| Теоретическая и математическая физика |
|
|
|
|
|
Новый тип многокомпонентной иерархии дискретных солитонных уравнений и ее применение Чжэнь-Бо Ванa, Хай-Фэн Ванb, Юй-Фэн Чжанa a School of Mathematics, China University of Mining and Technology, Xuzhou, China b School of Science, Jimei University Xiamen, Fujian, China
Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2023, Volume 215, Issue 3, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0040577923060065 
Реферативные базы данных:
   1. ВведениеХорошо известно, что непрерывные и дискретные интегрируемые системы играют важную роль в математике и физике. Знаменитыми примерами непрерывных интегрируемых систем являются уравнение Кортевега–де Фриза (КдФ) и нелинейное уравнение Шредингера. Дискретные интегрируемые системы включают в себя знаменитую цепочку Тоды и цепочку Вольтерры, имеющие важные физические приложения. Существуют эффективные методы построения нелинейных непрерывных и дискретных интегрируемых моделей, например метод пар Лакса [1], [2], схема Ту [3], [4], $R$-матричный подход [5], [6], алгебраический подход [7], [8], систематический подход, связанный с генераторами иерархии [9]. В последнее время важной темой стало изучение интегрируемых связей непрерывных и дискретных солитонных уравнений. Интегрируемые связи можно строить с использованием теории возмущений [10]–[12], путем расширения спектральных задач [13], [14], задания новых алгебр Ли [15]–[22] и другими методами. С их помощью были получены многие классические изоспектральные и неизоспектральные интегрируемые связи для непрерывных солитонных уравнений, таких как иерархии КдФ, Вадати–Коно–Итикавы, Каупа–Ньюэлла и Абловица–Каупа–Ньюэлла–Сигура [17], [23]–[27]. Однако имеется не так много работ, посвященных интегрируемым связям дискретных солитонных уравнений (см., например, работы [4], [28]–[31]). В работе [32] Ма и его соавторы предложили метод построения интегрируемых связей дискретных солитонных уравнений, в котором используется полупрямая сумма $ \kern1.1pt\overline{\kern-1.4pt G\kern-0.5pt}\kern0.8pt $ алгебр Ли, образованная матрицами, имеющими следующий треугольный блочный вид:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \kern1.1pt\overline{\kern-1.4pt G\kern-0.5pt}\kern0.8pt =G+G_{\mathrm c},\qquad G=\operatorname{diag}(\,\overbrace{A,\ldots,A}^{\mu}\,,\,\overbrace{0,\ldots,0}^{\nu-\mu+1}\,), \\ G_{\mathrm c}=\begin{bmatrix} \;\;0 & & & & \\ & \ddots & & & \kern-34pt B_{i,j}\\ & & 0 &\\ & & & B_{\mu+1,\mu+1} &\\ & 0 & & \kern14pt \ddots&\\ & & &&\kern-12pt B_{\nu+1,\nu+1}\;\; \end{bmatrix}, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{1}
$$
где $A$, $B_{i,i}$ – квадратные матрицы одного размера, блоки $B_{i,j}$ с $j<\mu+1$ квадратные, блоки $B_{i,j}$ с $j>\mu$ могут быть неквадратными. В работе [32] на основе полупрямой суммы $ \kern1.1pt\overline{\kern-1.4pt G\kern-0.5pt}\kern0.8pt $ алгебр Ли была выведена интегрируемая связь второго порядка для обобщенной иерархии цепочки Тоды. Опираясь на этот подход, Ван и Чжан [33] построили новую неполупростую алгебру Ли $\hat g$ и предложили новый метод получения интегрируемых $Z_N^\varepsilon$-связей непрерывных солитонных уравнений. Как следствие были получены многокомпонентные изоспектральные интегрируемые связи иерархии мКдФ и неизоспектральные интегрируемые связи иерархии Абловица–Каупа–Ньюэлла–Сигура. Неполупростая алгебра Ли $\hat g$ образована матрицами вида
$$
\begin{equation}
M(A_1,A_2,\ldots,A_N)=\begin{pmatrix} A_1 & \varepsilon A_N & \varepsilon A_{N-1} & \ldots & \varepsilon A_2 \\ A_2 & A_1 & \varepsilon A_N & \ddots & \vdots \\ A_3 & A_2 & A_1 & \ddots & \varepsilon A_{N-1} \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \varepsilon A_N \\ A_N & \ldots & A_3 & A_2 & A_1 \end{pmatrix},
\end{equation}
\tag{2}
$$
где $A_m$ ($1\leqslant m\leqslant N$) – произвольные квадратные матрицы размера $N\times N$. Удобно записать элемент алгебры $\hat g$ как вектор $M(A_1,A_2,\ldots,A_N)=[A_1,\ldots ,A_N]^{\mathrm T}$ с матричными компонентами. При $\varepsilon=0$ неполупростую алгебру Ли $\hat g$ можно свести к алгебре Ли $ \kern1.1pt\overline{\kern-1.4pt G\kern-0.5pt}\kern0.8pt $. При $N=2$ она сводится к неполупростой алгебре Ли $\bar g$ [34]. В настоящей статье мы представляем метод построения многокомпонентной интегрируемой иерархии дискретных солитонных уравнений на основе неполупростой алгебры Ли $\hat g$. Рассматривая модифицированную спектральную задачу Тоды, мы получаем многокомпонентную интегрируемую иерархию решеточных уравнений, содержащую две произвольные константы. При различных значениях констант ее можно свести к двум многокомпонентным интегрируемым системам. Статья организована следующим образом. В разделе 2 мы приводим стандартную процедуру построения изоспектральных и неизоспектральных многокомпонентных интегрируемых иерархий дискретных солитонных уравнений. В разделе 3 мы рассматриваем модифицированную спектральную задачу Тоды. Увеличивая пространственную спектральную матрицу $U$ до матрицы размера $4\times4$ и решая дискретное уравнение нулевой кривизны соответствующей расширенной спектральной задачи, мы получаем интегрируемую связанную $Z_2^\varepsilon$-систему типа решеточной обобщенной цепочки Тоды, которая в частных случаях сводится к знаменитой цепочке Тоды и релятивистской цепочке Тоды. В разделе 4 мы получаем новую многокомпонентную интегрируемую иерархию обобщенных решеточных уравнений Тоды путем увеличения спектральной матрицы $U$ до спектральной матрицы размера $N\times N$. Раздел 5 содержит некоторые выводы и обсуждения. 2. Многокомпонентная интегрируемая иерархия дискретных солитонных уравненийВ этом разделе мы описываем стандартную процедуру построения многокомпонентной интегрируемой иерархии дискретных солитонных уравнений на основе алгебры Ли $\hat g$. Рассмотрим дискретную пространственную спектральную задачу $E\phi=U(u,\lambda)\phi$ и увеличим спектральную матрицу $U$ до матрицы размера $N\times N$:
$$
\begin{equation*}
\widehat U(\hat u,\lambda)=\widehat U(u_1,u_2\ldots,u_N,\lambda)=[U_1(u_1,\lambda),U_2(u_2,\lambda),\ldots,U_N(u_n,\lambda)]^{\mathrm T},
\end{equation*}
\notag
$$
где $\lambda$ – спектральный параметр, $U_m$ ($1\leqslant m\leqslant N$) – спектральные матрицы того же размера, что и $U$, $u_m$ ($1\leqslant m\leqslant N$) – потенциалы и $\phi$ – собственная функция. В результате получаем новую дискретную пространственную спектральную задачу, связанную с алгеброй Ли $\hat g$: Возьмем частное решение
$$
\begin{equation*}
\widehat W(\hat u,E\hat u,E^{-1}\hat u,\ldots;\lambda)=[W_1,W_2,\ldots,W_N]^{\mathrm T}
\end{equation*}
\notag
$$
дискретного неизоспектрального стационарного уравнения нулевой кривизны
$$
\begin{equation}
(E\widehat W\,)\widehat U-\widehat U\widehat W=U_{\lambda}\lambda_t,\qquad \lambda_t=f(\lambda).
\end{equation}
\tag{4}
$$
Преобразуя это уравнение, получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &(EW_1)U_1-U_1W_1+\varepsilon\sum_{\substack{m+n=N+2,\\ 2\leqslant m,n\leqslant N}}[(EW_m)U_n-U_nW_m]= \frac{\partial U_1}{\partial\lambda}\lambda_t, \\ &\sum_{\substack{i+j=3,\\ 1\leqslant i,j\leqslant 2}}[(EW_i)U_j-U_jW_i]+ \varepsilon\sum_{\substack{m+n=N+3,\\ 3\leqslant m,n\leqslant N}}[(EW_m)U_n-U_nW_m]= \frac{\partial U_2}{\partial \lambda}\lambda_t, \\ &\qquad\qquad\qquad \ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots, \\ &\sum_{\substack{i+j=k+1,\\ 1\leqslant i,j\leqslant k}}[(EW_i)U_j-U_jW_i]+ \varepsilon\sum_{\substack{m+n=N+k+1,\\ k+1\leqslant m,n\leqslant N}}[(EW_m)U_n-U_nW_m]= \frac{\partial U_k}{\partial \lambda}\lambda_t, \\ &\qquad\qquad\qquad \ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots, \\ &\sum_{\substack{i+j=N,\\ 1\leqslant i,j\leqslant N-1}}[(EW_i)U_j-U_jW_i]+\varepsilon [(EW_N)U_N-U_NW_N]= \frac{\partial U_{N-1}}{\partial \lambda}\lambda_t, \\ &\sum_{\substack{i+j=N+1,\\ 1\leqslant i,j\leqslant N}}[(EW_i)U_j-U_jW_i]= \frac{\partial U_N}{\partial \lambda}\lambda_t. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5}
$$
Решая эти уравнения, выводим рекуррентные соотношения. Когда $\lambda_t=0$, получаем изоспектральный случай. Далее введем временны́е спектральные задачи с матрицами Лакса
$$
\begin{equation*}
\widehat V^{[m]}(\hat u,E\hat u,E^{-1}\hat u,\ldots;\lambda)=(\lambda^{km+n}\widehat W\,)_{+}+\bigtriangleup_m\in\hat g,\qquad m\geqslant 0,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\bigtriangleup_m$ называется модифицирующим членом, который вводится, чтобы гарантировать выполнение дискретного неизоспектрального уравнения нулевой кривизны
$$
\begin{equation}
\widehat U'(u)[K]+\widehat U_{\lambda}\lambda _t=(E\widehat V^{[m]})\widehat U-\widehat U\widehat V^{[m]}.
\end{equation}
\tag{7}
$$
Здесь $U'(u)[K]$ – производная Гато матрицы $U(u)$, т. е.
$$
\begin{equation*}
U'(u)[K]=\frac{\partial}{\partial\varepsilon}\,U(u+\varepsilon K)\big|_{\varepsilon=0}= \frac{\partial}{\partial\varepsilon}\,U(u_1+\varepsilon K,u_2+\varepsilon K,\ldots,u_N+\varepsilon K)\big|_{\varepsilon=0}.
\end{equation*}
\notag
$$
В изоспектральном случае $\lambda _t=0$ имеем
$$
\begin{equation}
\widehat U_{t_m}=(E\widehat V^{[m]})\widehat U-\widehat U\widehat V^{[m]}.
\end{equation}
\tag{8}
$$
Решая неизоспектральное дискретное уравнение нулевой кривизны, можно получить многокомпонентную интегрируемую иерархию дискретных солитонных уравнений
3. Обобщенные интегрируемые $Z_2^\varepsilon$-связи решеточной иерархии цепочки ТодыНапомним обобщенную иерархию Тоды (см. [32]). Дискретная пространственная спектральная задача имеет вид
$$
\begin{equation}
E\varphi=U(u,\lambda)\varphi,\qquad U(u,\lambda)= \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ (\alpha \lambda+\beta)r & \lambda+s \end{bmatrix},
\end{equation}
\tag{10}
$$
где $E$ – оператор сдвига,
$$
\begin{equation*}
(E^mx)(n)=x^{(m)}(n)=x(m+n),\qquad m,n\in\mathbb{Z},\qquad x\colon\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{R};
\end{equation*}
\notag
$$
при этом обратный к дифференциальному оператору $E-1$ задается как
$$
\begin{equation*}
(E-1)^{-1}=\frac{1}{2}\biggl(\,\sum_{k=-\infty}^{-1}-\sum_{k=0}^{+\infty}\;\biggr)E^k.
\end{equation*}
\notag
$$
В задаче (10) $\lambda$ – спектральный параметр, $u=[r,s]^{\mathrm T}$, $\alpha$ и $\beta$ – две произвольные постоянные, удовлетворяющие условию $\alpha^2+\beta^2\neq 0$. При $\alpha =0$, $\beta=1$ уравнение (10) приобретает вид классической спектральной задачи Тоды [35]. Сначала рассмотрим неполупростую алгебру Ли $\tilde g$ (см. работу [34]), образованную квадратными матрицами вида
$$
\begin{equation*}
M(A,B)=\begin{bmatrix} A & \varepsilon B \\ B & A \end{bmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
На основе этой алгебры Ли $\tilde g$ можно расширить пространственную спектральную задачу $E\varphi=U(u,\lambda)\varphi$ до задачи с дополнительной матрицей $U_{\mathrm a}$ размера $2\times 2$:
$$
\begin{equation}
E\phi= \widetilde U(\tilde u,\lambda)\phi,\qquad \widetilde U=\begin{bmatrix} U & U_{\mathrm a} \\ \varepsilon U_{\mathrm a} & U \end{bmatrix},
\end{equation}
\tag{11}
$$
где $[r,s,p,q]^{\mathrm T}$ – потенциал, $\phi=[\phi_1,\phi_2,\phi_3,\phi_4]^{\mathrm T}$ – собственная функция,
$$
\begin{equation*}
U_{\mathrm a}=\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ (\alpha\lambda+\beta)p & \lambda+q \end{bmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
Всюду далее мы полагаем, что $\varepsilon\neq 1$. Изоспектральное стационарное дискретное уравнение нулевой кривизны
$$
\begin{equation}
(E\widetilde W\,)\widetilde U-\widetilde U\widetilde W=0
\end{equation}
\tag{12}
$$
имеет частное решение $\widetilde W$ вида
$$
\begin{equation*}
\widetilde W=\begin{bmatrix} W & W_{\mathrm a} \\ \varepsilon W_{\mathrm a} & W \end{bmatrix},
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
W=\begin{bmatrix} a & \phantom{-}b \\ (\alpha\lambda+\beta)c & -a \end{bmatrix},\qquad W_{\mathrm a}=\begin{bmatrix} e & \phantom{-}f \\ (\alpha\lambda+\beta)g & -e \end{bmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда имеем систему
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &(EW)U+\varepsilon (EW_{\mathrm a})U_{\mathrm a}-UW-\varepsilon U_{\mathrm a}W_{\mathrm a}=0, \\ &(EW)U_{\mathrm a}+(EW_{\mathrm a})U-UW_{\mathrm a}-U_{\mathrm a}W=0, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{13}
$$
решая которую, получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &rb^{(1)}-c+\varepsilon pf^{(1)}-\varepsilon g=0, \\ &a^{(1)}+a+\lambda b^{(1)}+sb^{(1)}+\varepsilon[e^{(1)}+e+\lambda f^{(1)}+qf^{(1)}]=0, \\ &\alpha \lambda(c^{(1)}-rb)+\beta(c^{(1)}-rb)-\lambda(a^{(1)}-a)-s(a^{(1)}-a)+{} \\ &\kern31pt+\varepsilon[\alpha\lambda (g^{(1)}-pf)+\beta(g^{(1)}-pf)-\lambda(e^{(1)}-e)-s(e^{(1)}-e)]=0, \\ &pb^{(1)}-c+rf^{(1)}-g=0, \\ &a^{(1)}+a+e^{(1)}+e+\lambda b^{(1)}+qb^{(1)}+\lambda sf^{(1)}+sf^{(1)}=0, \\ &\alpha\lambda(c^{(1)}-rf)+\beta(c^{(1)}-rf)-\lambda(a^{(1)}-a)-q(a^{(1)}-a)+{} \\ &\kern31pt+\alpha\lambda(g^{(1)}-pb)+\beta(g^{(1)}-pb)-\lambda(e^{(1)}-e)-q(e^{(1)}-e)=0. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{14}
$$
Подставим в (14) разложения в ряды Лорана
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{5} a&=\sum_{i\geqslant 0}a_i\lambda^{-i},&\qquad b&=\sum_{i\geqslant 0}b_i\lambda^{-i},&\qquad c&=\sum_{i\geqslant 0}c_i\lambda^{-i}, \\ e&=\sum_{i\geqslant 0}e_i\lambda^{-i},&\qquad f&=\sum_{i\geqslant 0}f_i\lambda^{-i},&\qquad g&=\sum_{i\geqslant 0}g_i\lambda^{-i} \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
и получим следующие рекуррентные соотношения: для $i\geqslant 0$
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &rb_{i+1}^{(1)}-c_{i+1}+\varepsilon pf_{i+1}^{(1)}-\varepsilon g_{i+1}=0, \\ &a_i^{(1)}+a_i+b_{i+1}^{(1)}+sb_i^{(1)}+\varepsilon [ e_i+e_i+f_{i+1}^{(1)}+qf_i^{(1)}]=0, \\ &a_{i+1}^{(1)}-a_{i+1}+s(a_i^{(1)}-a_i)+\alpha(rb_{i+1}-c_{i+1}^{(1)})+\beta(rb_i-c_i^{(1)})+{} \\ &\qquad +\varepsilon[e_{i+1}^{(1)}-e_{i+1}+q(e_i^{(1)}-e_i)+\alpha(pf_{i+1}-g^{(1)}_{i+1})+\beta(pf_i-g_i^{(1)})]=0, \\ &pb_{i+1}^{(1)}-c_{i+1}+rf_{i+1}^{(1)}-g_{i+1}=0, \\ &a_i^{(1)}+a_i+b_{i+1}^{(1)}+qb_i^{(1)}+e_i+e_i+f_{i+1}^{(1)}+sf_i^{(1)}=0, \\ &a_{i+1}^{(1)}-a_{i+1}+q(a_i^{(1)}-a_i)+\alpha(rf_{i+1}-c_{i+1}^{(1)})+\beta(rf_i-c_i^{(1)})+{} \\ &\qquad +e_{i+1}^{(1)}-e_{i+1}+s(e_i^{(1)}-e_i)+\alpha(pb_{i+1}-g^{(1)}_{i+1})+\beta(pb_i-g_i^{(1)})=0. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{15}
$$
Наложим условия
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, b_{0}=c_{0}=f_{0}=g_{0}=0,\qquad a_{0}=e_{0}=-\frac{1}{2}, \\ a_i|_{u=0}=b_i|_{u=0}=c_i|_{u=0}=e_i|_{u=0}=f_i|_{u=0}=g_i|_{u=0}=0,\qquad i\geqslant 0. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда несколько первых решеточных функций задаются как
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, b_1&=f_1=1,\qquad c_1=r,\qquad g_1=p,\qquad a_1=\alpha r,\qquad e_1=\alpha p, \\ f_2&=-q^{(-1)}-\alpha p^{(-1)}-\alpha p,\, b_2=-s^{(-1)}-\alpha r^{(-1)}-\alpha r, \\ g_2&=\frac{1}{\varepsilon-1}[(p-r)(s+\alpha r+\alpha r^{(1)})+(r-\varepsilon p)(q+\alpha p+\alpha p^{(1)})], \\ c_2&=\frac{1}{\varepsilon-1}[(r-\varepsilon p)(s+\alpha r+\alpha r^{(1)})+\varepsilon(p-r)(q+\alpha p+\alpha p^{(1)})],\qquad \\ e_2&=\beta p+\frac{1}{\varepsilon-1}[-\,\alpha rs^{(-1)}-\alpha^2r^2+\alpha s^{(-1)}p+\alpha q^{(-1)}r+2\alpha^2rp+{} \\ &\kern62pt +\alpha sp-\alpha sr+\alpha rq-\alpha^2r^{(-1)}r-\alpha^2rr^{(1)}+{} \\ &\kern62pt +\alpha^2rp^{(-1)}+\alpha^2r^{(1)}p+\alpha^2rp^{(1)}+\alpha^2r^{(-1)}p]-{} \\ &\quad-\frac{\varepsilon}{\varepsilon-1}[\alpha q^{(-1)}p-\alpha qp-\alpha^2p^2-\alpha^2p^{(-1)}+p\alpha^2pp^{(1)}], \\ a_2&=\beta r+\frac{1}{\varepsilon-1}[\alpha rs^{(-1)}+\alpha sr+\alpha r^2+\alpha^2rr^{(1)}+\alpha^2r^{(-1)}r]+{} \\ &\quad +\frac{\varepsilon}{\varepsilon-1}[\alpha rq+2\alpha^2rp+\alpha ps+\alpha rq^{(-1)}+\alpha s^{(-1)}p+{} \\ &\kern48pt +\alpha pq+\alpha pq^{(-1)}-\alpha^2pr^{(1)}-\alpha^2rp^{(-1)}-{} \\ &\kern48pt -\alpha^2pp^{(1)}-\alpha^2pp^{(-1)}-\alpha^2rp^{(1)}-\alpha^2r^{(-1)}p-\alpha^2p^2]. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть, как обычно,
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, V_m&=(\lambda^mW)_{+}=\begin{bmatrix} (\lambda^ma)_{+} & (\lambda^mb)_{+} \\ (\alpha\lambda+\beta)(\lambda^mc)_{+} & -(\lambda^ma)_{+} \end{bmatrix}, \\ V_{\mathrm a,m}&=(\lambda^mW_{\mathrm a})_{+}=\begin{bmatrix} (\lambda^me)_{+} & (\lambda^mf)_{+} \\ (\alpha\lambda+\beta)(\lambda^mg)_{+} & -(\lambda^me)_{+} \end{bmatrix}, \end{aligned}\qquad m\geqslant 0.
\end{equation}
\tag{16}
$$
Выберем модифицирующие члены в виде
$$
\begin{equation*}
\triangle_m=\begin{bmatrix} b_{m+1} & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix},\qquad \triangle_{\mathrm a,m}=\begin{bmatrix} f_{m+1} & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}
\end{equation*}
\notag
$$
и определим временны́е спектральные матрицы
$$
\begin{equation*}
\widetilde V^{[m]}=\begin{bmatrix} V^{[m]} & V_{\mathrm a}^{[m]} \\ \varepsilon V_{\mathrm a}^{[m]} & V^{[m]} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} V_m+\triangle_m & V_{\mathrm a,m}+\triangle_{\mathrm a,m} \\ \varepsilon (V_{\mathrm a,m}+\triangle_{\mathrm a,m}) & V_m+\triangle_m \end{bmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
Рассмотрим временну́ю спектральную задачу
$$
\begin{equation}
\phi_{t_m}=\widetilde V^{[m]}\phi,\qquad m\geqslant 0.
\end{equation}
\tag{17}
$$
С учетом дискретных пространственной и временно́й спектральных задач (11) и (17) дискретное уравнение нулевой кривизны
$$
\begin{equation}
(E\widetilde V^{[m]})\widetilde U-\widetilde U\widetilde V^{[m]}=\widetilde U_{t_m}
\end{equation}
\tag{18}
$$
дает систему уравнений
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &(EV^{[m]})U-UV^{[m]}+\varepsilon(EV^{[m]}_{\mathrm a})U_{\mathrm a}-U_{\mathrm a}V^{[m]}_{\mathrm a}=\widetilde U_{t_m}, \\ &(EV^{[m]})U_{\mathrm a}-U_{\mathrm a}V^{[m]}+(EV^{[m]}_{\mathrm a})U-UV^{[m]}_{\mathrm a}=\widetilde U_{\mathrm a,t_m}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{19}
$$
Решая ее, получаем интегрируемую связанную $Z_2^\varepsilon$-иерархию
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, r_{t_m}&=c_{m+1}-rb_{m+1}+\varepsilon g_{m+1}-\varepsilon pf_{m+1}, \\ s_{t_m}&=a_{m+1}^{(1)}-a_{m+1}+\varepsilon(e_{m+1}^{(1)}-e_{m+1})-\alpha(c_{m+1}^{(1)}-rb_{m+1})-\varepsilon\alpha(g_{m+1}^{(1)}-pf_{m+1}), \\ p_{t_m}&=c_{m+1}+g_{m+1}-rf_{m+1}-pb_{m+1}, \\ q_{t_m}&=a_{m+1}^{(1)}-a_{m+1}+e_{m+1}^{(1)}-e_{m+1}-\alpha(c_{m+1}^{(1)}-pb_{m+1})-\alpha(g_{m+1}^{(1)}-rf_{m+1}). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Первая нелинейная интегрируемая связанная $Z_2^\varepsilon$-система обобщенного решеточного уравнения Тоды имеет вид
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, r_{t_1}&=r(s^{(-1)}-s)+\alpha r(r^{(-1)}-r^{(1)})+\varepsilon[p(q^{(-1)}-q)+\alpha p(p^{(-1)}-p^{(1)})], \\ s_{t_1}&=\alpha s(r-r^{(1)})+\beta (r^{(1)}-r)+\varepsilon[\alpha q(p-p^{(1)})+\beta (p^{(1)}-p)], \\ p_{t_1}&=p(s^{(-1)}-s)+\alpha p(r^{(-1)}-r^{(1)})+r(q^{(-1)}-q)+\alpha r(p^{(-1)}-p^{(1)}), \\ q_{t_1}&=\alpha q(r-r^{(1)})+\beta(r^{(1)}-r)+\alpha s(p-p^{(1)})+\beta(p^{(1)}-p). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{20}
$$
Далее мы рассмотрим некоторые редукции иерархии (20). Случай 1. Если $\alpha=0$, $\beta=-1$, то иерархия (20) сводится к знаменитой интегрируемой связанной $Z_2^\varepsilon$-системе решеточных уравнений Тоды [35] Случай 2. Если $\alpha\neq 0$, $\beta=-1$, то иерархия (20) сводится к интегрируемой связанной $Z_2^\varepsilon$-системе релятивистских решеточных уравнений Тоды Случай 3. Если $\alpha=1$, $\beta=0$, то иерархия (20) сводится к интегрируемой связанной $Z_2^\varepsilon$-системе следующего вида: 4. Многокомпонентная интегрируемая иерархия изоспектральных обобщенных уравнений ТодыОпираясь на алгебру Ли $\hat g$, расширим пространственную спектральную матрицу $U$ до матрицы размера $N\times N$:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \widehat U(\hat u,\lambda)&=[U_1(u_1,\lambda),U_2(u_2,\lambda),\ldots,U_N(u_n,\lambda)]^{\mathrm T}= \nonumber\\ &=\begin{pmatrix} U_1 & \varepsilon U_N & \varepsilon U_{N-1} & \ldots & \varepsilon U_2 \\ U_2 & U_1 & \varepsilon U_N & \ddots & \vdots \\ U_3 & U_2 & U_1 & \ddots & \varepsilon U_{N-1} \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \varepsilon U_N \\ U_N & \ldots & U_3 & U_2 & U_1 \end{pmatrix}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{27}
$$
Получим новую пространственную спектральную задачу, связанную с алгеброй $\hat g$: где $\hat u=[u_1,u_2,\ldots,u_N]^{\mathrm T}$ – потенциал, $\psi=[\psi_1,\psi_2,\ldots,\psi_N]^{\mathrm T}$ – собственная функция,
$$
\begin{equation*}
U_k(u_k,\lambda)=\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ (\alpha\lambda+\beta)r_k & \lambda+s_k \end{bmatrix},\qquad k=1,\ldots,N.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $\widehat W$ – частное решение изоспектрального стационарного дискретного уравнения нулевой кривизны заданное как
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \widehat W&=[W_1,W_2,\ldots,W_N]^{\mathrm T}= \nonumber\\ &=\begin{pmatrix} W_1 & \varepsilon W_N & \varepsilon W_{N-1} & \ldots & \varepsilon W_2 \\ W_2 & W_1 & \varepsilon W_N & \ddots & \vdots \\ W_3 & W_2 & W_1 & \ddots & \varepsilon W_{N-1} \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \varepsilon W_N \\ W_N & \ldots & W_3 & W_2 & W_1 \end{pmatrix}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{30}
$$
где
$$
\begin{equation*}
W_k=\begin{bmatrix} a_k & \phantom{-}b_k \\ (\alpha \lambda+\beta)c_k & -a_k \end{bmatrix},\qquad k=1,\ldots,N.
\end{equation*}
\notag
$$
Изоспектральное стационарное дискретное уравнение нулевой кривизны в развернутом виде записывается как
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &(EW_1)U_1-U_1W_1+\varepsilon\sum_{\substack{m+n=N+2,\\ 2\leqslant m,n\leqslant N}}[(EW_m)U_n-U_nW_m]=0, \\ &\sum_{\substack{i+j=3,\\ 1\leqslant i,j\leqslant 2}}[(EW_i)U_j-U_jW_i]+ \varepsilon\sum_{\substack{m+n=N+3,\\ 3\leqslant m,n\leqslant N}}[(EW_m)U_n-U_nW_m]=0, \\ &\qquad\qquad \ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots, \\ &\sum_{\substack{i+j=k+1,\\ 1\leqslant i,j\leqslant k}}[(EW_i)U_j-U_jW_i]+ \varepsilon\sum_{\substack{m+n=N+k+1,\\ k+1\leqslant m,n\leqslant N}}[(EW_m)U_n-U_nW_m]=0, \\ &\qquad\qquad \ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots, \\ &\sum_{\substack{i+j=N,\\ 1\leqslant i,j\leqslant N-1}}[(EW_i)U_j-U_jW_i]+\varepsilon [(EW_N)U_N-U_NW_N]=0, \\ &\sum_{\substack{i+j=N+1,\\ 1\leqslant i,j\leqslant N}}[(EW_i)U_j-U_jW_i]=0. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{32}
$$
Подставляя в (32) разложения в ряды Лорана
$$
\begin{equation*}
a_k=\sum_{i\geqslant 0}a_{k,i}\lambda^{-i},\qquad b_k=\sum_{i\geqslant 0}b_{k,i}\lambda^{-i},\qquad c_k=\sum_{i\geqslant 0}c_{k,i}\lambda^{-i},\qquad k=1,\ldots,N,
\end{equation*}
\notag
$$
получаем рекуррентные соотношения
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &r_1^{}b_{1,l+1}^{(1)}-c_{1,l+1}^{}+\varepsilon\sum_{\substack{m+n=N+2,\\ 2\leqslant m,n\leqslant N}}(r_n^{}b_{m,l+1}^{(1)}-c_{m,l+1}^{})=0, \nonumber\\ &a_{1,l}^{(1)}+a_{1,l}^{}+b_{1,l+1}^{(1)}+s_1^{}b_{1,l}^{}+ \varepsilon\sum_{\substack{m+n=N+2,\\ 2\leqslant m,n\leqslant N}}(a_{m,l}^{(1)}+a_{m,l}^{}+b_{m,l+1}^{(1)}+s_n^{}b_{m,l}^{})=0, \nonumber\\ &a_{1,l+1}^{(1)}-a_{1,l+1}^{}+s_1(a_{1,l}^{(1)}-a_{1,l}^{})+ \alpha (r_1^{}b_{1,l+1}^{}-c_{1,l+1}^{(1)})+\beta(r_1^{}b_{1,l}^{}-c_{1,l}^{(1)})+{} \nonumber\\ &\kern25pt +\varepsilon\sum_{\substack{m+n=N+2, \\ 2\leqslant m,n\leqslant N}} [a_{m,l+1}^{(1)}-a_{m,l+1}^{}+s_n^{}(a_{m,l}^{(1)}-a_{m,l}^{})+{} \nonumber\\ &\kern98pt +\alpha(r_n^{}b_{m,l+1}^{}-c_{m,l+1}^{(1)})+\beta(r_n^{}b_{m,l}^{}-c_{m,l}^{(1)})]=0, \nonumber\\ &\sum_{\substack{i+j=k+1,\\ 1\leqslant i,j\leqslant k}}(r_i^{}b_{j,l+1}^{(1)}-c_{j,l+1}^{})+ \varepsilon\sum_{\substack{m+n=N+k+1,\\k+1\leqslant m,n\leqslant N}}(r_n^{}b_{m,l+1}^{(1)}-c_{m,l+1}^{})=0, \\ &\sum_{\substack{i+j=k+1,\\ 1\leqslant i,j\leqslant k}}(a_{i,l}^{(1)}+a_{i,l}^{}+b_{i,l+1}^{(1)}+s_j^{}b_{i,l}^{})+ \varepsilon\sum_{\substack{m+n=N+k+1,\\ k+1\leqslant m,n\leqslant N}}(a_{m,l}^{(1)}+a_{m,l}^{}+b_{m,l+1}^{(1)}+s_n^{}b_{m,l}^{})=0, \nonumber\\ &\sum_{\substack{i+j=k+1,\\ 1\leqslant i,j\leqslant k}} [a_{i,l+1}^{(1)}-a_{i,l+1}^{}+s_j^{}(a_{i,l}^{(1)}-a_{i,l}^{})+ \alpha (r_j^{}b_{i,l+1}^{}-c_{i,l+1}^{(1)})+\beta(r_j^{}b_{i,l}^{}-c_{i,l}^{(1)})]+{} \nonumber\\ &\kern25pt +\varepsilon\sum_{\substack{m+n=N+k+1,\\ k+1\leqslant m,n\leqslant N}} [a_{m,l+1}^{(1)}-a_{m,l+1}^{}+s_n^{}(a_{m,l}^{(1)}-a_{m,l}^{})+{} \nonumber\\ &\kern98pt +\alpha(r_n^{}b_{m,l+1}^{}-c_{m,l+1}^{(1)})+\beta(r_n^{}b_{m,l}^{})-c_{m,l}^{(1)})]=0, \nonumber\\ &\sum_{\substack{i+j=N+1,\\ 1\leqslant i,j\leqslant N}}(r_ib_{j,l+1}^{(1)}-c_{j,l+1}^{})=0, \nonumber\\ &\sum_{\substack{i+j=N+1,\\ 1\leqslant i,j\leqslant N}}(a_{i,l}^{(1)}+a_{i,l}^{}+b_{i,l+1}^{(1)}+s_j^{}b_{i,l}^{})=0, \nonumber\\ &\sum_{\substack{i+j=k+1,\\ 1\leqslant i,j\leqslant k}}[a_{i,l+1}^{(1)}-a_{i,l+1}^{}+s_j^{}(a_{i,l}^{(1)}-a_{i,l}^{})+ \alpha (r_j^{}b_{i,l+1}^{}-c_{i,l+1}^{(1)})+\beta(r_j^{}b_{i,l}^{}-c_{i,l}^{(1)})]=0. \nonumber \end{aligned}
\end{equation}
\tag{33}
$$
Выберем начальные условия
$$
\begin{equation*}
a_{k,0}=-\frac{1}{2},\qquad b_{k,0}=c_{k,0}=0,\qquad k=1,2,\ldots, N,
\end{equation*}
\notag
$$
и наложим условия интегрируемости
$$
\begin{equation*}
a_{k,l}|_{u=0}=b_{k,l}|_{u=0}=c_{k,l}|_{u=0}=0,\qquad l\geqslant 0,\qquad k=1,\ldots,N,
\end{equation*}
\notag
$$
в результате получим всю последовательность $\{a_{k,l},b_{k,l},c_{k,l},\,l\geqslant 1,\,k=1,2,\ldots ,N\}$. Несколько первых ее членов имеют вид
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, a_{k,1}&=\alpha r_k,\qquad c_{k,1}=r_k,\qquad b_{k,1}=1,\qquad b_{k,2}=-s_k^{(-1)}-\alpha r_k^{(-1)}-\alpha r_k, \\ c_{k,2}&=\frac{1}{\varepsilon-1}\sum_{\substack{1\leqslant i<j\leqslant k, \\ j-i=1}}(r_i-r_j)b_{k-i,2}^{(1)}+ \frac{\varepsilon}{\varepsilon-1}\sum_{\substack{k\leqslant m<n\leqslant N,\\ n-m=1}}(r_m^{}-r_n^{})b_{N-m+k,2}^{(1)}+{} \\ &\quad +\frac{1}{\varepsilon-1}(\varepsilon r_N^{}-r_1^{})b_{k,2}^{(1)}= \\ &=\frac{1}{1-\varepsilon}\sum_{i=1}^{k-1}(r_i^{}-r_{i+1}^{})(s_{k-i}^{}+\alpha r_{k-i}^{}+\alpha r_{k-i}^{(1)})+{} \\ &\quad +\frac{\varepsilon}{1-\varepsilon}\biggl(\,\sum_{m=k}^{N-1}(r_m-r_{m-1})(s_{k+N-m}^{}+\alpha r_{k+N-m}^{}+\alpha r_{k+N-m}^{(1)})\biggr)+{} \\ &\quad +\frac{1}{1-\varepsilon}(\varepsilon r_N-r_1)(s_k^{}+\alpha r_k^{}+\alpha r_k^{(1)}), \\ a_{k,2}^{(1)}&=a_{k,2}^{}+\beta(r_k^{(1)}-r_k^{})+{} \\ &\quad +\frac{\alpha}{1-\varepsilon} \biggl[\,\sum_{i=1}^{k-1}(dr^{(-1)}_i-s_{i+1}^{})(r_{k-i}^{(1)}-r_{k-i}^{})+{} \\ &\qquad\qquad\quad +\varepsilon\sum_{m=k}^{N-1}(s_m^{}-s_{m+1}^{})(r_{k+N-m}^{(1)}-r_{k+N-m}^{})+{} \\ &\qquad\qquad\quad +\sum_{j=1}^{k-1}(r_{j+1}^{}-r_j^{})(s_{k-j}^{(-1)}+\alpha r_{k-j}^{(-1)}+\alpha r_{k-j}^{})+{} \\ &\qquad\qquad\quad +\varepsilon\sum_{n=k}^{N-1}(r_n-s_{n+1})(s_{N+k-n}^{(-1)}+\alpha r_{N+k-n}^{(-1)}+\alpha r_{N+k-n}^{})+{} \\ &\qquad\qquad\quad +(\varepsilon s_N-s_1) (r_k^{(1)}-r_k^{})+(r_1^{}-\varepsilon r_N^{})(s_k^{(-1)}+\alpha r_k^{(1)}+\alpha r_k^{})+\alpha C_{k,2}^{(1)}\biggr], \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $k=1,\ldots,N$. Рассмотрим временну́ю спектральную задачу
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \psi_{t_m}=\widehat V^{[m]}\psi,\qquad \widehat V^{[m]}=(\lambda^m\widehat W\,)_{+}+\widehat{\triangle}= [V_1^{[m]}+\widehat{\triangle}_1,\ldots,V_N^{[m]}+\widehat{\triangle}_N]^{\mathrm T}, \\ V_k^{[m]}=\sum_{l=0}^m\lambda^{m-l} \begin{bmatrix} a_k & \phantom{-}b_k \\ (\alpha\lambda+\beta)c_k & -a_k \end{bmatrix},\quad \widehat{\triangle}_k=\begin{bmatrix} b_{k,m+1} & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix},\qquad k=1,\ldots,N. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{34}
$$
Спектральные задачи (28), (34) и рекуррентные соотношения (33) позволяют вывести из дискретного уравнения нулевой кривизны
$$
\begin{equation}
\widehat U_t=(E\widehat V^{[m]})\widehat U-\widehat U\widehat V^{[m]}
\end{equation}
\tag{35}
$$
многокомпонентные интегрируемые связи изоспектральной обобщенной иерархии цепочки Тоды:
$$
\begin{equation}
\hat u_{t_m}=\widehat K_m=[r_1,s_1,r_2,s_2,\ldots,r_N,s_N]_{t_m}^{\mathrm T},\qquad m\geqslant 0,
\end{equation}
\tag{36}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, (r_1)_{t_m}&=\sum_{\substack{i+j=2,\\ 1\leqslant i,j\leqslant 1}}(c_{i,m+1}-r_jb_{i,m+1})+ \varepsilon\sum_{\substack{n+l=N+2, \\ 2\leqslant n,l\leqslant N}}(c_{n,m+1}-r_lb_{n,m+1}), \\ (s_1^{})_{t_m^{}}&=\sum_{\substack{i+j=2,\\ 1\leqslant i,j\leqslant 1}}[(a_{i,m+1}^{(1)}-a_{i,m+1}^{})+\alpha(r_j^{}b_{i,m+1}^{}-c_{i,m+1}^{(1)})]+{} \\ &\quad +\varepsilon\sum_{\substack{n+l=N+2,\\ 2\leqslant n,l\leqslant N}}[(a_{n,m+1}^{(1)}-a_{n,m+1}^{})+\alpha(r_l^{}b_{n,m+1}^{}-c_{n,m+1}^{(1)})], \\ (r_2)_{t_m}&=\sum_{\substack{i+j=3, \\ 1\leqslant i,j\leqslant 2}}(c_{i,m+1}-r_jb_{i,m+1})+ \varepsilon\sum_{\substack{n+l=N+3, \\3\leqslant n,l\leqslant N}}(c_{n,m+1}-r_lb_{n,m+1}), \\ (s_2)_{t_m}&=\sum_{\substack{i+j=3,\\ 1\leqslant i,j\leqslant 2}}[(a_{i,m+1}^{(1)}-a_{i,m+1}^{})+\alpha(r_j^{}b_{i,m+1}^{}-c_{i,m+1}^{(1)})]+{} \\ &\quad +\varepsilon\sum_{\substack{n+l=N+3, \\3\leqslant n,l\leqslant N}}[(a_{n,m+1}^{(1)}-a_{n,m+1}^{})+\alpha(r_l^{}b_{n,m+1}^{}-c_{n,m+1}^{(1)})], \\ &\qquad \ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots, \\ (r_N)_{t_m}&=\sum_{\substack{i+j=N+1,\\ 1\leqslant i,j\leqslant N}}(c_{i,m+1}-r_jb_{i,m+1}), \\ (s_N)_{t_m}&= \sum_{\substack{i+j=N+1,\\ 1\leqslant i,j\leqslant N}}[(a_{i,m+1}^{(1)}-a_{i,m+1})+\alpha(r_j^{}b_{i,m+1}^{}-c_{i,m+1}^{(1)})], \\ (r_k)_{t_m}&=\sum_{\substack{i+j=k+1,\\ 1\leqslant i,j\leqslant k}}(c_{i,m+1}-r_jb_{i,m+1})+ \varepsilon\sum_{\substack{n+l=N+k+1,\\k+1\leqslant n,l\leqslant N}}(c_{n,m+1}-r_lb_{n,m+1}),\\ (s_k)_{t_m}&=\sum_{\substack{i+j=k+1,\\ 1\leqslant i,j\leqslant k}}[(a_{i,m+1}^{(1)}-a_{i,m+1}^{})+\alpha(r_j^{}b_{i,m+1}^{}-c_{i,m+1}^{(1)})]+{} \\ &\quad +\varepsilon\sum_{\substack{n+l=N+k+1,\\k+1\leqslant n,l\leqslant N}}[(a_{n,m+1}^{(1)}-a_{n,m+1}^{})+\alpha(r_l^{}b_{n,m+1}^{}-c_{n,m+1}^{(1)})], \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
для $k=1,\ldots,N$. Две первые многокомпонентные нелинейные решеточные системы этой иерархии записываются как
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, (r_k)_{t_{0}}&=\sum_{\substack{i+j=k+1,\\ 1\leqslant i,j\leqslant k}}(r_i-r_j)+\varepsilon\sum_{\substack{n+l=N+k+1,\\k+1\leqslant n,l\leqslant N}}(r_n-r_l), \\ (s_k)_{t_{0}}&=\sum_{\substack{i+j=k+1,\\ 1\leqslant i,j\leqslant k}}\alpha(r_j-r_i)+\varepsilon\sum_{\substack{n+l=N+k+1,\\k+1\leqslant n,l\leqslant N}}\alpha(r_l-r_n), \\ (r_k)_{t_1}&=\sum_{\substack{i+j=k+1,\\ 1\leqslant i,j\leqslant k}}[r_i^{}(s^{(-1)}_j-s_j^{})+\alpha r_i^{}(r_j^{(-1)}-r^{(1)}_j)]+{} \\ &\quad +\varepsilon\sum_{\substack{n+l=N+k+1,\\k+1\leqslant n,l\leqslant N}}[r_n^{}(s^{(-1)}_l-s_l^{})+\alpha r_n^{}(r_l^{-1}-r^{(1)}_l)], \\ (s_k)_{t_1}&=\sum_{\substack{i+j=k+1, \\ 1\leqslant i,j\leqslant k}}[\beta(r_i^{(1)}-r_i^{})+\alpha s_j^{}(r_i^{}-r_i^{(1)})]+{} \\ &\quad +\varepsilon\sum_{\substack{n+l=N+k+1,\\k+1\leqslant n,l\leqslant N}}[\beta(r_n^{(1)}-r_n^{})+\alpha s_l^{}(r_n^{}-r_n^{(1)})], \end{aligned}
\end{equation}
\tag{37}
$$
где $k=1,\ldots,N$. Если $N=1$, $\varepsilon=0$, $\alpha=0$, $\beta=-1$, то система (37) приобретает вид знаменитого решеточного уравнения Тоды
$$
\begin{equation}
(r_1^{})_{t_1^{}}=r_1^{}(s_1^{(-1)}-s_1^{}),\qquad (s_1^{})_{t_1^{}}=r^{(-1)}_1-r^{(1)}_1.
\end{equation}
\tag{38}
$$
Если $N=1$, $\varepsilon=0$, $\alpha=1$, $\beta=0$, то система (37) приобретает вид решеточного уравнения, изучавшегося в работе [37]:
$$
\begin{equation}
(r_1^{})_{t_1^{}}=r_1^{}(s_1^{(-1)}-s_1^{})+r_1^{}(r_1^{(-1)}-r_1^{(1)}),\qquad (s_1^{})_{t_1^{}}=s_1^{}(r_1^{}-r_1^{(1)}).
\end{equation}
\tag{39}
$$
Это уравнение линейно независимо с уравнением цепочки Тоды (38) и с точностью до обозначений совпадает с очень хорошо изученной релятивистской цепочкой Тоды из работы [37]. Обобщенные уравнения цепочки Тоды, их решения, гамильтоновы структуры и другие свойства подробно исследованы (см., например, [38]–[43]).
5. Заключение и обсуждениеВдохновленные результатами исследования [33], посвященного интегрируемым $Z_N^\varepsilon$-связям непрерывных интегрируемых систем, мы представили практический подход к построению многокомпонентной интегрируемой иерархии дискретных солитонных уравнений на основе неполупростой алгебры Ли $\hat g$. Полученная теория была применена к обобщенной пространственной спектральной задаче Тоды, и с помощью данного подхода построена многокомпонентная интегрируемая иерархия решеточного обобщенного уравнения Тоды. Нетрудно заметить, что в процессе построения интегрируемых связей всегда присутствует модифицирующий член $\triangle_k$. Это указывает на то, что матричные спектральные задачи более высокого порядка имеют больше степеней свободы в порождаемых ими интегрируемых системах. Анализируя результаты, можно обнаружить, что если $\varepsilon=0$ и $N=2$, то многокомпонентные интегрируемые связи изоспектральной обобщенной иерархии цепочки Тоды (36) являются приближением результата Ма [32]. Таким образом, мы обобщили интегрируемую связь второго порядка для дискретных солитонных уравнений на случай матрицы размера $N\times N$. В данной работе мы рассмотрели только изоспектральную $Z_2^\varepsilon$-иерархию и многокомпонентную интегрируемую иерархию решеточных обобщенных уравнений Тоды. Если считать, что в дополнительной спектральной подматрице спектральные параметры зависят от времени, то это даст более разнообразный набор интегрируемых моделей. Кроме того, заслуживают изучения многие свойства многокомпонентных интегрируемых иерархий изоспектральных и неизоспектральных решеточных уравнений, например бигамильтоновы структуры, преобразование Дарбу, законы сохранения, явные решения и т. д. Конфликт интересовАвторы заявляют, что у них нет конфликта интересов.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{WanWanZha23} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|