| Теоретическая и математическая физика |
|
|
|
|
|
Меры Гиббса для модели Поттса со счетным множеством значений спина на дереве Кэли Г. И. Ботировab, З. Э. Мустафоеваa a Институт математики им. В. И. Романовского Академии наук Республики Узбекистан, Ташкент, Узбекистан b Национальный университет Узбекистана им. М. Улугбека, Ташкент, Узбекистан
Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2023, Volume 214, Issue 2, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0040577923020113 
Реферативные базы данных:
   1. ВведениеХорошо известно, что большой класс систем статистической механики составляют решеточные спиновые системы. Также хорошо известно, что при изучении спиновых систем важную роль играет структура решетки. В последние годы повышенное внимание как с теоретической, так и с экпериментальной точки зрения привлекает модель, введенная Поттсом в 1952 г. как обобщение модели Изинга [1]. Было доказано, что для модели Поттса с $q$ состояниями на дереве Кэли порядка $k\geqslant 2$ при достаточно низких температурах количество трансляционно-инвариантных мер Гиббса не меньше $q+1$ и эти меры являются цепями Маркова с индексом, заданным на дереве [2]–[5]. Такие меры называются трансляционно-инвариантными расщепленными мерами Гиббса (ТИРМГ). В работе [6] рассматривалась модель Поттса с тремя значениями спина и конкурирующими взаимодействиями радиуса $r=2$ на дереве Кэли порядка $k=2$. Было дано полное описание основных состояний этой модели, и с использованием контурного метода на дереве Кэли доказано, что при достаточно низких температурах эта модель имеет три меры Гиббса. В работе [7] рассматривалась модель Поттса со счетным множеством $\Phi$ значений спина на решетке $\mathbb{Z}^d$ и было доказано, что в случае пуассонова распределения на множестве $\Phi$ множество предельных мер Гиббса непусто. В работе [8] рассматривалась модель Поттса со счетным множеством значений спина на дереве Кэли и было показано, что множество ТИРМГ данной модели содержит не более одной меры независимо от параметров рассматриваемой модели Поттса. В этом состоит принципиальное отличие от моделей с конечным множеством значений спина, поскольку последние модели могут иметь более одной трансляционно-инвариантной меры Гиббса. В работе [9] авторы нашли все ТИРМГ и показали, в частности, что при достаточно низкой температуре их число равно $2^q-1$. Кроме того, в этой работе было доказано, что существуют $[q/2]$ (где $[a]$ – целая часть $a$) критических температур, при которых изменяется число ТИРМГ, и найдено точное число ТИРМГ для каждой промежуточной температуры. В работе [10] изучались антиферромагнитная и ферромагнитная модели Поттса с $q$ состояниями на дереве Кэли и было доказано, что в отсутствие внешнего поля все периодические состояния Гиббса являются трансляционно-инвариантными при любых значениях параметров взаимодействия. В статье [11] для модели Поттса с конкурирующими взаимодействиями и счетным множеством значений спина на дереве Кэли были построены некоторые конечно-периодические основные состояния. Настоящая статья посвящена модели Поттса со взаимодействием следующих за ближайшим соседей и со счетным множеством значений спина на дереве Кэли второго порядка. Мы ищем трансляционно-инвариантную меру Гиббса для дерева Кэли порядка $k=2$ в зависимости от вероятностной меры $\nu$. Эта задача сводится к решению некоторой бесконечной системы уравнений. Также мы даем описание класса мер $\nu$ на множестве $\Phi$, таких что для каждого элемента этого класса данная бесконечная система уравнений имеет единственное решение вида $\{a^i,\,i=1,2,\ldots\}$, где $a\in(0,1)$. 2. Предварительные сведенияДерево Кэли (решетка Бете) $\Gamma^k$ порядка $k\geqslant 1$ – это бесконечное дерево, т. е. граф без циклов, из каждой вершины которого выходит ровно $k+1$ ребер. Пусть $\Gamma^k=(V,L)$, где $V$ – множество вершин, а $L$ – множество ребер. Две вершины $x$ и $y$ называются ближайшими соседями, если существует соединяющее их ребро $l\in L$; этот факт мы обозначаем как $l=\langle x,y\rangle$. Набор пар ближайших соседей вида $\langle x,x_1\rangle,\langle x_1,x_2\rangle,\ldots,\langle x_{d-1},y\rangle$ называется путем из $x$ в $y$. Расстояние $d(x,y)$ между вершинами $x$ и $y$ дерева Кэли равно количеству ребер в кратчайшем пути из $x$ в $y$. Для фиксированной вершины $x^0\in V$, называемой корнем дерева, введем множества
$$
\begin{equation*}
W_n=\{x\in V\colon d(x,x^0)=n\},\qquad V_n=\bigcup_{m=0}^{n}W_m
\end{equation*}
\notag
$$
и множество прямых потомков вершины $x$:
$$
\begin{equation*}
S(x)=\{y\in W_{n+1}\colon d(x,y)=1\},\qquad x\in W_n.
\end{equation*}
\notag
$$
Вершины $x$ и $y$ называются следующими за ближайшим соседями, и мы обозначаем такие вершины как $>x,y<$, если существует вершина $z\in V$, такая что пары $x$, $z$ и $y$, $z$ являются ближайшими соседями. Мы считаем, что для пары $\rangle x,y\langle$ следующих за ближайшим соседей существует $n$, такое что $x\in W_n$ и $y\in W_{n+2}$; этот тип следующих за ближайшим соседей рассматривается в модели Поттса с тремя состояниями (см. работу [12]). Мы рассматриваем модель Поттса с конкурирующими ближайшими соседями и удаленным взаимодействием следующих за ближайшим соседей на дереве Кэли, считая, что спин принимает значения в множестве $\Phi:=\{0,1,2,\ldots{}\}$. Далее определим конфигурацию $\sigma$ на $V$ как функцию $V\ni x\mapsto\sigma(x)\in\Phi$; множество всех конфигураций равно $\Phi^V$. Гамильтониан модели Поттса с конкурирующими взаимодействиями имеет вид
$$
\begin{equation}
H(\sigma)=-J\sum_{\substack{\langle x,y\rangle,\\ x,y\in V}}\delta_{\sigma(x)\sigma(y)} -J_1\sum_{\substack{\rangle x,y\langle,\\ x,y\in V}}\delta_{\sigma(x)\sigma(y)},
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
где $J,J_1\in\mathbb{R}$ суть константы связи и $\delta$ – символ Кронекера. Для подмножества $A\subset V$ обозначим как $\Phi^A$ конфигурационное пространство на $A$. Введем функцию $h\colon x\mapsto h_x=(h_{0,x},h_{1,x},\ldots)\in\mathbb{R}^{\infty}$ от $x\in V\backslash\{x^0\}$ со значениями в множестве вещественных последовательностей. Зафиксируем некоторую вероятностную меру $\nu=\{\nu(i)>0,\,i\in\Phi\}$ и рассмотрим вероятностное распределение $\mu_n$ на $\Phi^{V_n}$ для $n=1,2,\ldots{}$, заданное как
$$
\begin{equation}
\mu^{(n)}(\sigma_n)=Z^{-1}_n\exp\biggl(-\beta H(\sigma_n)+\sum_{x\in W_n} h_{\sigma(x),x}\biggr)\prod_{x\in V_n}\nu(\sigma(x)).
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
Здесь $\sigma_n\colon x\mapsto\sigma(x)$, $x\in V_n$, и $Z_n$ – соответствующая статистическая сумма,
$$
\begin{equation}
Z_n=\sum_{\tilde\sigma_n\in\Phi^{V_n}} \exp\biggl(-\beta H(\tilde\sigma_n)+\sum_{x\in W_n}h_{\tilde\sigma(x),x}\biggr)\prod_{x\in V_n}\nu(\tilde\sigma(x)).
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
Замечание. Статистическая сумма $Z_n$ конечна, поскольку $\nu$ – вероятностная мера и экспонента в (2.3) как функция на $\Phi^{V_n}$ ограничена. Как обычно, вероятностные распределения $\mu^{(n)}$, $n=1,2,\ldots{}$, согласованы тогда и только тогда, когда для всех $n\geqslant 1$ и любых $\sigma_{n-1}\in\Phi^{V_{n-1}}$
$$
\begin{equation}
\sum_{{\omega_n}\in\Phi^{W_n}}\mu^{(n)}(\sigma_{n-1}\vee\omega_n)=\mu^{(n-1)}(\sigma_{n-1}).
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
Здесь $\sigma_{n-1}\vee\omega_n\in\Phi^{V_n}$ – произведение конфигураций $\sigma_{n-1}$ и $\omega_n$.
3. Функциональные уравненияСледующая теорема описывает условия на $h_x$, гарантирующие согласованность распределений $\mu^{(n)}(\sigma_n)$, $n=1,2,\ldots{}\,$. Теорема 1. Вероятностные распределения $\mu^{(n)}(\sigma_n)$, $n=1,2,\ldots{}$, заданные формулой (2.2), для дерева Кэли порядка два согласованы, если и только если для любого $x\in V\backslash{\{x^0\}}$ выполнены следующие уравнения: Доказательство. Необходимость. Предположим, что выполнено (2.4), и докажем (3.1). Подставляя выражение (2.2) в (2.4), получаем, что для всякой конфигурации $\sigma_{n-1}\colon x\mapsto\sigma_{n-1}(x)$, где $x\in V_{n-1}$, $\sigma_{n-1}(x)\in\Phi$, Достаточность. Пусть выполнены уравнения (3.1), докажем (2.4). Имеем для $i=0,1,\ldots{}$
$$
\begin{equation}
\sum_{p,q=0}^{\infty} e^{J\beta (\delta_{ip}+\delta_{iq})+J_1\beta\delta_{pq}+h_{p,y}+h_{q,z}+\ln\nu (p)+\ln\nu(q)}=a(x)e^{h_{i,x}}.
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
Получаем, что левая часть равенства (2.4) равна
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \frac{1}{Z_n}&e^{-\beta H_{n-1}(\sigma_{n-1})}\prod_{x\in W_{n-1}}\nu(\sigma(x))\times{} \nonumber\\ &\quad\times\sum_{\substack{x\in W_{n-1},\\ y,z\in S(x)}} e^{J\beta(\delta_{\sigma(x)\sigma(y)}+\delta_{\sigma(x)\sigma(z)})+J_1\beta\delta_{\sigma(y)\sigma(z)}+h_{\sigma(y),y}+h_{\sigma(z),z}}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
Подставляя (3.2) в (3.3) и вводя обозначение $A_n=\prod_{x\in W_{n-1}}a(x)$, получаем, что выражение (3.3) принимает вид
$$
\begin{equation}
\frac{A_{n_1}}{Z_n}e^{-\beta H_{n-1}(\sigma_{n-1})}\prod_{x\in W_{n-1}}\nu({\sigma(x)}).
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
Поскольку $\mu^{(n)}$, $n\geqslant 1$, являются вероятностным мерами, имеем
$$
\begin{equation*}
\sum_{\sigma_{n-1}}\sum_{\sigma}^{(n)}\mu^{(n)}(\sigma_{n-1},\sigma^{(n-1)})=1.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, из (3.4) получаем, что $Z_{n-1}A_{n-1}=Z_n$, и равенство (2.4) выполнено. 4. Степенное решение функциональных уравнений (3.1)Пусть $h_x=h=(h_1,h_2,\ldots)$ для всех $x\in V$. Перепишем уравнения (3.1) в виде
$$
\begin{equation}
h_i=\ln\frac{\nu(i)}{\nu(0)}+ \ln\frac{1+\sum_{\substack{p,q=0,\\ p+q\neq 0}}^{\infty} e^{\beta J(\delta_{ip}^{}+\delta_{iq}^{})+J_1^{}\beta\delta_{pq}^{}+h^*_{p}+h^*_{q}}} {1+\sum_{\substack{p,q=0,\\ p+q\neq 0}}^{\infty} e^{\beta J(\delta_{0p}^{}+\delta_{0q}^{})+J_1^{}\beta\delta_{pq}^{}+h^*_{p}+h^*_{q}}}.
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
Положим $u_i=e^{h_i}$, тогда имеем для $i=1,2,\ldots{}\,$
$$
\begin{equation}
u_i=\frac{\nu(i)}{\nu(0)} \frac{1+\sum_{\substack{p,q=0,\\ p+q\neq 0}}^{\infty} e^{\beta J(\delta_{ip}+\delta_{iq})+J_1\beta\delta_{pq}}\,u_pu_q} {1+\sum_{\substack{p,q=0,\\ p+q\neq 0}}^{\infty} e^{\beta J(\delta_{0p}+\delta_{0q})+J_1\beta\delta_{pq}}\,u_pu_q}.
\end{equation}
\tag{4.2}
$$
Это уравнение имеет не более одного решения для любой фиксированной меры $\nu$. Интересно описать точный вид такого решения и соответствующую меру $\nu$. Мы ищем решения уравнения (4.2) вида $u_i=a^i$ для некоторого $a\in(0,1)$ и соответствующей меры $\nu$. Из (4.2) получаем
$$
\begin{equation}
\nu(i)\equiv\nu(i,a)=\nu(0)a^i \frac{1+\sum_{\substack{p,q=0,\vphantom{p^A}\\ p+q\neq 0}}^{\infty} e^{\beta J(\delta_{0p}+\delta_{0q})+J_1\beta\delta_{pq}}a^{p+q}} {1+\sum_{\substack{p,q=0,\vphantom{p^A}\\ p+q\neq 0}}^{\infty} e^{\beta J(\delta_{ip}+\delta_{iq})+J_1\beta\delta_{pq}}a^{p+q}}.
\end{equation}
\tag{4.3}
$$
Выберем $a$ так, чтобы было выполнено условие $\sum_{i=1}^{\infty}\nu(i)<+\infty$. Рассмотрим отношение
$$
\begin{equation}
\frac{\nu (i+1)}{\nu (i)}=a \frac{1+\sum_{\substack{p,q=0,\vphantom{p^A}\\ p+q\neq 0}}^{\infty} e^{\beta J(\delta_{ip}+\delta_{iq})+J_1\beta\delta_{pq}}a^{p+q}} {1+\sum_{\substack{p,q=0,\vphantom{p^A}\\ p+q\neq 0}}^{\infty} e^{\beta J(\delta_{i+1,p}+\delta_{i+1,q})+J_1\beta\delta_{pq}}a^{p+q}}.
\end{equation}
\tag{4.4}
$$
Используя условие сходимости Даламбера, получаем условие Перепишем правую часть равенства (4.4) как
$$
\begin{equation}
a\frac{1{+}\theta^2\theta_1a^{2i}{+} \theta a^i\sum_{\substack{p>0,\vphantom{p^A}\\ p\neq i}}^{\infty}a^p{+} \theta a^i\sum_{\substack{q>0,\vphantom{p^A}\\ q\neq i}}^{\infty}a^q{+} \sum_{\substack{p>0,\vphantom{p^A}\\ p\neq i}}^{\infty}a^p \sum_{\substack{q>0,\vphantom{p^A}\\ q\neq i}}^{\infty} \theta^{\delta_{pq}}_1a^q} {1{+}\theta^2\theta_1a^{2(i{+}1)}{+} \theta a^{i{+}1}\sum_{\substack{p>0,\vphantom{p^A}\\ p\neq i{+}1}}^{\infty}a^p{+} \theta a^{i{+}1} \sum_{\substack{q>0,\vphantom{p^A}\\ q\neq i{+}1}}^{\infty}a^q{+} \sum_{\substack{p>0,\\ p\neq i{+}1}}^{\infty}a^p\;\sum_{\substack{q>0,\\ q\neq i{+}1}}^{\infty}\theta^{\delta_{pq}}_1a^q},
\end{equation}
\tag{4.6}
$$
где $\theta=e^{J\beta}$, $\theta_1=e^{J_1\beta}$. Тогда
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \sum_{\substack{p>0,\\ p\neq i}}^{\infty}a^p\sum_{\substack{q>0,\\ q\neq i}}^{\infty}\theta^{\delta_{pq}}_1a^q&= \sum_{\substack{p>0,\\ p\neq i}}^{\infty} a^p\biggl(\theta_1a^p+\sum_{\substack{q>0,\\ q\neq i,p\neq q}}^{\infty}a^q\biggr)= \\ &=\theta_1\sum_{\substack{p>0,\\ p\neq i}}^{\infty} a^{2p}+ \sum_{\substack{p>0,\\ p\neq i}}^{\infty}a^p\sum_{\substack{q>0,\\ q\neq i,p\neq q}}^{\infty} a^q= \\ &=\theta_1\biggl(\frac{a^2}{1-a^2}-a^{2i}\biggr)+\sum_{\substack{p>0,\\ p\neq i}}^{\infty}a^p\biggl(\frac{a}{1-a}-a^i-a^p\biggr)= \\ &=\theta_1\biggl(\frac{a^2}{1-a^2}-a^{2i}\biggr)+ \biggl(\frac{a}{1-a}-a^i\biggr)\sum_{\substack{p>0,\\ p\neq i}}^{\infty}a^p-\sum_{\substack{p>0,\\ p\neq i}}^{\infty}a^{2p}= \\ &=\theta_1 \biggl(\frac{a^2}{1-a^2}-a^{2i}\biggr)+\biggl(\frac{a}{1-a}-a^i\biggr)^{\!\!2}- \biggl(\frac{a^2}{1-a^2}-a^{2i}\biggr)= \\ &=(\theta_1-1)\biggl(\frac{a^2}{1-a^2}-a^{2i}\biggl)+\biggl(\frac{a}{1-a}-a^i\biggr)^{\!\!2}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
После некоторых упрощений получаем для (4.6) следующие выражения:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, a\frac{1+\theta^2\theta_1a^{2i}+2\theta a^i\bigl(\frac{a}{1-a}-a^i\bigr)+ (\theta_1-1)\bigl(\frac{a^2}{1-a^2}-a^{2i}\bigr)+\bigl(\frac{a}{1-a}-a^i\bigr)^2} {1+\theta^2\theta_1a^{2(i+1)}+2\theta a^{i+1}\bigl(\frac{a}{1-a}-a^{i+1}\big)+ (\theta_1-1)\bigl(\frac{a^2}{1-a^2}-a^{2(i+1)}\bigr)+\bigl(\frac{a}{1-a}-a^{i+1}\bigr)^2}= \\ =a\frac{1+\frac{2a}{1-a}(\theta-1)a^i+(\theta^2\theta_1-2\theta-\theta_1+2)a^{2i}+(\theta_1-1)\frac{a^2}{1-a^2}+\bigl(\frac{a}{1-a}\bigr)^2} {1+\frac{2a}{1-a}(\theta-1)a^{i+1}+(\theta^2\theta_1-2\theta-\theta_1+2)a^{2(i+1)}+(\theta_1-1)\frac{a^2}{1-a^2}+(\frac{a}{1-a})^2}=aA_i, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation}
A_i=\frac{1+\frac{2a}{1-a}(\theta-1)a^i+(\theta^2\theta_1-2\theta-\theta_1+2)a^{2i}+(\theta_1-1)\frac{a^2}{1-a^2}+\bigl(\frac{a}{1-a}\bigr)^2} {1+\frac{2a}{1-a}(\theta-1)a^{i+1}+(\theta^2\theta_1-2\theta-\theta_1+2)a^{2(i+1)}+(\theta_1-1)\frac{a^2}{1-a^2}+(\frac{a}{1-a})^2}.
\end{equation}
\tag{4.7}
$$
Нетрудно видеть, что $A_{i+1}<A_i$ для $i=1,2,\ldots{}\,$. Следовательно, для сходимости по Даламберу достаточно решить неравенство $aA_1<1$, которое эквивалентно
$$
\begin{equation}
(1-a)\bigl((\theta-1)(\theta_1\theta+\theta_1-2)(a^6-a^5-a^4)+(\theta^2\theta_1-2\theta-1)a^3-(\theta_1-1)a^2+a-1\bigr)<0.
\end{equation}
\tag{4.8}
$$
Случай 1: пусть $\theta_1\theta+\theta_1-2=0$. В этом случае условие (4.8) принимает вид
$$
\begin{equation}
(1-a)\bigl[(-3\theta-1)a^3-(1-\theta)a^2+(1+\theta)a-(1+\theta)\bigr]<0.
\end{equation}
\tag{4.9}
$$
Обозначим как $a^*$ корень уравнения $(-3\theta-1)a^3-(1-\theta)a^2+(1+\theta)a-(1+\theta)=0$,
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, a^*&=\frac{1}{3}\frac{1}{3\theta+1}\Bigl(-107\theta^3-201\theta^2-105\theta-19+{} \nonumber\\ &\kern88pt+3\sqrt{3}\sqrt{43\theta^4+136\theta^3+146\theta^2+64\theta+11}(3\theta+1)\Bigr)^{-1/3}+{} \nonumber\\ &\quad+\frac{2}{3}\frac{5\theta^2+5\theta+2}{(3\theta+1)}\Bigl(-107\theta^3-201\theta^2-105\theta-19+{} \nonumber\\ &\kern88pt+3\sqrt{3}\sqrt{43\theta^4+136\theta^3+146\theta^2+64\theta+11}(3\theta+1)\Bigr)^{-1/3}+{} \nonumber\\ &\quad+\frac{1}{3}\frac{\theta-1}{3\theta+1}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.10}
$$
Получаем следующие решения неравенства (4.8) для $a\in(0,1)$:
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{4} &a\in(0,1),&\quad\text{если}\quad &a^*\in[1;+\infty); \\ &a\in(0,a^*),&\quad\text{если}\quad &a^*\in(0,1); \\ &a\in\varnothing,&\quad\text{если}\quad &a^*\in(-\infty;0]. \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
Случай 2: пусть $\theta=1$. В этом случае из (4.8) имеем
$$
\begin{equation}
(1-a)\bigl((\theta_1-3)a^3-(\theta_1-1)a^2+a-1\bigr)<0.
\end{equation}
\tag{4.11}
$$
Корень соответствующего кубического уравнения имеет вид
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, a^{**}&=\frac{1}{3(\theta_1-3)} \Bigl(\theta_1^3+6\theta_1^2-60\theta_1^{}+107+{} \nonumber\\ &\kern99pt +3\sqrt{3}\sqrt{\theta_1^5-7\theta_1^4-3\theta_1^3+142\theta_1^2-420\theta_1^{}+387}\,\Bigr)^{1/3}+{} \nonumber\\ &\quad +\frac{\theta_1^2-5\theta_1+10}{3(\theta_1-3)} \Bigl(\theta_1^3+6\theta_1^2-60\theta_1^{}+107+{} \nonumber\\ &\kern99pt+3\sqrt{3}\sqrt{\theta_1^5-7\theta_1^4-3\theta_1^3+142\theta_1^2-420\theta_1^{}+387}\,\Bigr)^{-1/3}+{} \nonumber\\ &\quad+\frac{\theta_1-1}{3(\theta_1-3)}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.12}
$$
Получаем следующие решения неравенства (4.11) для $a\in(0,1)$:
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{4} &a\in(0,1),&\quad\text{если}\quad &a^{**}\in[1;+\infty); \\ &a\in(0,a^{**}),&\quad\text{если}\quad &a^{**}\in(0,1); \\ &a\in\varnothing,&\quad\text{если}\quad &a^{**}\in(-\infty;0]. \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
Случай 3: пусть $\theta_1=1$. В этом случае из (4.7) имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, A_i&= \frac{1+\frac{2a}{1-a}(\theta-1)a^i+(\theta^2-2\theta +1)a^{2i}+\bigl(\frac{a}{1-a}\bigr)^2} {1+\frac{2a}{1-a}(\theta-1)a^{i+1}+(\theta^2-2\theta +1)a^{2(i+1)}+\bigl(\frac{a}{1-a}\bigr)^2}= \nonumber\\ &=\frac{1+\bigl((\theta-1)a^i+\frac{a}{1-a}\bigr)^2}{1+\bigl((\theta-1)a^{i+1}+\frac{a}{1-a}\bigr)^2}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.13}
$$
Пусть $\theta>1$. Как нетрудно видеть, $0<A_i<1$ при $\theta>1$, если $a\in(0,1)$. Тогда неравенство (4.5) выполнено при всех $a\in(0,1)$. Пусть $\theta<1$. Положим $b_i=(\theta-1)a^i+\frac{a}{1-a}$. Тогда $b_{i+1}>b_i$ и
$$
\begin{equation*}
\frac{\nu(i+1)}{\nu(i)}=aA_i=a\frac{1+b_i^2}{1+b_{i+1}^2}<a<1
\end{equation*}
\notag
$$
при $\theta<1$ и любых $a\in(0,1)$. Случай 4: пусть $(\theta-1)(\theta_1\theta+\theta_1-2)\neq 0$. В этом случае из (4.8) имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, a^6-a^5&{}-a^4+\frac{\theta^2\theta_1-2\theta-1}{(\theta-1)(\theta_1\theta+\theta_1-2)}a^3-{} \\ &{}-\frac{\theta_1-1}{(\theta-1)(\theta_1\theta+\theta_1-2)}a^2+\frac{a-1}{(\theta-1)(\theta_1\theta+\theta_1-2)}=0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Чтобы решить это уравнение, положим $a=x+1/6$ и получим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, x^6&=\frac{17}{12}x^4+\biggl(\frac{23}{27}-\alpha\biggr)x^3+\biggl(-\frac{\alpha}{2}+\beta+\frac{29}{144}\biggr)x^2+{} \nonumber \\ &\quad +\biggl(-\frac{\alpha}{12}+\frac{\beta}{3}-\gamma+\frac{7}{324}\biggr)x+ \biggl(-\frac{\alpha}{216}+\frac{\beta}{36}+\frac{5\gamma}{6}+\frac{41}{46656}\biggr), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.14}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\alpha=\frac{\theta^2\theta_1-2\theta-1}{(\theta-1)(\theta_1\theta+\theta_1-2)},\quad \beta=\frac{\theta_1-1}{(\theta-1)(\theta_1\theta+\theta_1-2)},\quad \gamma=\frac{1}{(\theta-1)(\theta_1\theta+\theta_1-2)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Введем обозначения
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{3} b&=\frac{23}{27}-\alpha,&\qquad c&=-\frac{\alpha}{2}+\beta+\frac{29}{144}, \\ d&=-\frac{\alpha}{12}+\frac{\beta}{3}-\gamma+\frac{7}{324},&\qquad e&=-\frac{\alpha}{216}+\frac{\beta}{36}+\frac{5\gamma}{6}+\frac{41}{46656}. \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
Чтобы получить решение уравнения (4.14) шестой степени, разложим его на два кубических; это возможно тогда и только тогда, когда коэффициенты удовлетворяют следующему условию:
$$
\begin{equation*}
\biggl(c+\frac{d^2}{b^2}\biggr)^{\!\!2}=4\biggl(\frac{17}{12}+2\frac{d^2}{b^2}\biggr)\biggl(e+\frac{b^2}{4}\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
В результате получаем уравнение
$$
\begin{equation*}
x^3+\frac{d}{b}x-\frac{b}{2}=\pm\sqrt{\frac{17}{12}+2\frac{d^2}{b^2}} \biggl( x^2+\frac{c+d^2/b^2}{17/6+4d^2/b^2}\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Это уравнение имеет два вещественных корня $x_{+}$ и $x_{-}$, которым отвечают $a_{+}$ и $a_{-}$, заданные как
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, a_{+}&=\frac{m^2/18\sqrt[3]{4}-2d/\sqrt[3]{4}b}{\bigl(F_1+\sqrt{F_1^2+(36d-m^2b)^3/432b^3}\,\bigr)^{\!1/3}}+\frac{m}{6\sqrt{3}}+{} \\ &\quad +\frac{1}{3\sqrt[3]{2}}\biggl(F_1+\sqrt{F_1^2+\frac{(36d-m^2b)^3}{432b^3}}\;\biggr)^{\!\!1/3}+\frac{1}{6}, \\ a_{-}&=\frac{m^2/18\sqrt[3]{4}-2d/\sqrt[3]{4}b}{\sqrt[3]{4}b} \biggl(F_2+\sqrt{F_2^2+\frac{(36d-m^2b)^3}{432b^3}}\,\biggr)^{\!\!-1/3}+\frac{m}{6\sqrt{3}}+{} \\ &\quad +\frac{1}{3\sqrt[3]{2}}\biggl( F_2+\sqrt{F_2^2+\frac{(36d-m^2b)^3}{432b^3}}\;\biggr)^{\!\!1/3}+\frac{1}{6}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.15}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, F_1&=\frac{27}{m^2}\biggl(\frac{17b}{2}+\frac{12d^2}{b}\biggr)+ \frac{27\sqrt{3}}m\biggl(c+\frac{d^2}{b^2}\biggr)+\sqrt{3}m\biggl(\frac{17}{36}-\frac{3d}{2b}+\frac{2d^2}{3b^2}\biggr), \\ F_2&=\frac{27}{m^2}\biggl(\frac{17b}{2}+\frac{12d^2}{b}\biggr)- \frac{27\sqrt{3}}m\biggl(c+\frac{d^2}{b^2}\biggr)-\sqrt{3}m\biggl(\frac{17}{36}-\frac{3d}{2b}+\frac{2d^2}{3b^2}\biggr) \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
и $m=\sqrt{(17b^2+24d^2)/b^2}$. При условии $(\theta-1)(\theta_1\theta+\theta_1-2)\neq 0$ мы получаем следующие решения:
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{4} &a\in(0;a_{+}),&\quad\text{если}\quad &a_{-}<0,\;\; 0<a_{+}<1; \\ &a\in(a_{-};a_{+}),&\quad\text{если}\quad &a_{-},a_{+}\in(0,1); \\ &a\in(a_{-};1),&\quad\text{если}\quad &0<a_{-}<1,\;\; a_{+}>1; \\ &a\in\varnothing,&\quad\text{если}\quad &a_{-},a_{+}\in(-\infty;0]\cup [1;+\infty). \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
Случай 5: пусть $\theta\leqslant 1$ и $\theta_1\geqslant 2$. Положим
$$
\begin{equation*}
b_i=1+\frac{2a}{1-a}(\theta-1)a^i+(\theta^2 \theta_1-2\theta-\theta_1+2)a^{2i}+(\theta_1-1)\frac{a^2}{1-a^2}+\biggl(\frac{a}{1-a}\biggr)^{\!\!2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Видно, что $b_{i+1}\geqslant b_i>0$ для всех $i=1,2,\ldots{}$, если $\theta\leqslant 1$, $\theta_1\geqslant 2$ и $a\in(0,1)$. Используя неравенство $b_{i+1}>b_i$, из (4.4) мы заключаем, что неравенство (4.5) выполнено при всех $a\in(0,1)$. Таким образом, получаем следующий результат. Теорема 2. Пусть порядок дерева Кэли $k=2$. Тогда для модели Поттса со счетным множеством значений спина на дереве Кэли хотя бы одна трансляционно-инвариантная мера Гиббса $\mu_a$, которая отвечает решению $\{u_i=a^i\}$ системы (4.2) и мере $\nu(i)=\nu(i,a)$, существует при следующих условиях для $a$.
БлагодарностиМы благодарим рецензентов за ценные замечания. Конфликт интересовАвторы заявляют, что у них нет конфликта интересов.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{BotMus23} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|