| Теоретическая и математическая физика |
|
|
|
|
|
М. Р. Бахраминасаб, М. Гоминеджад Physics Department, Semnan University, Semnan, Iran
Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2023, Volume 217, Issue 2, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0040577923110028 
Реферативные базы данных:
   1. Введение1.1. История вопросаХорошо известные суперконформные алгебры (СКА) как суперсимметричные расширения алгебры Вирасоро впервые были рассмотрены с физической и с математической точек зрения в 1976–1977 гг. Адемолло с соавторами в работе [1] и Кацем в работе [2]. Кац и Фаттори в 2002 г. провели классификацию СКА [3], [4], которые требуются ири изучении теории струн и конформной теории поля (КТП), и среди которых $\mathcal N=2$ СКА имеет ключевое значение в теории зеркальной симметрии. Кроме того, эта двумерная конформная симметрия и ее суперсимметричные обобщения играют важную роль при описании некоторых явлений статистической механики и теории суперструн. Один из первых примеров суперконформной симметрии – это $\mathcal N=2$ СКА, разработанная Невё и Шварцем [5], а также Рамоном [6], которые пытались построить модели фермионных струн. Если увеличивать значение $\mathcal N=2$ в указанной СКА, то мы приходим к ее обобщению, так что $\mathcal N=2$ СКА является простейшей неминимально расширенной конформной алгеброй [7]. $\mathcal N=2$ СКА разделяются на четыре типа: 1) $\mathcal N=2$ алгебра Рамона; 2) $\mathcal N=2$ алгебра Невё–Шварца; 3) топологическая $\mathcal N=2$ алгебра; 4) скрученная $\mathcal N=2$ алгебра. Первые три алгебры изоморфны друг другу и называются нескрученными. Кроме того, с помощью отображения спектрального потока можно установить изоморфизм $\mathcal N=2$ алгебры Рамона и $\mathcal N=2$ алгебры Невё–Шварца [7]–[10]. Конечно, имеется обширная литература, посвященная $\mathcal N=2$ СКА, но в настоящей статье мы рассматриваем характеры $\mathcal N=2$ СКА в секторе Рамона [11] в случае центрального заряда [12]
$$
\begin{equation}
c=3\biggl(1-\frac{2p}{u}\biggr),\qquad u\in\mathbb{Z}_{\geqslant 2},\quad p\in\mathbb{Z}_{\geqslant 1},\quad\operatorname{gcd}(p,u)=1
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
(здесь и далее gcd обозначает наибольший общий делитель). Поскольку СКА описывают фундаментальные симметрии в теории суперструн, они давно изучаются в физической литературе. СКА – это простая супералгебра Ли (над $\mathbb{C}$), обладающая очень богатой математической структурой и имеющая множество разнообразных приложений. В последние годы были проведены тщательные и обширные исследования этих алгебр с математической и физической точек зрения, что привело к расширению нашего понимания физического содержания их сложной математической структуры. $\mathcal N=2$ конформная теория широко применяется в физических моделях, таких как минимальные топологические теории поля, струнные компактификации на многообразиях и топологические версии алгебр, а также в математических задачах, например при аналитическом исследовании многообразий визуальной алгебры из-за сходства $\mathcal N=2$ СКА с кэлеровой геометрией. Таким образом, мы можем ожидать, что один из наиболее важных с практической точки зрения аспектов $\mathcal N=2$ СКА заключается в понимании геометрии комплексных многообразий и особенно их топологических инвариантов. Одной из важнейших особенностей теории представлений СКА и супералгебры Ли является модулярная инвариантность их характеров [13]–[16]. Для анализа модулярных свойств применяются обобщения некоторых функций и элементов, возникающих при изучении характеров представлений в КТП и супералгебрах Ли. В этом случае некоторые характеры имеют квазипериодический вид, и их модулярные преобразования можно исследовать, изучая модулярное поведение тета-функций. Однако характеры, которые не являются квазипериодическими (они часто называются спектральными потоками), нельзя разумным образом выразить через тета-функции. Изучение модулярных преобразований таких характеров является важным вопросом КТП [17]–[19]. В настоящей работе исследуется “модулярный инвариант” характеров Рамона $\mathcal N=2$ СКА. Мы выражаем характеры через различные тета-функции Якоби, функции Аппеля высших уровней и эта-функции Дедекинда, участвующие в их алгебраических структурах. Поэтому в разделе 1 мы вводим и исследуем указанные функции, а также перечисляем их свойства и формулируем важные с практической точки зрения леммы, необходимые для изучения модулярных преобразований характеров $\mathcal N=2$ СКА Рамона, которым посвящен раздел 2. Хотя в настоящей статье мы не представляем какие-либо конкретные приложения нашего анализа в теории квантовых суперструн и математической физике, полученные результаты могут быть использованы теми, кто интересуется некоторыми частными задачами в этих областях. 1.2. Предварительные сведенияТета-функции Якоби – это квазидвоякопериодические функции, часто используемые в теории многих мероморфных функций математической физики на комплексной плоскости, а также эллиптических функций [20]–[22]. Определение 1.1. Для $(\tau,\nu)\in\mathbb{H}\times\mathbb{C}$, где $\mathbb{H}$ – верхняя половина комплексной плоскости $\mathbb{C}$, положим $(q, z):=(e^{2i\pi\tau}, e^{2i\pi\nu})$. Тета-функции Якоби вводятся как Тета-функции Якоби имеют многочисленные свойства и удовлетворяют многочисленным тождествам разного характера (см., например, [23], [24]). Однако нам потребуется только так называемая спектральная тета-функция, зависящая от одного переменного вспомогательного параметра $\alpha$ (см. формулу (5) в [25]). Определение 1.2. Пусть $(\tau,\nu)\in\mathbb{H}\times\mathbb{C}$, $(q, z):=(e^{2i\pi\tau},e^{2i\pi\nu})$ и $\alpha\in\mathbb{R}$. Спектральная тета-функция определяется как следующий ряд: Замечание 1.1. Функции Якоби $\theta_i$ (где $i=1,2,3,4$) совпадают со спектральными функциями Якоби ${}_\alpha\Theta$ (где $\alpha=3,1,0,2$ соответственно), при этом восемь последовательных значений $\alpha\in\mathbb{Z}$, очевидно, дают полную циклическую перестановку. При сдвигах $\alpha\to\alpha+1/2$ возникают функции $\tilde\theta_i$ c сокращенными циклами на другом уровне согласованности. Цикл по-прежнему не меняется, оставаясь в рамках периодической геометрической картины, показанной на рис. 1. Лемма 1.1 (см. формулы (8)–(13) в [25]). Спектральные тета-функции имеют следующие квазипериодические свойства. 1. Сдвиг на период для $(\alpha,k)\in\mathbb{R}\times\mathbb{Z}$:
$$
\begin{equation}
{}_\alpha\Theta(\tau,\nu+k) =e^{\pi ik\alpha}{}_\alpha\Theta(\tau,\nu),
\end{equation}
\tag{1.3а}
$$
$$
\begin{equation}
{}_\alpha\Theta(\tau,\nu+k\tau) =e^{-\frac{\pi ik}{2}(\alpha(\alpha-1)+4\nu+2k\tau)}{}_\alpha\Theta(\tau,\nu),
\end{equation}
\tag{1.3б}
$$
$$
\begin{equation}
{}_\alpha\Theta(\tau,\nu+k\tau+k) =e^{-\frac{\pi ik}{2}(\alpha(\alpha-3)+4\nu+2k\tau)}{}_\alpha\Theta(\tau,\nu).
\end{equation}
\tag{1.3в}
$$
2. Сдвиг на полупериод для $(\alpha,\alpha')\in\mathbb{Z}\times 2\mathbb{Z}$:
$$
\begin{equation}
{}_\alpha\Theta\biggl(\tau,\nu+\frac{1}{2}\biggr) ={}_{\alpha-2}\Theta(\tau,\nu),
\end{equation}
\tag{1.3г}
$$
Доказательство. Используя определение 1.2, после некоторых вычислений получаем свойства (1.3а)–(1.3в). Чтобы доказать (1.3г), запишем по определению Далее в качестве обобщения тета-функций Якоби мы определяем и используем функции Аппеля высшего уровня [26]–[29], которые обладают большей гибкостью при работе с представлениями характеров алгебры. Определение 1.3. Пусть $\ell\in\mathbb{N}$ и $(\tau,\nu,\mu)\in\mathbb{H}\times\mathbb{C}\times\mathbb{C}$. Положим $(q,x,y):=(e^{2i\pi\tau},e^{2i\pi\nu},e^{2\pi i\mu})$. Функции Аппеля уровня $\ell$ определяются как Лемма 1.2 (см. § 2.1 в [30]). Функции Аппеля имеют следующие свойства. 1. Периодичность: для $ m\in\mathbb{Z}$
$$
\begin{equation}
\mathcal K_\ell\biggl(\tau,\mu+\frac{m}{\ell},\mu-\frac{m}{\ell}\biggr) = \mathcal K_\ell(\tau,\nu,\mu),
\end{equation}
\tag{1.4а}
$$
$$
\begin{equation}
\mathcal K_{2\ell}\biggl(\tau,\nu\pm\frac{m}{2},\mu-\frac{m}{2}\biggr) =\mathcal K_{2\ell}(\tau,\nu,\mu).
\end{equation}
\tag{1.4б}
$$
2. Открытая квазипериодичность:
$$
\begin{equation}
\mathcal K_\ell(q,x,yq^n) =q^{n^2\ell/2}y^{n\ell}\mathcal K_\ell(q,x,y)+ \begin{cases} \displaystyle\phantom{-}\sum_{j=0}^{\ell n-1}x^jy^j q^{nj}\,{}_0\Theta(q^\ell,x^\ell q^j), &n\in\mathbb{N}, \\ \displaystyle -\sum_{j=\ell n}^{-1}x^jy^j q^{nj}\,{}_0\Theta(q^\ell, x^\ell q^j), & n\in\mathbb{-N}, \end{cases}
\end{equation}
\tag{1.4в}
$$
$$
\begin{equation}
\mathcal K_\ell(q,xq^{-n/\ell},yq^{n/\ell}) =(xy)^n\mathcal K_\ell(q,x,y)+ \begin{cases} \displaystyle\phantom{-}\;\,\sum_{r=1}^n(xy)^{n-r}\,{}_0\Theta(q^\ell, x^\ell q^{-r}), & n\in\mathbb{N}, \\ \displaystyle -\sum_{r=n+1}^{0} (xy)^{n-r}\,{}_0\Theta(q^\ell,x^\ell q^{-r}), & n\in\mathbb{-N}. \end{cases}
\end{equation}
\tag{1.4г}
$$
Доказательство. Соотношения (1.4а), (1.4б) без труда проверяются прямыми вычислениями. Чтобы доказать (1.4в) для $n\in-\mathbb{N}$, перепишем соответствующую правую часть равенства (1.4в) как Определение 1.4. Введем следующее обозначение для разности ${}_0\Theta$-функций с параметрами $u$, $l$, такими что $\operatorname{gcd}(u,\ell)=1$: Лемма 1.3. Если $\operatorname{gcd}(u,\ell)=1$, имеет место примечательное равенство Доказательство аналогично доказательству леммы 2.1 в работе [30] с небольшими изменениями. Теперь вернемся к основной цели этого исследования: анализу важного понятия модулярной инвариантности, которое часто используется в качестве точного теста и мощного инструмента при изучении КТП в двух измерениях. Любая неориентируемая или ориентируемая риманова поверхность (например, тор) описывается по крайней мере одним параметром, называемым родом поверхности, который содержит комплексную величину $\tau$ – модуль или параметр Тейхмюллера [31]–[33]. Модуль можно изменить с помощью преобразований, называемых модулярными, которые изменяют только значения модуля, но не форму римановой поверхности, как показано на рис. 2. Модулярная группа как множество всех таких преобразований римановых поверхностей обозначается через $\Gamma$ [34] и описывается целочисленными матрицами размера $2\times 2$ (матрицами Мёбиуса), которые задают преобразование параметра $\tau$ следующего вида:
$$
\begin{equation}
M\equiv\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\colon\,\mathbb{C}\to\mathbb{C},\qquad \tau\to\tau'=\frac{a\tau+b}{c\tau+d},\quad a,b,c,d\in\mathbb{Z},\quad ac-ad=1.
\end{equation}
\tag{1.5}
$$
В общем случае модулярная группа $\Gamma$ порождается двумя матрицами
$$
\begin{equation*}
\mathcal S=\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1& \phantom{-}0 \end{pmatrix},\qquad \mathcal T=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
\end{equation*}
\notag
$$
или, в терминах модулей,
$$
\begin{equation*}
\mathcal S\colon\tau\to-\frac{1}{\tau},\qquad \mathcal T\colon\tau\to\tau+1.
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма 1.4 (см. формулы (14), (15) в [25]). Модулярные преобразования спектральных тета-функций и эта-функции задаются следующими соотношениями. 1. Для $\mathcal T$-преобразования $\tau\to\tau+1$
$$
\begin{equation}
{}_\alpha\Theta(\tau+1,\nu) =e^{-\frac{\pi i\alpha}{2}(\frac{\alpha}{2}+1)}\, {}_\alpha\Theta\biggl(\tau,\nu+\frac{\alpha+1}{2}\biggr),
\end{equation}
\tag{1.6а}
$$
2. Для $\mathcal S$-преобразования $\tau\to-1/\tau$ и $\nu\to\nu/\tau$
$$
\begin{equation}
{}_\alpha\Theta\biggl(-\frac{1}{\tau},\frac{\nu}{\tau}\biggr) = \sqrt{-i\tau}\,e^{\frac{\pi i}{16\tau}(8\alpha^2\tau+(4\nu+\alpha\tau(\alpha-3))^2)}\times{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
Доказательство. Тождество (1.6б) получается напрямую, доказательство тождества (1.6г) см. в [34]. Покажем, что справедливы тождества (1.6а) и (1.6в). Используя лемму А.1 и модулярное преобразование тета-функций Якоби [21], [35], имеем Определение 1.5. Для $(\tau,\mu)\in\mathbb{H}\times\mathbb{C}$ введем следующую функцию двух комплексных переменных: Эта функция возникает в $\mathcal S$-преобразовании функций Аппеля высшего уровня. Теорема 1.1. Модулярные преобразования функций Аппеля уровня $\ell$ задаются следующими тождествами: Формулы модулярных преобразований функции $\mathcal K_\ell(\tau,\nu,\mu)$ были доказаны в [30] (см. соотношение (2.36)). Мы видим, что необходимо исследовать функцию $\Phi(\tau,\mu)$. Ниже мы приводим базовые свойства периодичности и открытой квазипериодичности этой функции, а также правило ее масштабирования, полностью доказанные и исследованные в работах [30], [36]–[41]. Лемма 1.5 (см. формулу (2.27) в [30]). Пусть $\mu=m\tau/2$, $m\in\mathbb{Z}$. Для функции $\phi(\tau,\mu)$, заданной равенством (1.7), имеют место следующие равенства: В частности, $\phi(\tau,0)=-1/2$, $\phi(\tau,-\tau/2)=0$. Лемма 1.6 (см. формулы (2.28), (2.29) в [30]). Пусть $m\in\mathbb{N}$. Имеют место следующие свойства квазипериодичности и открытой квазипериодичности: При этом мы имеем
$$
\begin{equation}
\Phi(\tau,\mu+1)=-e^{-\frac{2i\pi}{\tau}(\mu+\frac{1}{2})}\,\Phi(\tau,-\mu-\tau).
\end{equation}
\tag{1.9}
$$
Лемма 1.7. Пусть $\operatorname{gcd}(u,\ell)=1$. Правило масштабирования функции $\Phi$ записывается как Все эти свойства нам потребуются в разделе 2 при исследовании $\mathcal S$-модулярного преобразования характеров $\mathcal N=2$ СКА. 1.3. $\mathcal N=2$ СКАЭта алгебра порождается двумя бозонными токами (тензором энергии-импульса $T(z)$ конформной размерности два и $U(1)$-током $J(z)$ конформной размерности единица) и двумя суперзарядами $G^{\pm}(z)$ конформной размерности 3/2 [42]–[44]. $\mathcal N=2$ СКА задается следующими (нерегулярными) операторными разложениями [45], [46]:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, T(z)T(\omega)&=\frac{c/2}{(z-\omega)^{4}}+\frac{2T(\omega)}{(z-\omega)^2}+\frac{\partial T(\omega)}{z-\omega}+\cdots{}, \\ T(z)J(\omega)&=\frac{J(\omega)}{(z-\omega)^2}+\frac{\partial J(\omega)}{z-\omega}+\cdots{}, \\ J(z)J(\omega)&=\frac{c/3}{(z-\omega)^2}+\cdots{}, \\ T(z)G^{\pm}(\omega)&=\frac{3G^{\pm}(\omega)}{2(z-\omega)^2}+\frac{\partial G^{\pm}(\omega)}{z-\omega}+\cdots{}, \\ J(z)G^{\pm}(\omega)&=\pm\frac{G^{\pm}(\omega)}{z-\omega}+\cdots{}, \\ G^{+}(z)G^{-}(\omega)&=\frac{2c}{3(z-\omega)^{3}}+\frac{2J(\omega)}{(z-\omega)^2}+\frac{\partial J(\omega)}{z-\omega}+\frac{2T(\omega)}{z-\omega}+\cdots{}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{1.10}
$$
Если работать в секторе Рамона, то ненулевые коммутационные соотношения записываются как
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, {}[L_m,L_n]=(m-n)L_{m+n}+\frac{c}{12}(m^{3}-m)\delta_{m+n,0}, \\ \begin{alignedat}{3} [L_m,J_n]&=-J_{m+n},&\qquad [J_m,J_n]&=\frac{c}{3}m\delta_{m+n,0}, \\ [L_m,G_{r}^{\pm}]&=\biggl(\frac{m}{2}-r\biggr)G_{m+r}^{\pm},&\qquad [J_m,G_{r}^{\pm}]&=\pm G_{m+r}^{\pm}, \end{alignedat}\\ [G_{r}^{+},G_{s}^{-}]_{+}=2L_{r+s}+(r-s)J_{r+s}+\frac{c}{3}\biggl(r^2-\frac{1}{4}\biggr)\delta_{r+s,0}, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{1.11}
$$
где $n,m\in\mathbb{Z}$ и $r,s\in\mathbb{Z}+1/2$. Пусть $1\leqslant r\leqslant u-1$, $1-p\leqslant s\leqslant p$ и спектральный поток $\theta\in\mathbb{Z}$. Допустимые в секторе Рамона характеры $\mathcal N=2$ СКА (некоторые из них унитарные, некоторые нет) задаются как (см. формулу (4.20) в [11])
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \boldsymbol\omega_{r,s,u,p;\theta}(\tau,\nu)&= e^{i\pi ((2s-3)\nu-2\theta\tau(s-1))+\frac{2i\pi p}{u}((2\theta-r+1)\nu+\theta\tau(r-\theta))}\times{} \notag\\ &\quad\times\frac{{}_1\Theta(\tau,\nu)}{\eta^3(\tau)}\,\boldsymbol\varphi_{r,s,u,p;\theta}(\tau,\nu), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{1.12}
$$
где
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\boldsymbol\varphi_{r,s,u,p;\theta}(\tau,\nu)= \mathcal K_{2p}\biggl(u\tau,\frac{r\tau}{2}-\frac{u(s-1)\tau}{2p},\frac{1}{2}-\nu-\frac{r\tau}{2}+\frac{u(s-1)\tau}{2p}+\tau\theta\biggr)-{} \notag\\ &\quad\qquad -e^{2i\pi r (s-1)\tau} \mathcal K_{2p}\biggl(u\tau,-\frac{r\tau}{2}-\frac{u(s-1)\tau}{2p},\frac{1}{2}-\nu-\frac{r\tau}{2}+\frac{u(s-1)\tau}{2p}+\tau\theta\biggr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{1.13}
$$
Эти соотношения показывают связь функций Аппеля высшего уровня с характерами $\mathcal N=2$ СКА.
2. $\mathcal S$-модулярная инвариантность характеров $\mathcal N=2$ СКАСогласно (1.12), чтобы получить $\mathcal S$-преобразование характеров $\mathcal N=2$ СКА, сначала нужно найти $\mathcal S$-преобразование функции (1.13). Имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\boldsymbol\varphi_{r,s,u,p;\theta}\biggl(-\frac{1}{\tau},\frac{\nu}{\tau}\biggr)= \notag\\ &\quad =\mathcal K_{2p}\biggl(-\frac{u}{\tau}, \frac{1}{\tau}\biggl(-\frac{r}{2}+\frac{(s-1)u}{2p}\biggr), \frac{1}{\tau}\biggl(\frac{\tau}{2}-\nu+\frac{r}{2}-\frac{(s-1)u}{2p}-\theta\biggr)\biggr)-{} \notag\\ &\qquad -e^{-2i\pi\frac{r(s-1)}{\tau}} \mathcal K_{2p}\biggl(-\frac{u}{\tau}, \frac{1}{\tau}\biggl(\frac{r}{2}+\frac{(s-1)u}{2p}\biggr), \frac{1}{\tau}\biggl(\frac{\tau}{2}-\nu+\frac{r}{2}-\frac{(s-1)u}{2p}-\theta\biggr)\biggr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
Имеет смысл снова записать уравнение (2.1) через $\varphi_{r,s,u,p;\theta}(\tau,\nu)$, чтобы ввести инвариантность относительно $\mathcal S$-преобразования. Из приведенного выше выражения видно, что единственным отличием двух функций Аппеля в правой части являются разные знаки у $r/2$ во вторых аргументах. Используя теорему 1.1, можно легко записать $\mathcal S$-модулярное преобразование сразу для двух функций Аппеля:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\mathcal K_{2p}\biggl(-\frac{1}{\tau/u},\frac{\pm\frac{r}{2u}+\frac{s-1}{2p}}{\tau/u},\frac{\bar\nu-\frac{s-1}{2p}}{\tau/u}\biggr)= \notag\\ &\quad =\frac{\tau}{u}\,\mathfrak{M}_{\pm r,s;\theta}(\tau,\nu) \biggl(\mathcal K_{2p}\biggl(\frac{\tau}{u},\pm\frac{ r}{2u}+\frac{s-1}{2p},\bar\nu-\frac{s-1}{2p}\biggr)+{} \notag\\ &\qquad +\frac{1}{2p}\sum_{a=0}^{2p-1} e^{\frac{2i\pi}{\tau}up(\frac{a}{2p}+\bar\nu-\frac{s-1}{2p})^2}\, \Phi\biggl(\frac{\tau}{2pu},\bar\nu-\frac{s-1}{2p}+\frac{a}{2p}\biggr)\times{} \notag\\ &\kern 180pt \times{}_0\Theta\biggl(\frac{\tau}{2pu},\pm\frac{r }{2u}+\frac{s-1}{2p}-\frac{a}{2p}\biggr)\!\biggr), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
где
$$
\begin{equation}
\bar\nu=\frac{1}{u}\biggl(\frac{\tau+r}{2}-\nu-\theta\biggr),
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
$$
\begin{equation}
\mathfrak{M}_{m,s;\theta}(\tau,\nu)= \begin{cases} e^{\frac{i\pi}{2u\tau}(r+2u\bar\nu)(2u(s-1)+p(r-2u\bar\nu))},& m=r, \\ e^{\frac{i\pi}{2u\tau}(r-2u\bar\nu)(-2u(s-1)+p(r+2u\bar\nu))},& m=-r. \end{cases}
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
Используя свойство (1.4а) для исключения $\frac{s-1}{2p}$ в обеих функциях $\mathcal K_{2p}$ в (2.2), мы можем сделать замены $x\to e^{-2i\pi r/2u}$, $y\to x^{-1}z^{-1/u}q^{1/2u}e^{-2i\pi\theta/u}$ и $q\to q^{1/u}$ в лемме 1.3. В результате с учетом свойства (1.4б) получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \boldsymbol\varphi_{r,s,u,p;\theta}\biggl(-\frac{1}{\tau},\frac{\nu}{\tau}\biggr)= (\mathfrak{P}_1+\mathfrak{P}_2+\mathfrak{T})(\tau,\nu), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.5}
$$
где
$$
\begin{equation}
\mathfrak{P}_1(\tau,\nu) =\frac{\tau}{u}\,\mathfrak{M}_{-r,s;\theta}(\tau,\nu)\times{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\kern -30pt \times\sum_{r'=1}^{u-1}\sum_{\theta'=1}^{u} e^{\frac{-i\pi p}{u}(2r'(\theta+\nu)+\tau(2\theta'^2-r')-2\theta'(r-2\theta+\tau-2\nu-r'\tau))}\, \boldsymbol\varphi_{r',1,u,p;-\theta'+1/2}\biggl(\tau,\nu+\frac{1}{2}\biggr),
\end{equation}
\tag{2.6}
$$
$$
\begin{equation}
\mathfrak{P}_2(\tau,\nu) =\frac{\tau}{u}\,\mathfrak{M}_{-r,s;\theta}(\tau,\nu)\times{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\kern -30pt \times\sum_{\theta'=1-u}^{u}\; \mathop{\sum_{s'=1}^{2p-1}\sum_{r'=0}^{u-1}}_{s'u-r'p< 2p\theta'}\kern-6pt e^{-\frac{i\pi}{u}(pr'(2(\theta+\nu)-\tau)+2\theta'^2p\tau+s'u(\tau-2\nu)-2\theta'(s'u\tau+p(r-2\theta+\tau-2\nu-r'\tau)))}\times{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
и
$$
\begin{equation}
\mathfrak{T}(\tau,\nu)= \frac{\tau}{2pu}\,\mathfrak{M}_{-r,s;\theta}(\tau,\nu) \sum_{a=0}^{2p-1}e^{\frac{2i\pi}{\tau}up(\frac{a}{2p}+\bar\nu-\frac{s-1}{2p})^2}\, \Phi\biggl(\frac{\tau}{2pu},\bar\nu-\frac{s-1}{2p}+\frac{a}{2p}\biggr)\varpi_{r,s};
\end{equation}
\tag{2.8}
$$
здесь введено обозначение
$$
\begin{equation*}
\varpi_{r,s}={}_0\Theta\biggl(\frac{\tau}{2pu},-\frac{r}{2u}+\frac{s-1}{2p}-\frac{a}{2p}\biggr)- {}_0\Theta\biggl(\frac{\tau}{2pu},\frac{r}{2u}+\frac{s-1}{2p}-\frac{a}{2p}\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Производя сдвиги $q\to q^u$, $x\to q^{\pm r'/2}$, $y\to q^{1/2}z^{-1}q^{-r'/2-\theta'}$, $p\to 2p$ и положив $n=s-1$, перепишем (1.4г) в виде
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \mathcal K_{2p}&(q^u,q^{\frac{\pm r'}{2}},q^{\frac{1}{2}}z^{-1}q^{-\frac{r'}{2}-\theta'})= \notag\\ &=(z^{-1}q^{\frac{1}{2}(1\pm r'-r'-2\theta')})^{1-s} \mathcal K_{2p}(q^u,q^{\frac{\pm r'}{2}+\frac{(s-1)u}{2p}},q^{\frac{1}{2}}z^{-1}q^{\frac{-r'}{2}+\frac{(s-1)u}{2p}-\theta'})-{} \notag\\ &\quad -\sum_{j=1}^{s-1}(z^{-1}q^{\frac{1}{2}(1\pm r'-r'-2\theta')})^{-j}\,{}_0\Theta(q^{2up},q^{\pm r'p-ju}). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.9}
$$
Следовательно, для приведенных выше уравнений имеем
$$
\begin{equation}
\mathfrak{P}_1(\tau,\nu)=(\mathfrak{L}+\mathfrak{J})(\tau,\nu),
\end{equation}
\tag{2.10}
$$
где
$$
\begin{equation}
\mathfrak{L}(\tau,\nu) =\frac{\tau}{u}\,\mathfrak{M}_{-r,s;\theta}(\tau,\nu)\times{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\times\sum_{r'=1}^{u-1}\sum_{\theta'=1}^{u} e^{-\frac{i\pi}{u}2p[r(\theta'-1)+\theta(2+r'-2\theta')+\nu(2+r'-2\theta'+2u)]}\times \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\kern60pt\times e^{-\frac{i\pi}{u}p\tau[r'+2u+2(\theta'^2+u(r'+u)-\theta'(1+r'+2u))]}\times{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\kern60pt\times e^{i\pi(s-1)(2\nu+\tau-2\theta'\tau+2u\tau)}\, \boldsymbol\varphi_{r',s,u,p;\theta'-1/2-u}\biggl(\tau,\nu+\frac{1}{2}\biggr),
\end{equation}
\tag{2.11}
$$
$$
\begin{equation}
\mathfrak{J}(\tau,\nu) =-\frac{\tau}{u}\,\mathfrak{M}_{-r,s;\theta}(\tau,\nu)\times{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\times\sum_{r'=1}^{u-1}\sum_{\theta'=1}^{u}\sum_{j=1}^{s-1} e^{-\frac{i\pi}{u}[pr'(2(\theta+\nu)-\tau)+2\theta'^2p\tau+ju(\tau-2\nu)]}\times{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\kern60pt\times e^{\frac{i\pi}{u}2\theta'[ju\tau+p(r-2\theta+\tau-2\nu-r'\tau)]}\, {}_0\Omega_{j,r'+1,u,p}(\tau,0).
\end{equation}
\tag{2.12}
$$
Используя выражение (1.13) и свойство (1.4в), приходим к соотношению
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\boldsymbol\varphi_{r',s,u,p;\theta'-1/2-u}\biggl(\tau,\nu+\frac{1}{2}\biggr)= \notag\\ &\quad=e^{2i\pi[2p\nu+\tau(p(1-2\theta'+r'+u)+u(1-s))]}\times{} \notag\\ &\qquad\times \biggl(\boldsymbol\varphi_{r',s,u,p;\theta'-\frac{1}{2}}\biggl(\tau,\nu+\frac{1}{2}\biggr)- \sum_{j=0}^{2p-1}e^{-ij\pi(2\nu+\tau-2\tau\theta')}{}_0\Omega_{s-j-1,r'+1,u,p}(\tau,0)\biggr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.13}
$$
Используя представление (2.13), запишем $\mathfrak{L}(\tau,\nu)$ как $\mathfrak{L}(\tau,\nu)=(\mathfrak{L}_1+\mathfrak{L}_2)(\tau,\nu)$. Таким образом, $\mathcal S$-преобразование функции $\boldsymbol\varphi_{r,s,u,p;\theta}(\tau,\nu)$ имеет вид
$$
\begin{equation}
\boldsymbol\varphi_{r,s,u,p;\theta}\biggl(-\frac{1}{\tau},\frac{\nu}{\tau}\biggr)= (\mathfrak{L}_1+\mathfrak{L}_2+\mathfrak{J}+\mathfrak{P}_2+\mathfrak{T})(\tau,\nu),
\end{equation}
\tag{2.14}
$$
где
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &(\mathfrak{L}_1+\mathfrak{L}_2)(\tau,\nu)= \frac{\tau}{u}\,e^{-2i\pi\frac{\nu}{\tau}(s-1-\frac{p}{u}(r-2\theta))-2i\pi\frac{\theta}{\tau}(s-1-\frac{p}{u}r)-2i\pi\frac{p}{u\tau}(\nu^2+\theta^2)}\times{} \notag\\ &\times\sum_{r'=1}^{u-1}\sum_{\theta'=1}^{u} e^{i\pi(s-1)(1+2\nu+\tau-2\theta'\tau)}\times{} \notag\\ &\quad\;\times e^{-\frac{i\pi p}{2u}[2r(2\theta'-1)-4(2\theta'-r'-1)(\theta+\nu)+\tau(2\theta'-1)(2\theta'-1-2r')]}\times{} \notag\\ &\quad\;\times\biggl(\boldsymbol\varphi_{r',s,u,p,\theta'-1/2}\biggl(\tau,\nu+\frac{1}{2}\biggr)- \sum_{j=0}^{2p-1}e^{-ij\pi(2\nu+\tau-2\theta'\tau)}{}_0\Omega_{s-j-1,r'+1,u,p}(\tau,0)\biggr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.15}
$$
Чтобы доказать это равенство, используем (2.4) и (2.13) в формуле (2.11). После перемножения коэффициентов уравнений (2.11) и (2.13) и их частичного упорядочения получаем в точности экспоненциальный фазовый множитель в первой строке равенства (2.15). Затем, перемножая оставшиеся экспоненциальные коэффициенты в соотношении (2.11) (появляющиеся в последней строке) и снова выполняя необходимые преобразования, мы получаем второй фазовый множитель, который стоит во второй и третьей строках соотношения (2.15). Тем самым мы показали равенство (2.15). Введем обозначения С учетом этих обозначений мы можем представить $\mathfrak{T}(\tau,\nu)$ в виде суммы
$$
\begin{equation}
\mathfrak{T}(\tau,\nu)=(\mathfrak{T}^{-}-\mathfrak{T}^{+})(\tau,\nu),
\end{equation}
\tag{2.17}
$$
где
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \mathfrak{T}^{\pm}&=\frac{\tau}{2pu}\mathfrak{M}_{-r,s;\theta}(\tau,\nu)e^{2i\pi\frac{p}{u\tau}\gamma^2}\times{} \notag\\ &\quad \times\sum_{a=0}^{2p-1} e^{\frac{i\pi a}{\tau}(\frac{ua}{2p}+2\gamma)}\, \Phi\biggl(\frac{\tau}{2pu},\frac{\gamma}{u}+\frac{a}{2p}\biggr)\, {}_0\Theta\biggl(\frac{\tau}{2pu},\frac{\wp^{\pm}}{u}-\frac{a}{2p}\biggr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.18}
$$
Далее мы представим вычисления для $\mathfrak{T}^{-}(\tau,\nu)$, а затем сразу выпишем окончательный результат для $\mathfrak{T}^{+}(\tau,\nu)$. Сделаем в лемме 1.7 замены
$$
\begin{equation*}
\ell\to p,\qquad \frac{\mu}{2pu}\to\frac{\gamma}{u}+\frac{a}{2p},
\end{equation*}
\notag
$$
а также замены
$$
\begin{equation*}
\mu\to 2p\gamma-u(s'-1)\tau -p(r'-1)\tau,\qquad \tau\to 2pu\tau
\end{equation*}
\notag
$$
и положим $m=au$ в (1.8г). Тогда мы можем записать
$$
\begin{equation}
\mathfrak{T}^{-}(\tau,\nu)=(\mathfrak{T}_1^{-}+\mathfrak{T}_2^{-})(\tau,\nu),
\end{equation}
\tag{2.19}
$$
где
$$
\begin{equation}
\mathfrak{T}_1^{-}(\tau,\nu) =\frac{\tau}{u}\,\mathfrak{M}_{-r,s;\theta}(\tau,\nu)e^{2i\pi\frac{p}{u\tau}\gamma^2}\times{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\quad \times\mathop{\sum_{s'=1}^{2p}\sum_{r'=1}^{u}\sum_{n-\infty}^{\infty}}_{1\leqslant r'+2n\leqslant 2u} e^{2i\pi\wp^{-} ((s'-1)+\frac{p}{u}(r'+2n-1))+i\pi\frac{\tau}{2pu}(u(s'-1)+p(r'+2n-1))^2}\times{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\kern84pt\times\Phi(2pu\tau,2p\gamma-u(s'-1)\tau-p(r'-1)\tau)\times{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\kern84pt\times{}_0\Theta(2pu\tau,2p\wp^{-}+u(s'-1)\tau+p (r'+2n-1)\tau),
\end{equation}
\tag{2.20}
$$
$$
\begin{equation}
\mathfrak{T}_2^{-}(\tau,\nu) =-\frac{\tau}{u}\,\mathfrak{M}_{-r,s;\theta}(\tau,\nu)\times{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\quad \times\mathop{\mathop{\sum_{s'=1}^{p-1}\sum_{r'=1}^{u-1}\sum_{n\in\mathbb{Z}}}_{s'u-r'p>0,}}_{1-2u\leqslant r'+2n\leqslant 0} e^{2i\pi\wp^{-}(s'-\frac{p}{u}(r'+2n))+2i\pi\gamma(s'-\frac{p}{u}r')-2i\pi n\tau (s'-\frac{p}{u}(r'+n))}\times{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\kern84pt\times{}_0\Theta(2pu\tau,2p\wp^{-}+s'u\tau-p(r'+2n)\tau).
\end{equation}
\tag{2.21}
$$
Равенства (2.20) и (2.21) доказаны в приложении В. Итак,
$$
\begin{equation}
\mathfrak{T}(\tau,\nu)=(\mathfrak{T}_1^{-}-\mathfrak{T}_1^{+})(\tau,\nu)+(\mathfrak{T}_2^{-}-\mathfrak{T}_2^{+})(\tau,\nu)\equiv (\boldsymbol{F}_{r,s;\theta}+\boldsymbol{\mathcal G}_{r,s;\theta})(\tau,\nu),
\end{equation}
\tag{2.22}
$$
где $\mathfrak{T}_1^{-}(\tau,\nu)$ и $\mathfrak{T}_2^{-}(\tau,\nu)$ заданы формулами (2.20) и (2.21). Их аналоги с верхним индексом плюс, т. е. $\mathfrak{T}_1^{+}(\tau,\nu)$ и $\mathfrak{T}_2^{+}(\tau,\nu)$, можно легко найти, заменив $\wp^{-}$ из (2.16б) на $\wp^{+}$ из (2.16в). После приведения полученных выражений к максимально компактному виду они сводятся к функции от ${}_0\Omega$. Чтобы сделать это, применим формулу (Г.4) из приложения Г и выделим функцию $\Phi$ в $\mathfrak{T}_1^{\pm}(\tau,\nu)$. Получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \boldsymbol{F}_{r,s;\theta}(\tau,\nu)&= \frac{\tau}{u}\mathop{\sum_{s'=1}^{2p}\sum_{r'=1}^{u}\sum_{n\in\mathbb{Z}}}_{1\leqslant r'+2n\leqslant 2u} e^{-i\pi\frac{p}{u}[r(2n+1)+2\theta(r'-2)]+i\pi\frac{u\tau}{2p}[s'-\frac{p}{u}(r'+2n-1)]^2}\times{} \notag\\ &\times \biggl(\mathfrak{U}_{r,s;\theta}(\tau,\nu)\,{}_0\Omega_{s',r'+2n,u,p}(\tau,0) \Phi(2pu\tau,2p\nu-s'u\tau+p(r'-2)\tau)+{} \notag\\ &\qquad +\frac{ie^{2i\pi\frac{up}{\tau}(-\frac{r}{2u}+\frac{s-1}{2p})^2}}{\sqrt{-2ip u\tau}}\times{} \notag\\ &\qquad\quad\times\kern-9pt \sum_{j=1}^{p(r-2\theta)-(s-1)u-1}\kern-14pt e^{\frac{i\pi}{2pu\tau}[j^2-2p j(r-2\theta)+2j(s-1)u]+\frac{i\pi}{pu}[jp(r'-2)+ju(s'-1)]+\frac{2i\pi j\nu}{u\tau}}\times{} \notag\\ &\qquad\quad\times e^{\frac{i\pi}{pu}[u^2(s'-1)(s-1)+pu(1-2n-r')(s-1)+pur(s'-1)]}\times{} \notag\\ &\qquad\quad\times e^{-\frac{i\pi p}{u}(r'r+4\theta-2r'\theta)}e^{\frac{i\pi\tau}{2p}[2p(2n+r'-1)+u-2s'u]} {}_0\Omega_{s'-1,r'+2n,u,p}(\tau,0)\biggr), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.23}
$$
где
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\mathfrak{U}_{r,s;\theta}(\tau,\nu)= \frac{\tau}{u}e^{i\pi(s-1)+2i\pi\frac{up}{\tau}[-\frac{r}{2u}+\frac{s-1}{2p}]^2}\times \notag\\ &\qquad\times e^{-\frac{i\pi}{2pu\tau}[p(-2\theta+r)-(s-1)u-1]^2- \frac{i\pi}{p u\tau}[p(r-2\theta)-(s-1)u-\frac{1}{2}]+ \frac{2i\pi\nu}{u\tau}[p(r-2\theta)-(s-1)u]}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.24}
$$
Отсюда имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \mathfrak{T}_1^{-}=\frac{\tau}{u}\mathfrak{M}_{-r,s;\theta}(\tau,\nu)& e^{\frac{2i\pi p}{u\tau}\gamma^2}\sum_{s'=1}^{2p}\sum_{r'=1}^{u}\Phi(2pu\tau, 2p\gamma-u(s'-1)\tau-p(r'-1)\tau)\times \notag\\ &\times\sum_{b=1}^{u} e^{2i\pi\eta^{-}[(s'-1)+\frac{p}{u}(2b-[r']_2-1)]+i\pi\frac{\tau}{2pu}[u(s'-1)+p(2b-[r']_2-1)]^2}\times \notag\\ &\qquad\times {}_0\Theta(2pu\tau,2p\eta^{-}+u(s'-1)\tau+p(2b-[r']_2-1)\tau). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.25}
$$
Заменяя в этом соотношении $\eta^{-}$ на $\eta^{+}$ и производя сдвиг $b\to u-b+1$, с учетом свойства (1.3б) и результатов приложения Г получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \mathfrak{T}_1^{+}&=\frac{\tau}{u}\mathfrak{M}_{-r,s;\theta}(\tau,\nu)e^{\frac{2i\pi p}{u\tau}\gamma^2} \sum_{s'=1}^{2p}\sum_{r'=1}^{u}\Phi(2pu\tau,2p\gamma-u(s'-1)\tau-p(r'-1)\tau)\times{} \notag\\ &\quad\times\sum_{b=1}^{u} e^{2i\pi\eta^{+}[(s'-1)-\frac{p}{u}(2b-[r']_2-1)]+\frac{i\pi\tau}{2pu}[u(s'-1)-p(2b-[r']_2-1)]^2}\times{} \notag\\ &\kern 40pt\times {}_0\Theta(2pu\tau,2p\eta^{+}+u(s'-1)\tau-p(2b-[r']_2-1)\tau). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.26}
$$
Таким образом,
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \boldsymbol{F}_{r,s;\theta}&(\tau,\nu)=(\mathfrak{T}_1^{-}-\mathfrak{T}_1^{+})(\tau,\nu)= \notag\\ &=\frac{\tau}{u}\mathfrak{M}_{-r,s;\theta}(\tau,\nu)e^{\frac{2i\pi p}{u\tau}\gamma^2} \sum_{s'=1}^{2p}\sum_{r'=1}^{u}\sum_{b=1}^{u}\Phi(2pu\tau,2p\gamma-u(s'-1)\tau-p(r'-1)\tau)\times{} \notag\\ &\kern60pt\times e^{i\pi[r+\frac{u}{p}(s-1)]\,[(s'-1)-\frac{p}{u}(2b-[r']_2-1)]+i\pi\frac{\tau}{2pu}[u(s'-1)-p(2b-[r']_2-1)]^2}\times{} \notag\\ &\kern60pt\times{}_0\Omega_{s'-1,2b-[r']_2,u,p}(\tau,0). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.27}
$$
Применим соотношения (2.16а) и (1.9) вместе с заменами $m\to p(-2\theta+r)-(s-1)u-1$ и $\mu\to 1-2p\nu-u(s'-1)\tau-p(r'-2)\tau$ в (1.8г), после этого функцию $\Phi$ в предыдущем равенстве можно преобразовать к виду
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\Phi(2pu\tau,p(r-2\theta)-(s-1)u-2p\nu-u(s'-1)\tau-p(r'-2)\tau)= \\ &\quad=-\bigl(e^{-\frac{i\pi}{2pu\tau}[p(r-2\theta)-(s-1)u-1]^2-\frac{i\pi}{p u\tau}[p(r-2\theta)-(s-1)u-\frac{1}{2}]}\times{} \\ &\kern40pt\times e^{\frac{i\pi}{pu\tau}[p(r-2\theta)-(s-1)u]\,[2p\nu+u(s'-1)\tau+p(r'-2)\tau]}\times{} \\ &\kern40pt\times\Phi(2pu\tau,2p\nu+u(s'-2p-1)\tau+p(r'-2)\tau)\bigr)+{} \\ &\qquad+\frac{i}{\sqrt{-2ip u\tau}}\kern-16pt \sum_{j=1}^{p(r-2\theta)-(s-1)u-1} e^{\frac{i\pi}{2pu\tau}[j^2-2pj(r-2\theta)+2j(s-1)u]+\frac{i\pi j}{p u\tau}[2p\nu+u(s'-1)\tau+p(r'-2)\tau]}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Подставим это соотношение в $\boldsymbol{F}_{r,s;\theta}(\tau,\nu)=(\boldsymbol{F}^{\unicode{8224}}_{r,s;\theta}-\boldsymbol{F}^{\ddagger}_{r,s;\theta})(\tau,\nu)$, получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \boldsymbol{F}^{\unicode{8224}}_{r,s;\theta}(\tau,\nu)&= \mathfrak{U}_{r,s;\theta}(\tau,\nu)e^{2i\pi\frac{p\nu^2}{u\tau}-i\pi\frac{p}{u}\frac{\tau}{2}}\times{} \\ &\quad\times\mathop{\sum_{s'=1}^{2p} \sum_{r'=1}^{u}\sum_{n\in\mathbb{Z}}}_{1\leqslant r'+2n\leqslant 2u}\Phi(2pu\tau,2p\nu-s'u\tau+p(r'-2)\tau)\times{} \\ &\kern40pt\times e^{-\frac{i\pi p}{u}[r(2n+1)+2\theta(r'-2)]+\frac{i\pi u\tau}{2p}[s'-\frac{p}{u}(r'+2n-1)]^2} {}_0\Omega_{s',r'+2n,u,p}(\tau,0), \\ \boldsymbol{F}^{\ddagger}_{r,s;\theta}(\tau,\nu)&= \frac{\tau}{u}e^{2i\pi\frac{up}{\tau}[-\frac{r}{2u}+\frac{s-1}{2p}]^2} \frac{i}{\sqrt{-2ip u\tau}}\times{} \\ &\quad\times \sum_{j=1}^{p(r-2\theta)-(s-1)u-1} e^{\frac{i\pi}{2pu\tau}[j^2-2p j(r-2\theta)+2j(s-1)u]+\frac{2i\pi j\nu}{u\tau}}\times{} \\ &\quad\times\mathop{\sum_{s'=1}^{2p}\sum_{r'=1}^{u}\sum_{n\in\mathbb{Z}}}_{1\leqslant r'+2n\leqslant 2u} e^{i\pi[r+\frac{(s-1)u}{p}]\,[s'-1-\frac{p}{u}(r'+2n-1)]+\frac{i\pi j}{up}[u(s'-1)+p(r'-2)]}\times{} \\ &\kern40pt\times e^{\frac{i\pi u\tau}{2p}[s'-1-\frac{p}{u}(r'+2n-1)]^2}\,{}_0\Omega_{s'-1,r'+2n,u,p}(\tau,0). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Проводя аналогичные рассуждения, получаем (2.23). В выражении (2.21) все функции под знаком суммы можно записать либо в виде $\Psi(s')$, либо в виде $f(s'+2n)$, за исключением множителя $e^{-2i\pi n\tau(s'-\frac{p}{u}(r'+n))}$, который можно представить как $e^{-i\pi\tau[(r'+2n)-r']\,[s'-\frac{p}{2u}(r'+2n)-\frac{pr'}{2u}]}$. Теперь, используя результаты приложения Г, запишем (2.21) как
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \mathfrak{T}_2^{-}(\tau,\nu)=-\frac{\tau}{u}\mathfrak{M}_{-r,s;\theta}(\tau,\nu)& \mathop{\sum_{s'=1}^{p-1}\sum_{r'=1}^{u-1}\sum_{\theta'=1-u}^{0}}_{s'u-r'p>0} e^{2i\pi\wp^{-}[s'-\frac{p}{u}(2\theta'-[r']_2)]+2i\pi\gamma[s'-\frac{p}{u}r']}\times{} \notag\\ &\qquad\times e^{-i\pi[(2\theta'-[r']_2)-r']\,[s'-\frac{p}{2u}(2\theta'-[r']_2)-\frac{p r'}{2u}]\tau}\times{} \notag\\ &\qquad \times{}_0\Theta(2pu\tau,2p\wp^{-}+s'u\tau-p(2\theta'-[r']_2)\tau). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.28}
$$
Получить $\mathfrak{T}_2^{+}(\tau,\nu)$ из выражения для $\mathfrak{T}_2^{-}(\tau,\nu)$ не составляет проблемы благодаря тому, что мы знаем, как обращаться с $\mathfrak{T}_1^{\pm}(\tau,\nu)$. Имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \boldsymbol{\mathcal G}_{r,s;\theta}(\tau,\nu)=\widetilde{\mathfrak{U}}_{r,s;\theta}(\tau,\nu) &\mathop{\mathop{\sum_{r'=1}^{2u}\sum_{s'=1}^{p-1}\sum_{\theta'\in\mathbb{Z}}}_{2\theta'+r'\geqslant 2,}}_{p(2\theta'+r'-1)<s'u} e^{-\frac{i\pi}{u}[us'(2\nu-\tau(2\theta'+1))]}\times{} \notag\\ &\qquad\times e^{-\frac{i\pi p}{u}[r(2\theta'-1+2r')-2(2\theta'+r')(\theta+\nu)+\tau(r'+2\theta'(b+r'))]}\vphantom{\big|^{\big|}}\times{} \notag\\ &\qquad\times{}_0\Omega_{s',r',u,p}(\tau,0). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.29}
$$
Здесь $\widetilde{\mathfrak{U}}_{r,s;\theta}(\tau,\nu)=e^{\frac{i\pi p}{2u\tau}(\tau^2-4\nu^2)}\mathfrak{U}_{r,s;\theta}(\tau,\nu)$. Совершим в (2.7) замены $\theta'\to\theta'+1$ и $r'\to r'-1$ вместе с $s'\to 2p-s'$ и $\theta'\to u-\theta'-r'$, тогда можно записать равенство
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \mathfrak{P}_2(\tau,\nu)=-\widetilde{\mathfrak{U}}_{r,s;\theta}(\tau,\nu) &\mathop{\sum_{\theta'=1-r'}^{2u-r'}\sum_{r'=1}^{u}\sum_{s'=1}^{2p-1}}_{p(2\theta'+r'-1)<s'u} e^{-i\pi[s'(2\nu-\tau(2\theta'+1))]}\times{} \notag\\ &\qquad\times e^{-\frac{i\pi p}{u}[r(2\theta'-1+2r')-2(2\theta'+r')(\theta+\nu)+\tau(r'+2\theta'(\theta'+r'))]}\times{} \notag\\ &\qquad\times {}_0\Omega_{s',r',u,p}(\tau,0). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.30}
$$
Видно, что теперь слагаемые в приведенной выше формуле в точности совпадают со слагаемыми в сумме (2.29), взятыми со знаком минус. Складывая (2.29) и (2.30) и используя следующую лемму, мы приходим к доказываемому утверждению. Лемма 2.1. Справедливы следующие формулы для тройных сумм: В сумме (1) мы опустили слагаемое с наибольшим значением $s'=p$, использовав следующее тождество:
$$
\begin{equation*}
{}_0\Omega_{0,s,u,p}={}_0\Omega_{p,s,u,p}={}_0\Omega_{2p,s,u,p}=0.
\end{equation*}
\notag
$$
В обеих суммах (1) и $(1')$ мы преобразовали предел по индексу $b$, поскольку он никогда не превосходит $2u-r'$. Тем самым, заменяя индексы суммирования в $(1')$ как $b\to b+u$, $r'\to r'-u$ , $s'\to s'+p$, приходим к следующей лемме. Суммы $(1')$ и $(2')$ в (2.31) складываются как
$$
\begin{equation}
(1')+(2')=-\mathop{\sum_{s'=1}^{p-1}\sum_{r'=u+1}^{2u}\sum_{b\geqslant 1-r'}}_{2b\leqslant 1-r'}.
\end{equation}
\tag{2.32}
$$
Результат для $(1)+(2)$ также принимает вид тройной суммы, откуда получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \mathfrak{H}(\tau,\nu)&=(\mathfrak{P}_2+\boldsymbol{\mathcal G}_{r,s;\theta})(\tau,\nu)= \notag\\ &=-\widetilde{\mathfrak{U}}_{r,s;\theta}(\tau,\nu) \sum_{\theta'=1}^{u}\sum_{r'=2\theta'-1}^{2u}\sum_{s'=1}^{p-1} e^{-i\pi[s'(2\nu-\tau(2\theta'+1))]}\times{} \notag\\ &\kern80pt\times e^{-\frac{i\pi p}{u}[r(2\theta'-1+2r')-2(2\theta'+r')(\theta+\nu)+\tau(r'+2\theta'(\theta'+r'))]}\times{} \notag\\ &\kern80pt\times {}_0\Omega_{s',r',u,p}(\tau,0). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.33}
$$
Теперь мы готовы получить $\mathcal S$-преобразование характеров $\mathcal N=2$ СКА, допустимых в секторе Рамона. Согласно формуле (1.12) приходим к равенству
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \boldsymbol\omega_{r,s,u,p;\theta}&\biggl(-\frac{1}{\tau},\frac{\nu}{\tau}\biggr)= \notag\\ &=e^{\frac{i\pi}{u\tau}[2u\theta(s-1)+u\nu(2s-3)+2p(\theta^2+\nu+2\theta\nu-r(\theta+\nu))]}\times{} \notag\\ &\quad\times \frac{{}_1\Theta(-\frac{1}{\tau},\frac{\nu}{\tau})}{\eta^3(-\frac{1}{\tau})} \boldsymbol\varphi_{r,s,u,p;\theta}\biggl(-\frac{1}{\tau},\frac{\nu}{\tau}\biggr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.34}
$$
Следовательно, с учетом (1.6в) и (1.6г) имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \boldsymbol\omega_{r,s,u,p;\theta}\biggl(-\frac{1}{\tau},\frac{\nu}{\tau}\biggr)&= -\frac{1}{\tau}e^{\frac{i\pi}{4u\tau}[8p(\theta^2+\nu(2\theta+1)-r(\theta+\nu))+u(8\theta(s-1)+4\nu(2s-3)+(2\nu+\tau)^2)]}\times{} \notag\\ &\quad\times\frac{{}_1\Theta(\tau,\frac{1}{2}+\nu+\frac{\tau}{2})} {\eta^3(\tau)}\bigl((\boldsymbol{F}_{r,s;\theta}+\boldsymbol{\mathcal E}_{r,s;\theta}+\mathfrak{L}_1)(\tau,\nu)\bigr), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.35}
$$
где $\boldsymbol{\mathcal E}_{r,s;\theta}(\tau,\nu)=(\mathfrak{L}_2+\mathfrak{H}+\mathfrak{J})(\tau,\nu)$. В правой части равенства (2.35) характер $\mathcal N=2$ СКА содержится только в члене, пропорциональном $\mathfrak{L}_1(\tau,\nu)$, поэтому мы можем записать
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \boldsymbol\omega_{r',s,u,p;\theta'-\frac{1}{2}}&\biggl(\tau,\nu+\frac{1}{2}\biggr)= \notag\\ &=e^{\frac{i\pi}{4u}[4(p(2\theta'-r')+u(s-1))(2\nu+1)+\tau(u(4s-3-8\theta'(s-1))-2p(2\theta'-1)(2\theta'-1-2r'))]}\times{} \notag\\ &\quad \times\frac{{}_1\Theta(\tau,\nu+\frac{\tau+1}{2})}{\eta^3(\tau)}\, \boldsymbol\varphi_{r',s,u,p;\theta'-\frac{1}{2}}\biggl(\tau,\nu+\frac{1}{2}\biggr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.36}
$$
Окончательно приходим к следующей формуле для $\mathcal S$-преобразования характеров $\mathcal N=2$ СКА: Как и ожидалось, характеры $\mathcal S$-инвариантны. Замечание 2.1. Точное решение, показывающее модулярную инвариантность характеров алгебры $\widehat{s\ell}$(2$|$1), можно найти в [30] (см. формулу (4.12)). Однако не было получено точного решения для $\mathcal S$-преобразования характеров $\mathcal N=2$ СКА. В настоящей статье мы представили полностью аналитическое решение этой задачи, используя аппарат спектральных тета-функций. 3. ЗаключениеВ этом исследовании нам удалось показать $\mathcal S$-модулярную инвариантность неунитарных (нетривиальных) характеров $\mathcal N=2$ суперконформной алгебры, используя новый аппарат тета-функций, а именно “спектральные тета-функции”. Кроме того, мы нашли и полноценно использовали для решения нашей задачи функции Аппеля высшего уровня и эта-функцию Дедекинда и сформулировали их разнообразные периодические, квазипериодические, открытые квазипериодические свойства и правила $\mathcal S$-модулярного преобразования. В $\mathcal S$-модулярном преобразовании функций Аппеля высшего уровня появляется важная функция $\Phi(\tau,\mu)$ (см. определение 1.3); мы получили для нее полезные тождества и замечательный закон масштабирования, которые потом применили в наших исследованиях. Фактически, используя все определения, леммы и теоремы, сформулированные и доказанные в разделе 1 этой статьи, как мощные инструменты математической физики, мы смогли показать сложную алгебраическую структуру неунитарных характеров $\mathcal N=2$ суперконформной алгебры, которые оказались в точности $\mathcal S$-модулярно инвариантными. Непериодическое поведение этих характеров привело к появлению некоторых корректирующих членов (таких, как $\mathfrak{L}_2(\tau,\nu)$, $\mathfrak{J}(\tau,\nu)$, $\mathfrak{P}_2(\tau,\nu)$, $\mathfrak{T}(\tau,\nu)$) в функции $\Omega_{r,s,u,\ell}(q,x)$. Мы постарались сделать эти члены как можно более простыми и компактными, что позволило нам вычислить $\mathcal S$-модулярное преобразование этих неунитарных характеров (см. формулу (2.37)). Приложение А. Соотношение для спектральных тета-функций Лемма А.1. Для любых $(\tau,\nu)\in\mathbb{H}\times\mathbb{C}$ и $(\alpha,\beta)\in\mathbb{R}\times\mathbb{R}$ выполняется следующее равенство: Доказательство. Используя определение 1.2, запишем цепочку равенств Приложение Б. Формулы увеличения периода для $\Theta$-функций Доказательство. Возьмем две пары целых чисел $r$, $s$ и $r'$, $s'$, таких что Двойное суммирование в (Б.2) можно заменить на $\sum_{r=0}^{p-1}\sum_{s=0}^{2u-1}$. Это можно непосредственно показать для функции $f$ с периодом $2pu$. Отсюда следует, что можно сделать следующую замену:
$$
\begin{equation}
\sum_{s^{''}=1}^{2p}\sum_{r^{''}=1}^{u}\quad\to\quad\sum_{s^{''}=1}^{p}\sum_{r^{''}=1}^{2u}.
\end{equation}
\tag{Б.3}
$$
Приложение В. Более явные выражения для $\mathfrak{T}_1^{-}$ и $\mathfrak{T}_2^{-}$Функция $\Phi$ в (2.18) может быть преобразована к виду
$$
\begin{equation}
\Phi\biggl(\frac{\tau}{2pu},\frac{\gamma}{u}+\frac{a}{2p}\biggr)= \sum_{s'=1}^{2p}\sum_{r'=1}^{u}\Phi(2pu\tau,2p\gamma+au-u(s'-1)\tau-p(r'-1)\tau)+\mathfrak{K}_1,
\end{equation}
\tag{В.1}
$$
где
$$
\begin{equation}
\mathfrak{K}_1=-\mathop{\sum_{s'=1}^{p-1}\sum_{r'=1}^{u-1}}_{s'u-r'p>0} e^{-i\pi\frac{\tau}{2pu}(\frac{2p\gamma+au}{\tau}-s'u+r'p)^2}.
\end{equation}
\tag{В.2}
$$
Чтобы избежать дополнительных трудностей, нам нужно избавиться от члена $au$ в правой части (В.1). Для этого положим в формуле (1.8г) $m=au$ и сделаем замены $\mu\to 2p\gamma-u(s'-1)\tau -p(r'-1)\tau$ и $\tau\to 2pu\tau$, тогда (В.1) запишется как
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \Phi\biggl(\frac{\tau}{2pu},\frac{\gamma}{u}+\frac{a}{2p}\biggr)= \sum_{s'=1}^{2p}&\sum_{r'=1}^{u}e^{-\frac{i\pi a}{p\tau}[\frac{ua}{2}+2p\gamma-u(s'-1)\tau-p(r'-1)\tau]}\times \notag\\ &\times\Phi(2pu\tau,2p\gamma-u(s'-1)\tau-p(r'-1)\tau)+\mathfrak{K}_1+\mathfrak{K}_2, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{В.3}
$$
где
$$
\begin{equation}
\mathfrak{K}_2=\frac{i}{\sqrt{-2pui\tau}}\sum_{j=1}^{au}e^{\frac{i\pi j}{2pu\tau}(j-2ua-4p\gamma)} \sum_{s'=0}^{2p-1}\sum_{r'=0}^{u-1}e^{2i\pi j\frac{s'u+r'p}{2pu}}.
\end{equation}
\tag{В.4}
$$
Суммирование по $s'$ всегда дает ноль, кроме случаев $j=2pn$ c $n\in\mathbb{Z}$. Ограничившись при суммировании по $j$ этими значениями, мы видим, что сумма по $r'$ равна нулю, за исключением случаев $n=ku$ с $k\in\mathbb{Z}$. Однако это условие несовместно с неравенствами $0\leqslant a\leqslant 2p-1$ и $1\leqslant j\leqslant au$. Таким образом, сумма равна нулю. Запишем спектральную тета-функцию в $\mathfrak{T}^{-}$ как (см. приложение Б)
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, {}_0\Theta\biggl(\frac{\tau}{2pu},\frac{\eta^{-}}{u}-\frac{a}{2p}\biggr)= \sum_{s''=1}^{2p}\sum_{r''=1}^{u}& e^{2i\pi(\frac{\eta^{-}}{u}-\frac{a}{2p})[u(s''-1)+p(r''-1)]+i\pi\frac{u\tau}{2p}[s''-1+\frac{p}{u}(r''-1)]^2}\times{} \notag\\ &\times {}_0\Theta(2pu\tau,2p\eta^{-}+u(s''-1)\tau+p(r''-1)\tau). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{В.5}
$$
Подстановка соотношений (В.3) и (В.5) в (2.18) дает
$$
\begin{equation}
\mathfrak{T}_1^{-} =\frac{\tau}{2pu}\mathfrak{M}_{-r,s;\theta}(\tau,\nu)e^{2i\pi\frac{p}{u\tau}\gamma^2}\times{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\quad \times\sum_{s'=1}^{2p}\sum_{r'=1}^{u}\sum_{s''=1}^{2p}\sum_{r''=1}^{u} e^{2i\pi[s''-1+\frac{p}{u}(r''-1)]\eta^{-}+i\pi\frac{u\tau}{2p}[s''-1+\frac{p}{u}(r''-1)]^2}\times{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\kern100pt\times\Phi(2pu\tau,2p\gamma-u(s'-1)\tau-p(r'-1)\tau)\times{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\kern100pt\times{}_0\Theta(2pu\tau,2p\eta^{-}-u(s''-1)\tau-p(r''-1)\tau)\times{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\kern100pt\times\sum_{a=0}^{2p-1}e^{2i\pi\frac{a}{2p}(u(s'-s'')+p(r'-r''))},
\end{equation}
\tag{В.6}
$$
$$
\begin{equation}
\mathfrak{T}_2^{-} =\frac{\tau}{2pu}\mathfrak{M}_{-r,s;\theta}(\tau,\nu)e^{2i\pi\frac{p}{u\tau}\gamma^2}\times{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\quad\times\sum_{a=0}^{2p-1}\sum_{s''=1}^{2p}\sum_{r''=1}^{u} e^{\frac{i\pi ua^2}{2p\tau}+2i\pi a\frac{\gamma}{\tau}+2i\pi[\frac{\eta^{-}}{u}-\frac{a}{2p}]\,[u(s''-1)+p(r''-1)]+ \frac{i\pi u\tau}{2p}[s''-1+\frac{p}{u}(r''-1)]^2}\times{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\kern100pt\times{}_0\Theta(2pu\tau,2p\eta^{-}+u(s''-1)\tau+p(r''-1)\tau)\mathfrak{K}_1.
\end{equation}
\tag{В.7}
$$
Очевидно, сумма по $a$ в (В.6) не равна нулю, только если $\frac{u(s'-s'')+p(r'-r'')}{2p}=n$ для $n\in\mathbb{Z}$. Отсюда в соответствии с приложением Б можно совершить замены суммирования
$$
\begin{equation}
\sum_{s''=1}^{2p}\sum_{r''=1}^{u}\to\sum_{s''=1}^{p}\sum_{r''=1}^{2u}\quad\;\text{и}\quad\; \sum_{s'=1}^{2p}\sum_{r'=1}^{u}\to\sum_{s'=1}^{p}\sum_{r'=1}^{2u}.
\end{equation}
\tag{В.8}
$$
С учетом того, что $\operatorname{gcd}(u,p)=1$, имеем
$$
\begin{equation}
\frac{p(r'-r'')}{2p}=n\quad\Longrightarrow\quad r'-r''=2n\quad\Longrightarrow\quad r''=r'-2n.
\end{equation}
\tag{В.10}
$$
Таким образом, приходим к равенству
$$
\begin{equation*}
\sum_{a=0}^{2p-1}e^{\frac{2i\pi a}{2p}[u(s'-s'')+p(r'-r'')]}=2p.
\end{equation*}
\notag
$$
Итак, применение (В.9) и (В.10) к уравнению (В.6) сводит сумму по $a$ к единственному множителю $2p$, и суммы по $r''$ и $s''$ исчезают. Теперь, чтобы определить, сколько целых чисел $n$ могут удовлетворять уравнению (В.10), вспомним, что при использовании уравнения (В.8) параметр $r''$ находится в диапазоне $1\leqslant r''\leqslant 2u$. Тогда для уравнения (В.10) мы получаем ограничение $1\leqslant r'-2n\leqslant 2u$. Следовательно, снова возвращая верхние пределы по $r'$ и $s'$ (противоположно операциям в (В.8)) и делая замену $n\to-n$, без труда получаем формулу (2.20). Если подставить (В.2) в (В.7), мы имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \mathfrak{T}_2^{-}&=-\frac{\tau}{2pu}\mathfrak{M}_{-r,s;\theta}(\tau,\nu)\times{} \notag\\ &\quad\times\mathop{\sum_{s'=1}^{p-1}\sum_{r'=1}^{u-1}\sum_{s''=1}^{2p}\sum_{r'=1}^{u}}_{s'u-r'p>0} e^{2i\pi\frac{\gamma}{u}(s'u-r'p)-i\pi\frac{\tau}{2up}(s'u-r'p)^2}\times{} \notag\\ &\kern100pt\times e^{2i\pi\eta^{-}[s''-1+\frac{p}{u}(r''-1)]+\frac{i\pi u\tau}{2p}[s''-1+\frac{p}{u}(r''-1)]^2}\times{} \notag\\ &\kern100pt\times {}_0\Theta(2pu\tau,2p\eta^{-}+u(s''-1)\tau+p(r''-1)\tau)\times{}\vphantom{\sum_{a=0}^{2p-1}} \notag\\ &\kern100pt\times\sum_{a=0}^{2p-1}e^{\frac{2i\pi a}{2p}[u(s'-s''+1)-p(r'+r''-1)]}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{В.11}
$$
Здесь аналогично заменам (В.8) переставлены верхние пределы по $s''$ и $r''$. Сумма по $a$ равна нулю, если только не выполнено условие $\frac{u(s'-s''+1)-p(r'+r''-1)}{2p}=n$ (для некоторого $n\in\mathbb{ Z}$). Учитывая новый диапазон изменения индексов $s''$ и $r''$ и принимая во внимание условие $\operatorname{gcd}(u,p)=1$, мы вновь приходим к тому, что сумма по $a$ равна нулю, когда
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, s'-s''+1=0\quad &\Longrightarrow\quad s''=s'+1, \\ r'+r''-1=-2n\quad &\Longrightarrow\quad r''=-r'-2n+1. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Опять же сумма по $a$ дает множитель $2p$. При $1\leqslant r''\leqslant 2u$ для целых $n$ мы имеем $1\leqslant -r'-2n+1\leqslant 2u\to 1-2u\leqslant r'+2n\leqslant 0$. Это позволяет сразу получить, что верно соотношение (2.21).
Приложение Г. Некоторые дополнительные тождестваОчевидным, но очень полезным является следующее тождество:
$$
\begin{equation}
\mathop{\sum_{s'=1}^{2u}\sum_n}_{1\leqslant s'+2n\leqslant 2u}f(s'+2n,s')=\mathop{\sum_{s'=1}^{2u}\sum_n}_{1\leqslant s'+2n\leqslant 2u}f(s',s'+2n).
\end{equation}
\tag{Г.1}
$$
Заменим суммирование в правой части этой формулы отдельными суммированиями по четным (even) и нечетным (odd) значениям $s'$. Это дает
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \mathop{\sum_{\text{even}\;s'=1}^{2u}\;\sum_{n=1}^{u}}_{[n\to n-\frac{s'}{2}]}&f(s',2n)+ \mathop{\sum_{\text{odd}\;s'=1}^{2u}\;\sum_{n=1}^{u}}_{[n\to n-\frac{s'}{2}]}f(s',2n-1)= \notag\\ &=\sum_{n=1}^{u}\biggl(\; \sum_{\text{even}\;s'=1}^{2u}f(s',2n)+\sum_{\text{odd}\;s'=1}^{2u}f(s',2n-1)\biggr)= \notag\\ &=\sum_{n=1}^{u}\sum_{s'=1}^{2u}f(s',2n-[s']_2), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{Г.2}
$$
где $[s]_2=s\,(\operatorname{mod}\;2)$. Кроме того, легко получить полезное тождество
$$
\begin{equation}
\mathop{\sum_{s'=1}^{u}\sum_{n\in\mathbb{Z}}}_{1\leqslant s'+2n\leqslant 2u}\Psi(s')f(s'+2n)=\sum_{s'=1}^{u}\Psi(s')\sum_{b=1}^{u}f(2b-[s']_2),
\end{equation}
\tag{Г.3}
$$
где $\Psi(s')$ – произвольная функция от $s'$. Доказательство полностью аналогично доказательству формулы (Г.2). Соотношение (Г.3) можно преобразовать как
$$
\begin{equation}
\mathop{\sum_{s'=1}^{u}\sum_{n\in\mathbb{Z}}}_{1-2u\leqslant s'+2n\leqslant 0}\Psi(s')f(s'+2n)=\sum_{s'=1}^{u}\Psi(s')\sum_{b=1-u}^{0}f(2b-[s']_2).
\end{equation}
\tag{Г.4}
$$
Однако стоит отметить, что любое подобное равенство выполняется, если для любых целых чисел $a$ и $b$ выполнено неравенство $a\leqslant s'+2n\leqslant b$ при условии $b-a=2u-1$. Можно также показать, что для специальных видов функций $f$ в тождестве (Г.3), например для таких, что $f(2u+1)=f(1)$, имеется более общий вариант тождества (Г.3) (а также тождества (Г.4)):
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \mathop{\sum_{s'=1}^{u}\sum_{n\in\mathbb{Z}}}_{1\leqslant s'+2n\leqslant 0}\Psi(s')f(s'+2n)=\sum_{s'=1}^{u}\Psi(s')\sum_{b=1}^{u}f(2b\pm [s']_2). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{Г.5}
$$
БлагодарностиМ. Гоминеджад выражает особую благодарность А. М. Семихатову и А. Таормине за их важные замечания, полезные обсуждения и прекрасное сотрудничество, благодаря которому была выполнена некоторая часть этой работы. Он также выражает свою признательность профессору С. М. Д. Вильсону, профессору Д. В. Армитиджу и доктору П. Д. Грайму (Mathematics Department, Durham University, England) за их выдающееся умение проникать в суть вещей. Конфликт интересовАвторы заявляют, что у них нет конфликта интересов.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{BahGho23} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|