| Теоретическая и математическая физика |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 12 научных статьях (всего в 12 статьях) Об островах в черных дырах Шварцшильда И. Я. Арефьева, И. В. Волович Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук, Москва, Россия
Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2023, Volume 214, Issue 3, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S004057792303008X 
Реферативные базы данных:
   1. ВведениеЭнтропия излучения Хокинга черных дыр при испарении растет до бесконечности, что является проявлением информационного парадокса [1], [2]. Это увеличение не согласуется с гипотетическим поведением, при котором энтропия уменьшается после так называемого времени Пейджа [3]–[5] и которое согласуется с унитарностью динамики в квантовой механике. Недавно подход к решению информационной проблемы черных дыр был предложен в работах [6]–[10] на основе так называемой “формулы островов” для энтропии зацепленности излучения Хокинга, связанной с квантовой экстремальной поверхностью [11]. Согласно предписанию квантовых экстремальных поверхностей энтропия зацепленности области после перенормировки1 задается формулой
$$
\begin{equation}
S(R) = \operatorname{min} \biggl\{\mathop{\mathrm{ext}}_{\cal I}\biggl[ \frac{\mathrm{Area}(\partial {\cal I})}{4G} + S_{\mathrm{matter}}(R\cup {\cal I}) \biggr]\biggr\}.
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
Здесь $\cal I$ – это область пространства-времени, называемая островом, ее граница обозначена $\mathrm{Area}[\partial {\cal I}]$, $S_{\mathrm{matter}}$ – энтропия фон Неймана $S_{\mathrm{vN}}(R\cup {\cal I})$ объединения острова и области $R$, $G$ – постоянная Ньютона, $\mathop{\mathrm{ext}}_{\cal I}$ означает экстремизацию по всем возможным островам, после которой предполагается выбор конфигурации с минимальным значением энтропии. При эволюции системы форма острова может динамически меняться и разные экстремальные поверхности могут доминировать в разное время. В некоторых моделях это изменение доминирования обеспечивает ограничения на функцию $S(R)$ с течением времени [6], [7], [9], [10], [14]–[22]. Хотя предписание квантовой экстремальной поверхности было предложено в рамках голографического подхода [23], [24], правило острова применимо к черным дырам в более общих теориях. Формула (1.1) была подтверждена для некоторых двумерных моделей [8], [9]. Для двумерной гравитации правило острова было получено с помощью метода реплик [25]–[27] и вклад острова был связан с репликами, имеющими конфигурацию так называемых кротовых нор [20], [21]. Кривая Пейджа для испарения черных дыр в JT-гравитации также изучалась в работе [28]. Конфигурации типа кротовых нор в JT-гравитации обсуждались в работе [29] (о дальнейших исследованиях для маломерных случаев см. [30]–[37] и ссылки в этих работах; в частности, для асимптотически плоского двумерного пространства-времени см. [38]–[40]). Черные дыры в асимптотически плоском пространстве-времени размерности $D\geqslant 4$ рассматривались в работах [14], [41]–[44]. В работе [41] с помощью формулы для энтропии острова (1.1) для асимптотически плоских вечных черных дыр Шварцшильда в четырехмерном пространстве-времени было продемонстрировано насыщение энтропии зацепленности на позднем этапе до значения
$$
\begin{equation}
S_{\cal I} = \frac{2\pi r_\mathrm{h}^2}{G} + \frac{c}{6} \frac{b-r_\mathrm{h}}{r_\mathrm{h}} + \frac{c}{6} \log \frac{16r_\mathrm{h}^3(b-r_\mathrm{h})^2}{G^2b}.
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
Здесь $r_\mathrm{h}$ – гравитационный радиус черной дыры Шварцшильда, $r_\mathrm{h} = 2GM$, $M$ – масса черной дыры, $c$ – количество безмассовых полей материи, $b$ определяет границы областей зацепления в правом и левом клиньях геометрии Шварцшильда. Предполагается выполнение следующих неравенств: $\sqrt{G}\ll r_\mathrm{h} \ll b$, $\sqrt{G}\ll r_\mathrm{h} \ll b$. Энтропия, соответствующая неостровной конфигурации, доминирует на малых временах и линейно растет со временем:
$$
\begin{equation}
S_{n{\cal I}}\simeq \frac{c}{6} \frac{t}{r_\mathrm{h}}.
\end{equation}
\tag{1.3}
$$
Приравнивая энтропию без острова к энтропии с островом (при условии преобладания первого члена в (1.2)), получаем оценку времени Пейджа [41]
$$
\begin{equation}
t_\mathrm{Page}\sim \frac{6\pi r_\mathrm{h}^3}{c G}.
\end{equation}
\tag{1.4}
$$
Приведенные выше соображения, как отмечено в [41], не прибегают ни к голографическому соответствию, т. е. встраиванию в многомерное пространство-время анти-де Ситтера, ни к взаимодействию со вспомогательной системой для поглощения излучения. В этой статье мы отмечаем, что при применении приведенных выше оценок к испарению черной дыры второй член в (1.2) играет важную роль и становится доминирующим для малых $r_\mathrm{h}$. Таким образом, энтропия начинает расти с уменьшением массы черной дыры. Или, другими словами, хотя включение острова и экстремизация его местоположения приводит к не зависящей от времени энтропии вечной черной дыры на поздних временах, энтропия со временем стремительно растет, когда черная дыра испаряется до радиуса Шварцшильда $r_\mathrm{h} \ll(cGb / 24 \pi)^{1/3}$. Мы обсудим причину появления члена $cb/6r_\mathrm{h}$ в (1.2), который является сингулярным при малых $r_\mathrm{h} = 2GM$. Мы увидим, что происхождение этого члена связано c использованием координат Крускала, которые являются сингулярными при малых $G$. Формула острова (1.1) была получена в работах [9], [10] с использованием метода реплик и разложения гравитационного континуального интеграла по постоянной $G$. Полуклассическое разложение гравитационного континуального интеграла по $G$ отличается от стандартного полуклассического разложения по постоянной Планка, поскольку в первом случае сама фоновая метрика зависит от $G$. Более того, решение Шварцшильда в координатах Крускала является сингулярным для малых $G$ (или малых $M$) (см. обсуждение этого вопроса в [45]). В результате член $S_\mathrm{matter}(R\cup {\cal I})$ имеет порядок $1/G$ для малых $G$. До экстремизации первый член имеет тот же порядок и равен $2 \pi a^2/G$, где $a$ – местоположение острова. Однако процедура экстремизации дает $a\approx r_\mathrm{h}$ и $2\pi a^2/G=8\pi GM^2$, т. е. этот член становится субдоминирующим для небольших $G$, уступая определяющий вклад члену2 $cb/(12G M)$. Это прямо противоположное поведение по сравнению с оценкой, основанной на учете только первого члена $2\pi r_\mathrm{h}^2/G$ в (1.2) и приводящей к уменьшению энтропии до нуля с уменьшением массы черной дыры после времени Пейджа $t_\mathrm{Page}$, заданного в (1.4). Принимая во внимание эти два члена, можно реализовать различные сценарии, зависящие от начальных параметров испаряющейся черной дыры.
Статья организована следующим образом. В разделе 2 мы напоминаем формулу энтропии зацепленности для конфигураций без острова и с островом для двухсторонней вечной четырехмерной черной дыры Шварцшильда, полученной в работе [41]. В разделе 3 мы подробно рассматриваем, какая из двух конфигураций, с островом или без острова, доминирует для испаряющейся черной дыры. Особенно детально мы изучаем этот вопрос в конце процесса испарения черной дыры. Особое внимание уделено локализации возникновения квантовых эффектов в этом процессе. В разделе 4 рассматривается аналог предыдущих вычислений при фиксированной регуляризации, что позволяет рассматривать полное испарение черной дыры. 2. Постановка задачи и обозначения2.1. Двусторонняя черная дыраОдним из простых примеров, явно демонстрирующих, как наличие острова может обеспечить ограниченность энтропии зацепленности излучения Хокинга, является двусторонняя черная дыра [41]. Обобщенная энтропия острова состоит из двух частей: гравитационной части $S_\mathrm{gr}$, связанной с нетривиальной квантовой экстремальной поверхностью, и энтропии фон Неймана $S_\mathrm{vN}$ материи (излучения). Предполагается, что излучение локализовано в объединении двух областей $R _+$ и $R_-$, которые расположены в правом и левом клиньях (веджах) диаграммы Пенроуза (см. рис. 2) вблизи cветоподобных бесконечностей, где гравитационное поле слабое. Считается, что состояния максимально симметричные, поэтому положение возможного острова фиксируется его положением в координатах $(t, r)$, а также можно эффективно работать с двумерной моделью с координатами $(t, r)$. Другими словами, мы имеем дело только с $s$-режимом и вычисляем соответствующую энтропию зацепленности между областями с использованием двумерных ответов [27].В координатах Крускала [46], связанных с координатами Шварцшильда $t, r$,
$$
\begin{equation}
U = - \sqrt{\frac{r-r_\mathrm{h}}{r_\mathrm{h}}}\,e^{-[t-(r-r_\mathrm{h})]/2r_\mathrm{h}},\qquad V = \sqrt{\frac{r-r_\mathrm{h}}{r_\mathrm{h}}}\,e^{[t+(r-r_\mathrm{h})]/2r_\mathrm{h}},
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
соответствующая двумерная часть метрики Шварцшильда имеет вид
$$
\begin{equation}
ds_\text{2-dim part Schw}^2 = - W^{-2}\, dU\, dV,\qquad W = \sqrt{\frac{r}{4r_\mathrm{h}^3}}\, e^{(r-r_\mathrm{h})/2r_\mathrm{h}}.
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
Для конфигурации без острова энтропия зацепленности $S_{n{\cal I}}$ излучения Хокинга определяется областью $R = R_+\cup R_-$ и где $d(\ell_1,\ell_2)$ – геодезическое расстояние между точками $\ell_1$ и $\ell_2$, оно имеет вид
$$
\begin{equation}
d(\ell_1,\ell_2)= \sqrt{\frac{(U(\ell_2)-U(\ell_1))(V(\ell_1)-V(\ell_2))} {W(\ell_1)W(\ell_2)}},
\end{equation}
\tag{2.5}
$$
координаты точек $\ell_1$ и $\ell_2$ суть $(t_b,b_+)$ и $(-t_b+i2 \pi r_\mathrm{h},b_-)$. Полная энтропия зацепленности для этой конфигурации определяется выражением
$$
\begin{equation}
S_{n{\cal I}}= \frac{c}{6} \log \biggl[\frac{16r_\mathrm{h}^2(b-r_\mathrm{h})}{b} \operatorname{ch} ^2\frac{t_b}{2 r_\mathrm{h}}\biggr].
\end{equation}
\tag{2.6}
$$
При $t_b \gg b$ $(> r_\mathrm{h})$ приведенное выше выражение приблизительно равно
$$
\begin{equation}
S_{n{\cal I}}\simeq \frac{c}{6} \frac{t_b}{r_\mathrm{h}}, \qquad r_\mathrm{h}=2 G M,
\end{equation}
\tag{2.7}
$$
и растет линейно во времени. В поздние времена $t\gg r_\mathrm{h}^3/cG$ эта энтропия становится намного больше энтропии черной дыры, что противоречит конечности энтропии фон Неймана для конечномерной системы черных дыр. В этом случае ожидается появление острова [41]. Для конфигурации с островом, расположенным симметрично (см. рис. 2), энтропия зацепленности для конформной материи определяется выражением3
$$
\begin{equation}
S_{\mathrm{matter}} = \frac{c}{3} \log \frac{d(a_+,a_-) d(b_+,b_-) d(a_+,b_+) d(a_-,b_-)}{d(a_+,b_-) d(a_-,b_+)}.
\end{equation}
\tag{2.8}
$$
Предположив, что $\sqrt{G}< r_\mathrm{h}\ll b$ и экстремизируя полную энтропию относительно местоположения острова, мы получаем [41] единственный остров, координаты которого
$$
\begin{equation*}
t_a = t_b, \quad a=r_\mathrm{h} +r_\mathrm{h} X^2(b,G,c),
\end{equation*}
\notag
$$
где $X^ 2 \ll 1$ (см. обсуждение этого вопроса также в [48]). Для этой конфигурации (рис. 2) полная энтропия зацепленности определяется выражением
$$
\begin{equation}
S_{\mathrm{matter}} = \frac{c}{3} \log \frac{d(a_+,a_-) d(b_+,b_-) d(a_+,b_+) d(a_-,b_-)}{d(a_+,b_-) d(a_-,b_+)}.
\end{equation}
\tag{2.9}
$$
Расположение $a_\pm$ и $b_\pm$ указано на рис. 2, а расстояние $d(\ell_1,\ell_2)$ дается формулой (2.5). Предположим, что $\sqrt{G}< r_\mathrm{h}\ll b$, и, экстремизируя полную энтропию относительно местоположения острова, получаем [41] единственный остров, расположение которого дается формулами
$$
\begin{equation*}
t_a=t_b, \quad a=r_\mathrm{h} +r_\mathrm{h} X^2(b,G,c),
\end{equation*}
\notag
$$
где $X^2\ll 1$. В этой конфигурации общая энтропия зацепленности определяется формулой (1.2). Основное утверждение работы [41] (см. также [43]–[45]) заключается в том, что, хотя в ранние времена рост энтропии был линейным, остров появляется, чтобы восстановить унитарность на поздних временах. Приравнивая энтропию без острова $S_ {n{\cal I}}$ к энтропии с островом $S_{{\cal I}}$, можно оценить время Пейджа (1.4). Взаимная информация между островом и областью локализации излучения Хокинга рассмотрена в [49], а объемная сложность подсистемы в этом контексте рассмотрена в [50]. Отметим, что результаты работы [41] и рассмотрение, представленное выше, основаны на предположении, что излучение Хокинга не взаимодействует с гравитацией, и основной вклад в энтропию материи фон Неймана происходит из-за зацепленности $s$-мод квантового поля, поэтому теорию можно свести к двумерной конформной теории поля. 2.2. Зависимость массы испаряющейся черной дыры от времениВ четырехмерном пространстве за счет излучения масса $M$ черной дыры уменьшается как [4]
$$
\begin{equation}
M(t)=\frac{r_0}{2 G} \biggl(1-\frac{24 \alpha c G t}{r_0^3}\biggr)^{1/3},
\end{equation}
\tag{2.10}
$$
где $\alpha$ – константа, зависящая от спина излучающей частицы, $c$ – число полей безмассовой материи, $r_0$ – радиус Шварцшильда при $t=0$. Квазиклассическая оценка времени жизни черной дыры имеет вид
$$
\begin{equation}
t_\mathrm{evaporate} = \frac{r_0^3}{24 c \alpha G}.
\end{equation}
\tag{2.11}
$$
3. Зависимость энтропии зацепленности испаряющейся черной дыры от времениПроанализируем, используя соотношение (1.2), что происходит, когда черная дыра теряет свою массу. Мы считаем этот процесс адиабатическим и предполагаем, что зависимость энтропии зацепленности от времени определяется зависимостью массы черной дыры от времени $M(t)$, рассмотренной в работе [41]. Из формулы (1.2) видно, что при малых $r_\mathrm{h}$ член $cb/6r_\mathrm{h}$ доминирует, и энтропия возрастает, когда масса черной дыры стремится к нулю. Мы покажем, что именно это увеличение приводит к так называемой “антипейджевской” зависимости энтропии системы от времени. Типичная зависимость энтропии зацепленности (1.2) от массы представлена на рис. 3. Мы видим, что эта зависимость имеет минимум, расположенный при больших $b$, $b>r_\mathrm{h}$, в точке
$$
\begin{equation}
M_{\min}=\frac14\biggl(\frac{b c}{3 \pi G^2 }\biggr)^{1/3}.
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
Этот минимум может находиться вне планковской области, т. е. что в используемом приближении соответствует На всех наших графиках $c=3$, поэтому должно быть $\sqrt{G}< b/64 \pi$. Можно сравнить энтропию с островом и энтропию без острова (см. рис. 4). Мы видим, что для данной массы черной дыры через некоторое время, зависящее от массы черной дыры, энтропия без острова (сплошные линии; увеличение толщины соответствует увеличению времени $t_b$) достигает обобщенной энтропии для конфигурации с островом (штриховые линии). Это справедливо как для возрастающей, так и для убывающей ветвей энтропии зацепленности с островом. Время Пейджа – это время, когда обе эти энтропии, с островом и без острова, равны. В пересечениях кривых, отмеченных квадратами на рис. 4, зависимость энтропии от времени для вечной черной дыры имеет желаемый вид [41]. В этих случаях зависимость времени Пейджа от массы черной дыры дается выражением Однако, если сплошная линия пересекает штриховую линию в точке с $M$, меньшей, чем соответствующая $M_\mathrm{cr}$ (две такие точки отмечены кружками на рис. 4), возрастание сохраняется, меняется только скорость возрастания. Мы называем эту точку “антипейджевской” точкой (см. схему, представленную на рис. 1в).Рассмотрим модификацию кривой Пейджа для черной дыры, испаряющейся согласно формуле (2.10). На рис. 5 и рис. 6 приведено сравнение двух энтропий. Время Пейджа отмечено на рис. 5а вертикальной линией. Новая особенность возникает в конце испарения. Как было отмечено в разделе 1, из-за наличия слагаемого, обратного $r_\mathrm{h}$, энтропия островной конфигурации начинает возрастать и происходит ее взрывной рост в конце испарения. Этот период эволюции может находиться в области планковских масштабов, а может и нет, в зависимости от параметров теории. Может случиться так, что рост энтропии конфигурации с островом начнется раньше, чем пересекутся две кривые (см. рис. 6 и схематическое изображение, представленное на рис. 1б). Более того, равенство двух типов энтропии может не произойти до полного испарения черной дыры (см. рис. 7 и схематическое изображение, представленное на рис. 1в). На рис. 7 мы видим, что энтропия для конфигурации с островом в какой-то момент начинает возрастать и продолжает превышать энтропию конфигурации без острова все время до окончания испарения. Суммируя эти рассмотрения, получаем графики, схематически представленные на рис. 1. Отметим, что интересно было бы знать, находится ли режим взрыва за планковским масштабом. Для этого мы указываем планковский масштаб на всех наших графиках. Имеются следующие случаи:
 Рис. 5.а – Штриховая линия показывает эволюцию энтропии конфигурации с островом, сплошная линия – эволюцию конфигурации без острова. Вертикальная линия указывает время Пейджа. б – Область графика 5а в окрестности конца испарения. Сплошная жирная линия показывает уменьшение массы испаряющейся черной дыры, сплошная линия отмечает планковскую массу, соответствующую $G=0.01$, т. е. $M_\mathrm{Pl}=1/\sqrt{G}=10$, $t_\mathrm{Pl}$ – время, когда $M(t)=M_\mathrm{Pl}$, $t_\mathrm{expl}$ и $t_\mathrm{blow}$ – моменты времени, когда энтропия начинает возрастать и возрастает до бесконечности соответственно. В первом случае мы имеем область до планковского масштаба, где энтропия островной конфигурации растет, и, следовательно, остров не решает информационную проблему. Во втором случае можно сказать, что область, где начинается возрастание энтропии, находится за планковским масштабом. В этом случае необходимо модифицировать квазиклассическое приближение и включить поправки квантовой гравитации, так как точка возрастания $t_\mathrm{expl}$ находится вне квазиклассического приближения. То же самое относится и к случаю, когда период убывания отсутствует. В данном случае мы получили ситуацию, представленную на рис. 8а,в, т. е. точка возрастания энтропии находится в области масс меньше планковской массы, т. е. можно сказать, что она скрыта квантовыми эффектами. 4. Зависимость энтропии зацепленности испаряющейся черной дыры от времени в термических координатахКак мы видели в предыдущем разделе, временнáя зависимость энтропии зацепленности испаряющейся черной дыры в конце испарения имеет сингулярный характер. Такое поведение связано с сингулярным поведением координат Крускала в пределе массы черной дыры, стремящейся к нулю, $M\to 0$ (см. обсуждение этой проблемы в [45]). Устранить эту особенность можно с помощью термических координат [45], обеспечивающих регуляризацию координат Крускала вблизи $M=0$. Эти координаты имеют вид
$$
\begin{equation}
\mathscr{U}=- e^{-[t - (r- r_\mathrm{h})]/B} \biggl(\frac{r-r_\mathrm{h}}{r_\mathrm{h}}\biggr)^{r_\mathrm{h}/B}, \qquad \mathscr{V}=e^{[t + (r- r_\mathrm{h})]/B} \biggl(\frac{r-r_\mathrm{h}}{r_\mathrm{h}}\biggr)^{r_\mathrm{h}/B},
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
где $B=(4M+\mu)G$, $\mu$ – положительная константа. В этих координатах стандартное решение Шварцшильда имеет температуру $T=1/2\pi B$. Двумерная часть метрики Шварцшильда имеет вид (ср. с (2.3))
$$
\begin{equation}
ds_\text{2-dim part Schw}^2 = \frac{d\mathscr{U} d\mathscr{V}}{\mathscr{W}^2},\qquad \mathscr{W}=\frac1{B}\biggl(\frac{\mathscr{U} \mathscr{V}}{1 - 2 G M/r}\biggr)^{1/2}.
\end{equation}
\tag{4.2}
$$
Для конфигурации без островов по аналогии с (2.4) энтропия зацепленности излучения Хокинга отождествляется с зацепленностью области $R = R_+\cup R_-$ и дается выражением
$$
\begin{equation}
S_{n{\cal I}} = \frac{c}{6} \log {\cal D} (\ell_1,\ell_2),
\end{equation}
\tag{4.3}
$$
где $\cal D(\ell_1,\ell_2)$ – геодезическое расстояние между точками $\ell_1$ и $\ell_2$, задаваемое формулой
$$
\begin{equation}
{\cal D} (\ell_1,\ell_2) = \sqrt{\frac{(\mathscr{U}(\ell_2) - \mathscr{U}(\ell_1))(\mathscr{V}(\ell_1) - \mathscr{V}(\ell_2))}{\mathscr{W}(\ell_1)\mathscr{W}(\ell_2)}}.
\end{equation}
\tag{4.4}
$$
Здесь точки $\ell_1$ и $\ell_2$ локализованы в $(t_b,b_+)$ и $(-t_b+i \pi B,b_-)$. Регуляризованная энтропия зацепленности для конфигурации, представленной на рис. 2, определяется выражением
$$
\begin{equation}
S_{{\cal I},\mathrm{reg}}= \frac{2\pi a^2}{G} + \frac{c}{3} \log {\cal L}_\mathrm{reg}(a,b,t_a,t_,b,r_\mathrm{h},\mu),
\end{equation}
\tag{4.5}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, {\cal L}_\mathrm{reg}(a,b,t_a,t_,b,r_\mathrm{h},\mu) ^2&={\cal R}_\mathrm{reg}(a,b,t_a,t_,b,r_\mathrm{h},\mu) ={} \\ &=\frac{{\cal D}(a_+,a_-) {\cal D}(b_+,b_-) {\cal D}(a_+,b_+) {\cal D}(a_-,b_-)}{{\cal D}(a_+,b_-) {\cal D}(a_-,b_+)}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Явный вид $\cal R_\mathrm{reg}$ дается выражением
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, {\cal R}_\mathrm{reg}&=\frac{16 B^4 (a-r_\mathrm{h})(b-r_\mathrm{h}) \operatorname{ch} ^2(t_a/B) \operatorname{ch} ^2(t_b/B)}{a b G^2 \Bigl(e^{(a-b)/B} \bigl(\frac{a-r_\mathrm{h}}{b-r_\mathrm{h}}\bigr)^{r_\mathrm{h}/B}+e^{(b-a)/B} \bigl(\frac{b-r_\mathrm{h}}{a-r_\mathrm{h}}\bigr)^{r_\mathrm{h}/B}+2 \operatorname{ch} \bigl(\frac{t_a+t_b}{B}\bigr)\Bigr)^2}\times{} \nonumber \\ &\times \biggl(e^{(a-b)/B} \biggl(\frac{a-r_\mathrm{h}}{b-r_\mathrm{h}}\biggr)^{r_\mathrm{h}/B}+e^{(b-a)/B} \biggl(\frac{b-r_\mathrm{h}}{a-r_\mathrm{h}}\biggr)^{r_\mathrm{h}/B}-2 \operatorname{ch} \biggl(\frac{t_a-t_b}{B}\biggr)\biggr)^2. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.6}
$$
При $\mu=0$ это выражение воспроизводит соответствующее выражение из работы [41] и, как мы видели в разделе 3, не допускает конечного предела при $r_\mathrm{h}=0$. Чтобы получить предел $r_\mathrm{h} \to 0$ регуляризованной энтропии зацепленности $S_{{\cal I}, \mathrm{reg}}$, возьмем предел $r_\mathrm{h} \to 0$ в выражении (4.6), а затем найдем регуляризованную энтропию зацепленности для нулевой массы путем нахождения экстремума выражения $S_{\mathrm{reg}}(0)$ при изменяющихся $a$ и $t_a$. Величина $S_{\mathrm{reg}}(0)$ задается как
$$
\begin{equation}
S_{\mathrm{reg}}(0)=\lim_{r_\mathrm{h}\to 0} S_{\mathrm{reg}}(r_\mathrm{h})=\frac{2\pi a^2}{G}+\frac {c}{6}\log {\cal R}_{\mathrm{reg}}(0),
\end{equation}
\tag{4.7}
$$
где
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, {\cal R}_{\mathrm{reg}}(0)&\equiv {\cal R}_{\mathrm{reg}}\Big|_{r_\mathrm{h}\to 0}=\frac{16 B_0^4 \operatorname{ch} ^2(t_a/B_0) \operatorname{ch} ^2(t_b/B_0)}{ G^2 \Bigl(e^{(a-b)/B_0} +e^{(b-a)/B_0} +2 \operatorname{ch} \bigl(\frac{t_a+t_b}{B_0}\bigr)\Bigr)^2}\times{} \nonumber \\ &\times \biggl(e^{(a-b)/B_0} +e^{(b-a)/B_0}-2 \operatorname{ch} \biggl(\frac{t_a-t_b}{B_0}\biggr)\biggr)^2, \qquad B_0=\mu G. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.8}
$$
Экстремизируя по $t_a$ при больших $t_b,t_b\to \infty$, получаем, что $t_a=t_b$ и при больших $t_b$ имеем
$$
\begin{equation*}
{\cal R}_{\mathrm{reg}}(0)\approx\frac{4B_0^4}{G^2} \biggl( \operatorname{ch} \biggl(\frac{a-b}{B_0}\biggr)- 1\biggr)^2.
\end{equation*}
\notag
$$
Предполагая $a,b>B_0$, мы имеем
$$
\begin{equation}
S_{\mathrm{reg,apr}}(0) \simeq \frac{2\pi a^2}{G}+\frac {c}{6}\log \biggl[4 G^2 \mu^4 \operatorname{ch} \biggl(\frac{a-b}{B_0}-1\biggr)^2\biggr],
\end{equation}
\tag{4.9}
$$
$$
\begin{equation}
S_{{\cal I},\mathrm{reg}}|_{M=0} \simeq \frac{2\pi a^2}{G}+\frac {c}{6}\log \biggl[4 G^2 \mu^4 \operatorname{ch} \biggl(\frac{a-b}{\mu G}-1\biggr)^2\biggr].
\end{equation}
\tag{4.10}
$$
Экстремизируя (4.10) по $a$, получаем
$$
\begin{equation}
\frac{c \operatorname{sh} ((a-b)/G \mu)}{3 \mu ( \operatorname{ch} ((a-b)/\mu)-1)}+4 \pi a=0.
\end{equation}
\tag{4.11}
$$
Находя решение этого уравнения численно, получаем зависимость $S_{{\cal I},\mathrm{reg}}(r_\mathrm{h}=0)$ от параметра регуляризации $\mu$ (рис. 9). Мы видим, что это выражение сингулярно при $\mu\to 0$, как и должно быть. 5. Заключение и обсуждениеМы рассмотрели испарение черной дыры Шварцшильда и получили, что, вообще говоря, островные конфигурации не обеспечивают ограниченности энтропии зацепленности в конце испарения черной дыры. Несмотря на то что включение острова и экстремизация относительно его местоположения приводят к насыщению энтропии вечной черной дыры, испарение черной дыры заканчивается неограниченным возрастанием энтропии. Можно возразить, что формула (1.2) применима к черной дыре, находящейся в равновесии с излучением, а не к свободно испаряющейся черной дыре. Однако мы считаем, что в случае медленного испарения эта формула справедлива в адиабатическом приближении. Отметим, что второй член $cb /6r_\mathrm{h}$ можно интерпретировать как энтропию падающего излучения4. Общие аргументы возможной несовместимости островов в теориях с дальнодействующей гравитацией приведены в работе [51]. В работе [45] было сделано предположение, что причина такого необычного поведения лежит в использовании координат Крускала. Координаты Крускала подходят для аналитического продолжения метрики Шварцшильда, но они сингулярны в пределе обращения в нуль массы черной дыры, $M\to 0$. Таким образом, координаты Крускала не подходят для описания маленьких черных дыр. В зависимости от параметров начального состояния неограниченность энтропии зацепленности может возникать как при массах больше планковской, так и при меньших массах. Эти замечания об островах и кривых Пейджа и “анти-Пейджа” относятся и к другим статическим черным дырам, в частности к черным дырам Рейснера–Нордстрема [52]–[54], черным дырам в модифицированной гравитации [43], а также черным дырам в пространстве-времени де Ситтера [55]. Мы рассмотрели применение предписания квантовой экстремальной поверхности к метрике черной дыры Шварцшильда, записанной в термических координах [50]. На это можно смотреть как на регуляризацию, которая позволяет учесть энтропию зацепленности островных конфигураций и в конце испарения черной дыры, т. е. допускает предел $r_\mathrm{h}\to 0$. Эту регуляризацию можно применить и к другим статическим черным дырам. Было бы также интересно рассмотреть модификацию кривой Пейджа в моделях черных дыр граничных конформных теорий поля [56]–[59] и движущихся зеркал в конце испарения [60], [61]. Представленное здесь рассмотрение малых черных дыр может быть обобщено на черные дыры Рейснера–Нордстрема [52]–[54], заряженные дилатонные черные дыры в неасимптотически плоских случаях [62], [63], а также на черные дыры в пространстве (анти)-де Ситтера [55] и на случай взаимодействия с внешней средой [64]. Последние случаи представляют особый интерес в контексте возможных феноменологических приложений в физике конденсированного состояния [65], [66] и кварк-глюонной плазмы [67]. В частности, энтропия черной дыры с дилатонным зарядом содержит член5 $\log b/r_\mathrm{h}$. Отметим, что в работе [68] проблема потери информации в черных дырах рассматривалась как пример фундаментальной проблемы необратимости в статистической физике. Было отмечено, что аналогичная проблема возникает, когда мы изучаем обычный газ или образование обычного черного тела и его тепловое излучение. На самом деле нужно дать квантово-механическое объяснение появления второго начала термодинамики в макроскопических системах. В этом контексте можно сказать, что уравнение Больцмана для одночастичной функции распределения в кинетической теории газов является аналогом уравнения экстремизации для энтропии зацепленности конфигурации с островом. Можно предположить, что если учесть более подробную информацию о динамических свойствах вещества в области излучения (не ограничиваясь только $s$-модой) и использовать более структурированную модель островов, возможно, нам удастся более точно восстановить мелкозернистую энтропию квантовой гравитации и избежать проблемы с ростом энтропии в конце испарения черной дыры. БлагодарностиМы благодарим Дмитрия Агеева, Михаила Храмцова, Кристину Ранну, Тимофея Русалева и Павла Слепова за полезные обсуждения. Мы также благодарим Хён-Сика Чона, Нори Иидзуку, Генри Максфилда и Суврата Раджу за комментарии и переписку. Конфликт интересовАвторы заявляют, что у них нет конфликта интересов.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{AreVol23} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|