| Теоретическая и математическая физика |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 7 научных статьях (всего в 7 статьях) Интегрирование модифицированного уравнения Кортевега–де Фриза–синус-Гордона в классе периодических бесконечнозонных функций А. Б. Хасановa, Х. Н. Нормуродовa, У. О. Худаёровb a Самаркандский государственный университет, Самарканд, Узбекистан b Самаркандский архитектурно-строительный институт, Самарканд, Узбекистан
Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2023, Volume 214, Issue 2, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0040577923020022 
Реферативные базы данных:
   1. ВведениеВ настоящей работе рассматривается задача Коши для нелинейного модифицированного уравнения Кортевега–де Фриза–синус-Гордона вида
$$
\begin{equation}
q_{xt} =a(t)\biggl\{q_{xxxx} -\frac{3}{2} q_x^{2} q_{xx} \biggr\}+b(t) \operatorname{ch} q,\qquad q=q(x,t),\quad x\in \mathbb{R},\quad t>0,
\end{equation}
\tag{1}
$$
с начальным условием
$$
\begin{equation}
q(x,t)|_{t=0} =q_0 (x),\qquad q_0 (x+\pi)=q_0 (x)\in C^{6}(\mathbb{R})
\end{equation}
\tag{2}
$$
в классе действительных бесконечнозонных $\pi$-периодических по $x$ функций:
$$
\begin{equation}
q(x+\pi,t)=q(x,t),\qquad q(x,t)\in C_{x,t}^{4,1} (t>0)\cap C(t\geqslant 0).
\end{equation}
\tag{3}
$$
Здесь $a(t),b(t)\in C ([0,\infty ))$ – заданные непрерывные ограниченные функции. Нетрудно убедиться, что условия совместности линейных уравнений
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, y=\begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix}, \qquad y_x=\begin{pmatrix} q_x/2 & -\lambda \\ \lambda & -q_x/2 \end{pmatrix} y, \\ y_t=\biggl\{\frac{1}{2\lambda}\begin{pmatrix} 0 & {b(t)e^{q}}/{2} \\ {b(t)e^{-q}}/{2} & 0 \end{pmatrix} +a(t)\begin{pmatrix} A & \hphantom{-}B \\ C & -A \end{pmatrix} \biggr\}y \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
эквивалентны уравнению (1) для функции $q=q(x,t)$, $x \in \mathbb{R}$, $t>0$. Здесь
$$
\begin{equation*}
A=-2{\lambda}^{2} q_x-\frac{1}{4} q_x^{3}+\frac{1}{2} q_{xxx},\qquad B=\lambda q_{xx}+4\lambda^{3}+\frac{\lambda}{2}q_x^{2},\qquad C=\lambda q_{xx}-4\lambda^{3}-\frac{\lambda}{2}q_x^{2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Следует отметить, что в работе [1] прямым методом было проинтегрировано модифицированное уравнение Кортевега–де Фриза–синус-Гордона вида
$$
\begin{equation*}
u_{xt} +a\biggl\{\frac{3}{2} u_x^{2} u_{xx} +u_{xxxx} \biggr\}=b\sin u,
\end{equation*}
\notag
$$
где $a, b=\mathrm{const}$, в классе быстро убывающих функций. Заметим, что из уравнения (1) для случая $b(t)=0$, $a(t)=1$ мы получаем модифицированное уравнение Кортевега–де Фриза [2], а для $a(t)=0$, $b(t)=1$ мы имеем уравнение синус-Гордона [3]. Уравнение синус-Гордона вида
$$
\begin{equation*}
u_{xt} =\sin u,\qquad u=u(x,t),\qquad x\in \mathbb{R},\, t>0,
\end{equation*}
\notag
$$
было проинтегрировано в работах [4], [5] (см. также [6]–[9]) в классе быстро убывающих и конечнозонных функций. Кроме того, для конечнозонных решений была выведена явная формула через тета-функции Римана. Таким образом, была установлена (см. [6]–[9]) разрешимость задачи Коши для уравнения синус-Гордона при любых конечнозонных начальных данных. Более подробно эта теория изложена в монографиях [10]–[11], а также в работе [12]. Известно [13], что если $q(x)=2a\cos 2x$, $a\ne 0$, то в спектре оператора Штурма–Лиувилля $Ly\equiv -y''+q(x)y$, $x\in \mathbb{R}$, открыты все лакуны, иначе говоря, $q(x)$ – периодический бесконечнозонный потенциал. Аналогичные примеры имеются для периодического оператора Дирака [14]. В настоящей работе предлагается алгоритм построения решения $q(x,t)$, $x\in \mathbb{R}$, $t>0$, задачи (1)–(3) сведением еe к обратной спектральной задаче для оператора Дирака:
$$
\begin{equation}
L(\tau ,t)y\equiv B\frac{dy}{dx} +\Omega (x+\tau,t)y=\lambda y,\qquad x\in \mathbb{R},\quad t>0,\quad \tau \in \mathbb{R},
\end{equation}
\tag{4}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, B=\begin{pmatrix} \hphantom{-}0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix},\qquad \Omega(x,t)=\begin{pmatrix} P(x,t) & \hphantom{-}Q(x,t) \\ Q(x,t) & -P(x,t) \end{pmatrix},\\ P(x,t)=0,\qquad Q(x,t)=\frac{1}{2} q'_x(x,t). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Отметим, что задача Коши в классе периодических функций для нелинейных эволюционных уравнений без источника и с источником, а также с дополнительным членом в различных постановках изучалась в работах [15]–[26]. 2. Эволюция спектральных данныхОбозначим через
$$
\begin{equation*}
c(x,\lambda,\tau,t)=(c_1 (x,\lambda,\tau,t),c_2 (x,\lambda,\tau,t))^\mathrm{T}, \quad s(x,\lambda,\tau,t)=(s_1 (x,\lambda,\tau,t),s_2 (x,\lambda,\tau,t))^\mathrm{T}
\end{equation*}
\notag
$$
решения уравнения (4) с начальными условиями $c(0,\lambda,\tau,t)=(1,0)^\mathrm{T}$ и $s(0,\lambda,\tau,t)=(0,1)^\mathrm{T}$. Функция $\Delta (\lambda,\tau,t)=c_1 (\pi,\lambda,\tau,t)+s_2 (\pi,\lambda,\tau,t)$ называется функцией Ляпунова для уравнения (4). Спектр оператора Дирака $L(\tau,t)$ чисто непрерывный и состоит из множества
$$
\begin{equation*}
\sigma (L)=\{\lambda \in \mathbb{R}\!: |\Delta(\lambda)|\leqslant 2\}=\mathbb{R}\bigm\backslash \bigcup_{n=-\infty}^{\infty }(\lambda_{2n-1}, \lambda_{2n}).
\end{equation*}
\notag
$$
Интервалы $(\lambda _{2n-1},\lambda _{2n})$, $n\in \mathbb{Z}\backslash \{0\}$, называются лакунами, где $\lambda_{n}$ – корни уравнения $\Delta(\lambda)\mp 2=0$. Они совпадают с собственными значениями периодической или антипериодической $(y(0)=\pm y(\pi))$ задачи для уравнения (4). Нетрудно доказать, что $\lambda_{-1} =\lambda_0 =0$, т. е. $\lambda =0$ является двукратным собственным значением периодической задачи для уравнения (4). Корни уравнения $s_1 (\pi,\lambda,\tau,t)=0$ обозначим через $\xi _{n} (\tau,t)$, $n\in \mathbb{Z}\backslash \{0\}$, при этом $\xi_{n} (\tau,t)\in [\lambda_{2n-1},\lambda_{2n}]$, $n\in \mathbb{Z}\backslash \{0\}$. Так как коэффициент в уравнении (4) имеет вид $P(x,t)\equiv 0$, $Q(x,t)=q'_x (x,t)/2$, то справедливо $\lambda_{-1} =\lambda_0 =\xi_0 =0$, т. е. $\xi =0$ является собственным значением задачи Дирихле. Числа $\xi_{n} (\tau,t)$ и знаки $\sigma_{n} (\tau,t)=\operatorname{sign}\{s_2 (\pi,\xi_{n},\tau,t)-c_1 (\pi,\xi_{n},\tau,t)\}$, $n\in \mathbb{Z}\backslash \{0\}$, называются спектральными параметрами оператора $L(\tau,t)$. Спектральные параметры $\xi_{n} (\tau,t),\sigma_{n} (\tau,t)=\pm 1$, $n\in \mathbb{Z}\backslash \{0\}$, и границы спектра $\lambda_{n} (\tau,t)$, $n\in \mathbb{Z}\backslash \{0\}$, называются спектральными данными оператора Дирака $L(\tau,t)$. Задача восстановления коэффициента $\Omega (x,t)$ оператора $L(\tau,t)$ по спектральным данным называется обратной задачей. С помощью начальной функции $q_0 (x+\tau)$, $\tau \in \mathbb{R}$, построим оператор Дирака вида $L(\tau,0)$. Решая прямую задачу, находим спектральные данные
$$
\begin{equation*}
\{\lambda_{n}, \xi_{n}^{0} (\tau), \sigma_{n}^{0} (\tau), n\in \mathbb{Z}\backslash \{0\}\}
\end{equation*}
\notag
$$
оператора $L(\tau,0)$. Обратная задача для оператора Дирака
$$
\begin{equation*}
Ly\equiv \begin{pmatrix} \hphantom{-}0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} y'_1 \\ y'_2 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} p(x) & \hphantom{-}q(x) \\ q(x) & -p(x) \end{pmatrix}\begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix}=\lambda y,\qquad x\in \mathbb{R},
\end{equation*}
\notag
$$
с периодическими коэффициентами $p(x)=p(x+\pi)$, $q(x)=q(x+\pi)$ в различных постановках изучены в работах [27]–[35]. Основной результат настоящей работы содержится в следующей теореме. Теорема 1. Пусть $q(x,t)$, $x\in \mathbb{R}$, $t>0$, – решение задачи Коши (1)–(3). Тогда спектральные данные $\{\lambda_{n} (\tau,t),\xi_{n} (\tau,t), \sigma_{n} (\tau,t)=\pm 1\}$, $n\in \mathbb{Z}\backslash \{0\}$, оператора $L(\tau,t)$ удовлетворяют аналогу системы дифференциальных уравнений Дубровина: Доказательство. Пусть $\pi$-периодическая по $x$ функция $q(x,t)$, $x\in \mathbb{R}$, $t>0$, удовлеворяет уравнению (1). Обозначим через $y_{n} =(y_{n,1} (x,\tau,t),y_{n,2} (x,\tau,t))^\mathrm{T}$, где $n\in \mathbb{Z}\backslash \{0\}$, ортонормированные собственные вектор-функции оператора $L(\tau,t)$, рассматриваемого на отрезке $[0,\pi]$, с граничными условиями Дирихле соответствующие собственным значениям $\xi_{n} =\xi_{n} (\tau,t)$, $n\in \mathbb{Z}\backslash \{0\}$. Дифференцируя по $t$ тождество Если заменить граничные условия Дирихле периодическими $(y(0,t)=y(\pi,t))$ или антипериодическими $(y(0,t)=-y(\pi,t))$ граничными условиями, то вместо уравнения (17) получим
$$
\begin{equation*}
\frac{\partial \lambda_{n} (\tau,t)}{\partial t} =0,\qquad \text{т.е.}\,\, \lambda_{n}(\tau,t)=\lambda_{n}(\tau,0),\quad n\in \mathbb{Z}\backslash \{0\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь в уравнении $L(\tau,t)\nu_{n} =\lambda_{n}(\tau,t)\nu_{n}$, $n\in \mathbb{Z}\backslash \{0\}$, положим $t=0$. Так как собственные значения $\lambda_{n}(\tau )=\lambda_{n}(\tau,0)$, $n\in \mathbb{Z}$, периодической или антипериодической задачи для уравнения $L(\tau,0)\nu_{n} =\lambda_{n}(\tau)\nu_{n}$, $n\in \mathbb{Z}$, не зависят от параметра $\tau \in \mathbb{R}$, имеем $\lambda_{n}(\tau,t)=\lambda_{n}(\tau )=\lambda_{n}$, $n\in \mathbb{Z}$. Теорема доказана. Далее, учитывая формулы следов
$$
\begin{equation}
q'_{\tau}(\tau,t)=2\sum_{\substack{k=-\infty,\\ k\neq 0}}^{\infty}(-1)^{k-1} \sigma_{k}(\tau,t) h_{k} (\xi(\tau,t)),
\end{equation}
\tag{19}
$$
$$
\begin{equation}
q(\tau,t)=C(t)+2\int_0^{\tau}\biggl(\sum_{\substack{k=-\infty,\\ k\ne 0}}^{\infty}(-1)^{k-1} \sigma_{k} (s,t) h_{k}(\xi(s,t))\biggr)\,ds,
\end{equation}
\tag{20}
$$
$$
\begin{equation}
\biggl(\frac{1}{2} q_{\tau}(\tau,t)\biggr)^{2} +\frac{1}{2} q_{\tau \tau}(\tau,t)=\sum_{\substack{k=-\infty,\\ k\neq 0}}^{\infty}\biggl(\frac{\lambda_{2k-1}^{2} +\lambda_{2k}^{2}}{2} -\xi_{k}^{2}(\tau,t)\biggr),
\end{equation}
\tag{21}
$$
где $C(t)$ – некоторая ограниченная непрерывная функция, систему (6) можно переписать в замкнутой форме:
$$
\begin{equation}
\frac{\partial \xi_{n}(\tau,t)}{\partial t} =2(-1)^{n} \sigma_{n}(\tau,t)\sqrt{(\xi_{n} (\tau,t)-\lambda_{2n-1})(\lambda_{2n} -\xi_{n}(t,\tau))} f_{n}(\xi ) g_{n}(\xi(\tau,t)),
\end{equation}
\tag{22}
$$
где
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, g_{n}(\xi)={}&a(t)\biggl[4\xi_{n}^{3}(\tau,t)+2\xi_{n}(\tau,t)\!\sum_{\substack{k=-\infty,\\ k\neq 0}}^{\infty}\biggl(\frac{\lambda_{2k-1}^{2} +\lambda_{2k}^{2}}{2} -\xi_{k}^{2}(\tau,t)\biggr) \biggr]+{} \nonumber \\ &+\frac{b(t)}{4\xi_{n}(\tau,t)} \exp \biggl\{C(t)+2\int_0^{\tau}\biggl(\,\sum_{\substack{k=-\infty,\\ k\ne 0}}^{\infty}\!\!(-1)^{k-1} \sigma_{k}(s,t) h_{k}(\xi(s,t))\biggr)\,ds \biggr\}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{23}
$$
В результате замены переменных
$$
\begin{equation*}
\xi_{n}(\tau,t)=\lambda_{2n-1} +(\lambda_{2n} -\lambda_{2n-1})\sin^{2}x_{n}(\tau,t),\qquad n\in \mathbb{Z}\backslash \{0\},
\end{equation*}
\notag
$$
систему дифференциальных уравнений Дубровина (22) и начальные условия (7) можно переписать в виде одного уравнения в банаховом пространстве $K$:
$$
\begin{equation}
\frac{dx(\tau,t)}{dt} =H(x(\tau,t)),\qquad x(\tau,t)|_{t=0} =x^{0}(\tau)\in K,
\end{equation}
\tag{24}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, K&=\biggl\{x(\tau,t)=(\dots,x_{-1} (\tau,t),x_1 (\tau,t),\dots)\colon \\ &\qquad\qquad\| x(\tau,t)\| =\sum_{\substack{n=-\infty,\\ n\ne 0}}^{\infty}(1+|n|)(\lambda_{2n} -\lambda_{2n-1})|x_{n} (\tau,t)| <\infty \biggr\},\\ H(x)&=(\dots, H_{-1} (x), H_1 (x),\dots),\\ H_{n}(x)&=(-1)^{n} \sigma_{n}(0) g_{n} (\dots, \lambda_1 +(\lambda_2 -\lambda_1)\sin^{2} x_1(\tau,t),\dots)\times{} \\ &\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\times f_{n}(\dots, \lambda_1 +(\lambda_2 -\lambda_1)\sin^{2} x_1 (\tau,t),\dots). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Известно (см. [27], стр. 98), что если $q_0 (x+\pi)=q_0 (x)\in C^{6}(\mathbb{R})$, то $(q_0 (x))' \in C^{5}(\mathbb{R})$. Поэтому для длины лакуны оператора $L(\tau,0)$ имеет место равенство
$$
\begin{equation*}
\gamma_{k} \equiv \lambda_{2k} -\lambda_{2k-1} =\frac{|q_{2k}^{5}|}{2^{4} |k|^{5} } +\frac{\delta_{k}}{|k|^{6}},
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \begin{aligned} \, \lambda_{2k}&=k+\sum_{j=1}^{6}c_{j} k^{-j} + 2^{-5} |k|^{-5} |q_{2k}^{5}|+ |k|^{-6} \varepsilon_{k}^+,\\ \lambda_{2k-1}&=k+\sum_{j=1}^{6}c_{j} k^{-j} -2^{-5} |k|^{-5} |q_{2k}^{5}|+ |k|^{-6} \varepsilon_{k}^-, \end{aligned} \\ \sum_{k=-\infty}^{\infty}|q_{2k}^{5}|^{2} <\infty,\qquad \sum_{k=-\infty}^{\infty}(\varepsilon_{k}^{\pm})^{2} <\infty,\qquad \delta_{k} =\varepsilon_{k}^{+} -\varepsilon_{k}^{-}. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{25}
$$
Отсюда, учитывая $\xi_{n}(\tau,t)\in [\lambda_{2n-1},\lambda_{2n}]$, получим
$$
\begin{equation*}
\inf_{k\ne n} |\xi_{n}(\tau,t)-\xi_{k}(\tau,t)|\geqslant a>0.
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь, пользуясь этим неравенством и (25), оценим функции
$$
\begin{equation*}
|f_{n}(\xi(\tau,t))|,\qquad \biggl|\frac{\partial f_{n}(\xi(\tau,t))}{\partial \xi_{m}}\biggr|, \qquad |g_{n}(\xi(\tau,t))|,\qquad \biggl|\frac{\partial g_{n}(\xi(\tau,t))}{\partial \xi_{m}} \biggr|.
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма 1. Справедливы следующие оценки: где $C_{j} >0$, $j=1,2,3,4,5$, не зависят от параметров $m$ и $n$. Неравенства (26) доказаны в работе [22]. Лемма 2. Если $q_0 (x+\pi )=q_0 (x)\in C^{6}(\mathbb{R})$, то вектор-функция $H(x(\tau,t))$ удовлетворяет условию Липшица в банаховом пространстве $K$, т. е. существует константа $L>0$ такая, что для произвольных элементов $x(\tau,t), y(\tau,t)\in K$ выполняется следующее неравенство: где Доказательство. Сначала, используя лемму 1, оценим производную функции $F_{n}(\xi)=g_{n}(\xi)f_{n}(\xi)$, $n \in \mathbb{Z}\backslash \{0\}$: Далее, используя выражение
$$
\begin{equation*}
H_{n} (x(\tau,t))=(-1)^{n} \sigma_{n}^{0}(\tau)F_{n}(\xi(\tau,t)),\qquad n \in \mathbb{Z}\backslash \{0\},
\end{equation*}
\notag
$$
получим равенство
$$
\begin{equation*}
|H_{n}(x(\tau,t))-H_{n}(y(\tau,t))|=|F_{n}(\xi(\tau,t))-F_{n}(\eta(\tau,t))|.
\end{equation*}
\notag
$$
Применим к функции $\varphi(t)=F_{n}(\xi +t(\eta -\xi))$ теорему Лагранжа о конечном приращении на отрезке $t\in [0,1]$. Тогда получим равенство т. е.
$$
\begin{equation*}
F_{n}(\xi )-F_{n}(\eta)=\sum_{\substack{m=-\infty,\\ m\neq 0}}^{\infty}\frac{\partial F_{n}(\theta)}{\partial \xi_{m}} (\xi_{m} -\eta_{m}),
\end{equation*}
\notag
$$
где $\theta =\xi +t^{*}(\eta -\xi)$. Отсюда следует, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, |H_{n} (x(\tau,t))&-H_{n}(y(\tau,t))|=|F_{n}(\xi (\tau,t))-F_{n}(\eta(\tau,t))|\leqslant{}\\ &\leqslant \sum_{\substack{m=-\infty,\\ m\neq 0}}^{\infty}\biggl|\frac{\partial F_{n}(\theta)}{\partial \xi_{m}} \biggr|\cdot |\xi_{m}(\tau,t)-\eta_{m}(\tau,t)|\leqslant{}\\ &\leqslant C|n|^{3} \sum_{\substack{m=-\infty,\\ m\neq 0}}^{\infty}(|m|+1) |\lambda_{2m} -\lambda_{2m-1}|\cdot |\sin^{2} x_{m} -\sin^{2} y_{m} | \leqslant{}\\ &\leqslant C|n|^{3} \sum_{\substack{m=-\infty,\\ m\neq 0}}^{\infty}(|m|+1)|\lambda_{2m} -\lambda_{2m-1}|\cdot |x_{m} -y_{m}| =C|n|^{3} \| x-y\|. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \xi_{m}(\tau,t)&=\lambda_{2m-1} +(\lambda_{2m} -\lambda_{2m-1})\sin^{2} x_{m}(\tau,t), \\ \eta_{m}(\tau,t)&=\lambda_{2m-1} +(\lambda_{2m} -\lambda_{2m-1})\sin^{2} y_{m}(\tau,t). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь оценим норму $\| H(x(\tau,t))-H(y(\tau,t))\|$:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \| H(x)-H(y)\| &=\sum_{\substack{n=-\infty,\\ n\neq 0}}^{\infty}(|n|+1)(\lambda_{2n} -\lambda_{2n-1})|H_{n} (x)-H_{n} (y)| \leqslant{}\\ &\leqslant \sum_{\substack{n=-\infty,\\ n\neq 0}}^{\infty}C|n|^{3}(|n|+1)(\lambda_{2n} -\lambda_{2n-1})\cdot \| x-y\| =L\| x-y\|, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
L=\sum_{ \substack{n=-\infty,\\ n\ne 0}}^{\infty }C|n|^{3} (|n|+1)(\lambda_{2n} -\lambda_{2n-1}) =C\sum_{\substack{n=-\infty,\\ n\ne 0}}^{\infty}|n|^{3} (|n|+1)\gamma_{n} <\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, условие Липшица выполняется. Поэтому решение задачи Коши (6), (7) для всех $t\geqslant0$ и $\tau \in \mathbb{R}$ существует и единственно. Лемма доказана. Замечание 1. Теорема 1 и лемма 2 дают метод решения задачи (1)–(3). Сначала найдем спектральные данные $\lambda_{n}$, $\xi_{n}^{0}(\tau)$, $\sigma_{n}^{0}(\tau)=\pm 1$, $n\in \mathbb{Z}\backslash \{0\}$, оператора Дирака $L(\tau,0)$. Обозначим спектральные данные оператора $L(\tau,t)$ через $\lambda_{n}$, $\xi_{n}(\tau,t)$, $\sigma_{n}(\tau,t)=\pm 1$, $n\in \mathbb{Z}\backslash \{0\}$. Решая задачу Коши (22), (7) при произвольном значении $\tau$, находим $\xi_{n}(\tau,t)$, $\sigma_{n}(\tau,t)$, $n\in \mathbb{Z}\backslash \{0\}$. Из формулы следов (19) определим функцию $q_{\tau}(\tau,t)$, т. е. решение задачи (1)–(3). До сих пор мы предполагали, что задача Коши (1)–(3) имеет решение. От этого предположения нетрудно освободиться, непосредственно убедившись, что полученная таким способом функция $q_{\tau} (\tau,t)$, $\tau \in \mathbb{R}$, $t>0$, действительно удовлетворяет уравнению (1). Замечание 2. Функция $q_{\tau}(\tau,t)$, построенная с помощью системы уравнений Дубровина (6), (7) и формулы следов (19), действительно удовлетворяет уравнению (1). Используем вторую формулу следов Замечание 3. Равномерная сходимость рядов в (19)–(21) и (28), а также равенство (35) следует из равенств (25) и оценки (26). Таким образом, нами доказана следующая теорема. Теорема 2. Если начальная функция $q_0 (x)$ удовлетворяет условию то существует решение $q'_x (x,t)$, $x\in \mathbb{R}$, $t>0$, задачи (1)–(3), которое однозначно задается формулой (19) и принадлежит классу $C_{x,t}^{4,1}(t>0)\cap C(t\geqslant 0)$. Следствие 1. Используя результаты работ [27], [28], выводим, что если начальная функция $q_0 (x)$ является действительной аналитической $\pi$-периодической функцией, то решение $q(x,t)$ задачи (1)–(3) является действительной аналитической функцией по переменной $x$. Следствие 2. Если число $\pi/2$ является периодом (антипериодом) начальной функции $q_0(x)$, то все корни уравнения $\Delta(\lambda)+2=0$ ($\Delta(\lambda)-2=0$) являются двукратными. Так как функция Ляпунова, соответствующая коэффициенту $q(x,t)$, совпадает с $\Delta(\lambda)$, то согласно результатам работ [29], [30] число $\pi/2$ является также периодом (антипериодом) решения $q(x,t)$ по переменной $x$. Конфликт интересовАвторы заявляют, что у них нет конфликта интересов.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{KhaNorHud23} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|