| Теоретическая и математическая физика |
|
|
|
|
|
Многоточечные вероятности прохождения и функции Грина для SLE О. В. Алексеев Исследовательская лаборатория им. П. Л. Чебышева, Факультет математики и компьютерных наук, Санкт-Петербургский государственный университет, Санкт-Петербург, Россия
Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2023, Volume 214, Issue 2, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S004057792302006X 
Реферативные базы данных:
   1. ВведениеЭволюция Шрамма–Лёвнера (SLE) – это общепринятый подход для изучения фрактальных кривых или множеств, растущих внутри односвязной плоской области $\mathcal D\in\mathbb C$ [1]. Этот подход нацелен на построение мер на случайных кривых, которые наблюдаются в данных системах. В простейшем случае SLE из точки $x_1$ в точку $x_2$ (таких, что $x_1,x_2\in {\partial} \mathcal D$) мера генерируется динамически при росте кривой из одной из точек. Традиционно в качестве области выбирается верхняя полуплоскость $\mathbb H=\{z\in\mathbb C\colon \operatorname{Im} z>0\}$. Тогда кривая $\gamma_t$, развивающаяся до момента времени $t$ (или, скорее, ее дополнение $K_t$), описывается конформным отображением $g_t\colon \mathbb H\setminus K_t\to\mathbb H$, нормированным таким образом, что $g_t(z)\sim z+2t/z+O(z^{-2})$ при $z\to\infty$. Это конформное отображение $g_t$ удовлетворяет уравнению Лёвнера: где $B_t$ – стандартное броуновское движение с нулевым средним и среднеквадратичным отклонением, $[B_t,B_s]=t \delta_{t-s}$. В уравнении Лёвнера единственный действительный параметр $\kappa$ определяет геометрические свойства кривых SLE. Эти кривые являются простыми путями при $\kappa\leqslant4$; при $4<\kappa\leqslant 8$ кривые не имеют самопересечений, но могут иметь двойные точки, в то время как при $\kappa\geqslant 8$ кривые заполняют пространство [2].Различные геометрические наблюдаемые играют важную роль в теории SLE. Одной из простейших наблюдаемых является вероятность того, что случайная кривая проходит левее заданной точки $z\in\mathbb H$ [3]:
$$
\begin{equation}
P_\mathrm{L}(z)=\frac12+\frac{\Gamma(4/\kappa)}{\sqrt\pi \Gamma((8-\kappa)/2\kappa)}\frac{x}{y}\,{}_2F_1\biggl(\frac12,\frac{4}{\kappa},\frac32;-\frac{x^2}{y^2}\biggr),
\end{equation}
\tag{2}
$$
где ${}_2F_1(a,b,c;x)$ – гипергеометрическая функция, $\Gamma(x)$ – гамма-функция, $z=x+i y$ – комплексная координата на плоскости. При $\kappa=8/3$ выражение для вероятности упрощается: $P_\mathrm{L}(z)=1/2+x/2|z|$. Аналогичная формула для двухточечной вероятности прохождения была предложена Симмонсом и Карди [4] с использованием методов конформной теории поля (КТП) при условии, что $\kappa=8/3$. Кратко обсудим результаты Симмонса и Карди [4]. Их подход использует тесную связь между SLE$_{\kappa}$ и КТП, которая позволяет изучать критические кривые с помощью методов КТП [5]. Хорошо известно, что многие двумерные статистические системы, например $O(n)$ модель и перколяция, имеют эквивалентные петлевые представления [6]. Различные ансамбли петель традиционно описываются в терминах SLE [1], [2]. С другой стороны, петлевая модель может быть отображена на модель случайных высот с помощью формализма кулоновского газа. В непрерывном пределе последняя модель описывается с помощью КТП, поэтому становится возможным изучение петлевых ансамблей в подходе КТП. Мы кратко описываем эти связи в разделе 2. Важной частью подхода Симмонса и Карди является отождествление так называемых твист-операторов с операторами Шрамма с нулевым конформным весом при $\kappa=8/3$. Твист-операторы в точке $z_i\in\mathbb H$ изменяют статистический вес петель, проходящих разными способами между этими точками. Грубо говоря, корреляционная функция, содержащая единственный твист-оператор в точке $z\in\mathbb H$, позволяет вычислить ожидаемое количество петель, которые отделяют точку $z$ от границы. В п. 3.1 показано, что эта корреляционная функция тесно связана с формулой Шрамма (2). Подобным образом корреляционная функция, содержащая пару твист-операторов в $\mathbb H$, может использоваться для вычисления ожидаемого количества петель, которые отделяют обе точки от границы. Карди и Симмонс [4] показали, что эта функция тесно связана с вероятностью прохождения кривой слева от двух точек. В настоящей работе мы обобщаем результат Симмонса и Карди на случай $N\geqslant3$ точек в $\mathbb H$. В этом случае система дифференциальных уравнений в частных производных, которая определяет соответствующие вероятности, оказывается крайне сложной для прямого решения. Для построения решений данных уравнений мы используем формализм кулоновского газа [7], [8]. В результате мы получаем явные выражения для вероятностей SLE${}_{8/3}$ кривой проходить различными способами между $N\geqslant3$ точек в $\mathbb H$. Примечательно, что этот результат может использоваться для вычисления многоточечных функций Грина для SLE. Действительно, вероятность того, что SLE кривая проходит меду точками $z_1,z_2\in \mathbb H$, переходит в одноточечную функцию Грина для SLE в процессе попарного слияния точек. Аналогично можно ожидать, что $2N$-точечные вероятности прохождения сводятся к $N$-точечным функциям Грина при попарном слиянии точек $z_1,z_2,\dots,z_{2N}$. Статья имеет следующую структуру. В разделе 2 мы кратко рассматриваем $O(n)$ модель, которая выступает в роли связующего звена между SLE и КТП. Мы также определяем твист-операторы и описываем их конформные свойства. В разделе 3 мы используем методы КТП для вычисления вероятностей SLE${}_{8/3}$ кривой проходить разными путями около $1,2,\dots,N$ отмеченных точек в верхней полуплоскости. В частности, в п. 3.6 мы получаем кулоновское представление для $N$-точечных вероятностей прохождения SLE кривых. Раздел 4 посвящен многоточечным функциям Грина для SLE$_{8/3}$ кривых в верхней полуплоскости. Мы получаем явные выражения для функций Грина в терминах корреляционных функций операторов конформного веса $1/3$ в области и так называемых 1-leg-операторов на границе области в логарифмической КТП с центральным зарядом $c=0$ в $\mathbb H$. В разделе 5 мы подводим итоги работы. 2. $O(n)$ модель, КТП и SLEНачнем со стандартного петлевого представления для $O(n)$ модели с $n$-компонентными спинами $\mathbf{s}(r_i)$ такими, что $\mathbf{s}^2(r_i)=1$, на решетке $\{r_i\}$. Статистическая сумма модели может быть представлена в следующем виде:
$$
\begin{equation}
Z=\operatorname{Tr}\prod_{\langle ij\rangle}(1+x \mathbf{s}(r_i)\cdot\mathbf{s}(r_j)),
\end{equation}
\tag{3}
$$
где $\operatorname{Tr} s_a(r_i)s_b(r_j) = \delta_{ab}$, множитель $x$ – параметр модели, произведение идет по парам ближайших соседей. Произведение можно разложить в сумму $2^K$ членов, где $K$ – число ближайших соседей. Каждый член связан с графом на решетке следующим образом: связь между $r_i$ и $r_j$ включается в граф, если множитель $x\mathbf{s}(r_i)\cdot\mathbf{s}(r_j)$ появляется в разложении. Отметим, что только графы с замкнутыми петлями вносят вклад в сумму. Статистическая сумма принимает довольно простой вид, если модель рассматривается на шестиугольной решетке, где петли могут проходить по каждому ребру только один раз. Каждая петля вносит суммарный вес $n$ в статистическую сумму, так как $\operatorname{Tr} s_a(r_i)s_b(r_j)=\delta_{ab}$. Каждое занятое ребро вносит множитель $x$. Таким образом, статистическая сумма эквивалентна выражению где сумма берется по всем замкнутым не пересекающимся петлевым конфигурациям $\Lambda$ на шестиугольной решетке, $\mathcal N$ – полное число петель, $\mathcal L$ – полная длина петель в каждой конфигурации.Длинные петли подавлены для небольших значений $x$, так что модель движется к вакуумному состоянию при преобразованиях ренормгруппы. Для больших значений $x$ модель движется к некоторой фиксированной точке, описывающей плотно упакованные петли. На границе между этими двумя режимами существует критическая точка $x = x_\mathrm{c}$, $x_\mathrm{c} = (2+\sqrt{2-n}\,)^{-1/2}$, для которой средняя длина петель расходится и система движется к разряженной фиксированной точке [6]. В этой точке модель является конформно-инвариантной, поэтому критическая точка $O(n)$ модели может изучаться в рамках КТП подхода. Сумма по замкнутым петлям в формуле (4) может быть разложена на две части в зависимости от ориентации петель. Это достигается путем добавления множителей $e^{i\pi\chi}$ (множителей $e^{-i\pi\chi}$) в каждой вершине, где кривая поворачивает направо (налево), и последующим суммированием по двум возможным ориентациям каждой петли. В результате каждая замкнутая петля на шестиугольной решетке вносит множитель $e^{6\pi i\chi}+e^{-6\pi i\chi}$ в статистическую сумму. Так как вклад каждой петли должен быть равен $n$, можно заключить, что Хорошо известно, что ориентированные петли могут рассматриваться как линии уровня функции высоты, скажем $h(r)$, на дуальной решетке. Единственное требование заключается в том, что функция высоты изменяется на $\pi$ ($-\pi$) всегда, когда пересекается петля, ориентированная по (против) часовой стрелки. Поэтому существует однозначное соответствие между заданной конфигурацией высот и графом ориентированных петель. Можно утверждать, что при ренормгрупповом потоке модель случайных высот движется к свободной теории поля, которая описывается действием где $g=1-6\chi/\pi$ (см. [9]), поэтому модель случайных высот связывает петлевую модель с КТП, которая описывает ее непрерывный предел.Кроме того, можно показать, что мера на петлях в скейлинговом пределе $O(n)$ модели в критической точке $x_\mathrm{c}$ приближается к мере SLE$_\kappa$ для [10] где $2<\kappa<4$ для разряженной фазы и $4<\kappa$ для плотной фазы. Следовательно, петлевая модель соответствует рациональной КТП с центральным зарядом и конформными весами
$$
\begin{equation}
c=\frac{(6-\kappa)(3\kappa-8)}{2\kappa}, \qquad h_{r,s}=\frac{(\kappa r-4s)^2-(\kappa-4)^2}{16\kappa}.
\end{equation}
\tag{7}
$$
Ниже мы рассматриваем только разряженный режим при $2<\kappa<4$. Отметим, что случай $\kappa=8/3$ соответствует логарифмической КТП с центральным зарядом $c=0$. Логарифмическая КТП характеризуется логарифмической структурой в операторном разложении, объясняемой неразложимыми представлениями, возникающими при слиянии примарных операторов [11], [12]. Другими словами, существуют примарные операторы с вырожденной скейлинговой размерностью, составляющие жордановские клетки. Так называемые твист-операторы, рассматриваемые в работе [13], играют ключевую роль при изучении Симмонсом и Карди вероятностей SLE кривых проходить различными способами около отмеченных точек в $\mathbb H$. Пара твист-операторов меняет веса путей, проходящих между этими операторами. Так как веса петель, разделяющих твист-операторы, равны $-n$, статистическая сумма петлевой модели в присутствии твист-операторов принимает вид
$$
\begin{equation}
Z=\sum_{\Lambda}(-1)^{\mathcal N_s}n^{\mathcal N} x^{\mathcal L},
\end{equation}
\tag{8}
$$
где $\mathcal N_s$ – количество петель, разделяющих твист-операторы. Таким образом, твистоператоры могут использоваться для подсчета количества петель с весами $-n$, а не $n$. Скейлинговая размерность твист-операторов может быть вычислена явно [13]. Действительно, эти операторы соответствуют примарным операторам $\Phi_{2,1}$ в КТП1, поэтому их веса из таблицы Каца имеют вид Твист-операторы являются бесспиновыми, так что их антиголоморфная размерность совпадает с голоморфной размерностью. Другой набор операторов, важных с точки зрения SLE/КТП-соответствия, – это так называемые граничные $N$-leg-операторы, которые прикрепляют SLE кривые к границам области. В формализме кулоновского газа эти операторы изменяют граничные условия на $N$ шагов вблизи $\epsilon$-окрестности точки их расположения и могут быть отождествлены с граничными примарными операторами $\Phi_{1,N+1}$ с весами При помощи граничных 1-leg-операторов статистическая сумма всех SLE кривых из $x_1$ в $x_2$ таких, что $x_1,x_2\in \mathbb R$, может быть представлена как двухточечная корреляционная функция граничных операторов:
$$
\begin{equation}
H_0(x_1,x_2)=\langle\Phi_{1,2}(x_1)\Phi_{1,2}(x_2)\rangle_{\mathbb H}=(x_2-x_1)^{-2h_{1,2}},
\end{equation}
\tag{11}
$$
где $\langle\cdots\rangle_{\mathbb H}$ обозначает корреляционную функцию в $\mathbb H$ и мы полагаем нормировочный множитель равным единице путем подходящего выбора нормировки полей. Отметим, что вид корреляционной функции (11) фиксируется требованием масштабной инвариантности, за исключением полной нормировки.
3. Вероятности прохождения SLE$_{8/3}$ кривых3.1. Корреляционные функции твист-операторовВ работе [4] было показано, что корреляционные функции твист-оператора в точке $z\in \mathbb H$ тесно связаны с вероятностями прохождения SLE кривой слева и справа от этой точки. Этот результат легко обобщается на случай нескольких точек в верхней полуплоскости. В начале этого раздела мы выведем знаменитую формулу Шрамма для вероятности прохождения SLE${}_{8/3}$ кривой слева и справа от отмеченной точки. Она тесно связана с корреляционной функцией граничных $1$-leg-операторов и твист-дефекта в точке $z\in\mathbb H$ [4]:
$$
\begin{equation}
H_1(z,\bar z;x_1,x_2)=\langle \Phi_{2,1}(z,\bar z)\Phi_{1,2}(x_1)\Phi_{1,2}(x_2)\rangle_{\mathbb H},
\end{equation}
\tag{12}
$$
где черта означает комплексное сопряжение и $x_1,x_2\in \mathbb R$. Заметим, что эта функция отличается от (11) добавлением бесспинового твист-оператора $\Phi_{2,1}$. В стандартном подходе КТП корреляционная функция $H_1(z,\bar z,x_1,x_2)$ в $\mathbb H$ может быть представлена как корреляционная функция на всей комплексной плоскости $\mathbb C$ [14]
$$
\begin{equation}
H_1(z,z^*;x_1,x_2)=\langle\Phi_{2,1}(z)\Phi_{2,1}(z^*)\Phi_{1,2}(x_1)\Phi_{1,2}(x_2)\rangle,
\end{equation}
\tag{13}
$$
удовлетворяющая некоторым граничным условиям на $\mathbb R$, описанным ниже. Здесь символом $\langle\,{\cdot}\,\rangle$ мы обозначили корреляционную функцию в $\mathbb C$, а точки $z,z^*$ рассматриваются как независимые переменные (мы положим $z^*=\bar z$ в конце вычислений). Методы КТП позволяют получить набор дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка, которым удовлетворяют корреляционные функции, содержащие вырожденные поля $\Phi_{1,2}$ и $\Phi_{2,1}$ [5]. В частности, можно показать, что корреляционная функция (13) удовлетворяет следующим уравнениям:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \biggl[\frac{3 {\partial} _z^2}{2(1+2h_{2,1})}-\frac{h_{2,1}}{(z^*-z)^2}&+\frac{ {\partial} _{z^*}}{z^*-z}-\frac{h_{1,2}}{(x_1-z)^2}+{} \\ &+\frac{ {\partial} _{x_1}}{x_1-z}-\frac{h_{1,2}}{(x_2-z)^2}+\frac{ {\partial} _{x_2}}{x_2-z}\biggr]H_1 =0, \\ \biggl[\frac{3 {\partial} _{x_1}^2}{2(1+2h_{1,2})}-\frac{h_{2,1}}{(z^*-x_1)^2}&+\frac{ {\partial} _{z^*}}{z^*-x_1}-\frac{h_{2,1}}{(z-x_1)^2}+{} \\ &+\frac{ {\partial} _{z}}{z-x_1}-\frac{h_{1,2}}{(x_2-x_1)^2}-\frac{ {\partial} _{x_2}}{x_2-x_1}\biggr]H_1 =0. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{14}
$$
Эти уравнения имеют общее решение
$$
\begin{equation}
H_{1}(z,z^*;x_1,x_2)=(z-z^*)^{-2h_{2,1}}(x_2-x_1)^{-2h_{1,2}} G_1(\eta),
\end{equation}
\tag{15}
$$
где $G_1(\eta)$ – функция от ангармонического отношения $\eta$:
$$
\begin{equation}
G_1(\eta)=\frac{2-\eta}{2\sqrt{1-\eta}},\qquad \eta=\frac{(z- z^*)(x_2-x_1)}{(z-x_1)( x_2-z^*)}.
\end{equation}
\tag{16}
$$
Функция $G_1(\eta)$ имеет разрез от $1$ до $\infty$. Отметим, что Удобно применить преобразование Мёбиуса, которое переводит точки $\{z,z^*,x_1,x_2\}$ в $\{z,\bar z,0,\infty\}$. Тогда легко видеть, что выбор ветви квадратного корня в уравнении (16) определяется аргументом $z$. В результате мы получим
$$
\begin{equation}
\frac{H_{1}(z,\bar z;0,\infty)}{H_0(0,\infty)}=(2\operatorname{Im} z)^{1-3\kappa/8}\frac{\operatorname{Re} z}{|z|},
\end{equation}
\tag{17}
$$
где $H_0$ – двухточечная функция граничных 1-leg-операторов (11). 3.2. Формализм кулоновского газаОтметим, что точные решения системы дифференциальных уравнений (14) могут быть получены с помощью формализма кулоновского газа, предложенного Доценко и Фатеевым [7], [8]. Кратко напомним этот формализм. На языке Доценко и Фатеева конформный оператор, скажем $\Phi$, может быть представлен в виде вертексного оператора, т. е. экспоненты свободного поля где $\varphi(z)$ – свободное поле, определяемое с помощью двухточечной корреляционной функции $\langle\varphi(z)\varphi(w)\rangle=-\ln(z-w)$. Действительный параметр $\alpha$ называется зарядом вертексного оператора. Он определяет свойства вертексного оператора под действием конформных преобразований и, следовательно, конформный вес вертексного оператора (точное выражение представлено ниже).Важной особенностью конструкции Доценко и Фатеева является существование фонового заряда в системе. Фоновый заряд не только меняет конформную размерность вертексного оператора, но также нарушает унитарность теории, кроме некоторого дискретного набора операторов, соответствующих минимальным моделям. Общепринято обозначать фоновый заряд как $-2\alpha_0$, так что центральный заряд КТП имеет вид Фоновый заряд меняет конформную размерность вертексного оператора $V_\alpha$:Как отмечалось выше, теория свободных бозонов в фоновом заряде является унитарной только для тех значений $\alpha_0$, которые соответствуют минимальным моделям КТП. В этом случае удобно ввести следующую параметризацию:
$$
\begin{equation}
\alpha_+=\frac{2}{\sqrt\kappa},\qquad \alpha_-=-\frac{\sqrt{\kappa}}{2},
\end{equation}
\tag{21}
$$
так что $\alpha_+ + \alpha_- = 2 \alpha_0$ и $\alpha_+ \alpha_- = -1$. Тогда допустимый набор вертексных операторов $V_{\alpha_{r,s}}$ может быть параметризован следующим образом:
$$
\begin{equation}
\alpha_{r,s}=\frac12(1-r)\alpha_-+\frac12(1-s)\alpha_+.
\end{equation}
\tag{22}
$$
Конформная размерность (20) инвариантна при замене $\alpha\to2\alpha_0-\alpha$, так что вертексные операторы $V_\alpha$ и $V_{2\alpha_0-\alpha}$ имеют одинаковые размерности. Поэтому конформное поле $\Phi_{r,s}$ может быть связано с двумя разными вертексными операторами $V_{r,s}$ и $V_{-r,-s}$, при этом подразумевается, что корреляционная функция конформных полей может быть вычислена несколькими различными способами. Так как двухточечная функция свободных бозонов $\varphi(z)$ имеет простую логарифмическую форму, корреляционная функция вертексных операторов может быть записана следующим образом:
$$
\begin{equation}
\langle V_{\alpha_1}(z_1)V_{\alpha_2}(z_2)\dots V_{\alpha_n}(z_n)\rangle=\prod_{i<j}(z_i-z_j)^{2\alpha_i \alpha_j}
\end{equation}
\tag{23}
$$
при условии, что выполняется следующее условие нейтральности (в противном случае корреляционная функция равна нулю) [7], [8]: Следовательно, многоточечная корреляционная функция вертексных операторов нетривиальна тогда и только тогда, когда заряды удовлетворяют условию нейтральности. Рассмотрим четырехточечную функцию вертексных операторов, которая соответствует четырехточечной функции примарных полей (13). Отметим, что невозможно записать произведение четырех вертексных операторов $V_{1,2}$, $V_{2,1}$, $V_{-1,-2}$ и $V_{-2,-1}$, которое удовлетворяет условию нейтральности. Для преодоления этой сложности необходимо добавить достаточное количество экранирующих операторов $Q^\pm_\gamma$ в выражение для корреляционной функции, где $\gamma$ – контур на комплексной плоскости, $V_{\pm}=V_{\alpha_{\pm}}$. Экранирующие операторы $Q^\pm_\gamma$, полученные с помощью контурного интегрирования поля с конформной размерностью 1, имеют конформную размерность 0, поэтому эти заряды инвариантны относительно конформных преобразований. Добавление $Q^\pm_\gamma$ целое число раз в выражение для корреляционной функции вертексных операторов не влияет на конформные свойства корреляционной функции, но приводит к выполнению условия нейтральности.В следующем подразделе мы получим решения системы уравнений (14) с помощью формализма кулоновского газа. 3.3. Представление Доценко–Фатеева для четырехточечной функцииРассмотрим представление кулоновского газа для корреляционной функции (13). В формализме Доценко–Фатеева каждое конформное поле $\Phi_{r,s}$ соответствует некоторому вертексному оператору $V_{r,s}$. Кроме того, мы добавляем экранирующие операторы в выражение для корреляционной функции, чтобы выполнялось условие нейтральности (24). Следовательно, в формализме кулоновского газа корреляционная функция имеет вид
$$
\begin{equation}
H_1(z,z^*;x_1,x_2;\gamma)=N_1\langle V_{2,1}(z)V_{2,1}(z^*)V_{1,2}(x_1)V_{-1,-2}(x_2)Q^-_\gamma\rangle,
\end{equation}
\tag{26}
$$
где нормировочная константа $N_1$ зависит от контура интегрирования. Используя формулы (23), (15), мы получим следующее явное интегральное представление для корреляционной функции (26):
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, H_1(z,z^*;x_1,x_2;\gamma) ={}& \frac{\Gamma(2-\kappa/2)}{4\sin^2(\pi\kappa/4) \Gamma^2(1-\kappa/4)} \frac{\eta^{2h_{2,1}+\kappa/8}}{(z - z^*)^{2h_{2,1}}(x_2-x_1)^{2h_{1,2}}\sqrt{1-\eta}}\times {} \nonumber \\ &\times \oint_{\gamma(0,\eta)} u^{-\kappa/4}(1-u)(u-\eta)^{-\kappa/4}\,du, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{27}
$$
где $h_{r,s}=h_{\alpha_{r,s}}$, ангармоническое отношение $\eta$ определено в (16), $\Gamma(x)$ – гамма-функция. Обсудим нормировочный множитель в (27). Такая нормировка тесно связана с выбором контура интегрирования. Чтобы гарантировать, что (27) удовлетворяет системе уравнений (14), контур интегрирования должен быть замкнут. Кроме того, он должен окружать по меньшей мере одну из точек ветвления подынтегрального выражения. Если показатели точек ветвления – рациональные числа (как обычно и бывает), тогда для того, чтобы контур был замкнут, индекс накрутки контура около каждой из этих точек должен равняться нулю. Контур Похгаммера $\gamma(z_1,z_2)$ является простейшим таким контуром. Удобно заменить контур Похгаммера кривой, соединяющей соответствующие точки ветвления согласно правилу
$$
\begin{equation}
\oint_{\gamma(z_1,z_2)}f(z_1,z_2,\dots;u)\,du =4e^{i\pi(\beta_1-\beta_2)}\sin(\pi \beta_1)\sin(\pi \beta_2)\int_{z_1}^{z_2}f(z_1,z_2,\dots;u)\,du,
\end{equation}
\tag{28}
$$
где $f(z_1,z_2,\dots;u)=\prod(u-z_i)^{\beta_i}$, индексы точек $\beta_1$ и $\beta_2$ больше $-1$. Используя (28), мы преобразуем интеграл (27) в интеграл вдоль кривой, соединяющей точки $0$ и $\eta$. Тогда дополнительные множители сократят нормировочный множитель. Теперь можно рассмотреть предел корреляционной функции (27) при $z\to z^*$. Легко показать, что
$$
\begin{equation}
\lim_{z\to z^*}(z-z^*)^{2h_{2,1}} H_1(z, z^*,x_1,x_2,\gamma) = H_0(x_1,x_2)
\end{equation}
\tag{29}
$$
при условии, что $\kappa = 8/3$. Действительно, перед стягиванием контура интегрирования в (27), который окружает точки $u=0$ и $u=\eta$, мы сначала делаем замену $u=t\eta$. Тогда интеграл сводится к стандартному интегральному представлению для бета-функции. Поэтому при $z\to x\in \mathbb R$ корреляционная функция, содержащая твист-оператор, сводится к корреляционной функции без твист-оператора. Как показано ниже, этот предел находится в полном согласии с интерпретацией Симмонса и Карди корреляционной функции $H_1$. Покажем, что интегральное представление корреляционной функции (27) сводится к ранее полученной функции (17). Действительно, интеграл в (27) разбивается на сумму двух интегралов. Каждый из этих интегралов может быть легко вычислен с помощью бета-функции. В результате получаем
$$
\begin{equation}
\frac{H_1(z,\bar z;x_1,x_2)}{H_0(x_1,x_2)}=(2 \mathop{\text{Im}} z)^{1-3\kappa/8}\frac{2-\eta}{2\sqrt{1-\eta}},
\end{equation}
\tag{30}
$$
где мы положили $z^* =\bar z$ в конце вычисления. Это в точности функция, полученная ранее (см. (17)) как решение условий нуль-вектора (14). 3.4. Одноточечные вероятности прохождения SLE${}_{8/3}$ кривыхНиже мы рассматриваем корреляционную функцию (30) при условии, что $\kappa=8/3$. Этот случай соответствует логарифмической КТП с $c=0$. Тогда твист-операторы могут рассматриваться как индикаторные операторы Шрамма с нулевым весом, которые могут использоваться для изучения различных конфигураций SLE следов. При $\kappa = 8/3$ мы имеем $n = 0$, так что $O(n)$ модель описывает ансамбль самоизбегающих блужданий (петель) в $\mathbb H$. При $n=0$ все петли подавлены и статистическая сумма (4) имеет вид $Z=1$. Если присутствуют граничные 1-leg-операторы в точках $x_1,x_2$, мы имеем только конфигурации самоизбегающих блужданий, соединяющих граничные точки $x_1$ и $x_2$. Полный вес этих конфигураций определяется корреляционной функцией 1-leg-операторов на границе:
$$
\begin{equation}
H_0(x_1,x_2)=\langle \Phi_{1,2}(x_1)\Phi_{1,2}(x_2)\rangle_{\mathbb H}=(x_2-x_1)^{-5/4}.
\end{equation}
\tag{31}
$$
В присутствии твист-оператора $\Phi_{2,1}$ статистическая сумма (31) может быть разложена в сумму весов, соответствующих возможным конфигурациям самоизбегающих кривых в присутствии твист-дефекта. Эти конфигурации показаны на рис. 1. Соответствующие статистические веса мы обозначаем как $\Pi_\mathrm{in}$ и $\Pi_\mathrm{out}$, представляя случаи, когда SLE кривая соответственно отделяет или не отделяет твист-оператор от интервала $[x_1,x_2]\in\mathbb R$. Статистические веса $\Pi_\mathrm{in}$ и $\Pi_\mathrm{out}$ удовлетворяют следующей системе линейных уравнений:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \Pi_\mathrm{in}-\Pi_\mathrm{out}&=H_1(z,\bar z;x_1,x_2)=(x_2-x_1)^{-5/4}\frac{2-\eta}{2\sqrt{1-\eta}},\\ \Pi_\mathrm{in}+\Pi_\mathrm{out}&=H_0(x_1,x_2)=(x_2-x_1)^{-5/4}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{32}
$$
где и коэффициенты этой линейной комбинации перед весами определяются следующим образом2. Для того чтобы найти коэффициент перед $\Pi_\mathrm{in}$, мы рассматриваем предел $z,\bar z\to x\in[x_1,x_2]$ двух частей первого уравнения в (32). В этом случае мы получаем $\eta=\epsilon(x_2-x_1)/(x-x_1)(x-x_2)$. Тогда $\Pi_\mathrm{in}\to H_{0}(x_1,x_2)$, $\Pi_\mathrm{out}\to 0$, и выражение в правой части уравнения (32) стремится к $H_0(x_1,x_2)$. Поэтому коэффициент перед $\Pi_\mathrm{in}$ равняется единице. Далее, для того чтобы найти коэффициент перед $\Pi_\mathrm{out}$, мы рассматриваем предел $z,\bar z\to x\in\mathbb R\setminus[x_1,x_2]$. В этом случае мы получаем $\Pi_\mathrm{in}\to0$, $\Pi_\mathrm{out}\to1$, в то время как выражение в правой части стремится к $-1$, тем самым подтверждая коэффициент $-1$ перед весом $\Pi_\mathrm{out}$. Система уравнений (32) определяет вероятности SLE${}_{8/3}$ кривых проходить различными способами около точки $z\in\mathbb H$. В частности, вероятность того, что SLE кривая отделяет точку $z$ от интервала $[0,\infty]$, т. е. вероятность $P_\mathrm{L}(z)$ прохождения слева, имеет вид
$$
\begin{equation}
P_{L}(z)=\frac{\Pi_\mathrm{out}}{\Pi_\mathrm{out}+\Pi_\mathrm{in}}=\frac12-\frac{H_1(z,\bar z;x_1,x_2)}{2H_0(x_1,x_2)}=\frac12+\frac{\cos( \arg z)}{2}.
\end{equation}
\tag{34}
$$
В последнем равенстве мы положили $x_1=0$, $x_2=\infty$ и учли, что $\eta=1-e^{-2i\arg(z)}$. 3.5. Двухточечные вероятности прохождения SLE$_{8/3}$ кривыхМы уже отмечали, что вероятность прохождения слева SLE${}_{8/3}$ кривой определяется корреляционной функцией, содержащей твист-оператор $\Phi_{2,1}$ и пару 1-leg-операторов $\Phi_{1,2}$ на границе. Аналогично в случае двух отмеченных точек в области $z_1,z_2\in\mathbb H$ вероятности прохождения определяются корреляционными функциями двух твист-операторов в точках $z_1, z_2$ и парой 1-leg-операторов на границе в точках $x_1,x_2\in\mathbb R$, а именно:
$$
\begin{equation}
H_2(z_1,\bar z_1,z_2,\bar z_2;x_1,x_2)=\langle \Phi_{2,1}(z_1,\bar z_1)\Phi_{2,1}(z_2,\bar z_2)\Phi_{1,2}(x_1)\Phi_{1,2}(x_2) \rangle_{\mathbb H}.
\end{equation}
\tag{35}
$$
Корреляционная функция (35) задается граничными условиями, которые определяют подходящую линейную комбинацию конформных блоков, вносящих вклад в корреляционную функцию. Перед вычислением конформных блоков удобно переписать корреляционную функцию в $\mathbb H$ в корреляционную функцию в $\mathbb C$. Заменяя антиголоморфные координаты $\bar z_1,\bar z_2\in\mathbb H$ голоморфными координатами $z_1^*,z_2^*\in\mathbb C$, мы рассмотрим шеститочечную корреляционную функцию на всей комплексной плоскости:
$$
\begin{equation}
H_2(z_1,z_1^*,z_2,z_2^*;x_1,x_2) =\biggl\langle\,\prod_{i=1}^2\Phi_{2,1}(z_i) \Phi_{2,1}(z_i^*)\Phi_{1,2}(x_1) \Phi_{1,2}(x_2) \biggr\rangle.
\end{equation}
\tag{36}
$$
Конформная симметрия подразумевает, что она может быть представлена в виде
$$
\begin{equation}
H_2(z_1,z_1^*,z_2,z_2^*;x_1,x_2)=\frac{G_2(\eta_1,\eta_2,\eta_3)}{(x_2-x_1)^{2h_{1,2}}(z_1- z_1^*)^{2h_{2,1}}(z_2-z_2^*)^{2h_{2,1}}}.
\end{equation}
\tag{37}
$$
Здесь $G_2(\eta_1,\eta_2,\eta_3)$ – функция ангармонического отношения $\eta_1=\eta(z^*_1)$, $\eta_2=\eta(z_2)$ и $\eta_3=\eta(z_2^*)$, где
$$
\begin{equation}
\eta(s) = \frac{(z_1 - s)(x_1 - x_2)}{(z_1 - x_1)(s-x_2)}.
\end{equation}
\tag{38}
$$
В частности, $\eta(s)=1-s/z_1$ при $x_1=0$ и $x_2\to\infty$. Также можно рассмотреть корреляционную функцию $H_{2}(0,\eta_1,\eta_2,\eta_3;1,\infty)$, которая благодаря конформной симметрии может быть записана в виде
$$
\begin{equation}
H_{2}(0,\eta_1,\eta_2,\eta_3;1,\infty)=\frac{G_2(\eta_1,\eta_2,\eta_3)}{\eta_1^{2h_{2,1}}(\eta_2-\eta_1)^{2h_{2,1}}}.
\end{equation}
\tag{39}
$$
Исключая функцию $G_2$ из выражений (35) и (39), мы получим следующее соотношение для корреляционных функций:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, H_{2}(z_1,z_1^*,z_2,z_2^*;x_1,x_2)={}&\frac{\eta_1^{2h_{2,1}}(\eta_2-\eta_1)^{2h_{2,1}}}{(x_2-x_1)^{2h_{1,2}}(z_1- z_1^*)^{2h_{2,1}}(z_2-z_2^*)^{2h_{2,1}}}\times{} \nonumber \\ &\times H_{2}(0,\eta_1,\eta_2,\eta_3;1,\infty). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{40}
$$
Модули, генерируемые примарными операторами $\Phi_{1,2}$ и $\Phi_{2,1}$, вырождены на втором уровне. Поэтому условие отщепления сингулярных векторов подразумевает, что корреляционная функция (35) удовлетворяет шести дифференциальным уравнениям в частных производных второго порядка. Кроме того, необходимое решение этих уравнений должно удовлетворять следующему условию факторизации:
$$
\begin{equation}
\lim_{z_1-z_2\to \infty}\frac{H_2(z_1,\bar z_1,z_2,\bar z_2,x_2,x_2)}{H_0(x_1,x_2)} = H_1(z_1,\bar z_1,x_1,x_2)H_1(z_2,\bar z_2,x_1,x_2).
\end{equation}
\tag{41}
$$
Симмонс и Карди [4] нашли единственное решение этой системы уравнений, удовлетворяющее условию (41). Однако в случае $N\geqslant 3$ твист-операторов система дифференциальных уравнений не может быть решена в явном виде. Ниже мы получаем представление Доценко–Фатеева для корреляционных функций, содержащих два твист-оператора. Следуя логике, изложенной в п. 3.3, мы рассматриваем произведение вертексных операторов $V_{2,1}$ и $V_{1,2}$:
$$
\begin{equation}
\mathcal H_2(z_1,z^*_1,z_2, z^*_2,x_1,x_2;\gamma_1,\gamma_2) = \biggl\langle \,\prod_{i=1}^2V_{2,1}(z_i)V_{2,1}(z_i^*)V_{1,2}(x_1)V_{-1,-2}(x_2)Q_{\gamma_1}^- Q_{\gamma_2}^-\biggr\rangle,
\end{equation}
\tag{42}
$$
где в выражение для корреляционной функции мы добавили два экранирующих оператора $Q^-_\gamma$ для того, чтобы удовлетворить условие нейтральности (24). Для удобства мы использовали отражательное свойство, $\alpha\to 2\alpha_0-\alpha$, обсуждаемое ниже формулы (22), и заменили вертексный оператор $V_{1,2}$ оператором $V_{-1,-2}$. Мы будем называть корреляционную функцию (42) конформным блоком. Он зависит от контуров Похгаммера $\gamma_1$ и $\gamma_2$, вдоль которых идет интегрирование и которые определяют экранирующие заряды (25),
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \mathcal H_2(&z_1,\bar z_1,z_2, \bar z_2,x_1,x_2;\gamma_1,\gamma_2)= \oint_{\gamma_1}du_1\oint_{\gamma_2}du_2 (u_1-u_2)^{2\alpha_-\alpha_-}\times{} \nonumber \\ &\times \prod_{j=1,2}\prod_{i=1,2}(z_i-u_j)^{2\alpha_{2,1}\alpha_-}(u_j-x_1)^{2\alpha_{1,2}\alpha_-}(u_j-x_2)^{2\alpha_{-1,-2}\alpha_-}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{43}
$$
Корреляционная функция примарных полей (36) дается подходящей линейной комбинацией конформных блоков:
$$
\begin{equation}
H_2(\dots)=\sum_{i,j}N(\gamma_i,\gamma_j)\mathcal H_2(\dots;\gamma_i, \gamma_j),
\end{equation}
\tag{44}
$$
где коэффициенты $N(\gamma_i,\gamma_j)$ зависят от контуров интегрирования. В случае шеститочечной функции (43) существует 10 естественных способов расположить контуры ($\gamma_i,\gamma_j$). Однако можно показать, что только один из этих способов нам подходит, а именно: $\gamma_1$ и $\gamma_2$ – это простые пути, соединяющие точки $z_1,z^*_1$ и $z_2,z_2^*$ соответственно. Ниже мы приведем простые аргументы в пользу этого утверждения, которые также подтверждаются явными вычислениями [4]. Как было показано Симмонсом и Карди, корреляционная функция (35) тесно связана с вероятностями прохождения SLE кривой разными способами между точек $z_1$ и $z_2$ (см. также (49) ниже). Обсудим возможное асимптотическое поведение конформных блоков, когда точка $z_1$ приближается к действительной оси в $x\in(x_1,x_2)$. Напомним, что $\Phi(z,z^*) = \Phi(z)\Phi(z^*)$, так что возможное асимптотическое поведение корреляционной функции определяется слиянием объем–граница $\Phi_{2,1}(z_1)\times \Phi_{2,1}(z_1^*)$ при $z_1,z_1^*\to x$. В этом случае статистические веса путей, отделяющих $z_1$ от интервала $[x_1,x_2]$, равны нулю, и возможные SLE конфигурации определяются только твист-оператором в точке $z_2$. Другими словами, твист-оператор должен исчезать из корреляционной функции в пределе $z_1\to x$. Следовательно, слияние объем–граница, т. е. $\Phi_{2,1}(z_1)\times \Phi_{2,1}(z_1^*)$, должно осуществляться через канал с тождественным оператором (см. также [4], где приведены явные вычисления). Конформный блок $\mathcal H_2(z_1,z_1^*,z_2,z_2^*;x_1,x_2)$ с требуемым асимптотическим поведением определяется контуром интегрирования, соединяющим точки $z_1$ и $z_1^*$. Это легко показать с помощью добавления произведения3
$$
\begin{equation}
\sigma(z_1,z_1^*)=\int_{z_1}^{z_1^*}V_{2,1}(z_1)V_{2,1}(z_1^*)V_{-}(u)\,du
\end{equation}
\tag{45}
$$
внутрь конформного блока (26). Такой выбор контура интегрирования (из $z_1$ в $z_1^*$) подразумевает, что пара вертексных операторов сливаются через тождественный канал, когда точки $z_1$ и $z_1^*$ приближаются к действительной оси. Действительно, сливая $V_{2,1}(z_1)\times V_{2,1}(z_1^*)$ при $z_1,z_1^*\to x\in\mathbb R$, мы получим вертексный оператор $V_{\alpha}(x)$ с зарядом $\alpha=2\alpha_{2,1}=\alpha_{3,1}$. Экранирующий заряд $V_-$ в подынтегральном выражении (45) сливается с вертексным оператором тогда и тогда, когда контур интегрирования стягивается к точке $x$. В этом случае полный заряд произведения $V_{2,1}V_{2,1} V_-$ исчезает, $2\alpha_{2,1}+\alpha_-=0$, и оператор (45) становится тождественным оператором, как и ожидалось. Аналогично можно утверждать, что контур интегрирования второго экранирующего оператора в (43) соединяет точки $z_2$, $z_2^*$. На рис. 2 мы приводим контуры интегрирования (штриховая линия) для конформного блока. Учитывая явное выражение для конформного блока (43) и применяя преобразование Мёбиуса (38), мы получим интегральное представление для корреляционной функции:
$$
\begin{equation}
H_2(0,\eta_1,\eta_2,\eta_3;1,\infty)= \prod_{i=1}^3\frac{\eta_i^{1/3}}{(1-\eta_i)^{1/2}}\prod_{i<j}(\eta_i-\eta_j)^{1/3}\mathcal J_2(\eta_1,\eta_2,\eta_3),
\end{equation}
\tag{46}
$$
где $\mathcal J_2$ обозначает следующий контурный интеграл:
$$
\begin{equation}
\mathcal J_2(\eta_1,\eta_2,\eta_3)=\int_{\eta_2}^{\eta_3} du_1\int_{0}^{\eta_1}du_2\, (u_1-u_2)^{4/3}\prod_{i=1}^2 u_i^{-2/3}(1-u_i)\prod_{j=1}^3(u_i-\eta_j)^{-2/3}.
\end{equation}
\tag{47}
$$
Общая нормировка корреляционной функции выбирается таким образом, что в пределе $\eta_3\to \eta_2$ корреляционная функция (40) сводится к (30). Этот предел определяется как
$$
\begin{equation}
H_{n-1}(\dotsc,z_i,z_{i+2},\dots) = \lim_{z^*_{i+1}\to z_{i+1}}(z_i-z_i^*)^{2h_{2,1}}H_{n}(\dots,z_i,z_{i+1},z_{i+2},\dots),
\end{equation}
\tag{48}
$$
где для краткости явная зависимость $H_n$ от $\{z_i^*\}$ не обозначена. Теперь мы готовы определить вероятности прохождения SLE$_{8/3}$ кривых между двух отмеченных точек $\mathbb H$. В присутствии твист-операторов статистическая сумма (31) для SLE из $x_1$ в $x_2$ может быть разложена в сумму весов в зависимости от способа прохождения кривой между отмеченными точками. Мы назовем эти веса $\Pi_{12:\varnothing}$, $\Pi_{1:2}$, $\Pi_{2:1}$ и $\Pi_{\varnothing:12}$, где $\Pi_{ij:kl}$ обозначает вес пути, который отделяет точки $z_k$, $z_l$ от интервала $[x_1,x_2]\in\mathbb R$, в то время как точки $z_i$, $z_j$ не отделены от интервала (см. рис. 3). Следуя логике, изложенной в п. 3.4, мы разложим корреляционные функции $H_0$, $H_1$ и $H_2$ в сумму весов $\Pi_{ij:kl}$ всевозможных конфигураций путей:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \Pi_{12:\varnothing}+\Pi_{1:2}+\Pi_{2:1}+\Pi_{\varnothing:12} & =H_0(x_1,x_2),\\ \Pi_{12:\varnothing}+\Pi_{1:2}-\Pi_{2:1}-\Pi_{\varnothing:12} & = H_1(z_1,\bar z_1;x_1,x_2),\\ \Pi_{12:\varnothing}-\Pi_{1:2}+\Pi_{2:1}-\Pi_{\varnothing:12} & = H_1(z_2,\bar z_2;x_1,x_2),\\ \Pi_{12:\varnothing}-\Pi_{1:2}-\Pi_{2:1}+\Pi_{\varnothing:12} & = H_2(z_1,\bar z_1,z_2,\bar z_2;x_1,x_2). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{49}
$$
Коэффициенты перед весами в этой линейной комбинации определяются аналогично предыдущему случаю (см. обсуждение ниже формулы (32)). Решая эти уравнения, находим статистические веса:
$$
\begin{equation}
\Pi_{\varnothing:12}=\frac{1}{4}\biggl[H_0(x_1,x_2) + H_2(z_1,\bar z_1,z_2,\bar z_2;x_1,x_2) - \sum_{i=1}^2 H_1(z_i,\bar z_i;x_1,x_2)\biggr];
\end{equation}
\tag{50}
$$
вероятности соответствующих событий имеют вид
$$
\begin{equation}
P_{ij:kl}=\frac{\Pi_{ij:kl}}{\Pi_{12:\varnothing}+\Pi_{1:2}+\Pi_{2:1}+\Pi_{\varnothing:12}}=\frac{\Pi_{ij:kl}}{H_0(x_1,x_2)}.
\end{equation}
\tag{51}
$$
В частности, вероятность $P_{L}(z_1,z_2)$ того, что SLE кривая проходит слева от обеих точек $z_1,z_2\in\mathbb H$, может быть записана в виде
$$
\begin{equation}
P_\mathrm{L}(z_1,z_2)=\frac12(P_\mathrm{L}(z_1)+P_\mathrm{L}(z_2)) + \frac{1}{4}\biggl(\frac{H_2(z_1,\bar z_1,z_2,\bar z_2,x_1,x_2)}{H_0(x_1,x_2)}-1\biggr),
\end{equation}
\tag{52}
$$
где $P_\mathrm{L}(z)$ – вероятность прохождения SLE${}_{8/3}$ кривой слева от одной точки (34). 3.6. $N$-точечные SLE${}_{8/3}$ вероятности прохожденияОбобщим результаты предыдущего раздела на случай $N$ твист-операторов в верхней полуплоскости. Вероятности SLE$_{8/3}$ кривых проходить между твист-операторами определяются набором $N$ многоточечных корреляционных функций:
$$
\begin{equation}
H_n(z_1,\bar z_1,\dotsc,z_n,\bar z_n;x_1,x_2)=\biggl\langle \, \prod_{i=1}^n\Phi_{2,1}(z_i,\bar z_i) \Phi_{1,2}(x_1)\Phi_{1,2}(x_2)\biggr \rangle_{\mathbb H},
\end{equation}
\tag{53}
$$
где $n=0,1,\dots,N$. Чтобы получить представления кулоновского газа для корреляционных функций (53), рассмотрим произведение $2n$ вертексных операторов $V_{2,1}(z_i)$, $V_{2,1}(z_i^*)$, $i=1,2,\dots,n$, и граничных операторов $V_{1,2}(x_1)$ и $V_{-1,-2}(x_2)$ в $x_1,x_2\in\mathbb R$. Соответствующая корреляционная функция вертексных операторов требует $n$ экранирующих зарядов для выполнения условия нейтральности (24). Добавляя $n$ одетых твист-операторов (45) в точках $z_1,\dots, z_n$ в выражение для корреляционной функции $H_0=\langle V_{1,2}V_{-1,-2}\rangle$, мы получаем
$$
\begin{equation}
\mathcal H_n(z)=\biggl\langle\, \prod_{i=1}^{n} \sigma(z_i,z^*_i)V_{1,2}(x_1)V_{-1,-2}(x_2)\biggr\rangle.
\end{equation}
\tag{54}
$$
Напомним, что контуры интегрирования, которые определяют операторы $\sigma(z_i, z_i^*)$, – это простые пути, соединяющие точки $z_i,z_i^*$, $i=1,2,\dots, n$, попарно. В этом случае слияние объем–граница вертексных операторов $V_{2,1}(z_i)\times V_{2,1}(z_i^*)$ при $z_i^*,z_i\to x\in\mathbb R$ осуществляется через тождественный канал (см. обсуждение ниже соотношения (44)). Используя преобразования Мёбиуса (38), мы получаем следующее представление кулоновского газа для корреляционной функции $H_n$:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, H_n(z_1,z_1^*,\dots,z_n,z_n^*;x_1,x_2)={}&\frac{\prod_{i=1}^{2n-1}\eta_i^{1/3}(1-\eta_i)^{-1/2}\prod_{k<l}(\eta_k-\eta_\mathrm{L})^{1/3}}{(x_2-x_1)^{5/4}}\times{} \nonumber \\ &\times \mathcal J_{n}(\eta_1,\dots,\eta_{2n-1}), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{55}
$$
где мы учли, что $h_{1,2} = 5/8$ и $h_{2,1} =0 $ при $\kappa=8/3$. Функция $\mathcal J_n$ определяется $n$-кратным контурным интегралом:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \mathcal J_n(\eta_1,\dots,\eta_{2n-1}) ={}& \int_{0}^{\eta_1}du_1 \int_{\eta_2}^{\eta_3}du_2 \cdots \int_{\eta_{2n-2}}^{\eta_{2n-1}}du_n\times{} \nonumber \\ &\times\prod_{i<j}(u_i-u_j)^{4/3} \prod_{i=1}^n u_i^{-2/3}(1-u_i)\prod_{k=1}^{2n-1}(u_i-\eta_k)^{-2/3}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{56}
$$
Аналогично предыдущему случаю, общая нормализация корреляционной функции выбирается таким образом, что свойство (48) выполняется. Корреляционная функция (53) тесно связана с вероятностями SLE$_{8/3}$ кривых проходить между точками $z_1,z_2,\dots,z_n\in\mathbb H$. Действительно, в присутствии $n$ твист-операторов статистическая сумма для SLE$_{8/3}$ кривой может быть разложена в сумму статистических весов всевозможных конфигураций кривых. Для определения этих весов мы введем следующие обозначения. Пусть $I_n=\{1,2,\dots,n\}$ – набор $n$ целых чисел и $I_n\subset I_N$. Мы разобьем набор $I_n$ на два подмножества, $I_n^+$ и $I_n^-$, так что $I_n^+\cup I_n^-=I_n$, $I_n^+\cap I_n^- = \varnothing$. Кроме того, введем набор точек $Z_{I}=\{z_i|i\in I\}$, пронумерованных целыми числами из набора $I$. Через $\Pi_{I_n^+:I_n^-}$ мы обозначим вес SLE$_{8/3}$ кривых, которые отделяют точки $Z_{I^-_n}$ от интервала $[x_1,x_2]\subset\mathbb R$, в то время как точки $Z_{I^+_n}$ не отделяются. Используя эти обозначения, мы можем разложить статистическую сумму по весам следующим образом (ср. с (49)):
$$
\begin{equation}
\sum_{I_N^++I_N^-=I_N}(-1)^{\# I_n^-}\Pi_{I_N^+:I_N^-}=H_n(Z_{I_n},Z_{I_n}^*;x_1,x_2),\qquad n=0,1,\dots,N.
\end{equation}
\tag{57}
$$
Здесь сумма берется по всем разбиениям $I_N$ на два подмножества $I_N^+$ и $I_N^-$. Коэффициенты $(-1)^{\# I_n^-}$ могут быть найдены в пределе $z_i,z^*_i\to x\in[x_1,x_2]\ (x\in\mathbb R\setminus[x_1,x_2])$, как объяснялось ниже формулы (32). Следовательно, мы получаем $2^N$ линейных уравнений для $2^N$ неизвестных статистических весов $\Pi_{I_N^+:I_N^-}$. Соотношения (57) позволяют найти статистические веса SLE$_{8/3}$ кривых из $x_1$ в $x_2$, проходящих справа от точек $Z_{I^-_N}$ и слева от точек $Z_{I^+_N}$ (ср. с (50)):
$$
\begin{equation}
\Pi_{I_N^+:I_N^-} = 2^{-N}\sum_{n=0}^N \sum_{I_n} (-1)^{\#(I_N^-\cap I_n)}H_n(Z_{I_n};x_1,x_2),
\end{equation}
\tag{58}
$$
и вероятность, что SLE$_{8/3}$ кривая из $x_1$ в $x_2$ отделяет точки $Z_{I_N^-}$ от интервала $[x_1,x_2]$, имеет вид
$$
\begin{equation}
P_{I_N^+:I_N^-} = \frac{\Pi_{I_N^+:I_N^-}}{H_0(x_1,x_2)}.
\end{equation}
\tag{59}
$$
4. Функции Грина для SLE$_{8/3}$4.1. Одноточечные SLE$_{8/3}$ функции ГринаОбсудим вероятность прохождения SLE$_{8/3}$ кривых в $\epsilon$-окрестности отмеченной точки в верхней полуплоскости. Эта вероятность определяет одноточечную SLE$_{8/3}$ функцию Грина следующим образом. Рассмотрим SLE$_{8/3}$ кривую из $x_1$ в $x_2$. Вероятность $\mathbb P\{z<\epsilon;x_1,x_2\}$, что кривая проходит в $\epsilon$-окрестности точки $z\in\mathbb H$, стремится к нулю с главной асимптотой [2]:
$$
\begin{equation}
\lim_{\epsilon\to0} \epsilon^{-2/3}\mathbb P\{z<\epsilon;x_1,x_2\}=c_1 G^\mathrm{SLE}_{\mathbb H}(z;x_1,x_2),
\end{equation}
\tag{60}
$$
где $c_1$ – константа, $G^\mathrm{SLE}_{\mathbb H}(z;x_1,x_2)$ – так называемая одноточечная функция Грина SLE кривой. Ниже мы покажем, что функция Грина может быть записана в терминах корреляционной функции некоторых примарных операторов в логарифмической КТП с $c=0$. Кроме того, мы получим аналогичное представление для многоточечных функций Грина. Начнем с одноточечной функции (60). Она может быть получена как предельный случай двухточечной вероятности прохождения, когда обе точки приближаются друг к другу. Существует пара возможных конфигураций кривых, которые вносят вклад в вероятности, а именно $\Pi_{1:2}$ и $\Pi_{2:1}$ (см. рис. 3), поэтому имеем
$$
\begin{equation}
P(z_1,z_2;x_1,x_2)=\frac{\Pi_{1:2}+\Pi_{2:1}}{\Pi_{12:\varnothing}+\Pi_{1:2}+\Pi_{2:1}+\Pi_{\varnothing:12}} =\frac12-\frac{H_2(z_1,\bar z_1,z_2,\bar z_2;x_1,x_2)}{2H_0(x_1,x_2)}.
\end{equation}
\tag{61}
$$
Положим $z_1=z+\epsilon \nu/2$, $z_2=z-\epsilon \nu/2$, где $z\in\mathbb H$, $\epsilon\ll1$, $|\nu|=1$, и рассмотрим разложение в ряд функции $P(z_1,z_2;x_1,x_2)$ в пределе малых $\epsilon$. Лидирующий член степенного разложения определяет функцию Грина кривой:
$$
\begin{equation}
\lim_{\epsilon\to0} \epsilon^{-2/3}P\biggl(z+\frac{\epsilon\nu}{2},z-\frac{\epsilon\nu}{2};x_1,x_2\biggr)= c_1 G_{\mathbb H}(z;x_1,x_2).
\end{equation}
\tag{62}
$$
Так как вероятность (61) определяется корреляционной функцией примарных операторов, мы можем использовать конформную симметрию для изучения степенного разложения. А именно, мы используем так называемое операторное разложение примарных полей $\Phi_{2,1}(z_1)\Phi_{2,1}(z_2)$ внутри корреляционной функции. Это позволит получить лидирующий член степенного разложения корреляционной функции в явном виде. Ниже мы кратко напомним определение операторного разложения [5]. Операторное разложение определяет поведение операторов, когда они приближаются друг к другу. А именно, оно предполагает, что произведение двух локальных операторов в соседних точках можно заменить (бесконечной) суммой некоторых локальных операторов (включая так называемые операторы-потомки) в одной из этих точек. Вид операторного разложения фиксируется требованием глобальной конформной инвариантности и видом двух- и трехточечных корреляционных функций4. Рассмотрим произведение примарных операторов $\Phi_{h_i}(z)$ и $\Phi_{h_j}(0)$. В пределе $z\!\to 0$ это произведение можно заменить суммой локальных операторов в точке $z=0$:
$$
\begin{equation}
\Phi_{h_i}(z)\Phi_{h_j}(0)=z^{-h_i-h_j}\sum_k C^{k}_{i,j}z^{h_k}\biggl(\Phi_{h_k}(0)+\sum_{\{n\}}\beta_{i,j}^{k,\{n\}} z^{|\{n\}|}\Phi_{h_k}^{(-\{n\})}(0)\biggr),
\end{equation}
\tag{63}
$$
где коэффициенты $\beta_{i,j}^{k,\{n\}}$ определяются конформной инвариантностью, а $\Phi_{h_k}^{(-\{n\})}$ обозначает вклад операторов-потомков $|\{n\}|$-го уровня:
$$
\begin{equation}
\Phi_{h_k}^{(-\{n\})}=L_{-n_1}L_{-n_2}\dots L_{-n_\mathrm{L}}\Phi_{h_k},
\end{equation}
\tag{64}
$$
где $\{n\}=(n_1,n_2,\dots,n_L)$ и $|\{n\}|=|n_1+n_2+\cdots+n_L|$. Здесь $L_{-n}$ – генераторы алгебры Вирасоро [15], $C_{ij}^k$ – структурные константы операторной алгебры. Они определяются двух- и трехточечными функциями5
$$
\begin{equation}
C_{ij}^k=\lim_{z\to\infty}|z|^{4h_i}\langle\Phi_{h_i}(z)\Phi_{h_j}(1)\Phi_{k_k}(0)\rangle,
\end{equation}
\tag{65}
$$
где предполагается нормировка $\langle\Phi_{h_i}(z)\Phi_{h_i}(0)\rangle=z^{-2h_i}$. Структурные константы не определяются из требования конформной инвариантности. Однако можно показать, что они удовлетворяют набору нетривиальных соотношений, которые выражают ассоциативность операторной алгебры и носят название уравнений конформного бутстрапа [5]. Кратко напомним структуру логарифмической КТП с $c=0$ (подробнее6 см. [16], [17]). Через $\mathcal V_{r,s}$ мы обозначаем модуль Верма, порождаемый старшим вектором $|\Phi_{r,s}\rangle$ в результате действия линейной комбинации генераторов алгебры Вирасоро. В логарифмической КТП с $c=0$ вакуумный модуль неразложим, $\mathcal M_{1,1}=\mathcal V_{1,1}/\mathcal V_{4,1}$. Более того, физический модуль, соответствующий вектору $|\Phi_{2,1}\rangle$, – это $\mathcal M_{2,1}=\mathcal V_{2,1}/\mathcal V_{5,1}$. Слияние этого модуля с самим собой приводит к следующему правилу слияния:
$$
\begin{equation}
\mathcal M_{2,1}\times \mathcal M_{2,1} = \mathcal M_{1,1} + \mathcal M_{3,1},
\end{equation}
\tag{66}
$$
где $\mathcal M_{1,1}$ был введен ранее, а $\mathcal M_{3,1}$ – неприводимый модуль со старшим весом $h_{3,1}= 1/3$. Правило слияния (66) подразумевает следующий вид операторного разложения примарных полей $\Phi_{2,1}$ в соседних точках:
$$
\begin{equation}
\lim_{\epsilon\to0}\Phi_{2,1}(\epsilon)\Phi_{2,1}(0)=\Phi_{1,1}(0) + C_{3,1}\epsilon^{1/3} \Phi_{3,1}(0)+O(\epsilon),
\end{equation}
\tag{67}
$$
где $C_{3,1}$ – коэффициенты операторного разложения (структурные константы). В этом случае можно сказать, что операторное разложение осуществляется через два канала: первый – $\Phi_{1,1}$, второй – $\Phi_{3,1}$. Заметим, что в КТП, определенной в области с границей, вид операторного разложения может меняться благодаря граничным условиям. Как объясняется ниже, случай логарифмической КТП с $c=0$ с границей еще более сложный. Рассмотрим слияние область–граница операторов $\Phi_{2,1}\Phi_{2,1}$ внутри корреляционной функции (36). Как обсуждалось выше, единственный допустимый канал – это тождественный оператор. Действительно, полагая $z=x+\epsilon/2$, $\bar z=x-\epsilon/2$ и стягивая контур интегрирования, соединяющий эти точки, мы получаем разложение в ряд вида $g_0+\epsilon g_1+\epsilon^2 g_2+\cdots$, где $g_n$ – некоторые функции координат $\{x,z_2,\bar z_2,x_1,x_2\}$. Сравнивая это разложение с операторным разложением (67), мы заключаем, что слияние область–граница реализуется через тождественный оператор, в то время как второй канал $\Phi_{3,1}$ запрещен. Далее, рассмотрим слияние объем–объем полей $\Phi_{2,1}\Phi_{2,1}$ внутри корреляционной функции при $z_2\to z_1$, $\bar z_2\to \bar z_1$ (см. рис. 4). Явные вычисления показывают, что оба канала $\Phi_{1,1}$ и $\Phi_{3,1}$ появляются в операторном разложении в этом случае [4]. Принимая во внимание (67), мы находим разложение в ряд для корреляционной функции:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \lim_{\epsilon\to0}H_2\biggl(z+\frac{\epsilon \nu}{2}, z-\frac{\epsilon \nu}{2},& \bar z+\frac{\epsilon \bar \nu}{2},\bar z-\frac{\epsilon \bar \nu}{2};x_1,x_2\biggr)=H_0(x_1,x_2)-{} \nonumber \\ &-(C_{3,1})^2\epsilon^{2/3}\langle \Phi_{3,1}(z,\bar z)\Phi_{1,2}(x_1)\Phi_{1,2}(x_2)\rangle_{\mathbb H}+O(\epsilon). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{68}
$$
Это уравнение позволяет переписать вероятность (61) в виде
$$
\begin{equation}
\lim_{\epsilon\to0} \epsilon^{-2/3}P\biggl(z+\frac{\epsilon\nu}{2},z-\frac{\epsilon\nu}{2};x_1,x_2\biggr)=(C_{3,1})^2 G_{\mathbb H}(z;x_1,x_2),
\end{equation}
\tag{69}
$$
где через $G_{\mathbb H}(z;x_1,x_2)$ мы обозначили следующую корреляционную функцию:
$$
\begin{equation}
G_{\mathbb H}(z;x_1,x_2)=\frac{ \langle\Phi_{3,1}(z,\bar z)\Phi_{1,2}(x_1)\Phi_{1,2}(x_2)\rangle_{\mathbb H}}{\langle \Phi_{1,2}(x_1)\Phi_{1,2}(x_2)\rangle_{\mathbb H}}.
\end{equation}
\tag{70}
$$
Ниже мы покажем, что эта функция совпадает с одноточечной SLE$_{8/3}$ функцией Грина, полученной в работе [2]. Отметим, что полученное представление (70) для SLE$_{8/3}$ функции Грина в терминах корреляционной функции КТП является новым. Более того, этот результат может быть легко обобщен на многоточечный случай, который не поддается исследованию с помощью других методов. В этой статье мы обсудили два основных подхода к вычислению корреляционных функций. Первый подход сводит задачу к системе дифференциальных уравнений в частных производных, которые появляются как условия отщепления сингулярных векторов (см., например, уравнения (14)). Второй подход приводит к интегральному представлению для корреляционных функций, который основывается на конструкции Доценко–Фатеева. Ниже мы используем второй подход для вычисления корреляционных функций. 4.2. Представление кулоновского газа для функции ГринаКак обсуждалось ранее, корреляционные функции в КТП могут быть вычислены в формализме кулоновского газа. В частности, корреляционные функции в правой части соотношения (70) могут быть записаны в виде линейной комбинации конформных блоков7:
$$
\begin{equation}
\langle\Phi_{3,1}(z)\Phi_{3,1}(z^*)\Phi_{1,2}(x_1)\Phi_{1,2}(x_2)\rangle=\sum_{\{\gamma\}} \mathcal F_1(z,z^*;x_1,x_2;\gamma).
\end{equation}
\tag{71}
$$
В формализме кулоновского газа эти блоки являются корреляционными функциями вертексных операторов:
$$
\begin{equation}
\mathcal F_1(z, z^*;x_1,x_2;\gamma)=\langle V_{3,1}(z)V_{-3,-1} (z^*)V_{1,2}(x_1) V_{1,2}(x_2) Q_\gamma^+\rangle,
\end{equation}
\tag{72}
$$
где мы добавили экранирующий заряд $Q^+_\gamma$ (25), чтобы удовлетворить условию нейтральности (24). Отметим, что корреляционная функция (71) может быть вычислена через другой набор конформных блоков, а именно $\langle V_{3,1}V_{3,1}V_{1,2}V_{-1,-2}Q^-_{\gamma_1}Q^-_{\gamma_2}\rangle$. В этом случае, однако, требуется пара экранирующих зарядов, поэтому удобнее продолжать исследование, основываясь на представлении (72). Используя соотношение (23) для вычисления произведения вертексных операторов, мы получаем интегральное представление для конформных блоков:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \mathcal F_1(z,z^*&;x_1,x_2;\gamma)=\frac{\Gamma(4/\kappa-2)}{4\sin(8\pi/\kappa)\sin(4\pi/\kappa)\Gamma(8/\kappa-3)\Gamma(1-4/\kappa)}\times{} \nonumber \\ &\times\biggl(\frac{z-z^*}{2i}\biggr)^{-2h_{3,1}}\frac{(x_2-x_1)^{-2h_{1,2}}}{1-\eta}\oint_\gamma du\, u^{8/\kappa-4}(1-u)^{-4/\kappa}(u-\eta)^2, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{73}
$$
где $\eta$ обозначает ангармоническое отношение, введенное в (16), и мы используем множитель $(2i)^{2h_{3,1}}$ для дальнейшего удобства. Нормировка конформного блока, представленная произведением гамма-функций, согласуется с (27). Контур Похгаммера $\gamma$ окружает точки ветвления подынтегрального выражения, а именно $u=0$ и $u=1$. Точка $u=\eta$ не является точкой ветвления. Следовательно, любой контур Похгаммера, окружающий эту точку, стягиваемый. Мы привели явное выражение для корреляционной функции (73) для общих значений $\kappa$. Это выражение позволяет получить хорошо определенный предел корреляционной функции при $\kappa\to8/3$. Действительно, заменяя контур Похгаммера путем, соединяющим точки $0$ и $1$, мы сокращаем множитель $4\sin(8\pi/\kappa)\sin(4\pi/\kappa)$. Оставшиеся интегралы сводятся к сумме бета-функций:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \int_0^1 du\, &u^{8/\kappa-4}(1-u)^{-4/\kappa}(u-\eta)^2 ={} \nonumber \\ &= B\biggl(\frac{8}{\kappa}-1,1-\frac{4}{\kappa}\biggr)+2\eta B\biggl(\frac{8}{\kappa}-2,1-\frac{4}{\kappa}\biggr)-\eta^2 B\biggl(\frac{8}{\kappa}-3,1-\frac{4}{\kappa}\biggr), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{74}
$$
где $B(x,y)=\Gamma(x)\Gamma(y)/\Gamma(x+y)$ – бета-функция. Учитывая (74) и вычисляя предел отношения в правой части (73) при $\kappa\to8/3$, получаем
$$
\begin{equation}
\mathcal F_1(z,z^*;x_1,x_2)=\biggl(\frac{z-\bar z}{2i}\biggr)^{-2/3}(x_2-x_1)^{-5/4}\frac{\eta^2}{1-\eta},
\end{equation}
\tag{75}
$$
где мы заменили $z^*=\bar z$ в конце вычислений. Подставляя (75) в (70), мы находим функцию Грина:
$$
\begin{equation}
G_{\mathbb H}(z;x_1,x_2) =(\operatorname{Im} z)^{-2/3}\frac{\eta^2}{1-\eta}.
\end{equation}
\tag{76}
$$
Наконец, удобно рассмотреть SLE кривую из $0$ в $\infty$, так что $\eta=1-e^{-2i\operatorname{arg}(z)}$ и
$$
\begin{equation}
G_{\mathbb H}(z;0,\infty)=(\operatorname{Im} z)^{-2/3}\sin^2(\operatorname{arg}(z)).
\end{equation}
\tag{77}
$$
Это выражение для функции Грина SLE$_{8/3}$ кривой было получено в работе [2] совершенно другими методами. В настоящей работе мы предлагаем представление для функции Грина в терминах корреляционной функции, включающей оператор $\Phi_{3,1}$ (70). Главное преимущество нашего подхода состоит в том, что он позволяет вычислять многоточечные функции Грина подобным образом (по крайней мере в интегральной форме). В п. 4.3 мы подробно обсудим это утверждение. 4.3. Двухточечная функция ГринаРассмотрим двухточечную функцию Грина для SLE$_{8/3}$. Мы используем результаты предыдущих разделов, где были вычислены вероятности прохождения SLE кривой различными способами между четырьмя отмеченными точками $z_1,z_2,z_3$ и $z_4$. В частности, вероятность, что кривая проходит между точками $z_1,z_2$ и $z_3,z_4$, дается нормированной линейной комбинацией соответствующих конфигураций кривой8:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, P(&z_1,z_2,z_4,z_4;x_1,x_2)=\frac{\Pi_{13:24}+\Pi_{14:23}+\Pi_{23:14}+\Pi_{24:13}}{H_0(x_1,x_2)}={} \nonumber \\ &=\frac14-\frac{H_{2}(z_1,z_2;x_1,x_2)}{4H_0(x_1,x_2)}- \frac{H_{2}(z_3,z_4;x_1,x_2)}{4H_0(x_1,x_2)}+\frac{H_{4}(z_1,z_2,z_3,z_4;x_1,x_2)}{4H_0(x_1,x_2)}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{78}
$$
где $H_n(z_1,\ldots,z_n;x_1,x_2)$ – $n$-точечная корреляционная функция в верхней полуплоскости (53). Положим
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, z_1=z+\frac{\epsilon \nu}{2},\qquad z_2=z-\frac{\epsilon \nu}{2},\\ z_3=w+\frac{\delta \mu}{2},\qquad z_4=w - \frac{\delta \mu}{2}, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{79}
$$
где $z,w\in\mathbb H$, $\epsilon,\delta\ll1$, $|\nu|,|\mu|=1$, и рассмотрим степенное разложение вероятности (78) в пределе $\epsilon,\delta\to 0$. Лидирующий член в разложении по $\epsilon$ и $\delta$ определяет двухточечную функцию Грина SLE$_{8/3}$ кривой:
$$
\begin{equation}
\lim_{\epsilon,\delta\to0} \epsilon^{-2/3}\delta^{-2/3}P\biggl(z+\frac{\epsilon\nu}{2},z-\frac{\epsilon\nu}{2},w+\frac{\epsilon\mu}{2},w-\frac{\epsilon\mu}{2};x_1,x_2\biggr) =c_2 G_{\mathbb H}(z,w;x_1,x_2),
\end{equation}
\tag{80}
$$
где $c_2$ – константа. Из (78), (80) следует, что двухточечная функция Грина определяется степенным разложением четырехточечной и шеститочечной функций, $H_2$ и $H_4$, в пределе, когда точки $z_1,z_2\in\mathbb H$ и $z_3,z_4\in\mathbb H$ попарно сливаются. Степенное разложение $H_2$ было получено в п. 4.1 (см. (68)). Поэтому нам требуется изучить асимптотическое поведение шеститочечной функции
$$
\begin{equation}
H_4(z_1,z_2,z_3,z_4;x_1,x_2)= \biggl\langle\, \prod_{i=1}^4\Phi_{2,1}(z_i,\bar z_i) \Phi_{1,2}(x_1)\Phi_{1,2}(x_2)\biggr\rangle_{\mathbb H}.
\end{equation}
\tag{81}
$$
Главный член в $\epsilon,\delta$-разложении этой функции определяется возможными каналами слияния $\mathcal M_{2,1}\times\mathcal M_{2,1}$. Как отмечалось, в случае слияния объем–объем мы можем использовать операторное разложение (67). Тогда мы находим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, H_4(z_1,&z_2,z_3,z_4;x_1,x_2) = H_0(x_1,x_2)-{} \nonumber \\ &- \epsilon^{2/3}(C_{3,1})^2\langle\Phi_{3,1}(z,\bar z) \Phi_{1,2}(x_1)\Phi_{1,2}(x_2)\rangle_{\mathbb H}-{} \nonumber \\ &- \delta^{2/3}(C_{3,1})^2\langle \Phi_{3,1}(w,\bar w)\Phi_{1,2}(x_1)\Phi_{1,2}(x_2)\rangle_{\mathbb H}+{} \nonumber \\ &+\epsilon^{2/3}\delta^{2/3}(C_{3,1})^4\langle \Phi_{3,1}(z,\bar z)\Phi_{3,1}(w,\bar w)\Phi_{1,2}(x_1)\Phi_{1,2}(x_2)\rangle_{\mathbb H}+O(\epsilon)+O(\delta). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{82}
$$
Подставляя это разложение в (78) и учитывая (68), мы получаем следующее представление для двухточечной функции Грина (80) в терминах корреляционной функции КТП с $c=0$,
$$
\begin{equation}
G_{\mathbb H}(z,w;x_1,x_2) = \frac{\langle \Phi_{3,1}(z,\bar z)\Phi_{3,1}(w,\bar w)\Phi_{1,2}(x_1)\Phi_{1,2}(x_2)\rangle_{\mathbb H}}{\langle \Phi_{1,2}(x_1)\Phi_{1,2}(x_2)\rangle_{\mathbb H}}.
\end{equation}
\tag{83}
$$
Отметим, что вероятность SLE$_{8/3}$ кривой пройти через две точки (80) должна удовлетворять следующему свойству: двухточечная функция Грина сводится к одноточечной функции (62) в пределе, когда точки $z$ и $w$ сливаются в одну, а именно:
$$
\begin{equation}
\lim_{\epsilon\to0} \epsilon^{2/3} G_{\mathbb H}\biggl(z+\frac{\epsilon \nu}{2},z - \frac{\epsilon\nu}{2};x_1,x_2\biggr) = c_* G_{\mathbb H}(z;x_1,x_2),
\end{equation}
\tag{84}
$$
где $\epsilon\ll1$, $|\nu|=1$, $c_*$ – константа. Заметим также, что результат для двухточечной функции функции Грина (83) может быть легко обобщен на случай $N$ отмеченных точек в верхней полуплоскости. Мы предлагаем явное соотношение между многоточечными функциями Грина для SLE$_{8/3}$ кривых и многоточечными корреляционными функциями примарных операторов
$$
\begin{equation}
G_{\mathbb H}(\{z_i\}_{i=1}^N;x_1,x_2)=\frac{\langle\prod_{i=1}^N \Phi_{3,1}(z_i,\bar z_i)\Phi_{1,2}(x_1)\Phi_{1,2}(x_2)\rangle_{\mathbb H}}{\langle \Phi_{1,2}(x_1)\Phi_{1,2}(x_2)\rangle_{\mathbb H}}.
\end{equation}
\tag{85}
$$
4.4. Представление кулоновского газа для функции ГринаМы заканчиваем этот раздел эвристическим изучением двухточечной функции Грина в представлении кулоновского газа. Аналогично формуле (71) корреляционная функция в правой части (83) может быть записана в виде линейной комбинации конформных блоков:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \mathcal H_2(z,z^*,w,w^*;&x_1,x_2;\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3,\gamma_4)= {} \nonumber \\ &= \biggl\langle V_{3,1}(z) V_{3,1}(z^*) V_{3,1}(w) V_{3,1}(w^*) V_{1,2}(x_1) V_{-1,-2}(x_2)\prod_{i=1}^4 Q^-_{\gamma_i}\biggr\rangle. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{86}
$$
Здесь мы использовали четыре экранирующих оператора $Q^-_\gamma$ для того, чтобы удовлетворить условие нейтральности (24). Обсудим возможные выборы контуров интегрирования в правой части (86). Напомним, что контуры определяют конформные блоки, которые вносят вклад в корреляционную функцию. Структура логарифмической КТП с $c=0$ с границей налагает сильные ограничения на возможные блоки. В работе [4] было показано, что теория должна содержать два логарифмических партнера тензора энергии-импульса $\Phi_{5,1}$ и $\Phi_{1,3}$ с $h_{5,1}=h_{1,3}=2$. Однако эти поля имеют различные логарифмические константы связи, потому они не могут существовать в теории одновременно. Симмонс и Карди показали, что оба поля могут существовать одновременно при условии, что поле $\Phi_{5,1}$ появляется только в объеме, а поле $\Phi_{1,3}$ – только на границе области. Эта гипотеза налагает сильные ограничения на слияние объем–граница: операторы в области сливаются с граничными только через тождественный оператор и тензор энергии-импульса (см. рис. 4). Рассмотрим следующий выбор контуров интегрирования, которые удовлетворяют гипотезе Симмонса и Карди. Предположим, что первые два контура $\gamma_1$ и $\gamma_2$ охватывают граничные операторы $V_{1,2}(x_1)$ и $V_{-1,-2}(x_2)$ (см. рис. 5). Сближая эти операторы при $x_2\to x_1$ и стягивая контур интегрирования к точке в этом процессе, мы получим оператор $V_\alpha(x_1)$ с зарядом $\alpha=2\alpha_0+2\alpha_-$, так что $h_{2\alpha_0+2\alpha_-}=2$. Такое слияние вертексных операторов согласуется со слиянием модулей в логарифмической КТП с $c=0$ с границей, а именно
$$
\begin{equation}
\mathcal M_{1,2}\times\mathcal M_{1,2} = \mathcal I_{1,3},
\end{equation}
\tag{87}
$$
где неразложимый модуль $\mathcal I_{1,3}$ представляет два канала. Логарифмический канал включает вклад от тождественного оператора, тензора энергии-импульса и логарифмического партнера тензора энергии-импульса $\Phi_{1,3}$. Обычный канал содержит вклады от $T$ и его потомков. Оба канала имеют конформную размерность $2$. Рассмотрим оставшиеся контуры $\gamma_3$ и $\gamma_4$ в конформном блоке (86). Требуя, чтобы эти контуры были симметричными по отношению к точкам $z,z^*,w$ и $w^*$, мы рассмотрим две возможности, показанные на рис. 5: контуры соединяют точки $(z,w)$ и $(z^*,w^*)$ (рис. 5а) и контуры соединяют $(z,z^*)$ и $(w,w^*)$ (рис. 5б). Как обсуждалось выше, контуры определяют допустимые каналы слияния, которые вносят вклад в операторное разложение полей $\Phi_{3,1}$ и $\Phi_{3,1}$. Слияние соответствующих модулей имеет вид [16]
$$
\begin{equation}
\mathcal M_{3,1}\times \mathcal M_{3,1} = \mathcal M_{3,1} + \mathcal I_{5,1},
\end{equation}
\tag{88}
$$
где $\mathcal I_{5,1}$ – модуль, структурно описываемый точной последовательностью
$$
\begin{equation*}
0\to\mathcal M_{1,1}\to\mathcal I_{5,1}\to\mathcal M_{5,1}\to0.
\end{equation*}
\notag
$$
Отметим, что $\mathcal I_{5,1}$ не является модулем старшего веса. Он порождается вектором $|\Phi_{5,1}\rangle$ с $h_{5,1}=2$, и поле $\Phi_{5,1}$ – это джордановский партнер тензора энергии-импульса, $L_0|\Phi_{5,1}\rangle=2|\Phi_{5,1}\rangle+L_{-2}|0\rangle$ и $L_{2}|\Phi_{5,1}\rangle=-(5/8)|0\rangle$. Теперь, учитывая правила слияния (88), мы обсудим возможные конформные блоки, которые вносят вклад в корреляционную функцию (86) (см. рис. 5). На рис. 5б слияние объем–граница $V_{3,1}(z)V_{3,1}(z^*)$ при $z,z^*\to x\in\mathbb R$ приводит к вертексному оператору $V_\alpha(x)$ с конформной размерностью $h_{2\alpha_{3,1}+\alpha_-}=1/3$. Он соответствует граничному полю $\Phi_{3,1}(x)$. Однако мы уже отмечали, что операторы в объеме сливаются с границей посредством тождественного оператора и тензора энергии-импульса. Следовательно, конформный блок, изображенный на рис. 5б, запрещен. На рис. 5а слияние объем–объем $V_{3,1}(z)V_{3,1}(w)$ при $w\to z$ приводит к оператору $V_{2\alpha_{3,1}+\alpha_-}(z)$ с $h_{2\alpha_{3,1}+\alpha_-}=1/3$. Он соответствует полю в объеме $\Phi_{3,1}(z)$, который порождает модуль $\mathcal M_{3,1}$ в правой части (88). Этот канал слияния разрешен в логарифмической КТП с $c=0$ с границей. Приведем другие аргументы, подтверждающие конформный блок, изображенный на рис. 5а. В п. 4.3 мы ввели предельное свойство двухточечной функции Грина (84). А именно, когда точки $z$ и $w$ сливаются, двухточечная функция сводится к одноточечной функции. Это возможно только тогда, когда контур интегрирования стягивается к точке при $z\to w$ (и $z^*\to w^*$).  Рис. 5.Возможные выборы контуров интегрирования для конформного блока (86). Штриховые линии обозначают контуры интегрирования $\gamma_i$ для $i=1,2,3,4$, сплошные линии – границу области. Приведенные аргументы приводят к следующему представлению кулоновского газа для двухточечной функции Грина: она определяется конформным блоком, показанным на рис. 5а. Вычисляя корреляционную функцию вертексных операторов, мы получаем следующее представление двухточечной функции Грина:
$$
\begin{equation}
G_{\mathbb H}(z,w;x_1,x_2)=\frac{\eta_1^{2/3}(\eta_3-\eta_2)^{2/3}}{(z_1-\bar z_1)^{2/3}(z_2-\bar z_2)^{2/3}} \prod_{i=1}^3\frac{\eta_i^{4/3}}{1-\eta_i}\prod_{j<i}(\eta_i-\eta_j)^{4/3}\mathcal I_3(\eta_1,\eta_2,\eta_3),
\end{equation}
\tag{89}
$$
где $\eta_i=\eta(s_i)$, $i=1,2,3$, – ангармонические отношения (38) точек $s=\{\bar z_1,z_2,\bar z_2\}$, $\mathcal I_3$ обозначает четырехкратный интеграл:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \mathcal I_3(\eta_1,\eta_2,\eta_3)&=\int_{1}^{\infty}du_1 \int_{1}^{\infty}du_2 \int_{0}^{\eta_1}du_3 \int_{\eta_1}^{\eta_2}du_4\times{} \nonumber \\ &\times\prod_{i<j}(u_i-u_j)^{4/3}\prod_{i=1}^4 (u_i-1) u_i ^{-2/3}\prod_{j=1}^3(u_i-\eta_j)^{-2/3}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{90}
$$
Здесь контуры интегрирования получены из контуров, изображенных на рис. 5а, с помощью преобразования Мёбиуса (38).
5. ЗаключениеВ заключение кратко опишем результаты, полученные в этой работе. Мы рассмотрели петлевое представление $O(n)$ модели и изучили многоточечные корреляционные функции твист-операторов $\Phi_{2,1}$ в объеме и двух 1-leg-операторов $\Phi_{1,2}$ на границе в верхней полуплоскости. Мы использовали метод Доценко–Фатеева для получения представления кулоновского газа для $N$-точечной корреляционной функции твист-операторов. Корреляционная функция может быть записана явно посредством многократных контурных интегралов. Затем мы рассмотрели случай $n=0$, представляющий самоизбегающие пути в $O(n)$ модели. Следуя работе Карди и Симмонса, мы изучили многоточечные корреляционные функции и вероятности SLE$_{8/3}$ кривых проходить различными способами между $N\geqslant 1$ точек в верхней полуплоскости. Далее, мы получили явное выражение для многоточечных вероятностей прохождения в терминах линейных комбинаций кулоновских интегралов. Мы предложили явный метод вычисления многоточечной функции Грина SLE$_{8/3}$ кривой. Сближая $2N$ отмеченных точек попарно, мы преобразовали многоточечные вероятности прохождения для SLE кривых в $N$-точечные функции Грина. Мы показали, что функции Грина могут быть представлены в виде корреляционных функций в логарифмической КТП с $c=0$ с границей, содержащей операторы $\Phi_{3,1}$ в объеме и пару граничных операторов $\Phi_{1,2}$. В простейшем случае наша конструкция воспроизводит хорошо известный результат для одноточечной функции Грина. Используя эвристические аргументы, мы предложили явное представление для двухточечной функции Грина. Мы планируем развить эти результаты в дальнейших работах. Конфликт интересовАвтор заявляет, что у него нет конфликта интересов. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Ale23} |
|
||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|