| Теоретическая и математическая физика |
|
|
|
|
|
Описание обобщенных трансляционно-инвариантных М. Алпa, Ч. X. Пахb, М. Х. Сабуровa a College of Engineering and Technology, American University of the Middle East, Kuwait City, Kuwait b Department of Computational and Theoretical Sciences, Faculty of Science, International Islamic University Malaysia, Pahang, Kuantan, Malaysia
Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2023, Volume 214, Issue 3, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0040577923030066 
Реферативные базы данных:
   1. Введение$p$-Адическая теория вероятностей – неколмогоровская модель, в которой вероятности принимают значения в поле $p$-адических чисел, – была предложена для решения проблемы статистической интерпретации $p$-адическизначных волновых функций в неархимедовой квантовой физике. На первом этапе $p$-адическая вероятность определялась как предел относительных частот в $p$-адической топологии. Далее было дано очень хорошее обоснование $p$-адической теории вероятностей с точки зрения теории меры. Следующий естественный этап – развитие теории случайных процессов со значениями в поле $p$-адических чисел или в более общих неархимедовых полях и с (неколмогоровскими) распределениями вероятностей, принимающим неархимедовы значения. В результате были получены различного рода предельные теоремы для $p$-адическизначных процессов. Наконец, общая теория $p$-адических вероятностей была применена к проблеме вероятностной интерпретации квантовых теорий с волновыми функциями, принимающими неархимедовы значения (см. [1]–[7]). Одним из разделов теории вероятностей является теория мер Гиббса, играющая центральную роль в статистической механике; начало этой теории положили Больцман и Гиббс, которые ввели статистический подход к термодинамике, чтобы получить коллективное макроскопическое поведение из индивидуальной микроскопической информации. Меры Гиббса, связанные с гамильтонианом физической системы (модели), обобщают понятие канонического ансамбля [8]–[10]. В классическом случае (когда математическая модель задается над полем вещественных чисел) физическое явление фазового перехода должно отражаться в математической модели как неоднозначность мер Гиббса или размер множества мер Гиббса для рассматриваемой модели. Вследствие выпуклой структуры множества мер Гиббса над полем вещественных чисел для описания размера множества мер Гиббса достаточно изучить количество его крайних элементов. Поэтому в классическом случае для предсказания фазового перехода основное внимание уделялось нахождению всех возможных экстремальных мер Гиббса. $p$-Адические меры Гиббса – это раздел $p$-адической теории вероятностей. В работах [11]–[13] были начаты исследования $p$-адического аналога теории мер Гиббса на деревьях Кэли. В работах [13]–[20] было установлено существование $p$-адических мер Гиббса, а также наличие фазовых переходов в некоторых моделях на решетках. Недавно в работах [21]–[23] с помощью анализа распределения корней квадратных и кубических уравнений над некоторыми областями в поле $\mathbb{Q}_p$ было получено описание всех трансляционно-инвариантных $p$-адических мер Гиббса для модели Поттса с $q$ состояниями на дереве Кэли малого порядка. Из-за отсутствия выпуклой структуры множества $p$-адических (квази)мер Гиббса в $p$-адическом случае достаточно сложно предсказать фазовый переход и характер множества $p$-адических (квази)мер Гиббса. В отличие от вещественного случая (см. работу [24]), множество $p$-адических мер Гиббса для решеточных моделей на дереве Кэли имеет сложную структуру в том смысле, что оно сильно связано с проблемой решения диофантовых уравнений (когда необходимо найти все решения системы полиномиальных уравнений или дать оценку числа решений) над полем $\mathbb{Q}_p$. Вообще говоря, одна и та же диофантова задача может иметь разные решения в $p$-адических числах и в вещественных числах из-за разной топологической структуры. С другой стороны, повышение порядка дерева Кэли затрудняет изучение соответствующей диофантовой задачи над полем $\mathbb{Q}_p$. В этом аспекте возникает вопрос, принадлежит ли корень полиномиального уравнения одной из областей $\mathbb{Z}_p^*$, $\mathbb{Z}_p\setminus\mathbb{Z}_p^*$, $\mathbb{Z}_p$, $\mathbb{Q}_p\setminus\mathbb{Z}_p^*$, $\mathbb{Q}_p\setminus(\mathbb{Z}_p\setminus\mathbb{Z}_p^*)$, $\mathbb {Q}_p\setminus\mathbb{Z}_p$, $\mathbb{Q}_p$ или нет. Недавно эта задача была полностью изучена для мономиальных уравнений [25], квадратных уравнений [22], [26] и кубических уравнений без квадратичного члена [27]–[30]. Поиск корней полиномов относится к числу давно известных задач математики. В диофантовой задаче требуется найти все решения полиномиального уравнения или системы полиномиальных уравнений в целых числах, рациональных числах или иногда более общих числовых кольцах либо установить границы для этих решений. Сценарии решения уравнений над полями вещественных и $p$-адических чисел совершенно различны. Так, например, квадратное уравнение $x^2+1=0$ не разрешимо в вещественных числах, но имеет $p$-адическое решение при $p\equiv 1 \;(\operatorname{mod}4) $. С другой стороны, кубическое уравнение $x^3+p=0$ не имеет решений в поле $p$-адических чисел, но разрешимо в вещественном поле. Поэтому представляет самостоятельный интерес задача поиска критерия разрешимости полиномиальных уравнений младших степеней над $p$-адическим полем. Для поля вещественных чисел эта проблема уже нашла свое решение. Критерии разрешимости и описания положения корней полиномиальных уравнений низших степеней над полем $\mathbb{Q}_p$ с приложениями также представлены в литературе [22], [23], [25]–[33]. Критерий разрешимости квадратного уравнения над $p$-адическим полем содержится во всех классических книгах по $p$-адическому анализу (см., например, монографии [6], [34]). Однако такая информация, как $p$-адический модуль решения или первый разряд корня квадратного уравнения над $\mathbb{Q}_p$, была неизвестна. Функция квадратного корня над $p$-адическим полем была введена в статье [33]. Это позволило найти в явном виде корни квадратного уравнения; в указанной работе были вычислены $p$-адический модуль и первый разряд корней квадратного уравнения над полем $\mathbb{Q}_p$. В настоящей статье мы даем описание (см. теорему 4.1) обобщенных трансляционно-инвариантных $p$-адических мер Гиббса для модели Поттса на дереве Кэли порядка три. Для этого мы вводим (см. определение 6.2) функцию кубического корня над $\mathbb{Q}_p$, которая позволяет вычислять $p$-адические модули и все разряды корней кубического мономиального уравнения над $\mathbb{Q}_p$ (см. теорему 6.1). Следует отметить (см. замечание 4.1), что основной результат нашей статьи подтверждает и расширяет родственные результаты в литературе [18], [35], [36]. 2. Основы теорииДля фиксированного простого числа $p$ поле $\mathbb{Q}_p$ $p$-адических чисел – это пополнение поля $\mathbb{Q}$ рациональных чисел по неархимедовой норме $|\,{\cdot}\,|_p\colon\mathbb{Q}\to\mathbb{R}$, задающейся как
$$
\begin{equation*}
|x|_p=\begin{cases} p^{-k}, & x\neq 0, \\ 0, & x=0, \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
где $x=p^k(m/n)$ и $k,m\in\mathbb{Z}$, $n\in\mathbb{N}$, $(m,p)=(n,p)=1$. Число $k$ называется $p$-порядком числа $x$ и обозначается как $ \operatorname{ord} _p(x)=k$. Всякое $p$-адическое число $\mathbf x\in\mathbb{Q}_p$ единственным образом записывается в канонической форме
$$
\begin{equation*}
\mathbf x=p^{\, \operatorname{ord} _p(\mathbf x)}(x_0+x_1\cdot p+x_2\cdot p^2+\cdots),
\end{equation*}
\notag
$$
где $x_0\in\{1,2,\ldots,p-1\}$ и $x_i\in\{0,1,2,\ldots,p-1\}$ для $i\in\mathbb{N}$. Кроме того, всякое ненулевое $p$-адическое число $\mathbf x\in\mathbb{Q}_p$ единственным образом записывается в виде $\mathbf x=\mathbf x^*/|\mathbf x|_p$, где $\mathbf x^*\in\mathbb{Z}_p^*$. Здесь $\mathbb{Z}_p^*=\{\mathbf x\in\mathbb{Q}_{p}\colon|\mathbf x|_p=1\}$ есть множество $p$-адических единиц в $\mathbb{Q}_p$, при этом $\mathbb{Z}_p=\{\mathbf x\in\mathbb{Q}_{p}\colon|\mathbf x|_p\leqslant 1\}$ есть множество $p$-адических целых чисел в поле $\mathbb{Q}_p$.
3. Обобщенные трансляционно-инвариантные $p$-адические меры ГиббсаВ этом разделе для полноты изложения мы сначала рассмотрим некоторые понятия и обозначения из статистической механики (подробности см. в [8]–[10]). 3.1. $p$-Адические экспонента и логарифмОпределение 3.1. $p$-Адическая экспонента $\exp_p\colon B_{p^{-1/(p-1)}}(0)\to\mathbb{Q}_p$ задается как где Определение 3.2. $p$-Адический логарифм $\log_p\colon S\to\mathbb{Q}_p$ задается как где $S=\{x\in\mathbb{Q}_p\colon|x|_p<1\}$. 3.2. Решетка Бете (дерево Кэли)Пусть $\Gamma^k=(V,L)$ – решетка Бете (дерево Кэли) порядка $k\geqslant 1$ с корнем $x^0$ (из каждой вершины исходит ровно $k+1$ ребер), где $V$ – множество вершин и $L$ – множество ребер. Вершины $x$ и $y$ называются ближайшими соседями, если существует соединяющее их ребро $l=\langle{x,y}\rangle\in L$. Набор пар $\langle{x,x_1}\rangle,\ldots,\langle{x_{d-1},y}\rangle$ ближайших соседей называется путем из вершины $x$ в вершину $y$. Расстояние $d(x,y)$ между вершинами $x,y\in V$ на полубесконечном дереве Кэли равно длине кратчайшего пути (с минимальным количеством ребер), соединяющего $x$ и $y$. Пусть
$$
\begin{equation*}
W_n=\{x\in V\colon d(x,x^{0})=n\},\qquad V_n=\bigcup_{m=0}^n W_m,\qquad L_n=\{\langle{x,y}\rangle\in L\colon x,y\in V_n\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда множество прямых потомков вершины $x\in W_n$ определяется как Существует взаимно однозначное соответствие между множеством $V$ вершин решетки Бете $\Gamma^{k}$ и группой $G_k$, представляющей собой группу свободных произведений $k+1$ циклических групп второго порядка с образующими $a_1,a_2,\ldots,a_k,a_{k+1}$, т. е. $a_i^2=e$ при $i=1,\ldots,k+1$, где $e$ – единица группы [9], [10]. Таким образом, мы можем представить каждую вершину решетки Бете $\Gamma^k$ как элемент группы $G_k$. Для $g\in G_k$ введем преобразование $\tau_g\colon G_k\to G_k$, такое что $\tau_g(x)=gx$ для любого элемента $x\in G_k$. Определение 3.3. Пусть $G$ – подгруппа в $G_k$ и $h\colon G_k\to Y$ есть функция со значениями в $Y$. Функция $h$ называется $G$-периодической, если $h(\tau_g(x))=h(x)$ для всех $g\in G$ и $x\in G_k$. Далее $G_k$-периодические функции мы называем трансляционно-инвариантными. 3.3. $p$-Адическая модель ПоттсаПусть $\Phi=\{1,2,\ldots,q\}$ – некоторое конечное множество. Конфигурацией (конфигурацией в конечном объеме, граничной конфигурацией) называется функция $\sigma\colon V\to\Phi$ (соответственно $\sigma_n\colon V_n\to\Phi$, $\sigma^{(n)}\colon W_n\to\Phi$). Обозначим как $\Omega$ (соответственно как $\Omega_{V_n}$, $\Omega_{W_n}$) множество всех конфигураций (соответственно всех конфигураций в конечном объеме, граничных конфигураций). Для заданных конфигураций $\sigma_{n-1}\in\Omega_{V_{n-1}}$ и $\sigma^{(n)}\in\Omega_{W_n}$ определим их объединение как конфигурацию $\sigma_{n-1}\vee\sigma^{(n)}\in\Omega_{V_n}$ в конечном объеме, такую что
$$
\begin{equation*}
(\sigma_{n-1}\vee\sigma^{(n)})(v)=\begin{cases} \sigma_{n-1}(v), & \text{если}\;\, v\in V_{n-1},\\ \sigma^{(n)}(v), & \text{если}\;\,v\in W_n. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Гамильтониан $p$-адической модели Поттса с $q$ состояниями на множестве конфигураций в конечном объеме задается для всех $\sigma_n\in\Omega_{V_n}$ и $n\in\mathbb{N}$ как
$$
\begin{equation}
H_n(\sigma_n)=J\sum_{\langle x,y\rangle\in L_n}\delta_{\sigma_n(x)\sigma_n(y)},
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
где $J$ – константа связи, $J\in B_{p^{-1/(p-1)}}(0)=\{x\in\mathbb{Q}_p\colon|x|_p<p^{-1/(p-1)}\}$, вершины $\langle x,y\rangle$ – ближайшие соседи и $\delta_{ij}$ – символ Кронекера. Обобщенная $p$-адическая мера Гиббса, отвечающая данному гамильтониану, строится следующим образом. Рассмотрим $\mathbb{Q}_p^q$-значную функцию $\mathbf h\colon V\to\mathbb{Q}_p^q$, такую что $\mathbf h_x:=\mathbf h(x)=(h_{1,x},h_{1,x},\ldots,h_{q,x})$ для $x\in V$. Для каждого $n\in\mathbb{N}$ зададим $p$-адическую вероятностную меру $\mu^{(n)}_{\mathbf h}$ на $\Omega_{V_n}$ как
$$
\begin{equation}
\mu^{(n)}_{\mathbf h}(\sigma_n)=\frac{1}{Z_n^{(\mathbf h)}}\exp_p\{H_n(\sigma_n)\}\prod_{x\in W_n}h_{\sigma_n(x),x},
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
где $\sigma_n\in\Omega_{V_n}$ и $Z_n^{(\mathbf h)}$ – нормировочный множитель,
$$
\begin{equation}
Z_n^{(\mathbf h)}=\sum_{\sigma_n\in\Omega_{V_n}}\exp_p\{H_n(\sigma_n)\}\prod_{x\in W_n}h_{\sigma_n(x),x}.
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
Мы говорим, что $p$-адическое вероятностное распределение (3.2) согласованно, если для всех $n\in\mathbb{N}$ и любой $\sigma_{n-1}\in\Omega_{V_{n-1}}$
$$
\begin{equation}
\sum_{\sigma^{(n)}\in\Omega_{W_n}}\mu_{\mathbf h}^{(n)}(\sigma_{n-1}\vee \sigma^{(n)})=\mu_{\mathbf h}^{(n-1)}(\sigma_{n-1}).
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
Согласно $p$-адической теореме Колмогорова о продолжении распределений [11], [12] $p$-адические меры (3.2) могут быть единственным образом продолжены до $p$-адической меры $\mu_{\mathbf h}\colon\Omega\to\mathbb{Q}_p$, такой что
$$
\begin{equation*}
\forall\sigma_n\in\Omega_{V_n},\quad\forall n\in\mathbb{N}\qquad \mu_{\mathbf h}(\{\sigma|_{\{V_n\}}=\sigma_n\})=\mu_{\mathbf h}^{(n)}(\sigma_n).
\end{equation*}
\notag
$$
Эта мера называется обобщенной $p$-адической мерой Гиббса [37], [38]. Если для всех $x\in V$ выполнено условие $h_x\in\mathcal E_p=\{x\in\mathbb{Z}^*_p\colon |x-1|_p<p^{-1/(p-1)}\}$, то соответствующая мера $\mu_\mathbf h$ называется $p$-адической мерой Гиббса [13]. Следующая теорема [37], [38] описывает условие на функцию $\mathbf h\colon V\to\mathbb{Q}_p^q$ , при котором выполняется равенство (3.4). Теорема 3.1. Для модели Поттса с $q$ состояниями, заданной гамильтонианом (3.1), меры $\mu^{(n)}_{\mathbf h}\colon\Omega_{V_n}\to\mathbb{Q}_p$, $n\in\mathbb{N}$, определенные в (3.2), удовлетворяют условию согласованности (3.4) тогда и только тогда, когда для любого $n\in\mathbb{N}$ выполняется следующее уравнение: Обобщенная $p$-адическая мера Гиббса называется трансляционно-инвариантной, если граничная конфигурация $\mathbf h\colon V\to\mathbb{Q}_p^q$ есть постоянная функция, т. е. $\mathbf h(x)=\mathbf h$ для всех $x\in V$. Предложение 3.1 [37], [38]. Обобщенная трансляционно-инвариантная $p$-адическая мера Гиббса существует, если и только если система уравнений имеет решение $\mathbf z=(z_1,z_2,\ldots,z_{q-1})\in\mathbb{Q}_p^{q-1}$, при этом 4. Описание обобщенных трансляционно-инвариантных $p$-адических мер ГиббсаВ этом разделе мы описываем обобщенные трансляционно-инвариантные $p$-адически меры Гиббса для модели Поттса на дереве Кэли порядка три. Для этого нам нужно найти решение системы уравнений (3.8). Подчеркнем, что все возможные виды решений системы уравнений (3.8) обсуждались в статье [23], и мы ими здесь воспользуемся. Пусть $\mathbf A\subset\overline\Phi=\{1,2,\ldots,q-1\}$. Мы ищем решение вида $\mathbf z=z\mathbf e_{\mathbf A}+\mathbf e_{\Phi\backslash\mathbf A}$, где $z\neq 1$. Здесь $\mathbf e_{\mathbf A}=\sum_{i\in\mathbf A}\mathbf e_i$ и $\mathbf e_i=(\delta_{i1},\delta_{i2},\ldots,\delta_{i,q-1})$. Тогда система уравнений (3.8) принимает вид
$$
\begin{equation}
z=\biggl(\frac{(\theta+|\mathbf A|-1)z+q-|\mathbf A|}{|\mathbf A|z+\theta+ q-|\mathbf A|-1}\biggr)^{\!k}.
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
Это означает, что $z$ – неподвижная точка отображения Поттса–Бете
$$
\begin{equation}
G_{\theta,\mathbf A,q,k}(z)= \biggl(\frac{(\theta+|\mathbf A|-1)z+q-|\mathbf A|}{|\mathbf A|z+\theta+q-|\mathbf A|-1}\biggr)^{\!k}\quad \text{при}\quad (\theta-1)(\theta-1+q)\neq 0.
\end{equation}
\tag{4.2}
$$
Предположим, что $1\leqslant|\mathbf A|\leqslant q-1$. Тогда получаем
$$
\begin{equation*}
G_{\theta,\mathbf A,q,k}(z)= \biggl(\frac{\frac{\theta-1}{|\mathbf A|+1}z+\frac{q}{|\mathbf A|}-1}{z+\frac{\theta-1+q}{|\mathbf A|}-1}\biggr)^{\!k}.
\end{equation*}
\notag
$$
Положим $\Theta=(\theta-1)/|\mathbf A|+1\in\mathbb{Q}_p$ и $\mathsf{Q}=q/|\mathbf A|\in\mathbb{Q}_p$ и запишем это отображение как
$$
\begin{equation}
f_{\Theta,\mathsf{Q},k}(z)=\biggl(\frac{\Theta z+\mathsf{Q}-1}{z+\Theta+\mathsf{Q}-2}\biggr)^{\!k}.
\end{equation}
\tag{4.3}
$$
Таким образом, нахождение обобщенных трансляционно-инвариантных $p$-адических мер Гиббса эквивалентно нахождению неподвижных точек отображения Поттса–Бете (4.3), т. е. точек $x_{\mathbf p}\in\mathbb{Q}_p$, для которых $f_{\Theta,Q,k}(x_{\mathbf p})=x_{\mathbf p}$. Мы опишем неподвижные точки отображения Поттса–Бете в случае $k=3$ в разделе 7. Следует отметить, что динамическое поведение отображения (4.3) ранее уже изучалось в литературе (см. [18], [35], [36], [39], [40]). Рассмотрим случай $k=3$ и предположим, что $|\mathbf A|=1$. Тогда отображение Поттса–Бете (4.3) принимает вид
$$
\begin{equation}
f_{\theta,q,3}(z)=\biggr(\frac{\theta z+q-1}{z+\theta+q-2}\biggr)^{\!3}.
\end{equation}
\tag{4.4}
$$
Легко проверить, что $z=1$ всегда является неподвижной точкой этого отображения. Кроме того, если $\theta=1$ или $\theta=1-q$, то функция (4.4) будет постоянной. Таким образом, мы всегда далее будем предполагать, что $(\theta-1)(\theta-1+q)\neq 0$. Также мы полагаем, что $p\geqslant 5$ есть простое число. Теперь опишем обобщенные трансляционно-инвариантные $p$-адические меры Гиббса для модели Поттса на дереве Кэли порядка три. Пусть $q=q^*/|q|_p$, где $q^*\in\mathbb{N}$, и $(p,q^*)=1$. Рассмотрим $\mathbf z=z\mathbf e_{\mathbf A}+\mathbf e_{\Phi\setminus\mathbf A}$, где
$$
\begin{equation*}
|\mathbf A|\notin\biggl\{\frac{1}{|q|_p},\frac{2}{|q|_p},\ldots,\frac{q^*-1}{|q|_p}\biggr\},
\end{equation*}
\notag
$$
а $z\neq 1$ является неподвижной точкой отображения (4.4). Теорема 4.1. Пусть $p$ – простое число, $p\geqslant 5$. Пусть $\theta\in\mathcal E_p$, $q\in\mathbb{N}$ таковы, что $(\theta-1)(q-1)(\theta-1+q)(q-2(\theta-1))\neq 0$. Тогда справедливы следующие утверждения: 1) если $|q|_p<1$, то всегда существует хотя бы одна обобщенная трансляционно-инвариантная $p$-адическая мера Гиббса; если, кроме того, $p\equiv 1 \;(\operatorname{mod}3) $, то существуют еще две такие меры; 2) если $|q|_p=1$ и $|q-1|^2_p<|\theta-1|^3_p$, то всегда существует хотя бы одна обобщенная трансляционно-инвариантная $p$-адическая мера Гиббса; если, кроме того, $\theta-1\in\mathbb{Q}_p^{\,\mathrm{sroot}}$, то существуют еще две такие меры; 3) если $|q|_p=1$, $|q-1|^2_p=|\theta-1|^3_p$ и $D_0u^2_{p-2}\not\equiv 9b_0^2 \;(\operatorname{mod}p) $, то всегда существует хотя бы одна обобщенная трансляционно-инвариантная $p$-адическая мера Гиббса; если, кроме того,
$$
\begin{equation*}
\bigl(|\mathbf D|_p=1,u_{p-2}\equiv 0 \;(\operatorname{mod}p) \bigr)\vee\bigl(0\leqslant|\mathbf D|_p<1, \exists\sqrt{D}\,\bigr)
\end{equation*}
\notag
$$
то существуют еще две такие меры; 4) если $|q|_p=1$, $|q-1|^2_p>|\theta-1|^3_p$ и ${1-q}\in\mathbb{Q}^{\,\mathrm{croot}}_p$, то всегда существует хотя бы одна обобщенная трансляционно-инвариантная $p$-адическая мера Гиббса; если, кроме того, $p\equiv 1\;\;(\mathrm{mod}\;3)$, то существуют еще две такие меры. Все необходимые понятия и обозначения приведены в следующих разделах (см., в частности, определения (5.2) и (6.2)). Доказательство теоремы 4.1 следует из теоремы 7.1 и предложения 3.1. Замечание 4.1. Теорема 4.1 согласуется с описанием обобщенных трансляционно-инвариантных $p$-адических мер Гиббса, ранее полученным в [18], [35], [36], для случаев $0<|\theta-1|_p<|q|^2_p<1$ и $0<|\theta-1|_p<|q|_p=1$ при ${1-q }\in\mathbb{Q}^{\mathrm{\,croot}}_p$, $|\theta-1|^3_p<|q-1|^2_p$. Однако она охватывает ранее не рассмотренные случаи $|q|^2_p\leqslant|\theta-1|_p<1$ и $0<|\theta-1|_p<|q|_p=1$ при $|q-1|^2_p\leqslant|\theta-1|^3_p$ и дает полное описание обобщенных трансляционно-инвариантных $p$-адических мер Гиббса для $\theta\in\mathcal E_p$, $q\in\mathbb{N}$ при $(\theta-1)(q-1)(\theta-1+q)(q-2(\theta-1))\neq 0$. Это новый результат. 5. Функция квадратного корняВ этом разделе мы напоминаем определение и некоторые свойства функции квадратного корня над $\mathbb{F}_p$ и $\mathbb{Q}_p$, которые ранее были сформулированы и изучались в работе [33]. Эти свойства будут использоваться на протяжении всей статьи. Мы всегда предполагаем, что $p>3$, если не указано иное. 5.1. Функция квадратного корня над полем $\mathbb{F}_p$Рассмотрим конечное поле $\mathbb{F}_p:=\{[0]_p,[1]_p,[2]_p,\ldots,[p-1]_p\}$ для простого числа $p>3$. Здесь
$$
\begin{equation*}
[a]_p:=\{b\in\mathbb{Z}\colon b\equiv a \;(\operatorname{mod}p) \}\quad\text{для любого}\quad 0\leqslant a\leqslant p-1.
\end{equation*}
\notag
$$
Мы всегда используем заданное выше каноническое представление множества $\mathbb{F}_p$. Пусть $[a]_p\in\mathbb{F}_p$ есть ненулевой элемент. Известно, что квадратное уравнение $[x]_p^2=[a]_p$ разрешимо в $\mathbb{F}_p$, если и только если $a^{(p-1)/2}\equiv 1 \;(\operatorname{mod}p) $ или, эквивалентно, $a$ – квадратичный вычет. В этом случае данное квадратное уравнение имеет в $\mathbb{F}_p$ два корня $[x_1]_p$ и $[x_2]_p$, где $1\leqslant x_1,x_2\leqslant p-1$. Определение 5.1 [33]. Пусть $[a]_p\in\mathbb{F}_p$ – ненулевой квадратичный вычет и $[x_1]_p$, $[x_2]_p$ – корни квадратного уравнения $[x]_p^2=[a]_p$, такие что $1\leqslant x_1,x_2\leqslant p-1$. Элемент $[\min\{x_1,x_2\}]_p$ множества $\mathbb{F}_p$ называется квадратным корнем из $[a]_p$ и обозначается как $\sqrt{[a]_p}$. Замечание 5.1. Нетрудно проверить, что $[\max\{x_1,x_2\}]_p=[p-\min\{x_1,x_2\}]_p$. Для него мы используем обозначение $-\sqrt{[a]_p}:=[\max\{x_1,x_2\}]_p$. Следовательно, $\sqrt{[a]_p}$ и $-\sqrt{[a]_p}$ являются двумя корнями квадратного уравнения $[x]_p^2=[a]_p$. Далее для поля $\mathbb{F}_p$ мы используем короткое выражение $\sqrt{a}$ вместо $\sqrt{[a]_p}$ всякий раз, когда это не вызывает недоразумений. 5.2. Функция квадратного корня над полем $\mathbb{Q}_p$Для определения квадратного корня в $\mathbb{Q}_p$ при простом $p>3$ нам потребуются некоторые вспомогательные обозначения. Пусть $\mathbf a\in\mathbb{Z}^*_p$ разлагается как где $a_0\in\{1,2,\ldots,p-1\}$ и $a_i\in\{0,1,2,\ldots,p-1\}$ для $i\in\mathbb{N}$. Введем обозначения
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathbf a_{[n,m]}&=a_np^n+a_{n+1}p^{n+1}+a_{n+2}p^2+\cdots+a_mp^m, \\ \mathbf a^*_{[n,m]}&=a_n+a_{n+1}p+a_{n+2}p^2+\cdots+a_mp^{m-n}, \\ \mathbf a^*_{[n,+\infty)}&=a_n+a_{n+1}p+a_{n+2}p^2+\cdots+a_{n+k}p^{k}+\cdots. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Очевидно, что $\mathbf a_{[n,m]}$, $\mathbf a^*_{[n,m]}$ – целые числа и $\mathbf a^*_{[n,+\infty)}$ – $p$-адическое целое число. Теорема 5.1 [33], [34]. Пусть $\mathbf a=a_0+a_1p+a_2p^2+\cdots+a_np^n+\cdots\in\mathbb{Z}^*_p$ и $a_0$ – квадратичный вычет по модулю $p$. Тогда квадратное уравнение $\mathbf x^2=\mathbf a$ имеет в $\mathbb{Z}^*_p$ два корня $\mathbf x^\unicode{8224}$ и $\mathbf x^\ddagger$, которые задаются следующим образом: Замечание 5.2. Известно, что если $\mathbf x^\unicode{8224}$ и $\mathbf x^\ddagger$ – два корня квадратного уравнения $\mathbf x^2=\mathbf a$, то $\mathbf x^\ddagger=-\mathbf x^\unicode{8224}$. Используя представление (5.1) для корней $\mathbf x^\unicode{8224}$ и $\mathbf x^\ddagger$, также можно показать, что $\mathbf x^\ddagger=-\mathbf x^\unicode{8224}$. Для этого достаточно доказать, что $x^\ddagger_0\equiv-x^\unicode{8224}_0 \;(\operatorname{mod}p) $ и $x^\ddagger_k\equiv-(x^\unicode{8224}_k+1) \;(\operatorname{mod}p) $ для любого $k\geqslant 1$. Понятно, что это равенство верно для $k=0$, т. е. $x^\ddagger_0\equiv-\sqrt{a_0} \;(\operatorname{mod}p) $ и $x^\unicode{8224}_0\equiv\sqrt{a_0} \;(\operatorname{mod}p) $. Предположим, что оно верно для всех $k=1,2,\ldots,n-1$. Докажем искомое равенство для $k=n$, т. е. покажем, что $x^\ddagger_n\equiv-(x^\unicode{8224}_n+1) \;(\operatorname{mod}p) $. В силу нашего предположения и неравенства $0\leqslant x^\unicode{8224}_k,x^\ddagger_k\leqslant p-1$ имеем $\mathbf x^\ddagger_{[0,n-1]}=p^{n}-\mathbf x^\unicode{8224}_{[0,n-1]}$ и Пусть $\mathbf x\in\mathbb{Q}_p$, $\mathbf x=\mathbf x^*/|\mathbf x|_p$, где $\mathbf x^*=x_0+x_1p+x_2p^2+\cdots{}\in\mathbb{Z}^*_p$. Введем следующее множество:
$$
\begin{equation}
\mathbb{Q}_p^{\,\text{sroot}}=\{\mathbf x\in\mathbb{Q}_p\colon\log_p|\mathbf x|_p\;\,\text{-- четное число},\;\,x_0^{(p-1)/2}\equiv 1 \;(\operatorname{mod}p) \}.
\end{equation}
\tag{5.2}
$$
Определение 5.2 [33]. Функция квадратного корня задается следующим образом: $\mathbf y=\mathbf y^*/|\mathbf y|_p$, так что $|\mathbf y|_p=\sqrt{|\mathbf x|_p}$, при этом Замечание 5.3. Из теоремы 5.1 следует, что одним корнем квадратного уравнения $\mathbf x^2=\mathbf a$ является $\sqrt{\mathbf a}$, для которого $(\sqrt{\mathbf a}\,)^*\equiv \sqrt{a_0} \;(\operatorname{mod}p) $. Кроме того, согласно замечанию 5.1 другим корнем является $-\sqrt{\mathbf a}$, для которого $(-\sqrt{\mathbf a}\,)^*\equiv-\sqrt{a_0} \;(\operatorname{mod}p) $. С этой точки зрения определение 5.2 квадратного корня над $\mathbb{Q}_p$ элегантным образом сохраняет свойство, что квадратное уравнение $\mathbf x^2=\mathbf a$ имеет два корня $\pm\sqrt{\mathbf a}$, в точности как в вещественном случае. 6. Функция кубического корняВ этом разделе мы вводим функцию кубического корня над $\mathbb{F}_p$ и $\mathbb{Q}_p$. Мы всегда предполагаем, что $p>3$, если не указано иное. 6.1. Функция кубического корня над полем $\mathbb{F}_p$Введем конечное поле $\mathbb{F}_p$ и его каноническое представление, как в предыдущем разделе. Пусть $[a]_p\in\mathbb{F}_p$ есть ненулевой элемент. Известно, что кубическое конгруэнтное уравнение $[x]_p^3=[a]_p$ разрешимо в $\mathbb{F}_p$, если и только если $a^{\frac{p-1}{(3,p-1)}}\equiv 1 \;(\operatorname{mod}p) $ или, эквивалентно, $a$ – кубический вычет. Если в этом случае $p\equiv 2 \;(\operatorname{mod}3) $, то уравнение $[x]_p^3=[a]_p$ всегда имеет единственное решение $[x_1]_p$, $1\leqslant x_1\leqslant p-1$, для каждого $1\leqslant a\leqslant p-1$ (вследствие того, что $(a^{(2p-1)/3})^3\equiv a \;(\operatorname{mod}p) $). Если $p\equiv 1 \;(\operatorname{mod}3) $ и при этом $a^{(p-1)/3}\equiv 1 \;(\operatorname{mod}p) $, то уравнение имеет три различных корня $[x_1]_p$, $[x_2]_p$ и $[x_3]_p$, где $1\leqslant x_1,x_2,x_3\leqslant p-1$. Определение 6.1. Пусть $[a]_p\in\mathbb{F}_p$ есть ненулевой кубический вычет и $[x_1]_p$, $[x_2]_p$, $[x_3]_p$ – это (один или, возможно, три) корень кубического конгруэнтного уравнения $[x]_p^3=[a]_p$, такие что $1\leqslant x_1,x_2,x_3\leqslant p-1$. Элемент $[\min\{x_1,x_2,x_3\}]_p$ в поле $\mathbb{F}_p$ называется кубическим корнем из $[a]_p$ и обозначается как $\sqrt[3]{[a]_p}$. Пример 6.1. Рассмотрим некоторые простые числа $p\equiv 1 \;(\operatorname{mod}3) $. Пусть $p=7$. В этом случае $[1]_7$ и $[6]_7$ – кубические вычеты по модулю $7$. Следовательно, $\sqrt[3]{[1]_7}=[1]_7$ и $\sqrt[3]{[6]_7}=[3]_7$. Пусть $p=19$. В этом случае $[1]_{19}$, $[7]_{19}$, $[8]_{19}$, $[11]_{19}$, $[12]_{19}$, $[18]_{19}$ – кубические вычеты по модулю $19$. Следовательно, $\sqrt[3]{[1]_{19}}=[1]_{19}$, $\sqrt[3]{[7]_{19}}=[4]_{19}$, $\sqrt[3]{[8]_{19}}=[2]_{19}$, $\sqrt[3]{[11]_{19}}=[5]_{19}$, $\sqrt[3]{[12]_{19}}=[10]_{19}$, $\sqrt[3]{[18]_{19}}=[8]_{19}$. Замечание 6.1. Очевидно, что кубическое конгруэнтное уравнение $[x]_p^3=[1]_p$ с $p\equiv 2 \;(\operatorname{mod}3) $ всегда имеет единственный корень $[\varepsilon_1]_p$, для которого $\varepsilon_1:=1$. Кроме того, если $p\equiv 1 \;(\operatorname{mod}3) $, то оно имеет дополнительно два корня $[\varepsilon_2]_p$ и $[\varepsilon_3]_p$, такие что $\varepsilon_1<\varepsilon_2<\varepsilon_3$. В обоих случаях $\sqrt[3]{[1]_p}=[\varepsilon_1]_p$ для любого простого $p$. Если $p\equiv 1 \;(\operatorname{mod}3) $ и $a^{(p-1)/3}\equiv 1 \;(\operatorname{mod}p) $, то $\varepsilon_1\sqrt[3]{[a]_p}$, $\varepsilon_2\sqrt[3]{[a]_p}$, $\varepsilon_3\sqrt[3]{[a]_p}$ – корни уравнения $[x]_p^3=[a]_p$. Далее для поля $\mathbb{F}_p$ мы используем короткое выражение $\sqrt[3]{a}$ вместо $\sqrt[3]{[a]_p}$ всякий раз, когда это не вызывает недоразумений. 6.2. Функция кубического корня над полем $\mathbb{Q}_p$Нам потребуется следующий вспомогательный результат. Теорема 6.1. Пусть $p>3$ и $\mathbf a\in\mathbb{Z}^*_p$. Кубическое уравнение $\mathbf x^3=\mathbf a$ разрешимо в $\mathbb{Z}^*_p$, если и только если $a_0$ – кубический вычет по модулю $p$ или, эквивалентно, $a_0^{\frac{p-1}{(3,p-1)}}\equiv 1 \;(\operatorname{mod}p) $. Корень этого кубического уравнения имеет вид где Доказательство. Часть “только если”. Предположим, что уравнение $\mathbf x^3=\mathbf a$ имеет решение в $\mathbb{Z}^*_p$ вида $\mathbf x=x_0+\mathbf x_{[1,+\infty)}^*p$. Тогда получаем В результате имеем $x_0^3\equiv a_0 \;(\operatorname{mod}p) $, и это означает, что $a_0$ – кубический вычет по модулю $p$. Часть “если”. Предположим, что $a_0$ – кубический вычет по модулю $p$. Это означает, что существует $x_0\in\mathbb{Z}$, такой что $x_0^3\equiv a_0 \;(\operatorname{mod}p) $. Отсюда имеем
$$
\begin{equation*}
x_0\in\begin{cases} \{\varepsilon_1\sqrt[3]{a_0},\varepsilon_2\sqrt[3]{a_0},\varepsilon_3\sqrt[3]{a_0},\}, &\text{если}\;\, p\equiv 1 \;(\operatorname{mod}3) ,\\ \{\varepsilon_1\sqrt[3]{a_0}\}, &\text{если}\;\,p\equiv 2 \;(\operatorname{mod}3) . \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь покажем, что каждый из этих корней можно поднять в $\mathbb{Z}^*_p$. Пусть $\mathbf x=\mathbf x_{[0,k-1]}+x_kp^k+\mathbf x_{[k+1,+\infty)}^*p^{k+1}$. Предположим, что мы уже нашли числа $x_0,x_1,\ldots,x_{k-1}$, и найдем $x_k$. Наша цель – получить рекуррентную формулу, позволяющую выразить $x_k$ через $x_0,x_1,\ldots,x_{k-1}$ для любого $k\geqslant 1$. Нетрудно видеть, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathbf x^3&=\mathbf x_{[0,k-1]}^3+x_k^3p^{3k}+(\mathbf x_{[k+1,+\infty)}^*)^3p^{3k+3}+ 3\mathbf x_{[0,k-1]}^2x_kp^k+3\mathbf x_{[0,k-1]}^2\mathbf x_{[k+1,+\infty)}^*p^{k+1}+{} \\ &\quad +3\mathbf x_{[0,k-1]}x_k^2p^{2k}+3\mathbf x_{[0,k-1]}(\mathbf x_{[k+1,+\infty)}^*)^2p^{2k+2}+3x_k^2\mathbf x_{[k+1,+\infty)}^*p^{3k+1}+{} \\ &\quad +3x_k(\mathbf x_{[k+1,+\infty)}^*)^2p^{3k+2}+6\mathbf x_{[0,k-1]}x_k\mathbf x_{[k+1,+\infty)}^*p^{2k+1}= \\ &=\mathbf a_{[0,k-1]}+a_kp^k+\mathbf a_{[k+1,+\infty)}^*p^{k+1}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \mathbf x_{[0,k-1]}^3\equiv\mathbf a_{[0,k-1]} \;(\operatorname{mod}p^k) , \\ \mathbf x_{[0,k-1]}^3+3\mathbf x_{[0,k-1]}^2x_kp^k\equiv\mathbf a_{[0,k-1]}+a_kp^k \;(\operatorname{mod}p^{k+1}) , \\ 3\mathbf x_{[0,k-1]}^2x_k\equiv\frac{\mathbf a_{[0,k-1]}-\mathbf x_{[0,k-1]}^3}{p^k}+a_k \;(\operatorname{mod}p) . \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку $\mathbf x_{[0,k-1]}^2\equiv x_0^2 \;(\operatorname{mod}p) $, получаем Это и есть искомая рекуррентная формула. Тем самым доказательство завершено. Теперь рассмотрим кубическое уравнение $\mathbf x^3=\mathbf a$, где $\mathbf a\in\mathbb{Q}_p$ есть ненулевое $p$-адическое число. Пусть $\mathbf a=\mathbf a^*/|\mathbf a|_p$, где $\mathbf a^*=a_0+a_1p+a_2p^2+\cdots{}$. Данное кубическое уравнение разрешимо в $\mathbb{Q}_p$, если и только если $\log_p |\mathbf a|_p$ делится на 3 и $a_0$ – кубический вычет по модулю $p$ [25]. Кроме того, мы имеем следующие случаи: 1) если $p\equiv 1 \;(\operatorname{mod}3) $, то кубическое уравнение $\mathbf x^3=\mathbf a$ имеет три корня
$$
\begin{equation*}
\mathbf x^{(1)}=\frac{(\mathbf x^{(1)})^*}{|\mathbf x^{(1)}|_p},\qquad \mathbf x^{(2)}=\frac{(\mathbf x^{(2)})^*}{|\mathbf x^{(2)}|_p},\qquad \mathbf x^{(3)}=\frac{(\mathbf x^{(3)})^*}{|\mathbf x^{(3)}|_p},
\end{equation*}
\notag
$$
где $|\mathbf x^{(i)}|_p=\sqrt[3]{|\mathbf a|_p}$ и $(\mathbf x^{(i)})^*=x_0^{(i)}+x_1^{(i)}p+x_2^{(i)}p^2+\cdots{}$ с компонентами разложения
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, x_0^{(i)}\equiv \varepsilon_i \sqrt[3]{a_0} \;(\operatorname{mod}p) , \\ x^{(i)}_k\equiv (3(x_0^{(i)})^2)^{p-2}\biggl(\frac{\mathbf a_{[0,k-1]}-\mathbf x^3_{[0,k-1]}}{p^k}+a_k\biggr) \;(\operatorname{mod}p) ,\qquad k\in\mathbb{N}, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
для $i=1,2,3$; 2) если $p\equiv 2 \;(\operatorname{mod}3) $, то кубическое уравнение $\mathbf x^3=\mathbf a$ имеет единственный корень
$$
\begin{equation*}
\mathbf x^{(1)}=\frac{(\mathbf x^{(1)})^*}{|\mathbf x^{(1)}|_p},
\end{equation*}
\notag
$$
где $|\mathbf x^{(1)}|_p=\sqrt[3]{|\mathbf a|_p}$ и $(\mathbf x^{(1)})^*=x_0^{(1)}+x_1^{(1)}p+x_2^{(1)}p^2+\cdots{}$ с компонентами разложения
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, x_0^{(1)}\equiv\varepsilon_1\sqrt[3]{a_0} \;(\operatorname{mod}p) , \\ x^{(1)}_k\equiv(3(x_0^{(1)})^2)^{p-2}\biggl(\frac{\mathbf a_{[0,k-1]}-\mathbf x^3_{[0,k-1]}}{p^k}+a_k\biggr) \;(\operatorname{mod}p) ,\qquad k\in\mathbb{N}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $\mathbf x\in\mathbb{Q}_p$, $\mathbf x=\mathbf x^*/|\mathbf x|_p$, где $\mathbf x^*=x_0+x_1p+x_2p^2+\cdots{}\in\mathbb{Z}^*_p$. Введем следующее множество:
$$
\begin{equation}
\mathbb{Q}_p^{\,\mathrm{croot}}= \Bigl\{\mathbf a\in\mathbb{Q}_p\colon\log_p|\mathbf a|_p\;\,\text{делится на 3,}\;\,a_0^{\frac{p-1}{(3,p-1)}}\equiv 1 \;(\operatorname{mod}p) \Bigr\}.
\end{equation}
\tag{6.2}
$$
Определение 6.2. Функция кубического корня задается следующим образом: $\mathbf y=\mathbf y^*/|\mathbf y|_p$, так что $|\mathbf y|_p=\sqrt[3]{|\mathbf x|_p}$, при этом Пример 6.2. Пусть $p=7$ и $\mathbf x=-1$. Тогда $x_k=6$ для всех $k=0,1,2,\ldots{}\,$. Мы знаем, что $\sqrt[3]{[6]_7}=[3]_7$ (см. пример 6.1) и $y_0=3$. Остальные $y_k$ можно найти, используя приведенную выше рекуррентную формулу. Так, например, получаем $y_1=4$, $y_2=6$, $y_3=3$, $y_4=0$ и т. д. Кроме того, $|\mathbf y|_p=\sqrt[3]{|\mathbf x|_p}=\sqrt[3]{1}=1$. Следовательно, $\sqrt[3]{-1}=y_0+y_1p+y_2p^2+\cdots{}$. Замечание 6.2. Пусть $p\equiv 1 \;(\operatorname{mod}3) $ и $\mathbf e_1$, $\mathbf e_2$, $\mathbf e_3$ – корни кубического уравнения $\mathbf x^3=1$ над полем $\mathbb{Q}_p$, причем $\mathbf e_1:=1$. Если $\mathbf a\in\mathbb{Q}^{\,\mathrm{croot}}_p$, то $\mathbf e_1\sqrt[3]{\mathbf a}$, $\mathbf e_2\sqrt[3]{\mathbf a}$, $\mathbf e_3\sqrt[3]{\mathbf a}$ являются корнями кубического уравнения $\mathbf x^3=\mathbf a$. Кроме того, для $i=1,2,3$ 7. Неподвижные точки отображения Поттса–БетеОтображение Поттса–Бете $f_{\theta,q,3}\colon\mathbb{D}_{f_{\theta,q,3}}\to\mathbb{Q}_p$ имеет вид
$$
\begin{equation}
f_{\theta,q,3}(\mathbf z)=\biggl(\frac{\theta\mathbf z+q-1}{\mathbf z+\theta+q-2}\biggr)^{\!3},
\end{equation}
\tag{7.1}
$$
где $\mathbb{D}_{f_{\theta,q,3}}:=\mathbb{Q}_p\backslash\{2-q-\theta\}$. Найдем все неподвижные точки этого отображения. Нам необходимо решить уравнение
$$
\begin{equation*}
\mathbf z=\biggl(\frac{\theta\mathbf z+q-1}{\mathbf z+\theta+q-2}\biggr)^{\!3}\quad\text{или}\quad \sqrt[3]{\mathbf z}=\frac{\theta\mathbf z+q-1}{\mathbf z+\theta+q-2},
\end{equation*}
\notag
$$
что эквивалентно
$$
\begin{equation*}
\mathbf t=\frac{\theta\mathbf t^3+q-1}{\mathbf t^3+\theta+q-2},\quad\text{где}\quad\mathbf t=\sqrt[3]{\mathbf z}.
\end{equation*}
\notag
$$
Упрощая последнее уравнение, получаем
$$
\begin{equation*}
(\mathbf t^3+\theta+q-2)(\mathbf t-1)=(\theta-1)(\mathbf t^3-1)
\end{equation*}
\notag
$$
или, эквивалентно,
$$
\begin{equation}
\mathbf t^3-(\theta-1)\mathbf t^2-(\theta-1)\mathbf t+q-1=0.
\end{equation}
\tag{7.2}
$$
Рассмотрим это уравнение как кубическое уравнение над полем $\mathbb{Q}_p$, где $\theta\in\mathcal E_p\subset\mathbb{Z}^*_p$ и $q\in\mathbb{Z}_p$, т. е. $0<|\theta-1|_p<|\theta|_p=1$ и $|q|_p\leqslant 1$. Замечание 7.1. В статьях [18], [35], [36] уравнение (7.2) изучалось в случаях $0<|\theta-1|_p<|q|^2_p<1$ и $0<|\theta-1|_p<|q|_p=1$ при ${1-q}\in\mathbb{Q}^{\,\mathrm{croot}}_p$, $|\theta-1|^3_p<|q-1|^2_p$. Однако случаи $|q|^2_p\leqslant|\theta-1|_p<1$ и $0<|\theta-1|_p<|q|_p=1$ при $|q-1|^2_p\leqslant|\theta-1|^3_p$ остались без рассмотрения. Наше исследование закрывает эти случаи. Это новый результат. Сначала введем некоторые необходимые обозначения, следуя статье [32]. Положим
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \mathbf a=\mathbf{b}=1-\theta,\qquad\mathbf{c}=q-1, \\ \mathbf A=\frac{3\mathbf{b}-\mathbf a^2}{3},\qquad \mathbf{B}=\frac{-2\mathbf a^3+9\mathbf a\mathbf{b}-27\mathbf{c}}{27}, \\ \Delta=-4\mathbf A^3-27\mathbf{B}^2,\qquad \mathbf D=-4(\mathbf A^*)^3-27(\mathbf{B}^*)^2,\qquad D_0=-4A_0^3-27B_0^2 \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
и $u_1=0$, $u_2=-A_0$, $u_3=B_0$, $u_{n+3}=B_0u_n-A_0u_{n+1}$ для $n\geqslant 1$; пусть
$$
\begin{equation*}
\mathbf A^*=\mathbf A|\mathbf A|_p=A_0+A_1p+A_2p^2+\cdots,\qquad \mathbf{B}^*=\mathbf{B}|\mathbf{B}|_p=B_0+B_1p+B_2p^2+\cdots.
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема 7.1. Пусть $p$ – простое число, $p\geqslant 5$. Пусть $\theta\in\mathcal E_p$, $q\in\mathbb{Z}_p$ таковы, что $(\theta-1)(q-1)(\theta-1+q)(q-2(\theta-1))\neq 0$. Тогда справедливы следующие утверждения: 1) если $|q|_p<1$, то кубическое уравнение (7.2) всегда имеет хотя бы один корень $\mathbf t_1\in\mathbb{Q}_p$, такой что $|\mathbf t_1|_p=1$ и $\mathbf t_1^3\neq 1$; если, кроме того, $p\equiv 1 \;(\operatorname{mod}3) $, то это уравнение имеет еще два различных корня $\mathbf t_2,\mathbf t_3\in\mathbb{Q}_p$, таких что $|\mathbf t_2|_p=|\mathbf t_3|_p=1$ и $\mathbf t_2^3\neq 1$, $\mathbf t_3^3\neq 1$; 2) если $|q|_p=1$ и $|q-1|^2_p<|\theta-1|^3_p$, то кубическое уравнение (7.2) всегда имеет хотя бы один корень $\mathbf t_1\in\mathbb{Q}_p$, такой что $|\mathbf t_1|_p=\frac{|q-1|_p}{|\theta-1|_p}$; если, кроме того, $\theta-1\in\mathbb{Q}_p^{\,\mathrm{sroot}}$, то это уравнение имеет еще два различных корня $\mathbf t_2,\mathbf t_3\in\mathbb{Q}_p$, таких что $|\mathbf t_1|_p<|\mathbf t_2|_p=|\mathbf t_3|_p=\sqrt{|\theta-1|_p}$; 3) если $|q|_p=1$, $|q-1|^2_p=|\theta-1|^3_p$ и $D_0u^2_{p-2}\not\equiv 9b_0^2 \;(\operatorname{mod}p) $, то кубическое уравнение (7.2) всегда имеет хотя бы один корень $\mathbf t_1\in\mathbb{Q}_p$, такой что $|\mathbf t_1|^6_p=|q-1|^2_p=|\theta-1|^3_p$; если, кроме того,
$$
\begin{equation*}
\bigl(|\mathbf D|_p=1,u_{p-2}\equiv 0 \;(\operatorname{mod}p) \bigr)\vee\bigl(0\leqslant|\mathbf D|_p<1,\,\exists\sqrt{D}\,\bigr),
\end{equation*}
\notag
$$
то это уравнение имеет еще два различных корня $\mathbf t_2,\mathbf t_3\in\mathbb{Q}_p$, таких что $|\mathbf t_2|^6_p=|\mathbf t_3|^6_p=|q-1|^2_p=|\theta-1|^3_p$; 4) если $|q|_p=1$, $|q-1|^2_p>|\theta-1|^3_p$ и ${1-q}\in\mathbb{Q}^{\,\mathrm{croot}}_p$, то кубическое уравнение (7.2) всегда имеет хотя бы один корень $\mathbf t_1\in\mathbb{Q}_p$, такой что $|\mathbf t_1|^3_p=|1-q|_p$; если, кроме того, $p \equiv 1 \;(\operatorname{mod}3) $, то это уравнение имеет еще два различных корня $\mathbf t_2,\mathbf t_3\in\mathbb{Q}_p$, таких что $|\mathbf t_2|^3_p=|\mathbf t_3|^3_p=|1-q|_p$. Доказательство. Рассмотрим по отдельности два случая: $|q|_p<1$ и $|q|_p=1$. Пусть $|q|_p<1$. Если кубическое уравнение (7.2) разрешимо в $\mathbb{Q}_p$, то
$$
\begin{equation*}
|\mathbf t|_p\,|\mathbf t^2-(\theta-1)\mathbf t-(\theta-1)|_p=|1-q|_p=1.
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку $|\theta-1|_p<1$ и ${1-q}\in\mathbb{Q}^{\,\mathrm{croot}}_p$, уравнение (7.2) всегда имеет хотя бы один корень $\mathbf t_1\in\mathbb{Q}_p$, такой что $|\mathbf t_1|_p=1$ (см. теорему 3.1 в работе [32]). Кроме того, если $p\equiv 1 \;(\operatorname{mod}3) $, то уравнение (7.2) имеет дополнительно два различных корня $\mathbf t_2,\mathbf t_3\in\mathbb{Q}_p$, таких что $|\mathbf t_2|_p=|\mathbf t_3|_p=1$ (см. теорему 3.3 в [32]). Нетрудно проверить, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, {\mathbf t^3-(\theta-1)\mathbf t^2-(\theta-1)\mathbf t+q-1}&=(\mathbf t-1)(\mathbf t^2+(2-\theta)t+3-2\theta)+q-2(\theta-1)= \\ &=(\mathbf t^2+\mathbf t+1)(\mathbf t-\theta)+\theta-1+q. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку $(\theta-1+q)(q-2(\theta-1))\neq 0$, кубические корни из 1 не являются решениями уравнения (7.2). Отсюда получаем, что $\mathbf t_1^3\neq 1$ и $\mathbf t_2^3\neq 1$, $\mathbf t_3^3\neq 1$ (если два дополнительных корня существуют). Пусть $|q|_p=1$. Согласно теоремам 3.2 и 3.3 в работе [32] уравнение (7.2) разрешимо в $\mathbb{Q}_p$, если и только если выполняется одно из следующих условий. 1. Если $|\mathbf a|_p<\sqrt{|\mathbf{b}|_p},\sqrt[3]{|\mathbf{c}|_p}<\sqrt{|\mathbf{b}|_p}$, то уравнение (7.2) всегда имеет корень $\mathbf t_1$, такой что $|\mathbf t_1|_p=|\mathbf{c}|_p/{\mathbf{b}|_p}$. Кроме того, если существует $\sqrt{-\mathbf{b}}$, то существуют два дополнительных корня $\mathbf t_2$ и $\mathbf t_3$, таких что $|\mathbf t_2|_p=|\mathbf t_3|_p=\sqrt{|b|_p}$. 2. Если $|\mathbf a|_p<\sqrt{|\mathbf{b}|_p}=\sqrt[3]{|\mathbf{c}|_p}$, $D_0u_{p-2}^2\not\equiv 9b_0^2 \;(\operatorname{mod}p) $, то уравнение (7.2) всегда имеет корень $\mathbf t_1$, такой что $|\mathbf t_1|_p=\sqrt{|\mathbf{b}|_p}=\sqrt[3]{|\mathbf{c}|_p}$. Кроме того, если
$$
\begin{equation*}
\bigl(|\mathbf D|_p=1,\,u_{p-2} \equiv 0 \;(\operatorname{mod}p) \Bigr)\vee\bigl(0\leqslant|\mathbf D|_p<1,\,\exists\sqrt{\mathbf D}\,\bigr),
\end{equation*}
\notag
$$
то существуют еще два корня $\mathbf t_2$ и $\mathbf t_3$, таких что $|\mathbf t_2|_p=|\mathbf t_3|_p=\sqrt{|\mathbf{b}|_p}=\sqrt[3]{|\mathbf{c}|_p}$. 3. Если $|\mathbf a|_p<\sqrt[3]{|\mathbf{c}|_p}$, $\sqrt{|\mathbf{b}|_p}<\sqrt[3]{|\mathbf{c}|_p}$ и существует $\sqrt[3]{-\mathbf{c}}$, то уравнение (7.2) всегда имеет корень $\mathbf t_1$, такой что $|\mathbf t_1|_p=\sqrt[3]{|\mathbf{c}|_p}$. Кроме того, если $p \equiv 1 \;(\operatorname{mod}3) $, то существуют два дополнительных корня $\mathbf t_2$ и $\mathbf t_3$, таких что $|\mathbf t_2|_p=|\mathbf t_3|_p=\sqrt[3]{|\mathbf{c}|_p}$. Теорема доказана. 8. ЗаключениеВ этой статье мы ввели функцию кубического корня над полем $\mathbb{Q}_p$ (определение 6.2) и на этой основе вычислили $p$-адические модули и все разряды корней кубического мономиального уравнения над полем $\mathbb{Q}_p$ (теорема 6.1). Эти результаты можно использовать при изучении обобщенных $p$-адических мер Гиббса на деревьях Кэли (подробности см. в [18], [22], [23], [35], [36], [39], [40]). Мы описали обобщенные трансляционно-инвариантные $p$-адические меры Гиббса для модели Поттса на дереве Кэли порядка три (теоремы 4.1 и 7.1), использовав введенную функцию кубического корня. Полученные нами результаты подтверждают и расширяют уже имеющиеся в литературе [18], [35], [36]. БлагодарностиАвторы глубоко признательны анонимному рецензенту за полезные предложения и замечания, которые улучшили представление статьи. Конфликт интересовАвторы заявляют, что у них нет конфликта интересов. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{AlpPahSab23} |
|
||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|