| Теоретическая и математическая физика |
|
|
|
|
|
Э. Албайракa, Ф. Ш. Ёзджанb a Erciyes University, Department of Physics, Kayseri, Turkey b Erciyes University, Institute of Science, Kayseri, Turkey
Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2023, Volume 214, Issue 3, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0040577923030078 
Реферативные базы данных:
   1. ВведениеХорошо известно, что случайность может создавать новые критические явления в системе. Случайность может присутствовать изначально вследствие деформаций, примесей и т. д., или она может быть введена в модель посредством предположения, что параметры системы, такие как кристаллическая структура или внешнее магнитное поле, билинейные или биквадратичные обменные взаимодействия, принимают случайные значения с некоторой вероятностью. Как результат, в последнее время большое внимание уделяется различным формам случайности и во внутренних, и во внешних параметрах. Распределение случайности может быть непрерывным, скажем, гауссовским [1], или дискретным, задающимся, например, как $P(J_{ij})=p\delta(J_{ij}-J)+(1-p)\delta(J_{ij}+J)$ [2], [3], что при $J=1$ приводит к $\pm J$-модели [4]. Другими примерами являются $P(J_{ij})=p\delta(J_{ij}-J)+(1-p)\delta(J_{ij})$ [5]–[9] (так называемое разбавление по связям) и $P(J_{ij})=p\delta(J_{ij}-J)+(1-p)\delta(J_{ij}+ \alpha J)$ [10]–[13]; последний вариант является самым сложным, поскольку дает предыдущие распределения как частные случаи. Обычно в качестве первого шага рассматриваются модели решеток атомов со спином $1/2$ при случайном распределении константы связи $J$. Для исследования $d$-мерной гиперкубической решетки со взаимодействием ближайших соседей (nearest- neighbor, NN-модель) и примесным взаимодействием применялось разложение замороженной средней свободной энергии по малой концентрации $p$ примесей [14]. В работе [15] для изучения трехмерной модели в зависимости от температуры и концентрации ферромагнитных связей применялось разложение динамического высокотемпературного ряда. В работе [16] для вычисления фазовой диаграммы двумерной NN-модели Изинга было использовано приближение конечного кластера и техника перенормировки. Кластерный алгоритм моделирования с использованием процессора специального назначения для исследования двумерной модели с примесным взаимодействием можно найти в статье [17]. В работе [18] рассматривалась двумерная модель с двумя различными ферромагнитными константами связи $J$ и $J'$, случайно распределенными на решетке с концентрацией $1/2$ для каждой связи, и изучалось отношение $J/J'$ в критическом режиме. В работе [19] исследовалась $\pm J$-модель с вероятностями $p$ и $(1-p)$, соответствующими ферро- и антиферромагнитной связям, на иерархической решетке. Бимодальное распределение связей $\pm J$ было проанализировано в работе [20] в случае классической модели на квадратной решетке при конечной температуре. В работе [21] изучались изинговские двумерные спиновые стекла в мультикритической точке на треугольной и сотообразной решетках, при этом использовались скейлинг конечных размеров и конформная инвариантность. В работе [22] было проанализировано критическое поведение трехмерной модели для различных значений силы беспорядка при линейно изменяющейся температуре, для чего использовалось конечновременнóе масштабирование в сочетании с монте-карловским методом ренормализационной группы. В работе [23] была рассмотрена анизотропная трехмерная $\pm J$-модель на простой кубической решетке со случайными связями вдоль одной из пространственных осей [23]. В работе [24] критические свойства случайной двумерной модели Изинга изучались с помощью отображения ее на сетевую модель. В статье [25] рассматривалась фазовая диаграмма неметаллических соединений $\mathrm{ZnCr}_{2p}\mathrm{Al}_{2-2p}\mathrm{S}_4$ и $\mathrm{Zn}_{1-p}\mathrm{Cd}_p\mathrm{Cr}_2\mathrm{Se}_4$ в модели Изинга с разбавленной связью. Разбавление связей в модели Изинга с конкурирующими ферро- и антиферромагнитными взаимодействиями между первым и вторым соседями вдоль ветвей дерева Кэли изучалось в [26]. В работе [27] была исследована $\pm J$-модель Эдвардса–Андерсона с гауссовым беспорядком связей на гиперкубических решетках в размерностях $d=2,3,4$. Для получения критических линий ферро- и парамагнетиков, а также спиновых стекол при общих значениях координационного числа рассматривалась модель Изинга с коррелированными узлами и связями в пределе отрицательного параметра корреляции, для чего использовалась схема ренормализационной группы среднего поля [28]. В работе [29] для анализа влияния случайного разбавления связей на критические свойства двумерной модели Изинга на квадратной решетке с периодическими граничными условиями использовался монте-карловский алгоритм Ванга–Ландау. В работе [30] с использованием одного параметра порядка были найдены точные выражения для зависимостей энергии основного состояния и энтропии разбавленной изинговской модели среднего поля от коэффициента разбавления. Первым теоретическим подходом к изучению моделей спиновых стекол является $\pm J$-модель. В этом контексте с помощью метода реплик рассматривалась обобщенная модель с целочисленными спинами [31], с использованием больших статистик было проведено моделирование методом Монте-Карло трехмерной модели Изинга на кубических решетках [32], также методом Монте-Карло были рассчитаны основные состояния модели спинового стекла Эдвардса–Андерсона [33]. В работе [34] было рассмотрено распределение нулей статистической суммы $\pm J$-модели на решетке Бете, а в работе [35] исследовались переходы ферромагнетик-стекло, разделяющие низкотемпературные ферромагнитную фазу и фазу спинового стекла, на фазовой диаграмме температура-параметр беспорядка трехмерной модели Изинга. Также изучалась $\pm J$-модель со спином 1 для различных распределений параметра $J$, и для ее анализа были использованы разнообразные методы (см., например, [13], [36]). Кроме того, рассматривались различные виды разбавления по связям. Например, коррелированное разбавление по узлам и связям было предложено для объяснения различий, экспериментально наблюдаемых в измерениях ядерного магнитного резонанса, между случайно разбавленным $\mathrm{KNi}_p\mathrm{Mg}_{1-p}\mathrm{F}_3$ и изоструктурной системой $\mathrm{KMn}_p\mathrm{Mg}_{1-p}\mathrm{F}_3$ [37]. В работе [38] в рамках теории эффективного поля была исследована анизотропия антиферромагнитной связи и температура Нееля в разбавленной модели Изинга со спином $7/2$. Случайное разбавление по связям для параметра билинейного взаимодействия между NN-спинами рассматривалось в работе [39] в рамках модели Блюма–Эмери–Гриффитса со спином $1$ на решетке Бете. $\pm J$-Модель рассматривалась не только для систем с одним спином, но и для систем со смешанными спинами. В этом случае NN-спины случайным образом связаны либо ферромагнитной связью ($J>0$), либо антиферромагнитной ($J<0$) с вероятностями $p$ и $1-p$ соответственно. Модель смеси спинов $1/2$ и $1$ изучалась в приближении конечных кластеров на квадратной решетке с билинейным параметром NN-взаимодействия $J$ и взаимодействием с кристаллическим полем для случаев с разбавлением по связям и c $\pm J$-взаимодействием [40]. В работе [41] теория эффективного поля с вероятностным распределением применялась для изучения фазовых диаграмм и магнитных свойств модели Изинга со смесью спинов $1/2$ и $1$ с разбавлением по связям. Также с помощью теории эффективного поля в статье [42] рассматривались критическое поведение и точки магнитной мультикомпенсации в модели с разбавленными связями в бимодальном магнитном поле для простой кубической решетки. Модель Изинга со смесью спинов $1/2$ и $3/2$ при наличии случайных связей и взаимодействия с кристаллическим полем на сотообразной решетке исследовалась в работе [43] с использованием теории эффективного поля с корреляциями, а в работе [44] $\pm J$-модель на решетке Бете изучалась с помощью точных рекуррентных соотношений. В настоящей работе, являющейся продолжением нашей статьи [10], мы рассматриваем систему со смесью спинов $1/2$ и $5/2$ на решетке Бете. Для анализа мы используем $\pm J$-модель с настроечным параметром $\alpha$, который управляет силой антиферромагнитной фазы по отношению к ферромагнитной фазе. С помощью точных рекуррентных соотношений мы получаем параметры порядка для заданного координационного числа $q=3$, что соответствует сотообразной решетке. В систему добавляется случайное распределение ферро- и антиферромагнитных взаимодействий с вероятностями $p$ и $1-p$ соответственно. Также мы учитываем одноионную анизотропию $D$, действующую только на узлы со спином 5/2. Мы исследуем термические вариации параметров порядка, из которых получаем фазовые диаграммы на плоскостях $(\alpha,T)$ и $(p,T)$ при заданных значениях $D$. Значения $p$ и $\alpha$ варьируются в диапазонах $0\leqslant p\leqslant 1$ и $0\leqslant\alpha\leqslant 1$. 2. Фомулировка в терминах точных рекуррентных соотношенийЗнак параметра $J_{ij}$ билинейного обменного взаимодействия определяет тип взаимодействий в материалах: при положительном значении параметра атомы взаимодействуют ферромагнитно, при отрицательном – антиферромагнитно. Даже если в большинстве материалов присутствуют взаимодействия только одного типа, некоторые композитные материалы или некоторые неоднородности в материалах, такие как деформации решетки, примеси и т. д., могут приводить к разного рода смешиванию этих взаимодействий в системе. В нашей работе мы рассматриваем бимодальное случайное распределение связей с настроечным параметром $\alpha$:
$$
\begin{equation}
P(J_{ij})=p\delta(J_{ij}-J)+(1-p)\delta(J_{ij}+\alpha J),
\end{equation}
\tag{1}
$$
где первое слагаемое индуцирует ферромагнитное взаимодействие с вероятностью $p$, а второе приводит к антиферромагнитному взаимодействию с вероятностью $1-p$. Параметр $\alpha$, $0\leqslant\alpha\leqslant 1$, изменяет силу антиферромагнитного взаимодействия по отношению к ферромагнитному. Распределение (1) должно быть учтено в формулировках, полученных с помощью гамильтониана, который состоит из члена с зависящим от связи билинейным обменным взаимодействием $J_{ij}$ между NN-спинами, принимающими значения $1/2$ и $5/2$, и члена, содержащего параметр $D$ взаимодействия с кристаллическим полем, которое действует только на узлы со спином $5/2$. Обычно этот гамильтониан представляется в виде
$$
\begin{equation}
\mathcal H=-\sum_{\langle{i,j}\rangle}J_{ij}{S_i\sigma_j}-D\sum_j{\sigma_j^2},
\end{equation}
\tag{2}
$$
где оператор $S_i$ отвечает частице со спином $1/2$, расположенной в узле $i$, и имеет собственные значения $\pm 1/2$, а $\sigma_j$ отвечает частице со спином $5/2$ в узле $j$ и имеет шесть дискретных собственных значений $\pm5/2$, $\pm3/2$ и $\pm 1/2$. Решетка Бете строится следующим образом: центральный спин есть $S_0$, следующее поколение занято спинами $\sigma_1$, следующее имеет спин $S_1$ и т. д. до бесконечности [2], [45]. В термодинамическом пределе число оболочек решетки Бете стремится к бесконечности, при этом формулировки не зависят от того, чему равен центральный спин, $S$ или $\sigma$. Точные рекуррентные соотношения можно рассматривать как уравнение состояния для данной модели, в терминах которого можно получить все искомые термодинамические функции. Подробности, касающиеся точных рекуррентных соотношений, для смеси спинов $1/2$ и $5/2$ можно найти в [2], [45], где эти соотношения определены как отношения частичных статистических сумм $g_n(S)$ для каждой отдельной ветви дерева. Спин $1/2$ имеет два состояния, следовательно, можно получить одно рекуррентное соотношение
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, X_n^{(ij)}&=\bigl[e^{5\beta(J_{ij}+5D)/4}(A_{n-1}^{(ij)})^{q-1}+e^{5\beta(-J_{ij}+5D)/4}(B_{n-1}^{(ij)})^{q-1}+{} \\ &\qquad+e^{3\beta(J_{ij}+3D)/4}(C_{n-1}^{(ij)})^{q-1}+e^{3\beta(-J_{ij}+3D)/4}(D_{n-1}^{(ij)})^{q-1}+{} \\ &\qquad+e^{\beta(J_{ij}+D)/4}(E_{n-1}^{(ij)})^{q-1}+e^{\beta(-J_{ij}+D)/4}\bigr]\times{} \\ &\times\bigl[e^{5\beta(-J_{ij}+5D)/4}(A_{n-1}^{(ij)})^{q-1}+e^{5\beta(J_{ij}+5D)/4}(B_{n-1}^{(ij)})^{q-1}+{} \\ &\qquad+e^{3\beta(-J_{ij}+3D)/4}(C_{n-1}^{(ij)})^{q-1}+e^{3\beta(J_{ij}+3D)/4}(D_{n-1}^{(ij)})^{q-1}+{} \\ &\qquad+e^{\beta(-J_{ij}+D/4}(E_{n-1}^{(ij)})^{q-1}+e^{\beta(J_{ij}+D)/4}\bigr]^{-1}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Спин $5/2$ с шестью состояниями дает пять точных рекуррентных соотношений
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \begin{alignedat}{3} A_{n-1}^{(ij)}&=\frac{e^{5\beta J_{ij}/4}(X_{n-2}^{(ij)})^{q-1}+e^{-5\beta J_{ij}/4}}{e^{-\beta J_{ij}/4}(X_{n-2}^{(ij)})^{q-1}+e^{\beta J_{ij}/4}}, &\qquad B_{n-1}^{(ij)}&=\frac{e^{-5\beta J_{ij}/4}(X_{n-2}^{(ij)})^{q-1}+e^{5\beta J_{ij}/4}}{e^{-\beta J_{ij}/4}(X_{n-2}^{(ij)})^{q-1}+e^{\beta J_{ij}/4}}, \\ C_{n-1}^{(ij)}&=\frac{e^{3\beta J_{ij}/4}(X_{n-2}^{(ij)})^{q-1}+e^{-3\beta J_{ij}/4}}{e^{-\beta J_{ij}/4}(X_{n-2}^{(ij)})^{q-1}+e^{\beta J_{ij}/4}}, &\qquad D_{n-1}^{(ij)}&=\frac{e^{-3\beta J_{ij}/4}(X_{n-2}^{(ij)})^{q-1}+e^{3\beta J_{ij}/4}}{e^{-\beta J_{ij}/4}(X_{n-2}^{(ij)})^{q-1}+e^{\beta J_{ij}/4}}, \end{alignedat}\\ E_{n-1}^{(ij)}=\frac{{e^{\beta J_{ij}/4}(X_{n-2}^{(ij)})^{q-1}+e^{-\beta J_{ij}/4}}}{e^{-\beta J_{ij}/4}(X_{n-2}^{(ij)})^{q-1}+e^{\beta J_{ij}/4}}, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
где $\beta=1/kT$, $T$ – абсолютная температура, $k$ – постоянная Больцмана, которую мы считаем равной единице, $q$ – число ближайших соседей, $n$ – число оболочек решетки Бете, в термодинамическом пределе стремящееся к бесконечности. Чтобы учесть вероятностное распределение $P(J_{ij})$ и получить точные рекуррентные соотношения для $\pm J$-модели с настроечным параметром $\alpha$, требуется процедура усреднения, которая проводится простым интегрированием с весом $P(J_{ij})$ в каждом из приведенных соотношений:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, X_n&=\int X_n^{(ij)}P(J_{ij})\,dJ_{ij}=\int X_n^{(ij)}[p\delta(J_{ij}-J)+(1-p)\delta(J_{ij}+\alpha J)]\,dJ_{ij}, \\ A_{n-1}&=\int A_{n-1}^{(ij)}P(J_{ij})\,dJ_{ij}=\int A_{n-1}^{(ij)}[p\delta(J_{ij}-J)+(1-p)\delta(J_{ij}+\alpha J)]\,dJ_{ij}, \\ B_{n-1}&=\int B_{n-1}^{(ij)}P(J_{ij})\,dJ_{ij}=\int B_{n-1}^{(ij)}[p\delta(J_{ij}-J)+(1-p)\delta(J_{ij}+\alpha J)]\,dJ_{ij}, \\ C_{n-1}&=\int C_{n-1}^{(ij)}P(J_{ij})\,dJ_{ij}=\int C_{n-1}^{(ij)}[p\delta(J_{ij}-J)+(1-p)\delta(J_{ij}+\alpha J)]\,dJ_{ij}, \\ D_{n-1}&=\int D_{n-1}^{(ij)}P(J_{ij})\,dJ_{ij}=\int D_{n-1}^{(ij)}[p\delta(J_{ij}-J)+(1-p)\delta(J_{ij}+\alpha J)]\,dJ_{ij}, \\ E_{n-1}&=\int E_{n-1}^{(ij)}P(J_{ij})\,dJ_{ij}=\int E_{n-1}^{(ij)}[p\delta(J_{ij}-J)+(1-p)\delta(J_{ij}+\alpha J)]\,dJ_{ij}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Узлы со спином $1/2$ имеют два спиновых состояния, поэтому, чтобы полностью описать эти узлы, требуется один параметр порядка. Это $M_{1/2}$ – дипольный момент намагниченности, и через величины, участвующие в точных рекуррентных соотношениях, он выражается как
$$
\begin{equation}
M_{1/2}=\frac{1}{2}\biggl[\frac{X_n^q-1}{X_n^q+1}\biggr].
\end{equation}
\tag{3}
$$
Узлы со спином $5/2$ имеют шесть спиновых состояний, поэтому, чтобы полностью описать эти узлы, требуются по меньшей мере два параметра порядка. Это намагниченность $M_{5/2}$ и квадрупольный момент $Q_{5/2}$, которые выражаются через величины, участвующие в точных рекуррентных соотношениях, как
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, M_{5/2}&=\biggl[\frac{10}{4}(e^{25\beta D/4}A_{n-1}^q-e^{25\beta D/4}B_{n-1}^q)+\frac{6}{4}(e^{9\beta D/4}C_{n-1}^q-e^{9\beta D/4}D_{n-1}^q)+{} \\ &\kern196pt +\frac{2}{4}(e^{\beta D/4}E_{n-1}^q-e^{\beta D/4})\biggr]\times{} \\ &\quad\times\bigl[e^{25\beta D/4}A_{n-1}^q+e^{25\beta D/4}B_{n-1}^q+e^{9\beta D/4}C_{n-1}^q+{} \\ & +e^{9\beta D/4}D_{n-1}^q+e^{\beta D/4}E_{n-1}^q+e^{\beta D/4}\bigr]^{-1}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4}
$$
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, Q_{5/2}&=\biggl[\frac{25}{4}(e^{25\beta D/4}A_{n-1}^q+e^{25\beta D/4}B_{n-1}^q)+\frac{9}{4}(e^{9\beta D/4}C_{n-1}^q+e^{9\beta D/4}D_{n-1}^q)+{} \\ &\kern196pt +\frac{1}{4}(e^{\beta D/4}E_{n-1}^q+e^{\beta D/4})\biggr]\times{} \\ &\quad\times\bigl[e^{25\beta D/4}A_{n-1}^q+e^{25\beta D/4}B_{n-1}^q+e^{9\beta D/4}C_{n-1}^q+{} \\ & +e^{9\beta D/4}D_{n-1}^q+e^{\beta D/4}E_{n-1}^q+e^{\beta D/4}\bigr]^{-1}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5}
$$
Для классификации порядка фазовых переходов, т. е. определения того, являются ли они переходами второго или первого рода, в дополнение к параметрам порядка нам также потребуется выражение для свободной энергии. Его можно найти, используя точные рекуррентные соотношения и определение $F=-kT\ln Z$, где $Z$ – статистическая сумма. В термодинамическом пределе, т. е. при $n\to\infty$, свободная энергия записывается как
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, F=\frac{1}{\beta}& \biggl[\frac{1}{2-q}\ln[e^{\beta(-5J_{ij}/4+25D/4)}(A_{n-1}^{(ij)})^{q-1}+e^{\beta(5J_{ij}/4+25D/4)}(B_{n-1}^{(ij)})^{q-1}+{} \nonumber\\ &\kern43pt +e^{\beta(-3J_{ij}/4+5D/4)}(C_{n-1}^{(ij)})^{q-1}+e^{\beta(35J_{ij}/4+5D/4)}(D_{n-1}^{(ij)})^{q-1}+{} \nonumber\\ &\kern43pt +e^{\beta(-J_{ij}/4+D/4)}(E_{n-1}^{(ij)})^{q-1}+e^{\beta(J_{ij}/4+D/4)}]+{} \nonumber\\ &\;+\frac{q-1}{2-q}\ln[e^{-\beta J_{ij}/4}(X_n^{(ij)})^{q-1}+e^{\beta J_{ij}/4}]+\ln[(X_n^{ij})^q+1]\biggr]. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{6}
$$
Далее это выражение нужно проинтегрировать с весом $P(J_{ij})$, чтобы получить корректную свободную энергию для $\pm J$-модели.
3. Фазовые диаграммы на плоскостях $(T,\alpha)$ и $({p},T)$Бимодальное случайное распределение, т. е. уравнение (1), сводится к некоторым конкретным моделям при определенных значениях параметров: 1) если $p=1$, то мы имеем ферромагнитную модель Блюма–Капеля; 2) если $p=0$ и $\alpha=1$, то мы имеем антиферромагнитную модель Блюма–Капеля; 3) если $\alpha=0$, то мы имеем модель с разбавлением связей; 4) если $\alpha=1$, то мы имеем $\pm J$-модель; 5) если $D=0$ и $\alpha=1$, то мы имеем модель Изинга со случайными связями; 6) если $0\leqslant\alpha\leqslant 1$, то мы имеем $\pm J$-модель с конкурирующими взаимодействиями между ферро- и антиферромагнитной фазами, которая рассматривается в настоящей работе. Чтобы найти точные рекуррентные соотношения, а затем получить значения параметров порядка, мы использовали обычную итерационную технику. При различных начальных значениях в точных рекуррентных соотношениях могут получаться разные решения, поэтому для отбора устойчивых решений модели учитывалась свободная энергия. Термические вариации параметров порядка $M_{1/2}$, $M_{5/2}$ и $Q_{5/2}$ подробно описаны в работе [10]. Мы уточняем эти результаты для получения фазовых диаграмм на плоскостях $(T,\alpha)$ и $(p,T)$ при $q=3$, что соответствует сотообразной решетке. Хорошо известно, что намагниченность непрерывным образом стремится к нулю при стремлении к температуре $T_{\mathrm{c}}$ фазового перехода второго рода; в этой точке $Q_{5/2}$ имеет небольшой излом. При температуре $T_{\mathrm{t}}$ фазового перехода первого рода в параметрах порядка возникают разрывы или скачки. Фазовые диаграммы состоят из линий температур $T_{\mathrm{c}}$ и $T_{\mathrm{t}}$ и критических точек, в которых эти линии разным образом комбинируются. На приведенных на рисунках фазовых диаграммах сплошные линии отвечают $T_{\mathrm{c}}$, а штриховые линии отвечают $T_{\mathrm{t}}$. Точка, в которой линии $T_{\mathrm{c}}$ и $T_{\mathrm{t}}$ сливаются вместе, называется тройной критической точкой, мы обозначаем ее кружком. Двойные критические точки первого рода, в которых линия $T_{\mathrm{c}}$ пересекает линию $T_{\mathrm{t}}$, обозначены квадратами, а двойные критические точки второго рода, в которых линия $T_{\mathrm{t}}$ пересекается с другой линией $T_{\mathrm{t}}$, – овалами. На диаграммах выделены области различных фаз, ферромагнитной (FM), антиферромагнитной (AFM) или парамагнитной (PM), разделеннные либо линиями $T_{\mathrm{c}}$, либо линиями $T_{\mathrm{t}}$. Наши первые фазовые диаграммы – это диаграммы на плоскости $(T,\alpha)$ для различных значений $D$ и $p$, показанные на рис. 1. Как видно из всех рисунков, при $p=1$ параметр $D$ не зависит от $\alpha$, что соответствует ферромагнитной модели Блюма–Капеля, и мы получаем только прямые линии $T_{\mathrm{c}}$, отделяющие ферромагнитную фазу от парамагнитной. Такая картина наблюдается при тем более высоких температурах, чем больше значение $D$. Следует отметить, что, по мере того как $D$ уменьшается, более ожидаемым становится самое низкое собственное значение оператора спина $5/2$, т. е. значение $\pm 1/2$, а по мере возрастания $D$ возникает сначала значение $\pm 3/2$ и, в конце концов, при еще более высоких температурах – значение $\pm 5/2$. Кроме того, как показано в работе [10], критические линии становятся постоянными по температуре, когда $D$ принимает низкие отрицательные или достаточно высокие положительные значения. В случае $p=0$, т. е. для антиферромагнитной модели Блюма–Капеля, мы видим, что температура критических линий возрастает с увеличением $\alpha$, поскольку увеличивается $J$. Если посмотреть на рис. 2 в работе [10], то мы замечаем, что для всех $p$, включая $p=0$, критические линии возрастают примерно в диапазоне $-1\leqslant D<0$, при других $D$ мы видим линии с постоянной температурой. На наших рисунках линии $T_{\mathrm{c}}$ при $p=0$ и $D=-1$, $D=-0.5$ не являются прямыми, что соответствует рис. 2 работы [10]. При $D=-2,\,0,\,1,\,2$ линии $T_{\mathrm{c}}$ представляют собой прямые с увеличивающимся наклоном. При достаточно больших значениях $p$ критические линии состоят из линий $T_{\mathrm{c}}$ и $T_{\mathrm{t}}$, соединяющихся в тройной критической точке. На всех частях рис. 1 критические линии начинаются как линии $T_{\mathrm{c}}$, которые заканчиваются в своей тройной критической точке, из которой возникают линии $T_{\mathrm{t}}$. Когда $p=0.95$, тройные критические точки наблюдаются при всё более высоких значениях $\alpha$, если $D$ изменяется как $D=-2,\,-1,\,-0.5$, но такие точки исчезают, если $D=0$. Для $p=0.875$ при всех $D$ наблюдаются тройные критические точки, но их положение зависит от наклона кривой в этой точке. На рис. 1д и 1е с большими $D$ мы видим также тройные критические точки при $p=0.75$, которые наблюдаются при малых $\alpha$. При всех остальных значениях $p$ на диаграммах присутствуют только линии $T_{\mathrm{t}}$, и температура на этих линиях тем ниже, чем меньше $p$ и чем выше $\alpha$.  Рис. 2.Детали фазовой диаграммы на рис. 1 при малых $p$ для $D=-2$ (а), $D=-1$ (б), $D=-0.5$ (в), $D=0$ (г), $D=1$ (д), $D=2$ (е). На рис. 1 не представлены некоторые детали диаграмм при малых значениях $p$. Мы приводим более детальный рис. 2 с некоторыми дополнительными особенностями фазовых диаграмм. На рис. 2а, 2б, 2в, полученных соответственно для $D=-2,\,-1,\,-0.5$, мы видим дополнительные линии $T_{\mathrm{c}}$ для каждого малого значения $p$. Все они пересекаются с соответствующими линиями $T_{\mathrm{t}}$ в двойных критических точках, которые с уменьшением $p$ располагаются при всё более малых $\alpha$ и низких $T$. На рис. 2а, отвечающем $D=-2$, линии $T_{\mathrm{c}}$ представляют собой прямые, наклон которых уменьшается по мере роста $p$. Эти линии прямые, потому что, как можно увидеть на рис. 2 в [10], при $D=-2$ линии фазового перехода – это линии постоянной температуры. На рис. 2б и 2в, которые отвечают $D=-1$ и $D=-0.5$, такие же линии изгибаются аналогично рис. 2 в [10], и температура на них растет быстрее, чем на рис. 2а. С ростом $p$ двойные критические точки первого рода наблюдаются при более высоких значениях $\alpha$ и $T$. При $D\geqslant 0$, как показано на рис. 2г–2е, все линии $T_{\mathrm{c}}$ заканчиваются в соответствующих тройных критических точках, расположенных на линиях $T_{\mathrm{t}}$, которые, в свою очередь, заканчиваются на других линиях $T_{\mathrm{t}}$ в двойной критической точке второго рода. Эти двойные критические точки и тройные критические точки мы снова наблюдаем при всё бóльших $\alpha$ и $T$, когда значение $p$ возрастает. Кроме того, тройные критические точки смещаются влево по мере увеличения $D$. На рис. 3 показаны фазовые диаграммы на плоскости $(p,T)$, полученные при фиксированных значениях $\alpha$, $0\leqslant\alpha\leqslant 1$ с шагом $0.1$, для $D=-2,\,-1,\,0,\,1$. Все критические линии начинаются при $p=0$ как линии $T_{\mathrm{t}}$. Температура на этих линиях увеличивается с ростом $p$, и все линии $T_{\mathrm{t}}$ заканчиваются в тройных критических точках, которые с уменьшением $\alpha$ наблюдаются при меньших $T$ и $p$. Возникающие из тройной критической точки линии $T_{\mathrm{c}}$ заканчиваются при $p=1$ в одной и той же точке. Линии $T_{\mathrm{c}}$ заканчиваются при одинаковых температурах, линии $T_{\mathrm{t}}$ начинаются при $p=0$ в точке с одной и той же температурой, только если $D<0$. При положительных $D$ они выходят из разных точек. При малых $p$ на диаграммах появляются дополнительные детали, которые показаны на рис. 4.  Рис. 4.Детали фазовой диаграммы на рис. 3 при малых $p$ для $D=-2$ (а), $D=-1$ (б), $D=0$ (в), $D=1$ (г). На рис. 4а и 4б, отвечающих $D=-2$ и $D=-1$, видно, что все линии $T_{\mathrm{t}}$ совпадают. Линии $T_{\mathrm{c}}$ с ростом $\alpha$ начинаются при $p=0$ в точках со всё более высокой $T$. По мере роста $p$ температура падает, и каждая из линий заканчивается в двойной критической точке первого рода, положение которой смещается в сторону бóльших $p$ и $T$ с ростом $\alpha$. Ферромагнитная фаза наблюдается под линиями $T_{\mathrm{t}}$, антиферромагнитная фаза заключена в области между линиями $T_{\mathrm{c}}$ и $T_{\mathrm{t}}$, парамагнитная фаза находится над линиями $T_{\mathrm{t}}$ за двойной критической точкой первого рода. Критические линии вновь поднимаются вверх, когда $D$ возрастает от $-2$ до $-1$. Эти дополнительные особенности не наблюдаются при $\alpha=0$ и $\alpha=0.1$. Рис. 4в и 4г соответствуют $D=0$ и $D=1$. Теперь нижние линии $T_{\mathrm{t}}$ разделяются и расположены тем выше, чем меньше $\alpha$. Вторые линии $T_{\mathrm{t}}$ начинаются из двойной критической точки второго рода и после повышения температуры заканчиваются в тройных критических точках, которые расположены при тем более низких $p$, чем меньше $\alpha$. Линии $T_{\mathrm{c}}$ начинаются из этих тройных критических точек, растут по температуре с уменьшением $p$ и при $p=0$ поднимаются по $T$ с ростом $\alpha$. Участок между этими линиями $T_{\mathrm{c}}$ и двумя линиями $T_{\mathrm{t}}$ перед двойной критической точкой второго рода охватывает антиферромагнитную фазу. После этой точки линии $T_{\mathrm{t}}$ снова разделяют пара- и ферромагнитную фазы. 4. Выводы и заключенияВ представленной работе мы получили фазовые диаграммы для модели Блюма–Капеля со смесью спинов $1/2$ и $5/2$ на решетке Бете. Эти результаты дополняют диаграммы нашей предыдущей работы [10]. Получив реализации распределения $\pm J$, т. е. реализации уравнения (1), с вероятностями $p$ и $1-p$ для $J>0$ и $J<0$ и параметром настройки $\alpha$, мы рассчитали фазовые диаграммы на плоскостях $(\alpha,T)$ и $(p,T)$ при заданных значениях $D$, варьируя $p$ и $\alpha$ в диапазонах $0\leqslant p\leqslant 1$ и $0\leqslant\alpha\leqslant 1$. Для исследования термических вариаций параметров порядка применялась итерационная процедура с использованием точных рекуррентных соотношений, а затем в модель вводилось вероятностное распределение. Мы установили, что в данной модели в случае координационного числа $q=3$, соответствующего сотообразной решетке, помимо тройной критической точки и двойных критических точек двух типов возникают фазовые переходы первого и второго рода. Следует отметить, что фазовые диаграммы, полученные здесь и в работе [10], находятся в полном согласии, как и должно быть. Конфликт интересовАвторы заявляют, что у них нет конфликта интересов. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{AlbOez23} |
|
||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|