| Теоретическая и математическая физика |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) Расширения множеств Янга–Бакстера В. Г. Бардаковabc, Д. В. Талалаевde a Институт математики им. С. Л. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук, Новосибирск, Россия b Новосибирский государственный аграрный университет, Новосибирск, Россия c Региональный научно-образовательный математический центр Томского государственного университета, Томск, Россия d Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова, Москва, Россия e Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова, Ярославль, Россия
Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2023, Volume 215, Issue 2, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0040577923050021 
Реферативные базы данных:
   1. ВведениеРешение квантового уравнения Янга–Бакстера (ЯБ) представляет собой линейное отображение $R\colon V\otimes V\to V\otimes V$, удовлетворяющее уравнению где $V$ – векторное пространство над полем $K$ и $R_{ij}\colon V\otimes V\otimes V\to V\otimes V\otimes V$ действует как $R$ на $(i,j)$-й тензорной компоненте и тривиально на остальных множителях. Бухштабер [1] назвал отображение $R$, которое удовлетворяет уравнению ЯБ отображением ЯБ. Пара $(V,R)$ называется решением уравнения ЯБ или просто решением.Уравнение ЯБ (уравнение 2-симплекса или уравнение треугольника) играет важнейшую роль в математической физике и маломерной топологии. Оно лежит в основе теории квантовых групп, точно решаемых моделей статистической механики, теории узлов, теории кос. Впервые оно появилось в статье Янга [2] в рамках проблемы многих тел. Затем Бакстер [3] ввел это уравнение как условие коммутативности трансферматриц для изучения точно решаемых вершинных моделей в статистической механике. Другим способом уравнение ЯБ выводится путем факторизации $S$-матриц в $(1+1)$-мерной квантовой теории поля (см. статьи Замолодчикова [4], [5]). Решения этого уравнения также важны в квантовом методе обратной задачи в теории интегрируемых систем [6], [7]. Дринфельд [8] предложил сосредоточиться на определенном классе решений: теоретико-множественных решениях, т. е. таких, для которых векторное пространство $V$ порождено множеством $X$ и $R$ является линейным оператором, индуцированным отображением $R\colon X\times X\to X\times X$. В этом случае мы говорим, что $(X,R)$ – теоретико-множественное решение или просто решение уравнения ЯБ. Мы также называем пару $(X,R)$ множеством ЯБ. Теоретико-множественные решения непосредственно связаны, например, с группами I-типа, группами Бибербаха, биективными 1-коциклами, теорией Гарсайда и широким классом интегрируемых дискретных динамических систем [9]–[11]. Легко видеть, что для любого $X$ отображение $P(x,y)=(y,x)$ дает теоретико-множественное решение уравнения ЯБ. С другой стороны, если $R$ – решение уравнения ЯБ, то отображение $S=PR$ удовлетворяет уравнению косы
$$
\begin{equation*}
(S\times \mathrm{id} )( \mathrm{id} \times S)(S\times \mathrm{id} )=( \mathrm{id} \times S)(S\times \mathrm{id} )( \mathrm{id} \times S)
\end{equation*}
\notag
$$
– определяющему соотношению в группе кос $B_n$. Топологически уравнение косы символизирует третье движение Рейдемейстера плоских диаграмм зацеплений. В 1980-х гг. Джойс [12] и Матвеев [13] ввели квандлы как инварианты узлов и зацеплений и доказали, что любой квандл дает элементарное теоретико-множественное решение уравнения косы. В настоящей статье мы развиваем точку зрения на решения уравнения ЯБ или на плетения, согласно которой они рассматриваются как представители структуры PROP с морфизмами биарности $(2,2)$ [14]. Напомним, что PROP – это обобщение понятия операды с операциями высшей валентности, в частности с операцией, которая дает пару значений для заданных двух аргументов. Эти структуры имеют большое значение при изучении многозначных групп [15]. Алгебры над PROP с морфизмами биарности (2,2) дают интерполяцию между алгебрами и коалгебрами. По-видимому, именно поэтому уравнение ЯБ играет такую значительную роль в теории биалгебр Ли и алгебр Хопфа. В этом контексте большое значение имеют следующие вопросы: функторы и эквивалентности между такими структурами PROP, расширения таких категорий и их возможные классификации. Оказывается, что в отличие от понятия расширения, которое естественно в категории групп, здесь понятие, близкое к бискрещенному произведению групп, является более общим и значимым. С этим связан основной результат настоящей работы. Мы развиваем формализм расширений в категории векторных пространств в случае расширений квазитреугольных алгебр Хопфа и в теоретико-множественном случае. Работа организована следующим образом. В разделе 2 мы напоминаем известные факты об алгебрах Хопфа и расширениях сплетеных множеств, связанных с групповыми структурами. В разделах 3 и 4 мы подробно описываем процедуры расширения алгебр Хопфа и расширения в теоретико-множественном случае соответственно. 2. Предварительные сведения2.1. Алгебра ХопфаНапомним некоторые обозначения теории алгебр Хопфа (см., например, [16]). Алгебра Хопфа $(H,m,\Delta,\varepsilon,S)$ над полем $K$ – это ассоциативная алгебра с умножением $m$, коассоциативным коумножением которое является гомоморфизмом алгебр, коединицей $\varepsilon\colon H\to K$, такой что
$$
\begin{equation*}
\sum h_i^{(1)}\varepsilon(h_i^{(2)})=\sum\varepsilon(h_i^{(1)})h_i^{(2)},\quad\text{где}\quad \Delta(h)=\sum h_i^{(1)}\otimes h_i^{(2)},
\end{equation*}
\notag
$$
антиподом, который является антигомоморфизмом $S\colon H\to H$, таким что
$$
\begin{equation*}
\sum h_i^{(1)}\cdot S(h_i^{(2)})=\sum S(h_i^{(1)})\cdot h_i^{(2)}=\varepsilon(h)\cdot 1.
\end{equation*}
\notag
$$
Пример 2.1. Пусть $G$ – группа, $K[G]$ – ее групповая алгебра. Определим коумножение $\Delta$, коединицу $\varepsilon$ и антипод $S$ на элементах из $G$ по формулам и продолжим их по линейности на $K[G]$. Получим кокоммутативную алгебру Хопфа. Пример 2.2. Пусть $G$ – конечная группа. Алгебра Хопфа $K[G]^*$ имеет базис $P_g$, $g\in G$, на котором коумножение и умножение определены следующим образом: Это значит, что $\{P_g\mid g\in G\}$ – набор попарно ортогональных идемпотентов, сумма которых равна единице. Далее, коединица определена равенствами а антипод строится так: $S(P_g)=P_{g^{-1}}$. 2.2. Расширения множеств ЯБПусть $X$ – непустое множество и отображение $R\colon X\times X\to X\times X$ есть решение уравнения ЯБ Обозначим компоненты решения $R$ как $R(x,y)=(\sigma_y(x),\tau_x(y))$ для $x,y\in X$. Пусть $(X,R^X)$ и $(Y,R^Y)$ – два множества ЯБ. Отображение $f\colon X\to Y$ называется морфизмом, если следующая диаграмма коммутативна: т. е. для любых $x,x'\in X$ выполняется равенство $R^Y (f\times f)(x,x')=(f\times f)R^X (x,x')$. Для любого $y\in Y$ мы можем рассмотреть прообраз Мы говорим, что отображение $f$ однородно, если мощности всех прообразов $f^{-1}(y)$ равны. В этом случае мы можем найти набор различных элементов $y_i$, $i\in I$, таких что $X$ имеет вид Если для некоторого $k\in I$ выполняется включение
$$
\begin{equation*}
R^X (f^{-1}(y_k)\times f^{-1}(y_k))\subseteq f^{-1}(y_k)\times f^{-1}(y_k),
\end{equation*}
\notag
$$
то мы говорим, что существует гомоморфизм решения $(X,R^X)$ в решение $((Y,y_k),R^Y)$ с ядром $(f^{-1}(y_k),R_{f^{-1}(y_k)})$. В некоторых задачах возникают различные соотношения эквивалентности между решениями уравнения ЯБ. В случае со сплетенным множеством было найдено так называемое гитарное отображение, которое преобразует решение на множестве $X$ в решение особого вида Это преобразование было введено Соловьевым [17] и развито в работе Лебедь и Вендрамина [18].2.3. Расширение сплетеных множеств, связанных с групповой структуройНапомним некоторые идеи и результаты работы [19]. Решение $S$ уравнения косы может быть связано с решением вида $R(x,y)=PS(x,y)$ для уравнения ЯБ. Напомним также, что $X$ называется сплетенным множеством, если $X$ снабжено отображением $S\colon X^2\to X^2$, являющимся решением уравнения косы (2.1).Определение 2.1. Будем называть множество $X$ с бинарной операцией $\ast$ самодистрибутивным, если $\ast$ удовлетворяет равенству $(x\ast y)\ast z=(x\ast z)\ast(y\ast z)$. Предложение 2.1. Множество $(X,\ast)$ самодистрибутивно тогда и только тогда, когда отображение $S_\ast(x,y)\stackrel{\rm def}{=}(y,x\ast y)$ определяет на $X$ структуру сплетенного множества. Пример 2.3. Любая группа $G$ с операцией сопряжения $x\ast y=y^{-1}xy$ является самодистрибутивным множеством. Мы называем такие самодистрибутивные множества групповыми. Эти наблюдения позволяют ассоциировать группы со сплетеными множествами. В частности, это позволяет описывать расширения групповых сплетеных множеств на основе хорошо развитой теории расширений групп, определяемых соответствующими групповыми когомологиями [20]. Эта идея используется в [19] (см. также [21]) для описания решений параметрического уравнения ЯБ. 3. Расширение квазитреугольных алгебр ХопфаНапомним, что квазитреугольной алгеброй Хопфа называется алгебра Хопфа $A$, такая что существует обратимый элемент $R\in A\otimes A$ (квантовая $R$-матрица), удовлетворяющий соотношению
$$
\begin{equation*}
\Delta^{\mathrm{op}}(a)=R\Delta(a) R^{-1},\qquad a\in A,
\end{equation*}
\notag
$$
и условию совместности
$$
\begin{equation*}
(\Delta\otimes \mathrm{id} )R=R_{23}R_{13},\qquad ( \mathrm{id} \otimes\Delta)R=R_{12}R_{13}.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда следует, что $R$ удовлетворяет квантовому уравнению ЯБ “Классический аналог” квазитреугольной алгебры Хопфа возникает в контексте алгебр Ли. Биалгебра Ли – это пара $(\mathfrak{g},\mathfrak{g}^*)$ алгебр Ли, для которых двойственное отображение к коммутатору на $\mathfrak{g}^*$, $c\colon\mathfrak{g}\to\mathfrak{g}\land\mathfrak{g}$, является коциклом относительно присоединенного представления. Биалгебра Ли называется квазитреугольной, если она оснащена элементом $r\in\mathfrak{g}\otimes\mathfrak{g}$ (классической $r$-матрицей), удовлетворяющим “инфинитезимальным версиям” условий для $R$; наиболее важным из них является классическое уравнение ЯБ Здесь мы считаем $\mathfrak{g}$ подпространством в $U(\mathcal{\mathfrak{g}})$.3.1. Произведение алгебр ХопфаНапомним некоторые определения и конструкции теории алгебр Хопфа, которые можно найти в [22] (глава 4). Алгебра Хопфа $A$ над коммутативным кольцом $k$ называется почти кокоммутативной, если найдется обратимый элемент $R\in A\otimes A$, такой что $\Delta^{\mathrm{op}}(a)=R\Delta(a) R^{-1}$ для любого $a\in A$. Известная конструкция произведения алгебр Хопфа строится следующим образом. Пусть $B(\Delta^B,\varepsilon^B,S^B,R^B)$ и $C(\Delta^C,\varepsilon^C,S^C,R^C)$ – алгебры Хопфа над коммутативным кольцом $K$ и $R\in C\otimes B$ есть обратимый элемент, такой что
$$
\begin{equation}
\begin{alignedat}{3} (\Delta^C\otimes \mathrm{id} )R&=R_{23}R_{13},&\qquad ( \mathrm{id} \otimes\Delta^B)R&=R_{12}R_{13}, \\ ( \mathrm{id} \otimes S^B)R&=R^{-1},&\qquad (S^C\otimes \mathrm{id} )R&=R^{-1}. \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
Тогда тензорное произведение $B\otimes C$ может быть наделено структурой алгебры Хопфа с умножением как на тензорном произведении алгебр, коумножением
$$
\begin{equation*}
\Delta(b\otimes c)=R_{23}^{}\Delta_{13}^B(b)\Delta_{24}^C(c) R_{23}^{-1},
\end{equation*}
\notag
$$
антиподом
$$
\begin{equation*}
S(b\otimes c)=R_{21}^{-1}(S^B(b)\otimes S^C(c))R_{21}^{}
\end{equation*}
\notag
$$
и коединицей
$$
\begin{equation*}
\varepsilon(b\otimes c)=\varepsilon^B(b)\varepsilon^C(c).
\end{equation*}
\notag
$$
Эта алгебра обозначается как $B\mathop{\otimes}\limits_R C$. Теорема 3.1. Пусть в рамках предыдущей конструкции алгебры Хопфа $B$, $C$ квазитреугольные, т. е. такие что коумножение является квазикоммутативным, Часть этой теоремы можно найти в [23]. Доказательство. Представим коумножение с обращенным порядком на $B\otimes C$ в виде
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \Delta^{\mathrm{op}}(b\otimes c)&= P_{13}^{}P_{24}^{}\Delta(b\otimes c)=R_{41}^{}(\Delta_{13}^B)^{\mathrm{op}}(b)(\Delta_{24}^C)^{\mathrm{op}}(c) R_{41}^{-1}= \\ &=R_{41}^{}R_{13}^B\Delta_{13}^B(b)(R_{13}^B)^{-1}R_{24}^C\Delta_{24}^C(c)(R_{24}^C)^{-1}R_{41}^{-1}= \\ &=R_{41}^{}R_{13}^B R_{24}^C R_{23}^{-1}\Delta(b\otimes c) R_{23}^{}(R_{13}^B)^{-1}(R_{24}^C)^{-1}R_{41}^{-1}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом,
$$
\begin{equation*}
\Delta^{\mathrm{op}}(b\otimes c)=\mathcal R\Delta(b\otimes c)\mathcal R^{-1}.
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь докажем, что эта алгебра Хопфа является квазитреугольной. Выведем несколько следствий из условий (3.1) на $R$, а именно, покажем, что
$$
\begin{equation}
R_{12}^C R_{23}^{}R_{13}^{}=R_{13}^{}R_{23}^{}R_{12}^C,\qquad R_{23}^B R_{12}^{}R_{13}^{}=R_{13}^{}R_{12}^{}R_{23}^B.
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
Мы будем использовать мультииндексы для обозначения внутренних компонент тензора, например, $\mathcal R=R_{41}^{}R_{13}^BR_{24}^C R_{23}^{-1}$ индексируется как $\mathcal R_{(12)(34)}^{}$. Это подчеркивает, что $\mathcal R$ – элемент пространства $(B\otimes C)\otimes (B\otimes C)$. Докажем, что
$$
\begin{equation}
(\Delta_{(12)}\otimes \mathrm{id} )\mathcal R=\mathcal R_{(12)(56)}\mathcal R_{(34)(56)}.
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
Правая часть этого выражения принимает вид
$$
\begin{equation}
R_{61}^{}R_{15}^B R_{26}^C R_{25}^{-1}R_{63}^{}R_{35}^B R_{46}^C R_{45}^{-1}.
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
Мы будем вычислять левую часть последовательно. Сначала применим операцию $P_{23}(\Delta^B\otimes\Delta^C\otimes \mathrm{id} \otimes \mathrm{id} )$ к $\mathcal R_{(12)(34)}$. Получим $R_{61}^{}R_{63}^{}R_{15}^B R_{35}^B R_{26}^C R_{46}^C R_{25}^{-1}R_{45}^{-1}$. Затем сопрягаем выражение с помощью $R_{23}^{}$:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, R_{23}^{}R_{61}^{}R_{63}^{}R_{15}^B R_{35}^B R_{26}^C R_{46}^C R_{25}^{-1}R_{45}^{-1}R_{23}^{-1}&= R_{61}^{}\underbrace{R_{23}^{}R_{63}^{}R_{26}^C}\,\underline{R_{15}^B}R_{35}^B\underline{R_{46}^C}R_{25}^{-1}R_{45}^{-1}R_{23}^{-1}, \\ R_{61^{}}\underline{R_{15}^B}\,\underbrace{R_{26}^C R_{63}^{}R_{23}^{}}R_{35}^B R_{25}^{-1}\underline{R_{46}^C}R_{45}^{-1}R_{23}^{-1}&= R_{61}^{}R_{15}^B R_{26}^C R_{63}^{}\underbrace{R_{23}^{}R_{35}^B R_{25}^{-1}}R_{46}^C R_{45}^{-1}R_{23}^{-1}, \\ R_{61}^{}R_{15}^B R_{26}^C R_{63}^{}\underbrace{R_{23}^{}R_{35}^B R_{25}^{-1}}R_{46}^C R_{45}^{-1}\underline{R_{23}^{-1}}&= R_{61}^{}R_{15}^B R_{26}^C R_{63}^{}\underbrace{R_{25}^{-1}R_{35}^B R_{23}^{}}\,\underline{R_{23}^{-1}}R_{46}^C R_{45}^{-1}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Это выражение совпадает с (3.4). Здесь мы применили (3.2), соответствующие множители выделены нижней фигурной скобкой. Подчеркиванием мы выделили множители, которые можно свободно переставлять. Аналогично доказывается тождество Теорема доказана. Замечание. Результат теоремы позволяет, в частности, строить новые решения уравнения ЯБ в случае $C=B$ следующим образом. Рассмотрим $R^C=R^B$ и возьмем $R=R^B_{21}$. Условия (3.1) выполняются. Проверим второе условие. Мы можем переписать $R$ в виде $R^B_{21}=P_{12}^{}R^B P_{12}^{}$. Тогда Пример 3.1. Пусть $(X, *)$ – рэк, т. е. самодистрибутивный группоид, в котором имеется операция $ \mathop{\bar{*}}\nolimits \colon X\times X\to X$, такая что Замечание. Есть и другая возможность определить решение на квадрате $X^2$ рэка $X$. Мы можем определить операцию на $X^2$ и решение на $X^2$ так же, как в начале предыдущего примера. Но в этом случае получаем элементарное решение. 3.2. Твист ДринфельдаПусть $T\in GL(V\otimes V)$ удовлетворяет соотношению косы Рассмотрим $F\in GL(V\otimes V)$, а также элементы $\Psi,\Phi\in GL(V\otimes V\otimes V)$, такие что
$$
\begin{equation*}
F_{12}\Psi=F_{23}\Phi,\qquad \Phi T_{23}=T_{23}\Phi,\qquad \Psi T_{12}=T_{12}\Psi.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда $\widehat T=F T F^{-1}$ также удовлетворяет уравнению косы:
$$
\begin{equation*}
\widehat T_{12}\widehat T_{23}\widehat T_{12}=\widehat T_{23}\widehat T_{12}\widehat T_{23}.
\end{equation*}
\notag
$$
Такое преобразование называется твистом Дринфельда [24]. Эта конструкция была первоначально предложена в контексте деформаций квазитреугольных алгебр Хопфа. На самом деле построение теоремы 3.1 можно рассматривать как версию твиста Дринфельда. Действительно, перейдем к обозначениям кос с помощью транспозиций $P^B$ и $P^C$ в $B\otimes B$ и $C\otimes C$ соответственно:
$$
\begin{equation*}
T^B=P^B R^B,\qquad T^C=P^C R^C,\qquad \widehat{\mathcal T}_{(12)(34)}=P^B_{13}P^C_{24}\mathcal R_{(12)(34)}^{}.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда $\widehat{\mathcal T}_{(12)(34)}\mathcal{T}=R_{23}^{}T^B_{13}T^C_{24}R_{23}^{-1}$ может рассматриваться как сопряжение элементом $R_{23}$ очевидного решения $\mathcal T_{(12)(34)}^{}=T^B_{13} T^C_{24}$ для соотношения косы на тензорном произведении $B\otimes C$. Сравним это преобразование с твистом Дринфельда. В терминах $T^B$ и $T^C$ уравнения (3.2) принимают вид
$$
\begin{equation}
T_{12}^C R_{23}^{}R_{13}^{}=R_{23}^{}R_{13}^{}T_{12}^C,\qquad T_{23}^B R_{12}^{}R_{13}^{}=R_{12}^{}R_{13}^{}T_{23}^B.
\end{equation}
\tag{3.5}
$$
Чтобы получить именно такой твист Дринфельда, мы должны найти подходящие элементы $\Psi$ и $\Phi$ в $(B\otimes C)^{\otimes^3}$, т. е. такие, которые удовлетворяют равенствам
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, F_{(12)(34)}\Psi_{(12)(34)(56)}&=F_{(34)(56)}\Phi_{(12)(34)(56)}, \\ \Phi_{(12)(34)(56)}^{}T_{35}^B T_{46}^C&=T_{35}^B T_{46}^C\Phi_{(12)(34)(56)}^{}, \\ \Psi_{(12)(34)(56)}^{}T_{13}^B T_{24}^C&=T_{13}^B T_{24}^C\Psi_{(12)(34)(56)}^{}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.6}
$$
Вследствие уравнений (3.5), если положить $\Phi=R_{23}R_{25}$ и $\Psi=R_{45}R_{25}$, мы получим соотношения (3.6). Этот выбор был подсказан работой [25]. 3.3. Инфинитезимальная версия в тензорном случаеВ этом пункте мы получаем классический предел теоремы 3.1. Теорема 3.2. Пусть $r^B$ и $r^C$ – решения классического уравнения ЯБ на алгебрах Ли $B$ и $C$ соответственно, а $r$ удовлетворяет уравнениям Доказательство. Классическое уравнение ЯБ в данном случае принимает вид
$$
\begin{equation*}
[\tilde r_{(12)(34)},\tilde r_{(12)(56)}+\tilde r_{(34)(56)}]+[\tilde r_{(12)(56)},\tilde r_{(34)(56)}]=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Это уравнение можно переписать как
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, [r_{13}^B+r_{24}^C+r_{41}^{}-r_{23}^{},r_{15}^B&+r_{26}^C+r_{61}^{}-r_{25}^{}+r_{35}^B+r_{46}^C+r_{63}^{}-r_{45}^{}]+{} \\ &+[r_{15}^B+r_{26}^C+r_{61}^{}-r_{25}^{},r_{35}^B+r_{46}^C+r_{63}^{}-r_{45}^{}]=0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Все коммутаторы операторов $r_{ij}^B$ и $r_{kl}^B$ дают классическое уравнение ЯБ для $r^B$:
$$
\begin{equation*}
[r_{13}^B,r_{15}^B]+[r_{13}^B,r_{35}^B]+[r_{15}^B,r_{35}^B]=0.
\end{equation*}
\notag
$$
То же самое мы получаем для коммутаторов $r^C$-операторов. Можно заметить, что коммутаторы между $r^B$- и $r^C$-операторами тривиальны из-за их локализации в разных тензорных компонентах. Рассмотрим подробно коммутаторы $r_{13}^B$ с разными экземплярами матрицы $r$. Вследствие (3.8) мы имеем Аналогичные формулы получаются при приведении других членов. Замечание. Условия (3.7) и (3.8) для $r$, которые необходимы для расширения в инфинитезимальном случае, могут быть выражены как условие Маурера–Картана в некоторой дифференциальной градуированной алгебре Ли. Мы полагаем, что в данном случае это содержательная версия когомологического описания расширений. Мы собираемся представить более точную формулировку этого подхода в следующей работе. 4. Расширения в теоретико-множественном случае4.1. Произведение множеств ЯБРассмотрим следующий вопрос. Пусть $B$ и $C$ – два непустых множества, $R^B\colon B\times B\to B\times B$ и $R^C\colon C\times C\to C\times C$ – отображения ЯБ на них. Это означает, что отображения удовлетворяют уравнениям
$$
\begin{equation*}
R^B_{12}R^B_{13}R^B_{23}=R^B_{23}R^B_{13}R^B_{12},\qquad R^C_{12}R^C_{13}R^C_{23}=R^C_{23}R^C_{13}R^C_{12}.
\end{equation*}
\notag
$$
Какие отображения ЯБ можно определить на произведении $B\times C$? Есть очевидный способ: взять прямое произведение $R^B\times R^C$, которое действует по правилу
$$
\begin{equation*}
(R^B\times R^C)((b_1,c_1),(b_2,c_2))=((\sigma_{b_2}^B(b_1),\sigma_{c_2}^C(c_1)),(\tau_{b_1}^B(b_2),\tau_{c_1}^C(c_2))),
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
R^B(b_1, b_2)=(\sigma_{b_2}^B(b_1),\tau_{b_1}^B(b_2)),\qquad R^C(c_1, c_2)=(\sigma_{c_2}^C(c_1),\tau_{c_1}^C(c_2)).
\end{equation*}
\notag
$$
Замечание. Если $B$ и $C$ – это не только множества, но и некоторые алгебраические системы (группы, рэки, бирэки, косые брэйсы), мы можем использовать расширения этих систем. Групповой случай более подробно описан в п. 2.3. Обычно в этих конструкциях роли множеств $B$ и $C$ несимметричны: одно из них является образом гомоморфизма, а второе – ядром. Определим отображение $R\colon C\times B\to C\times B$, $R(c,b)=(\mu(c, b),\nu(c, b))$, такое что
$$
\begin{equation*}
R^B_{23}R_{12}^{}R_{13}^{}=R_{13}^{}R_{12}^{}R^B_{23},\qquad R^C_{12}R_{23}^{}R_{13}^{}=R_{13}^{}R_{23}^{}R^C_{12}.
\end{equation*}
\notag
$$
Обе стороны первого равенства являются отображениями $C\times B\times B\to C\times B\times B$, второго – отображениями $C\times C\times B\to C\times C\times B$. Очевидна следующая лемма. Лемма 4.1. Имеют место следующие соотношения: Докажем теоретико-множественный аналог теоремы 3.1. Теорема 4.1. Пара $(B\times C,\mathcal R)$, где $\mathcal R=R_{41}^{}R^B_{13}R^C_{24}R^{-1}_{23}$, есть множество ЯБ. Доказательство. Мы должны проверить равенство
$$
\begin{equation*}
\mathcal R_{12}\mathcal R_{13}\mathcal R_{23}=\mathcal R_{23}\mathcal R_{13}\mathcal R_{12}.
\end{equation*}
\notag
$$
Рассмотрим его правую часть:
$$
\begin{equation*}
\mathcal R_{23}^{}\mathcal R_{13}^{}\mathcal R_{12}^{}= R_{63}^{}R^B_{35}R^C_{46}(R^{-1}_{45}\cdot R_{61}^{})R^B_{15}(R^C_{26}R^{-1}_{25}\cdot R_{41}^{}) R^B_{13}R^C_{24}R^{-1}_{23}.
\end{equation*}
\notag
$$
Используя соотношения коммутативности и лемму 4.1, мы можем переставить $R_{41}$ налево. Поскольку $R_{41}^{}$ коммутирует с $R^{-1}_{25}$ и $R^C_{26}$, а $R^{-1}_{45}$ коммутирует с $R_{61}^{}$, получаем
$$
\begin{equation*}
\mathcal R_{23}^{}\mathcal R_{13}^{}\mathcal R_{12}^{}= R_{63}^{}R^B_{35}R^C_{46}R_{61}(R^{-1}_{45}R^B_{15}R_{41}^{})R^C_{26}R^{-1}_{25}\cdot R^B_{13}R^C_{24}R^{-1}_{23}.
\end{equation*}
\notag
$$
Как следствие тождества (4.1б) имеем
$$
\begin{equation*}
\mathcal R_{23}^{}\mathcal R_{13}^{}\mathcal R_{12}^{}= R_{63}^{}R^B_{35}(R^C_{46}R_{61}^{}R_{41}^{}) R^B_{15}R^{-1}_{45}R^C_{26}R^{-1}_{25}\cdot R^B_{13}R^C_{24}R^{-1}_{23}.
\end{equation*}
\notag
$$
Аналогично из (4.1к) получаем
$$
\begin{equation*}
\mathcal R_{23}^{}\mathcal R_{13}^{}\mathcal R_{12}^{}= R_{63}^{}R^B_{35}(R^C_{46}R_{61}^{}R_{41}^{})R^B_{15}R^{-1}_{45}R^C_{26}R^{-1}_{25}\cdot R^B_{13}R^C_{24}R^{-1}_{23}.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом,
$$
\begin{equation*}
\mathcal R_{23}^{}\mathcal R_{13}^{}\mathcal R_{12}^{}= R_{63^{}}R_{41}^{}(R^B_{35}R_{61}^{})R^C_{46}R^B_{15}R^{-1}_{45}R^C_{26}R^{-1}_{25}\cdot R^B_{13}R^C_{24}R^{-1}_{23}
\end{equation*}
\notag
$$
и
$$
\begin{equation*}
\mathcal R_{23}^{}\mathcal R_{13}^{}\mathcal R_{12}^{}= (R_{63}^{}R_{41}^{})R_{61}^{}R^B_{35}R^C_{46}R^B_{15}R^{-1}_{45}R^C_{26}R^{-1}_{25}\cdot R^B_{13}R^C_{24}R^{-1}_{23},
\end{equation*}
\notag
$$
что равно
$$
\begin{equation*}
\mathcal R_{23}^{}\mathcal R_{13}^{}\mathcal R_{12}^{}= R_{41}^{}R_{63}^{}R_{61}^{}R^B_{35}R^C_{46}R^B_{15}R^{-1}_{45}R^C_{26}R^{-1}_{25}\cdot R^B_{13}R^C_{24}R^{-1}_{23}.
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь рассмотрим левую часть:
$$
\begin{equation*}
\mathcal R_{12}^{}\mathcal R_{13}^{}\mathcal R_{23}^{}= R_{41}^{}R^B_{13}R^C_{24}(R^{-1}_{23}\cdot R_{61}^{}R^B_{15})R^C_{26}(R^{-1}_{25}\cdot R_{63}^{})R^B_{35}R^C_{46}R^{-1}_{45}.
\end{equation*}
\notag
$$
Используя соотношения коммутативности и лемму 4.1, переставим $R_{63}$ налево. Поскольку $R^{-1}_{23}$ коммутирует с $R_{61}^{}R^B_{15}$, а $R_{63}^{}$ коммутирует с $R^{-1}_{25}$, получаем
$$
\begin{equation*}
\mathcal R_{12}^{}\mathcal R_{13}^{}\mathcal R_{23}^{}= R_{41}^{}R^B_{13}R^C_{24}R_{61}^{}R^B_{15}(R^{-1}_{23}R^C_{26}R_{63}^{})R^{-1}_{25}R^B_{35}R^C_{46}R^{-1}_{45}.
\end{equation*}
\notag
$$
Следствием уравнения (4.1ж) является $R_{23}^{-1}R_{26}^C R_{63}=R_{63}R_{26}^C R_{23}^{-1}$. Таким образом,
$$
\begin{equation*}
\mathcal R_{12}^{}\mathcal R_{13}^{}\mathcal R_{23}^{}= R_{41}^{}R^B_{13}R^C_{24}R_{61}^{}(R^B_{15}R_{63}^{})R_{26}^C R_{23}^{-1}R^{-1}_{25}R^B_{35}R^C_{46}R^{-1}_{45}.
\end{equation*}
\notag
$$
Используя условие коммутативности, имеем
$$
\begin{equation*}
\mathcal R_{12}^{}\mathcal R_{13}^{}\mathcal R_{23}^{}= R_{41}^{}R^B_{13}(R^C_{24}R_{61}^{}R_{63}^{})R^B_{15}R^C_{26}R_{23}^{-1}R^{-1}_{25}R^B_{35}R^C_{46}R^{-1}_{45}.
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку $R^C_{24}$ коммутирует с произведением $R_{61}^{}R_{63}^{}$,
$$
\begin{equation*}
\mathcal R_{12}^{}\mathcal R_{13}^{}\mathcal R_{23}^{}= R_{41}^{}(R^B_{13}R_{61}^{}R_{63}^{})R^C_{24}R^B_{15}R_{26}^C R_{23}^{-1}R^{-1}_{25}R^B_{35}R^C_{46}R^{-1}_{45}.
\end{equation*}
\notag
$$
Как следствие тождества (4.1д) имеем
$$
\begin{equation*}
\mathcal R_{12}^{}\mathcal R_{13}^{}\mathcal R_{23}^{}= R_{41}^{}R_{63}^{}R_{61}^{}R^B_{13}R^C_{24}R^B_{15}R_{26}^C R_{23}^{-1}R^{-1}_{25}R^B_{35}R^C_{46}R^{-1}_{45}.
\end{equation*}
\notag
$$
Сравнивая правую часть последнего равенства с соответствующим равенством для $\mathcal R_{23}\mathcal R_{13}\mathcal R_{12}$, мы видим, что можно сократить обе его части слева на $R_{41}R_{63}R_{61}$. Следовательно, уравнение
$$
\begin{equation*}
\mathcal R_{12}\mathcal R_{13}\mathcal R_{23}=\mathcal R_{23}\mathcal R_{13}\mathcal R_{12}
\end{equation*}
\notag
$$
принимает вид
$$
\begin{equation*}
R^B_{13}R^C_{24}R^B_{15}R_{26}^C(R_{23}^{-1}R^{-1}_{25}R^B_{35})R^C_{46}R^{-1}_{45}= R^B_{35}R^C_{46}R^B_{15}(R^{-1}_{45}R^C_{26})R^{-1}_{25}R^B_{13}R^C_{24}R^{-1}_{23}.
\end{equation*}
\notag
$$
Из тождества (4.1г) и соотношений коммутативности вытекает, что
$$
\begin{equation*}
R^B_{13}R^C_{24}R^B_{15}R_{26}^C R^B_{35}(R^{-1}_{25}R_{23}^{-1}R^C_{46})R^{-1}_{45}= R^B_{35}R^C_{46}R^B_{15}R^C_{26}(R^{-1}_{45}R^{-1}_{25}R^B_{13}) R^C_{24}R^{-1}_{23}.
\end{equation*}
\notag
$$
Аналогично получаем
$$
\begin{equation*}
R^B_{13}R^C_{24}R^B_{15}R_{26}^C R^B_{35}R^C_{46}R^{-1}_{25}R_{23}^{-1}R^{-1}_{45}= R^B_{35}R^C_{46}R^B_{15}R^C_{26}R^B_{13}(R^{-1}_{45}R^{-1}_{25}R^C_{24})R^{-1}_{23}.
\end{equation*}
\notag
$$
Тождество (4.1и) дает
$$
\begin{equation*}
R^B_{13}R^C_{24}R^B_{15}R_{26}^C R^B_{35}R^C_{46}R^{-1}_{25}R_{23}^{-1}R^{-1}_{45}= R^B_{35}R^C_{46}R^B_{15}R^C_{26}R^B_{13}R^C_{24}R^{-1}_{25}R^{-1}_{45}R^{-1}_{23}.
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку $R^{-1}_{45}$ коммутирует с $R^{-1}_{23}$, мы можем сократить обе стороны последнего равенства на $R^{-1}_{25}R_{23}^{-1}R^{-1}_{45}$ справа, получаем Это эквивалентно равенству которое очевидно верно. 4.2. Теоретико-множественный твист ДринфельдаПусть $(X, T)$ – теоретико-множественное решение уравнения косы и существуют $F\in Sym(X\times X)$ и $\Phi,\Psi\in Sym(X\times X\times X)$, такие что
$$
\begin{equation}
F_{12}\Psi=F_{23}\Phi,\qquad \Phi T_{23}=T_{23}\Phi,\qquad \Psi T_{12}=T_{12}\Psi.
\end{equation}
\tag{4.2}
$$
Тогда $\widehat T=F T F^{-1}$ также удовлетворяет уравнению косы:
$$
\begin{equation*}
\widehat T_{12}\widehat T_{23}\widehat T_{12}=\widehat T_{23}\widehat T_{12}\widehat T_{23}.
\end{equation*}
\notag
$$
Используя обозначения из предыдущего раздела, положим $S^B=P R^B$, $S^C=P R^C$. Тогда соотношения
$$
\begin{equation*}
R_{12}^B R_{13}^B R_{23}^B=R_{23}^B R_{13}^B R_{12}^B,\qquad R_{12}^C R_{13}^C R_{23}^C=R_{23}^C R_{13}^C R_{12}^C
\end{equation*}
\notag
$$
влекут соотношения косы
$$
\begin{equation*}
S_{12}^B S_{23}^B S_{12}^B=S_{23}^B S_{12}^B S_{23}^B,\qquad S_{12}^C S_{23}^C S_{12}^C=S_{23}^C S_{12}^C S_{23}^C.
\end{equation*}
\notag
$$
Соотношения
$$
\begin{equation*}
R_{12}^C R_{23}^{}R_{13}^{}=R_{13}^{}R_{23}^{}R_{12}^C,\qquad R_{23}^B R_{12}^{}R_{13}^{}=R_{13}^{}R_{12}^{}R_{23}^B
\end{equation*}
\notag
$$
приводят к
$$
\begin{equation*}
S_{12}^C R_{23}^{}R_{13}^{}=R_{23}^{}R_{13}^{}S_{12}^C,\qquad S_{23}^B R_{12}^{}R_{13}^{}=R_{12}^{}R_{13}^{}S_{23}^B.
\end{equation*}
\notag
$$
В результате получаем $R$-матрицу
$$
\begin{equation*}
\mathcal R=R_{41}^{}R^B_{13}R^C_{24}R^{-1}_{23}=P_{12}^{}P_{24}^{}(R_{23}^{}S^B_{13}S^C_{24}R^{-1}_{23})
\end{equation*}
\notag
$$
и элементы
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \mathcal R_{12}^{}=P_{12}^{}P_{24}^{}(R_{23}^{}S^B_{13}S^C_{24}R^{-1}_{23}),\qquad \mathcal R_{13}^{}=P_{15}^{}P_{26}^{}(R_{25}^{}S^B_{15}S^C_{26}R^{-1}_{25}), \\ \mathcal R_{23}^{}=P_{35}^{}P_{46}^{}(R_{45}^{}S^B_{35}S^C_{46}R^{-1}_{45}). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Несложно доказать следующую лемму. Лемма 4.2. Соотношение $\mathcal R_{12}\mathcal R_{13}\mathcal R_{23}=\mathcal R_{23}\mathcal R_{13}\mathcal R_{12}$ влечет тождество где $\mathcal S_{12}=R_{23}^{}S^B_{13}S^C_{24}R^{-1}_{23}$, $\mathcal S_{23}=R_{45}^{}S^B_{35}S^C_{46}R^{-1}_{45}$. Таким образом, мы показали, что если рассмотреть элемент $T=S_{13}^B S_{24}^C$, который очевидно удовлетворяет уравнению косы, то при $F=F_{12}=R_{23}$ и $F_{23}=R_{45}$ элемент $\mathcal S=\widehat T=FTF^{-1}$ также удовлетворяет этому уравнению. Мы хотели бы интерпретировать $\mathcal S$ как частный случай твиста Дринфельда $T=S_{13}^B S_{24}^C$. Рассмотрим операторы $\Phi=R_{23}R_{25}$, $\Psi=R_{45}R_{25}$. Тогда первое равенство в (4.2) принимает вид
$$
\begin{equation*}
R_{23}\cdot (R_{45}R_{25})=R_{45}\cdot (R_{23}R_{25}).
\end{equation*}
\notag
$$
Это соотношение справедливо вследствие коммутативности $R_{23}$ и $R_{45}$. Из леммы 4.1 вытекает следующая лемма. Лемма 4.3. Имеют место следующие соотношения: Второе равенство в (4.2) можно записать как
$$
\begin{equation*}
(R_{23}^{}R_{25}^{})(S_{35}^B S_{46}^C)=(S_{35}^B S_{46}^C)(R_{23}^{}R_{25}^{}).
\end{equation*}
\notag
$$
Преобразуем его левую часть, используя тождество (4.3б) и условие коммутативности, к виду
$$
\begin{equation*}
(R_{23}^{}R_{25}^{}S_{35}^B) S_{46}^C=S_{35}^B R_{23}^{}R_{25}^{}S_{46}^C=S_{35}^B S_{46}^C R_{23}^{}R_{25}^{}.
\end{equation*}
\notag
$$
Третье равенство в (4.2) имеет вид
$$
\begin{equation*}
(R_{45}^{}R_{25}^{})(S_{13}^B S_{24}^C)=(S_{13}^B S_{24}^C)(R_{45}^{}R_{25}^{}).
\end{equation*}
\notag
$$
Чтобы проверить это равенство, мы используем те же аргументы, что и выше. Конфликт интересовАвторы заявляют, что у них нет конфликта интересов.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{BarTal23} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|