| Теоретическая и математическая физика |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) Асимптотические разложения для одного класса сингулярных интегралов, возникающих в нелинейных волновых системах А. В. Дымов Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук, Москва, Россия
Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2023, Volume 214, Issue 2, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0040577923020010 
Реферативные базы данных:
   1. Введение1.1. Постановка задачи и результатыМы изучаем асимптотическое поведение интегралов
$$
\begin{equation}
\int_{\mathbb{R}^d}\frac{F(x)}{\omega^2(x)+\nu^2\Gamma^2(x)}\,dx
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
при $\nu\to 0$, где $dx=dx_1\ldots dx_d$, $d\geqslant 2$ и $\Gamma$, $F$, $\omega$ – достаточно гладкие вещественнозначные функции с поведением на бесконечности, удовлетворяющим сформулированным ниже естественным предположениям, при этом функция $\Gamma$ строго положительна. Мы предполагаем, что на множестве $\Sigma\cap \operatorname{supp} F$, где функция $\omega$ имеет только невырожденные критические точки, и число этих критических точек конечно. Интегралы (1.1) возникают в физических и математических работах по теории волновой турбулентности. Их сингулярные пределы при $\nu\to 0$ описывают поведение некоторых физических характеристик, изучение которых является целью теории (более подробное обсуждение см. в п. 1.4). В физических работах интегралы (1.1) обычно возникают в неявной форме и становятся явными при строгом анализе используемых эвристических построений. Поделив числитель и знаменатель подынтегральной функции на $\Gamma^2$, видим, что достаточно изучить случай $\Gamma(x)\equiv 1$, т. е. интегралы вида
$$
\begin{equation*}
I_\nu=\int_{\mathbb{R}^d}\frac{F(x)}{\omega^2(x)+\nu^2}\,dx.
\end{equation*}
\notag
$$
Более того, без ограничения общности будем считать, что $\omega$ имеет не более одной критической точки на множестве $\Sigma\cap \operatorname{supp} F$, где $\Sigma$ определено в (1.2), и эта точка есть $x=0$. Наш основной результат состоит в следующем. Пусть $\Sigma_0=\Sigma\backslash\{0\}$, если $x=0$ является критической точкой функции $\omega$, и $\Sigma_0=\Sigma$ в противном случае. Множество $\Sigma_0$ представляет собой дифференцируемое многообразие размерности $d-1$. Обозначим через $d_{\scriptscriptstyle\Sigma}x$ элемент объема на $\Sigma_0$, индуцированный элементом объема в пространстве $\mathbb{R}^d$ со стандартной евклидовой структурой, и рассмотрим интеграл
$$
\begin{equation}
I_0=\pi\int_{\Sigma_0}\frac{F(x)}{|\nabla\omega(x)|}\,d_{\scriptscriptstyle\Sigma} x,
\end{equation}
\tag{1.3}
$$
где $|\nabla\omega|$ обозначает евклидову норму градиента функции $\omega$. Из следствия 2.2 вытекает, что интеграл $I_0$ сходится, если выполнены предположения A1–A4 (см. ниже). Для $r>0$ и $a,b\in\mathbb{R}$ положим
$$
\begin{equation}
\chi_{a,b}(r)=\begin{cases} 1, &\text{если}\;\; a\neq b, \\ |\ln r|, & \text{если}\;\; a=b. \end{cases}
\end{equation}
\tag{1.4}
$$
Теорема 1.1. Имеют место следующие утверждения. 1. Предположим, что $x=0$ является единственной критической точкой функции $\omega$ на множестве $\Sigma\cap \operatorname{supp} F$, эта критическая точка невырождена и $d\geqslant 4$. Тогда если выполнены предположения A1–A5, сформулированные ниже, то где постоянная $C$ не зависит от $0<\nu\leqslant 1/2$.2. Предположим, что функция $\omega$ не имеет критических точек на множестве $\Sigma\,{\cap}\, \operatorname{supp} F$ и $d\geqslant 2$. Тогда если выполнены предположения A1–A5, то $|I_\nu -\nu^{-1}I_0|\leqslant C$. Мы докажем только п. 1 теоремы, так как доказательство п. 2 можно получить, упростив доказательство п. 1. Мы налагаем ограничение $d\geqslant 4$, так как некоторые интегралы, участвующие в анализе интеграла $I_\nu$, сильно расходятся в критической точке $x=0$ (см., например, (3.18)). В случае, когда $d=2n$, $n\geqslant 2$ и $\omega$ – невырожденная квадратичная форма с индексом $(n,n)$, аналог теоремы 1.1 для интеграла (1.1) был доказан в работе [1]. Наше рассуждение следует предложенной там схеме, но мы сталкиваемся с дополнительными трудностями. В работе [1] используется тот факт, что множество $\Sigma$ является конусом, но в нашем случае его геометрия может быть намного сложнее. В частности, это приводит к отсутствию явных формул и конструкций, используемых в [1]. В разделе 6 работы [1] было показано, что оптимальную верхнюю оценку для $I_\nu$ и родственных интегралов можно получить методом стационарной фазы, и доказательство этой оценки достаточно простое. Однако асимптотика для $I_\nu$ не может быть получена методами этого типа, как было объяснено в разделе 3 работы [2], где с помощью абстрактного метода стационарной фазы изучался некоторый класс быстро осциллирующих интегралов. В этом можно убедиться, заметив, что главный член (1.3) асимптотики зависит не только от значений функций $\omega$, $F$ и их производных в критической точке $x=0$, но и от их сужений на всё многообразие $\Sigma_0$. В следующем пункте мы формулируем предположения, налагаемые на функции $F$ и $\omega$, а в п. 1.3 рассматриваем пример, в котором функция $\omega$ является квадратичным полиномом; этот пример содержит в себе постановку, предложенную в [1]. В п. 1.4 мы объясняем мотивацию к нашему исследованию, включая полученные результаты в контекст теории волновой турбулентности Остальная часть статьи посвящена доказательству теоремы 1.1. А именно, в разделе 2 мы вводим некоторую окрестность $U_\Theta(\Sigma_0)$ многообразия $\Sigma_0$, определяем в ней подходящие координаты, записываем в этих координатах элемент объема и затем изучаем поведение различных интегралов по множеству $\Sigma_0$. В разделе 3 мы записываем интеграл $I_\nu$ в виде суммы трех интегралов, первый из которых берется по малому шару с центром в нуле, второй – по дополнению окрестности $U_\Theta(\Sigma_0)$, а третий – по $U_\Theta(\Sigma_0)$. Мы показываем, что первые два интеграла пренебрежимо малы при $\nu\to 0$ и, используя результаты раздела 2, доказываем, что поведение третьего интеграла определяется искомой асимптотикой. 1.2. ПредположенияДалее для $x\in\mathbb{R}^n$ мы используем обозначение где $|x|$ – евклидова норма вектора $x$.Предположение A1. Функция $F$ является $C^2$-гладкой и для некоторой постоянной $M_F\in\mathbb{R}$ удовлетворяет условию где $\alpha=(\alpha_1,\dots,\alpha_d)$ – мультииндекс с $\alpha_j\geqslant 0$ и $|\alpha|_1:=\alpha_1+\cdots+\alpha_d$. Предположение A2. Функция $\omega$ является $C^4$-гладкой и для некоторой постоянной $M_\omega\in\mathbb{R}$ удовлетворяет условию Предположение A3. Существует постоянная $m_\omega\in\mathbb{R}$, такая что Если $x=0$ является невырожденной критической точкой функции $\omega$, то, очевидно, мы имеем Предположение A4. Постоянные $M_F$, $M_\omega$ и $m_\omega$ из условий A1–A3 удовлетворяют неравенству Обозначим через $D_\kappa$, $\kappa>0$, множество точек с $|x|\geqslant 1$, “далеко отстоящих” от множества $\Sigma_0$:
$$
\begin{equation*}
D_\kappa=\{x\in B_1^{\mathrm c}\colon|x-\Sigma_0|\geqslant\kappa|x|^{m_\omega+2-M_\omega}\},
\end{equation*}
\notag
$$
где $B_1$ обозначает замкнутый единичный шар с центром в нуле и $B_1^{\mathrm c}$ – его дополнение, а $|x-\Sigma_0|$ обозначает евклидово расстояние от $x$ до множества $\Sigma_0$. Предположение A5 сформулировано весьма неявным образом, поэтому мы даем для него достаточное условие. Лемма 1.1. Пусть выполнены предположения A1–A3, в которых $m_\omega=M_\omega\,{-}\,1$ и $M_F>d-2M_\omega$, и неравенство (1.6) справедливо для любого $x\in B^{\mathrm c}_1$ (а не только для $x\in\Sigma\cap \operatorname{supp} F$). Тогда выполнено предположение A5. Доказательство. Сначала покажем, что $|\omega(x)|\geqslant C(\kappa)|x|^{M_\omega}$ для всех $x\in D_\kappa$. Будем рассуждать от противного: пусть для любого $\varepsilon>0$ существует $x_\varepsilon\in D_\kappa$, такой что $|\omega(x_\varepsilon)|\leqslant\varepsilon|x_\varepsilon|^{M_\omega}$. Мы утверждаем, что в этом случае существует $\gamma$, удовлетворяющее неравенству $|\gamma|<C\varepsilon|x_\varepsilon|^{1-m_\omega}$, такое что $y_\gamma=x_\varepsilon+\gamma\nabla\omega(x_\varepsilon)\in\Sigma$ при достаточно малом $\varepsilon$. В самом деле, положив $\Omega=\operatorname{Hess}\kern1pt\omega$, по формуле Тейлора находим Итак, $|\omega(x)|\geqslant C(\kappa)|x|^{M_\omega}$ при $x\in D_\kappa$. Тогда в силу условия $M_F>d-2M_\omega$ Это завершает доказательство леммы. $\blacksquare$1.3. ПримерПрименим теорему 1.1, предположив, что множество $\Sigma$ является квадрикой; в работе [1] был рассмотрен частный случай этого предположения. Пусть
$$
\begin{equation}
q(x)=\frac{1}{2}\,x\cdot Bx+a,\qquad x\in\mathbb{R}^d,
\end{equation}
\tag{1.9}
$$
где $a\in\mathbb{R}$ и $B$ – невырожденная ($d\times d$)-матрица 1 с $d\geqslant 2$ при $a\neq 0$ и $d\geqslant 4$ при $a=0$. Рассмотрим интеграл
$$
\begin{equation*}
J_\nu=\int_{\mathbb{R}^d}\frac{G(x)}{q^2(x)+\nu^2\Gamma^2(x)}\,dx,
\end{equation*}
\notag
$$
где вещественнозначные функции $G$ и $\Gamma$ являются $C^2$- и $C^4$-гладкими и удовлетворяют оценкам
$$
\begin{equation}
\begin{alignedat}{3} &|\partial^\alpha G(x)|\leqslant C\langle x\rangle^{-M_G-|\alpha|_1}&\quad &\text{для}\;\;0\leqslant |\alpha|_1\leqslant 2, \\ &\Gamma(x)\geqslant C^{-1}\langle x\rangle^{r_*},\quad |\partial^\alpha\Gamma(x)|\leqslant C\langle x\rangle^{r_*-|\alpha|_1^{}}&\quad &\text{для}\;\;0\leqslant |\alpha|_1\leqslant 4, \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{1.10}
$$
а вещественные постоянные $M_G$ и $r_*$ удовлетворяют условиям Пусть
$$
\begin{equation*}
J_0(\nu)=\pi\int_{\Sigma_0}\frac{G(x)}{\Gamma(x)|Bx|}\,d_{\scriptscriptstyle\Sigma}x,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\Sigma$, $\Sigma_0$ и $d_{\scriptscriptstyle\Sigma} x$ определены так же, как выше, с заменой $\omega$ на $q$. В работе [1] это следствие было доказано для $d=2n$, $n\geqslant 2$, $a=0$ и
$$
\begin{equation}
B=\begin{pmatrix} 0 &\mathrm{Id}_{n\times n} \\ \mathrm{Id}_{n\times n} & 0 \end{pmatrix}.
\end{equation}
\tag{1.12}
$$
Условия (1.11) для параметров $M_G^{}$, $r_*$, $d$ в нашем случае те же, что в [1]. Доказательство следствия. Достаточно проверить, что сформулированные выше предположения A1–A5 выполняются для функций $F=G/\Gamma^2$ и $\omega=q/\Gamma$. Простые вычисления показывают, что условия (1.10) влекут предположения A1–A3 с $M_F=M_G+2r_*$, $M_\omega=2-r_*$ и $m_\omega=1-r_*$. Тогда $M_{\mathrm{cr}}^{}=r_*-2$, тем самым из (1.11) следует предположение A4. Предположение A5 следует из леммы 1.1. $\blacksquare$ 1.4. МотивацияТеория волновой турбулентности была создана в 1960-х гг. для изучения малоамплитудных решений нелинейных гамильтоновых уравнений в частных производных (УрЧП) с большим пространственным периодом. С тех пор она интенсивно развивалась на эвристическом уровне строгости [3], [4], а математические работы, посвященные ее точному обоснованию, стали появляться лишь несколько лет назад (см. [5]–[9] и ссылки в них). Центральным объектом теории волновой турбулентности является нелинейное кинетическое уравнение, называемое волновым кинетическим уравнением, которое описывает поведение некоторых физических характеристик решений исходного УрЧП. Если УрЧП описывает взаимодействие $N$ волн, то $s$-я компонента, $s\in\mathbb{R}^n$, кинетического ядра $K$ задается интегралом вида
$$
\begin{equation}
K_s=\int_{\mathbb{R}^{(N-1)n}}F_s(\xi,\sigma)\,\delta^{\xi_1\dots\xi_p}_{\sigma_1\dots\sigma_{q-1}s}\,\delta(\omega_{s}(\xi,\sigma))\, d\xi_1\ldots d\xi_p\,d\sigma_1\dots d\sigma_{q-1},
\end{equation}
\tag{1.13}
$$
где $\xi_i,\sigma_j\in\mathbb{R}^n$ и $p+q=N$ (см. пп. 6.9, 6.11 в [4]). Здесь через $\delta^{\xi_1\dots\xi_p}_{\sigma_1\ldots\sigma_{q-1}s}$ обозначена дельта-функция множества $\{\xi_1+\cdots+\xi_p=\sigma_1+\cdots+\sigma_{q-1}+s\}$, а $\delta(\omega_s)$ есть дельта-функция от
$$
\begin{equation}
\omega_s(\xi,\sigma)=f(\xi_1)+\cdots+f(\xi_p)-f(\sigma_1)-\cdots-f(\sigma_{q-1})-f(s),
\end{equation}
\tag{1.14}
$$
где $f$ – дисперсионное соотношение исходного УрЧП. Дельта-функция $\delta^{\xi_1\ldots\xi_p}_{\sigma_1\ldots\sigma_{q-1}s}$ означает, что интегрирование производится по гиперпространству $\eqsim\mathbb{R }^{(N-2)n}$, а последующее умножение на дельта-функцию $\delta(\omega_s)$ означает, что интегрирование фактически ведется по множеству $\Sigma\subset\mathbb{R }^{(N-2)n}$ относительно меры, пропорциональной $\frac{d_{\scriptscriptstyle\Sigma}}{|\nabla\omega_s|}$, точно так же, как в формулах (1.2), (1.3) с $\omega=\omega_s$ (см. монографию [3]). Строгий математический анализ таких дельта-функций, как $\delta(\omega_s)$, см. в [10], раздел III.1.3, или в [11]. Возможный подход к изучению волновой турбулентности состоит в том, чтобы возмутить рассматриваемое уравнение малыми вязкостью и случайным шумом. В этой постановке нелинейности вида (1.13) и, в частности, указанное выше кинетическое ядро $K$ возникают как пределы при $\nu\to 0$ интегралов (1.1), в которых $\omega$ задана формулой (1.14), что делает изучение этих пределов важным. В работе [7], следуя этому стохастическому подходу, мы вывели волновое кинетическое уравнение для квазирешения кубического нелинейного уравнения Шредингера, описывающего четырехволновое взаимодействие. В этом случае в (1.13) $n\geqslant 2$, $p=q=2$ и $f(s)=|s|^2$. Тогда, выражая $\sigma_1$ через $\delta^{\xi_1\xi_2}_{\sigma_1s}$ и обозначая $x=\xi_1-s$, $y=\xi_2-s$, получаем, что $\omega_s( x,y)=-2x\cdot y$, где $x,y\in\mathbb{R}^n$, поэтому $\omega_s$ – квадратичная форма, заданная матрицей, пропорциональной (1.12), и $d=2n\geqslant 4$. По указанной выше причине в нашем исследовании анализ предельного поведения соответствующего интеграла (1.1) при $\nu\to 0$ сыграл решающую роль и был предметом процитированной выше публикации [1]. В качестве еще одного примера уравнения, к которому применим наш результат, рассмотрим уравнение Петвиашвили, описывающее трехволновое взаимодействие. В книге [4] большинство постулатов волновой турбулентности объясняются именно на этом примере. В этом случае мы имеем $n=2$, $p=2$, $q=1$ и $f(s)=s^1|s|^2$, где $s=(s^1,s^2)\in\mathbb{R}^2$. Принимая во внимание соотношение $\xi_2=s-\xi_1$, получаем
$$
\begin{equation*}
\omega_s(\xi_1)=s^1|\xi_1|^2-2(\xi_1^1-s^1)\xi_1\cdot s-\xi_1^1|s|^2.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда прямое вычисление показывает, что если $2s^1\neq\pm |s|$, то функцию $\omega_s$ можно записать в виде (1.9) с $a\neq 0$, где $d=n=2$. В качестве примера, когда функция $\omega_s$ не является квадратичным полиномом, можно рассмотреть уравнение Чарни–Хасегавы–Мимы, представляющее собой модель планетарных волн Россби и дрейфовых волн в неоднородной плазме. Это уравнение также описывает трехволновое взаимодействие, но его дисперсионное соотношение имеет вид $f(s)=-\beta\rho^2s^1/(1+\rho^2|s|^2)$, где $ \beta$ и $\rho$ – параметры системы и снова $s=(s^1,s^2)\in\mathbb{R}^2$ (см. пп. 7.6, 13.2.1 в [4]). В последние несколько лет математическая теория волновой турбулентности интенсивно развивается, и мы полагаем, что в ближайшем будущем больше волновых систем будут исследованы строго, с использованием асимптотического разложения интегралов типа (1.1). 2. Многообразие $\Sigma_0$ и его окрестностьВ этом разделе мы обозначаем через $C,C_1,\ldots{}$ различные постоянные, которые никогда не зависят от $\nu$ и $\Theta$ (параметр $\Theta$ будет введен ниже, он должен быть достаточно малым). Эти постоянные могут изменяться от строки к строке. Напомним, что мы приводим доказательство для случая $d\geqslant 4$ и предполагаем, что $x=0$ является единственной критической точкой функции $\omega$ на множестве $\Sigma\cap \operatorname{supp} F$. 2.1. Окрестность многообразия $\Sigma_0$Выберем дифференцируемые координаты $\xi\in\mathbb{R}^{d-1}$ на многообразии $\Sigma_0$ и рассмотрим координатные функции $\xi\mapsto x_\xi\in\Sigma_0$. Упрощая обозначения, мы часто будем писать $\xi\in\Sigma_0$. Положим Вектор $N_\xi$ ортогонален $\Sigma_0$ в точке $\xi$. Рассмотрим отображение $\pi\colon\Sigma_0\times\mathbb{R}\mapsto\mathbb{R}^d$, заданное как Пусть $0<\Theta\leqslant 1$ и
$$
\begin{equation*}
U_\Theta(\Sigma_0)=\{x=\pi(\xi,\theta)\colon\xi\in\Sigma_0,\;|\theta|<\theta_\xi(\Theta)\},
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation}
\theta_\xi=\theta_\xi(\Theta)=\frac{\Theta}{\langle x_\xi\rangle^{M_\omega-2}};
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
напомним, что постоянная $M_\omega$ задана в предположении A2. Ниже мы считаем, что $\Theta$ достаточно мало, но фиксировано и не зависит от $\nu$. Введем обозначение $\Omega(x)=\operatorname{Hess}\kern1pt\omega(x)$ для гессиана функции $\omega$, и пусть $\|\Omega\|$ обозначает его операторную норму. Из предположения A2 вытекает следующий результат. Лемма 2.1. Имеют место следующие оценки. 1. Существует постоянная $C>0$, такая что для всех $\xi\in\Sigma_0$ 2. Существует постоянная $C>0$, такая что для всех $x\in U_\Theta(\Sigma_0)$, представленных в виде $x=\pi(\xi,\theta)=x_\xi+\theta N_\xi$, Доказательство. 1. Предположение A2 и равенство (2.2) немедленно влекут оценку (2.3b) и соотношение $\theta_\xi |N_\xi|\leqslant C\Theta\langle x_\xi\rangle$. Из последнего неравенства следует оценка (2.3a) для $|x_\xi|\geqslant 1$; для $|x_\xi|<1$ эта оценка вытекает из того, что $\nabla\omega(0)=0$ и $\theta_\xi=\Theta$. 2. В силу (2.3a) имеем откуда мы немедленно получаем искомое неравенство. $\blacksquare$Теперь покажем, что $(\xi,\theta)$ образуют координаты на множестве $U_\Theta(\Sigma_0)$, и запишем функцию $\omega$ в этих координатах. Предложение 2.1. Имеют место следующие утверждения. 1. Для любого достаточно малого $\Theta$ множество $U_\Theta(\Sigma_0)$ единственным образом параметризуется координатами $\{(\xi,\theta)\colon\,\xi\in\Sigma_0,\,|\theta|<\theta_\xi\}$ в соответствии с формулой (2.1). 2. Пусть $x=\pi(\xi,\theta)\in U_\Theta(\Sigma_0)$. Тогда где функция $\theta\mapsto g_\xi(\theta)$ является $C^2$-гладкой и удовлетворяет условию $g_\xi(0)=1$ и следующим неравенствам: Доказательство. 1. Нам необходимо показать, что если $\Theta$ достаточно мало, то для всех $\xi_i\in\Sigma_0$ и для $|\theta_i|<\theta_{\xi_i}(\Theta)$, $i=1,2$, таких что $\pi(\xi_1,\theta_1)=\pi(\xi_2,\theta_2)$, мы имеем $x_{\xi_1}=x_{\xi_2}$ и $\theta_1=\theta_2$. Из (2.1) получаем Итак, осталось показать, что верно неравенство (2.9). Из (2.3a), (2.6) следует
$$
\begin{equation}
|x_{\xi_1}-x_{\xi_2}|\leqslant |\theta_2N_{\xi_2}|+|\theta_1 N_{\xi_1}|\leqslant C\Theta(|x_{\xi_1}|+|x_{\xi_2}|),
\end{equation}
\tag{2.10}
$$
отсюда, если $\Theta$ достаточно мало,
$$
\begin{equation}
C^{-1}|x_{\xi_2}|\leqslant | x_{\xi_1}|\leqslant C | x_{\xi_2}|.
\end{equation}
\tag{2.11}
$$
Пусть для определенности $|x_{\xi_2}|\geqslant |x_{\xi_1}|$. Для любой точки $x\in[x_{\xi_1} x_{\xi_2}]$ справедливо неравенство
$$
\begin{equation*}
|x_{\xi_2}|-|x_{\xi_1}-x_{\xi_2}|\leqslant|x|\leqslant|x_{\xi_1}|+|x_{\xi_2}|.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда в силу (2.10) и (2.11) получаем $C^{-1}|x_{\xi_2}|\leqslant |x|\leqslant C|x_{\xi_1}|$, таким образом, неравенство (2.9) выполнено. 2. Применим формулу Тейлора в точке $\theta=0$ к функции $\theta\mapsto\omega_\xi(\theta):=\omega(\pi(\xi,\theta))$. Для этого найдем производные
$$
\begin{equation*}
\omega_\xi'(0)=\frac{d}{d\theta}\bigg|_{\theta=0}\omega(x_\xi+\theta N_\xi)=\langle\nabla\omega(x_\xi),N_\xi\rangle=|N_\xi|^2
\end{equation*}
\notag
$$
и $\omega_\xi''(\theta)=\langle\Omega(x_\xi+\theta N_\xi)N_\xi,N_\xi\rangle$. Поскольку $\omega_\xi(0)=0$, имеем
$$
\begin{equation*}
\omega_\xi(\theta)=\theta|N_\xi|^2+\int_0^\theta\langle\Omega(x_\xi+tN_\xi)N_\xi, N_\xi\rangle(\theta-t)\,dt.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, получаем формулу (2.4), в которой
$$
\begin{equation*}
g_\xi(\theta)=1+\int_0^\theta\langle\Omega(x_\xi+tN_\xi)n_\xi, n_\xi\rangle\frac{\theta-t}{\theta}\,dt =1+\theta\int_0^1\langle\Omega(x_\xi+s\theta N_\xi)n_\xi, n_\xi\rangle (1-s)\,ds,
\end{equation*}
\notag
$$
где $n_\xi=N_\xi/|N_\xi|$. Функция $\omega$ является $C^4$-гладкой, следовательно, функция $g_\xi$ является $C^2$-гладкой. Пусть $B_\xi=[x_\xi-\theta_\xi N_\xi,\,x_\xi+\theta_\xi N_\xi]$. Используя предположение A2 и затем п. 2 леммы 2.1, получаем неравенство
$$
\begin{equation*}
|g_\xi(\theta)-1|\leqslant\theta_\xi\max_{x\in B_\xi}\|\Omega(x)\| \leqslant C\frac{\Theta}{\langle x_\xi\rangle^{M_\omega-2}}\max_{x\in B_\xi}\langle x\rangle^{M_\omega-2}\leqslant C_1\Theta,
\end{equation*}
\notag
$$
которое совпадает с первым неравенством в (2.5). Далее имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, g'_{\xi}(\theta)&=\int_0^1\langle\Omega(x_\xi+s\theta N_\xi)n_\xi, n_\xi\rangle (1-s)\,ds+{} \\ &\quad+\theta\int_0^1\biggl\langle\sum_{i=1}^d\partial_{x_i}\Omega(x_\xi+s\theta N_\xi)n_\xi, n_\xi\biggr\rangle(N_\xi)_i\,s(1-s)\,ds. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Вновь используя предположение A2 и п. 2 леммы 2.1, выводим неравенство
$$
\begin{equation*}
|g'_{\xi}(\theta)|\leqslant C\biggl(\langle x_\xi\rangle^{M_\omega-2}+ \frac{\Theta}{\langle x_\xi\rangle^{M_\omega-2}}\langle x_\xi\rangle^{M_\omega-3}\langle x_\xi\rangle^{M_\omega-1}\biggr)= C_1\langle x_\xi\rangle^{M_\omega-2},
\end{equation*}
\notag
$$
которое совпадает со вторым неравенством в (2.5). Третье неравенство получается аналогично. $\blacksquare$ Теперь запишем элемент объема $dx$ в координатах $(\xi,\theta)$. Предложение 2.2. На множестве $U_\Theta(\Sigma_0)\subset\mathbb{R}^d$ элемент объема $dx$, записанный в координатах $(\xi,\theta)$, имеет вид где $m(d\xi)$ – элемент объема на многообразии $\Sigma_0$ и функция плотности $\theta\mapsto\mu_\xi(\theta)$ является многочленом степени $d-1$, который, если $\Theta$ достаточно мало, удовлетворяет условию $\mu_\xi(0)=1$ и неравенствам для всех $\xi\in\Sigma_0$, $|\theta|<\theta_\xi$ и $0\leqslant p\leqslant d-1$. Доказательство. Рассмотрим проектор $\Pi\colon U_\Theta(\Sigma_0)\mapsto\Sigma_0$, который отображает $x=\pi(\xi,\theta)$ в $x_\xi=\pi(\xi, 0)$, Ядро дифференциала $d\Pi(x)$, взятое в точке $x=\pi(\xi,\theta)$, совпадает с линейной оболочкой вектора $N_\xi$. Пусть $J_\Pi(x)$ – якобиан линейного преобразования $d\Pi(x)$, ограниченный на ортогональное дополнение $(\operatorname{span}(N_\xi))^\perp$. В соответствии с формулой Кронрода–Федерера [12] для любого измеримого по Лебегу множества $A\subset U_\Theta(\Sigma_0)$ Лемма 2.2. Справедливо равенство где $\mathrm{Id}_{d-1}$ – единичная матрица размера $(d-1)\times(d-1)$ и $\Omega_{d-1}(x_\xi)$ – матрица, полученная из гессиана $\Omega(x_\xi)$ удалением его последней строки и последнего столбца, при том, что $\Omega(x_\xi)$ записана в произвольном ортонормированном базисе, последний вектор которого совпадает с $N_\xi/\|N_\xi\|$. Доказательство. Зафиксируем $x=\pi(\xi,\theta)$ и некоторый вектор $v\perp N_\xi$; выберем $t\in\mathbb{R}$ настолько малым, чтобы $x+vt\in U_\Theta(\Sigma_0)$. Тогда $x+vt=\pi(\xi(t),\theta(t))$ при надлежащем выборе $\xi(t)$ и $\theta(t)$, таких что $\xi(0)=\xi$ и $\theta(0)=\theta$. Другими словами, $\pi(\xi,\theta)+vt=\pi(\xi(t),\theta(t))$ или, более детально, В силу леммы 2.2
$$
\begin{equation*}
\mu_\xi(\theta)=\det(\mathrm{Id}_{d-1}+\theta\Omega_{d-1}(x_\xi)).
\end{equation*}
\notag
$$
Очевидно, $\mu_\xi(0)=1$. Из неравенства (2.3b) получаем оценку снизу $\mu_\xi(\theta)\geqslant C>0$, равномерную по $\xi\in\Sigma_0$ и $|\theta|<\theta_\xi$, если $\Theta$ достаточно мало. Таким образом, осталось получить оценку производных функции плотности $\mu_\xi$. Запишем разложение где функция $P_l(x_\xi)$ является однородным многочленом степени $l$ по вторым производным $\partial_i\partial_j\omega(x_\xi)$ (в частности, $P_0(x_\xi)=1$ и $P_1(x_\xi)=\operatorname{tr}\Omega_{d-1}(x_\xi)$). Тогда
$$
\begin{equation*}
\frac{d^p}{d\theta^p}\mu_\xi(\theta)=\sum_{k=0}^{d-p-1}C_{k,p}\theta^k P_{k+p}(x_\xi),
\end{equation*}
\notag
$$
следовательно, в силу предположения A2 и в соответствии с (2.2)
$$
\begin{equation*}
\bigg|\frac{d^p}{d\theta^p}\mu_\xi(\theta)\bigg|\leqslant C\max_{0\leqslant k\leqslant d-p-1} (\theta_\xi)^k\langle x_\xi\rangle^{(k+p)(M_\omega-2)}\leqslant C_1\langle x_\xi\rangle^{p(M_\omega-2)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Предложение доказано. $\blacksquare$ Завершим этот раздел следующей характеризацией множества $U_\Theta(\Sigma_0)$. Лемма 2.3. Пусть $\kappa=\kappa(\Theta)$ достаточно мало. Тогда всякий $x\in\mathbb{R}^d$, удовлетворяющий условию принадлежит множеству $U_\Theta(\Sigma_0)$. Доказательство. Докажем сперва, что для любого $x$, удовлетворяющего (2.16), имеет место равенство Из (2.17) следует, что для любого $x$, удовлетворяющего условию (2.16), найдется $\xi\in\Sigma_0$, такой что
$$
\begin{equation}
x=x_\xi+\theta N_\xi,\quad\text{где}\;\;|\theta N_\xi|\leqslant\kappa\min(|x|,|x|^{m_\omega+2-M_\omega}).
\end{equation}
\tag{2.18}
$$
Остается показать, что $|\theta|<\theta_\xi$. Для этого заметим, что в силу (2.18)
$$
\begin{equation}
C^{-1}|x_\xi|\leqslant |x|\leqslant C|x_\xi|\quad\text{равномерно по}\;\; 0<\kappa\leqslant 1/2.
\end{equation}
\tag{2.19}
$$
Сначала предположим, что $|x|\geqslant 1$. Тогда $\min(|x|,|x|^{m_\omega+2-M_\omega})=|x|^{m_\omega+2-M_\omega}$ вследствие (1.8). Тогда с помощью (2.18) и (2.19) получаем, что $|\theta N_\xi|\leqslant C\kappa |x_\xi|^{m_\omega+2-M_\omega}$. Далее, используя предположение A3, выводим неравенство $|\theta|\leqslant C\kappa|x_\xi|^{2-M_\omega}<\theta_\xi$, верное, если $\kappa<C^{-1}\Theta$. В случае $|x|\leqslant 1$ применим неравенство $|\theta N_\xi|\leqslant C\kappa|x_\xi|$, вытекающее из (2.18), (2.19). В силу (1.7) получаем, что $|\theta|\leqslant C\kappa<\theta_\xi$, если $\kappa< C^{-1}\Theta$. Лемма доказана. $\blacksquare$ Следствие 2.1. Из предположения A5 следует, что Доказательство. Применяя лемму 2.3 вместе с неравенством (1.8), заключаем, что если $\kappa$ достаточно мало, то область $B^{\mathrm c}_1\backslash U_\Theta(\Sigma_0)$ содержится в множестве $D_\kappa$ из предположения A5. 2.2. Интегралы по многообразию $\Sigma_0$Напомним, что через $B_r$ мы обозначаем замкнутый шар в $\mathbb{R}^d$ с центром в нуле и радиусом $r$. Введем множество Напомним также, что функция $\chi_{a,b}(r)$ определена в (1.4).Лемма 2.4. Справедливы следующие утверждения. 1. Пусть $\mathbb{R}\ni n\leqslant d-1$. Тогда для любого $0<\delta\leqslant 1/2$
$$
\begin{equation}
\int_{\Sigma_0\cap R_\delta^1}|x_\xi|^{-n}\,m(d\xi)\leqslant C\chi_{d, n+1}(\delta).
\end{equation}
\tag{2.21}
$$
Если $n<d-1$, то
$$
\begin{equation}
\int_{\Sigma_0\cap B_\delta}|x_\xi|^{-n}\,m(d\xi)\leqslant C\delta^{d-1-n}.
\end{equation}
\tag{2.22}
$$
В частности, $\int_{\Sigma_0\cap B_1}|x_\xi|^{-n}\,m(d\xi)<\infty$. 2. Пусть $\mathbb{R}\ni n>M_\omega-m_\omega-2+d$. Тогда Доказательство. Запишем равенство 1. Чтобы доказать п. 1 леммы, положим $A=\Sigma_0\cap R_\delta^1$. В силу п. 2 леммы 2.1 мы имеем $\Pi^{-1}(\Sigma_0\cap R^1_\delta)\subset R_{c_0\delta}^{c_1}$ при надлежащем выборе постоянных $c_0,c_1>0$. Тогда, используя неравенство $\theta_\xi\geqslant C\Theta$ для $x_\xi\in R_{c_0\delta}^{c_1}$, а также оценку (1.7) и тот факт, что $\mu_\xi(\theta)\geqslant C$, получаем неравенство
$$
\begin{equation*}
J\leqslant C\Theta^{-1}\int_{ R_{c_0\delta}^{c_1}} |x_\xi|^{-n-1}\,dx\leqslant C_1\Theta^{-1}\int_{ R_{c_0\delta}^{c_1}} |x|^{-n-1}\,dx= C_1\Theta^{-1}\int_{c_0\delta}^{c_1} r^{-n+d-2}\,dr,
\end{equation*}
\notag
$$
которое влечет первое утверждение леммы 2. Второе неравенство (2.22) получается, если в приведенных выше формулах выбрать $A=\Sigma_0\cap B_\delta$ и заменить $R_{c_0\delta}^{c_1}$ на $B_{c\delta}$. 2. Положим $A=\Sigma_0\backslash B_1$. Поскольку $\Pi^{-1}(\Sigma_0\backslash B_1)\subset B_r^{\mathrm c}$ при некотором $r>0$, в силу предположения A3 и формулы (2.2) имеем если $-n+M_\omega-2-m_\omega<-d$. $\blacksquare$ Следствие 2.2. Пусть $g\colon\Sigma_0\mapsto\mathbb{R}$ – измеримая функция. Тогда интеграл Доказательство напрямую вытекает из леммы 2.4, предположения A3 и оценки (1.7) с учетом ограничения $d\geqslant 4$. 3. Интеграл $I_\nu$В этом разделе мы доказываем теорему 1.1. Зафиксируем достаточно малое $\Theta$ и позволим константам $C,C_1,\ldots{}$ зависеть от $\Theta$ (но не от $\nu$). Для области $W\subset\mathbb{R}^d$ обозначим через $\langle I_\nu,W\rangle$ интеграл $I_\nu$, взятый не по $\mathbb{R}^d$, а по $W$:
$$
\begin{equation}
\langle I_\nu, W\rangle :=\int_W\frac{F(x)}{\omega^2(x)+\nu^2}\,dx.
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
Пусть $\delta:=\alpha\sqrt\nu$, где $\alpha=\alpha(\Theta)>0$ обозначает не зависящую $\nu$ постоянную, которую мы выберем позже (как правило, она достаточно велика). Запишем интеграл $I_\nu$ как сумму
$$
\begin{equation}
I_\nu=\langle I_\nu,B_\delta\rangle+\langle I_\nu,B_\delta^{\mathrm c}\backslash U_\Theta(\Sigma_0)\rangle+ \langle I_\nu,U_\Theta(\Sigma_0)\backslash B_\delta\rangle
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
и покажем, что сумма первых двух интегралов ограничена величиной $C\chi_{d,4}(\nu)$, а третий приводит к искомой асимптотике. 3.1. Первый и второй интегралы в (3.2)Для первого интеграла в (3.2) используем тривиальную оценку, верную для $d\geqslant 4$:
$$
\begin{equation}
|\langle I_\nu,B_\delta\rangle|\leqslant C\delta^{d}\nu^{-2}=C\alpha^d\nu^{d/2-2}\leqslant C_1.
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
Для анализа второго интеграла возьмем $0<\hat\delta<1$ достаточно малым, но не зависящим от $\nu$ (см. ниже). Имеем
$$
\begin{equation*}
\langle I_\nu,B_\delta^{\mathrm c}\backslash U_\Theta(\Sigma_0)\rangle= \langle I_\nu,B_1^{\mathrm c}\backslash U_\Theta(\Sigma_0)\rangle+\langle I_\nu, R_{\hat\delta}^1\backslash U_\Theta(\Sigma_0)\rangle+ \langle I_\nu, R_\delta^{\hat\delta}\backslash U_\Theta(\Sigma_0)\rangle,
\end{equation*}
\notag
$$
где мы использовали обозначение (2.20). В силу следствия 2.1 первое слагаемое ограничено константой. Поскольку множество $R_{\hat\delta}^1\backslash U_\Theta(\Sigma_0)$ отделено от $\Sigma_0$, ограничено и не зависит от $\nu$, та же оценка верна и для второго слагаемого. Для анализа третьего слагаемого воспользуемся леммой 2.3. С учетом неравенства (1.8) правая часть неравенства (2.16) для $x\in R_\delta^{\hat\delta}$ равна $\kappa|x|$. Тогда
$$
\begin{equation}
|\langle I_\nu, R_\delta^{\hat\delta}\backslash U_\Theta(\Sigma_0)\rangle|\leqslant C\int_{\{x\in R_\delta^{\hat\delta}\colon|x-\Sigma_0| >\kappa|x|\}}\frac{dx}{\omega^2(x)}.
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
По лемме Морса для достаточно малого $r>0$ существует $C^2$-диффеоморфизм $x\mapsto y$, $B_r\mapsto y(B_r)$, такой что $y(0)=0$ и функция $q(y)=\omega(x(y))$ является невырожденной квадратичной формой. Выберем $\hat\delta,\hat r>0$ так, чтобы выполнялись включения Очевидно,
$$
\begin{equation*}
\{x\in R_\delta^{\hat\delta}\colon |x-\Sigma_0|>\kappa|x|\}\subset \{x\in R_\delta^{\hat\delta}\colon |x-\Sigma\cap B_r|>\kappa|x|\}=:A.
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку
$$
\begin{equation*}
C^{-1}|x_1-x_2|\leqslant |y(x_1)-y(x_2)|\leqslant C|x_1-x_2|\;\;\text{для всех}\;\; x_1, x_2\in B_r,
\end{equation*}
\notag
$$
образ множества $A$ при отображении $x\mapsto y$ содержится в множестве
$$
\begin{equation*}
\{y\in R_{c\delta}^{\hat r}\colon |y-y(\Sigma\cap B_r)|>c\kappa|y|\}
\end{equation*}
\notag
$$
при надлежащем выборе $c<1$. Это множество, в свою очередь, содержится в
$$
\begin{equation*}
A^y:=\{y\in R_{c\delta}^{\hat r}\colon |y-y(\Sigma)\cap B_{\hat r}|>c\kappa|y|\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Множество $y(\Sigma)\cap B_{\hat r}$ является пересечением конуса $\Sigma^q=\{y\in\mathbb{R}^d\colon q(y)=0\}$ с шаром $B_{\hat r}$, поэтому
$$
\begin{equation*}
A^y=\{y\in R_{c\delta}^{\hat r}\colon |y-\Sigma^q|>c\kappa|y|\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку на множестве $A^y\cap\{|y|=\hat r\}$ квадратичная форма $q$ отделена от нуля и $\Sigma^q$ – конус, мы имеем $|q(y)|\geqslant C|y|^2$ для всех $y\in A^y$. Тогда правая часть неравенства (3.4) ограничена величиной
$$
\begin{equation*}
C\int_{A^y}\frac{dy}{q^2(y)}\leqslant C_1\int_{c\delta}^{\hat r}\frac{r^{d-1}\,dr}{r^4}\leqslant C_2\chi_{d,4}(\delta).
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, находим
$$
\begin{equation}
|\langle I_\nu,B_\delta^{\mathrm c}\backslash U_\Theta(\Sigma_0)\rangle|\leqslant C\chi_{d,4}(\delta).
\end{equation}
\tag{3.5}
$$
3.2. Третий интеграл в (3.2): первые приближенияШаг 1. Рассмотрим множество
$$
\begin{equation*}
V_\delta=\{x=\pi(\xi,\theta)\in U_\Theta(\Sigma_0)\colon x_\xi\in\Sigma_0\backslash B_\delta,\,|\theta|\leqslant\theta_{\xi}\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Используя п. 2 леммы 2.1, нетрудно заметить, что множество $V_\delta\,\Delta\,(U_\Theta(\Sigma_0)\backslash B_\delta)$ содержится в шаре $B_{c\delta}$ с подходящей постоянной $c\geqslant 1$. Тогда, рассуждая так же, как в (3.3), мы видим, что
$$
\begin{equation}
|\langle I_\nu,V_\delta\rangle-\langle I_\nu,U_\Theta(\Sigma_0)\backslash B_\delta\rangle|\leqslant C_1.
\end{equation}
\tag{3.6}
$$
Таким образом, осталось изучить интеграл $\langle I_\nu,V_\delta\rangle$. Согласно предложению 2.2 в $(\xi,\theta)$-координатах он принимает вид
$$
\begin{equation*}
\langle I_\nu,V_\delta\rangle= \int_{\Sigma_0\backslash B_\delta} m(d\xi) \int_{-\theta_\xi}^{\theta_\xi}\frac{|N_\xi|\mu_\xi(\theta)F(\xi,\theta)}{\omega^2(\xi,\theta)+\nu^2}\,d\theta.
\end{equation*}
\notag
$$
Используя равенство (2.4), перепишем этот интеграл как
$$
\begin{equation}
\langle I_\nu,V_\delta\rangle= \int_{\Sigma_0\backslash B_\delta}\frac{m(d\xi)}{|N_{\xi}|^3} \int_{-\theta_\xi}^{\theta_\xi}\frac{\Phi(\xi,\theta)}{\theta^2g^2_\xi(\theta)+\varepsilon_\xi^2}\,d\theta,
\end{equation}
\tag{3.7}
$$
где $\Phi(\xi,\theta):=\mu_\xi(\theta)F(\xi,\theta)$ и $\varepsilon_\xi:=\nu |N_\xi|^{-2}$. Шаг 2. Рассмотрим внутренний интеграл в (3.7)
$$
\begin{equation*}
J_\nu(\xi):=\int_{-\theta_\xi}^{\theta_\xi}\frac{\Phi(\xi,\theta)}{\theta^2g^2_\xi(\theta)+\varepsilon_\xi^2}\,d\theta
\end{equation*}
\notag
$$
и обозначим через $J_\nu^0(\xi)$ интеграл $J_\nu(\xi)$, в котором функции $\Phi(\xi,\,{\cdot}\,)$ и $g_\xi$ заменены на свои значения в нуле $\Phi(\xi,0)=F(\xi,0)$ и $g_\xi(0)=1$:
$$
\begin{equation}
J_\nu^0(\xi):=\int_{-\theta_\xi}^{\theta_\xi}\frac{F(\xi,0)}{\theta^2+\varepsilon_\xi^2}\,d\theta= 2\frac{F(\xi,0)}{\varepsilon_\xi} \operatorname{arctg} \frac{\theta_\xi}{\varepsilon_\xi}.
\end{equation}
\tag{3.8}
$$
На этом шаге мы покажем, что достаточно проанализировать интеграл (3.7), в котором внутренний интеграл $J_\nu(\xi)$ заменен на $J_\nu^0(\xi)$. Для этого при фиксированных $\xi$ и $\theta$ рассмотрим функцию
$$
\begin{equation*}
f_{\xi,\theta}(t):=\frac{\Phi(\xi,t)}{\theta^2g^2_\xi(t)+\varepsilon_\xi^2}.
\end{equation*}
\notag
$$
По формуле Тейлора
$$
\begin{equation*}
f_{\xi,\theta}(t)-f_{\xi,\theta}(0)=f_{\xi,\theta}'(0)t+\frac{1}{2} f_{\xi,\theta}''(\hat t(t;\xi,\theta))t^2,
\end{equation*}
\notag
$$
где $|\hat t|\leqslant|t|$. Поскольку $f'_{\xi,\theta}(0)=f'_{\xi,-\theta}(0)$, получаем
$$
\begin{equation}
J_\nu^{}(\xi)-J_\nu^0(\xi)=\int_{-\theta_\xi}^{\theta_\xi}(f_{\xi,\theta}^{}(\theta)-f_{\xi,\theta}^{}(0))\,d\theta= \int_{-\theta_\xi}^{\theta_\xi}\frac{\theta^2}{2}f_{\xi,\theta}''(\hat t\,)\,d\theta.
\end{equation}
\tag{3.9}
$$
Далее оценим $f_{\xi,\theta}''$. При $x=\pi(\xi,t)$ мы имеем $\partial_t=N_\xi\cdot\nabla_x$, тогда предположения A1 и A2 влекут
$$
\begin{equation*}
|\partial_{t^k}F(\xi,t)|\leqslant C\langle x\rangle^{-M_F-k}\langle x_\xi\rangle^{k(M_\omega-1)}\leqslant C_1\langle x_\xi\rangle^{-M_F-k+k(M_\omega-1)},
\end{equation*}
\notag
$$
где в последнем неравенстве мы воспользовались п. 2 леммы 2.1. Тогда в силу (2.13) при $0\leqslant k\leqslant 2$ справедлива оценка
$$
\begin{equation}
|\partial_{t^k}\Phi(\xi,t)|\leqslant \max_{0\leqslant i\leqslant k} C\langle x_\xi\rangle^{-M_F-i+i(M_\omega-1)+(k-i)(M_\omega-2)}= C\langle x_\xi\rangle^{-M_F+k(M_\omega-2)}.
\end{equation}
\tag{3.10}
$$
Введем обозначение $\eta_{\xi,\theta}(t):=\theta^2g_\xi^2(t)+\varepsilon_\xi^2$. С учетом (2.5) получаем для $0\leqslant k\leqslant 2$
$$
\begin{equation}
\bigg|\frac{d^k}{dt^k}\eta_{\xi,\theta}(t)\bigg|=\theta^2\bigg|\frac{d^k}{dt^k} g^2_{\xi,\theta}(t)\bigg|\leqslant C\theta^2\langle x_\xi\rangle^{k(M_\omega-2)}.
\end{equation}
\tag{3.11}
$$
Комбинируя неравенства (3.10), (3.11) и оценку $|\eta_{\xi,\theta}(t)|\geqslant C\theta^2$, вытекающую из (2.5), получаем
$$
\begin{equation*}
\bigg|\frac{\partial_{t^2}\Phi}{\eta_{\xi,\theta}}\bigg|,\; \bigg|\frac{\partial_t\Phi\,\eta_{\xi,\theta}'} {\eta^2_{\xi,\theta}}\bigg|,\; \bigg|\frac{\Phi\,\eta_{\xi,\theta}''} {\eta^2_{\xi,\theta}}\bigg|,\; \bigg|\frac{\Phi\,(\eta_{\xi,\theta}')^2} {\eta^3_{\xi,\theta}}\bigg| \leqslant C\theta^{-2}\langle x_\xi\rangle^{-M_F+2(M_\omega-2)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда $|f_{\xi,\theta}''(t)|\leqslant C\theta^{-2}\langle x_\xi\rangle^{-M_F+2(M_\omega-2)}$, поэтому в силу (3.9)
$$
\begin{equation}
|J_\nu(\xi)-J_\nu^0(\xi)|\leqslant C\theta_\xi\langle x_\xi\rangle^{-M_F+2(M_\omega-2)}\leqslant C\langle x_\xi\rangle^{-M_F+M_\omega-2}.
\end{equation}
\tag{3.12}
$$
Пусть $I_\nu^{\mathrm f}$ – интеграл (3.7), в котором внутренний интеграл $J_\nu(\xi)$ заменен на $J_\nu^0(\xi)$,
$$
\begin{equation}
I_\nu^{\mathrm f}=\int_{\Sigma_0\backslash B_\delta}\frac{J_\nu^0(\xi)\,m(d\xi)}{|N_{\xi}|^3}.
\end{equation}
\tag{3.13}
$$
В соответствии с неравенством (3.12), используя следствие 2.2 и предположение A4, имеем
$$
\begin{equation*}
|\langle I_\nu^{},V_\delta^{}\rangle-I_\nu^{\mathrm f}|\leqslant C\int_{\Sigma_0\backslash B_\delta}\frac{\langle x_\xi\rangle^{-M_F+M_\omega-2}\,m(d\xi)}{|N_{\xi}|^3}\leqslant C_1\chi_{d,4}(\delta).
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда из представления (3.2) и оценок (3.3), (3.5), (3.6) следует, что для доказательства теоремы достаточно получить искомую асимптотику (1.5), в которой интеграл $I_\nu^{}$ заменен на $I_\nu^{\mathrm f}$. 3.3. Анализ интеграла $I_\nu^{\mathrm f}$Напомним, что интеграл $I_\nu^{\mathrm f}$ определен в (3.13), а функция $J_\nu^0(\xi)$ задана формулой (3.8). Применяя неравенство
$$
\begin{equation*}
0<\frac{\pi}{2}- \operatorname{arctg} \frac{1}{\gamma}<\gamma,
\end{equation*}
\notag
$$
которое справедливо при $0<\gamma\leqslant 1/2$, для $\gamma=\varepsilon_\xi/\theta_\xi$ получаем, что
$$
\begin{equation}
\bigg|\frac{\pi F(\xi,0)}{\varepsilon_\xi}-J^0_\nu(\xi)\bigg|<\frac{2 F(\xi,0)}{\theta_\xi},
\end{equation}
\tag{3.14}
$$
если
$$
\begin{equation}
\frac{\varepsilon_\xi}{\theta_\xi}=\frac{\nu\langle x_\xi\rangle^{M_\omega-2}}{|N_\xi|^{2}\Theta}\leqslant\frac{1}{2}.
\end{equation}
\tag{3.15}
$$
Сначала предположим, что $|x_\xi|\geqslant 1$. Тогда в соответствии с предположением A3
$$
\begin{equation*}
\frac{\varepsilon_\xi}{\theta_\xi}\leqslant C\Theta^{-1}\nu |x_\xi|^{M_\omega-2-2m_\omega},
\end{equation*}
\notag
$$
поэтому при достаточно малых значениях $\nu$ неравенство (3.15) выполняется, если $M_{\mathrm{cr}}:=M_\omega-2m_\omega-2\leqslant 0$ или если $M_{\mathrm{cr}}>0$ и
$$
\begin{equation}
|x_\xi|\leqslant C_{\mathrm{cr}}(\Theta\nu^{-1})^{1/M_{\mathrm{cr}}}
\end{equation}
\tag{3.16}
$$
при надлежащим образом выбранной постоянной $C_{\mathrm{cr}}>0$. В случае $|x_\xi|<1$ для $\xi\in\Sigma_0\backslash B_\delta$ в силу оценки (1.7) имеем
$$
\begin{equation*}
\frac{\varepsilon_\xi}{\theta_\xi}\leqslant C\frac{\nu}{\Theta |x_\xi|^{2}}\leqslant C\Theta^{-1}\nu\delta^{-2}=C\Theta^{-1}\alpha^{-2},
\end{equation*}
\notag
$$
где, напомним, $\delta:=\alpha\sqrt\nu$. Выбрав $\alpha=\sqrt{2C}\Theta^{-1/2}$, мы видим, что соотношение (3.15) выполнено. Введем подмножество $\Sigma_0^{<}$ в $\Sigma_0$, такое что для $\xi\in\Sigma_0^{<}\backslash B_\delta$ выполняется неравенство (3.15). Точнее, если $M_{\mathrm{cr}}>0$, мы положим (см. (3.16))
$$
\begin{equation*}
\Sigma_0^{<}=\{\xi\in\Sigma_0\colon|x_\xi|\leqslant C_{\mathrm{cr}}(\Theta\nu^{-1})^{1/M_{\mathrm{cr}}}\},
\end{equation*}
\notag
$$
а если $M_{\mathrm{cr}}\leqslant 0$, то $\Sigma_0^{<}=\Sigma_0$. Введем обозначение $\Sigma_0^{>}=\Sigma_0\backslash\Sigma_0^{<}$ и запишем интеграл $I_\nu^{\mathrm f}$ как
$$
\begin{equation*}
I_\nu^{\mathrm f}=\bigg(\int_{\Sigma_0^{<}\backslash B_\delta}+\int_{\Sigma_0^{>}}\bigg)\frac{ m(d\xi)}{|N_{\xi}|^3}J_\nu^0(\xi),
\end{equation*}
\notag
$$
где мы считаем, что $\nu$ настолько мало, что $\Sigma_0^{>}\cap B_1=\varnothing$. В силу (3.8) интеграл по множеству $\Sigma_0^{>}$ ограничен выражением
$$
\begin{equation}
C\nu^{-1}\int_{\Sigma_0^{>}}|F(\xi,0)|\frac{m(d\xi)}{|N_\xi|}\leqslant C(C_{\mathrm{cr}}\Theta)^{-1}\int_{\Sigma_0^{>}}|x_\xi|^{M_{\mathrm{cr}}}|F(\xi,0)|\frac{m(d\xi)}{|N_\xi|}.
\end{equation}
\tag{3.17}
$$
Согласно следствию 2.2 и предположениям A1, A4 последний интеграл ограничен постоянной, не зависящей от $\nu$. Осталось изучить интеграл по $\Sigma_0^{<}\backslash B_\delta$. Обозначим через $K_\nu$ интеграл, полученный из последнего путем аппроксимации интеграла $J^0_\nu(\xi)$ с помощью (3.14), т. е.
$$
\begin{equation*}
K_\nu=\pi\int_{\Sigma_0^{<}\backslash B_\delta}\frac{F(\xi, 0)\,m(d\xi)}{\varepsilon_\xi|N_{\xi}|^3}= \pi\nu^{-1}\int_{\Sigma_0^{<}\backslash B_\delta}\frac{F(\xi, 0)\,m(d\xi)}{|N_{\xi}|}.
\end{equation*}
\notag
$$
Этот интеграл сходится в силу следствия 2.2, а также сходится интеграл (1.3),
$$
\begin{equation*}
I_0=\pi\int_{\Sigma_0}\frac{F(\xi,0)\,m(d\xi)}{|N_{\xi}|}= \pi\int_{\Sigma_0}\frac{F(x)}{|\nabla\omega(x)|}\,d_{\scriptscriptstyle\Sigma} x.
\end{equation*}
\notag
$$
При $\xi\in\Sigma_0^{<}$ справедливо неравенство (3.14), поэтому, опять же в силу следствия 2.2, мы имеем оценку
$$
\begin{equation}
\bigg|\int_{\Sigma_0^{<}\backslash B_\delta}J_\nu^0(\xi)\frac{m(d\xi)}{|N_{\xi}|^3}-K_\nu\bigg|\leqslant 2\int_{\Sigma_0^{<}\backslash B_\delta}\frac{|F(\xi, 0)|\,m(d\xi)}{\theta_\xi|N_{\xi}|^3}\leqslant C_1\chi_{d,4}(\delta).
\end{equation}
\tag{3.18}
$$
Для завершения доказательства теоремы остается заметить, что с учетом (1.7)
$$
\begin{equation*}
|K_\nu-\nu^{-1} I_0|\leqslant \pi\nu^{-1}\bigg(\,\int_{\Sigma_0\cap B_\delta}+\int_{\Sigma_0^{>}}\bigg)\frac{|F(\xi,0)|\,m(d\xi)}{|N_\xi|}.
\end{equation*}
\notag
$$
Для $d\geqslant 4$ в соответствии с п. 1 леммы 2.4 первый интеграл в правой части ограничен сверху величиной
$$
\begin{equation*}
C\nu^{-1}\int_{\Sigma_0\cap B_\delta}|x_\xi|^{-1}\,m(d\xi)\leqslant C_1\nu^{-1}\delta^{2}\leqslant C_2,
\end{equation*}
\notag
$$
а второй интеграл совпадает с левой частью неравенства (3.17), поэтому ограничен константой. Доказательство теоремы 1.1 завершено. БлагодарностиЯ глубоко признателен Сергею Борисовичу Куксину за наши обсуждения этой задачи. Конфликт интересовАвтор заявляет, что у него нет конфликта интересов.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Dym23} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|