| Теоретическая и математическая физика |
|
|
|
|
|
Об интегрируемом симплектическом отображении и Лей-Лей Ши, Дянь-Лоу Ду School of Mathematics and Statistics, Zhengzhou University, Zhengzhou, Henan, China
Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2023, Volume 215, Issue 1, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0040577923040049 
Реферативные базы данных:
   1. ВведениеВ последние годы были получены важные результаты в теории построения решений интегрируемых уравнений, включая метод обратной задачи рассеяния, преобразование Дарбу, преобразование Беклунда и билинейный метод Хироты [1]–[4], они были мотивированы тесной связью солитонной теории с реальным миром. Большое внимание уделялось непрерывным уравнениям, которые активно используются во многих областях науки [5]–[7]. В отличие от непрерывного случая, у изучения дискретных уравнений большие перспективы, и еще предстоит проделать большую работу по их исследованию [8]–[10]. Уже в XIX столетии некоторые ученые начали исследовать конечномерные интегрируемые системы с использованием результатов исследований бесконечномерных интегрируемых систем [7], [11]. Стационарные потоки и нелинеаризуемость пары Лакса, которая изучалась в ряде работ, представляют собой два эквивалентных подхода, позволяющих эффективно строить алгебро-геометрические решения солитонных уравнений [5], [12]–[19]. Для реализации нелинейной техники используются ограничение потенциальной функции и квадрат собственной функции. Недавно, используя связь между потенциальной и собственной функциями, Ду и Ван построили новую конечномерную интегрируемую систему, которую можно использовать для получения солитонного решения уравнения Кортевега–де Фриза [20]. В настоящей статье с использованием решетки Тоды в качестве примера мы обсуждаем получение интегрируемого симплектического отображения и $N$-солитонного решения решетки Тоды. Решетка Тоды
$$
\begin{equation}
\begin{pmatrix} u(n)\\ v(n)\\\end{pmatrix}_t=\begin{pmatrix} u(n)(v(n)-v(n-1))\\ u(n+1)-u(n) \end{pmatrix}
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
является полностью интегрируемой системой, имеющей важное значение в физике твердого тела [21]–[23]. У нее есть пара Лакса с пространственной
$$
\begin{equation}
\varphi(n+1,t,z)+u(n)\varphi(n-1,t,z)+v(n)\varphi(n,t,z)=(z+z^{-1})\varphi(n,t,z)
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
и временно́й частью
$$
\begin{equation}
\varphi_{t}(n,t,z)=\varphi(n,t,z)-u(n)\varphi(n-1,t,z),
\end{equation}
\tag{1.3}
$$
где $z$ – спектральный параметр. Для того чтобы получить интегрируемое симплектическое отображение и гамильтонову систему, используем сначала преобразование $\varphi(n,t,z)=e^{(1-z^{-1})t}F(n,t,z)$ и получим новую спектральную задачу, а также вспомогательную спектральную задачу:
$$
\begin{equation}
F(n+1,t,z)+u(n)F(n-1,t,z)+v(n)F(n,t,z)=(z+z^{-1})F(n,t,z),
\end{equation}
\tag{1.4}
$$
Как и в работе [20], введем три типа полиномиальных разложений спектральной функции $F(n,t,z)$,
$$
\begin{equation}
F(n,t,z) =z^n\sum_{j=0}^{N}a_j(n,t)z^{N-j},\qquad a_0(n,t)=1,
\end{equation}
\tag{1.6}
$$
$$
\begin{equation}
F(n,t,z) =z^n\prod_{j=1}^N(z-k_j)\biggl[1+\sum_{j=1}^{N}\frac{1}{z-k_j}y_j(n,t)\biggr],
\end{equation}
\tag{1.7}
$$
чтобы получить симплектическое отображение и гамильтонову систему, которые тождественны друг другу, но записаны в разных системах координат. Мы покажем интегрируемость симплектического отображения с помощью корневых переменных $z_j(n,t)$ уравнения (1.8). Интегрируемое симплектическое отображение можно линеаризовать с помощью координат Дарбу [24]–[26]. Для этого с помощью метода, изложенного в работе [24], мы получаем координаты Дарбу и задачу обращения
$$
\begin{equation}
\sum_{k=1}^N\int_{q_k(0)}^{q_k(n)}\frac{(-2 \operatorname{ch} (q_k))^{N-j}}{\sum_{m=0}^{N} P_m(-2 \operatorname{ch} (q_k))^{N-m}}\,dq_k=Q_j(n), \qquad 1\leqslant j\leqslant N.
\end{equation}
\tag{1.9}
$$
Кроме того, обращение приводит к $N$-солитонному решению решетки Тоды. Помимо выявления нового интегрируемого симплектического отображения, связанного с решеткой Тоды, предложенный в настоящей статье подход устанавливает связь между симплектическим отображением и солитонным решением. Объясняется также связь спектральной задачи для решетки Тоды и гиперболической системы Руйсенарса–Шнайдера с внешним потенциалом. Корневые переменные $z_j(n,t)$ уравнения (1.8) появляются также в работе Ван Дижена [27] при изучении динамики нулей солитонной функции Бейкера–Ахиезера для решетки Тоды. Работа имеет следующую структуру. В разделе 2 построены гамильтонова система и симплектическое отображение на основе трех разных типов полиномиальных разложений спектральной функции. В разделе 3 показана интегрируемость симплектического отображения с помощью корневых переменных спектральной функции. В разделе 4 с использованием инвариантов получены координаты Дарбу. Кроме того, на основе координат Дарбу линеаризовано симплектическое отображение. Далее получены задачи обращения симплектического отображения и гамильтоновой системы. В разделе 5 с помощью обращения получено $N$-солитонное решение решетки Тоды. 2. Гамильтоновы системы и симплектические отображенияЦелью данного раздела является построение гамильтоновых систем и симплектических отображений с использованием трех полиномиальных разложений разного типа спектральной функции $F$. 2.1. Первое полиномиальное разложениеРассмотрим первое полиномиальное разложение $F(n,t,z)$ следующего вида:
$$
\begin{equation}
F(n,t,z)=z^n\sum_{j=0}^{N}a_j(n,t)z^{N-j},\qquad a_0(n,t)=1.
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
Для простоты далее заменим $a_j(n,t)$ на $a_j(n)$. Подставляя уравнение (2.1) в уравнения (1.4) и (1.5) и приравнивая коэффициенты при равных степенях $z$, получим несколько уравнений, а именно:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, a_j(n+1)+u(n)a_{j-2}(n-1)+v(n)a_{j-1}(n)=a_j(n)+a_{j-2}(n),\qquad 1\leqslant j\leqslant N,\\ u(n)a_{N-1}(n-1)+v(n)a_N(n)=a_{N-1}(n),\\ u(n)a_N(n-1)=a_N(n) \end{gathered}
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
и
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, a'_j(n)=a_{j-1}(n)-u(n)a_{j-1}(n-1),\qquad 1\leqslant j\leqslant N,\\ 0=a_N(n)-u(n)a_N(n-1), \end{gathered}
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
штрих означает производную по $t$. Из уравнений приведенной выше системы получим условия
$$
\begin{equation}
u(n)=\frac{a_N(n)}{a_N(n-1)},\qquad v(n)=\frac{a_{N-1}(n)}{a_N(n)}-\frac{a_{N-1}(n-1)}{a_N(n-1)}=\frac{a_1(n)-a_1(n+1)}{a_0(n)}.
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
Полученный результат позволяет выписать разностное и дифференциально-разностное уравнения
$$
\begin{equation}
a_j(n+1)+u(n)a_{j-2}(n-1)+v(n)a_{j-1}(n)=a_j(n)+a_{j-2}(n),
\end{equation}
\tag{2.5}
$$
$$
\begin{equation}
a'_j(n)=a_{j-1}(n)-u(n)a_{j-1}(n-1),\qquad 1\leqslant j\leqslant N,
\end{equation}
\tag{2.6}
$$
где
$$
\begin{equation}
u(n)=\frac{a_N(n)}{a_N(n-1)},\qquad v(n)=\frac{a_{N-1}(n)}{a_N(n)}-\frac{a_{N-1}(n-1)}{a_N(n-1)}
\end{equation}
\tag{2.7}
$$
с дополнительным условием $a_j(n)=0$ ($j<0$ или $j>N$). Комбинируя уравнения (2.5) и (2.6), получим
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \begin{pmatrix} a_j(n-1)\\ a_j(n) \end{pmatrix}'= \begin{pmatrix} a_{j+1}(n)-a_{j+1}(n-1)+[a_1(n-1)-a_1(n)]a_j(n-1)\\ a_{j-1}(n)-u(n)a_{j-1}(n-1) \end{pmatrix},\\ 1\leqslant j\leqslant N, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{2.8}
$$
и отображение $\psi: (\boldsymbol{a(n-1)},\boldsymbol{a(n)}) \mapsto (\boldsymbol{a(n)},\boldsymbol{a(n+1)})$,
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, a_j(n)&=a_j(n),\\ a_j(n+1)&=-u(n)a_{j-2}(n-1)+a_{j-2}(n)-v(n)a_{j-1}(n)+a_j(n), \end{aligned}\quad 1\leqslant j\leqslant N,
\end{equation}
\tag{2.9}
$$
где
$$
\begin{equation}
u(n)=\frac{a_N(n)}{a_N(n-1)},\qquad v(n)=\frac{a_{N-1}(n)}{a_N(n)}-\frac{a_{N-1}(n-1)}{a_N(n-1)}.
\end{equation}
\tag{2.10}
$$
За обсуждением многообразий последовали многочисленные исследования системы (2.8) и отображения $\psi$. В разделе 4 показана связь между системой, порожденной полиномиальным разложением, и гиперболической системой Руйсенарса–Шнайдера. На основе стандартной скобки Пуассона для гиперболической системы Руйсенарса–Шнайдера [27]–[29] мы построим скобку Пуассона в координатах $a_1(n-1)$, $a_2(n-1),\dots$, $a_N(n-1),a_1(n)$, $a_2(n),\dots,a_N(n)$
$$
\begin{equation}
\{F,G\}_{a(n)}=\sum_{i,j=1}^{N} \frac{\partial{F}}{\partial{a_i(n-1)}}a_{ij}\frac{\partial{G}}{\partial{a_j(n)}}-\frac{\partial{F}}{\partial{a_i(n)}}a_{ij}\frac{\partial{G}}{\partial{a_j(n-1)}},
\end{equation}
\tag{2.11}
$$
где $F$ и $G$ – гладкие функции, и
$$
\begin{equation}
a_{ij}=\{a_i(n-1),a_j(n)\}_{a(n)} =\sum_{l=1}^{N}-a_{i-l}(n-1)a_{j+l}(n)+a_{i-l}(n)a_{j+l}(n-1)-{}
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\hphantom{={}}\qquad\qquad-[a_{i}(n-1)-a_{i}(n)]a_{j}(n-1),
\end{equation}
\tag{2.12}
$$
$$
\begin{equation}
a_{ij}=\{a_i(n-1),a_j(n)\}_{a(n)} =\{a_j(n-1), a_i(n)\}_{a(n)},\qquad 1\leqslant j\leqslant i\leqslant N.
\end{equation}
\tag{2.13}
$$
Посредством трудоемких вычислений можно доказать, что скобка $\{\, \cdot \, ,\, \cdot \, \}_{a(n)}$ является кососимметричной и удовлетворяет тождеству Якоби. В итоге мы получаем многообразие Пуассона
$$
\begin{equation}
\mathcal{T}={\mathbb{R}}^{2N}(a_1(n-1),a_2(n-1),\ldots,a_N(n-1),a_1(n),a_2(n),\ldots,a_N(n))
\end{equation}
\tag{2.14}
$$
со скобкой Пуассона $\{\, \cdot \, ,\, \cdot \, \}_{a(n)}$. При этом соответствующая структурная матрица имеет вид
$$
\begin{equation}
J_N^a=\begin{pmatrix} 0 & G_N^a \\ -G_N^a & 0 \end{pmatrix},
\end{equation}
\tag{2.15}
$$
где Поскольку $|J^a_N| \neq 0$, многообразие Пуассона $\mathcal{T}$ является 2$N$-мерным симплектическим многообразием. Более систематическое изучение системы (2.8) и отображения $\psi$ будет проведено ниже на симплектическом многообразии. С одной стороны, систему (2.8) вместе с $t$-потоком можно представить в гамильтоновом виде
$$
\begin{equation}
\boldsymbol{A'_N}=J_N^a\nabla H_a(n), \qquad H_a(n)=-a_1(n)-\frac{a_{N-1}(n-1)}{a_N(n-1)},
\end{equation}
\tag{2.17}
$$
где $\boldsymbol{A_N}=(a_1(n-1),a_2(n-1),\ldots,a_N(n-1),a_1(n),a_2(n),\ldots,a_N(n))$. С другой стороны, отображение $\psi$ является симплектическим. Ниже приводится доказательство этого факта. Предложение 1. Отображение $\psi$ симплектическое, т. е. отображение $\psi$ сохраняет скобку Пуассона. Доказательство. Нужно только доказать, что $\{a_i(n) \mathbin{\stackrel{\scriptscriptstyle\circ}{{}_{\vphantom{.}}}} \psi,a_j(n+1) \mathbin{\stackrel{\scriptscriptstyle\circ}{{}_{\vphantom{.}}}} \psi\}_{a(n)}= \{a_i(n),a_j(n+1)\}_{a(n+1)} \mathbin{\stackrel{\scriptscriptstyle\circ}{{}_{\vphantom{.}}}} \psi$: Предложение 2. Интегралы Доказательство. Действительно, имеем Легко понять, что $H_a(n)=-H_1(n)$. Поскольку $H_a(n+1)=H_a(n)$, система (2.17) и симплектическое отображение $\psi$ совместны. Предложение 3. Система (2.17) и симплектическое отображение $\psi$ совместны. Доказательство. Очевидно, что $EH_a(n) = H_a(n)$, Теорема 1. Пусть $\{a_j(n)\}$ – совместное решение системы (2.17) и отображения $\psi$. Тогда функции $u(n)$ и $v(n)$, заданные выражениями (2.10), являются решением уравнений решетки Тоды (1.1). Доказательство. Можно показать, что На основе симплектического отображения $\psi$ и условий (2.7) можно вывести разностное уравнение относительно потенциальных функций $u(n)$ и $v(n)$. Например, в случае $N=1,2$ разностные уравнения имеют вид
$$
\begin{equation}
\{1-u(n+1)\}v(n) +v^2(n)v(n+1)-[1-u(n)]v(n+1)=0, \qquad N=1,
\end{equation}
\tag{2.20}
$$
$$
\begin{equation}
\quad+\{[C_1+v(n)][1-u(n)]-v(n)-v(n-1)u(n)\}G(n)=0, \qquad N=2,
\end{equation}
\tag{2.21}
$$
где
$$
\begin{equation}
G(n)=\frac{[1-u(n)]^2-v(n)v(n-1)u(n)}{[1-u(n)][u(n+1)-1]+v^2(n)},\qquad C_1=\mathrm{const}.
\end{equation}
\tag{2.22}
$$
При наложении условий (2.7) дискретная орбита $(u(n),v(n))$ симплектического отображения $\psi$ находится на решении решетки Тоды. 2.2. Второе полиномиальное разложениеДля удобства обсуждения введем $m$-ю элементарную симметричную функцию $\sigma_m$:
$$
\begin{equation}
\sigma_m(x) =\sigma_{m}(x_1,\dots,x_N)=\sum_{1\leqslant r_1<\dots <r_m\leqslant N}x_{r_1}\dots x_{r_m},
\end{equation}
\tag{2.23}
$$
$$
\begin{equation}
\sigma_{m}(\widehat{x_k}) =\sigma_{m}(x_1,\dots,\widehat{x_k},\dots,x_N)={}
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
=\sum_{1\leqslant r_1<\dots <r_m\leqslant N,r_i\neq k}x_{r_1}\dots x_{r_m},\quad 1\leqslant m\leqslant N,
\end{equation}
\tag{2.24}
$$
где $\sigma_0=1$, а $\widehat{x_k}$ означает, что $k$-й аргумент следует опустить. Рассмотрим теперь второе полиномиальное разложение спектральной функции $F(n,t,z)$ следующего вида:
$$
\begin{equation}
F(n,t,z)=z^nP(z)\biggl[1+\sum_{j=1}^{N}\frac{1}{z-k_j}y_j(n,t)\biggr],\qquad P(z)=\prod_{j=1}^N(z-k_j),
\end{equation}
\tag{2.25}
$$
с $N$ взаимно различными константами $k_j$, $j=1,2,\dots,N$. Для простоты сократим обозначение $y_j(n,t)$ до $y_j(n)$. Подставляя выражение (2.25) в уравнения (1.4) и (1.5), получим соответственно
$$
\begin{equation}
y_j(n+1)+u(n)k^{-2}_jy_j(n-1)+(v(n)-k_j-k^{-1}_j)k^{-1}_jy_j(n)=0,
\end{equation}
\tag{2.26}
$$
где
$$
\begin{equation}
u(n)=\frac{1-\sum_{j=1}^{N}k^{-1}_jy_j(n)}{1-\sum_{j=1}^{N}k^{-1}_jy_j(n-1)},\qquad v(n)=\sum_{i=1}^{N}(y_i(n)-y_i(n+1)).
\end{equation}
\tag{2.28}
$$
Комбинируя уравнения (2.26) и (2.27), получим систему
$$
\begin{equation}
\begin{pmatrix} y_j(n-1)\\ y_j(n) \end{pmatrix}'= \begin{pmatrix} k_j y_j(n)+(v(n-1)-k_j)y_j(n-1)\\ k^{-1}_jy_j(n)-k^{-1}_ju(n)y_j(n-1) \end{pmatrix},\qquad 1\leqslant j\leqslant N,
\end{equation}
\tag{2.29}
$$
и отображение $\gamma$:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \begin{cases} y_j(n)=y_j(n),\\ y_j(n+1)=\dfrac{\sum_{i \neq j}^{N}R_i(n)(-1)^{i+j+1}k^{-1}_j y_j(n)+R_j(n)(1-\sum_{l \neq j}^{N}k^{-1}_l y_l(n))}{1-\sum_{l=1}^{N}k^{-1}_l y_l(n)}, \end{cases} \end{gathered}
\end{equation}
\tag{2.30}
$$
где
$$
\begin{equation}
R_j(n)=-u(n)k^{-2}_j y_j(n-1)+\biggl[k_j+k_j^{-1}-\sum_{i=1}^{N}y_i(n)\biggr]k^{-1}_j y_j(n),
\end{equation}
\tag{2.31}
$$
а также
$$
\begin{equation}
u(n)=\frac{1-\sum_{j=1}^{N}k^{-1}_jy_j(n)}{1-\sum_{j=1}^{N}k^{-1}_jy_j(n-1)},\qquad v(n-1)=\sum_{i=1}^{N}(y_i(n-1)-y_i(n)).
\end{equation}
\tag{2.32}
$$
Систему (2.29) можно представить как гамильтонову систему:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \boldsymbol{Y_N}'=J^{y}_N\nabla H_y(n), \\ H_y(n)=-\sum_{s=1}^{N}y_s(n)-\frac{\sum_{s=1}^{N}y_s(n-1)\sigma_{N-2}(\widehat{k_s})-\sigma_{N-1}(k)}{\sum_{s=1}^{N}y_s(n-1)\sigma_{N-1}(\widehat{k_s})-\sigma_{N}(k)}, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{2.33}
$$
где $\boldsymbol{Y_N}=(y_1(n-1),y_2(n-1),\dots,y_N(n-1),y_1(n),y_2(n),\dots,y_N(n))$ и
$$
\begin{equation}
J^{y}_N= \begin{pmatrix} 0 & A^{y}_N \\ -A^{y}_N & 0 \end{pmatrix},
\end{equation}
\tag{2.34}
$$
при этом $A^{y}_N=(\{y_i(n-1),y_j(n)\}_{y(n)})$, $1\leqslant j\leqslant i\leqslant N$,
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \{y_i(n-1),&y_j(n)\}_{y(n)}=\biggl[\,\prod_{l\neq i}^N(k_i-k_l)\prod_{l\neq j}^N(k_j-k_l)\biggr]^{-1}\times{} \\ & \times\biggl[\,\sum_{g_1,g_2,l=1}^{N}\biggl\{K_1\sum_{s_1,s_2=1}^{N}[y_{s1}(n-1)-y_{s1}(n)] [y_{s2}(n-1)K_2-K_3]\biggr\} \biggr],\\ \{y_i(n-1),&y_j(n)\}_{y(n)}=\{y_j(n-1),y_i(n)\}_{y(n)}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.35}
$$
где $K_1$, $K_2$ и $K_3$ – константы,
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, K_1&=k_i^{N-g_1}k_j^{N-g_2},\\ K_2&=\sigma_{g_1-l}(\widehat{k_{s_1}})\sigma_{g_2+l-1}(\widehat{k_{s_2}})-\sigma_{g_2+l}(\widehat{k_{s_1}})\sigma_{g_1-l-1}(\widehat{k_{s_2}})+\sigma_{g_1}(\widehat{k_{s_1}})\sigma_{g_2-l}(\widehat{k_{s_2}}),\\ K_3&=\sigma_{g_1-l}(\widehat{k_{s_1}})\sigma_{g_2+l}(k)-\sigma_{g_2+l}(\widehat{k_{s_1}})\sigma_{g_1-l}(k)+\sigma_{g_1}(\widehat{k_{s_1}})\sigma_{g_2}(k). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.36}
$$
Связь между $a_j(n)$ в (2.1) и $y_j(n)$ в (2.25) запишем в виде уравнений
$$
\begin{equation}
a_j(n)=(-1)^{j-1}\sum_{i=1}^Ny_i(n)\sigma_{j-1}(\widehat{k}_i)+(-1)^{j}\sigma_j(k)
\end{equation}
\tag{2.37}
$$
и
$$
\begin{equation}
y_j(n)=\biggl(\,\prod_{i\neq j}^{N}(k_j-k_i)\biggr)^{-1}\sum_{i=0}^Na_i(n)k_j^{N-i}.
\end{equation}
\tag{2.38}
$$
Из уравнения (2.38) получим отображение, которое обозначим $\rho$. Прямыми вычислениями можно доказать, что $\{y_i(n-1) \mathbin{\stackrel{\scriptscriptstyle\circ}{{}_{\vphantom{.}}}} \rho,y_j(n) \mathbin{\stackrel{\scriptscriptstyle\circ}{{}_{\vphantom{.}}}} \rho\}_{a_(n)}=\{y_i(n-1),y_j(n)\}_{y(n)} \mathbin{\stackrel{\scriptscriptstyle\circ}{{}_{\vphantom{.}}}} \rho$, поэтому скобка $\{\,\cdot\, ,\,\cdot\,\}_{y(n)}$ также является скобкой Пуассона. Благодаря отображению $\rho$ можно заметить, что гамильтониан $H_y(n)=H_a(n)$, а $\gamma$ представляет собой $\psi$ в терминах $\boldsymbol{Y_N}$. Таким образом, $\gamma$ является симплектическим отображением. 2.3. Третье полиномиальное разложениеВведем третье полиномиальное разложение спектральной функции $F(n,t,z)$ по корневым переменным: где $z_1(n,t), \ldots, z_N(n,t)$ взаимно различны, $z_i(n,t)z_j(n,t)\neq1$ и $z_i(n)\neq z_j(n-1)$. Далее вместо $z_j(n,t)$ используем сокращенное обозначение $z_j(n)$. Подставляя выражение (2.39) в уравнения (1.4) и (1.5), получим соответственно
$$
\begin{equation}
\prod_{k=1}^{N}\frac{z_j(n)-z_k(n+1)}{z_j(n)-z_k(n-1)}+\prod_{k=1}^{N}\frac{z_k(n)}{z_k(n-1)}z_j^{-2}(n)=0,
\end{equation}
\tag{2.40}
$$
$$
\begin{equation}
\sum_{k=1}^{N}\frac{z'_k(n)}{z_j(n-1)-z_k(n)}=\frac{1}{z_j(n-1)},\qquad 1 \leqslant j \leqslant N,
\end{equation}
\tag{2.41}
$$
$$
\begin{equation}
u(n)=\prod_{k=1}^{N}\frac{z_k(n)}{z_k(n-1)},\qquad v(n)=\sum_{k=1}^{N}(z_k(n+1)-z_k(n)).
\end{equation}
\tag{2.42}
$$
Комбинируя уравнения (2.40) и (2.41), приходим к следующему уравнению:
$$
\begin{equation}
z'_j(n)=z_j(n)\frac{\prod_{k=1}^{N}(z_k(n+1)-z_j(n))}{\prod_{k=1,k\neq j}^{N}((z_k(n)-z_j(n))}.
\end{equation}
\tag{2.43}
$$
Тогда, введя естественным образом обозначение
$$
\begin{equation*}
d_j(n)=\frac{\prod_{k=1}^{N}(z_k(n+1)-z_j(n))}{\prod_{k=1,k\neq j}^{N}(z_k(n)-z_j(n))}
\end{equation*}
\notag
$$
и вычислив производную $d_j(n)$ по $t$, получим систему
$$
\begin{equation}
d'_j(n)=-(z_j(n)-z^{-1}_j(n))d_j(n)+\sum_{\substack{k=1,\\k\neq j }}^{N}d_j(n)d_k(n)\frac{z_j(n)+z_k(n)}{z_j(n)-z_k(n)},\qquad 1 \leqslant j \leqslant N.
\end{equation}
\tag{2.45}
$$
С помощью уравнения Лакса для гиперболической модели Руйсенарса–Шнайдера в работе [27] получена конечномерная система. Эта система эквивалентна системе (2.44), (2.45), полученной разложением спектральной функции. Уравнения (2.44), (2.45) можно представить в виде
$$
\begin{equation}
\boldsymbol{Z_N}'=J^{z}_N\nabla H_z(n), \qquad H_z(n)=\sum_{j=1}^{N}(d_j(n)+z_j(n)+z^{-1}_j(n)),
\end{equation}
\tag{2.46}
$$
где $\boldsymbol{Z_N}=(z_1(n),z_2(n),\dots,z_N(n),d_1(n),d_2(n),\dots,d_N(n))$ и
$$
\begin{equation}
J^{z}_N=\begin{pmatrix} 0 & A^{z}_N \\ -A^{z}_N & B^{z}_N \end{pmatrix},
\end{equation}
\tag{2.47}
$$
при этом $A^{z}_N=(\{z_j(n),d_k(n)\}_{z(n)})$ и $B^{z}_N=(\{d_j(n),d_k(n)\}_{z(n)})$,
$$
\begin{equation}
\{z_j(n),d_k(n)\}_{z(n)} =\begin{cases} z_j(n)d_j(n),& j=k, \\ 0 ,& j\neq k, \end{cases}
\end{equation}
\tag{2.48}
$$
$$
\begin{equation}
\{d_j(n),d_k(n)\}_{z(n)} =\begin{cases} \dfrac{z_j(n)+z_k(n)}{z_j(n)-z_k(n)}d_j(n)d_k(n), & 1\leqslant j< k\leqslant N,\\ 0, & j=k,\\ \dfrac{z_j(n)+z_k(n)}{z_j(n)-z_k(n)}d_j(n)d_k(n), & 1\leqslant k< j\leqslant N. \end{cases}
\end{equation}
\tag{2.49}
$$
Легко доказать, что скобка $\{\,\cdot\, ,\,\cdot\,\}_z$ удовлетворяет тождеству Якоби и является кососимметричной. Поэтому скобка $\{\,\cdot\, ,\,\cdot\,\}_z$ является скобкой Пуассона, а система (2.46) – гамильтоновой системой. Сравнивая (2.1) и (2.39), можно найти связь между координатами двух типов, которую определим как отображение $\phi_1:(\boldsymbol{z(n)},\boldsymbol{d(n)})\rightarrow (\boldsymbol{a(n)},\boldsymbol{a(n+1)})$:
$$
\begin{equation}
\begin{cases} a_j(n)=(-1)^j\sigma_j(z(n)),\\ a_j(n+1)=(-1)^j\sum_{k=1}^{N}d_k(n)\sigma_{j-1}(\widehat{z_k(n)})+(-1)^j\sigma_j(z(n)), \end{cases} \qquad 1\leqslant j\leqslant N.
\end{equation}
\tag{2.50}
$$
Напрямую получим $\{a_i(n) \mathbin{\stackrel{\scriptscriptstyle\circ}{{}_{\vphantom{.}}}} \phi_1,a_j(n+1) \mathbin{\stackrel{\scriptscriptstyle\circ}{{}_{\vphantom{.}}}} \phi_1\}_{z_(n)}=\{a_i(n),a_j(n+1)\}_{a(n+1)} \mathbin{\stackrel{\scriptscriptstyle\circ}{{}_{\vphantom{.}}}} \phi_1$, а также гамильтониан $H_z(n)=H_a(n+1)$. Приведем список $N$ сохраняющихся величин для системы (2.46). Система (2.46) эквивалентна уравнению Лакса гиперболической модели Руйсенарса–Шнайдера [27]
$$
\begin{equation}
\partial _t \boldsymbol{L}(n)=[ \boldsymbol{M(n)},\boldsymbol{L}(n)],
\end{equation}
\tag{2.51}
$$
где
$$
\begin{equation}
\boldsymbol{L(n)}_{j,k} =d_j(n)+(z_j(n)+z^{-1}_j(n))\delta_{j,k},
\end{equation}
\tag{2.52}
$$
$$
\begin{equation}
\boldsymbol{M(n)}_{j,k} =\begin{cases} \dfrac{d_j(n)}{1-z^{-1}_j(n)z_k(n)}, & k\neq j,\\ z^{-1}_j(n)-\sum_{l=1,l\neq j}^{N}\dfrac{d_l(n)}{1-z^{-1}_l(n)z_j(n)},& k=j. \end{cases}
\end{equation}
\tag{2.53}
$$
Естественным образом выписывается характеристический полином для $\boldsymbol{L(n)}$:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \mathrm{det}\left|\boldsymbol{L(n)}-\lambda \boldsymbol{I} \right| &=\biggl(1+\sum_{k=1}^{N}\frac{d_k(n)}{z_k(n)+z^{-1}_k(n)-\lambda}\biggr)\prod_{k=1}^{N}(z_k(n)+z^{-1}_k(n)-\lambda)={} \notag\\ &=\sum_{m=0}^{N}(-1)^{N-m} h_m(n)\lambda ^{N-m}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.54}
$$
Таким образом вычислим $N$ сохраняющихся по отношению к $t$ интегралов системы (2.46):
$$
\begin{equation}
h_m(n)=\sigma_m(z(n)+z^{-1}(n))+\sum_{k=1}^{N}d_k(n)\sigma_{m-1}(\widehat{z_k(n)+z^{-1}_k(n)}),\qquad 1 \leqslant m \leqslant N,
\end{equation}
\tag{2.55}
$$
с дополнительным условием $h_0(n)=1$. Кроме того, заметим, что $H_z(n)=h_1(n)$. Проведя подробные вычисления, получим следующее утверждение. Предложение 4. Предположив, что $H_0(n)=1$, $h_j(n)=0$ ($j < 0$) и $H_j(n)=0$ ($j < 0$), интегралы $H_j(n+1)$ можно представить в виде линейной комбинации интегралов $h_m(n)$, Наоборот, интегралы $h_m(n)$ можно также представить в виде линейной комбинации интегралов $H_j(n+1)$, Доказательство. Имеем 3. Интегрируемость симплектического отображенияВ данном разделе мы докажем интегрируемость симплектического отображения $\psi$. Действительно, симплектическое отображение $\psi$ и гамильтонова система (2.17) на $2N$-мерном симплектическом многообразии $\mathcal{T}$ полностью интегрируемы (в смысле Лиувилля–Арнольда), поскольку имеют $N$ функционально независимых инвариантов, которые находятся в инволюции друг с другом. В предложениях 5, 6 показано, что интегралы $H_j(n)$, $1\leqslant j\leqslant N$, функционально независимы и находятся в инволюции друг с другом. Доказательство. Имеем Доказательство. С помощью леммы 1 получим На основе предложения 4 вычислим
$$
\begin{equation*}
\left[\begin{array}{cccc} \frac{\partial H_0(n+1)}{\partial a_1(n+1)}&\frac{\partial H_0(n+1)}{\partial a_2(n+1)}&\cdots&\frac{\partial H_0(n+1)}{\partial a_N(n+1)}\\ \frac{\partial H_1(n+1)}{\partial a_1(n+1)}&\frac{\partial H_1(n+1)}{\partial a_2(n+1)}&\cdots&\frac{\partial H_1(n+1)}{\partial a_N(n+1)}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ \frac{\partial H_N(n+1)}{\partial a_1(n+1)}&\frac{\partial H_N(n+1)}{\partial a_2(n+1)}&\cdots&\frac{\partial H_N(n+1)}{\partial a_N(n+1)}\\ \end{array}\right]=\boldsymbol{C} \left[\begin{array}{cccc} \frac{\partial h_0(n)}{\partial d_1(n)}&\frac{\partial h_0(n)}{\partial d_2(n)}&\cdots&\frac{\partial h_0(n)}{\partial d_N(n)}\\ \frac{\partial h_1(n)}{\partial d_1(n)}&\frac{\partial h_1(n)}{\partial d_2(n)}&\cdots&\frac{\partial h_1(n)}{\partial d_N(n)}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ \frac{\partial h_N(n)}{\partial d_1(n)}&\frac{h_N(n)}{\partial d_2(n)}&\cdots&\frac{h_N(n)}{\partial d_N(n)}\\ \end{array}\right]\boldsymbol{D},
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\boldsymbol{C}=\left[\begin{array}{ccc} (-1)^{0}& &0\\ \vdots&\ddots& \\ *&\cdots&(-1)^{N}\\ \end{array}\right],\qquad \boldsymbol{D}=\left[\begin{array}{cccc} \frac{\partial d_1(n)}{\partial a_1(n+1)}&\frac{\partial d_1(n)}{\partial a_2(n+1)}&\cdots&\frac{\partial d_1(n)}{\partial a_N(n+1)}\\ \frac{\partial d_2(n)}{\partial a_1(n+1)}&\frac{\partial d_2(n)}{\partial a_2(n+1)}&\cdots&\frac{\partial d_2(n)}{\partial a_N(n+1)}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ \frac{\partial d_N(n)}{\partial a_1(n+1)}&\frac{\partial d_N(n)}{\partial a_2(n+1)}&\cdots&\frac{\partial d_N(n)}{\partial a_N(n+1)}\\ \end{array}\right].
\end{equation*}
\notag
$$
Очевидно, $\boldsymbol{C}$ – нижнетреугольная матрица, а $\boldsymbol{D}$ – обратная матрица. Таким образом, имеем
$$
\begin{equation*}
\mathrm{rank}\left(\left[\begin{array}{cccc} \frac{\partial H_0(n+1)}{\partial a_1(n+1)}&\frac{\partial H_0(n+1)}{\partial a_2(n+1)}&\cdots&\frac{\partial H_0(n+1)}{\partial a_N(n+1)}\\ \frac{\partial H_1(n+1)}{\partial a_1(n+1)}&\frac{\partial H_1(n+1)}{\partial a_2(n+1)}&\cdots&\frac{\partial H_1(n+1)}{\partial a_N(n+1)}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ \frac{\partial H_N(n+1)}{\partial a_1(n+1)}&\frac{\partial H_N(n+1)}{\partial a_2(n+1)}&\cdots&\frac{\partial H_N(n+1)}{\partial a_N(n+1)}\\ \end{array}\right]\right)=N.
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку $H_0(n)=1$, получим где $\nabla$ – градиент функции в точке $\boldsymbol{A_N}$. Доказательство. Для удобства вычислений в этом доказательстве упростим обозначения $z_m(n)$, $d_m(n)$ и $h_m(n)$ до $z_m$, $d_m$ и $h_m$ соответственно. Имеем 4. Координаты ДарбуВ данном разделе с помощью координат Дарбу мы получаем задачу обращения симплектического отображения и гамильтоновой системы. Сначала введем отображение $\phi_2$:
$$
\begin{equation}
\begin{cases} z_j(n)=e^{q_j(n)},\\ d_j(n)=\biggl(\dfrac{1}{2}\biggr)^{N-1}e^{p_j(n)}\prod_{\substack{k=1,\\k\neq j }}^{N}\biggl| \operatorname{sh} \dfrac{q_j(n)-q_k(n)}{2}\biggr|^{-1}, \end{cases}\qquad 1\leqslant j\leqslant N,
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
тогда систему (2.46) можно рассматривать в канонической гамильтоновой форме [27]
$$
\begin{equation}
q'_j(n)=\frac{\partial H_q(n)}{\partial p_j(n)},\qquad p'_j(n)=-\frac{\partial H_q(n)}{\partial q_j(n)},\qquad 1\leqslant j\leqslant N,
\end{equation}
\tag{4.2}
$$
где
$$
\begin{equation}
H_q(n)=\biggl(\frac{1}{2}\biggr)^{N-1}\sum_{j=1}^{N}e^{p_j(n)}\prod_{k=1,k\neq j}^{N}\biggl| \operatorname{sh} \frac{q_j(n)-q_k(n)}{2}\biggr| ^{-1}+2\sum_{j=1}^{N} \operatorname{ch} (q_j(n)),
\end{equation}
\tag{4.3}
$$
являющейся пределом сильной связи гиперболической системы Руйсенарса–Шнайдера с внешним потенциалом [28]. Очевидно, гамильтониан $H_q(n)=H_z(n)=h_1(n)$ и система (4.2) соответствуют канонической скобке Пуассона
$$
\begin{equation}
\{f,g\}=\sum_{j=1}^{N}\biggl(\frac{\partial f}{\partial q_j(n)}\frac{\partial g}{\partial p_j(n)}-\frac{\partial f}{\partial p_j(n)}\frac{\partial g}{\partial q_j(n)}\biggr).
\end{equation}
\tag{4.4}
$$
Таким образом, мы видим, что $\phi_2$ сохраняет скобку Пуассона:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \{z_i(n) \mathbin{\stackrel{\scriptscriptstyle\circ}{{}_{\vphantom{.}}}} \phi_2,d_j(n) \mathbin{\stackrel{\scriptscriptstyle\circ}{{}_{\vphantom{.}}}} \phi_2\}&=\{z_i(n),d_j(n)\}_{z(n)} \mathbin{\stackrel{\scriptscriptstyle\circ}{{}_{\vphantom{.}}}} \phi_2,\\ \{d_i(n) \mathbin{\stackrel{\scriptscriptstyle\circ}{{}_{\vphantom{.}}}} \phi_2,d_j(n) \mathbin{\stackrel{\scriptscriptstyle\circ}{{}_{\vphantom{.}}}} \phi_2\}&=\{d_i(n),d_j(n)\}_{z(n)} \mathbin{\stackrel{\scriptscriptstyle\circ}{{}_{\vphantom{.}}}} \phi_2. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.5}
$$
Существует теорема, подобная теореме Арнольда–Лиувилля в работе [24]. Теорема 2. Если симпликтическое многообразие полностью интегрируемо, то существует набор канонических переменных (координат Дарбу), в представлении которых отображение линеаризуется. Конкретный вид координат Дарбу $(\boldsymbol{Q(n)},\boldsymbol{P(n)})$ определим с помощью метода, изложенного в работе [24]. Сначала выберем $N$ независимых инвариантов $h_j(n)$, которые находятся в инволюции, в качестве новых координат $P_j(n)$,
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, P_j(n)=h_j(n)={}&\sigma_j(2 \operatorname{ch} (q(n)))+\sum_{k=1}^{N}\biggl(\frac{1}{2}\biggr)^{N-1} e^{p_k(n)}\frac{\sigma_{j-1}(\widehat{2 \operatorname{ch} (q_k(n))})}{\prod_{\substack{l=1,\\l\neq k }}^{N}\left| \operatorname{sh} \frac{q_k(n)-q_l(n)}{2}\right|}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.6}
$$
Из уравнения (2.54) получим
$$
\begin{equation}
d_j(n)=\frac{\sum_{k=0}^{N}(-1)^{N-m} h_m(n)(z_j(n)+z^{-1}_j(n))^{N-m}}{\prod_{k\neq j}^{N}((z_k(n)+z^{-1}_k(n)-z_j(n)-z^{-1}_j(n))},
\end{equation}
\tag{4.7}
$$
откуда следует
$$
\begin{equation}
p_j(n)=\ln\biggl(\frac{\sum_{k=0}^{N}(-1)^{N-m} P_m(n)(2 \operatorname{ch} (q_j(n)))^{N-m}}{\prod_{k\neq j}^{N}( \operatorname{ch} (q_k(n))- \operatorname{ch} (q_j(n)))}\prod_{\substack{k=1,\\k\neq j }}^{N}\biggl| \operatorname{sh} \frac{q_j(n)-q_k(n)}{2}\biggr|\,\biggr).
\end{equation}
\tag{4.8}
$$
Каноническое преобразование координат от $(\boldsymbol{q(n)},\boldsymbol{p(n)})$ к $(\boldsymbol{Q(n)},\boldsymbol{P(n)})$ можно параметризовать в терминах производящей функции $S(\boldsymbol{P(n)}, \boldsymbol{q(n)})$ следующим образом:
$$
\begin{equation}
p_j(n)=\frac{\partial S}{\partial q_j(n)},\qquad Q_j(n)=\frac{\partial S}{\partial P_j(n)},
\end{equation}
\tag{4.9}
$$
где $S$ означает $S(\boldsymbol{P(n)}, \boldsymbol{q(n)})$. Интегрируя первое из уравнений (4.9), получим $S(\boldsymbol{P(n)}, \boldsymbol{q(n)})$: и, следовательно,
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, Q_j(n)&=\frac{\partial }{\partial P_j(n)}\biggl(\,\sum_{k=1}^N\int_{q_k(0)}^{q_k(n)}p_k\,dq_k\biggr)={} \notag\\ &=\sum_{k=1}^N\int_{q_k(0)}^{q_k(n)}\frac{ (-2 \operatorname{ch} (q_k))^{N-j}}{\sum_{m=0}^{N} P_m(n)(-2 \operatorname{ch} (q_k))^{N-m}}\,dq_k,\qquad 1\leqslant j\leqslant N. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.11}
$$
При каноническом преобразовании координат от $(\boldsymbol{q(n)},\boldsymbol{p(n)})$ к $(\boldsymbol{Q(n)},\boldsymbol{P(n)})$ симплектическое отображение $(\boldsymbol{q(n)},\boldsymbol{p(n)})\rightarrow (\boldsymbol{q(n+1)},\boldsymbol{p(n+1)})$ в терминах координат $(\boldsymbol{Q(n)},\boldsymbol{P(n)})$ становится симплектическим отображением $(\boldsymbol{Q(n)},\boldsymbol{P(n)})\rightarrow (\boldsymbol{Q(n+1)},\boldsymbol{P(n+1)})$, которое имеет следующий вид: где $\nu_j(\boldsymbol{P(n)})$, как функцию координат $P_i(n)$ и “частот” $\nu_j(\boldsymbol{P(n)})$, можно получить в явном виде:
$$
\begin{equation}
\nu_j(\boldsymbol{P(n)})=\sum_{k=1}^N\int_{q_k(n)}^{q_k(n+1)}\frac{ (-2 \operatorname{ch} (q_k))^{N-j}}{\sum_{m=0}^{N} P_m(n)(-2 \operatorname{ch} (q_k))^{N-m}}\,dq_k.
\end{equation}
\tag{4.14}
$$
В результате получим Поскольку $(\boldsymbol{Q(n)},\boldsymbol{P(n)})$ являются каноническими координатами, имеем
$$
\begin{equation}
\frac{dQ_j(n)}{dt}=\frac{\partial h_1(n)}{\partial P_j}=\delta_{j1}.
\end{equation}
\tag{4.16}
$$
Комбинируя уравнения (4.15) и (4.16), получим
$$
\begin{equation}
Q_j(n)=Q_j(0)+n\nu_j(\boldsymbol{P(n)})+\delta_{j1}t,\qquad 1\leqslant j\leqslant N.
\end{equation}
\tag{4.17}
$$
Наконец, выпишем задачу обращения симплектического отображения и гамильтоновой системы (4.2):
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \sum_{k=1}^N\int_{q_k(0)}^{q_k(n)}&\frac{ (-2 \operatorname{ch} (q_k))^{N-j}}{\sum_{m=0}^{N} P_m(-2 \operatorname{ch} (q_k(n)))^{N-m}}\,dq_k={} \notag \\ &=Q_j(0)+n\nu_j(\boldsymbol{P})+\delta_{j1}t,\qquad 1\leqslant j\leqslant N, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.18}
$$
где через $P_m$ мы обозначили $P_m(n)$, а через $\boldsymbol{P}$ – $\boldsymbol{P(n)}$ в целях упрощения громоздких выражений.
5. Солитонные решения задачи обращенияВ заключительном разделе решим задачу обращения
$$
\begin{equation}
\sum_{k=1}^N\int_{q_k(0)}^{q_k(n)}\frac{(-2 \operatorname{ch} (q_k))^{N-j}}{\sum_{m=0}^{N} P_m(-2 \operatorname{ch} (q_k))^{N-m}}\,dq_k=Q_j(0)+n\nu_j(\boldsymbol{P})+\delta_{j1}t,\qquad 1\leqslant j\leqslant N.
\end{equation}
\tag{5.1}
$$
Предполагая, что $\sum_{m=0}^{N}P_m \lambda^{N-m}$ имеет $N$ взаимно различных ненулевых корней
$$
\begin{equation}
\sum_{m=0}^{N}P_m \lambda^{N-m}=\prod^{N}_{l=1}(\lambda-\alpha_l),
\end{equation}
\tag{5.2}
$$
получим
$$
\begin{equation}
\frac{ \lambda^{N-j}}{\sum_{m=0}^{N} P_m \lambda^{N-m}}=\sum_{l=1}^{N}\frac{A_{l}^{j}}{\lambda-\alpha_{l}},
\end{equation}
\tag{5.3}
$$
где
$$
\begin{equation}
A_{l}^{j} =\lim_{\lambda\rightarrow \alpha_l}\biggl[(\lambda-\alpha_{l})\frac{ \lambda^{N-j}}{\sum_{m=0}^{N}P_m \lambda^{N-m}}\biggr] =\frac{\alpha_{l}^{N-j}}{M_N(\alpha_l)},
\end{equation}
\tag{5.4}
$$
$$
\begin{equation}
M_N(\alpha_l) =\frac{d}{d\lambda}\biggl(\,\sum_{m=0}^{N}P_m \lambda^{N-m}\biggr)\biggr|_{\lambda=\alpha_l}.
\end{equation}
\tag{5.5}
$$
Таким образом, имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, Q_j(n)&=\sum_{k=1}^N\int_{q_k(0)}^{q_k(n)}\sum_{l=1}^{N}A_{l}^{j}\biggl(\frac{1}{-2 \operatorname{ch} (q_k)-\alpha_{l}}\biggr)dq_k={} \notag\\ &=\sum_{k=1}^N\sum_{l=1}^{N}\frac{-2A_{l}^{j}}{\sqrt{4-\alpha_{l}^2}} \operatorname{arctg} \frac{(-\alpha_{l}+2) \operatorname{th} (q_k/2)}{\sqrt{4-\alpha_{l}^2}}\biggr|_{q_k(0)}^{q_k(n)}={} \notag\\ &=\sum_{k=1}^N\sum_{l=1}^{N}\frac{-A_{l}^{j}}{\sqrt{\alpha_{l}^2-4}}\ln \biggl(\frac{C_{k,l,n}}{C_{k,l,0}}\biggr), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.6}
$$
где
$$
\begin{equation}
C_{k,l,n}=\frac{1- (-\alpha_{l}+2) \operatorname{th} (q_k(n)/2)/\sqrt{\alpha_{l}^2-4}}{1+(-\alpha_{l}+2) \operatorname{th} (q_k(n)/2)/\sqrt{\alpha_{l}^2-4}},
\end{equation}
\tag{5.7}
$$
что удобно представить в следующем матричном виде: где
$$
\begin{equation}
\boldsymbol{Q(n)}=\begin{pmatrix} Q_1(n) \\ Q_2(n)\\ \vdots\\ Q_N(n) \end{pmatrix},\qquad \boldsymbol{T(n)}=\begin{pmatrix} \sum_{k=1}^N\biggl(-\frac{1}{\sqrt{\alpha_{1}^2-4}}\biggr)\ln \biggl(\frac{C_{k,1,n}}{C_{k,1,0}}\biggr)\\ \sum_{k=1}^N\biggl(-\frac{1}{\sqrt{\alpha_{2}^2-4}}\biggr)\ln \biggl(\frac{C_{k,2,n}}{C_{k,2,0}}\biggr)\\ \vdots\\ \sum_{k=1}^N\biggl(-\frac{1}{\sqrt{\alpha_{N}^2-4}}\biggr)\ln \biggl(\frac{C_{k,N,n}}{C_{k,N,0}}\biggr) \end{pmatrix},
\end{equation}
\tag{5.9}
$$
$$
\begin{equation}
\boldsymbol{A}=\frac{1}{\prod_{j=1}^{N}M_{N}(\alpha_{j})}\begin{pmatrix} \alpha_1^{N-1}&\alpha_2^{N-1}&\cdots&\alpha_{N}^{N-1}\\ \alpha_1^{N-2}&\alpha_2^{N-2}&\cdots&\alpha_{N}^{N-2}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 1&1&\cdots&1 \end{pmatrix}.
\end{equation}
\tag{5.10}
$$
Очевидно, $\boldsymbol{A}$ – обратимая матрица, поэтому имеем
$$
\begin{equation}
\boldsymbol{T(n)}=\boldsymbol{A}^{-1}\boldsymbol{Q(n)},
\end{equation}
\tag{5.11}
$$
где
$$
\begin{equation}
\boldsymbol{A}^{-1}=\begin{pmatrix} 1&(-1)^{1}\sigma_{1}(\widehat{\alpha_{1}})&\cdots&(-1)^{N-1}\sigma_{N-1}(\widehat{\alpha_{1}})\\ 1&(-1)^{1}\sigma_{1}(\widehat{\alpha_{2}})&\cdots&(-1)^{N-1}\sigma_{N-1}(\widehat{\alpha_{2}})\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 1&(-1)^{1}\sigma_{1}(\widehat{\alpha_{N}})&\cdots&(-1)^{N-1}\sigma_{N-1}(\widehat{\alpha_{N}})\\ \end{pmatrix}.
\end{equation}
\tag{5.12}
$$
В силу (5.11) имеем
$$
\begin{equation}
\prod_{k=1}^{N}\frac{\beta_l+\operatorname{th}(q_k(n)/2)}{\beta_l-\operatorname{th}(q_k(n)/2)}=e^{f_l(n)},\qquad 1\leqslant l \leqslant N,
\end{equation}
\tag{5.13}
$$
где
$$
\begin{equation}
\beta_l=-\frac{\sqrt{\alpha_{l}^2-4}}{2-\alpha_{l}},
\end{equation}
\tag{5.14}
$$
$$
\begin{equation}
f_l(n)=-\sqrt{\alpha_{l}^2-4}\sum_{j=1}^{N}(-1)^{j-1}\sigma_{j-1}(\widehat{\alpha_{l}})(Q_j(0)+n\nu_j(\boldsymbol{P})+\delta_{j1}t)+\sum_{k=1}^{N}\ln C_{k,l,0},
\end{equation}
\tag{5.15}
$$
что можно представить в виде
$$
\begin{equation}
\sum_{k=0}^{N}[\beta_l^{N-k}-e^{f_l(n)}(-1)^k\beta_l^{N-k}]\sigma_{k}\biggl(\operatorname{th} \frac{q(n)}{2}\biggr)=0,\qquad 1\leqslant l \leqslant N,
\end{equation}
\tag{5.16}
$$
где
$$
\begin{equation}
\sigma_{k}\biggl(\operatorname{th} \frac{q(n)}{2}\biggr)=\sum_{1\leqslant r_1<\cdots <r_k\leqslant N}\operatorname{th} \frac{q_{r_1}(n)}{2}\cdots \operatorname{th} \frac{q_{r_k}(n)}{2},\qquad 1\leqslant k\leqslant N.
\end{equation}
\tag{5.17}
$$
Подставляя $z_j(n)=e^{q_j(n)}$ в уравнение (5.16), получим
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \sum_{k=0}^{N}(\beta_l^{N-k}-e^{f_l(n)}(-1)^k\beta_l^{N-k})\biggl(\,\sum_{j=0}^{N}\sum_{m=0}^{k}(-1)^m C_{N-j}^{k-m}C_j^m\sigma_{N-j}(z(n))\biggr)=0,\\ 1\leqslant l \leqslant N, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{5.18}
$$
что можно представить в следующем простом виде:
$$
\begin{equation}
\sum_{j=0}^{N}\eta_l^j(n)\sigma_{N-j}(z(n))=0,\qquad 1\leqslant l \leqslant N,
\end{equation}
\tag{5.19}
$$
т. е.
$$
\begin{equation}
\begin{pmatrix} \eta_1^0(n)&\eta_1^1(n)&\cdots&\eta_{1}^{N-1}(n)\\ \eta_2^0(n)&\eta_2^1(n)&\cdots&\eta_{2}^{N -1}(n)\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ \eta_N^0(n)&\eta_N^{1}(n)&\cdots&\eta_{N}^{N-1}(n) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \sigma_{N}(z(n)) \\ \sigma_{N-1}(z(n))\\ \vdots\\ \sigma_{1}(z(n)) \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} -\eta_1^N(n) \\ -\eta_2^N(n)\\ \vdots\\ -\eta_N^N(n) \end{pmatrix},
\end{equation}
\tag{5.20}
$$
где
$$
\begin{equation}
\eta_l^j(n)=\sum_{k=0}^{N}\sum_{m=0}^{k}(-1)^m C_{N-j}^{k-m}C_j^m(\beta_l^{N-k}-e^{f_l(n)}(-1)^k\beta_l^{N-k}).
\end{equation}
\tag{5.21}
$$
Из результатов, заданных выражениями (2.42), получим детерминантное представление $N$-солитонного решения решетки Тоды:
$$
\begin{equation}
u(n) =\prod_{k=1}^{N}\frac{z_k(n)}{z_k(n-1)}=\frac{\sigma_{N}(z(n))}{\sigma_{N}(z(n-1))}=\frac{D_N(n)}{D(n)}\frac{D(n-1)}{D_N(n-1)},
\end{equation}
\tag{5.22}
$$
$$
\begin{equation}
v(n) =\sum_{k=1}^{N}(z_k(n+1)-z_k(n))=\sigma_{1}(z(n+1))-\sigma_{1}(z(n))=\frac{D_1(n+1)}{D(n+1)}-\frac{D_1(n)}{D(n)},
\end{equation}
\tag{5.23}
$$
где
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, D_N(n)&=\left|\begin{array}{cccc} -\eta_1^N(n)&\eta_1^1(n)&\cdots&\eta_{1}^{N-1}(n)\\ -\eta_2^N(n)&\eta_2^1(n)&\cdots&\eta_{2}^{N-1}(n)\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ -\eta_N^N(n)&\eta_N^{1}(n)&\cdots&\eta_{N}^{N-1}(n)\\ \end{array}\right|, \\ D(n)&=\left|\begin{array}{cccc} \eta_1^0(n)&\eta_1^1(n)&\cdots&\eta_{1}^{N-1}(n)\\ \eta_2^0(n)&\eta_2^1(n)&\cdots&\eta_{2}^{N-1}(n)\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ \eta_N^0(n)&\eta_N^{1}(n)&\cdots&\eta_{N}^{N-1}(n)\\ \end{array}\right|,\\ D_1(n)&=\left|\begin{array}{cccc} \eta_1^0(n)&\eta_1^1(n)&\cdots&-\eta_{1}^{N}(n)\\ \eta_2^0(n)&\eta_2^1(n)&\cdots&-\eta_{2}^{N}(n)\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ \eta_N^0(n)&\eta_N^{1}(n)&\cdots&-\eta_{N}^{N}(n)\\ \end{array}\right|. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.24}
$$
Наконец, в качестве примера выпишем солитонное решение при $N=1$:
$$
\begin{equation}
u(n) =\frac{\sigma_{1}(z(n))}{\sigma_{1}(z(n-1))}=\frac{\beta_1+1-(\beta_1-1)e^{f_1(n)}}{\beta_1-1-(\beta_1+1)e^{f_1(n)}}\frac{\beta_1-1-(\beta_1+1)e^{f_1(n-1)}}{\beta_1+1-(\beta_1-1)e^{f_1(n-1)}},
\end{equation}
\tag{5.25}
$$
$$
\begin{equation}
=-\frac{\beta_1+1-(\beta_1-1)e^{f_1(n+1)}}{\beta_1-1-(\beta_1+1)e^{f_1(n+1)}}+\frac{\beta_1+1-(\beta_1-1)e^{f_1(n)}}{\beta_1-1-(\beta_1+1)e^{f_1(n)}},
\end{equation}
\tag{5.26}
$$
где
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \beta_1=-\frac{\sqrt{\alpha_{1}^2-4}}{2-\alpha_{1}},\qquad \alpha_{1}=-P_1(0), \\ f_1(n)=-\sqrt{\alpha_{1}^2-4}(Q_1(0)+n\nu_1(\boldsymbol{P})+t)+\ln C_{1,1,0}. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{5.27}
$$
Из (4.14) получим константу
$$
\begin{equation}
\nu_1(\boldsymbol{P})=\int_{q_1(n)}^{q_1(n+1)}\frac{1}{-2 \operatorname{ch} (q_1)-\alpha_{1}}\,dq_1=\frac{-1}{\sqrt{\alpha_{1}^2-4}}\ln\biggl(\frac{-\sqrt{\alpha_{1}^2-4}- \alpha_{1}}{\sqrt{\alpha_{1}^2-4}- \alpha_{1}}\biggr).
\end{equation}
\tag{5.28}
$$
Односолитонное решение решетки Тоды можно также выписать в виде
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, u(n)-1&=\frac{(-4+\alpha_{1}^2) \biggl(\frac{-\sqrt{\alpha_{1}^2-4}- \alpha_{1}}{\sqrt{\alpha_{1}^2-4}- \alpha_{1}}\biggr)^{n-1/2} e^{-t\sqrt{\alpha_{1}^2-4}+\ln C_{1,1,0}}}{\biggl(1+\biggl(\frac{-\sqrt{\alpha_{1}^2-4}- \alpha_{1}}{\sqrt{\alpha_{1}^2-4}- \alpha_{1}}\biggr)^{n-1/2} e^{-t\sqrt{\alpha_{1}^2-4}+\ln C_{1,1,0}}\biggr)^2}={} \notag\\ &= \operatorname{sh} ^2(k_1)\operatorname{sech}^2\biggl(k_1n+\frac{1}{2}t\sqrt{\alpha_{1}^2-4}+C-\frac{k_1}{2}\biggr) \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.29}
$$
и
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, v(n)= \operatorname{sh} ^2(k_1)&\operatorname{sech}\biggl(k_1n+\frac{1}{2}t\sqrt{\alpha_{1}^2-4}+C+\frac{k_1}{2}\biggr)\times{} \notag \\ &\times \operatorname{sech}\biggl(k_1n+\frac{1}{2}t\sqrt{\alpha_{1}^2-4}+C-\frac{k_1}{2}\biggr), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.30}
$$
где
$$
\begin{equation}
k_1=\frac{1}{2}\ln\biggl(\frac{-\sqrt{\alpha_{1}^2-4}- \alpha_{1}}{\sqrt{\alpha_{1}^2-4}- \alpha_{1}}\biggr),\qquad C=\frac{1}{2}\ln C_{1,1,0}.
\end{equation}
\tag{5.31}
$$
Для случая $N=1$ выберем параметры $q_1(0)=0, p_1(0)=0$, тогда
$$
\begin{equation}
\alpha_{1}=-P_1(0)=-2 \operatorname{ch} (q_1(0))- e^{p_1(0)}=-3.
\end{equation}
\tag{5.32}
$$
На рис. 1, 2 приведены односолитонные решения решетки Тоды. Конфликт интересовАвторы заявляют, что у них нет конфликта интересов. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{ShiDu23} |
|
||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|