| Теоретическая и математическая физика |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) Модель Поттса на дереве Кэли: новый класс гиббсовских мер М. М. Рахматуллаевa, Ж. Д. Дехконовb a Институт математики им. В. И. Романовского АН РУз, Ташкент, Узбекистан b Андижанский государственный университет, Андижан, Узбекистан
Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2023, Volume 215, Issue 1, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0040577923040086 
Реферативные базы данных:
   1. ВведениеРешение задач, возникающих при исследовании термодинамических свойств физических и биологических систем, чаще всего проводится в рамках теории мер Гиббса. Мера Гиббса – это фундаментальное понятие, определяющее вероятность микроскопического состояния данной физической системы (определенной конкретным гамильтонианом). Известно, что каждой мере Гиббса сопоставляется одна фаза физической системы, и если мера Гиббса не единственна, то говорят, что существует фазовый переход. Для достаточно широкого класса гамильтонианов известно, что множество всех предельных мер Гиббса (соответствующих данному гамильтониану) образует непустое выпуклое компактное подмножество в множестве всех вероятностных мер (см., например, [1]–[3]) и каждая точка этого выпуклого множества однозначно разлагается по его крайним точкам. Хорошо известная модель ближайших соседей Поттса на дереве Кэли все еще позволяет описывать новые интересные явления (недавние результаты см., например, в [4]–[18]). В работе [19] для модели Изинга найдено множество новых мер Гиббса. В настоящей работе, как и в работе [19], мы расширяем набор известных мер Гиббса для модели Поттса. Работа имеет следующую структуру. В разделе 2 даются необходимые определения и постановка задачи. Раздел 3 посвящен изучению новых мер Гиббса. В разделе 4 дается сравнение наших мер с известными мерами Гиббса. 2. Определения и постановка задачиДерево Кэли $T^k$ порядка $k\geqslant 1$ – бесконечное дерево, т. е. граф без циклов, из каждой вершины которого выходит ровно $k+1$ ребер. Пусть $T^k=(V,L,i)$, где $V$ – множество вершин $T^k$, $L$ – его множество ребер, $i$ – функция инцидентности, сопоставляющая каждому ребру $l\in L$ его концевые точки $x, y \in V$. Если $i(l)=\{ x, y \}$, то $x$ и $y$ называются ближайшими соседями, обозначаем $l =\langle x,y\rangle $. Расстояние $d(x,y)$, $x, y \in V$, на дереве Кэли определяется формулой
$$
\begin{equation*}
d(x, y) = \min \{d\, | \,\exists x=x_0, x_1,\dots, x_{d-1}, x_d=y\in V\,\, \textrm{такие, что} \,\, \langle x_0, x_1\rangle,\dots, \langle x_{d-1}, x_d\rangle \}.
\end{equation*}
\notag
$$
Для фиксированного $x^0\in V$ обозначим $W_n = \{x\in V\, | \, d (x, x^0) =n \}$,
$$
\begin{equation*}
V_n = \{x\in V\, | \, d (x, x^0) \leqslant n \},\qquad L_n = \{l = \langle x,y\rangle \in L \, | \, x, y \in V_n \}.
\end{equation*}
\notag
$$
Для $x\in W_n$ положим $S(x)=\{y\in W_{n+1}\!: d(x, y)=1\}$. Известно, что существует взаимно однозначное соответствие между множеством $V$ вершин дерева Кэли порядка $k\geqslant 1$ и группой $G_{k}$, являющейся свободным произведением $k+1$ циклических групп второго порядка с образующими $a_1, a_2,\dots, a_{k+1}$ соответственно (см. [20]). Мы рассмотрим модель, где спиновые переменные принимают значения из множества $\Phi = \{1, 2,\dots, q \}$, $q\geqslant 2$, и расположены на вершинах дерева. Тогда конфигурация $\sigma$ на $V$ определяется как функция $x\in V\to\sigma(x) \in\Phi$; множество всех конфигураций совпадает с $\Omega =\Phi^V$. Гамильтониан модели Поттса определяется как
$$
\begin{equation}
H(\sigma)=-J\sum_{\langle x,y\rangle\in L} \delta_{\sigma(x)\sigma(y)},
\end{equation}
\tag{1}
$$
где $J\in \mathbb{R}$, $x,y$ – ближайшие соседи, $\delta_{ij}$ – символ Кронекера. Определим конечномерное распределение вероятностной меры $\mu_n$ в объеме $V_n$ как
$$
\begin{equation}
\mu_n(\sigma_n)=Z_n^{-1}\exp\biggl\{-\beta H_n(\sigma_n)+\sum_{x\in W_n}h_{\sigma(x),x} \biggr\},
\end{equation}
\tag{2}
$$
где $Z_{n}^{-1}$ – нормирующий множитель, $\{h_x=(h_{1,x},\dots,h_{q,x})\in \mathbb{R}^q,x\in V\}$ – совокупность векторов, $\beta=1/T$, $T>0$ – температура,
$$
\begin{equation*}
H_n(\sigma_n)=-J\sum_{\langle x,y\rangle\in L_n} {\delta_{\sigma(x)\sigma(y)}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Говорят, что вероятностное распределение (2) является согласованным, если для всех $n\geqslant 1$ и $\sigma_{n-1}\in \Phi^{V_{n-1}}$ справедливо равенство
$$
\begin{equation}
\sum_{\omega_{n}\in \Phi^{W_{n}}}\mu_n(\sigma_{n-1}\vee\omega_{n})=\mu_{n-1}(\sigma_{n-1}),
\end{equation}
\tag{3}
$$
где $\sigma_{n-1}\vee\omega_{n}$ – объединение конфигураций. В этом случае существует единственная мера $\mu$ на $\Phi^V$ такая, что для всех $n$ и $\sigma_n\in \Phi^{V_n}$ Такая мера называется расщепленной гиббсовской мерой, соответствующей гамильтониану (1) и векторнозначной функции $h_x$, $x\in V$. Следующее утверждение описывает условие на $h_x$, обеспечивающее согласованность $\mu_n(\sigma_n)$. Теорема 1 [20]. Вероятностное распределение $\mu_n(\sigma_n),n=1,2,\dots$, в (2) является согласованным тогда и только тогда, когда для любого $x\in V$ имеет место следующее уравнение: где функция $F\!: h=(h_1, \dots,h_{q-1})\in \mathbb{R}^{q-1}\to F(h,\theta)=(F_1,\dots,F_{q-1})\in \mathbb{R}^{q-1}$ определяется как $\theta=e^{J\beta}$, $S(x)$ – множество прямых потомков точки $x$, $\tilde{h}_x=(\tilde{h}_{1,x},\dots,\tilde{h}_{q-1,x})$ с условием Каждому решению $\tilde{h}_x$ функционального уравнения (4) соответствует одна мера Гиббса, и наоборот. А именно, для любого граничного условия $\tilde{h}_x$, удовлетворяющего функциональному уравнению (4), существует единственная мера Гиббса, которая называется расщепляющей мерой Гиббса (РМГ). Более того, согласно теореме 12.6 из [1] любая крайняя мера Гиббса является РМГ. Поскольку каждая мера Гиббса является смесью крайних мер, то проблема полного описания мер Гиббса модели Поттса сводится к описанию класса РМГ. Поэтому в данной статье мы рассматриваем только РМГ и опускаем слово расщепление. Целью работы является описание множества новых гиббсовских мер для модели Поттса на дереве Кэли. 3. Новые меры ГиббсаВ этой работе мы рассматриваем полубесконечное дерево. А именно, корень $x^{0}$ имеет $k$ ближайших соседей. Найдем новые решения функционального уравнения (4) при $q=3$. Рассмотрим следующую матрицу: где $a, b, c, d$ – целые неотрицательные числа,Эта матрица определяет, сколько раз присутствуют векторные значения $\bar{h}=(h_1,h_2)$ и $\bar{l}=(l_1,l_2)$ в множестве $S(x)$ для каждого $h_{x}\in \{\bar{h},\bar{l}\}$. Граничные условия (т. е. совокупность векторов) $h=\{h_x, x\in V\}$ определяются следующим образом: 1) если в вершине $x$ имеем $h_x=\bar{h}$, то функцию $h_y$, принимающую векторное значение на каждой вершине $y\in S(x)$, определим по правилу
$$
\begin{equation*}
h_y=\begin{cases} \bar{h} \quad \text{на}\ a\ \text{вершинах}\ S(x),\\ \bar{l} \quad \text{на}\ b\ \text{вершинах}\ S(x); \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
2) если в вершине $x$ имеем $h_x=\bar{l}$, то функция имеет значения
$$
\begin{equation*}
h_y=\begin{cases} \bar{h} \quad \text{на}\ c\ \text{вершинах}\ S(x),\\ \bar{l} \quad \text{на}\ d\ \text{вершинах}\ S(x). \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Легко видеть, что граничные условия $h_x$ (т. е. совокупность векторов) приведенной выше конструкции удовлетворяют функциональному уравнению (4), если векторы $\bar{h}=(h_1,h_2)$ и $\bar{l}=(l_1,l_2)$ удовлетворяют следующей системе уравнений:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, h_1&= a \ln\frac{\theta e^{h_1}+e^{h_2}+1}{\theta+e^{h_1}+e^{h_2}}+b \ln\frac{\theta e^{l_1}+e^{l_2}+1}{\theta+e^{l_1}+e^{l_2}},\\ h_2&= a \ln\frac{\theta e^{h_2}+e^{h_1}+1}{\theta+e^{h_1}+e^{h_2}}+b \ln\frac{\theta e^{l_2}+e^{l_1}+1}{\theta+e^{l_1}+e^{l_2}},\\ l_1&= c \ln\frac{\theta e^{h_1}+e^{h_2}+1}{\theta+e^{h_1}+e^{h_2}}+d \ln\frac{\theta e^{l_1}+e^{l_2}+1}{\theta+e^{l_1}+e^{l_2}},\\ l_2&= c \ln\frac{\theta e^{h_2}+e^{h_1}+1}{\theta+e^{h_1}+e^{h_2}}+d \ln\frac{\theta e^{l_2}+e^{l_1}+1}{\theta+e^{l_1}+e^{l_2}}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{6}
$$
где $a,b,c,d$ задаются в матрице $M$. Рассмотрим отображение $W\!: \mathbb{R}^4\rightarrow \mathbb{R}^4$, определенное в следующем виде:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, h'_1&=a \ln\frac{\theta e^{h_1}+e^{h_2}+1}{\theta+e^{h_1}+e^{h_2}}+b \ln\frac{\theta e^{l_1}+e^{l_2}+1}{\theta+e^{l_1}+e^{l_2}},\\ h'_2&= a \ln\frac{\theta e^{h_2}+e^{h_1}+1}{\theta+e^{h_1}+e^{h_2}}+b \ln\frac{\theta e^{l_2}+e^{l_1}+1}{\theta+e^{l_1}+e^{l_2}},\\ l'_1&= c \ln\frac{\theta e^{h_1}+e^{h_2}+1}{\theta+e^{h_1}+e^{h_2}}+d \ln\frac{\theta e^{l_1}+e^{l_2}+1}{\theta+e^{l_1}+e^{l_2}},\\ l'_2&= c \ln\frac{\theta e^{h_2}+e^{h_1}+1}{\theta+e^{h_1}+e^{h_2}}+d \ln\frac{\theta e^{l_2}+e^{l_1}+1}{\theta+e^{l_1}+e^{l_2}}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{7}
$$
Система (6) эквивалентна системе уравнений $h=W(h).$ Легко доказывается следующая Система уравнений (6) на множестве $I_1$ имеет следующий вид:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, h_1&= a f_\theta(h_1)+b f_\theta(l_1),\\ l_1&= d f_\theta(l_1)+c f_\theta(h_1),\\ \end{aligned}
\end{equation}
\tag{8}
$$
где $f_\theta(x)=\ln\frac{\theta e^x+2}{\theta+e^x+1}$. Легко доказывается следующая Лемма 2. Функция $f_\theta(x)$ обладает следующими свойствами. 1. Если $\theta>1$, то функция $f_\theta(x)$ возрастающая, если $\theta<1$, то функция $f_\theta(x)$ убывающая. 2. Если $\theta>1$, то $a<f_\theta(x)<A$. Если $\theta<1$, то $A<f_\theta(x)<a$, где $a=\ln{\frac{2}{\theta+1}}$, $A=\ln{\theta}$. 3. $f_\theta(0)=0$. 4. $\frac{d}{dx}f_\theta(0)=\frac{\theta-1}{\theta+2}$. Теперь изучим систему уравнений (8). Лемма 3. Независимо от параметров система уравнений (8) имеет решение $(0,0)$, и если то существует не менее трех различных решений $(0,0)$, $(h^{(1)}_1,l^{(1)}_1)$, $(h^{(2)}_1,l^{(2)}_1)$, где $h^{(1)}_1,l^{(1)}_1>0$, $h^{(2)}_1,l^{(2)}_1<0$ Доказательство. Систему (8) рассмотрим в следующих частных случаях. 1. Пусть $a=c$. Из условия леммы следует
$$
\begin{equation}
\biggl| (a+d)\biggl(\frac{\theta-1}{\theta+2}\biggr)\biggr| >1.
\end{equation}
\tag{9}
$$
Известно, что $a+d=k$, а так как $\theta>1$, то неравенство (9) имеет следующий вид: При $a=c$ из системы (8) получим следующую систему:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, h_1&= a f_\theta(h_1)+b f_\theta(l_1),\\ l_1&= b f_\theta(l_1)+a f_\theta(h_1),\\ \end{aligned}
\end{equation}
\tag{11}
$$
из которой следует, что $h_1=l_1$. В результате получим Из работы [8] известно, что уравнение (12) при условии $\theta>\theta_\mathrm{cr}=(k+2)/(k-1)$ имеет не менее трех решений. Значит, при выполнении условия леммы система (8) имеет не менее трех решений. 2. Пусть $a=0$. В этом случае из первого уравнения системы (8) имеем равенство $h_1= b f_{\theta}(l_1)$, где $b=k$. Тогда из второго уравнения получаем следующее равенство:
$$
\begin{equation}
l_1=g_\theta(l_1)= c f_{\theta}(k f_{\theta}(l_1))+d f_{\theta}(l_1).
\end{equation}
\tag{13}
$$
Используя лемму 2, можно заключить, что
$$
\begin{equation*}
g_\theta(0)=0, \qquad \frac{d}{dx}g_\theta(0)=ck\biggl(\frac{\theta-1}{\theta+2}\biggr)^2+d \biggl(\frac{\theta-1}{\theta+2}\biggr)
\end{equation*}
\notag
$$
и $g_\theta(l_1)$ является ограниченной функцией от $l_1$. Кроме того, если $\big| \frac{d}{dx}g_\theta(0)\big|>1$ (т. е. $0$ – неустойчивая фиксированная точка $g$), то существует достаточно малая окрестность нуля $(-\varepsilon,\varepsilon)$ такая, что $g_\theta(l_1)<l_1$ при $l_1\in(-\varepsilon,0)$ и $g_\theta(l_1)>l_1$ при $l_1\in(0,\varepsilon)$. Для $l_1\in(0,\varepsilon)$ итерации $g_\theta^n(l_1)$ остаются больше нуля, монотонно возрастают и, следовательно, сходятся к пределу $l^{(1)}_1>0$, который является решением уравнения (13). Однако $l^{(1)}_1>0$, так как точка $0$ неустойчива. Для $l_1\in(-\varepsilon,0)$ итерации $g_\theta^n(l_1)$ остаются меньше нуля, монотонно убывают и, следовательно, сходятся к пределу $l^{(2)}_1<0$, который является решением уравнения (13). Однако $l^{(2)}_1<0$, так как точка $0$ неустойчива. Таким образом, если выполняются условия $\big| \frac{d}{dx}g_\theta(0)\big|>1$, то система (8) имеет не менее трех решений которые, имеют следующий вид:
$$
\begin{equation*}
(0,0),\quad (kf_\theta(l^{(1)}_1),l^{(1)}_1),\quad (kf_\theta(l^{(2)}_1),l^{(2)}_1).
\end{equation*}
\notag
$$
3. Пусть $b=0$. Тогда из системы уравнений (8) имеем систему
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, h_1&= k f_\theta(h_1),\\ l_1&= d f_\theta(l_1)+c f_\theta(h_1). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{14}
$$
Первое уравнение этой системы имеет решение $h_1=0$ независимо от переменной $\theta$. Используя это решение, второе уравнение системы (14) приводим к виду которое имеет не менее трех решений в точке $\theta>(d+2)/(d-1)$ [8]. Итак, при выполнении условия $b=0$, т. е. $\theta>(d+2)/(d-1)$, система (8) имеет не менее трех решений. 4. Пусть $ab\neq 0$. В этом случае из первого уравнения (8) получим равенство Отсюда, используя второе уравнение, имеем
$$
\begin{equation*}
l_1=\phi_\theta(h_1)= c f_{\theta}(h_1)+\frac{d}{b}(h_1-af_\theta(h_1))=\frac{1}{b}((bc-ad)f_\theta (h_1)+dh_1).
\end{equation*}
\notag
$$
В результате первое уравнение системы (8) можно записать в виде
$$
\begin{equation}
h_1=\psi_\theta(h_1)=af_\theta(h_1)+bf_\theta \biggl(\frac{1}{b}((bc-ad)f_\theta (h_1)+dh_1)\biggr).
\end{equation}
\tag{16}
$$
Ясно, что при $\psi_\theta(0)=0$ и при выполнении аналогичных равенств в случае $a=0$ уравнение (16) может иметь не менее трех решений при выполнении условия
$$
\begin{equation*}
\biggl| \frac{d}{dx}\psi_\theta(0)\biggr| =\biggl| (bc-ad)\biggl(\frac{\theta-1}{\theta+2}\biggr)^2+(a+d)\biggl(\frac{\theta-1}{\theta+2}\biggr)\biggr| >1.
\end{equation*}
\notag
$$
Итак, система (8) имеет по крайней мере три решения: Замечание 1. При выполнении условия леммы 3 система (8) также может иметь более трех решений. Например, при $b=0$ получается решение $h_1=0$ – решение первого уравнения системы уравнений (14). В общем случае это уравнение может иметь другое решение в условиях леммы. Система уравнений (6) на множестве $I_2$ имеет следующий вид:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, h_2&= a z_\theta(h_2)+b z_\theta(l_2),\\ l_2&= c z_\theta(h_2)+d z_\theta(l_2), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{17}
$$
где $z_\theta(x)=\ln\frac{\theta e^x+2}{\theta+e^x+1}$. Изучим систему уравнений (17). Лемма 4. Независимо от параметров система уравнений (17) имеет решение $(0,0)$, и если то существует не менее трех различных решений $(0,0)$, $(h^{(1)}_2,l^{(1)}_2)$, $(h^{(2)}_2,l^{(2)}_2)$, где $h^{(1)}_2,l^{(1)}_2>0$, $h^{(2)}_2,l^{(2)}_2<0$. Доказательство леммы 4 аналогично доказательству леммы 3. Система уравнений (6) на множестве $I_3$ имеет следующий вид:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, h_1&= a \varphi_\theta(h_1)+b \varphi_\theta(l_1),\\ l_1&= c \varphi_\theta(h_1)+d \varphi_\theta(l_1), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{18}
$$
где $\varphi_\theta(x)=\ln\frac{(\theta+1) e^x+1}{\theta+2 e^x}$. Легко доказывается следующая Лемма 5. Функция $\varphi_\theta(x)$ обладает следующими свойствами. 1. Если $\theta>1$, то функция $\varphi_\theta(x)$ возрастающая, а если $\theta<1$, то функция $\varphi_\theta(x)$ убывающая. 2. Если $\theta>1$, то $a<\varphi_\theta(x)<A$. Если $\theta<1$, то $A<\varphi_\theta(x)<a$, где $a=\ln \frac{1}{\theta}$, $A=\ln\frac{\theta+1}{2}$. 3. $\varphi_\theta(0)=0$. 4. $\frac{d}{dx}\,\varphi_\theta(0)=\frac{\theta-1}{\theta+2}$, $0<\frac{d}{dx}\,\varphi_\theta(x)<\frac{\theta-1}{\theta+2}$, $\theta >1$. Отметим, что системы уравнений (18) и (8) одинаковы, но функции $f_\theta(x)$ и $\varphi_\theta(x)$ разные. Аналогично рассуждая, легко доказать следующую лемму. Лемма 6. Независимо от параметров система уравнений (18) имеет решение $(0,0)$, и если то существует не менее трех различных решений $(0,0)$, $(h^{(1)}_1,l^{(1)}_1)$, $(h^{(2)}_1,l^{(2)}_1)$, где $h^{(1)}_1,l^{(1)}_1>0$, $h^{(2)}_1,l^{(2)}_1<0$. Замечание 2. При выполнении условия леммы 6 система (18) также может иметь более трех решений. Например, при $b=0$ получается решение $h_1=0$ – решение первого уравнения системы (18). В общем случае это уравнение может иметь другое решение в условиях леммы 6. Объединяя леммы 3, 4 и 6, получим следующую теорему. Теорема 2. Если параметры $a,b,c,d$ и $\theta$ удовлетворяют условиям Отметим, что мера Гиббса, соответствующая решению $(0,0,0,0)$ системы уравнений (6), является трансляционно-инвариантной. Меры Гиббса, соответствующие полученной в теореме 2 совокупности векторов, удовлетворяющих функциональному уравнению (4), $\bar{h}=(h_1,h_2)$ и $\bar{l}=(l_1,l_2)$, обозначим через $\mu_{h,l}$. 4. Сравнение меры $\mu_{{h},{l}}$ с известными мерами Гиббса4.1. Трансляционно-инвариантные мерыТрансляционно-инвариантные меры (см., например, [8], [9]) соответствуют $h_x \equiv h=(h_1,\dots,h_{q-1})\in \mathbb R^{q-1}$, т. е. постоянным функциям. Эти меры являются частными случаями мер, упомянутых в теореме 2, которые могут быть получены при $a=c$ и $\bar{h}=\bar{l}$. В этом случае система (6) имеет вид Из работы [8] известно, что уравнение (19) имеет три различных решения $h=0, h_1,h_2$ ($h_1>0,h_2<0$), если $\theta>\theta_\mathrm{cr}=(k+2)/(k-1)$. Отметим, что при выполнение условия теоремы 2 также выполняется условие $\theta>\theta_\mathrm{cr}=(k+2)/(k-1)$. 4.2. Конструкция Акина–Розикова–ТемираВ работе [21] авторы построили некоторые меры Гиббса (меры Гиббса, полученные Акином, Розиковым и Темиром, далее называем конструкцией АРТ) для модели Изинга на дереве Кэли. В работе [12] авторы с помощью конструкции АРТ построили новые меры Гиббса для модели Поттса на дереве Кэли. Пусть $\tilde{h}$ – граничное условие, удовлетворяющее (4) на $T^{k_{0}}$. Для $k\geqslant k_0$ определим следующее граничное условие на $T^k$:
$$
\begin{equation}
\tilde{h}_x=\begin{cases} h, & x\in V^{k_0},\\ 0, & x\in V^k\setminus V^{k_0}, \end{cases}
\end{equation}
\tag{20}
$$
где $V^k$ обозначает множество вершин $T^k$. А именно, к каждой вершине $V^{k_0}$ добавляется $k-k_0$ последователей с нулевым значением граничного условия. Очевидно, что граничное условие $\tilde{h}$ удовлетворяет уравнению (4). В случае, когда мера $h$ трансляционно-инвариантна на множестве $T^{k_0}$, соответствующие меры этой конструкции могут быть получены согласно теореме 2 при $a=k_0$, $b=k-k_0$ и $l=0$ (см. пример на рис. 1). Однако в случае, когда мера $\tilde{h}$ не является трансляционно-инвариантной, меры АРТ на дереве Кэли $T^k$ не совпадают с мерами из теоремы 2. 4.3. $(k_0)$-Трансляционно-инвариантная мера ГиббсаПусть $q=3$, $k_0<k$ и векторы $\bar{h}_1, \bar{h}_2$ соответствуют трансляционно-инвариантной мере Гиббса на дереве Кэли порядка $k_0$ (см. [12], [13]). С помощью вектора $\bar{h}_1, \bar{h}_2$ на дереве Кэли порядка $k$ строим совокупность векторов $h_x\!:V \to \mathbb{R}$ следующим образом. Пусть $k=p+q+k_0$, $p,q\in \mathbb{N}$. Если на вершине $x\in V$ имеем $h_x=\bar{h}_1$, то вершинам $S_{p+k_0}(x)$ сопоставляем векторы $h_x=\bar{h}_1,$ остальным вершинам $S_{q}(x)$ сопоставляем векторы $h_x=\bar{h}_2$. Если на вершине $x\in V$ имеем $h_x=\bar{h}_2$, то вершинам $S_{q+k_0}(x)$ сопоставляем векторы $h_x=\bar{h}_2$, остальным вершинам $S_{p}(x)$ сопоставляем векторы $h_x=\bar{h}_1$ (см. рис. 2). Определение 1. Для модели Поттса мера, соответствующая совокупности векторов, построенных по преведенным выше правилам, называется $(k_0)$-трансляционно-инвариантной мерой Гиббса. В случае $k_0=2$ и для фиксированных $\bar{h}_1$, $\bar{h}_2$ в работе [12] доказано существование не менее двух $(2)$-трансляционно-инвариантных мер Гиббса. Заметим, что эти $(2)$-трансляционно-инвариантные меры Гиббса являются частными случаями мер из теоремы 2, которые могут быть получены при $a=p+2$, $b=q$, $d=p$, $c=q+2$. 4.4. Периодические меры ГиббсаПусть $G_k/\hat{G}_k = \{H_1,\dots,H_r\}$ – фактор-группа, где $\hat{G}_k$ – нормальная подгруппа индекса $r\geqslant 1$. Определение 2. Совокупность векторов $h = \{h_x \!: x\in G_k\}$ называется $\hat{G}$-периодической, если $h_{x}=h_i$ при $x\in H_i$ для любых $x\in G_k$. Пусть $G_k^{(2)}=\{x\in G_k\! : \text{длина слова} \,\, x \,\, \text{четна}\}$, тогда $G_k^{(2)}$-периодическая совокупность векторов имеет следующий вид:
$$
\begin{equation}
h_x=\begin{cases} h, & \text{если}\,\,\, x \in G^{(2)}_ k,\\ l, & \text{если}\,\,\, x \in G_k\backslash G^{(2)}_ k. \end{cases}
\end{equation}
\tag{21}
$$
Пусть $h=(h_1,h_2)$, $l=(l_1,l_2)$, тогда из (4) имеем
$$
\begin{equation}
\begin{cases} h_i=k\ln\frac{(\theta-1)e^{l_i}+\sum_{i=1}^{2}e^{l_j}+1}{\sum_{i=1}^{2}e^{l_j}+\theta}, \\ l_i=k\ln\frac{(\theta-1)e^{h_i}+\sum_{i=1}^{2}e^{h_j}+1}{\sum_{i=1}^{2}e^{h_j}+\theta}, \end{cases} \qquad i=1,2.
\end{equation}
\tag{22}
$$
Введем обозначения $e^{h_i} = x_i$, $e^{l_i} = y_i$. Мы можем переписать последнюю систему уравнений для $i = 1,2$:
$$
\begin{equation}
\begin{cases} x_i=\Bigl(\frac{(\theta-1) y_i+\sum_{i=1}^{2}(y_j)+1}{\sum_{i=1}^{2} (y_j)+\theta}\Bigr)^k, \\ y_i=\Bigl(\frac{(\theta-1)x_i+\sum_{i=1}^{2}(x_j)+1}{\sum_{i=1}^{2}(x_j)+\theta}\Bigr)^k. \end{cases}
\end{equation}
\tag{23}
$$
В случае $k = 2, q = 3$ и $J < 0$ доказано, что все $G_{k}^{(2)}$-периодические меры Гиббса на основе инварианта $I=\{(x_1,x_2,y_1,y_2)\in \mathbb{R}^4\colon x_1=x_2, y_1=y_2\}$ являются трансляционно-инвариантными (см. [6]). В случае $k\geqslant 1$, $q=3$ и $J > 0$ доказано, что все $G_k^{(2)}$-периодические меры Гиббса являются трансляционно-инвариантными (см. [6]). В случае $k\geqslant3,q=3$ доказано, что система уравнений (23) на
$$
\begin{equation*}
I_0=\{z=(u,v)\in \mathbb{R}^2\colon x_1=x,y_1=y;x_2=y_2=1\}
\end{equation*}
\notag
$$
имеет не менее трех решений при $0<\theta<(k-2)/(k+1)$ (см. [7]). Заметим, что эти меры являются частными случаями мер из теоремы 2, которые соответствуют решению системы уравнений (6) при $a=0$, $b=k$ и $c=k$, $d=0$ (см. рис. 3 при $k = 3$). 4.5. Слабо периодические меры ГиббсаСледуя [14]–[16], напомним понятие слабо периодической меры Гиббса. Определение 3. Совокупность векторов $h = \{h_x, x\in G_k\}$ называется $G_k$-слабо периодической, если $h_x = h_{ij}$ при $x\in H_i, x_\downarrow\in H_j$, для любых $x\in G_k$, где через $x_\downarrow$ обозначен предок $x$. Слабо периодические граничные условия $h$ совпадают с периодическими, если $h_x$ не зависит от $x_\downarrow$. Напомним результаты, известные для нормальной подгруппы индекса $2$. Заметим, что любая подгруппа индекса $2$ имеет вид
$$
\begin{equation}
H_{A}=\biggl\{x\in G_k:\sum_{i\in A}w_x(a_i)\,\, \text{четно}\biggr\},
\end{equation}
\tag{24}
$$
где $\varnothing \neq A\subseteq N_k=\{1,2,\dots,k+1\}$, а $\omega_x(a_i)$ – количество $a_i$ в слове $x\in G_k$. Рассмотрим $A\neq N_k$. Пусть $G_k /H_A = \{H_0,H_1\}$ – фактор-группа, где $H_0=H_A, H_1=G_k\backslash H_A$. Тогда в силу (4) $H_A$-слабо периодические совокупности векторов
$$
\begin{equation}
h_x= \begin{cases} h_1, & {x \in H_0, \, x_{\downarrow} \in H_0}, \\ h_2, & {x \in H_0, \, x_{\downarrow} \in H_1}, \\ h_3, & {x \in H_1, \, x_{\downarrow} \in H_0}, \\ h_4, & { x\in H_1, \, x_{\downarrow} \in H_1}, \end{cases}
\end{equation}
\tag{25}
$$
удовлетворяют следующей системе уравнений:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, h_{1}&=(k-| A|)f_\theta(h_{1})+| A| f_\theta(h_{2}), \\ h_{2}&=(| A|-1)f_\theta(h_{3})+(k+1-| A|)f_\theta(h_{4}), \\ h_{3}&=(| A|-1)f_\theta(h_{2})+(k+1-| A|)f_\theta(h_{1}), \\ h_{4}&=(k-|A|)f_\theta(h_{4})+| A| f_\theta(h_{3}). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{26}
$$
Очевидно, что относительно оператора $W\!:\mathbb{R}^4\to \mathbb{R}^4$ инвариантами, определяемыми правыми частями (26), являются следующие множества:
$$
\begin{equation*}
I_1 =\{h\in \mathbb{R}^4\!: h_1=h_2=h_3=h_4\},\qquad I_2=\{h\in \mathbb{R}^4\!: h_1=h_4; h_2=h_3\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что это, во-первых, меры, соответствующие решениям на $I_1$, являющиеся трансляционно-инвариантными, т. е. частными случаями мер, указанных в теореме 2, а во-вторых, меры, соответствующие решениям на $I_2$, слабо периодические, которые совпадает с мерами, приведенными в теореме 2, при $ a=k-|A|, b=|A|, c=k+1-|A|,d=|A|-1$ (см. рис. 4 при $k = 3$, $|A|=1$). Система (26) решена только в случаях $|A|=1$ и $|A|=k$ (см. [14]–[16]). Таким образом, теорема 2 дает, в частности, новые слабо периодические меры Гиббса. Конфликт интересовАвторы заявляют, что у них нет конфликта интересов.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{RahDek23} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|