| Теоретическая и математическая физика |
|
|
|
|
|
Об одном интерполяционном неравенстве и о его приложении к уравнению Бюргерса Ш. М. Насибов Институт прикладной математики Бакинского государственного университета, Баку, Азербайджан
Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2023, Volume 214, Issue 2, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0040577923020058 
Реферативные базы данных:
   1. Введение. Формулировка основных результатовУравнением Бюргерса называют уравнение в частных производных, используемое в гидродинамике [1]. Оно является частным случаем уравнений Навье–Стокса в одномерном случае. Это уравнение известно в различных областях прикладной математики. Пусть задана скорость течения жидкости $\vec{u}(x,t)$ и ее кинетическая вязкость $\nu$. Рассмотрим задачу Коши для трехмерного уравнения Бюргерса
$$
\begin{equation}
\frac{\partial\vec{u}}{\partial t} + \vec{u}\,\nabla\vec{u} = \nu\Delta\vec{u}, \qquad x \in \mathbb{R}^3,\quad t > 0,
\end{equation}
\tag{1}
$$
$$
\begin{equation}
\vec{u}(x,0) = \vec{u}_0( x), \qquad x \in \mathbb{R}^3,
\end{equation}
\tag{2}
$$
где $\vec{u}_0(x)$ – заданная функция в пространстве $\mathbb{R}^3$. Начально-краевая задача для уравнения (1) рассмотрена в работах [1], [2]. Основной результат сформулируем в виде следующей теоремы. Теорема 1. Пусть $u_{0,k}(x) \in W_2^1(\mathbb{R}^3)$, $k = 1,2,3$. Положим где $\|\, \cdot \, \|$ – норма в пространстве $L_2(\mathbb{R}^3)$. Тогда задача (1), (2) имеет единственное решение такое, что При доказательстве теоремы 1 используется следующее Предложение 1. Пусть $\nabla u \in L_2(\mathbb{R}^3)$, $\Delta u \in L_2(\mathbb{R}^3)$. Тогда справедливо следующее интерполяционное неравенство: где $\|\, \cdot \,\|_{\infty}$ – норма в пространстве $L_{\infty}(\mathbb{R}^3)$. 2. Доказательство предложения 1Пусть $\hat{u}(\xi)$ – преобразование Фурье функции $u(x)$:
$$
\begin{equation*}
\hat{u}(\xi) = \frac{1}{(2\pi)^{3/2}}\int_{\mathbb{R}^3} e^{- i(x,\xi)}u(x)\, dx.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда обратное преобразование Фурье имеет вид
$$
\begin{equation*}
u(x) = \frac{1}{(2\pi)^{3/2}}\int_{\mathbb{R}^3} e^{i(x,\xi)}\hat{u}(\xi)\, d\xi.
\end{equation*}
\notag
$$
Имеем
$$
\begin{equation*}
| u(x)| \leqslant \frac{1}{(2\pi)^{3/2}}\int_{\mathbb{R}^3} |\hat{u}(\xi)|\, d \xi = \frac{1}{(2\pi)^{3/2}}\int_{\mathbb{R}^3} |\hat{u}(\xi) |\sqrt{|\xi|^2 + |\xi|^{4}}\frac{1}{\sqrt{|\xi|^2 + |\xi|^{4}}}\,d\xi.
\end{equation*}
\notag
$$
Из последнего соотношения согласно неравенству Коши–Буняковского получим
$$
\begin{equation}
| u(x)| \leqslant \frac{1}{(2\pi)^{3/2}}\sqrt{\int_{\mathbb{R}^3} | \hat{u}(\xi)|^2\, | \xi|^2\, d\xi + \int_{\mathbb{R}^3} | \hat{u}(\xi)|^2\, |\xi|^{4}\,d\xi} \, \sqrt{\int_{\mathbb{R}^3}\frac{d\xi}{|\xi|^2 + |\xi|^{4}} }.
\end{equation}
\tag{6}
$$
Далее согласно неравенству Планшереля [2] имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \int_{\mathbb{R}^3} | \xi|^2\, | \hat{u}(\xi)|^2\,d\xi &= \| \nabla u \|^2, \\ \int_{\mathbb{R}^3} | \xi |^{4}\, | \hat{u}(\xi)|^2\,d\xi &= \| \Delta u \|^2. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Из (6) в силу этих соотношений получаем следующее неравенство:
$$
\begin{equation}
\| u \|_{\infty} \leqslant \frac{1}{2\sqrt{\pi}}\sqrt{\| \nabla u\|^2 + \| \Delta u \|^2}.
\end{equation}
\tag{7}
$$
Применим неравенство (7) к функции $u(\lambda x)$, $\lambda > 0$, в результате имеем
$$
\begin{equation}
\| u \|_{\infty} \leqslant \frac{1}{2\sqrt{\pi}}\sqrt{\lambda\| \Delta u\|^2 + \frac{1}{\lambda} \| \nabla u \|^2}.
\end{equation}
\tag{8}
$$
Минимизируя неравенство (8) по $\lambda$, получим
$$
\begin{equation*}
\| u \|_{\infty} \leqslant \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \| \nabla u \|^{1/2} \| \Delta u\|^{1/2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Предложение 1 доказано.
3. Вывод априорных оценокВ этом разделе для задачи (1), (2) с помощью интерполяционного неравенства (5) выводятся априорные оценки (3), (4), в силу которых, опираясь на некоторые идеи из работы [3], доказываем теорему 1. Умножая уравнение (1) на $\Delta\vec{u}$ и интегрируя полученное соотношение по $\mathbb{R}^3$, имеем
$$
\begin{equation}
\frac{1}{2}\frac{d}{dt}\int_{\mathbb{R}^3} | \nabla\vec{u}(t)|^2\,dx + \nu\| \Delta\vec{u} \|^2 = \int_{\mathbb{R}^3} \vec{u}\,\nabla\vec{u}\,\Delta\vec{u}\,\,dx\, \| \vec{u}\|_{\infty} \| \nabla\vec{u} \| \| \Delta\vec{u} \|.
\end{equation}
\tag{9}
$$
Применяя к правой части неравенства (9) интерполяционное неравенство (5), получаем
$$
\begin{equation}
\frac{1}{2}\frac{d}{dt}\int_{\mathbb{R}^3} | \nabla\vec{u}(t)|^2\,dx + \nu\|\Delta\vec{u}\|^2\frac{1}{\nu^{3/4}\sqrt{2\pi}}\| \nabla\vec{u} \|^{3/2} \| \Delta\vec{u}\|^{3/2}\nu^{3/4}.
\end{equation}
\tag{10}
$$
Далее, применяя к правой части неравенства (10) элементарное неравенство Юнга $ab \leqslant \frac{a^{p}}{p} + \frac{b^{q}}{q}$, $a > 0$, $b > 0$, $p > 1$, $q > 1$, и полагая $p = 4$, $q = 4/3$, $a = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\nu^{3/4}}\| \nabla\vec{u}\|^{3/2}$, $b = \| \Delta\vec{u}\|^{3/2}\nu^{3/4}$, получим
$$
\begin{equation}
\frac{d}{dt}\| \nabla\vec{u}(t)\|^2 + \frac{1}{2}\nu\| \Delta\vec{u}\|^2 \leqslant \frac{1}{8\pi^2\nu^3}(\| \nabla\vec{u} \|^2)^3.
\end{equation}
\tag{11}
$$
Из (11) вытекают следующие неравенства:
$$
\begin{equation}
\frac{dy}{dt} \leqslant \frac{1}{8\pi^2\nu^3}y^3(t),\qquad y = \| \nabla\vec{u}(t)\|^2,
\end{equation}
\tag{12}
$$
$$
\begin{equation}
y( t) + \frac{\nu}{2}\int_0^{t} \| \Delta\vec{u}(\tau)\|^2\,d\tau \leqslant y_0 + \frac{1}{8\pi^2\nu^3}\int_0^{t} y^3(\tau)\,d\tau.
\end{equation}
\tag{13}
$$
Разделяя переменные в (12) и интегрируя, получим
$$
\begin{equation}
y( t) \leqslant \frac{y_0}{\sqrt{1 - t/T_0}},\qquad T_0 = \frac{4\pi^2\nu^3}{\| \nabla{\vec{u}}_0 \|^{4}},\qquad 0 \leqslant t < T_0,
\end{equation}
\tag{14}
$$
что доказывает оценку (3). Из (13) следует неравенство
$$
\begin{equation*}
\int_0^{t}\| \Delta\vec{u}(\tau)\|^2\,d\tau \leqslant \frac{2\| \nabla{\vec{u}}_0\|^2}{\nu} + \frac{1}{4\pi^2\nu^{4}}\int_0^{t} y^3(\tau)\,d\tau,
\end{equation*}
\notag
$$
откуда в силу оценки (14) получим оценку (4). Другие интерполяционные неравенства, содержащие $L_2(\mathbb{R}^{n})$-нормы оператора Лапласа, $n=2,3$, приведены в работах [4]–[6]. БлагодарностиАвтор благодарит рецензента за полезные замечания. Конфликт интересовАвтор заявляет, что у него нет конфликта интересов. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Nas23} |
|
||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|