| Теоретическая и математическая физика |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 2 научных статьях (всего в 2 статьях) От обобщенных соотношений неопределенностей к единому подходу к микрофизике элементарных частиц, макрофизике черных дыр и эффекту Казимира в трехмерном квантовом вакууме Д. Фискалеттиa, А. С. Сорлиb a SpaceLife Institute, San Lorenzo in Campo, Italy b Scientific Research Centre Bistra, Ptuj, Slovenia
Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2023, Volume 214, Issue 1, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0040577923010087 
Реферативные базы данных:
   1. ВведениеВ некоторых теориях квантовой гравитации предполагается существование минимальной длины, отвечающей за невозможность измерения сколь угодно коротких расстояний. Несмотря на то что природа этой поддающейся измерению минимальной длины зависит от типа используемой теории, один из ее наиболее многообещающих и важных аспектов состоит в том, что она, по-видимому, естественным образом приводит к модификации гейзенберговского принципа неопределенностей для координаты и импульса на планковском масштабе. В рамках этого подхода, например, в теории струн, петлевой квантовой гравитации, деформированной специальной теории относительности и физике черных дыр вводится следующее обобщение соотношения неопределенностей:
$$
\begin{equation}
\Delta x\,\Delta p\geqslant\frac{\hbar}{2}\biggl[1+\beta\biggl(\frac{\Delta p\,c}{E_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{P}} }}\biggr)^{\!\!2\,}\biggr],
\end{equation}
\tag{1}
$$
где $c$ – скорость света, $E_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{P}} }$ – планковская энергия и $\beta$ – безразмерный параметр деформации, позволяющий в пределе $\beta\to 0$ восстановить стандартное соотношение неопределенностей обычной квантовой теории [1]–[13]. На сегодняшний день имеется ряд интересных исследований, в которых изучаются новые сценарии, получающиеся из обобщенных соотношений неопределенностей в контексте теорий c минимальной длиной. Например, авторы работы [14] предположили, что обобщенное соотношение неопределенностей (1) можно записать в виде
$$
\begin{equation}
\Delta x\,\Delta p\geqslant\frac{\hbar}{2}\biggl[1+\beta l_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{P}} }^2\biggl(\frac{\Delta p}{\hbar}\biggr)^{\!\!2\,}\biggr],
\end{equation}
\tag{2}
$$
где $l_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{P}} }$ – планковская длина, рассматривая канонические коммутационные соотношения для зеркально-симметричных состояний
$$
\begin{equation}
[\widehat X,\widehat P\,]=i\hbar\biggl(1+\beta l_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{P}} }^2\frac{\widehat P^2}{\hbar^2}\biggr),\qquad \widehat P^2=\sum_k^{}\widehat P_k^2,
\end{equation}
\tag{3}
$$
где заглавными буквами обозначены операторы координаты и импульса при высоких энергиях, которые принципиально отличаются от стандартных низкоэнергетических операторов обычной квантовой механики. Недавно в работе [15] для этого варианта обобщенного соотношения неопределенностей в теории с минимальной длиной был предложен эвристический вывод эффекта Казимира, который является одним из наиболее важных доказательств существования флуктуаций вакуума. С другой стороны, Карр показал, каким образом можно рассматривать обобщенное соотношение неопределенностей в качестве отправной точки для исследования дуальности элементарных частиц и черных дыр, что привело к многообещающей унифицированной интерпретации комптоновского масштаба в микрофизике элементарных частиц и шварцшильдовского масштаба в физике черных дыр (см., например, работу [16]). Следуя духу этих последних исследований обобщенных соотношений неопределенностей, в настоящей статье мы намерены ввести подходящие базовые расширенные обобщенные соотношения неопределенностей в контексте модели трехмерного динамического квантового вакуума (ДКВ). В этой модели наиболее универсальным свойством является переменная плотность энергии, флуктуации которой происходят в соответствии с процессами рождения/уничтожения виртуальных частиц, приводящими к сверхтекучему бозе-конденсату. Мы показываем, что достоинством этих расширенных обобщенных соотношений неопределенностей в модели трехмерного ДКВ является то, что они открывают интересные перспективы объединения микрофизики элементарных частиц и макрофизики черных дыр, а также интерпретации эффекта Казимира и космологических кротовых нор. Статья организована следующим образом. В разделе 2 после обзора основных свойств модели трехмерного ДКВ мы вводим расширенное обобщенное соотношение неопределенностей. В разделе 3 мы исследуем, каким образом оно приводит к содержательной единой трактовке режима черных дыр и режима элементарных частиц. В разделе 4 мы анализируем, как, используя расширенное обобщенное соотношение неопределенностей в трехмерном ДКВ, можно вывести эффект Казимира, из которого вытекают важные следствия, касающиеся интерпретации космологических кротовых нор. 2. Обобщенное соотношение неопределенностей в трехмерном ДКВВ серии наших недавних работ [17]–[26] мы разработали не содержащую временну́ю координату модель трехмерного ДКВ, определяющуюся планковской метрикой и переменной (т. е. подверженной флуктуациям) плотностью энергии КВ. В этой модели время не является первичной физической реальностью, а существует только как математический параметр, с помощью которого измеряется числовой порядок последовательных материальных изменений. В рамках этого подхода свободное пространство при отсутствии материальных объектов описывается максимальным значением плотности энергии КВ, которое соответствует планковской плотности энергии
$$
\begin{equation}
\rho_{ \scriptscriptstyle{\text{PE}} }=\frac{M_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{P}} }c^2}{l_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{P}} }^3}=4.641266\cdot 10^{113}\ \frac{\text{Дж}}{\text{м}^3},
\end{equation}
\tag{4}
$$
где $M_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{P}} }$ – планковская масса. В модели трехмерного ДКВ это состояние рассматривается как “основное”. Возникновение обычной барионной материи соответствует возбужденному состоянию трехмерного КВ, которое описывается надлежащим образом уменьшенной плотностью энергии КВ. Это уменьшение относительно основного состояния отвечает процессам рождения/уничтожения виртуальных пар частица-античастица и задается соотношением
$$
\begin{equation}
\Delta\rho_{ \scriptscriptstyle{\text{qvE}} }\equiv\rho_{ \scriptscriptstyle{\text{PE}} }-\rho=\frac{mc^2}{V},
\end{equation}
\tag{5}
$$
зависящим от массы $m$ и объема $V$ частицы. Каждое возбужденное состояние ДКВ можно описать волновой функцией $C=\binom{\psi}{\phi}$, две компоненты которой удовлетворяют симметричному по времени расширению квантового релятивистского уравнения Клейна–Гордона
$$
\begin{equation}
\begin{pmatrix} H & \phantom{-}0 \\ 0 & -H \end{pmatrix}C=0,\qquad H=-\hbar^2\partial^\mu\partial_\mu+\frac{V^2}{c^2}(\Delta\rho_{ \scriptscriptstyle{\text{qvE}} })^2.
\end{equation}
\tag{6}
$$
Процессами рождения/уничтожения “дирижирует” потенциал КВ
$$
\begin{equation}
Q_{\mathrm q,i}=\frac{\hbar^2c^2}{V^2(\Delta\rho_{ \scriptscriptstyle{\text{qvE}} })^2} \begin{pmatrix} \phantom{-}\dfrac{(\nabla^2-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2})|\psi_{\mathrm q,i}|}{|\psi_{\mathrm q,i}|} \\ -\dfrac{(\nabla^2-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2})|\varphi_{\mathrm q,i}|}{|\varphi_{\mathrm q,i}|} \vphantom{\bigg|^{\big|}} \end{pmatrix},
\end{equation}
\tag{7}
$$
который возникает как первичная сила, управляющая возникновением процессов рождения или уничтожения событий в пространстве. Вследствие такой первоначальной физической природы процессов рождения и уничтожения и нелокального действия квантового потенциала в модели трехмерного ДКВ поведение обычной материи, существующей во Вселенной, можно рассматривать как неразрывную сеть процессов рождения и уничтожения, происходящих в трехмерном нелокальном КВ, не содержащем временно́й координаты. Представленная модель трехмерного ДКВ, несмотря на наличие в ней нескольких специфических предположений о связи между состояниями вакуума и переменной плотностью энергии, может предложить интересные перспективы объединения гравитации и квантовой теории и завершения Стандартной модели, где действие бозона Хиггса проявляется как взаимодействие соответствующих флуктуаций плотности энергии КВ (см., в частности, [26]). С другой стороны, в этой модели можно дать наводящую на размышления единую интерпретацию темной энергии и темной материи в терминах более фундаментальных флуктуаций плотности энергии КВ. Кривизна пространства-времени в этой модели является эмерджентным свойством, вытекающим из квантованной метрики
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, d\hat s^2=\hat g_{\mu\nu}\,dx^\mu\,dx^{\nu}, \\ \hat g_{00}=-1+\hat h_{00},\quad \hat g_{11}=1+\hat h_{11},\quad \hat g_{22}=1+\hat h_{22},\quad \hat g_{33}=r^2\sin^2\vartheta(1+\hat h_{33}), \\ \hat g_{\mu\nu}=\hat h_{\mu\nu}\quad \text{при}\quad \mu\neq\nu. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{8}
$$
Что касается коэффициентов в (8), то в них предполагается неявное умножение каждого слагаемого на единичный оператор, при этом в порядке $O(r^2)$ все $\langle\hat h_{\mu\nu}\rangle=0$, кроме
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \langle\hat h_{00}\rangle&=\frac{8\pi G}{3} \biggl(\frac{\Delta\rho_{ \scriptscriptstyle{\text{qvE}} }}{c^2}+\frac{35Gc^2}{2\pi\hbar^4V}\biggl(\frac{V}{c^2}\,\Delta\rho_{ \scriptscriptstyle{\text{qvE}} }^{ \scriptscriptstyle{\text{DE}} }\biggr)^{\!\!6\,\,}\biggr)r^2, \\ \langle\hat h_{11}\rangle&=\frac{8\pi G}{3} \biggl(-\frac{\Delta\rho_{ \scriptscriptstyle{\text{qvE}} }}{2c^2}+\frac{35Gc^2}{2\pi\hbar^4V}\biggl(\frac{V}{c^2}\,\Delta\rho_{ \scriptscriptstyle{\text{qvE}} }^{ \scriptscriptstyle{\text{DE}} }\biggr)^{\!\!6\,\,}\biggr)r^2, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{9}
$$
где $\Delta\rho_{ \scriptscriptstyle{\text{qvE}} }^{ \scriptscriptstyle{\text{DE}} }$ – флуктуации плотности энергии КВ, определяющие плотность темной энергии по формуле
$$
\begin{equation}
\rho_{ \scriptscriptstyle{\text{DE}} }\simeq\frac{35Gc^2}{2\pi\hbar^4V}\biggl(\frac{V}{c^2}\,\Delta\rho_{ \scriptscriptstyle{\text{qvE}} }^{ \scriptscriptstyle{\text{DE}} }\biggr)^{\!\!6}.
\end{equation}
\tag{10}
$$
Воздействию темной материи, которое используется для объяснения кривых вращения галактик, сопоставляется более фундаментальная концепция поляризации вакуума. Поляризация описывается переменной вязкостью $\mu(t)=\mu\cos(\Omega t)$, порожденной фоном элементарных флуктуаций плотности энергии КВ [27]
$$
\begin{equation*}
\Delta\rho_{\mathrm{perturbative}}=\frac{\mu\hbar c^2}{nVl_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{P}} }^2\,\Delta\rho_{ \scriptscriptstyle{\text{qvE}} _0}^{}},
\end{equation*}
\notag
$$
где $n$ – число виртуальных частиц в рассматриваемом объеме, а $\Delta\rho_{ \scriptscriptstyle{\text{qvE}} _0}$ – изменение энергии КВ, вызывающее появление материи с массой покоя в ее “голом” состоянии. В основу процессов, связанных с трехмерным ДКВ, мы закладываем следующее обобщенное соотношение неопределенностей, которое справедливо на планковском масштабе:
$$
\begin{equation}
\Delta x\,\Delta p\geqslant\frac{\hbar}{2}\biggl(1+\beta l_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{P}} }^2\frac{\Delta\rho_{ \scriptscriptstyle{\text{qvE}} }^2\,V^2}{\hbar^2c^2}\biggr).
\end{equation}
\tag{11}
$$
Здесь параметр $\beta$ – изменяющаяся величина, присутствие которой отражает тот факт, что пространственно-временны́е флуктуации фиксируют минимальный масштаб длины только в среднем и могут быть ассоциированы с планковским масштабом на понятийном уровне аналогично тому, как это сделано в работах [28], [29]. Обобщенное соотношение неопределенностей (11) выводится непосредственно, если начать с операторов
$$
\begin{equation}
\widehat P_k^2=\biggl(1+\beta l_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{P}} }^2\frac{\Delta\rho_{ \scriptscriptstyle{\text{qvE}} }^2\,V^2}{\hbar^2c^2}\biggr)\hat p_k^{},\qquad \widehat X_j=\hat x_j^{}+O(\beta^2),
\end{equation}
\tag{12}
$$
где $\hat x_j$ и $\hat p_k$ удовлетворяют обычному гейзенберговскому соотношению неопределенностей. Тогда коммутатор операторов $\widehat X$ и $\widehat P$ имеет вид
$$
\begin{equation}
[\widehat X,\widehat P]=i\hbar\biggl(1+\beta l_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{P}} }^2\frac{\Delta\rho_{ \scriptscriptstyle{\text{qvE}} }^2\,V^2}{\hbar^2c^2}\biggr).
\end{equation}
\tag{13}
$$
Обобщенное соотношение неопределенностей (11) приводит к модифицированному соотношению де Бройля для виртуальных частиц трехмерного ДКВ:
$$
\begin{equation}
\vec p^{\,\prime}=\hbar\vec k+\frac{\hbar}{2}\biggl(1+\beta l_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{P}} }^2\frac{\Delta\rho_{ \scriptscriptstyle{\text{qvE}} }^2\,V^2}{\hbar^2c^2}\biggr)(\vec k'-\vec k).
\end{equation}
\tag{14}
$$
Оно вытекает из равенства
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \langle\vec x\kern1pt\vec x^{\,\prime}|\kern1pt\vec p\kern1pt\vec p^{\,\prime}\rangle&= \frac{1}{\sqrt{\pi\hbar(1+\beta l_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{P}} }^2\,\Delta\rho_{ \scriptscriptstyle{\text{qvE}} }^2\,V^2/\hbar^2c^2)\vphantom{\big|}}}\times{} \\ &\quad\times \exp\biggl\{i\hbar\vec p\cdot\vec x+ i\biggl[\frac{\hbar}{2}\biggl(1+\beta l_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{P}} }^2\frac{\Delta\rho_{ \scriptscriptstyle{\text{qvE}} }^2\,V^2}{\hbar^2c^2}\biggr)\biggr]^{-1} (\vec p^{\,\prime}-\vec p\,)\cdot(\vec x^{\prime}-\vec x\,)\biggl\}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
которое можно рассматривать как обобщение стандартного выражения для координатного представления собственных состояний импульса
$$
\begin{equation*}
\langle\vec x\kern1pt|\vec p\,\rangle=\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\,e^{\hbar\vec p\cdot\vec x}.
\end{equation*}
\notag
$$
В соотношении (14) $\vec k$ – обычный волновой вектор де Бройля, связанный с собственным состоянием импульса квантовой частицы в классическом фоновом пространстве, а член $\vec k^{\,\prime}-\vec k$ можно понимать как возможный “толчок” точки на фронте плоской волны вследствие перехода $\vec x\to\vec x^{\,\prime}$ в трехмерном ДКВ. В связи с обобщенным соотношением неопределенностей (11) можно дополнительно рассмотреть модифицированную версию уравнения Шредингера
$$
\begin{equation}
\widehat H|\Psi\rangle=i\biggl[\hbar+\frac{\hbar}{2}\biggl(1+\beta l_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{P}} }^2\frac{\Delta\rho_{ \scriptscriptstyle{\text{qvE}} }^2\,V^2}{\hbar^2c^2}\biggr)\biggr]|\Psi\rangle,
\end{equation}
\tag{15}
$$
которое непосредственно приводит к следующему варианту модифицированного соотношения между энергией и частотой де Бройля:
$$
\begin{equation}
E=\biggl[\hbar+\frac{\hbar}{2}\biggl(1+\beta l_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{P}} }^2\frac{\Delta\rho_{ \scriptscriptstyle{\text{qvE}} }^2\,V^2}{\hbar^2c^2}\biggr)\biggr]\omega.
\end{equation}
\tag{16}
$$
Таким образом, мы имеем модифицированное квантовое дисперсионное соотношение для свободных виртуальных частиц трехмерного ДКВ:
$$
\begin{equation*}
\omega=\biggl(\hbar k+\frac{\hbar}{2}\biggl(1+\beta l_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{P}} }^2\frac{\Delta\rho_{ \scriptscriptstyle{\text{qvE}} }^2\,V^2}{\hbar^2c^2}\biggr) (\vec k^{\,\prime}-\vec k)\biggr)^{\!\!2} \biggl(2\frac{\gamma M}{\sqrt{\alpha}}M_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{P}} } \biggl[\hbar+\frac{\hbar}{2}\biggl(1+\beta l_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{P}} }^2\frac{\Delta\rho_{ \scriptscriptstyle{\text{qvE}} }^2\,V^2}{\hbar^2c^2}\biggr)\biggr]\biggr)^{\!-1}.
\end{equation*}
\notag
$$
Кроме того, обобщенное соотношение неопределенностей (11) для трехмерного ДКВ позволяет обнаружить любопытную связь с темной энергией. В частности, принимая во внимание результаты, полученные в работе [30], можно показать, что виртуальные вторичные частицы трехмерного КВ, описывающиеся волновой функцией $\Psi$, на которой достигается нижняя граница произведения в соотношении неопределенностей (11), можно связать с плотностью энергии порядка наблюдаемой плотности энергии
$$
\begin{equation}
\rho_\Lambda=\frac{\Lambda c^2}{8\pi G}=10^{-30}\;\text{г}\cdot\text{см}^{-3},
\end{equation}
\tag{17}
$$
где $\Lambda=10^{-56}\;\text{см}^{-2}$ – космологическая постоянная. Рассматривая оптимальные значения неопределенностей координаты и импульса $(\Delta x')_{\mathrm{opt}}$ и $(\Delta p')_{\mathrm{opt}}$, минимизирующие произведение в (11), имеем
$$
\begin{equation}
(\Delta x')_{\mathrm{opt}}=l_\Lambda,\quad (\Delta p')_{\mathrm{opt}}=\frac{1}{2}m_\Lambda c,\qquad l_\Lambda\cong 0.1\;\text{мм},\quad m_\Lambda\cong 10^{-3}\;\text{эВ}.
\end{equation}
\tag{18}
$$
Опираясь на результаты работ [31], [32], учтем, что тела́ с $\rho\lesssim\rho_\Lambda$ обладают недостаточной собственной гравитацией для преодоления эффектов отталкивания темной энергии и, следовательно, плотность темной энергии – это минимальная плотность энергии, необходимая для обеспечения устойчивости тела. Также учтем, что в нашей модели трехмерного ДКВ действие темной энергии связано с флуктуациями плотности энергии соотношением (10). В результате получаем условие для переменной плотности энергии КВ, обеспечивающее устойчивость объекта:
$$
\begin{equation}
\Delta\rho_{ \scriptscriptstyle{\text{qvE}} }^{}\geqslant\frac{35GV^4}{2\pi\hbar^4c^8}(\Delta\rho_{ \scriptscriptstyle{\text{qvE}} }^{ \scriptscriptstyle{\text{DE}} })^6.
\end{equation}
\tag{19}
$$
Это неравенство показывает, в каком смысле флуктуации плотности темной энергии вакуума фиксируют минимальное значение плотности энергии КВ и тем самым обеспечивают устойчивость материального объекта.
3. От обобщенных соотношений неопределенностей к допланковским черным дырам. Единый подход к элементарным частицам и режиму черных дырВ этом разделе мы показываем, каким образом можно рассматривать обобщенное соотношение неопределенностей (11) для трехмерного ДКВ в качестве отправной точки для нового понимания режима черной дыры. Это может привести к объединению микрофизики элементарных частиц и макрофизики черных дыр, получающегося как следствие соответствующего поведения переменной плотности энергии КВ. Тем самым можно будет получить более общий ключ к пониманию так называемого соответствия с принципом неопределенностей для черных дыр [33], которое постулирует существование единого выражения для радиусов черных дыр и основополагающих частиц и по этой причине также называется соответствием Комптона–Шварцшильда [34]–[38]. Следуя работе [30], запишем обобщенную комптоновскую длину волны как
$$
\begin{equation}
R_{\mathrm{CS}}(m)=\frac{\hbar}{2mc}+\frac{2Gm}{c^2};
\end{equation}
\tag{20}
$$
это выражение верно при $m\leqslant M_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{P}} }$. Обобщенный горизонт событий, соответствующий радиусу частицы с массой выше планковской, а именно черной дыры, задается следующей формулой, которая также верна при $M\geqslant M_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{P}} }$:
$$
\begin{equation}
R_{\mathrm{CS}}(M)=\frac{2GM}{c^2}+\frac{\hbar}{2Mc}.
\end{equation}
\tag{21}
$$
Теперь в нашей модели трехмерного ДКВ более общая картина, в которой можно встроить в единую схему радиусы Комптона (20) и Шварцшильда (21), непосредственно получается из обобщенного соотношения неопределенностей (11). Фактически, следуя результатам работ [33], [34], [38], сделав в (11) замены $\Delta x\to R$ и $\Delta p\to \Delta\rho_{ \scriptscriptstyle{\text{qvE}} }\,V/c$ и опустив множитель 2, мы получаем
$$
\begin{equation}
R\geqslant\frac{\mathrm{\hbar c}}{\Delta\rho_{ \scriptscriptstyle{\text{qvE}} }\,V}\biggl(1+\beta l_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{P}} }^2\frac{\Delta\rho_{ \scriptscriptstyle{\text{qvE}} }^2\,V^2}{\hbar^2c^2}\biggr)=R_{\mathrm C}',
\end{equation}
\tag{22}
$$
при этом величину
$$
\begin{equation}
R_{\mathrm C}'=\frac{\mathrm{\hbar c}}{\Delta\rho_{ \scriptscriptstyle{\text{qvE}} }\,V}+\beta l_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{P}} }^2\frac{\Delta\rho_{ \scriptscriptstyle{\text{qvE}} }\,V}{\hbar c}
\end{equation}
\tag{23}
$$
можно рассматривать как обобщенную комптоновскую длину волны. Заметим, что, когда мы приближаемся к планковскому режиму, второе слагаемое в (23) является малой поправкой. Соотношение (22) также можно применять при $M\gg M_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{P}} }$, оно имеет важное значение для определения размера горизонта черной дыры: мы получаем
$$
\begin{equation}
R\geqslant R_{\mathrm S}'=\beta l_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{P}} }^2\frac{\Delta\rho_{ \scriptscriptstyle{\text{qvE}} }\,V}{\hbar c} \biggl(1+\frac{\hbar^2c^2}{\beta l_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{P}} }^2\,\Delta\rho_{ \scriptscriptstyle{\text{qvE}} }^2\,V^2}\biggr).
\end{equation}
\tag{24}
$$
Однако обобщенная комптоновская длина волны (23) получена при условии, что выражение для нее выводится на основе предположения о линейном сложении неопределенностей координаты и импульса, как это предписывается обобщенным соотношением неопределенностей (11). На самом деле эти неопределенности независимы, и поэтому естественно искать более общую формулу, чем (23). Следуя работе [39], можно ввести следующее квадратичное обобщение соотношения неопределенностей:
$$
\begin{equation}
\Delta x\geqslant \sqrt{\biggl(\frac{\hbar}{2\Delta p}\biggr)^{\!\!2}+\biggl(\beta l_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{P}} }^2\frac{\Delta\rho_{ \scriptscriptstyle{\text{qvE}} }^2\,V^2}{\hbar^2c^2\,\Delta p}\biggr)^{\!\!2}}.
\end{equation}
\tag{25}
$$
Неравенства (11) и (25) можно назвать линейной и квадратичной формами обобщенного соотношения неопределенностей для трехмерного ДКВ. Используя квадратичную формулировку (25), делая замену $\Delta p\to\Delta\rho_{ \scriptscriptstyle{\text{qvE}} }\,V/c$ и используя математическую технику, разработанную в [38], напрямую получаем следующее унифицированное выражение для обобщенной комптоновской длины волны и размера горизонта событий:
$$
\begin{equation}
R_{\mathrm C}'=R_{\mathrm S}'= \sqrt{\biggl(\frac{\beta\hbar c}{\Delta\rho_{ \scriptscriptstyle{\text{qvE}} }\,V}\biggr)^{\!\!2}+\biggl(\beta l_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{P}} }^2\frac{\Delta\rho_{ \scriptscriptstyle{\text{qvE}} }\,V}{\hbar c}\biggr)^{\!\!2}}.
\end{equation}
\tag{26}
$$
Его можно рассматривать как квадратичное обобщение соотношения (23), полученного из линейного соотношения неопределенностей. Физический смысл равенства (26) состоит в том, что базовые флуктуации энергии трехмерного ДКВ, ассоциированные с элементарными процессами рождения/уничтожения виртуальных частиц, влекут физическую связь между принципами неопределенностей на масштабе элементарных частиц и в режиме черных дыр в макрофизике. Более того, эта связь, определяемая виртуальными частицами трехмерного КВ, по-видимому, предполагает, что могут существовать допланковские черные дыры с размером порядка их комптоновской длины волны, и что происхождение этих допланковских объектов, превращающихся в черные дыры, объясняется как раз переменной плотностью энергии КВ, связанной с элементарными процессами рождения/уничтожения виртуальных частиц вакуума. Соотношение (26) приводит к следующим приближениям в пределах $M\ll M_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{P}} }$ и $M\gg M_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{P}} }$ соответственно:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, R_{\mathrm C}'&\approx\frac{\beta\hbar c}{\Delta\rho_{ \scriptscriptstyle{\text{qvE}} }\,V} \biggl[1+\frac{2}{\beta^2}\biggl(\frac{\Delta\rho_{ \scriptscriptstyle{\text{qvE}} }\,V}{c^2M_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{P}} }}\biggr)^{\!\!4\,}\biggr], \\ R_{\mathrm S}'&\approx\beta l_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{P}} }^2\frac{\Delta\rho_{ \scriptscriptstyle{\text{qvE}} }\,V}{\hbar c} \biggl[1+\frac{\beta^2}{8}\biggl(\frac{M_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{P}} }c^2}{\Delta\rho_{ \scriptscriptstyle{\text{qvE}} }\,V}\biggr)^{\!\!4\,}\biggr]. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{27}
$$
Эти приближения согласуются с результатами, полученными в работах [37], [38]. Соотношения (27), вытекающие непосредственно из единой формулы (26) для комптоновской длины волны и шварцшильдовского радиуса, явным образом связывают принципы неопределенностей на микроскопических масштабах и на макроскопических масштабах черных дыр. Таким образом, элементарные частицы и черные дыры можно рассматривать как две разные стороны одной монеты, одной и той же физической реальности, что является следствием специфического поведения флуктуаций трехмерного ДКВ. Другими словами, на основе математического формализма, представленного соотношениями (22)–(27), можно сказать, что на фундаментальном уровне трехмерного ДКВ существует масштаб, на котором комптоновская длина волны и шварцшильдовский радиус объединяются общим выражением. Поэтому микроскопические системы и макроскопический режим можно рассматривать как эмерджентные физические структуры, которые возникают из более элементарных объектов, а именно из механических объектов, которые одновременно обладают свойствами элементарных частиц и черных дыр. Это можно рассматривать как коллективное поведение переменной плотности энергии КВ. Мы можем назвать такие элементарные объекты “допланковскими черными дырами переменной плотности энергии в трехмерном ДКВ”. Таким образом, в этой картине мира мы можем сказать, что все черные дыры имеют полностью квантовую природу, а каждая субатомная частица может рассматриваться как нечто подобное черной дыре. Кроме того, связь между элементарными частицами и черными дырами на фундаментальном уровне трехмерного ДКВ может получить наводящую на размышления новую интерпретацию, если обратиться к некоторым результатам теории элементарных циклов (elementary cycles theory), разработанной Дольче в статьях [40], [41]. Эта теория обеспечивает единую формулировку релятивистской и квантовой физики, а также полностью геометро-динамическую формулировку калибровочных взаимодействий, в которой постулируется, что каждая изолированная элементарная составляющая природы (каждая элементарная частица) характеризуется постоянным внутренне ей присущим комптоновским периодом $T_{\mathrm C}=h/Mc^2$, где $M$ – масса частицы. В свете результатов теории элементарных циклов кажется логичным рассмотреть возможность того, что допланковские черные дыры переменной плотности энергии в трехмерном ДКВ характеризуются циклической внутренней комптоновской периодичностью, которая, таким образом, выступает как фундаментальный связующий элемент между аспектами теории частиц и теории черных дыр в отношении этих элементарных объектов трехмерного ДКВ. В частности, в нашем подходе периодичность по времени может быть определена из обобщенного соотношения неопределенностей между энергией и временем
$$
\begin{equation}
\Delta E\,\Delta t\geqslant\frac{\hbar}{2}\biggl(1+\beta l_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{P}} }^2\frac{\Delta\rho_{ \scriptscriptstyle{\text{qvE}} }^2\,V^2}{\hbar^2c^2}\biggr).
\end{equation}
\tag{28}
$$
Из соотношения (28) выводится следующий формализм для временно́й периодичности допланковских черных дыр переменной плотности энергии в трехмерном ДКВ:
$$
\begin{equation}
T_{\mathrm C}=\frac{\hbar}{2Mc^2}\biggl(1+\beta l_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{P}} }^2\frac{\Delta\rho_{ \scriptscriptstyle{\text{qvE}} }^2\,V^2}{\hbar^2c^2}\biggr),
\end{equation}
\tag{29}
$$
где $M$ – масса этих элементарных объектов. Тем самым в модели трехмерного ДКВ элементарная частица может рассматриваться как эмерджентный феномен, возникающий из допланковских черных дыр переменной плотности энергии в трехмерном ДКВ, который связан с элементарными часами, измеряющими комптоновский период, равенством
$$
\begin{equation}
M=\frac{\hbar}{2T_{\mathrm C}\,c^2}\biggl(1+\beta l_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{P}} }^2\frac{\Delta\rho_{ \scriptscriptstyle{\text{qvE}} }^2\,V^2}{\hbar^2c^2}\biggr).
\end{equation}
\tag{30}
$$
Что касается макроскопического режима черных дыр, то теперь можно исследовать свойства этих элементарных объектов (допланковских черных дыр переменной плотности энергии в трехмерном ДКВ), рассматривая массу Арновитта–Дезера–Мизнера как функцию плотности энергии,
$$
\begin{equation}
M_{\mathrm{ADM}}=\frac{\Delta\rho_{ \scriptscriptstyle{\text{qvE}} }\,V}{c^2}\biggl(1+\frac{\hbar^2c^2}{\beta l_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{P}} }^2\,\Delta\rho_{ \scriptscriptstyle{\text{qvE}} }^2\,V^2}\biggr).
\end{equation}
\tag{31}
$$
Это соотношение оказывается эквивалентным обобщенному соотношению неопределенностей (11), поскольку можно получить формулу
$$
\begin{equation}
\frac{2M_{\mathrm{ADM}}}{r}=\frac{2\Delta p}{c\Delta x},
\end{equation}
\tag{32}
$$
сделав подстановку
$$
\begin{equation}
\Delta p\to\Delta p+\frac{\hbar^2c^2}{l_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{P}} }^2\Delta p}.
\end{equation}
\tag{33}
$$
Масса Арновитта–Дезера–Мизнера (31) позволяет построить квантово-модифицированную метрику Шварцшильда вида где
$$
\begin{equation}
F(r)=1-\frac{2G\,\Delta\rho_{ \scriptscriptstyle{\text{qvE}} }^3V^3}{M_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{P}} }^2c^8r} \biggl(1+\frac{\hbar^2c^2}{\beta l_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{P}} }^2\,\Delta\rho_{ \scriptscriptstyle{\text{qvE}} }^2\,V^2}\biggr)
\end{equation}
\tag{35}
$$
и $d\Omega^2=d\theta^2+\sin^2\theta\,d\phi^2$ есть метрика на трехмерной сфере. Физический смысл метрики (34) с функцией (35) заключается в том, что она определяет формулу для радиуса горизонта
$$
\begin{equation}
r_{ \scriptscriptstyle{\text{H}} }^{}=R_{\mathrm S}'=\frac{2G\,\Delta\rho_{ \scriptscriptstyle{\text{qvE}} }^3V^3}{M_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{P}} }^2c^8} \biggl(1+\frac{\hbar^2c^2}{\beta l_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{P}} }^2\,\Delta\rho_{ \scriptscriptstyle{\text{qvE}} }^2\,V^2}\biggr),
\end{equation}
\tag{36}
$$
которая в различных областях значений плотности энергии КВ принимает вид
$$
\begin{equation}
r_{ \scriptscriptstyle{\text{H}} }\approx\begin{cases} \dfrac{2G\,\Delta\rho_{ \scriptscriptstyle{\text{qvE}} }^3V^3}{M_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{P}} }^2c^8}, &\Delta\rho_{ \scriptscriptstyle{\text{qvE}} }\,V\gg M_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{P}} }c^2, \\ \dfrac{2GM_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{P}} }}{c^2}\biggl(1+\dfrac{\hbar^2c^2}{\beta l_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{P}} }^2M_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{P}} }^2c^2}\biggr), & \Delta\rho_{ \scriptscriptstyle{\text{qvE}} }\,V\approx M_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{P}} }c^2,\vphantom{\bigg|^2} \\ \dfrac{2G\hbar^2}{\beta l_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{P}} }^2c^6}, & \Delta\rho_{ \scriptscriptstyle{\text{qvE}} }\,V\ll M_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{P}} }c^2.\vphantom{\bigg|^2} \end{cases}
\end{equation}
\tag{37}
$$
Выражение в первой строке (37), относящееся к запланковскому режиму, приводит к стандартному шварцшильдовскому радиусу. Промежуточное выражение, относящееся к транспланковскому пределу, дает минимум порядка $l_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{P}} }^{}$. Последнее выражение, относящееся к допланковскому режиму, можно связать с комптоновской длиной волны. Используя метрику (34), можно также исследовать термодинамику решения типа черных дыр в трех рассмотренных выше пределах (в запланковском, транспланковском и допланковском). В соответствии с работами [38], [42], считая, что температура определяется поверхностной гравитацией черной дыры [43], мы имеем следующие результаты:
$$
\begin{equation}
T=\frac{M_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{P}} }^2}{8\pi M_{\mathrm{ADM}}}\approx\begin{cases} \dfrac{M_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{P}} }c^2}{8\pi\Delta\rho_{ \scriptscriptstyle{\text{qvE}} }\,V[1-\beta(M_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{P}} }c^2/\Delta\rho_{ \scriptscriptstyle{\text{qvE}} }\,V)^2]}, & \Delta\rho_{ \scriptscriptstyle{\text{qvE}} }\,V\gg M_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{P}} }c^2, \\ \dfrac{M_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{P}} }}{8\pi[1+\beta/2]}, & \Delta\rho_{ \scriptscriptstyle{\text{qvE}} }\,V\approx M_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{P}} }c^2,\vphantom{\bigg|^2} \\ \dfrac{\Delta\rho_{ \scriptscriptstyle{\text{qvE}} }\,V}{4\pi\beta c^2[1-(\Delta\rho_{ \scriptscriptstyle{\text{qvE}} }\,V/M_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{P}} }c^2)^2/\beta]}, & \Delta\rho_{\mathrm{qv}E}V\ll M_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{P}} }c^2.\vphantom{\bigg|^2} \end{cases}
\end{equation}
\tag{38}
$$
Отсюда получаем, что предел больших $M=\Delta\rho_{ \scriptscriptstyle{\text{qvE}} }\,V/c^2$ соответствует обычной температуре Хокинга с небольшой поправкой. Наоборот, по мере испарения черной дыры температура достигает максимума, примерно равного $T_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{P}} }$, а затем уменьшается до нуля при $\Delta\rho_{ \scriptscriptstyle{\text{qvE}} }\,V/c^2\to 0$. Принимая во внимание результаты Карра [38], мы можем объяснить поведение температуры при $\Delta\rho_{ \scriptscriptstyle{\text{qvE}} }\,V\ll M_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{P}} }c^2$, предположив, что при стремлении к планковскому масштабу затухающая черная дыра может со временем перейти в ($1+1$)-мерную дилатонную черную дыру, поскольку это естественным образом кодирует член $1/\Delta\rho_{ \scriptscriptstyle{\text{qvE}} }\,V$ в ее гравитационном радиусе. Кроме того, если температура задается формулой (38), то можно обычным способом рассчитать энтропию черной дыры:
$$
\begin{equation}
S=\int_{M_0}^{M}\frac{dM'}{T(M')}=4\pi k\biggl(\frac{M^2}{M_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{P}} }^2}-\frac{M_0^2}{M_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{P}} }^2}+q\ln\frac{M}{M_0}\biggr),
\end{equation}
\tag{39}
$$
где $M=\Delta\rho_{ \scriptscriptstyle{\text{qvE}} }\,V/c^2$ есть масса рассматриваемой черной дыры, $M_0<M_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{P}} }$ задает некоторую нижнюю границу интегрирования. Аналогично работам [44], [45] наличие логарифмической поправки в выражении (39) согласуется с энтропией ($1+1$)-мерного шварцшильдовского пространства-времени, а также с представлением о том, что ($1+1$)-мерные черные дыры естественным образом являются квантовыми объектами в силу зависимости $r_{ \scriptscriptstyle{\text{H}} }$ от $\Delta\rho_{ \scriptscriptstyle{\text{qvE}} }$. Это находится в соответствии с не зависящей от модели характеристикой, которая возникает в различных подходах к квантовой гравитации, например в теории струн [46], петлевой квантовой гравитации [47], самополной ультрафиолетовой гравитации [48]. Теперь, исходя из температуры черной дыры (37), найдем светимость черной дыры:
$$
\begin{equation}
L=\frac{M_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{P}} }^3}{t_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{P}} }}M^{-2}\frac{c^{-4}}{(\Delta\rho_{ \scriptscriptstyle{\text{qvE}} })^{-2}V^{-2}}M_{\mathrm{ADM}}^{-2}.
\end{equation}
\tag{40}
$$
Хотя черная дыра теряет массу на временно́м масштабе
$$
\begin{equation}
\tau=\frac{t_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{P}} }}{M_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{P}} }^3}M^3\biggl(\frac{c^2}{\Delta\rho_{ \scriptscriptstyle{\text{qvE}} }\,V}M_{\mathrm{ADM}}\biggr)^{\!\!2},
\end{equation}
\tag{41}
$$
наша модель подразумевает, что черная дыра никогда полностью не испаряется, потому что скорость потери массы уменьшается, когда $M$ падает ниже $M_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{P}} }$. Однако есть два значения $M$, которые связаны со временем $\tau$, сравнимым с возрастом Вселенной ($t_0=10^{17}\;\text{с}$), а именно запланковская масса
$$
\begin{equation}
M_*\sim\biggl(\frac{t_0}{t_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{P}} }}\biggr)^{\!1/3}M_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{P}} }=10^{15}\;\text{г}
\end{equation}
\tag{42}
$$
и допланковская масса
$$
\begin{equation}
M_{**}\sim\beta^2\frac{t_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{P}} }}{t_0}M_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{P}} }=10^{-65}\;\text{г}.
\end{equation}
\tag{43}
$$
Масса $M_*$ – это стандартная масса первоначальной черной дыры, которая в современную эпоху испаряется. Масса $M_{**}$ задает нижнюю границу интегрирования в формуле (39), $M_{**}=M_0$. Реально масса не может достичь значения $M_{**}$ в современную эпоху из-за действия космического микроволнового фона (КМФ). Это происходит из-за того, что температура черной дыры лежит ниже температуры КМФ $T_{\mathrm{CMB}}$, и испарение подавляется, когда масса ниже зависящей от эпохи массы
$$
\begin{equation}
M_{\mathrm{CMB}}=10^{-36}\biggl(\frac{T_{\mathrm{CMB}}}{3\,\text{K}}\biggr)\;\text{г}.
\end{equation}
\tag{44}
$$
Величина $M_{\mathrm{CMB}}$ задает значение, при котором замораживается первоначальная черная дыра, что приводит к эффективно стабильным реликтам, связанным с пертурбативными флуктуациями плотности энергии КВ, имитирующими действие темной материи. Отметим, что масса $M_*$ соответствует радиусу черной дыры $r_{ \scriptscriptstyle{\text{H}} }=10^{-13}\;\text{см}$ и температуре $T=10^{12}\;\text{К}$, а масса $M_{**}$ – радиусу $r_{ \scriptscriptstyle{\text{H}} }=(t_0/t_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{P}} })l_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{P}} }=10^{60}l_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{P}} }=10^{27}\;\text{см}$ и температуре $T=10^{-28}\;\text{К}$, и эти величины отвечают текущему размеру космологического горизонта и температуре Хокинга для черной дыры с массой Вселенной. Достоинство нашей модели заключается в том, что мы получаем эти результаты как следствия специфического поведения более фундаментальных флуктуаций плотности энергии КВ. 4. От обобщенных соотношений неопределенностей к энергии Казимира и космологическим черным дырамОдним из самых выдающихся следствий ненулевой энергии вакуума, предсказанной квантовой теорией поля, безусловно, является эффект Казимира – существование определенной силы между макроскопическими телами, которую можно измерить, такой, например, как сила, вызывающая притяжение между двумя идеально отражающими пластинами. Эффекту Казимира, на который, как оказалось, влияют все поля КВ, в последнее время уделяется большое внимание в самых разнообразных областях. В частности, в работе [49] изучалось влияние на эффект Казимира гравитационного поля вакуума в плоском пространстве-времени, и была выведена формула типа Лифшица для гравитонного эффекта Казимира в реальных телах при нулевой температуре. В этом разделе мы показываем, как наш подход трехмерного ДКВ, метрика которого характеризуется обобщенным соотношением неопределенностей (11), может пролить новый свет на единое понимание эффекта Казимира и космологических кротовых нор между двумя удаленными областями Вселенной, существование которых предсказано уравнениями общей теории относительности Эйнштейна. В связи с таким объединением эффекта Казимира и космологических кротовых нор в пионерской работе Сордже [50] изучалось влияние неинерционных эффектов и геометрии пространства-времени на плотность энергии вакуума немассивного скалярного поля в небольшой полости Казимира, вращающейся вокруг чревоточины Эллиса–Торна [51]. Кроме того, в недавней работе [52] в рамках космологической модели с изотропной формой чревоточины Морриса–Торна, лежащей во Вселенной Фридмана–Леметра–Робертсона–Уокера, были проанализированы изменения плотности энергии КВ безмассового скалярного поля внутри аппарата Казимира, вращающегося вокруг чревоточины. Авторы исследовали влияние глобальной кривизны Вселенной и ее масштабного фактора на плотность энергии Казимира и обнаружили, что плотность энергии Казимира выше в гиперболической Вселенной, ниже в сферической и является промежуточной в плоской Вселенной. При этом разница между значениями плотностей энергии тем больше, чем дальше пластины от горловины черной дыры. С другой стороны, в работе Сордже и Вильсона [53] было обнаружено, что наблюдатель, движущийся вместе с полостью Казимира, которая свободно падает в шварцшильдовскую черную дыру, регистрирует небольшое уменьшение (абсолютного) значения (отрицательной) энергии Казимира по мере того, как вследствие изменяющейся геометрии пространства-времени приближается горизонт черной дыры. Авторы работы [53] работали в координатах Леметра, в которых метрика Шваршильда принимает вид
$$
\begin{equation}
ds^2=d\tau^2-\frac{r_{\mathrm g}}{r(\tau,\rho)}\,d\rho^2- r^2(\tau,\rho)\,d\Omega^2.
\end{equation}
\tag{45}
$$
Здесь $r_{\mathrm g}$ – шварцшильдовский радиус и вблизи горизонта черной дыры
$$
\begin{equation}
r(\tau,\rho_0)=r_{\mathrm g}\biggl(1-\frac{3\tau}{2r_{\mathrm g}}\biggr)^{\!\!2/3};
\end{equation}
\tag{46}
$$
это задает свободно падающую частицу (полость Казимира), траектория которой пересекает горизонт при $\tau=0$. Было найдено, что полная плотность энергии Казимира (измеряемая сопутствующим наблюдателем) внутри небольшой полости размера $L$, свободно падающей в шварцшильдовскую черную дыру, состоит из двух частей: статического вклада
$$
\begin{equation}
\epsilon_{\scriptscriptstyle\mathrm{C,static}}=-\frac{\pi^2}{1440L^4},
\end{equation}
\tag{47}
$$
который связан с поляризацией вакуума, и динамического вклада, который происходит из зависящего от времени фонового квантового поля и приводит к рождению частиц внутри полости Казимира,
$$
\begin{equation}
\epsilon_{\scriptscriptstyle\mathrm{C,dynamical}}=\frac{1}{384L^2}\frac{\xi^2}{(1-\xi\tau)^2},\qquad \xi=\frac{3c}{2r_{\mathrm g}}.
\end{equation}
\tag{48}
$$
Однако этот подход нельзя считать общим, его ограниченность состоит в том, что не учитывалась конечность пластин Казимира, поскольку в работе [53] предполагалось, что $L\ll\sqrt{A}\ll r_{\mathrm g}$, где $A$ – площадь пластин. Такое предположение выполнено в любом реалистичном сценарии, где гравитационный радиус черной дыры, несомненно, на много порядков превышает размер полости. Однако в фундаментальной теории, работающей на планковском масштабе и, следовательно, включающей планковские черные дыры, уравнения (45)–(48) нуждаются в обобщении (фактически в этих ситуациях будут доминировать приливные эффекты, связанные с анизотропией распределения плотности энергии вакуума внутри полости). В нашем подходе к трехмерному ДКВ, чтобы найти обобщение формализма работы [53], мы начинаем с обычного обобщенного расширенного соотношения неопределенностей (11), которое мы теперь записываем в эквивалентном виде
$$
\begin{equation}
\Delta x\,\Delta E\geqslant\frac{\hbar c}{2}\biggl(1+\beta l_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{P}} }^2\frac{{\Delta E}_{ \scriptscriptstyle{\text{qvE}} }^2}{\hbar^2}\biggr).
\end{equation}
\tag{49}
$$
Исследуем, каким образом соотношение (49) приводит к поправкам к энергии Казимира по сравнению со стандартным предсказанием квантовой теории поля (в простом случае трехмерной геометрии двух параллельных пластин, отстоящих друг от друга на расстояние $d\ll L$, где $L$ – длина стороны пластин). Решая уравнение (49) относительно $\Delta E$, получаем
$$
\begin{equation}
\Delta E=\frac{\hbar^2\,\Delta x}{l_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{P}} }^2c\beta}\biggl[1\pm\sqrt{1-\beta\biggl(\frac{\hbar c}{\Delta x}\frac{l_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{P}} }^2}{\hbar^2}\biggr)^{\!\!2\,}}\,\biggr],
\end{equation}
\tag{50}
$$
где необходимо рассматривать только отрицательное решение, чтобы получить согласованный результат при бесконечно малой $\beta$. После разложения до первого порядка по $\beta$ находим
$$
\begin{equation}
\Delta E=\frac{\hbar c}{2\Delta x}\biggl[1+\frac{\beta}{4}\biggl(\frac{\hbar c}{\Delta x}\frac{l_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{P}} }^2}{\hbar^2}\biggr)^{\!\!2\,}\biggr].
\end{equation}
\tag{51}
$$
Если теперь пренебречь фотонами, пришедшими с расстояний, превышающих значение $r_{\mathrm e}$ (эффективное расстояние, далее которого фотоны имеют пренебрежимо малую вероятность достичь пластины), естественно считать, что неопределенность координаты $\Delta x$ одиночного фотона имеет порядок $r_{\mathrm e}$ и, следовательно, порядок расстояния $d$ между пластинами. Здесь мы учли соотношение $r_{\mathrm e}\cong 2.6d$, которое следует из гейзенберговского принципа неопределенностей. Тогда, делая в (49) замену $\Delta x\cong 2.6d$, получаем вклад в энергию Казимира в данной точке:
$$
\begin{equation}
|\Delta E(d)|\cong 0.2\frac{\hbar c}{d}\biggl[1+0.04\beta\biggl(\frac{\hbar c}{d}\frac{l_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{P}} }^2}{\hbar^2}\biggr)^{\!\!2\,}\biggr].
\end{equation}
\tag{52}
$$
В пределе $\beta\to 0$ это согласуется с равенством получающимся из стандартного гейзенберговского соотношения неопределенностей в случае одного пространственного измерения. Таким образом, выражение (52) можно рассматривать как обобщение формулы для энергии Казимира, получающееся в модели трехмерного ДКВ, основанной на обобщенном соотношении неопределенностей (11). Согласованность в пределе $\beta\to 0$ энергии Казимира (52) (полученной в контексте обобщенного соотношения неопределенностей (49)) со стандартной формулой энергии Казимира, хотя и не обеспечивает реальной проверки формулы (52), но несомненно может рассматриваться как важный факт в поддержку физической непротиворечивости модели трехмерного ДКВ. С другой стороны, если говорить о роли параметра $\beta$, важно отметить, что, хотя чрезвычайно сложно напрямую наблюдать, как влияет обобщенный принцип неопределенностей на силу Казимира, эксперименты, подобные упомянутым в работах [54], [55], могут позволить фиксировать верхнюю границу минимальной длины $\Delta x_{\min}=\sqrt{\beta}l_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{P}} }$ или, другими словами, параметра $\beta$. Это добавляет новую информацию к проблеме нахождения поправок к энергии Казимира в рамках подходов, включающих минимальную длину, которые опираются на обобщенные соотношения неопределенностей, а также может помочь проверить квантовую теорию поля на планковском масштабе как с теоретической, так и с экспериментальной точки зрения. Далее мы предлагаем обобщение модели Сордже–Вильсона, в котором учитываются особенности допланковских черных дыр и их влияние на плотность энергии Казимира. В связи с этим рассмотрим обычную полость Казимира, свободно падающую из пространственной бесконечности, и будем считать, что часы сопутствующего наблюдателя настроены так, чтобы собственное время $\tau$ было равно нулю, когда радиальная координата полости совпадает с радиусом горизонта $r_{ \scriptscriptstyle{\text{H}} }$. Мы используем квантово-модифицированную метрику Шварцшильда в координатах Леметра $\{\tau,\rho,\theta,\phi\}$, в которой свободно падающее пробное тело имеет постоянное значение $\rho_0$ радиальной координаты $\rho$:
$$
\begin{equation}
ds^2=d\tau^2-\frac{r_{ \scriptscriptstyle{\text{H}} }}{r(\tau)}\,d\rho^2-r^2(\tau)\,d\Omega^2,\qquad r(\tau)=r_{ \scriptscriptstyle{\text{H}} }\biggl(1-\frac{3\tau}{2r_{ \scriptscriptstyle{\text{H}} }}\biggr)^{\!2/3},
\end{equation}
\tag{54}
$$
где радиус горизонта $r_{ \scriptscriptstyle{\text{H}} }$ определяется формулой (36). Флуктуации КВ, задающие вращение полости аппарата Казимира по орбите вокруг черной дыры, связаны с безмассовым скалярным полем $\varphi(x^\mu)$. Это поле на пластинах подчиняется граничным условиям Дирихле
$$
\begin{equation}
\varphi(\tau,x,\vec x_\bot)\big|_{x=0}=\varphi(\tau,x,\vec x_\bot)\big|_{x=L}=0
\end{equation}
\tag{55}
$$
и, если применить условие минимальности взаимодействия, удовлетворяет уравнению Клейна–Гордона
$$
\begin{equation}
\biggl[\eta^{bc}\partial_b\partial_c+\frac{1}{4}\frac{\zeta^2}{(1-\zeta\tau)^2}\biggr]\varphi=0,\qquad \zeta=\frac{3c}{2r_{ \scriptscriptstyle{\text{H}} }}.
\end{equation}
\tag{56}
$$
Используя методы, разработанные в работе [53], мы ищем решение уравнения (55) в виде
$$
\begin{equation}
\varphi(x^a)=e^{i\vec k_\bot\cdot\vec x_\bot}\sin\biggl(\frac{n\pi}{L}x\biggr)\chi(\tau).
\end{equation}
\tag{57}
$$
Подставляя это выражение в уравнение (56), получаем следующее уравнение для функции $\chi(\tau)$ от собственного (локального) времени:
$$
\begin{equation}
\biggl[\partial_{\tau}^2+\omega_k^2+\frac{1}{4}\frac{\zeta^2}{(1-\zeta\tau)^2}\biggr]\chi=0.
\end{equation}
\tag{58}
$$
Решение $\chi$ этого уравнения выражается через функции Ханкеля второго рода,
$$
\begin{equation}
\chi_k(\tau)=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi}{\zeta}(1-\zeta\tau)}H_0^{(1)}\biggl(\frac{\omega_k}{\zeta}(1-\zeta\tau)\biggr),
\end{equation}
\tag{59}
$$
и это решение при $\tau\to-\infty$ ведет себя так же, как решение в пространстве Минковского, а когда полость пространственно удалена на бесконечность от черной дыры, имеет асимптотику
$$
\begin{equation}
\chi_k(\tau)=\frac{1}{\sqrt{2\omega_k}}\,e^{-i\omega\tau}\quad\text{при}\quad \tau\to-\infty.
\end{equation}
\tag{60}
$$
Аналогично работе [53] в данном случае эффект Казимира внутри небольшой полости, свободно падающей в шварцшильдовскую черную дыру, можно получить из вещественной части действия, отвечающего уравнению (56):
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, W_{ \scriptscriptstyle{\text{H}} }(\nu)&=\frac{(-i)^\nu A\pi^{3/2}}{16L^3}\times{} \nonumber\\ &\quad\times\sum_k\zeta^{2k} 2^k a_k\biggl(\frac{L}{\pi}\biggr)^{\!2(\nu+k)}\!\! \int_{-\infty}^{T}\frac{d\tau}{(1-\zeta\tau)^{2k}}\Gamma\biggl(\nu-\frac{3}{2}+k\biggr)\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2\nu-3+2k}}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{61}
$$
где
$$
\begin{equation*}
a_0=1,\qquad a_k=\frac{1}{k!\,8^k}\bigl[(-1)^2(-3)^2\ldots(-(2k-1)^2)\bigr],\quad k\geqslant 1.
\end{equation*}
\notag
$$
В пределе $\nu\to 0$ мы имеем
$$
\begin{equation}
\langle\epsilon_{ \scriptscriptstyle{\text{Cas}} }\rangle=-\lim_{\nu\to 0}\frac{1}{AL}\frac{\partial}{\partial\tau}\operatorname{Re}W(\nu).
\end{equation}
\tag{62}
$$
После разложения по степеням параметра $\beta$ получаем
$$
\begin{equation}
\langle\epsilon_{ \scriptscriptstyle{\text{Cas}} }\rangle=-\frac{\pi^{3/2}}{16L^4} \sum_{k=0}^{\infty}\frac{2^k\zeta^{2k}a_k}{(1-\zeta\tau)^{2k}}\biggl(\frac{L}{\pi}\biggr)^{\!2(\nu+ k)} \Gamma\biggl(-\frac{3}{2}+k\biggr)\varsigma(-3+2k),
\end{equation}
\tag{63}
$$
откуда
$$
\begin{equation}
\langle\epsilon_{ \scriptscriptstyle{\text{Cas}} }\rangle=-\frac{\pi^2}{1440L^4}+\frac{1}{384L^2}\frac{\zeta^2}{(1-\zeta\tau)^2}+O(\zeta^4).
\end{equation}
\tag{64}
$$
При пересечении горизонта, т. е. при $\tau\to 0^{-}$, имеем
$$
\begin{equation}
\langle\epsilon_{ \scriptscriptstyle{\text{Cas}} }\rangle_{\scriptscriptstyle\mathrm{H}}= -\frac{\pi^2}{1440L^4}\biggl[1-\frac{135}{16\pi^2}\biggl(\frac{L}{r_{ \scriptscriptstyle{\text{H}} }}\biggr)^{\!\!2\,}\biggr].
\end{equation}
\tag{65}
$$
Выражение (64) показывает, как изменяются поправки к плотности энергии Казимира в зависимости от собственного времени по мере приближения полости к горизонту черной дыры, как в адиабатическом режиме (когда собственное время удовлетворяет условию $\Delta\tau\gg L$), так и при выполнении условия $\Delta\tau<L$ (когда доминирующую роль играют динамические эффекты фона трехмерного ДКВ, порожденные коллективным поведением виртуальной частицы-античастицы). Физический смысл выражения (64) заключается в том, что небольшое уменьшение (абсолютного) значения (отрицательной) энергии Казимира, измеряемой сопутствующим наблюдателем вблизи горизонта черной дыры, связано с коллективным поведением виртуальных частиц трехмерного ДКВ посредством зависимости размера горизонта от переменной плотности энергии КВ (36). В частности, на основе уравнения (37) получаются следующие выражения для энергии Казимира в точке пересечения горизонта при различных значениях плотности энергии:
$$
\begin{equation}
\langle\epsilon_{ \scriptscriptstyle{\text{Cas}} }\rangle_{\scriptscriptstyle\mathrm{H}}=\begin{cases} -\dfrac{\pi^2}{1440L^4} \biggl[1-\dfrac{135}{32\pi^2} \biggl(\dfrac{Lc^8M_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{P}} }^2}{G\,\Delta\rho_{ \scriptscriptstyle{\text{qvE}} }^3V^3}\biggr)^{\!\!2\,}\biggr], &\Delta\rho_{ \scriptscriptstyle{\text{qvE}} }\,V\gg M_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{P}} }c^2, \\ -\dfrac{\pi^2}{1440L^4} \biggl[1-\dfrac{135}{8\pi^2} \biggl[\dfrac{LGM_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{P}} }}{c^2}\biggl(1+\dfrac{\hbar^2c^2}{\beta l_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{P}} }^2M_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{P}} }^2c^2}\biggr)\biggr]^{\!2\,}\biggr], &\Delta\rho_{ \scriptscriptstyle{\text{qvE}} }\,V\approx M_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{P}} }c^2,\vphantom{\bigg|^{\big|}} \\ -\dfrac{\pi^2}{1440L^4} \biggl[1-\dfrac{135}{8\pi^2}\biggl(\dfrac{LG\hbar^2}{\beta l_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{P}} }^2c^6}\biggr)^{\!\!2\,}\biggr], &\Delta\rho_{ \scriptscriptstyle{\text{qvE}} }\,V\ll M_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{P}} }c^2.\vphantom{\bigg|^{\big|}} \end{cases}
\end{equation}
\tag{66}
$$
Таким образом, на основе соотношений (49)–(66) можно утверждать, что наблюдаемое небольшое снижение статического значения энергии Казимира вызвано коллективным поведением пар виртуальных частиц фона трехмерного ДКВ. Это вносит характерные поправки в различные режимы переменной плотности КВ (запланковский, транспланковский и допланковский пределы). Данный результат оказывается согласованным с подходом Сордже [50], [53], согласно которому небольшое уменьшение значения энергии Казимира связано с явлениями рождения частиц внутри полости Казимира. Однако наша модель может выйти за рамки результатов Сордже, поскольку она предлагает более общий сценарий, способный объяснить происходящие процессы. Наша модель дает более глубокое объяснение происхождения этой энергетической поправки в терминах более фундаментальных базовых понятий, а также способна работать с планковскими черными дырами, в которых доминирующими могут быть приливные эффекты, связанные с анизотропией распределения плотности энергии вакуума внутри полости. Во второй части этого раздела проанализируем, как связан этот анализ эффекта Казимира в модели трехмерного ДКВ с космологическими кротовыми норами. Мы сосредоточим свое внимание на кротовых норах в метрике типа шварцшильдовской с нулевыми приливными силами, записанной в изотропных координатах, и вычислим угловые скорости, а также радиусы орбит, разрешенных в полости Казимира с параллельными пластинами при нулевой температуре. Следуя подходу работы [56], запишем выражение для изотропной метрики проходимой кротовой норы в шварцшильдовских координатах:
$$
\begin{equation}
ds^2=dt^2-\frac{(r/b_0)^{2(\sqrt{1-\beta}-1)}}{(1-\beta)^2} \biggl[1+\frac{1-\beta}{4(r/b_0)^{\sqrt{1-\beta}}}\biggr]^{4\,}[dr^2-r^2(d\theta^2+\sin^2\theta\,d\phi^2)],
\end{equation}
\tag{67}
$$
где $b_0$ — радиус горловины кротовой норы, $\beta$ – свободный параметр, характеризующий объект. Метрика (67) получается из стандартной метрики
$$
\begin{equation}
d\sigma^2=F^2(r)[dr^2- r^2(d\theta^2+\sin^2\theta\,d\phi^2)]= \frac{d\rho^2}{(1-\beta)(1-b_0/\rho)}+\rho^2(d\theta^2+\sin^2\theta\,\phi^2),
\end{equation}
\tag{68}
$$
что дает следующий вид функции $F(r)$:
$$
\begin{equation}
F(r)=\frac{(r/b_0)^{\sqrt{1-\beta}-1}}{1-\beta}\biggl[1+\frac{1-\beta}{4(r/b_0)^{\sqrt{1-\beta}}}\biggr]^2.
\end{equation}
\tag{69}
$$
В нашем подходе трехмерного ДКВ мы можем предположить, что происхождение параметров, характеризующих геометрию кротовой норы, в конечном итоге связано с конкретными более фундаментальными свойствами фона. Другими словами, здесь мы рассматриваем возможность того, что радиус горловины кротовой норы определяется соответствующими флуктуациями $\Delta\rho_{ \scriptscriptstyle{\text{wh}} }$ плотности энергии КВ на основе первого выражения в (37), а именно
$$
\begin{equation}
b_0=\frac{2G\,\Delta\rho_{ \scriptscriptstyle{\text{wh}} }^3\,V^3}{c^8M_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{P}} }^2},
\end{equation}
\tag{70}
$$
и что параметр $\beta$ можно приравнять к переменной величине, управляющей планковским масштабом, которая появляется в обобщенном соотношении неопределенностей. Таким образом, подставляя (70) в (67), получаем изотропную форму проходимой кротовой норы в шварцшильдовских координатах:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, ds^2=dt^2-{}&\frac{(rc^8M_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{P}} }^2/2G\,\Delta\rho_{ \scriptscriptstyle{\text{wh}} }^3\,V^3)^{2(\sqrt{1-\beta}-1)}}{(1-\beta)^2}\times{} \nonumber\\ &\times \biggl[1+\frac{1-\beta}{4(rc^8M_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{P}} }^2/2G\,\Delta\rho_{ \scriptscriptstyle{\text{wh}} }^3\,V^3)^{\sqrt{1-\beta}}}\biggr]^4 \bigl[dr^2-r^2(d\theta^2+\sin^2\theta\,d\phi^2)\bigr]. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{71}
$$
Теперь, имея данную метрику, мы можем исследовать условия, при которых аппарат Казимира может двигаться по круговой траектории вокруг кротовой норы типа шварцшильдовской в экваториальной плоскости. В результате, следуя методам, разработанным в [54], получаем следующее выражение для угловой скорости материальной частицы:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \Omega&=\frac{\sqrt{\gamma^2-1}}{\gamma} \frac{1-\beta}{(2G\,\Delta\rho_{ \scriptscriptstyle{\text{wh}} }^3\,V^3/c^8M_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{P}} }^2)(rc^8M_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{P}} }^2/2G\,\Delta\rho_{ \scriptscriptstyle{\text{wh}} }^3\,V^3)^{\sqrt{1-\beta}}}\times{} \nonumber\\ &\quad\times \biggl[1+\frac{1-\beta}{4(rc^8M_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{P}} }^2/2G\,\Delta\rho_{ \scriptscriptstyle{\text{wh}} }^3\,V^3)^{\sqrt{1-\beta}}}\biggr]^{-2}\leqslant\Omega_{\max}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{72}
$$
где $\gamma=E/m$ есть энергия на единицу массы частицы, $\Omega_{\max}$ – максимально допустимая угловая скорость (в точности соответствующая скорости безмассовых частиц). Аналогичным образом можно найти радиус круговой орбиты
$$
\begin{equation}
r=\frac{2G\,\Delta\rho_{ \scriptscriptstyle{\text{wh}} }^3\,V^3}{c^8M_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{P}} }^2} \biggl[\frac{1-\beta}{2} \biggl(\lambda\frac{c^8M_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{P}} }^2}{2G\,\Delta\rho_{ \scriptscriptstyle{\text{wh}} }^3\,V^3\sqrt{\gamma^2-1}}-\frac{1}{2}\biggr)\pm\sqrt{\mathcal D}\biggl)\biggr]^{1/\sqrt{1-\beta}},
\end{equation}
\tag{73}
$$
где $\lambda=L/m=\gamma\Omega r^2F^2(r)$ есть угловой момент на единицу массы и для краткости введено обозначение
$$
\begin{equation}
\mathcal D=\lambda\frac{c^8M_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{P}} }^2}{2G\,\Delta\rho_{ \scriptscriptstyle{\text{qvE}} }\,V} \biggl(\lambda\frac{c^8M_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{P}} }^2}{2G\,\Delta\rho_{ \scriptscriptstyle{\text{wh}} }^3\,V^3(\gamma^2-1)}-\frac{1}{\sqrt{\gamma-1}}\biggr).
\end{equation}
\tag{74}
$$
Из соотношений (72) и (73), (74) следует, что круговые орбиты возможны, если
$$
\begin{equation*}
\lambda\geqslant\frac{2G\,\Delta\rho_{ \scriptscriptstyle{\text{wh}} }^3\,V^3}{c^8M_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{P}} }^2}\sqrt{\gamma^2-1}.
\end{equation*}
\notag
$$
В пределе $\gamma\to\infty$ из соотношений (73), (74) получаем радиус светового луча
$$
\begin{equation}
r=\frac{2G\,\Delta\rho_{ \scriptscriptstyle{\text{wh}} }^3\,V^3}{c^8M_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{P}} }^2}\biggl(-\frac{1-\beta}{4}\biggr)^{\!1/\sqrt{1-\beta}},
\end{equation}
\tag{75}
$$
который является вещественным и положительным, если $1/\sqrt{1-\beta}=2n$ для какого-либо целого $n$. Следовательно, кротовые норы, удерживающие вокруг себя фотонные сферы, характеризуются условием $\beta=1-1/4n^2$. Физический смысл этого условия заключается в том, что фотонные сферы в кротовых норах существуют только при квантованных значениях параметра $\beta$, входящего в обобщенное соотношение неопределенностей (49). Получаем, что с учетом (75) радиус фотонной сферы равен
$$
\begin{equation}
r=\frac{2G\,\Delta\rho_{ \scriptscriptstyle{\text{wh}} }^3\,V^3}{c^8M_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{P}} }^2}\biggl(\frac{1}{4n}\biggr)^{\!4n},
\end{equation}
\tag{76}
$$
и он всегда меньше радиуса кротовой норы (70). Для круговых орбит рассмотрим эффективный потенциал на единицу массы Он имеет локальный максимум в точке
$$
\begin{equation}
\bar r=\frac{2G\,\Delta\rho_{ \scriptscriptstyle{\text{wh}} }^3\,V^3}{c^8M_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{P}} }^2}\biggl(\frac{1-\beta}{4}\biggr)^{\!1/\sqrt{1-\beta}}.
\end{equation}
\tag{78}
$$
Если $\beta\leqslant-3$, это приводит к неустойчивым круговым геодезическим орбитам, находящимся в горловине кротовой норы и за ее пределами, при
$$
\begin{equation}
r\geqslant\frac{2G\,\Delta\rho_{ \scriptscriptstyle{\text{wh}} }^3\,V^3}{c^8M_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{P}} }^2}.
\end{equation}
\tag{79}
$$
Теперь, когда нам известны возможные круговые траектории полости Казимира, рассмотрим флуктуации КВ безмассового скалярного поля $\varphi(x^\mu)$, локализованного во вращающемся по орбите аппарате, с минимальным взаимодействием в сопутствующей вращающейся системе координат. Изучим флуктуации этого КВ в метрике (71). Следуя подходу Сордже, найдем решение уравнения Клейна–Гордона
$$
\begin{equation}
\frac{1}{\sqrt{-\hat g}}\,\partial_\mu\bigl[\sqrt{-\hat g}\hat g^{\mu\nu}\,\partial_{\nu}\varphi(x)\bigr]+\xi R(x)\varphi(x)=0,
\end{equation}
\tag{80}
$$
где $R(x)$ – скаляр Риччи, $\xi$ – константа связи, $\hat g^{\mu\nu}$ – обратный к метрическому тензору и $\hat g$ – его определитель. Будем считать, что на пластинах заданы граничные условия Дирихле. Предположим, что пластины вращаются вокруг кротовой норы и отстоят от нее на собственное расстояние $L$ в системе отсчета сопутствующего наблюдателя. Пренебрежем приливными эффектами внутри полости, т. е. используем приближение
$$
\begin{equation*}
L\ll\sqrt{S}\ll\frac{2G\,\Delta\rho_{ \scriptscriptstyle{\text{wh}} }^3\,V^3}{c^8M_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{P}} }^2}\leqslant r,
\end{equation*}
\notag
$$
где $S$ – площадь каждой пластины. Применим регуляризацию математического ожидания флуктуаций плотности энергии КВ и в результате получим следующее выражение для энергии Казимира между пластинами:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \langle\epsilon_{ \scriptscriptstyle{\text{Cas}} }\rangle=-\frac{\pi^2}{1440L^4} \biggl[1-&r^2\Omega^2\frac{(rc^8M_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{P}} }^2/2G\,\Delta\rho_{ \scriptscriptstyle{\text{wh}} }^3\,V^3)^{2(\sqrt{1-\beta}-1)}}{(1-\beta)^2}\times{} \nonumber \\ &\qquad\quad\times\biggl(1+\frac{1-\beta}{4(rc^8M_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{P}} }^2/2 G\,\Delta\rho_{ \scriptscriptstyle{\text{wh}} }^3\,V^3)^{\sqrt{1-\beta}}}\biggr)^{\!4\,}\biggr]^{1/2}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{81}
$$
Мы видим, что энергия Казимира между пластинами, вращающимися по круговой орбите вокруг кротовой норы, меньше энергии, которая получается для той же конфигурации пластин в пространстве-времени Минковского. Кроме того, плотность энергии Казимира в горловине кротовой норы задается соотношением
$$
\begin{equation}
\langle\epsilon_{ \scriptscriptstyle{\text{Cas}} }\rangle=-\frac{\pi^2}{1440L^4} \sqrt{1-\Omega^2\frac{( rc^8M_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{P}} }^2/2G\,\Delta\rho_{ \scriptscriptstyle{\text{wh}} }^3\,V^3)^2}{(1-\beta)^2}\biggr(1+\frac{1-\beta}{4}\biggr)^{\!4\,}},
\end{equation}
\tag{82}
$$
которое, если выполнено неравенство $-11-8\sqrt{2}<\beta<8\sqrt{2}-11$, дает величину ниже соответствующего значения, характеризующего горловину чревоточины Эллиса при тех же параметрах. В заключение этого раздела сравним результат (81), предсказанный нашей моделью, и соответствующий результат, полученный в работе [52]. Авторы этой работы исследовали изменения плотности энергии КВ безмассового скалярного поля внутри аппарата Казимира, вращающегося вокруг кротовой норы. Они изучали, как влияют на плотность энергии Казимира глобальная кривизна Вселенной и ее масштабный фактор в конкретный момент истории Вселенной, не рассматривая влияние локальной геометрии, а также сил инерции. В результате в работе [52] было получено следующее выражение для плотности энергии Казимира:
$$
\begin{equation}
\langle\epsilon_{ \scriptscriptstyle{\text{Cas}} }\rangle=-\frac{\pi^2}{1440L^4}\sqrt{1-r^2\Omega^2\frac{a^2(t_0)}{(kr^2+1)^2}\biggl(1+\frac{b_0^2}{r^2}\biggr)^{\!\!2\,}},
\end{equation}
\tag{83}
$$
где $a(t)$ – скалярный множитель, $k$ – кривизна Вселенной, $t_0$ – момент времени, в который скалярный множитель в первом приближении является статическим. В нашей модели, основанной на обобщенных соотношениях неопределенностей для трехмерного ДКВ, кривизну и масштабный фактор Вселенной можно соотнести с проявлением более фундаментального свойства трехмерного ДКВ – специфическими флуктуациями плотности энергии КВ, а также с переменным параметром $\beta$, связанным с планковским масштабом:
$$
\begin{equation}
\frac{a^2(t_0)}{(kr^2+1)^2}=\frac{(rc^8M_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{P}} }^2/2G\,\Delta\rho_{ \scriptscriptstyle{\text{wh}} }^3\,V^3)^2\Omega^2}{(1-\beta)^2}.
\end{equation}
\tag{84}
$$
Как следствие этой интерпретации, многообещающий сценарий, согласно которому самые высокие значения плотности энергии Казимира наблюдаются в гиперболической Вселенной, более низкие значения – в сферической и промежуточные — в плоской Вселенной (эти результаты были получены в [52]), можно рассматривать как вытекающий из основополагающих свойств трехмерного ДКВ.
5. ЗаключениеРасширенные обобщенные соотношения неопределенностей, связанные с переменной плотностью энергии основообразующего трехмерного динамического квантового вакуума, приводят к единому пониманию микрофизики элементарных частиц и макрофизики черных дыр в терминах обобщенной комптоновской длины волны. В рамках этой концепции три различных режима (запланковский, транспланковский и допланковский пределы) возникают как разные аспекты одной и той же физической реальности, вытекающие из специфического поведения флуктуаций плотности энергии квантового вакуума. Термодинамика черных дыр в этих трех пределах получается непосредственно как следствие основных свойств динамического квантового вакуума. Кроме того, обобщенные соотношения неопределенностей проливают новый свет на единую интерпретацию эффекта Казимира и космологических кротовых нор между двумя удаленными областями Вселенной и предсказывают, что небольшое уменьшение (абсолютного) значения (отрицательной) энергии Казимира, измеряемой сопутствующим наблюдателем вблизи горизонта черной дыры, связано с коллективным поведением виртуальных частиц динамического квантового вакуума. Поведение переменной плотности энергии квантового вакуума приводит к разным значениям энергии Казимира при пересечении горизонта в разных диапазонах значений массы. Мы получили изотропную форму проходимой кротовой норы в шварцшильдовских координатах. При этом оказалось, что угловые скорости, а также радиусы орбит, разрешенных для полости Казимира в конфигурации параллельных пластин при нулевой температуре, непосредственно определяются соответствующими флуктуациями плотности энергии квантового вакуума, а также флуктуационным параметром, входящим в обобщенные соотношения неопределенностей. В результате круговые траектории полости Казимира приводят к выражению для энергии Казимира между пластинами. Это значение меньше, чем полученное в пространстве-времени Минковского для той же конфигурации пластин. Полученный результат приводит к новой интерпретации кривизны и масштабного фактора Вселенной: они связаны с наличием элементарных флуктуаций плотности энергии квантового вакуума, а также с присутствием переменного параметра, входящего в обобщенные соотношения неопределенностей. Следует подчеркнуть, что эффект Казимира, помимо того, что он является решающим доказательством существования энергии квантовых вакуумных полей, используется при рассмотрении конфайнмента в фазовых переходах, динамической генерации массы и нарушений киральной симметрии [57]. В квантовой электродинамике вводятся пертурбативные радиационные поправки к эффекту Казимира, при этом флуктуации фотонов и электронов в конечной геометрии приводят к неожиданному результату: фотон движется в пространстве между пластинами быстрее, чем в неограниченном вакууме вне пластин (так называемый эффект Шарнхорста [58]). С другой стороны, в теориях с сильной связью, несмотря на непертурбативный характер квантовой хромодинамики, оказывается, что физика конфайнмента и явления образования массовой щели и нарушения киральной симметрии сильно влияют на энергию Казимира. В частности, в ($2+1$)-мерных теориях поля с конфайнментом эффект Казимира в геометрии двойного провода вызывает плавный переход к деконфайнменту как в компактной электродинамике [59], так и в теории Янга–Миллса [60]. Кроме того, эффект Казимира в теории Янга–Миллса приводит к появлению нового масштаба масс, существенно меньшего, чем наименьшая масса глюбола $0^{++}$ [61]; это, по-видимому, связано с массой магнитного глюона в конечнотемпературной теории Янга–Миллса в ($3+1$) измерениях [61]. В киральном секторе в игрушечной ($3+1$)-мерной модели эффект Казимира в геометрии двойной пластины приводит к усилению фазового перехода при конечной температуре и к понижению критической температуры, связанной с нарушением киральной симметрии [62]. В свете анализа, проведенного в представленной статье, открывается перспектива, что и конфайнмент в фазовых переходах, и динамическая генерация массы, и нарушение киральной симметрии связаны с более фундаментальными специфическими особенностями поведения флуктуаций плотности энергии трехмерного динамического квантового вакуума. В частности, мы ожидаем, что в теории Янга–Миллса масштаб массы ниже наименьшей массы глюбола $0^{++}$ связан с размером горизонта (34) и энергией Казимира (69) в точке пересечения горизонта, и что эта энергия приводит к эффектам, наблюдавшимся в [62]. Мы рассчитываем, что дальнейшие исследования дадут больше информации. Конфликт интересовАвторы заявляют, что у них нет конфликта интересов.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{FisSor23} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|