| Теоретическая и математическая физика |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 3 научных статьях (всего в 3 статьях) Эволюция сферических возмущений в космологической среде вырожденных скалярно заряженных фермионов со скалярным взаимодействием Хиггса Ю. Г. Игнатьев Институт физики Казанского (Приволжского) федерального университета, Казань, Россия
Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2023, Volume 215, Issue 3, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0040577923060089 
Реферативные базы данных:
   1. ВведениеВ работах [1]–[4] мы подробно рассмотрели существующую в астрофизике и космологии проблему образования зародышей сверхмассивных черных дыр с массой порядка [5]
$$
\begin{equation}
M_{\mathrm{bhs}}\sim 10^4\div 10^6 M_\odot \approx 10^{42}\div 10^{44}m_{\mathrm{Pl}}
\end{equation}
\tag{1}
$$
при красных смещениях $z\gtrsim 7$. В этих же статьях обсуждаются ключевые для этой проблемы работы [6]–[12]. Поэтому в данной работе мы не будем возвращаться к вопросам обоснования проводимого исследования, отсылая читателя к указанным выше статьям. В работе [1] на основе полной теории двухкомпонентной системы вырожденных скалярно заряженных фермионов1 со скалярными полями Хиггса [13] и результатов численного моделирования соответствующей космологической модели была построена численная модель эволюции скалярно-гравитационных возмущений для случая асимметричного скалярного дублета $\mathfrak M_1$, приведены примеры развития неустойчивости в космологической системе и выявлены некоторые особенности этого процесса. В работах [2], [3] было проведено систематическое исследование развития скалярно-гравитационных возмущений в космологической модели, основанной на однокомпонентной системе вырожденных скалярно заряженных фермионов с классическим взаимодействием Хиггса, на предмет возможности образования сверхмассивных черных дыр в ранней Вселенной. При этом были учтены процессы их испарения Хокинга. Исследования подтвердили принципиальную возможность раннего образования черных дыр с необходимыми массами (1). Для выяснения связи неустойчивости с точками бифуркации вакуумно-скалярной космологической модели в работе [4] было исследовано влияние фантомного поля на процесс развития гравитационной неустойчивости. Показано, что скалярно-гравитационная неустойчивость на ранних стадиях расширения в исследуемой модели возникает при достаточно больших скалярных зарядах, причем неустойчивость развивается именно вблизи неустойчивых точек ваккумного дублета. При этом коротковолновые возмущения даже свободного фантомного поля оказываются устойчивыми в устойчивых особых точках вакуумного дублета. Ключевым моментом предложенной в работах [2]–[4] теории скалярно-гравитационной неустойчивости является экспоненциально быстрый рост линейных возмущений со временем, который, в отличие от стандартного степенного закона Лифшица для газово-жидкостных моделей, позволяет возмущениям вырасти до достаточно больших значений за весьма короткий интервал космологического времени. Причиной быстрого развития возмущений является, по-видимому, сочетание двух факторов – межчастичного скалярного притяжения заряженных фермионов при достижении критических плотностей и макроскопического гравитационного притяжения. Хотя указанные работы и обосновывают принципиальную возможность раннего образования свермассивных черных дыр, однако соответствующая гипотеза требует дополнительного обоснования, в частности исследования эволюции сферических возмущений, которым и должны соответствовать процессы образования черных дыр. Разработке теоретической и математической модели этого процесса и методов ее исследования посвящена настоящая статья. При этом ключевую роль играет, во-первых, метод инвариантного выделения сингулярной части возмущений, развитый в работах [14]–[19] и позволяющий разделить переменные, расщепить систему дифференциальных уравнений на возмущения и затем свести ее к двум подсистемам – автономной системе обыкновенных дифференциальных уравнений на сингулярную часть возмущений и независимой системе относительно несингулярных возмущений. Во-вторых, ключевую роль в разработанной математической модели играет введенное в этих же работах понятие пространственно-локализованного сферического возмущения, благодаря которому задачу удается свести к замкнутой цепочке обыкновенных линейных дифференциальных уравнений. В отличие от предыдущих работ, здесь мы не будем ограничиваться коротковолновым приближением, не налагая на длины возмущения никаких условий. 2. Математическая модель вырожденных фермионов со скалярным взаимодействиемВ работе [13] показано, как на основе лагранжева формализма из микроскопических уравнений движения скалярно заряженных частиц можно получить макроскопическую модель статистической системы скалярно заряженных частиц, описываемую макроскопическими потоками. В настоящей статье мы воспользуемся результатами, полученными в работе [13]. Ниже мы будем рассматривать космологическую модель, основанную на однокомпонентной вырожденной статистической системе скалярно заряженных фермионов и скалярном поле Хиггса $\Phi$. Динамическая масса $m_z$ фермионов $z$ со скалярным зарядом $e$ по отношению к каноническому полю $\Phi$ описывается формулой Функция Лагранжа $L_s$ скалярного поля Хиггса есть2
$$
\begin{equation}
L_s=\frac{1}{16\pi}(g^{ik}\Phi_{,i}\Phi_{,k}-2V(\Phi)),
\end{equation}
\tag{3}
$$
где
$$
\begin{equation}
V(\Phi)=-\frac{\alpha}{4}\biggl(\Phi^2-\frac{m_0^2}{\alpha}\biggr)^2
\end{equation}
\tag{4}
$$
– потенциальная энергия скалярного поля, $\alpha$ – константа самодействия, $m_0$ – масса квантов. Тензор энергии-импульса скалярных полей относительно функции Лагранжа (3) есть
$$
\begin{equation}
S^i_k=\frac{1}{16\pi}(2\Phi^{,i}\Phi_{,k}-\delta^i_k\Phi_{,j}\Phi^{,j}+2V(\Phi)\delta^i_k).
\end{equation}
\tag{5}
$$
Тензор энергии-импульса равновесной статистической системы равен где $u^i$ – вектор макроскопической скорости статистической системы. Уравнения Эйнштейна для системы “скалярное поле+частицы” имеют вид
$$
\begin{equation}
R^i_k-\frac{1}{2}\delta^i_k R=8\pi(T^i_k+S^i_k)+\delta^i_k\Lambda_0,
\end{equation}
\tag{7}
$$
где $\Lambda_0$ – затравочное значение космологической постоянной, связанное с ее наблюдаемым значением $\Lambda$, получающимся при изъятии постоянных слагаемых в потенциальной энергии, соотношением Строгими макроскопическими следствиями кинетической теории являются уравнения переноса, в том числе закон сохранения некоторого векторного тока, соответствующего микроскопическому закону сохранения в реакциях некоторого фундаментального заряда $\mathrm Q$ с зарядами частиц $q$ а также законы сохранения энергии-импульса статистической системы где $\sigma$ – плотность скалярных зарядов по отношению к полю $\Phi$ [13].Из соотношения нормировки вектора скорости вытекает известное тождество которое позволяет привести законы сохранения энергии-импульса (10) к виду уравнений идеальной гидродинамики
$$
\begin{equation}
(\varepsilon_p+p_p)u^i_{,k}u^k =(g^{ik}-u^iu^k)(p_{p,k}+\sigma\Phi_{,k}),
\end{equation}
\tag{12}
$$
$$
\begin{equation}
\nabla_k[(\varepsilon_p+p_p)u^k] =u^k(p_{p,k}+\sigma\Phi_{,k}),
\end{equation}
\tag{13}
$$
а законы сохранения фундаментального заряда $\mathrm Q$ (9) к виду где $\rho\equiv qn$ – кинематическая плотность скалярного заряда статистической системы по отношению к скалярному полю $\Phi$. Макроскопические скаляры для однокомпонентной статистической системы вырожденных фермионов принимают вид
$$
\begin{equation}
n =\frac{1}{\pi^2}\pi_z^3, \qquad p_p =\frac{e^4\Phi^4}{24\pi^2}(F_2(\psi)-4F_1(\psi)),
\end{equation}
\tag{15}
$$
$$
\begin{equation}
\sigma =\frac{e^4\Phi^3}{2\pi^2}F_1(\psi), \qquad \varepsilon_p =\frac{e^4\Phi^4}{8\pi^2}F_2(\psi),
\end{equation}
\tag{16}
$$
где $\pi_z$ – импульс Ферми, $\sigma$ – плотность скалярных зарядов $e$, Для краткости введены функции $F_1(\psi)$ и $F_2(\psi)$:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, F_1(\psi)&=\psi\sqrt{1+\psi^2}-\ln(\psi+\sqrt{1+\psi^2}), \\ F_2(\psi)&=\psi\sqrt{1+\psi^2}(1+2\psi^2)-\ln(\psi+\sqrt{1+\psi^2}). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, имеет место соотношение
$$
\begin{equation}
(\varepsilon+p)_p=\frac{e^4\Phi^4}{3\pi^2}\psi^3\sqrt{1+\psi^2}.
\end{equation}
\tag{18}
$$
Наконец, уравнения скалярного поля для однокомпонентной системы принимают вид
$$
\begin{equation}
\Box\Phi+m_0^2\Phi-\alpha\Phi^3 =-8\pi\sigma\equiv-\frac{4e^4\Phi^3}{\pi}F_1(\psi).
\end{equation}
\tag{19}
$$
2.1. Трансформационные свойства моделиРассмотрим полную систему уравнений математической модели, состоящую из уравнений Эйнштейна (7), уравнений гидродинамики (10) и уравнения скалярного поля (19) вместе с определениями соответствующих источников: тензора энергии-импульса скалярного поля (5), фермионной жидкости (6) и плотности скалярного заряда (16), а также определения плотности энергии фермионов (15) и их давления (16). Как видно из уравнений этой системы и определений ее коэффициентов, решения задачи Коши для этой системы уравнений полностью определяются соответствующими начальными условиями относительно метрических функций $g_{ik}(x^j)$, потенциала $\Phi(x^j)$, вектора скорости $u^i(x^j)$ и импульса Ферми $\pi_z$. Рассмотрим следующие масштабные преобразования фундаментальных параметров модели $P=[\alpha,m_0,e,\Lambda_0]$:
$$
\begin{equation}
\alpha\to k^2\alpha,\quad m_0\to km_0,\quad e\to\sqrt{k}\,e,\quad \Lambda_0\to k^2\Lambda_0\quad (k=\mathrm{const}>0).
\end{equation}
\tag{20}
$$
Наряду с преобразованиями фундаментальных параметров произведем масштабные преобразования координат математической модели а также импульса Ферми и скалярного потенциала Очевидно, что при масштабных преобразованиях (20)–(22) введенные выше скаляры и тензоры изменяются по законам
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \psi\to\psi,\quad \sigma\to k^2\sigma,\quad V(\Phi)\to k^2 V(\Phi),\quad p_p\to k^2p_p,\quad \varepsilon_p\to k^2\varepsilon_p, \\ S^i_k\to k^2S^i_k,\quad T^i_k\to k^2T^i_k. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{23}
$$
Таким образом, справедливы законы масштабного преобразования уравнений математической модели
$$
\begin{equation}
R^i_k-\frac{1}{2}\delta^i_kR=8\pi(T^i_k+S^i_k) +\delta^i_k\Lambda_0\to k^2\biggl(R^i_k-\frac{1}{2}\delta^i_kR =8\pi(T^i_k+S^i_k)+\delta^i_k\Lambda_0\biggr),
\end{equation}
\tag{24}
$$
$$
\begin{equation}
\Box\Phi+m_0^2\Phi-\alpha\Phi^3 =-8\pi\sigma\to k^2(\Box\Phi+m_0^2\Phi-\alpha\Phi^3=-8\pi\sigma),
\end{equation}
\tag{25}
$$
$$
\begin{equation}
\nabla_kT_p^{ik}-\sigma\nabla^i\Phi =0\to k^2(\nabla_kT_p^{ik}-\sigma\nabla^i\Phi=0).
\end{equation}
\tag{26}
$$
Справедливо следующее свойство подобия математической модели. Утверждение 1. Полная система уравнений математической модели (7), (10) и (19) инвариантна по отношению к масштабным преобразованиям фундаментальных параметров математической модели (20) и масштабным преобразованиям координат (21) и импульса Ферми (22), т. е. решения уравнений исходной модели и масштабно преобразованной модели совпадают, Указанное важное свойство подобия математической модели позволяет распространять решение с данным набором фундаментальных параметров на случай других значений фундаментальных параметров. 3. Линейные сферические возмущения космологической моделиВ работах [20]–[22] была развита общая теория эволюции линейных плоских гравитационно-скалярных возмущений в двухкомпонентной космологической системе вырожденных скалярно заряженных фермионов с асимметричным скалярным взаимодействием Хиггса. В настоящей статье мы рассматриваем теорию эволюции линейных сферических возмущений в однокомпонентной космологической системе вырожденных скалярно заряженных фермионов с каноническим скалярным взаимодействием Хиггса. 3.1. Невозмущенное изотропное однородное основное состояниеВ качестве фоновой рассмотрим пространственно плоскую метрику Фридмана
$$
\begin{equation}
ds_0^2=dt^2-a^2(t)(dx^2+dy^2+dz^2) \equiv dt^2-a^2(t)[dr^2+r^2(d\theta^2+\sin^2\theta\,d\varphi^2)],
\end{equation}
\tag{28}
$$
а в качестве фонового решения рассмотрим однородное изотропное распределение материи, в котором все термодинамические функции и скалярные поля зависят только от космологического времени $t$:
$$
\begin{equation}
\Phi=\Phi(t),\qquad \pi_z=\pi_z(t),\qquad u^i=u^i(t).
\end{equation}
\tag{29}
$$
Заметим, что физически измеряемым радиусом в метрике (28) является Нетрудно убедиться, что условие обращает уравнения (12) в тождества, а система уравнений (13), (14) сводится к двум материальным уравнениям:
$$
\begin{equation}
\frac{d\varepsilon_p}{dt}+3\frac{\dot a}{a}(\varepsilon_p+p_p)=\sigma\dot\Phi,
\end{equation}
\tag{32}
$$
здесь и далее $\dot f=\partial f/\partial t$, $f'=\partial f/\partial r$. В работе [13] показано, что система уравнений (32), (33) имеет простые решения: С учетом (34) запишем безразмерную функцию $\psi$ (17) в явном виде:
$$
\begin{equation}
\psi=\frac{\pi^0_z}{|e\Phi|}e^{-\xi}\qquad (\pi^0_z=\pi_z(0)),
\end{equation}
\tag{35}
$$
где мы перешли к новой переменной $\xi(t)$, полагая здесь и в дальнейшем Тензор энергии-импульса скалярного поля в невозмущенном состоянии также принимает вид тензора энергии-импульса идеальной изотропной жидкости: причем
$$
\begin{equation}
\varepsilon_s =\frac{1}{8\pi}\biggl(\frac{1}{2}\dot\Phi^2+V(\Phi)\biggr),
\end{equation}
\tag{39}
$$
$$
\begin{equation}
p_s =\frac{1}{8\pi}\biggl(\frac{1}{2}\dot\Phi^2-V(\Phi)\biggr),
\end{equation}
\tag{40}
$$
так что Уравнение невозмущенного скалярного поля (19) в метрике Фридмана принимает вид
$$
\begin{equation}
\ddot\Phi+\frac{3}{a}\dot a\dot\Phi+m_0^2\Phi-\alpha\Phi^3=-8\pi\sigma,
\end{equation}
\tag{42}
$$
где плотность скалярного заряда $\sigma$ описывается выражением (15), в которое необходимо подставить значение функции $\psi$ (35). В результате полная автономная система уравнений невозмущенной космологической модели принимает вид [13]
$$
\begin{equation}
\dot H=-\frac{Z^2}{2}-\frac{4}{3\pi}e_z^4\Phi^4\psi^3\sqrt{1+\psi^2},
\end{equation}
\tag{44}
$$
$$
\begin{equation}
\dot Z=-3HZ-m_0^2\Phi+\Phi^3\biggl(\alpha-\frac{4e^4}{\pi}F_1(\psi)\biggr),
\end{equation}
\tag{45}
$$
где $H(t)$ – параметр Хаббла, При этом уравнение Эйнштейна ${}^4_4$ является первым интегралом системы (43)–(45):
$$
\begin{equation}
3H^2-\Lambda-\frac{Z^2}{2}-\frac{m_0^2\Phi^2}{2} +\frac{\alpha\Phi^4}{4}-\frac{e^4\Phi^4}{\pi}F_2(\psi)=0.
\end{equation}
\tag{47}
$$
В работах [2], [23], [24], а также в более ранней работе [25] представлена коллекция поведений космологических моделей, основанных на системе уравнений (43)–(47) для различных значений фундаментальных параметров и начальных условий, а также моделей, основанных на двухкомпонентной системе фермионов. В числе этих моделей есть и модели с конечным временем эволюции, переходящие от стадии расширения к стадии сжатия, а также модели, поддерживающие значение параметра Хаббла, близкое к нулю, в течение значительного времени на промежуточных этапах космологической эволюции. 3.2. Разложение по возмущениямМетрику с гравитационными возмущениями запишем в изотропных сферических координатах с комформно-евклидовой метрикой трехмерного пространства (см., например, [26]), допускающей непрерывный переход к метрике Фридмана (28) [17]:
$$
\begin{equation}
ds^2=\mathrm e^{\nu(r,t)}\,dt^2-a^2(t)\mathrm e^{\lambda(r,t)} [dr^2+r^2(d\theta^2+\sin^2\theta\,d\varphi^2)],
\end{equation}
\tag{48}
$$
где $\nu(r,t)$ и $\lambda(r,t)$ – малые продольные возмущения метрики Фридмана ($\nu\ll 1$, $\lambda\ll 1$). Введем возмущения фермионов и скалярного поля согласно [27]:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \begin{aligned} \, \Phi(r,t)&=\Phi(t)+\varphi(r,t), \\ \pi_z(r,t)&=\pi_z(t)(1+\delta_z(r,t)), \\ \sigma(r,t)&=\sigma(t)+\delta\sigma(r,t), \end{aligned}\\ u^i=\delta^i_4(1-\nu(r,t))+\delta^i_1v(r,t), \end{gathered}
\end{equation}
\tag{49}
$$
где $\varphi(r,t)$, $\delta_z(r,t)$, $\delta\sigma(r,t)$ и $v(r,t)$ – функции первого порядка малости по сравнению с их невозмущенными значениями. Вычисляя согласно (15), (16) возмущения макроскопических скаляров с учетом полезного соотношения
$$
\begin{equation}
\delta\psi=\psi\biggl(\delta_z(r,t)-\frac{\varphi(r,t)}{\Phi}\biggr),
\end{equation}
\tag{50}
$$
найдем
$$
\begin{equation}
\delta\sigma =\frac{e^4\Phi^3}{2\pi^2} \biggl[\frac{\psi^3}{\sqrt{1+\psi^2}}\delta_z -\biggl(3F_1(\psi)-\frac{2\psi^3}{\sqrt{1+\psi^2}}\biggr) \frac{\varphi}{\Phi}\biggr],
\end{equation}
\tag{52}
$$
$$
\begin{equation}
\delta\varepsilon_p =\frac{e^4\Phi^4}{\pi^2} \biggl[\psi^3\sqrt{1+\psi^2}\delta_z +\biggl(\frac{1}{2}F_2(\psi)-\psi^3\sqrt{1+\psi^2}\biggr) \frac{\varphi}{\Phi}\biggr],
\end{equation}
\tag{53}
$$
$$
\begin{equation}
\delta p_p =\frac{e^4\Phi^4}{3\pi^2} \biggl[\frac{\psi^5}{\sqrt{1+\psi^2}}\delta_z +\biggl(\frac{1}{2}(F_2(\psi)-4F_1(\psi)) -\frac{\psi^5}{\sqrt{1+\psi^2}}\biggr)\frac{\varphi}{\Phi}\biggr].
\end{equation}
\tag{54}
$$
3.3. Возмущения тензора энергии-импульсаСогласно (6) и (49) в линейном приближении возмущения тензор энергии-импульса фермионов имеет следующие отличные от нуля компоненты:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \delta T^\alpha_{\beta(p)}&=-\delta^\alpha_\beta\delta p_p,\qquad \delta T^4_{4(p)}=\delta\varepsilon_p, \\ \delta T^\alpha_{4(p)}&=-\frac{1}{a^2}\delta T^4_{\alpha(p)} =\upsilon(\varepsilon+p)_p\delta^\alpha_1. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{55}
$$
С учетом (38), (39), (40) и (49) получим для отличных от нуля компонент возмущений тензора энергии-импульса скалярного поля (5)
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \delta S^\alpha_\beta&=\frac{\delta^\alpha_\beta}{8\pi} \biggl[\frac{\nu}{2}Z^2-\dot\varphi Z +\varphi(m_0^2-\alpha\Phi^2)\Phi\biggr], \\ \delta S^4_4&=\frac{1}{8\pi}\biggl[-\frac{\nu}{2}Z^2 +\dot\varphi Z+\varphi(m_0^2-\alpha\Phi^2)\Phi\biggr], \\ \delta S^1_4&=-\frac{\partial}{\partial r} \biggl(\frac{Za\varphi}{8\pi a^3}\biggr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{56}
$$
Для того чтобы возмущенное решение на удалении гладко переходило в фоновое космологическое решение (28), (29), необходимо выполнение для всех возмущений нулевых условий на бесконечности
$$
\begin{equation}
\lambda(\infty,t) =\nu(\infty,t)=\varphi(\infty,t) =\delta_z(\infty,t)=v(\infty,t)=0,
\end{equation}
\tag{57}
$$
$$
\begin{equation}
\lambda'(\infty,t) =\nu'(\infty,t)=\varphi'(\infty,t) =\delta'_z(\infty,t)=v'(\infty,t)=0.
\end{equation}
\tag{58}
$$
С учетом симметрии возмущений тензора энергии импульса фермионов (55) и скалярного поля (56) следствием уравнений Эйнштейна относительно метрики (48) является соотношение (см., например, [17])
$$
\begin{equation*}
\frac{\partial}{\partial r}\,\frac{1}{r}\,\frac{\partial}{\partial r}(\lambda+\mu) =0\quad\Rightarrow\quad\lambda+\mu=C_1(t)+C_2(t)rR^2,
\end{equation*}
\notag
$$
где $C_1(t)$ и $C_2(t)$ – произвольные функции времени. Поэтому вследствие условий (57), (58) справедливо $C_1(t)=C_2(t)=0$. Таким образом, в линейном приближении для возмущений, удовлетворяющих нулевым условиям на бесконечности (57) и (58), должно выполняться соотношение
$$
\begin{equation}
\lambda(r,t)+\nu(r,t)=0\quad\Rightarrow\quad\lambda(r,t)=-\nu(r,t).
\end{equation}
\tag{59}
$$
В дальнейшем мы будем учитывать соотношение (59), выбирая в качестве независимой функцию $\nu(r,t)$. Заметим, что метрика (48) допускает инфинитезимальное преобразование по временно́й переменной
$$
\begin{equation}
\nu(r,t)\to\nu(r,t)+\delta\xi(t),\qquad t\to t+\frac{1}{2}\int\delta\xi\,dt,
\end{equation}
\tag{60}
$$
не изменяющее вида этой метрики. Эту трансформационную симметрию метрики (48) мы используем в дальнейшем. В настоящей работе мы не ставим вопрос о механизме возникновения вырожденных скалярно заряженных фермионов, а также об их физической привязке к различным теоретико-полевым моделям, в частности $SU(5)$, поэтому соответствующие фундаментальные параметры $\alpha$, $m_0$, $e$ мы не конкретизируем. Мы предполагаем лишь, что на исследуемом нами этапе космологической эволюции такие фермионы присутствуют, возможно, благодаря первичному рождению безмассовых частиц и последующему рождению массивных частиц в каналах реакций соответствующей теоретико-полевой модели, например на этапе кварк-глюонной плазмы. Заметим, что сам факт вырождения фермионов в рамках данной работы не играет существенного значения, он лишь помогает математически упростить задачу. Важно, чтобы на этом этапе присутствовали необходимые гравитационные возмущения. Определение момента возникновения сферической неустойчивости затруднительно, так как согласно результатам предыдущих работ (см., например, [3]) сферические возмущения должны образовываться на нелинейной стадии роста плоских возмущений в результате взаимодействия мод с различными направлениями волнового вектора. При этом быстрее всего вырастают длинноволновые моды с волновым числом $n\gtrsim 1$, именно они и должны выживать в конкурентных процессах образования сферических возмущений. Для определения этого момента времени и параметров возмущений необходимо построение более сложной, существенно нелинейной теории, по крайней мере, квадратичной по гравитационным возмущениям. Решение этой проблемы целиком определяет и решение другой проблемы – конечных параметров образованной сверхмассивной черной дыры (см. п. 4.4). 3.4. Линейные возмущения уравнений ЭйнштейнаС учетом (48) и (59), а также невозмущенных уравнений Эйнштейна (44) и (47) получим для отличных от нуля компонент возмущений тензора Эйнштейна $G^i_k=R^i_k-1/2R\delta^i_k$
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \delta G^\alpha_\beta&=-\delta^\alpha_\beta [\ddot\nu+4H\dot\nu+(\Lambda-8\pi p)\nu], \\ \delta G^4_4&=\frac{1}{a^3r^2}\frac{\partial}{\partial r} \biggl(r^2\,\frac{\partial a\nu}{\partial r}\biggr) -\frac{3H}{a}\,\frac{\partial a\nu}{\partial t}, \\ \delta G^1_4&=-\frac{\partial}{\partial r} \biggl(\frac{1}{a^3}\,\frac{\partial a\nu}{\partial t}\biggr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{61}
$$
Таким образом, нетривиальные возмущенные уравнения Эйнштейна можно записать в виде
$$
\begin{equation}
\ddot\nu+4H\dot\nu+(\Lambda-8\pi p)\nu+\frac{\nu}{2}Z^2 -\dot\varphi Z+\varphi(m_0^2-\alpha\Phi^2)\Phi=8\pi\delta p_p,
\end{equation}
\tag{62}
$$
$$
\begin{equation}
\frac{1}{a^3r^2}\,\frac{\partial}{\partial r} \biggl(r^2\frac{\partial a\nu}{\partial r}\biggr) -\frac{3H}{a}\,\frac{\partial a\nu}{\partial t} +\frac{\nu}{2}Z^2-\dot\varphi Z-\varphi(m_0^2-\alpha\Phi^2)\Phi =8\pi\varepsilon_p,
\end{equation}
\tag{63}
$$
$$
\begin{equation}
\upsilon=\frac{1}{8\pi(\varepsilon+p)_pa^3}\,\frac{\partial}{\partial r} \biggl(\frac{\partial a\nu}{\partial t}-Za\varphi\biggr),
\end{equation}
\tag{64}
$$
уравнение Эйнштейна для компоненты ${}^1_4$ (64) определяет радиальную скорость фермионов. 3.5. Линейное возмущение уравнения скалярного поляВычисляя линейную поправку к уравнению скалярного поля (19) с учетом (49) и уравнения фонового поля (45), получим уравнение на возмущение скалярного поля
$$
\begin{equation}
\ddot\varphi+3H\dot\varphi-\frac{1}{a^2r^2}\,\frac{\partial}{\partial r} r^2\,\frac{\partial\varphi}{\partial r}+(m_0^2-3\alpha\Phi^2)\varphi +2\dot\nu Z+8\pi\sigma\nu=-8\pi\delta\sigma.
\end{equation}
\tag{65}
$$
3.6. Выделение частицеподобных решенийВ линеаризированное уравнение Эйнштейна (63) и уравнение скалярного поля (65) входят вторые производные по радиусу в форме радиальной части оператора Лапласа трехмерного евклидова пространства:
$$
\begin{equation}
\Delta_r U\equiv\frac{1}{a^2r^2}\,\frac{\partial}{\partial r} \biggl(r^2\,\frac{\partial U}{\partial r}\biggr).
\end{equation}
\tag{66}
$$
Имея в виду в дальнейшем рассмотрение и частицеподобных решений уравнений для возмущений, рассмотрим канонические уравнения движения классической гравитирующей точечной частицы в гравитационном поле, которой соответствует сингулярный точечный источник. В результате двух конкурирующих процессов – аккреции окружающей материальной среды и обратного процесса испарения вещества – масса классической точечной частицы в материальной среде не может быть постоянной. В работах [15]–[17] были разработаны методы инвариантного выделения в уравнениях Эйнштейна сингулярной части, соответствующей частицеподобному решению. Применим эти методы к исследованию нашей задачи. Инвариантная функция Гамильтона классической массивной частицы имеет вид [14] где $m(s)$ – масса частицы на траектории $\{x^i(s)$, $P_i(s)\}$. Из (67) получаем соотношение нормировки обобщенного импульса Релятивистские канонические уравнения движения массивной частицы имеют вид
$$
\begin{equation}
\frac{dx^i}{ds}=\frac{\partial H}{\partial P_i},\qquad \frac{dP_i}{ds}=-\frac{\partial H}{\partial x^i}.
\end{equation}
\tag{69}
$$
Из первой группы канонических уравнений найдем с учетом (68)
$$
\begin{equation*}
\frac{dx^i}{ds} =\frac{P^i}{m}\quad\Rightarrow \quad g_{ik}\frac{dx^i}{ds}\,\frac{dx^k}{ds}=1.
\end{equation*}
\notag
$$
В сферически-симметричной метрике решением уравнений (69), не нарушающим сферической симметрии, является линия времени, которая соответствует состоянию покоя частицы в центре симметрии: при этом масса частицы остается произвольной функцией координатного времени: Запишем в инвариантном виде плотность энергии $\delta\varepsilon_m$, соответствующую сингулярной части плотности энергии материи: где $\delta(\mathbf r)$ – инвариантная дельта-функция Дирака, определенная относительно невозмущенной метрики и понимаемая в смысле интегрального соотношения
$$
\begin{equation}
\int d^3V \,\delta(\mathbf r)=4\pi a^3\int\delta(r)r^2\,dr=1,
\end{equation}
\tag{73}
$$
так что Рассмотрим сингулярное уравнение относительно $\nu(r,t)$, соответствующее оператору $\Delta_r$:
$$
\begin{equation}
\frac{1}{r^2}\,\frac{\partial}{\partial r} \biggl(r^2\frac{\partial\nu}{\partial r}\biggr)=8\pi a^2m(t)\delta(r).
\end{equation}
\tag{75}
$$
Выделим в уравнении (75) сингулярную часть решения, полагая, что соответствующая сингулярная часть содержится и в возмущении плотности энергии частиц $\delta\varepsilon_p$ в правой части уравнения (63). Умножая обе части (75) на $r^2\,dr$ и интегрируя полученное соотношение, получим вследствие определения (73)
$$
\begin{equation}
r^2\,\frac{\partial\nu}{\partial r}=\frac{2m(t)}{a(t)}.
\end{equation}
\tag{76}
$$
Интегрируя (76), найдем окончательно для сингулярной части решения Таким образом, имеет место соотношение, аналогичное известному (см., например, [26]):
$$
\begin{equation}
\frac{1}{r^2}\,\frac{\partial}{\partial r}r^2\,\frac{\partial}{\partial r} \biggl(-\frac{m(t)}{r}\biggr)=4\pi a^3m(t)\delta(r)\qquad (\equiv 4\pi a^3\delta\varepsilon_m).
\end{equation}
\tag{78}
$$
Итак, для выделения частицеподобной сингулярной части решения введем новую скалярную функцию $\rho(r,t)$ [17]:
$$
\begin{equation}
\nu(r,t)=-\lambda(r,t)=2\frac{\rho(r,t)-m(t)}{a(t)r} \equiv -\frac{2\mu(r,t)}{a(t)r},
\end{equation}
\tag{79}
$$
не сингулярную в начале координат:
$$
\begin{equation}
\rho(0,t)=0,\qquad \lim_{r\to 0}r\,\frac{\partial\rho(r,t)}{\partial r}=0,\qquad \biggl|\lim_{r\to 0}\frac{\rho}{r}\biggr|<\infty.
\end{equation}
\tag{80}
$$
Выделим сингулярную часть и в уравнении для возмущения скалярного поля (65), полагая аналогично (72) и (79) и
$$
\begin{equation}
\varphi(r,t)=2\frac{\chi(r,t)-q(t)}{a(t)r}\equiv\frac{2\phi(r,t)}{a(t)r},
\end{equation}
\tag{82}
$$
$$
\begin{equation}
\chi(0,t)=0,\qquad \lim_{r\to 0}r\,\frac{\partial\chi(r,t)}{\partial r}=0,\qquad \biggl|\lim_{r\to 0}\frac{\chi}{r}\biggr|<\infty,
\end{equation}
\tag{83}
$$
где $q(t)$ – точечный скалярный заряд. Таким образом, имеем
$$
\begin{equation}
\nu(r,t)|_{r\to 0}\approx -\frac{2m(t)}{a(t)r},\qquad \varphi(r,t)|_{r\to 0}\approx -\frac{2q(t)}{a(t)r}.
\end{equation}
\tag{84}
$$
После подстановки (79) линеаризированные уравнения Эйнштейна (62), (63) принимают следующий вид:
$$
\begin{equation}
\ddot\mu+2H\dot\mu-4\pi(\varepsilon+p)_p\mu+Z\dot\phi-HZ\phi -\Phi(m_0^2-\alpha\Phi^2)\phi=-4\pi ar\delta p_p,
\end{equation}
\tag{85}
$$
$$
\begin{equation}
-\frac{1}{a^2}\mu''+3H\dot\mu-\frac{1}{2}Z^2\mu-Z\dot\phi +HZ\phi-\Phi(m_0^2-\alpha\Phi^2)\phi =4\pi ar\delta\varepsilon_p,
\end{equation}
\tag{86}
$$
$$
\begin{equation}
\upsilon=\frac{\partial}{\partial r}\biggl(\frac{1}{r} \frac{\dot\mu+H\phi}{4\pi a^3(\varepsilon+p)_p}\biggr).
\end{equation}
\tag{87}
$$
Проводя аналогичные вычисления для возмущений уравнения скалярного поля с учетом (45), получим
$$
\begin{equation}
\ddot\phi+H\dot\phi-\frac{1}{a^2}\phi'' -\frac{2}{3}[2\pi(\varepsilon-3p)+\Lambda]\phi+2Z\dot\mu -[2HZ+\Phi(m_0^2-\alpha\Phi^2)+8\pi\sigma]\mu=-4\pi ar\delta\sigma.
\end{equation}
\tag{88}
$$
При вычислении входящих в уравнения (85), (86) и (87) коэффициентов $(\varepsilon+p)_p$ и $(\varepsilon-3p)$, определенных относительно фоновых решений, необходимо иметь в виду соотношения (15), (16), (18), (39) и (40). Таким образом, найдем, например, для коэффициента в уравнении (88):
$$
\begin{equation*}
2\pi(\varepsilon-3p)=-\frac{Z^2}{4}-\frac{1}{4\alpha}(m_0^2-\alpha\Phi^2)^2 +\frac{e^4\Phi^4}{\pi}F_1(\psi).
\end{equation*}
\notag
$$
В правые части уравнений (85), (86) и (88) необходимо подставить выражения для возмущений скалярных плотностей $\delta p_p$ (54), $\delta\varepsilon_p$ (53) и $\delta\sigma$ (52) соответственно. Указанные возмущения скалярных плотностей, в свою очередь, полностью определяются линейными функциями возмущений $\delta_z$ и $\varphi$. Подставляя в эти величины (82) и получим замкнутую систему трех соответствующих линейных дифференциальных уравнений (85), (86) и (87) относительно трех независимых несингулярных функций $\mu(r,t)$, $\phi(r,t)$ и $\tilde\delta_z(r,t)$. Заметим, что при этом функция $\tilde\delta_z(r,t)$ входит в эти уравнения алгебраически, поэтому эту функцию можно выразить через функции $\mu(r,t)$ и $\phi(r,t)$ и их производные. Проще всего это сделать с помощью уравнения (85), поскольку оно не содержит производных по радиальной переменной.Согласно (79) и (82) вблизи сингулярности $r=0$ возмущенную метрику (48) в линейном по малости возмущений приближении можно записать в виде конформной метрики Шварцшильда с физическим радиусом $R=ar$ (30)
$$
\begin{equation}
ds^2\backsimeq\biggl(1-\frac{2m(t)}{a(t)r}\biggr)\,dt^2 -\frac{dr^2+r^2(d\Omega^2+\sin^2\Omega d\varphi^2)}{1-2m(t)/(a(t)r)}.
\end{equation}
\tag{90}
$$
В связи с этим мы будем называть в дальнейшем решения с $\mu(t)\ne 0$, $\phi(t)\ne 0$ скалярными черными дырами, помня о том, что решение типа (90) является линейной моделью черной дыры (см. [28]). При этом эволюция массы и заряда скалярной черной дыры отражает протекающие процессы аккреции и рассеяния фермионной и скалярной компонент материи. Заметим, что согласно (49), (79) и (82) для справедливости линейного приближения в полевых уравнениях необходимо выполнение условий
$$
\begin{equation}
\nu(r,t)\ll\frac{1}{2}a(t)r,\qquad \phi(r,t)\ll\frac{1}{2}a(t)r.
\end{equation}
\tag{91}
$$
Отсюда следует, что при $r\to 0$ возмущения стремятся к бесконечности, и условие малости возмущений нарушается. Однако это чисто формальный вывод. Действительно, как следует из (90), наоборот, вблизи сингулярности линейное решение с $m(t)\ne 0$ как раз локально совпадает с точным сферически-симметричным решением уравнений Эйнштейна в среде (см., например, [29], [26]) при подстановках $ar\to R$, $m(t)\to\mu(r,t)$. С одной стороны, это является следствием закона сохранения полной энергии, а с другой – известным фактом, что последовательная теория приближений с учетом в высших порядках приближений энергии гравитационного поля дает из классического уравнения Пуассона с сингулярным источником точное решение Шварцшильда. Поэтому нас не должно смущать появление членов типа $1/r$ в выражениях для мод возмущений. Заметим, что с формальной точки зрения мы не имели бы права рассматривать в теории гравитации любые точечные источники как гравитационного поля, так и других полей, включая даже элементарные частицы (см. [13]). 3.7. Система уравнений относительно несингулярных функцийИтак, с помощью уравнений (85) и (54) найдем функцию $d_z(r,t)$:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, d_z(r,t)={}&{-}\frac{3\pi}{8e^4\Phi^4}\frac{\sqrt{1+\psi^2}}{\psi^5} \ddot\mu+2H\dot\mu+Z\dot\phi+\frac{1+\psi^2}{2\psi^4}\mu +\biggl[\frac{\sqrt{1+\psi^2}}{2\Phi\psi^4}F_1(\psi)+{} \nonumber \\ &+\frac{3\pi}{8e^4\Phi^4}\frac{\sqrt{1+\psi^2}}{\psi^5} (\Phi(m_0^2-\alpha\Phi^2)+ HZ)\biggr]\phi. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{92}
$$
Используя это соотношение в выражениях для возмущений макроскопических скаляров $\delta\varepsilon_p$ (53) и $\delta\sigma$ (52) и подставляя затем полученные выражения в уравнения (86) и (88), получим замкнутую систему однородных линейных дифференциальных уравнений второго порядка относительно функций $\mu(r,t)$ и $\phi(r,t)$:
$$
\begin{equation}
\frac{1}{a^2}\mu''-3\frac{(1+\psi^2)}{\psi^2}\ddot\mu -3H\frac{2+3\psi^2}{\psi^2}\dot\mu-Z\frac{3+2\psi^2}{\psi^2}\dot\phi +\mathrm L_{\varepsilon m}(t)\mu+\mathrm L_{\varepsilon q}(t)\phi=0,
\end{equation}
\tag{93}
$$
$$
\begin{equation}
\ddot\phi+\biggl(H-\frac{3}{2\Phi\psi^2}\biggr)\dot\phi -\frac{1}{a^2}\phi''-\frac{3}{2\Phi\psi^2}\ddot\mu +\biggl(\frac{3H}{\Phi\psi^2}-2Z\biggr)\dot\mu +\mathrm L_{\sigma m}(t)\mu+\mathrm L_{\sigma q}(t)\phi=0.
\end{equation}
\tag{94}
$$
Здесь введены функции $\mathrm L_{\alpha\beta}(t)$, определяемые фоновыми решениями $\{\xi(t)$, $H(t)$, $\Phi(t)$, $Z(t)\}$:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathrm L_{\varepsilon m}(t)&=\frac{Z^2}{2} +\frac{4}{\pi}e^4\Phi^4\frac{(1+\psi^2)^{3/2}}{\psi}, \\ \mathrm L_{\varepsilon q}(t)&=HZ\frac{3+2\psi^2}{\psi^2} +\frac{3+4\psi^2}{\psi^2}\Phi(m_0^2-\alpha\Phi^2) +4e^4\Phi^3\frac{1+2\psi^2}{\pi\psi^2}F_1(\psi), \\ \mathrm L_{\sigma m}(t)&=-2HZ-\Phi(m_0^2-\alpha\Phi^2) +\frac{2e^4\Phi^3}{\pi\psi}(\sqrt{1+\psi^2}-2\psi F_1(\psi)), \\ \mathrm L_{\sigma q}(t)&=\frac{3HZ}{2\Phi\psi^2} -\frac{2}{3}\Lambda+\frac{3}{2\psi^2}(m_0^2-\alpha\Phi^2) +\frac{1}{6\alpha}(m_0^2-\Phi^2)^2+\frac{Z^2}{6} +\frac{8e^4\Phi^2\psi^3}{\pi\sqrt{1+\psi^2}}+{} \\ &\hphantom{={}}+\frac{2e^4\Phi^2}{\pi\psi^2} F_1(\psi)\biggl(1-6\psi^2-\frac{\Phi^2\psi^2}{3}\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
В эти соотношения необходимо еще подставить значение функции $\psi$ из (35). Таким образом, задача свелась к системе двух линейных однородных дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка относительно двух функций $\mu(r,t)$ и $\phi(r,t)$: (93), (94). Как видно, коэффициенты этих уравнений описываются довольно громоздкими выражениями от базовых фоновых функций модели $\{\xi(t),H(t),\Phi(t),Z(t)\}$. Однако важной особенностью этих уравнений является зависимость их коэффициентов только от времени. Прежде чем исследовать эти уравнения, отметим их важное свойство, позволяющее существенно упростить задачу. Рассмотрим систему однородных линейных дифференциальных уравнений относительно системы вектор-функций двух переменных $\mathbf U(x,t)$ 3: где $\mathbf X(x)$ и $\mathbf T(t)$ – линейные матричные операторы, причем Как нетрудно видеть, система уравнений (93), (94) относится к системам типа (95) с условием (96). Рассмотрим решения уравнений (95) вида
$$
\begin{equation}
\mathbf W=\mathbf U(t)+\mathbf V(x,t),\qquad \frac{\partial}{\partial x}\mathbf V\ne\mathbf 0.
\end{equation}
\tag{97}
$$
Подставляя (97) в (95), с учетом условия (96) получим
$$
\begin{equation}
[\mathbf X(x)+\mathbf T(t)]\mathbf V(x,t)+\mathbf T(t)\mathbf U(t)=0.
\end{equation}
\tag{98}
$$
Запишем условие того, что второй член этого уравнения зависит лишь от переменной $t$: где $\mathbf f(t)$ – произвольная вектор-функция аргумента $t$. Тогда из (98) следует
$$
\begin{equation}
[\mathbf X(x)+\mathbf T(t)]\mathbf V(x,t)=-\mathbf f(t).
\end{equation}
\tag{100}
$$
Поскольку уравнение (99) является линейным, его общее решение является суммой общего решения соответствующего однородного уравнения $U_0(t)$ и любого частного решения неоднородного уравнения $\mathbf U_1(t)$ так что Уравнение (100) также является линейным и однородным. Пусть $\mathbf V_1(x,t)$ есть общее решение соответствующего однородного уравнения Вследствие линейности неоднородного уравнения (100) его частным решением является $\mathbf V_1(x,t)=-\mathbf U_0(t)$, но тогда Таким образом, справедливо следующее утверждение. Общим решением уравнения (98) является сумма решений однородных уравнений (101) и (104): Доказанное свойство с учетом соотношений (79) и (82)
$$
\begin{equation*}
\mu(r,t)=\rho(r,t)-m(t),\qquad \phi(r,t)=\chi(r,t)-q(t)
\end{equation*}
\notag
$$
позволяет записать систему (93), (94) в виде системы четырех линейных однородных уравнений, из которых первые два уравнения составляют независимую подсистему обыкновенных однородных дифференциальных уравнений относительно функций источников $m(t)$ и $q(t)$
$$
\begin{equation}
-3\frac{1+\psi^2}{\psi^2}\ddot m-3H\frac{2+3\psi^2}{\psi^2}\dot m -Z\frac{3+2\psi^2}{\psi^2}\dot q+\mathrm{L}_{\varepsilon m}(t)m +\mathrm L_{\varepsilon q}(t)qi =0,
\end{equation}
\tag{107}
$$
$$
\begin{equation}
\ddot q+\biggl(H-\frac{3}{2\Phi\psi^2}\biggr)\dot q -\frac{3}{2\Phi\psi^2}\ddot m+\biggl(\frac{3H}{\Phi\psi^2}-2Z\biggr) \dot m+\mathrm L_{\sigma m}(t)m+\mathrm L_{\sigma q}(t)q =0,
\end{equation}
\tag{108}
$$
а остальные два уравнения составляют независимую подсистему однородных уравнений в частных производных относительно функций $\rho(r,t)$ и $\chi(r,t)$, удовлетворяющих условиям (80) и (83) в начале координат:
$$
\begin{equation}
\frac{1}{a^2}\rho''-3\frac{1+\psi^2}{\psi^2}\ddot\rho -3H\frac{2+3\psi^2}{\psi^2}\dot\rho-Z\frac{3+2\psi^2}{\psi^2}\dot\chi +\mathrm L_{\varepsilon m}(t)\rho+\mathrm L_{\varepsilon q}(t)\chi =0,
\end{equation}
\tag{109}
$$
$$
\begin{equation}
\ddot\chi+\biggl(H-\frac{3}{2\Phi\psi^2}\biggr)\dot\chi -\frac{1}{a^2}\chi''-\frac{3}{2\Phi\psi^2}\ddot\rho +\biggl(\frac{3H}{\Phi\psi^2}-2Z\biggr)\dot\rho +\mathrm L_{\sigma m}(t)\rho+\mathrm L_{\sigma q}(t)\chi =0.
\end{equation}
\tag{110}
$$
Уравнения (107) и (108) будем называть эволюционными уравнениями относительно массы и скалярного заряда сингулярного источника. Поскольку эти уравнения линейные и однородные, то при нулевых начальных условиях $m(t_0)=0$, $q(t_0)=0$ они имеют только тривиальное решение $m(t)=0$, $q(t)=0$. Если же хотя бы одно из начальных условий не является нулевым, то и $m(t)\ne 0$, $q(t)\ne 0$, что необходимо для образования скалярной черной дыры. Две подсистемы уравнений (107), (108) и (109), (110), как мы отмечали, являются независимыми, но их решения могут быть связаны граничными условиями задачи Коши. 3.8. Коротковолновый пределИсследуем возмущения в коротковолновом секторе на основе уравнений (109), (110), полагая
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \rho(r,t)&=\tilde\rho(t)\exp \biggl(inar+i\int u(t)\,dt\biggr),\\ \chi(r,t)&=\tilde\chi(t)\exp \biggl(ianr+i\int u(t)\,dt\biggr),\end{aligned} \qquad na\gg 1,\,\dot ar\ll 1,
\end{equation}
\tag{111}
$$
гдe $\tilde\rho(t)$, $\tilde\chi(t)$ и $u(t)$ – медленно меняющиеся функции временно́й переменной $t$, причем $u(t)\sim n$ – функция эйконала. Подставляя (111) в (109), (110), в нулевом ВКБ-приближении получим две моды колебаний:
$$
\begin{equation}
\begin{alignedat}{3} \rho\colon\quad u&=\pm n\frac{\psi}{\sqrt{3(1+\psi^2)}},&\quad &\Rightarrow &\quad v_f&=\frac{|u|}{n}\leqslant\frac{1}{\sqrt{3}}, \\ \chi\colon\quad u&=\pm n,&\quad &\Rightarrow &\quad v_f&=\frac{|u|}{n}=1. \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{112}
$$
Эти независимые моды колебаний соответствуют двум парам расходящихся и сходящихся волн, распространяющихся с фазовой скоростью $v_f=u/n$, причем волны, соответствующие возмущениям гравитационного потенциала, распространяются со скоростью звука в среде фермионов, а волны, соответствующие возмущениям потенциала скалярного поля, распространяются со скоростью света. В соответствии с (111), (79) и (82) амплитуды этих волн изменяются по закону
$$
\begin{equation*}
\tilde\nu\sim\frac{1}{a(t)r},\qquad \tilde\varphi\sim\frac{1}{a(t)r}.
\end{equation*}
\notag
$$
Эти высокочастотные моды являются незатухающими, мнимые части функции эйконала $u(r,t)$, соответствующие как затуханию, так и росту колебаний, появляются при учете членов более высокого порядка ВКБ-приближения (см. [2]). 4. Решение для локализованных возмущений4.1. Локализованные возмущенияРассмотрим случай сферических возмущений, локализованных в сфере радиуса $r_0$. Локализация возмущений внутри сферы означает, что на границе сферы возмущения и их производные по радиальной переменной обращаются в нуль, т. е. выполняются граничные условия
$$
\begin{equation}
\nu(r_0,0)=0,\quad \frac{d\nu(r,0)}{dr}\biggr|_{r=r_0}=0,\qquad \phi(r_0,0)=0,\quad \frac{d\phi(r,0)}{dr}\biggr|_{r=r_0}=0.
\end{equation}
\tag{113}
$$
Нетрудно убедиться, что вследствие определений (79)–(82) граничные условия (113) могут быть переписаны в виде
$$
\begin{equation}
\rho(r_0,0)=\mu(0),\quad \frac{d\rho(r,0)}{dr}\biggr|_{r=r_0}=0,\qquad \chi(r_0,0)=q(0),\quad \frac{d\chi(r,0)}{dr}\biggr|_{r=r_0}=0.
\end{equation}
\tag{114}
$$
Заметим, что локализация возмущений означает, что изменение полной массы $M(V)$ и заряда $Q(V)$ области локализации $V$ равны нулю. В противном случае вследствие сохранения, например, массы пространство за границами области возмущения не являлось бы однородным, т. е. решение уравнений Эйнштейна не дало бы Вселенную Фридмана. Таким образом, в локализованных возмущениях плотность материи лишь перераспределяется за счет фридмановской материи внутри сферы локализации. Это означает, что если где-то возникает сингулярная масса, то в окружающей ее сфере локализации возмущений возмущение плотности энергии должно быть отрицательным (см. рис. 1). Сказанное целиком относится и к локализации скалярной плотности заряда. Полагая, что в конечной окрестности $r\in[0,r_0)$, в которой локализовано возмущение метрики, потенциальные функции $\rho(r,\eta)$ (79) и $\chi(r,\eta)$ (82), удовлетворяющие условиям (80) и (83), принадлежат классу $\mathrm C^\infty$, представим решения уравнений (109), (110) в виде степенных рядов4, не содержащих членов с нулевой степенью вследствие условий (80) $\rho(0,t)=0$ и (83) $\chi(0,t)=0$:
$$
\begin{equation}
\rho(r,t)=\sum_{n=1}^\infty\rho_n(t)r^n,\qquad \chi(r,t)=\sum_{n=1}^\infty\chi_n(t)r^n.
\end{equation}
\tag{115}
$$
При этом, очевидно, начальные значения потенциальных функций $\rho(r,0)$ и $\chi(r,0)$ должны иметь вид
$$
\begin{equation}
\rho(r,0)=\sum_{n=1}^\infty c_nr^n,\qquad \chi(r,0)=\sum_{n=1}^\infty d_nr^n,
\end{equation}
\tag{116}
$$
так что должны выполняться начальные условия на функции $\rho_n(t)$ и $\chi_n(t)$ 4.2. Уравнения для локализованных возмущенийПодставляя разложения (115) в систему уравнений (109), (110) и приравнивая члены с одинаковыми степенями $r$, получим
$$
\begin{equation}
\rho_{2m}=0,\qquad \chi_{2m}=0\qquad (m=\overline{0,\infty}).
\end{equation}
\tag{118}
$$
Таким образом, имеем
$$
\begin{equation}
\rho(r,t)=\sum_{k=0}^\infty\rho_{2k+1}(t)r^{2k+1},\qquad \chi(r,t)=\sum_{k=0}^\infty\chi_{2k+1}(t)r^{2k+1}.
\end{equation}
\tag{119}
$$
Как мы и отмечали выше, потенциальные функции $\rho(r,t)$ и $\chi(r,t)$ являются нечетными функциями $r$. Вследствие граничных условий в нулевой момент времени (113) и (117) должны выполняться следующие условия на коэффициенты $c_n$, $d_n$:
$$
\begin{equation}
\begin{alignedat}{2} \sum_{k=0}^\infty c_{2k+1}(0)r_0^{2k+1}&=m(0), &\qquad \sum_{k=0}^\infty d_{2k+1}(0)r_0^{2k+1}&=q(0), \\ \sum_{k=0}^\infty kc_{2k+1}(0)r_0^{2k+1}&=-\frac{m(0)}{2}, &\qquad \sum_{k=0}^\infty kd_{2k+1}(0)r_0^{2k+1}&=-\frac{q(0)}{2}. \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{120}
$$
Для коэффициентов разложения (119), являющихся функциями времени, получим рекуррентные уравнения:
$$
\begin{equation}
(2k+3)(2k+2)\frac{\rho_{2k+3}}{a^2(t)}={} 3\frac{1+\psi^2}{\psi^2}\ddot\rho_{2k+1} +3H\frac{2+3\psi^2}{\psi^2}\dot\rho_{2k+1}-\mathrm L_{\varepsilon m}(t)\rho_{2k+1}+{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
+Z\frac{3+2\psi^2}{\psi^2}\dot\chi_{2k+1}-\mathrm L_{\varepsilon q}(t)\chi_{2k+1},
\end{equation}
\tag{121}
$$
$$
\begin{equation}
(2k+3)(2k+2)\frac{\chi_{2k+3}}{a^2(t)}={} \ddot\chi_{2k+1} +\biggl(H-\frac{3}{2\Phi\psi^2}\biggr)\dot\chi_{2k+1} -\frac{3}{2\Phi\psi^2}\ddot\rho_{2k+1}+{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
+\biggl(\frac{3H}{\Phi\psi^2}-2Z\biggr)\dot\rho_{2k+1} +\mathrm L_{\sigma q}(t)\chi_{2k+1}+\mathrm L_{\sigma m}(t)\rho_{2m+1}.
\end{equation}
\tag{122}
$$
В зависимости от начальных условий разложения (119) можно оборвать на любом $n=n_0\geqslant 3$. Пусть это будет $n_0=2k_0+1$. Тогда, так как $\rho_{2k_0+3}=0$, $\chi_{2k_0+3}=0$, для коэффициентов последних членов разложений (119) получим из (121), (122) уравнения
$$
\begin{equation}
3\frac{1+\psi^2}{\psi^2}\ddot\rho_{2k_0+1} +3H\frac{2+3\psi^2}{\psi^2}\dot\rho_{2k_0+1} +Z\frac{3+2\psi^2}{\psi^2}\dot{\chi}_{2k_0+1}-{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad{}-\mathrm L_{\varepsilon m}(t)\rho_{2k_0+1} -\mathrm L_{\varepsilon q}(t)\chi_{2k_0+1}=0,
\end{equation}
\tag{123}
$$
$$
\begin{equation}
\ddot\chi_{2k_0+1}+\biggl(H-\frac{3}{2\Phi\psi^2}\biggr)\dot\chi_{2k_0+1} -\frac{3}{2\Phi\psi^2}\ddot\rho_{2k_0+1} +\biggl(\frac{3H}{\Phi\psi^2}-2Z\biggr)\dot\rho+{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad{}+\mathrm L_{\sigma q}(t)\chi_{2k_0+1} +\mathrm L_{\sigma m}(t)\rho_{2k_0+1}=0.
\end{equation}
\tag{124}
$$
Поскольку, во-первых, система уравнений (123), (124) является однородной системой обыкновенных линейных дифференциальных уравнений, а во-вторых, она совпадает с системой уравнений (107), (108), ее решения, удовлетворяющие начальным условиям (117), могут быть только следующими:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \rho_{2k_0+1}(t)&=c_{2k_0+1}\frac{m(t)}{m(0)},\\ \chi_{2k_0+1}(t)&=d_{2k_0+1}\frac{q(t)}{q(0)}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{125}
$$
Подставляя затем решения (125) в левые части уравнений (121), (122) (полагая при этом $k_0\to k_0-1$), получим систему дифференциальных уравнений относительно функций $\rho_{2k_0-1}$ и $\chi_{2k_0-1}$:
$$
\begin{equation}
3\frac{1+\psi^2}{\psi^2}\ddot\rho_{2k_0-1} +3H\frac{2+3\psi^2}{\psi^2}\dot\rho_{2k_0-1} +Z\frac{3+2\psi^2}{\psi^2}\dot\chi_{2k_0-1}-{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad\qquad{}-\mathrm L_{\varepsilon m}(t)\rho_{2k_0-1} -\mathrm L_{\varepsilon q}(t)\chi_{2k_0-1}= \frac{2k_0(2k_0+1)c_{2k_0+1}}{a^2(t)}\frac{m(t)}{m(0)},
\end{equation}
\tag{126}
$$
$$
\begin{equation}
\ddot\chi_{2k_0-1}+\biggl(H-\frac{3}{2\Phi\psi^2}\biggr)\dot\chi_{2k_0-1} -\frac{3}{2\Phi\psi^2}\ddot\rho_{2k_0-1} +\biggl(\frac{3H}{\Phi\psi^2}-2Z\biggr)\dot\rho_{2k_0-1}+{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad\qquad{}+\mathrm L_{\sigma q}(t)\chi_{2k_0-1} +\mathrm{L}_{\sigma m}(t)\rho_{2k_0-1}= \frac{2k_0(2k_0+1)d_{2k_0+1}}{a^2(t)}\frac{q(t)}{q(0)}.
\end{equation}
\tag{127}
$$
Эти уравнения должны решаться с начальными условиями (117). Заметим, что левые части уравнений (126), (127) совпадают с левыми частями однородной системы уравнений (107), (108), определяющих эволюцию массы $m(t)$ и заряда $q(t)$. Решения уравнений (126), (127), в свою очередь, определяют уравнения для функций $\rho_{2m_0-3}$ и $\chi_{2m_0-3}$ и т. д. Таким образом, мы получили рекуррентную процедуру для нахождения всех коэффициентов рядов (119), т. е. получили точное решение уравнений для локализованных возмущений с точностью до интегрирования системы обыкновенных линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка (126), (127). Таким образом, как мы отмечали в конце п. 3.7, пары возмущений $\{\rho(r,t),\chi(r,t)\}$ и $\{m(t),q(t)\}$ действительно оказываются связанными через начально-граничные условия. При этом, однако, возмущения $\{m(t),q(t)\}$, отвечающие за эволюцию сингулярной массы и заряда, остаются независимыми от другой пары возмущений, а зависимы лишь от начальных условий. Это свойство эволюции сферических возмущений является весьма важным. 4.3. Возмущения в форме полинома третьей степени по радиальной переменнойРассмотрим наиболее простую форму локализованного возмущения, соответствующую полиному третьей степени. Согласно формулам (119) в случае $k_0=3$ соответствующие разложения имеют вид
$$
\begin{equation}
\rho(r,t)=\rho_1(t)r+\rho_3(t)r^3,\qquad \chi(r,t)=\chi_1(t)r+\chi_3(t)r^3.
\end{equation}
\tag{128}
$$
Подставляя (128) в граничные условия (114), найдем начальные значения потенциальных функций (или прямо из (120))
$$
\begin{equation}
\begin{alignedat}{3} \rho(r,0)&=\frac{m(0)}{2}\biggl(3\frac{r}{r_0}-\frac{r^3}{r^3_0}\biggr)&\quad &\Rightarrow &\quad\nu(r,0)&=m(0)\biggl(\frac{3}{r_0} -\frac{r^2}{r^3_0}-\frac{2}{r}\biggr), \\ \chi(r,0)&=\frac{q(0)}{2}\biggl(3\frac{r}{r_0}-\frac{r^3}{r^3_0}\biggr)&\quad &\Rightarrow&\quad \varphi(r,0)&=q(0)\biggl(\frac{3}{r_0}-\frac{r^2}{r^3_0}-\frac{2}{r}\biggr). \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{129}
$$
Здесь мы учли, что согласно (37) $a(0)=1$. В соответствии с разложением (119) и начальными условиями (129) получим начальные условия на функции $\rho_1(\eta)$, $\chi_1(\eta)$:
$$
\begin{equation}
\rho_1(0)=\frac{3m(0)}{2r_0}\equiv\rho_1^0,\qquad \chi_1(0)=\frac{3q(0)}{2r_0}\equiv\chi_1^0.
\end{equation}
\tag{130}
$$
Таким образом, согласно (125)–(127) найдем, во-первых,
$$
\begin{equation}
\rho_3(t)=-\frac{m(t)}{2r^3_0},\qquad \chi_3(t)=-\frac{q(t)}{2r^3_0}.
\end{equation}
\tag{131}
$$
Во-вторых, подставляя (131) в (128), найдем выражения для функций $\rho(r,t)$ и $\chi(r,t)$ через эволюционные функции $m(t)$, $q(t)$, $\rho_1(t)$ и $\chi_1(t)$:
$$
\begin{equation}
\rho(r,t)=\rho_1(t)r-m(t)\frac{r^3}{2r^3_0},\qquad \chi(r,t)=\chi_1(t)r-q(t)\frac{r^3}{2r^3_0}.
\end{equation}
\tag{132}
$$
Подставляя решения (131) в правые части уравнений (126), (127) (полагая при этом $k_0=1$), получим систему дифференциальных уравнений относительно функций $\rho_1(t)$ и $\chi_1(t)$:
$$
\begin{equation}
3\frac{1+\psi^2}{\psi^2}\ddot\rho_1 +3H\frac{2+3\psi^2}{\psi^2}\dot\rho_1 +Z\frac{3+2\psi^2}{\psi^2}\dot\chi_1 -\mathrm L_{\varepsilon m}(t)\rho_1 -\mathrm L_{\varepsilon q}(t)\chi_1= \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad=-\frac{3m(t)e^{-2\xi(t)}}{2r^3_0},
\end{equation}
\tag{133}
$$
$$
\begin{equation}
\ddot\chi_1+\biggl(H-\frac{3}{2\Phi\psi^2}\biggr)\dot\chi_1 -\frac{3}{2\Phi\psi^2}\ddot\rho_1 +\biggl(\frac{3H}{\Phi\psi^2}-2Z\biggr)\dot\rho_1 +\mathrm L_{\sigma q}(t)\chi_1 +\mathrm L_{\sigma\mu}(t)\rho_1= \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad=-\frac{3q(t)e^{-2\xi(t)}}{2r^3_0}.
\end{equation}
\tag{134}
$$
Таким образом, в случае $n=3$ задача полностью сведена к решению двух систем эволюционных уравнений: системы двух обыкновенных однородных линейных уравнений второго порядка (107), (108) и системы двух обыкновенных неоднородных линейных уравнений второго порядка (133), (134). 4.4. Радиус локализации возмущенийРадиус локализации гравитационного возмущения можно определить как такой радиус, при котором обращается в нуль радиальная производная потенциала $\nu(r,\eta)$. Вычисляя эту производную, найдем с учетом соотношения (131):
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \nu'(r,t)=0\quad &\Rightarrow\quad r\rho'(r,t)-(\rho(r,t)-m(t))=0\quad \Rightarrow \nonumber \\ &\Rightarrow\quad -2\rho_3(t)r^3+m(t)=0\quad \Rightarrow\quad r_m(t)=r_0. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{135}
$$
Таким образом, радиус локализации гравитационного возмущения, определяемый как радиус, при котором исчезает гравитационная сила притяжения возмущения, в изотропных координатах $\{r,\theta,\varphi,\eta\}$ не изменяется. Аналогично, мы можем показать, что и радиус локализации возмущения скалярного поля совпадает с $r_0$. Заметим, что физический радиус равен $R=a(t)r$, поэтому физический радиус локализации возмущений растет вместе с расширением Вселенной: $R_m=a(t)r_0$. При этом прямое вычисление полной гравитационной массы возмущения $M(r,t)$ внутри сферы радиуса $r_0$ в соответствии с (90)
$$
\begin{equation}
\nu(r,t)=-\frac{2M(r,t)}{ar}\quad\Rightarrow \quad M(r,t)=-\rho(r,t)+m(t)
\end{equation}
\tag{136}
$$
не приводит к нулевому значению. Заметим, что с учетом (132) получим из (136)
$$
\begin{equation}
\nu(r,t)=\frac{2}{a(t)} \biggl(\rho_1(t)-\frac{m(t)r^2}{2r_0^3}-\frac{m(t)}{r}\biggr).
\end{equation}
\tag{137}
$$
Однако мы имеем право добавить к правой части (137) произвольную малую калибровочную функцию времени $\delta\xi(t)$ и совершить преобразование временно́й переменной (60). Воспользуемся этим инвариантным свойством метрики и выберем функцию $\delta\xi(t)$ таким образом, чтобы было $M(r_0,t)=0$. Это дает
$$
\begin{equation}
\delta\xi(t)=-\frac{2\rho_1(t)}{a(t)}+\frac{3m(t)}{r_0 a(t)}.
\end{equation}
\tag{138}
$$
Добавляя теперь $\delta\xi(t)$ из (138) в правую часть (137), получим для перенормированного потенциала гравитационного возмущения $\nu_n$
$$
\begin{equation}
\nu_n(r,t)=\frac{2m(t)}{a(t)} \biggl(\frac{3}{r_0}-\frac{r^2}{r_0}-\frac{2}{r}\biggl).
\end{equation}
\tag{139}
$$
Очевидно, что это значение $\nu(r,t)$ автоматически приводит к закону сохранения полной массы внутри области локализации возмущения: Заметим, что мы не можем требовать при этом аналогичного сохранения скалярного заряда, так как заряд $q(t)$ ассоциируется с плотностью скалярного заряда $\sigma$ (10), которая не связана с законом сохранения, в отличие от кинематической плотности заряда (14). Достаточно того, что при $r=r_0$ обращается в нуль градиент скалярного потенциала, что приводит к равной нулю силе скалярного притяжения. Заметим также, что согласно (90) гравитационный радиус образованной черной дыры можно оценить как5 Поскольку масса черной дыры образуется целиком за счет “выедания” вещества из области локализации, ее конечная масса не может превосходить полной массы локализованного возмущения. При достижении этого предела рост массы черной дыры прекращается. Таким образом, конечная масса черной дыры определяется начальными параметрами сферического возмущения на момент его формирования из неустойчивых плоских мод.4.5. Несингулярные локализованные возмущенияСогласно (79)–(82) несингулярным возмущениям соответствуют нулевые значения функции массы и заряда: Тогда из (125) следует, что последние члены рядов (119) должны иметь вид
$$
\begin{equation}
\rho_{2k_0+1}(t)=c_{2k_0+1}\frac{\widetilde m(t)}{\widetilde m(0)},\qquad \chi_{2k_0+1}(t)=d_{2k_0+1}\frac{\tilde q(t)}{\tilde q(0)},
\end{equation}
\tag{143}
$$
где $\widetilde m(t)$ и $\tilde q(t)$ – ненулевые решения однородных уравнений (107), (108). При этом, однако, граничные условия (120) на коэффициенты рядов (119) изменяются – в правые части соотношений (120) необходимо подставить нули. В случае максимальной степени полиномов (119) $n_0=2k_0+1$ получим из (120) систему однородных линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов $\rho_{2k+1}(0)$6
$$
\begin{equation*}
\sum_{k=0}^\infty\rho_{2k+1}(0)r_0^{2k+1}=0,\qquad \sum_{k=1}^\infty k\rho_{2k+1}(0)r_0^{2k+1}=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Очевидно, матрица этой системы имеет ранг, равный $2$, поэтому для существования нетривиального решения необходимо и достаточно, чтобы число коэффициентов было больше двух, т. е. $k_0\geqslant 2$, а это, в свою очередь, означает, что минимальная степень полинома должна быть равна $5$. Рассмотрим поэтому случай полинома пятой степени по радиальной переменной: В этом случае граничные условия (113), (114) принимают вид
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \rho_1(0)r_0+\rho_3(0)r_0^3+\rho_5(0)r_0^5=0, \label{drho5=0} \\ \rho_3(0)+2\rho_5(0)r_0^2=0\quad\Rightarrow\quad \rho_3(0)=-2\rho_5(0)r_0^2,\qquad \rho_1(0)=\rho_5(0)r_0^4. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, локализованных несингулярных возмущений, описываемых полиномами третьей степени по радиальной переменной, не существует. Минимальная степень полинома по радиальной переменной для локализованных несингулярных возмущений равна $5$. Для несингулярных локализованных возмущений с $n\geqslant 5$ необходимо решать те же самые рекуррентные уравнения (126), (127), в правых частях которых вместо функций $m(t)$ и $q(t)$ необходимо использовать функции $\widetilde m(t)$ и $\tilde q(t)$. Таким образом, поставленная задача формально решена. 5. Численное моделирование эволюции массы и скалярного зарядаПоскольку основной целью настоящей работы является разработка теоретической и математической модели процесса эволюции сферических возмущений в космологической среде вырожденных скалярно заряженных фермионов и методов исследования этой модели, в данной статье мы ограничимся рассмотрением примера численного моделирования этого процесса с помощью описанной выше математической модели, не вдаваясь пока в анализ результатов численного моделирования. Этим вопросам будет посвящена отдельная статья. 5.1. Размерность функций и параметровДля численного моделирования важна размерность физических величин и возможность образования безразмерных комплексов. Анализируя уравнения Эйнштейна, уравнения скалярного поля и определения различных величин, можно прийти к следующему выводу относительно размерности входящих в них функций и параметров:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, {}[a]=[\xi]=[\Phi]=[\varphi]=[\nu]=[\delta_z]=[v_r]=[\psi]=[1], \\ [H]=[Z]=[m_0]=[e^2]=[\pi^2_c]=[t^{-1}], \\ [\alpha]=[\Lambda]=[t^{-2}],\qquad [\rho_n]=[\chi_n]=[t^{-n+1}], \\ [r]=[t],\qquad [\phi]=[\mu]=[\rho]=[\chi]=[m]=[q]=[d_z]=[t], \end{gathered}
\end{equation}
\tag{144}
$$
где квадратными скобками обозначены размерности величин в единицах времени, безразмерные величины имеют размерность $1$. Необходимо помнить, что в статье используется планковская система единиц, поэтому для приведения результатов к обычным системам единиц величины, имеющие размерность $[t^{-n}]$, необходимо умножать на планковскую массу в такой же степени – $m_{\mathrm{Pl}}^n$ (или делить на планковское время в той же степени – $t_{\mathrm{Pl}}^n$). Величину скорости необходимо умножать на скорость света. 5.2. Полная система уравнений и начальные условия для численного моделирования эволюции массы и зарядаТаким образом, решения линейной системы однородных дифференциальных уравнений $\mathbf S_1$ ((107), (108)) и $\mathbf S_2$ ((133), (134)) определяются базовыми функциями фонового решения $H(t)$, $\Phi(t)$ и $Z(t)$ на основе численного решения системы нелинейных уравнений $\mathbf S_0$ ((43)–(45)) с интегральным условием (47). C точки зрения численного интегрирования удобнее сформировать общую систему дифференциальных уравнений и интегрировать ее одновременно, что значительно сокращает временны́е затраты. Итак, сформируем следующую систему дифференциальных уравнений:
$$
\begin{equation*}
\begin{cases} \mathbf S_0\colon &\{(43)\text{--}(45), (47)\}, \\ \mathbf S_1\colon &\{(107), (108)\}, \\ \mathbf S_2\colon &\{(133), (134)\}. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
В этой системе уравнений имеется следующая иерархия $\mathbf S_0\to\mathbf S_1\to\mathbf S_2$: система фоновых уравнений $\mathbf S_0$ является автономной, система уравнений относительно сингулярных массы и заряда $\mathbf S_1$ определяется решениями $\mathbf S_0$, система уравнений относительно функций $\rho_1(t)$ и $\chi_1(t)$ $\mathbf S_2$ определяется решениями систем $\mathbf S_0$ и $\mathbf S_1$. При этом мы будем использовать следующие начальные условия для подсистемы $\mathbf S_0$, пользуясь ее автономностью (см. [23]): а начальное значение параметра Хаббла $H(0)$ будем определять как положительный корень интеграла (47) при подстановке в него начальных условий (145). Далее для простоты будем полагать нулевыми начальные значения первых производных функций $\mu(t)$, $q(t)$, $\rho_1(t)$, $\chi_1(t)$. При численном интегрировании системы $\{\mathbf S_1,\mathbf S_2\}$ возникает естественный вопрос о единственности ее решений. Как известно, задача Коши для системы обыкновенных линейных дифференциальных уравнений второго порядка всегда имеет единственное решение при условии непрерывности и ограниченности коэффициентов этой системы. В нашем случае коэффициенты системы определяются фоновыми решениями $\{\xi(t),H(t),\Phi(t),Z(t)\}$. Непрерывная зависимость и ограниченность коэффициентов системы $\mathbf S_1$ в зависимости от значений функций $\{\xi,H,Z\}\in\mathbb Z$ очевидна. Единственная опасность может исходить от фоновой функции потенциала $\Phi\to 0$ в связи с наличием этой функции в знаменателе $\psi$ (17). Однако детальное исследование коэффициентов системы показывает, что все они непрерывны и конечны при $\Phi\to 0$. Непрерывная зависимость решений от параметров системы требует непрерывной зависимости коэффициентов этих уравнений от параметров. В этом случае опасность может исходить от параметра заряда $e$. Однако и в этом случае, вычисляя соответствующие пределы, можно доказать непрерывную зависимость коэффициентов системы $\mathbf S_1$ от всех параметров. Таким образом, будем определять исследуемую систему следующим упорядоченным набором параметров и нетривиальных начальных условий:
$$
\begin{equation}
\mathbf I =[\Phi(0)=\Phi_0, m(0)=M_0, q(0)=Q_0, \rho_1(0)=\rho^0_1, \chi_1(0)=\chi^0_1,r_0].
\end{equation}
\tag{147}
$$
5.3. Модельная задачаРешим сначала две модельные задачи, в которой зададим фоновые функции
$$
\begin{equation}
\mathbf M_1 \colon \quad \xi =0.001t, \quad H =0.001, \quad \Phi =1, \quad Z =0,
\end{equation}
\tag{148}
$$
$$
\begin{equation}
\mathbf M_2 \colon \quad \xi =0.000001t, \quad H =0.000001, \quad\Phi =1, \quad Z =0
\end{equation}
\tag{149}
$$
и положим для простоты космологическую постоянную равной нулю ($\Lambda=0$), При этом мы зададим следующие начальные условия:
$$
\begin{equation*}
M_0=1,\qquad Q_0=0,\qquad \dot m|_{t=0}=0,\qquad \dot q|_{t=0}=0,
\end{equation*}
\notag
$$
соответствующие начальной сингулярной массе возмущения $M_0=1$ $m_{\mathrm{Pl}}$ и нулевому начальному сингулярному скалярному заряду возмущения. Заметим, что модельной задаче $\mathbf M_1$ соответствует значение параметра Хаббла $H=H_0=10^{-3}$, а модельной задаче $\mathbf M_2$ – значение параметра Хаббла $H=H_0=10^{-6}$. На рис. 2, 3 показаны результаты численного интегрирования для этих моделей. Серой полосой показана область необходимых значений массы зародышей сверхмассивных черных дыр $M_{\mathrm{bhs}}$ (1).  Рис. 2.Эволюция массы $m(t)$ возмущения (сплошная линия) и заряда $q(t)$ (штриховая линия) для модели $\mathbf M_1$ (148).  Рис. 3.Эволюция массы $m(t)$ возмущения (сплошная линия) и заряда $q(t)$ (штриховая линия) для модели $\mathbf M_2$ (149). Как можно видеть из рис. 2, 3, масса сингулярного источника $m(t)$, в начальный момент времени равная $m_{\mathrm{Pl}}$, экспоненциально быстро растет на всем интервале и достигает значения порядка $10^{52}\div 10^{62}$, заряд скалярного источника также экспоненциально быстро растет, качественно повторяя поведение функции массы. При этом в модели $\mathbf M_1$ с $H_0=10^{-3}$ масса $M_{\mathrm{bhs}}$ (1) достигается в момент времени $t_{\mathrm{bhs}}\approx 550$, тогда как в модели $\mathbf M_2$ с $H_0=10^{-6}$ время достижения массы $M_{\mathrm{bhs}}$ меньше – $t_{\mathrm{bhs}}\approx 470$. Заметим, что в моделях $\mathbf M_1$ и $\mathbf M_2$ необходимое для инфляционной космологии число e-фолдов $N\gtrsim 60$ [30] (т. е. значение аргумента экспоненты $\xi$) достигается во времена $t_{\mathrm{in}}\simeq 6\cdot 10^4\div 6\cdot 10^7\,t_{\mathrm{Pl}}$, что значительно больше времени $t_{\mathrm{bhs}}$ (от $2$ до $5$ порядков). Это означает, что процесс формирования сверхмассивной черной дыры происходит на стадии ранней инфляции. Эти простые примеры подтверждают наше предположение о возможности экспоненциального роста массы сферического возмущения [2], что является мотивацией интегрирования полной модели. С другой стороны, факт малости времени образования сверхмассивных черных дыр в ранней Вселенной по сравнению со стандартным временем инфляции $t_{\mathrm{bhs}}\ll t_{\mathrm{in}}$ свидетельствует о том, что процесс развития скалярно-гравитационной неустойчивости в ранней Вселенной нечувствителен к особенности космологической модели в целом, т. е. к типу теории гравитации, положенной в основу космологической модели. Для поддержки нормальной скорости этого процесса важно лишь само наличие инфляционного расширения на этапе развития неустойчивости. Заметим, что с помощью свойства подобия (утверждение 1) мы можем распространить полученный результат на другие значения параметров, например
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \mathbf P_{01}=[[10^{-8},10^{-4},1^{-2},10^{-3}],0]\quad\Rightarrow\quad \alpha=10^{-8}, \\ m_0=10^{-4},\quad e=10^{-2},\quad \pi_c=10^{-3}. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{151}
$$
При распространении результатов этого раздела на случай (151) надо помнить и о масштабном преобразовании координат, вследствие чего параметр Хаббла должен преобразовываться по закону Поэтому в случае распространения результатов модельной задачи с параметрами (150) на случай (151) мы должны изменить и параметр Хаббла в моделях $\mathbf M_1$ и $\mathbf M_2$ на $10^{-7}$ и $10^{-10}$ соответственно. Также мы должны преобразовать и временну́ю координату, получив в этом случае характерное значение времени пересечения серой полосы графиков рис. 2, 3 $t_{\mathrm{bhs}}\backsim 7\cdot10^6t_{\mathrm{Pl}}$. Таким образом, свойство подобия позволяет исследовать задачу для значений параметров порядка единицы, когда эта задача доступна стандартным численным методам, а затем переносить полученные результаты в область физически интересных малых значений параметров. 5.4. Результаты численного моделирования эволюции массы и зарядаВ этой статье мы ограничимся двумя показательными примерами численного интегрирования системы $\{\mathbf S_0,\mathbf S_1\}$, оставляя численное интегрирование системы $\mathbf S_2$ для упомянутой выше последующей статьи. Это вызвано не столько техническими проблемами процесса численного интегрирования достаточно громоздкой системы дифференциальных уравнений, сколько обнаруживаемой сильной зависимостью поведения решений от параметров системы и начальных условий. Заметим, что рассмотренные примеры демонстрируют лишь основные тенденции зависимости процесса формирования черных дыр от фундаментальных параметров модели, при этом мы нисколько не претендуем на их физическую значимость. 5.4.1. Малый скалярный зарядРассмотрим случай следующих значений параметров (146) и начальных условий (147) исследуемой системы:
$$
\begin{equation}
\mathbf I_1 =[\Phi(0)=1, m(0)=1, q(0)=0, \rho_1(0)=\rho^0_1, \chi_1(0)=\chi^0_1, r_0=10^4],
\end{equation}
\tag{153}
$$
$$
\begin{equation}
\mathbf I_2 =[\Phi(0)=1, m(0)=0, q(0)=1, \rho_1(0)=\rho^0_1, \chi_1(0)=\chi^0_1, r_0=10^4].
\end{equation}
\tag{154}
$$
Заметим, что решения фоновой модели $\mathbf S_0$ не зависят от начальных условий для возмущений, поэтому условия (153) и (154) эквивалентны по отношению к фоновому решению. Выбранный нами порядок радиуса локализации $r_0=10^4$ соответствует размеру $10^4m^{-1}_{\mathrm{Pl}}\backsim 10^{-29}$ см в нулевой момент времени. Таким образом, начальный радиус локализации возмущений порядка размера частиц Великого объединения на уровне энергии порядка $10^{15}$ ГэВ. Со временем радиус локализации эволюционирует по закону $R=r_0e^{\xi(t)}$. Кроме того, заметим, что начальные условия (153) и (154) соответствуют начальной массе возмущения $m(0)=1$ и $q(0)=1$, т. е. массе $m(0)=m_{\mathrm{Pl}}$ и аналогичной величине заряда. На рис. 4, 5 показана эволюция фоновых функций невозмущенной космологической модели, соответствующей значениям параметров (152) и начальным условиям (153) с нулевым значением космологической постоянной. Фоновая космологическая модель стартует с момента времени $t_0\approx -8.368$ в выбранной нами временно́й шкале, при этом параметр Хаббла после короткой фазы ранней инфляции быстро падает и асимптотически стремится к нулю. Одновременно с этим фазовая траектория скалярного поля асимптотически наматывается на нулевую особую устойчивую точку динамической системы. Заметим, что в моделях с заряженными фермионами точки минимума потенциала Хиггса не являются устойчивыми, устойчивыми точками являются точки с нулевым скалярным потенциалом [13], точки же в минимуме потенциала Хиггса становятся седловыми – они лишь условно устойчивы в одной из проекций фазового пространства. Устойчивые точки соответствуют нерелятивистскому уравнению состояния фермионов.  Рис. 4.Эволюция масштабной функции $\xi(t)$ (штриховая линия) и параметра Хаббла $H(t)$ (сплошная линия) для модели с параметрами (152) и начальными условиями (153). На рис. 6, 7 показаны графики эволюции точечной массы $m(t)$ и точечного заряда $q(t)$. Как видно из представленных графиков, величина центральной массы $m(t)$ после кратковременного всплеска, соответствующего этапу ранней инфляции, сначала быстро падает в область отрицательных значений, а затем медленно растет. Величина же центрального заряда быстро осциллирует вблизи нулевого значения. Заметим, во-первых, что точечная масса $m(t)$ соответствует лишь возмущению плотности энергии, поэтому может принимать и отрицательные значения. Во-вторых, заметим, что точечный заряд $q(t)$ не обязан сохраняться, так как порождается плотностью скалярного заряда $\sigma$ (16), не связанной с законом сохранения скалярного заряда, в отличие от кинематической плотности скалярного заряда $\rho$ (14) (детали см. в [13]). В-третьих, обратим внимание на тот факт, что графики на рис. 6 соответствуют нулевым начальным условиям для точечного заряда – $q(0)=0$, $\dot q(0)=0$, в то время как графики на рис. 7 соответствуют нулевым начальным условиям для точечной массы – $m(0)=0$, $\dot m(0)=0$.  Рис. 6.Эволюция массы $m(t)$ возмущения (сплошная линия) и заряда $q(t)$ (штриховая линия) для модели с параметрами (152) при начальных условиях (153).  Рис. 7.Эволюция массы $m(t)$ возмущения (сплошная линия) и заряда $q(t)$ (штриховая линия) для модели с параметрами (152) при начальных условиях (154). На этих графиках можно наблюдать одинаковое качественное поведение соответствующих функций $m(t)$ и $q(t)$. Таким образом, с одной стороны, мы можем сделать вывод о генерации возмущением массы скалярного заряда и, наоборот, – о генерации возмущения массы скалярным зарядом, что отмечалось выше. С другой стороны, учитывая быстрый осциллирующий характер $m(t)$ и $q(t)$, мы можем сделать вывод о том, что система быстро забывает свое начальное состояние, поэтому становится второстепенной природа первоначального возмущения. Таким образом, в случае космологической модели с малыми скалярными зарядами (параметры (152)) существенного роста сферических скалярно-гравитационных возмущений не происходит.  Рис. 8.Эволюция масштабной функции $\xi(t)$ (штриховая линия) и параметра Хаббла $H(t)$ (сплошная линия) для модели с параметрами (155) и начальными условиями (153).  Рис. 10.Эволюция массы $m(t)$ возмущения (сплошная линия) и заряда $q(t)$ (штриховая линия) для модели с параметрами (155) при начальных условиях (153). 5.4.2. Большой скалярный зарядРассмотрим случай следующих значений параметров (146) и начальных условий (147) исследуемой системы, увеличив значение скалярного заряда $e$ на четыре порядка: При этом мы сохраним начальные условия (153).На рис. 8, 9 показана эволюция фоновых функций невозмущенной космологической модели, соответствующей значениям параметров (155) и начальным условиям (153) с нулевым значением космологической постоянной. Фоновая космологическая модель стартует с момента времени $t_0\approx -6.719$ в выбранной нами временно́й шкале, при этом параметр Хаббла после короткой фазы ранней инфляции быстро падает и асимптотически стремится к значению $H\approx 0.0197$. Одновременно с этим фазовая траектория скалярного поля асимптотически наматывается на нулевую особую точку (см., например, [31]). На рис. 10 показана эволюция массы и заряда возмущения для этого случая. Как видно из приведенных графиков, сингулярная масса $m(t)$ достигает требуемых значений массы сверхмассивной черной дыры (1) уже при $t\sim 230 t_{\mathrm{Pl}}$, стартуя с величины $M_0=1$ $m_{\mathrm{Pl}}$. Серой полосой показана область необходимых значений массы зародышей сверхмассивных черных дыр $M_{\mathrm{bhs}}$ (1). При $t>100$ функция $\xi(t)$ растет линейно со временем, что соответствует инфляции, при этом необходимое для инфляционной космологии число e-фолдов $N\gtrsim 60$ согласно графику на рис. 8 достигается при $t\backsimeq 3000$. Эта величина на порядок превышает указанное выше время, необходимое для формирования сверхмассивной черной дыры. Поэтому можно утверждать, что в рассмотренной модели формирование сверхмассивных черных дыр должно происходить на ранних стадиях инфляции. 6. ЗаключениеВ заключение выделим некоторые результаты, полученные в этой статье. Основные результаты: на основе теории гравитирующих статистических систем со скалярным взаимодействием частиц построена и исследована математическая модель эволюции сферически-симметричных возмущений в космологической материи, состоящей из вырожденных скалярно заряженных фермионов со скалярным взаимодействием Хиггса. 1. Математическая модель состоит из трех подсистем дифференциальных уравнений, из которых первая автономная подсистема $\mathbf S_0$ описывает невозмущенную космологическую модель и, в свою очередь, состоит из четырех нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений (43)–(45) и их первого нормированного интеграла (47), вторая подсистема описывает эволюцию полных массы и заряда, отвечающих сингулярной части сферических возмущений, и представляет систему двух линейных однородных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка $\mathbf S_1$: (107), (108), и, наконец, третья подсистема описывает эволюцию несингулярных частей возмущений и представляет систему двух однородных линейных уравнений в частных производных (109), (110). Коэффициенты всех уравнений зависят от времени и определяются фоновыми решениями подсистемы $\mathbf S_0$: (43)–(45). 2. На основе полученных уравнений решена задача об эволюции пространственно локализованных в начальный момент времени возмущений, обращающихся в нуль вместе с первыми производными по радиальной переменной на сфере заданного радиуса. Решение можно представить полиномами по радиальной переменной с нечетными степенями. При этом коэффициенты полиномов представляют собой временны́е функции, удовлетворяющие системе рекуррентных неоднородных линейных обыкновенных дифференциальных уравнений (126), (127). 3. В частном физически значимом случае кубического полинома система уравнений на несингулярную часть возмущений сведена к системе двух неоднородных линейных дифференциальных уравнений второго порядка, на основе которой показано сохранение координатного радиуса локализации возмущения в процессе эволюции. При этом физический радиус локализации эволюционирует пропорционально масштабному фактору. 4. Проведено численное интегрирование двух первых подсистем модели в случае полиномиального возмущения третьей степени, на основе которого продемонстрирован экспоненциальный рост центральной массы возмущения и колебательный характер растущего заряда. 5. Таким образом, исследование, проведенное в статье, во-первых, подтвердило наличие сильной неустойчивости и сферически-симметричных возмущений, а во-вторых, дало замкнутую теоретическую модель для детального исследования процесса раннего образования сверхмассивных черных дыр. Такие исследования мы предполагаем провести в последующих работах. В заключение сделаем три замечания как относительно общности развитых в работе методов, так и относительно возможного развития полученных результатов. Во-первых, заметим, что развитые в разделах 3, 4 методы разделения переменных и выделения сингулярной части возмущений могут быть распространены на другие космологические модели, основанные на альтернативных моделях гравитации, в случае, если эти модели описываются дифференциальными уравнениями второго порядка. Конечно, при условии, что эти теории допускают астрофизические сферически-симметричные решения, в частности допускают решения типа черных дыр. Поскольку существование черных дыр подтверждено многочисленными наблюдениями последних шести лет, по-видимому, требование существования таких решений должно быть непременным требованием к любой жизнеспособной теоретической модели гравитации. Далее, уравнения второго порядка линейной теории возмущений в случае сферической симметрии обязаны содержать сферический оператор Лапласа. Поэтому эволюционные уравнения для линейных сферических возмущений в правильной модели гравитации по своей структуре не могут отличаться от эволюционных уравнений (62)–(65). В этих уравнениях могут измениться лишь коэффициенты, зависящие от времени, при первых и нулевых производных возмущений. Таким образом, сохранится и применимость метода разделения переменных и выделения сингулярной части возмущений, прямо связанной с решением Шварцшильда, т. е. с существованием черных дыр. Во-вторых, как известно, одной из главных причин появления современных модификаций теории гравитации, основанных на уравнениях второго порядка, например скалярно-тензорных теорий, теорий гравитации с неминимальной кинетической связью типа теории Хорндески, является нестыковка значений параметра Хаббла, получаемых в рамках стандартной теории гравитации, на ранней и поздней стадиях эволюции Вселенной. За счет подбора констант теории в модели Хорндески, в частности, удается решить эту проблему. Однако мы должны понимать, что выводы этих теорий начинают расходиться с выводами теории Эйнштейна лишь на очень больших космологических временах, соответствующих современной эпохе эволюции Вселенной. Высокая скорость развития скалярно-гравитационной неустойчивости по сравнению с космологическими темпами в ранней Вселенной позволяет игнорировать особенности моделей гравитации при исследовании процесса образования сверхмассивных черных дыр в ранней Вселенной. В-третьих, заметим, что если раннее образование скалярных черных дыр является неизбежным этапом эволюции Вселенной, то этот процесс может коренным образом изменить характер ее дальнейшей эволюции. Действительно, согласно результатам настоящей статьи после процесса формирования скалярных черных дыр скалярное поле может быть локализовано внутри этих черных дыр. В этом случае Вселенная после этапа образования скалярных черных дыр может представлять собой смесь разогретого релятивистского газа частиц с вкраплениями в него скалярных черных дыр. Скалярное поле исчезнет, и Вселенная будет эволюционировать с параметром Хаббла, определяемым квадратичными гравитационными флуктуациями, вносимыми скалярными черными дырами [28] и эффективной космологической постоянной
$$
\begin{equation*}
\Lambda_1=\frac{9n}{4r^2_0}\biggl(\frac{2\mu}{r_0}\biggr)^2,
\end{equation*}
\notag
$$
где $n$ – плотность числа скалярных черных дыр, $\mu$ и $r_0$ – их приведенные массы и радиусы. БлагодарностиАвтор благодарен участникам семинара кафедры теории относительности и гравитации Казанского университета за полезное обсуждение работы. Особенно благодарен автор профессорам С. В. Сушкову и А. Б. Балакину за весьма полезные замечания и обсуждение особенностей современных модификаций теории гравитации применительно к космологии и астрофизике. Также автор благодарен участникам V Международной зимней школы-семинара “Петровские чтения – 2022” за плодотворное обсуждение доклада, особенно профессорам К. А. Бронникову, М. О. Катанаеву и Б. Саха, а также доценту П. И. Пронину. Конфликт интересовАвтор заявляет, что у него нет конфликта интересов.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Ign23} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|