| Теоретическая и математическая физика |
|
|
|
|
|
Задачи Коши, связанные с интегрируемыми матричными иерархиями Г. Ф. Хельминк Korteweg-de Vries Institute, University of Amsterdam, Amsterdam, The Netherlands
Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2023, Volume 216, Issue 2, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0040577923080056 
Реферативные базы данных:
   Посвящается Леониду Олеговичу Чехову и Никите Андреевичу Славнову в связи с их 60-летием 1. ВведениеВ работе [1] мы рассмотрели для каждой коммутативной подалгебры $\mathbf h$ максимальной размерности в алгебре матриц $M_n(\mathbb{C})$ деформации двух построенных из $\mathbf h$ коммутативных подалгебр Ли алгебры MPsd матричных псевдодифференциальных операторов от $\partial$. Во-первых, это деформация подалгебры Ли $\mathbf h[\partial]$, во-вторых, более широкая деформация, которая скручивает подалгебру Ли $\mathbf h[\partial]\partial$ всех элементов в $\mathbf h[\partial]$ без постоянного члена. Необходимые эволюционные уравнения для деформированных образующих каждой из этих двух алгебр Ли представляют собой набор уравнений Лакса, зависящих от двух различных разложений алгебры MPsd. Первая деформация и ее система уравнений Лакса изначально назывались $\mathbf h$-иерархией, но лучше было бы назвать их $\mathbf h[\partial]$-иерархией, чтобы связать с деформируемой коммутативной алгеброй. По той же причине вторую деформацию мы будем называть строгой $\mathbf h[\partial]$-иерархией вместо строгой $\mathbf h$-иерархии. Форма Лакса каждой системы влечет набор уравнений нулевой кривизны для проекций различных произведений деформированных образующих на одну из компонент соответствующего разложения, и это является хорошим признаком того, что могут существовать линейные системы, для которых эти уравнения будут условиями совместности. В настоящей работе мы приводим две задачи Коши в алгебре MPsd. Одна из них при соответствующем выборе участвующих в ней операторов приводит к соотношениям нулевой кривизны для $\mathbf h[\partial]$-иерархии, а другая – к соотношениям нулевой кривизны для строгой $\mathbf h[\partial]$-иерархии. При решении этих систем мы имеем определенную степень свободы, которая связана с допустимым умножением справа на операторы, постоянные по всем переменным. Если алгебра MPsd имеет подходящую специализацию, например такую, в которой все параметры окружения, основанного на алгебре формальных степенных рядов, равны нулю, то это позволяет найти решения задач Коши. Для систем, связанных с обеими рассматриваемыми иерархиями, указанная степень свободы не влияет на получающиеся таким образом решения иерархий. Что касается разрешимости задач Коши, то в первом случае нам нужна полная совместность, а во втором – еще и коши-разрешимость в размерности $n$, где $n\times n$ – размер матриц, которые входят как коэффициенты в операторы из MPsd. Оба свойства сохраняются в контексте алгебры формальных степенных рядов. Статья организована следующим образом. В разделе 2 мы напоминаем необходимые свойства алгебры MPsd, а также приводим форму Лакса и форму нулевой кривизны для обеих иерархий. В следующем разделе 3 сформулирована первая задача Коши. Мы анализируем возникающую в ней степень свободы и показываем, при каких условиях задача имеет решение. В последнем разделе 4 рассматривается вторая задача Коши и приводятся достаточные условия, при которых она разрешима. Обе задачи оказываются разрешимыми в окружении, основанном на алгебре формальных степенных рядов. 2. Интегрируемые матричные иерархииЦентральной алгеброй для задач Коши, изучаемых в этой статье, является алгебра MPsd матричных псевдодифференциальных операторов. Кратко напомним ее основные свойства [1]. Начнем с коммутативной комплексной алгебры $R$, из которой выбираются матричные элементы операторов из алгебры MPsd. Предположим, что алгебра $R$ имеет привилегированное $\mathbb{C}$-линейное дифференцирование $\partial\colon R\mapsto R$. Далее введем матричные дифференциальные операторы от $\partial$. Для этого, как обычно, положим $\partial^0:= \operatorname{Id} $ и продолжим действие всех $\partial^i$ c $i\geqslant 0$ до эндоморфизма алгебры $R^n$, полагая, что $\partial^i$ действуют на каждую компоненту вектора из $R^n$. Если все эти $\partial^i$ действуют таким образом на каждый из столбцов ($n\times n$)-матрицы с элементами из $R$, то получается $\mathbb{C}$-линейный эндоморфизм алгебры $M_n(R)$, обозначаемый тем же символом $\partial^i$. Каждая матрица $m\in M_n(R)$, естественным образом действуя на векторы из $R^n$, также определяет $\mathbb{C}$-линейный эндоморфизм алгебры $R^n$. Таким образом, по заданным $R$ и $\partial$ можно составить матричные дифференциальные операторы от $\partial$ с коэффициентами из $M_n(R)$. Они образуют множество $M_n(R)[\partial]$ всех $\mathbb{C}$-линейных эндоморфизмов алгебры $R^n$ вида $\sum^n_{i=0} m_i\partial^i$, $m_i\in M_n(R)$. Это означает, что они являются отображениями из $R^n$ в $R^n$, заданными как
$$
\begin{equation*}
\vec r\rightarrow\sum^n_{i=0} m_i\partial^i(\vec r\,).
\end{equation*}
\notag
$$
Композиция двух эндоморфизмов из $M_n(R)[\partial]$ определяется правилом Лейбница. Степени производной $\partial$, возможно, не являются $M_n(R)$-линейно независимыми. Тогда можно перейти к расширению множества $M_n(R)[\partial]$, где эти отношения расщепляются (см. работу [2]). Чтобы избежать этой формальности, мы налагаем следующее условие. Благодаря предположению 1 алгебра дифференциальных операторов $M_n(R)[\partial]$ может быть продолжена до алгебры MPsd матричных псевдодифференциальных операторов путем добавления всех обратных степеней производной $\partial$ и допущения бесконечных сумм, составленных из произведений элементов из $M_n(R)$ и отрицательных степеней $\partial$. Это приводит к описанию MPsd как алгебры всех рядов вида
$$
\begin{equation}
m=\sum_{j=-\infty}^{N} m_j\partial^j,\qquad m_j\in M_n(R).
\end{equation}
\tag{1}
$$
При этом два ряда $\sum_j m_j\partial^j$ и $\sum_j n_j\partial^j$ считаются равными в MPsd, если $m_j\,{=}\,n_j$ для всех $j$. Мы можем говорить о степени элемента $m$ в MPsd: если $m=\sum_{j=-\infty}^{N} m_j\partial^j$ и $m_N\neq 0$, то степень элемента равна $N$; степень нулевого элемента по определению равна $-\infty$. Сложение и умножение на скаляр из $\mathbb{C}$ для таких рядов определяются как почленные. Композиция $\partial^{-1}$ и $m\in M_n(R)$ в этой расширенной алгебре задается как
$$
\begin{equation}
\partial^{-1}m=\sum_{s=0}^{\infty}(-1)^{s}\partial^s(m)\partial^{-1-s},
\end{equation}
\tag{2}
$$
а произведение двух рядов общего вида в MPsd есть результат многократного применения правил умножения в $M_n(R)[\partial]$ и соотношения (2). В результате MPsd получает структуру ассоциативной алгебры и становится алгеброй Ли относительно коммутатора. В дальнейшем мы будем использовать следующее наблюдение. Рассмотрим любое другое $\mathbb{C}$-линейное дифференцирование $\Delta\colon R\to R$. Тогда $\Delta$ своим действием на элементы матрицы из алгебры $M_n(R)$ определяет дифференцирование этой алгебры. Обозначим его тем же символом $\Delta$. При определенном условии оно продолжается на алгебру MPsd. Лемма 2.1. Пусть $\mathbb{C}$-линейное дифференцирование $\Delta\colon R\to R$ коммутирует с дифференцированием $\partial$. Тогда следующая формула задает $\mathbb{C}$-линейное дифференцирование в $\mathrm{MPsd}$: В отличие от $M_n(R)[\partial]$ алгебра MPsd обладает богатым набором обратимых элементов. Пусть $M_n(R)^*$ – набор обратимых элементов в $M_n(R)$. Как и в скалярном случае, можно доказать следующее утверждение. Лемма 2.2. Каждый элемент $M=\sum_{j\leqslant k} m_j\partial^j$, у которого ведущий коэффициент $m_k$ принадлежит $M_n(R)^*$, обратим в $\mathrm{MPsd}$. Это утверждение дает хорошие возможности для процедуры одевания: говорят, что элемент $m\in\mathrm{MPsd}$ получается одеванием другого элемента $n\in\mathrm{MPsd}$ с помощью $K$, если $K$ обратим в MPsd и $m=KnK^{-1}$. В алгебре MPsd мы используем два разложения. В первом из них мы разлагаем любой матричный псевдодифференциальный оператор $M=\sum_jm_j\partial^j\in\mathrm{MPsd}$ как
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, M=\pi_{\geqslant 0}(M)+\pi_{<0}(M), \\ \pi_{\geqslant 0}(M)=\sum_{j\geqslant 0}m_j\partial^j,\qquad \pi_{<0}(M)=\sum_{j<0}m_j\partial^j. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{3}
$$
Это разложение приводит к следующему разложению алгебры Ли MPsd в прямую сумму подалгебр:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \mathrm{MPsd}=\mathrm{MPsd}_{\geqslant 0}\oplus \mathrm{MPsd}_{<0}, \\ \begin{aligned} \, \mathrm{MPsd}_{\geqslant 0}&=\{M\in\mathrm{MPsd}\mid M=\pi_{\geqslant 0}(M)\}, \\ \mathrm{MPsd}_{<0}&=\{M\in \mathrm{MPsd}\mid M=\pi_{<0}(M)\}. \end{aligned} \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
В соответствии с леммой 2.2 набор псевдодифференциальных операторов
$$
\begin{equation*}
\mathcal K_{<0}=\mathcal K_{<0}(R)=\biggl\{P= \operatorname{Id} +\sum_{j<0}p_j\partial^j\,\bigg|\,p_j\in M_n(R)\biggr\}
\end{equation*}
\notag
$$
образует группу по умножению, и мы видим, что она отвечает алгебре Ли $\mathrm{MPsd}_{<0}$ в разложении (3). Второе разложение, которое мы используем, имеет вид
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, M=\pi_{>0}(M)+\pi_{\leqslant 0}(M), \\ \pi_{>0}(M)=\sum_{j>0}m_j\partial^j,\qquad \pi_{\leqslant 0}(M)=\sum_{j\leqslant s}m_j\partial^j. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{4}
$$
Это дает еще одно разложение MPsd в прямую сумму двух подалгебр Ли:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \mathrm{MPsd}=\mathrm{MPsd}_{>0}\oplus\mathrm{MPsd}_{\leqslant 0}, \\ \begin{aligned} \, \mathrm{MPsd}_{<0}&=\{M\in \mathrm{MPsd}\mid M=\pi_{>0}(M)\}, \\ \mathrm{MPsd}_{\leqslant 0}&=\{M\in \mathrm{MPsd}\mid M=\pi_{\leqslant 0}(M)\}. \end{aligned} \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Опять же имеем группу
$$
\begin{equation*}
\mathcal K_{\leqslant 0}=\mathcal K_{\leqslant 0}(R)=\biggl\{M=\sum_{j\leqslant 0}m_j\partial^j\,\bigg|\, m_j\in M_n(R), m_0\in M_n(R)^*\biggr\},
\end{equation*}
\notag
$$
которая отвечает второй алгебре $\mathrm{MPsd}_{\leqslant 0}$ в разложении (4). Следующий шаг состоит в выборе в первой алгебре Ли для каждого разложения деформируемых коммутативных подалгебр Ли. Сначала опишем выбор в $\mathrm{MPsd}_{\geqslant 0}$. Пусть $\mathbf h$ – любая коммутативная комплексная подалгебра в $M_n(\mathbb{C})$. Тогда
$$
\begin{equation*}
\mathbf h[\partial]:=\biggl\{\,\sum_{i=0}^n h_i\partial^i\,\bigg|\,h_i\in\mathbf h\;\,\text{для всех}\,\;i\biggr\}
\end{equation*}
\notag
$$
является коммутативной подалгеброй в $\mathrm{MPsd}_{\geqslant 0}$. Если $\{E_\alpha\mid 1\leqslant\alpha\leqslant r\}$ – базис в $\mathbf h$, то $\{E_\beta\partial^i\mid 1\leqslant\beta\leqslant r,\,i\geqslant 0\}$ – базис в $\mathbf h[\partial]$; базисные операторы определяют различные коммутирующие потоки иерархии, связанные с деформацией этой коммутативной алгебры Ли. Обозначим множество индексов базиса $\mathbf h[\partial]$ как
$$
\begin{equation*}
I_1=\{\sigma=(\beta,i)\mid 1\leqslant\beta\leqslant r,\,i\geqslant 0\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Множество $\{\partial,\{E_\alpha\}\}$ называется множеством базисных образующих алгебры $\mathbf h[\partial]$. Их деформация в соответствии с разложением (3) приводит к $\mathbf h[\partial]$-иерархии. Чтобы включить как можно больше коммутирующих потоков, мы в дальнейшем предполагаем, что алгебра $\mathbf h$ имеет максимальную размерность. Ненадолго отвлечемся и приведем несколько примеров таких алгебр и оценим их размерности. Пример 2.1. Прежде всего заметим, что сопряжение $N\mathbf hN^{-1}$, $N\in GL_n(\mathbb{C})$, максимальной коммутативной подалгебры $\mathbf h$ снова имеет максимальную размерность. Первым примером максимальной коммутативной подалгебры $\mathbf h$ является множество диагональных матриц в $M_n(\mathbb{C})$. В этом случае $\mathbf h[\partial]$-иерархия – это многокомпонентная иерархия КП (см. обсуждение в работах [3] и [4]). Следующие два примера имеют более нильпотентный характер. Пример 2.2. Рассмотрим матрицу $B$ размера $n\times n$, заданную как Пример 2.3. Рассмотрим четное $n=2m$, $m\geqslant 1$, и разложим каждую матрицу из $M_{2m}(\mathbb{C})$ на четыре блока размера $m\times m$. Нильпотентная алгебра В течение длительного времени предполагалось (см. [5]), что $n$ – это нижняя граница для $r$, до тех пор пока в 1965 г. Куртер [6] не представил следующий пример, опровергающий это утверждение. Пример 2.4. Пусть подалгебра $\mathbf h$ в алгебре $M_{14}(\mathbb{C})$ натянута на базисные матрицы $\{E_i\mid 1\leqslant i\leqslant 13\}$, где $E_{13}= \operatorname{Id} $, а каждая матрица $\sum_{i=1}^{12} c_iE_i$ имеет вид  Куртер показал, что это максимальная коммутативная подалгебра. В 1985 г. Лэффи показал [7], что $r$ удовлетворяет неравенству $r>(2n)^{2/3}-1$. Это дает следующую оценку снизу для $r$: $r\geqslant\lceil(2n)^{2/3}\rceil-1$. Верхняя оценка для $r$ была найдена гораздо раньше: в 1905 г. Шур показал [8], что размерность любой максимальной коммутативной комплексной подалгебры $\mathbf h$ в $M_n(\mathbb{C})$ удовлетворяет неравенству $r\leqslant\lfloor n^2/4\rfloor+1$. Для четного $n$ этой верхней границе соответствует алгебра из примера 2.3. В 1944 г. Джекобсон доказал [9], что для любого поля $k$ верна такая же оценка размерности $r(k)$ максимальной коммутативной $k$-подалгебры $\mathbf h(k)$ в $M_n(k)$. Относительно недавно (в 1998 г.) Мирзахани дала простое доказательство теоремы Шура, занимающее одну страницу [10]. В случае разложения (4) мы выбираем коммутативные подалгебры Ли как пересечение $\mathbf h[\partial]\partial$ алгебры $\mathrm{MPsd}_{>0}$ с подалгеброй Ли $\mathbf h[\partial]$ из разложения (3), т. е.
$$
\begin{equation*}
\mathbf h[\partial]\partial:=\biggl\{\sum_{i=1}^n h_i\partial^i\,\bigg|\,h_i\in\mathbf h\;\,\text{для всех}\,\;i\biggr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Базисные образующие алгебры $\mathbf h[\partial]\partial$ суть $\{E_\alpha\partial\}$, и мы обозначаем множество индексов базиса $\{E_\beta\partial^i\}$ в $\mathbf h[\partial]\partial$ как
$$
\begin{equation*}
I_2=\{\sigma=(\beta,i)\mid 1\leqslant\beta\leqslant r,\,i\geqslant 1\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Деформация этих образующих приводит к строгой версии $\mathbf h[\partial]$-иерархии. В $\mathbf h[\partial]$-иерархии рассмотрим деформации базисных образующих, одевая их элементом из группы $\mathcal K_{<0}$, соответствующей $\mathrm{MPsd}_{<0}$:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, L=K\partial K^{-1}=\partial+\sum_{i<0}l_i\partial^i, \\ U_\alpha=KE_\alpha K^{-1}=E_\alpha+\sum_{i<0}u_{\alpha i}\partial^i,\quad\text{где}\quad K= \operatorname{Id} +\sum_{j<0}k_j\partial^j\in\mathcal K_{<0}. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{5}
$$
Мы называем $(L,\{U_\alpha\})$ $\mathcal K_{<0}$-деформацией базисных образующих алгебры $\mathbf h[\partial]$. Они порождают коммутативную $\mathbb{C}$-алгебру $K\mathbf h[\partial]K^{-1}$. Для каждой такой деформации будем использовать краткое обозначение $\mathcal B_\sigma$ или $\mathcal B_{\beta i}$ для дифференциального оператора $\pi_{\geqslant 0}(U_\beta L^i)$ при $\sigma=(\beta,i)\in I_1$. Заметим, что если $ \operatorname{Id} =\sum_{\beta=1}^{r}i_\beta E_\beta$, то для $U_\beta$ мы также имеем
$$
\begin{equation*}
\sum_{\beta=1}^{r}i_\beta U_\beta= \operatorname{Id} .
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку каждая $\mathcal K_{<0}$-деформация $U_\beta L^i=L^iU_\beta$ оператора $E_\beta\partial^i$ коммутирует с $L$ и любым из $U_\alpha$, для всех $\sigma=(\beta,i)\in I_1$ имеют место равенства
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, {} [\mathcal B_\sigma,L]&=-[\pi_{<0}(U_\beta L^i),L]=[\mathcal A_\sigma,L], \\ [\mathcal B_\sigma,U_\alpha]&=-[\pi_{<0}(U_\beta L^i), U_\alpha]=[\mathcal A_\sigma,U_\alpha]. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{6}
$$
Здесь $\mathcal A_\sigma$ или $\mathcal A_{\beta i}$ обозначает обрезание $-\pi_{<0}(U_\beta L^i)$. В частности, имеем $\mathcal B_{\beta 0}\,{=}\,E_\beta$ и $\mathcal B_{\beta 1}=E_\beta\partial$. Заметим, что правые части равенств (6) имеют отрицательную степень по $\partial$ точно так же, как операторы $\Delta(L)$ и $\Delta(U_\alpha)$ для любого $\mathbb{C}$-линейного дифференцирования $\Delta$ алгебры $R$, коммутирующего с $\partial$. Поэтому логично искать набор $\mathbb{C}$-линейных коммутирующих дифференцирований $\{\partial_\sigma=\partial_{\beta i}\mid\sigma=(\beta,i)\in I_1\}$ в $R$, каждое из которых коммутирует с $\partial$. Данные $(R,\partial,\{\partial_\sigma\})$, где $\sigma$ пробегает множество $I_1$, называется окружением $\mathbf h[\partial]$-иерархии. Наша цель – для заданной $\mathbf h[\partial]$-иерархии найти $\mathcal K_{<0}$-деформации$(L,\{U_\alpha\})$, такие что для всех $\sigma\in I_1$
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \partial_\sigma(L)&=[\mathcal B_\sigma,L]=-[\pi_{<0}(U_\beta L^i),L]=[\mathcal A_\sigma,L], \\ \partial_\sigma(U_\alpha)&=[\mathcal B_\sigma,U_\alpha]=-[\pi_{<0}(U_\beta L^i),U_\alpha]=[\mathcal A_\sigma,U_\alpha]. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{7}
$$
Такие деформации $(L,\{U_\alpha\})$ называются решениями $\mathbf h[\partial]$-иерархии в рассматриваемом окружении, а уравнения (7) являются уравнениями Лакса этой иерархии. Можно напрямую проверить, что $(\partial,\{E_\alpha\})$ – решение $\mathbf h[\partial]$-иерархии, которое мы называем тривиальным. Заметим, что для всех решений $(L,\{U_\alpha\})$ действие оператора $\sum_{\beta=1}^{r}i_\beta\partial_{\beta 1}$ удовлетворяет равенствам
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \sum_{\beta=1}^{r}i_\beta\partial_{\beta 1}(L)&=\biggl[\,\sum_{\beta=1}^{r}i_\beta\mathcal B_{\beta 1},L\biggr]= [\partial,L]=\partial(L), \\ \sum_{\beta=1}^{r}i_\beta\partial_{\beta 1}(U_\alpha)&=\biggl[\,\sum_{\beta=1}^{r}i_\beta\mathcal B_{\beta 1},U_\alpha\biggr]= \partial(U_\alpha). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{8}
$$
Эти соотношения показывают, что матричные элементы всех коэффициентов операторов $L$ и $U_\alpha$ принадлежат $\mathbb{C}$-подалгебре $R_1$ в $R$, где $\partial$ и $\sum_{\beta=1}^{r}i_\beta\partial_{\beta 1}$ совпадают. Мы называем окружение $(R,\partial,\{\partial_\sigma\})$ стандартным, если и только если $\partial=\sum_{\beta=1}^{r}i_\beta\partial_{\beta 1}$. Заменяя $R$ на $R_1$, можно считать, что мы всегда работаем в стандартном окружении. Замечание 2.1. Пусть $(L,\{U_\alpha\})$ – решение $\mathbf h[\partial]$-иерархии, а $N$ – элемент группы $GL_n(\mathbb{C})$. Тогда непосредственные вычисления дают, что $(NLN^{-1},\{NU_\alpha N^{-1}\})$ – решение $N\mathbf hN^{-1}[\partial]$-иерархии. Теперь перейдем к строгим $\mathbf h[\partial]$-иерархиям. В этом случае рассмотрим деформации базисных образующих в $\mathbf h[\partial]\partial$, получающиеся одеванием элементом группы $\mathcal K_{\leqslant 0}$:
$$
\begin{equation}
V_\alpha=K E_\alpha\partial K^{-1}=\sum_{j\leqslant 1}v_j(\alpha)\partial^j,\quad\text{где}\quad K=\sum_{j\leqslant 0}k_j\partial^j,\quad k_0\in M_n(R)^*.
\end{equation}
\tag{9}
$$
Аналогично случаю $\mathbf h[\partial]$-иерархии назовем их $\mathcal K_{\leqslant 0}$-деформациями базисных образующих алгебры $\mathbf h[\partial]\partial$. Пусть $M=\sum_{\alpha=1}^{r}i_\alpha V_\alpha$, тогда $M=K\partial K^{-1}$, где оператор $K$ имеет вид, заданный в (9). Для любой $\mathcal K_{\leqslant 0}$-деформации базисных образующих алгебры $\mathbf h[\partial]\partial$ и любого $\sigma=(\beta,i)\in I_2$ обозначим дифференциальный оператор $\pi_{>0}(V_\beta M^{i-1})$ без постоянного члена как $\mathcal C_\sigma$ или $\mathcal C_{\beta i}$. Операторы $V_\beta M^{i-1}$ при всех $\sigma=(\beta,i)\in I_2$ коммутируют со всеми $V_\alpha$, следовательно, для любых таких $i$ и $\beta$ выполняются следующие равенства:
$$
\begin{equation}
[\pi_{>0}(V_\beta M^{i-1}),V_\alpha]=[\mathcal C_{\beta i},V_\alpha]=-[\pi_{\leqslant 0}(V_\beta M^{i-1}), V_\alpha]=[\mathcal D_{\beta i},V_\alpha],
\end{equation}
\tag{10}
$$
где $\mathcal D_\sigma$ или $\mathcal D_{\beta i}$ – краткие обозначения для проекции $-\pi_{\leqslant 0}(V_\beta M^{i-1})$. Правые части равенств (10) имеют степень по $\partial$ не выше единицы, точно так же, как операторы $\Delta(V_\alpha)$, где $\Delta$ – любое $\mathbb{C}$-линейное дифференцирование алгебры $R$, коммутирующее с $\partial$. Поэтому мы ищем алгебру $R$, обладающую набором $\mathbb{C}$-линейных коммутирующих дифференцирований $\{\partial_\sigma:=\partial_{\beta i}\mid\sigma=(\beta,i)\in I_2\}$, каждое из которых коммутирует с $\partial$. Следуя терминологии для $\mathbf h[\partial]$-иерархии, назовем данные $(R,\partial,\{\partial_\sigma\})$, где $\sigma$ пробегает множество $I_2$, окружением строгой $\mathbf h[\partial]$-иерархии. Далее будем искать деформации $\{V_\alpha\}$ в окружении $(R,\partial,\{\partial_\sigma\})$, такие что для всех $\sigma=(\beta,i)\in I_2$
$$
\begin{equation}
\partial_\sigma (V_\alpha)=[\mathcal C_\sigma,V_\alpha]=-[\pi_{\leqslant 0}(V_\beta M^{i-1}),V_\alpha]=[\mathcal D_\sigma,V_\alpha].
\end{equation}
\tag{11}
$$
Такие $\mathcal K_{\leqslant 0}$-деформации $\{V_\alpha\}$ базисных образующих алгебры $\mathbf h[\partial]\partial$ мы называем решениями строгой $\mathbf h[\partial]$-иерархии в данном окружении, а уравнения (11) являются уравнениями Лакса этой иерархии. Решение $\{E_\alpha\partial\}$ строгой $\mathbf h[\partial]$-иерархии называется тривиальным. Для всех решений $\{V_\alpha\}$ строгой $\mathbf h[\partial]$-иерархии действие оператора $\sum_{\beta=1}^{r}i_\beta\partial_{\beta 1}$ на эти решения удовлетворяет равенствам
$$
\begin{equation}
\sum_{\beta=1}^{r}i_\beta\partial_{\beta 1} (V_\alpha)= \biggl[\,\sum_{\beta=1}^{r}i_\beta\mathcal C_{\beta 1},V_\alpha\biggr]=[\partial,V_\alpha]=\partial(V_\alpha).
\end{equation}
\tag{12}
$$
Мы называем окружение $(R,\partial,\{\partial_{\beta i}\})$ строгой $\mathbf h[\partial]$-иерархии стандартным, если $\partial=\sum_{\beta=1}^{r}i_\beta\partial_{\beta 1}$; переходя к $\mathbb{C}$-подалгебре в $R$, где это равенство выполнено, мы всегда можем считать, что окружение стандартное. Пример 2.5. В следующих разделах мы встретимся со следующими стандартными окружениями для обеих иерархий. В качестве $R$ в обоих случаях мы выбираем алгебру $\mathbb{C}[[t_\sigma]]$ комплексных формальных степенных рядов от переменных $\{t_\sigma\}$ с $\sigma\in I_1$ для $\mathbf h[\partial]$-иерархии и $\sigma\in I_2$ для ее строгой версии. Далее для каждого дифференцирования $\partial_\sigma=\partial_{\beta i}$ мы берем $\partial/\partial t_\sigma$ и, наконец, задаем $\partial:=\sum_{\beta=1}^{r}i_\beta\partial_{\beta 1}$. Замечание 2.2. В свете замечания 2.1 в строгом случае мы имеем следующий факт. Пусть $\{V_\alpha\}$ – решение строгой $\mathbf h[\partial]$-иерархии и $N$ – элемент группы $GL_n(\mathbb{C})$. Тогда непосредственные вычисления дают, что $(NLN^{-1},\{NU_\alpha N^{-1}\})$ – решение строгой $N\mathbf hN^{-1}[\partial]$-иерархии. В работе [1] было показано, что форма Лакса $\mathbf h[\partial]$-иерархии и ее строгой версии эквивалентны наборам уравнений нулевой кривизны для проекций $\{\mathcal B_ \sigma,\sigma\in I_1\}$ и для проекций $\{\mathcal C_\sigma,\sigma\in I_2\}$ соответственно. Теорема 2.1. Имеют место следующие утверждения. 1. Пусть $(L,\{U_\alpha\})$ – $\mathcal K_{<0}$-деформация базисных образующих алгебры $\mathbf h[\partial]$, и пусть $\{\mathcal B_\sigma,\sigma\in I_1\}$ – соответствующее множество проекций. Тогда $(L,\{U_\alpha\})$ является решением $\mathbf h[\partial]$-иерархии, если и только если для $\{\mathcal B_\sigma\}$ справедливы уравнения
$$
\begin{equation}
\partial_{\sigma_1}(\mathcal B_{\sigma_2})-\partial_{\sigma_2}(\mathcal B_{\sigma_1})-[\mathcal B_{\sigma_1},\mathcal B_{\sigma_2}]=0\quad \textit{для любых}\;\,\sigma_1,\sigma_2\in I_1.
\end{equation}
\tag{13}
$$
2. Пусть $\{V_\alpha\}$ – $\mathcal K_{\leqslant 0}$-деформация базисных образующих алгебры $\mathbf h[\partial]\partial$, и пусть $\{\mathcal C_\sigma,\sigma\in I_2\}$ – соответствующее множество проекций. Тогда $\{V_\alpha\}$ является решением строгой $\mathbf h[\partial]$-иерархии, если и только если для $\{\mathcal C_\sigma\}$ справедливы уравнения Учитывая эквивалентность, утверждающуюся в теореме 2.1, мы называем (13) и (14) уравнениями нулевой кривизны для соответственно $\mathbf h[\partial]$-иерархии и ее строгой версии. Эти уравнения для $\{\mathcal B_\sigma\}$ или $\{\mathcal C_\sigma\}$ влекут дополнительные уравнения. Следствие 2.1. Имеют место следующие утверждения. 1. Если $\mathcal K_{<0}$-деформация $(L,\{U_\alpha\})$ является решением $\mathbf h[\partial]$-иерархии, то для любых операторов из множества $\{\mathcal A_\sigma=-\pi_{< 0}(U_\beta L^i)\mid\sigma=(\beta, 1)\in I_1\}$ справедливы следующие уравнения:
$$
\begin{equation*}
\partial_{\sigma_1}(\mathcal A_{\sigma_2})-\partial_{\sigma_2}(\mathcal A_{\sigma_1})-[\mathcal A_{\sigma_1},\mathcal A_{\sigma_2}]=0.
\end{equation*}
\notag
$$
2. Если $\mathcal K_{\leqslant 0}$-деформация $\{V_\alpha\}$ является решением строгой $\mathbf h[\partial]$-иерархии, то для любых операторов из множества $\{\mathcal D_\sigma=\pi_{\leqslant 0}(V_\beta M^{i-1})\mid\sigma=(\beta, i)\in I_2\}$ справедливы следующие уравнения: Доказательство. Докажем результат для $\mathbf h[\partial]$-иерархии, в строгом случае доказательство аналогично. Напомним, что $U_\alpha L^j$ удовлетворяют уравнениям Лакса так же, как $L$ и $U_\alpha$: для всех $\sigma\in I_1$ мы имеем Теперь подставим во все уравнения нулевой кривизны $\mathcal B_\sigma=\mathcal A_\sigma+U_\beta L^i$ и воспользуемся приведенными выше уравнениями Лакса и тем фактом, что все $\{U_\alpha L^i\}$ коммутируют. Это дает уравнения нулевой кривизны для $\{\mathcal A_\sigma\}$. $\blacksquare$
3. Задача Коши, связанная с $\mathbf{ {h}}[\partial]$-иерархиейВ этом разделе $(R,\partial,\{\partial_\sigma\})$ обозначает окружение для $\mathbf h[\partial]$-иерархии. Для этой иерархии в алгебре MPsd имеет место аналог уравнений Сато–Вильсона для иерархии КП (см., например, формулу (2.3) в [11]). Предложение 3.1. Пусть $(\mathcal L,\{U_\alpha\})$ – $\mathcal K_{<0}$-деформация образующих $(\partial,\{E_\alpha\})$ в $\mathrm{MPsd}$, а операторы $\mathcal A_\sigma$, $\sigma=(\beta,i)\in I_1$, такие же, как в следствии 2.1. Если одевающий оператор $K_1\in\mathcal K_{<0}$, соответствующий $(\mathcal L,\{U_\alpha\})$, удовлетворяет уравнениям то $(\mathcal L,\{U_\alpha\})$ является решением $\mathbf h[\partial]$-иерархии. Заметим, что уравнения (15) корректны, поскольку обе части каждого уравнения имеют отрицательную степень по $\partial$. Уравнения (15) называются уравнениями Сато–Вильсона $\mathbf h[\partial]$-иерархии. Доказательство. Поскольку $\{E_\alpha\}$ и $ \operatorname{Id} \partial$ постоянны по всем $\partial_\sigma$, в общем случае имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \partial_\sigma(K_1E_\alpha K_1^{-1})&=\partial_\sigma(K_1)K_1^{-1}K_1E_\alpha K_1^{-1}-K_1E_\alpha K_1^{-1}\partial_\sigma(K_1)K_1^{-1}= \\ &=[\partial_\sigma(K_1)K_1^{-1},U_\alpha], \\ \partial_\sigma(K_1\partial K_1^{-1})&=\partial_\sigma(K_1)K_1^{-1}K_1\partial K_1^{-1}-K_1\partial K_1^{-1}\partial_\sigma(K_1)K_1^{-1}= \\ &=[\partial_\sigma(K_1)K_1^{-1},\mathcal L]. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
В соответствии с (15) $\partial_\sigma(K_1)K_1^{-1}=\mathcal A_\sigma$. Используя эту подстановку в каждом из двух уравнений выше, получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \partial_\sigma(U_\alpha)&=[\mathcal A_\sigma,U_\alpha]=[\mathcal B_\sigma-U_\beta\mathcal L^i,U_\alpha]=[\mathcal B_\sigma,U_\alpha], \\ \partial_\sigma(\mathcal L)&=[\mathcal A_\sigma,\mathcal L]=[\mathcal B_\sigma-U_\beta\mathcal L^i,\mathcal L]=[\mathcal B_\sigma,\mathcal L], \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
тем самым доказательство завершено. $\blacksquare$ Далее мы более подробно рассмотрим разрешимость в $\mathcal K_{<0}$ более общих систем уравнений, чем (15). Предположим, что мы имеем в MPsd набор матричных псевдодифференциальных операторов $\{A_\sigma\mid\sigma\in I_1\;\,\text{или}\;\,\sigma\in I_2\}$ строго отрицательной степени по $\partial$, т. е. каждый $A_\sigma$ задается как Например, можно взять $\{A_\sigma=\mathcal A_\sigma\mid\sigma\in I_1\}$, где $\mathcal A_\sigma$ такие же, как в предложении 3.1. Будем искать оператор $K$ в $\mathcal K_{<0}$,
$$
\begin{equation}
K=\sum_{s\geqslant 0} K_s\partial^{-s},\qquad K_s\in M_n(R),\quad K_0= \operatorname{Id} ,
\end{equation}
\tag{17}
$$
который удовлетворяет уравнениям
$$
\begin{equation}
\partial_\sigma(K)=A_\sigma K\quad\text{для всех}\;\,\sigma\in I_1\;\,\text{или}\;\,\sigma\in I_2.
\end{equation}
\tag{18}
$$
Система (18) задает задачу Коши в MPsd. Если $K(1)$ – еще одно решение системы (18) для того же множества $\{A_\sigma\}$, то $K(1)=KK(0)$, где $K(0)$ – оператор в $\mathcal K_{<0}$, постоянный по всем $\partial_\sigma$, т. е. $\partial_\sigma(K(0))=0$ для всех $\sigma$. В самом деле, имеем
$$
\begin{equation*}
\partial_\sigma(K(1))=A_\sigma K(1)=\partial_\sigma(K)K^{-1}K(1)+K\partial_\sigma(K(0))=A_\sigma K(1)+\partial_\sigma(K(0)).
\end{equation*}
\notag
$$
Это влечет, что $K\partial_\sigma(K(0))=0$ и, поскольку $K$ обратим, получаем искомое равенство $\partial_\sigma(K(0))=0$. Обратно, для любого постоянного $K(0)$ в $\mathcal K_{<0}$ и любого решения $K$ системы (18) оператор $KK(0)$ – еще одно решение системы (18). В частности, тогда для базисных образующих $Z=\partial$ и $Z=E_\alpha$ алгебры $\mathbf h[\partial]$ выполнено уравнение
$$
\begin{equation*}
\partial_\sigma(K(0)^{-1}KZK^{-1}K(0))=[K(0)^{-1}A_\sigma K(0),K(0)^{-1}KZU^{-1}U(0)],\qquad \sigma\in I_1.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, в задаче Коши для $\mathbf h[\partial]$-иерархии мы имеем некоторую степень свободы, которая соответствует преобразованию решения задачи для $\mathbf h[\partial]$-иерархии в решение для иерархии, связанной с коммутативной алгеброй $K(0)^{-1}\mathbf hK(0)[\partial]$. Далее мы сосредоточимся на существовании решений задачи Коши (18). Для доказательства существования решения этой системы нам нужно потребовать, чтобы алгебра $R$ матричных элементов удовлетворяла следующему ключевому свойству. Определение 3.1. Мы говорим, что окружение $(R,\{\partial_\sigma\})$, где $\sigma$ пробегает множество индексов $I_1$ или $I_2$, полностью совместно, если для любого набора $\{g(\sigma)\}$ элементов из $R$, которые при всех $\sigma_1$, $\sigma_2$ из рассматриваемого множества индексов удовлетворяют условиям совместности существует $\kappa\in R$, такой что в рассматриваемом множестве индексов Окружение $\bigl(\mathbb{C}[[t_\sigma ]],\sum_{\beta=1}^{r}i_\beta\partial_{\beta 1},\bigl\{\partial_\sigma:=\frac{\partial}{\partial t_\sigma}\bigr\}\bigr)$ удовлетворяет этому свойству [12]. Нам потребуется матричная версия полной совместности. Лемма 3.1. Пусть окружение $(R,\partial,\{\partial_\sigma\})$, где множество индексов $\sigma$ есть $I_1$ или $I_2$, полностью совместно. Тогда для каждого набора $\{G(\sigma)\in M_n(R)\}$ матриц, которые при всех $\sigma_1$, $\sigma_2$ из рассматриваемого множества индексов удовлетворяют условиям совместности существует $G\in M_n(R)$, такая что в рассматриваемом множестве индексов При анализе существования решений в MPsd системы (18) возникают уравнения нулевой кривизны. Теорема 3.1. Предположим, что $(R,\partial,\{\partial_\sigma\})$ , где $\sigma$ пробегает множество индексов $I_1$ или $I_2$, полностью совместно. Пусть $\{A_\sigma\mid\sigma\in I_1\;\,\text{или}\;\,\sigma\in I_2\}$ – множество матричных псевдодифференциальных операторов вида (16). Тогда решение $K\in\mathcal K_{<0}(R)$ системы (18) существует, если и только если операторы $\{A_\sigma\}$ при всех $\sigma_1$, $\sigma_2$ из рассматриваемого множества индексов удовлетворяют уравнениям нулевой кривизны Доказательство. Необходимость соотношений нулевой кривизны получается с помощью “перекрестного дифференцирования” уравнения (18) и использования того факта, что все $\partial_\sigma$ коммутируют. Это дает, с одной стороны,
$$
\begin{equation*}
\partial_{\sigma_1}\partial_{\sigma_2}(K)= \partial_{\sigma_1}(A_{\sigma_2})K+A_{\sigma_1}\partial_{\sigma_2}(K)=(\partial_{\sigma_1}(A_{\sigma_2})+A_{\sigma_1}A_{\sigma_2})K,
\end{equation*}
\notag
$$
а с другой,
$$
\begin{equation*}
\partial_{\sigma_2}\partial_{\sigma_1}(K)= \partial_{\sigma_2}(A_{\sigma_1})K+A_{\sigma_1}\partial_{\sigma_2}(K)=(\partial_{\sigma_2}(A_{\sigma_1})+A_{\sigma_1} A_{\sigma_2})K.
\end{equation*}
\notag
$$
Разность этих уравнений приводит к уравнению
$$
\begin{equation*}
(\partial_{\sigma_1}(A_{\sigma_2})-\partial_{\sigma_2}(A_{\sigma_1})-[A_{\sigma_1},A_{\sigma_2}])K=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку $K$ обратим, отсюда получаем уравнения нулевой кривизны (21).
Теперь предположим, что уравнения нулевой кривизны (21) справедливы для всех $A_\sigma$. Будем искать оператор $K= \operatorname{Id} +\sum_{j\geqslant 1}K_j\partial^{-j}$, такой что для всех $\sigma\in I_1$ или $\sigma\in I_2$
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \partial_\sigma(K)&=\sum_{s\geqslant 1}\partial_\sigma(K_s)\partial^{-s}=A_\sigma K= \sum_{j\geqslant 1}A_\sigma(j)\partial^{-j}+\biggl(\,\sum_{j\geqslant 1}A_\sigma(j)\partial^{-j}\biggr)\sum_{s\geqslant 1}K_s\partial^{-s}= \notag\\ &=\sum_{j\geqslant 1}A_\sigma(j)\partial^{-j}+ \sum_{k\geqslant 0}\sum_{j\geqslant 1}\sum_{s\geqslant 1}\binom{-j}{\phantom{-}k} A_\sigma(j)\partial^k(K_s)\partial^{-j-s-k}= \notag\\ &=\sum_{m\geqslant 1} B_\sigma(m)\partial^{-m}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{22}
$$
где $B_\sigma(m)\in M_n(R)$ задаются формулами
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, B_\sigma(1)&=A_\sigma(1), \\ B_\sigma(m)&=A_\sigma(m)+\sum_{1\leqslant s\leqslant m-1\vphantom{k}}\;\sum_{0\leqslant k\leqslant m-2}\binom{-m+s+k}{k}A_\sigma(m-s-k)\partial^k(K_s) \end{aligned}
\end{equation}
\tag{23}
$$
для $m\geqslant 2$. Заметим, что в каждом операторе $B_\sigma(m)$ содержатся только $A_\sigma(n)$ c $n\leqslant m$ и $\partial^k(K_s)$ с $s\leqslant m-1$ и $k\leqslant m-2$. Поскольку нам необходимо решить уравнения для $m\geqslant 1$ и $\sigma\in I_1$ или $\sigma\in I_2$, приме́ним метод математической индукции по $m$.
Сначала решим уравнения (24) при всех $\sigma$ для $m=1$. Затем предположим, что мы нашли операторы $K_1,\ldots,K_m$, для которых при всех $s\leqslant m$ выполнены уравнения (24), и докажем, что можно найти оператор $K_{m+1}\in M_n(R)$, удовлетворяющий уравнениям (24) при $m+1$. Тогда $K= \operatorname{Id} +\sum_{j>0}K_j\partial^{-j}$ является решением системы (18). В силу (23) уравнения (24) при $m=1$ принимают вид
$$
\begin{equation*}
\partial_\sigma(K_1)=A_\sigma(1)\quad\text{для всех}\;\,\sigma.
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку все $A_\sigma$ имеют строго отрицательную степень по $\partial$, коммутатор $[A_{\sigma_1},A_{\sigma_2}]$ не дает вклада в член с $\partial^{-1}$ в уравнениях нулевой кривизны; приравнивание этого члена к нулю дает $\partial_{\sigma_2}(A_{\sigma_1}(1))=\partial_{\sigma_1}(A_{\sigma_2}(1) )$ для всех $\sigma_1$, $\sigma_2$ из рассматриваемого множества индексов. Таким образом, в силу полной совместности окружения и леммы 3.1 мы получаем, что существует матрица $K_1\in M_n(R)$, удовлетворяющая условию $\partial_\sigma(K_1)=A_\sigma(1)$ для всех соответствующих $\sigma$. Теперь, когда мы построили оператор $K_1$, выполним шаг индукции.
Предположим, что мы нашли в $M_n(R)$ матрицы $K_1,\ldots,K_m$, такие что при всех $s\leqslant m$ для $K_1,\ldots,K_s$ выполнены уравнения (24). Чтобы найти оператор $K_{m+1}$ в $M_n(R)$, который удовлетворяет уравнениям $\partial_\sigma(K_{m+1})=B_\sigma(m+1)$, достаточно доказать, что для всех $\sigma_1$ и $\sigma_2$ из рассматриваемого множества индексов
$$
\begin{equation}
\partial_{\sigma_2}(B_{\sigma_1}(m+1))=\partial_{\sigma_1}(B_{\sigma_2}(m+1)).
\end{equation}
\tag{25}
$$
Тогда те же аргументы, которые использовались при доказательстве существования $K_1$, доказывают существование $K_{m+1}$. Мы докажем тождества (25), используя предположение индукции и уравнения нулевой кривизны для $\{A_\sigma\}$. Гипотезу индукции можно сформулировать как тождество в MPsd. Обозначим оператор $ \operatorname{Id} +\sum_{n=1}^{m}K_n\partial^{-n}$ через $K_{\geqslant-m}$. Тогда тождество
$$
\begin{equation}
\partial_\sigma(K_{\geqslant-m})=\pi_{\geqslant-m}(\pi_{\geqslant-m}(A_\sigma)K_{\geqslant 1-m})
\end{equation}
\tag{26}
$$
эквивалентно тому, что для всех $K_s$, $1\leqslant s\leqslant m$, выполнены уравнения (24).
Правая часть тождества, аналогичного (26), но для $m+1$, представляет собой оператор $\pi_{\geqslant-m-1}(\pi_{\geqslant-m-1}(A_\sigma) K_{\geqslant-m})$, который зависит от уже известных матриц $A_\sigma(n)$ с $n\leqslant m+1$ и $\partial^k(K_s)$ с $s\leqslant m$ и $k\leqslant m-1$. Чтобы получить (25), достаточно доказать, что для всех $\sigma_1$, $\sigma_2$ из рассматриваемого множества индексов выполнено условие совместности этих операторов:
$$
\begin{equation}
\partial_{\sigma_1}(\pi_{\geqslant-m-1}(\pi_{\geqslant-m-1}(A_{\sigma_2})K_{\geqslant-m}))=\partial_{\sigma_2}(\pi_{\geqslant-m-1}(\pi_{\geqslant-m-1}(A_{\sigma_1})K_{\geqslant-m})).
\end{equation}
\tag{27}
$$
Подставляя равенство (26) и заменяя $K_{\geqslant 1-m}$ на $K_{\geqslant-m}$, что не влияет на процедуру обрезания до $\partial^{-m-1}$, получаем, что левая часть уравнения (27) сводится к
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \pi_{\geqslant-m-1}&(\partial_{\sigma_1}(\pi_{\geqslant-m-1}(A_{\sigma_2}))K_{\geqslant-m}+ \pi_{\geqslant-m-1}(A_{\sigma_2})\pi_{\geqslant-m}(A_{\sigma_1})K_{\geqslant 1-m})= \notag\\ &=\pi_{\geqslant-m-1}([\pi_{\geqslant-m-1}(\partial_{\sigma_1}((A_{\sigma_2})))+ \pi_{\geqslant-m-1}(A_{\sigma_2})\pi_{\geqslant-m}(A_{\sigma_1})] K_{\geqslant-m}). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{28}
$$
Поступая с правой частью уравнения (27) аналогичным образом, получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \pi_{\geqslant-m-1}&(\pi_{\geqslant-m-1}(\partial_{\sigma_2}(A_{\sigma_1}))K_{\geqslant-m}+ \pi_{\geqslant-m-1}(A_{\sigma_1})\pi_{\geqslant-m}(A_{\sigma_2})K_{\geqslant 1-m})= \notag\\ &=\pi_{\geqslant-m-1}([\pi_{\geqslant-m-1}(\partial_{\sigma_2}(A_{\sigma_1}))+ \pi_{\geqslant-m-1}(A_{\sigma_1})\pi_{\geqslant-m}(A_{\sigma_2})] K_{\geqslant-m}). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{29}
$$
Напрямую можно проверить, что операторы
$$
\begin{equation*}
\partial_{\sigma_1}((A_{\sigma_2})_{\geqslant-m-1})+(A_{\sigma_2})_{\geqslant-m-1}(A_{\sigma_1})_{\geqslant-m},\quad \partial_{\sigma_2}((A_{\sigma_1})_{\geqslant-m-1})+(A_{\sigma_1})_{\geqslant-s-1}(A_{\sigma_2})_{\geqslant-m}
\end{equation*}
\notag
$$
соответственно отличаются от операторов
$$
\begin{equation*}
\partial_{\sigma_1}(A_{\sigma_2})+ A_{\sigma_2}A_{\sigma_1},\quad \partial_{\sigma_2}(A_{\sigma_1})+ A_{\sigma_1}A_{\sigma_2}
\end{equation*}
\notag
$$
на псевдодифференциальный оператор порядка не выше $-m-2$. Следовательно, уравнения нулевой кривизны для $\{A_\sigma\}$ влекут, что два обрезания (28) и (29) в порядке $-m-1$ совпадают. Отсюда следует условие совместности (25), таким образом, для $K_{m+1}$ выполнено уравнение Это доказывает теорему. $\blacksquare$ В основном окружении $\bigl(\mathbb{C}[[t_\sigma]],\sum_{\beta=1}^{r}i_\beta\partial_{\beta 1},\bigl\{\frac{\partial}{\partial t_\sigma}\bigr\}\bigr)$ с множеством индексов $I_1$ или $I_2$ постоянные матрицы являются элементами алгебры $\mathrm{MPsd}(\mathbb{C})$ и существует отображение
$$
\begin{equation*}
S_0\colon\mathrm{MPsd}(\mathbb{C}[[t_\sigma]])\to\mathrm{MPsd}(\mathbb{C}),
\end{equation*}
\notag
$$
задающееся подстановкой $t_\sigma=0$ для всех $\sigma$. Это дает возможность ввести в этом окружении калибровку решения $K$ системы (18), существующего в силу леммы 3.1 и теоремы 3.1. Следствие 3.1. Рассмотрим стандартное окружение $\bigl(\mathbb{C}[[t_\sigma]],\bigr\{\frac{\partial}{\partial t_\sigma}\}\bigr)$ с множеством индексов $I_1$ или $I_2$. Предположим, что в $\mathrm{MPsd}(\mathbb{C}[[t_\sigma]])$ существует множество $\{A_\sigma\}$ матриц строго отрицательной степени по $\partial$, которые удовлетворяют уравнениям нулевой кривизны (21). Пусть $K(0)$ – постоянный элемент, принадлежащий $\mathcal K_{<0}\cap\mathrm{MPsd}(\mathbb{C})$. Тогда уравнения (18) имеют единственное решение $K\in\mathrm{MPsd}(\mathbb{C}[[t_\sigma]])$, такое что $S_0(K)=K(0)$. 4. Задача Коши, связанная со строгой $\mathbf {{h}}[\partial]$-иерархиейПусть $(R,\partial,\{\partial_\sigma\})$ – окружение для строгой $\mathbf h[\partial]$-иерархии. В MPsd также имеет место аналог уравнений Сато–Вильсона (15). Предложение 4.1. Пусть $\{V_\alpha\}$ – $\mathcal K_{\leqslant 0}$-деформация образующих $\{E_\alpha\partial\}$ в $\mathrm{MPsd}$. Если одевающий оператор $P\in\mathcal K_{\leqslant 0}$, связанный с $\{V_\alpha\}$, удовлетворяет уравнениям то $\{V_\alpha\}$ – решение строгой $\mathbf h[\partial]$-иерархии. Заметим, что степень по $\partial$ обеих частей уравнения (31) меньше или равна нулю. Уравнения (31) называются уравнениями Сато–Вильсона строгой $\mathbf h[\partial]$-иерархии. Далее обсудим, как обобщить уравнения (31). На этот раз мы начинаем с множества $\{D_\sigma\mid\sigma=(\beta,i)\in I_2\}$ матричных псевдодифференциальных операторов степени по $\partial$ меньше или равной нулю. Например, можно взять $\{D_\sigma=-\pi_{\leqslant 0}(V_\beta\mathcal{M}^{i-1})\}$, где $\{V_\beta\}$ – возможное решение строгой $\mathbf h[\partial]$-иерархии. Теперь найдем в $\mathcal K_{\leqslant 0}$ оператор $P$, удовлетворяющий следующей системе уравнений:
$$
\begin{equation}
\partial_\sigma(P)=D_\sigma P\quad\text{для всех}\;\,\sigma\in I_2.
\end{equation}
\tag{32}
$$
Если $\widetilde P$ – еще одно решение системы с тем же множеством $\{D_\sigma\}$, то $\widetilde P=PP(0)$, где $P(0)$ – элемент из $LT_{\mathbb{N}}(R)$, постоянный по всем $\partial_\sigma$, т. е. $\partial_\sigma(P(0))=0$ для всех $\sigma\in I_2$. Доказательство этого утверждения такое же, как в случае задачи Коши (18). Далее мы сосредоточимся на существовании решений задачи Коши (32). Чтобы доказать существование решения этой системы, помимо уже встречавшейся ранее полной согласованности, нам потребуется еще одно свойство алгебры $R$. Определение 4.1. Окружение $(R,\partial,\{\partial_\sigma,\sigma\!\in\! I_2\})$ называется коши-разрешимым в размерности $n$, если для любого набора матриц $\{C_\sigma\!\in\! M_n(R),\,\sigma\!\in\! I_2\}$, которые при всех $\sigma_1,\sigma_2\in I_2$ удовлетворяют уравнению существует матрица $F\in M_n(R)^*$ (где $M_n(R)^*$ – группа обратимых матриц в $M_n(R)$), такая что при всех $\sigma\in I_2$ Прежде чем представить доказательство того, что $\bigl(\mathbb{C}[[t_\sigma|\sigma\in I_2]],\bigl\{\frac{\partial}{\partial t_\sigma}\bigr\}\bigr)$ является примером стандартного окружения, коши-разрешимого в размерности $n$, введем некоторые обозначения. Рассмотрим переменные $\{t_\sigma\,|\,\sigma\in I_2\}$. Для мономов от этих переменных будем использовать мультииндексные обозначения: для любого набора $\alpha=(\alpha_\sigma)\in\mathbb{Z}^{I_2}_{\geqslant 0}$, в котором только конечное число составляющих $\alpha_\sigma$ отлично от нуля, положим
$$
\begin{equation*}
t^{\alpha}:=\prod_{\sigma\in I_2}t_\sigma^{\alpha_\sigma}.
\end{equation*}
\notag
$$
Введем отношение порядка для мультииндексов: $\alpha\leqslant\beta$ и $\alpha<\beta$, если соответственно $\alpha_\sigma\leqslant\beta_\sigma$ и $\alpha_\sigma<\beta_\sigma$ для всех $\sigma\in I_2$. Для простоты нулевой индекс обозначается как $0$. При дифференцировании по переменной $t_\sigma$ далее будет встречаться мультииндекс $1(\sigma)$ для $\sigma\in I_2$, который определяется как
$$
\begin{equation*}
1(\sigma_1)_{\sigma_2}=\begin{cases} 0 &\text{для}\;\,\sigma_1\neq\sigma_2,\\ 1& \text{для}\;\,\sigma_1=\sigma_2. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Степень $\operatorname{deg}(\alpha)$ мультииндекса $\alpha$ задается как
$$
\begin{equation*}
\operatorname{deg}(\alpha):=\sum_{\sigma\in I_2}\alpha_\sigma.
\end{equation*}
\notag
$$
Любая матрица $M\in M_n(\mathbb{C}[[t_\sigma|\sigma\in I_2]])$ разлагается в сумму, где $M(\alpha)$ – это матрица размера $n\times n$ над $\mathbb{C}$. Обратимость элементов из $M_n(\mathbb{C}[[t_\sigma]])$ описывается следующей леммой. Лемма 4.1. Элемент $M\in M_n(\mathbb{C}[[t_\sigma]])$ имеет в алгебре $M_n(\mathbb{C}[[t_\sigma]])$ обратный, если и только если матрица $M(0)$ обратима в $M_n(\mathbb{C})$. Доказательство. Если матрица $M=\sum_{\alpha\geqslant 0}M(\alpha)t^{\alpha}$ имеет обратную по умножению матрицу то постоянные члены разложений удовлетворяют уравнению $M(0)G(0)= \operatorname{Id} $, и это показывает, что условие теоремы необходимо, и мы можем положить $M(0)= \operatorname{Id} $. Перемножая два формальных ряда для $M$ и $G$, получаем для каждого $\gamma>0$ Для мультииндексов $\alpha$ степени 1 это дает $G(\alpha)=-F(\alpha)$. Индукцией по степени соответствующих мультииндексов можно показать, что каждая $G(\alpha)$ с $\operatorname{deg}(\alpha)=m$ является полиномом максимальной степени $m$ от коэффициентов $M(\beta)$, у которых $\operatorname{deg}(\beta)\leqslant m$. $\blacksquare$ Теперь докажем Предложение 4.2. Стандартное окружение $\bigl(\mathbb{C}[[t_\sigma]],\bigl\{\frac{\partial}{\partial t_\sigma}\bigr\}\bigr)$ с $\sigma\in I_1$ или $\sigma\in I_2$ коши-разрешимо в размерности $n$. Доказательство. Необходимость условий нулевой кривизны в определении 4.1 доказывается так же, как для системы (18). Теперь покажем, что они являются достаточными. Предположим, что мы имеем набор матриц
$$
\begin{equation}
\{C_\sigma\in M_n(\mathbb{C}[[t_\sigma]]),\sigma\in I_2\},\quad\text{т. е.}\quad C_\sigma=\sum_{\alpha\geqslant 0}C_\sigma(\alpha)t^{\alpha},
\end{equation}
\tag{34}
$$
удовлетворяющих уравнениям нулевой кривизны в определении 4.1. В силу леммы 4.1 этого достаточно для того, чтобы найти матрицу $F\in M_n(\mathbb{C}[[t_\sigma]])$ с условием $F(0)= \operatorname{Id} $, которая удовлетворяет уравнениям (33).
Нам только нужно показать, что коэффициенты $F(\alpha)$ степенного ряда для $F$ однозначно определяются следующим соотношением:
$$
\begin{equation}
(\gamma_\sigma+1)F(\gamma+1(\sigma))=\sum_{0\leqslant\alpha\leqslant\gamma}C_\sigma(\alpha)F(\gamma-\alpha)
\end{equation}
\tag{35}
$$
для всех $\gamma\geqslant 0$. Сначала посмотрим на мультииндекс $\alpha$, который встречается только в одной переменной. Тогда получается рекуррентное соотношение
$$
\begin{equation}
(k_\sigma+1)F((k_\sigma+1)1(\sigma))=\sum_{0\leqslant m\leqslant k_\sigma}C_\sigma(m1(\sigma))F((k_\sigma-m)1(\sigma)),
\end{equation}
\tag{36}
$$
которое по индукции однозначно определяет $F(k_\sigma1(\sigma))$ начиная с $F(0)= \operatorname{Id} $. Кроме того, степенные ряды $F(\ldots,0,t_\sigma,0,\ldots)$ строятся так, что они удовлетворяют уравнению
$$
\begin{equation*}
\frac{\partial}{\partial t_\sigma}(F(\ldots,0,t_\sigma,0,\ldots))=C_\sigma(\ldots,0,t_\sigma,0,\ldots)F(\ldots,0,t_\sigma,0,\ldots).
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь идея состоит в том, чтобы использовать индукцию по количеству переменных $m$, реально присутствующих в мультииндексе $\alpha$, т. е. по количеству элементов в множестве $\{\sigma\,|\,\alpha_\sigma>0\}$. Итак, предположим, что корректно определен любой коэффициент $F(\beta)$ с количеством переменных меньше или равным $m$, и рассмотрим коэффициент $F(\alpha)$, в который входят $m+1$ переменных. Можно считать, что другие варианты сводятся к этому перестановкой. Достаточно показать, что условия совместности позволяют ввести корректно определенный степенной ряд который при всех $k=1,\ldots,m+1$ удовлетворяет уравнениям
$$
\begin{equation*}
\partial_{\sigma_k}(F(t_{\sigma_1},\ldots,t_{\sigma_{m+1}},0,\ldots))= C_{\sigma_k}(t_{\sigma_1},\ldots,t_{\sigma_{m+1}},0,\ldots)F(t_{\sigma_1},\ldots,t_{\sigma_{m+1}},0,\ldots).
\end{equation*}
\notag
$$
Чтобы задать коэффициенты $F(\alpha)$ с $\alpha_{\sigma_k}>0$ для всех $k=1,\ldots,m+1$, мы имеем $n+1$ возможностей: каждая из них отвечает одной переменной $t_{\sigma_k}$, для которой мы используем рекуррентное соотношение
$$
\begin{equation}
\alpha_{\sigma_k}F(\alpha)=\sum_{0\leqslant\gamma\leqslant\alpha-1(\sigma_k)}C_{\sigma_k}(\gamma)F(\alpha-1(\sigma_k)-\gamma).
\end{equation}
\tag{37}
$$
Каждый выбор дает степенной ряд $F_k(t_{\sigma_1},\ldots,t_{\sigma_{m+1}},0,\ldots)$. Заметим, что каждый $F_k$ строится так, что по переменной $t_{\sigma_k}$ он удовлетворяет уравнению
$$
\begin{equation}
\partial_{\sigma_k}(F_k)=C_{\sigma_k}(t_{\sigma_1},\ldots,t_{\sigma_{m+1}},0,\ldots)F_k.
\end{equation}
\tag{38}
$$
Далее покажем, что все $F_k=F_{m+1}$. Заметим, что эти два ряда находятся в согласии друг с другом в тех слагаемых, которые содержат $m$ переменных или меньше, в частности в слагаемых только с одной переменной. Следовательно, достаточно доказать равенство
$$
\begin{equation*}
\partial_{\sigma_{m+1}}\partial_{\sigma_k}(F_k)-\partial_{\sigma_k}\partial_{\sigma_{m+1}}(F_{m+1})=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Применим уравнения (38) и подставим соотношения нулевой кривизны, что дает
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \partial_{\sigma_{m+1}}&(C_{\sigma_k})F_k+C_{\sigma_k}\partial_{\sigma_{m+1}}(F_k)- \partial_{\sigma_k}(C_{\sigma_{m+1}})F_k-C_{\sigma_{m+1}}\partial_{\sigma_k}(F_{m+1})= \\ &=\partial_{\sigma_{m+1}}(C_{\sigma_k})F_{m+1}+C_{\sigma_k}\partial_{\sigma_{m+1}}(F_{m+1})+ \partial_{\sigma_{m+1}}(C_{\sigma_k})(F_k-F_{m+1})+{} \\ &\quad +C_{\sigma_k}\partial_{\sigma_{m+1}}(F_k-F_{m+1})- \partial_{\sigma_k}(C_{\sigma_{m+1}})F_{m+1}-C_{\sigma_{m+1}}\partial_{\sigma_k}(F_k)-{} \\ &\quad -\partial_{\sigma_k}(C_{\sigma_{m+1}})(F_k-F_{m+1})-C_{\sigma_{m+1}}\partial_{\sigma_k}(F_{n+1}-F_k)= \\ &=\partial_{\sigma_{m+1}}(C_{\sigma_k})F_{m+1}+C_{\sigma_k}C_{\sigma_{m+1}}F_{m+1}+ \partial_{\sigma_{m+1}}(C_{\sigma_k})(F_k-F_{m+1})+{} \\ &\quad +C_{\sigma_k}\partial_{\sigma_{m+1}}(F_k-F_{m+1})- \partial_{\sigma_k}(C_{\sigma_{m+1}})F_{m+1}-C_{\sigma_{m+1}}C_{\sigma_k}F_k-{} \\ &\quad -\partial_{\sigma_k}(C_{\sigma_{m+1}})(F_k-F_{m+1})- C_{\sigma_{m+1}}\partial_{\sigma_k}(F_{m+1}-F_k)= \\ &=\partial_{\sigma_{m+1}}(C_{\sigma_k})(F_k-F_{m+1})+ C_{\sigma_k}\partial_{\sigma_{m+1}}(F_k-F_{m+1})-{} \\ &\quad -\partial_{\sigma_k}(C_{\sigma_{m+1}})(F_k-F_{m+1})-C_{\sigma_{m+1}}\partial_{\sigma_k}(F_{m+1}-F_k). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Предположим, что разность $F_k-F_{m+1}$ отлична от нуля и имеет нетривиальный коэффициент с мультииндексом $\gamma$, тогда $\partial_{\sigma_{m+1}}\partial_{\sigma_k}(F_k)-\partial_{\sigma_k}\partial_{\sigma_{m+1}}(F_{m+1})$ имеет нетривиальный коэффициент c мультииндексом $\gamma-1(\sigma_k)-1(\sigma_{m+1})$. Если в качестве $\gamma$ выбрать один из младших мультииндексов в $F_k-F_{m+1}$, для которого существует ненулевой коэффициент, то это противоречит тому, что $F_k-F_{m+1} $, $\partial_{\sigma_k}(F_{m+1}-F_k)$ и $\partial_{\sigma_{m+1}}(F_{m+1}-F_k)$ не содержат таких коэффициентов. Следовательно, $F_k-F_{m+1}$ должно быть равно нулю. Это доказывает утверждение предложения. $\blacksquare$ Теорема 4.1. Пусть окружение $(R,\partial,\{\partial_\sigma\},\sigma\in I_2)$ полностью согласовано и коши-разрешимо в размерности $n$. Тогда решение $P\in\mathcal K_{\leqslant 0}(R)$ системы (32) существует, если и только если $\{D_\sigma\}$ удовлетворяют условиям нулевой кривизны Доказательство. Поскольку оператор $P$ в системе (32) обратим, доказательство необходимости соотношений нулевой кривизны такое же, как и для системы (18). Остается показать достаточность.
Пусть для $\{D_\sigma\}$ выполняются соотношения нулевой кривизны (39). Операторы $D_\sigma$ имеют вид
$$
\begin{equation*}
D_\sigma=\sum_{j\geqslant 0} d_j^{(\sigma)}\partial^{-j},\qquad d_j^{(\sigma)}\in M_n(R)\;\,\text{для всех}\;\,j\geqslant 0.
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь найдем оператор $P=\sum_{j\geqslant 0} P_j\partial^{-j}$ с $P_j\in M_n(R)$ для всех $j$ и $P_0\in M_n(R)^*$, который удовлетворяет системе (32). Будем искать $P$ в два этапа. Запишем равенство $P=P_0\widetilde P$, где $\widetilde P\in\mathcal K_{<0}$, и будем искать уравнения, которым должны удовлетворять $P_0$ и $\widetilde P$.
Сначала найдем уравнения для $P_0$. Сравнивая постоянные члены в уравнениях (32), получаем
$$
\begin{equation}
\partial_\sigma(P_0)=d_0^{(\sigma)}P_0,\qquad \sigma\in I_2.
\end{equation}
\tag{40}
$$
Уравнения нулевой кривизны (39) для $\{D_\sigma\}$ влекут для коэффициента при $\partial^0$ соотношения нулевой кривизны для $\{d_0^{(\sigma)}\}$. Поскольку окружение коши-разрешимо в размерности $n$, все уравнения (40) разрешимы, и в результате $P_0\in M_n(R)^*$ удовлетворяет уравнениям (40). Предполагая, что $P$ удовлетворяет уравнениям (32), получаем, что $\widetilde P$ обязательно должен удовлетворять следующей задаче Коши:
$$
\begin{equation}
\partial_\sigma(\widetilde P)=(P_0^{-1}D_\sigma P_0-P_0^{-1}\partial_\sigma(P_0))\widetilde P=:\widehat D_\sigma\widetilde P
\end{equation}
\tag{41}
$$
для всех $\sigma\in I_2$. Из уравнений (40) видно, что все $\widehat D_\sigma\in\mathrm{MPsd}$ являются элементами строго отрицательного порядка по $\partial$. Следовательно, если мы покажем, что соотношения нулевой кривизны выполняются для всех $\widehat D_\sigma$, то мы можем применить теорему 3.1 к задаче Коши (41), и тогда в $\mathcal K_{<0}$ существует решение $\widetilde P$ этой системы.
Прежде всего имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \partial_{\sigma_1}(\widehat D_{\sigma_2})&= \partial_{\sigma_1}(P_0^{-1})D_{\sigma_2}P_0+P_0^{-1}\partial_{\sigma_1}(D_{\sigma_2})P_0+ P_0^{-1}D_{\sigma_2}\partial_{\sigma_1}(P_0)-\partial_{\sigma_1}(P_0^{-1}\partial_{\sigma_2}(P_0))= \\ &=- P_0^{-1}\partial_{\sigma_1}(P_0)P_0^{-1}D_{\sigma_2}P_0+P_0^{-1}\partial_{\sigma_1}(D_{\sigma_2})P_0+ P_0^{-1}D_{\sigma_2}\partial_{\sigma_1}(P_0)+{} \\ &\quad +P_0^{-1}\partial_{\sigma_1}(P_0) P_0^{-1}\partial_{\sigma_2}(P_0)-P_0^{-1}\partial_{\sigma_1}\partial_{\sigma_2}(P_0) \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
и аналогично
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \partial_{\sigma_2}(\widehat D_{\sigma_1})&=\partial_{\sigma_2}(P_0^{-1})D_{\sigma_1}P_0+P_0^{-1}\partial_{\sigma_2}(D_{\sigma_1})P_0+ P_0^{-1}D_{\sigma_1}\partial_{\sigma_2}(P_0)-\partial_{\sigma_2}(P_0^{-1}\partial_{\sigma_1}(P_0))= \\ &=- P_0^{-1}\partial_{\sigma_2}(P_0)P_0^{-1}D_{\sigma_1}P_0+P_0^{-1}\partial_{\sigma_2}(D_{\sigma_1})P_0+ P_0^{-1}D_{\sigma_1}\partial_{\sigma_2}(P_0)+{} \\ &\quad +P_0^{-1}\partial_{\sigma_2}(P_0) P_0^{-1}\partial_{\sigma_1}(P_0)-P_0^{-1}\partial_{\sigma_2}\partial_{\sigma_1}(P_0). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Коммутатор $[\widehat D_{\sigma_2},\widehat D_{\sigma_1}]$ равен
$$
\begin{equation*}
P_0^{-1}[D_{\sigma_2}, D_{\sigma_1}]P_0-[u_0^{-1}\partial_{\sigma_2}(P_0),P_0^{-1}D_{\sigma_1}P_0]- [P_0^{-1}D_{\sigma_2}P_0,P_0^{-1}\partial_\sigma(P_0)].
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку имеют место соотношения
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, -[P_0^{-1}\partial_{\sigma_2}(P_0),P_0^{-1}D_{\sigma_1}P_0]&= -P_0^{-1}\partial_{\sigma_2}(P_0)P_0^{-1}D_{\sigma_1}P_0+ P_0^{-1}D_{\sigma_1}\partial_{\sigma_2}(P_0), \\ -[P_0^{-1}D_{\sigma_2}P_0,P_0^{-1}\partial_{\sigma_1}(P_0)]&= -P_0^{-1}D_{\sigma_2}\partial_{\sigma_1}(P_0)+ P_0^{-1}\partial_{\sigma_1}(P_0)P_0^{-1}D_{\sigma_2}P_0, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
все эти полученные равенства приводят к искомым уравнениям нулевой кривизны
$$
\begin{equation*}
\partial_{\sigma_1} (\widehat D_{\sigma_2})-\partial_{\sigma_2}(\widehat D_{\sigma_1})-[\widehat D_{\sigma_1},\widehat D_{\sigma_2}]=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, существует решение $\widetilde P$ системы (41). Теперь несложно проверить, что оператор $P=P_0\widetilde P$ является решением системы (32). $\blacksquare$ Напомним, что в основном стандартном окружении $\bigl(\mathbb{C}[[t_\sigma]],\bigl\{\frac{\partial}{\partial t_\sigma}\bigr\}\bigr)$ у нас есть возможность положить все переменные $t_\sigma$ равными нулю, что определяет отображение подстановки $S_0\colon\mathrm{MPsd}(\mathbb{C}[[t_\sigma]])\to \mathrm{ MPsd}(\mathbb{C})$. В этом окружении можно применить калибровку решения $P$ системы (32) из теоремы 4.1. Следствие 4.1. Пусть в основном стандартном окружении $\{D_\sigma,\sigma\in I_2\}$ – множество элементов алгебры $\mathrm{MPsd}$ степени меньше или равной нулю, которые удовлетворяют уравнениям нулевой кривизны (39). Пусть Конфликт интересовАвтор заявляет, что у него нет конфликта интересов. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Hel23} |
|
||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|