| Теоретическая и математическая физика |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) Игра Хаос на расширенной гиперболической плоскости Л. Н. Ромакина, И. В. Ушаков Саратовский государственный университет, Саратов, Россия
Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2023, Volume 215, Issue 3, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0040577923060041 
Реферативные базы данных:
   1. ВведениеУчитывая интерес к игре Хаос в различных прикладных задачах (см., например, [1]–[9]), мы открываем цикл публикаций, посвященных исследованию данной динамической системы на расширенной гиперболической плоскости $H^2$. Проводим исследование по двум направлениям: 1) на подготовительном этапе проведения игры и на этапе анализа ее результатов обеспечиваем теоретическую основу игры, изучая новые объекты и выводя необходимые формулы геометрии плоскости $H^2$; 2) создаем программные комплексы для визуализации игры и проводим игру на различных фигурах плоскости $H^2$. Первые результаты исследования анонсированы на конференции “Nonlinear Dynamics & Integrability 2022” [10]. Работа имеет следующую структуру. В разделе 1 определена расширенная гиперболическая плоскость $H^2$, кратко описаны ее основные объекты, используемые в игре Хаос, и сформулированы задачи исследования. В разделах 2, 3 выведены формулы для вычисления координат середин (и квазисередин) параболических и непараболических отрезков. Раздел 4 посвящен непосредственно игре Хаос: описан алгоритм проведения игры с учетом особенностей объектов плоскости $H^2$ и представлены результаты игры на различных треугольниках и трехреберниках плоскости $H^2$. Постановка задач, обеспечение теоретической основы исследования игры Хаос на плоскости $H^2$ и подготовка текста статьи проведены первым автором. Вторым автором создан программный комплекс pyv [11] для визуализации игры и подготовлены кадры с ее результатами. 1.1. Абсолют и фундаментальная группа расширенной гиперболической плоскостиПри построении по схеме Кэли–Клейна различных геометрий, евклидовой и неевклидовых, традиционно рассматривают вещественное проективное пространство $P_n$ размерности $n$, пополненное мнимыми объектами, в частности точками и плоскостями размерностей, меньших $n$. При этом к фундаментальной группе преобразований моделируемого пространства относят только те проективные преобразования пространства $P_n$, которые сохраняют природу объектов, т. е. любой вещественный (или мнимый) объект преобразуют в вещественный (или соответственно мнимый) объект [12]–[14]. Придерживаясь такой схемы, рассмотрим проективную плоскость $P_2$ и зафиксируем на ней овальную линию $\gamma$, т. е. невырожденную линию второго порядка, имеющую по крайней мере одну вещественную точку. Группу всех проективных автоморфизмов линии $\gamma$ обозначим $G$. Плоскость $H^2$, полученную при удалении линии $\gamma$ из плоскости $P_2$, называют расширенной гиперболической плоскостью, она состоит из двух связных компонент. На внутренней относительно $\gamma$ области плоскости $H^2$ может быть реализована плоскость Лобачевского, обозначим ее $\Lambda^2$, а на внешней – гиперболическая плоскость положительной кривизны [13], [15], [16], обозначим ее $\widehat{H}$. Линию $\gamma$ называют абсолютом каждой компоненты и считают бесконечно удаленной. Группу $G$ называют фундаментальной группой преобразований каждой из плоскостей $H^2$, $\Lambda^2$ и $\widehat{H}$. Каждая прямая плоскости $H^2$ в зависимости от положения по отношению к абсолюту может быть отнесена к одному из трех типов. Гиперболическими (эллиптическими) называют прямые, имеющие с абсолютом две общие вещественные (или соответственно мнимо сопряженные) точки, параболическими называют касательные к абсолюту прямые. В соответствии с типом непараболической прямой для любых двух ее точек определено расстояние, инвариантное в преобразованиях группы $G$. Параболические прямые являются изотропными. Положение по отношению к линии $\gamma$ определяет на плоскости $H^2$ пятнадцать типов углов между прямыми, углы шести типов являются измеримыми. Между линейными и угловыми величинами существует тесная связь, обусловленная свойствами полярного преобразования относительно абсолютной линии $\gamma$. В силу этого группа $G$ принципиально отличается от фундаментальных групп преобразований плоскостей с аффинной базой (евклидовой, псевдоевклидовой и флаговой), она не содержит подобий. Каждое преобразование группы $G$ является изометрией. В связи с этой особенностью группы $G$ в геометрии плоскости $H^2$ возникает класс объектов, по некоторым своим свойствам аналогичных фракталам евклидовой геометрии, но не обладающих свойством самоподобия в традиционном его понимании. Первые аналоги фракталов на плоскости $\widehat{H}$ описаны в работах [16], [17]. В настоящей работе представлены аналоги треугольника Серпинского [18], полученные в результате игры Хаос на конечных трехреберниках плоскости $\widehat{H}$ и конечных треугольниках плоскости Лобачевского $\Lambda^2$. 1.2. Основные понятияОпределим используемые в работе объекты геометрии плоскости $H^2$. Пусть $A$ и $B$ – произвольные точки некоторой гиперболической (эллиптической) прямой, принадлежащие одной компоненте плоскости $H^2$. Вещественные (мнимо сопряженные) общие точки прямой $AB$ и абсолютной линии $\gamma$ обозначим $K_1$, $K_2$. На прямой $AB$ существует и притом единственная пара вещественных точек $S_1$, $S_2$, гармонически разделяющих и пару $A$, $B$, и пару $K_1$, $K_2$. Данные требования к точкам $S_1$, $S_2$ можно записать с помощью сложного отношения в соответствующих четверках точек прямой $AB$: В случае гиперболической прямой $AB$ одна из точек $S_1$, $S_2$ принадлежит отрезку $AB$, ее называем серединой данного отрезка, другую точку называем квазисерединой (см. с. 98 в [15]). В случае эллиптической прямой точки $A$, $B$ разбивают прямую на два отрезка, каждый из которых содержит одну из точек $S_1$, $S_2$. Каждую из этих точек называем серединой (квазисерединой) содержащего (несодержащего) ее отрезка с концами в точках $A$, $B$ (см. с. 95 в [15]). Середину $S$ отрезка $AB$ параболической прямой с точкой $K$ на абсолюте определяем как четвертую гармоническую точку к тройке точек $A$, $B$, $K$: $(ABKS)=-1$ (см. с. 92 в [15]). Трехвершинником плоскости $\widehat{H}$ называем совокупность трех неколлинеарных точек и трех отрезков, попарно соединящих данные точки (см. с. 151 в [15]). Точку $X$ называем внутренней относительно трехвершинника, если каждая проходящая через $X$ прямая пересекает трехвершинник точно в двух точках. Множество всех внутренних относительно трехвершинника точек называем его внутренностью, а объединение трехвершинника с его внутренностью – замыканием данного трехвершинника. Трехреберником плоскости $\widehat{H}$ называем трехвершинник, обладающий внутренностью (см. с. 156 в [15]). Отметим, что в геометрии Лобачевского понятия трехвершинника и трехреберника равноправны, поскольку в плоскости Лобачевского, в отличие от плоскости $\widehat{H}$, каждая замкнутая ломаная является двусторонней. Поэтому в геометрии Лобачевского для обозначения описанных объектов традиционно используют один термин “треугольник”. Все конечные треугольники плоскости Лобачевского принадлежат одному типу. Каждый трехреберник плоскости $\widehat{H}$ в зависимости от типов сторон и углов может быть отнесен к одному из десяти типов (см. гл. 5 в [15]). Нас будут интересовать конечные трехреберники, внутренность которых не содержит точек абсолюта, они относятся к девяти типам:
$$
\begin{equation}
eee(I), \ eeh(I), \ ehh(I), \ hhh(I), \ eep(I), \ ehp(I), \ hhp(I), \ epp(I), \ hpp(I),
\end{equation}
\tag{1}
$$
где буквы $h$, $e$ и $p$ обозначают гиперболический, эллиптический и соответственно параболический тип стороны трехвершинника, а символ $I$ – порядковый номер типа трехвершинника в классификации трехвершинников с данным набором типов сторон (см. гл. 5 в [15]). Все вычисления и аналитические выводы работы проводим в проективных координатах, используя канонические реперы первого или второго типа плоскости $H^2$ (см. [16], § 4.1). Вершины $A_1$, $A_2$ и $A_3$ таких реперов образуют автополярный трехвершинник относительно линии $\gamma$. Причем в реперах первого типа вершина $A_3$ является внутренней относительно линии $\gamma$, а единичная точка $E$, где $E= A_1+A_2+A_3$, лежит на пересечении касательных к $\gamma$, проведенных через точки $A_1$ и $A_2$. В реперах второго типа вершины $A_1$, $A_2$ и единичная точка $E$ принадлежат абсолюту. Уравнение абсолютной линии $\gamma$ в каждом каноническом репере первого (второго) типа имеет вид Квадратичную форму $\varphi_1 = x_1^2+x_2^2-x_3^2$ $(\varphi_2 = x_1x_2-x_3^2)$ из левой части первого (второго) уравнения (2), заданную на векторном пространстве $L_3$, порождающем плоскость $P_2$, называют метрической квадратичной формой плоскости $H^2$ в каноническом репере первого (второго) типа (см. [16], § 4.1). Точки $A$ и $B$ на непараболической прямой $l$ плоскости $H^2$ называют ортогональными, если они гармонически разделяют точки пересечения прямой $l$ с абсолютом. Координаты $(a_1:a_2:a_3)$ и $(b_1:b_2:b_3)$ ортогональных точек в репере первого (второго) типа сопряжены относительно билинейной формы, полярной к форме $\varphi_1$ $(\varphi_2)$, т. е. удовлетворяют равенству
$$
\begin{equation}
a_1b_1+a_2b_2-a_3b_3=0 \qquad (a_1b_2+a_2b_1-2a_3b_3=0).
\end{equation}
\tag{3}
$$
Заменяя в матрице квадратичной формы $\varphi_1$ $(\varphi_2)$ каждый элемент его алгебраическим дополнением, получим тангенциальное уравнение абсолюта в репере первого (второго) типа, выражающее взаимосвязь проективных координат $(X_1:X_2:X_3)$ каждой параболической прямой плоскости $H^2$: Проводя игру Хаос, считаем, что все рассматриваемые точки плоскости $H^2$ заданы своими координатами в некотором заранее выбранном каноническом репере, а словосочетание “найти точку” означает вычислить координаты точки в используемом репере. При визуализации исследуемых объектов потребуются следующие понятия. На евклидовой плоскости $E_2$ выберем декартову систему координат $Oxy$, а на плоскости $H^2$ – некоторый канонический репер $R$ первого или второго типа. Пусть $X$ – произвольная точка плоскости $H^2$ с проективными координатами $(x_1:x_2:x_3)$ в репере $R$, и пусть Изображением точки $X$ на плоскости $E_2$ назовем точку, заданную в системе $Oxy$ координатами $(x;y)$ из соотношений (5). Изображением фигуры $F$ плоскости $H^2$ на евклидовой плоскости $E_2$ назовем совокупность изображений всех точек фигуры $F$ на плоскости $E_2$.Изображением на плоскости $E_2$ абсолютной линии $\gamma$, определенной в репере $R$ первого (второго) типа первым (вторым) уравнением из (2), служит единичная окружность (равносторонняя гипербола) евклидовой плоскости, заданная в системе координат $Oxy$ уравнением Отметим, что каждая точка координатной прямой $A_1A_2$ репера $R$ имеет нулевую третью координату, следовательно, ее изображение принадлежит бесконечно удаленной прямой плоскости $E_2$. 1.3. Постановка задачПусть $B_1B_2B_3$ – конечный треугольник плоскости $\Lambda^2$ или конечный трехреберник плоскости $\widehat{H}$ одного из типов (1), а $\mathbb B$ – его замыкание. Проведем на $\mathbb B$ игру Хаос. Пусть $M$ – произвольная точка из $\mathbb B$. На первом шаге игры случайным образом выберем вершину $B_j$, $j=1, 2, 3$, и найдем точку $M_1$ – середину отрезка $MB_j$, принадлежащего области $\mathbb B$. На шаге $k$, где $k =2, 3, 4, \dots$, вновь случайным образом выберем вершину $B_j$ и найдем середину отрезка $M_{k-1}B_j$, принадлежащего $\mathbb B$. Продолжим процесс, ограничивая $k$ достаточно большим значением $n$, $n \in \mathbb N$. На евклидовой плоскости $E_2$ в некоторой декартовой системе координат $Oxy$ построим изображения всех точек $B_j$, $M$, $M_i$, $i = 1, \dots, n$. Полученную на $E_2$ фигуру, изображающую на евклидовой плоскости аттрактор исследуемой динамической системы, назовем кадром игры. Выбирая должным образом координаты точек $B_1$, $B_2$, $B_3$ (см., например, гл. 5 в [15]), с помощью программного комплекса pyv (см. [11]) подготовим комплект кадров, демонстрирующих результаты игры Хаос на различных фигурах плоскости $H^2$. Организация игры Хаос и анализ ее результатов предполагают решение следующих задач.
Решение задачи 1 представлено в работе [19]. В настоящей работе изложены решения задач 2–4. Результаты исследования по задачам 5–9 планируем описать в следующих публикациях. 2. Координаты середины непараболического отрезка2.1. Выражение в канонических реперах первого типаВ каждом каноническом репере $R^*$ первого типа координаты точек $S_1$, $S_2$ середины и квазисередины гиперболического или эллиптического отрезка $AB$ могут быть выражены через координаты $(a_1:a_2:a_3)$ и $(b_1:b_2:b_3)$ его концов по формулам (9), (12) из работы [19]. Если прямая $AB$ не проходит через вершину $A_3$ репера $R^*$, искомые координаты имеют вид
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \Bigl(u_3\bigl(\Omega + \varepsilon \sqrt{\Omega^2 - \Theta}\,\bigr):u_3:-u_1\bigl(\Omega + \varepsilon \sqrt{\Omega^2 - \Theta}\,\bigr) - u_2\Bigr), \qquad \varepsilon=\pm 1, \\ u_1=a_2b_3-a_3b_2, \qquad u_2 = a_3b_1-a_1b_3, \qquad u_3 = a_1b_2-a_2b_1 \neq 0, \\ \Theta = \frac{a_1^2(b_2^2-b_3^2) - b_1^2(a_2^2-a_3^2)}{a_2^2(b_1^2-b_3^2) - b_2^2(a_1^2-a_3^2)}, \\ \Omega = \frac{a_1a_2(b_1^2+b_2^2-b_3^2) - b_1b_2(a_1^2+a_2^2-a_3^2)}{a_2^2(b_1^2-b_3^2) - b_2^2(a_1^2-a_3^2)}. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{6}
$$
Если прямая $AB$ содержит точку $A_3$, в этом случае $u_3=0$, то согласно условию $u_1 \neq 0$ $(u_2 \neq 0)$ искомые координаты можно представить в виде
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \Bigl(-u_2: u_1: \Omega + \varepsilon \sqrt{\Omega^2 - u_1^2 - u_2^2}\,\Bigr), \\ \varepsilon=\pm 1, \qquad u_1=a_2b_3-a_3b_2, \qquad u_2=a_3b_1-a_1b_3, \\ \Omega = \frac{a_2b_2(u_1^2+u_2^2) + a_3b_3u_1^2}{u_1(a_2b_3+a_3b_2)} \qquad \biggl(\Omega = \frac{a_1b_1(u_1^2+u_2^2) + a_3b_3u_2^2}{u_2(a_1b_3+a_3b_1)}\biggr). \end{gathered}
\end{equation}
\tag{7}
$$
В каждой конкретной задаче выбор числа $\varepsilon$ в формулах (6), (7) соответствует выбору одной из точек $S_1$, $S_2$ согласно условию ее принадлежности отрезку $AB$. Заметим, что формулы (6), (7) справедливы для непараболического отрезка $AB$, т. е. при условии (см. первое уравнение из (4)) Замечание 1. При выводе формул (6), (7) (см. формулы (9), (12) в [19]) мы не использовали условие принадлежности точек $A$ и $B$ плоскости $\widehat{H}$. Следовательно, данные формулы справедливы и для координат середины и квазисередины отрезка $AB$ плоскости Лобачевского. Замечание 2. Точки $A$ и $B$, принадлежащие различным компонентам плоскости $H^2$, определяют квазиотрезок, его середина и квазисередина – мнимые точки, их координаты также могут быть вычислены по формулам (6), (7). В игре Хаос появление мнимых точек не меняет кадры, но приводит к сбоям программы, поэтому мы исключаем случаи принадлежности концов рассматриваемых отрезков различным компонентам плоскости $H^2$. 2.2. Выражение в канонических реперах второго типаНайдем аналоги выражений (6), (7) в произвольном каноническом репере $R$ второго типа. Зададим в репере $R$ концы $A$, $B$ непараболического отрезка плоскости $\widehat{H}$ или отрезка плоскости Лобачевского $\Lambda^2$, его середину $S_1$ и квазисередину $S_2$ координатами $(a_1:a_2:a_3)$, $(b_1:b_2:b_3)$, $(s_1:s_2:s_3)$ и $(s^*_1:s^*_2:s^*_3)$ соответственно. Тогда координаты $(u_1:u_2:u_3)$ прямой $AB$ будут определены условиями (6), а принадлежность точек $S_1$, $S_2$ прямой $AB$ – условиями
$$
\begin{equation}
u_1s_1+u_2s_2+u_3s_3=0, \qquad u_1s^*_1+u_2s^*_2+u_3s^*_3=0.
\end{equation}
\tag{9}
$$
Ортогональность точек $S_1$, $S_2$ в репере $R$ (см. второе условие из (3)) равносильна равенству а гармоническая сопряженность пар точек $A$, $B$ и $S_1$, $S_2$ – равенству
$$
\begin{equation}
2s_1s^*_1 a_2b_2 + 2s_2s^*_2 a_1b_1 - \Delta ( s_1s^*_2 + s_2s_1^*) = 0, \qquad \Delta = a_1b_2 + a_2b_1.
\end{equation}
\tag{11}
$$
Предполагая на первом этапе, что прямая $AB$ не проходит через координатную вершину $A_3$, исключим значения $s_3$ и $s^*_3$ из условий (9), (10). Получим выражение
$$
\begin{equation}
2u_1^2 s_1s^*_1 +2u_2^2 s_2s^*_2 - (u_3^2 - 2u_1u_2) ( s_1s^*_2 + s_2s_1^*) = 0.
\end{equation}
\tag{12}
$$
Из системы условий (11), (12) находим
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, s_1s^*_2 + s_2s_1^* =\frac{2s_1s^*_1 a_2b_2 + 2s_2s^*_2 a_1b_1}{\Delta}, \\ s_1s^*_1( a_2b_2 (u_3^2 - 2u_1u_2) - \Delta u_1^2) + s_2s^*_2( a_1b_1(u_3^2 - 2u_1u_2) - \Delta u_2^2) = 0. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{13}
$$
Поделив левые и правые части равенств (13) на $s_2s^*_2$, выразим сумму и произведение отношений первых двух координат точек $S_1$ и $S_2$:
$$
\begin{equation}
\frac{s_1}{s_2} + \frac{s_1^*}{s_2^*} = \frac{2a_1b_1 + 2a_2b_2\frac{s_1}{s_2} \frac{s_1^*}{s_2^*}}{\Delta}, \qquad \frac{s_1}{s_2} \frac{s_1^*}{s_2^*} = - \frac{\Delta u_2^2 + a_1b_1 (2u_1u_2 - u_3^2) }{\Delta u_1^2 + a_2b_2 (2u_1u_2 - u_3^2)}.
\end{equation}
\tag{14}
$$
Из системы условий (14) получаем
$$
\begin{equation}
\frac{s_1}{s_2} = \Omega + \varepsilon \sqrt{\Omega^2 - \Theta}, \qquad \frac{s_1^*}{s_2^*} = \Omega - \varepsilon \sqrt{\Omega^2 - \Theta}, \qquad \varepsilon = \pm1.
\end{equation}
\tag{15}
$$
На основании выражений (10), (14), (15) координаты точек $S_1$, $S_2$ на прямой $AB$, не содержащей точку $A_3$, можно записать в виде
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \Bigl(u_3 \bigl(\Omega + \varepsilon \sqrt{\Omega^2 - \Theta}\,\bigr):u_3:-u_1\bigl(\Omega + \varepsilon \sqrt{\Omega^2 - \Theta}\bigr) - u_2\Bigr), \qquad \varepsilon=\pm 1, \\ u_1=a_2b_3-a_3b_2, \qquad u_2 = a_3b_1-a_1b_3, \qquad u_3 = a_1b_2-a_2b_1 \neq 0, \\ \Theta = - \frac{\Delta u_2^2 + a_1b_1 (2u_1u_2 - u_3^2) }{\Delta u_1^2 + a_2b_2 (2u_1u_2 - u_3^2)}, \qquad \Delta = a_1b_2+a_2b_1, \\ \Omega = \frac{a_1a_2(b_1b_2-b_3^2) - b_1b_2(a_1a_2-a_3^2)}{a_2^2(b_1b_2-b_3^2) - b_2^2(a_1a_2 - a_3^2)}. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{16}
$$
Пусть теперь прямая $AB$ содержит точку $A_3$. В этом случае $u_3=0$. Поскольку прямая $AB$ непараболическая, ее координаты $(u_1:u_2:u_3)$ удовлетворяют условию (см. второе уравнение из (4)) Значит, при $u_3 = 0$ каждое из чисел $u_1$, $u_2$ отлично от нуля. Координаты точек $S_1$, $S_2$ будем искать в виде $(-u_2:u_1:s)$ и $(-u_2:u_1:s^*)$ соответственно. В силу ортогональности точек $S_1$, $S_2$ на основании второго условия из (3) справедливо равенствоУсловие $(ABS_1S_2) = -1$ гармонической сопряженности пар точек $A$, $B$ и $S_1$, $S_2$ вычислим по первой и третьей координатам. Получим равенство
$$
\begin{equation}
2ss^* a_1b_1 - u_2 (s+s^*)(a_1b_ 3+ a_3b_1) + 2a_3b_3u_2^2=0.
\end{equation}
\tag{19}
$$
Из равенств (18), (19) находим координаты середины и квазисередины отрезка $AB$ в случае коллинеарности точек $A$, $B$, $A_3$:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, (-u_2: u_1: \Omega + \varepsilon \sqrt{\Omega^2 + u_1u_2}), \qquad \varepsilon=\pm 1, \\ u_1=a_2b_3-a_3b_2, \qquad u_2=a_3b_1-a_1b_3, \qquad \Omega = \frac{a_3b_3u_2 - a_1b_1u_1}{a_1b_3+a_3b_1}. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{20}
$$
Формулы (16), (20) справедливы для непараболического отрезка $AB$, т. е. при условии (17). Выбор числа $\varepsilon$ в выражениях (16), (20) зависит от условий конкретной задачи и соответствует выбору принадлежащей отрезку $AB$ точки из пары $S_1$, $S_2$. 3. Координаты середины параболического отрезкаНайдем выражения координат $(s_1:s_2:s_3)$ середины $S$ параболического отрезка $AB$ через координаты $(a_1:a_2:a_3)$ и $(b_1:b_2:b_3)$ его концов в реперах $R^*$ и $R$ первого и второго типов соответственно. Прямая $AB$ задана в реперах $R^*$ и $R$ уравнением
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, u_1x_1 + u_2x_2 + u_3x_3 = 0, \\ u_1 = a_2b_3-a_3b_2, \qquad u_2 = a_3b_1-a_1b_3, \qquad u_3 = a_1b_2-a_2b_1. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{21}
$$
Поскольку прямая $AB$ параболическая, в репере $R^*$ (или $R$) выполняется равенство
$$
\begin{equation}
u_1^2 + u_2^2 - u_3^2 = 0 \qquad ( 4u_1u_2-u_3^2 = 0) .
\end{equation}
\tag{22}
$$
Заметим, что в репере первого типа вершина $A_3$ расположена в плоскости $\Lambda^2$. Следовательно, параболическая прямая не может содержать эту точку. Значит, в репере первого типа координаты каждой параболической прямой $AB$ удовлетворяют условию $u_3 \neq 0$. Предположим для начала, что и в репере $R$ второго типа координаты параболической прямой $AB$ удовлетворяют этому условию. Используя соответствующее условие из (3), координаты точки $K$ касания прямой $AB$ с абсолютом в репере $R^*$ запишем в виде а в репере $R$ – в видеПри $u_3 \neq 0$, используя две первые координаты точек $A$, $B$, $S$ и $K$ из (23) (или (24)), запишем в репере $R^*$ (или соответственно $R$) условие $(ABKS)=-1$ из определения середины $S$ параболического отрезка $AB$:
$$
\begin{equation}
\frac{\left| \begin{array}{cc} a_1 & a_2 \\ u_1 & u_2 \end{array} \right| \left| \begin{array}{cc} b_1 & b_2 \\ s_1 & s_2 \end{array} \right|}{\left| \begin{array}{cc} a_1 & a_2 \\ s_1 & s_2 \end{array} \right|\left| \begin{array}{cc} b_1 & b_2 \\ u_1 & u_2 \end{array} \right|} =-1 \qquad \left( \dfrac{\left| \begin{array}{cc} a_1 & a_2 \\ u_2 & u_1 \end{array} \right| \left| \begin{array}{cc} b_1 & b_2 \\ s_1 & s_2 \end{array} \right|}{\left| \begin{array}{cc} a_1 & a_2 \\ s_1 & s_2 \end{array} \right|\left| \begin{array}{cc} b_1 & b_2 \\ u_2 & u_1 \end{array} \right|} =-1\right).
\end{equation}
\tag{25}
$$
Координаты $(s_1:s_2:s_3)$ середины $S$ отрезка $AB$ удовлетворяют уравнению (21) и условию (25), поэтому в репере $R^*$ первого типа могут быть записаны в виде
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, (u_3(2a_1b_1u_2 - u_1\Delta):u_3(u_2\Delta-2a_2b_2u_1): \Delta ( u_1^2-u_2^2) - 2u_1u_2(a_1b_1-a_2b_2) ) , \\ \Delta = a_1b_2+a_2b_1, \quad u_1 = a_2b_3-a_3b_2, \quad u_2 = a_3b_1-a_1b_3, \quad u_3 = a_1b_2-a_2b_1. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{26}
$$
Аналогичные выражения координат середины $S$ отрезка $AB$ в репере $R$ второго типа при $u_3 \neq 0$ запишем в виде
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, (u_3(2a_1b_1u_1 - u_2\Delta):u_3(u_1\Delta-2a_2b_2u_2): 2(a_2b_2u_2^2 - a_1b_1u_1^2) ) , \\ \Delta = a_1b_2+a_2b_1, \quad u_1 = a_2b_3-a_3b_2, \quad u_2 = a_3b_1-a_1b_3, \quad u_3 = a_1b_2-a_2b_1 \neq 0. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{27}
$$
Теперь предположим, что в репере $R$ второго типа прямая $AB$ проходит через вершину $A_3$, т. е. в уравнении (21) $u_3 = 0$. Тогда в силу второго условия из (22) выполняется равенство $u_1u_2=0$. Это означает, что прямая $AB$ совпадает либо с прямой $A_1A_3$, либо с прямой $A_2A_3$. В первом (втором) случае прямая $AB$ задана уравнением $x_2=0$ $(x_1=0)$, а точка ее касания с абсолютом совпадает с $A_1$ $(A_2)$. Выражая условие $(ABA_1S)=-1$ через первые и третьи координаты точек, найдем координаты середины $S$ отрезка $AB$ в репере второго типа при условиях $u_1=u_3=0$: Условие $(ABA_2S)=-1$ выразим через вторые и третьи координаты точек и найдем координаты середины $S$ отрезка $AB$ в репере второго типа при условиях $u_2=u_3=0$: 4. Реализация игры Хаос4.1. Алгоритм решения задачи
4.2. Результаты игры ХаосС помощью программного комплекса pyv [11] проведем игру Хаос на треугольниках плоскости Лобачевского и трехреберниках плоскости $\widehat{H}$ в реперах $R^*$, $R$ и представим полученные кадры. На рис. 1, 2 показаны результаты игры на треугольниках плоскости Лобачевского со следующими координатами вершин: 1) $(0:0.8:1)$, $(0.6:{-}0.5:1)$, $(-0.6:-0.5:1)$ в репере $R^*$ (рис. 1a); 2) $(0:0:1)$, $(0.9:0:1)$, $(0:0.9:1)$ в репере $R^*$ (рис. 1б); 3) $(1:1.2:1)$, $(1:4:1)$, $(4:0.4:1)$ в репере $R$ (рис. 2а); 4) $(0:0.9:1)$, $(0.7:-0.7:1)$, $(-0.7:-0.7:1)$ в репере $R^*$ (рис. 2б). Треугольник с первым набором координат вершин является остроугольным, со вторым – прямоугольным, с третьим – тупоугольным. На рис. 2б показана игра при расположении двух вершин треугольника на изображении достаточно близко к абсолюту, на расстоянии около одной сотой доли масштабной единицы. На рис. 3, 4 представлены кадры игры на плоскости $\widehat{H}$ в репере $R^*$ первого типа. Трехреберник типа $eee(I)$ (рис. 3а) задан координатами вершин $(2 : 0 : 1)$, $(4 : 2 : 1)$, $(4 : -2 : 1)$, трехреберник типа $hpp(I)$ (рис. 3б) – координатами $(1:1:1)$, $(1:0.5:1)$, $(3:1:1)$. Трехреберник типа $eep(I)$ (рис. 4а) задан координатами вершин $(1.5:0:1)$, $(1.5:2:1)$, $(3.5:2:1)$, трехреберник типа $epp(I)$ (рис. 4б) – координатами $(1:1:1)$, $(1:0:0)$, $(0:1:0)$, на изображении эллиптическая сторона этого трехреберника расположена на бесконечно удаленной прямой плоскости $E_2$, виден лишь фрагмент объекта. Кадры на рис. 5, 6 демонстрируют игру также на трехреберниках плоскости $\widehat{H}$, но в репере второго типа. Трехреберник типа $eeh(I)$ (рис. 5а) задан координатами вершин $(0.5:0.5:1)$, $(-0.5:-0.5:1)$, $(1:-1:1)$, трехреберник типа $ehh(I)$ (рис. 5б) – координатами $(-3:-0.3:1)$, $(1:-0.3:1)$, $(0:3:1)$. Трехреберник типа $hpp(I)$ (рис. 6а) задан координатами вершин $(0:4:1)$, $(-4:0:1)$, $(0:0:1)$, трехреберник типа $hhh(I)$ (рис. 6б) – координатами $(0.5:0.5:1)$, $(-0.5:-0.5:1)$, $(0.5:-0.5:1)$. Приведем для сравнения кадры игры Хаос на трехребернике типа $hhh(I)$ с координатами вершин $(0.2:3:1)$, $(-4:3:1)$, $(-3:0.2:1)$ в репере $R$ второго типа с различным количеством проведенных итераций. Аттрактор на рис. 6а содержит $2^{12}$, а на рис. 7б – $2^{15}$ точек. Конфликт интересовАвторы заявляют, что у них нет конфликта интересов.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{RomUsh23} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|