расширенном фазовом пространстве. Для решения такой задачи необходимо разложить параметр вращения $a$, а затем вывести ограничение на $a$ из уравнения, определяющего положение горизонта. Решение такой задачи не представляется очевидным. Стоит отметить, что принятая здесь постановка задачи имеет несколько важных следствий. С одной стороны, ее можно использовать для анализа критического поведения черной дыры Керра–Ньюмена–АдС с облаком струн и квинтэссенцией в многомерном (более чем четырехмерном) пространстве-времени, с другой стороны, такая задача может сыграть решающую роль в исследовании фазового перехода для других сложных черных дыр. Летелье [5] исследовал черную дыру Шварцшильда, окруженную облаком струн, и проанализировал воздействие этого облака на горизонт черной дыры. Подчеркнем, что заряженная вращающаяся черная дыра, которая является общим решением типа черной дыры, может иметь важные приложения в современной астрофизике и космологии. По этой причине мы поставили задачу исследовать фазовые диаграммы черной дыры Керра–Ньюмена–АдС, окруженной двумя дополнительными источниками энергии (квинтэссенцией и облаком струн). Цель этого исследования – узнать, какую роль в фазовых диаграммах играет каждая компонента этих источников, в частности, путем анализа теплоемкости черной дыры определить, как они влияют на термодинамическую устойчивость системы. Кроме того, анализ этих диаграмм может дать информацию о том, влияет ли квинтэссенция и облако струн на существование фазового перехода черной дыры. Работа организована следующим образом. В разделе 2 мы приводим термодинамические величины, характеризующие заряженные вращающиеся черные дыр АдС, окруженные квинтэссенцией и облаком струн. В разделе 3 мы описываем основные этапы получения таких термодинамических величин, как температура Хокинга, свободная энергия Гиббса и теплоемкость, путем введения подходящего аналитического приближенного выражения для параметра вращения $a$ как функции от всех важных параметров – космологической постоянной, энтропии, параметров квинтэссенции и облака струн, заряда и углового момента системы. Мы численно находим положения критических точех и получаем диаграммы $\widetilde T$–$\widetilde S$, $\widetilde G$–$\widetilde T$, $\widetilde C$–$\widetilde S$. В разделе 3 также обсуждается влияние облака струн и квинтэссенции на фазовый переход черной дыры. Мы суммируем наши результаты в разделе 4. 2. Термодинамика черных дыр Керра–Ньюмена–АдС, окруженных облаком струн и квинтэссенциейМетрика заряженной вращающейся черной дыры АдС с квинтэссенцией, космологической постоянной и сферически-симметричным облаком струн задается как [35]
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, ds^2&=\frac{\Sigma}{\Delta_r} d r^2+\frac{\Sigma}{\Delta_\theta}\,d\theta^2+ \frac{\Delta_\theta\sin^2\theta}{\Sigma}\biggl[a\frac{dt}{\Xi}-(r^2+a^2)\frac{d\phi}{\Xi}\biggr]^2-{} \nonumber\\ &\quad-\frac{\Delta_r}{\Sigma}\biggl(\frac{dt}{\Xi}-a\sin^2\theta\frac{d\phi}{\Xi}\biggr)^{\!2}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{1}
$$
где метрические функции имеют вид
$$
\begin{equation}
\Sigma=r^2+a^2\cos^2\theta, \qquad \Xi=1+\frac{\Lambda}{3}a^2,
\end{equation}
\tag{2}
$$
$$
\begin{equation}
\Delta_r=(1-b)r^2+a^2+q^2-2mr-\frac{\Lambda}{3}r^2(r^2+a^2)-\alpha r^{1-3\omega_{\mathrm q}},
\end{equation}
\tag{3}
$$
Здесь $\Lambda$ – космологическая постоянная, $a$ может рассматриваться как угловой момент черной дыры на единицу массы, $b$ – постоянная, отвечающая за присутствие в модели облака струн, $\omega_{\mathrm q}$ – параметр состояния квинтэссенции, $-1<\omega_{\mathrm q}<0$ [36] и $\alpha$ – положительный параметр, который равен интенсивности поля квинтэссенции вокруг черной дыры, удовлетворяющий неравенству [37]
$$
\begin{equation}
\alpha\leqslant\frac{2}{1-3\omega_{\mathrm q}}8^{\omega_{\mathrm q}}.
\end{equation}
\tag{5}
$$
Рассматривая черную дыру как термодинамическую систему и определяя такие термодинамические величины, как физическая температура, свободная энергия Гиббса, энтропия и теплоемкость, мы можем получить для этой системы фазовые диаграммы и, следовательно, описать происходящие в ней критические явления. Температура Хокинга [38], [39] черной дыры связана с поверхностной гравитацией формулой $2\pi T=\kappa_{\mathrm h}$ и выражается как [35]
$$
\begin{equation}
T=\frac{(1-b)r_{\mathrm h}^2-a^2-q^2- \frac{\Lambda}{3}r_{\mathrm h}^2(3r_{\mathrm h}^2+a^2)+3\omega_{\mathrm q}\alpha r_{\mathrm h}^{1-3\omega_{\mathrm q}}}{4\pi r_{\mathrm h}(r_{\mathrm h}^2+a^2)},
\end{equation}
\tag{6}
$$
где радиус $r_{\mathrm h}$ горизонта черной дыры определяется из условия $\Delta_r=0$. Энтропия $S$ черной дыры имеет вид [13] Физическая масса $M$, заряд $Q$ и угловой момент $J$ выражаются через параметры $m$, $q$ и $a$ следующим образом:
$$
\begin{equation}
M=\frac{m}{\Xi^2},\qquad Q=\frac{q}{\Xi},\qquad J=\frac{a m}{\Xi^2}.
\end{equation}
\tag{8}
$$
В рамках классической термодинамики можно интерпретировать массу черной дыры $M$ не как полную энергию пространства-времени [15], [40], а как энтальпию $H$. Таким образом, из уравнений (6)–(8) получаем свободную энергию Гиббса:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, G=M-TS&= \frac{(a^2+q^2)\bigl(1+\frac{1}{2}\Xi\bigr)+ (1-b)r_{\mathrm h}^2\bigl(1-\frac{1}{2}\Xi\bigr)- r_{\mathrm h}^{1-3\omega_{\mathrm q}}\alpha\bigl(1+\frac{3}{2}\Xi\omega_{\mathrm q}\bigr)}{2r_{\mathrm h}\Xi^2}+{} \nonumber\\ &\quad+\frac{\frac{1}{3}r_{\mathrm h}^2\Lambda\bigl(\frac{1}{2}\Xi(a^2+3r_{\mathrm h}^2)-(a^2+r_{\mathrm h}^2)\bigl)}{2r_{\mathrm h}\Xi^2}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{9}
$$
Одним из традиционных методов исследования критического поведения черной дыры является анализ ее теплоемкости, которую можно определить как
$$
\begin{equation}
C_{P,J,Q,\alpha,b,\omega_{\mathrm q}}=T\biggl(\frac{\partial S}{\partial T}\biggl)_{\!{}^{\scriptstyle P,J,Q,\alpha,b,\omega_{\mathrm q}}}.
\end{equation}
\tag{10}
$$
Следует подчеркнуть, что теплоемкость характеризует локальную термодинамическую устойчивость: положительная и отрицательная теплоемкости соответствуют устойчивым и неустойчивым системам. Известно также, что в точке, где теплоемкость расходится, происходит фазовый переход.
3. Критическое поведение черных дыр Керра–Ньюмена–АдС, окруженных облаком струн и квинтэссенциейВ этом разделе мы обсуждаем влияние облака струн и квинтэссенции на критическое поведение и фазовый переход заряженной вращающейся черной дыры АдС. Критическая точка определяется из условия $\partial_ST=\partial_{S,S}T=0$. Чтобы ее найти, необходимо выразить температуру $T$ через $S$, $P$, $J$, $Q$, $\alpha$, $b$ и $\omega_{\mathrm q}$. Рассматривая космологическую постоянную как давление $P$ и исходя из выражения (7) для $S$, мы можем записать температуру Хокинга как
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, T&=\frac{(1-b)\bigl(\frac{S\Xi}{\pi}-a^2\bigr)-a^2-Q^2\Xi^2+ \frac{8\pi P}{3}\bigl(\frac{S\Xi}{\pi}-a^2\bigr)\bigl(3S\frac{\Xi}{\pi}-2 a^2\bigr)}{4\sqrt{S\frac{\Xi}{\pi}-a^2}S\Xi}+{} \nonumber\\ &\quad+\frac{3\omega_{\mathrm q}\alpha\bigl(\frac{S\Xi}{\pi}-a^2\bigr)^{(1-3\omega_{\mathrm q})/2}}{4\sqrt{S\frac{\Xi}{\pi}-a^2}S\Xi}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{11}
$$
где Чтобы использовать уравнение (11) в критическом условии, требуется выразить параметр вращения $a$ через $P$, $S$, $J$, $Q$, $\alpha$, $b$ и $\omega_{\mathrm q}$. Мы поступаем следующим образом. Сначала выразим $r_{\mathrm h}=r_{\mathrm h}(a,P,S)$ из уравнения (7). Затем из уравнений для $J$ и $Q$ выразим параметры $m=m(a,J,P)$ и $q=q(a,Q,P)$ соответственно. Подставляя их в выражение (3) для $\Delta_r$, получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, (1-b)\biggl(\frac{S\Xi}{\pi}-a^2\biggr)&{}+a^2+Q^2\Xi^2-\frac{2J\Xi^2}{a}\biggl(\frac{S\Xi}{\pi}-a^2\biggr)^{\!1/2}+{} \nonumber\\ &{}+\frac{8\pi PS\Xi}{3\pi}\biggl(\frac{S\Xi}{\pi}-a^2\biggr)-\alpha\biggl(\frac{S\Xi}{\pi}-a^2\biggr)^{\!(1-3\omega_{\mathrm q})/2}=0. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{13}
$$
На заключительном этапе нужно решить это уравнение, чтобы получить выражение для $a$ как функции $a(P,S,J,Q,\alpha,b)$. Заметим, что для любого фиксированного значения $\omega_{\mathrm q}$ из интервала $-1<\omega_{\mathrm q}<0$ после простых вычислений уравнение (13) всякий раз сводится к полиномиальному уравнению более чем пятой степени с произвольными коэффициентами. К сожалению, аналитических решений этих уравнений не существует. Например, при $\omega_{\mathrm q}=-2/3$ мы получаем полиномиальное уравнение десятой степени, которое не может быть решено без какого-либо приближения. Ключевой момент нашей процедуры поиска приближенного выражения для любого полиномиального уравнения степени, фиксированной заданным значением $\omega_{\mathrm q}$, состоит в том, чтобы представить каждый член $a^n$ при $n\geqslant 3$ как разлагая его в окрестности $a=1$ до второго порядка. Мы также проверили разложения до первого и третьего порядков и обнаружили, что второй порядок дает наилучшие результаты для критических точек и тем самым оказывается наиболее подходящим для нашего метода.Рассмотрим $\omega_{\mathrm q}=-2/3$ в качестве примера, чтобы показать, что детальное вычисление приводит к аналитическому выражению для $a$. Заметим, что представленный здесь алгоритм хорошо работает для любого значения $\omega_{\mathrm q}$ (см. приложение А, где приведено аналитическое выражение для $a$, полученное при $\omega_{\mathrm q}=-1/3$). С учетом приближения (14) при $\omega_{\mathrm q}=-2/3$ полиномиальное уравнение десятой степени, вытекающее из уравнения (13), сводится к следующему квадратному уравнению:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, a^2(36\beta_1&{}+28\beta_3+21\beta_4+15\beta_5+10\beta_6+3\beta_8+\beta_9+6\beta_7+45\beta_2)-{} \nonumber\\ &{}-a(35\beta_4+24\beta_5+15\beta_6+8\beta_7+3\beta_8+80\beta_2+63\beta_1+48\beta_3-\beta_{11})+{} \nonumber\\ &{}+28\beta_1+21\beta_3+15\beta_4+10\beta_5+6\beta_6+3\beta_7+\beta_8+\beta_{10}+36\beta_2=0, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{15}
$$
где коэффициенты $\beta_i$ выражаются через величины $P$, $S$, $J$, $Q$, $\alpha$ и $b$ (см. приложение Б). Решая уравнение (15), без труда получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, a&=\bigl[63\beta_1+48\beta_3+35\beta_4+24\beta_5+15\beta_6+8\beta_7+3\beta_8-\beta_{11}+80\beta_2+{} \nonumber\\ &{}\qquad+\bigl((-63\beta_1-48\beta_3-35\beta_4-24\beta_5-15\beta_6-8\beta_7-3\beta_8+\beta_{11}-80\beta_2)^2-{} \nonumber\\ &{}\qquad\qquad-4(28\beta_1+21\beta_3+15\beta_4+10\beta_5+6\beta_6+3\beta_7+\beta_8+\beta_{10}+36\beta_2)\times{} \nonumber\\ &{}\qquad\qquad\quad\times(36\beta_1+28\beta_3+21\beta_4+15\beta_5+10\beta_6+6\beta_7+3\beta_8+\beta_9+45\beta_2)\bigr)^{1/2}\bigr]\times{} \nonumber\\ &\quad\times\bigl[2(36\beta_1+28\beta_3+21\beta_4+15\beta_5+10\beta_6+6\beta_7+3\beta_8+\beta_9+45\beta_2)\bigr]^{-1}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{16}
$$
Подставляя полученные выражения в уравнение (11), немедленно получаем $T$ как функцию $T(S,P,J,Q,\alpha,b)$. Кроме того, следуя той же процедуре, можно выразить свободную энергию Гиббса и теплоемкость через $S$, $P$, $J$, $Q$, $\alpha$ и $b$. Эти три термодинамические величины имеют достаточно сложный вид, поэтому мы опускаем выражения для них. Наконец, используя условие $(\partial_S T)_{P,J,Q,\alpha,b}=(\partial_{S,S}T)_{P,J,Q,\alpha,b}=0$, находим критическую точку. В работе [41] авторы выразили температуру и свободную энергию Гиббса черной дыры Керра–Ньюмена–АдС через $S$, $P$, $J$ и $Q$ и показали, что при $J\neq 0$ и $Q\neq 0$, используя указанное выше условие критичности, невозможно получить аналитически или точно критическую точку. При ненулевых параметрах $J$, $Q$, $\alpha$ и $b$ два уравнения, выведенных из критического условия, очень сложные, решить их и, следовательно, найти критическую точку можно только численно. Отметим, что, прежде чем искать выражение для параметра вращения $a$ через другие параметры (см. уравнения (15), (16)), мы можем записать уравнение (13) через $r_{\mathrm h}$ (горизонт черной дыры), а не через параметр $a$, следуя той же процедуре, что и выше. Соответствующее уравнение для $r_{\mathrm h}$ дает многочлен большой степени (при фиксированном $\omega_{\mathrm q}$ степень всегда больше пяти). Точное решение этого уравнения найти нельзя, только приближенное. Однако большой диапазон изменения $r_{\mathrm h}$ делает расчет аппроксимации очень трудным. Это основная причина, побудившая нас выразить через другие параметры именно параметр $a$. Это гораздо удобнее для аппроксимации решения, так как диапазон изменения $a$ достаточно мал (значение $a$ лежит от 0 до 1, см. [42]). Заметим, что полученные нами критические значения термодинамических величин при $\alpha=0$ и $b=0$ должны согласовываться с результатами приближения для критической точки черной дыры Керра–Ньюмена–АдС, полученными в работе [41]. Чтобы убедиться в этом, мы применили численную проверку согласованности, результаты представлены на рис. 1. Сплошные линии, показанные на рис. 1, – это приближения для четырех термодинамических величин, характеризующих черную дыру Керра-Ньюмена-АдС, из работы [41]. Мы видим, что значения хорошо согласуются. Известно, что при $\alpha=b=0$ черные дыры Керра–Ньюмена–АдС претерпевают фазовый переход, аналогичный переходу в системе ван дер Ваальса. Возникает вопрос: как ведут себя $\alpha$ и $b$ в случае черной дыры Керра–Ньюмена–АдС с ненулевым параметром $\omega_{\mathrm q}$? Чтобы исследовать этот вопрос, мы построили графики приведенной температуры $\widetilde T=T/T_{\mathrm c}$ как функции от $\widetilde S$ для различных $\omega_{\mathrm q}$, $\alpha$, $b$ и $\widetilde P=P/P_{\mathrm c}$ (см. рис. 2, 3). Графики показывают, что при $\widetilde P=0.8$ на диаграммах $\widetilde T$–$\widetilde S$ наблюдается критический режим (см. рис. 2а, 2в, 2е, 2ж). На рис. 2в ясно видно, что с ростом $b$ величина $\widetilde T$ в точках локальных минимумов и максимумов уменьшается. Однако при уменьшении $\alpha$, если расматривать тот же набор параметров $b$, смещение точек локального максимума или минимума при изменении $b$ становится существенно меньше (ср. рис. 2в и 2а). Кроме того, эти точки сдвигаются в сторону бо́льших $\widetilde T$. Рис. 2в и 2ж построены при разных $\omega_{\mathrm q}$ и фиксированном $\alpha$. Мы видим, что с ростом $\omega_{\mathrm q}$ величина $\widetilde T$ в точках локального минимума и максимума становится больше, при этом разница между кривыми для разных $b$ становится почти незаметной (см. рис. 2ж). Заметим, что влияние параметра $\alpha$, наблюдавшееся при сравнении рис. 2а и 2в, на рис. 2в и 2ж заметно уменьшается. При $\widetilde P=1.2$ критические точки приведенной температуры отсутствуют (см. рис. 2б, 2г, 2е, 2з).  Рис. 1.Критическое давление (а), температура (б), энтропия (в) и энергия Гиббса (г) как функции отношения $J/Q^2$. Точки – результаты, полученные в нашей работе для $\alpha=b=0$, сплошные линии – результаты приближения из работы [41]. Мы видим очень хорошее согласие результатов друг с другом. На рис. 3 изображены графики приведенной температуры как функции от $\widetilde S$ для различных значений $\omega_{\mathrm q}$, $\alpha$ и $b$ при $\widetilde P=1$. Численные результаты для критической точки сведены в табл. 1. Таблица 1.Параметры критической точки для различных значений $\omega_{\mathrm q}$, $\alpha$, $b$ при $J=1$, $Q=1$.
На рис. 4 изображены графики приведенной свободной энергии Гиббса $\widetilde G=G/G_{\mathrm c}$ как функции от $\widetilde T$ для различных значений $\omega_{\mathrm q}$, $\alpha$, $b$ и $\widetilde P$. При $\widetilde P=0.22$ поведение величины $\widetilde G$ имеет характер ласточкина хвоста (см. рис. 4а, 4в, 4д, 4ж). Из рис. 4в видно, что при увеличении $b$ точка самопересечения графика для $\widetilde G$ смещается в сторону более низких $\widetilde T$ и $\widetilde G$. Однако с уменьшением $\alpha$ при том же изменении значений $b$ сдвиг между точками самопересечения значительно уменьшается (ср. рис. 4в и рис. 4а). Кроме того, эти точки сдвигаются в сторону бо́льших $\widetilde T$. Рис. 4в и 4ж построены для различных $\omega_{\mathrm q}$ при фиксированном $\alpha$. Мы видим, что при увеличении параметра $\omega_{\mathrm q}$ точки самопересечения графика для $\widetilde G$ сдвигаются в сторону большей $\widetilde T$ и меньшей $\widetilde G$, и при больших $\omega_{\mathrm q}$ разница между кривыми, соответствующими разным значениям $b$, почти незаметна (см. рис 4ж). При $\widetilde P=1.2$ ласточкин хвост в графиках приведенной свободной энергии Гиббса исчезает (см. рис. 4б, 4г, 4е, 4з). На рис. 5 изображены графики приведенной свободной энергии Гиббса $\widetilde G$ как функции от $\widetilde T$ для различных значений $\omega_{\mathrm q}$, $\alpha$ и $b$ при $\widetilde P=1$. Рис. 6 иллюстрирует поведение $\widetilde C=C/C_{\mathrm c}$ как функции от $\widetilde S$ для различных значений $\alpha$, $b$, $\widetilde P$ при фиксированном значении $\omega_{\mathrm q}$. Графики показывают, что при $\widetilde P<1$ приведенная теплоемкость является разрывной функцией с двумя различными точками разрыва (см. рис. 6а, 6г), поэтому система термодинамически неустойчива в области между двумя расходимостями. Однако за пределами этой области устойчивость восстанавливается. Как только происходит фазовый переход второго рода (при $\widetilde P=1$, рис. 6б, 6д), неустойчивость исчезает и все фазы восстанавливают устойчивость, кроме критической точки $\widetilde S=S/S_{\mathrm c}=1$ где приведенная теплоемкость вновь стремится к бесконечности. При $\widetilde P>1$ (см. рис. 6в, 6е) точки расходимости теплоемкости $\widetilde C$ пропадают, и фазовый переход исчезает. Все графики на рис. 6 демонстрируют зависимость $\widetilde C$ от $\alpha$ и $b$. 4. ЗаключениеВ представленной статье мы показали, что если $\widetilde P<1$, то фазовые диаграммы $\widetilde G$–$\widetilde T$ и $\widetilde T$–$\widetilde S$ имеют соответственно поведение ласточкина хвоста и осциллирующую часть при различных значениях $\omega_{\mathrm q}$, $\alpha$ и $b$, и наблюдается фазовый переход первого рода, который известен как фазовый переход малой черной дыры в большую. Эти особенности исчезают, когда $\widetilde P>1$, таким образом, фазовый переход от малых к большим черным дырам не происходит. Однако при $\widetilde P=1$ этот фазовый переход превращается в фазовый переход второго рода. Соответственно, анализ фазовых диаграмм $\widetilde T$–$\widetilde S$, $\widetilde G$–$\widetilde T$ и $\widetilde C$–$\widetilde S$ позволяет сделать следующий вывод: когда облако струн и квинтэссенция окружает заряженную вращающуюся черную дыру АдС, эти дополнительные источники энергии не влияют на существование фазового перехода от малых к большим черным дырам, тем самым черные дыры демонстрируют фазовый переход, подобный переходу в ван-дер-ваальсовой жидкости. Приложение А. Параметр вращения при $\omega_{\mathrm q}=-1/3$
$$
\begin{equation*}
a=\frac{8\pi(\gamma_1+\gamma_2+\gamma_3)+\sqrt{64\pi^2(\gamma_1+\gamma_2+\gamma_3){}^2-216\pi(\gamma_4+\gamma_5+\gamma_6)(\gamma_7+\gamma_8+\gamma_9)}} {6(\gamma_4+\gamma_5+\gamma_6)},
\end{equation*}
\notag
$$
где коэффициенты $\gamma_i$ имеют вид
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \gamma_1&=32P(3-8P\pi)^2(-3+20P\pi)(3\pi Q^2+S(3+8PS))^2, \\ \gamma_2&=27\bigl(768P^2\pi^3 Q^2(3+8PS)+32P\pi^2(-27 Q^2(1+4PS)+8PS(3+8PS)^2)+{} \\ &\quad\qquad +9\pi(6Q^2(1+8PS)-(3+8PS)(128P^2S^2-8PS(-4+\alpha)-3\alpha))+{} \\ &\quad\qquad +18S(3+8PS)(1+8PS-\alpha)\bigr)\alpha, \\ \gamma_3&=384 J^2P\pi^2(3-8P\pi)^2(-9+60P(\pi-S)+160P^2\pi S)+{} \\ &\quad +243b^2(3+8PS)\bigl(-2S+\pi(3+8PS)\bigr)+{} \\ &\quad +54b\bigl(384 P^2\pi^3 Q^2(3+8PS)+16P\pi^2(-27 Q^2(1+4PS)+8PS(3+8PS)^2)+{} \\ &\qquad\qquad +9\pi\bigl(3Q^2(1+8PS)-(3+8PS)(64P^2S^2-8PS(-2+\alpha)-3\alpha)\bigr)+{} \\ &\qquad\qquad +9S(3+8PS)(1+8PS-2\alpha)\bigr), \\ \gamma_4&=(3-8P\pi)^2(3-176 P\pi+960P^2\pi^2)\bigl(3\pi Q^2+S(3+8PS)\bigr)^2, \\ \gamma_5&=3(10752P^2\pi^4 Q^2(3+8PS)+32P\pi^3\bigl(-405Q^2(1+4PS)+112PS(3+8PS)^2\bigr)+{} \\ &\quad +27\pi^2\bigl(36Q^2(1+8PS)-5(3+8PS)(128P^2S^2-8PS(-4+\alpha)-3\alpha)\bigr)+{} \\ &\quad +162\pi S\bigl(-Q^2+2(3+8PS)(1+8PS-\alpha)\bigr)-27S^2(6+16PS-3\alpha))\alpha, \\ \gamma_6&=12J^2\pi^2(3-8P\pi)^2\bigl(9+320P^2\pi(9\pi-10 S)-24P(22\pi-5S)+7680P^3\pi^2S\bigr)+{} \\ &\quad +81b^2\bigl(3S^2-12\pi S(3+8PS)+5\pi^2(3+8PS)^2\bigr)+{} \\ &\quad +6b\bigl(5376P^2\pi^4 Q^2(3+8PS)+16P\pi^3\bigr({-405}Q^2(1+4PS)+112PS(3+8PS)^2\bigr)+{} \\ &\qquad\qquad+27\pi^2\bigl(18 Q^2(1+8PS)-5(3+8PS)(64P^2S^2-8PS(-2+\alpha)-3\alpha)\bigr)+{} \\ &\qquad\qquad +81\pi S(-Q^2+2(3+8PS)(1+8PS-2\alpha))-27 S^2(3+8PS-3\alpha)\bigr), \\ \gamma_7&=16P(3-8P\pi)^2(-1+8P\pi)\bigl(3\pi Q^2+S(3+8PS)\bigr)^2, \\ \gamma_8&=6J^2(3-8P\pi)^2\bigl(64P^2\pi^2(12\pi-11 S)-3 S+2048P^3\pi^3S-16P\pi(6\pi+S)\bigr)+{} \\ &\quad +9b^2(3+8PS)\bigl(-9S+5\pi(3+8PS)\bigr)+{} \\ &\quad +3b\bigl(1344 P^2\pi^3Q^2(3+8PS)+32P\pi^2\bigl(-45Q^2(1+4PS)+14PS(3+8PS)^2\bigr)+{} \\ &\qquad\qquad +3\pi\bigl(27Q^2(1+8PS)-10(3+8PS)(64P^2S^2-8PS(-2+\alpha)-3\alpha)\bigr)+{} \\ &\qquad\qquad +27S(3+8PS)(1+8PS-2\alpha)\bigr), \\ \gamma_9&=3\bigl(1344 P^2\pi^3 Q^2(3+8PS)+32P\pi^2\bigl(-45 Q^2(1+4PS)+14PS(3+8PS)^2\bigr)+{} \\ &\qquad\qquad +3\pi\bigl(27Q^2(1+8PS)-5(3+8PS)(128P^2 S^2-8PS(-4+\alpha)-3\alpha)\bigr)+{} \\ &\qquad\qquad +27S(3+8PS)(1+8PS-\alpha)\bigr)\alpha. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Приложение Б. Коэффициенты $\beta_k$ в уравнении $(15)$
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \beta_1&=-\frac{256}{9}JP^2\pi^2\alpha-\frac{4096}{27}JP^3\pi^2S\alpha-\frac{16384}{81}JP^4\pi^2S^2\alpha, \\ \beta_2&=\frac{16384}{81}J^2P^4\pi^4+\frac{4096}{81}P^4\pi^4Q^4+\frac{131072}{243}J^2P^5\pi^4S+\frac{8192}{81}P^4\pi^3Q^2S+{} \\ &\quad\, +\frac{4096}{81}P^4\pi^2S^2+\frac{65536}{243}P^5\pi^3Q^2S^2+\frac{65536}{243}P^5\pi^2S^3+\frac{262144}{729}P^{6}\pi^2S^4, \\ \beta_3&=-\frac{8192}{27}J^2P^3\pi^3+\frac{128}{9}bP^2\pi^2Q^2-\frac{2048}{27}P^3\pi^3Q^4+\frac{128}{9}bP^2\pi S-{} \\ &\quad\, -\frac{81920}{81}J^2P^4\pi^3S-\frac{4096}{27}P^3\pi^2Q^2S+\frac{1024}{27}bP^3\pi^2Q^2S-\frac{2048}{27}P^3\pi S^2+{} \\ &\quad\, +\frac{2048}{27}bP^3\pi S^2-\frac{32768}{81}P^4\pi^2Q^2S^2-\frac{32768}{81}P^4\pi S^3+\frac{8192}{81}bP^4\pi S^3-{} \\ &\quad\, -\frac{131072}{243}P^5\pi S^4+\alpha^2+8PS\alpha^2+\frac{64}{3}P^2S^2\alpha^2+\frac{512}{27}P^3S^3\alpha^2, \\ \beta_4&=\frac{64}{3}JP\pi\alpha+\frac{512}{3}JP^2\pi S\alpha+\frac{8192}{27}JP^3\pi S^2\alpha, \\ \beta_5&=b^2+\frac{512}{3}J^2P^2\pi^2-\frac{32}{3}bP\pi Q^2+\frac{128}{3}P^2\pi^2Q^4-\frac{32}{3}bPS+\frac{16}{3}b^2PS+{} \\ &\quad\, +\frac{20480}{27}J^2P^3\pi^2S+\frac{256}{3}P^2\pi Q^2S-\frac{128}{3}bP^2\pi Q^2S+\frac{128}{3}P^2S^2-\frac{640}{9}bP^2S^2+{} \\ &\quad\, +\frac{64}{9}b^2P^2S^2+\frac{2048}{9}P^3\pi Q^2S^2+\frac{2048}{9}P^3S^3-\frac{1024}{9}bP^3S^3+\frac{8192}{27}P^4S^4-{} \\ &\quad\, -\frac{3S\alpha^2}{\pi}-\frac{16PS^2\alpha^2}{\pi}-\frac{64P^2S^3\alpha^2}{3\pi}, \\ \beta_6&=-4J\alpha-64JPS\alpha-\frac{512}{3}JP^2S^2\alpha, \\ \beta_7&=-\frac{128}{3}J^2P\pi+2bQ^2-\frac{32}{3}P\pi Q^4+\frac{2bS}{\pi}-\frac{2b^2S}{\pi}-\frac{2560}{9}J^2P^2\pi S-{} \\ &\quad\, -\frac{64}{3}PQ^2S+16bPQ^2S-\frac{32PS^2}{3\pi}+\frac{64bPS^2}{3\pi}-\frac{16b^2PS^2}{3\pi}-{} \\ &\quad\, -\frac{512}{9}P^2Q^2S^2-\frac{512P^2S^3}{9\pi}+\frac{128bP^2S^3}{3\pi}- \frac{2048P^3S^4}{27\pi}+\frac{3S^2\alpha^2}{\pi^2}+\frac{8PS^3\alpha^2}{\pi^2}, \\ \beta_8&=\frac{8JS\alpha}{\pi}+\frac{128JPS^2\alpha}{3\pi}, \\ \beta_9&=4J^2+Q^4+\frac{160}{3}J^2PS+\frac{2Q^2S}{\pi}-\frac{2bQ^2S}{\pi}+ \frac{S^2}{\pi^2}-\frac{2bS^2}{\pi^2}+\frac{ b^2S^2}{\pi^2}+\frac{16PQ^2S^2}{3\pi}+{} \\ &\quad\, +\frac{16PS^3}{3\pi^2}-\frac{16bPS^3}{3\pi^2}+\frac{64P^2S^4}{9\pi^2}-\frac{S^3\alpha^2}{\pi^3}, \\ \beta_{10}&=-\frac{4 J^2S}{\pi},\qquad \beta_{11}=-\frac{4JS^2\alpha}{\pi^2}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
БлагодарностиМы благодарим анонимного рецензента за интересные комментарии и предложения, которые побудили нас подготовить существенно улучшенную переработанную версию статьи. Конфликт интересовАвторы заявляют, что у них нет конфликта интересов.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{DaaBenLaa23} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|